مقالات

6.4: العمل - الرياضيات


أهداف التعلم

في هذا القسم ، نسعى جاهدين لفهم الأفكار الناتجة عن الأسئلة المهمة التالية:

  • كيف نقيس الشغل المنجز بواسطة قوة متغيرة تحرك جسمًا مسافة معينة؟
  • ما هي القوة الكلية التي تمارسها المياه على السد؟
  • كيف يتشابه كل من المفهومين أعلاه والاستخدام المقابل لهما للتكاملات المحددة مع المشكلات التي واجهناها في الماضي والتي تتضمن صيغًا مثل "المسافة تساوي المعدل مضروبًا في الوقت" و "الكتلة تساوي الكثافة مضروبًا في الحجم"؟

في عملنا حتى الآن مع التكامل المحدد ، رأينا عدة ظروف مختلفة حيث يتيح لنا التكامل قياس تراكم كمية متغيرة ، بشرط أن تكون الكمية ثابتة تقريبًا على فترات زمنية صغيرة. على سبيل المثال ، استنادًا إلى حقيقة أن مساحة المستطيل هي (A = l cdot w ، ) إذا كنا نرغب في العثور على المنطقة التي يحدها منحنى غير سالب (y = f (x) ) و (x ) - محور على فاصل ([a، b] ) ، شريحة تمثيلية من العرض ( Delta x ) لها مساحة (A _ { text {slice}} = f (x) Delta x ) ، وبالتالي نظرًا لأننا تركنا عرض الشريحة التمثيلية يميل إلى الصفر ، نجد أن المساحة الدقيقة للمنطقة هي

[A = int ^ b_a f (x) dx. ]

بطريقة مماثلة ، إذا علمنا أن سرعة جسم متحرك تُعطى من خلال الوظيفة (y = v (t) ) ، ونرغب في معرفة المسافة التي يقطعها الجسم في فترة ([a، b ] ) حيث (v (t) ) غير سالب ، يمكننا استخدام تكامل محدد لتعميم حقيقة أن (d = r cdot t ) عندما يكون المعدل (r ) ثابتًا. بشكل أكثر تحديدًا ، في فترة زمنية قصيرة ( Delta t ) ، (v (t) ) ثابت تقريبًا ، وبالتالي لفترة زمنية قصيرة ، (d _ { text {slice}} = v ( t) Delta t ) ، وبما أن عرض الفاصل الزمني ( Delta t ) يميل إلى الصفر ، يتم إعطاء المسافة الدقيقة المقطوعة بواسطة التكامل المحدد

[d = int ^ b_a v (t) dt. ]

أخيرًا ، عندما علمنا مؤخرًا عن كتلة كائن ذي كثافة غير ثابتة ، رأينا أنه منذ (M = D cdot V ) (الكتلة تساوي الكثافة مضروبة في الحجم ، بشرط أن تكون الكثافة ثابتة) ، إذا كان بإمكاننا التفكير شريحة صغيرة من جسم تكون كثافته ثابتة تقريبًا ، يمكن استخدام تكامل محدد لتحديد الكتلة الدقيقة للجسم. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا قضيب رفيع ذات مقاطع عرضية ذات كثافة ثابتة ، ولكن يتم توزيع كثافته على طول المحور (x ) وفقًا للوظيفة (y = rho (x) ) ، فسيتبع ذلك بالنسبة إلى شريحة صغيرة من القضيب بسمك ( Delta x ) (M _ { text {slice}} = rho (x) Delta x ). في الحد كـ ( Delta x rightarrow 0 ) ، نجد بعد ذلك أن الكتلة الكلية معطاة

[M = int ^ b_a rho (x) dx. ]

لاحظ أن جميع هذه الحالات الثلاثة متشابهة في أن لدينا قاعدة أساسية ( (A = l · w ، d = r · t ، M = D · V )) حيث لم تعد إحدى الكميتين التي يتم ضربها ثابت؛ في كل منها ، نعتبر فاصلًا صغيرًا للمتغير الآخر في الصيغة ، ونحسب القيمة التقريبية للكمية المرغوبة (المساحة ، أو المسافة ، أو الكتلة) على مدى فترة زمنية صغيرة ، ثم نستخدم تكاملًا محددًا لجمع النتائج على أنها الطول من الفترات الصغيرة يسمح بالاقتراب من الصفر. يجب أن يكون واضحًا أن هذا النهج سيعمل بشكل فعال في المواقف الأخرى التي لدينا فيها قدر من الاهتمام يختلف. ننتقل بعد ذلك إلى مفهوم الشغل: من الفيزياء ، المبدأ الأساسي هو أن الشغل هو نتاج القوة والمسافة. على سبيل المثال ، إذا مارس شخص قوة مقدارها 20 رطلاً لرفع وزن 20 رطلاً 4 أقدام من الأرض ، فإن إجمالي العمل المنجز هو

[ begin {align} W & = F · d [4pt] & = 20 · 4 [4pt] & = 80 text {قدم-رطل}. نهاية {محاذاة} ]

إذا تم قياس القوة والمسافة بوحدات اللغة الإنجليزية (رطل وأقدام) ، فسيتم حساب الوحدات قيد التشغيل رطل القدم. إذا عملنا بدلاً من ذلك في وحدات مترية ، حيث تُقاس القوى بالنيوتن والمسافات بالأمتار ، فإن وحدات العمل هي نيوتن-متر.

شكل 6.14: ثلاثة إعدادات نحسب فيها تراكم كمية متفاوتة: المساحة الواقعة تحت (y = f (x) ) ، والمسافة التي يقطعها كائن بسرعة (y = v (t) ) ، وكتلة a شريط بوظيفة الكثافة (y = rho (x) ).

بالطبع ، الصيغة (W = F cdot d ) تنطبق فقط عندما تكون القوة ثابتة أثناء بذلها على مسافة (d ). في نشاط المعاينة 6.4 ، نستكشف طريقة واحدة يمكننا من خلالها استخدام تكامل محدد لحساب إجمالي العمل المنجز عندما تتباين القوة المبذولة.

معاينة النشاط ( PageIndex {1} )

رفع دلو من قاع بئر بعمق 50 قدمًا ؛ يتم الحصول على وزنه (بما في ذلك الماء) ، (ب ) ، بالجنيه عند ارتفاع (ح ) قدم فوق الماء من خلال الوظيفة (ب (ح) ). عندما يغادر الدلو الماء ، يزن الدلو والماء معًا (B (0) = 20 ) رطلاً ، وعندما يصل الدلو إلى قمة البئر ، (B (50) = 12 ) رطل. افترض أن الدلو يفقد الماء بمعدل ثابت (كدالة للارتفاع ، (ح )) طوال رحلته من أسفل البئر إلى قمته.

