مقالات

4.1: دوال خطية - رياضيات


تخيل وضع نبات في الأرض ذات يوم ووجد أنه قد تضاعف ارتفاعه بعد أيام قليلة فقط. على الرغم من أنه قد يبدو أمرًا لا يصدق ، إلا أنه يمكن أن يحدث مع أنواع معينة من أنواع الخيزران. هؤلاء أعضاء عائلة العشب هم النباتات الأسرع نموًا في العالم. لوحظ أن نوعًا واحدًا من الخيزران ينمو حوالي 1.5 بوصة كل ساعة .1 في فترة أربع وعشرين ساعة ، ينمو نبات الخيزران هذا حوالي 36 بوصة ، أو 3 أقدام لا تصدق! معدل التغيير الثابت ، مثل دورة نمو نبات الخيزران هذا ، هو دالة خطية.


الشكل ( PageIndex {1} ): غابة من الخيزران في الصين (من: "JFXie" / Flickr)

تذكر من الدالات وترميز الوظيفة أن الوظيفة هي علاقة تعين لكل عنصر في المجال عنصرًا واحدًا بالضبط في النطاق. الوظائف الخطية هي نوع محدد من الوظائف التي يمكن استخدامها لنمذجة العديد من تطبيقات العالم الحقيقي ، مثل نمو النبات بمرور الوقت. في هذا الفصل ، سوف نستكشف الدوال الخطية والرسوم البيانية وكيفية ربطها بالبيانات.

1 www.guinnessworldrecords.com/...growing-plant/


MPM1D & # 8211 4.1 & # 8211 التباين المباشر

سيعمل الطلاب في مجموعات الجداول الخاصة بهم على أنشئ جدولاً للقيم و رسم بياني للعلاقة على الشبكة. سيقومون بعد ذلك بإكمال ما يلي المتعلق بالمشكلة:

تحديد المتغيرات المستقلة / التابعة.

صف شكل الرسم البياني.
أين يتقاطع مع المحور العمودي؟

اكتب معادلة لإيجاد المسافة d بالأمتار التي تهرعها سوزان في t دقيقة.

استخدم المعادلة لتحديد المسافة التي تستطيع سوزان الركض بها في 25 دقيقة.

ضع في اعتبارك المسافة التي قطعتها سوزان في 5 دقائق.
ماذا يحدث لهذه المسافة عندما يتضاعف الوقت؟
ماذا يحدث للمسافة عندما يتضاعف الوقت ثلاث مرات؟

سيشارك الفصل في مناقشة باستخدام Apple TV كوسيلة لعرض أعمال الطلاب المختلفة بسرعة عبر كل مجموعة طاولة.

العقول على الحلول

عمل

نمذجة الوحدة 4 مع الرسوم البيانية & # 8211 4.1 & # 8211 التباين المباشر

سيقود المعلم مناقشة حول اختلاف مباشر ومحاولة إزالة الغموض عن التعريف:

التباين المباشر هو علاقة بين متغيرين يكون فيهما متغير واحد مضاعفًا ثابتًا للمتغير الآخر.

ستغطي المناقشة ما يلي اختلاف مباشر المواضيع:

  • كيف يمكننا ربط الاختلاف المباشر بالمنطق النسبي ،
  • كيف يبدو الشكل المباشر في جدول ورسم بياني ، و
  • كيف تجد ثابت الاختلاف ، م.

ما هو فيديو التباين المباشر

شريط فيديو يلخص معظم الموضوعات التي تم تناولها في مناقشة الفصل الدراسي لدينا اختلاف مباشر.

أسئلة مهمة التغيير المباشر

سيقوم المعلم بسقالة الطلاب خلال الدرس باستخدام أ الإفراج التدريجي عن نهج المسؤولية. سيبدأ المعلم المهمتين الأوليين مع الطلاب ثم يترك المجموعات تحل المشكلات بالطريقة التي يشعرون بها براحة أكبر.

تستهدف أسئلة مهمة التباين المباشر قدرة الطلاب على تحديد الاختلاف المباشر في مشكلة الكلمات ، من معادلة وجدول ورسم بياني.

يمكن مشاركة المهام عبر Apple TV لإظهار طرق متعددة لحل كل سؤال مهمة.

توطيد

تحديد الاختلاف المباشر وتحديد ثابت التباين

سيجيب الطلاب على أسئلة الدمج التي تشير إلى ما إذا كان بإمكان الطلاب ذلك تحديد الاختلاف المباشر في شكل معادلة وجدول ورسم بياني وكذلك ما إذا كان بإمكانهم ذلك تحديد ثابت الاختلاف عندما تكون المعادلة الخطية تباينًا مباشرًا.

إرسال إجابات التوحيد في نموذج Google Drive

عند الانتهاء ، سيرسل الطلاب إجابات التوحيد الخاصة بهم في نموذج Google Drive أدناه:

أشرطة فيديو يوتيوب

MPM1D & # 8211 4.1 & # 8211 التباين المباشر

يمكن العثور على جميع مقاطع الفيديو الخاصة بالوحدة 4 في مقاطع فيديو الرياضيات & # 8211 نمذجة الوحدة 4 مع الرسوم البيانية.

سيتم إدراج مقاطع الفيديو المسجلة قبل أو أثناء أو بعد الفصل أدناه:

أسئلة من الواجب المنزلي:

في الفيديو التالي ، يناقش الأستاذ / بيرس والفصل سؤالاً من الواجب المنزلي. تم تسجيل ذلك في اليوم التالي في بداية الفصل بمساعدة الطلاب. السؤال المطروح هو:

تختلف تكلفة البرتقال بشكل مباشر مع إجمالي الكتلة المشتراة. 2 كجم من البرتقال تكلف 4.50 دولار.

أ) صِف العلاقة بالكلمات.
ب) اكتب معادلة تتعلق بالتكلفة وكتلة البرتقال. ماذا يمثل ثابت التباين؟
ج) ما هي تكلفة 30 كجم برتقال؟

أوراق العمل & # 038 الموارد

MPM1D & # 8211 4.1 & # 8211 التباين المباشر

يبحث

المشاركات الاخيرة

اجعل لحظات الرياضيات مع جديدنا

يتكون كل دليل مدرس من:

  • قصد الدرس
  • خطوة بخطوة خلال كل مرحلة من مراحل الدرس
  • المرئيات والرسوم المتحركة ومقاطع الفيديو التي تفكك الأفكار والاستراتيجيات والنماذج الكبيرة التي نعتزم الظهور أثناء الدرس
  • عينة من مناهج الطلاب للمساعدة في توقع ما قد يفعله طلابك
  • الموارد والتنزيلات بما في ذلك Keynote و Powerpoint وملفات الوسائط ودليل المعلم PDF القابل للطباعة و ،
  • أكثر بكثير!

يبدأ كل درس يعتمد على حل المشكلات في تكوين لحظات الرياضيات بقصة أو مرئي أو فيديو أو طريقة أخرى لإثارة الفضول من خلال السياق.

غالبًا ما يلاحظ الطلاب ويتساءلون قبل إجراء تقدير لجذبهم والاستثمار في المشكلة.

ومن الأمثلة الرائعة على ذلك واحدة من أحدث وحداتنا تسمى Piggy Bank.

بعد سماع صوت الطالب والاعتراف به ، سنقوم بتشغيل الطلاب على النضال الإنتاجي من خلال موجه متعلق بسياق Spark.

يتم إعطاء هذه المطالبات في كل درس بالشروط التالية:

  • لن يتم استخدام أي آلات حاسبة ،
  • يجب على الطلاب التركيز على كيفية إقناع مجتمع الرياضيات الخاص بهم بأن حلهم صالح.

يُترك الطلاب للانخراط في صراع مثمر بينما يتنقل الميسر للملاحظة والمشاركة في المحادثة كوسيلة للتقييم بشكل شكلي.

يتم إرشاد الميسر من خلال دليل المعلم حول الاستراتيجيات والنماذج المحددة التي يمكن استخدامها لإجراء اتصالات وتعزيز التعلم من درس الرياضيات في الفصل الثالث.

