مقالات

3.9 E: المشتقات Ln ، إلخ. التمارين - الرياضيات


3.9: مشتقاتLn ، الأس العام & وظائف السجل ؛ والتفاضل اللوغاريتمي

ممارسه الرياضه:

للتمارين التالية ، ابحث عن (f ′ (x) ) لكل دالة.

333) (f (x) = e ^ {x ^ 3 ln x} )

إجابه:

(e ^ {x ^ 3} ln x (3x ^ 2 ln x + x ^ 2) )

336) (f (x) = frac {10 ^ x} { ln10} )

337) (f (x) = 2 ^ {4x} + 4x ^ 2 )

إجابه:

(2 ^ {4x + 2} ⋅ ln 2 + 8x )

338) (f (x) = 3 ^ { sin (3x)} )

339) (و (س) = س ^ π⋅π ^ س )

إجابه:

(πx ^ {π − 1} ⋅π ^ x + x ^ π⋅π ^ x ln π )

340) (f (x) = ln (4x ^ 3 + x) )

341) (f (x) = ln sqrt {5x − 7} )

إجابه:

( فارك {5} {2 (5x − 7)} )

342) (f (x) = x ^ 2 ln (9x) )

343) (f (x) = تسجيل ( ثانية x) )

إجابه:

( frac { tan x} { ln10} )

344) (f (x) = log_7 (6x ^ 4 + 3) ^ 5 )

345) (f (x) = 2 ^ x⋅log_37 ^ {x ^ 2−4} )

إجابه:

(2 ^ x⋅ ln 2⋅log_37 ^ {x ^ 2−4} + 2 ^ x⋅ frac {2x ln 7} { ln 3} )

للتدريبات التالية ، استخدم التفاضل اللوغاريتمي لإيجاد ( frac {dy} {dx} ).

346) (y = x ^ { sqrt {x}} )

347) (y = ( sin (2x)) ^ {4x} )

إجابه:

(( sin (2x)) ^ {4x} [4⋅ln ( sin (2x)) + 8x⋅ cot (2x)] )

348) (y = ( ln x) ^ { ln x} )

349) (y = x ^ {log_2x} )

إجابه:

(x ^ {log_2x} ⋅ frac {2 ln x} {x ln 2} )

350) (y = (x ^ 2−1) ^ { ln x} )

351) (y = x ^ { cot x} )

إجابه:

(x ^ { cot x} ⋅ [- csc ^ 2x⋅lnx + frac { cot x} {x}] )

352) (y = frac {x + 11} { sqrt [3] {x ^ 2−4}} )

353) (y = x ^ {- 1/2} (x ^ 2 + 3) ^ {2/3} (3x − 4) ^ 4 )

إجابه:

(x ^ {- 1/2} (x ^ 2 + 3) ^ {2/3} (3x − 4) ^ 4⋅ [ frac {−1} {2x} + frac {4x} {3 ( x ^ 2 + 3)} + frac {12} {3x − 4}] )

354) [T] أوجد معادلة لخط المماس للرسم البياني (f (x) = 4xe ^ {(x ^ 2−1)} ) عند النقطة التي

(x = −1. ) ارسم كلًا من الدالة وخط الظل.

355) [T] أوجد معادلة الخط الطبيعي للرسم البياني (f (x) = x⋅5 ^ x ) عند النقطة حيث (x = 1 ). ارسم كلًا من الدالة والخط العادي.

إجابه:

(y = frac {−1} {5 + 5 ln 5} x + (5+ frac {1} {5 + 5 ln 5}) )

356) [T] أوجد معادلة خط المماس للرسم البياني (x ^ 3 − x ln y + y ^ 3 = 2x + 5 ) عند النقطة حيث (x = 2 ). (تلميح: استخدم التفاضل الضمني لإيجاد ( frac {dy} {dx} ).) ارسم كلًا من المنحنى وخط الظل.

J357)

استخدم ال رسم بياني من (y = f (x) ) (كما هو موضح أدناه) حتى

أ. ارسم الرسم البياني لـ (y = f ^ {- 1} (x) ) و

ب. استخدم الجزء أ. لتقدير ((f ^ {- 1}) ′ (1) ).

إجابه:

أ.

ب. ((f ^ {- 1}) ′ (1) ~ 2 )

لمجموعة التمارين التالية ، ابحث عن ( frac {dy} {dx} ). [تلميح: أولا خذ ln من كلا الجانبين.]

J358) (y = frac {(2x ^ 3−15x) sqrt {6x ^ {4} +7}} {3x ^ 2 − x + 3} )

J359) (y = {30x ^ 4} sqrt {17x + 2} {( sin (x))} )

J360) (y = {e ^ {5x}} {(3x-1) ^ frac {2} {3}} {(8 ^ {3x})} )


3.9 E: المشتقات Ln ، إلخ. التمارين - الرياضيات

لقد أخذنا الكثير من المشتقات على مدار الأقسام القليلة الماضية. ومع ذلك ، إذا نظرت إلى الوراء ، فقد كانت جميعها وظائف مشابهة لأنواع الوظائف التالية.

[R left (z right) = sqrt z hspace <0.25in> f left (t right) = > hspace <0.25in> y = tan left (x right) hspace <0.25in> ، ، ، h left (w right) = << bf> ^ w> hspace <0.25in> ، ، ، g left (x right) = ، ln x ]

هذه كلها وظائف بسيطة إلى حد ما حيث أينما ظهر المتغير فهو بمفرده. ماذا عن وظائف مثل ما يلي ،

[يبدأR يسار (z right) = sqrt <5z - 8> & hspace <0.5in> f left (t right) = < left (<2+ cos left (t right)> right) ^ <50>> hspace <0.5in> hspace <0.25in> y = tan left (< sqrt [3] << 3>> + tan left (<5x> right)> right) h left (w right) = << bf>^ <- 3 + 9 >> & hspace <0.5in> ، ، ، g left (x right) = ، ln left (<> + > حق) نهاية]

لن تعمل أي من قواعدنا على هذه الوظائف ، ومع ذلك فإن بعض هذه الوظائف أقرب إلى المشتقات التي نتحمل مسؤوليتها عن التعامل معها من الوظائف في المجموعة الأولى.

لنأخذ الأول على سبيل المثال. بالعودة إلى القسم الخاص بتعريف المشتق ، استخدمنا التعريف لحساب هذا المشتق. وجدنا في هذا القسم ،

إذا استخدمنا فقط قاعدة القوة في هذا ، فسنحصل على ،

وهو ليس المشتق الذي حسبناه باستخدام التعريف. إنه قريب ، لكنه ليس هو نفسه. لذا ، فإن قاعدة القوة وحدها ببساطة لن تعمل للحصول على المشتق هنا.

دعونا نستمر في النظر إلى هذه الوظيفة ونلاحظ أنه إذا حددنا ،

[f left (z right) = sqrt z hspace <0.25in> hspace <0.25in> g left (z right) = 5z - 8 ]

ثم يمكننا كتابة الوظيفة كتكوين.

[R left (z right) = left ( يمين) يسار (ض يمين) = f يسار ( يمين) = sqrt <5z - 8> ]

واتضح أنه من السهل حقًا التمييز بين تركيبة دالة باستخدام حكم السلسلة. هناك نوعان من أشكال قاعدة السلسلة. ها هم.

