مقالات

11.4: تطبيقات - رياضيات


في الأقسام السابقة الخاصة بالتطبيقات ، رأينا مواقف تم فيها استخدام حساب المثلثات القائم الزاوية لإيجاد المسافات والزوايا. في هذا القسم ، سنستخدم قانون الجيب وقانون جيب التمام لإيجاد المسافات والزوايا.

مثال ( PageIndex {1} )

تسير سيارة على طريق مستقيم متوجهة غربًا لمدة ساعة واحدة ، ثم تسير على طريق مستقيم آخر شمال غربًا لمدة نصف ساعة. إذا كانت سرعة السيارة ثابتة تبلغ 50 ميلاً في الساعة ، فما المسافة التي تبعدها السيارة عن نقطة البداية؟

حل

أولاً ، دعنا نرسم مخططًا:

في الصورة أعلاه ، نعرف الزوايا (45 ^ { circ} ) و (135 ^ { circ} ) بسبب اتجاه تحرك السيارة. يقطع الاتجاه الشمالي الغربي تمامًا في منتصف الطريق بين الشمال والغرب مكونًا زاوية (45 ^ { circ} ). على الجانب الآخر من هذه الزاوية (45 ^ { circ} ) هي زاوية (135 ^ { circ} ) الموجودة في المثلث والتي سنستخدمها للإجابة على السؤال (المثلث (ABC ) ).

يبلغ طول ( overline {A B} ) 50 ميلاً ويبلغ طول ( overline {B C} ) 25 ميلاً. يأتي هذا من المعلومات المتعلقة بالسرعة ووقت السفر الواردة في المشكلة. إذن ، المثلث الذي نحتاجه للإجابة على السؤال في الصورة أدناه:

يمكننا استخدام قانون جيب التمام لحل هذه المشكلة:
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
ب ^ {2} = أ ^ {2} + ج ^ {2} -2 أ c cos B
ب ^ {2} = 25 ^ {2} + 50 ^ {2} -2 * 25 * 50 * cos 135 ^ { circ}
ب ^ {2} تقريبًا 625 + 2500-2500 * (- 0.7071)
ب ^ {2} حوالي 3125 + 1767.75
ب ^ {2} تقريبًا 4892.75
ب حوالي 69.9 ماذرم {ميل}
نهاية {مجموعة}
]

مثال ( PageIndex {2} )

يقود طيار طائرة في مسار مستقيم لمدة 2.5 ساعة ثم يقوم بتصحيح المسار ، متجهًا (10 ​​^ { circ} ) إلى يسار المسار الأصلي. ثم يطير الطيار في هذا الاتجاه لمدة ساعة. إذا كانت سرعة الطائرة ثابتة (350 mathrm {mph} ) ، فما بعد المستوى عن موضع البداية؟

حل

مرة أخرى ، سنبدأ بعمل رسم تخطيطي:

في هذه المشكلة ، سنعمل مع المثلث (أ ب ج ) الموضح أدناه. يمكننا حساب أطوال ( overline {A B} ) و ( overline {B C} ) من المعلومات الواردة في المشكلة واستخدام هذا لحساب طول ( overline {A C} ):

باستخدام قانون جيب التمام:
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
ب ^ {2} = أ ^ {2} + ج ^ {2} -2 أ c cos B
ب ^ {2} = 350 ^ {2} + 875 ^ {2} -2 * 350 * 1050 * cos 170 ^ { circ}
ب ^ {2} حوالي 122،500 + 765،625-735،000 * (- 0.9848)
ب ^ {2} حوالي 888125 + 723.828
ب ^ {2} حوالي 1611953
ب تقريبا 1270 ماذرم {ميل}
نهاية {مجموعة}
]

مثال ( PageIndex {3} )

يغادر طيار المطار في بيند ، متجهًا نحو كورفاليس بحمل (N 70 ^ { circ} W. ) يسافر 103 أميال ويقوم بالتسليم قبل الإقلاع والطيران في اتجاه (N 25 ^ { circ} E ) لمسافة 72 ميلاً للوصول إلى بورتلاند.

أ) بناءً على هذه المعلومات ، أوجد المسافة الجوية بين بورتلاند وبيند.
ب) أوجد الاتجاه من بورتلاند إلى بيند.

حل

في هذه المشكلة ، تم إعطاء رسم تخطيطي. سنقوم بتعديل هذا لجعله مثلثًا:

يعد ملء قياسات الزوايا أمرًا صعبًا في هذه المسألة ، لذلك دعونا ننظر إلى الرسم التخطيطي الأصلي مرة أخرى:

إذا قمنا بتمديد الخط المتقطع شرقًا من Corvallis بحيث يلتقي بالخط المتقطع
بالركض شمالًا من بيند ، يمكننا إنشاء مثلث يوضح لنا أن الزاوية ( angle BCX = 20 ^ { circ}. ) لاحظ أيضًا أن ( angle PCX = left (90 ^ { circ} -25 ^ { circ} right) = 65 ^ { circ} )

هذا يعني أن ( angle BCP = 85 ^ { circ}. ) نعلم من المشكلة أن ( overline {BC} = 103 ) و ( overline {CP} = 72. ) نحن ' سنحتاج إلى إيجاد طول ( overline {BP} ) وقياس ( زاوية CPB ) للإجابة على الأسئلة.

نحن نعمل الآن على مثلث مثل المثلث الموضح في الصورة أعلاه ، لذا يمكننا استخدام قانون جيب التمام لإيجاد مسافة الهواء من بورتلاند إلى بيند:
[ ابدأ {مجموعة} {ج}
c ^ {2} = b ^ {2} + p ^ {2} -2 b p cos C
ج ^ {2} = 72 ^ {2} + 103 ^ {2} -2 * 72 * 103 * cos 85 ^ { circ}
ج ^ {2} تقريبًا 5184 + 10609-14832 * (0.087156)
ج ^ {2} حوالي 15793-1292.7
ج ^ {2} 14500.3 تقريبًا
ج حوالي 120.4 نص {ميل}
نهاية {مجموعة}
]

لإيجاد ( الزاوية P ، ) سنستخدم قانون الجيب:

[ ابدأ {مجموعة} {ج}
frac { sin 85 ^ { circ}} {120.4} = frac { sin P} {103}
103 * frac { sin 85 ^ { circ}} {120.4} = sin P
103 * frac {0.9962} {120.4} almost sin P
0.85223 تقريبا الخطيئة P
58.4 ^ { circ} almost P
نهاية {مجموعة}
]

الآن بعد أن عرفنا قياس ( الزاوية P ) ، يمكننا تحديد اتجاه الانحناء من بورتلاند.

في الصورة أدناه ، لاحظ أن ( angle YPC = 25 ^ { circ}. ) هذا يعني أن الاتجاه من بورتلاند إلى بيند سيكون شرق الجنوب بالفرق بين ( angle P = 58.4 ^ { circ } ) و ( زاوية YPC = 25 ^ { circ}. ) هذا يجعل اتجاه الانحناء من بورتلاند يساوي (S 33.4 ^ { circ} E )

مثال ( PageIndex {4} )

برج يبلغ ارتفاعه 125 قدمًا يقع على جانب جبل يميل (32 ^ { circ} ) إلى الأفقي. يجب توصيل سلك شدّاد بأعلى البرج ومثبت عند نقطة تبلغ 55 قدمًا أسفل التل من قاعدة البرج. ابحث عن أقصر طول مطلوب للسلك.