في كثير من الأحيان ، يتم توفير الرسوم المتحركة ومقاطع الفيديو في دليل المعلم للمساعدة في التخطيط وتقديم الدمج.

يتم توفير صورة مراجعة أو مقطع فيديو أو رسم متحرك كاستنتاج للمهمة من الدرس المعتمد على المشكلة.

في حين أن هذا قد يبدو وكأنه نهاية طبيعية للسياق الذي كان الطلاب يستكشفونه ، إلا أنه مجرد البداية لأننا نتطلع إلى الاستفادة من هذا السياق عبر الإضافات والدروس الإضافية للتعمق أكثر.

في نهاية كل درس ، يتم إعداد مطالبات التوحيد و / أو الإضافات للطلاب لممارسة وإثبات فهمهم الحالي بشكل هادف.

يتم تشجيع الميسرين على جمع مطالبات الدمج هذه كوسيلة للمشاركة في عملية التقييم وإبلاغ التحركات التالية للتعليمات.

في نهاية كل درس ، يتم إعداد مطالبات التوحيد و / أو الإضافات للطلاب لممارسة وإثبات فهمهم الحالي بشكل هادف.

يتم تشجيع الميسرين على جمع مطالبات الدمج هذه كوسيلة للمشاركة في عملية التقييم وإبلاغ التحركات التالية للتعليمات.

في وحدات الدراسة متعددة الأيام ، محادثات الرياضيات صُممت للمساعدة في البناء على التفكير من اليوم السابق والبناء نحو الخطوة التالية في التقدم التطوري للمفهوم (المفاهيم) الذي نستكشفه.

تم إنشاء كل حديث في الرياضيات كسلسلة من المشكلات ذات الصلة التي تنشأ عن قصد لتظهر أفكارًا واستراتيجيات ونماذج رياضية كبيرة محددة.


مثال 4.1 الصف 9 رياضيات السؤال 1.
تكلفة الكمبيوتر الدفتري هي ضعف تكلفة القلم. اكتب معادلة خطية في متغيرين لتمثيل هذه العبارة.
(خذ تكلفة دفتر الملاحظات ليكون Rs. x وتكلفة القلم ليكون Rs.y).
حل:
دع تكلفة الكمبيوتر المحمول = روبية. x
وتكلفة القلم = روبية. ذ
حسب الحالة ، لدينا
[تكلفة جهاز كمبيوتر محمول] = 2 x [تكلفة القلم]
أنا. e „(x) = 2 x (y) أو x = 2y
أو x & # 8211 2y = 0
وبالتالي ، فإن المعادلة الخطية المطلوبة هي x & # 8211 2y = 0.

مثال 4.1 الصف 9 رياضيات سؤال 2
عبر عن المعادلات الخطية التالية بالصيغة ax + by + c = 0 وحدد قيم a و b و c في كل حالة:
(ط) 2x + 3y = (9.3 overline <5> )
(ii) (x- frac <5> -10 quad = quad 0 )
(iii) & # 8211 2x + 3y = 6
(رابعا) س = 3 ص
(ت) 2 س = -5 ص
(السادس) 3 س + 2 = 0
(السابع) y & # 8211 2 = 0
(ثامنا) 5 = 2x
حل:
(ط) لدينا 2x + 3y = (9.3 overline <5> )
أو (2) x + (3) y + ( (- 9.3 overline <5> )) = 0
بمقارنتها بـ ax + by + c = 0 ، نحصل على = 2 ،
b = 3 و c = & # 8211 (9.3 overline <5> ).

(2) لدينا (x- frac <5> -10 quad = quad 0 )
أو x + (- ( frac <1> <5> )) y + (10) = 0
بمقارنتها مع ax + by + c = 0 ، نحصل على
أ = 1 ، ب = - ( فارك <1> <5> ) و ج = -10

(iii) لدينا -2x + 3y = 6 أو (-2) x + (3) y + (-6) = 0
بمقارنتها بالفأس & # 8211 4 & # 8211 بواسطة + c = 0 ، نحصل على أ = -2 ، ب = 3 ، ج = -6.

(4) لدينا x = 3y أو (1) x + (-3) y + (0) = 0 بمقارنتها مع ax + by + c = 0 ، نحصل على a = 1 و b = -3 و c = 0 .
(v) لدينا 2x = -5y أو (2) x + (5) y + (0) = 0 بمقارنتها مع ax + by + c = 0 ، نحصل على a = 2 و b = 5 و c = 0.
(vi) لدينا 3x + 2 = 0 أو (3) x + (0) y + (2) = 0 مقارنة مع ax + by + c = 0 ، نحصل على a = 3 و b = 0 و c = 2 .
(vii) لدينا y & # 8211 2 = 0 أو (0) x + (1) y + (-2) = 0 مقارنتها بـ ax + by + c = 0 ، نحصل على a = 0 ، b = 1 و ج = -2.
(8) لدينا 5 = 2x x 5 & # 8211 2x = 0
أو -2x + 0y + 5 = 0
أو (-2) س + (0) ص + (5) = 0
بمقارنتها مع ax + by + c = 0 ، نحصل على a = -2 و b = 0 و c = 5.

حلول NCERT للفصل 9 الرياضيات الفصل 4 المعادلات الخطية في متغيرين (दो चरों में रैखिक समीकरण) (الوسيط الهندي) المثال 4.1



حلول NCERT للرياضيات للفصل 9 الفصل 4 المعادلات الخطية في متغيرين مثال 4.2

السؤال رقم 1
أي من الخيارات التالية صحيح ، ولماذا؟
ص = 3 س + 5 لديها
(ط) حل فريد ،
(2) حلين فقط ،
(3) عدد لا نهائي من الحلول
حل:
الخيار (iii) صحيح لأن لكل قيمة x ، نحصل على القيمة المقابلة لـ y والعكس صحيح في المعادلة المحددة.
ومن ثم ، فإن المعادلة الخطية لها عدد لا نهائي من الحلول.

السؤال 2
اكتب أربعة حلول لكل من المعادلات التالية:
(ط) 2 س + ص = 7
(2) πx + y = 9
(ثالثا) س = 4 ص
حل:
(ط) 2 س + ص = 7
عندما س = 0 ، 2 (0) + ص = 7 ص ص = 7
∴ الحل هو (0، 7)
عندما x = 1 ، 2 (1) + y = 7 y = 7 & # 8211 2 ⇒ y = 5
∴ الحل هو (1، 5)
عندما x = 2 ، 2 (2) + y = 7y = 7 & # 8211 4 ⇒ y = 3
∴ الحل هو (2، 3)
عندما x = 3 ، 2 (3) + y = 7y = 7 & # 8211 6 ⇒ y = 1
∴ الحل هو (3، 1).

(2) πx + y = 9
عندما x = 0 ، π (0) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 0 ⇒ y = 9
∴ الحل هو (0 ، 9)
عندما x = 1 ، π (1) + y = 9 ⇒ y = 9 & # 8211 π
∴ الحل هو (1 ، (9 & # 8211 π))
عندما x = 2 ، π (2) + y = 9 y = 9 & # 8211 2π
∴ الحل هو (2 ، (9 & # 8211 2π))
عندما س = -1 ، π (-1) + ص = 9 ص = 9 +
∴ الحل هو (-1 ، (9 + π))

(ثالثا) س = 4 ص
عندما x = 0 ، 4y = 1 y = 0
∴ الحل هو (0، 0)
عندما x = 1 ، 4y = 1 ⇒ y = ( frac <1> <4> )
∴ الحل هو (1، ( frac <1> <4> ))
عندما x = 4 ، 4y = 4 ⇒ y = 1
∴ الحل هو (4 ، 1)
عندما س = 4 ، 4 ص = 4 ص = -1
∴ الحل هو (-4، -1)

السؤال 3
تحقق من الحلول التالية للمعادلة x & # 8211 2y = 4 وأيها ليست كذلك:
(ط) (0،2)
(2) (2)
(3) (4 ، 0)
(رابعا) (2 ، 4√2)
(ت) (1 ، 1)
حل:
(i) (0،2) تعني x = 0 و y = 2
النفخ x = 0 و y = 2 في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل عليها
ل. = 0 & # 8211 2 (2) = -4.
لكن ر. = 4
∴ إل. ≠ ر.
∴ x = 0 ، y = 2 ليس حلاً.

