مقالات

3.E: أنظمة ODE (تمارين) - رياضيات


هذه هي تمارين الواجبات المنزلية لمرافقة Textmap "المعادلات التفاضلية للهندسة" Libl. هذا كتاب مدرسي يستهدف فصل دراسي أول مساق حول المعادلات التفاضلية ، ويستهدف طلاب الهندسة. المتطلب الأساسي للدورة هو تسلسل التفاضل والتكامل الأساسي.

3.1 مقدمة في أنظمة ODE

التمرين 3.1.2: أوجد الحل العام لـ (x'_1 = x_2 - x_1 + t، x'_2 = x_2 ).

التمرين 3.1.3: أوجد الحل العام لـ (x'_1 = 3x_1 - x_2 + e ^ t، x'_2 = x_1 ).

التمرين 3.1.4: اكتب (ay '' + by '+ cy = f (x) ) كنظام من الدرجة الأولى لـ ODE.

التمرين 3.1.5: اكتب (x '' + y ^ 2y '- x ^ 3 = sin (t)، y' '+ {(x' + y ')} ^ 2 - x = 0 ) كنظام من الدرجة الأولى لـ ODE .

التمرين 3.1.101: أوجد الحل العام لـ (y'_1 = 3y_1، y'_2 = y_1 + y_2، y'_3 = y_1 + y_3 ).

التمرين 3.1.102: حل (y '= 2x، x' = x + y، x (0) = 1، y (0) = 3 ).

التمرين 3.1.103: اكتب (x '' = x + t ) كنظام من الدرجة الأولى.

التمرين 3.1.104: اكتب (y '_ 1 + y_1 + y_2 = t y' _ 2 + y_1 - y_2 = t ^ 2 ) كنظام من الدرجة الأولى.

3.2: المصفوفات والأنظمة الخطية

التمرين 3.2.2: حل ( start {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix} vec {x} = begin {bmatrix} 5 6 end {bmatrix} ) باستخدام معكوس المصفوفة.

التمرين 3.2.3: حساب محدد ( begin {bmatrix} 9 & -2 & -6 -8 & 3 & 6 10 & -2 & -6 end {bmatrix} ).

التمرين 3.2.4: حساب المحدد ( start {bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 4 & 0 & 5 & 0 6 & 0 & 7 & 0 8 & 0 & 10 & 1 end {bmatrix} ). تلميح: قم بالتوسيع بطول الصف أو العمود المناسب لتبسيط العمليات الحسابية.

التمرين 3.2.5: حساب معكوس ( start {bmatrix} 1 & 2 & 3 1 & 1 & 1 0 & 1 & 0 end {bmatrix} ).

التمرين 3.2.6: لأي من (h ) ( start {bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & h end {bmatrix} ) غير قابل للعكس؟ هل يوجد واحد فقط من هذا القبيل؟ هل هناك عدة؟ كثير بلا حدود؟

التمرين 3.2.7: لأي من (h ) ( start {bmatrix} h & 1 & 1 0 & h & 0 1 & 1 & h end {bmatrix} ) غير قابل للعكس؟ ابحث عن كل هذا (ح ).

التمرين 3.2.8: حل ( begin {bmatrix} 9 & -2 & -6 -8 & 3 & 6 10 & -2 & -6 end {bmatrix} vec {x} = begin {bmatrix} 1 2 3 نهاية {bmatrix} ).

التمرين 3.2.9: حل ( start {bmatrix} 5 & 3 & 7 8 & 4 & 4 6 & 3 & 3 end {bmatrix} vec {x} = begin {bmatrix} 2 0 0 نهاية {bmatrix} ).

التمرين 3.2.10: حل ( start {bmatrix} 3 & 2 & 3 & 0 3 & 3 & 3 & 3 0 & 2 & 4 & 2 2 & 3 & 4 & 3 end {bmatrix} vec { x} = start {bmatrix} 2 0 4 1 end {bmatrix} ).

التمرين 3.2.11: ابحث عن 3 مصفوفات غير صفرية (2 مرات 2 ) (A ، B ، ) و (C ) بحيث (AB = AC ) ولكن (B ne C ).

التمرين 3.2.101: حساب المحدد ( start {bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & -5 1 & -1 & 0 end {bmatrix} )

التمرين 3.2.102: ابحث عن (t ) بحيث لا يمكن عكس ( start {bmatrix} 1 & t -1 & 2 end {bmatrix} ).

التمرين 3.2.103: حل ( start {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix} vec {x} = begin {bmatrix} 10 20 end {bmatrix} ).

التمرين 3.2.104: افترض أن (أ ، ب ، ج ) أرقام غير صفرية. دعونا (M = نبدأ {bmatrix} a & 0 0 & b end {bmatrix}، N = begin {bmatrix} a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c نهاية {bmatrix} ). أ) احسب (م ^ {- 1} ). ب) احسب (N ^ {- 1} ).

التمرين 3.3.1: اكتب النظام (x'_1 = 2x_1-3tx_2 + sin t ) و (x'_2 = e ^ t ، x_1 - 3x_2 + cos t ) بالصيغة ( vec {x} '= P (t) ، vec {x} + vec {f} (t) ).

التمرين 3.3.2: أ) تحقق من أن النظام ( vec {x} '= begin {bmatrix} 1 & 3 3 & 1 end {bmatrix} vec {x} ) يحتوي على الحلين ( start {bmatrix} 1 1 end {bmatrix} e ^ {4t} ) و. ( begin {bmatrix} 1 - 1 end {bmatrix} e ^ {- 2t} ) b) اكتب الحل العام. ج) اكتب الحل العام بالصيغة (x_1 =؟ )، (x_2 =؟ ) (أي اكتب معادلة لكل عنصر من عناصر الحل).

التمرين 3.3.3: تحقق من أن ( begin {bmatrix} 1 1 end {bmatrix} e ^ t ) و ( begin {bmatrix} 1 - 1 end {bmatrix} e ^ t ) مستقلان خطيًا. تلميح: فقط قم بتوصيل (t = 0 ).

التمرين 3.3.4: تحقق من أن ( begin {bmatrix} 1 1 0 end {bmatrix} e ^ t ) و ( begin {bmatrix} 1 - 1 1 end {bmatrix} e ^ t ) و ( begin {bmatrix} 1 - 1 1 end {bmatrix} e ^ {2t} ) مستقلان خطيًا. تلميح: يجب أن تكون أكثر تعقيدًا من التمرين السابق.

التمرين 3.3.5: تحقق من أن ( begin {bmatrix} t t ^ 2 end {bmatrix} ) و ( begin {bmatrix} t ^ 3 t ^ 4 end {bmatrix} ) مستقلان خطيًا.

تمرين 3.3.101: Are ( begin {bmatrix} e ^ {2t} e ^ t end {bmatrix} ) و ( begin {bmatrix} e ^ t e ^ {2t} end {bmatrix} ) مستقل خطيا؟ يبرر.

التمرين 3.3.102: هل ( start {bmatrix} cosh (t) 1 end {bmatrix} ) ، ( start {bmatrix} e ^ t 1 end {bmatrix} ) و ( begin {bmatrix } ه ^ {- t} 1 end {bmatrix} ) مستقل خطيًا؟ يبرر.

ممارسه الرياضه 3.3.103: اكتب (x '= 3x -y + e ^ t ) و (y' = tx ) في تدوين المصفوفة.

ممارسه الرياضه 3.3.104: أ) اكتب (x'_1 = 2t ، x_2 ) و (x'_2 = 2t ، x_2 ) في تدوين المصفوفة. ب) حل واكتب الحل في رمز المصفوفة.

تمرين 3.4.5 (سهل): لنكن (A ) عبارة عن (3 مرات 3 ) مصفوفة ذات قيمة ذاتية من (3 ) وموجه eigenvector ( vec {v} = left [ start {array} {c} 1 -1 3 end {array} right] ). ابحث عن (A vec {v} ).

تمرين 3.4.6: أ) ابحث عن الحل العام لـ (x'_1 = 2x_1، x'_2 = 3x_2 ) باستخدام طريقة eigenvalue (اكتب أولاً النظام بالصيغة ( vec {x} '= A vec {x} )). ب) قم بحل النظام عن طريق حل كل معادلة على حدة وتحقق من حصولك على نفس الحل العام.

التمرين 3.4.7: أوجد الحل العام لـ (x'_1 = 3x_1 + x_2، x'_2 = 2x_1 + 4x_2 ) باستخدام طريقة القيمة الذاتية.

تمرين 3.4.8: أوجد الحل العام لـ (x'_1 = x_1-2x_2، x'_2 = 2x_1 x_2 ) باستخدام طريقة القيمة الذاتية. لا تستخدم الأسي المعقدة في الحل الخاص بك.

التمرين 3.4.9: أ) حساب قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية لـ (A = left [ begin {array} {ccc} 9 & -2 & -6 -8 & 3 & 6 10 & -2 & -6 end {array } حق] ). ب) أوجد الحل العام لـ ( vec {x} '= A vec {x} ).

التمرين 3.4.10: احسب قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية لـ ( left [ begin {array} {ccc} -2 & -1 & -1 3 & 2 & 1 -3 & -1 & 0 end {array} right] . )

التمرين 3.4.11: لنفترض (أ ، ب ، ج ، د ، هـ ، و ) أن تكون أرقامًا. ابحث عن القيم الذاتية لـ ( left [ begin {array} {ccc} a & b & c 0 & d & e 0 & f end {array} right]. )

التمرين 3.4.101: أ) حساب قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية لـ (A = left [ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 3 -1 & 0 & 1 2 & 0 & 2 end {array} right] ). ب) حل النظام ( vec {x} '= A vec {x} ).

التمرين 3.4.102: أ) حساب قيم eigenvalues ​​والمتجهات الذاتية لـ (A = left [ begin {array} {cc} 1 & 1 -1 & 0 end {array} right]. ) b) حل النظام ( vec {x} '= A vec {x} ).

التمرين 3.4.103: حل (x'_1 = x_2، x'_2 = x_1 ) باستخدام طريقة القيمة الذاتية.

التمرين 3.4.104: حل (x'_1 = x_2، x'_2 = -x_1 ) باستخدام طريقة القيمة الذاتية.

3.5: الأنظمة ثنائية الأبعاد ومجالاتها الموجهة

التمرين 3.5.1: خذ المعادلة (m {x} '+ c {x}' + kx = 0 ) مع (m> 0، c geq 0، k> 0 ) لنظام الكتلة الزنبركية.

  1. حول هذا إلى نظام معادلات من الدرجة الأولى.
  2. صنف إلى أي سلوك تحصل عليه م ، ج ، ك.
  3. هل يمكنك أن تشرح من خلال الحدس الجسدي سبب عدم حصولك على جميع أنواع السلوك المختلفة هنا؟

التمرين 3.5.2: هل يمكنك معرفة ما يحدث في الحالة عند (P = begin {bmatrix} 1 & 1 0 & 1 end {bmatrix} )؟ في هذه الحالة تتكرر قيمة eigenvalue وهناك متجه واحد فقط. كيف تبدو هذه الصورة؟

التمرين 3.5.3: هل يمكنك معرفة ما يحدث في الحالة عند (P = begin {bmatrix} 1 & 1 1 & 1 end {bmatrix} )؟ هل هذا يشبه أي من الصور التي رسمناها؟

التمرين 3.5.101: صف سلوك الأنظمة التالية دون حل:

  1. (س '= س + ص ، ص' = س- ص )
  2. (x_1 '= x_1 + x_2، x_2' = 2x_2 )
  3. (x_1 '= -2x_2، x_2' = 2x_1 )
  4. (س '= س + 3 ص ، ص' = -2 س -4 ص )
  5. (س '= س - 4 ص ، ص' = -4 س + ص )

التمرين 3.5.102: افترض أن ( vec {x} = A vec {x} ) حيث (A ) هو (2 times 2 ) مصفوفة ذات قيم ذاتية (2 pm i ). صف السلوك.

تمرين 3.5.103: خذ ( start {bmatrix} x y end {bmatrix} '= begin {bmatrix} 0 & 1 0 & 0 end {bmatrix} begin {bmatrix} x y end {bmatrix} ) . ارسم الحقل المتجه ووصف السلوك. هل هي من السلوكيات التي رأيناها من قبل؟

3.6: أنظمة وتطبيقات من الدرجة الثانية

التمرين 3.6.3: العثور على حل معين ل

[ vec {x} '' = left [ start {array} {cc} -3 & 1 2 & -2 end {array} right] vec {x} + left [ begin {مجموعة} {c} 0 2 end {array} right] cos (2t). ]

تمرين 3.6.4 (التحدي): لنأخذ المثال في الشكل 3.12 بنفس المعلمات كما في السابق: (m_1 = 2 ، k_1 = 4 ، ) و (k_2 = 2 ، ) باستثناء (m_2 ) ، وهو أمر غير معروف. افترض أن هناك قوة ( cos (5t) ) تؤثر على الكتلة الأولى. أوجد (m_2 ) بحيث يوجد حل معين حيث لا تتحرك الكتلة الأولى.

ملاحظة: هذه الفكرة تسمى التخميد الديناميكي. من الناحية العملية ، سيكون هناك مقدار صغير من التخميد ، وبالتالي فإن أي محلول عابر سيختفي وبعد وقت طويل بما فيه الكفاية ، ستتوقف الكتلة الأولى دائمًا.