حل

أحد الجوانب المهمة في حل هذه المشكلة هو تحديد مثلث في المشكلة يتضمن الكمية المجهولة المطلوب إيجادها. إذا كنا نبحث عن طول سلك الشد ، فيمكننا استخدام مثلث يتضمن السلك ، والمسافة من السلك إلى مركز البرج وارتفاع البرج:

ستبقى الزاوية بين الأفقي والتل (32 ^ { circ} ) عند أي نقطة على التل. إذا أسقطنا عموديًا على الأفقي ، فسنكون قادرين على إيجاد الزاوية المحصورة بين الضلعين المحددين.

في المثلث القائم الزاوية الصغير ، نعرف الزاوية 32 '. هذا يعني أن الزاوية الحادة الأخرى يجب أن تكون (58 ^ { circ} ) ، والزاوية الإضافية (الموجودة في المثلث الذي نهتم به () ) ستكون (122 ^ { circ} )

يمكننا الآن استخدام قانون جيب التمام لإيجاد طول سلك الشد:

[ ابدأ {مجموعة} {ج}
x ^ {2} = 125 ^ {2} + 55 ^ {2} -2 * 125 * 55 * cos 122 ^ { circ}
س ^ {2} = 15،625 + 3025-13،750 * cos 122 ^ { circ}
x ^ {2} حوالي 18650 + 7286.39
x ^ {2} حوالي 25936.39
س حوالي 161 نص {قدم}
نهاية {مجموعة}
]

تمارين

1. يتباعد طريقان مستقيمان بزاوية (50 ^ { circ} ). تغادر سيارتان التقاطع عند (1 mathrm {pm}، ) واحدة مسافرة (60 mathrm {mph} ) والأخرى مسافرة (45 mathrm {mph} ). ما المسافة بين السيارات (كما يطير الغراب) عند (1: 30 mathrm {pm}؟ )
2. يغادر زورقان من نفس الميناء في نفس الوقت. يسافر المرء بسرعة
(40 mathrm {mph} ) في الاتجاه (N 30 ^ { circ} E ) وتنتقل الأخرى بسرعة 28 ميلاً في الساعة في الاتجاه (S 75 ^ { circ} E. ) ما المسافة بين القاربين بعد ساعة واحدة؟

3. يقع المطار في Desert Junction على بعد 350 ميلاً من المطار في Valley Center عند اتجاه (N 57 ^ { circ} E. ) الطيار الذي يريد السفر من Valley Center إلى Desert Junction يطير بالخطأ باتجاه الشرق عند 225 ميلا في الساعة لمدة 30 دقيقة قبل تصحيح الخطأ. كم تبعد الطائرة عن وجهتها عندما يلاحظ الطيار الخطأ؟ ما هو الاتجاه الذي يجب أن تستخدمه الطائرة للوصول إلى تقاطع الصحراء؟

4. تغادر الطائرة المطار (A ) وتقطع مسافة 520 ميلاً إلى المطار (B ) على اتجاه (N 35 ^ { circ} W. ) تغادر الطائرة المطار (B ) وتسافر إلى المطار (C 310 ) أميال على اتجاه (S 65 ^ { circ} W ) من المطار (B. ) أوجد المسافة من المطار (A ) إلى المطار (C. )

5. تقلع طائرتان في نفس الوقت من مطار. تحلق الطائرة الأولى بسرعة 300 ميل في الساعة في اتجاه (S 45 ^ { circ} E. ) تحلق الطائرة الثانية باتجاه (S 5 ^ { circ} W ) بسرعة 330 ميل في الساعة. ما المسافة بينهما بعد 3 ساعات؟

6. طائرتان تغادران المطار في نفس الوقت. سرعتهم هي (180 mathrm {mph} ) و (110 mathrm {mph}، ) والزاوية بين مسارات رحلاتهم (43 ^ { circ}. ) ما مدى تباعدهم عن بعضهم البعض بعد 2.5 ساعة؟

7. تغادر سفينتان مدخل الميناء في نفس الوقت. يسافر الأول بسرعة 23 ميلاً في الساعة والثاني بسرعة 17 ميلاً في الساعة. إذا كانت الزاوية بين مداري السفن (110 ^ { circ} ، ) فما المسافة بينهما بعد ساعة واحدة؟

8. تغادر سفينة مدخل المرفأ وتقطع مسافة 15 ميلاً مع دب ( operatorname {ing} S 10 ^ { circ} W، ) ثم تستدير وتسافر 45 ميلاً بحمل (N 43 ^ { Circ} W. ) كم تبعد السفينة عن مدخل الميناء وما هو اتجاه السفينة عن الميناء؟

9. جبل شديد الانحدار يميل (77 ^ { circ} ) إلى الأفقي ويرتفع 3000 قدم فوق السهل المحيط. سيتم تركيب تلفريك يربط السهل بأعلى الجبل. المسافة من سفح الجبل إلى منطقة تحميل مدخل التلفريك هي 1200 قدم (انظر الرسم البياني أدناه). ابحث عن أقصر طول لازم للكابل.

10. شجرة على سفح تل تلقي بظلالها (208 mathrm {ft} ) أسفل التل. إذا كانت زاوية ميل منحدر التل (25 ^ { circ} ) للأفقي وزاوية ارتفاع ( operatorname {sun} ) هي (51 ^ { circ}، ) ابحث عن ارتفاع الشجرة.


MAT 112 الرياضيات القديمة والمعاصرة

بدلاً من استخدام base (10 ​​) أو base (2 text <،> ) يمكننا استخدام أي رقم طبيعي آخر (b & gt1 ) كأساس. لتمثيل أي رقم في الأساس (ب نص <،> ) يجب علينا تحديد (ب ) رموز فريدة تمثل قيم (ب ) من (0 ) إلى (ب-1 نص < .> ) هذه الرموز هي أول رموز (ب ) من القائمة

في الفيديو في الشكل 11.4.1 ، قدم أرقامًا ممثلة في قواعد غير (2 ) و (10 ​​ نص <.> ) مزيد من التفاصيل موضحة أدناه.

يقدم الجدول 11.4.2 أرقامًا مختلفة مكتوبة في الأساس 2 و 3 و 8 و 10 و 12 و 16 وكذلك باللغتين الإنجليزية والفرنسية. عند العد في بعض اللغات ، توجد بعض المخالفات في الكلمات التي تمثل الأرقام ، وينشأ العديد من هذه المخالفات في الاستخدام التقليدي لأنظمة الأرقام الأخرى. في اللغة الإنجليزية ، لا تتبع الأرقام 11 و 12 نمط الأرقام الأخرى بين 10 و 20. في الفرنسية ، تتبع الأرقام من 11 إلى 16 نمطًا مختلفًا عن الأرقام من 17 إلى 19 ، والأرقام من 30 إلى 79 تتبع نمطًا مختلفًا نمط من الأعداد 80 إلى 99.