(2) (2 ، 0) تعني x = 2 و y = 0
بوضع x = 2 و y = 0 في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل على
LH: S. 2 & # 8211 2 (0) = 2 & # 8211 0 = 2.
لكن ر. = 4
∴ إل. ≠ ر.
∴ (2،0) ليس حلاً.

(iii) (4 ، 0) تعني x = 4 و y = 0
بوضع x = 4 و y = o في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل على
ل. = 4 & # 8211 2 (0) = 4 & # 8211 0 = 4 = R.H.S.
∴ إل. = ر.
∴ (4 ، 0) حل.

(4) (√2 ، 4√2) تعني x = 2 و y = 4√2
بوضع x = √2 و y = 4√2 في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل على
ل. = √2 & # 8211 2 (4√2) = 2 & # 8211 8√2 = -7√2
لكن ر. = 4
∴ إل. ≠ ر.
∴ (2، 4√2) ليس حلاً.

(v) (1، 1) تعني x = 1 و y = 1
بوضع x = 1 و y = 1 في x & # 8211 2y = 4 ، نحصل على
LH.S. = 1 & # 8211 2 (1) = 1 & # 8211 2 = -1. لكن RHS = 4
∴ LH.S. ≠ ر.
∴ (1، 1) ليس حلاً.

السؤال 4
أوجد قيمة k ، إذا كانت x = 2 ، y = 1 ¡s حل المعادلة 2x + 3y = k.
حل:
لدينا 2x + 3y = k
بوضع x = 2 و y = 1 في 2x + 3y = k ، نحصل على
2 (2) + 3 (1) ⇒ ل = 4 + 3 & # 8211 ك ⇒ 7 = ك
وبالتالي ، فإن القيمة المطلوبة لـ k هي 7.

حلول NCERT للفصل 9 الرياضيات الفصل 4 المعادلات الخطية في متغيرين مثال 4.3

السؤال رقم 1
ارسم الرسم البياني لكل من المعادلات الخطية التالية في متغيرين:
(ط) س + ص = 4
(2) x & # 8211 y = 2
(ثالثا) ص = 3 س
(رابعا) 3 = 2 س + ص
حل:
(ط) س + ص = 4 ⇒ ص = 4 & # 8211 س
إذا كان لدينا x = 0 ، فإن y = 4 & # 8211 0 = 4
س = 1 ، ثم ص = 4 & # 8211 1 = 3
س = 2 ، ثم ص = 4 & # 8211 2 = 2
∴ نحصل على الجدول التالي:

ارسم الأزواج المرتبة (0 ، 4) ، (1،3) و (2،2) على ورقة الرسم البياني. من خلال ربط هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم AB كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط AB هو الرسم البياني المطلوب لـ x + y = 4

(2) x & # 8211 y = 2 ⇒ y = x & # 8211 2
إذا كان لدينا x = 0 ، فإن y = 0 & # 8211 2 = -2
س = 1 ، ثم ص = 1 & # 8211 2 = -1
س = 2 ، ثم ص = 2 & # 8211 2 = 0
∴ نحصل على الجدول التالي:

ارسم الأزواج المرتبة (0 ، -2) ، (1 ، -1) و (2 ، 0) على ورقة الرسم البياني. من خلال الانضمام إلى هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم PQ كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن ime هو الرسم البياني المطلوب لـ x & # 8211 y = 2

(ثالثا) ص = 3 س
إذا كان لدينا x = 0 ،
ثم ص = 3 (0) ⇒ ص = 0
س = 1 ، ثم ص = 3 (1) = 3
س = -1 ، ثم ص = 3 (-1) = -3
∴ نحصل على الجدول التالي:

ارسم الأزواج المرتبة (0 ، 0) ، (1 ، 3) و (-1 ، -3) على ورقة الرسم البياني. من خلال الانضمام إلى هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم LM كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط LM هو الرسم البياني المطلوب لـ y = 3x.

(4) 3 = 2 س + ص ⇒ ص = 3 & # 8211 2 س
إذا كان لدينا x = 0 ، فإن y = 3 & # 8211 2 (0) = 3
x = 1 ، ثم y = 3 & # 8211 2 (1) = 3 & # 8211 2 = 1
س = 2 ، ثم ص = 3 & # 8211 2 (2) = 3 & # 8211 4 = -1
∴ نحصل على الجدول التالي:

ارسم الأزواج المرتبة (0 ، 3) ، (1 ، 1) و (2 ، & # 8211 1) على ورقة الرسم البياني. ضم هذه النقاط ، نحصل على قرص مضغوط بخط مستقيم كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط CD هو الرسم البياني المطلوب لـ 3 = 2x + y.

السؤال 2
اكتب معادلات خطين يمران (2 ، 14). كم عدد هذه الخطوط ، ولماذا؟
حل:
(2 ، 14) تعني x = 2 و y = 14
المعادلات التي تحتوي على (2،14) كحل هي (1) س + ص = 16 ، (ب) 7 س & # 8211 ص = 0
هناك عدد لا حصر له من الخطوط التي تمر عبر النقطة (2 ، 14) ، لأنه يمكن رسم عدد لا نهائي من الخطوط من خلال نقطة.

السؤال 3
إذا كانت النقطة (3 ، 4) تقع على الرسم البياني للمعادلة 3y = ax + 7 ، فأوجد قيمة a.
حل:
معادلة الخط المعطى هي 3y = ax + 7
∵ (3 ، 4) تقع على الخط المعطى.
يجب أن تحقق المعادلة 3 ص = فأس + 7
لدينا (3 ، 4) ⇒ س = 3 وص = 4.
بوضع هذه القيم في معادلة معينة ، نحصل عليها
3 × 4 = أ × 3 + 7
⇒ 12 = 3 أ + 7
⇒ 3 أ = 12 & # 8211 7 = 5 ⇒ أ = ( فارك <5> <3> )
وبالتالي ، فإن القيمة المطلوبة لـ a هي ( frac <5> <3> )

السؤال 4
أجرة التاكسي في المدينة هي كما يلي: الكيلومتر الأول الأجرة روبية. 8 وبالنسبة للمسافة اللاحقة فهي روبية. 5 لكل كيلومتر. بأخذ المسافة المقطوعة x km وإجمالي الأجرة كـ Rs.y ، اكتب معادلة خطية لهذه المعلومات ، وارسم الرسم البياني الخاص بها.
حل:
هنا ، إجمالي المسافة المقطوعة = x km وإجمالي أجرة التاكسي = Rs. ذ
أجرة 1 كم = روبية. 8
المسافة المتبقية = (x & # 8211 1) كم
∴ أجرة (x & # 8211 1) كم = 5 روبية x (x & # 8211 1)
إجمالي أجرة التاكسي = روبية. 8 + روبية. 5 (x & # 8211 1)
حسب السؤال ،
ص = 8 + 5 (س & # 8211 1) = ص = 8 + 5 س & # 8211 5
⇒ ص = 5 س + 3 ،
وهي المعادلة الخطية المطلوبة التي تمثل المعلومات المعطاة.
الرسم البياني: لدينا y = 5x + 3
Wben x = 0 ، ثم y = 5 (0) + 3 ⇒ y = 3
س = -1 ، ثم ص = 5 (-1) + 3 ص = -2
س = -2 ، ثم ص = 5 (-2) + 3 ص = -7
∴ نحصل على الجدول التالي:

الآن ، برسم الأزواج المرتبة (0 ، 3) ، (-1 ، -2) و (-2 ، -7) على ورقة رسم بياني وربطها ، نحصل على خط مستقيم PQ كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط PQ هو الرسم البياني المطلوب للمعادلة الخطية y = 5x + 3.

