مقالات

2.1E: تمارين للقسم 2.1 - الرياضيات


للتمارين 1-3 نقاط (ف (1،2) ) و (س (س ، ص) ) على الرسم البياني للوظيفة (و (س) = س ^ 2 + 1 ).

1) [T] أكمل الجدول التالي بالقيم المناسبة: (y ) - إحداثيات (Q ) والنقطة (Q (x، y) ) وميل خط القاطع الذي يمر عبره النقاط (ف ) و (س ). قرب إجابتك لأقرب ثمانية أرقام معنوية.

(س ) (ص ) (س (س ، ص) ) (م_ {ثانية} )
1.1أ.ه.أنا.
1.01ب.F.ي.
1.001ج.ز.ك.
1.0001د.ح.ل.
إجابه
أ. 2.2100000
ب. 2.0201000
ج. 2.0020010
د. 2.0002000
ه. (1.1000000 ، 2.2100000)
F. (1.0100000 ، 2.0201000)
ز. (1.0010000 ، 2.0020010)
ح. (1.0001000 ، 2.0002000)
أنا. 2.1000000
ي. 2.0100000
ك. 2.0010000
ل. 2.0001000

2) استخدم القيم الموجودة في العمود الأيمن من الجدول في التمرين السابق لتخمين قيمة ميل الخط المماس إلى (f ) عند (س = 1 ).

3) استخدم القيمة في التمرين السابق لإيجاد معادلة خط المماس عند النقطة (P ). رسم بياني (f (x) ) وخط المماس.

إجابه
(ص = 2 س )

بالنسبة للتدريبات 4-6 ، النقاط (P (1،1) ) و (Q (x، y) ) موجودة على الرسم البياني للوظيفة (f (x) = x ^ 3 ).

4) [T] أكمل الجدول التالي بالقيم المناسبة: (y ) - إحداثيات (Q ) والنقطة (Q (x، y) ) وميل خط القاطع الذي يمر عبره النقاط (ف ) و (س ). قرب إجابتك لأقرب ثمانية أرقام معنوية.

(س ) (ص ) (س (س ، ص) ) (م_ {ثانية} )
1.1أ.ه.أنا.
1.01ب.F.ي.
1.001ج.ز.ك.
1.0001د.ح.ل 2

5) استخدم القيم الموجودة في العمود الأيمن من الجدول في التمرين السابق لتخمين قيمة ميل خط الظل إلى (f ) عند (س = 1 ).

إجابه
(3)

6) استخدم القيمة في التمرين السابق لإيجاد معادلة خط المماس عند النقطة (P ). رسم بياني (f (x) ) وخط المماس.

بالنسبة للتدريبات من 7 إلى 9 ، فإن النقاط (P (4،2) ) و (Q (x، y) ) موجودة على الرسم البياني للوظيفة (f (x) = sqrt {x} ) .

7) [T] أكمل الجدول التالي بالقيم المناسبة: (y ) - إحداثيات (Q ) والنقطة (Q (x، y) ) وميل خط القاطع الذي يمر عبره النقاط (ف ) و (س ). قرب إجابتك لأقرب ثمانية أرقام معنوية.

(س ) (ص ) (س (س ، ص) ) (م_ {ثانية} )
4.1أ.ه.أنا.
4.01ب.F.ي.
4.001ج.ز.ك.
4.0001د.ح.ل.
إجابه
أ. 2.024845
ب. 2.0024984
ج. 2.0002500
د. 2.0000250
ه. (4.1000000،2.0248457)
F. (4.0100000،2.0024984)
ز. (4.0010000،2.0002500)
ح. (4.00010000،2.0000250)
أنا. 0.24845673
ي. 0.24984395
ك. 0.24998438
ل. 0.24999844

8) استخدم القيم الموجودة في العمود الأيمن من الجدول في التمرين السابق لتخمين قيمة ميل خط الظل إلى (f ) عند (x = 4 ).

9) استخدم القيمة في التمرين السابق لإيجاد معادلة خط المماس عند النقطة (P ).

إجابه
(y = frac {x} {4} +1 )

للتمارين 10-12 ، النقاط (P (1.5،0) ) و (Q (ϕ، y) ) على الرسم البياني للوظيفة (f (ϕ) = cos (πϕ) ).

10) [T] أكمل الجدول التالي بالقيم المناسبة: (y ) - إحداثيات (Q ) والنقطة (Q (ϕ، y) ) وميل خط القاطع الذي يمر عبره النقاط (ف ) و (س ). قرب إجابتك لأقرب ثمانية أرقام معنوية.

(س ) (ص ) (س (ϕ ، ص) ) (م_ {ثانية} )
1.4أ.ه.أنا.
1.49ب.F.ي.
1.499ج.ز.ك.
1.4999د.ح.ل.

11) استخدم القيم الموجودة في العمود الأيمن من الجدول في التمرين السابق لتخمين قيمة ميل خط الظل إلى f عند (ϕ = 1.5 ).

إجابه
(π )

12) استخدم القيمة في التمرين السابق لإيجاد معادلة خط المماس عند النقطة (P ).

للتمارين من 13 إلى 15 ، النقاط (P (−1، −1) ) و (Q (x، y) ) موجودة على الرسم البياني للوظيفة (f (x) = frac {1} { س} ).

13) [T] أكمل الجدول التالي بالقيم المناسبة: (y ) - إحداثيات (Q ) والنقطة (Q (x، y) ) وميل خط القاطع الذي يمر عبره النقاط (ف ) و (س ). قرب إجابتك لأقرب ثمانية أرقام معنوية.

(س ) (ص ) (س (س ، ص) ) (م_ {ثانية} )
-1.05أ.ه.أنا.
-1.01ب.F.ي.
-1.005ج.ز.ك.
-1.001د.ح.ل.
إجابه
أ. −0.95238095
ب. −0.99009901
ج. 0.99502488
د. −0.99900100
ه. (−1؛ .0500000، −0؛ .95238095)
F. (−1؛ .0100000، −0؛ .9909901)
ز. (−1؛ .0050000، −0؛ .99502488)
ح. (1.0010000، 0؛ .99900100)
أنا. −0.95238095
ي. −0.99009901
ك. 0.99502488
ل. −0.99900100

14) استخدم القيم الموجودة في العمود الأيمن من الجدول في التمرين السابق لتخمين قيمة ميل الخط المماس إلى (f ) عند (x = −1 ).

15) استخدم القيمة في التمرين السابق لإيجاد معادلة خط المماس عند النقطة (P ).

إجابه
(ص = x − 2 )

بالنسبة للتدريبات من 16 إلى 17 ، يتم تحديد وظيفة وضع الكرة التي تم إسقاطها من أعلى مبنى يبلغ ارتفاعه 200 متر بواسطة (s (t) = 200−4.9t ^ 2 ) ، حيث يكون الموضع (s ) هو يقاس بالأمتار والوقت (t ) يقاس بالثواني. قرب إجابتك لأقرب ثمانية أرقام معنوية.

16) [T] احسب متوسط ​​سرعة الكرة على فترات زمنية معينة.

أ. [4.99،5]

ب. [5،5.01]

ج. [4.999،5]

د. [5،5.001]

17) استخدم التمرين السابق لتخمين السرعة اللحظية للكرة عند (t = 5 ) ثانية.

إجابه
(- 49 ) م / ثانية (سرعة الكرة 49 م / ثانية للأسفل)

للتمرينات 18-19 ، ضع في اعتبارك أن حجرًا مقذوفًا في الهواء من مستوى الأرض بسرعة ابتدائية 15 م / ثانية. ارتفاعه بالأمتار في الوقت t ثانية هو (h (t) = 15t − 4.9t ^ 2 ).

18) [T] احسب متوسط ​​سرعة الحجر خلال فترات زمنية معينة.

أ. [1،1.05]

ب. [1.11]

ج. [1،1.005]

د. [1،1.001]

19) استخدم التمرين السابق لتخمين السرعة اللحظية للحجر عند (t = 1 ) ثانية.

إجابه
(5.2 ) م / ثانية

في التدريبات من 20 إلى 21 ، ضع في اعتبارك إطلاق صاروخ في الهواء ثم يعود إلى الأرض. يُعطى ارتفاع الصاروخ بالأمتار بواسطة (h (t) = 600 + 78.4t − 4.9t ^ 2 ) ، حيث يقاس (t ) بالثواني.

20) [T] احسب متوسط ​​سرعة الصاروخ خلال فترات زمنية معينة.

أ. [9،9.01]

ب. [8.99،9]

ج. [9،9.001]

د. [8.999،9]

21) استخدم التمرين السابق لتخمين السرعة اللحظية للصاروخ عند (t = 9 ) ثانية.

إجابه
(- 9.8 ) م / ثانية

للتمارين الرياضية ، ضع في اعتبارك رياضيًا يركض مسافة 40 مترًا. يتم تحديد موقع الرياضي بواسطة (d (t) = frac {t ^ 3} {6} + 4t ) ، حيث (d ) هو الموضع بالأمتار و (t ) هو الوقت المنقضية ، تقاس بالثواني.

22) [T] احسب متوسط ​​سرعة العداء خلال فترات زمنية معينة.

أ. [1.95،2.05]

ب. [1.995،2.005]

ج. [1.9995،2.0005]

د. [2،2.00001]

23) استخدم التمرين السابق لتخمين السرعة اللحظية للعدّاء عند (t = 2 ) ثانية.

إجابه
(6 ) م / ثانية

للتمارين 24-25 ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = | x | ).

24) ارسم الرسم البياني (f ) على الفاصل الزمني [ (- 1،2 )] وقم بتظليل المنطقة فوق (س ) - المحور.

25) استخدم التمرين السابق للعثور على القيمة الدقيقة للمنطقة الواقعة بين المحور (x ) - والرسم البياني (f ) عبر الفترة [ (- 1،2 )] باستخدام المستطيلات. بالنسبة للمستطيلات ، استخدم الوحدات المربعة ، وقم بالتقريب فوق وتحت الأسطر. استخدم الهندسة للعثور على الإجابة الدقيقة.

إجابه
تحت 1 (وحدة ^ 2 ) ؛ فوق: 4 (وحدة ^ 2 ).
المساحة الدقيقة للمثلثين هي ( frac {1} {2} (1) (1) + frac {1} {2} (2) (2) = 2.5 وحدة ^ 2 ).

للتمارين من 26 إلى 27 ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = sqrt {1 − x ^ 2} ). (تلميح: هذا هو النصف العلوي من دائرة نصف قطرها 1 موضوعة في ( (0،0 )).)

26) ارسم الرسم البياني لـ f على الفاصل الزمني [ (- 1،1 )].

27) استخدم التمرين السابق لإيجاد المساحة الدقيقة بين المحور (x ) - والرسم البياني لـ (f ) عبر الفترة [ (- 1،1 )] باستخدام المستطيلات. بالنسبة للمستطيلات ، استخدم المربعات 0.4 × 0.4 وحدة ، وقم بالتقريب فوق وتحت السطور. استخدم الهندسة للعثور على الإجابة الدقيقة.

إجابه
تحت (0.96 ؛ نص {وحدات} ^ 2 ) ؛ أكثر ، (1.92 ؛ نص {وحدات} ^ 2 )).
المساحة الدقيقة لنصف الدائرة نصف القطر 1 هي ( frac {π (1) ^ 2} {2} = frac {π} {2} ؛ text {Units} ^ 2 )

للتمارين 28 - 29 ، ضع في اعتبارك الوظيفة (f (x) = - x ^ 2 + 1 ).

28) ارسم الرسم البياني (f ) خلال الفترة الزمنية [ (- 1،1 )].

29) قرب مساحة المنطقة الواقعة بين المحور (x ) - والرسم البياني (f ) خلال الفترة الفاصلة [ (- 1،1 )].

إجابه
تقريبًا (1.3333333 ؛ نص {وحدات} ^ 2 )

مخططات فين: تمارين

تمنحك مشاكل الكلمات في مخطط فين عمومًا تصنيفين أو ثلاثة ومجموعة من الأرقام. بعد ذلك ، يتعين عليك استخدام المعلومات المقدمة لملء الرسم التخطيطي ومعرفة المعلومات المتبقية. على سبيل المثال:

من بين أربعين طالبًا ، 14 طالبًا يدرسون تكوين اللغة الإنجليزية و 29 يدرسون الكيمياء.