الإنجليزية الفرنسية الثنائية ثلاثي ثماني عدد عشري دزينة السداسي عشري
(القاعدة 2) (القاعدة 3) (القاعدة 8) (القاعدة 10) (القاعدة 12) (القاعدة 16)
صفر صفر ( ماذرم <0> _2 ) ( ماذرم <0> _3 ) ( ماذرم <0> _8 ) ( ماذرم <0> ) ( ماذرم <0> _ <12> ) ( ماذرم <0> _ <16> )
واحد الأمم المتحدة ( ماذرم <1> _2 ) ( ماذرم <1> _3 ) ( ماذرم <1> _8 ) ( ماذرم <1> ) ( ماذرم <1> _ <12> ) ( ماذرم <1> _ <16> )
اثنين deux ( ماذرم <10> _2 ) ( ماذرم <2> _3 ) ( ماذرم <2> _8 ) ( ماذرم <2> ) ( ماذرم <2> _ <12> ) ( ماذرم <2> _ <16> )
ثلاثة تريس ( ماذرم <11> _2 ) ( ماذرم <10> _3 ) ( ماذرم <3> _8 ) ( ماذرم <3> ) ( ماذرم <3> _ <12> ) ( ماذرم <3> _ <16> )
أربعة ربع ( ماذرم <100> _2 ) ( ماذرم <11> _3 ) ( ماذرم <4> _8 ) ( ماذرم <4> ) ( ماذرم <4> _ <12> ) ( ماذرم <4> _ <16> )
خمسة سينك ( ماذرم <101> _2 ) ( ماذرم <12> _3 ) ( ماذرم <5> _8 ) ( ماذرم <5> ) ( ماذرم <5> _ <12> ) ( ماذرم <5> _ <16> )
ستة ستة ( ماذرم <110> _2 ) ( ماذرم <20> _3 ) ( ماذرم <6> _8 ) ( ماذرم <6> ) ( ماذرم <6> _ <12> ) ( ماذرم <6> _ <16> )
سبعة سبتمبر ( ماذرم <111> _2 ) ( ماذرم <21> _3 ) ( ماذرم <7> _8 ) ( ماذرم <7> ) ( ماذرم <7> _ <12> ) ( ماذرم <7> _ <16> )
ثمانية huit ( ماذرم <1000> _2 ) ( ماذرم <22> _3 ) ( ماذرم <10> _8 ) ( ماذرم <8> ) ( ماذرم <8> _ <12> ) ( ماذرم <8> _ <16> )
تسع نيوف ( ماذرم <1001> _2 ) ( ماذرم <100> _3 ) ( ماذرم <11> _8 ) ( ماذرم <9> ) ( ماذرم <9> _ <12> ) ( ماذرم <9> _ <16> )
عشرة ديكس ( ماذرم <1010> _2 ) ( ماذرم <101> _3 ) ( ماذرم <12> _8 ) ( ماذرم <10> ) ( mathrm_ <12> ) ( mathrm_ <16> )
أحد عشر أونز ( ماذرم <1011> _2 ) ( ماذرم <102> _3 ) ( ماذرم <13> _8 ) ( ماذرم <11> ) ( mathrm_<12>) ( mathrm_<16>)
اثني عشر غسول ( ماذرم <1100> _2 ) ( ماذرم <110> _3 ) ( ماذرم <14> _8 ) ( ماذرم <12> ) ( ماذرم <10> _ <12> ) ( mathrm_<16>)
ثلاثة عشر تريزي ( ماذرم <1101> _2 ) ( ماذرم <111> _3 ) ( ماذرم <15> _8 ) ( ماذرم <13> ) ( ماذرم <11> _ <12> ) ( mathrm_<16>)
أربعة عشرة Quatorze ( ماذرم <1110> _2 ) ( ماذرم <112> _3 ) ( ماذرم <16> _8 ) ( ماذرم <14> ) ( mathrm <12> _ <12> ) ( mathrm_<16>)
خمسة عشر quinze ( ماذرم <1111> _2 ) ( ماذرم <120> _3 ) ( ماذرم <17> _8 ) ( ماذرم <15> ) ( ماذرم <13> _ <12> ) ( mathrm_<16>)
السادس عشر حجز اسر يستولى ( ماذرم <10000> _2 ) ( ماذرم <121> _3 ) ( ماذرم <20> _8 ) ( ماذرم <16> ) ( ماذرم <14> _ <12> ) ( ماذرم <10> _ <16> )
سبعة عشر ديكسسبت ( ماذرم <10001> _2 ) ( ماذرم <122> _3 ) ( ماذرم <21> _8 ) ( ماذرم <17> ) ( ماذرم <15> _ <12> ) ( mathrm <11> _ <16> )
عشرين فينجت ( ماذرم <10100> _2 ) ( ماذرم <202> _3 ) ( ماذرم <24> _8 ) ( ماذرم <20> ) ( ماذرم <18> _ <12> ) ( ماذرم <14> _ <16> )
ستين soixante ( ماذرم <111100> _2 ) ( ماذرم <2020> _3 ) ( ماذرم <74> _8 ) ( ماذرم <60> ) ( ماذرم <50> _ <12> ) ( ماذرم <3C> _ <16> )
ثمانون Quatrevingt ( ماذرم <1010000> _2 ) ( ماذرم <2222> _3 ) ( ماذرم <120> _8 ) ( ماذرم <80> ) ( ماذرم <68> _ <12> ) ( ماذرم <50> _ <16> )
تسعين quatrevingt-dix ( ماذرم <1011010> _2 ) ( ماذرم <10100> _3 ) ( ماذرم <132> _8 ) ( ماذرم <90> ) ( mathrm <76> _ <12> ) ( mathrm <5A> _ <16> )
مائة سنت ( ماذرم <1100100> _2 ) ( ماذرم <10201> _3 ) ( ماذرم <144> _8 ) ( ماذرم <100> ) (mathrm <84> _ <12> ) ( mathrm <64> _ <16> )
الجدول 11.4.2. أرقام مختارة باللغات الإنجليزية والفرنسية والقواعد 2 و 3 و 8 و 10 و 12 و 16

نقوم بتعميم التوسع العشري (الأساس 10) على القواعد الأخرى بالطريقة التالية. دعونا (b in N ) مع (b & gt1 text <.> ) يمكننا كتابة أي رقم (a in N ) مع (a lt b ^ n ) في النموذج

حيث (n ) هو عدد الأرقام في تمثيل (b ) الأساس (a ) و (0 le r_i lt b ) لـ (i in <0، dots ، n-1 > text <.> )

لكتابة الرقم (أ ) في الأساس (ب نص <،> ) نقوم باستخراج المعاملات (r_0 ) إلى (r_) من التدوين الموسع. لتمييز الأرقام في قواعد مختلفة ، نضيف (ب ) إلى الرقم الموجود في الأساس (ب ) إذا (ب ني 10 نص <.> ) إذن ، الرقم (أ ) من أعلاه ستكتب كـ

في الأساس (b text <.> ) في الجدول 11.4.3 والجدول 11.4.4 ، نعطي أمثلة على الأرقام في الأساس (7 ) والقاعدة (16 ) مع أرقامها والتوسعات والأرقام في القاعدة (10 ​​ نص <.> )