السؤال 5
من الخيارات الواردة أدناه ، اختر المعادلة التي ترد الرسوم البيانية الخاصة بها ¡n الشكل (1) والشكل (2).
لشكل رقم (1)
(ط) ص = س
(2) س + ص = 0
(ج) ص = 2 س
(4) 2 + 3y = 7x

لشكل رقم (2)
(ط) ص = س + 2
(2) y = x & # 8211 2
(iii) y = -x + 2
(4) س + 2 ص = 6

حل:
بالنسبة للشكل (1) ، المعادلة الخطية الصحيحة هي x + y = 0
[على شكل (-1 ، 1) = -1 + 1 = 0 و (1 ، -1) = 1 + (-1) = 0]
بالنسبة للشكل (2) ، المعادلة الخطية الصحيحة هي y = -x + 2
[كـ (-1،3) 3 = -1 (-1) + 2 = 3 = 3 و (0،2)
⇒ 2 = -(0) + 2 ⇒ 2 = 2]

السؤال 6
إذا كان الشغل الذي يقوم به جسم عند تطبيق قوة ثابتة يتناسب طرديًا مع المسافة التي يقطعها الجسم ، فعبِّر عن ذلك في صورة معادلة في متغيرين وارسم الرسم البياني لهما من خلال أخذ القوة الثابتة في صورة 5 وحدات . اقرأ أيضًا من الرسم البياني العمل المنجز عندما تكون المسافة التي يقطعها الجسم
(ط) وحدتان
(2) 0 وحدة
حل:
القوة الثابتة 5 وحدات.
دع المسافة المقطوعة = x وحدة والعمل المنجز = y وحدة.
العمل المنجز = القوة × المسافة
⇒ ص = 5 س س ⇒ ص = 5 س
لرسم الرسم البياني لدينا y = 5x
عندما تكون x = 0 ، فإن y = 5 (0) = 0
س = 1 ، ثم ص = 5 (1) = 5
س = -1 ، ثم ص = 5 (-1) = -5
∴ نحصل على الجدول التالي:

بإسقاط الأزواج المرتبة (0 ، 0) ، (1 ، 5) و (-1 ، -5) على ورقة الرسم البياني وربط النقاط ، نحصل على خط مستقيم AB كما هو موضح.

من الرسم البياني ، نحصل على
(ط) المسافة المقطوعة = 2 وحدة ، أي x = 2
∴ إذا كانت x = 2 ، فإن y = 5 (2) = 10
⇒ العمل المنجز = 10 وحدات.

(2) المسافة المقطوعة = 0 وحدة أي x = 0
∴ إذا كانت x = 0 ⇒ y = 5 (0) & # 8211 0
⇒ العمل المنجز = 0 وحدة.

السؤال 7
ساهم كل من ياميني وفاطمة ، وهما طالبان من الفصل التاسع من المدرسة ، معًا في Rs. 100 نحو صندوق إغاثة رئيس الوزراء لمساعدة ضحايا الزلزال. اكتب معادلة خطية تحقق هذه البيانات. (يمكنك أن تأخذ مساهماتهم كـ Rs.x و Rs.y.) ارسم الرسم البياني لنفسه.
حل:
دع مساهمة Yamini = Rs. x
ومساهمة فاطمة روبية. ذ
∴ لدينا x + y = 100 ⇒ y = 100 & # 8211 x
الآن ، عندما x = 0 ، y = 100 & # 8211 0 = 100
س = 50 ، ص = 100 & # 8211 50 = 50
س = 100 ، ص = 100 & # 8211 100 = 0
∴ نحصل على الجدول التالي:

برسم الأزواج المرتبة (0،100) و (50،50) و (100، 0) على ورقة رسم بياني باستخدام المقياس المناسب وربط هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم PQ كما هو موضح.

وبالتالي ، فإن الخط PQ هو الرسم البياني المطلوب للمعادلة الخطية x + y = 100.

السؤال 8
في بلدان مثل الولايات المتحدة الأمريكية وكندا ، تُقاس درجة الحرارة بالفهرنهايت ، بينما في دول مثل الهند ، تُقاس بالدرجة المئوية. هنا هو
المعادلة الخطية التي تحول الفهرنهايت إلى درجة مئوية:
F = ( ( frac <9> <5> )) C + 32
(ط) ارسم الرسم البياني للمعادلة الخطية أعلاه باستخدام الدرجة المئوية للمحور x والفهرنهايت للمحور y.
(2) إذا كانت درجة الحرارة 30 درجة مئوية ، فما درجة الحرارة بالفهرنهايت؟
(iii) إذا كانت درجة الحرارة 95 درجة فهرنهايت ، فما هي درجة الحرارة بالدرجة المئوية؟
(4) إذا كانت درجة الحرارة 0 درجة مئوية ، فما درجة الحرارة بالفهرنهايت ، وإذا كانت درجة الحرارة 0 درجة فهرنهايت ، فما درجة الحرارة بالدرجة المئوية؟
(v) هل هناك درجة حرارة متماثلة عدديًا في كل من فهرنهايت ودرجة مئوية؟ إذا كانت الإجابة بنعم ، فابحث عنها.
حل:
(ط) لدينا
F = ( ( frac <9> <5> )) C + 32
عندما C = 0 ، F = ( ( frac <9> <5> )) × 0 + 32 = 32
عندما C = 15 ، F = ( ( frac <9> <5> )) (- 15) + 32 = -27 + 32 = 5
عندما C = -10 ، F = ( frac <9> <5> ) (-10) +32 = -18 + 32 = 14
لدينا الجدول التالي:

رسم الأزواج المرتبة (0 ، 32) ، (-15 ، 5) و (-10 ، 14) على ورقة رسم بياني. عند ضم هذه النقاط ، نحصل على خط مستقيم AB.

(2) من الرسم البياني ، لدينا 86 درجة فهرنهايت تقابل 30 درجة مئوية.
(3) من الرسم البياني ، لدينا 95 درجة فهرنهايت تقابل 35 درجة مئوية.
(4) لدينا C = 0
من (1) نحصل
F = ( ( frac <9> <5> )) 0 + 32 = 32
أيضا ، F = 0
من (1) نحصل
0 = ( ( frac <9> <5> )) C + 32 ⇒ ( frac <-32 times 5> <9> ) = C ⇒ C = -17.8
(V) عندما F = C (عدديًا)
من (1) نحصل
F = ( frac <9> <5> ) F + 32 ⇒ F & # 8211 ( frac <9> <5> ) F = 32
⇒ ( frac <-4> <5> ) F = 32 ⇒ F = -40
∴ درجة الحرارة هي & # 8211 40 درجة في كل من F و C.

حلول NCERT للفصل 9 رياضيات الفصل 4 معادلات خطية في متغيرين مثال 4.4

السؤال رقم 1
اكتب التمثيلات الهندسية لـ y = 3 في صورة معادلة
(ط) في متغير واحد
(2) في متغيرين
حل:
(ط) ص = 3
∵ y = 3 معادلة في متغير واحد ، أي y فقط.
∴ y = 3 حل فريد على خط الأعداد كما هو موضح أدناه:

(2) ص = 3
يمكننا كتابة y = 3 في متغيرين على النحو 0.x + y = 3
الآن ، عندما س = 1 ، ص = 3
س = 2 ، ص = 3
س = -1 ، ص = 3
∴ نحصل على الجدول التالي:

برسم الأزواج المرتبة (1 ، 3) ، (2 ، 3) و (-1 ، 3) على ورقة الرسم البياني والانضمام إليهم ، نحصل على ألين أب كحل 0. س + ص = 3 ،
أي ص = 3.

السؤال 2
اكتب التمثيلات الهندسية 2x + 9 = 0 كمعادلة
(ط) في متغير واحد
(2) في متغيرين
حل:
(ط) 2 س + 9 = 0
لدينا 2x + 9 = 0 2x = & # 8211 9 ⇒ x = ( frac <-9> <2> )
وهي معادلة خطية في متغير واحد أي x فقط.
خام هذا ، x = (- frac <9> <2> ) هو حل فريد على خط الأعداد كما هو موضح أدناه:

(2) 2x + 9 = 0
يمكننا كتابة 2x + 9 = 0 في متغيرين مثل 2x + 0 ، y + 9 = 0
أو (x = frac <-9-0.y> <2> )
∴ عندما y = 1 ، x = (x = frac <-9-0 (1)> <2> ) = (- frac <9> <2> )

وهكذا نحصل على الجدول التالي:

الآن ، رسم الأزواج المرتبة (( frac <-9> <2>، 3) ) ، (( frac <-9> <2> ، 3) ) و (( frac <-9 > <2>، 3) ) على ورقة الرسم البياني والانضمام إليهم ، نحصل على خط PQ كحل 2x + 9 = 0.