التمرين 3.6.5: لنأخذ المثال 3.6.2 ، ولكن في وقت التأثير ، تتحرك العربة 2 إلى اليسار بسرعة 3 م/س. أ) ابحث عن سلوك النظام بعد الارتباط. ب) هل ستصطدم السيارة الثانية بالحائط أم أنها ستبتعد عن الحائط مع مرور الوقت؟ ج) ما هي السرعة التي يجب أن تتحرك بها السيارة الأولى حتى يظل النظام في مكانه بعد الارتباط؟

التمرين 3.6.6: لنأخذ المثال في الشكل 3.12 بالمعلمات (m_1 = m_2 = 1 ، k_1 = k_2 = 1 ). هل توجد مجموعة من الشروط الأولية التي تتحرك فيها العربة الأولى بينما لا تتحرك العربة الثانية؟ إذا كان الأمر كذلك ، فابحث عن تلك الشروط. إذا لم يكن كذلك ، جادل لماذا لا.

التمرين 3.6.101: ابحث عن الحل العام لـ

[ left [ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end {array} right] vec {x} '' = left [ start {array} {ccc} -3 & 0 & 0 2 & -4 & 0 0 & 6 & -3 end {array} right] vec {x} + left [ begin {مجموعة} {c} cos (2t) 0 0 end {array} right]. ]

التمرين 3.6.102: لنفترض أن هناك ثلاث عربات ذات كتلة متساوية (م ) ومتصلة بواسطة نوابض ثابتة (ك ) (ولا توجد وصلات بالجدران). قم بإعداد النظام وابحث عن الحل العام الخاص به.

التمرين 3.6.103: لنفترض أن عربة كتلتها 2 كجم متصلة بزنبرك ثابت (ك = 1 ) بعربة كتلتها 3 كجم ، مثبتة على الحائط بزنبرك ثابت أيضًا (ك = 1 ). افترض أن الموضع الأولي للعربة الأولى هو متر واحد في الاتجاه الإيجابي من موضع السكون ، والكتلة الثانية تبدأ في وضع السكون. الجماهير لا تتحرك ويتم التخلي عنها. أوجد موضع الكتلة الثانية كدالة زمنية.

3.7: قيم ذاتية متعددة

التمرين 3.7.2: دعونا (A = begin {bmatrix} 5 & -3 3 & -1 end {bmatrix} ). أوجد الحل العام لـ ( vec {x} = A vec {x} ).

التمرين 3.7.3: دعونا (A = begin {bmatrix} 5 & -4 & 4 0 & 3 & 0 - 2 & 4 & -1 end {bmatrix}. )

أ) ما هي قيم eigenvalues؟ ب) ما هو / هي عيب (عيوب) من قيمة (ق) eigenvalue (ق)؟ ج) أوجد الحل العام لـ ( lambda = A vec {x} ).

التمرين 3.7.4: لنفترض (A = start {bmatrix} 2 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 end {bmatrix} ). أ) ما هي قيم eigenvalues؟ ب) ما هو / هي عيب (عيوب) من قيمة (ق) eigenvalue (ق)؟ ج) ابحث عن الحل العام لـ ( vec {x} = A vec {x} ) بطريقتين مختلفتين وتأكد من حصولك على نفس الإجابة.

التمرين 3.7.5: لنفترض (A = start {bmatrix} 0 & 1 & 2 -1 & -2 & -2 - 4 & 4 & 7 end {bmatrix} ). أ) ما هي قيم eigenvalues؟ ب) ما هو / هي عيب (عيوب) من قيمة (ق) eigenvalue (ق)؟ ج) أوجد الحل العام لـ ( vec {x} = A vec {x} ).

التمرين 3.7.6: لنفترض (A = start {bmatrix} 0 & 4 & -2 - 1 & -4 & 1 0 & 0 & -2 end {bmatrix} ). أ) ما هي قيم eigenvalues؟ ب) ما هو / هي عيب (عيوب) من قيمة (ق) eigenvalue (ق)؟ ج) أوجد الحل العام لـ ( vec {x} = A vec {x} ).

التمرين 3.7.7: لنفترض ( نبدأ {bmatrix} 2 & 1 & -1 -1 & 0 & 2 - 1 & -2 & 4 end {bmatrix} ). أ) ما هي قيم eigenvalues؟ ب) ما هو / هي عيب (عيوب) من قيمة (ق) eigenvalue (ق)؟ ج) أوجد الحل العام لـ ( vec {x} = A vec {x} ).

التمرين 3.7.8: افترض أن أ عبارة عن مصفوفة (2 مرات 2 ) ذات قيمة ذاتية متكررة ( لامدا ). افترض أن هناك متجهين ذاتيين مستقلين خطيًا. أظهر أن (A = lambda أنا ).

التمرين 3.7.101: لنفترض (A = start {bmatrix} 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 end {bmatrix} ). أ) ما هي قيم eigenvalues؟ ب) ما هو / هي عيب (عيوب) من قيمة (ق) eigenvalue (ق)؟ ج) ابحث عن الحل العام لـ ( vec { lambda} = A vec { lambda} ).

التمرين 3.7.102: لنفترض (A = start {bmatrix} 1 & 3 & 3 1 & 1 & 0 - 1 & 1 & 2 end {bmatrix} ). أ) ما هي قيم eigenvalues؟ ب) ما هو / هي عيب (عيوب) من قيمة (ق) eigenvalue (ق)؟ ج) أوجد الحل العام لـ ( vec {x} = A vec {x} ).

التمرين 3.7.103: لنفترض (A = start {bmatrix} 2 & 0 & 0 - 1 & -1 & 9 0 & -1 & 5 end {bmatrix} ). أ) ما هي قيم eigenvalues؟ ب) ما هو / هي عيب (عيوب) من قيمة (ق) eigenvalue (ق)؟ ج) أوجد الحل العام لـ ( vec {x} = A vec {x} ).

التمرين 3.7.104: لنفترض (A = start {bmatrix} a & a b & c end {bmatrix} ) ، حيث (a ) و (b ) و (c ) غير معروفين. افترض أن الرقم 5 هو قيمة ذاتية مضاعفة للعيب 1 ، وافترض أن ( start {bmatrix} 1 0 end {bmatrix} ) هو المتجه الذاتي. ابحث عن (A ) وأظهر أن هناك حلًا واحدًا فقط.

3.8: مصفوفة الأسي

التمرين 3.8.2: باستخدام المصفوفة الأسية ، أوجد حل مصفوفة أساسي للنظام ، (x '= 3x + y ، y' = x + 3y ).

التمرين 3.8.3: ابحث عن (e ^ {tA} ) للمصفوفة (A = begin {bmatrix} 2 & 3 0 & 2 end {bmatrix} ).

التمرين 3.8.4: ابحث عن حل مصفوفة أساسي للنظام ، (x'_1 = 7x_1 + 4x_2 + 12x_3، ~~~ x'_2 = x_1 + 2x_2 + x_3، ~~~ x'_3 = -3x_1 - 2x_2 -5x_3 ). ثم ابحث عن الحل الذي يلبي ( vec {x} = begin {bmatrix} 0 1 - 2 end {bmatrix} ).

التمرين 3.8.5: احسب أسي المصفوفة (e ^ A ) لـ (A = begin {bmatrix} 1 & 2 0 & 2 end {bmatrix} ).

تمرين 3.8.6 (التحدي): افترض (AB = BA ). أظهر ذلك في ظل هذا الافتراض ، (e ^ {A + B} = e ^ A e ^ B ).

التمرين 3.8.7: استخدم التمرين 3.8.6 لتوضيح أن ((e ^ A) ^ {- 1} = e ^ {- A} ). هذا يعني على وجه الخصوص أن (e ^ A ) قابل للعكس حتى لو لم يكن A.

التمرين 3.8.8: لنفترض أن (A ) مصفوفة ذات قيم ذاتية -1 ، 1 ، والمتجهات الذاتية المقابلة ( start {bmatrix} 1 1 end {bmatrix} ) ، ( begin {bmatrix} 0 1 نهاية {bmatrix} ). أ) أوجد المصفوفة أ بهذه الخصائص. ب) أوجد حل المصفوفة الأساسي لـ ( vec {x} '= A vec {x} ). ج) حل النظام بالشروط الأولية ( vec {x} (0) = begin {bmatrix} 2 3 end {bmatrix} ).

التمرين 3.8.9: افترض أن (A ) عبارة عن (n times n ) مصفوفة ذات قيمة ذاتية متكررة ( lambda ) للتعددية n. افترض أن هناك n متجهات ذاتية مستقلة خطيًا. بيّن أن المصفوفة قطرية ، خاصة (A = lambda mathit {I} ). تلميح: استخدم عملية التحديد القطري وحقيقة أن مصفوفة الهوية تتنقل مع كل مصفوفة أخرى.

التمرين 3.8.10: دع (A = begin {bmatrix} -1 & -1 1 & -3 end {bmatrix} ). أ) ابحث عن (e ^ {tA} ). ب) حل ( vec {x} '= A vec {x} ) ، ( vec {x} (0) = begin {bmatrix} 1 - 2 end {bmatrix} ).

التمرين 3.8.11: دع (A = start {bmatrix} 1 & 2 3 & 4 end {bmatrix} ). تقريبي (e ^ {tA} ) من خلال توسيع سلسلة الطاقة حتى الترتيب الثالث.

التمرين 3.8.101: احسب (e ^ {tA} ) حيث (A = begin {bmatrix} 1 & -2 - 2 & 1 end {bmatrix} ).

التمرين 3.8.102: احسب (e ^ {tA} ) حيث (A = begin {bmatrix} 1 & -3 & 2 - 2 & 1 & 2 - 1 & -3 & 4 end {bmatrix} ).

التمرين 3.8.103: أ) احسب (e ^ {tA} ) حيث (A = begin {bmatrix} 3 & -1 1 & 1 end {bmatrix} ). ب) حل ( vec {x} '= A vec {x} ) من أجل ( vec {x} (0) = begin {bmatrix} 1 2 end {bmatrix} ).

التمرين 3.8.104: احسب المصطلحات الثلاثة الأولى (حتى الدرجة الثانية) لتوسيع تايلور لـ (e ^ {tA} ) حيث (A = begin {bmatrix} 2 & 3 2 & 2 end {bmatrix} ) (اكتب كـ مصفوفة واحدة). ثم استخدمه لتقريب (e ^ {0.1A} ).

3.9: أنظمة غير متجانسة

تمرين 3.9.4: ابحث عن حل معين لـ (x '= x + 2y + 2t، y' = 3x + 2y-4 )، أ) باستخدام طريقة عامل التكامل ، ب) باستخدام تحليل eigenvector ، ج) باستخدام معاملات غير محددة.

تمرين 3.9.5: ابحث عن الحل العام لـ (x '= 4x + y-1، y' = x + 4y-e ^ t ) ، أ) باستخدام طريقة عامل التكامل ، ب) باستخدام تحليل eigenvector ، ج) باستخدام معاملات غير محددة.

تمرين 3.9.6: ابحث عن الحل العام لـ (x_1 '' = - 6x_1 + 3x_2 + cos (t)، x '' _ 2 = 2x_1-7x_2 + 3 cos (t) )، a) باستخدام تحليل eigenvector ، ب) باستخدام معاملات غير محددة .

تمرين 3.9.7: ابحث عن الحل العام لـ (x '' _ 1 = -6x_1 + 3x_2 + cos (2t) ، x '' _ 2 = 2x_1-7x_2 + cos (2t) ) ، أ) باستخدام تحليل eigenvector ، ب) باستخدام غير محدد المعاملات.

تمرين 3.9.8: خذ المعادلة

[ vec {x} '= left [ start {array} {cc} frac {1} {t} & -1 1 & frac {1} {t} end {array} right ] vec {x} + left [ start {array} {c} t ^ 2 -t end {array} right]. ]

أ) تحقق من ذلك

[ vec {x} _c = c_1 left [ start {array} {c} t sin t -t cos t end {array} right] + c_2 left [ begin {array} {c} t cos t t sin t end {array} right] ]

هو الحل التكميلي. ب) استخدم تباين المعلمات لإيجاد حل معين.

تمرين 3.9.101: ابحث عن حل معين لـ (x '= 5x + 4y + t، y' = x + 8y-t ) ، أ) باستخدام طريقة عامل التكامل ، ب) باستخدام تحليل eigenvector ، ج) باستخدام معاملات غير محددة.

تمرين 3.9.102: ابحث عن حل معين لـ (x '= y + e ^ t، y' = x + e ^ t ) ، أ) باستخدام طريقة عامل التكامل ، ب) باستخدام تحليل eigenvector ، ج) باستخدام معاملات غير محددة.

تمرين 3.9.103: حل (x'_1 = x_2 + t ، x'_2 = x_1 + t ) بالشروط الأولية (x_1 (0) = 1 ، x_2 (0) = 2 ) ، باستخدام تحليل eigenvector.

تمرين 3.9.104: حل (x '' _ 1 = -3x_1 + x_2 + t، x '' _ 2 = 9x_1 + 5x_2 + cos (t) ) بالشروط الأولية (x_1 (0) = 0، x_2 (0) = 0 ، x'_1 (0) = 0، x'_2 (0) = 0 ) ، باستخدام تحليل eigenvector.


معادلات ODE من الدرجة الأولى ، ومصفوفة أسية ، و det (exp)

آخر مرة اشتقنا صيغة مشتقة من المصفوفة الأسية. هنا سنركز بدلاً من ذلك على التعبير $ D exp (x) u = exp (x) u = u exp (x) ، $ الذي يحمل كلما (u ) ينتقل مع (x ). في هذا المنشور ، يشير (E ) إلى مساحة Banach حقيقية و (L (E) ) يشير إلى مساحة العوامل الخطية المستمرة على (E ).

