مقالات

9.3: جمع وطرح التعبيرات المنطقية - الرياضيات


ملخص

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على:

  • اجمع واطرح التعابير المنطقية ذات المقام المشترك
  • اجمع واطرح التعابير المنطقية التي تكون مقاماتها متناقضة
  • أوجد المقام المشترك الأصغر للتعبيرات المنطقية
  • جمع وطرح التعابير المنطقية ذات المقامات غير المتشابهة
  • جمع وطرح التوابع الكسرية

قبل أن تبدأ ، أجب عن اختبار الاستعداد هذا.

  1. أضف: ( dfrac {7} {10} + dfrac {8} {15} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  2. اطرح: ( dfrac {3x} {4} - dfrac {8} {9} ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].
  3. اطرح: (6 (2x + 1) −4 (x − 5) ).
    إذا فاتتك هذه المشكلة ، راجع [حلقة الوصل].

جمع وطرح التعابير المنطقية ذات المقام المشترك

ما هي الخطوة الأولى التي تتخذها عند جمع الكسور العددية؟ عليك التحقق مما إذا كان لديهم قاسم مشترك. إذا فعلوا ذلك ، فأنت تجمع البسط وتضع المجموع على المقام المشترك. إذا لم يكن لهما قاسم مشترك ، فابحث عن واحد قبل أن تضيف.

إنه نفس الشيء مع التعبيرات المنطقية. لإضافة تعبيرات عقلانية ، يجب أن يكون لها قاسم مشترك. عندما تكون المقامات متطابقة ، تضيف البسط وتضع المجموع فوق المقام المشترك.

إضافة التعبير المنطقي والطرح

إذا كانت (p ) و (q ) و (r ) ذات حدود متعددة حيث (r neq 0 ) ، إذن

[ dfrac {p} {r} + dfrac {q} {r} = dfrac {p + q} {r} quad text {and} quad dfrac {p} {r} - dfrac {q} {r} = dfrac {p − q} {r} nonumber ]

لإضافة أو طرح التعبيرات المنطقية ذات المقام المشترك ، قم بإضافة البسط أو طرحه ووضع النتيجة فوق المقام المشترك.

نحن دائما نبسط المقادير المنطقية. تأكد من التحليل ، إن أمكن ، بعد طرح البسط حتى تتمكن من تحديد أي عوامل مشتركة.

تذكر أيضًا أننا لا نسمح بالقيم التي تجعل المقام صفرًا. ما قيمة (x ) التي يجب استبعادها في المثال التالي؟

مثال ( PageIndex {1} )

أضف: ( dfrac {11x + 28} {x + 4} + dfrac {x ^ 2} {x + 4} ).

إجابه

نظرًا لأن المقام هو (س + 4 ) ، يجب علينا استبعاد القيمة (س = −4 ).

( start {array} {ll} & dfrac {11x + 28} {x + 4} + dfrac {x ^ 2} {x + 4}، space x neq −4 start {array } {l} text {الكسور لها مقام مشترك ،} text {لذا أضف البسط وضع المجموع} text {فوق المقام المشترك.} end {array} & dfrac {11x + 28 + x ^ 2} {x + 4} & text {اكتب الدرجات بترتيب تنازلي.} & dfrac {x ^ 2 + 11x + 28} {x + 4} & text {عامل البسط.} & dfrac {(x + 4) (x + 7)} {x + 4} & text {التبسيط بإزالة العوامل المشتركة.} & dfrac { إلغاء { (x + 4)} (x + 7)} { إلغاء {x + 4}} & text {Simplify.} & x + 7 end {array} )

يبسط التعبير إلى (x + 7 ) لكن التعبير الأصلي كان له مقام (x + 4 ) لذا (x neq −4 ).

مثال ( PageIndex {2} )

بسّط: ( dfrac {9x + 14} {x + 7} + dfrac {x ^ 2} {x + 7} ).

إجابه

(س + 2 )

مثال ( PageIndex {3} )

بسّط: ( dfrac {x ^ 2 + 8x} {x + 5} + dfrac {15} {x + 5} ).

إجابه

(س + 3 )

لطرح التعبيرات المنطقية ، يجب أن يكون لها أيضًا مقام مشترك. عندما تكون المقامات متطابقة ، فإنك تطرح البسط وتضع الفرق على المقام المشترك. كن حذرًا من العلامات عند طرح ذات الحدين أو ثلاثي الحدود.

مثال ( PageIndex {4} )

اطرح: ( dfrac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} - dfrac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} ).

إجابه

( start {array} {ll} & dfrac {5x ^ 2−7x + 3} {x ^ 2−3x + 18} - dfrac {4x ^ 2 + x − 9} {x ^ 2−3x + 18} & start {array} {l} text {اطرح البسط وضع} text {الفرق على المقام المشترك.} end {array} & dfrac {5x ^ 2− 7x + 3− (4x ^ 2 + x − 9)} {x ^ 2−3x + 18} & text {توزيع العلامة في البسط.} & dfrac {5x ^ 2−7x + 3 −4x ^ 2 − x + 9} {x ^ 2−3x − 18} & text {دمج المصطلحات المتشابهة.} & dfrac {x ^ 2−8x + 12} {x ^ 2−3x− 18} & text {حلل البسط والمقام إلى عوامل.} & dfrac {(x − 2) (x − 6)} {(x + 3) (x − 6)} & text {تبسيط بإزالة العوامل المشتركة.} & dfrac {(x − 2) إلغاء {(x − 6)}} {(x + 3) إلغاء {(x − 6)}} & & (x − 2) (x + 3) نهاية {مجموعة} )

مثال ( PageIndex {5} )

اطرح: ( dfrac {4x ^ 2−11x + 8} {x ^ 2−3x + 2} - dfrac {3x ^ 2 + x − 3} {x ^ 2−3x + 2} ).

إجابه

( dfrac {x − 11} {x − 2} )

مثال ( PageIndex {6} )

اطرح: ( dfrac {6x ^ 2 − x + 20} {x ^ 2−81} - dfrac {5x ^ 2 + 11x − 7} {x ^ 2−81} ).

إجابه

( dfrac {x − 3} {x + 9} )

اجمع واطرح التعابير المنطقية التي تكون مقاماتها متناقضة

عندما تكون مقامات تعبيرين عقلانيين متضادتين ، فمن السهل الحصول على قاسم مشترك. علينا فقط ضرب أحد الكسور في ( dfrac {−1} {- 1} ).

دعونا نرى كيف يعمل هذا.

اضرب الكسر الثاني في ( dfrac {−1} {- 1} ).
القواسم هي نفسها.
تبسيط.

كن حذرًا مع العلامات أثناء التعامل مع الأضداد عند طرح الكسور.

مثال ( PageIndex {8} )

اطرح: ( dfrac {y ^ 2−5y} {y ^ 2−4} - dfrac {6y − 6} {4 − y ^ 2} ).

إجابه

( dfrac {y + 3} {y + 2} )

مثال ( PageIndex {9} )

اطرح: ( dfrac {2n ^ 2 + 8n − 1} {n ^ 2−1} - dfrac {n ^ 2−7n − 1} {1 − n ^ 2} ).