4.1 يحل أنظمة المعادلات الخطية ذات المتغيرين

في حل المعادلات الخطية ، تعلمنا كيفية حل المعادلات الخطية بمتغير واحد. سنعمل الآن مع معادلتين خطيتين أو أكثر مجمعتين معًا ، وهو ما يُعرف بنظام المعادلات الخطية.

نظام المعادلات الخطية

عندما يتم تجميع معادلتين خطيتين أو أكثر معًا ، فإنها تشكل a نظام المعادلات الخطية.

في هذا القسم ، سنركز عملنا على أنظمة من معادلتين خطيتين في مجهولين. سنحل أنظمة المعادلات الأكبر لاحقًا في هذا الفصل.

فيما يلي مثال لنظام من معادلتين خطيتين. نستخدم قوسًا لإظهار أن المعادلتين مجمعتان معًا لتكوين نظام معادلات.

لحل نظام من معادلتين خطيتين ، نريد إيجاد قيم المتغيرات التي تمثل حلولًا لها على حد سواء المعادلات. بمعنى آخر ، نحن نبحث عن الأزواج المرتبة (س ، ص) (س ، ص) التي تجعل المعادلتين صحيحين. هذه تسمى حلول نظام المعادلات.

حلول نظام المعادلات

ال حلول نظام المعادلات هي قيم المتغيرات التي تصنع الكل المعادلات صحيحة. يتم تمثيل حل نظام من معادلتين خطيتين بواسطة زوج مرتب (x ، y). (س ، ص).

لتحديد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل لنظام من معادلتين ، فإننا نستبدل قيم المتغيرات في كل معادلة. إذا كان الزوج المرتب يجعل كلا المعادلتين صحيحًا ، فهذا حل للنظام.

مثال 4.1

حدد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل للنظام

حل

حدد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل للنظام <3 x + y = 0 x + 2 y = −5. <3 س + ص = 0 س + 2 ص = 5.

حدد ما إذا كان الزوج المرتب هو حل للنظام

حل نظام المعادلات الخطية بالرسوم البيانية

في هذا القسم ، سنستخدم ثلاث طرق لحل نظام المعادلات الخطية. الطريقة الأولى التي سنستخدمها هي الرسم البياني.

الرسم البياني للمعادلة الخطية هو خط. كل نقطة على الخط هي حل للمعادلة. لنظام من معادلتين ، سنرسم خطين بيانيًا. ثم يمكننا رؤية جميع النقاط التي تمثل حلولًا لكل معادلة. ومن خلال إيجاد القاسم المشترك بين السطور ، سنجد الحل للنظام.

تحتوي معظم المعادلات الخطية في متغير واحد على حل واحد ، لكننا رأينا أن بعض المعادلات ، التي تسمى التناقضات ، ليس لها حلول ، وبالنسبة للمعادلات الأخرى ، التي تسمى المتطابقات ، فإن جميع الأرقام هي حلول.

وبالمثل ، عندما نحل نظامًا من معادلتين خطيتين ممثلتين برسم بياني لخطين في نفس المستوى ، فهناك ثلاث حالات محتملة ، كما هو موضح.

في كل مرة نعرض طريقة جديدة ، سنستخدمها في نفس نظام المعادلات الخطية. في نهاية القسم ، ستقرر الطريقة الأكثر ملاءمة لحل هذا النظام.

مثال 4.2

كيفية حل نظام المعادلات بالرسوم البيانية

حل النظام بالرسم البياني <2 x + y = 7 x - 2 y = 6. <2 س + ص = 7 س - 2 ص = 6.

حل

حل النظام بالرسم البياني:

حل النظام عن طريق التمثيل البياني: <- x + y = 1 3 x + 2 y = 12. <- س + ص = 1 3 س + 2 ص = 12.

تظهر هنا الخطوات التي يجب استخدامها لحل نظام المعادلات الخطية عن طريق التمثيل البياني.

كيف

حل نظام المعادلات الخطية عن طريق التمثيل البياني.

  1. الخطوة 1. ارسم المعادلة الأولى بيانيًا.
  2. الخطوة الثانية. ارسم المعادلة الثانية على نفس نظام إحداثيات المستطيل.
  3. الخطوة 3. حدد ما إذا كانت الخطوط متقاطعة أم متوازية أم أنها نفس الخط.
  4. الخطوة 4. تحديد الحل للنظام.
    • إذا تقاطعت الخطوط ، حدد نقطة التقاطع. هذا هو الحل للنظام.
    • إذا كانت الخطوط متوازية ، فلا يوجد حل للنظام.
    • إذا كانت السطور هي نفسها ، فإن النظام لديه عدد لا حصر له من الحلول.
  5. الخطوة 5. افحص الحل في كلا المعادلتين.

في المثال التالي ، سنقوم أولاً بإعادة كتابة المعادلات في صيغة الميل - التقاطع حيث سيسهل ذلك علينا رسم الخطوط بسرعة.

مثال 4.3

حل النظام بالرسم البياني: <3 x + y = - 1 2 x + y = 0. <3 س + ص = - 1 2 س + ص = 0.

حل

حل المعادلة الأولى من أجل ذ.
أوجد المنحدر و ذ-تقاطع.
حل المعادلة الثانية من أجل ذ.
أوجد المنحدر و ذ-تقاطع.
ارسم الخطوط.
حدد نقطة التقاطع. تتقاطع الخطوط عند (−1 ، 2). (،1 ، 2).
افحص الحل في كلا المعادلتين.

الحل هو (1، 2). (،1 ، 2).

حل النظام بالرسم البياني: <- x + y = 1 2 x + y = 10. <- س + ص = 1 2 س + ص = 10.

حل النظام بالرسم البياني: <2 x + y = 6 x + y = 1. <2 س + ص = 6 س + ص = 1.

في جميع أنظمة المعادلات الخطية حتى الآن ، تقاطعت الخطوط وكان الحل نقطة واحدة. في المثالين التاليين ، سنلقي نظرة على نظام المعادلات الذي ليس له حل ونظام المعادلات الذي يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول.

مثال 4.4

حل النظام برسم بياني:

حل

لرسم المعادلة الأولى ، سنستخدمها
المنحدر و ذ-تقاطع.
لرسم المعادلة الثانية ، سنستخدمها
الاعتراضات.
ارسم الخطوط.
حدد نقاط التقاطع. الخطوط متوازية.
نظرًا لعدم وجود نقطة في كلا الخطين ، فلا يوجد
زوج مرتب يصنع كلا المعادلتين
حقيقية. لا يوجد حل لهذا النظام.

حل النظام بالرسم البياني:

حل النظام برسم بياني:

في بعض الأحيان ، تمثل المعادلات في النظام نفس الخط. نظرًا لأن كل نقطة على الخط تجعل المعادلتين صحيحين ، فهناك عدد لا نهائي من الأزواج المرتبة التي تجعل المعادلتين صحيحين. هناك عدد لا نهائي من الحلول للنظام.

مثال 4.5

حل النظام برسم بياني:

حل

أوجد المنحدر و ذ- معادلة المعادلة الأولى.
أوجد تقاطعات المعادلة الثانية.
ارسم الخطوط.
الخطوط هي نفسها!
لأن كل نقطة على الخط تصنع كليهما
المعادلات صحيحة ، هناك عدد لا نهائي من المعادلات
الأزواج المرتبة التي تجعل المعادلتين صحيحين.
هناك عدد لا حصر له من الحلول لهذا النظام.

إذا كتبت المعادلة الثانية بصيغة الميل والمقطع ، فقد تدرك أن المعادلات لها نفس الميل ونفس الشيء ذ-تقاطع.