  1. إذا كان هناك خمسة طلاب في كلا الصفين ، فكم عدد الطلاب في أي من الصفين؟
  2. كم عدد في أي من الفئتين؟
  3. ما هو احتمال أن يأخذ طالب تم اختياره عشوائيًا من هذه المجموعة حصة الكيمياء فقط؟

دليل طرق تقييم المخزون السمكي - الجزء الأول. تحليل أعداد الأسماك

صدرت نسخ أولية باللغة الإنجليزية من هذا الدليل كأوراق منظمة الأغذية والزراعة الفنية لمصايد الأسماك FIb / 40 ، 1964 FIb / 40 (Rev.1) ، 1965 FRs / 40 (Rev. 2) ، 1968. وقد استندت أو استخدمت كمحاضرة تلاحظ في مراكز التدريب المختلفة على النحو التالي:

خدمة الأسماك والحياة البرية الأمريكية

المجلس الدولي لاستكشاف البحار

منظمة الكومنولث للبحوث العلمية والصناعية

المجلس الدولي لاستكشاف البحار

وقد استندت التنقيحات المختلفة للدليل إلى حد كبير إلى مناقشات وخبرات هذه المراكز التدريبية. خلال هذه الفترة ، تم تقديم مساهمات لهذه المذكرات من قبل E.L. كاديما (الذي صاغ القسم الفرعي عن الرياضيات) ، R.J.H. بيفرتون ، آر جونز ، بي بي باريش ، ك. أندرسن ، إس. هولت ، ل. Boerema وغيرها.

صدرت ترجمة فرنسية لنسخة أولية ، M & eacutethodes d'analyse des Population de poissons ، التي ترجمها F. Baudin-Laurencin وآخرون ، من قبل مكتب البحوث العلمية والتقنية الخارجية ، بوانت نوار ، الكونغو في عام 1965. M & eacutetodos de an & aacutelisis de poblaciones de peces ، ترجمة إسبانية بقلم R.Coyula و N. Cruz و EL Cadima ، صدر عن Centro de Investigaciones Pesqueras ، كوبا ، في عام 1966. تضمنت هذه الترجمات بعض التعديلات والمراجعات ، والتي تم تضمينها في هذه النسخة النهائية.

& # 169 الفاو 1969
طبع في ايطاليا

تم مسح هذا المستند الإلكتروني ضوئيًا باستخدام برنامج التعرف الضوئي على الأحرف (OCR) والتصحيح اليدوي الدقيق. حتى لو كانت جودة الرقمنة عالية ، فإن منظمة الأغذية والزراعة ترفض المسؤولية الكاملة عن أي تناقضات قد تكون موجودة بين الوثيقة الحالية ونسختها الأصلية المطبوعة.


2.1E: تمارين للقسم 2.1 - الرياضيات

1. اشرح كيفية العثور على متغير الإدخال في مشكلة كلمة تستخدم دالة خطية.

2. اشرح كيفية العثور على متغير الإخراج في مسألة كلمة تستخدم دالة خطية.

3. اشرح كيفية تفسير القيمة الأولية في مسألة كلمة تستخدم دالة خطية.

4. اشرح كيفية تحديد الميل في المسألة الكلامية التي تستخدم دالة خطية.

5. أوجد مساحة متوازي الأضلاع التي يحدها ذ المحور ، الخط x = 3 الخط F(x) = 1 + 2x، والخط الموازي ل F(x) مرورا بـ (2 ، 7).

6. أوجد مساحة المثلث الذي يحده المحور x ، والخط [اللاتكس] f left (x right) = 12- frac <1> <3> x [/ latex] ، والخط العمودي على F(x) يمر عبر الأصل.

7. أوجد مساحة المثلث الذي يحده المحور y ، والخط [اللاتكس] f left (x right) = 9- frac <6> <7> x [/ latex] ، والخط العمودي على (x) يمر عبر الأصل.

8. أوجد مساحة متوازي الأضلاع التي يحدها المحور x ، الخط المستقيم ز(x) = 2 الخط F(x) = 3x، والخط الموازي ل F(x) مروراً بـ (6 ، 1).

بالنسبة للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: كان عدد سكان المدينة يتناقص بمعدل ثابت. في عام 2010 كان عدد السكان 5900. بحلول عام 2012 ، انخفض عدد السكان 4.700. افترض أن هذا الاتجاه مستمر.

9. توقع عدد السكان في عام 2016.

10. حدد السنة التي سيصل فيها عدد السكان إلى الصفر.

بالنسبة للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: تم زيادة عدد سكان المدينة بمعدل ثابت. في عام 2010 كان عدد السكان 46.020 نسمة. بحلول عام 2012 ، ارتفع عدد السكان إلى 52،070. افترض أن هذا الاتجاه مستمر.

11. توقع عدد السكان في عام 2016.

12. حدد السنة التي سيصل فيها عدد السكان إلى 75000 نسمة.

بالنسبة للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: يبلغ عدد سكان المدينة الأولي 75000 نسمة. ينمو بمعدل ثابت يبلغ 2500 في السنة لمدة 5 سنوات.

13. ابحث عن الدالة الخطية التي تمثل سكان المدينة ص كدالة في العام ، ر، أين ر هو عدد السنوات منذ بدء النموذج.

14. ابحث عن مجال ونطاق معقول للوظيفة ص.

15. إذا كانت الوظيفة ص رسم بياني ، ابحث عن وتفسير تقاطع x و y.

16. إذا كانت الوظيفة ص هو رسم بياني ، ابحث عن ميل الدالة ويفسره.

17. متى سيصل الناتج إلى 100000؟

18. ما هو الناتج خلال 12 سنة من بداية النموذج؟

بالنسبة للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: وزن المولود 7.5 أرطال. اكتسب الطفل نصف رطل شهريًا في عامه الأول.

19. ابحث عن الدالة الخطية التي تحدد وزن الطفل دبليو كدالة لعمر الطفل ، بالأشهر ، ر.

20. ابحث عن مجال ومدى معقول للوظيفة دبليو.

21. إذا كانت الوظيفة دبليو هو رسم بياني ، والعثور على وتفسير x& # 8211 و ذ- اعتراضات.

22. إذا كانت الوظيفة دبليو هو رسم بياني ، ابحث عن ميل الدالة ويفسره.

23. متى كان وزن الطفل 10.4 أرطال؟

24. ما هو الناتج عندما يكون الإدخال 6.2؟ فسر إجابتك.

بالنسبة للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: انخفض عدد الأشخاص المصابين بنزلات البرد في أشهر الشتاء بشكل مطرد بمقدار 205 كل عام من 2005 حتى 2010. في عام 2005 ، أصيب 12025 شخصًا.

25. أوجد الدالة الخطية التي تحدد عدد الأشخاص المصابين بنزلات البرد ج كدالة في العام ، ر.

26. ابحث عن مجال ومدى معقول للوظيفة ج.

27. إذا كانت الوظيفة ج هو رسم بياني ، والعثور على وتفسير x& # 8211 و ذ- اعتراضات.

28. إذا كانت الوظيفة ج هو رسم بياني ، ابحث عن ميل الدالة ويفسره.

29. متى سيصل الناتج إلى 0؟

30. في أي سنة سيكون عدد الناس 9700؟

للتمارين التالية ، استخدم الرسم البياني أدناه ، والذي يوضح الربح ، ذبآلاف الدولارات لشركة في سنة معينة ، ر، أين ر يمثل عدد السنوات منذ 1980.

31. أوجد الدالة الخطية ذ، أين ذ يعتمد على ر، عدد السنوات منذ 1980.

32. إيجاد وتفسير تقاطع y.

33. البحث عن وتفسير x- تقاطع.

34. إيجاد وتفسير المنحدر.

للتمارين التالية ، استخدم الرسم البياني أدناه ، والذي يوضح الربح ، ذبآلاف الدولارات لشركة في سنة معينة ، ر، أين ر يمثل عدد السنوات منذ 1980.

35. أوجد الدالة الخطية ذ، أين ذ يعتمد على ر، عدد السنوات منذ 1980.

36. البحث عن وتفسير ذ-تقاطع.

37. البحث عن وتفسير x-تقاطع.

38. إيجاد وتفسير المنحدر.

بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم قيم المنزل المتوسطة في ميسيسيبي وهاواي (معدلة للتضخم) الموضحة أدناه. افترض أن قيم المنزل تتغير خطيًا.

سنة ميسيسيبي هاواي
1950 $25,200 $74,400
2000 $71,400 $272,700

39. في أي ولاية ارتفعت قيمة المساكن بمعدل أعلى؟

40. إذا استمرت هذه الاتجاهات ، فما هو متوسط ​​قيمة المنزل في ولاية ميسيسيبي في عام 2010؟

41. إذا افترضنا أن الاتجاه الخطي كان موجودًا قبل عام 1950 واستمر بعد عام 2000 ، فإن القيم المتوسطة للمنازل في الولايتين ستكون (أو كانت) متساوية في أي سنة؟ (قد تكون الإجابة سخيفة).

للتدريبات التالية ، استخدم قيم المنزل المتوسطة في إنديانا وألاباما (معدلة للتضخم) الموضحة أدناه. افترض أن قيم المنزل تتغير خطيًا.

سنة إنديانا ألاباما
1950 $37,700 $27,100
2000 $94,300 $85,100

42. في أي ولاية ارتفعت قيمة المساكن بمعدل أعلى؟

43. إذا استمرت هذه الاتجاهات ، فما هو متوسط ​​قيمة المنزل في ولاية إنديانا في عام 2010؟

44. إذا افترضنا أن الاتجاه الخطي كان موجودًا قبل عام 1950 واستمر بعد عام 2000 ، فإن القيم المتوسطة للمنازل في الولايتين ستكون (أو كانت) متساوية في أي سنة؟ (قد تكون الإجابة سخيفة).

45- في عام 2004 ، كان عدد الملتحقين بالمدارس 1001. وبحلول عام 2008 ارتفع عدد السكان إلى 1697. افترض أن عدد السكان يتغير خطيًا.

أ. كم نما عدد السكان بين عامي 2004 و 2008؟
ب. كم من الوقت استغرق نمو عدد السكان من 1001 طالبًا إلى 1697 طالبًا؟
ج. ما هو متوسط ​​النمو السكاني سنويا؟
د. كم كان عدد السكان عام 2000؟
ه. ابحث عن معادلة للسكان ، ص، للمدرسة ر بعد عام 2000.
F. باستخدام المعادلة الخاصة بك ، توقع عدد سكان المدرسة في عام 2011.

46 - في عام 2003 ، بلغ عدد سكان المدينة 431 1 نسمة. بحلول عام 2007 نما عدد السكان إلى 2134. افترض أن السكان يتغيرون خطيًا.

أ. كم نما عدد السكان بين عامي 2003 و 2007؟
ب. كم من الوقت استغرق نمو عدد السكان من 1431 شخصًا إلى 2134 شخصًا؟
ج. ما هو متوسط ​​النمو السكاني سنويا؟
د. كم كان عدد السكان عام 2000؟
ه.ابحث عن معادلة للسكان ، ص للمدينة ر بعد عام 2000.
F. باستخدام المعادلة الخاصة بك ، توقع عدد سكان المدينة في عام 2014.

47. لدى شركة الهاتف خطة خلوية شهرية حيث يدفع العميل رسومًا شهرية ثابتة ثم مبلغًا معينًا من المال في الدقيقة المستخدمة على الهاتف. إذا استخدم العميل 410 دقيقة ، فستكون التكلفة الشهرية 71.50 دولارًا. إذا استخدم العميل 720 دقيقة ، فستكون التكلفة الشهرية 118 دولارًا.

أ. ابحث عن معادلة خطية للتكلفة الشهرية لخطة الخلية كدالة لـ x، هو عدد الدقائق الشهرية المستخدمة.
ب. فسر ميل وتقاطع y للمعادلة.
ج. استخدم المعادلة لإيجاد التكلفة الإجمالية الشهرية إذا تم استخدام 687 دقيقة.