يمكن استخدام المصفوفة الأسية لحل أنواع معينة من الأنظمة الخطية من الدرجة الأولى للمعادلات التفاضلية العادية ذات المعاملات غير الثابتة: ليس فقط يمكننا حلها نبدأx '(t) & # 038 = x (t) + y (t) y' (t) & # 038 = x (t) + y (t)، end ولكن يمكننا أيضًا حلها نبدأx '(t) & # 038 = tx (t) + y (t) y' (t) & # 038 = x (t) + ty (t). النهاية

نظرية 1. لنكن (I ) مجموعة فرعية مفتوحة متصلة من ( mathbb) ، دع (f: I to E ) قابل للتفاضل وافترض أن (f '(t) = A (t) f (t) + b (t) ) للجميع (t in I ) ، حيث (A: I L (E) ) و (b: I to E ) مستمر. افترض أن (A (s) A (t) = A (t) A (s) ) لجميع (s ، t in I ). اختر أي (a in I ). ثم يوجد بعض (c in E ) مثل هذا $
f (t) = e ^ < widehat (t)> left (c + int_a ^ t e ^ <- widehat (s)> b (s) ، ds right) ،
$ حيث $
عريضة (t) = int_a ^ t A (s) ، ds.
$


3.E: أنظمة ODE (تمارين) - رياضيات

في القسم السابق ، قمنا بنمذجة السكان بناءً على افتراض أن معدل النمو سيكون ثابتًا. ومع ذلك ، في الواقع هذا ليس له معنى كبير. من الواضح أنه لا يمكن السماح للسكان بالنمو إلى الأبد بنفس المعدل. يحتاج معدل نمو السكان إلى الاعتماد على السكان أنفسهم. بمجرد وصول السكان إلى نقطة معينة ، سيبدأ معدل النمو في الانخفاض ، غالبًا بشكل كبير. يتم إعطاء نموذج أكثر واقعية للنمو السكاني من قبل معادلة النمو اللوجستي. ها هي معادلة النمو اللوجستي.

في معادلة النمو اللوجستي (r ) هو معدل النمو الجوهري وهو نفس (r ) كما في القسم الأخير. بمعنى آخر ، هو معدل النمو الذي سيحدث في غياب أي عوامل محددة. (K ) يسمى إما مستوى التشبع أو ال القدرة على التحمل.

الآن ، زعمنا أن هذا كان نموذجًا أكثر واقعية للسكان. دعونا نرى ما إذا كان هذا صحيحًا في الواقع. للسماح لنا برسم حقل اتجاه ، دعنا نختار رقمين من أجل (r ) و (ك ). سنستخدم (r = frac <1> <2> ) و (K = 10 ). لهذه القيم المعادلة اللوجستية.

إذا كنت بحاجة إلى تجديد معلومات حول رسم حقول الاتجاه ، فارجع وألق نظرة على هذا القسم. لاحظ أولاً أن المشتق سيكون صفراً عند (P = 0 ) و (P = 10 ). لاحظ أيضًا أن هذه هي في الواقع حلول للمعادلة التفاضلية. هاتان القيمتان تسمى حلول التوازن لأنها حلول ثابتة للمعادلة التفاضلية. سنترك باقي التفاصيل حول رسم حقل الاتجاه لك. هذا هو مجال الاتجاه بالإضافة إلى بعض الحلول المرسومة أيضًا.

لاحظ أننا قمنا بتضمين جزء صغير من العناصر السلبية هنا على الرغم من أنها في الحقيقة لا معنى لها لمشكلة سكانية. سيكون سبب ذلك واضحًا في المستقبل. لاحظ أيضًا أن عدد السكان الذين يبلغ عددهم 8 لا يبدو منطقيًا ، لذا دعنا نفترض أن عدد السكان هو بالآلاف أو بالملايين ، لذا فإن الرقم 8 يمثل في الواقع 8000 أو 8000000 فرد من السكان.

لاحظ أنه إذا بدأنا بعدد سكان يساوي صفر ، فلن يكون هناك نمو وسيظل عدد السكان عند الصفر. لذا ، فإن المعادلة اللوجيستية ستحدد ذلك بشكل صحيح. بعد ذلك ، لاحظ أنه إذا بدأنا بمجموعة سكانية في النطاق (0 & lt P left (0 right) & lt 10 ) ، فسوف ينمو السكان ، لكن ابدأ في الاستقرار بمجرد اقترابنا من 10. إذا بدأنا بعدد سكان يبلغ 10 ، سيبقى عدد السكان عند 10. أخيرًا ، إذا بدأنا بعدد أكبر من 10 ، فسيموت السكان فعليًا حتى نبدأ في الاقتراب من 10 ، وعند هذه النقطة سيبدأ انخفاض عدد السكان في التباطؤ.

الآن ، من وجهة نظر واقعية ، يجب أن يكون هذا منطقيًا. لا يمكن للسكان أن ينمووا إلى الأبد دون قيود. في نهاية المطاف ، سيصل عدد السكان إلى هذا الحجم بحيث لم تعد موارد المنطقة قادرة على الحفاظ على السكان وسيبدأ النمو السكاني في التباطؤ كلما اقترب من هذه العتبة. أيضًا ، إذا بدأت بعدد سكان أكبر مما يمكن أن تتحمله منطقة ما ، فسيكون هناك في الواقع موت حتى نقترب من هذه العتبة.

في هذه الحالة ، يبدو أن هذه العتبة هي 10 ، وهي أيضًا قيمة (K ) لمشكلتنا. يجب أن يشرح ذلك الاسم الذي أطلقناه في البداية (K ). القدرة الاستيعابية أو مستوى التشبع لمنطقة ما هو أقصى عدد مستدام من السكان لتلك المنطقة.

لذا ، فإن المعادلة اللوجيستية ، رغم أنها لا تزال بسيطة للغاية ، تقوم بعمل أفضل بكثير في نمذجة ما سيحدث للسكان.

الآن ، دعنا ننتقل إلى نقطة هذا القسم. المعادلة اللوجستية هي مثال على معادلة تفاضلية مستقلة. المعادلات التفاضلية المستقلة هي معادلات تفاضلية من الشكل.

المكان الوحيد الذي يظهر فيه المتغير المستقل (t ) في هذه الحالة هو المشتق.

لاحظ أنه إذا كان (f left (<> right) = 0 ) لبعض القيمة (y = ) سيكون هذا أيضًا حلاً للمعادلة التفاضلية. تسمى هذه القيم حلول التوازن أو نقاط التوازن. ما نود فعله هو تصنيف هذه الحلول. بالتصنيف نعني ما يلي. إذا بدأت الحلول "بالقرب" من محلول التوازن ، فهل ستبتعد عن محلول التوازن أم نحو حل التوازن؟ عند تصنيف حلول التوازن ، يمكننا بعد ذلك معرفة ما ستفعله جميع الحلول الأخرى للمعادلة التفاضلية على المدى الطويل بمجرد النظر إلى حلول التوازن التي تبدأ بالقرب منها.

إذن ، ماذا نعني بكلمة "قريب"؟ ارجع إلى معادلة اللوجستيات الخاصة بنا.

كما أشرنا ، هناك حلان للتوازن لهذه المعادلة (P = 0 ) و (P = 10 ). إذا تجاهلنا حقيقة أننا نتعامل مع السكان ، فإن هذه النقاط تقسم خط الأعداد (P ) إلى ثلاث مناطق متميزة.

سنقول أن الحل يبدأ "بالقرب" من حل التوازن إذا بدأ في منطقة تقع على جانبي حل التوازن هذا. لذا ، فإن الحلول التي تبدأ "بالقرب" من حل التوازن (P = 10 ) ستبدأ في أي منهما

والحلول التي تبدأ "بالقرب" (P = 0 ) ستبدأ في أي منهما

بالنسبة للمناطق التي تقع بين حلين للتوازن ، يمكننا التفكير في أي حلول تبدأ في تلك المنطقة على أنها تبدأ "بالقرب" من أي من حلي التوازن كما نحتاج إلى ذلك.

الآن ، الحلول التي تبدأ "بالقرب" (P = 0 ) تبتعد جميعها عن الحل كلما زاد (t ). لاحظ أن الابتعاد لا يعني بالضرورة أنهم ينمون بلا قيود بينما يبتعدون. هذا يعني فقط أنهم يبتعدون. الحلول التي تبدأ أكبر من (P = 0 ) تتحرك بعيدًا ولكنها تظل محدودة مع نمو (t ). في الواقع ، يتجهون نحو (P = 10 ).

حلول التوازن التي يتم فيها استدعاء الحلول التي تبدأ "بالقرب منها" وتبتعد عن حل التوازن نقاط التوازن غير المستقرة أو حلول التوازن غير المستقر. لذلك ، بالنسبة إلى معادلتنا اللوجيستية ، (P = 0 ) هو حل توازن غير مستقر.

بعد ذلك ، الحلول التي تبدأ "بالقرب" (P = 10 ) تتحرك جميعها نحو (P = 10 ) مع زيادة (t ). حلول التوازن التي يتم فيها استدعاء الحلول التي تبدأ "بالقرب منها" تتحرك نحو حل التوازن نقاط توازن ثابتة مقاربة أو حلول توازن مستقرة مقاربًا. لذلك ، (P = 10 ) هو محلول توازن مستقر مقاربًا.

هناك تصنيف آخر ، لكنني سأنتظر حتى نحصل على مثال يحدث فيه هذا لتقديمه. لذا ، دعونا نلقي نظرة على مثالين.

أولاً ، أوجد حلول التوازن. هذا بشكل عام سهل بما يكفي للقيام به.

لذا ، يبدو أن لدينا حلين للتوازن. كلاهما (y = -2 ) و (y = 3 ) هما حلان للتوازن. يوجد أدناه رسم تخطيطي لبعض المنحنيات المتكاملة لهذه المعادلة التفاضلية. يمكن لرسم تخطيطي للمنحنيات المتكاملة أو مجالات الاتجاه تبسيط عملية تصنيف حلول التوازن.

من هذا الرسم ، يبدو أن الحلول التي تبدأ "بالقرب" (y = -2 ) تتحرك جميعها نحوها كلما زاد (t ) وهكذا (y = -2 ) هو حل توازن ثابت تقاربيًا والحلول التي ابدأ "بالقرب" (y = 3 ) والجميع يبتعدون عنه كلما زاد (t ) وهكذا (y = 3 ) هو حل توازن غير مستقر.

سيقدم هذا المثال التالي التصنيف الثالث الذي يمكننا تقديمه لحلول التوازن.

حلول التوازن لهذه المعادلة التفاضلية هي (y = -2 ) ، (y = 2 ) ، و (y = -1 ). يوجد أدناه رسم تخطيطي للمنحنيات المتكاملة.

من هذا يتضح (نأمل) أن (y = 2 ) هو حل توازن غير مستقر و (y = -2 ) هو حل توازن مستقر تقاربيًا. ومع ذلك ، يتصرف (y = -1 ) بشكل مختلف عن أي من هذين الأمرين. الحلول التي تبدأ فوقها تتحرك نحو (y = -1 ) بينما الحلول التي تبدأ أدناه (y = -1 ) تتحرك بعيدًا كلما زاد (t ).

في الحالات التي تتحرك فيها الحلول على جانب واحد من محلول التوازن نحو حل التوازن وعلى الجانب الآخر من حل التوازن ، نطلق عليه حل التوازن شبه مستقر.


النمذجة: قانون نيوتن للتبريد

سننظر الآن في تطبيق في العالم الحقيقي حيث ستمنحنا مخططات مجال الاتجاه معلومات قيمة حول حلول معادلتنا التفاضلية. يقوم قانون نيوتن للتبريد بنماذج تغير درجة حرارة جسم ما عند درجة حرارة معينة عند وضعه في بيئة محيطة بدرجة حرارة مختلفة. يمكن نص القانون على النحو التالي:

حيث y (t) هي درجة حرارة الجسم بالدرجات فهرنهايت في الوقت t بالساعات ، و A و k ثوابت.

ارسم حقل اتجاه لـ (8) مع A = 1 ، k = 2 ، وحيث تكون القيمة الدنيا لـ t هي صفر (بما أننا لسنا مهتمين بالأوقات السالبة هنا). يمكنك اختيار قيمة قصوى مناسبة لـ t وقيم دنيا وقيم لـ y. قم بتضمين حقل الاتجاه في مستند Word الخاص بك. الآن ارسم بعض حقول الاتجاه للقيم الأخرى لـ A ، وقم برسم بعض منحنيات الحل على حقول الاتجاه هذه باستخدام drawode عن طريق اختيار بعض القيم الأولية. ما الخاصية التي تعتقد أنها تمثلها في الحياة الواقعية؟ [تلميح: فكر في درجة الحرارة التي تستقر عندها الحلول.]

دعونا نحاول معرفة الوقت الذي ستستغرقه إذابة صدر دجاج مجمد في الثلاجة ، والذي يحافظ على درجة حرارة ثابتة تبلغ 41 درجة فهرنهايت. ظل صدور الدجاج في الفريزر لفترة من الوقت ، لذا فإن درجة حرارته متساوية عند -6 & درجة فهرنهايت. سنفترض أن k = 0.4 ، بناءً على خصائص الدجاج.