حل النظام برسم بياني:

حل النظام برسم بياني:

عندما رسمنا السطر الثاني في المثال الأخير ، رسمناه مباشرة فوق السطر الأول. نقول أن الخطين متطابقان. الخطوط المتزامنة لها نفس المنحدر ونفس الشيء ص-تقاطع.

خطوط متزامنة

خطوط متزامنة لها نفس المنحدر ونفس الشيء ص-تقاطع.

كان لكل من أنظمة المعادلات في المثال 4.2 والمثال 4.3 خطان متقاطعتان. كل نظام لديه حل واحد.

في المثال 4.5 ، أعطت المعادلات خطوطًا متطابقة ، وبالتالي فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.

كان للأنظمة في هذه الأمثلة الثلاثة حل واحد على الأقل. يسمى نظام المعادلات الذي يحتوي على حل واحد على الأقل أ ثابتة النظام.

النظام ذو الخطوط المتوازية ، مثل المثال 4.4 ، ليس له حل. نسمي نظام معادلات مثل هذا تتعارض. ليس لها حل.

أنظمة متسقة وغير متسقة

نظام المعادلات المتسق هو نظام معادلات به حل واحد على الأقل.

نظام المعادلات غير المتسق هو نظام معادلات بدون حل.

نقوم أيضًا بتصنيف المعادلات في نظام معادلات عن طريق استدعاء المعادلات مستقل أو متكل. إذا كانت معادلتان مستقلتان ، فلكل منهما مجموعة الحلول الخاصة بهما. الخطوط المتقاطعة والخطوط المتوازية مستقلة.

إذا كانت معادلتان تابعتان ، فإن جميع حلول إحدى المعادلات هي أيضًا حلول للمعادلة الأخرى. عندما نرسم معادلتين تابعتين ، نحصل على خطوط متطابقة.

دعونا نلخص ذلك من خلال النظر في الرسوم البيانية لأنواع الأنظمة الثلاثة. انظر أدناه والجدول 4.1.

خطوط متقاطعة موازي صدفة
عدد الحلول 1 نقطة لا حل الكثير بلا حدود
متسقة / غير متسقة ثابتة تتعارض ثابتة
تعتمد مستقلة مستقل مستقل متكل

مثال 4.6

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

حل

ⓐ سنقارن بين ميل الخطين ونقاط تقاطعهما.

نظام المعادلات الذي تكون رسومه البيانية خطوط متوازية ليس له حل وغير متسق ومستقل.

ⓑ سنقارن بين ميل المستقيمين ونقاط تقاطعهما.

يحتوي نظام المعادلات الذي تتقاطع رسومه البيانية على حل واحد وهو متسق ومستقل.

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

بدون رسوم بيانية ، حدد عدد الحلول ثم صنف نظام المعادلات.

يعد حل أنظمة المعادلات الخطية عن طريق الرسوم البيانية طريقة جيدة لتصور أنواع الحلول التي قد تنتج. ومع ذلك ، هناك العديد من الحالات التي يكون فيها حل النظام عن طريق الرسوم البيانية غير مريح أو غير دقيق. إذا امتدت الرسوم البيانية إلى ما وراء الشبكة الصغيرة مع x و ذ كلاهما بين 10 −10 و 10 ، قد يكون الرسم البياني للخطوط مرهقًا. وإذا لم تكن حلول النظام أعدادًا صحيحة ، فقد يكون من الصعب قراءة قيمها بدقة من الرسم البياني.

حل نظام المعادلات بالتعويض

سنحل الآن أنظمة المعادلات الخطية بطريقة التعويض.

سنستخدم نفس النظام الذي استخدمناه أولاً للرسم البياني.

سنحل أولاً إحدى المعادلتين لأي منهما x أو ذ. يمكننا اختيار أي من المعادلتين وحل أي متغير — لكننا سنحاول اتخاذ خيار يجعل العمل سهلاً.

ثم نعوض بهذا التعبير في المعادلة الأخرى. والنتيجة هي معادلة ذات متغير واحد فقط - ونعرف كيف نحلها!

بعد إيجاد قيمة أحد المتغيرات ، سنعوض بهذه القيمة في إحدى المعادلات الأصلية ونحل المتغير الآخر. أخيرًا ، نتحقق من الحل ونتأكد من أنه يجعل كلا المعادلتين صحيحًا.

مثال 4.7

How to Solve a System of Equations by Substitution

Solve the system by substitution: < 2 x + y = 7 x − 2 y = 6 . < 2 x + y = 7 x − 2 y = 6 .

Solution

Solve the system by substitution: < − 2 x + y = −11 x + 3 y = 9 . < − 2 x + y = −11 x + 3 y = 9 .

Solve the system by substitution: < 2 x + y = −1 4 x + 3 y = 3 . < 2 x + y = −1 4 x + 3 y = 3 .

How To

Solve a system of equations by substitution.

  1. Step 1. Solve one of the equations for either variable.
  2. Step 2. Substitute the expression from Step 1 into the other equation.
  3. Step 3. Solve the resulting equation.
  4. Step 4. Substitute the solution in Step 3 into either of the original equations to find the other variable.
  5. Step 5. Write the solution as an ordered pair.
  6. Step 6. Check that the ordered pair is a solution to both original equations.

Be very careful with the signs in the next example.

Example 4.8

Solve the system by substitution: < 4 x + 2 y = 4 6 x − y = 8 . < 4 x + 2 y = 4 6 x − y = 8 .

Solution

We need to solve one equation for one variable. We will solve the first equation for y.

Solve the system by substitution: < x − 4 y = −4 − 3 x + 4 y = 0 . < x − 4 y = −4 − 3 x + 4 y = 0 .

Solve the system by substitution: < 4 x − y = 0 2 x − 3 y = 5 . < 4 x − y = 0 2 x − 3 y = 5 .

Solve a System of Equations by Elimination

We have solved systems of linear equations by graphing and by substitution. Graphing works well when the variable coefficients are small and the solution has integer values. Substitution works well when we can easily solve one equation for one of the variables and not have too many fractions in the resulting expression.

The third method of solving systems of linear equations is called the Elimination Method. When we solved a system by substitution, we started with two equations and two variables and reduced it to one equation with one variable. This is what we’ll do with the elimination method, too, but we’ll have a different way to get there.

The Elimination Method is based on the Addition Property of Equality. The Addition Property of Equality says that when you add the same quantity to both sides of an equation, you still have equality. We will extend the Addition Property of Equality to say that when you add equal quantities to both sides of an equation, the results are equal.

For any expressions a, b, c, و d.

To solve a system of equations by elimination, we start with both equations in standard form. Then we decide which variable will be easiest to eliminate. How do we decide? We want to have the coefficients of one variable be opposites, so that we can add the equations together and eliminate that variable.

Notice how that works when we add these two equations together:

ال y’s add to zero and we have one equation with one variable.

This time we don’t see a variable that can be immediately eliminated if we add the equations.

Then rewrite the system of equations.

Now we see that the coefficients of the x terms are opposites, so x will be eliminated when we add these two equations.

Once we get an equation with just one variable, we solve it. Then we substitute that value into one of the original equations to solve for the remaining variable. And, as always, we check our answer to make sure it is a solution to both of the original equations.

Now we’ll see how to use elimination to solve the same system of equations we solved by graphing and by substitution.

Example 4.9

How to Solve a System of Equations by Elimination

Solve the system by elimination: < 2 x + y = 7 x − 2 y = 6 . < 2 x + y = 7 x − 2 y = 6 .


Explore the Function Worksheets in Detail

The domain and range of a function worksheets provide ample practice in determining the input and output values with exercises involving ordered pairs, tables, mapping diagrams, graphs and more.

Which of the relations are functions? Try to spot functions from ordered pairs, mapping diagrams, input-output tables, graphs and equations with this unit of pdf worksheets

These printable function table worksheets provide practice with different types of functions like linear, quadratic, polynomial, and more. Plug an input value in the function rule and write the output.

Perform operations such as addition, subtraction, multiplication and division on functions with these function operations worksheets. Exercises with varied levels of difficulty and revision worksheets are included here.

Get your hands on these evaluating function worksheets to practice substituting input values in different types of functions like linear, quadratic, polynomial, rational, exponential, trigonometric, and piecewise to get the output. Also, evaluate functions from graphs. Try our revision worksheets as well.

