مقالات

2.5: إيجاد العوامل من الجذور - الرياضيات


تتضمن إحدى طرق حل المعادلات إيجاد عوامل التعبير متعدد الحدود في المعادلة ثم ضبط كل عامل مساويًا للصفر.
[
ابدأ {مجموعة} {ج}
س ^ {2} +8 س + 15 = 0
(س + 5) (س + 3) = 0
س + 5 = 0 رباعي س + 3 = 0
س = -5 رباعي س = -3
نهاية {مجموعة}
]
في هذه العملية ، يكون السبب هو أنه إذا كان ((x + 5) ) مرات ((x + 3) ) يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون أحد هذه التعبيرات مساويًا للصفر. عند جعلها تساوي صفرًا ، نجد حلول ​​(x = -5، -3. ) وبإدخالها مرة أخرى في التعبير المحلل إلى عوامل ، نرى ما يلي:
[
(-5+5)(-5+3)=0 *-2=0
]
و
[
(-3+5)(-3+3)=2 * 0=0
]
هذه العملية تعمل في الاتجاه المعاكس أيضًا. بعبارة أخرى ، إذا عرفنا جذرًا للدالة ، فيمكننا إيجاد عوامل للتعبير.
مثال
أوجد معادلة تربيعية لها جذور -2 و +3
[
ابدأ {مجموعة} {cc}
س = -2 & س = 3
س + 2 = 0 & س -3 = 0
(س + 2) (س -3) = 0
س ^ {2} -x-6 = 0
نهاية {مجموعة}
]

الجذور المكونة من كسور أصعب قليلاً ، لكنها في الحقيقة ليست أكثر صعوبة:
مثال
ابحث عن معادلة تربيعية لها جذور -5 و ( frac {2} {3} )
[
ابدأ {مجموعة} {cc}
x = -5 & x = frac {2} {3}
س + 5 = 0 & 3 س = 2
س + 5 = 0 & 3 س -2 = 0
(س + 5) (3 س -2) = 0
3 × ^ {2} +13 × 10 = 0
نهاية {مجموعة}
]

تمارين 2.5
ابحث عن معادلة تربيعية لها الجذور المحددة.
1) ( رباعي 4 ، -1 )
2) ( رباعي -2،7 )
3) ( quad frac {3} {2}، 1 )
4) ( quad- frac {1} {5}، frac {2} {3} )
5) ( quad frac {1} {3}، 3 )
6) ( quad-4، frac {2} {5} )
7) ( quad frac {1} {2} ، - frac {7} {2} )
8) ( quad-1، frac {3} {5} )
9) ( quad- frac {2} {3}، - 3 )
10) ( quad- frac {2} {3}، - frac {3} {4} )
11) ( quad- frac {5} {2}، 3 )
12) ( رباعي -6 ، -2 )


كيف تجد جذور $ X ^ 5 - 1 $؟

يحرر 2: نظرًا لأن المعادلة $ x ^ n-1 = 0 $ تعادل $ x = sqrt [n] <1> $ ، فهي تحتوي على $ n $ الحلول التالية:

حيث $ n $ هو عدد صحيح موجب ، فردي أو زوجي.

انظر تعليق جيري مايرسون الذي يشير إلى كيفية عمل ملف مجموعة Galois لرباعي غير قابل للاختزال تحدد ما إذا كانت الطريقة الموضحة أدناه تعمل أم لا.

على الرغم من أنني قدمت في وقت متأخر حلاً جبريًا آخر ، أقل أناقة ولكنه أكثر "تلقائي" ، بمعنى أنه لا توجد حيلة ذكية ضرورية. [يحرر ردًا على تعليق جيري مايرسون] سنقوم بتقسيمها إلى عاملين ، أحدهما خطي والآخر تربيعي. تعمل هذه الطريقة مع كثيرات الحدود الخماسية ، طالما أننا قادرون على إيجاد حل واحد وحل العامل متعدد الحدود التربيعي. إذا فشلت ، يمكننا من حيث المبدأ حل كثير الحدود التربيعي عن طريق معادلة تكعيبية مذيب (أيضًا في هذه المقالة بالبرتغالية) [نهاية التحرير]. بالنسبة لكثيرات الحدود العامة من الدرجة السابعة أو أعلى ، فهي غير قابلة للتطبيق ، لأنها تعتمد على إيجاد جذر واحد عن طريق الفحص (أو رقميًا) والباقي جبريًا.