  1. تذكر أن مشكلة القيمة الأولية تتكون من معادلة تفاضلية جنبًا إلى جنب مع شرط أولي. اكتب مسألة القيمة الأولية التي يجب علينا حلها هنا. (لدينا بالفعل المعادلة التفاضلية ، وهذا يعني أنك بحاجة إلى إيجاد الشرط الأولي المناسب.)
  2. لمحاكاة الظروف في الثلاجة ، يجب علينا اختيار المعلمة A. ماذا تعتقد أن قيمة A يجب أن تكون؟
  3. دعونا نفكر في صدور الدجاج إذا ذابت تمامًا عندما تصل درجة الحرارة إلى 39 درجة فهرنهايت. كم من الوقت يستغرق إذابة صدر دجاج في الظروف المذكورة أعلاه؟ تقدير تقريبي من مخطط مجال الاتجاه كافٍ. [تلميح: قد تحتاج إلى تعديل المحاور على قطع الأرض الخاصة بك.]
  4. كم من الوقت سيتم توفيره إذا تم إذابة صدور الدجاج على طاولة المطبخ بدلاً من ذلك ، إذا كانت درجة حرارة الغرفة حوالي 69 درجة فهرنهايت؟

3.E: أنظمة ODE (تمارين) - رياضيات

يستخدم هذا القسم معادلة فان دير بول

لوصف عملية حل مشكلات القيمة الأولية لـ ODE باستخدام أدوات حل ODE.

    مثال: يصف حل IVP ODE (معادلة van der Pol ، Nonstiff) كل خطوة من خطوات العملية. نظرًا لأن معادلة فان دير بول هي معادلة من الدرجة الثانية ، يجب أن يعيد المثال كتابتها أولاً كنظام من معادلات الدرجة الأولى. مثال: معادلة فان دير بول ، & # 181 = 1000 (Stiff) توضح حل مشكلة شديدة. يخبرك تقييم الحل عند نقاط محددة بكيفية تقييم الحل في نقاط محددة.

مثال: حل IVP ODE (معادلة van der Pol ، Nonstiff)

يوضح هذا المثال ويوضح الخطوات التي تحتاجها لحل مشكلة قيمة أولية في ODE.

    أعد كتابة المشكلة كنظام من ODE من الدرجة الأولى. أعد كتابة معادلة فان دير بول (المرتبة الثانية)
    كود نظام ODE من الدرجة الأولى. بمجرد تمثيل المعادلة كنظام من ODE من الدرجة الأولى ، يمكنك ترميزها كدالة يمكن أن يستخدمها محلل ODE. يجب أن تكون الوظيفة بالشكل

يمثل الكود أدناه نظام van der Pol في الوظيفة ، vdp1. تفترض وظيفة vdp1 ذلك. وتصبح عنصرين y (1) و y (2) لمتجه ثنائي العنصر.

لاحظ أنه على الرغم من أن vdp1 يجب أن يقبل الوسيطتين t و y ، إلا أنه لا يستخدم t في حساباته.

    تطبيق حل للمشكلة. حدد الحل الذي تريد استخدامه لحل المشكلة. ثم قم باستدعاء حلال وتمرير الوظيفة التي قمت بإنشائها لوصف نظام الدرجة الأولى من ODE ، والفاصل الزمني الذي تريد حل المشكلة فيه ، ومتجه الشرط الأولي. راجع أدوات حل مشكلات القيمة الأولية والصفحة المرجعية لحلول ODE للحصول على أوصاف لحل مشكلات ODE.

يستخدم هذا المثال @ لتمرير vdp1 كمعامل دالة إلى ode45. الناتج الناتج هو متجه عمود للنقاط الزمنية t ومصفوفة الحل y. كل صف في y يتوافق مع الوقت الذي يتم إرجاعه في الصف المقابل لـ t. العمود الأول من y يتوافق مع والعمود الثاني.

    ملحوظة راجع الصفحات المرجعية function_handle (@) و func2str و str2func وفصل مقابض الوظائف من "البرمجة وأنواع البيانات" في وثائق MATLAB للحصول على معلومات حول مقابض الوظائف.

تمرير معلمات إضافية لوظيفة ODE

يمرر حلال أي معلمات إدخال تتبع وسيطة الخيارات إلى وظيفة ODE وأي وظيفة تحددها في الخيارات. على سبيل المثال:

    قم بتعميم وظيفة van der Pol عن طريق تمرير معلمة mu ، بدلاً من تحديد قيمة mu بشكل صريح في الكود. قم بتمرير المعلمة mu إلى الوظيفة vdp1 عن طريق تحديدها بعد وسيطة الخيارات في الاستدعاء للحل. يستخدم هذا المثال options = [] كعنصر نائب.

انظر رمز vdpode للحصول على مثال كامل يعتمد على هذه الوظائف.

مثال: معادلة فان دير بول ، & # 181 = 1000 (صلب)

يقدم هذا المثال أ قاس مشكلة. بالنسبة لمشكلة صعبة ، يمكن أن تتغير الحلول على نطاق زمني قصير جدًا مقارنة بفاصل التكامل ، لكن حل الاهتمام يتغير على نطاق زمني أطول بكثير. تعتبر الطرق غير المصممة للمشكلات الشديدة غير فعالة على فترات حيث يتغير الحل ببطء لأنها تستخدم خطوات زمنية صغيرة بما يكفي لحل أسرع تغيير ممكن.

عندما يتم زيادتها إلى 1000 ، يتغير حل معادلة فان دير بول بشكل كبير ويظهر تذبذبًا على نطاق زمني أطول بكثير. يصبح تقريب حل مشكلة القيمة الأولية مهمة أكثر صعوبة. نظرًا لأن هذه المشكلة بالذات قاسية ، فإن الحل المخصص للمشكلات غير الشديدة ، مثل ode45 ، غير فعال للغاية بحيث لا يكون عمليًا. الحل مثل ode15s مخصص لمثل هذه المشاكل القاسية.

تقيم الدالة vdp1000 نظام van der Pol من المثال السابق ، ولكن مع = 1000.

    ملحوظة هذا المثال للأكواد الصلبة في دالة ODE. يحل مثال vdpode نفس المشكلة ، لكنه يمرر وسيطة يحددها المستخدم كوسيطة إضافية إلى دالة ODE. راجع وسيطات ODE Solver الإضافية.

الآن استخدم الدالة ode15s لحل المشكلة مع متجه الشرط الأولي [2 0] ، لكن الفاصل الزمني [0 3000]. لأغراض القياس ، ارسم فقط المكون الأول من y (t).

تقييم الحل في نقاط محددة

تنتج الطرق العددية المطبقة في محللات ODE حلاً مستمرًا خلال فترة التكامل. يمكنك تقييم الحل التقريبي ، في أي وقت باستخدام الدالة deval والبنية sol التي يتم إرجاعها بواسطة حلال.

تقوم أدوات حل ODE بإرجاع البنية sol عند استدعائها باستخدام وسيطة إخراج واحدة.

وظيفة deval متجهية. بالنسبة إلى المتجه xint ، يقترب العمود الأول من Sxint من الحل.


مرحبا!

هذه واحدة من أكثر من 2400 دورة تدريبية في OCW. استكشف المواد الخاصة بهذه الدورة التدريبية في الصفحات المرتبطة على اليسار.

معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا OpenCourseWare هو منشور مجاني ومفتوح لمواد من آلاف دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، يغطي منهج معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا بأكمله.

لا تسجيل أو تسجيل. تصفح واستخدام مواد OCW بحرية وفقًا لسرعتك الخاصة. لا يوجد اشتراك ولا تواريخ بدء أو انتهاء.

المعرفة هي مكافأتك. استخدم OCW لتوجيه التعلم مدى الحياة ، أو لتعليم الآخرين. لا نقدم ائتمانًا أو شهادة لاستخدام OCW.

صنع للمشاركة. تنزيل الملفات لوقت لاحق. أرسل إلى الأصدقاء والزملاء. قم بالتعديل وإعادة المزج وإعادة الاستخدام (تذكر فقط ذكر OCW كمصدر.)

حول MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare هو منشور عبر الإنترنت لمواد من أكثر من 2500 دورة تدريبية في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، وتبادل المعرفة بحرية مع المتعلمين والمعلمين في جميع أنحاء العالم. اعرف المزيد & raquo

& نسخ 2001 & ndash2018
معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا

يخضع استخدامك لموقع MIT OpenCourseWare والمواد الخاصة به إلى ترخيص المشاع الإبداعي الخاص بنا وشروط الاستخدام الأخرى.


المحاضرة 9: حل المعامِلات الثابتة الخطية من الدرجة الثانية

قم بتنزيل الفيديو من iTunes U أو Internet Archive.

المواضيع التي تمت تغطيتها: حل المعامِلات الثابتة الخطية من الدرجة الثانية: الحالات الثلاث.

المدرب / المتحدث: البروفيسور آرثر ماتوك

المحاضرة 1: الهندسة.

المحاضرة 2: Euler's Numerica.

المحاضرة 3: حل First-or.

المحاضرة 4: الغواصات من الدرجة الأولى.

المحاضرة 5: First-order Auto.

المحاضرة 6: الأعداد المركبة.

المحاضرة 7: سطر من الدرجة الأولى.

المحاضرة 9: حل Second-o.

المحاضرة 10: متابعة: ج.

المحاضرة 11: Theory of Gener.

المحاضرة 12: المتابعة: ج.

المحاضرة 13: العثور على بارتيكو.

المحاضرة 14: تفسير.

المحاضرة 15: مقدمة عن.

المحاضرة 16: متابعة: م.

المحاضرة 17: العثور على بارتيكو.

المحاضرة 19: مقدمة عن.

المحاضرة 20: الصيغة المشتقة.

المحاضرة 21: Convolution For.

المحاضرة 22: استخدام لابلاس ت.

المحاضرة 23: استخدم مع Impuls.

المحاضرة 24: مقدمة عن.

المحاضرة 25: Linogeneous Lin.

المحاضرة 26: متابعة: ر.

المحاضرة 27: رسم Solut.

المحاضرة 28: طرق المصفوفة.

المحاضرة 29: أس المصفوفة.

المحاضرة 30: فصل الخط.

المحاضرة 31: تلقائي غير خطي.

المحاضرة 33: العلاقة بيننا.

سنبدأ اليوم بدراسة المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية ذات المعاملات الثابتة لفترة طويلة. في الشكل القياسي ، يبدو أن هناك العديد من الخيارات الممكنة للمتغير ، لسوء الحظ ، لذلك آمل ألا يزعجك كثيرًا إذا استخدمت واحدًا بدلاً من الآخر. سأكتبها بهذه الطريقة في الشكل القياسي. سأستخدم y كمتغير تابع. يستخدم كتابك القليل p والقليل q. ربما سأنتقل إلى ذلك في المرة القادمة. لكن ، اليوم ، أود استخدام أكثر الحروف حيادية التي يمكنني أن أجدها والتي لن تتعارض مع أي شيء آخر.

لذلك ، بالطبع نسمي المعاملين الثابتين ، على التوالي ، رأس المال A و B.

سأفترض اليوم أن الطرف الأيمن يساوي صفرًا. لذلك ، هذا يعني أنه ما نسميه متجانسة. يجب أن يكون الطرف الأيسر بهذه الصورة حتى يكون خطيًا ، فهو من الرتبة الثانية لأنه يتضمن مشتقًا ثانيًا. يُفهم أن هذين المعاملين ، A و B ، ثابتان لأنه ، كما قلت ، لهما معاملات ثابتة.

بالطبع ، هذه ليست المعادلة الخطية الأكثر عمومية. بشكل عام ، سيكون الأمر أكثر عمومية من خلال جعل هذه دالة للمتغير التابع ، x أو t ، أيا كان اسمه.

وبالمثل ، يمكن أن تكون هذه دالة للمتغير التابع. قبل كل شيء ، يمكن أن يكون الجانب الأيمن دالة لمتغير وليس مجرد صفر.

في هذه الحالة تسمى المعادلة غير متجانسة.

لكن لها معنى ماديًا مختلفًا ، وبالتالي من المعتاد دراسة ذلك بعد ذلك.

تبدأ بهذا. هذه هي الحالة التي نبدأ بها ، وبعد ذلك بحلول منتصف الأسبوع المقبل سنقوم بدراسة المزيد من الحالات العامة. لكن من الجيد أن تبدأ هنا. يبدأ كتابك ، بشكل عام ، بنظرية معادلة خطية عامة من الدرجة الثانية ، وحتى من الرتبة الأعلى.

أطلب منك تخطي ذلك في الوقت الحالي.

سنعود إليها يوم الأربعاء المقبل ، وهي محاضرتان ، بمعنى آخر. أعتقد أنه من الأفضل والأساسي لمشاكلك أن تحصل على بعض الخبرة في نوع بسيط من المعادلة. وبعد ذلك ، ستفهم النظرية العامة ، وكيف تنطبق ، بشكل أفضل بكثير ، على ما أعتقد.

لذا ، دعنا نحصل على الخبرة هنا. الجانب السلبي لذلك هو أنني سأضطر إلى افتراض أمرين حول حل هذه المعادلة ، كيف يبدو أنني لا أعتقد أن هذا سيزعجك كثيرًا.

لذا ، ما سأفترضه ، وسنبرره في محاضرتين ، أن الحل العام ، وهو الحل الذي يتضمن ثوابت عشوائية ، يبدو هكذا. y تساوي - تحدث الثوابت التعسفية بطريقة خاصة معينة.