  1. ابحث عن صيغة لـ (B (h) ).
  2. احسب قيمة المنتج (B (5) Delta h ) ، حيث ( Delta h = 2 ) قدم. قم بتضمين وحدات في إجابتك. اشرح سبب تمثيل هذا المنتج للعمل التقريبي الذي تم القيام به لنقل دلو الماء من (h = 5 ) إلى (h = 7 ).
  3. هل القيمة الموجودة في (ب) تقدير زائد أو أقل للمقدار الفعلي للعمل المطلوب لنقل الدلو من (h = 5 ) إلى (h = 7 )؟ لماذا ا؟
  4. احسب قيمة المنتج (B (22) Delta h ) ، حيث ( Delta h = 0.25 ) قدم. ما معنى القيمة التي وجدتها؟
  5. بشكل عام ، ما الذي تقيسه الكمية (W _ { text {slice}} = B (h) Delta h ) لقيمة معينة من (h ) وقيمة موجبة صغيرة لـ ( Delta h )؟
  6. احسب التكامل المحدد ( int ^ 50_0 B (h) dh ). ما معنى القيمة التي تجدها؟ لماذا ا؟

عمل

نظرًا لأنه يتم حساب العمل بالقاعدة (W = F cdot d ) ، فكلما كانت القوة (F ) ثابتة ، يتبع ذلك أنه يمكننا استخدام تكامل محدد لحساب العمل الذي تم إنجازه بواسطة قوة متغيرة. على سبيل المثال ، لنفترض أنه في مكان مشابه للمشكلة المطروحة في نشاط المعاينة 6.4 ، لدينا دلو يتم رفعه في بئر يبلغ ارتفاعه 50 قدمًا ويعطي وزنه عند الارتفاع h بواسطة

[B (h) = 12 + 8e ^ {- 0.1h}. ]

على عكس المشكلة في نشاط المعاينة ، لا يتسرب هذا المستودع بمعدل ثابت ؛ ولكن نظرًا لأن وزن الدلو والماء ليس ثابتًا ، يتعين علينا استخدام عنصر متكامل محدد لتحديد إجمالي العمل الناتج عن رفع الجرافة. لاحظ أنه عند ارتفاع (ح ) فوق الماء ، فإن العمل التقريبي لتحريك الدلو مسافة صغيرة ( دلتا ح ) هو

[W _ { text {slice}} = B (h) Delta h = (12 + 8e ^ {- 0.1h}) Delta h. ]

ومن ثم ، إذا تركنا ( Delta h ) نميل إلى 0 وأخذ مجموع كل شرائح العمل المنجزة على هذه الفواصل الزمنية الصغيرة ، فسيترتب على ذلك أن إجمالي العمل مُعطى بواسطة

[W = int ^ {50} _0 B (h) dh = int ^ {50} _0 (12 + 8e ^ {- 0.1h}) dh. ]

بينما يعد تمرينًا مباشرًا لتقييم هذا التكامل تمامًا باستخدام النظرية الأساسية الأولى لحساب التفاضل والتكامل ، في الإعدادات المطبقة مثل هذه ، سنستخدم عادةً تقنية الحوسبة للعثور على تقديرات تقريبية دقيقة للتكاملات التي تهمنا. هنا ، اتضح أن

[W = int ^ {50} _0 (12 + 8e ^ {- 0.1h}) درهم حوالي 679.461 ، text {قدم-رطل}. ]

يستخدم عملنا في نشاط المعاينة 6.1 وفي أحدث مثال أعلاه المبدأ العام المهم التالي.

بالنسبة لكائن يتم تحريكه في الاتجاه الإيجابي على طول محور ، (x ) ، بقوة (F (x) ) ، إجمالي العمل لتحريك الكائن من (a ) إلى (b ) اعطي من قبل

[W = int ^ b_a F (x) dx. ]

نشاط ( فهرس الصفحة {1} )

ضع في اعتبارك المواقف التالية التي تنجز فيها قوة متفاوتة العمل.

  1. افترض أن حبلًا ثقيلًا معلقًا على جانب منحدر. يبلغ طول الحبل 200 قدم ويزن 0.3 رطل للقدم ؛ في البداية يتم تمديد الحبل بالكامل. ما مقدار الشغل المطلوب لسحب طول الحبل بالكامل؟ (تلميح: قم بإعداد دالة (F (h) ) تكون قيمتها هي وزن الحبل المتبقي فوق الجرف بعد رفع قدم h.)
  2. سحب دلو متسرب من بئر بعمق 100 قدم. عند رفعه من الماء ، يزن الدلو والماء معًا 40 رطلاً. نظرًا لأن الدلو يتم نقله لأعلى بمعدل ثابت ، فإن الدلو يتسرب الماء بمعدل ثابت بحيث يفقد الوزن بمعدل 0.1 رطل لكل قدم. ما الوظيفة (B (h) ) التي تخبرنا بوزن الجرافة بعد رفع الجرافة (h ) قدم؟ ما هو إجمالي العمل المنجز في رفع الدلو إلى قمة البئر؟
  3. افترض الآن أن الدلو الموجود في (ب) لا يتسرب بمعدل ثابت ، ولكن وزنه عند ارتفاع (h ) قدم فوق الماء يُعطى بواسطة (B (h) = 25 + 15e ^ {-) 0.05 س} ). ما هو مجموع العمل المطلوب لرفع الدلو 100 قدم؟ ما متوسط ​​القوة المؤثرة على الدلو في الفترة (h = 0 ) إلى (h = 100 )؟
  4. من الفيزياء قانون هوك بالنسبة إلى الينابيع ، فإن مقدار القوة المطلوبة لعقد زنبرك مضغوط (أو ممتد) بطول معين يتناسب مع المسافة التي يتم ضغط الزنبرك (أو تمديده) من طوله الطبيعي. أي أن قوة ضغط (أو تمديد) وحدات الربيع (x ) من طوله الطبيعي هي (F (x) = kx ) لبعض الثابت (k ) (والذي يسمى ثابت الربيع. ) بالنسبة للزنبركات ، نختار قياس القوة بالأرطال والمسافة التي يتم ضغط الزنبرك بالأقدام. افترض أن قوة مقدارها 5 أرطال تمتد زنبركًا معينًا بمقدار 4 بوصات (1/3 قدم) عن طوله الطبيعي.
    1. استخدم الحقيقة المعطاة وهي (F (1/3) = 5 ) لإيجاد ثابت الربيع (ك ).
    2. ابحث عن الشغل المنجز لتمديد الزنبرك من طوله الطبيعي إلى قدم واحدة عن طوله الطبيعي.
    3. ابحث عن الشغل المطلوب لتمديد الزنبرك من قدم واحدة عن طوله الطبيعي إلى 1.5 قدم بعد طوله الطبيعي.

العمل: ضخ السائل من الخزان

في بعض المواقع الجغرافية حيث يكون منسوب المياه الجوفية مرتفعًا ، تتميز المنازل السكنية ذات الطوابق السفلية بميزة خاصة: في الطابق السفلي ، يجد المرء حفرة كبيرة في الأرض ، وفي الحفرة يوجد ماء. على سبيل المثال ، في الشكل 6.15 حيث نرى أ فخار مستنقع.

الشكل 6.15: وعاء مستنقع. رصيد الصورة إلى www.warreninspect.com/basement-moisture.

بشكل أساسي ، يوفر وعاء الحوض منفذًا للمياه التي قد تتراكم تحت أرضية القبو ؛ بالطبع ، مع ارتفاع هذه المياه ، من الضروري ألا تغمر المياه الطابق السفلي. ومن ثم ، في الفخار نرى وجود مضخة عائمة على سطح الماء: يتم تنشيط هذه المضخة عن طريق الارتفاع ، لذلك عندما يصل مستوى الماء إلى ارتفاع معين ، يتم تشغيل المضخة وتضخ جزءًا معينًا من خروج الماء من الفخار ، وبالتالي تخفيف تراكم الماء تحت الأساس. أحد الأسئلة التي نرغب في الإجابة عليها هو: ما مقدار الشغل الذي تنجزه مضخة الحوض؟ ولتحقيق هذه الغاية ، لنفترض أن لدينا فخار مستنقع له شكل مخروط مخروطي ، كما هو موضح في الشكل 6.16. افترض أن الفخار يبلغ قطره 3 أقدام عند سطحه ، وقطر 1.5 قدم عند قاعدته ، وعمقه 4 أقدام. بالإضافة إلى ذلك ، افترض أن مضخة الحوض قد تم إعدادها بحيث تضخ الماء عموديًا لأعلى في الأنبوب إلى مصرف يقع على مستوى الأرض خارج نافذة الطابق السفلي مباشرةً. لإنجاز ذلك ، يجب أن ترسل المضخة الماء إلى موقع 9 أقدام فوق سطح وعاء الحوض.

الشكل 6.16: وعاء مستنقع به مقاطع عرضية أسطوانية تقريبًا يبلغ عمقها 4 أقدام وقطرها 1.5 قدمًا عند قاعدتها وقطرها 3 أقدام عند قمتها.