حكم السلسلة

افترض أن لدينا وظيفتين (f left (x right) ) و (g left (x right) ) وكلاهما قابل للتفاضل.

  1. إذا حددنا (F left (x right) = left ( right) left (x right) ) ثم مشتق (F left (x right) ) هو [F ' left (x right) = f' left ( يمين) ، ، ، ز ' يسار (س يمين) ]
  2. إذا كان لدينا (y = f left (u right) ) و (u = g left (x right) ) فإن مشتق (y ) هو [ frac <><> = فارك <><> ، ، فارك <><>]

كل من هذه النماذج لها استخدامات خاصة بها ، ولكننا سنعمل في الغالب مع النموذج الأول في هذا الفصل. للاطلاع على إثبات قاعدة السلسلة ، راجع قسم إثبات الصيغ المشتقة المختلفة في فصل الإضافات.

الآن ، دعنا نعود ونستخدم قاعدة السلسلة في الوظيفة التي استخدمناها عندما فتحنا هذا القسم.

لقد حددنا بالفعل الوظيفتين اللتين نحتاجهما للتكوين ، ولكن دعنا نعيد كتابتهما على أي حال وأخذ مشتقاتهما.

[يبدأf يسار (z right) = sqrt z & hspace <0.5in> g يسار (z right) = 5z - 8 f 'left (z right) = displaystyle frac <1> << 2 sqrt z >> & hspace <0.5in> g ' left (z right) = 5 end]

لذلك ، باستخدام قاعدة السلسلة التي نحصل عليها ،

وهذا ما حصلنا عليه باستخدام تعريف المشتقة.

بشكل عام ، نحن لا نقوم بكل العناصر التركيبية باستخدام قاعدة السلسلة. يمكن أن يكون ذلك معقدًا بعض الشيء وفي الواقع يحجب حقيقة أن هناك طريقة سريعة وسهلة لتذكر قاعدة السلسلة التي لا تتطلب منا التفكير من حيث تكوين الوظيفة.

لنأخذ الوظيفة من المثال السابق ونعيد كتابتها قليلاً.

هذه الوظيفة لها "وظيفة داخلية" و "وظيفة خارجية". الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي أو الأس لـ (< textstyle <1 over 2 >> ) اعتمادًا على الطريقة التي تريد التفكير بها والدالة الداخلية هي الأشياء التي نأخذ الجذر التربيعي لها أو ترفع إلى (< textstyle <1 over 2 >> ) ، مرة أخرى اعتمادًا على الطريقة التي تريد النظر إليها.

بشكل عام ، هذه هي الطريقة التي نفكر بها في قاعدة السلسلة. نحدد "الوظيفة الداخلية" و "الوظيفة الخارجية". ثم نفرق الدالة الخارجية مع ترك الدالة الداخلية وشأنها ونضرب كل هذا في مشتقة الدالة الداخلية. في شكله العام هذا هو ،

يمكننا دائمًا تحديد "الوظيفة الخارجية" في الأمثلة أدناه عن طريق سؤال أنفسنا عن كيفية تقييم الوظيفة. على سبيل المثال في حالة (R left (z right) ) إذا سألنا أنفسنا ما (R left (2 right) ) سنقيم أولاً الأشياء تحت الجذر ثم نأخذ في النهاية الجذر التربيعي لهذه النتيجة. الجذر التربيعي هو آخر عملية نقوم بها في التقييم وهذه أيضًا هي الوظيفة الخارجية. ستكون الوظيفة الخارجية دائمًا آخر عملية تقوم بها إذا كنت تنوي تقييم الوظيفة.

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على قاعدة السلسلة.

  1. (f left (x right) = sin left (<3+ س> يمين) )
  2. (f left (t right) = < left (<2+ cos left (t right)> right) ^ <50>> )
  3. (ح يسار (ث يمين) = << bf>^ <- 3 + 9>>)
  4. (ز يسار (س يمين) = ، ln يسار (<> + > حق) )
  5. (ص = ثانية يسار (<1-5x> يمين) )
  6. (P left (t right) = < cos ^ 4> left (t right) + cos left (<> حق) )

يبدو أن الوظيفة الخارجية هي الجيب والوظيفة الداخلية هي 3× 2 + س. المشتق هو إذن.

أو مع القليل من إعادة الكتابة ،

[f ' يسار (x يمين) = يسار (<6x + 1> يمين) cos يسار (<3+ س> يمين) ]

في هذه الحالة ، الدالة الخارجية هي الأس 50 والدالة الداخلية هي كل الأشياء الموجودة داخل الأقواس. المشتق هو إذن.

كان تحديد الوظيفة الخارجية في الوظيفتين السابقتين أمرًا بسيطًا إلى حد ما نظرًا لأنها كانت بالفعل وظيفة "خارجية" بمعنى ما. في هذه الحالة يجب أن نكون حذرين بعض الشيء. تذكر أن الوظيفة الخارجية هي آخر عملية نقوم بها في التقييم. في هذه الحالة ، إذا أردنا تقييم هذه الدالة ، فستكون العملية الأخيرة هي الأسي. لذلك ، فإن الوظيفة الخارجية هي الدالة الأسية والدالة الداخلية هي الأس.

تذكر أننا نترك الدالة الداخلية بمفردها عندما نفرق الدالة الخارجية. لذا ، فإن مشتق الدالة الأسية (مع ترك الداخل وحده) هو الوظيفة الأصلية فقط.

هنا الوظيفة الخارجية هي اللوغاريتم الطبيعي والدالة الداخلية هي أشياء في داخل اللوغاريتم.

تذكر مرة أخرى ترك الوظيفة الداخلية بمفردها عند التفريق بين الوظيفة الخارجية. لذلك ، عند تمييز اللوغاريتم ، لا ينتهي بنا الأمر بـ 1 / (x ) ولكن بدلاً من ذلك مع 1 / (وظيفة داخلية).

في هذه الحالة ، تكون الوظيفة الخارجية هي القاطع والداخل هو (1 - 5x ).

في هذه الحالة ، يكون مشتق الدالة الخارجية ( sec left (x right) tan left (x right) ). ومع ذلك ، نظرًا لأننا نترك الوظيفة الداخلية وحدها ، فإننا لا نحصل على (x ) 'في كليهما. بدلاً من ذلك نحصل على (1 - 5x ) في كليهما.

هناك نقطتان لهذه المشكلة. أولاً ، هناك فترتان وسيتطلب كل منهما تطبيقًا مختلفًا لقاعدة السلسلة. غالبًا ما يكون هذا هو الحال ، لذلك لا تتوقع مجرد قاعدة سلسلة واحدة عند القيام بهذه المشكلات. ثانيًا ، علينا توخي الحذر الشديد في اختيار الدالة الخارجية والداخلية لكل حد.

تذكر أنه يمكن كتابة المصطلح الأول على النحو التالي ،

إذن ، في المصطلح الأول ، الدالة الخارجية هي الأس 4 والدالة الداخلية هي جيب التمام. في الفصل الثاني ، الأمر عكس ذلك تمامًا. في المصطلح الثاني ، الدالة الخارجية هي جيب التمام والوظيفة الداخلية هي (). إليك مشتق هذه الوظيفة.

