مقالات

3.4: قاعدة السلسلة - الرياضيات


لقد غطينا جميع قواعد الاشتقاق تقريبًا التي تتعامل مع مجموعات من وظيفتين (أو أكثر). وظيفة واحدة "داخل" أخرى).

أحد الأمثلة على تكوين الوظائف هو (f (x) = cos (x ^ 2) ). لا نعرف حاليًا كيفية حساب هذا المشتق. إذا أجبر المرء على التخمين ، فمن المحتمل أن يخمن (f ^ prime (x) = - sin (2x) ) ، حيث نتعرف على (- sin x ) كمشتق لـ ( cos x ) و (2x ) كمشتق من (x ^ 2 ). ولكن هذا ليس هو الحال؛ (f ^ prime (x) neq - sin (2x) ). في المثال 62 ، سنرى الإجابة الصحيحة ، التي تستخدم القاعدة الجديدة التي يقدمها هذا القسم ، وهي حكم السلسلة.

قبل أن نحدد هذه القاعدة الجديدة ، تذكر تدوين تكوين الوظائف. نكتب ((f circ g) (x) ) أو (f (g (x)) ) ، ونقرأ كـ " (f ) of (g ) of (x ) ،" 'للإشارة إلى تأليف (f ) بـ (g ). باختصار ، نكتب (f circ g ) أو (f (g) ) ونقرأه كـ " (f ) من (g ). '' قبل إعطاء قاعدة التفاضل المقابلة ، نلاحظ أن القاعدة تمتد إلى تراكيب متعددة مثل (f (g (h (x))) ) أو (f (g (h (j ()) خ)))) ) ، إلخ.

لتحفيز القاعدة ، دعونا نلقي نظرة على ثلاثة مشتقات يمكننا حسابها بالفعل.

مثال 59: استكشاف المشتقات المتشابهة

أوجد مشتقات

  1. (F_1 (س) = (1-س) ^ 2 ) ،
  2. (F_2 (x) = (1-x) ^ 3 ، ) و
  3. (F_3 (x) = (1-x) ^ 4. )

سنرى لاحقًا سبب استخدامنا للمخطوطات لوظائف مختلفة وأحرف كبيرة (F ).

حل

من أجل استخدام القواعد التي لدينا بالفعل ، يجب علينا أولاً توسيع كل دالة كـ

  1. (F_1 (س) = 1 - 2 س + س ^ 2 ) ،
  2. (F_2 (x) = 1 - 3x + 3x ^ 2 - x ^ 3 ) و
  3. (F_3 (x) = 1 - 4x + 6x ^ 2 - 4x ^ 3 + x ^ 4 ).

ليس من الصعب رؤية ما يلي:

[ start {align *} F_1 ^ prime (x) & = -2 + 2x [4pt] F_2 ^ prime (x) & = -3 + 6x - 3x ^ 2 [4pt] F_3 ^ رئيس (س) & = -4 + 12 س - 12 س ^ 2 + 4x ^ 3. النهاية {محاذاة *} ]

هناك حقيقة مثيرة للاهتمام وهي أنه يمكن إعادة كتابتها كـ

[F_1 ^ prime (x) = -2 (1-x) ، quad F_2 ^ prime (x) = -3 (1-x) ^ 2 text {and} F_3 ^ prime (x) = -4 (1-س) ^ 3. ]

قد يقفز نمط ما عليك. ندرك أن كل من هذه الوظائف عبارة عن تكوين ، مع ترك (g (x) = 1-x ):

[ start {eqnarray *} F_1 (x) = f_1 (g (x))، & text {where} f_1 (x) = x ^ 2، F_2 (x) = f_2 (g (x)) ، & text {where} f_2 (x) = x ^ 3، F_3 (x) = f_3 (g (x))، & text {where} f_3 (x) = x ^ 4. النهاية {eqnarray *} ]

سنعود إلى هذا المثال بعد إعطاء البيانات الرسمية لقاعدة السلسلة ؛ في الوقت الحالي ، نقوم فقط بتوضيح أحد الأنماط.

نظرية 18: قاعدة السلسلة

لنفترض أن (y = f (u) ) دالة قابلة للتفاضل لـ (u ) وليكن (u = g (x) ) دالة قابلة للتفاضل لـ (x ). إذن (y = f (g (x)) ) دالة قابلة للتفاضل لـ (x ) و [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime ( خ). ]

للمساعدة في فهم قاعدة السلسلة ، نعود إلى المثال 59.

مثال 60: استخدام قاعدة السلسلة

استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد مشتقات الوظائف التالية ، كما هو موضح في المثال 59.

حل

انتهى المثال 59 بإدراك أن كل وظيفة من الوظائف المحددة كانت في الواقع عبارة عن تكوين للوظائف. لتجنب الالتباس ، نتجاهل معظم الرموز هنا.

(F_1 (x) = (1-x) ^ 2 ):

وجدنا أن [y = (1-x) ^ 2 = f (g (x)) ، text {where} f (x) = x ^ 2 text {and} g (x) = 1- س. ]

لإيجاد (y ^ prime ) ، نطبق قاعدة السلسلة. نحتاج إلى (f ^ prime (x) = 2x ) و (g ^ prime (x) = - 1. )

يستخدم جزء من قاعدة السلسلة (f ^ prime (g (x)) ). هذا يعني استبدال (g (x) ) بـ (x ) في المعادلة لـ (f ^ prime (x) ). أي (f ^ prime (x) = 2 (1-x) ). عند الانتهاء من قاعدة السلسلة لدينا [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) = 2 (1-x) cdot (-1) = -2 ( 1-س) = 2 س -2. ]

(F_2 (x) = (1-x) ^ 3 ):

دع (y = (1-x) ^ 3 = f (g (x)) ) ، حيث (f (x) = x ^ 3 ) و (g (x) = (1-x) ). لدينا (f ^ prime (x) = 3x ^ 2 ) ، لذا (f ^ prime (g (x)) = 3 (1-x) ^ 2 ). تنص قاعدة السلسلة بعد ذلك على [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) = 3 (1-x) ^ 2 cdot (-1) = -3 ( 1-س) ^ 2. ]

(F_3 (x) = (1-x) ^ 4 ):

أخيرًا ، عندما (y = (1-x) ^ 4 ) ، لدينا (f (x) = x ^ 4 ) و (g (x) = (1-x) ). وهكذا (f ^ prime (x) = 4x ^ 3 ) و (f ^ prime (g (x)) = 4 (1-x) ^ 3 ). هكذا [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) = 4 (1-x) ^ 3 cdot (-1) = -4 (1-x) ^ 3. ]

أظهر المثال 60 نمطًا معينًا: عندما (f (x) = x ^ n ) ، ثم (y ^ prime = n cdot (g (x)) ^ {n-1} cdot g ^ prime (خ) ). وهذا ما يسمى بقاعدة القوة المعممة.

