مقالات

10.3E: تمارين لسلسلة تايلور متعدد الحدود وسلسلة تايلور - الرياضيات


تايلور متعدد الحدود

في التدريبات من 1 إلى 8 ، ابحث عن كثيرات حدود تايلور من الدرجة الثانية لتقريب الوظيفة المعينة المتمركزة في نقطة معينة.

1) (و (س) = 1 + س + س ^ 2 ) في (أ = 1 )

2) (و (س) = 1 + س + س ^ 2 ) في (أ = −1 )

إجابه:
(و (−1) = 1 ؛ ؛ و ′ (- 1) = - 1 ؛ ؛ و '(- 1) = 2 ؛ رباعي p_2 (س) = 1− (س + 1) + ( س + 1) ^ 2 )

3) (f (x) = cos (2x) ) في (أ = π )

4) (f (x) = sin (2x) ) في (a = frac {π} {2} )

إجابه:
(f ′ (x) = 2 cos (2x) ؛ ؛ f '(x) = - 4 sin (2x) ؛ quad p_2 (x) = - 2 (x− frac {π} { 2}) )

5) (f (x) = sqrt {x} ) في (a = 4 )

6) (و (س) = ln س ) في (أ = 1 )

إجابه:
(f ′ (x) = dfrac {1} {x}؛ ؛ f '(x) = - dfrac {1} {x ^ 2}؛ quad p_2 (x) = 0 + (x− 1) - frac {1} {2} (x − 1) ^ 2 )

7) (f (x) = dfrac {1} {x} ) في (a = 1 )

8) (و (س) = ه ^ س ) في (أ = 1 )

إجابه:
(p_2 (x) = e + e (x − 1) + dfrac {e} {2} (x − 1) ^ 2 )

نظرية تايلور المتبقية

في التدريبات من 9 إلى 14 ، تحقق من أن الاختيار المحدد لـ (n ) في التقدير المتبقي (| R_n | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} (x − a) ^ {n + 1 } ) ، حيث (M ) هي القيمة القصوى لـ (∣f ^ {(n + 1)} (z) ∣ ) على الفاصل الزمني بين (a ) والنقطة المشار إليها ، ينتج عنها ( | R_n | ≤ frac {1} {1000} ). أوجد قيمة كثير حدود تايلور (p_n ) لـ (f ) عند النقطة المشار إليها.

9) [T] ( sqrt {10}؛ ؛ a = 9، ؛ n = 3 )

10) [T] ((28) ^ {1/3} ؛ ؛ أ = 27 ، ؛ n = 1 )

إجابه:
( dfrac {d ^ 2} {dx ^ 2} x ^ {1/3} = - dfrac {2} {9x ^ {5/3}} ≥ − 0.00092… ) عندما (x≥28 ) لذلك ينطبق التقدير المتبقي على التقريب الخطي (x ^ {1/3} ≈p_1 (27) = 3 + dfrac {x − 27} {27} ) ، والذي يعطي ((28) ^ {1 / 3} ≈3 + frac {1} {27} = 3. bar {037} ) ، بينما ((28) ^ {1/3} ≈3.03658. )

11) [T] ( sin (6)؛ ؛ a = 2π، ؛ n = 5 )

12) [T] (e ^ 2؛ ؛ a = 0، ؛ n = 9 )

إجابه:
باستخدام التقدير ( dfrac {2 ^ {10}} {10!} <0.000283 ) يمكننا استخدام توسيع تايلور للطلب 9 لتقدير (e ^ x ) في (x = 2 ). كـ (e ^ 2≈p_9 (2) = 1 + 2 + frac {2 ^ 2} {2} + frac {2 ^ 3} {6} + ⋯ + frac {2 ^ 9} {9! } = 7.3887 ) ... حيث (e ^ 2≈7.3891. )

13) [T] ( cos ( frac {π} {5})؛ ؛ a = 0، ؛ n = 4 )

14) [T] ( ln (2) ؛ ؛ أ = 1 ، ؛ ن = 1000 )

إجابه:
منذ ( dfrac {d ^ n} {dx ^ n} ( ln x) = (- 1) ^ {n − 1} dfrac {(n − 1)!} {x ^ n} ، R_ {1000 } ≈ frac {1} {1001} ). واحد لديه ( displaystyle p_ {1000} (1) = sum_ {n = 1} ^ {1000} dfrac {(- 1) ^ {n − 1}} {n} ≈0.6936 ) حيث ( ln (2) ≈0.6931 ⋯. )

تقريب التكاملات المحددة باستخدام متسلسلة تايلور

15) ادمج التقريب ( sin t≈t− dfrac {t ^ 3} {6} + dfrac {t ^ 5} {120} - dfrac {t ^ 7} {5040} ) الذي تم تقييمه في (π ) t لتقريب ( displaystyle ∫ ^ 1_0 frac { sin πt} {πt} ، dt ).