هناك نوعان من الصيغ العامة التي يمكننا الحصول عليها لبعض الحالات الخاصة لقاعدة السلسلة. دعونا نلقي نظرة سريعة على هؤلاء.

أ الدالة الخارجية هي الأس والداخل هو (g left (x right) ).

ب الوظيفة الخارجية هي الوظيفة الأسية والداخل هو (g left (x right) ).

ج الوظيفة الخارجية هي اللوغاريتم والداخل هو (g left (x right) ).

الصيغ في هذا المثال هي في الحقيقة مجرد حالات خاصة لقاعدة السلسلة ولكن قد يكون من المفيد تذكرها من أجل القيام بسرعة ببعض هذه المشتقات.

الآن ، دعونا أيضًا لا ننسى القواعد الأخرى التي لدينا لعمل المشتقات. بالنسبة للجزء الأكبر ، لن نحدد بشكل صريح الوظائف الداخلية والخارجية لبقية المشكلات في هذا القسم. سنفترض أنه يمكنك رؤية خياراتنا بناءً على الأمثلة السابقة والعمل الذي أظهرناه.

  1. (T left (x right) = < tan ^ <- 1 >> left (<2x> right) ، ، sqrt [3] << 1-3>>)
  2. (و يسار (ض يمين) = خطيئة يسار ( <>> ^ z >> right) )
  3. (displaystyle y = frac <<<< left (<+ 4> right)> ^ 5 >>> <<<< يسار (<1 - 2> right)> ^ 3 >>> )
  4. (displaystyle h left (t right) = > << 6 - >>> حق) ^ 3> )

دعنا نلاحظ أولاً أن هذه المشكلة هي أولاً وقبل كل شيء مشكلة تتعلق بقاعدة المنتج. هذا ناتج من دالتين ، المماس المعكوس والجذر ، ولذا فإن أول شيء علينا فعله لأخذ المشتق هو استخدام قاعدة حاصل الضرب. ومع ذلك ، عند استخدام قاعدة المنتج وكل مشتق سيتطلب تطبيق قاعدة السلسلة أيضًا.

في هذا الجزء كن حذرا مع معكوس الظل. نحن نعرف ذلك،

عند تنفيذ قاعدة السلسلة مع هذا ، نتذكر أنه يتعين علينا ترك الدالة الداخلية بمفردها. هذا يعني أنه حيث لدينا () في مشتق (< tan ^ <- 1 >> x ) سنحتاج إلى (< left (<< mbox>> يمين) ^ 2> ).

الآن قارن هذا مع المشكلة السابقة. في المشكلة السابقة كان لدينا منتج يتطلب منا استخدام قاعدة السلسلة في تطبيق قاعدة المنتج. في هذه المشكلة ، سنحتاج أولاً إلى تطبيق قاعدة السلسلة وعندما نبدأ في اشتقاق الدالة الداخلية ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة المنتج.

هنا جزء قاعدة السلسلة من المشكلة.

في هذه الحالة ، لم نقم بعمل مشتق من الداخل بعد. لقد تركناها في رمز المشتقة لتوضيح أنه لعمل مشتقة الدالة الداخلية ، أصبح لدينا الآن قاعدة حاصل الضرب.

هنا بقية العمل لهذه المشكلة.

بالنسبة لهذه المشكلة ، من الواضح أن لدينا تعبيرًا منطقيًا ، وبالتالي فإن أول شيء يتعين علينا القيام به هو تطبيق قاعدة خارج القسمة. في عملية استخدام قاعدة خارج القسمة ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة السلسلة عند اشتقاق البسط والمقام.

هذه تميل إلى أن تكون فوضوية بعض الشيء. لاحظ أنه عندما نبدأ التبسيط ، سنكون قادرين على قدر معقول من التحليل في البسط وهذا غالبًا ما يؤدي إلى تبسيط المشتق إلى حد كبير.

بعد التحليل إلى عوامل ، تمكنا من حذف بعض حدود البسط مقابل المقام. لذا ، على الرغم من أن قاعدة السلسلة الأولية كانت فوضوية إلى حد ما ، فإن الإجابة النهائية أبسط بشكل ملحوظ بسبب التحليل.

على عكس المشكلة السابقة ، فإن الخطوة الأولى للمشتقة هي استخدام قاعدة السلسلة ، وبعد ذلك بمجرد أن نبدأ في اشتقاق الدالة الداخلية ، سنحتاج إلى تنفيذ قاعدة خارج القسمة.

هنا العمل لهذه المشكلة.

كما هو الحال مع الجزء الثاني أعلاه ، لم نفرق في البداية الدالة الداخلية في الخطوة الأولى لتوضيح أنها ستكون قاعدة خارج القسمة من تلك النقطة فصاعدًا.

كانت هناك عدة نقاط في المثال الأخير. الأول هو ألا ننسى أنه لا يزال لدينا قواعد مشتقات أخرى لا تزال مطلوبة في بعض الأحيان. فقط لأننا نمتلك الآن قاعدة السلسلة لا يعني أنه لن تكون هناك حاجة لقاعدة المنتج وحاصل القسمة.

بالإضافة إلى ذلك ، كما أوضح المثال الأخير ، سيختلف الترتيب الذي يتم إجراؤه به أيضًا. ستكون بعض المشكلات هي مشكلات قاعدة المنتج أو حاصل القسمة التي تتضمن قاعدة السلسلة. ومع ذلك ، ستتطلب المشكلات الأخرى أولاً استخدام قاعدة السلسلة وفي عملية القيام بذلك ، سنحتاج إلى استخدام قاعدة المنتج و / أو حاصل القسمة.

لن تتضمن معظم الأمثلة في هذا القسم المنتج أو قاعدة حاصل القسمة لجعل المشكلات أقصر قليلاً. ومع ذلك ، من الناحية العملية ، سيكونون غالبًا في نفس المشكلة ، لذا عليك أن تكون مستعدًا لهذه الأنواع من المشاكل.

الآن ، دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة الأكثر تعقيدًا.

  1. (displaystyle h left (z right) = frac <2> <<<< left (<4z + << bf> ^ <- 9z >>> right)> ^ <10> >>> )
  2. (f يسار (y يمين) = sqrt <2y + << left (<3y + 4> right)> ^ 3 >> )
  3. (y = tan left (< sqrt [3] << 3>> + ln يسار (<5> right)> right) )
  4. (g left (t right) = < sin ^ 3> left (<<< bf> ^ <1 - t >> + 3 sin left (<6t> right)> right) )

في هذه الحالة ، دعنا أولاً نعيد كتابة الدالة بشكل يسهل التعامل معه.

الآن ، لنبدأ المشتق.

لاحظ أننا لم نقم بالفعل بمشتقة الدالة الداخلية حتى الآن. هذا يسمح لنا أن نلاحظ أنه عندما نفرق الحد الثاني فإننا سنطلب قاعدة السلسلة مرة أخرى. لاحظ أيضًا أننا سنحتاج فقط إلى قاعدة السلسلة على الحد الأسي وليس الحد الأول. في العديد من الوظائف ، سنستخدم قاعدة السلسلة أكثر من مرة ، لذا لا تتحمس حيال ذلك عند حدوثه.

دعونا نمضي قدمًا وننهي هذا المثال.