من خلال الفحص ، نرى أن $ x = 1 $ هو صفر من $ x ^ <5> -1 $. عن طريق القسمة المطولة أو قاعدة روفيني ، نجد

الآن نقوم بتحليل $ x ^ <4> + x ^ <3> + x ^ <2> + x + 1 $ في اثنين من كثيرات الحدود التربيعية

التي يجب إيجاد معاملاتها (الحقيقية) بمقارنة LHS مع RHS الموسعة. حيث

$ left (x ^ <2> + bx + c right) left (x ^ <2> + Bx + C right) $

$ = x ^ <4> + left (B + b right) x ^ <3> + left (C + bB + c right) x ^ <2> + left (bC + cB right) x + cC ، $

يجب أن تفي المعاملات

$ اليسار < ابدأ B + b = 1 C + bB + c = 1 bC + cB = 1 cC = 1٪ end٪ حق. Leftrightarrow left < start B = 1-b 1 / c + b left (1-b right) + c = 1 b / c + c left (1-b right) = 1 C = 1 / c ٪ نهاية٪ حق. $

أحد حلول $ b / c + c left (1-b right) = 1 $ هو $ c = 1 $. بالتعويض نجد المعاملات المتبقية:

$ x ^ <5> -1 = left (x-1 right) left (x ^ <2> + left ( frac <1> <2> + frac <1> <2> sqrt < 5٪> right) x + 1 right) left (x ^ <2> + left ( frac <1> <2> - frac <1> <2> sqrt <5>٪ right) x + 1 right). $

ومن ثم فإن جذور $ x ^ <5> -1 $ هي جذور هذه العوامل الثلاثة. وهما ، على التوالي ، $ x_1 = 1 $ و


لنجرب هذا باستخدام تربيع (حيث يكون الأس الأكبر للمتغير هو 2):

عندما تكون الجذور ص و ف، تصبح نفس المعادلة التربيعية:

هل هناك علاقة بين أ ، ب ، ج و ص ، ف?

يمكننا الآن أن نرى ذلك & minusa (p + q) x = bx ، لذلك:

هذا يمكن أن يساعدنا في الإجابة على الأسئلة.

مثال: ما هي المعادلة التي جذورها 5 + & الجذر 2 و 5 & ناقص & الجذر 2

مجموع الجذور هو (5 + & radic2) + (5 & ناقص & radic2) = 10
حاصل ضرب الجذور هو (5 + & radic2) (5 & ناقص & radic2) = 25 & ناقص 2 = 23


أليس جذر مصطلح بيولوجي ؟؟

الجذر هو قيمة دالة معينة تساوي صفرًا. عندما يتم رسم هذه الوظيفة على الرسم البياني ، فإن الجذور هي نقاط حيث تتقاطع الوظيفة مع المحور x.

بالنسبة للدالة ، (f (x) ) ، فإن الجذور هي قيم x التي (f (x) = 0 ). على سبيل المثال ، مع الدالة (f (x) = 2-x ) ، سيكون الجذر الوحيد (x = 2 ) ، لأن هذه القيمة تنتج (f (x) = 0 ).

بالطبع ، من السهل العثور على جذور مشكلة تافهة مثل تلك ، ولكن ماذا عن شيء مجنون مثل هذا:

خطوات إيجاد جذور التوابع الكسرية

اجعل كل عامل في البسط يساوي صفرًا.

تحقق من عوامل المقام لتتأكد من أنك لا تقسم على صفر!

عوامل البسط

تذكر أن العامل هو شيء يتم ضربه أو تقسيمه ، مثل ((2x-3) ) في المثال أعلاه. إذن ، العاملان في البسط هما ((2x-3) ) و ((x + 3) ). إذا إما من هذه العوامل يمكن أن تكون صفرًا ، ثم الدالة كلها ستكون صفرًا. لا يهم (حسنًا ، هناك استثناء) ما تقوله بقية الدالة ، لأنك تضرب في مصطلح يساوي صفرًا.

لذا ، فإن النقطة هي ، معرفة كيفية جعل البسط صفرًا ووجدت جذورك (المعروفة أيضًا باسم الأصفار ، لأسباب واضحة!). في هذا المثال ، لدينا عاملين في البسط ، لذا يمكن أن يكون أحدهما صفرًا. لنجعلهم (بشكل منفصل) مساوٍ للصفر ثم نحل قيم x:

2 س - 3 = 0 دولار 2 س = 3 دولارات س = فارك <3> <2> دولار

لذلك ، (x = frac <3> <2> ) و (x = -3 ) يصبحان جذرين لهذه الوظيفة. إنها أيضًا تقاطع x عند رسمها على رسم بياني ، لأن y ستساوي 0 عندما تكون x تساوي 3/2 أو -3.