اتضح أنه من المفيد التفكير في العمق الموجود أسفل سطح الفخار باعتباره متغيرًا مستقلاً ، لذلك ، في مشاكل مثل هذه ، نترك المحور الموجب (x ) يشير إلى الأسفل ، والإيجابي (ص ) - المحور على اليمين ، كما هو موضح في الشكل. عندما نفكر في العمل الذي تقوم به المضخة ، ندرك أولاً أن المضخة مثبتة على سطح الماء ، لذلك من المنطقي التفكير في المضخة التي تحرك الماء "شريحة واحدة" في كل مرة ، حيث تستغرق يقطع من السطح ، ويضخها خارج الخزان ، ثم يشرع في ضخ الشريحة التالية أدناه. بالنسبة لوعاء الحوض الموصوف في هذا المثال ، تكون كل شريحة ماء أسطوانية الشكل. نرى أن نصف قطر كل شريحة أسطوانية تقريبًا يختلف وفقًا للوظيفة الخطية (y = f (x) ) التي تمر عبر النقاط (0 ، 1.5) و (4 ، 0.75) ، حيث (x ) هي عمق شريحة معينة في الخزان ؛ إنه تمرين مباشر أن نجد أن (f (x) = 1.5 - 0.1875x ). نحن الآن على استعداد للتفكير في المشكلة الشاملة في عدة خطوات:

  1. تحديد حجم شريحة نموذجية ؛
  2. إيجاد الوزن (نفترض أن كثافة وزن الماء هي 62.4 رطل لكل قدم مكعب) لشريحة نموذجية (وبالتالي القوة التي يجب أن تمارس عليها)
  3. تحديد المسافة التي تتحركها شريحة نموذجية ؛ و
  4. حساب العمل لتحريك شريحة تمثيلية. بمجرد أن نعرف الشغل المطلوب لتحريك شريحة واحدة ، نستخدم تكاملًا محددًا على فترة زمنية مناسبة لإيجاد الشغل الكلي.

ضع في اعتبارك شريحة أسطوانية تمثيلية توضع على سطح الماء على عمق (س ) قدم أسفل قمة الفخار. ويترتب على ذلك أن الحجم التقريبي لتلك الشريحة تم إعطاؤه بواسطة

(V _ { text {slice}} = pi f (x) ^ 2 Delta x = pi (1.5-0.1875x) ^ 2 Delta x ).

نظرًا لأن الماء يزن 62.4 رطل / قدم مكعب ، فإن الوزن التقريبي للشريحة التمثيلية ، والذي يمثل أيضًا القوة التقريبية التي يجب أن تبذلها المضخة لتحريك الشريحة ، هو

(F _ { text {slice}} = 62.4 cdot V _ { text {slice}} = 62.4 pi (1.5-0.1875x) ^ 2 Delta x ).

نظرًا لأن الشريحة تقع على عمق (س ) قدم أسفل قمة الفخار ، يجب أن تتحرك الشريحة التي يتم تحريكها بواسطة المضخة (س ) قدمًا للوصول إلى مستوى الطابق السفلي ، ثم كما هو مذكور في وصف المشكلة ، يجب تحريك 9 أقدام أخرى للوصول إلى الصرف على مستوى الأرض خارج نافذة الطابق السفلي. ومن ثم ، فإن المسافة الإجمالية التي تقطعها شريحة تمثيلية هي

(د _ { نص {شريحة}} = س + 9 ).

أخيرًا ، نلاحظ أن العمل على نقل شريحة تمثيلية يتم تقديمه بواسطة

(W _ { text {slice}} = F _ { text {slice}} · d _ { text {slice}} = 62.4π (1.5 - 0.1875x) ^ 2 Delta x · (x + 9) ) و

لأن القوة لتحريك شريحة معينة ثابتة. نجمع العمل المطلوب لتحريك الشرائح في جميع أنحاء الخزان (من (س = 0 ) إلى (س = 4 )) ، دعنا ( دلتا س يمين السهم 0 ) ، وبالتالي

(W = int ^ 4_0 62.4π (1.5 - 0.1875x) ^ 2 (x + 9) dx ) ،

والذي ، عند تقييمه باستخدام التكنولوجيا المناسبة ، يوضح أن إجمالي العمل هو (W = 10970.5 pi ) قدم-رطل.

يوضح المثال السابق النهج القياسي لإيجاد العمل المطلوب لتفريغ خزان مملوء بالسائل. المهمة الرئيسية في كل مشكلة من هذا القبيل هي تحديد حجم شريحة تمثيلية ، متبوعة بالقوة المبذولة على الشريحة ، وكذلك المسافة التي تتحرك بها هذه الشريحة. في الحالة التي تكون فيها الوحدات مترية ، يوجد فرق رئيسي واحد: في الإعداد المتري ، بدلاً من الوزن ، عادةً ما نجد أولاً كتلة الشريحة. على سبيل المثال ، إذا تم قياس المسافة بالأمتار ، فإن كثافة كتلة الماء تساوي 1000 كجم / م3 . في هذا الإعداد ، يمكننا إيجاد كتلة شريحة نموذجية (بالكيلو جرام). لتحديد القوة المطلوبة لتحريكها ، نستخدم F = ma ، حيث m هي كتلة الجسم و a ثابت الجاذبية 9.81 N / kg3 . أي ، بالوحدات المترية ، تبلغ كثافة وزن الماء 9810 نيوتن / م3 .

نشاط ( فهرس الصفحة {2} )

في كل من المشكلات التالية ، حدد إجمالي العمل المطلوب لإنجاز المهمة الموصوفة. في الجزأين (ب) و (ج) ، تتمثل الخطوة الأساسية في إيجاد صيغة لدالة تصف المنحنى الذي يشكل الحدود الجانبية للخزان.

الشكل 6.17: حوض ذو نهايات مثلثة ، كما هو موضح في النشاط 6.11 ، الجزء (ج).

  1. ضع في اعتبارك خزانًا أسطوانيًا رأسيًا نصف قطره 2 متر وعمقه 6 أمتار. افترض أن الخزان مملوء بـ 4 أمتار من الماء بكثافة كتلة 1000 كجم / م3 ، ويتم ضخ أعلى 1 متر من الماء فوق الخزان.
  2. ضع في اعتبارك خزانًا نصف كروي نصف قطره 10 أقدام. افترض أن الخزان ممتلئ حتى عمق 7 أقدام بماء كثافته 62.4 رطل / قدم3، ويتم ضخ أعلى 5 أقدام من الماء من الخزان إلى شاحنة صهريج يبلغ ارتفاعها 5 أقدام فوق قمة الخزان.
  3. ضع في اعتبارك حوضًا بنهايات مثلثة ، كما هو موضح في الشكل 6.17 ، حيث يبلغ طول الخزان 10 أقدام ، وعرض القمة 5 أقدام ، وعمق الخزان 4 أقدام. لنفترض أن الحوض ممتلئ في حدود 1 قدم من الأعلى بماء كثيف الوزن 62.4 رطل / قدم3، ويتم استخدام مضخة لتفريغ الخزان حتى يصل الماء المتبقي في الخزان إلى عمق قدم واحد.

القوة بسبب الضغط الهيدروستاتيكي

عندما يتم بناء السد ، من الضروري للمهندسين أن يفهموا مقدار القوة التي ستؤثر بها المياه على وجه السد. أول شيء ندركه هو أن القوة التي يمارسها السائل مرتبطة بالمفهوم الطبيعي للضغط. يقاس الضغط الذي تمارسه القوة على منطقة ما بوحدات القوة لكل وحدة مساحة: على سبيل المثال ، يقاس ضغط الهواء في الإطار غالبًا بالجنيه لكل بوصة مربعة (PSI). ومن ثم ، نرى أن العلاقة العامة معطاة

(P = dfrac {F} {A} ) أو (F = P cdot A ) ،

حيث P تمثل الضغط ، و تمثل القوة ، و أ منطقة المنطقة التي يتم النظر فيها. بالطبع ، في المعادلة F = PA ، نفترض أن الضغط ثابت على المنطقة بأكملها A.