(أ ) في قاعدة (7 ) أرقام من (أ ) قاعدة (7 ) توسيع (أ ) (أ ) في
قاعدة (7 ) (7^3) (7^2) (7^1) (7^0) القاعدة 10
(1_7) (1) (1 cdot 1 ) (1)
(10_7) (1) (0) (1 cdot 7 + 0 cdot 1 ) (7)
(100_7) (1) (0) (0) (1 cdot 7 ^ 2 + 0 cdot 7 + 0 cdot 1 ) (49)
(200_7) (2) (0) (0) (2 cdot 7 ^ 2 + 0 cdot 7 + 0 cdot 1 ) (98)
(6200_7) (6) (2) (0) (0) (6 cdot 7 ^ 3 + 2 cdot 7 ^ 2 + 0 cdot 7 + 0 cdot 1 ) (341)
الجدول 11.4.3. الأعداد في القاعدة (7 نص <،> ) أرقام قاعدتها (7 ) ، توسيع قاعدتها (7 ) ، وفي القاعدة (10 ​​ نص <.> ) (7 ) الأرقام المستخدمة في الأرقام الأساسية (7 ) هي (0 نص <،> ) (1 نص <،> ) (2 نص <،> ) (3 نص <،> ) (4 نص <،> ) (5 نص <،> ) و (6 نص <.> )
(أ ) في 16 رقمًا أساسيًا من (أ ) قاعدة (16 ) توسيع (أ ) (أ ) في
قاعدة (16 ) (16^3) (16^2) (16^1) (16^0) القاعدة 10
(1_<16>) (1) (1 قرص 1 ) (1)
( mathrm_<16>) ( mathrm) (12 cdot 1 ) (12)
(10_<16>) (1) (0) (1 cdot 16 + 0 cdot 1 ) (16)
( mathrm0_ <16> ) ( ماذرم ) (0) (10 ​​ cdot 16 + 0 cdot 1 ) (160)
( mathrm_<16>) ( mathrm) ( mathrm) (15 cdot 16 + 15 cdot 1 ) (255)
(100_<16>) (1) (0) (0) (1 cdot 16 ^ 2 + 0 cdot 16 + 0 cdot 1 ) (256)
(200_<16>) (2) (0) (0) (2 cdot 16 ^ 2 + 0 cdot 16 + 0 cdot 1 ) (512)
(6 ماذرم00_<16>) (6) ( mathrm) (0) (0) (6 cdot 16 ^ 3 + 11 cdot 16 ^ 2 + 0 cdot 16 + 0 cdot 1 ) (27392)
الجدول 11.4.4. الأرقام السداسية العشرية (الأساس (16 )) الأرقام ، قاعدتها (16 ) أرقام ، توسيع قاعدتها (16 ) ، وفي القاعدة (10 ​​ نص <.> ) الرموز (16 ) المستخدمة بالأرقام السداسية العشرية هي (0 نص <،> ) (1 نص <،> ) (2 نص <،> ) (3 نص <،> ) (4 نص < ،> ) (5 text <،> ) (6 text <،> ) (7 text <،> ) (8 text <،> ) (9 text < ،> ) ( mathrm text <،> ) ( mathrm نص <،> ) ( mathrm نص <،> ) ( mathrm نص <،> ) ( mathrm text <،> ) و ( mathrm text <.> ) لدينا ( mathrm_ <16> = 10 text <،> ) ( mathrm_ <16> = 11 نص <،> ) ( mathrm_ <16> = 12 نص <،> ) ( mathrm_ <16> = 13 نص <،> ) ( mathrm_ <16> = 14 نص <،> ) و ( mathrm_ <16> = 15 نص <.> )

نحسب التمثيل العشري لرقم (ب ) أساسي من خلال تقييم توسع القاعدة (ب ).

مثال 11.4.5. التحويل إلى التمثيل العشري.

نظرًا للأرقام في قواعد مختلفة (ب نص <،> ) نقوم بتحويل هذه الأرقام إلى تمثيلاتها العشرية عن طريق كتابة توسعاتها الأساسية (ب ) ثم تقييمها.

(1101_2 = 1 cdot2 ^ 3 + 1 cdot 2 ^ 2 + 0 cdot 2 + 1 cdot 1 = 13 )

(1101_3 = 1 cdot3 ^ 3 + 1 cdot 3 ^ 2 + 0 cdot 3 + 1 cdot 1 = 37 )

(201_3 = 2 cdot 3 ^ 2 + 0 cdot 3 + 1 cdot 1 = 19 )

(201_5 = 2 cdot 5 ^ 2 + 0 cdot 5 + 1 cdot 1 = 51 )

(201_ <16> = 2 cdot 16 ^ 2 + 0 cdot 16 + 1 cdot 1 = 513 )

المشكلة 11.4.6. تحويل من قاعدة (18 ) إلى قاعدة (10 ​​).

أعط التوسيع الأساسي (18 ) لـ (99GD872_ <18> ) وقم بتغطية (99GD872_ <18> ) للتمثيل العشري.

في الأساس <18> نستخدم الأحرف (0 text <،> ) (1 text <،> ) (2 text <،> ) (3 text <،> ) (4 text <،> ) (5 text <،> ) (6 text <،> ) (7 text <،> ) (8 text <،> ) (9 text <،> ) (A text <،> ) (B text <،> ) (C text <،> ) (D text <،> ) (E text <،> ) (F text <،> ) (G text <،> ) (H ) للأرقام. قيم هذه

(0_ <18>= 0) (1_ <18>= 1) (2_ <18>= 2) (3_ <18>= 3) (4_ <18>= 4) (5_ <18>= 5)
(6_ <18>= 6) (7_ <18>= 7) (8_ <18>= 8) (9_ <18>= 9) (أ _ <18> = 10 ) (ب _ <18> = 11 )
(C_ <18> = 12 ) (د _ <18> = 13 ) (E_ <18> = 14 ) (F_ <18> = 15 ) (G_ <18> = 16 ) (ح_ <18> = 17 )

لذلك ، مثل التوسع الأساسي 18 لـ (99GD872 <18> ) نحصل عليه

(99GD872_ <18> ) (= 9 cdot <18> ^ 6 + 9 cdot <18> ^ 5 + 16 cdot <18> ^ 4 + 13 cdot <18> ^ 3 + 8 cdot <18> ^ 2 + 7 cdot <18> + 2 cdot 1 text <.> )

ينتج عن تقييم التعبير الموجود على اليمين التمثيل العشري لـ (99GD872_ <18> text <:> )

(99GD872_ <18> ) (= 9 cdot <18> ^ 6 + 9 cdot <18> ^ 5 + 16 cdot <18> ^ 4 + 13 cdot <18> ^ 3 + 8 cdot <18> ^ 2 + 7 cdot <18> + 2 cdot 1 ) (= 324874280 )

لذلك لتحويل رقم في تمثيل (ب ) الأساسي ، حيث (ب ) إلى قاعدة (10 ​​) تمثيل نحن


حل

يستمر النمط! لدينا $ 11 ^ 3 = 1331 $ و $ (x + 1) ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1 $ ، و $ 11 ^ 4 = 14641 $ و $ (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1 $. لمعرفة سبب حدوث ذلك ، لنبدأ بالحالة البسيطة $ n = 2 $. لدينا هنا $ 11 ^ 2 = 121 $ و $ (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 $. رقم المئات $ 11 ^ 2 $ هو نفس معامل $ x ^ 2 $ في $ (x + 1) ^ 2 $ وبالمثل لرقم العشرات ورقم الآحاد. في هذه الحالة ، يمكننا أن نبدأ في رؤية ما يحدث بالتعويض عن $ x = 10 $ في التعبير $ (x + 1) ^ 2 $. عندما يكون $ x = 10 دولارات ، يكون لدينا $ x + 1 = 11 $. علاوة على ذلك ، $ x ^ 2 = 100 $ و $ x = 10 $ لذا فإن المعامل $ x ^ 2 $ في $ (x + 1) ^ 2 $ يخبرنا عن عدد المئات لدينا (1) ، معامل $ x يخبرنا $ كم عشرات (2) ، والحد الثابت هو عدد الآحاد (1).