هناك c واحد y واحد زائد c اثنان y اثنان.

إذن ، هذان ثابيان عشوائيان يقابلان حقيقة أننا نحل معادلة من الدرجة الثانية.

بشكل عام ، عدد الثوابت التعسفية في الحل هو نفس ترتيب المعادلة لأنه إذا كانت معادلة من الدرجة الثانية لأنها إذا كانت معادلة من الدرجة الثانية ، فهذا يعني بطريقة أو بأخرى ، فقد يتم إخفاؤها.

لكن سيتعين عليك دمج شيء ما مرتين للحصول على الإجابة. وبالتالي ، يجب أن يكون هناك ثابتين اعتباطيتين.

هذا صعب للغاية ، لكنه يمنحك الفكرة نوعًا ما. الآن ، ما هما y1 و y2؟

حسنًا ، كما ترى ، إذا كانت هذه ثوابت عشوائية ، إذا اعتبرت c2 يساوي صفرًا و c1 يساوي واحدًا ، فهذا يعني أن y1 يجب أن يكون حلًا للمعادلة ، وبالمثل y2. إذن ، حيث y1 و y2 حلين. الآن ، ما يوضح لك ذلك هو أن مهمة حل هذه المعادلة قد تم تقليلها ، بمعنى ما ، لإيجاد حلين فقط لها ، بطريقة ما. كل ما علينا فعله هو إيجاد حلين ، وبعد ذلك سنحل المعادلة لأن الحل العام يتكون بهذه الطريقة بضرب هذين الحلين في ثوابت عشوائية وإضافتها.

إذن ، المشكلة هي ، من أين نحصل على هذه الحلول؟ لكن ، أولاً وقبل كل شيء ، أو بالأحرى ، ثانيًا أو ثالثًا ، الشروط الأولية تدخل في ، لم أعطيك أي شروط أولية هنا ، ولكن إذا كانت لديك ، وسأوضحها عندما أعمل على حل المشاكل ، الشروط الأولية ، حسنًا ، يتم استيفاء القيم الأولية باختيار c1 و c2 ، عن طريق اختيار c1 و c2 بشكل صحيح. لذلك ، بعبارة أخرى ، إذا كان لديك مشكلة قيمة أولية يجب حلها ، فسيتم التعامل معها من خلال الطريقة التي تدخل بها تلك الثوابت ، ج ، في الحل. حسنًا ، بدون مزيد من اللغط ، هناك مثال قياسي ، والذي كنت أتمنى لو كنت قد بحثت عنه في منهج الفيزياء للفصل الدراسي الأول.

هل درست نظام dashpot الربيعي في 8.01؟ أنا محرج من أن أسألك. انت فعلت؟

ارفع يديك إذا فعلت. حسنًا ، هذا يعني أنك فعلت جميعًا.

حسنًا ، دعني أرسم صورة فورية لتذكيرك.

إذن ، هذه مراجعة لمدة ثانيتين.

لا أعرف كيف يرسمون الصورة.

ربما لا يرسمون الصورة على الإطلاق.

لديهم نظام مفصل هنا للأشياء التي تعمل ذهابًا وإيابًا. حسنًا ، في الرياضيات ، نقوم بكل ذلك افتراضيًا. لذا ، هذا هو نظامي.

هذا شيء ثابت. ها هو ربيع صغير.

وهناك سيارة صغيرة على المسار هنا ، على ما أعتقد. إذاً ، هناك الكتلة ، بعض الكتلة في السيارة الصغيرة ، والحركة تخمدها ما يسمى بقطة العجلة. لوحة القيادة هي نوع من الأشياء ، تراها في الحياة اليومية كغلاقات للأبواب.

إنها الشيء أعلاه الذي لم تلاحظه أبدًا أنه يمنع إغلاق الباب. لذا ، إذا قمت بتفكيك واحدة ، فستبدو شيئًا كهذا. إذن ، هذا هو وعاء اندفاعة.

إنها غرفة بمكبس. هذا مكبس يتحرك للداخل والخارج ، وضغط الهواء ، وإطلاقه ، هو ما يثبط حركة الشيء.

لذلك ، هذا هو لوحة القيادة ، وعادة ما يطلق عليه.

وهذه هي كتلتنا في تلك الشاحنة الصغيرة.

وها هو الربيع. وبعد ذلك ، المعادلة التي تحكمها هي ، لنسمي هذا x.

أنا بالفعل أتغير ، سأغير المتغير التابع من y إلى x ، ولكن هذا فقط من أجل المثال ، ولأن المسار أفقي ، يبدو من الطبيعي أن نسميه x.

هناك بعض وضع التوازن في مكان ما ، دعنا نقول ، هنا. هذا هو الموضع الذي تريد الكتلة أن تكون فيه ، إذا لم يكن الزنبرك يسحبها أو يدفعها ، وكانت لوحة القيادة سعيدة.

أعتقد أنه من الأفضل أن يكون لدينا لوحة قيادة أطول هنا.

إذن ، هذا هو وضع التوازن حيث لا يحدث شيء. عندما تغادر هذا الموقف ، فإن الربيع ، إذا ذهبت بهذه الطريقة ، يحاول الربيع سحب الكتلة للخلف.

إذا استمر في الموقع ، فسيحاول الربيع دفع الكتلة بعيدًا. في هذه الأثناء ، تقوم لوحة القيادة بعملها. إذن ، القوة المؤثرة على m x شرطتين. هذا بقانون نيوتن ، القوة ، من أين؟ حسنًا ، هناك الربيع يدفع ويسحبها. تعارض تلك القوة.

إذا تجاوزت قيمة x الصفر ، فسيحاول الربيع سحبها للخلف. إذا وصل إلى يسار الصفر ، إذا كانت x سالبة ، فإن قوة الزنبرك تلك تدفعها بهذه الطريقة ، تريد التخلص من الكتلة.

إذن ، يجب أن يكون ناقص kx ، وهذا من الربيع ، الحقيقة التي تتناسب مع المقدار الذي يتغير به x.

لذلك ، هذا يسمى قانون هوك. لا تهتم بذلك.

هذا قانون. هذا قانون ، قانون نيوتن ، حسنًا ، نيوتن ، هوك بحرف E ، وتخميد لوحة القيادة يتناسب مع السرعة. إنه لا يفعل أي شيء إذا كانت الكتلة لا تتحرك ، حتى لو كانت ممتدة بعيدًا عن موضع توازنها. لذا فهي تقاوم السرعة.

إذا كان الشيء يحاول السير على هذا النحو ، فإن dashpot تقاومه. إنها تحاول السير في هذا الاتجاه ، تقاوم لوحة القيادة ذلك أيضًا.

إنها دائمًا تعارض السرعة.

وهكذا ، هذا هو التخميد اندفاعة.

لا أعرف قانون لمن هذا. إذن ، إنها القوة القادمة من لوحة القيادة. وعندما تكتب هذا ، فإن النتيجة النهائية هي m x شرطتين زائد c x شرطة ، من المهم معرفة مكان الحدود المختلفة ، زائد kx يساوي صفرًا.

والآن ، لا يزال هذا ليس بالشكل القياسي. لوضعها في الشكل القياسي ، يجب أن تقسم على الكتلة.

ونقرأ الآن بهذه الطريقة ، زائد k على m في x يساوي صفرًا. وهذه هي المعادلة التي تحكم حركة الزنبرك.

أنا أفعل هذا لأن مجموعة المسائل الخاصة بك ، المشكلتان الثالثة والرابعة ، تطلب منك أن تنظر إلى صورة حاسوبية صغيرة توضح الكثير من الأشياء. ولم أفهم كيف يمكن أن يحدث ذلك ، يمكنك القيام بذلك بدون هذا التفسير للربيع-الكتلة-dashpot ، - - ولكن ، أعتقد أن التفكير في هذه الثوابت هو ، هذا هو ثابت التخميد ، وهذا هو الربيع ، الثابت الذي يمثل القوة التي يمارسها الزنبرك ، ثابت الزنبرك ، كما يطلق عليه ، يجعله أكثر إشراقًا. لذلك ، ستلاحظ أن هذه المشاكل تسمى الجمعة أو الاثنين.

اجعلها يوم الجمعة. يمكنك القيام بها بعد اليوم إذا كانت لديك فكرة غامضة عما أتحدث عنه.

إذا لم يكن كذلك ، فارجع وكرر 8.01.

لذا ، كان كل هذا مجرد مثال ، نموذج نموذجي.

ولكن ، إلى حد بعيد ، أهم نموذج بسيط. حسنًا ، الآن ما أود التحدث عنه هو الحل. ماذا علي أن أفعل لحل المعادلة؟ لذا ، لحل المعادلة التي حددتها باللون البرتقالي على السبورة ، ODE ، مهمتنا هي إيجاد حلين.

الآن ، لا تجعلها تافهة للغاية. هناك شرط.

يجب أن يكون الحل مستقلاً.

كل هذا يعني أن y2 لا ينبغي أن يكون مضاعفًا ثابتًا لـ y1. أعني ، إذا حصلت على y1 ، فعندئذٍ مرتين في y1 ليست قيمة مقبولة لهذا لأنه ، كما ترى ، لديك حقًا واحد فقط هناك.

لن تكون قادرًا على تكوين عائلة مكونة من معلمتين.

لذا ، يجب أن تكون الحلول مستقلة ، مما يعني ، للتكرار ، أنه لا ينبغي أن يكون أي منهما مضاعفًا ثابتًا للآخر. يجب أن تبدو مختلفة.

هذا تفسير مناسب. حسنًا ، الآن ، ما هي الطريقة الأساسية لإيجاد تلك الحلول؟

حسنًا ، هذا ما سنستخدمه على المدى الطويل ، بشكل أساسي ، لدراسة المعادلات من هذا النوع ، حتى الأنظمة من هذا النوع ، ذات المعاملات الثابتة.

الطريقة الأساسية هي تجربة y يساوي أسيًا.

الآن ، الطريقة الوحيدة التي يمكنك من خلالها العبث بالأسي هي الثابت الذي تضعه في الأعلى.

لذا ، سأحاول y يساوي e أس rt.

لاحظ أنه لا يمكنك معرفة ما أستخدمه كمتغير مستقل. لكن هذا يخبرك أنني أستخدم t. وأنا أعود إلى استخدام t كمتغير تابع.

إذن ، T هو المتغير المستقل.

لماذا أفعل ذلك؟ الجواب هو أن شخصًا ما فكر في القيام بذلك ، ربما أويلر ، وكان هذا تقليدًا متوارثًا على مدار 300 أو 400 عام الماضية. بعض الأشياء التي نعرفها للتو.

حسنًا ، إذا فعلت ذلك ، كما تعلمت من الامتحان ، فمن السهل جدًا التمييز بين الأسي.

لهذا السبب يحبهم الناس. من السهل أيضًا دمج الأسي. ونصفكم مندمج بدلاً من التفريق. لذا ، سنحاول ذلك ونرى ما إذا كان بإمكاننا اختيار r حتى يكون حلاً.

حسنًا ، حسنًا ، سأقوم بالتوصيل ، إذن.

بعبارة أخرى ، استبدل ، وماذا نحصل؟

حسنًا ، بالنسبة إلى y شرطتين ، أحصل على r تربيع e أس rt.

هذا هو y شرطتين لأنك في كل مرة تفرق فيها ، تضع في المقدمة قوة إضافية لـ r.

المصطلح التالي سيكون r مرات ، آسف ، لقد نسيت الثابت.

رأس المال A في r e أس rt ، ثم هناك الحد الأخير B في y نفسه ، وهو B e مرفوعًا إلى rt.

ومن المفترض أن يساوي ذلك صفرًا.

لذا ، لا بد لي من اختيار r حتى يصبح هذا مساويًا للصفر.

الآن ، كما ترى ، يحدث e إلى rt كعامل في كل حد ، و e إلى rt ليس صفرًا أبدًا. وبالتالي ، يمكنك تقسيمها لأنها رقم موجب دائمًا ، بصرف النظر عن قيمة t. لذا يمكنني إلغاء كل حد. وما يتبقى لي هو المعادلة r تربيع زائد ar زائد b يساوي صفرًا.

نحاول إيجاد قيم r التي تحقق هذه المعادلة. وهذا ، يا أعزائي القلوب ، هو سبب تعلمك لحل المعادلات التربيعية في المدرسة الثانوية ، حتى تكون الآن جاهزًا في هذه اللحظة لمعرفة كيف تتصرف أنظمة كتلة الربيع عندما تكون مبللة.

هذا يسمى المعادلة المميزة.

المعادلة المميزة لـ ODE ، أو نظام نظام الكتلة الزنبركية ، التي يتم نمذجة المعادلة المميزة للنظام ، حسنًا؟

حسنًا ، الآن ، قمنا بحلها ، لكن الآن ، من المدرسة الثانوية تعلمون أن هناك عدة حالات. وكل حالة من هذه الحالات تتوافق مع سلوك مختلف.

وتعتمد الحالات على شكل الجذور.

الاحتمالات هي أن الجذور يمكن أن تكون حقيقية ومميزة. هذه هي أسهل حالة للتعامل معها. قد تكون الجذور زوجًا من الأعداد المترافقة المركبة. يصعب التعامل مع هذا الأمر ، لكننا مستعدون للقيام بذلك. والحالة الثالثة ، وهي الأكثر في مجموعة المسائل ، هي الأكثر إثارة للحيرة: عندما تكون الجذور حقيقية ومتساوية.