يعرف معظم الناس من التجربة أنه كلما غطس الشخص بشكل أعمق تحت الماء أثناء السباحة ، زاد الضغط الذي يمارسه الماء. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه كلما قام الشخص بالغوص بشكل أعمق ، زادت كمية المياه الموجودة أعلى السباح: القوة التي يمارسها "عمود" الماء هي التي تحدد الضغط الذي يتعرض له السباح. للحصول على ضغط الماء المقاس بوحداته القياسية (رطل لكل قدم مربع) ، نقول إن إجمالي ضغط الماء يتم حسابه بحساب الوزن الإجمالي لعمود الماء الذي يقع فوق منطقة مساحتها 1 قدم مربع على عمق ثابت. مثل هذا العمود المستطيل بقاعدة 1 × 1 وعمقه d قدم له حجم V = 1 · 1 · d قدم3، وبالتالي فإن الوزن المقابل للماء العلوي هو 62.4d. نظرًا لأن هذا هو أيضًا مقدار القوة التي يتم بذلها على مساحة 1 قدم مربع على عمق d قدم تحت الماء ، فإننا نرى أن P = 62.4d (رطل / قدم)2) هو الضغط الذي يمارسه الماء على العمق د.

إن فهم أن P = 62.4d سيخبرنا الضغط الذي يمارسه الماء على عمق d ، جنبًا إلى جنب مع حقيقة أن F = PA ، سيمكننا الآن من حساب القوة الكلية التي يمارسها الماء على السد ، كما نرى في المثال التالي.

مثال ( PageIndex {3} )

ضع في اعتبارك سدًا على شكل شبه منحرف يبلغ عرضه 60 قدمًا عند قاعدته وعرضه 90 قدمًا في قمته ، وافترض أن السد يبلغ ارتفاعه 25 قدمًا مع ارتفاع المياه إلى مسافة 5 أقدام من الجزء العلوي من وجهه. يزن الماء 62.5 رطلاً لكل قدم مكعب. ما مقدار القوة التي يبذلها الماء ضد السد؟

حل

أولاً ، نرسم صورة للسد كما هو موضح في الشكل 6.18. لاحظ أنه ، كما هو الحال في المشاكل التي تنطوي على العمل على ضخ الخزان ، نترك المحور x الموجب يشير لأسفل.
من الضروري استخدام حقيقة أن الضغط ثابت على عمق ثابت. ومن ثم ، فإننا نعتبر شريحة من الماء على عمق ثابت على الوجه ، مثل تلك الموضحة في الشكل. أولاً ، المساحة التقريبية لهذه الشريحة هي مساحة المستطيل المصور. نظرًا لأن عرض هذا المستطيل يعتمد على المتغير (x ) (الذي يمثل المسافة التي تقع فيها الشريحة عن قمة السد) ، فإننا نجد صيغة للدالة (y = f (x) ) التي يحدد جانب واحد من وجه السد. نظرًا لأن (f ) خطي ، فمن السهل العثور على (y = f (x) = 45 - dfrac {3} {5} x ). ومن ثم ، فإن المساحة التقريبية للشريحة التمثيلية هي

(A _ { text {slice}} = 2f (x) Delta x = 2 (45- dfrac {3} {5} x) Delta x ).

في أي نقطة على هذه الشريحة ، يكون العمق ثابتًا تقريبًا ، وبالتالي يمكن اعتبار الضغط ثابتًا. على وجه الخصوص ، نلاحظ أنه بما أن (س ) يقيس المسافة إلى قمة السد ، ولأن الماء يرتفع إلى مسافة 5 أقدام من قمة السد ، فإن عمق أي نقطة على الشريحة التمثيلية هو تقريبًا ((س - 5) ). الآن ، منذ الضغط

الشكل 6.18: سد شبه منحرف يبلغ ارتفاعه 25 قدمًا ، وعرضه 60 قدمًا عند قاعدته ، وعرضه 90 قدمًا في قمته ، وخط المياه 5 أقدام لأسفل من أعلى وجهه.

من خلال (P = 62.4d ) ، لدينا ذلك في أي نقطة على الشريحة التمثيلية

(ف _ { نص {شريحة}} = 62.4 (س - 5) ).

بمعرفة كل من الضغط والمساحة ، يمكننا إيجاد القوة التي يمارسها الماء على الشريحة. باستخدام (F = PA ) ، يتبع ذلك

(F _ { text {slice}} = P _ { text {slice}} · A _ { text {slice}} = 62.4 (x - 5) · 2 (45 - dfrac {3} {5} x) دلتا x ).

أخيرًا ، نستخدم تكاملًا محددًا لجمع القوى على النطاق المناسب لقيم (x ). نظرًا لارتفاع المياه إلى مسافة 5 أقدام من قمة السد ، نبدأ من (س = 5 ) ونقطع كل الطريق إلى أسفل السد ، حيث (س = 30 ). لذلك،

(F = int ^ {x = 30} _ {x = 5} 62.4 (x-5) cdot2 (45- dfrac {3} {5} x) dx ).

باستخدام التكنولوجيا لحساب التكامل ، نجد F ≈ 1.248 × 106 جنيه أو رطل للوزن.

نشاط ( فهرس الصفحة {4} )

في كل من المسائل التالية ، حدد القوة الكلية التي يمارسها الماء على السطح الموصوف.

  1. فكر في سد مستطيل يبلغ عرضه 100 قدم وارتفاعه 50 قدمًا ، وافترض أن الماء يضغط على السد حتى القمة.
  2. تخيل سدًا نصف دائري نصف قطره 30 قدمًا. افترض أن الماء يرتفع إلى مسافة 10 أقدام من قمة السد.
  3. ضع في اعتبارك حوضًا بنهايات مثلثة ، كما هو موضح في الشكل 6.17 ، حيث يبلغ طول الخزان 10 أقدام ، وعرض القمة 5 أقدام ، وعمق الخزان 4 أقدام. لنفترض أن الحوض ممتلئ في حدود 1 قدم من الأعلى بماء كثيف الوزن 62.4 رطل / قدم3. ما مقدار القوة التي يبذلها الماء ضد أحد الأطراف المثلثة؟

في حين أن هناك العديد من الصيغ المختلفة التي نستخدمها في حل المشكلات التي تنطوي على العمل والقوة والضغط ، فمن المهم أن نفهم أن الأفكار الأساسية وراء هذه المشكلات تشبه العديد من الأفكار الأخرى التي واجهناها في تطبيقات التكامل المحدد. على وجه الخصوص ، الفكرة الأساسية هي أخذ مشكلة صعبة وتقسيمها بطريقة ما إلى أجزاء أكثر قابلية للإدارة ونفهمها ، ثم استخدام تكامل محدد لجمع هذه القطع الأبسط.

ملخص

في هذا القسم ، واجهنا الأفكار المهمة التالية:

  • لقياس العمل المنجز بواسطة قوة متغيرة تحرك كائنًا ، نقسم المشكلة إلى أجزاء يمكننا استخدام الصيغة W = F · d عليها ، ثم نستخدم تكاملًا محددًا لتلخيص العمل المنجز على كل قطعة.
  • لإيجاد القوة الكلية التي يمارسها الماء ضد السد ، نستخدم الصيغة F = P · A لقياس القوة المؤثرة على شريحة تقع على عمق ثابت ، ثم نستخدم تكاملًا محددًا لجمع القوى عبر النطاق المناسب من الأعماق.
  • نظرًا لأن الشغل يُحسب على أنه ناتج القوة والمسافة (شريطة أن تكون القوة ثابتة) ، ويمكن حساب قوة المياه التي تمارس على السد كمنتج للضغط والمساحة (بشرط أن يكون الضغط ثابتًا) ، فإن المشكلات التي تنطوي على هذه المفاهيم تشبه قمنا بمسائل سابقة باستخدام تكاملات محددة لإيجاد المسافة (عبر "المسافة تساوي معدل مضروبًا في الوقت") والكتلة ("الكتلة تساوي الكثافة مضروبة في الحجم").