النظرية 19: قاعدة القوة المعممة

لنفترض أن (g (x) ) دالة قابلة للتفاضل واجعل (n neq 0 ) عددًا صحيحًا. ثم [ dfrac {d} {dx} Big (g (x) ^ n Big) = n cdot big (g (x) big) ^ {n-1} cdot g ^ prime ( خ). ]

يتيح لنا ذلك العثور بسرعة على مشتقة الدوال مثل (y = (3x ^ 2-5x + 7 + sin x) ^ {20} ). بينما قد يبدو الأمر مخيفًا ، تنص قاعدة القوة العامة على أن [y ^ prime = 20 (3x ^ 2-5x + 7 + sin x) ^ {19} cdot (6x-5 + cos x). ]

علاج المشتق - اتخاذ العملية خطوة بخطوة. في المثال الموضح للتو ، اضرب أولاً في 20 ، ثم أعد كتابة الأقواس من الداخل ، وارفعها كلها إلى القوة 19 (^ { text {th}} ). ثم فكر في مشتقة التعبير داخل الأقواس واضرب في ذلك.

نعتبر الآن المزيد من الأمثلة التي تستخدم قاعدة السلسلة.

مثال 61: استخدام قاعدة السلسلة

أوجد مشتقات الدوال التالية:

  1. (y = sin {2x} )
  2. (y = ln (4x ^ 3-2x ^ 2) )
  3. (y = e ^ {- x ^ 2} )

حل

  1. ضع في اعتبارك (y = sin 2x ). اعلم أن هذا تكوين من الوظائف ، حيث (f (x) = sin x ) و (g (x) = 2x ). وبالتالي [y ^ prime = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) = cos (2x) cdot 2 = 2 cos 2x. ]
  2. اعلم أن (y = ln (4x ^ 3-2x ^ 2) ) هو تكوين (f (x) = ln x ) و (g (x) = 4x ^ 3-2x ^ 2 ). تذكر أيضًا أن [ dfrac {d} {dx} Big ( ln x Big) = dfrac {1} {x}. ] يقودنا هذا إلى: [y ^ prime = dfrac { 1} {4x ^ 3-2x ^ 2} cdot (12x ^ 2-4x) = dfrac {12x ^ 2-4x} {4x ^ 3-2x ^ 2} = dfrac {4x (3x-1)} {2x (2x ^ 2-x)} = dfrac {2 (3x-1)} {2x ^ 2-x}. ]
  3. اعلم أن (y = e ^ {- x ^ 2} ) هو تكوين (f (x) = e ^ x ) و (g (x) = -x ^ 2 ). تذكر أن (f ^ prime (x) = e ^ x ) ، لدينا [y ^ prime = e ^ {- x ^ 2} cdot (-2x) = (-2x) e ^ {- س ^ 2}. ]

مثال 62: استخدام قاعدة السلسلة لإيجاد خط المماس

دع (f (x) = cos x ^ 2 ). أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني لـ (f ) عند (س = 1 ).

حل

يمر خط الظل بالنقطة ((1، f (1)) تقريبًا (1،0.54) ) مع المنحدر (f ^ prime (1) ). لإيجاد (f ^ prime ) ، نحتاج إلى قاعدة السلسلة.

(f ^ prime (x) = - sin (x ^ 2) cdot (2x) = -2x sin x ^ 2 ). بالتقييم عند (x = 1 ) ، لدينا (f ^ prime (1) = -2 sin 1 حوالي -1.68 ). وبالتالي فإن معادلة خط الظل هي [y = -1.68 (x-1) +0.54. ]

يتم رسم خط الظل مع (f ) في الشكل 2.17.

تُستخدم قاعدة السلسلة غالبًا في أخذ المشتقات. لهذا السبب ، يمكن للمرء التعرف على العملية الأساسية وتعلم الأنماط التي تسهل العثور على المشتقات بسرعة. على سبيل المثال ، [ dfrac {d} {dx} Big ( ln ( text {anything}) Big) = dfrac {1} { text {anything}} cdot ( text {anything}) ^ prime = dfrac {( text {أي شيء}) ^ prime} { text {أي شيء}}. ]

مثال ملموس على ذلك هو [ dfrac {d} {dx} Big ( ln (3x ^ {15} - cos x + e ^ x) Big) = dfrac {45x ^ {14} + sin x + e ^ x} {3x ^ {15} - cos x + e ^ x}. ] بينما قد يبدو المشتق مخيفًا في البداية ، ابحث عن النمط. المقام هو نفسه ما كان داخل دالة اللوغاريتم الطبيعي ؛ البسط هو ببساطة مشتقه.

يمكن تطبيق عملية التعرف على الأنماط على العديد من الوظائف. بشكل عام ، بدلاً من كتابة "أي شيء" ، نستخدم (u ) كدالة عامة لـ (x ). ثم نقول [ dfrac {d} {dx} Big ( ln u Big ) = dfrac {u ^ prime} {u}. ]

فيما يلي قائمة مختصرة بكيفية تطبيق قاعدة السلسلة بسرعة على الوظائف المألوفة.

بالطبع ، يمكن تطبيق قاعدة السلسلة جنبًا إلى جنب مع أي من القواعد الأخرى التي تعلمناها بالفعل. نحن نمارس هذا بعد ذلك.

مثال 63: استخدام قواعد الضرب والحاصل والسلسلة

أوجد مشتقات الوظائف التالية.

  1. (f (x) = x ^ 5 sin {2x ^ 3} )
  2. (f (x) = dfrac {5x ^ 3} {e ^ {- x ^ 2}} ).

حل

  1. يجب أن نستخدم قواعد المنتج والسلسلة. لا تعتقد أنه يجب أن تكون قادرًا على "رؤية" الإجابة بالكامل على الفور ؛ بدلاً من ذلك ، ما عليك سوى المتابعة خطوة بخطوة. [f ^ prime (x) = x ^ 5 big (6x ^ 2 cos 2x ^ 3 big) + 5x ^ 4 big ( sin 2x ^ 3 big) = 6x ^ 7 cos2x ^ 3 + 5x ^ 4 sin 2x ^ 3. ]
  2. يجب أن نستخدم قاعدة الحاصل جنبًا إلى جنب مع قاعدة السلسلة. مرة أخرى ، تابع خطوة بخطوة. [ start {align *} f ^ prime (x) = dfrac {e ^ {- x ^ 2} big (15x ^ 2 big) - 5x ^ 3 big ((- 2x) e ^ {- x ^ 2} big)} { big (e ^ {- x ^ 2} big) ^ 2} & = dfrac {e ^ {- x ^ 2 } كبير (10x ^ 4 + 15x ^ 2 كبير)} {e ^ {- 2x ^ 2}} & = e ^ {x ^ 2} big (10x ^ 4 + 15x ^ 2 big). النهاية {محاذاة *} ]

المفتاح لحل هذه المشاكل بشكل صحيح هو تقسيم المشكلة إلى أجزاء أصغر وأكثر قابلية للإدارة. على سبيل المثال ، عند استخدام قواعد المنتج والسلسلة معًا ، ما عليك سوى التفكير في الجزء الأول من قاعدة المنتج في البداية: (f (x) g ^ prime (x) ). فقط أعد كتابة (f (x) ) ، ثم ابحث عن (g ^ prime (x) ). ثم انتقل إلى الجزء (f ^ prime (x) g (x) ). لا تحاول معرفة كلا الجزأين في وقت واحد.

وبالمثل ، باستخدام قاعدة الحاصل ، اقترب من البسط في خطوتين وتعامل مع المقام بعد إكمال ذلك. تبسيط فقط بعد ذلك.

يمكننا أيضًا استخدام قاعدة السلسلة نفسها عدة مرات ، كما هو موضح في المثال التالي.

مثال 64: استخدام قاعدة السلسلة عدة مرات

أوجد مشتق (y = tan ^ 5 (6x ^ 3-7x) ).