إجابه

( dfrac {3n − 2} {n − 1} )

أوجد المقام المشترك الأصغر للتعبيرات المنطقية

عندما نجمع أو نطرح المقادير الكسرية ذات المقامات المختلفة ، فسنحتاج إلى الحصول على مقامات مشتركة. إذا راجعنا الإجراء الذي استخدمناه مع الكسور العددية ، فسنعرف ما يجب فعله بالتعبيرات المنطقية.

لنلق نظرة على هذا المثال: ( dfrac {7} {12} + dfrac {5} {18} ). نظرًا لأن المقامات ليست متطابقة ، كانت الخطوة الأولى هي إيجاد المقام المشترك الأصغر (LCD).

لإيجاد LCD للكسرين ، قمنا بتحليل 12 و 18 في الأعداد الأولية ، بحيث نصطف أي أعداد أولية مشتركة في الأعمدة. ثم "نزل" عددًا أوليًا واحدًا من كل عمود. أخيرًا ، قمنا بضرب العوامل لإيجاد شاشة LCD.

عندما نجمع كسورًا عددية ، بمجرد أن نجد شاشة LCD ، نعيد كتابة كل كسر ككسر معادل مع شاشة LCD بضرب البسط والمقام في نفس الرقم. نحن الآن جاهزون للإضافة.

نفعل نفس الشيء مع التعبيرات المنطقية. ومع ذلك ، فإننا نترك شاشة LCD في شكل عامل.

اعثر على أقل مُطلق شائع للتعبيرات المنطقية.

  1. حلل كل مقام إلى عوامل تمامًا.
  2. اكتب قائمة عوامل كل مقام. تطابق العوامل عموديًا عندما يكون ذلك ممكنًا.
  3. أنزل الأعمدة من خلال تضمين كل العوامل ، لكن لا تقم بتضمين العوامل المشتركة مرتين.
  4. اكتب شاشة LCD كحاصل ضرب العوامل.

تذكر أننا نستبعد دائمًا القيم التي تجعل المقام صفرًا. ما هي قيم xx التي يجب أن نستبعدها في المثال التالي؟

مثال ( PageIndex {10} )

أ. ابحث عن شاشة LCD للتعبيرات ( dfrac {8} {x ^ 2−2x − 3} ) و ( dfrac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} ) و b. أعد كتابتها في صورة تعبيرات منطقية متكافئة ذات مقام مشترك أصغر.

إجابه

أ.

ابحث عن شاشة LCD لـ ( dfrac {8} {x ^ 2−2x − 3} )، ( dfrac {3x} {x ^ 2 + 4x + 3} ).
حلل كل مقام إلى عوامل تمامًا ، واصطف العوامل المشتركة.

إنزال الأعمدة.

اكتب شاشة LCD كحاصل ضرب العوامل.

ب.

حلل كل مقام إلى عوامل.
اضرب كل مقام في "المفقود"
عامل LCD واضرب كل بسط في نفس العامل.
بسّط البسط.

مثال ( PageIndex {11} )

أ. ابحث عن شاشة LCD للتعبيرات ( dfrac {2} {x ^ 2 − x − 12} )، ( dfrac {1} {x ^ 2−16} ) ب. أعد كتابتها في صورة تعبيرات منطقية متكافئة ذات مقام مشترك أصغر.

إجابه

أ. ((س − 4) (س + 3) (س + 4) )
ب. ( dfrac {2x + 8} {(x − 4) (x + 3) (x + 4)} ) ،
( dfrac {س + 3} {(س − 4) (س + 3) (س + 4)} )

مثال ( PageIndex {12} )

أ. ابحث عن شاشة LCD للتعبيرات ( dfrac {3x} {x ^ 2−3x + 10} ) ، ( dfrac {5} {x ^ 2 + 3x + 2} ) ب. ((س + 2) (س − 5) (س + 1) )
ب. ( dfrac {3x ^ 2 + 3x} {(x + 2) (x − 5) (x + 1)} ) ،
( dfrac {5x − 25} {(x + 2) (x − 5) (x + 1)} )

جمع وطرح التعابير المنطقية ذات المقامات غير المتشابهة

الآن لدينا جميع الخطوات التي نحتاجها لجمع أو طرح المقادير الكسرية ذات المقامات المختلفة.

مثال ( PageIndex {13} ): كيفية إضافة تعبيرات منطقية ذات مقامات مختلفة

أضف: ( dfrac {3} {x − 3} + dfrac {2} {x − 2} ).

إجابه

مثال ( PageIndex {14} )

أضف: ( dfrac {2} {x − 2} + dfrac {5} {x + 3} ).

إجابه

( dfrac {7x − 4} {(x − 2) (x + 3)} )

مثال ( PageIndex {15} )

أضف: ( dfrac {4} {m + 3} + dfrac {3} {m + 4} ).

إجابه

( dfrac {7m + 25} {(م + 3) (م + 4)} )

يتم تلخيص الخطوات المستخدمة لإضافة التعبيرات المنطقية هنا.

أضف عبارات منطقية أو ثانوية.

  1. حدد ما إذا كان للتعبيرات مقام مشترك.
    • نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
    • لا - أعد كتابة كل تعبير منطقي باستخدام شاشة LCD.
      • ابحث عن شاشة LCD.
      • أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير منطقي مكافئ باستخدام شاشة LCD.
  2. اجمع أو اطرح التعابير المنطقية.
  3. بسّط ، إن أمكن.

تجنب إغراء التبسيط في وقت مبكر جدًا. في المثال أعلاه ، يجب أن نترك أول تعبير منطقي مثل ( dfrac {3x − 6} {(x − 3) (x − 2)} ) حتى نتمكن من إضافته إلى ( dfrac {2x− 6} {(x − 2) (x − 3)} ). تبسيط فقط بعد أن جمعت البسط.

مثال ( PageIndex {17} )

أضف: ( dfrac {1} {m ^ 2 − m − 2} + dfrac {5m} {m ^ 2 + 3m + 2} ).

إجابه

( dfrac {5m ^ 2−9m + 2} {(م + 1) (م − 2) (م + 2)} )

مثال ( PageIndex {18} )

أضف: ( dfrac {2n} {n ^ 2−3n − 10} + dfrac {6} {n ^ 2 + 5n + 6} ).

إجابه

( dfrac {2n ^ 2 + 12n − 30} {(n + 2) (n − 5) (n + 3)} )

العملية التي نستخدمها لطرح التعبيرات المنطقية ذات المقامات المختلفة هي نفسها المستخدمة في الجمع. علينا فقط توخي الحذر الشديد من العلامات عند طرح البسطين.

مثال ( PageIndex {20} )

اطرح: ( dfrac {2x} {x ^ 2−4} - dfrac {1} {x + 2} ).

إجابه

( dfrac {1} {س − 2} )

مثال ( PageIndex {21} )

اطرح: ( dfrac {3} {z + 3} - dfrac {6z} {z ^ 2−9} ).

إجابه

( dfrac {−3} {z − 3} )

هناك الكثير من الإشارات السلبية في المثال التالي. كن حذرًا جدًا.

مثال ( PageIndex {23} )

اطرح: ( dfrac {3x − 1} {x ^ 2−5x − 6} - dfrac {2} {6 − x} ).

إجابه

( dfrac {5x + 1} {(x − 6) (x + 1)} )

مثال ( PageIndex {24} )

اطرح: ( dfrac {−2y − 2} {y ^ 2 + 2y − 8} - dfrac {y − 1} {2 − y} ).