كن حذرًا مع التطبيق الثاني لقاعدة السلسلة. يتم ضرب الأس في "-9" فقط لأن هذا هو مشتق الدالة الداخلية لهذا المصطلح فقط. أحد الأخطاء الأكثر شيوعًا في هذه الأنواع من المشاكل هو ضرب كل شيء في "-9" وليس فقط الحد الثاني.

لن نضع العديد من الكلمات في هذا المثال ، لكننا سنظل حريصين على هذا المشتق ، لذا تأكد من أنه يمكنك اتباع كل خطوة من الخطوات هنا.

كما هو الحال مع المثال الأول ، تطلب الحد الثاني من الدالة الداخلية قاعدة السلسلة لتمييزها. لاحظ أيضًا أنه علينا توخي الحذر مجددًا عند الضرب في مشتقة الدالة الداخلية عند تنفيذ قاعدة السلسلة في الحد الثاني.

دعنا ننتقل مباشرة إلى هذا.

في هذا المثال ، تطلب كلا المصطلحين في الوظيفة الداخلية تطبيقًا منفصلاً لقاعدة السلسلة.

سنحتاج إلى توخي الحذر قليلاً مع هذا.

تتطلب هذه المشكلة ما مجموعه 4 قواعد سلسلة لإكمالها.

في بعض الأحيان يمكن أن تصبح هذه الأشياء غير سارة وتتطلب العديد من التطبيقات لقاعدة السلسلة. في البداية ، في هذه الحالات ، من الأفضل عادة توخي الحذر كما فعلنا في هذه المجموعة السابقة من الأمثلة وكتابة خطوتين إضافيتين بدلاً من محاولة القيام بكل ذلك بخطوة واحدة في رأسك. بمجرد أن تتحسن في قاعدة السلسلة ، ستجد أنه يمكنك القيام بذلك بسرعة إلى حد ما في رأسك.

أخيرًا ، قبل أن ننتقل إلى القسم التالي ، هناك مشكلة أخرى نحتاج إلى معالجتها. في قسم مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية ، زعمنا أن ،

[f يسار (x يمين) = hspace <0.25in> hspace <0.25in> Rightarrow hspace <0.25in> hspace <0.25in> f ' left (x right) = ln يسار (أ يمين) ]

لكن في ذلك الوقت لم تكن لدينا المعرفة للقيام بذلك. نحن نفعل الآن. ما كنا بحاجة إليه هو قاعدة السلسلة.

أولاً ، لاحظ أنه باستخدام خاصية اللوغاريتمات يمكننا كتابة (أ ) على النحو التالي ،

قد يبدو هذا سخيفًا نوعًا ما ، لكنه ضروري لحساب المشتق. الآن ، باستخدام هذا يمكننا كتابة الوظيفة على النحو التالي ،

حسنًا ، الآن بعد أن اعتنينا بكل ما نحتاج إلى تذكره هو أن (a ) ثابت وبالتالي فإن ( ln a ) ثابت أيضًا. الآن ، التفريق بين الإصدار النهائي من هذه الوظيفة هو (نأمل) مسألة بسيطة إلى حد ما في قاعدة سلسلة.

الآن ، كل ما علينا فعله هو إعادة كتابة الحد الأول مرة أخرى كـ () لتأخذ، لتمتلك،

[f ' يسار (x يمين) = ln يسار (أ يمين) ]

لذلك ، ليس سيئًا للغاية إذا كان بإمكانك رؤية الحيلة لإعادة كتابة (أ ) وباستخدام قاعدة السلسلة.


3.9 E: المشتقات Ln ، إلخ. التمارين - الرياضيات

تحديد مكان عدم وجود مشتقات الوظائف التالية ، وتحديد سلوك الرسم البياني ذي الصلة (على سبيل المثال ، الزاوية ، الحافة ، الظل العمودي ، الثقب ، الفجوة ، الخط المقارب العمودي ، إلخ. ) في كل من قيمته $ x $. صنف أي انقطاعات وجد أنها إما قابلة للإزالة أو غير قابلة للإزالة. قم بتبرير مطالباتك بقيم وظيفية مناسبة وقيم مشتقة وقيم محدودة.

$ displaystyle x + 1 &، & x le 2 1 &، & 2 lt x le 4 x ^ 2-8x + 17 &، & x gt 4 end صحيح.> $

$ displaystyle x ^ 2 - 1 &، & & x gt 3 6x - 10 &، & x le 3 end صحيح.> $

$ displaystyle x / 2 &، & x le -2 x ^ 2 &، & -2 lt x lt 1 -x + 5 &، & x ge 1 end صحيح.> $

$ displaystyle -x -1 &، & x lt -1 x ^ 2-1 &، & -1 le x le 1 2x-2 &، & x gt 1 end صحيح.> $


3.9 E: المشتقات Ln ، إلخ. التمارين - الرياضيات

من الممكن (نتخطى التفاصيل المنطقية في الوقت الحالي) `` ملء '' التعريف لفهم x b لأي رقم حقيقي b (على الأقل إذا كانت x موجبة).

الوظائف الأسية: ص = أ س

أهم حقيقة يجب حفظها حول الدوال الأسية واللوغاريتمية هي أن معظم هذه الوظائف غير ضرورية للحفظ عنها!

لذلك ، يمكن حذف الدوال الأسية واللوغاريتمية فيما يتعلق بقاعدة تعسفية لصالح تلك المتعلقة بالقاعدة الخاصة ، هـ.

تزيد الوظيفة e x بشكل أسرع عند اللانهاية من أي دالة طاقة.

ارسم y = e x و y = x 3 على نفس المحاور. ثم ارسم y = e x و y = x 8 على نفس المحاور. هل ما زلت تصدق البيان؟ اجعل المقياس x كبيرًا والمقياس y ضخمًا!

تتناقص الدالة e -x بشكل أسرع عند اللانهاية من أي قوة سالبة.

ارسم y = e -x و y = x -2 على نفس المحاور. ثم ارسم y = e -x و y = x -20 على نفس المحاور جرب المقاييس لإيجاد نقطة التقاطع.

تزيد الدالة ln x بشكل أبطأ عند اللانهاية من أي قوة موجبة (كسرية).

ارسم y = ln x و y = x 1/5 على نفس المحاور. اجعل المقياس x أكبر حتى تجد نقطة التقاطع.

عندما تقترب x من 0 ، تزيد الدالة ln x بشكل أبطأ من أي قوة سالبة.

ارسم y = - ln x و y = x -1/5 على نفس المحاور. هل تصدق البيان؟


هل تعمل لحساب المشتقات في التفاضل والتكامل؟ دع & # 8217s يحل بعض المشكلات الشائعة خطوة بخطوة حتى تتمكن من تعلم كيفية حلها بنفسك بشكل روتيني.

المشتقات $ x ^ n $

المشتق الأسي

المشتقات المثلثية

لاحظ أن علامة سالبة تظهر في مشتقات الدوال المشتركة: جيب التمام وقاطع التمام وظل التمام.