وسأتحدث عن تلك الحالات الثلاث بهذا الترتيب.

لذا فإن الحالة الأولى هي أن الجذور حقيقية وغير متكافئة.

إذا قلت لك إنهم غير متكافئين ، وسأضع حقيقة واقعة لتوضيح ذلك. حسنًا ، هذه أبسط حالة إلى حد بعيد ، لأننا نرى على الفور أن لدينا جذرين. إنهما مختلفان ، وبالتالي ، نحصل على الحلين على الفور. إذن ، الحلول هي الحل العام للمعادلة ، أكتب دون مزيد من اللغط حيث أن y يساوي c1 e أس r1 t زائد c2 e أس r2 t.

هناك حلنا. الآن ، لأن ذلك كان سهلاً للغاية ، ولم يكن علينا القيام بأي عمل ، أود تمديد هذه الحالة قليلاً باستخدامها كمثال لكيفية وضع الشروط الأولية ، وكيفية وضع ج.

لذا ، اسمحوا لي أن أقدم مثالًا رقميًا محددًا ، لأننا لن نحاول القيام بذلك نظريًا حتى يوم الأربعاء القادم. لنقم فقط بمثال عددي. لذا ، لنفترض أنني اعتبرت أن ثابت التخميد هو أربعة ، وثابت الزنبرك ، سأعتبر الكتلة واحدة ، وثابت الزنبرك يساوي ثلاثة.

لذا ، هناك المزيد من التخميد هنا ، وقوة التخميد هنا.

لا يمكنك التحدث بهذه الطريقة حقًا لأن الوحدات مختلفة.

لكن هذا الرقم أكبر من ذلك.

هذا يبدو واضحا ، على أي حال.

حسنًا ، الآن ، ما هي المعادلة المميزة؟

انظر ، شاهد الآن. من فضلك افعل ما افعله.

لقد وجدت في الماضي ، حتى في منتصف الفصل الدراسي ، أنه لا يزال هناك طلاب يشعرون أنه يجب عليهم استبدال y يساوي e بـ rt ، والقيام بهذا الاشتقاق الصغير بالكامل لتجد أنك لا تفعل ذلك.

انها مضيعة للوقت. لقد فعلت ذلك حتى لا تضطر إلى فعل ذلك مرة أخرى. اكتب المعادلة المميزة على الفور. هذا ليس صعبًا جدًا.

r تربيع زائد 4r زائد ثلاثة يساوي صفرًا.

وإذا أمكنك تدوين جذوره على الفور ، فهذا رائع.

لكن ، دعونا لا نفترض هذا المستوى من الكفاءة.

إذن ، r زائد ثلاثة في r زائد واحد يساوي صفرًا.

هذا هو 18.03 ، في كثير من الأحيان ستكون الجذور أعدادًا صحيحة عندما لا تكون كذلك ، لا سمح الله ، سيكون عليك استخدام الصيغة التربيعية.

ولكن هنا ، كانت الجذور أعدادًا صحيحة.

إنه ، بعد كل شيء ، فقط المثال الأول.

إذن ، الحل العام هو y يساوي c1 e أس سالب ، لاحظ أن الجذر هو سالب ثلاثة وسالب واحد ، ناقص 3t زائد c2 e أس سالب t.

الآن ، افترض أنها مشكلة قيمة أولية.

لذلك ، أعطيتك شرطًا أوليًا.

لنفترض أن الشروط الأولية كانت أن y لصفر كان واحدًا.

لذلك ، في البداية ، تم نقل الكتلة إلى الموضع ، واحد ، هنا. حسنًا ، توقعنا أن تبدأ في فعل ذلك. ولكن ، هذا مثبط بشدة إلى حد ما. هذا مبلل بشدة.

سأفترض أن الكتلة تبدأ عند الراحة.

لذلك ، الربيع منتفخ. الجماهير هنا.

لكن ، لا توجد حركة في بعض الأحيان تصل إلى الصفر بهذه الطريقة أو بهذه الطريقة.

بعبارة أخرى ، أنا لا أدفعها.

أنا فقط أطلقها وأتركها تقوم بعملها بعد ذلك. حسنًا ، سأفترض أن y شرطة للصفر يساوي صفرًا.

لذلك ، يبدأ عند السكون ، ولكن في الوضع الممتد ، وحدة واحدة على يمين وضع التوازن.

الآن ، كل ما عليك فعله هو استخدام هذين الشرطين.

لاحظ أنه يجب أن يكون لدي شرطين لأن هناك ثابتين يجب أن أجد قيمةهما.

حسنًا ، لنعوض ، حسنًا ، علينا حساب المشتقة.

فلماذا لا نفعل ذلك على الفور؟

إذن ، هذا هو ناقص ثلاثة c1 e أس ناقص 3t ناقص c2 e أس سالب t.

والآن ، إذا عوضت بصفر ، عندما t يساوي صفرًا ، ما الذي سأحصل عليه؟ حسنًا ، المعادلة الأولى على اليسار تنص على أن y لصفر يجب أن يكون واحدًا.

واليمين يقول هذا واحد.

هذه نتيجة التعويض بـ t يساوي صفرًا.

ما الذي يجب علي استبداله في المعادلة الثانية؟

حسنًا ، y شرطة لصفر يساوي صفرًا.

لذا ، إذا كانت المعادلة الثانية ، عندما أضع t يساوي صفرًا ، فإن الطرف الأيسر يساوي صفرًا وفقًا لتلك القيمة الأولية ، والجانب الأيمن يساوي سالب ثلاثة c1 ناقص c2.

ترى أن ما ينتهي بك الأمر هو زوج من المعادلات الخطية المتزامنة. ولهذا السبب تتعلم دراسة مجموعة خطية من أزواج من المعادلات الخطية المتزامنة في المدرسة الثانوية. هذه من بين أهمها. يعتبر حل مسائل من هذا النوع من أهم تطبيقات هذا النوع من الجبر وهذا النوع من الجبر.

حسنًا ، ما هي الإجابة أخيرًا؟

حسنًا ، إذا أضفت الاثنين ، فسأحصل على سالب 2c1 يساوي واحدًا.

إذن ، c1 يساوي سالب نصف.

وإذا كانت c1 تساوي سالب نصف ، فإن c2 تساوي سالب 3c1.

السؤال الأخير هو كيف يبدو هذا كحل؟ حسنًا ، بشكل عام ، هذه المجموعات المكونة من اثنين من الأسي ليس من السهل جدًا رسمها بنفسك. هذا هو أحد الأسباب التي تجعلك تحصل على هذه الصورة المرئية الصغيرة التي ترسمها لك.

كل ما عليك القيام به ، كما سترى ، هو تعيين ثابت التخميد ، وتعيين الثوابت ، وتعيين الشروط الأولية ، وبالسحر ، يظهر المنحنى على الشاشة.

وإذا قمت بتغيير أي من الثوابت ، فسيتغير المنحنى بشكل جيد معه.

إذن ، الحل هو y يساوي ناقص نصف e أس سالب 3t زائد ثلاثة على نصفين e أس سالب t.

حسنًا ، لا أتوقع منك أن تكون قادرًا على رسم ذلك بنفسك ، لكن يمكنك على الأقل البدء.

يجب أن تفي بالشروط الأولية.

هذا يعني أنه يجب أن يبدأ من واحد ، وميل البداية يساوي صفرًا. لذلك ، يبدأ من هذا القبيل.

كلاهما تراجع الأسي.

هذا ينخفض ​​بسرعة كبيرة ، وهذا إلى حد ما أكثر بطئًا.

يفعل شيئا من هذا القبيل. إذا كان هذا المصطلح كثيرًا ، أكثر سلبية ، أعني ، هذه هي الطريقة التي يبدو بها الحل المحدد. كيف يمكن أن تبدو الحلول الأخرى؟

سوف أرسم بعض الاحتمالات الأخرى.

إذا كان المصطلح الأولي ، على سبيل المثال ، كان الميل الأولي سالبًا تمامًا ، حسنًا ، فسيبدأ هذا على النحو التالي.

الآن ، فقط خبرتك في الفيزياء ، أو في العالم الواقعي تقترح أنه إذا أعطيت ، إذا بدأت الشيء من واحد ، ولكن أعطيته دفعة سلبية بقوة ، فإنه سيتجاوز وضع التوازن ، ثم يعود مرة أخرى.

ولكن نظرًا لأن التخميد كبير ، فلن يكون قادرًا على تجاوز ذلك. سيبدو موضع التوازن ، للمرة الثانية ، شيئًا من هذا القبيل. أو إذا دفعته في هذا الاتجاه ، الاتجاه الإيجابي ، فإنه يبدأ بميل إيجابي. لكنها تفقد طاقتها لأن الربيع يسحبها. يأتي ويفعل شيئًا من هذا القبيل. لذلك ، بعبارة أخرى ، قد تنخفض. اقطع وضع التوازن ، أعود مرة أخرى ، هل تفعل ذلك؟

لا ، هذا لا يمكنه أن يفعل. كنت أفكر في إعطائك مشكلة لإثبات ذلك ، لكنني تعبت من تحديد مجموعة المشكلات ، وقررت أنني قمت بتعذيبك بما فيه الكفاية بالفعل ، كما سترى.

لذلك ، على أي حال ، هذه احتمالات مختلفة عن الشكل الذي يمكن أن يبدو عليه. هذه الحالة ، حيث يتم إرجاعها على المدى الطويل تسمى الحالة المبللة بشكل مفرط ، مفرطة التخميد. الآن ، هناك حالة أخرى حيث يتأرجح الشيء ذهابًا وإيابًا.

نتوقع الحصول على هذه الحالة إذا كان التخميد قليلًا جدًا أو غير موجود. بعد ذلك ، هناك القليل جدًا من منع الكتلة من القيام بذلك ، على الرغم من أننا نتوقع وجود أي تخميد على الإطلاق ، فإننا نتوقع في النهاية أن تقترب أكثر فأكثر من وضع التوازن.

رياضيا ، ما الذي يتوافق مع ذلك؟

حسنًا ، هذا يتوافق مع الحالة الثانية ، حيث تكون الجذور معقدة. الجذور معقدة ، ولهذا ، دعنا نسمي الجذور ، وفي هذه الحالة نعلم أن الجذور بصيغة a موجب أو ناقص bi. هناك جذران ، وهما مجمعان مترافقان.

حسنًا ، لنأخذ واحدًا منهم.

ماذا يتوافق مع من حيث الأسي؟

حسنًا ، تذكر أن دالة r كانت r عندما حاولنا الحل الأسي.

إذن ، ما نعنيه رسميًا هو أننا حصلنا على حل معقد. الحل المركب y يساوي e لذلك ، فلنستخدم أحدهما ، لنقل (a زائد bi) في t.

السؤال هو ، ماذا نفعل ذلك؟ لسنا مهتمين حقًا ، ولا أعرف ما يعنيه حل معقد لهذا الشيء.

ليس لها أي معنى. ما أريد أن أعرفه هو كيف يتصرف y أو كيف يتصرف x في تلك الصورة.

ومن الأفضل أن تكون هذه وظيفة حقيقية ، وإلا فأنا لا أعرف ماذا أفعل بها. لذلك ، نحن نبحث عن وظيفتين حقيقيتين ، y1 و y2. لكن ، في الواقع ، ما لدينا هو دالة معقدة واحدة.

حسنًا ، الآن ، نظرية للإنقاذ: هذا ، لن أدخر يوم الأربعاء لأنه بسيط جدًا. لذا ، فإن النظرية هي أنه إذا كان لديك حل معقد ، u زائد iv ، لذا فإن كلًا من هذه دالة على الوقت ، فإن u زائد iv هو الحل المركب لمعادلة تفاضلية حقيقية ذات معاملات ثابتة. حسنًا ، ليس من الضروري أن يكون لها معاملات ثابتة. يجب أن تكون خطية.

دعني أكتبها إلى y شرطتين زائد A y شرطة زائد B y يساوي صفرًا.

افترض أنك حصلت على حل معقد لهذه المعادلة.

من المفهوم أن هذه أرقام حقيقية.

هم ثابت التخميد وثابت الربيع.

ثم الاستنتاج هو أن u و v حلين حقيقيين.

بعبارة أخرى ، بعد أن وجدت حلاً معقدًا ، كل ما عليك فعله هو أن تأخذ أجزائه الحقيقية والخيالية ، وفويلا ، لديك حلين كنت تبحث عنهما للمعادلة الأصلية.

الآن ، قد يبدو هذا كالسحر ، لكنه سهل.

إنه سهل للغاية ، إنه نوع من النظرية التي يمكنني قضاء دقيقة واحدة في إثباتها لك الآن. ما هو سبب ذلك؟

حسنًا ، الشيء الرئيسي الذي أريدك أن تخرجه من هذه الحجة هو أن ترى أنها تعتمد تمامًا على كون هذه المعاملات حقيقية. يجب أن يكون لديك معادلة تفاضلية حقيقية حتى يكون هذا صحيحًا.

خلاف ذلك ، فهو بالتأكيد ليس كذلك. إذن ، الدليل هو ، ماذا يعني أن تكون حلاً؟

هذا يعني أنه عندما تعوض A (u زائد iv) زائد ، شرطة ، زائد B ضرب u زائد iv ، ما الذي يجب أن أحصل عليه؟

صفر. حسنًا ، الآن ، افصل هذه الأجزاء إلى أجزاء حقيقية وخيالية. ماذا يقول؟

تقول u شرطتين زائد A u شرطة زائد B u ، هذا هو الجزء الحقيقي من هذا المقدار عندما أفسطه. ولدي أيضًا جزء تخيلي يحتوي جميعًا على المعامل i.