إجابه

( dfrac {y + 3} {y + 4} )

يمكن أن تصبح الأشياء شديدة الفوضى عندما يجب ضرب كلا الكسرين في ذات الحدين للحصول على المقام المشترك.

مثال ( PageIndex {26} )

اطرح: ( dfrac {3} {b ^ 2−4b − 5} - dfrac {2} {b ^ 2−6b + 5} ).

إجابه

( dfrac {1} {(ب + 1) (ب − 1)} )

مثال ( PageIndex {27} )

اطرح: ( dfrac {4} {x ^ 2−4} - dfrac {3} {x ^ 2 − x − 2} ).

إجابه

( dfrac {1} {(x + 2) (x + 1)} )

نتبع نفس الخطوات السابقة لإيجاد شاشة LCD عندما يكون لدينا أكثر من تعبيرين منطقيين. في المثال التالي ، سنبدأ بتحليل جميع القواسم الثلاثة لإيجاد LCD الخاصة بهم.

مثال ( PageIndex {29} )

بسّط: ( dfrac {v} {v + 1} + dfrac {3} {v − 1} - dfrac {6} {v ^ 2−1} ).

إجابه

( dfrac {v + 3} {v + 1} )

مثال ( PageIndex {30} )

بسّط: ( dfrac {3w} {w + 2} + dfrac {2} {w + 7} - dfrac {17w + 4} {w ^ 2 + 9w + 14} ).

إجابه

( dfrac {3w} {w + 7} )

اجمع واطرح التوابع الكسرية

لإضافة أو طرح وظائف عقلانية ، نستخدم نفس الأساليب التي استخدمناها لإضافة أو طرح دوال كثيرة الحدود.

مثال ( PageIndex {32} )

أوجد (R (x) = f (x) g (x) ) حيث (f (x) = dfrac {x + 1} {x + 3} ) و (g (x) = dfrac {x + 17} {x ^ 2 − x − 12} ).

إجابه

( dfrac {x − 7} {x − 4} )

مثال ( PageIndex {33} )

أوجد (R (x) = f (x) + g (x) ) حيث (f (x) = dfrac {x − 4} {x + 3} ) و (g (x) = dfrac {4x + 6} {x ^ 2−9} ).

إجابه

( dfrac {x ^ 2−3x + 18} {(x + 3) (x − 3)} )

قم بالوصول إلى هذا المورد عبر الإنترنت للحصول على إرشادات وممارسات إضافية مع إضافة وطرح التعبيرات المنطقية.

  • جمع وطرح التعابير المنطقية - بخلاف المقامات

المفاهيم الرئيسية

  • جمع وطرح التعبير العقلاني
    إذا كانت (p ) و (q ) و (r ) ذات حدود متعددة حيث (r neq 0 ) ، إذن
    [ dfrac {p} {r} + dfrac {q} {r} = dfrac {p + q} {r} quad text {and} quad dfrac {p} {r} - dfrac {q} {r} = dfrac {p − q} {r} nonumber ]
  • كيفية إيجاد القاسم المشترك الأصغر للتعبيرات المنطقية.
    1. حلل كل تعبير إلى عوامل تمامًا.
    2. اكتب قائمة عوامل كل تعبير. تطابق العوامل عموديًا عندما يكون ذلك ممكنًا.
    3. إنزال الأعمدة.
    4. اكتب شاشة LCD كحاصل ضرب العوامل.
  • كيفية جمع أو طرح التعبيرات المنطقية.
    1. حدد ما إذا كان للتعبيرات مقام مشترك.
      • نعم - انتقل إلى الخطوة 2.
      • لا - أعد كتابة كل تعبير منطقي باستخدام شاشة LCD.
        • ابحث عن شاشة LCD.
        • أعد كتابة كل تعبير منطقي كتعبير منطقي مكافئ باستخدام شاشة LCD.
    2. اجمع أو اطرح التعابير المنطقية.
    3. بسّط ، إن أمكن.

9.3: جمع وطرح التعبيرات المنطقية - الرياضيات

جمع وطرح التعبيرات النسبية

· أضف التعبيرات المنطقية وتبسيطها.

· طرح التعبيرات المنطقية وتبسيطها.

· أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعديد من التعبيرات الجبرية.

تبسيط المشاكل التي تجمع بين الجمع والطرح.

في بداية الرياضيات ، يتعلم الطلاب عادةً كيفية جمع وطرح الأعداد الصحيحة قبل تعليمهم الضرب والقسمة. ومع ذلك ، مع الكسور و تعابير عقلانيةيتم تدريس الضرب والقسمة في بعض الأحيان أولاً لأن أداء هذه العمليات أسهل من الجمع والطرح. ليس من السهل إجراء عملية جمع وطرح التعبيرات المنطقية مثل الضرب لأنه ، كما هو الحال مع الكسور الرقمية ، تتضمن العملية إيجاد قواسم مشتركة. من خلال العمل بعناية وتدوين الخطوات على طول الطريق ، يمكنك تتبع جميع الأرقام والمتغيرات وتنفيذ العمليات بدقة.

جمع وطرح التعبيرات النسبية ذات المقامات المتشابهة

إن إضافة التعبيرات المنطقية التي لها نفس المقام هو أبسط مكان للبدء ، لذا فلنبدأ من هناك.

لجمع كسور ذات مقامات متشابهة ، اجمع البسط واحتفظ بنفس المقام. ثم قم بتبسيط المجموع. أنت تعرف كيفية القيام بذلك باستخدام الكسور الرقمية.

اتبع نفس العملية لإضافة تعبيرات منطقية ذات مقامات متشابهة. لنجرب واحدة.

يضيف. اذكر المجموع في أبسط صورة.

اجمع البسط بما أن المقامات متشابهة. تذكر أن x لا يمكن أن يكون -4 لأن المقامات ستكون 0.

أعد كتابة العامل المشترك كضرب في 1 وبسّط.

تذكر أنه يجب عليك أيضًا وصف ملف نطاق، مجموعة كل القيم الممكنة للمتغيرات. ال القيم المستبعدة من المجال هي أي قيم للمتغير (المتغيرات) التي ينتج عنها أي مقام يساوي 0. في المسألة أعلاه ، المجال هو جميع الأرقام الحقيقية باستثناء −4 ، حيث أن قيمة x = −4 سينشئ المقام 0. في بعض الأحيان ، عندما نبسط تعبيرًا ما ، لن يدرك القارئ الذي ينظر فقط إلى الإجابة المبسطة أن هناك قيمًا مستبعدة. في المثال أعلاه ، مجرد النظر إلى الشكل المبسط 2x كبديل للأصل /> ، لن يكون لدى القارئ أي طريقة لمعرفة أنه لا يمكن استخدام قيمة −4 من أجل x. لذلك عندما ندعي أن 2x هو ما يعادل /> ، نحتاج إلى توضيح أن −4 قيمة مستبعدة.

لطرح التعبيرات الكسرية ذات المقامات المتشابهة ، اتبع نفس العملية التي تستخدمها لطرح الكسور ذات المقامات المتشابهة. تشبه العملية تمامًا إضافة التعبيرات المنطقية ، باستثناء أنك تطرح بدلاً من الجمع.