48. لدى شركة الهاتف خطة بيانات خلوية شهرية حيث يدفع العميل رسومًا شهرية ثابتة قدرها 10 دولارات ثم مبلغًا معينًا من المال لكل ميغا بايت من البيانات المستخدمة على الهاتف. إذا كان العميل يستخدم 20 ميغابايت ، فستكون التكلفة الشهرية 11.20 دولارًا. إذا كان العميل يستخدم 130 ميغابايت ، فستكون التكلفة الشهرية 17.80 دولارًا.

أ. ابحث عن معادلة خطية للتكلفة الشهرية لخطة البيانات كدالة لـ x، عدد الميغابايت المستخدمة.
ب. فسر المنحدر و ذ- معادلة المعادلة.
ج. استخدم المعادلة لإيجاد التكلفة الشهرية الإجمالية إذا تم استخدام 250 ميغابايت.

49 - في عام 1991 ، بلغ عدد سكان الموظ في الحديقة 360 4 نسمة. بحلول عام 1999 ، تم قياس عدد السكان مرة أخرى ليكون 5880. افترض أن السكان يستمرون في التغيير خطيًا.

أ. ابحث عن صيغة لسكان الموظ ، ص منذ 1990.
ب. ماذا يتوقع نموذجك أن يكون عدد سكان الموظ في عام 2003؟

50. في عام 2003 ، تم قياس عدد البومة في الحديقة بـ 340. وبحلول عام 2007 ، تم قياس عدد البومة مرة أخرى ليكون 285. يتغير السكان خطيًا. دع المدخلات سنوات منذ 1990.

أ. ابحث عن صيغة لتعداد البومة ، ص. دع المدخلات تكون سنوات منذ عام 2003.
ب. ماذا يتوقع نموذجك أن يكون عدد البومة في عام 2012؟

51 - احتفظ الاحتياطي الفيدرالي للهيليوم بحوالي 16 مليار قدم مكعب من الهيليوم في عام 2010 ويتم استنفاده بنحو 2.1 مليار قدم مكعب كل عام.

أ. أعط معادلة خطية للاحتياطيات الفيدرالية المتبقية من الهيليوم ، ص، من ناحية ر، عدد السنوات منذ 2010.
ب. في عام 2015 ، ماذا ستكون احتياطيات الهليوم؟
ج. إذا لم يتغير معدل النضوب ، في أي سنة سيتم استنفاد الاحتياطي الفيدرالي للهيليوم؟

52 - لنفترض أن احتياطيات النفط العالمية في عام 2014 بلغت 1820 مليار برميل. إذا انخفض إجمالي الاحتياطيات ، في المتوسط ​​، بمقدار 25 مليار برميل من النفط كل عام:

أ. أعط معادلة خطية لاحتياطيات النفط المتبقية ، ص، من ناحية ر عدد السنوات منذ الآن.
ب. سبع سنوات من الآن ماذا ستكون احتياطيات النفط؟
ج. إذا كان معدل تناقص الاحتياطيات ثابتًا ، فمتى ينضب احتياطي النفط في العالم؟

53. أنت تختار بين خطتين مختلفتين للهواتف المحمولة المدفوعة مسبقًا. الخطة الأولى تتقاضى 26 سنتًا للدقيقة. تتقاضى الخطة الثانية رسومًا شهرية قدرها 19.95 دولارًا بالإضافة إلى 11 سنتًا للدقيقة. كم دقيقة يجب عليك استخدامها في الشهر حتى تكون الخطة الثانية مفضلة؟

54. أنت تختار بين شركتين مختلفتين لغسيل النوافذ. الأول يتقاضى 5 دولارات لكل نافذة. الثانية تتقاضى رسومًا أساسية قدرها 40 دولارًا بالإضافة إلى 3 دولارات لكل نافذة. كم عدد النوافذ التي تحتاجها لكي تكون الشركة الثانية الأفضل؟

55. عند تعيينك في وظيفة جديدة لبيع المجوهرات ، يتم منحك خيارين للدفع:

الخيار (أ): الراتب الأساسي 17000 دولار في السنة بعمولة 12٪ من مبيعاتك
الخيار ب: الراتب الأساسي 20000 دولار سنويًا بعمولة 5٪ من مبيعاتك

ما كمية المجوهرات التي ستحتاج لبيعها للخيار (أ) لتحقيق دخل أكبر؟

56. عند تعيينك في وظيفة جديدة لبيع الإلكترونيات ، يتم منحك خيارين للدفع:

الخيار أ: الراتب الأساسي 14000 دولار في السنة بعمولة 10٪ من مبيعاتك
الخيار ب: الراتب الأساسي 19000 دولار في السنة بعمولة 4٪ من مبيعاتك

ما مقدار الأجهزة الإلكترونية التي تحتاج إلى بيعها للخيار (أ) لتحقيق دخل أكبر؟

57. عند تعيينك في وظيفة جديدة لبيع الإلكترونيات ، يتم منحك خيارين للدفع:

الخيار (أ): الراتب الأساسي 20000 دولار سنويًا بعمولة 12٪ من مبيعاتك
الخيار ب: الراتب الأساسي 26000 دولار في السنة بعمولة 3٪ من مبيعاتك

ما مقدار الأجهزة الإلكترونية التي تحتاج إلى بيعها للخيار (أ) لتحقيق دخل أكبر؟

58. عند تعيينك في وظيفة جديدة لبيع الإلكترونيات ، يتم منحك خيارين للدفع:

الخيار (أ): الراتب الأساسي 10000 دولار سنويًا بعمولة 9٪ من مبيعاتك
الخيار ب: الراتب الأساسي 20000 دولار سنويًا بعمولة 4٪ من مبيعاتك

ما مقدار الأجهزة الإلكترونية التي تحتاج إلى بيعها للخيار (أ) لتحقيق دخل أكبر؟


الفكرة الأساسية

[لفت جيف وينر انتباهي إلى أن هناك بالفعل بعض قواعد الشرائح التي يمكن أن تجمع وتطرح ، وتحديداً قواعد Pickett Microline 115 و Pickett 901.]

تتكون قاعدة الشريحة من ثلاثة أجزاء: الجسم، ال الانزلاق، و ال المؤشر. يتم تمييز الجسم والشريحة بالمقاييس. يحتوي المؤشر على ملف خط الشعر يسهل تحديد موضع المؤشر بدقة في نقطة معينة على مقياس ما. قد تكون هناك علامات أخرى على المؤشر تُستخدم لأغراض محددة وخاصة.


2.1E: تمارين للقسم 2.1 - الرياضيات

تمرين 2.1.1. قم بإنشاء ما يلي:

(أ) مجموعة فرعية من الفضاء ثنائي الأبعاد مغلق تحت إضافة وطرح المتجهات ولكن ليس الضرب القياسي

(ب) مجموعة فرعية من فضاء ثنائي الأبعاد مغلق تحت الضرب القياسي ولكن ليس الجمع المتجه

الإجابة: (أ) مجموعة جميع المتجهات حيث تكون أعدادًا صحيحة على سبيل المثال ، وما إلى ذلك. يتم إغلاق هذه المجموعة تحت إضافة متجه ، نظرًا لأن مجموع عددين صحيحين أو فرقهما دائمًا عدد صحيح. ومع ذلك ، لا يتم إغلاقها في ظل الضرب القياسي ، حيث (على سبيل المثال) ينتج عن الضرب في نتيجة ليست في المجموعة.

(ب) مجموعة جميع النقاط على المحور x والمحور y ، أي وهي مغلقة تحت الضرب القياسي ولكن ليس تحت إضافة المتجه.

ملاحظة: هذا استمرار لسلسلة من المنشورات التي تحتوي على تمارين تم إجراؤها من كتاب (نفدت طباعته) كتاب الجبر الخطي وتطبيقاته ، الطبعة الثالثة لجيلبرت سترانج.

إذا وجدت هذه المنشورات مفيدة ، فأنا أشجعك أيضًا على التحقق من الجبر الخطي وتطبيقاته الأكثر حداثة ، الإصدار الرابع ، كتاب Dr Strang & # 8217s التمهيدي مقدمة في الجبر الخطي ، الإصدار الرابع والدورة التدريبية المجانية المصاحبة على الإنترنت ، والدكتور Strang & # 8217s كتب اخرى.



    في حساب الرياضيات ، من المهم الترتيب الذي تقوم به العمليات (الجمع والطرح والضرب والقسمة والأقواس).
    هذا البرنامج التعليمي مناسب للطلاب في الصفوف من 7 إلى 9.
    الأرقام الموجهة هي أرقام موقعة ، أي أرقام بعلامة موجبة أو علامة الجمع (+) أمامها أو أمامها بعلامة سالب أو ناقص (-) على سبيل المثال. +6 ، -2 ، +7 إلخ. كل هذه الأعداد الصحيحة (و 0) المجمعة معًا تسمى الأعداد الصحيحة.
    كيف تقوم بجمع وطرح وضرب وقسمة الأعداد الموجهة؟ اعرض البرنامج التعليمي.
    هذا البرنامج التعليمي مناسب للطلاب في الصف التاسع أو العاشر.
  • مقدمة في الكسور
    ما هي الكسور؟ كيف يمكنك التعبير عن الرسم التخطيطي في صورة كسر؟ ماذا تسمى أجزاء الكسر؟
    هذا البرنامج التعليمي مناسب للطلاب في الصف الثامن أو التاسع.
    ما هي الكسور المتكافئة والكسور غير الفعلية والأعداد الكسرية؟ كيفية تبسيط الكسر.
    هذا البرنامج التعليمي مناسب للطلاب في السنة 9.
    كيفية تحويل الكسور إلى الكسور العشرية والنسب المئوية.
    هذا البرنامج التعليمي مناسب للطلاب في السنة 9.
    ما هي النسب وكيفية تبسيطها.
    هذا البرنامج التعليمي مناسب للطلاب في السنة 9.

طولك الحقيقي هو (70.50 ) بوصة. يعطي مقياس الشريط الذي يمكن قراءته لأقرب بوصة طولك كـ (70 frac <3> <8> ) بوصة. جهاز ليزر جديد في عيادة الطبيب يعطي قراءات لأقرب 0.05 بوصة يعطي طولك كما هو (70.90 ) بوصة. أيهما أكثر دقة وأيهما أكثر دقة.

تمرين 55 ص 161. حل

يعتبر ابتكار الليزر أكثر دقة ، لأنه يوفر مزيدًا من التفاصيل منذ ذلك الحين
(0.05 ) أصغر من ( فارك <1> <8> ).

من أجل معرفة القياس الأكثر دقة ، نحتاج إلى مقارنة الأخطاء المطلقة.

باستخدام مقياس الشريط ، الخطأ المطلق هو (70 فارك <3> <8> - 70.50 = - فارك <1> <8> ).

في عيادة الطبيب الخطأ المطلق (70.90-70.50 = 0.4 )

نظرًا لأن (0.4 ) أكبر من ( فارك <1> <8> ) ، فإن مقياس الشريط يكون أكثر دقة.