عوامل المقام

كما هو الحال مع البسط ، يوجد عاملان يتم ضربهما في المقام. هم (س ) و (س -2 ). دعنا نساوي كلاهما بصفر ونحلهما:

هؤلاء يكونون ليس جذور هذه الوظيفة. انظر ماذا يحدث عندما نعوض إما بـ 0 أو 2 عن x. نحصل على صفر في المقام ، ما يعني القسمة على صفر. هذا يعني أن الوظيفة غير موجودة في هذه المرحلة. في الواقع ، x = 0 و x = 2 يصبحان خطي تقارب عموديين (أصفار المقام). لذلك ، يوجد خط مقارب عمودي عند x = 0 و x = 2 للدالة أعلاه.

فيما يلي عرض هندسي لما تبدو عليه الوظيفة أعلاه بما في ذلك كل من تقاطعات x وكلا الخطوط المقاربة العمودية:

ملخص

جذور الدالة هي قيم x التي تساوي الدالة صفرًا لها. تُعرف أيضًا باسم الأصفار. عندما تعطى دالة كسرية ، اجعل البسط صفرًا عن طريق صفر من العوامل كل على حدة. تأكد من أن أصفارك لا تجعل المقام صفرًا أيضًا ، لأنه ليس لديك جذر ولكن خط مقارب عمودي.


ما هو الجذر التربيعي؟

الجذر التربيعي للرقم هو العدد الذي يتم ضربه في نفسه للحصول على حاصل الضرب. لقد تعلمنا عن الأس. المربعات والجذور التربيعية هي أسس خاصة. ضع في اعتبارك الرقم 9. عندما تضرب 3 في نفسها ، نحصل على 9 على أنها حاصل الضرب. عندما يكون الأس 2 ، يطلق عليه مربع. عندما يكون الأس 1/2 ، يطلق عليه الجذر التربيعي. على سبيل المثال & radic (n & times n) = & radicn 2 = n ، حيث n عدد صحيح موجب.

تعريف الجذر التربيعي

الجذر التربيعي لرقم هو قيمة القوة 1/2 لهذا الرقم. بمعنى آخر ، هو الرقم الذي نضربه في نفسه للحصول على الرقم الأصلي. يتم تمثيله باستخدام الرمز & # 39 & Radic & # 39.


الجذور والأصفار

عندما نحل المعادلات متعددة الحدود بدرجات أكبر من الصفر ، فقد يكون لها واحد أو أكثر من الجذور الحقيقية أو واحد أو أكثر من الجذور الوهمية. في الرياضيات ، تنص النظرية الأساسية في الجبر على أن كل متغير متعدد الحدود غير ثابت مع معاملات معقدة له جذر معقد واحد على الأقل.

علاوة على ذلك ، في كل متغير مفرد غير صفري مع معاملات معقدة له جذور معقدة تمامًا مثل درجته ، إذا تم حساب كل جذر حتى تعدده.

إذا كانت a + bi تساوي صفرًا (جذر) ، فإن a-bi تكون أيضًا صفرًا للدالة.

أظهر أنه إذا كانت (2 + i) تساوي صفرًا إلى f (x) = - x 2 + 4x-5 ، فإن 2-i هي أيضًا صفر من الدالة (يظهر هذا المثال أيضًا في درس الفيديو).

نتحقق أولاً مما إذا كانت (2 + i) تساوي صفرًا إلى f (x) عن طريق التعويض بالصفر في وظيفتنا:

(2 + i) هو صفر الآن (2-i) يجب أن يكون أيضًا صفرًا ، فنحن نتحكم في هذا عن طريق توصيل (2-i) في وظيفتنا:


إيجاد عوامل وجذور كثيرات الحدود

حسنًا ، لقد قطعنا مسافة أبعد قليلاً أعلى جبل متعدد الحدود ووصلنا إلى طريق مسدود آخر. علينا الآن إيجاد عوامل وجذور كثيرات الحدود.

مرحبًا ، لقد استوعبنا رفاقنا متعددو الحدود ، ويبدو أنهم هدأوا قليلاً. لديهم كثير الحدود بالنسبة لنا.

نبدأ باكتشافنا الجديد ، نظرية الباقي. سيخبرنا ما إذا كان هناك شيء ما هو عامل كثير الحدود هذا. لا يمكن أن تخبرنا ما إذا كنا قد اخترنا أرقام اليانصيب الصحيحة.