طرح او خصم. اذكر الفرق في أبسط صورة.

اطرح البسط الثاني من الأول واحتفظ بالمقام كما هو. تذكر أن x لا يمكن أن يكون -6 لأن المقامات ستكون 0.

احرص على توزيع السالب على حدي البسط الثاني.

اجمع بين الشروط المتشابهة. لا يمكن تبسيط هذا التعبير المنطقي أكثر من ذلك.

اطرح واذكر الفرق في أبسط صورة. ، س ≠ 5

أ)

أ)

غير صحيح. لقد أجريت عملية الطرح بشكل صحيح ، ولكن يمكن تبسيط هذا التعبير المنطقي لأن البسط والمقام لهما عامل مشترك (x - 5). والجواب الصحيح هو x + 5 .

صيح. نظرًا لوجود قاسم مشترك ، اطرح البسط للحصول على . يمكن تحليل البسط والعامل المشترك لـ (x - 5) موجود في البسط والمقام. .

غير صحيح. العامل المشترك الموجود في البسط والمقام هو x - 5 ، لا x + 5. بعد التخصيم تحصل على: . والجواب الصحيح هو x + 5 .

غير صحيح. لإيجاد الفرق ، اطرح بسط الكسر الثاني من البسط الأول ، على النحو التالي: . ثم حلل البسط إلى عوامل وبسّط. والجواب الصحيح هو x + 5.

جمع وطرح التعبيرات النسبية ذات المقامات غير المتشابهة

قبل جمع وطرح التعبيرات المنطقية مع على عكس القواسم ، تحتاج إلى إيجاد قاسم مشترك. مرة أخرى ، هذه العملية مماثلة لتلك المستخدمة في جمع وطرح الكسور الرقمية ذات المقامات المختلفة. دعونا نلقي نظرة على مثال رقمي للبدء.

نظرًا لأن المقامات هي 6 و 10 و 4 ، فأنت تريد إيجاد القاسم المشترك الأصغر وعبر عن كل كسر بهذا المقام قبل الإضافة. (بالمناسبة ، يمكنك جمع الكسور من خلال إيجاد أي القاسم المشترك لا يجب أن يكون الأصغر. أنت تركز على استخدام الأقل لأنه لا يوجد تبسيط لذلك. لكن كلتا الحالتين تعمل.)

إيجاد المقام المشترك الأصغر هو نفسه إيجاد أقل مضاعف مشترك من 4 و 6 و 10. هناك طريقتان للقيام بذلك. الأول هو سرد مضاعفات كل رقم وتحديد المضاعفات المشتركة بينهما. سيكون أقل عدد من هذه الأرقام هو المقام المشترك الأصغر.

الطريقة الأخرى هي استخدام التحليل الأولي، عملية إيجاد العوامل الأولية لعدد. هذه هي الطريقة التي تعمل بها الطريقة مع الأرقام.

استخدم التحليل الأولي لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 6 و 10 و 4.

أولاً ، أوجد التحليل الأولي لكل مقام.

سيحتوي المضاعف المشترك الأصغر على عوامل 2 و 3 و 5. اضرب كل رقم في الحد الأقصى لعدد مرات ظهوره في عامل واحد.

في هذه الحالة ، 3 تظهر مرة واحدة ، و 5 تظهر مرة واحدة ، و 2 تستخدم مرتين لأنها تظهر مرتين في التحليل الأولي لـ 4.

لذلك ، المضاعف المشترك الأصغر للعدد 6 و 10 و 4 هو 3 • 5 • 2 • 2 أو 60.

المضاعف المشترك الأصغر للعدد 6 و 10 و 4 هو 60.

انظر إلى ذلك — لقد وجدت نفس المضاعف المشترك الأصغر باستخدام كلتا الطريقتين. ومع ذلك ، كان التحليل إلى العوامل الأولية أسرع ، لأنه لم يكن عليك إنشاء مخطط مليء بالمضاعفات للعثور على مضاعف مشترك.

الآن بعد أن وجدت المضاعف المشترك الأصغر ، يمكنك استخدام هذا الرقم باعتباره أقل مقام مشترك للكسور. اضرب كل كسر في الشكل الكسري 1 الذي سينتج عنه مقام 60:

الآن بعد أن أصبح لديك مثل القواسم ، أضف الكسور:

يمكنك أيضًا العثور على أقل القواسم المشتركة للتعبيرات المنطقية واستخدامها لإضافة تعبيرات منطقية ذات مقامات مختلفة:

يضيف. اذكر المجموع في أبسط صورة.

15م 2 = 3 • 5 • مم

أوجد التحليل الأولي لكل مقام.

15م 2 = 35م م

21م = 3 • 7م

LCM: 3 • 5 • 7 مم

أوجد المضاعف المشترك الأصغر. يظهر الرقم 3 مرة واحدة بالضبط في كلا التعبيرين ، لذا سيظهر مرة واحدة في المضاعف المشترك الأصغر. يظهر كل من 5 و 7 مرة واحدة على الأكثر. للمتغيرات ، الأكثر م يظهر مرتين.

استخدم المضاعف المشترك الأصغر للمقام المشترك الجديد ، وستكون شاشة LCD.

قارن بين كل مقام أصلي والمقام المشترك الجديد. الآن أعد كتابة المقادير الكسرية بحيث يكون لكل منها المقام المشترك 105م 2. تذكر ذلك م لا يمكن أن تكون 0 لأن المقامات ستكون 0.

المقام الأول هو 15م 2 وشاشة LCD هي 105م 2. عليك أن تضرب 15م 2 في 7 للحصول على LCD ، اضرب التعبير المنطقي بأكمله في .

المقام الثاني هو 21م وشاشة LCD هي 105م 2. تحتاج إلى ضرب 21م بنسبة 5م للحصول على شاشة LCD ، اضرب التعبير المنطقي بالكامل في .

اجمع البسط واحتفظ بالمقام كما هو.

إن أمكن ، بسّط بإيجاد العوامل المشتركة في البسط والمقام. هذا التعبير المنطقي موجود بالفعل في أبسط صورة لأن البسط والمقام لا يوجد بينهما عوامل مشتركة.

استغرق ذلك بعض الوقت ، لكنك تجاوزته. يمكن أن تكون إضافة التعبيرات المنطقية عملية طويلة ، ولكن يمكن القيام بها بخطوة واحدة في كل مرة.

الآن دعونا نحاول طرح التعبيرات المنطقية. ستستخدم نفس الأسلوب الأساسي لإيجاد المقام المشترك الأصغر وإعادة كتابة كل تعبير كسري للحصول على هذا المقام.

طرح او خصم. اذكر الفرق في أبسط صورة.

أوجد التحليل الأولي لكل مقام. ر + 1 لا يمكن تحليلها إلى عوامل أخرى ، ولكن يمكن ان يكون. تذكر ذلك ر لا يمكن أن يكون -1 أو 2 لأن المقامات ستكون 0.

أوجد المضاعف المشترك الأصغر. ر يظهر + 1 مرة واحدة بالضبط في كلا التعبيرين ، لذا سيظهر مرة واحدة في المقام المشترك الأصغر. ر - يظهر الرقم 2 مرة واحدة أيضًا.