الدرس 4

في هذا الدرس ، يقوم الطلاب بتوحيد مهاراتهم في كتابة المعادلات وحلها. في النشاط الأول يقومون بحل مجموعة متنوعة من المعادلات ذات الهياكل المختلفة ، وفي النشاط الثاني يعملون على مطابقة المعادلات مع المواقف وحلها. يمكن للطلاب اختيار أي استراتيجية لحل المعادلات ، بما في ذلك رسم المخططات للتفكير حول الكميات غير المعروفة ، والنظر في بنية المعادلة ، أو القيام بنفس الشيء لكل جانب من جوانب المعادلة. يختارون أدوات واستراتيجيات فعالة لمشاكل محددة. سيساعد ذلك الطلاب على تطوير المرونة والطلاقة في كتابة المعادلات وحلها.

أهداف التعلم

لنحل المعادلات عن طريق فعل الشيء نفسه مع كل طرف.

أهداف التعلم

معايير CCSS

إدخالات المسرد

المعامل هو رقم مضروب في متغير.

على سبيل المثال ، في التعبير (3x + 5 ) ، معامل (x ) هو 3. في التعبير (y + 5 ) ، معامل (y ) هو 1 ، لأن ( ص = 1 boldcdot ذ ).

حل المعادلة هو رقم يمكن استخدامه بدلاً من المتغير لجعل المعادلة صحيحة.

على سبيل المثال ، 7 هو حل المعادلة (م + 1 = 8 ) ، لأنه صحيح أن (7 + 1 = 8 ). حل (م + 1 = 8 ) ليس 9 ، لأن (9 + 1 ني 8 ).

المتغير هو حرف يمثل رقمًا. يمكنك اختيار أرقام مختلفة لقيمة المتغير.

على سبيل المثال ، في التعبير (10-x ) ، المتغير هو (x ). إذا كانت قيمة (x ) هي 3 ، إذن (10-x = 7 ) ، لأن (10-3 = 7 ). إذا كانت قيمة (x ) هي 6 ، فإن (10-x = 4 ) ، لأن (10-6 = 4 ).

طباعة المواد المنسقة

يمكن للمعلمين الذين لديهم عنوان بريد إلكتروني صالح للعمل النقر هنا للتسجيل أو تسجيل الدخول للوصول المجاني إلى Cool Down و Teacher Guide و PowerPoint.

مصادر إضافية

تم تطوير IM 6-8 Math في الأصل بواسطة Open Up Resources وتأليف Illustrative Mathematics® ، وهي محمية بحقوق الطبع والنشر لعام 2017-2019 بواسطة Open Up Resources. تم ترخيصه بموجب رخصة المشاع الإبداعي نَسب المُصنَّف 4.0 (CC BY 4.0). منهج الرياضيات 6-8 متاح على https://openupresources.org/math-curriculum/.

التعديلات والتحديثات على IM 6-8 Math هي حقوق طبع ونشر لعام 2019 بواسطة Illustrative Mathematics ، ومرخصة بموجب رخصة المشاع الإبداعي Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

التعديلات لإضافة دعم إضافي لمتعلم اللغة الإنجليزية هي حقوق طبع ونشر لعام 2019 من Open Up Resources ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

المجموعة الثانية من تقييمات اللغة الإنجليزية (المشار إليها على أنها مجموعة "B") هي حقوق الطبع والنشر لعام 2019 بواسطة Open Up Resources ، ومرخصة بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 الدولي (CC BY 4.0).

الترجمة الإسبانية للتقييمات "B" هي حقوق طبع ونشر لعام 2020 بواسطة Illustrative Mathematics ، ومرخصة بموجب الترخيص الدولي Creative Commons Attribution 4.0 (CC BY 4.0).

لا يخضع اسم وشعار الرياضيات التوضيحية لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز استخدامهما بدون موافقة كتابية مسبقة وصريحة من الرياضيات التوضيحية.

يتضمن هذا الموقع صورًا ذات ملكية عامة أو صورًا مرخصة بشكل علني محمية بحقوق الطبع والنشر لأصحابها. تظل الصور المرخصة بشكل علني خاضعة لشروط التراخيص الخاصة بكل منها. راجع قسم إحالة الصورة لمزيد من المعلومات.


ورش عمل الرياضيات

الوصف: Drag & # 039N & # 039 Drop Math عبارة عن ورشة عمل عبر الإنترنت يمكن للطلاب من خلالها إكمال مسائل الجمع والطرح متعددة الأرقام (مع إعادة التجميع) والضرب والقسمة ، باستخدام أرقام كبيرة وصغيرة قابلة للسحب. ورشة العمل قابلة للتخصيص بالكامل وتقدم ملاحظات فورية. هذا واحد من أكثر عشرة برامج شعبية على mrnussbaum.com

معايير CC: 2.NBT.B.5 ، 2.NBT.B.6 ، 2.NBT.B.7 ، 2.NBT.B.8 ، 3.OA.A.4 ، 3.OA.C.7 ، 3.NBT.A.2، 3.NBT.A.3

Divide Pal - ورشة عمل عبر الإنترنت

الوصف: هذه ورشة عمل عبر الإنترنت تتيح للطلاب العمل من خلال مشاكل التقسيم المطول خطوة بخطوة ، مع توجيهات وإرشادات من الكمبيوتر لكل خطوة على الطريق. البرنامج قابل للتخصيص.

معايير CC: 4.NBT.B.4، 4.NBT.B.5، 4.NBT.B.6

قسم التصور - اون لاين

الوصف: سيساعدك هذا البرنامج على تصور مفهوم التقسيم. اختر رقمًا واجعل أكبر عدد ممكن من مسائل القسمة من هذا الرقم. استخدم أداة الرسم اليدوية لإنشاء مجموعات من النجوم. على سبيل المثال ، إذا اخترت 16 نجمة ، فسترى 16 نجمة على المسرح. ما عليك سوى رسم دوائر حول أربع مجموعات من أربعة نجوم لجعل المشكلة 16 (مقسومة على الرمز) 4 = 4. انظر إلى المدة التي تستغرقها في قسمة 16 على أكبر عدد ممكن من الأرقام التي تقسم بالتساوي. اطبع شهادتك عند الانتهاء. شاهد الفيديو التعليمي لمزيد من المعلومات.

معايير CC: 3.OA.A.1 ، 3.OA.A.2 ، 3.OA.B.6 ، 3.OA.C.7

كسور EZ - جمع وطرح وضرب وقسمة الكسور

الوصف: EZ Fractions عبارة عن ورشة عمل شائعة للكسور تتيح للطلاب إجراء عمليات باستخدام الكسور في بيئة مبسطة تساعدهم في إعادة تسمية أو تقليل أو مضاعفة أو العثور على LCM و GCF. قابل للتخصيص! هذا مشابه لـ Fraction Workshop ، لكن بعض المستخدمين يفضلون التنسيق بشكل أفضل.

الوصف: تتيح هذه البرامج المبتكرة للطلاب العمل بشكل تفاعلي مع البرنامج لحل مشكلات الرياضيات. ترشد البرامج الطلاب من خلال مسائل الرياضيات خطوة بخطوة ، وتقسيم عمليات القسمة المطولة والمعادلات والكسور إلى سلسلة من مسائل الرياضيات الأبسط المتسلسلة بطريقة تشبه المقابلة. تعمل هذه على جميع أجهزة الكمبيوتر والأجهزة اللوحية.