2.1E: تمارين للقسم 2.1 - الرياضيات

مرتبة حسب المظهر في النص. متوفر أيضًا بترتيب الاكتشاف.
آخر تحديث 1/10/12. لا تنس إعادة تحميل هذه الصفحة للحصول على أحدث إصدار.
أرسل أخطاء وتعليقات إضافية إلى: [email protected]
تم إصلاح العناصر المميزة بعلامة [2] في المطبوعات الثانية وما بعدها. الصفحة الثامنة ، السطر السابع من الأسفل.
استخدم الأحرف الكبيرة باستمرار مع إدخالات الفصل الأخرى.
تم الإبلاغ عنه في 10/13/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 22 ، دليل 0.24 ، السطر الرابع.
يتغيرون هذا العدد الصحيح. ل أكبر عدد صحيح من هذا القبيل..
أبلغ عنه كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا في 24/2/2006 الصفحة 38 ، السطر الأول من المثال 1.11.
أضف نقطة في نهاية السطر.
تم الإبلاغ عنه في 12/6/2005 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 63 ، الجملة الأخيرة.
بعد الاصطلاح القياسي ، التغيير AWK, GREP و بيرل إلى الأحرف الصغيرة ، awk, grep و بيرل.
ذكرت في 4/18/05 جوناثان ديبر من جامعة تورنتو ،
و 11/24/06 بواسطة مات ديهاوس من جامعة ميشيغان ،
و 15/1/09 لروب بيتنر من جامعة أوكلاند.
تم تصحيح Erratum في 11/28/10 بواسطة John Trammell من جامعة مينيسوتا.
الصفحة 65 ، السطر الخامس قبل المثال 1.53.
يتغيرون أن ذلك ل الذي - التي.
تم الإبلاغ عنه في 11/30/05 من قبل إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 65 ، المثال 1.53 ، البند 4. [2]
يتغيرون (01+)* ل 1*(01+)*.
تم الإبلاغ عنه في 21/3/2005 بقلم كورت إل فان إيتن. الصفحة 66 ، السطر الرابع من نهاية القسم الفرعي.
الارقام +7. و -.01 يجب أن يكون بخط الآلة الكاتبة.
تم الإبلاغ عنها في 1/23/08 بواسطة Rajagopal Nagarajan من جامعة وارويك. الصفحة 81 ، الحاشية السفلية.
أزل الحاشية ، فهي زائدة عن الحاجة.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 82 ، السطر الأول من المثال 1.76 وبجوار السطر الأخير من المثال 1.77.
ال 1 في نهاية كلا السطرين يجب أن تكون بخط الآلة الكاتبة.
تم الإبلاغ عنه في 18/3/2008 بواسطة هانز رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 83 ، المشكلة 1.4 ب.
قم بإزالة أول في.
ذكرت في 1/25/06 فلاديمير ليفشيتز من جامعة تكساس في أوستن.
تصحيح Erratum في 10/27/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا.
الصفحة 83 ، التمرين 1.4e ، السطر الأول. [2]
الجزء (هـ) هو نفسه الجزء (ج) لذا استبدل بما يلي:
الجزء هـ. <ث| ث يبدأ بـ أ ولديه واحد على الأكثر ب>.
ذكرت في 6/7/05 سوزان باليك من جامعة ولاية كارولينا الشمالية. الصفحة 84 ، المشكلة 1.6 ، السطر الأول.
أضف نقطة في نهاية السطر.
تم الإبلاغ عنه في 18/4/2006 من قبل إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 85 ، التمرين 1.15 ، البند د.
يتغيرون س ل س1.
تم الإبلاغ عنه في 2/11/11 بواسطة سايمون ديكستر من جامعة مدينة نيويورك. صفحة 87 ، المشكلة 1.22.
قم بتغيير الجملة الأخيرة في الفقرة الأولى إلى للتبسيط ، افترض أن الأبجدية لـ C هي .
تم الإبلاغ عنه في 1/30/09 بواسطة جيري غروسمان من جامعة أوكلاند. صفحة 90 ، مشكلة 1.49 ، الجزءان أ و ب.
ال 1 يجب أن يكون تحديد الأبجدية بخط الآلة الكاتبة ، في المرتين.
تم العثور عليه في 9/14/09. صفحة 92 ، المشكلة 1.62. [2]
يتغيرون DFA ل أ DFA.
تم الإبلاغ عنه في 21/3/2005 بقلم كورت ل. فان إيتن.
تم تصحيح Erratum في 11/3/05 بواسطة Evangelos Georgiadis من MIT.
صفحة 92 ، المشكلة 1.64 الجزء ب.
يتغيرون اظهر ذلك، ل تبين،.
ذكرت في 11/21/05 توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. صفحة 92 ، المشكلة 1.64 (د). [2]
قم بتغيير كلا تكراري (ب) ل (ج).
تم الإبلاغ عنه في 21/3/2005 بقلم كورت ل. فان إيتن. صفحة 93 ، السطر الثاني من المشكلة 1.65.
يتغيرون أ NFA ل NFA.
تم الإبلاغ عنه في 12/6/2005 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 93 ، الحل ل 1.2.
يتغيرون م2 ل م1 و م3 ل م2.
تم الإبلاغ عنه في 17/10/2005 توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. الصفحة 93 ، الحل إلى 1.4 ب ، السطر الأول. [2]
يتغيرون ثلاثة بالضبط ل اثنان بالضبط.
ذكرت في 6/7/05 جريجوري روبرتس من جامعة ولاية كارولينا الشمالية. الصفحة 95 ، الحل لـ 1.11 ، السطر الثاني.
يتغيرون هذا يقبل ل هذا يعترف.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 95 ، الحل حتى 1.11 ، نهاية السطر الخامس.
يتغيرون &سيجما ل &سيجما& إبسيلون.
تم الإبلاغ عنه في 12/31/10 بواسطة سايمون ديكستر من كلية بروكلين بجامعة مدينة نيويورك. الصفحة 96 ، الحل إلى 1.29 ج ، السطر الثالث.
يتغيرون أ_1 ل أ_3.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا
و 4/18/05 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
تصحيح Erratum 4/24/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا.
الصفحة 96 ، الحل إلى 1.29c ، السطر الثالث من الفقرة الثانية.
يتغيرون |ذ| & GT 1 ل |ذ| & GT 0.
تم الإبلاغ عنه في 9/28/08 بواسطة مارك تيستا من معهد ستيفنز للتكنولوجيا.
تصحيح Erratum في 10/29/08 بواسطة بيتر دريك من كلية لويس وكلارك
و 4/17/09 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، اسطنبول ، تركيا.
الصفحة 96 ، الجملة الأولى من الحل 1.40.
يضيف (أ) إلى بداية السطر. يتغيرون NFA ل أ DFA.
في 2. ، التغيير & دلتا (ص ، أ) ل .
ذكرت في 2/15/06 باربرا قيصر من كلية غوستافوس أدولفوس.
تم تصحيح Erratum في 3/1/06 و 4/17/06 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا.
الصفحة 97 ، الحل إلى 1.44 ، السطر السابع.
يتغيرون &سيجما ل &سيجما& إبسيلون.
تم الإبلاغ عنه في 12/31/10 بواسطة سايمون ديكستر من جامعة مدينة نيويورك. الصفحة 97 ، السطر الأخير من الحل 1.46.
قم بتغيير كلا تكراري xyz ل س'.
تم الإبلاغ عنه في 11/4/07 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. صفحة 98 ، السطر الثالث من الحل إلى 1.55.
يتغيرون على ل داخل.
تم الإبلاغ عنه في 11/9/2005 من قبل توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. الصفحة 98 ، السطر الثالث والرابع من الحل 1.55 جزء د.
استبدل بداية الجملة إذا س تم إنشاؤه بواسطة 0 * 1 + 0 + 1 *.
مع الجمل إذا س تم إنشاؤه بواسطة 0 * 1 + 0 + 1 * و س تبدأ إما 0 أو 11 ، اكتب س = xyz أين x = & إبسيلون ، ذ هو الرمز الأول و ض هو ما تبقى من س. إذا س تم إنشاؤه بواسطة 0 * 1 + 0 + 1 * و س تبدأ 10 ، اكتب س = xyz أين x = 10, ذ هو الرمز التالي و ض هو ما تبقى من س.
تم الإبلاغ عنه في 11/6/2005 بيتر فيجر من جامعة ماساتشوستس في بوسطن. الصفحة 101 ، آخر كلمة في الفقرة الأولى.
الفترة في "أو." يجب أن يكون خارج الاقتباسات.
تم الإبلاغ عنه في 15/9/11 بواسطة جوناس نيروب من جامعة جنوب الدنمارك. الصفحة 109 ، السطر الثالث.
إزالة الذي يلي من نهاية الجملة.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 116 ، السطر الثاني من إثبات Lemma 2.21.
يتغيرون فل ل فبداية.
تم الإبلاغ عنه في 17/4/2008 كيشان يروباندي من جامعة كونيتيكت. الصفحة 117 ، السطر التاسع من الأسفل.
يجب أن تكون علامة الدولار بخط الآلة الكاتبة.
تم الإبلاغ عنه في 1/09/08 بواسطة Hiroki Ueda من NTT Laboratories. الصفحة 117 ، السطر الأخير.
أضف نقطة في نهاية السطر.
تم الإبلاغ عنه في 12/6/2005 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 125 ، السطر الثاني. [2]
أضف الجملة إذا كانت b = 1 ، فقم بإعادة تعيين b بحيث تكون b = 2. قبل الكلمات في أي.
تم الإبلاغ عنه في 10/15/08 بواسطة Alexis Maciel من جامعة كلاركسون ، و 6/19/11 بواسطة Jeroen Vaelen من جامعة هاسيلت في بيلجويم. الصفحة 125 ، السطر الثاني من الفقرة الثانية. [2]
يتغيرون ب | الخامس | + 1 ل ب | الخامس | + 1 & gt ب | الخامس | + 1.
تم الإبلاغ عنه في 6/8/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 125 ، السطر الثالث والرابع من الفقرة الثالثة.
يتغيرون لذلك يجب أن يحتوي على مسار من الجذر إلى ورقة طولها ل لذلك فإن أطول مسار لها من الجذر إلى الورقة له طول.
ذكرت في 12/7/05 هانس رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية.
تم تصحيح Erratum في 8/15/07 بواسطة Atsushi Fujioka من NTT Laboratories.
الصفحة 125 ، السطر 11 من أسفل الإثبات.
يتغيرون على حد سواء الخامس و ذ لا & إبسيلون ل الخامس و ذ ليست على حد سواء & إبسيلون.
تم الإبلاغ عنه في 30/5/2008 بواسطة Chinawat Israeldisaikul من جامعة بنسلفانيا.
تصحيح Erratum في 10/29/08 بواسطة بيتر دريك من كلية لويس وكلارك
و 10/15/08 بواسطة Alexis Maciel من جامعة كلاركسون
و 4/17/09 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، اسطنبول ، تركيا.
الصفحة 125 ، السطران 7 و 9 من الأسفل.
قم بتغيير كلا تكراري اختار ل إختر.
تم الإبلاغ عنه في 17/10/2005 توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. تم اقتراح الإزالة في 10/15/08 بواسطة Alexis Maciel. -> الصفحة 125 ، السطران 5 و 6 من الأسفل. [2]
قم بتغيير كلا تكراري | الخامس | + 2 ل | الخامس | + 1.
تم الإبلاغ عنه في 4/5/05 كيرت ل. فان إيتن. الصفحة 128 ، السطر الثالث من التمرين 2.1.
ال + يجب أن يكون بخط الآلة الكاتبة.
ذكرت في 11/23/05 هانس رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 129 ، السطر الأول من التمرين 2.17.
يتغيرون مشكلة ل ممارسه الرياضه.
تم الإبلاغ عنه في 2/1/06 من قبل ديفيد ويتنبرغ من جامعة برانديز. الصفحة 129 ، المشكلة 2.8.
تبادل الكلمات صبي و فتاة للتوافق مع الحل.
تقرير في 17/5/2007 ديفيد وارين من جامعة بريغهام يونغ. انظر الأخطاء إلى الحل 2.8 -MS 9/6/10 -> الصفحة 131 ، المشاكل 2.32 ، 2.33 ، و 2.42. [2]
في 2.32 ، قم بإزالة النجمة التي تشير إلى مشكلة صعبة.
في 2.33 ، أضف نجمة للإشارة إلى صعوبة هذه المشكلة. بالإضافة إلى ذلك ، التغيير أنا & ني كيلوجول لكل ل أنا = كيلوجول بالنسبة للبعض.
في 2.42 ، أضف نجمة للإشارة إلى صعوبة هذه المشكلة.
تم العثور 6/13/05. صفحة 132 ، حل 2.3d ، هـ.
يتغيرون جي ل لام (ز)، كلا التكرار.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 132 ، الحل 2.7 (أ) ، السطران 2 و 6. [2]
يتغيرون العد هو 0 ل العد موجب.
يتغيرون إذا ب في القمة ل إذا أ في القمة.
تم الإبلاغ عنه في 14/7/2005 ماثيو كين من جامعة إنديانا.
تصحيح Erratum في 7/15/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا.
الصفحة 132 ، الحل 2.7 (أ) ، السطران 3 و 4. [2]
قم بتغيير كلا تكراري أ أ ل ا أ.
تم الإبلاغ عنه في 4/5/05 كيرت ل. فان إيتن. صفحة 132 ، الحل 2.8 (2.9 في الطبعة الدولية).
استخدم الحل التالي بدلاً من ذلك:
هنا اشتقاق واحد في أقصى اليسار:
& lsaquoجملة او حكم على& rsaquo & rArr
& lsaquoإسم العبارةو rsaquo و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
& lsaquoCMPLX- نونو rsaquo و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
& lsaquoمقالة - سلعةو rsaquo و lsaquoاسمو rsaquo و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
و lsaquoاسمو rsaquo و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
الفتاة و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
الفتاة و lsaquoCMPLX- فعلو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
الفتاة و lsaquoالفعلو rsaquo و lsaquoإسم العبارةو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
اللمسات الفتاة و lsaquoإسم العبارةو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
اللمسات الفتاة و lsaquoCMPLX- نونو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
اللمسات الفتاة و lsaquoمقالة - سلعةو rsaquo و lsaquoاسمو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس lsaquo واسمو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد و lsaquoتجهيزو rsaquo و lsaquoCMPLX- نون& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد بـ & lsaquoCMPLX- نون& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد بـ & lsaquoمقالة - سلعةو rsaquo و lsaquoاسم& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد بـ & lsaquoاسم& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الصبي بالزهرة