من هنا ، سأحصل على v شرطتين زائد i في A v شرطة زائد i في B v.

إذن ، هذا هو الجزء التخيلي. الآن ، لدي شيء به جزء حقيقي بالإضافة إلى الجزء التخيلي ، i ، في الجزء التخيلي يساوي صفرًا. حسنًا ، الطريقة الوحيدة التي يمكن أن يحدث بها ذلك هي إذا كان الجزء الحقيقي يساوي صفرًا ، والجزء التخيلي هو صفر بشكل منفصل. إذن ، الاستنتاج هو أن هذا الجزء يجب أن يكون صفرًا ، وبالتالي يجب أن يكون هذا الجزء صفرًا لأن كلاهما معًا يجعل العدد المركب صفرًا زائد صفر i. الآن ، ماذا يعني أن يكون الجزء الحقيقي صفرًا؟ هذا يعني أنك حل.

هذا ، الجزء التخيلي صفر يعني أن v هو حل ، وبالتالي ، ما قلته بالضبط.

u و v حلان للمعادلة الحقيقية.

أين استخدمت حقيقة أن A و B عبارة عن أعداد حقيقية وليست أعدادًا مركبة؟ لمعرفت أن هذا هو الجزء الحقيقي ، كان علي أن أعرف أن A هو رقم حقيقي.

إذا كان "أ" شيئًا مثل واحد زائد أنا ، فسأكون مشدودًا ، أعني ، لأنه بعد ذلك لا يمكنني القول أن هذا كان الجزء الحقيقي بعد الآن.

لذا ، أقول إن هذا هو الجزء الحقيقي ، وهذا هو الجزء التخيلي ، كنت أستخدم حقيقة أن هذين العددين ، الثوابت ، كانا ثوابت حقيقية: مهم جدًا.

إذن ، ما هو الحل الثاني؟

حسنًا ، ما هي الأجزاء الحقيقية والتخيلية لـ (a زائد b i) t؟ حسنًا ، y يساوي e أس في + ibt. حسنًا ، لقد كانت لديك خبرة.

أنت تعرف كيف تفعل هذا الآن. هذا هو في بعض الأحيان ، حسنًا ، الجزء الحقيقي هو ، حسنًا ، دعنا نكتبه بهذه الطريقة.

الجزء الحقيقي هو e أس أحيانًا جيب التمام ب t.

لاحظ كيف يدخل a و b في التعبير. هذا هو الجزء الحقيقي.

والجزء التخيلي هو e أس في بعض الأحيان جيب bt.

وبالتالي ، يجب أن يكون الحل ، كلاهما ، حل المعادلة.

وبالتالي ، الحل العام لـ ODE هو y يساوي ، والآن عليك وضع الثوابت الاعتباطية. إنه لأمر جيد أن تقوم بإخراج الحرف e إلى at.

يجعلها تبدو أفضل قليلاً.

وهكذا ، فإن الثوابت هي c1 cosine bt و c2 sin bt.

أجل ، لكن كيف يبدو ذلك؟

حسنًا ، أنت تعرف ذلك أيضًا. هذا هو الأسي ، الذي يتحكم في السعة. لكن هذا الرجل ، وهو مزيج من ذبذبتين جيبيتين بسعة مختلفة ، ولكن مع نفس التردد ، فإن b هي نفسها في كلاهما ، وبالتالي ، هذا ، في حد ذاته ، هو تذبذب جيبي بحت. بعبارة أخرى ، ليس لدي مكان لكتابته ، لكنه يساوي ، كما تعلم. إنه مثال جيد على المكان الذي ستستخدم فيه تلك الهوية المثلثية التي قضيتها قبل الامتحان. حسنًا ، لنقم بعمل مثال سريع فقط لنرى كيف يعمل هذا.

حسنًا ، دعنا نتخلص من هذا. حسنًا ، لنقم الآن بعمل التخميد ، نظرًا لأن هذا يُظهر التذبذبات ، فيجب أن يتوافق مع الحالة التي يكون فيها التخميد أقل قوة مقارنة بثابت الزنبرك.

لذا ، فإن النظرية هي أنه إذا كان لديك حل معقد ، u زائد iv ، لذا فإن كلًا من هذه دالة على الوقت ، فإن u زائد iv هو الحل المركب لمعادلة تفاضلية حقيقية ذات معاملات ثابتة.

الربيع القاسي ، الذي يسحب بقوة شديدة سيجعل ذلك الشيء يتحرك ذهابًا وإيابًا ، خاصة عند الغمس ضعيفًا.

لذا ، فلنستخدم نفس المعادلة التي أخفيتها لتوي تقريبًا.

لكن ، هل تتذكر أربعة مستعملة هنا؟

حسنًا ، قبل أن نستخدم ثلاثة ونحصل على الحل ليبدو هكذا. الآن ، سنمنحه المزيد من الطاقة بوضع بعض الموكسي في الينابيع.

الآن ، الزنبرك يسحب قوة أكبر قليلاً ، زنبرك أكثر صلابة.

حسنًا ، ستكون المعادلة المميزة الآن r تربيع زائد 4r زائد خمسة يساوي صفرًا.

وبالتالي ، إذا قمت بحل قيمة r ، فلن أزعج نفسي بمحاولة تحليل هذا لأنني أعددت لهذه المحاضرة ، وأنا أعلم أن الصيغة التربيعية للوقت ، ناقص أربعة زائد أو ناقص الجذر التربيعي لـ b تربيع ، 16 ، ناقص أربعة في خمسة ، 16 ناقص 20 يساوي سالب أربعة الكل على اثنين. وبالتالي ، فإن هذا يجعل سالب اثنين موجب أو ناقصًا ، وهذا يجعل ، ببساطة ، i. 2i على اثنين ، وهو i. إذن ، الحل الأسي هو e أس سالب اثنين ، ولا يتعين عليك كتابة هذا. يمكنك الحصول على الشيء مباشرة.

t ، لنستخدم الواحد بعلامة الجمع ، وهذا سيعطي ، كحل حقيقي ، e أس سالب اثنين t في جيب تمام t ، و e أس سالب 2t في جيب t.

وبالتالي ، سيكون الحل هو y يساوي e أس سالب 2t في (c1 cosine t زائد c2 sine t).

إذا كنت ترغب في وضع الشروط الأولية ، يمكنك وضعها بنفس الطريقة التي قمت بها من قبل. لنفترض أننا استخدمنا نفس الشروط الأولية: y للصفر يساوي واحدًا ، و y شرطة للصفر يساوي واحدًا ، يساوي صفرًا ، دعنا نقول ، انتظر ، بلاه ، بلاه ، بلاه ، صفر ، نعم. حسنًا ، أود قضاء بعض الوقت في إجراء الحساب بالفعل ، لكن لا يوجد شيء جديد فيه.

يجب أن أحسب المشتقة هنا ، ثم سأعوض بها ، وحل المعادلات ، وعندما تفعل كل ذلك ، تمامًا كما في السابق ، فإن الإجابة التي تحصل عليها هي y يساوي e أس سالب 2t ، لذا اختر الثوابت c1 و c2 من خلال حل المعادلات الخطية ، والإجابة هي جيب التمام t ، لذلك ، اتضح أن c1 هو واحد ، و c2 هو اثنان ، كما آمل. حسنًا ، أريد أن أعرف ، لكن كيف يبدو ذلك؟ حسنًا ، استخدم تلك المتطابقة المثلثية. إن e أس سالب 2t هو مجرد عامل حقيقي سيعيد إنتاج نفسه. السؤال هو ، كيف يبدو جيب التمام t زائد 2 شرط؟

ما هي اتساعها كتذبذب نقي؟

إنه الجذر التربيعي لواحد زائد اثنين تربيع.

تذكر أن الأمر يعتمد على النظر إلى هذا المثلث الصغير ، وهو واحد ، اثنان ، وهذا مقياس مختلف عن ذلك.

وهذا هو الجذر التربيعي لخمسة ، أليس كذلك؟

وهنا فاي ، تأخر المرحلة.

إذن فهو يساوي الجذر التربيعي لخمسة.

إذن ، فهو الجذر التربيعي لخمسة في e أس سالب 2t ، وما بداخله هو جيب تمام ، التردد يساوي واحدًا. التردد الدائري واحد ، لذا فهو t ناقص phi ، حيث phi هي هذه الزاوية.

ما هو حجم ذلك ، واحد واثنان؟

حسنًا ، إذا كان هذا هو الجذر التربيعي لثلاثة ، وهو أقل من اثنين بقليل ، فسيكون 60 ما لا نهاية.

إذن ، هذا يجب أن يكون 70 ما لا نهاية. فلنفترض أن phi تساوي 70 ما لا نهاية زائد أو ناقص خمسة. لذلك ، يبدو وكأنه منحنى جيب التمام متأخر قليلاً ، لكن السعة تنخفض.

لذلك ، يجب أن تبدأ. لذا ، إذا رسمتها ، ها هي واحدة ، لنفترض أنها الجذر التربيعي لخمسة في الأعلى هنا. إذن ، ربما يبدو الجذر التربيعي لخمسة في e أس سالب 2t شيئًا من هذا القبيل. إذن ، هذا هو الجذر التربيعي لخمسة e أس سالب 2t.

هذا هو جيب التمام ، ولكن تم دفعه ليس أكثر من اثنين. يبدأ من واحد ، وبميله صفر. إذن ، الحل يبدأ على هذا النحو. يجب أن تسترشد في اتساعها بهذه الوظيفة الموجودة هناك ، وبينها منحنى جيب التمام. لكن تم نقله.

لذا ، إذا كان هذا pi على اثنين ، في المرة الأولى التي يتخطى فيها ، يكون 72 ما لا نهاية على يمين ذلك. إذن ، إذا كان هذا pi على اثنين ، فسيكون pi على اثنين زائد 70 ما لا نهاية حيث يتقاطع.

لذا ، لا بد أنها تفعل شيئًا كهذا.

والآن ، على الجانب الآخر ، يجب أن تبقى بنفس السعة. لذا ، لا بد أنها تفعل شيئًا كهذا. حسنًا ، هذا يقودنا إلى ، إذا كانت هذه هي الحالة غير المبللة جيدًا ، لأنه إذا كنت تحاول القيام بذلك بباب متأرجح ، فهذا يعني أن الباب سيتأرجح ذهابًا وإيابًا. أو ، كتلتنا الصغيرة مخفية الآن ، لكن يمكنك رؤيتها خلف تلك اللوحة ، ستقوم بذلك. لكنها لا تتوقف أبدا.

لا يتوقف أبدا. إنه لا يدرك ، لكن ليس في الحياة النظرية. لذلك ، هذا هو غير مبلل.

حسنًا ، إنها مثل Goldilocks والدببة الثلاثة.

هذا حار جدًا ، وهذا بارد جدًا.

ما هو الشيء الصحيح؟

حسنًا ، هذا هو الشيء الذي ستدرسه في مجموعة المشكلات. لذلك ، الحق فقط يسمى مخمد بشكل خطير. هذا ما يهدف إليه الناس في محاولة تثبيط الحركة التي لا يريدونها.

الآن ، ما هو المخمد بشكل خطير؟ يجب أن يكون هذا هو الحال فقط بين هذين. لا معقد ولا الجذور مختلفة. إنها حالة جذرين متساويين. إذن ، r تربيع زائد Ar زائد B يساوي صفرًا ، له جذرين متساويين.

الآن ، هذه معادلة خاصة جدًا.

لنفترض أننا نطلق على الجذر ، نظرًا لأن كل هؤلاء ، لاحظوا هذه الجذور في هذه الحالة المادية.

تتحول الجذور دائمًا إلى أرقام سالبة ، أو أن لها جزءًا حقيقيًا سلبيًا. سأسمي الجذر a.

إذن ، r يساوي سالب a ، الجذر.

يُفهم على أنه رقم موجب.

أريد أن يكون هذا الجذر سلبيًا حقًا.

بعد ذلك ، تبدو المعادلة كما يلي ، ستكون المعادلة المميزة هي r زائد a ، يمينًا ، إذا كان الجذر سالب a ، تربيع لأنه جذر مزدوج.

وهذا يعني أن المعادلة بصيغة r تربيع زائد اثنين في a r زائد a تربيع يساوي صفرًا.

بعبارة أخرى ، بدا ODE هكذا.

بدا ODE مثل y شرطتين زائد 2a y شرطة زائد ، وبعبارة أخرى ، كان التخميد وثابت الزنبرك مرتبطين في هذا التأثر الخاص ، أنه بالنسبة لقيمة معينة لثابت الزنبرك ، كان هناك بالضبط قيمة واحدة للتخميد الذي ينتج هذا بين الحالة.

الآن ، ما هي المشكلة المرتبطة به؟

حسنًا ، لسوء الحظ ، تكمن المشكلة في تحديقنا في الوجه عندما نريد حلها.

تكمن المشكلة في أن لدينا حلًا ، لكنه y يساوي e أس سالب في. ليس لدي جذر آخر للحصول على حل آخر به. والسؤال هو ، من أين يمكنني الحصول على هذا الحل الآخر؟

الآن ، هناك ثلاث طرق للحصول عليه.

حسنًا ، هناك أربع طرق للحصول عليه.