16) ادمج التقريب (e ^ x≈1 + x + dfrac {x ^ 2} {2} + ⋯ + dfrac {x ^ 6} {720} ) المقيَّم عند (−x ^ 2 ) إلى تقريبي ( displaystyle ∫ ^ 1_0e ^ {- x ^ 2} ، dx. )

إجابه:
( displaystyle ∫ ^ 1_0 left (1 − x ^ 2 + frac {x ^ 4} {2} - frac {x ^ 6} {6} + frac {x ^ 8} {24} - frac {x ^ {10}} {120} + frac {x ^ {12}} {720} right) ، dx = 1− frac {1 ^ 3} {3} + frac {1 ^ 5 } {10} - frac {1 ^ 7} {42} + frac {1 ^ 9} {9⋅24} - frac {1 ^ {11}} {120⋅11} + frac {1 ^ { 13}} {720⋅13} ≈0.74683 ) حيث ( displaystyle ∫ ^ 1_0e ^ {- x ^ 2} dx≈0.74682. )

المزيد من مشاكل نظرية تايلور المتبقية

في التمارين من 17 إلى 20 ، ابحث عن أصغر قيمة لـ (n ) بحيث يتم تقدير الباقي (| R_n | ≤ dfrac {M} {(n + 1)!} (x − a) ^ {n + 1 } ) ، حيث (M ) هي القيمة القصوى لـ (∣f ^ {(n + 1)} (z) ∣ ) على الفاصل الزمني بين (a ) والنقطة المشار إليها ، ينتج عنها ( | R_n | ≤ frac {1} {1000} ) على الفاصل الزمني المشار إليه.

17) (f (x) = sin x ) في ([، π]، ؛ a = 0 )

18) (f (x) = cos x ) في ([- frac {π} {2}، frac {π} {2}]، ؛ a = 0 )

إجابه:
بما أن (f ^ {(n + 1)} (z) ) هو ( sin z ) أو ( cos z ) ، لدينا (M = 1 ). منذ (| x − 0 | ≤ frac {π} {2} ) ، نسعى إلى أصغر (n ) مثل ( dfrac {π ^ {n + 1}} {2 ^ {n + 1} (n + 1)!} 0.001 ). أصغر قيمة من هذا القبيل هي (n = 7 ). التقدير المتبقي هو (R_7≤0.00092. )

19) (f (x) = e ^ {- 2x} ) في ([−1،1] ، a = 0 )

20) (f (x) = e ^ {- x} ) في ([−3،3] ، a = 0 )

إجابه:
بما أن (f ^ {(n + 1)} (z) = ± e ^ {- z} ) يمتلك المرء (M = e ^ 3 ). منذ (| x − 0 | ≤3 ) ، يسعى المرء إلى أصغر (n ) مثل ( dfrac {3 ^ {n + 1} e ^ 3} {(n + 1)!} ≤0.001 ). أصغر هذه القيمة هي (n = 14 ). التقدير المتبقي هو (R_ {14} ≤0.000220. )

في التدريبات 21-24 ، الحد الأقصى للجانب الأيمن من التقدير المتبقي (| R_1 | ≤ dfrac {max | f '(z) |} {2} R ^ 2 ) في ([a −R، a + R] ) يحدث في (a ) أو (a ± R ). قدر الحد الأقصى لقيمة (R ) بحيث ( dfrac {max | f '(z) |} {2} R ^ 2≤0.1 ) في ([a − R، a + R] ) عن طريق رسم هذا الحد الأقصى كدالة لـ (R ).