حل

ندرك أن لدينا وظيفة (g (x) = tan (6x ^ 3-7x) ) "داخل" الدالة (f (x) = x ^ 5 ) ؛ أي لدينا ( y = big ( tan (6x ^ 3-7x) big) ^ 5 ). نبدأ في استخدام قاعدة القوة العامة ؛ في هذه الخطوة الأولى ، لا نحسب المشتق بالكامل. بدلاً من ذلك ، نقترب من هذه الخطوة --خطوة.

[y ^ prime = 5 big ( tan (6x ^ 3-7x) big) ^ 4 cdot g ^ prime (x). ]

نجد الآن (g ^ prime (x) ). نحتاج مرة أخرى إلى قاعدة السلسلة ؛ [g ^ prime (x) = sec ^ 2 (6x ^ 3-7x) cdot (18x ^ 2-7). ] ادمج هذا مع ما وجدناه أعلاه لتقديمه

[ start {align *} y ^ prime & = 5 big ( tan (6x ^ 3-7x) big) ^ 4 cdot sec ^ 2 (6x ^ 3-7x) cdot (18x ^ 2-7) & = (90x ^ 2-35) sec ^ 2 (6x ^ 3-7x) tan ^ 4 (6x ^ 3-7x). النهاية {محاذاة *} ]

هذه الوظيفة هي بصراحة وظيفة سخيفة ، ليس لها قيمة عملية حقيقية. من الصعب جدًا رسم رسم بياني ، نظرًا لأن دالة الظل لها العديد من الخطوط المقاربة العمودية و (6x ^ 3-7x ) تنمو بسرعة كبيرة. الشيء المهم الذي يجب تعلمه من هذا هو أنه يمكن إيجاد المشتق. في الواقع ، هذا ليس "صعبًا" ؛ يجب على المرء أن يتخذ عدة خطوات بسيطة وأن يكون حريصًا على تتبع كيفية تطبيق كل خطوة من هذه الخطوات.

إنه تمرين رياضي تقليدي للعثور على مشتقات وظائف معقدة بشكل تعسفي فقط لإثبات ذلك يمكن القيام به. فقط قسّم كل شيء إلى قطع أصغر.

مثال 65: استخدام قواعد الضرب والحاصل والسلسلة

أوجد مشتق (f (x) = dfrac {x cos (x ^ {- 2}) - sin ^ 2 (e ^ {4x})} { ln (x ^ 2 + 5x ^ 4) }. )

حل

من المحتمل ألا يكون لهذه الوظيفة أي استخدام عملي خارج إظهار المهارات المشتقة. الجواب معطى أدناه دون تبسيط. يستخدم قاعدة الحاصل ثلاث مرات وقاعدة المنتج وقاعدة السلسلة.

[f ^ prime (x) = dfrac { Big ( ln (x ^ 2 + 5x ^ 4) Big) cdot Big [ big (x cdot (- sin (x ^ {- 2})) cdot (-2x ^ {- 3}) + 1 cdot cos (x ^ {- 2}) big) -2 sin (e ^ {4x}) cdot cos (e ^ {4x}) cdot (4e ^ {4x}) Big] - Big (x cos (x ^ {- 2}) - sin ^ 2 (e ^ {4x}) Big) cdot dfrac {2x + 20x ^ 3} {x ^ 2 + 5x ^ 4}} { big ( ln (x ^ 2 + 5x ^ 4) big) ^ 2}. ]

يتم تشجيع القارئ بشدة على النظر إلى كل مصطلح والتعرف على سبب وجوده. (على سبيل المثال ، يتم استخدام قاعدة الحاصل ؛ في البسط ، حدد مصطلح "LOdHI" ، وما إلى ذلك) يوضح هذا المثال أنه يمكن حساب المشتقات بشكل منهجي ، بغض النظر عن مدى تعقيد الوظيفة بشكل تعسفي.

ولقاعدة السلسلة أيضًا قيمة نظرية. بمعنى ، يمكن استخدامه لإيجاد مشتقات الدوال التي لم نتعلمها بعد كما فعلنا في المثال التالي.

مثال 66: قاعدة السلسلة والوظائف الأسية

استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد مشتق (y = a ^ x ) حيث (a> 0 ) ، (a neq 1 ) ثابت.

حل

نحن نعرف فقط كيفية إيجاد مشتق دالة أسية واحدة: (y = e ^ x )؛ تطلب منا هذه المسألة إيجاد مشتق من الدوال مثل (y = 2 ^ x ).

يمكن تحقيق ذلك بإعادة كتابة (a ^ x ) بدلالة (e ). بتذكر أن (e ^ x ) و ( ln x ) هي وظائف معكوسة ، يمكننا الكتابة

[a = e ^ { ln a} quad text {and so} quad y = a ^ x = e ^ { ln (a ^ x)}. لا يوجد رقم]

من خلال خاصية الأس اللوغاريتمات ، يمكننا أن "نهدم '' القوة للحصول على

[y = a ^ x = e ^ {x ( ln a)}. لا يوجد رقم]

الوظيفة الآن هي التركيب (y = f (g (x)) ) ، مع (f (x) = e ^ x ) و (g (x) = x ( ln a) ). بما أن (f ^ prime (x) = e ^ x ) و (g ^ prime (x) = ln a ) ، تعطي قاعدة السلسلة

[y ^ prime = e ^ {x ( ln a)} cdot ln a. لا يوجد رقم]

تذكر أن الحد (e ^ {x ( ln a)} ) على الجانب الأيمن هو فقط (a ^ x ) ، وظيفتنا الأصلية. وهكذا ، فإن المشتق يحتوي على الوظيفة الأصلية نفسها. نحن لدينا

[y ^ prime = y cdot ln a = a ^ x cdot ln a. لا يوجد رقم]

تسمح لنا قاعدة السلسلة ، إلى جانب القاعدة المشتقة لـ (e ^ x ) ، بإيجاد مشتقات جميع الدوال الأسية.

أنتج المثال السابق نتيجة جديرة بـ "الصندوق" الخاص به.

نظرية 20: مشتقات الدوال الأسية

دع (f (x) = a ^ x ) ، لـ (a> 0 ، a neq 1 ). ثم (f ) قابل للتفاضل لجميع الأعداد الحقيقية و

[f ^ prime (x) = ln a cdot a ^ x. لا يوجد رقم]

تدوين قاعدة السلسلة البديلة

من المفيد أن نفهم كيف تبدو قاعدة السلسلة "" باستخدام تدوين " ( dfrac {dy} {dx} )" بدلاً من تدوين (y ^ prime ). افترض أن (y = f (u) ) دالة لـ (u ) ، حيث (u = g (x) ) هي دالة لـ (x ) ، كما هو مذكور في النظرية 18. ثم ، من خلال التكوين (f circ g ) ، يمكننا التفكير في (y ) كدالة لـ (x ) ، مثل (y = f (g (x)) ). وبالتالي فإن مشتق (ص ) فيما يتعلق (س ) منطقي ؛ يمكننا التحدث عن ( dfrac {dy} {dx}. ) وهذا يؤدي إلى تطور مثير للاهتمام في التدوين:

[ start {align *} y ^ prime & = f ^ prime (g (x)) cdot g ^ prime (x) dfrac {dy} {dx} & = y ^ prime ( u) cdot u ^ prime (x) quad text {(منذ (y = f (u) ) و (u = g (x) ))} dfrac {dy} {dx } & = dfrac {dy} {du} cdot dfrac {du} {dx} quad text {(باستخدام الترميز "fractional '' للمشتق)} end {align *} ]

هنا يبرز الجانب "الكسري" من التدوين المشتق. على الجانب الأيمن ، يبدو كما لو أن مصطلحات " (du ) '' تلغي ، مع ترك [ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {dx}. ]

من المهم أن ندرك أننا غير صحيح إلغاء هذه الشروط ؛ إن التدوين المشتق لـ ( dfrac {dy} {dx} ) هو رمز واحد. من المهم بنفس القدر أن ندرك أن هذا الترميز قد تم اختياره على وجه التحديد بسبب هذا السلوك. يجعل تطبيق قاعدة السلسلة أمرًا سهلاً مع متغيرات متعددة. على سبيل المثال،

[ dfrac {dy} {dt} = dfrac {dy} {d bigcirc} cdot dfrac {d bigcirc} {d triangle} cdot dfrac {d triangle} {dt}. ]

حيث ( bigcirc ) و ( المثلث ) هي أي متغيرات ترغب في استخدامها.

إحدى الطرق الأكثر شيوعًا "لتصور" قاعدة السلسلة هي النظر في مجموعة من التروس ، كما هو موضح في الشكل 2.18. تحتوي التروس على 36 و 18 و 6 أسنان على التوالي. هذا يعني أنه لكل ثورة في (س ) ترس ، يدور الترس مرتين. أي أن المعدل الذي يصنع به الترس ثورة هو ضعف السرعة التي يحدث بها الترس (س ) ثورة. باستخدام مصطلحات حساب التفاضل والتكامل ، فإن معدل (u ) - التغيير ، بالنسبة إلى (x ) ، هو ( dfrac {du} {dx} = 2 ).

وبالمثل ، فإن كل ثورة في (u ) تسبب 3 ثورات من (y ): ( dfrac {dy} {du} = 3 ). كيف يتغير (ص ) بالنسبة إلى (س )؟ لكل ثورة (س ) ، (ص ) تدور 6 مرات ؛ هذا هو ، [ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy} {du} cdot dfrac {du} {dx} = 2 cdot 3 = 6. ]

يمكننا بعد ذلك تمديد قاعدة السلسلة بمزيد من المتغيرات عن طريق إضافة المزيد من التروس إلى الصورة.

من الصعب المبالغة في أهمية قاعدة السلسلة. غالبًا ما تكون الدوال التي نتعامل معها عبارة عن تراكيب من وظيفتين أو أكثر ، مما يتطلب منا استخدام هذه القاعدة لحساب المشتقات. غالبًا ما يتم استخدامه في الممارسة عندما تكون الوظائف الفعلية غير معروفة. بدلاً من ذلك ، من خلال القياس ، يمكننا حساب ( dfrac {dy} {du} ) و ( dfrac {du} {dx} ). من خلال معرفتنا بقاعدة السلسلة ، يكون العثور على ( dfrac {dy} {dx} ) أمرًا سهلاً.

في القسم التالي ، نستخدم قاعدة السلسلة لتبرير أسلوب تمايز آخر. هناك العديد من المنحنيات التي يمكننا رسمها في المستوى والتي تفشل في "اختبار الخط العمودي". على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) ، الذي يصف دائرة الوحدة. ربما لا نزال مهتمين في العثور على منحدرات خطوط المماس للدائرة عند نقاط مختلفة. يوضح القسم التالي كيف يمكننا إيجاد ( dfrac {dy} {dx} ) بدون حل أولاً "لـ (y ). '' بينما يمكننا ذلك هذا المثال ، في العديد من الحالات الأخرى ، يكون حل (y ) مستحيلًا. في هذه الحالات ، الاشتقاق الضمني لا غنى عنه.


قاعدة السلسلة

لنفترض أننا نريد إيجاد مشتق y = (x 2 + 3x + 1) 2. نأمل أن نضربها ثم نأخذ المشتقة بصعوبة بسيطة. ولكن ، ماذا لو كانت y = (x 2 + 3x + 1) 50 بدلاً من ذلك؟ هل تريد تطبيق نفس الطريقة على هذه المشكلة؟ بالتاكيد لا. بدلاً من ذلك ، نحتاج إلى طريقة للتعامل مع الدوال المركبة ، الوظائف التي تعتبر وظيفة واحدة مطبقة على أخرى. على سبيل المثال ، إذا تركنا u = f (x) = (x 2 + 3x + 1) و g (u) = u 2 ثم y = (x 2 + 3x + 1) 2 = g (f (x)). هذا هو مكتوب في بعض الأحيان

. يُقرأ هذا "g composite f."

هدفنا هو إيجاد المشتقة

بناءً على معرفتنا بالوظائف f و g. الآن ، نحن نعرف ذلك

يقترح تدوين لايبنيز التفاضلي أنه ربما يمكن معاملة المشتقات ككسور ، مما يؤدي إلى التكهنات بأن

هذا يؤدي إلى قاعدة السلسلة (المحتملة):

دعنا نطبق هذا على مثالنا ونرى ما إذا كان يعمل. أولًا ، سنضرب الناتج ثم نخرج المشتقة. ثم سنطبق قاعدة السلسلة ونرى ما إذا كانت النتائج متطابقة:

لذا ، فإن قاعدتنا تتحقق ، على الأقل في هذا المثال. اتضح أن هذه القاعدة تنطبق على جميع الوظائف المركبة ، ولا تقدر بثمن لأخذ المشتقات.

تسمى هذه القاعدة بقاعدة السلسلة لأننا نستخدمها لأخذ مشتقات سماد الوظائف من خلال ربط مشتقاتها ببعضها البعض. يمكن أن تكون قاعدة السلسلة على الرغم من أخذ مشتق الوظيفة الخارجية (المطبقة على الوظيفة الداخلية) وضربها في مشتق الوظيفة الداخلية.

المناقشة الواردة هنا ليست بأي حال من الأحوال دليلاً ولا ينبغي أن ترضي أي قارئ. يمكن العثور على دليل على قاعدة السلسلة هنا. من فضلك انظر إليها.

ربما يكون الفشل في تطبيق قاعدة السلسلة هو الخطأ الأكثر شيوعًا في حساب التفاضل. تذكر أن قاعدة السلسلة تنطبق على جميع الدوال المركبة.


رياضيات 131: التفاضل والتكامل التطبيقي

حساب التفاضل والتكامل التطبيقي لجامعة لويولا في شيكاغو (تم تعبئته مع WileyPlus) بواسطة Deborah Hughes-Hallett ، وآخرون.