Gain a thorough knowledge of composing two or three functions, evaluate functions and decomposing them as well with this array of printable composition of functions worksheets.

Walk through this assortment of inverse functions worksheets, examine graphs to check if two functions are inverses of each other, find the inverses of functions, and domains with restricted domains and more.

Learn to identify and differentiate between linear and nonlinear functions from equations, graphs and tables. Graph, compare and transform linear functions and also figure out the function rule too.

Learn to find the range, compute function tables, plot the points on the grid and graph lines with this compilation of graphing linear functions worksheet pdfs curated for high-school students.

Transform a function from its parent function using horizontal or vertical shifts, reflection, horizontal or vertical stretches and compressions with these transformation-of-linear-functions worksheets.

Train high-school students in evaluating quadratic functions, identifying the vertex, intercepts and the properties of quadratic functions and a lot more employing this printable collection of quadratic functions pdfs.

Stacked here is a vast collection of pdf worksheets on graphing quadratic functions to identify zeros, writing the quadratic function of the parabola, identifying properties of a parabola and more.

Transformation of a quadratic function and identification of various types of shifts like horizontal shift, vertical shift and reflection are the major topics discussed in this unit of high-school function worksheets.


Linear Equations

&emsp&emspEquations of the form ax+b=0 are called linear equations in the variable x . In this section we will be concerned with the problem of solving linear equations, and equations that reduce to linear equations.

&emsp&emspWe define two equations as equivalent if they have the same solution set. The following two operations on an equation always result in a new equation which is equivalent to the original one. These operations, sometimes called elementary transformations, are:

&emsp&emspT.1 The same expression representing a real number may be added to both sides of an equation.

&emsp&emspT.2 The same expression representing a nonzero real number may be multiplied into both sides of an equation.

&emsp&emspUsing these operations we may transform an equation whose solution set is not obvious through a series of equivalent equations to an equation that has an obvious solution set.

Example 1.&emsp&emspSolve the equation

&emsp&emspAdd -x to both sides to obtain

&emsp&emspAdd 3 to both sides to obtain

&emsp&emspSince 2x-3=4+x is equivalent to x-3=4 , which, in turn, is equivalent to x=7 , whose solution set is obviously <7>, we know that the solution set of (a) is <7>.

Let&rsquos see how our Linear equation solver solves this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 2.&emsp&emspSolve the equation

&emsp&emspAdd -(1/2)x to both sides to obtain

&emsp&emspAdd 1 to both sides to obtain

&emsp&emspMultiply both sides by 1/2 to obtain

&emsp&emspThus, the solution set of (b) is <5/6>.

&emsp&emspEvery linear equation can be solved in the same way as in the above examples. In fact, let us consider the general linear equation

&emsp&emspAdd -b to both sides to obtain

&emsp&emspMultiply both sides by 1/a to obtain

&emsp&emspif a a!=0 . The general linear equation, therefore, has as its solution set , if a!=0 . Thus each linear equation has at most one solution.

&emsp&emspThe next two examples are of equations that reduce to linear equations.

Example 3.&emsp&emspSolve the equation

&emsp&emspWe expand both sides to obtain

&emsp&emspAdd -20y^2 to both sides to obtain

&emsp&emspWe now solve as in the previous examples.

Let&rsquos see how our step by step math solver solves this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 4.&emsp&emspSolve the equation

&emsp&emspThe replacement set of (c) is all real numbers except 1. Assuming that x!=1 , we multiply both sides of (c) by x-1 to obtain

&emsp&emspSolving the equation 2x =2+x- 1 , we obtain 1 as the only solution Since 1 is not in the replacement of (d), (d) has no solution. Furthermore, (c) is equivalent to (d), therefore (c) has no solution.

6.3&emsp&emspSolving Literal Equations

&emsp&emspAn equation containing more than one variable, or containing symbols representing constants such as a,b , and c , can be solved for one of the symbols in terms of the remaining symbols by applications of the operations T.1 and T.2 in the preceding section. The student will encounter such problems in other courses.

Example 1.&emsp&emspSolve cx-3a=b for x .

&emsp&emspMultiply both sides by 1/c .

&emsp&emspThis last equation expresses x in terms of the other symbols.

Example 2.&emsp&emspSolve 3ay-2b=2cy for y .

&emsp&emspMultiply both sides by 1/((3a-2c))

Example 3.&emsp&emspSolve a/x+b/(2x)=c for x .

&emsp&emspMultiply both sides by 2x .

&emsp&emspWe conclude this section by including two more examples similar to those that the student may encounter in other areas.

Let&rsquos see how our math solver solves this and similar problems. Click on "Solve Similar" button to see more examples.

Example 4.&emsp&emspSolve A=P(1+rt) for r .

&emsp&emspApply the distributive law.

&emsp&emspMultiply both sides by 1/(Pt) .

Example 5.&emsp&emspSolve 1/R=1/r_1+1/r_2 for r_1 .

&emsp&emspAdd the two terms on the right&mdashhand side.

6.4&emsp&emspSolving Statement Problems

&emsp&emspOne of the fundamental applications of algebra is solving problems that have been stated in words. A statement problem is a word description of a situation that involves both known and unknown quantities. In this section each problem will be solvable by means of one equation involving one unknown.

&emsp&emspOur problem is to choose the unknown and to determine the equation that it must satisfy. Although there is no single approach to all of the problems, the following suggestions are sometimes helpful:

&emsp&emsp1. Read the problem carefully until the situation is thoroughly understood.

&emsp&emsp2. Determine what quantities are asked for, then choose the one that seems to be the best to use as the unknown.

&emsp&emsp3. Establish the relationship between the unknown and the other quantities in the problem.

&emsp&emsp4. Find the information that tells which two quantities are equal.

&emsp&emsp5. Use the information in (4) to write the equation.

&emsp&emsp6. Solve the equation and check the solution to see that it satisfies the original problem.

&emsp&emspAt this stage, the emphasis will be on translating statement problems into equations. Although some of the problems can be solved almost by inspection, the practice that we obtain in setting up equations will prove helpful in working more difficult problems.

Example 1.&emsp&emspIf 2 times a certain integer is added to the next consecutive integer the result is 34 . Find the integers.
Step 1. Reread!
Step 2. Let x be the first integer.
Step 3. Then x+ 1 is the next consecutive integer.
Step 4. 2 times a certain integer plus the next consecutive integer is 34 .
Step 5. 2x+(x+1)=34

Step 6. Solve.&emsp&emsp

Example 2.&emsp&emspBob and Joe together earned $ 60 . Both were paid at the same rate, but Bob worked three times as long as Joe. How much did each receive?

Step 1. Reread!

Step 2. Let x be the number of dollars that Joe received.

Step 3. Then 3x is the number of dollars that Bob received

Step 4. Bob and Joe together earned $ 60 .
Step 5. 3x+x=60

Step 6. Solve.&emsp&emsp

Example 3.&emsp&emspThe sum of the digits of a two digit number is 12 . If the digits are reversed the number is decreased by 36 . What is the number?

Step 1. Reread!

Step 2. Let x be the tens digit.

Step 3. Then 12 - x is the units digit.

Step 4. If the digits are reversed then the number is decreased by 36

Step 5. 10(12-x)+x = 10x+ (12-x) -36

Step 6. Solve.

&emsp&emspTherefore the number is 84 .

Example 4.&emsp&emspHow many pounds of candy valued at 48 ¢ per pound should be added to 50 pounds of candy valued at 80 ¢ per pound in order for the store owner to be able to sell the candy at 60 ¢ per pound?
Step 1. Reread!
Step 2. Let x be the number of pounds of 48 ¢ per pound candy.
Step 3. Then 50+x would be the pounds of candy he would have at 60 ¢ per pound.
Step 4. The amount of candy at 48 ¢ per pound times 48 ¢, plus the amount of candy at 80 ¢ per pound times 80 ¢, must be equal to the amount of candy at 60 ¢ per pound times 60 ¢.
Step 5. ( 48 ¢/lb)( x lbs) + ( 80 ¢/lb) ( 50 lbs) = ( 60 ¢/lb) [( 50+x )lbs]

Step 6. Solve.