على سبيل المثال ، هو x - 1 عاملا؟ هو x - & # 1601 أحد أرقام اليانصيب؟

للإجابة على السؤال الأول ، يمكننا التعويض x = 1 في كثير الحدود. إذا حصلنا على 0 ، إذن x - 1 عامل ، لأنه يقسم كثير الحدود دون باقي. إذا لم نحصل على 0 ، فلن يكون كذلك.

نعم ، هذا يعني ذلك x - 1 هو عامل من كثير الحدود هذا. لا يخبرنا أي شيء عن فرصنا في أرسنال. شيء جيد أننا لم نعلق كل آمالنا عليه.

ماذا الآن؟ يتم ضرب العوامل معًا ، لذلك يجب أن يتبقى عامل إضافي واحد على الأقل.

يقول أصدقاؤنا من الفضائيين في الفضاء أنه يمكننا استخدام القسمة التركيبية للعثور على العوامل الأخرى.

لقد تقدمنا ​​ووضعنا كل شيء في خطوة واحدة. يمكننا أن نرى ذلك 2x 3 + x 2 – 2x - 1 مقسومة على x - 1 هو:

هذا هو العامل الآخر ، لكن يمكننا التحليل الذي - التي أكثر قليلاً للحصول على:

هذا يعني أن كثير الحدود لدينا يساوي في الواقع:

هل نسيت العامل الأول لدينا ، x - 1؟ ما زال هناك. يمكننا الآن مساواة كل عامل بصفر لإيجاد الجذور. هذا يعطينا & # 160و -1 و 1.

ممتاز. هذا كل ما أردنا معرفته ، وكل ذلك قبل وقت الشاي. ماذا لو واصلنا العمل في طريقنا صعودًا إلى جبل متعدد الحدود مع بعض المشاكل الأخرى؟

مشكلة العينة

انظر إذا كان x + & # 1601 هو عامل x 4 + x 3 + 3x 2 – x + 1.

نحن نسد ونبعد ، عن طريق الدفع x = -1 في كثير الحدود.

نهاية الخط ، حوص. أ 5 بالتأكيد ليست 0 ، لذا x + 1 ليس عاملاً في كثير الحدود هذا. لا ينقسم بالتساوي. موسي إلى المشكلة التالية.

مشكلة العينة

اكتب كثير الحدود بالجذور -3 و 3 و 2.

هاه. يبدو أننا بحاجة للعودة إلى الوراء هذه المرة. استمع جيدًا ، وقد تسمع أن بولس قد مات.

إذا كانت الجذور -3 و 3 و 2 ، فهذا يعني أن العوامل هي:

قم بتوصيل كل جذر من أجل x، وستحصل على صفر ، صفر ، صفر في كل مرة. لذلك يجب أن تكون كثيرة الحدود لدينا:

انتظر ، لقد سمعنا للتو أن بولس ، في الواقع ، لم يمت. انذار كاذب.

مشكلة العينة

أوجد كل جذور x 3 + 3x 2 – x – 3.

الآن هذا وضع أصعب قليلاً. ماذا نفعل إذا لم تعط لنا عوامل؟

حسنًا ، للسحر تاريخ طويل ، إن لم يكن موثوقًا ، من الاستخدام في مثل هذه الحالات. ومع ذلك ، فإن معظم الناس ليسوا رجال دين من المستوى السابع قادرين على إلقاء العرافة ، لذلك ربما يجب أن نجرب شيئًا آخر.

كل عواملنا تأخذ شكل xأ. ال أ يحتاج إلى الضرب في الثابت في نهاية كثير الحدود ، في هذه الحالة -3. هذا يعني أن العامل (لكثير الحدود) يحتاج إلى عامل (من هذا الثابت).

عوامل الثابت -3 هي ± 3 و ± 1. سنختار واحدًا ونديره من خلال نظرية الباقي. 3 تبدو جيدة. إذا ص(3) = 0 ، إذن 3 هو جذر ، مما يعني x - 3 عامل.

3 ليس جذرًا. دعنا نخمن شيئًا آخر ، مثل -3.

تمام. الخطوة الأولى: تم. هذا يعني x + 3 عامل. يمكننا الآن استخدام القسمة التركيبية لإيجاد العوامل الأخرى ، ثم كل الجذور.

هذا يعطينا x 2-1 كعامل آخر. يمكننا تحليل هذا العامل للحصول على (x + 1)(x – 1).

هذا يعني أن كثير الحدود لدينا هو:

هذا ، عزيزي شموبر ، يعطينا جذور -3 و -1 و 1.

لقد فعلناها. نحن أذكياء جدًا (لا نتفاخر أو أي شيء من هذا القبيل).