أنت تبحث عنه في أويلر. هذه هي الطريقة الرابعة.

هذه هي الطريقة الحقيقية للقيام بذلك. لكن ، لقد أعطيتك طريقة واحدة باعتبارها المشكلة رقم واحد في مجموعة المشاكل.

لقد أعطيتك طريقة أخرى كمسألة رقم اثنين في مجموعة المسائل. والطريقة الثالثة عليك الانتظار لمدة أسبوع ونصف تقريبًا.

وسأعطيك طريقًا ثالثًا أيضًا.

بحلول ذلك الوقت ، لن ترغب في رؤية أي طرق أخرى. لكني أود أن أقدم لكم طريقة مجموعة المشاكل. وهذا هو أنه إذا كنت تعرف حلاً واحدًا لمعادلة تبدو كمعادلة خطية ، فيمكن في الواقع أن تكون القطعة عبارة عن دوال لـ t.

لا يجب أن تكون ثابتة ، لذلك سأستخدم تدوين الكتب مع p و q. y شرطة زائد q y يساوي صفرًا.

إذا كنت تعرف حلاً واحدًا ، فهناك ضمان مطلق ، إذا كنت تعلم أنه صحيح لأنني أطلب منك إثبات ذلك بنفسك.

هناك صورة أخرى ، لها هذا كعامل ، أحد الحلول y واحد ، لنسميها y يساوي y1 u هو حل آخر.

وستكون قادرًا على إيجادك ، أقسم لك.

الآن ، دعنا ننفذ ذلك في الدقائق القليلة المتبقية لهذه الحالة فقط لأنني أريدك أن ترى كيفية ترتيب العمل بشكل جيد. وأريدك أن ترتب عملك عندما تقوم بمجموعات المسائل بالطريقة نفسها.

لذا ، فإن طريقة القيام بذلك هي أن الحل الذي نعرفه هو e أس ناقص عند. لذلك ، سنبحث عن حل لهذه المعادلة التفاضلية.

هذه هي المعادلة التفاضلية.

والحل الذي سنبحث عنه هو الصيغة e أس السالب عند ضرب u.

الآن ، سيتعين عليك إجراء عمليات حسابية مثل هذه عدة مرات خلال الفصل الدراسي.

افعلها بهذه الطريقة. y شرطة يساوي ، اشتق ، ناقص a e أس ناقص a t u زائد e أس ناقص a t u شرطة.

ثم اشتق مرة أخرى.

ستكون الإجابة مربعة.

يمكنك اشتقاق هذا: a تربيع e أس سالب عند u. سأفعل هذا سريعًا ، لكن الحد التالي سيكون ، حسنًا ، ناقص ، لذلك هذا ضرب u شرطة ، ومن هذا ستحصل على ناقص آخر. لذا ، بدمج ما تحصل عليه من هنا ، وهنا ، ستحصل على سالب 2a e ناقص a t u شرطة.

ثم ، هناك حد نهائي ، من هذا ، e أس ناقص a t u شرطتين.

اثنان من هؤلاء ، بسبب قطعة هنا وقطعة هنا تتحد لصنع ذلك. والآن ، للتعويض في المعادلة ، اضرب هذا في واحد.

بعبارة أخرى ، أنت لا تفعل شيئًا لذلك.

تضرب هذا الخط في 2 أ ، وتضرب هذا الخط في مربع ، وتضيفهم.

على الجانب الأيسر ، أحصل على صفر.

ماذا أحصل على حق؟ لاحظ كيف قمت بترتيب العمل بحيث يضيف بشكل جيد. هذا لديه مربع في هذا ، زائد 2a في ذلك ، زائد واحد في يساوي صفرًا.

2a في هذا زائد واحد في هذا يساوي صفرًا.

كل ما تبقى هو e أس a t u شرطتين ، وبالتالي ، e أس ناقص a t u شرطتين يساوي صفرًا.

لذا ، من فضلك قل لي ، ما هو u مزدوج؟

إنها صفر. لذا ، من فضلك قل لي ، ما هو أنت؟ إنها c1 t زائد c2.

الآن ، هذا يعطيني مجموعة كاملة من الحلول. فقط سيكون t كافيًا لأن كل ما أفعله هو البحث عن حل واحد يختلف من e إلى ناقص a t.

وبالتالي ، فإن هذا الحل هو y يساوي e أس ناقص a t في t.

وهناك الحل الثاني.

لذا ، هذا حل للقضية المخمدة بشكل خطير.

وستستخدمه في ثلاث أو أربع مشاكل مختلفة في مجموعة المسائل. لكن ، أعتقد أنه يمكنك التعامل مع مجموعة المشكلات بأكملها تقريبًا ، باستثناء المشكلة الأخيرة ، الآن.


3.E: أنظمة ODE (تمارين) - رياضيات

طرق الفروق المحدودة للمعادلات التفاضلية العادية والجزئية
الحالة الثابتة والمشاكل التي تعتمد على الوقت

جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM) ، فيلادلفيا ،
Softcover / ISBN 978-0-898716-29-0
الرابع عشر + 339 صفحة
يوليو 2007.
مكتبة سيام

يمكنك تنزيل ملف tar يحتوي على جميع الملفات الموضحة أدناه:

تمارين وملفات م لمرافقة النص
لا يزال قيد الإنشاء - سيظهر المزيد في المستقبل

يمكن العثور على ملفات m ضمن صفحات الفصل أدناه أو في الدليل الفرعي matlab.

جميع التمارين (بما في ذلك جدول محتويات مع وصف موجز): تمارين / allexercises.pdf. تمارين / allexercises.tex

يتوفر ملف pdf للتدريبات لكل فصل في صفحة الفصل المقابلة أدناه.

تتوفر أيضًا ملفات اللاتكس الخاصة بالتمارين في الدليل الفرعي للتمارين ، واحد لكل تمرين. قد تكون هذه مفيدة للمعلمين في تجميع مجموعة مخصصة من التمارين لتوزيعها و / أو إنتاج مشاكل معدلة. قد تكون مفيدة أيضًا للطلاب الذين يرغبون في كتابة حلولهم في مادة اللاتكس. أنا أشجع هذا لأنه يعلم الطلاب مهارة قيمة ويجعل الواجبات المنزلية أكثر متعة في الدرجات.

يوضح نموذج واجب منزلي من AMath 586 في جامعة واشنطن كيف يمكن تجميع ملفات اللاتكس هذه في مهمة منزلية مخصصة: am586hw1.pdf. am586hw1.tex

لاستخدام ملفات لاتكس للتمرين ، قد تحتاج إلى بعض أو كل وحدات الماكرو الموجودة في latex / macros.tex وتمارين / exermacros.tex.

تتوفر عينة من الواجبات المنزلية وملفات اللاتكس لمساعدة الطلاب على البدء في استخدام مادة اللاتكس.

الجزء الأول: مشاكل القيمة الحدية والطرق التكرارية

الفصل 1 تقريب الفروق المحدودة

الفصل 2 الدول الثابتة ومشاكل القيمة الحدودية

الفصل 4 الطرق التكرارية للأنظمة الخطية المتفرقة

الجزء الثاني: مشاكل القيمة الأولية

الفصل 5 مشكلة القيمة الأولية لـ ODE

الفصل 6 عدم الاستقرار والتقارب لمشاكل القيمة الأولية


تكامل العوامل

إذا كانت معادلتك من الشكل

ثم يمكن إعادة صياغته بإدخال عامل تكامل. يتم تعريف عامل التكامل للمعادلة أعلاه على النحو التالي

(ملاحظة: هذا ليس فريدًا لأن أي مضاعف سيكون أيضًا عامل تكامل). لحل المعادلة الأصلية ، نضرب في عامل التكامل لنحصل على

φ (x) d y d x + φ (x) f (x) y (x) = φ (x) g (x) ،

ببناء عامل التكامل

يمكن كتابة المعادلة الأصلية كـ

د د س (φ (س) ص (س)) = φ (س) ز ​​(س).

يمكن حل ذلك عن طريق تكامل الجانب الأيمن ، إما بشكل مباشر أو بالتعويض. الحل

y (x) = ∫ φ (x) g (x) d x φ (x)

ملاحظة: عليك أن تكون حذرا للنظر حيث توجد الحلول، وهذا هو، تحتاج φ (خ) ≠ 0 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOXdyMaaiikaiaadIhacaGGPaGaeyiyIKRaaGimaaaa @ 3C7D @. لذلك توجد حلول وجود ل x MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaaaa @ 36EA @ بحيث φ (خ) ≠ 0 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = xfr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOXdyMaaiikaiaadIhacaGGPaGaeyiyIKRaaGimaaaa @ 3C7D @. سيوضح لك المثال التالي كيفية استخدام عوامل التكامل لحل ODE من الدرجة الأولى.

تجول

د ذ د خ ذ + س = 1 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbGaamyEaaqaaiaadsgacaWG4baaaiabgUcaRmaalaaabaGaamyEaaqaaiaadIhaaaGaeyypa0JaaGymaaaa @ 3E78 @،

تخضع لذ (1) = 0 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiaacIcacaaIXaGaaiykaiabg2da9iaaicdaaaa @ 3ABF @.

يتم إعطاء عامل التكامل لهذه المعادلة بواسطة

φ (س) = ه ∫ 1 × د س = س MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaeqOXdyMaaiikaiaadIhacaGGPaGaeyypa0JaamyzamaaCaaaleqabaWaa8qaaeaadaWcaaqaaiaaigdaaeaacaWG4baaaiaadsgacaWG4baameqabeGdcqGHRiI8aaaakiabg2da9iaadIhaaaa @ 43D1 @.

لذلك يمكن إعادة كتابة المعادلة الأصلية كـ

د د س (س ص) = س MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaacaWGKbaabaGaamizaiaadIhaaaGaaiikaiaadIhacaWG5bGaaiykaiabg2da9iaadIhaaaa @ 3E23 @.

يعطي دمج الطرف الأيمن

ص (س) = س 2 + C س MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaamiEaaqaaiaaikdaaaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGdbaabaGaamiEaaaaaaa @ 3EC7 @،

حيث C ∈ ℜ MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qaiabgIGiolabgYricdaa @ 39C4 @ هو ثابت التكامل، و x ≠ 0 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = xfr = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamiEaiabgcMi5kaaicdaaaa @ 396B. هذا هو الحل العام للمعادلة التفاضلية. ونحن الآن بحاجة إلى تطبيق الشرط الأولي ذ (1) = 0 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiaacIcacaaIXaGaaiykaiabg2da9iaaicdaaaa @ 3ABF @.

0 = 1 + 2 C 1 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGimaiabg2da9maalaaabaGaaGymaaqaaiaaikdaaaGaey4kaSYaaSaaaeaacaWGdbaabaGaaGymaaaaaaa @ 3BA9 @.

لذلك C = - 1 2 MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq = Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr = XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4qaiabg2da9maalaaabaGaeyOeI0IaaGymaaqaaiaaikdaaaaaaa @ 3A2F @، والحل هو ذ (س) = س 2 - 1 2 × MathType @ MTEF @ 5 @ 5 @ + = = feaafiart1ev1aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0 = = yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr XFR = xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyEaiaacIcacaWG4bGaaiykaiabg2da9maalaaabaGaamiEaaqaaiaaikdaaaGaeyOeI0YaaSaaaeaacaaIXaaabaGaaGOmaiaadIhaaaaaaa @ 3F81 @ صالحة لمدة س & GT 0


IDEA: أنشطة المعادلات التفاضلية للإنترنت

IDEA هي أنشطة المعادلات التفاضلية عبر الإنترنت ، وهي جهد متعدد التخصصات لتزويد الطلاب والمعلمين في جميع أنحاء العالم بالأنشطة القائمة على الكمبيوتر للمعادلات التفاضلية في مجموعة متنوعة من التخصصات. ترعى المؤسسة الوطنية للعلوم IDEA بمنحة من قسم التعليم الجامعي.

الفكرة وراء IDEA

كما هو الحال مع كل موقع على الويب ، فإن قانون تعليم الأفراد المعاقين (IDEA) يتطور. يحتوي قانون تعليم الأفراد المعاقين (IDEA) على قاعدة بيانات لأنشطة الكمبيوتر توضح المفاهيم الرياضية وتطبيق هذه المفاهيم في مجموعة متنوعة من التخصصات. الهدف هو إظهار المعادلات التفاضلية في المكان الذي يعيشون فيه ، وليس في إطار رياضي بحت.

بالإضافة إلى التمارين ، فإنه يوفر مجموعة متنوعة من البرامج لحل المعادلات التفاضلية ووصفها. تتضمن هذه الحزم DynaSys ، وهي حزمة لنظام تشغيل Microsoft يمكن استخدامها بطريقة مرنة جدًا لإنشاء عروض لحلول المعادلات التفاضلية برنامج Java الذي يمكن استخدامه عبر الويب لتطوير الأنشطة الخاصة بك ، أو للعمل على تلك المقدمة هنا ومكونات الفلاش التي يمكن استخدامها مرة أخرى لتطوير أنشطة المعادلات التفاضلية.

مع ظهور HTML5 ، أصبحت Javascript جاهزة الآن للتطبيقات الرياضية. هناك عروض تجريبية جديدة لجافا سكريبت توضح كيف يمكننا استخدام كائنات الويب التفاعلية لمساعدة الطلاب على تعلم حساب التفاضل والتكامل.


شاهد الفيديو: Система из МГУ (شهر اكتوبر 2021).