قاعدة العامل الثابت

تظهر الثوابت أمام المشتق ، غير متأثرة:
$ dfrac يسار [c f (x) right] = c dfracf (x) $

على سبيل المثال ، $ dfrac يسار (4x ^ 3 يمين) = 4 dfrac يسار (× ^ 3 يمين) = ، & # 8230 دولار

مجموع قاعدة الوظائف

مشتق المجموع هو مجموع المشتقات:
$ dfrac يسار [f (x) + g (x) يمين] = dfracو (x) + dfracg (x) $

على سبيل المثال ، $ dfrac يسار (x ^ 2 + cos x يمين) = dfrac يسار (× ^ 2 يمين) + dfrac( cos x) = ، & # 8230 دولار

حكم المنتج للمشتقات

رابعا. قاعدة الحاصل للمشتقات

يتذكر العديد من الطلاب قاعدة خارج القسمة من خلال التفكير في البسط كـ & # 8220hi ، & # 8221 الشيطان كـ & # 8220lo ، & # 8221 المشتق كـ & # 8220d ، & # 8221 ثم الغناء

& # 8220lo d-hi ناقص hi d-lo over lo-lo & # 8221

حالتان محددتان ستتذكرهما بسرعة:
$ dfrac نص <(ثابت)> = 0 دولار
$ dfrac(س) = 1 دولار

اشتق $ f (x) = sqrt$.
استدعاء $ sqrt [n] = x ^ <1 / n>. $
اشتق $ f (x) = dfrac <5>$.
استدعاء $ dfrac <1> = x ^ <-n>. $

& # 8220lo d-hi ناقص hi d-lo over lo-lo & # 8221

هل لديك سؤال أو اقتراح أو عنصر تريد & # 8217d تضمينه؟ يرجى إعلامنا في قسم التعليقات أدناه!


تريد الوصول إلى الكل مشاكل وحلول التفاضل والتكامل لدينا شراء الوصول الكامل الآن & # 8212 it & # 8217s سريعة وسهلة!


تمارين 14.3

مثال 14.3.1 أوجد $ f_x $ و $ f_y $ حيث $ ds f (x، y) = cos (x ^ 2y) + y ^ 3 $. (إجابه)

مثال 14.3.2 أوجد $ f_x $ و $ f_y $ حيث $ ds f (x، y) =$. (إجابه)

مثال 14.3.3 ابحث عن $ f_x $ و $ f_y $ حيث $ ds f (x، y) = e ^$. (إجابه)

مثال 14.3.4 أوجد $ f_x $ و $ f_y $ حيث $ ds f (x، y) = xy ln (xy) $. (إجابه)

مثال 14.3.5 ابحث عن $ f_x $ و $ f_y $ حيث $ ds f (x، y) = sqrt <1-x ^ 2-y ^ 2> $. (إجابه)

مثال 14.3.6 أوجد $ f_x $ و $ f_y $ حيث $ ds f (x، y) = x tan (y) $. (إجابه)

مثال 14.3.7 ابحث عن $ f_x $ و $ f_y $ حيث $ ds f (x، y) = <1 over xy> $. (إجابه)

مثال 14.3.8 ابحث عن معادلة ظل المستوى $ ds 2x ^ 2 + 3y ^ 2-z ^ 2 = 4 $ عند $ (1،1، -1) $. (إجابه)

مثال 14.3.9 ابحث عن معادلة ظل المستوى $ ds f (x، y) = sin (xy) $ عند $ ( pi، 1 / ​​2،1) $. (إجابه)

مثال 14.3.10 ابحث عن معادلة ظل المستوى $ ds f (x، y) = x ^ 2 + y ^ 3 $ عند $ (3،1،10) $. (إجابه)

مثال 14.3.11 أوجد معادلة لماس المستوى $ ds f (x، y) = x ln (xy) $ عند $ (2،1 / 2،0) $. (إجابه)

مثال 14.3.12 ابحث عن معادلة للسطر العادي إلى $ ds x ^ 2 + 4y ^ 2 = 2z $ عند $ (2،1،4) $. (إجابه)

مثال 14.3.13 اشرح بكلماتك الخاصة لماذا ، عند أخذ مشتق جزئي لدالة لمتغيرات متعددة ، يمكننا التعامل مع المتغيرات التي لا يتم تمييزها على أنها ثوابت.

مثال 14.3.14 ضع في اعتبارك دالة قابلة للتفاضل ، $ f (x، y) $. أعط تفسيرات مادية لمعاني $ f_x (a، b) $ و $ f_y (a، b) $ من حيث صلتها بالرسم البياني $ f $.

مثال 14.3.15 بنفس الطريقة التي استخدمنا بها خط المماس لتقريب قيمة دالة من حساب التفاضل والتكامل الفردي المتغير ، يمكننا استخدام مستوى الظل لتقريب دالة من حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. ضع في اعتبارك المستوى المماس الموجود في التمرين 11. استخدم هذا المستوى لتقريب $ f (1.98، 0.4) $.

مثال 14.3.16 افترض أن أحد زملائك قد قام بحساب المشتقات الجزئية لدالة معينة ، وأبلغك أن $ f_x (x، y) = 2x + 3y $ وأن $ f_y (x، y) = 4x + 6y $. هل تصدقهم؟ لما و لما لا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فما الإجابة التي ربما تكون قد قبلتها مقابل $ f_y $؟

مثال 14.3.17 لنفترض أن $ f (t) $ و $ g (t) $ دالات فردية متغيرة قابلة للتفاضل. ابحث عن $ جزئي z / جزئي x $ و $ جزئي z / جزئي y $ لكل من الدالتين المتغيرين التاليين.


3.9 E: المشتقات Ln ، إلخ. التمارين - الرياضيات

يختبر هذا الاختبار العمل الذي تم تناوله في المحاضرة 14 ويتوافق مع القسم 3.3 من كتاب التفاضل والتكامل: مفرد ومتعدد المتغيرات (Hughes-Hallett، Gleason، McCallum et al.).

هناك المزيد من اختبارات الويب في Wiley ، حدد القسم 3. الأسئلة 11 و 12 و 14 كانت غير مقروءة في 12/12/05.

يوجد فيلم على http://www.calculus-help.com/funstuff/tutorials/derivatives/deriv03.html يمر عبر قاعدة المنتج وبعض الأمثلة ويتم تغطية قاعدة حاصل القسمة في http: //www.calculus- help.com/funstuff/tutorials/derivatives/deriv04.html. يستخدمون مشتق الدوال المثلثية واللوغاريتمية التي لم ترها & # 8217t من قبل ولكن تم شرحها بوضوح شديد.

يوجد شرح وأمثلة أخرى مكتوبة تستخدم فيها الوظائف التي تعرفها فقط في http://tutorial.math.lamar.edu/AllBrowsers/2413/ProductQuotientRule.asp

يغطي القسم 3.3 و 3.4 من كتيب مركز التعلم (الرياضيات) حول التفاضل مقدمة في حساب التفاضل التفاضل التمييز بين استخدام قواعد المنتج وحاصل القسمة.