بال الضرب - محاكاة الضرب عبر الإنترنت

الوصف: تتيح هذه الأدوات المدهشة للطلاب إكمال عمليات الضرب الصغيرة أو الكبيرة ، خطوة بخطوة ، في شكل مقابلة. يمكن للطلاب حتى إدخال مشكلتهم الخاصة! هذا هو يجب أن نحاول.

معايير CC: 4.NBT.B.5، 4.NBT.B.6

الوصف: برنامج Equation Pal هو برنامج رائع يسمح للطلاب بحل المعادلات خطوة بخطوة بتنسيق & quotinterview & quot. شاهد الفيديو التعليمي لهذا النشاط لمزيد من المعلومات.

ورشة التدوين الموسعة

الوصف: تتيح ورشة العمل الممتعة هذه للطلاب ممارسة مفهوم التدوين القياسي. إنه قابل للتخصيص تمامًا ويمكن للطلاب الاختيار من وضع العرض التوضيحي أو وضع التشغيل. يمكنك تضمين أو استبعاد الكسور العشرية.

الوصف: Math Machine هي أداة مرئية لتعليم الجمع أو الطرح أو الضرب أو الكسور أو القسمة أو القيمة المكانية. يتم تمكين الطلاب من خلال عجلات دوارة تحدد الأرقام في المشكلات! انظر الفيديو التعليمي لمزيد من المعلومات.

معايير CC: 1.OA.A.1 ، 1.OA.A.2 ، 1.OA.B.3 ، 1.OA.C.5 ، 1.OA.C.6 ، 2.OA.A.1 ، 2.OA.B.2 ، 2.OA.C.3 ، 2.OA.C.4 ، 2.NBT.A.1 ، 2.NBT.B.5 ، 3.OA.A.1 ، 3 .OA.A.2 ، 3.OA.C.7 ، 3.NF.A.3

ورشة القياس - عبر الإنترنت

الوصف: برنامج Measurement Workshop هو برنامج رائع للمتعلمين من جميع مستويات الصفوف. في وضع & quotbuild & quot ، يقوم المستخدمون ببناء مدن من مساطر متري أو إمبراطوري (قياسي) يمكن تغيير حجمها وتلوينها وسحبها حول المسرح لتشكيل مدينة مسطرة. في هذا الوضع ، يمكن للمستخدمين مقارنة العلاقة بين البوصة والسنتيمتر. في وضع & quotplay & quot ، يتم تشكيل المدينة بشكل عشوائي بواسطة البرنامج ويجب على المستخدمين تحديد طول كل مبنى بالبوصة أو السنتيمتر. يمكن للمستخدمين الاختيار من بين أربعة مستويات مختلفة من مهارات القياس: الأعداد الصحيحة (حيث & quot ؛ تقيس المباني & quot بالقياس بالبوصة أو السنتيمتر إلى الأعداد الصحيحة) ، والأرقام الصحيحة والنصف (حيث & quot ؛ المباني & quot ؛ القياس بالبوصة أو السنتيمتر إلى الأعداد الصحيحة أو الأعداد الصحيحة والنصفين ، الكسور العشرية (أين & الاقتباسات & quot القياس بالبوصة أو السنتيمتر إلى الكسور) والكسور (حيث & quotbuildings & quot القياس بالبوصة أو السنتيمتر إلى الكسور.)

معايير CC: 2.MD.A.1 ، 2.MD.A.2 ، 2.MD.A.3 ، 2.MD.A.4

ورشة عمل القيمة المكانية - عبر الإنترنت

الوصف: في ورشة عمل القيمة المكانية ، يمكن للطلاب استكشاف مفهوم القيمة المكانية بثلاث طرق مختلفة. أولاً ، في وضع & quotplay & quot ، يكون لدى الطلاب خمس دقائق لإنشاء أكبر عدد ممكن من الأرقام باستخدام الكتل الأساسية 10 عبر الإنترنت. The game starts off using basic numbers but progresses into tens, hundreds, and even thousands. Points are determined by the size of the number constructed. In the practice mode, users build numbers in the same way as the play mode but without a timer or scoring. In the "build" mode, students can make place value pictures. As they add base ten blocks to their picture, they’ll see the value of their picture increase.

CC Standards: 1.NBT.A.1, 1.NBT.B.2, 2.NBT.A.1, 2.NBT.A.3

Description: This awesome resource allows students to explore an interactive clock. Students can change from numbers to roman numerals, can change time zones, can track elapsed time. Backgrounds change as students manipulate time. Students can also make schedules and play an interactive game with different levels where they adjust the hands on the clock to randomly generated times.

Decimals Workshop - Online

Description: This innovative program allows students to perform decimals calculations in addition, subtraction, multiplication, and division. The program is totally customizable and allows users to select the number of problems and the numbers of digits before or after the decimal in each problem. It also provides a drag and drop, decimal-friendly work space

CC Standards: 5.NBT.A.3, 5.NBT.B.7, 6.NS.B.3

Fraction Workshop - Online

Description: Fraction Workshop is an amazing drag and drop application that allows students to complete any kind of fraction operation in an online stage with tools to help them. Fraction workshop allows users to practice ordering, reducing, adding, subtracting, multiplying, and dividing fractions and mixed numbers. Our drag and drop system makes ordering and organizing numbers easy. Choose the number of problems to practice, the specific skill to practice and click “begin”. Work the problem on the stage and drag and drop the correct numbers to the answer box. The system will indicate immediately whether or not your answer is correct. Printout a score summary when you are finished. Students can use the calculator tool or the visualize tool to help them work on the problems. The visualize tool turns the particular math problem into a picture. This helps students to better “see” the problem.


Work Formula

Work is the result when a force acts on an object and moves it by some distance. Sometimes, the direction an object moves is not the same as the direction of the force. In that case, only the component of the force that acts in the direction of the movement causes work to be done. The work formula includes the cosine of the angle between the force and distance for this reason. If the force and movement are in the same direction, than the angle is equal to 0 radians (or 0°). The cosine of zero is: cos0 = 1. The units of work are Joules (J), where 1 J = 1 N∙m = 1 kg∙m 2 /s 2 .

work = force x distance×cosine(the angle between force and movement directions)

θ = the angle between the force direction and movement direction

1) A tractor pulled a wagon full of hay a distance of 1000 م. The force exerted on the wagon to move it that distance was 12 000 N. The force acted in the same direction as the movement. Find how much work was done by the tractor to pull the wagon.

Answer: The force and the movement were in the same direction, so the angle between them is 0°. The work can be found using the formula:

W = (12 000 N)(1000 م)

W = 12 000 000 N∙م

The work done by the tractor to move the wagon the given distance was 12 000 000 J, which can also be stated as mega-Joules: 12.0 مJ.

2) A man is pushing a lawn mower across his yard. The force he is applying to the handle of the lawn mower is angled down, 60.0° from the horizontal plane. This force has a magnitude of 900 N. If he pushes the lawn mower 30.0 م, how much work has been done to move the mower?

Answer: The force is at an angle of 60.0° with respect to the movement. The work can be found using the formula:

W = (900 N)(30.0 م)(0.5)

The work done while moving the lawn mower the given distance was 13 500 J.


Ordered Pair - Definition with Examples

An ordered pair is a composition of the x coordinate (abscissa) and the y coordinate (ordinate), having two values written in a fixed order within parentheses.

It helps to locate a point on the Cartesian plane for better visual comprehension.

The numeric values in an ordered pair can be integers or fractions.

Where, x = abscissa, the distance measure of a point from the primary axis &ldquox&rdquo

And, y = ordinate, the distance measure of a point from the secondary axis &ldquoy&rdquo

In the Cartesian plane, we define a two-dimensional space with two perpendicular reference lines, namely x-axis and y-axis. The point where the two lines meet at &ldquo0&rdquo is the origin.

To comprehend it better, let&rsquos take an example. Plot the point &ldquoP&rdquo with coordinates 6, 4.