الفصل 1: أسس حساب التفاضل والتكامل: الوظائف والحدود
1.1 الوظائف والتغيير
1.2 وظائف أسية
1.3 وظائف جديدة من القديم
1.4 الدالات اللوغاريتمية
1.5 الدوال المثلثية
1.6 القوى ومتعددة الحدود والوظائف العقلانية
1.7 مقدمة في الاستمرارية
1.8 حدود
الفصل 2: المفهوم الأساسي: المشتق
2.1 كيف نقيس السرعة؟
2.2 المشتق عند نقطة
2.3 الدالة المشتقة
2.4 تفسيرات المشتقات
2.5 المشتق الثاني
الفصل 3: اختصارات التمايز
3.1 القوى ومتعددة الحدود
3.2 الوظيفة الأسية
3.3 المنتج وقواعد الحاصل
3.4 قاعدة السلسلة
3.5 الدوال المثلثية
3.6 قاعدة السلسلة والدوال المعكوسة
الفصل 4: استخدام المشتق
4.1 باستخدام المشتقات الأولى والثانية
4.2 الاقوي
4.3 التحسين والنمذجة
4.4 عائلات الوظائف والنمذجة
4.5 تطبيقات على الهامش
4.7 قاعدة L’Hopital والنمو والسيطرة
الفصل 5: المفهوم الأساسي: التكامل المحدد
5.1 كيف نقيس المسافة المقطوعة؟
5.2 لا يتجزأ المحدد
5.3 النظرية الأساسية والتفسيرات
5.4 نظريات حول التكاملات المحددة
الفصل 6: بناء المشتقات العكسية
6.1 المشتقات العكسية بيانيا وعدديا
6.2 بناء المشتقات العكسية تحليليا
6.3 [اختياري] المعادلات التفاضلية والحركة

الفصل 1: مؤسسة حساب التفاضل والتكامل: الوظائف والحدود

1. الوظائف والتغيير: 1 ، 8 ، 13 ، 16 ، 23 ، 27 ، 31 ، 33 ، 53 ، 55 ، 70 (بدون WP *)

2. الدوال الأسية: 2 ، 5 ، 6 ، 8 ، 10 ، 16 ، 17 ، 31 ، 38 ، 39

3. وظائف جديدة من القديم: 9 ، 13 ، 14 ، 28 ، 32 ، 43 ، 45 ، 50 ، 51 ، 52 ، 56 ، 61 ، 68 ، 19 ، 71

4. الدوال اللوغاريتمية: 2 ، 4 ، 6 ، 7 ، 12 ، 16 ، 19 ، 24 ، 26 ، 30 ، 36 ، 45 ، 47 ، 48

5. الدوال المثلثية: 6 ، 10 ، 12 ، 18 ، 20 ، 30 ، 31 ، 33 ، 62 ، 63 ، 68

6. القوى ومتعددة الحدود والوظائف العقلانية: 3 ، 6 ، 8 ، 9 ، 12 ، 15 ، 17 ، 19 ، 47 (بدون WP) ، 50 ، 52 ، 54

7. مقدمة عن الحدود والاستمرارية: 2 ، 3 ، 12 (بدون WP) ، 14 (بدون WP) ، 24 (بدون WP) ، 26 (بدون WP) ، 28 (بدون WP) ، 31 (بدون WP) ، 39 (بدون WP) ) ، 43 (بدون WP) ، 49 (بدون WP)

8. تمديد فكرة لحد: 4 ، 6 ، 31 ، 33 ، 38 ، 45 ، 52 (بدون WP)

الفصل 2: المفهوم الأساسي: المشتق

2.1 كيف نقيس السرعة ؟: 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 10 ، 15 ، 16 ، 17 ، 21 ، 22 ، 29 ، 31 ، 33

2.2 المشتق عند نقطة ما: 1 ، 3 ، 4 ، 8 ، 10 ، 19 ، 22 ، 23 (بدون WP) ، 32 ، 37 ، 47 ، 56 ، 60 ، 63

2.3 الوظيفة المشتقة: 1 ، 2 ، 5 ، 13 ، 20 ، 22 ، 33 ، 49 ، 50 ، 52

2.4 تفسيرات المشتق: 2 ، 3 ، 9 ، 12 (بدون WP) ، 17 ، 19 ، 24 (بدون WP) ، 27 ، 33 ، 38 ، 51 ، 54 (بدون WP)

2.5 المشتق الثاني: 2 ، 3 ، 8 ، 9 ، 12 ، 14 ، 15 ، 25 ، 37 ، 38 ، 41

الفصل 3: اختصارات التمايز

3.1 القوى ومتعددة الحدود: 6 ، 10 ، 11 ، 14 ، 18 ، 23 ، 25 ، 28 ، 30 ، 32 ، 35 ، 38 ، 48 ، 58 ، 70 ، 75 ، 99

3.2 الوظيفة الأسية: 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 ، 12 ، 13 ، 17 ، 24 ، 42 ، 44 ، 46 ، 49 ، 58

3.3 قواعد المنتج والحاصل: 4 ، 6 ، 7 ، 10 ، 12 ، 16 ، 19 ، 20 ، 24 ، 28 ، 31 ، 43 ، 47 ، 52 ، 90

3.4 قاعدة السلسلة: 2 ، 4 ، 7 ، 11 ، 17 ، 18 ، 28 ، 33 ، 43 ، 45 ، 48 ، 58 ، 60 ، 61 ، 67 ، 70 ، 73 ، 77 ، 86

3.5 الدوال المثلثية: 4 ، 8 ، 10 ، 12 ، 16 ، 19 ، 22 ، 24 ، 26 ، 30 ، 36 ، 38 ، 45 ، 61

3.6 قاعدة السلسلة والدوال المعكوسة: 1 ، 9 ، 12 ، 13 ، 17 ، 22 ، 25 ، 26 ، 28 ، 30 ، 32 ، 35 ، 38 ، 39 ، 41 ، 50

الفصل 4: استخدام المشتق

4.1 باستخدام المشتقات الأولى والثانية: 1 ، 5 ، 18 ، 25 ، 32 ، 34 ، 35 ، 36 ، 37 ، 40 ، 52 ، 53 ، 59

4.2 التحسين: 4 ، 6 ، 7 ، 8 ، 10 ، 13 ، 18 ، 19 ، 30 ، 37 ، 39 ، 40 ، 43

4.3 التحسين والنمذجة: 5 ، 6 ، 7 ، 9 ، 11 ، 14 ، 18 ، 22 ، 25 ، 27 ، 38 ، 39 ، 45

4.4 عائلات الوظائف والنمذجة: 3 ، 4 ، 16 ، 25 ، 26 ، 47 ، 49 ، 50 ، 51 ، 57 ، 63

4.5 تطبيقات التهميش: 1 ، 4 ، 7 ، 12 ، 13 ، 15 ، 16 ، 18

4.7 قاعدة L’Hopital ، والنمو ، والسيطرة: 6 ، 11 ، 35 ، 41 ، 42 ، 48 ، 53 ، 58 ، 59 ، 65 ، 67 ، 76 ، 87

الفصل 5: المفهوم الأساسي: التكامل المحدد

5.1كيف نقيس المسافة المقطوعة ؟: 1 ، 2 ، 4 ، 8 ، 14 ، 15 ، 23 ، 25 ، 28

5.2التكامل المحدد: 4 ، 8 ، 12 ، 24 ، 29 ، 30 ، 32 ، 36

5.3النظرية الأساسية والتفسيرات: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 7 ، 9 ، 10 ، 12 ، 14 ، 16 ، 18 ، 22 ، 30

5.4نظريات حول التكاملات المحددة: 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 7 ، 8 ، 11 ، 14 ، 16 ، 19 ، 25 ، 26 ، 28 ، 30 ، 33

الفصل 6: بناء المشتقات العكسية

6.1المشتقات العكسية بيانيًا وعدديًا: 3 ، 6 ، 13 ، 15 ، 20 ، 25 ، 33

6.2بناء المشتق التحليلي العكسي: 7 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 15 ، 18 ، 20 ، 21 ، 26 ، 28 ، 30 ، 31 ، 35 ، 41 ، 44 ، 50 ، 55 ، 56 ، 57 ، 58 ، 60 ، 65

* لا تعني WP أن المشكلة ليست في WileyPlus ويجب إكمالها من الكتاب المدرسي.