إذا كنت تبحث عن مزيد من التمارين ، مع حلول لقاعدة المنتج ، جرب http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/2/product˙rule.1/ وللحصول على تمارين ، مع حلول قاعدة حاصل القسمة ، جرب http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/2/quotient˙rule.1/

  1. حقيقي بما أن f (x) = (x + 6) (x 2 + 3) & # 8658 f & # 8242 (x) = 1 (x 2 + 3) + (x + 6) 2 x = 3 x 2 + 1 2 x + 3.
  2. حقيقي بما أن f (t) = (t 2 + 1) t = (t 2 + 1) t 1 2 & # 8658 f & # 8242 (t) = (2 t) t 1 2 + (t 2 + 1) (1 2 t & # 8722 1 2)
    ثم f & # 8242 (t) = 2 t 3 2 + 1 2 t 3 2 + 1 2 t & # 8722 1 2 = 5 2 t 3 2 + 1 2 1 t = 5 2 t 3 + 1 2 t.
  3. خطأ شنيع حاول مرة أخرى ، بما أن y = (x 2 & # 8722 1) (x 2 + 6) & # 8658 dydx = 2 x (x 2 + 6) + (x 2 & # 8722 1) 2 x = 4 x 3 + 1 0 x.
  4. حقيقي بما أن y = (t 3 + 2 t) (t 2 + 2 t + 1) & # 8658 dydt = (3 t 2 + 2) (t 2 + 2 t + 1) + (t 3 + 2 t) (2 ر + 2).
    نتج عن توسيع وتجميع الحدود المتشابهة d y d t = 5 t 4 + 8 t 3 + 9 t 2 + 8 t + 2.
  5. خطأ شنيع حاول مرة أخرى ، بما أن h (z) = (z 4 + 3 z) (z + z 2 + 1) & # 8658 h & # 8242 (z) = (4 z 3 + 3) (z + z 2 + 1) + (z 4 + 3 z) (1 + 2 z).
    يؤدي التوسيع والتجميع المتماثلان إلى أن h & # 8242 (z) = 6 z 5 + 5 z 4 + 4 z 3 + 9 z 2 + 6 z + 3.
  1. خطأ شنيع حاول مرة أخرى ، ربما فاتك تغيير علامة.
    dydx = 2 x (4 x) & # 8722 (x 2 & # 8722 5) 4 (4 x 2) 2 = 8 x & # 8722 4 x 2 + 2 0 1 6 x 2 = & # 8722 4 x 2 & # 8722 8 x & # 8722 2 0 1 6 x 2.
  2. حقيقي f & # 8242 (t) = 2 (2 t & # 8722 1) & # 8722 (2 t + 1) (2) (2 t & # 8722 1) 2 = 4 t & # 8722 2 & # 8722 4 t & # 8722 2 (2 t & # 8722 1) 2 = & # 8722 4 (2 t & # 8722 1) 2.
  3. حقيقي f & # 8242 (x) = 3 x 2 (x 2 + 3 x + 1) & # 8722 (x 3 & # 8722 1) (2 x + 3) (x 2 + 3 x + 1) 2 = x 4 + 6 × 3 + 3 × 2 + 2 × + 3 (× 2 + 3 × + 1) 2.
  4. خطأ شنيع حاول مرة أخرى ، ربما فاتتك بعض التغييرات في العلامة.
    dydt = 5 (3 t + 5) & # 8722 (5 t & # 8722 2) 3 (3 t + 5) 2 = 1 5 t + 2 5 & # 8722 1 5 t + 6 (3 t + 5) 2 = 3 1 (3 ر + 5) 2.
  5. حقيقي h & # 8242 (z) = 2 z (2 z) & # 8722 z 2 (ln 2 (2 z)) (2 z) 2 = 2 z (2 z & # 8722 z 2 ln 2) (2 z) 2 = 2 z & # 8722 z 2 ln 2 2 z.

3.9 E: المشتقات Ln ، إلخ. التمارين - الرياضيات

كما قد تتخيل ، فإن المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الأولى لها الشكل $ ds dot y + p (t) y = f (t) $. لا يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا في الشكل فقط بالمعادلة الخطية المتجانسة من الدرجة الأولى ، يمكننا استخدام ما نعرفه عن حل المعادلات المتجانسة لحل المعادلة الخطية العامة.

افترض أن $ y_1 (t) $ و $ y_2 (t) $ حلان لـ $ ds dot y + p (t) y = f (t) $. دع $ ds g (t) = y_1-y_2 $. ثم $ eqalign $ بعبارة أخرى ، $ ds g (t) = y_1-y_2 $ حل للمعادلة المتجانسة $ ds dot y + p (t) y = 0 $. لقلب هذا ، أي حل للمعادلة الخطية $ ds dot y + p (t) y = f (t) $ ، أطلق عليها $ y_1 $ ، يمكن كتابتها كـ $ y_2 + g (t) $ ، بالنسبة للبعض خاص $ y_2 $ وبعض الحلول $ g (t) $ للمعادلة المتجانسة $ ds dot y + p (t) y = 0 $. نظرًا لأننا نعرف بالفعل كيفية إيجاد جميع حلول المعادلة المتجانسة ، فإن إيجاد حل واحد فقط للمعادلة $ ds dot y + p (t) y = f (t) $ سيعطينا جميعًا.

كيف يمكننا إيجاد حل معين لـ $ ds dot y + p (t) y = f (t) $؟ مرة أخرى ، اتضح أن ما نعرفه بالفعل يساعد. نعلم أن الحل العام للمعادلة المتجانسة $ ds dot y + p (t) y = 0 $ يشبه $ ds Ae ^$. نقوم الآن بعمل تخمين ملهم: ضع في اعتبارك الوظيفة $ ds v (t) e ^$ ، حيث استبدلنا المعامل الثابت $ A $ بالدالة $ v (t) $. هذه التقنية تسمى اختلاف المعلمات. للتيسير ، اكتب هذا كـ $ s (t) = v (t) h (t) $ حيث $ ds h (t) = e ^$ هو حل المعادلة المتجانسة. الآن دعونا نحسب قليلاً باستخدام $ s (t) $: $ eqalign $ المساواة الأخيرة صحيحة لأن $ ds h' (t) + p (t) h (t) = 0 $ ، منذ $ h (t) $ هو حل المعادلة المتجانسة. نأمل في العثور على دالة $ s (t) $ بحيث يكون لدينا $ ds s '(t) + p (t) s (t) = f (t) $ مثل هذه الوظيفة إذا استطعنا الترتيب للحصول عليها $ ds v '(t) h (t) = f (t) $ ، أي $ ds v' (t) = f (t) / h (t) $. لكن هذا سهل (أو صعب) مثل إيجاد مضاد مشتق $ ds f (t) / h (t) $. بتجميع كل هذا معًا ، فإن الحل العام لـ $ ds dot y + p (t) y = f (t) $ هو $ v (t) h (t) + Ae ^ = ت (ر) ه ^+ عوض.$

مثال 19.3.1 أوجد حل مشكلة القيمة الأولية $ ds dot y + 3y / t = t ^ 2 $، $ y (1) = 1/2 $. أولاً نجد الحل العام نظرًا لأننا مهتمون بحل بشرط معين عند $ t = 1 $ ، قد نفترض $ t> 0 $. نبدأ بحل المعادلة المتجانسة كالعادة استدعاء الحل $ g $: $ g = Ae ^ <- int (3 / t) ، dt> = Ae ^ <- 3 ln t> = At ​​^ <- 3 >. $ ثم كما في المناقشة ، $ ds h (t) = t ^ <-3> $ و $ ds v '(t) = t ^ 2 / t ^ <-3> = t ^ 5 $ ، لذلك $ ds v (t) = t ^ 6/6 $. نعلم أن كل حل للمعادلة يشبه $ v (t) t ^ <-3> + At ^ <-3> =t ^ <-3> + عند ^ <-3> =+ عند ^ <-3>. أخيرًا استبدلنا بالدولار A $: $ eqalign <<1 over 2> & = <(1) ^ 3 over6> + A (1) ^ <-3> = <1 over6> + A cr A & = <1 over 2> - <1 over6> = <1 over3>. cr> $ الحل إذن هو $ y =+ <1 over3> t ^ <-3>. $