الآن نرى سبب استمرار النمط: تخبرنا نظرية ذات الحدين كيفية توسيع $ (x + 1) ^ n $ ، والأرقام $ 11 ^ n $ هي ما نحصل عليه عندما نستبدل $ x = 10 $. عندما يكون $ n = 3 $ ، يكون لدينا $ (x + 1) ^ 3 = x ^ 3 + 3x ^ 2 + 3x + 1. $ نعوض $ x = 10 $ نجد

عندما يكون $ n = 4 $ لدينا (باستخدام نظرية ذات الحدين أو مضاعفة كثيرات الحدود على التوالي) $ (x + 1) ^ 4 = x ^ 4 + 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 4x + 1. $ استبدال $ x = 10 $ نحن تجد

لذا فإن فيليسيا محقة في أن هناك علاقة وثيقة جدًا بين معاملات كثير الحدود $ (x + 1) ^ n $ وأرقام الرقم $ 11 ^ n $. ومع ذلك ، فإن المعاملين ليسا متماثلين دائمًا ، لأن معاملات $ (x + 1) ^ n $ تعتمد على $ n $ وتصبح أكبر كلما زاد $ n $. ومع ذلك ، يمكن أن تتراوح الأرقام من $ 11 ^ n $ من 0 إلى 9 فقط بسبب نظامنا العشري لكتابة الأرقام. لذلك عندما يكون $ n = 5 $ ، على سبيل المثال ، $ (x + 1) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 + 10x ^ 3 + 10x ^ 2 + 5x + 1. دولار ، سنجد تعويض $ x = 10 $

في هذه الحالة ، يتم إعادة تجميع كل من المئات والآلاف عندما نكتب هذا الرقم في الأساس 10. إذا سُمح لنا بوضع أي عدد صحيح نريده في كل قيمة مكانية ، فإن معاملات $ (x + 1) ^ n $ سيعطينا تعبيرًا مباشرًا عن $ 11 ^ n $ لجميع قيم $ n $.


11.4 مقارنة بين المتسلسلات

مقدمة: سوف نتعلم في هذا الدرس كيفية إظهار ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد عن طريق مقارنة السلسلة بسلسلة يُعرف تقاربها أو تباعدها.

أهداف: بعد هذا الدرس يجب أن تكون قادرًا على:

  • استخدم اختبار المقارنة المباشر لتحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد.
  • استخدم اختبار مقارنة الحدود لتحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد.

ملاحظات الفيديو و أمبير: املأ ورقة الملاحظات الخاصة بهذا الدرس (11-4-Comparison-of-Series) أثناء مشاهدة الفيديو. إذا كنت تفضل ذلك ، يمكنك قراءة القسم 11.4 من كتابك المدرسي وحل المشكلات الموجودة في الملاحظات بنفسك كممارسة. تذكر أنه يجب تحميل الملاحظات على Blackboard أسبوعيًا للحصول على تقدير! إذا لم يتم تحميل الفيديو أدناه لسبب ما ، فيمكنك الوصول إليه على YouTube هنا.

الواجب المنزلي: انتقل إلى WebAssign وأكمل مهمة & # 822011.4 Series و Convergence & # 8221. يوجد واجب واحد فقط لكلا الجزأين من هذا الدرس.


وصف

سمات

  • تناول جميع جوانب الرياضيات الجديدة في DP: التطبيقات والتفسير منهج HL عبر حزمة محسّنة لكتاب الدورة التدريبية عبر الإنترنت - تتكون من كتاب مدرسي ملون كامل ومطبوع وكتاب مدرسي واحد عبر الإنترنت ، بما في ذلك ملاحظات المعلم الشاملة
  • تأكد من استعداد المتعلمين للتعامل مع كل موضوع باستخدام أوراق عمل "المعرفة السابقة" المستهدفة ، المرتبطة بملخصات وتمارين "قبل أن تبدأ" في بداية كل فصل
  • تقديم تغطية متعمقة لجميع الموضوعات من خلال تفسيرات واضحة وحلول عملية وأمثلة عمل متحركة وتمارين وأوراق عمل متباينة ، مع تقديم إجابات
  • اعتماد نهج قائم على المفهوم مع العدسات المفاهيمية والمفاهيم الدقيقة المنسوجة في كل فصل ، بالإضافة إلى التحقيقات الغنية التي تدمج الأسئلة الواقعية والمفاهيمية - مما يؤدي إلى فهم مفاهيمي هادف ومخصص للمحتوى
  • تعميق الفهم الرياضي من خلال المهام القائمة على الاستفسار التي تتعلق بمحتوى كل فصل ، وميزات "العقلية الدولية" ، والروابط المنتظمة لنظرية المعرفة ، والأنشطة التي تستهدف مهارات ATL
  • دعم تطوير الطلاب لمجموعة أدوات رياضية ، كما هو مطلوب في المنهج الجديد ، مع تقديم أنشطة النمذجة والاستقصاء في كل فصل ، بما في ذلك محفزات التفكير ، واقتراحات لمزيد من الدراسة
  • قم بإعداد الطلاب جيدًا لتقييم البكالوريا الدولية من خلال تغطية متعمقة لمحتوى الدورة التدريبية ، ولمحات عامة عن جميع المتطلبات ، وأسئلة وأوراق تدريب بأسلوب الاختبار ، وفصل كامل يدعم الاستكشاف الرياضي الجديد (IA)
  • يتضمن دعمًا لنماذج حاسبة عرض الرسوم الأكثر شيوعًا
  • سيكون كتاب الدورة التدريبية عبر الإنترنت متاحًا على Oxford Education Bookshelf حتى عام 2029. يتم تسهيل الوصول إليه عبر رمز فريد يتم إرساله عبر البريد. يجب ربط الرمز بعنوان بريد إلكتروني ، وإنشاء حساب مستخدم.
  • يمكن نقل الوصول مرة واحدة إلى مستخدم جديد ، بمجرد أن لا يحتاج المستخدم الأولي إلى الوصول. سوف تحتاج إلى الاتصال بالمستشار التربوي المحلي لترتيب ذلك.

حتى سبعة

كيف تصنع الرقم 7 حتى بدون جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة؟

ثمانية ثمانية

هل يمكنك كتابة ثمانية ثمانين حتى يصل مجموعها إلى ألف؟

الطرح الغريب

كيف يمكنك أن تأخذ 2 من 5 وتترك 4؟

و أنا الخامس ه

أزل الحرفين F و E من خمسة وستحصل على IV.

ماذا عن الدوائر

كم عدد الأضلاع في الدائرة؟

اثنين. الداخل والخارج.

الطرح

كم مرة يمكنك طرح الرقم 5 من 25؟

مرة واحدة ، لأنك لم تعد 25 بعد عملية الطرح.

شجرة متنامية

عندما كان جون يبلغ من العمر ست سنوات ، دق مسمارًا في شجرته المفضلة ليشير إلى طوله. بعد عشر سنوات في سن السادسة عشرة ، عاد جون ليرى كم كان الظفر أعلى. إذا نمت الشجرة بمقدار خمسة سنتيمترات كل عام ، فكم سيكون ارتفاع الظفر؟

سيكون الظفر على نفس الارتفاع منذ أن تنمو الأشجار في قممها.


احتمال مشروط

في هذه الدروس ، سنتعلم ما هو الاحتمال الشرطي وكيفية استخدام صيغة الاحتمال الشرطي.

يوضح الرسم البياني التالي صيغة الاحتمال الشرطي. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول حول إيجاد الاحتمال الشرطي.

ما هو الاحتمال الشرطي؟

يُطلق على احتمال وقوع حدث نظرًا لوقوع حدث آخر بالفعل أ احتمال مشروط.

تذكر أنه عندما يكون هناك حدثان ، A و B ، فإن احتمال حدوث كلاهما هو:

P (A و B) = P (A) × P (B معطى A)
أو الفوسفور (أ و ب) = ف (أ) × ف (ب | أ)

إذا قسمنا طرفي المعادلة على P (A) نحصل على
صيغة الاحتمال الشرطي

كيف تجد الاحتمال الشرطي من مشكلة ورقية؟

الخطوة 1: اكتب معادلة الاحتمال الشرطي من حيث المشكلة
الخطوة 2: استبدل القيم وحلها.