مشكلة العينة

أوجد كل جذور x 3 + 2x 2 – 25x - 50 ، إذا كان جذرًا واحدًا هو 5.

إذا كان جذر واحد هو 5 ، فهذا يعني x - 5 عاملا. يمكننا استخدام القسمة التركيبية لإيجاد الباقي.

العامل الآخر لدينا هو x 2 + 7x + 10. المزيد من التخصيم يؤثّر على إجابات المعجبين.


ترشيد

تبرير مقام كل مما يلي (i-vii):

(أنا) نظرًا لوجود 5 في المقام ونعلم أن √5 x √5 = 5

إذن ، اضرب البسط والمقام في √5 ،

أوجد القيمة لأقرب ثلاثة منازل من الكسور العشرية لكل مما يلي. يعطى ذلك

= 1.414 ، = 1.732 ، = 2.236 و = 3.162.

(ط) بالنظر إلى أن √2 = 1.414 ، √3 = 1.732 ، √5 = 2.236 و √10 = 3.162

عامل ترشيد المقام هو 3

(2) لدينا عامل ترشيد المقام هو √10

(3) لدينا عامل ترشيد المقام هو 2

(4) لدينا عامل ترشيد المقام هو 2

(6) لدينا عامل عقلاني للمقام هو 5

عبر عن كل مما يلي بقاسم منطقي:

(أنا) لدينا عامل منطقي للمقام هو 3-2

(ثانيا) لدينا عامل عقلاني للمقام هو

(ثالثا) لدينا عامل عقلاني للمقام هو

(رابعا) علينا ترشيد عامل

(الخامس) علينا ترشيد عامل

(السادس) علينا ترشيد عامل

(السابع) علينا ترشيد عامل

(ثامنا) علينا ترشيد عامل

(التاسع) علينا ترشيد عامل

يعقل المقام ويبسط:
(ط) (2) (3)

ج) عوامل ترشيد القواسم

عوامل ترشيد القواسم هي:

في كل مما يلي تحديد الأرقام المنطقية أ و ب.

(ثالثا) = أ + ب (رابعا) =أ+ب

عامل ترشيد المقام هو

في مساواة الأجزاء المنطقية وغير المنطقية ،

(2) عامل التبرير للمقام هو

عند مساواة الأجزاء المنطقية وغير المنطقية نحصل عليها ،

عامل ترشيد المقام هو

عند مساواة الأجزاء المنطقية وغير المنطقية نحصل عليها ،

عامل ترشيد المقام هو

عند مساواة الأجزاء المنطقية وغير المنطقية نحصل عليها ،

عند معادلة الأجزاء المنطقية وغير المنطقية نحصل عليها

عند مساواة الأجزاء المنطقية وغير المنطقية لدينا ،

إذا x = 2+ ، أوجد قيمة x 3 + .

معطى ومُعطى لإيجاد قيمة

إذا x = 3+ ، أوجد قيمة x 2 +.

ويعطى لإيجاد قيمة

العامل المنطقي للمقام هو

أوجد قيمة ، إذا علمنا أن = 1.732 و = 2.236

عامل ترشيد المقام هو

أوجد قيم كل من الآتي صحيحة لأقرب ثلاثة منازل من الكسور العشرية ، بشرط أن = 1.414 ، = 1.732 ، = 2.236 ، = 2.4495 و = 3.162.

(ط) لدينا عامل عقلاني للمقام هو

(2) بوضع قيمة في المعادلة التي نحصل عليها ،

إذا x = ، أوجد قيمة 4x 3 +2x 2 -8x+7.

معطى ومُعطى لإيجاد قيمة

تربيع على الجانبين نحصل ،

Cce - التقييم التكويني

5 √6 × 5 √6 = (6) 1/5 × (6) 1/5 = (36) 1/5

اكتب مقلوب 5 +.

مقلوب 5 + 2 = 1 / (5 + √2)

اكتب عامل التبرير 7-3.

عامل التبرير 7 - 3√5

عامل الترشيد هو
أ. -

عامل ترشيد √3 = 1 / √3

عامل الترشيد 2+ هو
أ 2-

عامل الترشيد 2 + √3 = 1/2 + √3 = 2-√3

إذا = x+ذ، أوجد قيم x و ذ.

إذا كانت x = -1 ، فاكتب قيمة.

إذا x = +2 إذن x - يساوي
أ .2

إذا = أب، ومن بعد
أ. أ = 2, ب = 1

أبسط تبرير هو
أ.

√(3-2√2) = √ (√2) 2 + (1) 2 - 2× √2×1 = √ (√2 – 1 ) 2 = √2- 1.