إليك طريقة بديلة لإيجاد حل معين للمعادلة التفاضلية باستخدام عامل التكامل. في المعادلة التفاضلية $ ds dot y + p (t) y = f (t) $ ، نلاحظ أنه إذا ضربنا في دالة $ I (t) $ لنحصل على $ ds I (t) dot y + I (t) p (t) y = I (t) f (t) $ ، يبدو أن الجانب الأيسر يمكن أن يكون مشتقًا محسوبًا بواسطة قاعدة المنتج: $(I (t) y) = I (t) dot y + I '(t) y. $ الآن إذا كان بإمكاننا اختيار $ I (t) $ بحيث يكون $ I' (t) = I (t) p ( t) $ ، سيكون هذا بالضبط الجانب الأيسر من المعادلة التفاضلية. لكن هذه مجرد معادلة خطية متجانسة من الدرجة الأولى ، ونعلم أن الحل هو $ ds I (t) = e ^$ ، حيث $ ds Q (t) = int p ، dt $ لاحظ أن $ Q (t) = - P (t) $ ، حيث يظهر $ P (t) $ في تباين طريقة المعلمات و $ P '(ر) = - ع $. الآن المعادلة التفاضلية المعدلة هي $ eqalign dot y + e ^ <- P (t)> p (t) y & = e ^ <- P (t)> f (t )سجل تجاري (e ^ <- P (t)> y) & = e ^ <- P (t)> f (t). cr> $ يعطي تكامل كلا الجانبين $ eqalign y & = int e ^ <- P (t)> f (t) ، dt cr y & = e ^ int e ^ <- P (t)> f (t) ، dt. cr> $ إذا نظرت بعناية ، سترى أن هذا هو بالضبط نفس الحل الذي وجدناه من خلال تنوع المعلمات ، لأن $ ds e ^ <- P (t)> f (t) = f (t) / h (t) $.

يجد بعض الأشخاص أنه من الأسهل تذكر كيفية استخدام طريقة عامل التكامل بدلاً من تباين المعلمات. نظرًا لأنها تتطلب في النهاية نفس الحساب ، يجب عليك استخدام أيهما أسهل في التذكر. باستخدام هذه الطريقة ، سيبدو حل المثال السابق مختلفًا بعض الشيء: بدءًا من $ ds dot y + 3y / t = t ^ 2 $ ، نتذكر أن عامل التكامل هو $ ds e ^ < int 3 / t> = e ^ <3 ln t> = t ^ 3 $. ثم نضرب في عامل التكامل ونحل: $ eqalign (t ^ 3 y) & = t ^ 5 cr t ^ 3 y & = t ^ 6/6 cr y & = t ^ 3/6. cr> $ هذه هي الإجابة نفسها ، بالطبع ، والمشكلة هي ثم انتهى تمامًا كما كان من قبل.


حساب التفاضل والتكامل المبكر المتعالي: التفاضل وحساب متعدد المتغيرات للعلوم الاجتماعية

القسم الفرعي 4.7.1 التفاضل الضمني

كما رأينا ، هناك علاقة وثيقة بين مشتقات ( ds e ^ x ) و ( ln x ) لأن هذه الدوال مقلوبة. بدلاً من الاعتماد على الصور لفهمنا ، نود أن نكون قادرين على استغلال هذه العلاقة حسابيًا. في الواقع ، يمكن أن تساعدنا هذه التقنية في إيجاد المشتقات في العديد من المواقف ، وليس فقط عندما نبحث عن مشتقة دالة عكسية.

سنبدأ بتوضيح التقنية لإيجاد ما نعرفه بالفعل ، مشتق ( ln x text <.> ) لنكتب (y = ln x ) ثم ( ds x = e ^ < ln x> = e ^ y text <،> ) أي ( ds x = e ^ y text <.> ) نقول أن هذه المعادلة تحدد الوظيفة (y = ln x ) ضمنيًا لأنه في حين أنه ليس تعبيرًا صريحًا (y = ldots text <،> ) فمن الصحيح أنه إذا كان ( ds x = e ^ y ) فإن (y ) هو في الواقع دالة اللوغاريتم الطبيعي. الآن ، في الوقت الحالي ، تخيل أن كل ما نعرفه عن (y ) هو أن ( ds x = e ^ y text <> ) ماذا يمكننا أن نقول عن المشتقات؟ يمكننا أخذ مشتق طرفي المعادلة:

ثم استخدم قاعدة السلسلة على الجانب الأيمن:

ثم يمكننا إيجاد قيمة ( frac نص <:> )

هناك صعوبة واحدة صغيرة هنا. لاستخدام قاعدة السلسلة لحساب ( ds d / dx (e ^ y) = frace ^ y ) نحتاج إلى معرفة أن الوظيفة (y ) لديها مشتق. كل ما أظهرناه هو ذلك إذا لها مشتق ، يجب أن يكون هذا المشتق (1 / x text <.> ) عند استخدام هذه الطريقة ، سيتعين علينا دائمًا افتراض وجود المشتق المطلوب ، ولكن لحسن الحظ هذا افتراض آمن لمعظم هذه المشاكل.

يتضمن المثال (y = ln x ) دالة عكسية محددة ضمنيًا ، ولكن يمكن تعريف وظائف أخرى ضمنيًا ، وفي بعض الأحيان يمكن استخدام معادلة واحدة لتعريف أكثر من دالة واحدة ضمنيًا.

الدليل الإرشادي للتمايز الضمني.

بالنظر إلى علاقة محددة ضمنيًا (f (x، y) = k ) لبعض الثابت (k text <،> ) توضح الخطوات التالية عملية التمايز الضمني لإيجاد (dy / dx text <:> )

تطبيق عامل التمايز (d / dx ) على جانبي المعادلة (f (x، y) = k text <.> )

تابع مع التفاضل من خلال مراعاة أن (y ) هي دالة (x text <،> ) وبالتالي تنطبق قاعدة السلسلة.

المثال 4.68. مشتق من معادلة الدائرة.