هنا اشتقاق آخر من أقصى اليسار:
& lsaquoجملة او حكم على& rsaquo & rArr
& lsaquoإسم العبارةو rsaquo و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
& lsaquoCMPLX- نونو rsaquo و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
& lsaquoمقالة - سلعةو rsaquo و lsaquoاسمو rsaquo و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
و lsaquoاسمو rsaquo و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
الفتاة و lsaquoجملة فعلية& rsaquo & rArr
الفتاة و lsaquoCMPLX- فعل& rsaquo & rArr
الفتاة و lsaquoالفعلو rsaquo و lsaquoإسم العبارة& rsaquo & rArr
اللمسات الفتاة و lsaquoإسم العبارة& rsaquo & rArr
اللمسات الفتاة و lsaquoCMPLX- نونو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
اللمسات الفتاة و lsaquoمقالة - سلعةو rsaquo و lsaquoاسمو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس lsaquo واسمو rsaquo و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد و lsaquoPREP-PHRASE& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد و lsaquoتجهيزو rsaquo و lsaquoCMPLX- نون& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد بـ & lsaquoCMPLX- نون& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد بـ & lsaquoمقالة - سلعةو rsaquo و lsaquoاسم& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الولد بـ & lsaquoاسم& rsaquo & rArr
الفتاة تلمس الصبي بالزهرة
ذكرت في 11/21/05 توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون
و 30/11/2005 بواسطة Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية
و 15/8/2007 بواسطة Atsushi Fujioka من NTT Laboratories.
تصحيح Erratum 6/1/07 بواسطة كايلا جاكوبس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا
و 8/21/10 لبنجامين بينج يي وانج من جمعية الاكتواريين.
الصفحة 133 ، الحل 2.8.
تتطلب المسألة الاشتقاقات الموجودة في أقصى اليسار ، لكن الاشتقاق الأول المعطى ليس أقصى اليسار. أيضًا ، تم تخطي بعض الخطوات في الاشتقاقات لذا يجب تضمينها. أخيرًا ، في بيان المشكلة ، تلمس الفتاة الصبي ، ولكن في الحل ، يلمس الصبي الفتاة.
ذكرت في 11/21/05 توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون
و 30/11/2005 بواسطة هانز رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية.
تصحيح Erratum 6/1/07 بواسطة كايلا جاكوبس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
-> الصفحة 133 ، السطر الأول من الفقرة الأخيرة.
يتغيرون xv 2 wy 2 z ل الأشعة فوق البنفسجية 2 xy 2 ض.
ذكرت في 10/26/07 Xiangdong Liang من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 134 ، حل إلى 2.30 ج ، السطر التاسع.
إزالة فقط والتغيير غير فارغ ل فارغة، كلا التكرار.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
تصحيح Erratum 6/1/07 بواسطة كايلا جاكوبس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
صفحة 134 ، السطر الرابع من الأسفل.
يضيف ، وأعداد متساوية من 0 و 1 ، وثلاثة أضعاف عدد b's على a's إلى نهاية بداية الجملة سلاسل في ج.
تم الإبلاغ عنه في 2/20/06 من قبل توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. الصفحة 139 ، السطران السابقان للشكل 3.2.
إزالة في المرحلتين 2 و 3.
تم الإبلاغ عنه في 1/4/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 145 ، السطر الرابع من المثال 3.9.
يتغيرون ف14 ل ف8.
تم الإبلاغ عنه في 18/11/05 بروميتا تشاكرابورتي من جامعة ولاية لويزيانا ، باتون روج. الصفحة 145 ، السطر الأول من الفقرة الأخيرة.
يتغيرون ف6 ل ف7.
تم الإبلاغ عنه في 1/9/06 من قبل هانز رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 160 ، السطر الثاني من التمرين 3.7.
يتغيرون الإدخال هو p كثير الحدود ل على المدخلات & lsaquop & rsaquo ، حيث p هي كثيرة الحدود.
تم الإبلاغ عنه في 11/3/05 من قبل إيفانجيلوس جورجاديس من إم آي تي.
تم تصحيح Erratum في 11/30/05 بواسطة Andreas Guelzow من جامعة كونكورديا
و 4/25/06 لويس كوليير من جامعة رود آيلاند.
الصفحة 162 ، السطر السابع من الحل إلى 3.3.
يتغيرون المرحلة الخامسة ل المرحلة 3.5.
تم الإبلاغ عنه في 11/8/2006 بواسطة سارة مينر مور من كلية مكدانيل. الصفحة 162 ، الجملة الأخيرة من الحل 3.3.
يتغيرون د ل د2.
تم الإبلاغ عنها في 1/23/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 163 ، السطران الخامس والسابع من الحل 3.16 (أ).
قم بتغيير كلا مثيلين قبول ل يقبل.