As per the definition of ordered pair, the point P will be written as:

  • P = (6, 4)
  • The first number in the ordered pair shows the distance from &ldquox" axis which is 6
  • The second number in the ordered pair shows the distance from &ldquoy" axis which is 4

To mark the point on the Cartesian plane, start from the origin. Take 6 steps towards the &ldquox&rdquo axis (towards right) starting from the origin. From here, take 4 steps towards the &ldquoy&rdquo axis (upwards).

As the name &ldquoordered pair&rdquo suggests, the order in which values are written in a pair is very important. The ordered pair (6, 4) is different from the pair (4, 6). Both represent two different points as shown below.


Lesson 4

The table shows values of the expressions (10x^2) and (2^x) .

Predict which expression will have a greater value when:

Find the value of each expression when (x) is 8, 10, and 12.

Make an observation about how the values of the two expressions change as (x) becomes greater and greater.

حل

Teachers with a valid work email address can click here to register or sign in for free access to Formatted Solution.

Problem 2

Function (f) is defined by (f(x)=1.5^x) . Function (g) is defined by (g(x)=500x^2 + 345x) .

  1. Which function is quadratic? Which one is exponential?
  2. The values of which function will eventually be greater for larger and larger values of (x) ?

حل

Teachers with a valid work email address can click here to register or sign in for free access to Formatted Solution.

Problem 3

Create a table of values to show that the exponential expression (3(2)^x) eventually overtakes the quadratic expression (3x^2+2x) .

حل

Teachers with a valid work email address can click here to register or sign in for free access to Formatted Solution.

Problem 4

The table shows the values of (4^x) and (100x^2) for some values of (x) .

Use the patterns in the table to explain why eventually the values of the exponential expression (4^x) will overtake the values of the quadratic expression (100x^2) .

حل

Teachers with a valid work email address can click here to register or sign in for free access to Formatted Solution.

Problem 5

Here is a pattern of shapes. The area of each small square is 1 sq cm.

Expand Image

  1. What is the area of the shape in Step 10?
  2. What is the area of the shape in Step (n) ?
  3. Explain how you see the pattern growing.

حل

Teachers with a valid work email address can click here to register or sign in for free access to Formatted Solution.

Problem 6

A bicycle costs $240 and it loses (frac<3><5>) of its value each year.

  1. Write expressions for the value of the bicycle, in dollars, after 1, 2, and 3 years.
  2. When will the bike be worth less than $ 1?
  3. Will the value of the bike ever be 0? Explain your reasoning.

حل

Teachers with a valid work email address can click here to register or sign in for free access to Formatted Solution.

Problem 7

A farmer plants wheat and corn. It costs about $150 per acre to plant wheat and about $350 per acre to plant corn. The farmer plans to spend no more than $250,000 planting wheat and corn. The total area of corn and wheat that the farmer plans to plant is less than 1200 acres.

Expand Image

Description: <p><strong>Inequality graphed on a coordinate plane, origin O. Horizontal axis from 20 to 2000 by 500’s, acres of wheat. Vertical axis from 0 to 1000 by 500’s, acres of corn. Dashed line passes through 0 comma 70, 500 comma 500 and 1200 comma 200. The region below the dashed line is shaded.</strong></p>

This graph represents the inequality, (150w + 350c leq 250,!000) , which describes the cost constraint in this situation. Let (w) represent the number of acres of wheat and (c) represent the number of acres of corn.

The inequality, (w + c < 1,!200) represents the total area constraint in this situation. On the same coordinate plane, graph the solution to the inequality you wrote.

Use the graphs to find at least two possible combinations of the number of acres of wheat and the number of acres of corn that the farmer could plant.

The combination of 400 acres of wheat and 700 acres of corn meets one constraint in the situation but not the other constraint. Which constraint does this meet? Explain your reasoning.

حل

Teachers with a valid work email address can click here to register or sign in for free access to Formatted Solution.

The Illustrative Mathematics name and logo are not subject to the Creative Commons license and may not be used without the prior and express written consent of Illustrative Mathematics.

This book includes public domain images or openly licensed images that are copyrighted by their respective owners. Openly licensed images remain under the terms of their respective licenses. See the image attribution section for more information.


To figure out the tip, you need to find 20% of $52.60. $0.2 imes 52.6 = 10.52$ You should leave $10.52 for the waiter if you want to leave him exactly 20%.

To figure the tax, you need to find 8% of $52.60. $0.08 imes 52.6 = 4.208$ Next, add them up: $52.6 + 10.52 + 4.208 = 67.328$ The total bill, including tax and tip, will be $67.33.

Solution: Estimating an answer

If you are not concerned whether you give the waiter exactly 20%, you can simply estimate the total bill. Tax and tip together are a little less than 30% and the bill is a little more than $50. Since 30% of 50 is 15, the tax and tip together are approximately $15. (Note that the exact calculation is $14.73.)

We can also estimate the total bill as $52 + $15 = $67, which is very close to the exact calculation of $67.33. This kind of estimating is a good way to check the answer to an exact calculation, and more like the way you would probably compute tax and a tip in a real restaurant.

Solution: Exact tax, approximate tip

In a real-world context, restaurant patrons generally estimate the tip, but pay the exact tax based on the calculation of their bill. Therefore, a third solution possibility is for students to estimate the tip portion of the calculations and to find the exact tax when calculating the total bill.

If you wish to estimate the tip, you can round $52.60 to $50. Twenty percent of $50 is $10. So, you would leave a $10 tip.

To figure tax, you need to find 8% of $52.60: $0.08 imes 52.6 = 4.208.$ Next, add the estimated tip, the calculated tax, and the pre-tax bill: $52.60 + 10 + 4.208 = 66.808.$ The total bill will be $66.81.


6.4: Work - Mathematics

If it is 3 o'clock and we add 5 hours to the time that will put us at 8 o'clock, so we could write 3 + 5 = 8. But if it is 11 o'clock and we add 5 hours the time will be 4 o'clock, so we should write 11 + 5 = 4 . Now everyone knows that 11 + 5 is really 16, but there is no 16 on the clock (unless you're in the military . "Sargent, have your squad fall in at the mess hall at 16 hundred hours! Yes, Sir!"). Every time we go past 12 on the clock we start counting the hours at 1 again. If we add numbers the way we add hours on the clock, we say that we are doing clock arithmetic. So, in clock arithmetic 8 + 6 = 2, because 6 hours after 8 o'clock is 2 o'clock.

Use clock arithmetic to add these numbers:

The 12 hour clock that we are so familiar with is very old. The ancient Babylonians gave us the idea of breaking up time into 12 hours for half a day. There really isn't anything very special about the number 12, the Babylonians could have picked another number, like 10, and if they had our clocks would look like this:

We can do clock arithmetic on this kind of clock too! This time, 8 + 4 = 2 because if we start at 8 and move ahead 4 hours we would be at 2 on this clock.

Use clock arithmetic on a 10 hour clock to add these numbers:

We could make our clocks with any number of hours and do clock arithmetic with them. We can also do subtraction. On a clock with 5 hours, 2 - 3 = 4 because if we start at 2 o'clock and move backwards 3 hours we would be at 4 o'clock. Draw your own picture of a 5 hour clock to see that this is true.

Use clock arithmetic on a 5 hour clock to find these numbers:

It could be very embarassing if we were doing clock arithmetic and someone looked at our work and, thinking that we were doing regular arithmetic, said, "Oh no! Most of your answers are wrong!" In order to prevent that from happening, we write clock arithmetic expressions in a special way. If we wanted to write that 4 + 3 = 1 on a 6 hour clock, we would write (4 + 3) mod 6 = 1. The "mod 6" tells us that we are doing clock arithmetic on a 6 hour clock. "Mod" is shorthand for the word "modulus" which is a fancy word for saying how long you have to go before starting over again. So, we would write some of our earlier work this way: (11 + 5) mod 12 = 4, (8 + 4) mod 10 = 2 and (2 - 3) mod 5 = 4.