كيفية استخدام قاعدة السلسلة للمشتقات

افترض أن $ displaystyle h (x) = sin (x ^ 2) $. أوجد $ h '(x) $.

إجابه

مثال 2

افترض أن $ displaystyle f (x) = sqrt$. أوجد $ f '(x) $.

اكتب الجذر التربيعي في صورة الأس.

استخدم قاعدة القوة وقاعدة السلسلة.

الخطوه 3

(اختياري) اكتب المشتق بصيغة جذرية.

$ تبدأ f '(x) & = frac 3 2 x ^ 2 (x ^ 3 + 2) ^ <- 1/2> [6pt] & = frac 3 2 x ^ 2 cdot frac 1 > [6pt] & = frac 3 2 x ^ 2 cdot frac 1 < sqrt> [6pt] & = frac <3x ^ 2> <2 sqrt> النهاية $

مثال 3

استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد $ displaystyle frac d يسار ( ثانية x يمين) $.

أعد كتابة الدالة بدلالة جيب التمام.

$ ثانية x = frac 1 < cos x> = كبير ( cos x كبير) ^ <-1> $

اشتق باستخدام قاعدة السلسلة.

$ تبدأ فارك د يسار ( ثانية س يمين) & = فارك د left [( cos x) ^ <-1> right] [6pt] & = -1 ( cos x) ^ <-2> cdot (- sin x) [6pt] & = - frac 1 < cos ^ 2 x> cdot (- sin x) [6pt] & = frac < sin x> < cos ^ 2 x> end $

بسّط عن طريق الفصل إلى كسرين واستخدام المتطابقات المثلثية.

$ تبدأ فارك د left ( sec x right) & = frac < sin x> < cos ^ 2 x> [6pt] & = frac 1 < cos x> cdot frac < sin x> < cos x> [6pt] & = sec x tan x end $

$ displaystyle frac d يسار ( sec x right) = sec x tan x $

مثال 4

لاحظ أن هذه الوظيفة ستتطلب كلاً من قاعدة المنتج وقاعدة السلسلة.

تحديد العوامل في الوظيفة.

اشتق باستخدام قاعدة الضرب.

الخطوه 3

(اختياري) حلل المشتق إلى عوامل.

$ تبدأ و '(س) & = -2x أزرق> sin (x ^ 3) + blue> ، 3x ^ 2 cos (x ^ 3) [6pt] & = blue> يسار (-2 أحمر س خطيئة (س ^ 3) + 3 أحمر cos (x ^ 3) right) [6pt] & = red xe ^ <- x ^ 2> left (-2 sin (x ^ 3) + 3x cos (x ^ 3) right ) [6pt] & = xe ^ <- x ^ 2> left (3x cos (x ^ 3) -2 sin (x ^ 3) right) end $

$ displaystyle f '(x) = xe ^ <- x ^ 2> left (3x cos (x ^ 3) -2 sin (x ^ 3) right) $.

مثال 5

لاحظ أن $ f $ عبارة عن تكوين من ثلاث وظائف. هذا يعني أننا سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة مرتين.

اكتب الجذر التربيعي في صورة أس.

استخدم قاعدة الأس وقاعدة السلسلة للجذر التربيعي.

أوجد مشتق جيب التمام.

$ f '(x) = frac 1 2 [ cos (5x + 1)] ^ <- 1/2> cdot left (- sin ( red <5x + 1)> right) cdot فارك د ( أحمر <5x + 1>) $

أوجد مشتق التابع الخطي.

$ f '(x) = frac 1 2 [ cos (5x + 1)] ^ <- 1/2> cdot left (- sin (5x + 1) right) cdot 5 $

$ تبدأ٪ f '(x) & = frac 1 2 [ cos (5x + 1)] ^ <- 1/2> cdot left (- sin (5x + 1) right) cdot 5 [ 6pt] & = - frac 5 2 [ cos (5x + 1)] ^ <- 1/2> cdot left ( sin (5x + 1) right) [6pt] & = - frac 5 2 cdot frac 1 <[ cos (5x + 1)] ^ <1/2 >> cdot left ( sin (5x + 1) right) [6pt] & = - frac < 5 sin (5x + 1)> <2 sqrt < cos (5x + 1) >> النهاية $


حساب التفاضل والتكامل الأول: الأنشطة

خاصية إضافية للمشتقات هي التي تتناول تكوين الوظائف. بالإضافة إلى كونها مفيدة في حساب المشتقات ، فإنها تتيح مجموعة متنوعة من التطبيقات.

القسم الفرعي 2.4.1 يوضح قاعدة السلسلة

نقطة تفتيش 2.4.1. رسم توضيحي لقاعدة السلسلة.

لنفترض أن لكل مجرفة مليئة بالفحم محركًا بخاريًا ينتج 1000 رطل لكل بوصة مربعة ، ولكل 2000 رطل لكل بوصة مربعة يسافر القطار ميلًا واحدًا.

  1. ما هو معدل psi للفحم؟
  2. ما هو معدل الأميال إلى psi؟
  3. ما هو معدل الفحم بالأميال؟
  4. اكتب دالة تنتج psi مع الأخذ في الاعتبار عدد مجارف الفحم.
  5. احسب مشتق هذه الدالة.
  6. اكتب دالة تنتج الأميال بمعلومية psi.
  7. احسب مشتق هذه الدالة.
  8. اكتب دالة تنتج الأميال مع الأخذ في الاعتبار عدد مجارف الفحم باستخدام الوظيفتين السابقتين.
  9. احسب مشتق هذه الدالة.
  1. ما هو معدل psi للفحم؟ (1000 نص / 1 نص <مجرفة> )
  2. ما هو معدل الأميال إلى psi؟ (1 نص <ميل> / 2000 نص <رطل> )
  3. ما هو معدل الفحم بالأميال؟ ( frac <1000 text > <1 text > cdot frac <1 text <ميل >> <2000 text > = frac <1 text > <2 نص <مجارف >>. )
  4. اكتب دالة تنتج psi مع الأخذ في الاعتبار عدد مجارف الفحم. ( Psi (c text <مجارف>) = frac <1000 text > <1 text > c text . )
  5. احسب مشتق هذه الدالة. ( فارك= فارك <1000 نص <رطل >> < نص>. )
  6. اكتب دالة تنتج الأميال بمعلومية psi. (s (p text ) = frac <1 text <ميل >> <2000 text > p text . )
  7. احسب مشتق هذه الدالة. ( فارك= فارك <1 نص <ميل >> <2000 نص <رطل >>. )
  8. اكتب دالة تنتج الأميال بعدد مجارف الفحم باستخدام الوظيفتين السابقتين. (s ( Psi (c text )) = frac <1 text <ميل >> <2000 text > left ( frac <1000 text > <1 نص <مجرفة >> ج نص <مجارف> يمين) )
  9. احسب مشتق هذه الدالة. ( فارك= frac <1> <2000> cdot frac <1000> <1>. )

القسم الفرعي 2.4.2 الملكية والمثال

نظرية 2.4.2. حكم السلسلة.

