مقالات

5.5E: نظرية جرين (تمارين) - رياضيات


بالنسبة للتدريبات التالية ، قم بتقييم تكاملات الخط من خلال تطبيق نظرية جرين.

1. ( displaystyle int_C 2xy ، dx + (x + y) ، dy ) حيث (C ) هو المسار من ((0، 0) ) إلى ((1، 1) ) على طول الرسم البياني (y = x ^ 3 ) ومن ((1، 1) ) إلى ((0، 0) ) على طول الرسم البياني (y = x ) الموجه في اتجاه عكس عقارب الساعة

2. ( displaystyle int_C 2xy ، dx + (x + y) ، dy ) حيث (C ) هي حدود المنطقة الواقعة بين الرسوم البيانية لـ (y = 0 ) و (y = 4 − x ^ 2 ) موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة

إجابه:
( displaystyle int_C2xy ، dx + (x + y) ، dy = frac {32} {3} ) وحدات العمل

3. ( displaystyle int_C 2 arctan left ( frac {y} {x} right) ، dx + ln (x ^ 2 + y ^ 2) ، dy ) حيث (C ) هو محدد بواسطة (x = 4 + 2 cos θ، ؛ y = 4 sin θ ) الموجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة

4. ( displaystyle int_C sin x cos y ، dx + (xy + cos x sin y) ، dy ) حيث (C ) هو حدود المنطقة الواقعة بين الرسوم البيانية لـ (y = x ) و (y = sqrt {x} ) موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة

إجابه:
( displaystyle int_C sin x cos y ، dx + (xy + cos x sin y) ، dy = frac {1} {12} ) وحدات العمل

5. ( displaystyle int_C xy ، dx + (x + y) ، dy ) حيث (C ) هي حدود المنطقة الواقعة بين الرسوم البيانية لـ ((x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) و (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة

6. ( displaystyle ∮_C (y ، dx + x ، dy) )، حيث (C ) يتكون من قطعة سطر (C_1 ) من ((- 1،0) ) إلى ( (1 ، 0) ) ، متبوعًا بقوس نصف دائري (C_2 ) من ((1 ، 0) ) إلى ((1 ، 0) )

إجابه:
( displaystyle ∮_C (−y ، ، dx + x ، ، dy) = π ) وحدات العمل

للتمارين التالية ، استخدم نظرية جرين.

7. دع (C ) هو المنحنى الذي يتكون من مقاطع خط من ((0 ، 0) ) إلى ((1 ، 1) ) إلى ((0 ، 1) ) والعودة إلى ((0 ، 0) ). أوجد قيمة ( displaystyle int_C xy ، dx + sqrt {y ^ 2 + 1} ، dy ).

8. احسب قيمة تكامل الخط ( displaystyle int_C xe ^ {- 2x} ، dx + (x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2) ، dy ) حيث (C ) هو حدود المنطقة بين الدوائر (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) و (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) ، وهو منحنى موجب التوجه.

إجابه:
( displaystyle int_C xe ^ {- 2x} ، dx + (x ^ 4 + 2x ^ 2y ^ 2) ، dy = 0 ) وحدات العمل

9. ابحث عن الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة للحقل ( vecs F (x، y) = xy ، mathbf { hat i} + y ^ 2 ، mathbf { hat j} ) حول حدود المنطقة وفوقها محاطة بمنحنيات (y = x ^ 2 ) و (y = x ) في الربع الأول وموجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

10. أوجد قيمة ( displaystyle ∮_C y ^ 3 ، dx − x ^ 3y ^ 2 ، dy ) حيث (C ) هي الدائرة الموجبة من نصف القطر (2 ) المتمركزة في الأصل.

إجابه:
( displaystyle ∮_C y ^ 3 ، dx − x ^ 3y ^ 2 ، dy = −24π ) وحدات العمل

11. أوجد قيمة ( displaystyle ^_C y ^ 3 ، dx − x ^ 3 ، dy ) حيث يتضمن (C ) دائرتين من نصف القطر (2 ) ونصف القطر (1 ) المتمركزان في الأصل ، مع التوجه الإيجابي.

12. احسب ( displaystyle ∮_C −x ^ 2y ، dx + xy ^ 2 ، dy ) حيث (C ) هي دائرة نصف قطر (2 ) متمركزة في الأصل وموجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة .

إجابه:
( displaystyle ∮_C −x ^ 2y ، dx + xy ^ 2 ، dy = 8π ) وحدات العمل

13. حساب متكامل ( displaystyle ∮_C 2 [y + x sin (y)] ، dx + [x ^ 2 cos (y) −3y ^ 2] ، dy ) على طول المثلث (C ) برؤوس ((0 ، 0) ، ، (1 ، 0) ) و ((1 ، 1) ) ، موجهًا عكس اتجاه عقارب الساعة ، باستخدام نظرية جرين.

14. احسب تكامل ( displaystyle ∮_C (x ^ 2 + y ^ 2) ، dx + 2xy ، dy ) حيث (C ) هو المنحنى الذي يلي القطع المكافئ (y = x ^ 2 ) من ((0،0) ، ، (2،4) ، ) ثم السطر من ((2 ، 4) ) إلى ((2 ، 0) ) ، وأخيراً السطر من (( 2 ، 0) ) إلى ((0 ، 0) ).

إجابه:
( displaystyle ∮_C (x ^ 2 + y ^ 2) ، dx + 2xy ، dy = 0 ) وحدات العمل

15. احسب قيمة تكامل الخط ( displaystyle ∮_C (y− sin (y) cos (y)) ، dx + 2x sin ^ 2 (y) ، dy ) حيث يتم توجيه (C ) في مسار في عكس اتجاه عقارب الساعة حول المنطقة التي يحدها (x = −1 ، ، x = 2 ، ، y = 4 − x ^ 2 ) ، و (y = x − 2. )

للتمارين التالية ، استخدم نظرية جرين للعثور على المنطقة.

16. أوجد المساحة بين القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {9} + frac {y ^ 2} {4} = 1 ) والدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 25 ).

إجابه:
(A = 19π ؛ نص {وحدات} ^ 2 )

17. أوجد مساحة المنطقة المحاطة بالمعادلة البارامترية

( vecs p (θ) = ( cos (θ) - cos ^ 2 (θ)) ، mathbf { hat i} + ( sin (θ) - cos (θ) sin (θ )) ، mathbf { hat j} ) لـ (0≤θ≤2π. )

18. أوجد مساحة المنطقة التي يحدها hypocycloid ( vecs r (t) = cos ^ 3 (t) ، mathbf { hat i} + sin ^ 3 (t) ، mathbf { hat j } ). المنحنى معلمات بواسطة (t∈ [0،2π]. )

إجابه:
(A = frac {3} {8π} ؛ text {Units} ^ 2 )

19. أوجد مساحة البنتاغون برؤوسه ((0،4)، ، (4،1)، ، (3،0)، ، (- 1، −1)، ) و ((- 2 ، 2) ).

20. استخدم نظرية جرين لتقييم ( displaystyle int_ {C ^ +} (y ^ 2 + x ^ 3) ، dx + x ^ 4 ، dy ) حيث (C ^ + ) هو محيط مربع ([0،1] × [0،1] ) موجه عكس اتجاه عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle int_ {C ^ +} (y ^ 2 + x ^ 3) ، dx + x ^ 4 ، dy = 0 )

21. استخدم نظرية جرين لإثبات مساحة القرص بنصف قطر (a ) هو (A = πa ^ 2 ؛ text {Units} ^ 2 ).

22. استخدم نظرية جرين لإيجاد مساحة حلقة واحدة من وردة بأربع أوراق (r = 3 sin 2θ ). (تلميح: (x ، dy − y ، dx = r ^ 2 ، dθ )).

إجابه:
(A = frac {9π} {8} ؛ text {Units} ^ 2 )

23. استخدم نظرية جرين لإيجاد المساحة الواقعة تحت قوس واحد من الدائرة الحلقية المعطاة بواسطة المعادلات البارامترية: (x = t− sin t، ؛ y = 1− cos t، ؛ t≥0. )

24. استخدم نظرية جرين للعثور على منطقة المنطقة المحاطة بالمنحنى

( vecs r (t) = t ^ 2 ، mathbf { hat i} + left ( frac {t ^ 3} {3} −t right) ، mathbf { hat j}، ) لـ (- sqrt {3} ≤t≤ sqrt {3} ).

إجابه:
(A = frac {8 sqrt {3}} {5} ؛ text {Units} ^ 2 )

25. [T] قم بتقييم نظرية جرين باستخدام نظام الجبر الحاسوبي لتقييم التكامل ( displaystyle int_C xe ^ y ، dx + e ^ x ، dy ) حيث (C ) هي الدائرة المعطاة بواسطة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) وموجه في اتجاه عكس عقارب الساعة.