إذا أ = +1 ، ثم أوجد قيمة أ -.

أبسط عامل منطقي لـ + هو
أ -5

أبسط عامل منطقي لـ √3 + 5

أبسط عامل منطقي لـ 2√5 - 3 هو
أ 2 + 3

أبسط عامل منطقي لـ 2√5 - 3

إذا x = 2+ ، أوجد قيمة x +.

اكتب عامل التبرير -2.

عامل التبرير of5 - 2

إذا x = ثم (x-3) 2 =
أ 1

= (س -3) 2 = (3 - √7 -3) 2 = √7 2 = 7

إذا x = 3 + 2 ، ثم أوجد قيمة.

إذا كانت x = 7 + 4 و س ص= 1 ، ثم =
أ .64

ص 2 = 1 / س 2 = 49 + 48-56√3 = 97-56√3

= س 2 = 1 / ص 2 = (7 + 4√3) 2 = 49 + 48 + 56√3 = 97+ 56√3

إذن ، 1 / ​​x 2 + 1 / y 2 = 97 + 56√3 + 97-56√3 = 194

إذا x + = 4 إذن x+ =
أ .2

1 / س = 1 / (4 - 15) = (4 + 15) / 16-15 = 4 + 15

إذا x = إذن x 3 + =
أ .2

إذا x = و ذ = إذن x + ذ + س ص =
أ 9

بالنظر إلى x = √5 + √3 / √5 - √3 ، y = √5 - √3 / √5 + √3

X + y + xy = 4 + 15 + 4 - 15 + 1 = 9.

إذا x = و ذ = إذن x 2 + سذ + ذ 2 =
أ 101

س 2 = (5 - 2√6) 2 = 25 +24 -20√6) = 49 - 20√6

س ص = (5- 2√6) (5 + 2√6) = 25-24 = 1

إذن ، x 2 + xy + y 2 = 49 - 20√6 +1 + 49 + 20√6 = 99.

(حاول كسر المصطلحات في شكل (أ + ب) 2 أو (أ - ب) 2)

√(√2) 2 + 1 2 – 2 ×√2×1) = √(√2-1) 2 = √2 – 1 .

(حاول كسر المصطلحات في شكل (أ + ب) 2 أو (أ - ب) 2)

√(√2) 2 + 1 2 – 2 ×√2×1) = √(√2-1) 2 = √2 – 1 .

إذا كانت = 1.4142 ، فهذا يعني أنها تساوي
أ 0.1718

√(√2-1)/√2+1) = √(√2-1) 2 = √2 – 1 = 1.4142 – 1 = 0 .4142

إذا كانت = 1.414 ، فإن قيمة حتى ثلاثة منازل عشرية هي
أ 0.235
ب 0.707
ج 1.414
د 0.471

√6 - √3
= √2 × √3 - √3
= √3(√2 - 1)
= 1.732 (1.414 – 1)
= 1.732 × 0.414
= 0.707


قوى الجذور

246. لقد تم توضيح الطريقة التي يمكن بها التعبير عن أي قوة أو جذر بواسطة فهرس. مؤشر القوة هو عدد صحيح. أن الجذر هو كسر بسطه هو 1. وهناك أيضًا فئة أخرى من الكميات يمكن اعتبارها إما قوى للجذور أو جذور قوى.

لنفترض أن a 1/2 مضروبة في نفسها ، بحيث تتكرر ثلاث مرات كعامل.

من الواضح أن حاصل ضرب 1/2 + 1/2 + 1/2 أو 3/2 (المادة 243) هو مكعب 1/2 ، أي مكعب الجذر التربيعي لـ a. يشير هذا الفهرس الكسري ، بالتالي ، قوة الجذر. يعبر المقام عن الجذر ، بينما يعبر البسط عن القوة. يوضح المقام في عدد العوامل المتساوية أو الجذور التي يتم حل الكمية المعطاة ويوضح البسط عدد هذه الجذور المراد ضربها معًا.
وبالتالي فإن 4/3 هي القوة الرابعة للجذر التكعيبي لـ a.

يوضح المقام أن a يتم حله في العوامل الثلاثة أو الجذور a 1/3 و a 1/3 و a 1/3. ويوضح البسط أنه يجب ضرب أربعة من هذه معًا مما ينتج عنه القوة الرابعة لـ 1/3 أي ،
أ 1/3. أ 1/3. أ 1/3. أ 1/3 = أ 4/3.