&emsp&emspProblems involving velocities (or speeds) will use the formula

&emsp&emspwhere d is the distance traveled, r is the rate, and t is the time. When the formula is used, d and r must be expressed in the same unit of distance, while r and t must be expressed in the same unit of time.

Example 5.&emsp&emspA group of students drove to a lake in the north woods to fish. They traveled 380 miles in 7 hours, of which 4 hours were on a paved highway and the remaining time was on a dirt road. If the average speed on the dirt road was 25 miles per hour less than the average speed on the highway, then find for each part of the trip the average speed and the distance traveled.

Step 1. Reread!

Step 2. Let x be the speed on the dirt road.

Step 3. Then x+25 is the speed on the highway.

Step 4. The distance traveled on the highway plus the distance traveled on the dirt road is equal to 380 miles.

Step 5. Since d=rt , we have

Step 6. Solve.

&emsp&emspWork problems which involve the rate of performance can often be solved by first finding the fractional part of the task done by each person or machine in one unit of time, and then finding an equation that relates these various fractional parts.

Example 6.&emsp&emspA boy can cut a lawn in 4 hours while the father can cut it in 3 hours. How long would it take them to cut the same lawn working together?

Step 1. Reread!

Step 2. Let x be the number of hours that it would take them to cut the lawn Working together.

Step 3. Choose one hour as our unit of time. Now the boy can cut 1/4 of the lawn in one hour, the father can cut 1/3 of the lawn in one hour, and togeflner they can cut 1/x of the lawn in one hour.

Step 4. The amount cut by the boy in one hour plus the amount cut by the father in one hour is equal to the amount they can cut together in one hour.


4.1: Linear Functions - Mathematics

A linear equation in one variable can be expressed in the form of ax+b = 0, where x is the variable and a and b are the constants involved. These constants (a and b) should be non-zero real numbers. These types of equations have only one possible solution for the value of the variable.

Steps for Solving Linear Equations in One Variable

The following steps are performed to solve linear equations in one variable:

Step 1: In case the integers a and b are fractional numbers, LCM has to be taken to clear them.

Step 2: The constants are taken to the right side of the equation.

Step 3: All the terms involving the variable are isolated to the left hand side of the equation, to evaluate the value of the variable.

Step 4: The solution is verified.

Examples of Linear Equation in One Variable:

The following are some of the examples of linear equations in one variable:

If we analyze these examples, we have only one variable, and the highest power of this variable in any term is 1.
This algebraic equation can be evaluated by taking all the terms involving the variables on the left-hand side (L.H.S) and constants on the right side (R.H.S), to solve for the corresponding variable value.

Sample Problems on Linear Equations

Example 1: Solve for y, 8y – 4 = 0

Solving for value of y,

Adding 4 to both sides of the equation ,

⇒ 8y -4 + 4 = 4

⇒ 8y = 4

Dividing both sides of equation by 8

⇒ y = 4/8

Simplifying the equation ,


Example 2: Solve the equation in x, 3x +10 = 55

Taking constants to RHS,

3x = 45

⇒ x = 15

Example 3: Solve the equation in x, 4/5x -5 = 15

Taking constants to RHS,

4/5x = 20

⇒x = 100/4

⇒x = 25

Sample Word Problems

Problem 1: There are two numbers, one equal to 5/4 and other equal to 1/2 times some number x. The sum of these two numbers is 1. Find x.

Since, the sum of both the numbers is 1, we have

5/4 + 1/2 x = 1

Transposing all the constants to R.H.S of the equation (transposing is an operation of shifting the operands to the other side by reversing the sign of the operand upon taking to other side)


Multiplying both sides of the equation with 2 we get ,

⇒ x = -1/2

Problem 2: The height of the rectangle if 4m less than the base of the rectangle. The perimeter of the rectangle is 32 m. Find the length and height of the rectangle.

Perimeter P of the rectangle = 32 m

Let base of the rectangle be x metres.

Therefore, the height of rectangle is x-4 m.

Perimeter of the rectangle is equal to sum of all sides.

Since, opposite sides of the rectangle are equal we have,

2 (x) + 2(x-4) = 32

⇒ 2x + 2x – 8 = 32

⇒ 4x – 8 = 32

Adding 8 on both sides of the equation,

⇒ 4x = 40

⇒ x = 10

Therefore, base of rectangle = 10 m.

And height = 6 m.


Welcome!

This is one of over 2,400 courses on OCW. Explore materials for this course in the pages linked along the left.

MIT OpenCourseWare is a free & open publication of material from thousands of MIT courses, covering the entire MIT curriculum.

No enrollment or registration. Freely browse and use OCW materials at your own pace. There's no signup, and no start or end dates.

Knowledge is your reward. Use OCW to guide your own life-long learning, or to teach others. We don't offer credit or certification for using OCW.

Made for sharing. Download files for later. Send to friends and colleagues. Modify, remix, and reuse (just remember to cite OCW as the source.)


Balbharati solutions for Mathematics 1 Algebra 10th Standard SSC Maharashtra State Board chapter 1 (Linear Equations in Two Variables) include all questions with solution and detail explanation. This will clear students doubts about any question and improve application skills while preparing for board exams. The detailed, step-by-step solutions will help you understand the concepts better and clear your confusions, if any. Shaalaa.com has the Maharashtra State Board Mathematics 1 Algebra 10th Standard SSC Maharashtra State Board solutions in a manner that help students grasp basic concepts better and faster.

Further, we at Shaalaa.com provide such solutions so that students can prepare for written exams. Balbharati textbook solutions can be a core help for self-study and acts as a perfect self-help guidance for students.

Concepts covered in Mathematics 1 Algebra 10th Standard SSC Maharashtra State Board chapter 1 Linear Equations in Two Variables are Linear Equations in Two Variables Applications, Cramer'S Rule, Cross - Multiplication Method, Substitution Method, Elimination Method, Equations Reducible to a Pair of Linear Equations in Two Variables, Simple Situational Problems, Inconsistency of Pair of Linear Equations, Consistency of Pair of Linear Equations, Graphical Method of Solution of a Pair of Linear Equations, Determinant of Order Two, Pair of Linear Equations in Two Variables, Linear Equations in Two Variables.

Using Balbharati 10th Standard [इयत्ता १० वी] solutions Linear Equations in Two Variables exercise by students are an easy way to prepare for the exams, as they involve solutions arranged chapter-wise also page wise. The questions involved in Balbharati Solutions are important questions that can be asked in the final exam. Maximum students of Maharashtra State Board 10th Standard [इयत्ता १० वी] prefer Balbharati Textbook Solutions to score more in exam.


The slope-intercept form of a linear equation

Earlier in this chapter we have expressed linear equations using the standard form Ax + By = C. Now we're going to show another way of expressing linear equations by using the slope-intercept form y = mx + b.

In the slope-intercept form you use the slope of the line and the y-intercept to express the linear function.

Where m is the slope and b is the y-intercept.

rewrite in slope-intercept form

Identify the slope and the y-intercept

Plot the point corresponding to the y-intercept, (0,1)

The m-value, the slope, tells us that for each step to the right on the x-axis we move 2 steps upwards on the y-axis (since m = 2)

And once you have your second point you can just draw a line through the two points and extend it in both directions.

You can check to see that the line you've drawn is the correct one by substituting the coordinates of the second point into the original equation. If the equation holds true than the second point is correct.

Our second point is a solution to the equation i.e. the line we drew is correct.

A line that passes through the origin has a y-intersect of zero, b = 0, and represents a direct variation.

In a direct variation the nonzero number m is called the constant of variation.

You can name a function, f by using the function notion

f(x) is another name for y and is read as "the value of f at x" or "f of x". You can use other letters than f to name functions.

A group of functions that have similar characteristics are called a family of functions. All functions that can be written on the form f(x) = mx + b belong to the family of linear functions.

The most basic function in a family of functions is called the parent function. The parent function of all linear functions is


شاهد الفيديو: الصف التاسع الرياضيات الدوال الخطية 1 (شهر اكتوبر 2021).