مثال:
أجرت سوزان اختبارين. احتمال اجتيازها كلا الاختبارين هو 0.6. احتمال اجتيازها الاختبار الأول هو 0.8. ما احتمال اجتيازها الاختبار الثاني بعد اجتيازها الاختبار الأول؟

مثال:
كيس يحتوي على كرات حمراء وزرقاء. يتم سحب كرتين بدون استبدال. احتمال اختيار رخام أحمر ثم رخام أزرق هو 0.28. احتمال اختيار كرة من الرخام الأحمر في السحب الأول هو 0.5. ما احتمال اختيار كرة من الرخام الأزرق في السحب الثاني ، إذا كانت القطعة الأولى من الرخام باللون الأحمر؟

حل:
ما هو احتمال أن يكون مجموع حجري نرد أكبر من 9 ، علمًا بأن النرد الأول هو 5؟

حل:
لنفترض أن A = النرد الأول هو 5
لنفترض أن B = مجموع حجري نرد أكبر من 9

النتائج المحتملة لـ A و B: (5 ، 5) ، (5 ، 6)

كيفية استخدام أمثلة العالم الحقيقي لشرح الاحتمال الشرطي؟

يتعلق الاحتمال الشرطي بتضييق مجموعة الظروف المحتملة بحيث يمكن قياس الإحصائيات بشكل أكثر دقة.

كيفية تحديد الاحتمال الشرطي؟

يقدم هذا الفيديو التعريف الأساسي للاحتمال الشرطي كما هو محدد في نظرية الاحتمالية القياسية.

كيف تحسب الاحتمال الشرطي؟

برنامج تعليمي حول كيفية حساب الاحتمال الشرطي لحدثين P (A) و P (B) و P (B | A) مع مثالين.

  • مثال 1: ما هو احتمال رمي النرد وقيمته أقل من 4 مع العلم أن القيمة عدد فردي؟
  • مثال 2: ما هو احتمال رمي النرد وقيمته 1 مع العلم أن القيمة عدد فردي؟

كيف نحدد الاحتمال الشرطي من مسائل الكلمات المعطاة؟

  1. إذا دحرجت نردًا واحدًا سداسي الجوانب ، فما هو احتمال وجود 3 إذا كنت تعلم أن الرقم فردي؟
  2. في P-Town High School ، فإن احتمال أن يأخذ الطالب برمجة الكمبيوتر واللغة الإسبانية هو 0.15. احتمال أن يأخذ الطالب برمجة الكمبيوتر هو 0.4.
    ما هو احتمال أن يتعلم الطالب اللغة الإسبانية إذا أخذ في الاعتبار أن الطالب يدرس برمجة الكمبيوتر؟
  3. فيما يلي نتائج الاستطلاع الذي تم إكماله مع الآباء البالغين الذين لديهم أطفال. ما هو احتمال أن يعتقد الشخص أن الكلية باهظة الثمن إذا كان لديه طفل في الكلية؟
  4. يتم سحب بطاقتين بدون استبدال على التوالي. ما هو احتمال أن تكون البطاقة الثانية المسحوبة بمثابة آس ، إذا كانت الورقة الأولى التي يمكن رسمها عبارة عن آس؟
  5. يتم سحب بطاقتين بدون استبدال. ما هو احتمال أن تكون البطاقة الثانية بطاقة ذات وجه أحمر إذا كانت البطاقة الأولى هي بطاقة وجه مرجعية؟

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


11.4 مناهج التعلم

على عكس المقاربات الديناميكية النفسية لفرويد والفرويديين الجدد ، والتي تربط الشخصية بالعمليات الداخلية (والخفية) ، تركز مناهج التعلم فقط على السلوك الذي يمكن ملاحظته. يوضح هذا ميزة واحدة مهمة لأساليب التعلم على الديناميكا النفسية: نظرًا لأن مناهج التعلم تتضمن ظواهر يمكن ملاحظتها وقابلة للقياس ، فيمكن اختبارها علميًا.

المنظور السلوكي

لا يؤمن علماء السلوك بالحتمية البيولوجية: فهم لا يرون سمات الشخصية فطرية. بدلاً من ذلك ، فإنهم يرون أن الشخصية تتشكل بشكل كبير من خلال التعزيزات والعواقب خارج الكائن الحي. بمعنى آخر ، يتصرف الناس بطريقة متسقة بناءً على التعلم المسبق. يعتقد B.F Skinner ، وهو عالم سلوكي صارم ، أن البيئة هي المسؤولة الوحيدة عن جميع السلوك ، بما في ذلك أنماط السلوك الثابتة والمتسقة التي درسها منظرو الشخصية.

كما قد تتذكر من دراستك حول علم نفس التعلم ، اقترح سكينر أن نظهر أنماط سلوك متسقة لأننا طورنا اتجاهات استجابة معينة (سكينر ، 1953). بعبارة أخرى ، نحن يتعلم للتصرف بطرق معينة. نزيد من السلوكيات التي تؤدي إلى نتائج إيجابية ، ونقلل من السلوكيات التي تؤدي إلى عواقب سلبية. لم يوافق سكينر على فكرة فرويد بأن الشخصية ثابتة في مرحلة الطفولة. جادل بأن الشخصية تتطور طوال حياتنا ، ليس فقط في السنوات القليلة الأولى. يمكن أن تتغير استجاباتنا عندما نواجه مواقف جديدة ، لذلك يمكننا أن نتوقع تغيرًا أكبر في الشخصية بمرور الوقت مما يتوقعه فرويد. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك شابة ، جريتا ، مجازفة. تقود السيارة بسرعة وتشارك في الرياضات الخطرة مثل القفز المظلي والتزلج الشراعي. لكن بعد أن تتزوج وتنجب أطفالًا ، يتغير نظام التعزيزات والعقوبات في بيئتها. لم يعد يتم تعزيز السرعة والرياضات الشديدة ، لذلك لم تعد تمارس هذه السلوكيات. في الواقع ، تصف غريتا نفسها الآن بأنها شخص حذر.

المنظور الاجتماعي المعرفي

اتفق ألبرت باندورا مع سكينر على أن الشخصية تتطور من خلال التعلم. ومع ذلك ، فقد اختلف مع النهج السلوكي الصارم لسكينر لتنمية الشخصية ، لأنه شعر أن التفكير والاستدلال مكونان مهمان للتعلم. قدم نظرية اجتماعية معرفية للشخصية تؤكد على التعلم والإدراك كمصادر للاختلافات الفردية في الشخصية. في النظرية الاجتماعية المعرفية ، تلعب مفاهيم الحتمية المتبادلة والتعلم القائم على الملاحظة والفعالية الذاتية دورًا في تنمية الشخصية.

الحتمية المتبادلة

على عكس فكرة سكينر بأن البيئة وحدها هي التي تحدد السلوك ، اقترح باندورا (1990) مفهوم الحتمية المتبادلة ، حيث تتفاعل جميع العمليات المعرفية والسلوك والسياق ، ويؤثر كل عامل ويتأثر بالآخرين في وقت واحد (الشكل 11.10). العمليات المعرفية تشير إلى جميع الخصائص التي تم تعلمها مسبقًا ، بما في ذلك المعتقدات والتوقعات وخصائص الشخصية. سلوك يشير إلى أي شيء نقوم به قد يكافأ أو يعاقب. وأخيرا، فإن سياق الكلام الذي يحدث فيه السلوك يشير إلى البيئة أو الموقف ، والذي يتضمن مكافأة / معاقبة المحفزات.

ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، أنك في مهرجان وأن أحد عوامل الجذب هو القفز بالحبال من فوق الجسر. هل تفعلها؟ في هذا المثال ، السلوك هو القفز بالحبال. تشمل العوامل المعرفية التي قد تؤثر على هذا السلوك معتقداتك وقيمك وتجاربك السابقة مع سلوكيات مماثلة. أخيرًا ، يشير السياق إلى هيكل المكافأة للسلوك. وفقًا للحتمية المتبادلة ، تلعب كل هذه العوامل دورًا.