تم العثور في 17/12/05. ٪٪٪ تغيير غير ضروري 1/10/12٪ الصفحة 163 ، السطر الثاني من نهاية الحل 3.16 (a).
٪ يتغيرون كلاهما م1 و م2 رفض ل ٪ كلاهما م1 و م2 تفشل في القبول %
تم الإبلاغ عنه في 9/26/07 من قبل أتسوشي فوجيوكا من مختبرات إن تي تي. ٪ -> الصفحة 166 ، السطر السادس من الفقرة الأولى.
يتغيرون CFL ل CFG.
تم الإبلاغ عنه في 11/15/06 من قبل إلعازر بيرنبوم من الجامعة المفتوحة ، إسرائيل. صفحة 172 ، المرحلة 1 من آلة تورينج Mجي.
أضف نقطة في نهاية السطر.
تم الإبلاغ عنه في 15/9/2005 بواسطة Zhidian Du من جامعة كليمسون. الصفحة 172 ، الثانية من السطر الأخير.
الواصلة سياق مجاني.
تم الإبلاغ في 5/9/11 بواسطة إدوين سزي لون كو من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 180 ، السطر الثاني بعد الشكل 4.19.
يتغيرون 4.18 ل 4.19.
تم الإبلاغ عنه في 11/3/05 بواسطة جيسي تجانج من جامعة ديلفت التقنية بهولندا. الصفحة 181 ، السطر الأول.
يتغيرون 4.19 ل 4.20.
تم الإبلاغ عنه في 1/24/06 من قبل هانز رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. صفحة 183 ، كلا سطري التمرين 4.10.
كلاهما المساعد الشخصي الرقمي يجب أن تكون النصوص بخط سان سيريف.
تم الإبلاغ عنه في 18/3/2008 بواسطة هانز رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. صفحة 184 ، المشكلة 4.20.
يتغيرون <>ل <& lsaquoR & rsaquo |.
تم الإبلاغ عنه في 10/2/06 من قبل Hjalmtyr Hafsteinsson من جامعة أيسلندا. صفحة 184 ، المشكلة 4.25.
ال 1 و 0 يجب أن يكون بخط الآلة الكاتبة.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 184 ، المشكلة 4.27.
يضيف G هو CFG و قبل لام (ز).
تم الإبلاغ عنه في 3/20/09 من قبل Phanisekhar Botlaguduru Venkata من جامعة فلوريدا. صفحة 185 ، السطر الثالث من حل المشكلة 4.13.
يتغيرون يقرر أ ل يقرر لغة هذه المشكلة.
تقرير 4/3/09 بواسطة آرثر هول الثالث من جامعة كنتاكي. صفحة 186 ، السطر الخامس من نهاية الحل إلى 4.21.
يتغيرون تنص على ل حالة. يضيف أو في حالة قبول حالتين مختلفتين ن عليها حصى حمراء. حتى نهاية تلك الجملة.
تم الإبلاغ عنه في 29/3/2006 بواسطة توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. صفحة 189 ، السطر الأول من إثبات النظرية 5.1 والسطر الثاني من فكرة إثبات النظرية 5.2.
قم بتغيير كليهما المقاصد ل غرض.
تم الإبلاغ عنه في 2/28/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 196 ، السطر الثاني.
يتغيرون حساب ل ل تاريخ الحساب لـ.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 197 ، السطر الرابع من إثبات النظرية 5.13.
إزالة يجب أن بعد لكن.
تم الإبلاغ عنه في 2/11/2008 بواسطة بيتر ديلينجر من جامعة نورث إيسترن. الصفحة 199 ، نهاية الفقرة الثانية.
أضف فترة بعد مجموعة أحجار الدومينو المعروضة.
ذكرت في 5/26/06 هانس رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 210 ، السطر الثاني عشر من الأسفل.
في السطر الأول من الخوارزمية G ، التغيير المدخلات ل عند الإدخال.
تم الإبلاغ عنه في 10/25/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 212 ، المشكلة 5.15 ، السطر الأخير.
يتغيرون هو للخط الروماني.
تم الإبلاغ عنه في 18/4/2006 من قبل إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 213 ، مشكلة 5.27.
يتغيرون أسئلة وأجوبة ومجموع ل سؤال ومرات (& مجموع وكوب <#>).
ذكرت في 17/10/05 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
تصحيح Erratum في 10/27/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا
و 1/25/06 بواسطة David Wittenberg من جامعة Brandeis.
صفحة 213 ، مشكلة 5.33.
انقل هذه المشكلة إلى الفصل السادس.
ذكرت في 4/25/07 بول بيم من جامعة واشنطن في سياتل. صفحة 214 ، حل 5.8.
نقوم أيضًا بتغيير دومينو الأول (كما هو موضح في الشكل 5.16 في الصفحة 201 في الحل القياسي) إلى [# أكثر من ## q0ث1ث2. ثن].
تم الإبلاغ عنه في 3/8/2006 بواسطة Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 215 ، السطر الأخير من الحل إلى 5.28.
يتغيرون & lsaquoM ، w & rsaquo ل & lsaquo مث& rsaquo.
تم الإبلاغ عنه في 3/1/06 من قبل جوزيف ويلسون من جامعة فلوريدا. صفحة 222 ، السطر الأول من إثبات النظرية 6.5.
يتغيرون المقاصد ل غرض.
تم الإبلاغ عنه في 21/10/2005 بقلم تامير تاسا من جامعة إسرائيل المفتوحة. الصفحة 223 ، السطر الثاني من الأسفل. [2]
يتغيرون إذا كانت السلسلة ل إذا كانت السلسلة.
تم الإبلاغ عنه في 18/4/2005 من قبل كورت ل. فان إيتين. الصفحة 225 ، السطر السادس.
يتغيرون صل ل صك.
تم الإبلاغ عنه في 18/3/2008 بواسطة هانز رودولف ميتز من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. صفحة 228 ، السطر الثامن من الإثبات.
يتغيرون &سيجماأنا * ل &سيجماأنا.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
تصحيح Erratum 4/24/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا.
الصفحة 228 ، سطر النص الخامس من الأسفل.
في السطر الذي يبدأ ب حيث كل، يتغيرون بأنا ل بي.
تم الإبلاغ عنه في 10/8/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 228 ، السطر الثاني والثالث من الأسفل.
يتغيرون بتات بادئة من z ل البتات الرائدة من أأنا + 1.
يتغيرون ب1 من خلال بأنا ل أ1 من خلال أأنا.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 228 ، الثانية إلى السطر الأخير.
يضيف باستخدام & التحولات إبسيلون بعد المتفرعة.
تم الإبلاغ عنه في 10/20/07 بواسطة فليمنج جنسن من جامعة ألبورغ ، الدنمارك. الصفحة 229 ، lemma 6.14 ، السطر الثاني.
يتغيرون لغة ث (ن ، + ، & مرات) ل لغة (N ، + ، & times).
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 231 ، إثبات النظرية 6.17 ، المرحلة 4 من الخوارزمية S.
احذف الجملة إذا توقف ورفض ، رفض.
لا يمكن أن تنشأ هذه الحالة.
تم الإبلاغ عنه في 9/8/09 بواسطة ملادين ميك & # 353a من جامعة زغرب ، كرواتيا. الصفحة 233 ، السطر الأخير قبل القسم 6.4.
يتغيرون مشكلة ل ممارسه الرياضه.
تم الإبلاغ عنه في 2/20/06 من قبل توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. صفحة 244 ، حل 6.12 ، السطر الثاني والثالث.
يتغيرون لغة Th (N ، تم الإبلاغ عنها في 2/24/06 بواسطة Christos Kapoutsis من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 263 ، المرحلة 1 من الخوارزمية د.
التغيير إلى ل ث = & إبسيلون، إذا S & rarr & epsilon هي قاعدة ، قبول، آخر رفض.
تم الإبلاغ عنه في 18/4/2006 بواسطة مارفن ناكاياما من معهد نيو جيرسي للتكنولوجيا. الصفحة 263 ، المرحلة 8 من الخوارزمية د.
تغيير الفاصلة إلى نقطة.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 267 ، التعريف 7.21.
يتغيرون أ O (ر (ن)) ل أن O (t (n)).
تم الإبلاغ عنه في 10/13/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. الصفحة 267 ، السطر الأخير.
أضف فترة بعد ذلك 5 زمرة.
ذكرت في 10/30/05 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 268 ، السطر الثاني من إثبات النظرية 7.24.
أضف نقطة في نهاية الجملة.
تم الإبلاغ عنه في 3/12/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. صفحة 280 ، الشكل 7.40 ب.
قم بتغيير الصف السفلي من ف1 ا ل ف2 ا.
[التغيير لمزيد من الوضوح ، وليس لأن النص غير صحيح]
تم الإبلاغ عنه في 12/26/10 من قبل Cheng-Chung Li من جامعة تايوان الوطنية ، تايوان. الصفحة 281 ، السطر الرابع.
يضيف أو رمز الدولة بعد رمز الحدود #.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 281 ، السطر الأخير من الفقرة الثانية.
يتغيرون ممارسه الرياضه ل مشكلة.
تم الإبلاغ عنه في 2/20/06 من قبل توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. الصفحة 281 ، الصيغة بعد الفقرة الثالثة.
يتغيرون 1 ك ل 1 & le i k وأضف فترة بعد الصيغة.
تم الإبلاغ عنه في 10/20/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا.
تم تصحيح Erratum في 11/3/05 بواسطة Evangelos Georgiadis من MIT
و 11/6/2005 بيتر فيجر من جامعة ماساتشوستس في بوسطن
و 19/11/2005 جون سيغ في جامعة ماساتشوستس ، لويل
و 10/13/06 بواسطة Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية.
الصفحة 281 ، السطر الثامن من الأسفل.
يتغيرون ولل ل ال.
تم الإبلاغ عنه في 1/20/06 من قبل Yongwook Kim من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 284 ، السطر الرابع من أسفل فكرة الإثبات.
يتغيرون أداة قمة الرأس ل أداة متغيرة.
ذكرت في 11/26/05 فيكتور باندور من جامعة ماكماستر.
تم تصحيح Erratum في 11/27/05 بواسطة Ryan Lortie من جامعة McMaster.
الصفحة 285 ، السطر الثاني.
يتغيرون المتغيرات ل عامل.
تم الإبلاغ عنه في 10/25/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. صفحة 298 ، السطر السادس.
احذف النقطة بعد القوس.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحات 295 و 298 ، المشاكل 7.13 و 7.30 و 7.35.
يجب وضع النقطة قبل القوس الأيمن وليس بعده.
ذكرت في 11/9/2005 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 298 ، السطر الثاني من المشكلة 7.31.
يتغيرون ن & sup2 ل م & sup2.
تم الإبلاغ عنه في 11/24/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. صفحة 298 ، المشكلة 7.32.
يتغيرون TM ل NTM.
تم الإبلاغ عنه في 11/11/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 300 ، الجملة الأخيرة من المشكلة 7.45.
يضيف Z موجود في DP و قبل كل لغة.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 300 ، السطر الأول من المشكلة 7.46.
يتغيرون الاكبر ل أكبر.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 301 ، السطر الأول من الحل 7.15.
التغيير الثاني أ ل أ * .
تم الإبلاغ عنه في 11/29/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 301 ، السطر السابع من الحل 7.22.
يتغيرون ك & GT 2 م ل k & gt م / 2.
ذكرت في 11/26/05 فيكتور باندور من جامعة ماكماستر.
تم تصحيح Erratum في 11/27/05 بواسطة Ryan Lortie من جامعة McMaster.
الصفحة 301 ، الثانية من السطر الأخير من الحل 7.22.
يتغيرون كك ل ك.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 305 ، السطر الثالث.
يتغيرون أ NFA ل NFA.
تم الإبلاغ عنه في 11/3/05 من قبل إيفانجيلوس جورجاديس من إم آي تي. صفحة 305 ، المرحلة 4 من وصف N. [2]
غيّر المرحلة 4 ليصبح نصها كما يلي:
قبول إذا كشفت المرحلتان 2 و 3 عن بعض السلسلة التي يرفضها M ، أي إذا لم تكن أي من العلامات في مرحلة ما تقع على حالات قبول M. رفض.
تم الإبلاغ عنه في 15/7/2005 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 305 ، الفقرة التالية الخوارزمية N. [2]
يتغيرون يقبل, قبول، و قبلت (مرتين) ل يرفض, رفض، و مرفوض.
يتغيرون الكلNFA ل overline<>NFA>.
تضاف جملة في نهاية الفقرة: لاحظ أن ن يقبل المدخلات المشكلة بشكل غير صحيح أيضًا.
تم الإبلاغ عنه في 6/8/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 305 ، الفقرة الثانية بعد الخوارزمية ن. [2]
يتغيرون علامات ل علامات وعداد حلقة التكرار ،
تم الإبلاغ عنه في 6/8/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 307 ، التاسعة من السطر الأخير.
أضف فترة بعد ذلك 1,2,3. .
تم الإبلاغ عنه في 12/6/2005 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 307 ، السطر الأخير.
يجب وضع النقطة قبل القوس الأيمن وليس بعده.
ذكرت في 12/11/05 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 314 ، السطر الخامس.
يتغيرون اللاعب E. ل اللاعب E..
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 315 ، نظرية 8.11.
أضف نقطة في نهاية السطر.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 318 ، الشكل 8.15.
الأعلى x يجب ان يكون x1.
إزالة الزائفة 1 هذا بالقرب من العقدة المقابلة من x3.
ذكرت في 11/27/05 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 320 ، السطر السادس والتاسع.
يتغيرون & فاي ل & رطل، كلا التكرار.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 323 ، السطر الخامس قبل القسم 8.5.
يتغيرون صفحة 305 ل صفحة 306.
تم الإبلاغ عنه في 5/15/09 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 326 ، السطر الثاني قبل القسم 8.6.
يتغيرون يدل ل لمح.
ذكرت في 8/15/07 من قبل أتسوشي فوجيوكا من مختبرات إن تي تي. الصفحة 328 ، الفقرة التالية الخوارزمية M.
يضيف م قبل ش ، ت ،.
تم الإبلاغ عنه في 4/13/2006 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. صفحة 328 ، الفقرة التالية الخوارزمية M. [2]
تضاف جملة في بداية الفقرة: لاحظ أن م يقبل المدخلات المشكلة بشكل غير صحيح أيضًا.
تم الإبلاغ عنه في 6/8/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. صفحة 329 ، المشكلة 8.5.
يتغيرون تداخل ل سلسلة.
تم الإبلاغ عنه في 21/10/2005 بقلم تامير تاسا من جامعة إسرائيل المفتوحة. صفحة 330 ، السطر السادس من الأسفل.
أزل الفاصلة بعد ذلك ز ، ج ، م ، ح.
ذكرت في 12/5/05 إيفانجيلوس جورجيادس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
تصحيح Erratum في 12/16/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا.
صفحة 331 ، السطر الأخير من المشكلة 8.22.
يجب وضع النقطة قبل القوس الأيمن وليس بعده.
تم الإبلاغ عنه في 2/20/06 من قبل توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. صفحة 332 ، السطر الثاني من المشكلة 8.26.
ضع خط فوق ثنائي الأطراف لذلك فهو يشير إلى اللغة التكميلية.
تم الإبلاغ عنه في 12/8/05 من قبل بول بيم من جامعة واشنطن في سياتل
و 15/12/05 كيفن ماتولف من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
الصفحات 341 و 342 ، دليل على النظرية 9.10.
في المرحلة 2 من D ، قم بالتغيير 3 و 4 و 5 ل 4 و 5.
في بداية الفقرة الخامسة في الصفحة 342 ، قم بالتغيير المرحلتان 3 و 4 ل المرحلة 4.
تم الإبلاغ عنه في 4/14/07 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 344 ، السطر الخامس.
أضف نقطة في نهاية السطر.
تم الإبلاغ في 12/3/05 من قبل إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 347 ، الفقرة الأخيرة.
قم بتغيير كلا تكراري ص ل ص2.
تم الإبلاغ عنه في 8/21/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. صفحة 348 ، التعريف 9.17 ، السطر الأول. [2]
يضيف أ قبل جهاز.
تم الإبلاغ عنه في 3/5/05 كيرت ل. فان إيتن. صفحة 354 ، السطر الرابع من المثال 9.29.
يتغيرون 2-التكافؤ ل التكافؤ2.
تم الإبلاغ عنه في 4/13/2006 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 358 ، السطر الثاني قبل صف النقاط.
يتغيرون فقبول0 ل فقبول&ناقص، أين "&ناقص"هو الرمز الفارغ.
ذكرت في 11/3/05 توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون ،
و 6/14/07 غوتام بيسواس من IIT Kharagpur.
تصحيح Erratum في 10/24/08 بواسطة بيتر دريك من كلية لويس وكلارك.
الصفحة 360 ، السطر الثامن عشر من الأسفل.
في بداية الجملة بصورة مماثلة، يضيف هو قبل ما يعادل.
تم الإبلاغ عنه في 10/13/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. صفحة 362 ، المشكلة 9.16.
أضف نقطة في نهاية السطر.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 362 ، المشكلة 9.18.
يتغيرون REG & uarr ل REX & uarr، كلا التكرار.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 362 ، مشكلة 9.21.
الخط الثاني: التغيير ك-أوراكل ل k- استعلام أوراكل.
الخط الرابع: التغيير ك-أوراكل أ ل ك-استعلام A- أوراكل.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 362 ، المشكلة 9.21 الجزء ب.
يتغيرون ص ل NP.
تم الإبلاغ عنه في 2/26/08 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. صفحة 363 ، السطر الخامس من الحل للتمرين 9.2.
تغيير التكرارات الثانية والثالثة الكبيرة ا الى اصغر ا.
تم الإبلاغ عنه في 16/12/2005 من قبل إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 363 ، الحل 9.15.
في السطر 5 و 6 ، قم بالتغيير
الاختبار الثاني يعمل في الوقت بولي (|ث|). في زمن كثير الحدود. ل
الاختبار الثاني يعمل في الوقت بولي (|س|) ، وبسبب |س| & le |ث| ، يتم تشغيل الاختبار في الوقت بولي (|ث|).
في السطر الأخير ، التغيير الاختبارات ل أجراءات.
تم الإبلاغ عنه في 5/5/08 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 370 ، إثبات Lemma 10.5. [2]
هناك حاجة إلى تعديل طفيف في الإثبات لأن & epsilon هو الحد الأعلى لاحتمال الخطأ ، وليس القيمة الفعلية. بالإضافة إلى ذلك ، هناك تعارض متغير بين المدخلات ث وعدد النتائج الخاطئة.
تقرير 5/9/05 من قبل نانسي لينش من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 370 ، السطر الثاني إلى الأخير من إثبات Lemma 10.5.
يتغيرون سجل2 ل -سجل2.
تم الإبلاغ عنه في 12/1/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا
و 12/8/2005 بول بيم من جامعة واشنطن في سياتل.
الصفحة 371 ، السطر الخامس والسادس قبل نظرية 10.6.
تبادل ضص + و ضص.
تم الإبلاغ عنه في 10/27/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا
و 11/9/2005 توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون.
الصفحة 376 ، السطر السادس من الفقرة الثانية. [2]
يتغيرون اخر ل ا.
تم الإبلاغ عنه في 6/8/05 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 377-378.
الشكل 10.12 (أ) ، ضع الملصقات ، 0 و 1، من بين عقدتي الإخراج التي يجب أن تكون بالخط العادي (وليس الآلة الكاتبة) ، وفي الصفحة 378 ، السطر السابع من الأعلى والخط الثامن عشر من الأسفل ، ضع 1 في الخط العادي.
تم الإبلاغ عنه في 10/13/06 من قبل Hans-Rudolf Metz من Fachhochschule Gie & szligen-Friedberg ، جامعة العلوم التطبيقية. صفحة 383 ، السطر الخامس.
يتغيرون على الإدخال و phi: ل على المدخلات lsaquo و phi و rsaquo:.
ذكرت في 17/12/05 إيفانجيلوس جورجاديس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 386 ، السطر الأول بعد التعريف 10.27.
يتغيرون &سيجماأنا بالتناوب ل &سيجماأنا- تبديل.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 391 ، السطر السابع قبل المطالبة 10.31.
يتغيرون المدقق ل المدقق.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 391 ، السطر الخامس قبل المطالبة 10.31.
يتغيرون ثي + 1 ل مي + 1.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 392 ، السطر الخامس.
إزالة الفترة الضالة.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 395 ، السطر الرابع.
يتغيرون عندما أأنا ل عندما1 من خلال أأنا.
تم الإبلاغ عنه في 11/24/06 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 395 ، السطر قبل المرحلة 1.
يتغيرون إما أن تفشل ل هذا فشل.
تم الإبلاغ عنه في 11/9/2005 من قبل توماس واتسون من جامعة ويسكونسن ماديسون. صفحة 395 ، مراحل 1 و 2 و i.
في السطر الثالث من كل مرحلة من هذه المراحل ، استبدل الكلمات يقيم . الفحوصات بالكلمة التحقق من.
تم الإبلاغ عنه في 12/9/2006 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 396 ، السطر الأول.
يتغيرون يقبل ل يعترف.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 397 ، المعادلة الثانية المعروضة في فكرة الإثبات.
تغيير الفترة بعد غير ذلك إلى فاصلة.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 398 ، السطر الرابع عشر.
يتغيرون إذا كانت S. ل إذا كان S.أنا + 1 هو، كلاهما حدثان.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. تصحيح Erratum في 11/26/06 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. صفحة 398 ، المرحلة الأولى.
في السطر الخامس من هذه المراحل ، استبدل الكلمات يقيم . الفحوصات بالكلمة التحقق من.
تم الإبلاغ عنه في 12/9/2006 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. الصفحة 398 ، آخر سطرين.
يتغيرون س ل سأنا.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 399 ، السطران 2 و 4.
يتغيرون س ل سأنا.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. الصفحة 400 ، الفقرة الثانية السطر الثالث.
يتغيرون صنع ل يصنع.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. صفحة 400 ، التعريف 10.34.
يتغيرون ج1, ج2 ل ج0, ج1.
تم الإبلاغ عنه في 10/24/07 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا. صفحة 403 ، السطر الثالث من إثبات النظرية 10.40.
يتغيرون جأنا ل جن.
تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
تم تصحيح الخطأ في 11/6/06 بواسطة رودني بليس من جامعة بريغهام يونغ.
صفحة 408 ، التعريف 10.45.
السطر السادس والثاني من السطر الأخير: التغيير على المدخلات ث ل عند الإدخال f (w).
السطر الأخير: التغيير العلاقات العامة ل العلاقات العامةم ، ث.

تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
تصحيح Erratum في 4/26/06 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، إسطنبول ، تركيا.
الصفحة 410 ، التعريف 10.47 ، الرابع من السطر الأخير.
يتغيرون العلاقات العامة ل العلاقات العامةه ، ث.

تم الإبلاغ عنه في 24/2/2006 بواسطة كريستوس كابوتسيس من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
تصحيح الخطأ في 10/4/06 بواسطة Cem Say of Bo & # 287azi & ccedili University ، اسطنبول ، تركيا.
الصفحة 412 و 413 ، المشكلة 10.16 والحل.
يتغيرون ضص ل ضص + في المشكلة ومرتين في الفقرة الأخيرة من الحل.


حل المعادلات جبريا المحتويات: تتوافق هذه الصفحة مع & القسم 2.4 (ص 200) من النص. المشاكل المقترحة من النص: ص. 212 # 7 ، 8 ، 11 ، 15 ، 17 ، 18 ، 23 ، 26 ، 35 ، 38 ، 41 ، 43 ، 46 ، 47 ، 51 ، 54 ، 57 ، 60 ، 63 ، 66 ، 71 ، 72 ، 75 ، 76 ، 81 ، 87 ، 88 ، 95 ، 97 المعادلات التربيعية

المعادلة التربيعية هي إحدى المعادلات على شكل ax 2 + bx + c = 0 ، حيث a و b و c أرقام ، و a لا يساوي 0.

التخصيم

يعتمد هذا النهج لحل المعادلات على حقيقة أنه إذا كان حاصل ضرب كميتين هو صفر ، فيجب أن تكون إحدى الكميتين على الأقل صفراً. بمعنى آخر ، إذا كان a * b = 0 ، فإما أن a = 0 أو b = 0 أو كلاهما. لمزيد من المعلومات حول تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل ، راجع قسم المراجعة ص 3 (ص 26) من النص.

2 س 2-5 س - 12 = 0.

(2 س + 3) (س - 4) = 0.

2 س + 3 = 0 أو س - 4 = 0.

س = -3/2 أو س = 4.

مبدأ الجذر التربيعي

× 2-9 = 0.

× 2 = 9.

س = 3 أو س = -3.

س 2 + 7 = 0.

× 2 = -7.

س = & plusmn.

لاحظ أن = = ، لذا فإن الحلول هي

x = & plusmn ، رقمان مركبان.

استكمال الساحة

الفكرة من إكمال المربع هي إعادة كتابة المعادلة بشكل يسمح لنا بتطبيق مبدأ الجذر التربيعي.

س 2 + 6 س - 1 = 0.

س 2 + 6 س = 1.

س 2 + 6 س + 9 = 1 + 9.

9 المضافة إلى كلا الجانبين جاءت من تربيع نصف معامل x ، (6/2) 2 = 9. والسبب في اختيار هذه القيمة هو أن الجانب الأيسر من المعادلة الآن هو مربع ذو الحدين (ذو حدتين ). هذا هو السبب في أن هذا الإجراء يسمى إكمال المربع. [يمكن للقارئ المهتم أن يرى أن هذا صحيح بالنظر إلى (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2. للحصول على & quota & quot ، يحتاج المرء فقط إلى قسمة معامل x على 2. وبالتالي ، لإكمال المربع لـ x 2 + 2ax ، يتعين على المرء إضافة 2.]

يمكننا الآن تطبيق مبدأ الجذر التربيعي ثم إيجاد قيمة x.

2 س 2 + 6 س - 5 = 0.

2 س 2 + 6 س = 5.

طريقة إكمال المربع الموضحة في المثال السابق لا تعمل إلا إذا كان المعامل الرئيسي (معامل x 2) هو 1. في هذا المثال المعامل الرئيسي هو 2 ، ولكن يمكننا تغيير ذلك بقسمة طرفي المعادلة على 2.

الآن وقد أصبح المعامل الرئيسي 1 ، نأخذ معامل x ، وهو الآن 3 ، نقسمه على 2 ومربع ، (3/2) 2 = 9/4. هذا هو الثابت الذي نضيفه إلى كلا الجانبين لإكمال المربع.

الطرف الأيسر هو مربع (x + 3/2). [تحقق من هذا!]

والآن نستخدم مبدأ الجذر التربيعي ونوجد قيمة x.

لقد ناقشنا حتى الآن ثلاث تقنيات لحل المعادلات التربيعية. ما هو أفضل؟ هذا يعتمد على المشكلة وتفضيلاتك الشخصية. يمكن إعادة ترتيب المعادلة الموجودة بالصيغة الصحيحة لتطبيق مبدأ الجذر التربيعي وحلها عن طريق التحليل إلى عوامل كما نرى في المثال التالي.

في بعض الحالات ، يمكن حل المعادلة عن طريق التحليل إلى عوامل ، لكن التحليل إلى العوامل ليس واضحًا.

ستنجح طريقة إكمال المربع دائمًا ، حتى لو كانت الحلول أرقامًا مركبة ، وفي هذه الحالة سنأخذ الجذر التربيعي لرقم سالب. علاوة على ذلك ، فإن الخطوات اللازمة لإكمال المربع هي نفسها دائمًا ، بحيث يمكن تطبيقها على المعادلة التربيعية العامة

نتيجة إكمال المربع في هذه المعادلة العامة هي صيغة لحلول المعادلة تسمى الصيغة التربيعية.

الصيغة التربيعية

حلول المعادلة ax 2 + bx + c = 0 هي

نحن نقول إن إكمال المربع يعمل دائمًا ، وقد أكملنا المربع في الحالة العامة ، حيث لدينا أ و ب و ج بدلاً من الأرقام. إذن ، لإيجاد الحلول لأي معادلة تربيعية ، نكتبها بالصيغة القياسية لإيجاد قيم a و b و c ، ثم نعوض بهذه القيم في الصيغة التربيعية.

إحدى النتائج هي أنك لن تضطر أبدًا لإكمال المربع لإيجاد حلول لمعادلة تربيعية. ومع ذلك ، فإن عملية إكمال المربع مهمة لأسباب أخرى ، لذلك لا تزال بحاجة إلى معرفة كيفية القيام بذلك!

أمثلة باستخدام الصيغة التربيعية:

2 س 2 + 6 س - 5 = 0.

في هذه الحالة ، أ = 2 ، ب = 6 ، ج = -5. ينتج عن استبدال هذه القيم في الصيغة التربيعية

لاحظ أننا حللنا هذه المعادلة مسبقًا بإكمال المربع.

ملاحظة: هناك حلان حقيقيان. فيما يتعلق بالرسوم البيانية ، يوجد تقاطعان للرسم البياني للدالة f (x) = 2x 2 + 6x - 5.

4 س 2 + 4 س + 1 = 0

في هذا المثال ، أ = 4 ، ب = 4 ، ج = 1.

    لايوجد الا حل واحد. من حيث الرسوم البيانية ، هذا يعني أن هناك تقاطع إكس واحد فقط.

ملاحظة: لا توجد حلول حقيقية. من حيث الرسوم البيانية ، لا توجد تقاطعات للرسم البياني للدالة f (x) = x 2 + x + 1. وبالتالي ، فإن الحلول معقدة لأن الرسم البياني لـ y = x 2 + x + 1 ليس له تقاطعات x .

يُطلق على التعبير تحت الجذر في الصيغة التربيعية ، b 2 - 4ac ، مميز المعادلة. توضح الأمثلة الثلاثة الأخيرة الاحتمالات الثلاثة للمعادلات التربيعية.

1. التمييز و GT 0. حلين حقيقيين.

2. التمييز = 0. حل حقيقي واحد.

3. تمييز & lt 0. حلان معقدان.

ملاحظات حول فحص الحلول

لا يمكن لأي من التقنيات التي تم تقديمها حتى الآن في هذا القسم تقديم حلول خارجية. (انظر المثال 3 من قسم المعادلات الخطية والنمذجة.) ومع ذلك ، لا يزال من الجيد التحقق من الحلول الخاصة بك ، لأنه من السهل جدًا ارتكاب أخطاء غير مبالية أثناء حل المعادلات.