هذا يعني ذاك (ر - 2)(ر + 1) هو المضاعف المشترك الأصغر. في هذه الحالة ، من الأسهل ترك المضاعف المشترك بدلالة العوامل ، لذلك لن تضربه.

استخدم المضاعف المشترك الأصغر للمقام المشترك الجديد ، وستكون شاشة LCD.

قارن بين كل مقام أصلي والمقام المشترك الجديد. الآن أعد كتابة التعبيرات المنطقية بحيث يكون لكل منها المقام المشترك (ر + 1)(ر – 2).

تحتاج إلى الضرب ر + 1 من خلال ر - 2 للحصول على LCD ، اضرب التعبير المنطقي بأكمله في .

التعبير الثاني له بالفعل مقام (ر + 1)(ر - 2) فلا داعي لضربها بأي شيء.

ثم أعد كتابة مسألة الطرح بالمقام المشترك.

اطرح البسط وبسّط. تذكر أنه يجب تضمين الأقواس حول الثانية (ر - 2) في البسط لأنه يتم طرح الكمية بالكامل. وإلا فسوف تطرح فقط ر.”

البسط والمقام لهما عامل مشترك ر - 2 ، لذلك يمكن تبسيط التعبير المنطقي.

حتى الآن ، تشترك جميع التعبيرات المنطقية التي أضفتها وطرحتها في بعض العوامل. ماذا يحدث عندما لا يكون لديهم عوامل مشتركة؟

طرح او خصم. اذكر الفرق في أبسط صورة.

المضاعف المشترك الأصغر = (2ذ - 1)(ذ - 5)

لا 2 ذ - 1 ولا ص - 5 يمكن أخذها في الاعتبار. نظرًا لعدم وجود عوامل مشتركة بينهما ، فإن المضاعف المشترك الأصغر ، والذي سيصبح أقل القاسم المشترك ، هو ناتج هذه القواسم. تذكر أن y لا يمكن أن تكون ½ أو 5 لأن المقامات ستكون 0.

اضرب كل تعبير بما يعادل 1 حتى يعطيه المقام المشترك.

ثم أعد كتابة مسألة الطرح بالمقام المشترك. من المنطقي الاحتفاظ بالمقام في صورة محللة من أجل التحقق من العوامل المشتركة.

يضيف. اذكر المجموع في أبسط صورة.

أ)

ب)

ج)

د)

أ)

غير صحيح. النهج صحيح ، لكن الإجابة لم يتم تبسيطها. يمكن تبسيط بسط التعبير المنطقي عن طريق الضرب والجمع بين الحدود المتشابهة. والجواب الصحيح هو .

ب)

غير صحيح. لإضافة تعبيرات نسبية ذات مقامات مختلفة ، يجب أولاً إيجاد مقام مشترك. القاسم المشترك لهذه التعبيرات المنطقية هو لأن القواسم ليس لها أي عوامل مشتركة. اكتب كلاهما مضاف بمقام مشترك ، ، ثم التبسيط. والجواب الصحيح هو .

ج)

غير صحيح. يمكنك فقط تبسيط البسط والمقام عند وجود مثل عوامل، لا يشبه مصطلحات. لا يمكنك إلغاء x فصلين و 12. والجواب الصحيح هو .

د)

صيح. ابحث أولاً عن قاسم مشترك ، (x + 4)(x - 3) ، وأعد كتابة كل إضافة باستخدام هذا المقام: . اضرب واجمع البسط: .

الجمع بين العديد من التعبيرات المنطقية

قد تحتاج إلى دمج أكثر من تعبيرين منطقيين. في حين أن هذا قد يبدو واضحًا جدًا إذا كان لديهم جميعًا نفس المقام ، فماذا يحدث إذا لم يكن لديهم نفس المقام؟

في المثال أدناه ، لاحظ كيف تم إيجاد قاسم مشترك لثلاثة تعبيرات نسبية. بمجرد الانتهاء من ذلك ، تبدو عملية جمع المصطلحات وطرحها كما كانت سابقًا ، عندما كنت تتعامل مع مصطلحين فقط.

تبسيط. اذكر النتيجة في أبسط صورة.

x 2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

LCM = (x + 2)(x – 2)

أوجد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل كل مقام إلى عوامل. اضرب كل عامل في الحد الأقصى لعدد مرات ظهوره في عامل واحد. تذكر ذلك x لا يمكن أن يكون 2 أو -2 لأن المقامات ستكون 0.

(x + 2) يظهر بحد أقصى مرة واحدة ، كما يفعل (x - 2). هذا يعني أن LCM هو (x + 2)(x – 2).

المضاعف المشترك الأصغر يصبح المقام المشترك. اضرب كل تعبير بما يعادل 1 حتى يعطيه المقام المشترك.

أعد كتابة المسألة الأصلية بالمقام المشترك. من المنطقي الاحتفاظ بالمقام في صورة محللة من أجل التحقق من العوامل المشتركة.

تحقق من أبسط شكل. منذ لا ولا هو عامل ، هذا التعبير هو في أبسط صورة.

تبسيط. اذكر النتيجة في أبسط صورة.

3ذ = 3 • ذ

المضاعف المشترك الأصغر = 3 • 3 • xذ

أوجد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل كل مقام إلى عوامل. اضرب كل عامل في الحد الأقصى لعدد مرات ظهوره في عامل واحد. تذكر ذلك x و ذ لا يمكن أن تكون 0 لأن المقامات ستكون 0.

المضاعف المشترك الأصغر يصبح المقام المشترك. اضرب كل تعبير بما يعادل 1 حتى يعطيه المقام المشترك.


كيفية البحث عن جمع وطرح التعبيرات المنطقية؟

إضافة التعبيرات العقلانية: يمكننا جمع البسط والمقام ثم تبسيط حاصل الضرب.

  • إذا كانت قيم المقام متساوية ، أضف البسط وعبر عن التعبير المنطقي في أبسط صورة.
  • إذا كانت قيم المقام مختلفة ، فأوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام لجعلهما متساويين ثم اجمع البسطين.

على سبيل المثال ، أضف 4/5 و 9/5 = 4/5 + 9/5 = 13/5. يمكن تطبيق نفس الشيء على التعبيرات المنطقية.

طرح التعبيرات المنطقية: يمكننا طرح البسط والمقام ثم تبسيط حاصل الضرب.

  • إذا كانت قيم المقام هي نفسها ، اطرح البسط وعبر عن التعبير المنطقي في أبسط صورة.
  • إذا كانت قيم المقام مختلفة ، فأوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقام لجعلهما متساويين ثم اطرح البسطين.

على سبيل المثال ، اطرح 2/3 و 5/9 = 2/3 - 9/5 = -17 / 15 ويمكن تطبيق نفس الشيء على التعبيرات المنطقية.

مثال محلول:

أوجد مجموع تعبيرين منطقيين معطين (x + 3) / (x + 1) و (x + 2) / (x + 1)

حل:

أضف (x + 3) / (x + 1) و (x + 2) / (x + 1)

وبالمثل ، يمكنك تجربة الآلة الحاسبة لإيجاد جمع وطرح التعابير المنطقية لـ


متاهة الرياضيات جمع وطرح التعابير المنطقية

يتدرب الطلاب على جمع وطرح التعبيرات المنطقية من خلال إكمال متاهة الرياضيات!