247. بما أن a 3/2 هي قوة الجذر ، فهي كذلك جذر القوة. لنفترض أن a مرفوع للقوة الثالثة a 3. الجذر التربيعي لهذا هو 3/2. لأن جذر 3 هو كمية مضروبة في نفسها ستنتج 3.

لكن وفقًا للفن. 243 ، أ 3/2 = أ 1/2. أ 1/2. أ 1/2 وهذا مضروبًا في نفسه ، (المادة 100 ،) هو
أ 1/2. أ 1/2. أ 1/2. أ 1/2. أ 1/2. أ 1/2 = أ 3.
إذن ، a 3/2 هو الجذر التربيعي لمكعب a.

بنفس الطريقة ، يمكن إظهار أن m / n هي القوة mth للجذر n من a أو الجذر n من القوة mth: أي ، جذر أس يساوي نفس القوة لنفس الجذر. على سبيل المثال ، القوة الرابعة للجذر التكعيبي لـ a ، هي نفسها الجذر التكعيبي للقوة الرابعة لـ a.

248- يمكن ضرب الجذور ، وكذلك القوى ، للحرف نفسه مضيفا الأس. (المادة 243.) سيكون من السهل أن نرى أن نفس المبدأ يمكن أن يمتد إلى قوى الجذور ، عندما يكون للأسس قاسم مشترك.

وهكذا 2/7 .a 3/7 = a 2/7 + 3/7 = أ 5/7.

يوضح البسط الأول عدد المرات التي يتم فيها أخذ 1/7 كعامل لإنتاج 2/7. (المادة 246).

ويوضح البسط الثاني عدد المرات التي يتم فيها أخذ 1/7 كعامل لإنتاج 3/7.

ال مجموع من البسط ، يوضح عدد المرات التي يجب أخذ الجذر ، من أجل منتج. (المادة 100).
أو بالتالي ، 2/7 = a 1/7 .a 1/7.
و 3/7 = a 1/7 .a 1/7 .a 1/7.
لذلك ، 2/7 .a 3/7 = a 1/7 .a 1/7 .a 1/7 .a 1/7 .a 1/7 = a 5/7.

249- لا تتغير قيمة الكمية بتطبيق مؤشر كسري يتساوى البسط والمقام فيها.

وهكذا أ = 2/2 = أ 3/3 = أ ن / ن. للمقام يوضح أن a يتم حله في عدد معين من العوامل ويوضح البسط أن كل هذه العوامل متضمنة في n / n.
وهكذا 3/3 = a 1/3 .a 1/3 .a 1/3 ، وهو ما يساوي a.
و n / n = a 1 / n .a 1 / n. مرات n.

من ناحية أخرى ، عندما يصبح بسط الفهرس الكسري مساويًا للمقام ، يمكن جعل التعبير أكثر بساطة من خلال الرافضين مؤشر.

بدل منن / ن قد نكتب أ.

250. يمكن استبدال مؤشر القوة أو الجذر بأي مؤشر آخر بنفس القيمة.
بدلاً من 2/3 ، يمكننا وضع 4/6.

لأنه في الأخير من هذه التعبيرات ، من المفترض أن يتم حل a إلى مرتين العديد من العوامل كما في السابق ويظهر البسط ذلك مرتين لأن العديد من هذه العوامل يجب أن تتضاعف معًا. حتى لا يتم تغيير القيمة الكاملة.

هكذا x 2/3 = x 4/6 = x 6/9. أي أن مربع الجذر التكعيبي هو نفسه ، مثل القوة الرابعة للجذر السادس ، الأس السادس للجذر التاسع.

إذن ، 2 = أ 4/2 = أ 6/3 = أ 2 ن / ن. لقيمة كل من هذه المؤشرات 2. (المادة 132).

251. من المادة السابقة ، سيكون من السهل ملاحظة أنه يمكن التعبير عن فهرس كسري في الكسور العشرية.

1. وبالتالي فإن 1/2 = a 5/10 ، أو 0.5 أي أن الجذر التربيعي يساوي القوة الخامسة للجذر العاشر.

2. a 1/4 = a 25/100 ، أو 0.25 أي أن الجذر الرابع يساوي الأس 25 للجذر 100.

ومع ذلك ، في كثير من الحالات ، يمكن أن تكون العلامة العشرية فقط تقريب إلى الفهرس الحقيقي.

وهكذا 1/3 = 0،3 تقريبًا. أ 1/3 = 0.33334 تقريبًا جدًا.

بهذه الطريقة ، يمكن إجراء التقريب إلى أي درجة من الدقة المطلوبة.

وبالتالي فإن 5/3 = 1،66666. نبسب ل 11/7 = أ 1،87142.