26. أوجد قيمة ( displaystyle int_C (x ^ 2y − 2xy + y ^ 2) ، ds ) حيث (C ) هو حدود مربع الوحدة (0≤x≤1، ؛ 0≤y ≤1 ) ، تم اجتيازها عكس اتجاه عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle int_C (x ^ 2y − 2xy + y ^ 2) ، ds = 3 )

27. تقييم ( displaystyle int_C frac {- (y + 2) ، dx + (x − 1) ، dy} {(x − 1) ^ 2 + (y + 2) ^ 2} ) ، حيث (C ) هو أي منحنى بسيط مغلق بداخله لا يحتوي على نقطة ((1، −2) ) يتم اجتيازه عكس اتجاه عقارب الساعة.

28. تقييم ( displaystyle int_C frac {x ، dx + y ، dy} {x ^ 2 + y ^ 2} ) ، حيث (C ) هو أي منحنى مغلق بسيط وسلس يحوي الأصل ، اجتياز عكس اتجاه عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle int_C frac {x ، dx + y ، dy} {x ^ 2 + y ^ 2} = 2π )

بالنسبة للتدريبات التالية ، استخدم نظرية جرين لحساب الشغل الذي تم إجراؤه بالقوة ( vecs F ) على جسيم يتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة حول مسار مغلق (ج ).

29. ( vecs F (x، y) = xy ، mathbf { hat i} + (x + y) ، mathbf { hat j}، quad C: x ^ 2 + y ^ 2 = 4 )

30. ( vecs F (x، y) = (x ^ {3/2} −3y) ، mathbf { hat i} + (6x + 5 sqrt {y}) ، mathbf { hat j } ، quad C ): حدود المثلث برؤوس ((0 ، 0) ، ، (5 ، 0) ، ) و ((0 ، 5) )

إجابه:
(W = frac {225} {2} ) وحدات العمل

31. أوجد قيمة ( displaystyle int_C (2x ^ 3 − y ^ 3) ، dx + (x ^ 3 + y ^ 3) ، dy ) حيث (C ) هي دائرة وحدة موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

32. يبدأ الجسيم عند النقطة ((- 2،0) ) ، ويتحرك على طول المحور (x ) - إلى ((2 ، 0) ) ، ثم ينتقل على طول نصف دائرة (y = sqrt {4 −x ^ 2} ) إلى نقطة البداية. استخدم نظرية جرين لإيجاد الشغل المنجز على هذا الجسيم عن طريق حقل القوة ( vecs F (x، y) = x ، mathbf { hat i} + (x ^ 3 + 3xy ^ 2) ، mathbf { قبعة ي} ).

إجابه:
(W = 12π ) وحدات العمل

33. ديفيد وساندرا يتزلجان على بركة عديمة الاحتكاك في مهب الريح. يتزلج ديفيد من الداخل ، ويمشي على طول دائرة نصف قطرها (2 ) في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. تتزلج ساندرا مرة واحدة حول دائرة نصف قطرها (3 ) ، وكذلك في اتجاه عكس عقارب الساعة. افترض أن قوة الرياح عند النقطة ((x، y) ) هي ( vecs F (x، y) = (x ^ 2y + 10y) ، mathbf { hat i} + (x ^ 3 + 2xy ^ 2) ، mathbf { hat j} ). استخدم نظرية جرين لتحديد من يقوم بالمزيد من العمل.

34. استخدم نظرية جرين لإيجاد الشغل المنجز بواسطة حقل القوة ( vecs F (x، y) = (3y − 4x) ، mathbf { hat i} + (4x − y) ، mathbf { hat j } ) عندما يتحرك كائن مرة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة حول القطع الناقص (4x ^ 2 + y ^ 2 = 4. )

إجابه:
(W = 2π ) وحدات العمل

35. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle ∮_C e ^ {2x} sin 2y ، dx + e ^ {2x} cos 2y ، dy ) حيث (C ) هو القطع الناقص (9 (x − 1) ^ 2 + 4 (y − 3) ^ 2 = 36 ) موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة.

36. احسب قيمة تكامل الخط ( displaystyle ∮_C y ^ 2 ، dx + x ^ 2 ، dy ) حيث (C ) هي حدود مثلث برؤوسه ((0،0)، ، ( 1،1) ) و ((1،0) ) باتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle ∮_C y ^ 2 ، dx + x ^ 2 ، dy = frac {1} {3} ) وحدات العمل

37. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle int_C vecs h · d vecs r ) if ( vecs h (x، y) = e ^ y ، mathbf { hat i} - sin πx ، mathbf { hat j} ) ، حيث (C ) مثلث برؤوس ((1 ، 0) ، ، (0 ، 1) ، ) و ((- 1،0 ) ، ) تم اجتيازها عكس اتجاه عقارب الساعة.

38. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle int_C sqrt {1 + x ^ 3} ، dx + 2xy ، dy ) حيث (C ) مثلث برؤوس ((0، 0) ، ، (1 ، 0) ، ) و ((1 ، 3) ) باتجاه عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle int_C sqrt {1 + x ^ 3} ، dx + 2xy ، dy = 3 ) وحدات العمل

39. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle int_C x ^ 2y ، dx − xy ^ 2 ، dy ) حيث (C ) دائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة.

40. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle int_C left (3y − e ^ { sin x} right) ، dx + left (7x + sqrt {y ^ 4 + 1} right) ، dy ) حيث (C ) عبارة عن دائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ) موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle int_C left (3y − e ^ { sin x} right) ، dx + left (7x + sqrt {y ^ 4 + 1} right) ، dy = 36π ) وحدات العمل

41. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle int_C (3x − 5y) ، dx + (x − 6y) ، dy ) حيث (C ) هو ellipse ( frac {x ^ 2} { 4} + y ^ 2 = 1 ) وموجهة في عكس اتجاه عقارب الساعة.

42. لنفترض أن (C ) منحنى مغلق مثلث من ((0 ، 0) ) إلى ((1 ، 0) ) إلى ((1 ، 1) ) وأخيراً نعود إلى ((0 ، 0). ) دع ( vecs F (x، y) = 4y ، mathbf { hat i} + 6x ^ 2 ، mathbf { hat j}. ) استخدم نظرية جرين لتقييم ( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs r.)

إجابه:
( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs r = 2 ) وحدات العمل

43. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle ∮_C y ، dx − x ، dy ) حيث (C ) هي دائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 ) موجهة للداخل اتجاه عقارب الساعة.

44. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle ∮_C (y + x) ، dx + (x + sin y) ، dy، ) حيث (C ) هو أي منحنى مغلق سلس يربط الأصل بنفسه موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle ∮_C (y + x) ، dx + (x + sin y) ، dy = 0 ) وحدات العمل

45. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle ∮_C left (y− ln (x ^ 2 + y ^ 2) right) ، dx + left (2 arctan frac {y} {x} يمين) ، dy، ) حيث (C ) هي الدائرة الموجبة بشكل إيجابي ((x − 2) ^ 2 + (y − 3) ^ 2 = 1. )

46. استخدم نظرية جرين لتقييم ( displaystyle ∮_C xy ، dx + x ^ 3y ^ 3 ، dy، ) حيث (C ) مثلث برؤوسه ((0، 0)، ، (1 ، 0) ، ) و ((1 ، 2) ) بتوجيه إيجابي.

إجابه:
( displaystyle ∮_C xy ، dx + x ^ 3y ^ 3 ، dy = 2221 ) وحدات العمل

47. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle int_C sin y ، dx + x cos y ، dy، ) حيث (C ) هو القطع الناقص (x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 1 ) موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

48. دع ( vecs F (x، y) = left ( cos (x ^ 5) −13y ^ 3 right) ، mathbf { hat i} + 13x ^ 3 ، mathbf { hat j }. ) أوجد الدوران بعكس اتجاه عقارب الساعة ( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs r، ) حيث (C ) هو منحنى يتكون من مقطع خط متصل ((- 2،0) ) و ((- 1،0) ، ) نصف دائرة (y = sqrt {1 − x ^ 2} ، ) جزء الخط الذي ينضم ((1 ، 0) ) و ((2 ، 0) ) ، ) ونصف دائرة (y = sqrt {4 − x ^ 2}. )

إجابه:
( displaystyle ∮_C vecs F · d vecs r = 15π ^ 4 ) وحدات العمل

49. استخدم نظرية جرين لتقييم خط متكامل ( displaystyle ∫_C sin (x ^ 3) ، dx + 2ye ^ {x ^ 2} ، dy، ) حيث (C ) هو منحنى مثلث مغلق يربط النقاط ((0 ، 0) ، ، (2 ، 2) ، ) و ((0 ، 2) ) عكس اتجاه عقارب الساعة.