تعلم بالمراقبة

كانت مساهمة باندورا الرئيسية في نظرية التعلم هي فكرة أن الكثير من التعلم هو أمر غير مباشر. نتعلم من خلال مراقبة سلوك شخص آخر وعواقبه ، وهو ما أطلق عليه باندورا "التعلم القائم على الملاحظة". لقد شعر أن هذا النوع من التعلم يلعب أيضًا دورًا في تنمية شخصيتنا. مثلما نتعلم السلوكيات الفردية ، نتعلم أنماط سلوك جديدة عندما نراها تؤديها أشخاص أو نماذج أخرى. بالاعتماد على أفكار علماء السلوك حول التعزيز ، اقترح باندورا أن اختيارنا لتقليد سلوك نموذج ما يعتمد على ما إذا كنا نرى النموذج معززًا أم معاقباً. من خلال التعلم القائم على الملاحظة ، نتعلم ما هي السلوكيات المقبولة والمكافأة في ثقافتنا ، ونتعلم أيضًا منع السلوكيات المنحرفة أو غير المقبولة اجتماعيًا من خلال رؤية السلوكيات التي يتم معاقبتها.

يمكننا أن نرى مبادئ الحتمية المتبادلة تعمل في التعلم القائم على الملاحظة. على سبيل المثال ، تحدد العوامل الشخصية السلوكيات في البيئة التي يختار الشخص تقليدها ، وتتم معالجة تلك الأحداث البيئية بدورها معرفيًا وفقًا لعوامل شخصية أخرى. قد يشعر شخص ما بتلقي الاهتمام كتعزيز ، وقد يكون هذا الشخص أكثر ميلًا لتقليد السلوكيات مثل التباهي عندما يتم تعزيز النموذج. بالنسبة للآخرين ، قد يُنظر إلى التفاخر بشكل سلبي ، على الرغم من الاهتمام الذي قد ينتج عن ذلك - أو قد يُنظر إلى تلقي اهتمام متزايد على أنه يخضع للتدقيق. في كلتا الحالتين ، قد يكون الشخص أقل عرضة لتقليد تلك السلوكيات على الرغم من أن أسباب عدم القيام بذلك ستكون مختلفة.

الكفاءة الذاتية

Bandura (1977, 1995) has studied a number of cognitive and personal factors that affect learning and personality development, and most recently has focused on the concept of self-efficacy. Self-efficacy is our level of confidence in our own abilities, developed through our social experiences. Self-efficacy affects how we approach challenges and reach goals. In observational learning, self-efficacy is a cognitive factor that affects which behaviors we choose to imitate as well as our success in performing those behaviors.

People who have high self-efficacy believe that their goals are within reach, have a positive view of challenges seeing them as tasks to be mastered, develop a deep interest in and strong commitment to the activities in which they are involved, and quickly recover from setbacks. Conversely, people with low self-efficacy avoid challenging tasks because they doubt their ability to be successful, tend to focus on failure and negative outcomes, and lose confidence in their abilities if they experience setbacks. Feelings of self-efficacy can be specific to certain situations. For instance, a student might feel confident in her ability in English class but much less so in math class.

Julian Rotter and Locus of Control

Julian Rotter (1966) proposed the concept of locus of control, another cognitive factor that affects learning and personality development. Distinct from self-efficacy, which involves our belief in our own abilities, locus of control refers to our beliefs about the power we have over our lives. In Rotter’s view, people possess either an internal or an external locus of control (Figure 11.11). Those of us with an internal locus of control (“internals”) tend to believe that most of our outcomes are the direct result of our efforts. Those of us with an external locus of control (“externals”) tend to believe that our outcomes are outside of our control. Externals see their lives as being controlled by other people, luck, or chance. For example, say you didn’t spend much time studying for your psychology test and went out to dinner with friends instead. When you receive your test score, you see that you earned a D. If you possess an internal locus of control, you would most likely admit that you failed because you didn’t spend enough time studying and decide to study more for the next test. On the other hand, if you possess an external locus of control, you might conclude that the test was too hard and not bother studying for the next test, because you figure you will fail it anyway. Researchers have found that people with an internal locus of control perform better academically, achieve more in their careers, are more independent, are healthier, are better able to cope, and are less depressed than people who have an external locus of control (Benassi, Sweeney, & Durfour, 1988 Lefcourt, 1982 Maltby, Day, & Macaskill, 2007 Whyte, 1977, 1978, 1980).

Link to Learning

Take the Locus of Control questionnaire to learn more. Scores range from 0 to 13. A low score on this questionnaire indicates an internal locus of control, and a high score indicates an external locus of control.

Walter Mischel and the Person-Situation Debate

Walter Mischel was a student of Julian Rotter and taught for years at Stanford, where he was a colleague of Albert Bandura. Mischel surveyed several decades of empirical psychological literature regarding trait prediction of behavior, and his conclusion shook the foundations of personality psychology. Mischel found that the data did not support the central principle of the field—that a person’s personality traits are consistent across situations. His report triggered a decades-long period of self-examination, known as the person-situation debate, among personality psychologists.

Mischel suggested that perhaps we were looking for consistency in the wrong places. He found that although behavior was inconsistent across different situations, it was much more consistent within situations—so that a person’s behavior in one situation would likely be repeated in a similar one. And as you will see next regarding his famous “marshmallow test,” Mischel also found that behavior is consistent in equivalent situations across time.

One of Mischel’s most notable contributions to personality psychology was his ideas on self-regulation. According to Lecci & Magnavita (2013), “Self-regulation is the process of identifying a goal or set of goals and, in pursuing these goals, using both internal (e.g., thoughts and affect) and external (e.g., responses of anything or anyone in the environment) feedback to maximize goal attainment” (p. 6.3). Self-regulation is also known as will power. When we talk about will power, we tend to think of it as the ability to delay gratification. For example, Bettina’s teenage daughter made strawberry cupcakes, and they looked delicious. However, Bettina forfeited the pleasure of eating one, because she is training for a 5K race and wants to be fit and do well in the race. Would you be able to resist getting a small reward now in order to get a larger reward later? This is the question Mischel investigated in his now-classic marshmallow test.

Mischel designed a study to assess self-regulation in young children. In the marshmallow study, Mischel and his colleagues placed a preschool child in a room with one marshmallow on the table. The children were told they could either eat the marshmallow now, or wait until the researcher returned to the room, and then they could have two marshmallows (Mischel, Ebbesen & Raskoff, 1972). This was repeated with hundreds of preschoolers. What Mischel and his team found was that young children differ in their degree of self-control. Mischel and his colleagues continued to follow this group of preschoolers through high school, and what do you think they discovered? The children who had more self-control in preschool (the ones who waited for the bigger reward) were more successful in high school. They had higher SAT scores, had positive peer relationships, and were less likely to have substance abuse issues as adults, they also had more stable marriages (Mischel, Shoda, & Rodriguez, 1989 Mischel et al., 2010). On the other hand, those children who had poor self-control in preschool (the ones who grabbed the one marshmallow) were not as successful in high school, and they were found to have academic and behavioral problems. A more recent study using a larger and more representative sample found associations between early delay of gratification (Watts, Duncan, & Quan, 2018) and measures of achievement in adolescence. However, researchers also found that the associations were not as strong as those reported during Mischel's initial experiment and were quite sensitive to situational factors such as early measures of cognitive capacity, family background, and home environment. This research suggests that consideration of situational factors is important to better understand behavior.

Link to Learning

Watch Joachim de Posada's TEDTalk about the marshmallow test to learn more and to see the test given to children in Columbia.