Find these numbers

You may have noticed in some of the problems that when you go all the way around the clock exactly once you end up just where you started. Like, (5 + 7) mod 7 = 5 and (4 - 8) mod 8 = 4. In regular arithmetic, there is only one number that you could add or subtract from another number and leave that other number unchanged . 0 of course! In clock arithmetic, going around the clock a whole number of times has the same effect as doing nothing! So, if we had a 6 hour clock, adding or subtracting 6 is the same as adding or subtracting 0. For this reason, we usually write 0 for the number of hours in the clock and change the way the clock looks so that instead of having the number of hours in the clock at the top, we put a 0 there and think of the clock as starting there instead of ending there. So, our 10 hour clock would look like this:

  • (3 + 5) mod 8 = 0
  • (2 - 2) mod 7 = 0 (Now doesn't that look much better than 2 - 2 = 7 ?)
  • (6 + 18) mod 8 = 0

When Judy gets to the right side of the screen and keeps walking, she disappears and reappears on the left side of the screen again. If the screen is 18 inches wide and we are keeping track of how far Judy is from the left side of the screen, then as soon as she is 18 inches from the left side it's as if she were back at the beginning again . but this is just doing clock arithmetic with an 18 hour clock! The people who make these games have to use clock arithmetic to control where the images appear on the screen, and they will have to use different kinds of clocks for different kinds of screens. If you want to find out more about clock arithmetic, click here. Here are the answers to the first set of questions


6.4: Work - Mathematics

Has your child come home with something similar to a problem stating: Write the fact family for 5, 13, 8 with no examples in sight? Well, this article is for parents who have to help their children with Fact Family homework. Let’s look at an example:

8 + 5 = 13
5 + 8 = 13
13 – 8 = 5
13 – 5 = 8

Generally, the word family means certain people are related. Likewise, fact family implies that certain numbers and facts are related.

For starters, they are only three numbers in each family. In the above fact family, the members are 5, 8, and 13.

How are they related?
*** You can add two of the numbers together to get the third number.
8 + 5 = 13
*** You can switch the order of the two numbers added above to equal the third number again. In math, this is referred to as the commutative property of addition.
5 + 8 = 13

Cousin Operators or Operands
*** Just as your sister/brother’s children are your children’s cousins, addition is related to subtraction via the term inverse property. Subtraction is the inverse property of addition. In other words, subtraction is the opposite of addition. We can undo the work of addition by subtracting. This is very important to remember for problem solving.

How to get the last two math facts of the family . . .
So far we’ve recreated 8 + 5 = 13 and 5 + 8 = 13
Since we know the inverse (opposite) of addition is subtraction, start with the sum (or the larger number), 13, and subtract one of the addends. 13 – 8 = 5 Of course, your answer is the third number. In this case, the answer is 5. Thus the next fact would be, 13 – 5 = 8.

Usefulness:
Consider this word problem:

Susan had 5 pencils. Her grandmother gave her more pencils for her collection. Susan now has 13 pencils. How many pencils did Susan’s grandmother give her?

If a student has an understanding of fact family concept, he/she could rebuild the family.
You know that Susan started out with 5 pencils and ended up with 13 pencils. Thus, you know two of the family members. They are 5 and 13. In math language that translates,
5 pencils + ____ more pencils = 13 pencils or 5 + ? = 13


Let’s look at the fact family again.

5 + ? = 13
? + 5 = 13
13 – 5 = ?
13 - ? = 5

Which equation above would give me the value of ‘?” ? Answer: The third equation. Hey, we just need to subtract 5 from 13 to learn that her grandmother gave her 8 pencils.

If your child did not know their addition and subtraction facts well, teaching them concept would definitely help.

What about Multiplication and Division?
Yes, there related. Division is the inverse property of Multiplication. Thus, the same principle applies. Study the example below.

6 x 4 = 24
4 x 6 = 24
24 / 6 = 4
24/ 4 = 6

Practice:
Let’s use dominoes to practice with addition and subtraction.

Weeks Class Dates Reading الواجب المنزلي Homework Due Date Week 1 Jan 20, 22 1.1, 1.2

1.1: 8, 12, 18, 24 // 1.2: 4,14, 16, 30 Jan 26 Tue Week 2 Jan 25, 27, 29 1.3, 1.4, 1.5, 1.7, 1.8

1.3: 2, 12, 14, 24 // 1.4: 4, 8, 12 // 1.5: 10, 12, 16 // 1.7: 6, 18 // 1.8: 2, 4

Feb 2 Tue Week 3 Feb 1, 3, 5 1.9, 2.1, 2.2 1.9: 2, 6, 18 // 2.1: 2, 4, 6, 10, 20 // 2.2: 2, 8, 10, 14, 32 Feb 9 Tue Week 4 Feb 8, 10 2.3, 3.1, 3.2, 3.3, 2.3: 4, 6, 8, 20 // 3.1: 10, 12, 14 // 3.2: 8, 22, 26 // 3.3: 6, 14 Feb 16 Tue Feb 12 Fri Midterm I (covers Chapters 1-3) solution Week 5 Feb 17, 19 4.1, 4.2 4.1: 2, 6, 8, 12, 30 // 4.2: 4, 12, 16, 20, 24, 26 Feb 23 Tue Week 6 Feb 22, 24, 26 4.3, 4.4, 4.5, 4.6 4.3: 14, 20, 22// 4.4: 8, 10, 14 // 4.5: 6, 14, 20 // 4.6: 4, 6, 18 Mar 1 Tue Mar 1 Tue Quiz 1 (covers 4.1-4.6) Week 7 Feb 29, Mar 2,4 5.1, 5.2, 5.3, 5.4 5.1: 4, 16, 22(a)(b)(d)(e) // 5.2: 14, 16, 20, 22 // 5.3: 4, 10, 18, 22 // 5.4: 6, 16 Mar 8 Tue Week 8 Mar 7, 9, 11 6.1, 6.2, 6.3 6.1: 10, 14, 20, 24 // 6.2: 10, 12, 14, 24 // 6.3: 4, 8, 14, 22 Mar 15 Tue Week 9 Mar 14, 18 6.4, 6.5 6.4: 4, 12, 16, 18 // 6.5: 4, 5, 10, 18, 19 Mar 29 Tue Mar 16 Wed Midterm II (covers 4.1-6.4) solution In the following, all sections except 7.1 are in Part Two of the textbook. Week 10 Mar 28,30, Apr 1 7.1, 4.2 7.1: 14, 20, 26, 28 // 4.2: 2, 14, 28, 38, 44 Apr 5 Tue Week 11 Apr 4, 6, 8 4.3, 4.4 4.3: 6, 20, 22, 26 // 4.4: 12, 14, 16, 26, 28, 30, 32, 34 Apr 12 Tue Apr 12 Tue Quiz 2 (covers (Part One: 6.5, 7.1) and (Part Two: 4.2, 4.3, 4.4)) Week 12 Apr 11, 13, 15 4.5, 4.6, 6.1 4.5: 2, 8, 18, 20, 30 // 4.6: 4, 10, 12 // 6.1: 16, 20, 22 Apr 19 Tue Week 13 Apr 18, 20, 22 6.2, 9.1, 9.4 6.2: 2, 14, 18, 20 // 9.1: 6, 8, 12 // 9.4: 8, 12, 20, 24 Apr 26 Tue Week 14 Apr 25, 27, 29 9.5, 9.6, 9.8 9.5: 12, 16, 26 // 9.6: 2, 6, 8 // 9.8: 8, 10 Ask GSI May 10 Tue Final (3:10pm-5:10pm, 1 Pimentel Hall) (sample) (solution of sample)


شاهد الفيديو: Calculus: Work Section (شهر اكتوبر 2021).