يرسمون سهامًا لإظهار المسار الذي سلكوه للوصول من بداية المتاهة إلى المخرج.

يحتوي هذا التنزيل على ثلاث متاهات مختلفة يستخدمها المعلمون للتمييز بين تعليماتهم.

تم تصميم أسئلة متاهة المستوى 1 للطلاب الذين يكافحون من أجل فهم هذا المفهوم. كل المشاكل في هذه المتاهة لها قاسم مشترك.

تم تصميم أسئلة متاهة المستوى 2 للطالب العادي. من أجل حل المشكلات في هذه المتاهة ، سيتعين على الطلاب أولاً إيجاد قاسم مشترك.

تم تصميم أسئلة متاهة المستوى 3 للطلاب الأقوى كنشاط إثرائي. قبل إضافة أو طرح التعبيرات المنطقية في هذه المتاهة ، سيتعين على الطلاب أولاً إيجاد قاسم مشترك عن طريق التحليل إلى عوامل.


إضافة وطرح العبارات المنطقية

(2) اكتب مجموع أو فرق البسط الموجودة في الخطوة (1) فوق المقام المشترك.

(3) تقليل التعبير العقلاني الناتج إلى أدنى أشكاله

جمع وطرح التعبيرات النسبية ذات المقامات غير المتشابهة:

(ط) تحديد المضاعف المشترك الأصغر للمقام.

(2) أعد كتابة كل كسر ككسر مكافئ باستخدام المضاعف المشترك الأصغر الذي تم الحصول عليه في الخطوة (1). يتم ذلك بضرب كل من البسط والمقام لكل تعبير بأي عوامل مطلوبة للحصول على المضاعف المشترك الأصغر.

(3) اتبع نفس الخطوات المعطاة للقيام بالجمع أو الطرح للتعبير العقلاني بمقامات متشابهة.

نظرًا لأن مقام كلا الكسرين متماثلان ، علينا أن نضع مقامًا واحدًا فقط ونجمع الكسور.

ومن ثم فإن قيمة التعبير المنطقي المعطى هي (x 2 + xy + y 2).

(i) & # xa0 [(2x + 1) (x - 2) / (x - 4)] - [(2x 2-5x + 2) / (x - 4)]

& # xa0 = & # xa0 [(2x 2 - 4x + x - 2) - & # xa0 (2x 2 & # xa0- 5x + 2)] / (x - 4)

& # xa0 = & # xa0 4x / (x + 1) (x - 1) & # xa0 - (x + 1) (x + 1) / (x - 1) (x + 1)

& # xa0 = & # xa0 [4x - (x + 1) 2] / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 [4x - (x 2 + 2x + 1)] / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 (-x 2 + 2x - 1) / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 - (x 2 & # xa0- 2x + 1) / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 - (x - 1) (x - 1) / (x + 1) (x - 1)

& # xa0 = & # xa0 - (x - 1) / (x + 1)

& # xa0 = & # xa0 (1 - x) / (1 + x)

اطرح 1 / (x 2 + 2) من (2x 3 + x 2 + 3) / (x 2 + 2) 2

= & # xa0 (2x 3 + x 2 + 3 - x 2-2) / (x 2 & # xa0 + 2) 2

بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث Google المخصص هنا.

إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


المصادر المفتوحة لكلية الجبر في المجتمع

الأهداف: محتوى مقرر PCC ودليل مخرجاته

في القسم الأخير ، تعلمنا كيف نضرب ونقسم التعبيرات المنطقية. في هذا القسم ، سوف نتعلم كيفية جمع وطرح التعبيرات المنطقية.

الشكل 12.3.1. درس فيديو بديل

القسم الفرعي 12.3.1 مقدمة

مثال 12.3.2.

جوليا تأخذ عائلتها في رحلة بالقارب (12 ) ميلاً أسفل النهر والعودة. يتدفق النهر بسرعة (2 ) ميل في الساعة وتريد قيادة القارب بسرعة ثابتة ، (v ) ميل في الساعة باتجاه مجرى النهر والعودة إليه. نظرًا لتيار النهر ، فإن السرعة الفعلية للسفر هي (v + 2 ) ميلاً في الساعة في اتجاه مجرى النهر ، و (v-2 ) ميلاً في الساعة في اتجاه التيار. إذا كانت جوليا تخطط لقضاء (8 ) ساعات طوال الرحلة ، فما السرعة التي يجب أن تقود بها القارب؟

نحتاج إلى مراجعة ثلاثة أشكال من معادلة الحركة بمعدل ثابت:

حيث (d ) تعني المسافة ، (v ) تمثل السرعة ، و (t ) تعني الوقت. وفقًا للنموذج الثالث ، فإن الوقت الذي يستغرقه القارب للسفر في اتجاه مجرى النهر هو ( frac <12> text <،> ) والوقت المستغرق للعودة إلى المنبع هو ( frac <12> نص <.> )

وظيفة نمذجة وقت الرحلة بأكملها هي

حيث (t ) تعني الوقت بالساعات و (v ) هي سرعة القارب بالأميال في الساعة. لنلقِ نظرة على الرسم البياني لهذه الوظيفة في الشكل 12.3.3. لاحظ أنه نظرًا لأن السرعة (v ) والوقت (t (v) ) يجب أن يكونا موجبين في السياق ، فإن ما يهم هو فقط الربع الأول من الشكل 12.3.3.

للعثور على السرعة التي يجب أن تقودها جوليا القارب لجعل الرحلة ذهابًا وإيابًا تدوم (8 ) ساعات ، يمكننا استخدام تقنية الرسوم البيانية لحل المعادلة

بيانياً ونرى أن (v = 4 text <.> ) يخبرنا هذا أن السرعة (4 ) أميال في الساعة ستعطي إجمالي الوقت (8 ) ساعات لإكمال الرحلة. للذهاب إلى المصب ، سيستغرق الأمر ( frac <12>= frac <12> <4 + 2> = 2 ) ساعة وللتحرك لأعلى ، سيستغرق الأمر ( frac <12>= فارك <12> <4-2> = 6 ) ساعة.

الهدف من هذا القسم هو العمل مع تعبيرات مثل ( frac <12>+ فارك <12> text <،> ) حيث يتم إضافة تعبيرين منطقيين (أو طرحهما). هناك أوقات يكون فيها من المفيد دمجها في كسر واحد. سوف نتعلم أن التعبير ( frac <12>+ فارك <12>) يساوي التعبير ( frac <24v> text <،> ) وسوف نتعلم كيف نجعل هذا التبسيط.

القسم الفرعي 12.3.2 جمع وطرح التعبيرات المنطقية ذات المقام نفسه

ستكون عملية إضافة وطرح التعبيرات المنطقية مشابهة جدًا لعملية جمع وطرح الكسور العددية البحتة.

إذا كان للمقدرين نفس المقام ، فيمكننا الاعتماد على خاصية جمع الكسور وطرحها وتبسيط هذه النتيجة.

لنراجع كيفية جمع الكسور بنفس المقام:

يمكننا جمع وطرح التعبيرات المنطقية بنفس الطريقة:

حدد أصغر المقام المشترك لجميع المقامات.

إذا لزم الأمر ، قم ببناء كل تعبير بحيث تكون المقامات متماثلة.