تشكل هذه المؤشرات العشرية فئة مهمة جدًا من الأرقام تسمى اللوغاريتمات.

من الملائم في كثير من الأحيان تغيير تدوين قوى الجذور ، من خلال استخدام vinculum ، أو الإشارة الجذرية والجذر. عند القيام بذلك ، يجب أن نتذكر أن قوة الجذر هي نفسها جذر القوة (المادة 247 ،) وأيضًا أن المقام - صفة مشتركة - حالة من الأس الكسري يعبر عن أ جذر، و ال البسط أ قوة. (المادة 246).

بدلاً من ذلك ، يمكننا كتابة 2/3 (a 1/3) 2 أو (a 2) 1/3 أو 3 & radic a 2.

يشير أول هذه الأشكال الثلاثة إلى مربع الجذر التكعيبي لـ a وكل من الشكلين الأخيرين ، الجذر التكعيبي لمربع a.

إذن a m / n = (a 1 / n) m = (a m) 1 / n = n & radic a m.
و (ب س) 3/4 = (ب 3 × 3) 1/4 = 4 وجذر ب 3 × 3.
و (أ + ص) 3/5 = [(أ + ص) 3] 1/5 = 5 وجذر (أ + ص) 3.


تحليل المعادلات التربيعية - التجربة والخطأ



هناك العديد من التقنيات التي يمكن استخدامها لتحليل المعادلات التربيعية.
في هذا الدرس ، سوف نتعلم كيفية تحليل المعادلات التربيعية ، حيث معامل x 2 هو 1 ، باستخدام طريقة التجربة والخطأ. في هذه الطريقة ، سنحتاج إلى تجربة الاحتمالات المختلفة للحصول على العوامل الصحيحة للمعادلة التربيعية المعطاة.

إذا كان المعامل x 2 هل 1

لتحليل المعادلات التربيعية من النموذج إلى عوامل: x 2 + ب س + ج، سوف تحتاج إلى إيجاد رقمين منتجهما ج ومجموعها ب.

مثال 1: (ب و ج كلاهما موجب)

حل المعادلة التربيعية: x 2 + 7x + 10 = 0

الخطوة 1: ضع قائمة بعوامل 10:

الخطوة 2: أوجد العوامل التي مجموعها 7:

الخطوة 3: اكتب العوامل وتحقق من استخدام خاصية التوزيع.

الخطوة 4: العودة إلى المعادلة التربيعية الأصلية

x 2 + 7x + 10 = 0 حلل الطرف الأيسر للمعادلة التربيعية إلى عوامل
(x + 2) (x + 5) = 0

نحصل على قيمتين لـ x.

المثال 2: (ب موجب و ج سالب)

الخطوة 1: اذكر عوامل ndash 5:

الخطوة 2: أوجد العوامل التي مجموعها 4:

الخطوة 3: اكتب العوامل وتحقق من استخدام خاصية التوزيع.

الخطوة 4: العودة إلى المعادلة التربيعية الأصلية

x 2 + 4x & ndash 5 = 0 حلل الجانب الأيسر من المعادلة إلى عوامل
(x & ndash 1) (x + 5) = 0

نحصل على قيمتين لـ x.

المثال 3: (ب و ج كلاهما سلبي)

الخطوة 1: اذكر عوامل ndash 6:

الخطوة 2: أوجد العوامل التي يكون مجموعها & ndash5:

الخطوة 3: اكتب العوامل وتحقق من استخدام خاصية التوزيع.

الخطوة 4: العودة إلى المعادلة التربيعية الأصلية

x 2 و - 5x & ndash 6 = 0 حلل الجانب الأيسر من المعادلة إلى عوامل
(x + 1) (x & - 6) = 0

نحصل على قيمتين لـ x.

المثال 4: (ب سالب و ج موجب)

الخطوة 1: ضع قائمة بعوامل 8:

علينا الحصول على العوامل السالبة 8 لنحصل على مجموع سالب.
& ndash1 & times & ndash 8 & ndash2 & times & ndash4

الخطوة 2: أوجد العوامل التي مجموعها & ndash 6:

الخطوة 3: اكتب العوامل وتحقق من استخدام خاصية التوزيع.

الخطوة 4: العودة إلى المعادلة التربيعية الأصلية

x 2 و - 6x + 8 = 0 حلل الطرف الأيسر للمعادلة إلى عوامل
(x & ndash 2) (x & - 4) = 0

نحصل على قيمتين لـ x.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


شاهد الفيديو: تعلم معنا تبسيط الجذور للصف التاسع بأبسط طريقة (شهر اكتوبر 2021).