50. دع (C ) يكون حدود المربع (0≤x≤π ، ؛ 0≤y≤π ، ) يتم اجتيازها عكس اتجاه عقارب الساعة. استخدم نظرية جرين لإيجاد ( displaystyle ∫_C sin (x + y) ، dx + cos (x + y) ، dy. )

إجابه:
( displaystyle int_C sin (x + y) ، dx + cos (x + y) ، dy = 4 ) وحدات العمل

51. استخدم نظرية جرين لتقييم تكامل الخط ( displaystyle ∫_C vecs F · d vecs r، ) حيث ( vecs F (x، y) = (y ^ 2 − x ^ 2) mathbf { hat i} + (x ^ 2 + y ^ 2) ، mathbf { hat j}، ) و (C ) مثلث يحده (y = 0، ؛ x = 3، ) و (ص = س ، ) موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة.

52. استخدم نظرية جرين لتقييم التكامل ( displaystyle ∫_C vecs F · d vecs r، ) حيث ( vecs F (x، y) = (xy ^ 2) ، mathbf { hat i} + x و mathbf { hat j} و ) و (C ) عبارة عن دائرة وحدة موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle ∫_C vecs F · d vecs r = π ) وحدات العمل

53. استخدم نظرية جرين في المستوى لتقييم خط متكامل ( displaystyle ∮_C (xy + y ^ 2) ، dx + x ^ 2 ، dy، ) حيث (C ) هو منحنى مغلق لمنطقة محدودة بواسطة (y = x ) و (y = x ^ 2 ) باتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة.

54. احسب التدفق الخارجي لـ ( vecs F (x، y) = - x ، mathbf { hat i} + 2y ، mathbf { hat j} ) فوق مربع به زوايا ((± 1 ، ، ± 1) ، ) حيث تكون الوحدة العادية تشير إلى الخارج وموجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle ∮_C vecs F · vecs N ، ds = 4 )

55. [T] دع (C ) دائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة. قم بتقييم ( displaystyle ∮_C left [ left (3y − e ^ { arctan x}) ، dx + (7x + sqrt {y ^ 4 + 1} right) ، dy right] ) باستخدام a نظام الجبر الحاسوبي.

56. ابحث عن تدفق الحقل ( vecs F (x، y) = - x ، mathbf { hat i} + y ، mathbf { hat j} ) عبر (x ^ 2 + y ^ 2 = 16 ) موجهة في اتجاه عكس عقارب الساعة.

إجابه:
( displaystyle ∮_C vecs F · vecs N ، ds = 32π )

57. دع ( vecs F = (y ^ 2 − x ^ 2) ، mathbf { hat i} + (x ^ 2 + y ^ 2) ، mathbf { hat j}، ) ودعنا (C ) يكون مثلثًا يحده (y = 0 ، ، x = 3 ، ) و (y = x ) موجهًا في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة. ابحث عن التدفق الخارجي لـ ( vecs F ) حتى (C ).

58. [T] دع (C ) عبارة عن دائرة وحدة (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) يتم اجتيازها مرة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة. قم بتقييم ( displaystyle ∫_C left [−y ^ 3 + sin (xy) + xy cos (xy) right] ، dx + left [x ^ 3 + x ^ 2 cos (xy) right ] ، dy ) باستخدام نظام الجبر الحاسوبي.

إجابه:
( displaystyle ∫_C left [−y ^ 3 + sin (xy) + xy cos (xy) right] ، dx + left [x ^ 3 + x ^ 2 cos (xy) right] ، dy = 4.7124 ) وحدات العمل

59. [T] ابحث عن التدفق الخارجي لحقل المتجه ( vecs F (x، y) = xy ^ 2 ، mathbf { hat i} + x ^ 2y ، mathbf { hat j} ) عبر حدود الحلقة (R = big {(x، y): 1≤x ^ 2 + y ^ 2≤4 big } = big {(r، θ): 1≤r≤2، ، 0≤ θ≤2π كبير } ) باستخدام نظام الجبر الحاسوبي.

60. ضع في اعتبارك المنطقة (R ) التي يحدها القطع المكافئ (y = x ^ 2 ) و (x = y ^ 2. ) اجعل (C ) هي حدود (R ) الموجهة عكس اتجاه عقارب الساعة. استخدم نظرية جرين لتقييم ( displaystyle ∮_C left (y + e ^ { sqrt {x}} right) ، dx + left (2x + cos (y ^ 2) right) ، dy. )

إجابه:
( displaystyle ∮_C left (y + e ^ { sqrt {x}} right) ، dx + left (2x + cos (y ^ 2) right) ، dy = 13 ) وحدات العمل

جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.