معطى (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <،> ) أوجد المشتق ( frac نص <.> )

تصف المعادلة (r ^ <2> = x ^ <2> + y ^ <2> ) دائرة نصف قطرها (r text <.> ) الدائرة ليست دالة (y = f ( x) ) لأنه بالنسبة لبعض قيم (x ) هناك قيمتان متطابقتان لـ (y text <.> ) إذا أردنا العمل مع دالة ، فيمكننا تقسيم الدائرة إلى جزأين ، الجزء العلوي وأجزاء نصف دائرية سفلية ، كل منها عبارة عن دالة. دعنا نسمي هذين (y = U (x) ) و (y = L (x) text <> ) في الواقع هذا مثال بسيط إلى حد ما ، ومن الممكن إعطاء تعبيرات صريحة لهذه: ( دس يو (س) = الجذر التربيعي) و ( ds L (x) = - sqrt text <.> ) ولكن من الأسهل نوعًا ما والمفيد جدًا عرض كلتا الوظيفتين على النحو المعطى ضمنيًا بواسطة ( ds r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <:> ) كلاهما ( ds r ^ 2 = x ^ 2 + U (x) ^ 2 ) و ( ds r ^ 2 = x ^ 2 + L (x) ^ 2 ) صحيحة ، ويمكننا التفكير في ( ds r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 ) لتعريف كل من (U (x) ) و (L (x) text <.> )

الآن يمكننا أخذ مشتق كلا الجانبين كما كان من قبل ، مع تذكر أن (y ) ليس مجرد متغير ولكنه دالة - في هذه الحالة ، (y ) إما (U (x) ) أو ( L (x) ) لكننا لم نحدد أيهما بعد. عندما نأخذ المشتق ، علينا فقط أن نتذكر تطبيق قاعدة السلسلة حيث يظهر (y ).

الآن لدينا تعبير لـ ( frac text <،> ) ولكنه يحتوي على (y ) وكذلك (x text <.> ) وهذا يعني أننا إذا أردنا حساب ( frac) بالنسبة لبعض القيم المعينة لـ (س ) سيتعين علينا معرفة أو حساب (ص ) عند هذه القيمة (س ) أيضًا. في هذه المرحلة سنحتاج إلى معرفة ما إذا كان (y ) هو (U (x) ) أو (L (x) text <.> ) في بعض الأحيان سيتضح أنه يمكننا تجنب الصراحة استخدام (U (x) ) أو (L (x) ) حسب طبيعة المشكلة.

المثال 4.69. منحدر الدائرة.

أوجد ميل الدائرة ( ds 4 = x ^ 2 + y ^ 2 ) عند النقطة ( ds (1، - sqrt <3>) text <.> )

نظرًا لأننا نعرف كلاً من إحداثيات (x ) - و (y ) - لنقطة الاهتمام ، لا نحتاج إلى الاعتراف صراحةً بأن هذه النقطة على (L (x) text <،> ) ولسنا بحاجة إلى استخدام (L (x) ) لحساب (y ) - ولكن يمكننا ذلك. باستخدام حساب ( frac) من اعلى،

من المفيد مقارنة هذا النهج بالآخرين.

ربما أدركنا في البداية أن ( ds (1، - sqrt <3>) ) على الوظيفة ( ds y = L (x) = - sqrt <4-x ^ 2> text <.> ) يمكننا بعد ذلك أخذ مشتق (L (x) text <،> ) باستخدام قاعدة القوة وقاعدة السلسلة ، للحصول على

ثم يمكننا حساب ( ds L '(1) = 1 / sqrt <3> ) عن طريق استبدال (x = 1 text <.> )

بالتناوب ، يمكننا أن ندرك أن النقطة على (L (x) text <،> ) ولكن استخدم حقيقة أن ( frac= -x / y text <.> ) نظرًا لأن النقطة على (L (x) ) يمكننا استبدال (y ) بـ (L (x) ) للحصول على

بدون حساب مشتق (L (x) ) صراحة. ثم نستبدل (x = 1 ) ونحصل على نفس الإجابة كما في السابق.

في حالة الدائرة ، من الممكن العثور على الدالتين (U (x) ) و (L (x) ) بشكل صريح ، ولكن هناك مزايا محتملة لاستخدام التفاضل الضمني على أي حال. في بعض الحالات يكون من الصعب أو المستحيل العثور على صيغة صريحة لـ (y ) والاشتقاق الضمني هو الطريقة الوحيدة لإيجاد المشتق.

مثال 4.70. مشتق من وظيفة محددة ضمنيًا.

أوجد مشتق أي دالة معرفة ضمنيًا بواسطة ( ds yx ^ 2 + y ^ 2 = x text <.> )

نتعامل مع (y ) كوظيفة غير محددة ونستخدم قاعدة السلسلة:

المثال 4.71. مشتق من وظيفة محددة ضمنيًا.

أوجد مشتق أي دالة معرفة ضمنيًا بواسطة ( ds yx ^ 2 + e ^ y = x text <.> )

نتعامل مع (y ) كوظيفة غير محددة ونستخدم قاعدة السلسلة:

قد تعتقد أن الخطوة التي نحلها من أجل ( frac) could sometimes be difficult—after all, we're using implicit differentiation here because we can't solve the equation (ds yx^2+e^y=x) for (y ext<,>) so maybe after taking the derivative we get something that is hard to solve for (frac ext<.>) In fact, this never happens. All occurrences (frac) come from applying the Chain Rule, and whenever the Chain Rule is used it deposits a single (frac) multiplied by some other expression. So it will always be possible to group the terms containing (frac) together and factor out the (frac ext<,>) just as in the previous example. If you ever get anything more difficult you have made a mistake and should fix it before trying to continue.

It is sometimes the case that a situation leads naturally to an equation that defines a function implicitly.

Example 4.72 . Derivative of Function defined Implicitly.

Find (dsfrac) by implicit differentiation if

Differentiating both sides with respect to (x) gives:

Example 4.73 . Derivative of Function defined Implicitly.

Suppose that (s) and (t) are related by the equation (s^<2>+te^=2 ext<.>) Find (frac

نص <.> )

We assume that (s) is a function of (t ext<,>) (s(t) ext<.>) Differentiate both sides of the equation defining the curve and group the terms involving (frac

) obtaining,

We used the Product Rule and the Chain Rule to carry out the differentiation. Solving for (frac

) gives

In the previous examples we had functions involving (x) and (y ext<,>) and we thought of (y) as a function of (x ext<.>) In these problems we differentiated with respect to (x ext<.>) So when faced with (x)'s in the function we differentiated as usual, but when faced with (y)'s we differentiated as usual except we multiplied by a (frac) for that term because we were using Chain Rule.

Subsection 4.7.2 Differentiating (x) and (y) as Functions of (t)

In the following example we will assume that both (x) and (y) are functions of (t) and want to differentiate the equation with respect to (t ext<.>) This means that every time we differentiate an (x) we will be using the Chain Rule, so we must multiply by (frac

ext<,>) and whenever we differentiate a (y) we multiply by (frac
نص <.> )


Are you looking for something specific? An exercise to supplement the topic you are studying at school at the moment perhaps. Navigate using our Maths Map to find exercises, puzzles and Maths lesson starters grouped by topic.

If you found this activity useful don't forget to record it in your scheme of work or learning management system. The short URL, ready to be copied and pasted, is as follows:

Alternatively, if you use Google Classroom, all you have to do is click on the green icon below in order to add this activity to one of your classes.

It may be worth remembering that if Transum.org should go offline for whatever reason, there are mirror sites at Transum.com and Transum.info that contain most of the resources that are available here on Transum.org.

When planning to use technology in your lesson always have a plan B!

Do you have any comments? It is always useful to receive feedback and helps make this free resource even more useful for those learning Mathematics anywhere in the world. Click here to enter your comments.


شاهد الفيديو: الدرس 48. السادس العلمي. الرياضيات. الفصل الرابع. امثلة حول اشتقاق اللوغاريتم الطبيعي (شهر اكتوبر 2021).