Today, the debate is mostly resolved, and most psychologists consider both the situation and personal factors in understanding behavior. For Mischel (1993), people are situation processors. The children in the marshmallow test each processed, or interpreted, the rewards structure of that situation in their own way. Mischel’s approach to personality stresses the importance of both the situation and the way the person perceives the situation. Instead of behavior being determined by the situation, people use cognitive processes to interpret the situation and then behave in accordance with that interpretation.


Math 8: Unit 2B – Squares and Cubes

Math 8: Unit 2B – Squares and Cubes

UNIT 2B TEST – TUESDAY, NOVEMBER 19

(Squares, Cubes, and Number System)

In Class Test Review

Perfect Squares (10/30/19)
– Class Notes **You MUST memorize the first 25 perfect squares**
– Video Tutorial
– Video Tutorial 2
– Video Tutorial 3
Homework: Practice Worksheet – complete the “Square Roots” side

Perfect Squares Expressions (10/31/19)
– Class Notes
Homework: Practice Worksheet – complete the “Square Root Expressions” side

Perfect Cubes (11/1/19)
– Class Notes **You MUST memorize the first 10 perfect cubes**
– Video Tutorial
– Online Practice
– additional notes and practice (questions at bottom)
Homework: Practice Worksheet (1/2 page front and back)
Memorize Square and Cube Roots

Quiz – Wed., Nov. 6, 2019 Unit 2A Test Reflection & Analysis Homework: Leveled Review Worksheet

UNIT 2A CREDIT RECOVERY – THURS., NOV. 14, 2019
** MUST
have signed test reflection worksheet AND work attached
to show proof that you prepared for the assessment. **

Estimating Roots to the nearest Whole Number (11/7/19)
– Class Notes
Homework: Practice Worksheet

Estimating Roots to the nearest tenth (11/7/19)
– Class Notes
– Video Tutorial
– Video Tutorial
Homework: Practice Worksheet

Repeating Decimals (11/11/19)
– Class Notes
– Practice – Khan Academy
Homework: Practice Worksheet,Quiz Wed., Roots Performance Task Thurs.,
Unit 2A Credit Recovery Thurs.(8:15 AM or during Success Block)

Rational and Irrational Numbers (11/12/19)
– Class Notes
– Video Tutorial 1
– Video Tutorial – Classifying and Ordering
– Number Types Math Song
Homework: Practice Worksheet (on back of Monday’s HW)
Quiz Tomorrow
Unit 2A CREDIT RECOVERY Thursday (8:15 am or Success Block)

Roots, Repeating Decimals & Number Families Formative Assessment (11/13/19)
Homework: Unit 2 Choice Board
Unit 2A CREDIT RECOVERY Tomorrow
(8:15 am or Success Block)

Roots Performance Task (11/14/19)
Homework: Cumulative Review #5

Roots Performance Task – completion (11/15/19)
Homework: Unit 2B Test Review – That Quiz directions

In Class Test Review (11/18/19)
Homework: Unit 2B Review Worksheet STUDY – TEST TOMORROW

Unit 2B Test – Thursday, Nov. 19th


Common Core Math In The Classroom And Homework Help

How can the Common Core Math be implemented in the Classroom?
How can I teach the Common Core Math at home?
How can I get homework help for the Common Core Math?

NYS Common Core Lessons and Worksheets

The following lessons are based on the New York State (NYS) Common Core Math Standards. They consist of lesson plans, worksheets (from the NYSED) and videos to help you prepare to teach Common Core Math in the classroom or at home. There are lots of help for classwork and homework.

Each grade is divided into six or seven modules. Mid-module and End-Module Assessments are also included.

The lessons are divided into Fluency Practice, Application Problem, Concept Development, and Student Debrief.
The worksheets are divided into Problem Set, Exit Ticket, and Homework.

Kindergarten Mathematics
Numbers to 10
Two-Dimensional and Three-Dimensional Shapes
Comparison of Length, Weight, Capacity
Number Pairs, Addition and Subtraction to 10
Counting to 100
Analyzing, Comparing, and Composing Shapes

Grade 1 Mathematics
Sums and Differences to 10
Introduction to Place Value Through Addition and Subtraction Within 20
Ordering and Comparing Length Measurements as Numbers
Place Value, Comparison, Addition and Subtraction to 40
Identifying, Composing, and Partitioning Shapes
Place Value, Comparison, Addition and Subtraction to 100

Grade 2 Mathematics
Sums and Differences to 20
Addition and Subtraction of Length Units
Place Value, Counting, and Comparison of Numbers to 1,000
Addition and Subtraction Within 200 with Word Problems to 100
Addition and Subtraction Within 1,000 with Word Problems to 100
Foundations of Multiplication and Division
Problem Solving with Length, Money, and Data
Fractions as Equal Parts of Shapes, Time

Grade 3 Mathematics
Properties of Multiplication and Division and Solving Problems with Units of 2 and 10
Place Value and Problem Solving with Units of Measure
Multiplication and Division with Units of 0, 1, 6, and Multiples of 10
Multiplication and Area Fractions as Numbers on the Number Line
Collecting and Displaying Data
Geometry and Measurement Word Problems

Grade 4 Mathematics
Place Value, Rounding, and Algorithms for Addition and Subtraction
Unit Conversions and Problem Solving with Metric Measurement
Multi-Digit Multiplication and Division
Angle Measure and Plane Figures
Fraction Equivalence, Ordering, and Operations
Decimal Fractions
Exploring Measurement with Multiplication

Grade 5 Mathematics
Place Value and Decimal Fractions
Multi-Digit Whole Number and Decimal Fraction Operations
Addition and Subtraction of Fractions
Line Plots of Fraction Measurements
Addition and Multiplication with Volume and Area Problem Solving with the Coordinate Plane

Grade 6 Mathematics
Ratios and Unit Rates
Arithmetic Operations Including Division of Fractions
Rational Numbers
التعبيرات والمعادلات
Area, Surface Area, and Volume Problems Statistics

Grade 7 Mathematics
Ratios and Proportional Relationship
Rational Numbers
التعبيرات والمعادلات
Percent and Proportional Relationships
Statistics and Probability
الهندسة

Grade 8 Mathematics
Integer Exponents and Scientific Notation
The Concept of Congruence
Similarity
Linear Equations
Examples of Functions from Geometry
Linear Functions
Introduction to Irrational Numbers
Using Geometry

High School Algebra I
Linear and Exponential Sequences
Functions and Their Graphs
Transformations of Functions
Using Functions and Graphs to Solve Problems

Have a look at the following videos for insights on how to implement the Core in classrooms and homes across America. We also have lesson plans, assessments and worksheets to help you in your preparation.

In this first video, we will join Sarah as she explains the Common Core State Standards and offers insights on how to implement the Core in classrooms. We will learn how teachers and students can shift their math classrooms to promote mathematical reasoning.

She emphasized on the need to focus on fewer concepts, coherence for mastery and an approach with more rigor. Focus means less rote memorization and more deep procedural knowledge and conceptual understanding. Rigor means having procedural fluency and conceptual understanding.

She talks about the six shifts in teaching Mathematics: Focus, Coherence, Fluency, Deep Understanding, Application, and Dual Intensity. Classrooms should be creative, engaged and even noisy. Families can be involved in applying the mathematical concepts.

In this video Sarah explains what is the Common Core and where did it come from.
How to read the Common Core State Standards with confidence and perspective.

She explains that &ldquoCommon doesn&rsquot mean the same and the Standards are not the curriculum&rdquo. She also shows how to read the grade level standards for mathematics and for reading and writing.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: الدرس السابع: تطبيقات. الوحده 4. رياضيات الصف الحادي عشر علمي وصناعي (شهر اكتوبر 2021).