بسّط التعبير المنطقي الناتج قدر الإمكان. قد يتطلب هذا تحليل البسط.

مثال 12.3.5.

أضف التعبيرات المنطقية: ( dfrac <2x>+ dfrac <2y> نص <.> )

هذه التعبيرات لها بالفعل قاسم مشترك:

لاحظ أننا لم نتوقف عند ( frac <2x + 2y> text <.> ) إذا أمكن ، علينا تبسيط البسط والمقام. نظرًا لأن هذا تعبير متعدد المتغيرات ، فإن هذا الكتاب المدرسي يتجاهل قيود المجال أثناء الإلغاء.

القسم الفرعي 12.3.3 جمع وطرح التعبيرات المنطقية ذات المقامات المختلفة

لإضافة مقادير كسرية ذات مقامات مختلفة ، سنحتاج إلى بناء كل كسر للمقام المشترك الأصغر ، بنفس الطريقة التي نستخدمها مع الكسور العددية. دعنا نراجع هذه العملية بإيجاز عن طريق إضافة ( frac <3> <5> ) و ( frac <1> <6> text <:> )

يمكن استخدام هذه الطريقة الدقيقة عند إضافة تعبيرات منطقية تحتوي على متغيرات. المفتاح هو أن التعابير يجب لها نفس المقام قبل إضافتها أو طرحها. إذا لم يكن لديهم هذا في البداية ، فسنحدد المقام المشترك الأصغر ونبني كل تعبير بحيث يكون له هذا المقام.

دعنا نطبق هذا لإضافة تعبيرين بمقامين هما (v-2 ) و (v + 2 ) من المثال 12.3.2.

مثال 12.3.6.

أضف التعابير المنطقية وبسّط الوظيفة المعطاة من خلال (t (v) = frac <12>+ فارك <12> نص <.> )

مثال 12.3.7.

أضف التعبيرات المنطقية: ( dfrac <2> <5x ^ 2y> + dfrac <3> <20xy ^ 2> )

يجب أن يتضمن المقام المشترك الأصغر لـ (5x ^ 2y ) و (20xy ^ 2 ) اثنين (x ) واثنين (y ) ، بالإضافة إلى (20 text <. > ) هكذا يكون (20x ^ 2y ^ 2 text <.> ) سنقوم ببناء كلا المقامين لـ (20x ^ 2y ^ 2 ) قبل القيام بالإضافة.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة الأكثر تعقيدًا.

مثال 12.3.8.

اطرح التعبيرات المنطقية: ( dfrac- dfrac <8y-8>)

في البداية ، سنتأكد من تحليل كل مقام إلى عوامل. Then we'll find the least common denominator and build each expression to that denominator. Then we will be able to combine the numerators and simplify the expression.

Note that we must factor the numerator in (frac<(y+2)(y-2)>) and try to reduce the fraction (which we did).

Warning 12.3.9 .

In Example 12.3.8, be careful to subtract the entire numerator of (8y-8 ext<.>) When this expression is in the numerator of (frac<8y-8><(y+2)(y-2)> ext<,>) it's implicitly grouped and doesn't need parentheses. But once (8y-8) is subtracted from (y^2+2y ext<,>) we need to add parentheses so the entire expression is subtracted.

In the next example, we'll look at adding a rational expression to a polynomial. Much like adding a fraction and an integer, we'll rely on writing that expression as itself over one in order to build its denominator.

Example 12.3.10 .

Add the expressions: (-dfrac<2>+r)

Note that we factored the numerator to reduce the fraction if possible. Even though it was not possible in this case, leaving it in factored form makes it easier to see that it is reduced.

Example 12.3.11 .

To start, we'll need to factor each of the denominators. After that, we'll identify the LCD and build each denominator accordingly. Then we can combine the numerators and simplify the resulting expression.

Reading Questions 12.3.4 Reading Questions

Describe how to add two rational expressions when they have the same denominator.

Suppose you are adding two rational expressions where one of them has a quadratic denominator, and the other has a linear denominator. What is the first thing you should try to do with respect to the quadratic denominator?


إضافة التعابير المنطقية

Adding and subtracting rational expressions are similar to adding and subtracting numerical ratios.

In order to add or subtract a rational expression, a common denominator must be found first, and then the operation can be carried out in the numerator.

مع like denominators , simply add the two numerators to find the sum.

4 x + 1 + x x + 1         =         x + 4 x + 1 Add the numerators (the denominator does not change).

مع unlike denominators

First find the common denominator

بواسطة multiplying denominators

Example 2: Single Term Ratios 3 2 x + 5 7
7 7 × 3 2 x + 2 x 2 x × 5 7 Multiply each ratio by one using the other denominator.

21 14 x + 10 x 14 x Multiply across.

10 x + 21 14 x Add the numerators.

بواسطة finding least common multiple of the denominators

Example 3: Single Term Ratios 7 8 x + 16 5 x
The least common multiple (LCM) from 8x and 5x is 40x

5 5 × 7 8 x     +     8 8 × 16 5 x Multiply the ratios by one to get a common denominator.

35 40 x + 128 40 x Multiply across.

163 40 x Add the numerators, simplify if possible.

163 and 40 are relatively prime, so this ratio cannot be simplified.

Example 4: Factoring trinomials in the denominator.

2 x x 2 + 5 x − 24 + 4 x − 3
x 2 + 5x - 24 = (x + 8)(x - 3) Factor the denominator.

2 x ( x + 8 ) ( x − 3 ) + ( x + 8 ) ( x + 8 ) × 4 ( x − 3 ) Multiply the second ratio to obtain a common denominator.

2 x + 4 ( x + 8 ) ( x + 8 ) ( x − 3 ) Add the numerators.

2 x + 4 x + 32 ( x + 8 ) ( x − 3 ) Use the distributive property to combine like terms.

6 x + 32 ( x + 8 ) ( x − 3 ) Rewrite in simplified form.

Example 5: Special products in the denominator.

x x 2 − 4 + x + 2 x 2 + 4 x + 4
x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2) and x 2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) Factor the denominators.

( x + 2 ) ( x + 2 ) × x ( x + 2 ) ( x − 2 )     +     ( x − 2 ) ( x − 2 ) × ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) Multiply the ratios to obtain common denominators.

x ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) + ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) Rewrite.

x ( x + 2 ) + ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Add the numerators.

( x + ( x − 2 ) ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Regroup the terms to factor the numerator.

( 2 x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Eliminate common factors.

( 2 x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Rewrite in simplified form.

Example 6: Subtraction x + 3 x 2 − 2 x − 8 − x − 5 x 2 − 12 x + 32
x 2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) Factor the denominators.

( x − 8 ) ( x − 8 ) × ( x + 3 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) − ( x + 2 ) ( x + 2 ) × ( x − 5 ) ( x − 8 ) ( x − 4 ) Multiply the ratios to obtain common denominators.

x 2 − 5 x − 24 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) − x 2 − 3 x − 10 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) Multiply to determine new numerators

− 2 x − 14 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) Subtract the second numerator from the first.

With -2x - 14 = -2(x + 7) there are no common factors to simplify the ratio keep the ratio as is.

Example 7: Addition and subtraction together

x + 3 x 2 − 25 + x − 1 x − 5 − 2 x + 5
x 2 - 25 = (x + 5)(x - 5) Factor the denominator.

( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) + ( x + 5 ) ( x + 5 ) × ( x − 1 ) ( x − 5 ) − ( x − 5 ) ( x − 5 ) × 2 ( x + 5 ) Multiply the ratios to obtain a common denominator.

  ( x + 3 ) + ( x 2 + 4 x − 5 ) − ( 2 x − 10 ) ( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Rewrite the numerator.

x 2 + 3 x + 8 ( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Combine like terms.

Now that you can add and subtract rational expressions, you are ready to start solving rational equations.

To link to this إضافة التعابير المنطقية page, copy the following code to your site:


To divide two Rational Expressions, first flip the second expression over (make it a reciprocal) and then do a multiply like above:

مثال:

First flip the second one over and make it a multiply:

2x &minus 2 / 3x+1 = 2x &minus 2 × x+13

2 x &minus 2 × x+13 = 2(x+1)3(x &minus 2)


Adding and Subtracting Rational Expressions with Unlike Denominators

There are a few steps to follow when you add or subtract rational expressions with unlike denominators.

  1. To add or subtract rational expressions with unlike denominators, first find the LCM of the denominator. The LCM of the denominators of fraction or rational expressions is also called least common denominator , or LCD.
  2. Write each expression using the LCD. Make sure each term has the LCD as its denominator.
  3. Add or subtract the numerators.
  4. قم بالتبسيط حسب الحاجة.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

Since 3 a and 4 b have no common factors, the LCM is simply their product: 3 a &sdot 4 b .

That is, the LCD of the fractions is 12 a b .

Rewrite the fractions using the LCD.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

Here, the GCF of 4 x 2 and 6 x y 2 is 2 x . So, the LCM is the product divided by 2 x :

Rewrite the fractions using the LCD.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

The LCM of a and a &minus 5 is a ( a &minus 5 ) .

That is, the LCD of the fractions is a ( a &minus 5 ) .

Rewrite the fraction using the LCD.

2 a &minus 3 a &minus 5 = 2 ( a &minus 5 ) a ( a &minus 5 ) &minus 3 a a ( a &minus 5 )

= 2 a &minus 10 a ( a &minus 5 ) &minus 3 a a ( a &minus 5 )

Since the denominators are not the same, find the LCD.

The LCM of c + 2 and c &minus 3 is ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) .

That is, the LCD of the fractions is ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) .

Rewrite the fraction using the LCD.

5 c + 2 + 6 c &minus 3 = 5 ( c &minus 3 ) ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) + 6 ( c + 2 ) ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

= 5 c &minus 15 ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) + 6 c + 12 ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

= 5 c &minus 15 + 6 c + 12 ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

Download our free learning tools apps and test prep books

Names of standardized tests are owned by the trademark holders and are not affiliated with Varsity Tutors LLC.

4.9/5.0 Satisfaction Rating over the last 100,000 sessions. As of 4/27/18.

Media outlet trademarks are owned by the respective media outlets and are not affiliated with Varsity Tutors.

Award-Winning claim based on CBS Local and Houston Press awards.

Varsity Tutors does not have affiliation with universities mentioned on its website.

Varsity Tutors connects learners with experts. Instructors are independent contractors who tailor their services to each client, using their own style, methods and materials.


1) Make the denominators of the rational expressions the same by finding the Least Common Denominator (LCD).

Note: The Least Common Denominator is the same as the Least Common Multiple (LCM) of the given denominators.

2) Next, combine the numerators by the indicated operations (add and/or subtract) then copy the common denominator.

Note: Don’t forget to simplify further the rational expression by canceling common factors, if possible.

As they say, practice makes perfect. So we will go over six (6) worked examples in this lesson to illustrate how it is being done. Let’s get started!

Examples of Adding and Subtracting Rational Expressions

Example 1: Add and subtract the rational expressions below.

In this case, we are adding and subtracting rational expressions with unlike denominators. Our goal is to make them all the same.

Since I have monomials in the denominators, the LCD can be obtained by simply taking the Least Common Multiple of the coefficients, where LCM ( 3 , 6 ) = 6 , and multiply that to the variable x with the highest exponent.

The LCD should be (LCM of coefficients) times (LCM of variable x ) which gives us left( 6 ight)left( <> ight) = 6 .

The “blue fractions” are the appropriate multipliers to do the job!

Now that we have the same denominators, it is easy to simplify.

Combine similar terms (see the x variables?).

  • When you reach the point of having a single rational expression, your next critical step is to factor the top and the bottom completely.

The reason is that you may have common factors, which can be canceled out.

To make this a better answer, I will exclude the value of x that can make the original rational expression undefined.

I can add the condition that x e 0 .

Example 2: Add the rational expressions below.

This problem contains like denominators. We want this because it is the LCD itself – the given denominator of the rational expression.

So then the LCD that we are going to use is 2x + 1 .

Tip: Don’t rush by immediately doing all the calculations in your head. I suggest that you place each term inside the parenthesis before performing the required operation. This extra step may be your lifesaver to avoid careless mistakes.

  • Unless you have a good grasp on how to effectively combine like terms, I suggest you take another “baby step” as an additional precaution.

Do you see how I decided to place the like terms side-by-side on the numerator?

To prevent the original rational expression to have a denominator of zero, we say that x e - <1 over 2>.

Example 3: Add the rational expressions below.

This time I have the same trinomial in both denominators. This is similar to problem #2 but the quadratic trinomial adds a layer of fun. Later, I can factor out the denominator to see if there are common factors to cancel against the numerator.

  • Copy the common denominator and set it up just like this – placing each numerator in the parenthesis before adding them.
  • Rearrange the terms in such a way that similar terms are next to each other for ease of computation later.

You may say that x e - ,4 and x e + ,5 from the original denominator.

المثال 4: Subtract the rational expressions below.

This is a good example because the denominators are different. I need to find the LCD by doing the following steps.

Factor each denominator completely, and line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.

  • In this step, I haven’t done anything but factor out the denominator of the first rational expression.

The first denominator is okay but the second one is lacking left( ight) .

This is why I multiply it by the blue fraction .

  • Put them all together in one fraction with a common denominator of left( ight)left( ight) . However, keep each numerator inside a parenthesis.

Group similar terms together before simplifying them.

  • We got it! You may include the restrictions that x e 5 and x e - ,5 based on the original denominator of the given rational expression. This is to prevent the division of zero, which is not good.

Example 5: Subtract and add the rational expressions below.

This problem is definitely interesting. To solve this, hold on to the things that you already know. Find the LCD by doing the steps below.

Factor each denominator completely and neatly line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.

  • Combine them in one fraction while keeping each numerator within a parenthesis. Make sure to copy the indicated operations correctly.
  • Now, we’ll factor out the numerator and hope to see common factors between the numerator and denominator that can be canceled.
  • We now have our final answer. Add the restrictions x e 4 and x e - ,3 to avoid dividing by zero.

Example 6: Subtract and add the rational expressions below.

This is our last example in this lesson. I must say this is very similar to example 5. By now, you should already have a solid understanding of how to add and subtract rational expressions.

Let’s start finding the LCD again.

Factor each denominator completely and neatly line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.


Watch the video: جمع وطرح التعبيرات الجذرية (شهر اكتوبر 2021).