الطريقة الجبرية ، التي تتكون من استبدال الرقم مرة أخرى في المعادلة والتحقق من صحة العبارة الناتجة ، تعمل بشكل جيد عندما يكون الحل & quotsimple & quot ، ولكنها ليست عملية للغاية عندما يتضمن الحل جذريًا.

على سبيل المثال ، في المثال التالي إلى الأخير ، 4x 2 + 4x + 1 = 0 ، وجدنا حلًا واحدًا x = -1/2.

يبدو أن الشيك الجبري

4(-1/2) 2 +4(-1/2) + 1 = 0.

4(1/4) - 2 + 1 = 0.

1 - 2 + 1 = 0.

0 = 0. يتحقق الحل.

في المثال السابق ، 2x 2 + 6x - 5 = 0 ، وجدنا حلين حقيقيين ، x = (-3 & plusmn sqrt (19)) / 2. من الممكن بالتأكيد التحقق من هذا جبريًا ، لكنه ليس بالأمر السهل جدًا. في هذه الحالة يكون الفحص الرسومي أو استخدام الآلة الحاسبة للفحص الجبري أسرع.

أولاً ، أوجد التقريب العشري للحلين المقترحين.

(-3 + الجذر التربيعي (19)) / 2 = 0.679449.

(-3 - الجذر التربيعي (19)) / 2 = -3.679449.

استخدم الآن أداة الرسم البياني لرسم y = 2x 2 + 6x - 5 ، وتتبع الرسم البياني للعثور على مكان تقاطعات x تقريبًا. إذا كانت قريبة من القيم أعلاه ، فيمكنك أن تكون متأكدًا تمامًا من أن لديك الحلول الصحيحة. يمكنك أيضًا إدراج الحل التقريبي في المعادلة لمعرفة ما إذا كان كلا طرفي المعادلة يعطيان نفس القيم تقريبًا. ومع ذلك ، ما زلت بحاجة إلى توخي الحذر في مطالبتك بأن حلك صحيح ، لأنه ليس هو الحل الدقيق.

لاحظ أنك إذا بدأت بالمعادلة 2x 2 + 6x - 5 = 0 وذهبت مباشرةً إلى أداة الرسوم البيانية لحلها ، فلن تحصل على الحلول الدقيقة ، لأنها غير منطقية. ومع ذلك ، بعد أن وجدت (جبريًا) رقمين تعتقد أنهما حلان ، إذا أظهرت الأداة المساعدة للرسوم البيانية أن عمليات الاعتراض قريبة جدًا من الأرقام التي وجدتها ، فأنت على الأرجح على حق!

حل المعادلات التربيعية التالية.

(أ) 3x2-5x - 2 = 0. الإجابة

(ب) (س + 1) 2 = 3. الإجابة

(ج) × 2 = 3 × + 2. الإجابة

المعادلات التي تتضمن الجذور

غالبًا ما يمكن تبسيط المعادلات مع الجذور من خلال رفعها إلى القوة المناسبة ، أو التربيع إذا كان الجذر هو الجذر التربيعي ، أو التكعيب للجذر التكعيبي ، وما إلى ذلك. يمكن أن تقدم هذه العملية جذورًا دخيلة ، لذلك يجب التحقق من جميع الحلول.

إذا كان هناك جذري واحد فقط في المعادلة ، فقبل أن ترفع إلى قوة ما ، يجب أن ترتب أن يكون المصطلح الجذري بمفرده في جانب واحد من المعادلة.

الآن بعد أن عزلنا الحد الجذري في الطرف الأيمن ، قمنا بتربيع كلا الطرفين وحل المعادلة الناتجة عن x.

الشيك:

س = 0

عندما نعوض بـ x = 0 في المعادلة الأصلية ، نحصل على العبارة 0 = 2 ، وهذا ليس صحيحًا!

إذن ، x = 0 ليس حلاً.

عندما نعوض بـ x = 3 في المعادلة الأصلية ، نحصل على العبارة 3 = 3. هذا صحيح ، لذا فإن x = 3 حل.

ملاحظة: الحل هو إحداثيات x لنقطة تقاطع الرسوم البيانية لـ y = x و y = sqrt (x + 1) +1.

انظر إلى ما كان سيحدث إذا قمنا بتربيع طرفي المعادلة قبل عزل الحد الجذري.

هذا أسوأ مما بدأنا به!

إذا كان هناك أكثر من مصطلح جذري في المعادلة ، فعندئذ بشكل عام ، لا يمكننا القضاء على جميع الراديكاليين من خلال رفع مستوى القوة مرة واحدة. ومع ذلك ، يمكننا تقليل عدد الحدود الجذرية بالرفع إلى أس.

إذا كانت المعادلة تتضمن أكثر من حد جذري واحد ، فلا زلنا نريد عزل جذري واحد من جانب واحد والارتفاع إلى قوة. ثم نكرر تلك العملية.

الآن قم بتربيع طرفي المعادلة.

هذه المعادلة لها مصطلح جذري واحد فقط ، لذا فقد أحرزنا تقدمًا! الآن افصل الحد الجذري ثم قم بتربيع كلا الجانبين مرة أخرى.

الشيك:

التعويض عن x = 5/4 في المعادلة الأصلية ينتج عنه

الجذر التربيعي (9/4) + الجذر التربيعي (1/4) = 2.

3/2 + 1/2 = 2.

هذه العبارة صحيحة ، لذا فإن x = 5/4 حل.

ملاحظة حول فحص الحلول:

كان من السهل إجراء التدقيق الجبري في هذه الحالة. ومع ذلك ، فإن الفحص الرسومي له ميزة إظهار أنه لا توجد حلول لم نعثر عليها ، على الأقل في نطاق مستطيل العرض. الحل هو إحداثيات x لنقطة تقاطع التمثيلات البيانية لـ y = 2 و y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).

المعادلات متعددة الحدود من الدرجة العليا

لقد رأينا أن أي معادلة متعددة الحدود من الدرجة الثانية (المعادلة التربيعية) في متغير واحد يمكن حلها باستخدام الصيغة التربيعية. المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأكبر من اثنتين أكثر تعقيدًا. عندما نواجه مثل هذه المشكلة ، فإما أن تكون كثيرة الحدود ذات شكل خاص يسمح لنا بتحليلها ، أو يجب علينا تقريب الحلول بأداة الرسم البياني.

ثابت الصفر

إحدى الحالات الخاصة الشائعة هي عدم وجود مصطلح ثابت. في هذه الحالة ، يمكننا تحليل قوة أو أكثر من قوى x لبدء المسألة.

2 س 3 + 3 س 2-5 س = 0.

س (2 س 2 + 3 س -5) = 0.

الآن لدينا حاصل ضرب x وكثير حدود تربيعية يساوي 0 ، إذن لدينا معادلتان أبسط.

س = 0 ، أو 2 س 2 + 3 س -5 = 0.

المعادلة الأولى تافهة لحلها. س = 0 هو الحل الوحيد. يمكن حل المعادلة الثانية عن طريق التحليل. ملاحظة: إذا لم نتمكن من تحليل المعادلة التربيعية في المعادلة الثانية ، فربما لجأنا إلى استخدام الصيغة التربيعية. [تحقق من حصولك على نفس النتائج على النحو التالي.]

س = 0 أو (2 س + 5) (س - 1) = 0.

إذن ، هناك ثلاثة حلول: س = 0 ، س = -5 / 2 ، س = 1.

ملاحظة: تم إيجاد الحل من تقاطعات الرسوم البيانية لـ f (x) = 2x 3 + 3x 2 -5x.

عامل بالتجميع

× 3 - 2 × 2-9 × +18 = 0.

معامل x 2 يساوي -2 ضعف x 3 ، وتوجد نفس العلاقة بين معاملات الحد الثالث والرابع. مجموعة الحد الأول والثاني ، وكذلك المصطلحين ثلاثة وأربعة.

x 2 (x - 2) - 9 (x - 2) = 0.

تشترك هذه المجموعات في العامل المشترك (x - 2) ، لذا يمكننا تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.

(س - 2) (× 2-9) = 0.

عندما نجد منتجًا يساوي صفرًا ، نحصل على معادلتين أبسط.

س - 2 = 0 ، أو س 2 - 9 = 0.

س = 2 أو (س + 3) (س - 3) = 0.

إذن ، هناك ثلاثة حلول ، س = 2 ، س = -3 ، س = 3.

ملاحظة: تم العثور على هذه الحلول من تقاطعات الرسم البياني لـ f (x) = x 3 -2x 2 -9x +18.

من الدرجة الثانية في الشكل

× 4 - × 2-12 = 0.

كثير الحدود هذا ليس تربيعيًا ، فهو من الدرجة الرابعة ومع ذلك ، يمكن اعتباره تربيعيًا في x 2.

(× 2) 2 - (× 2) - 12 = 0.

قد يساعدك بالفعل استبدال z بـ x 2.

z 2 - z - 12 = 0 هذه معادلة تربيعية في z.

(ض - 4) (ض + 3) = 0.

ض = 4 أو ض = -3.

لم ننته بعد ، لأننا نحتاج إلى إيجاد قيم x التي تجعل المعادلة الأصلية صحيحة. الآن استبدل z بـ x 2 وحل المعادلات الناتجة.

× 2 = 4.

س = 2 ، س = -2.

× 2 = -3.

س = أنا أو س = - أنا.

إذن ، هناك أربعة حلول ، اثنان حقيقي واثنان مركبان.

ملاحظة: تم العثور على هذه الحلول من تقاطعات الرسم البياني لـ f (x) = x 4 - x 2-12.

رسم بياني لـ f (x) = x 4 - x 2-12 وزوم يوضح القيم القصوى المحلية.

حل المعادلة x 4 - 5x 2 + 4 = 0. أجب

المعادلات التي تتضمن التعبيرات الكسرية أو القيم المطلقة

المقام المشترك الأصغر هو x (x + 2) ، لذلك نضرب كلا الطرفين في هذا المنتج.

هذه المعادلة من الدرجة الثانية. تعطي الصيغة التربيعية الحلول

التحقق ضروري لأننا ضربنا كلا الطرفين بتعبير متغير. باستخدام أداة الرسم البياني نرى أن كلا الحلين يتحققان. الحل هو إحداثيات x لنقطة تقاطع التمثيلات البيانية لـ y = 1 و y = 2 / x-1 / (x + 2).

5 | x - 1 | = س + 11.

مفتاح حل المعادلة بالقيم المطلقة هو أن نتذكر أن الكمية داخل أشرطة القيمة المطلقة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة. سيكون لدينا معادلتان منفصلتان تمثلان الاحتمالات المختلفة ، ويجب التحقق من جميع الحلول.

حالة 1 . افترض أن x - 1 & gt = 0. ثم | x - 1 | = س - 1 ، إذن لدينا المعادلة

5 (س - 1) = س + 11.

٥ س - ٥ = س + ١١.

4 س = 16.

س = 4 ، وهذا الحل يتحقق لأن 5 * 3 = 4 + 11.

الحالة 2. افترض أن x - 1 & lt 0. ثم x - 1 سالب ، لذا | x - 1 | = - (س - 1). غالبًا ما تربك هذه النقطة الطلاب ، لأنها تبدو كما لو أننا نقول إن القيمة المطلقة للتعبير سالبة ، لكننا لسنا كذلك. التعبير (x - 1) سالب بالفعل ، لذا - (x - 1) موجب.

الآن تصبح معادلتنا

-5 (س - 1) = س + 11.

-5 س + 5 = س + 11.

-6 س = 6.

س = -1 ، وهذا الحل يتحقق لأن 5 * 2 = -1 + 11.

إذا كنت تستخدم Java Grapher للتحقق بيانيًا ، فلاحظ أن القيمة المطلقة () هي القيمة المطلقة ، لذلك يمكنك الرسم البياني

5 * abs (x - 1) - x - 11 وانظر إلى x-intercepts ، أو يمكنك إيجاد الحل كإحداثيات x لنقاط تقاطع الرسوم البيانية لـ y = x + 11 و y = 5 * abs ( × 1).

(أ) حل المعادلة الإجابة

(ب) حل المعادلة | x - 2 | = 2 - x / 3 إجابة