إذا كان (g ) قابلاً للتفاضل عند (x ) و (f ) قابل للتفاضل عند (g (x) ) فإن (h = f circ g ) يكون قابلاً للتفاضل عند (x ) و

مثال 2.4.3. فهم تنفيذ قاعدة السلسلة.

احسب مشتق (h (x) = sqrt.)

مثال 2.4.4. باستخدام قاعدة السلسلة.

احسب مشتق (h (x) = sqrt.)

القسم الفرعي 2.4.3 التمايز الضمني

في بعض الأحيان نعرف معادلة تتضمن دالة قبل أن نعرف ما هي الوظيفة. لا يزال بإمكاننا حساب مشتقة هذه الدالة المجهولة.

مثال 2.4.5. استخدام التفاضل الضمني.

احسب (f '(x) ) معطى (f (x) ^ 2 + x ^ 2 = 2x + 3. )

نقطة تفتيش 2.4.6.

لاحظ في المثال 2.4.5 أنه يمكننا حساب الوظيفة من الخطوة الأولى. افعل هذا ثم احسب المشتق. قارن هذا بالنتيجة أعلاه.

مثال 2.4.7. استخدام التفاضل الضمني.

احسب (y ') نظرًا لأن (y ) هي دالة (x ) و (y ^ 2-5y + 6 = x. )

القسم الفرعي 2.4.4 الأسعار ذات الصلة

التمايز الضمني مطلوب في بعض التطبيقات. سيكون التعبير منطقيًا بعد النظر في الأمثلة.

مثال 2.4.8. المعدلات ذات الصلة: الحجم ونصف القطر.

يتم ضخ الهواء في بالون كروي بحيث يزداد حجمه بمعدل 100 ( نص^ 3 / نص. ) ما مدى سرعة زيادة نصف قطر البالون عندما يكون قطرها 50 سم؟

أولًا ، علينا البحث عن صيغة لحجم الكرة. إنه (V = frac <4> <3> pi r ^ 3. ) لاحظ بعد ذلك أنه تم إخبارنا أن التغيير في الحجم هو 100. التغيير في الحجم يعني أننا نعرف مشتق (V ) مع احترام الوقت. نلاحظ أيضًا أن الوقت ليس متغيرًا صريحًا (أي لا يوجد متغير (t )). ومن ثم ، لاستخدام هذه الصيغة ، نحتاج إلى اشتقاقها.

لاحظ أننا نحتاج إلى (r ') في النهاية لأن نصف القطر هو أيضًا دالة للوقت ، وبالتالي فإننا نستخدم التفاضل الضمني. أخيرًا ، يمكننا التعويض بالقيم المعطاة لنا. لاحظ (r = 25 ) سم لأن القطر 50 سم.

لاحظ أنه في المثال 2.4.8 معدل تغيير نصف القطر هو ذات صلة الى معدل من تغيير الحجم. هذا هو أصل الاسم.


قاعدة السلسلة

تعتبر قاعدة السلسلة واحدة من أكثر الأدوات المفيدة عند حساب المشتقات ، ولكن قد يكون من السهل أن تضيع في عملية تطبيق القاعدة. دعنا نرى ما إذا كان بإمكاننا جعل قاعدة السلسلة أسهل قليلاً وإلقاء نظرة على مجموعة من الأمثلة.

بالنظر إلى وظائف قابلة للتفاضل ويتم إعطاء مشتق التكوين بواسطة

لنعد كتابة هذا عن طريق الاتصال (لـ & # 8220outside & # 8221) و (لـ & # 8220inside & # 8221) ، لذا فإن قاعدة السلسلة هي:

خطوات استخدام قاعدة السلسلة:

  1. تحديد الوظيفة الخارجية والوظيفة الداخلية.
  2. أوجد مشتقات التابعين الخارجيين والدالة الداخلية.
  3. استخدم الصيغة أعلاه للحصول على المشتق الذي نريده.
  1. تُستخدم قاعدة السلسلة عندما يكون هناك دالة داخل دالة أخرى.
  2. تقول قاعدة السلسلة أن المشتق يشق طريقه من الخارج إلى الداخل.
  3. تنص قاعدة السلسلة على أخذ مشتق الدالة الخارجية ترك الداخل وشأنه. ثم اضرب في مشتق الداخل.
  4. يجب علينا أحيانًا استخدام قاعدة السلسلة جنبًا إلى جنب مع القواعد الأخرى مثل قواعد المنتج أو حاصل القسمة.

مثال 1. يميز

مثال 2. يميز

مثال 3. أي من الوظائف التالية تعتقد أنه بحاجة إلى قاعدة السلسلة.

  1. حكم السلسلة!
  2. حكم السلسلة!
  3. لا تحتاج & # 8217t إلى قاعدة السلسلة هنا. يمكنك إما استخدام قاعدة المنتج ، أو التوزيع ثم استخدام قاعدة الطاقة.
  4. يمكنك توزيع قاعدة القوة ثم استخدامها ، لكن هذا سيستغرق وقتًا طويلاً. بدلاً من ذلك ، استخدم قاعدة السلسلة.
  5. حكم السلسلة!
  6. حكم السلسلة!
  7. لا تحتاج & # 8217t إلى قاعدة السلسلة هنا. استخدم قاعدة المنتج.
  8. حكم السلسلة!

أوجد مشتقات الدالة التالية باتباع الخطوات أعلاه.

قاعدة السلسلة: الجزء 2

يمكن استخدام قاعدة السلسلة بالإضافة إلى قاعدة أخرى. سيساعدك على تذكر العبارة التالية لاستخدام قاعدة السلسلة:

خذ مشتق الدالة الخارجية ، تاركًا الداخل وشأنه ، ثم اضرب في مشتقة الداخل.


التمرين 3

احسب مشتق & # 160 h (x) = cos & # x2061 (2 x + 1) sin & # x2061 (x 2 + 3 x). + 3x).>

باستخدام قاعدة المنتج ، لدينا

بالنسبة للمشتقتين المتبقيتين ، علينا استخدام قاعدة السلسلة.

إذن ، باستخدام قاعدة السلسلة ، لدينا

h & # x2032 (x) = cos & # x2061 (2 x + 1) cos & # x2061 (x 2 + 3 x) & # x22C5 (x 2 + 3 x) & # x2032 & # x2212 sin & # x2061 ( 2 x + 1) & # x22C5 (2 x + 1) & # x2032 sin & # x2061 (x 2 + 3 x) = cos & # x2061 (2 x + 1) cos & # x2061 (x 2 + 3 x) (2 x + 3) & # x2212 sin & # x2061 (2 x + 1) (2) sin & # x2061 (x 2 + 3 x). displaystyle & amp = & amp displaystyle < cos (2x + 1) cos (x ^ <2> + 3x) cdot (x ^ <2> + 3x) '- sin (2x + 1) cdot (2x + 1 ) 'sin (x ^ <2> + 3x)> & amp & amp & amp = & amp displaystyle + 3x) (2x + 3) - الخطيئة (2x + 1) (2) sin (x ^ <2> + 3x).> end>>


صفحات موصي بها

نظرة عامة على الخصوصية

تعد ملفات تعريف الارتباط الضرورية ضرورية للغاية لكي يعمل موقع الويب بشكل صحيح. تتضمن هذه الفئة فقط ملفات تعريف الارتباط التي تضمن الوظائف الأساسية وميزات الأمان لموقع الويب. لا تخزن ملفات تعريف الارتباط هذه أي معلومات شخصية.

أي ملفات تعريف ارتباط قد لا تكون ضرورية بشكل خاص لكي يعمل موقع الويب ويتم استخدامها خصيصًا لجمع بيانات المستخدم الشخصية عبر التحليلات والإعلانات والمحتويات المضمنة الأخرى تسمى ملفات تعريف ارتباط غير ضرورية. من الضروري الحصول على موافقة المستخدم قبل تشغيل ملفات تعريف الارتباط هذه على موقع الويب الخاص بك.


مدونة Symbolab

غطينا في المنشورات السابقة قواعد الاشتقاق الأساسية ، والدوال المثلثية ، واللوغاريتمات ، والأس (انقر هنا). But we are still missing the most important rule dealing with compound functions, the chain rule.

Why is it so important? Because most of the functions you will have to derive, and later integrate, are most likely compound. For example sin(2x) is the composition of f(x)=sin(x) and g(x)=2x or √(x²-3x) is the composition of f(x)=√x and g(x)= x²-3x

The chain rule formula is as follows: (f(g(x)))’=f’(g(x)) *g’(x)
That is, the derivative of the composition of two functions equals the derivative of the outer function times the derivative of the inner function


Let’s start with an example to see how it works (click here):

Here’s a more complex example involving multiple applications of the chain rule (click here):

With the chain rule we put it all together you should be able to derive almost any function. There are some advanced topics to cover including inverse trig functions, implicit differentiation, higher order derivatives, and partial derivatives, but that’s for later.


مشاكل

Basic

Questions involving the chain rule will appear on homework, at least one Term Test and on the Final Exam. Such questions may also involve additional material that we have not yet studied, such as higher-order derivatives. You will also see chain rule in MAT 244 (Ordinary Differential Equations) and APM 346 (Partial Differential Equations). If the questions here do not give you enough practice, you can easily make up additional questions of a similar character. You can also find questions of this sort in any book on multivariable calculus.

Suppose that (f:R^3 o R) is of class (C^1) , and consider the function (phi:R^2 o R) defined by [ phi(x,y) = f(x^2-y, xy, xcos y) ] Express (partial_xphi) and (partial_y phi) in terms of (x,y) and partial derivatives of (f) .

Suppose that (f:R^2 o R) is of class (C^1) , and consider the function (phi:R^3 o R) defined by [ phi(x,y,z) = f(x^2-yz, xy+cos z) ] Express partial derivatives of (phi) with respect to (x,y,z) in terms of (x,y,z) and partial derivatives of (f) .

Suppose that (f:R^2 o R) is of class (C^1) . Let (S = <(r,s)in R^2 : s e 0>) , and for ((r,s)in S) , define (phi(r,s) = f(rs, r/s)) . Find formulas for (partial_rphi) and (partial_sphi) in terms of (r,s) and derivatives of (f) .

Suppose that (f:R^2 o R) is of class (C^1) . Let (S = <(x,y,z)in R^3 : z e 0>) , and for ((x,y,z)in S) , define (phi(x,y,z) = f(xy, y/z)) . Find formulas for partial derivatives of (phi) in terms of (x,y,z) and partial derivatives of (f) .

  1. Use the chain rule to find relations between different partial derivatives of a function. على سبيل المثال:

Suppose that (f:R o R) is of class (C^1) , and that (u = f(x^2+y^2+z^2)) . Prove that [ xpartial_y u - y partial_x u = 0 ] Suppose that (f:R^2 o R) is of class (C^1) , and that (u = f(x^2+y^2+z^2, y+ z)) . Prove that [ (y-z)partial_x u - x partial_y u + x partial_z u = 0. ]

Find the tangent plane to the set (ldots) at the point (mathbf a = ldots) . على سبيل المثال:

متقدم

  1. Let (q:R^n o R) be the (quadratic) function defined by (q(mathbf x) = |mathbf x|^2) . Determine ( abla q) (either by differentiating, or by remembering material from one of the tutorials.)
  2. Suppose that (mathbf x:R o R^3) is a function that describes the trajectory of a particle. Thus (mathbf x(t)) is the particle’s position at time (t) .
  • If (mathbf x) is differentiable, then we will write (<f v>(t) = mathbf x'(t)) , and we say that (<f v>(t)) is the velocity vector at time (t) .
  • Simlarly, if (f v) is differentiable, then we will write (<f a >(t)= <f v>'(t)) , and we say that (<f a>(t)) is the acceleration vector at time (t) .
  • We also say that (|<f v>(t)|) is the speed at time (t) .

Prove that the speed is constant if and only if $ a(t) v(t) = 0$ for all (t) .

For the next three exercises, let (M^) denote the space of (n imes n) matrices, We write a typical element of (M^) as a matrix (X) with entries: [ X = left( egin x_ <11>& cdots & x_<1n> vdots & ddots & vdots x_ & cdots & x_ نهاية ight) ] Define the function (det:M^ o R) by saying that (det(X)) is the determinant of the matrix. We can view this as a function of the variables (x_<11>,ldots, x_) .

Now consider (n imes n) matrices for an arbitrary positive integer (n) . Let (I) denote the (n imes n) identity matrix. Thus, in terms of the variables ((x_)) , (I) corresponds to [ x_=egin1& ext< if >i=j 0& ext< if >i e j end ] For every (i) and (j) , compute [ frac> det(I), ] This means: the derivative of the determinant function, evaluated at the identity matrix.

Hint There are two cases: (i=j) and (i e j) .

  1. Now suppose that (X(t)) is a “differentiable curve in the space of matrices”, in other words, that [ X(t) = left( eginx_<11>(t) & cdots & x_<1n>(t) vdots & ddots & vdots x_(t) & cdots & x_(t) end ight) ] where (x_(t)) is a differentiable function of (tin R) , for all (i,j) . Also suppose that (X(0) = I) .

Use the chain rule and the above exercise to find a formula for (left. frac d

det(X(t)) ight|_) in terms of (x_'(0)) , for (i,j=1,ldots, n) .

  1. Here we sketch a proof of the Chain Rule that may be a little simpler than the proof presented above. To simplify the set-up, let’s assume that (mathbf g:R o R^n) and (f:R^n o R) are both functions of class (C^1) . Define (phi = fcirc mathbf g) . Thus (phi) is a function (R o R) . Your goal is to compute its derivative at a point (tin R) . To simplify still further, let’s assume that (n=2) . Let’s write (mathbf g(t) = (x(t), y(t))) . Then [egin phi(t+h)-phi(t) &= f(mathbf g(t+h)) - f(mathbf g(t)) &= f( x(t+h), y(t+h)) - f(x(t),y(t)) &= [f( x(t+h), y(t+h)) - f(x(t+h),y(t))] &qquad qquadqquad+ [f(x(t+h),y(t)) -f(x(t),y(t))] . end] Starting from the above, mimic the proof of Theorem 3 in Section 2.1 to show that [ phi'(t) = lim_frac 1 h(phi(t+h)-phi(t) ) ext < exists and equals >fracfrac+ fracfrac, ] where the partial derivatives of (f) on the right-hand side are evaluated at ((x(t),y(t)) = mathbf g(t)) .

/>
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 2.0 Canada License.


شاهد الفيديو: The Chain Rule قاعدة السلسلةلأيجاد المشتقة (شهر اكتوبر 2021).