21) [T] (e ^ x ) تقريبًا بـ (1 + x، ؛ a = 0 )

22) [T] ( sin x ) تقريبًا بـ (x، ؛ a = 0 )

إجابه:

بما أن ( sin x ) يتزايد للصغير (x ) ومنذ ( frac {d ^ 2} {dx ^ 2} left ( sin x right) = - sin x ) ، ينطبق التقدير كلما (R ^ 2 sin (R) ≤0.2 ) ، والذي ينطبق حتى (R = 0.596. )

23) [T] ( ln x ) تقريبًا بـ (x − 1، ؛ a = 1 )

24) [T] ( cos x ) تقريبًا بـ (1، ؛ a = 0 )

إجابه:

نظرًا لأن المشتق الثاني لـ ( cos x ) هو (- cos x ) وبما أن ( cos x ) يتناقص بعيدًا عن (x = 0 ) ، يتم تطبيق التقدير عند (R ^ 2 cos R≤0.2 ) أو (R≤0.447 ).

سلسلة تايلور

في التدريبات من 25 إلى 35 ، ابحث عن سلسلة تايلور للوظيفة المحددة في النقطة المشار إليها.

25) (و (س) = س ^ 4 ) في (أ = 1 )

26) (و (س) = 1 + س + س ^ 2 + س ^ 3 ) في (أ = −1 )

إجابه:
((x + 1) ^ 3−2 (x + 1) ^ 2 + 2 (x + 1) )

27) (و (س) = الخطيئة س ) في (أ = π )

28) (و (س) = كوس س ) في (أ = 2π )

إجابه:
قيم المشتقات هي نفسها لـ (x = 0 ) لذا ( displaystyle cos x = sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n frac {(x − 2π) ^ {2n }} {(2n)!} )

29) (f (x) = sin x ) في (x = frac {π} {2} )

30) (f (x) = cos x ) في (x = frac {π} {2} )

إجابه:
( cos ( frac {π} {2}) = 0، ؛ - sin ( frac {π} {2}) = - 1 ) لذا ( displaystyle cos x = sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ {n + 1} frac {(x− frac {π} {2}) ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} ) ، وهو أيضًا (- cos (x− frac {π} {2}) ).

31) (و (س) = ه ^ س ) في (أ = −1 )

32) (و (س) = ه ^ س ) في (أ = 1 )

إجابه:
المشتقات هي (f ^ {(n)} (1) = e، ) so ( displaystyle e ^ x = e sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {(x − 1) ^ n} {ن!}.)

33) (f (x) = dfrac {1} {(x − 1) ^ 2} ) في (a = 0 ) (تلميح: ميّز سلسلة Taylor لـ ( dfrac {1} {1 −x} ).)

34) (f (x) = dfrac {1} {(x − 1) ^ 3} ) في (a = 0 )

إجابه:
( displaystyle frac {1} {(x − 1) ^ 3} = - frac {1} {2} frac {d ^ 2} {dx ^ 2} left ( frac {1} {1 −x} right) = - sum_ {n = 0} ^ ∞ left ( frac {(n + 2) (n + 1) x ^ n} {2} right) )

35) ( displaystyle F (x) = ∫ ^ x_0 cos ( sqrt {t}) ، dt؛ quad text {where} ؛ f (t) = sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n frac {t ^ n} {(2n)!} ) في a = 0 (ملاحظة: (f ) هي سلسلة تايلور من ( cos ( sqrt {t}). ) )

في التدريبات 36-44 ، احسب سلسلة تايلور لكل دالة حول (س = 1 ).

36) (و (س) = 2 × س )

إجابه:
(2 − س = 1− (س − 1) )

37) (و (س) = س ^ 3 )

38) (و (س) = (س − 2) ^ 2 )

إجابه:
(((x − 1) −1) ^ 2 = (x − 1) ^ 2−2 (x − 1) +1 )

39) (و (س) = ln س )

40) (f (x) = dfrac {1} {x} )

إجابه:
( displaystyle frac {1} {1− (1 − x)} = sum_ {n = 0} ^ ∞ (−1) ^ n (x − 1) ^ n )

41) (f (x) = dfrac {1} {2x − x ^ 2} )

42) (f (x) = dfrac {x} {4x − 2x ^ 2−1} )

إجابه:
( displaystyle x sum_ {n = 0} ^ ∞2 ^ n (1 − x) ^ {2n} = sum_ {n = 0} ^ ∞2 ^ n (x − 1) ^ {2n + 1} + sum_ {n = 0} ^ ∞2 ^ n (x − 1) ^ {2n} )

43) (و (س) = ه ^ {- س} )

44) (f (x) = e ^ {2x} )

إجابه:
( displaystyle e ^ {2x} = e ^ {2 (x − 1) +2} = e ^ 2 sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {2 ^ n (x − 1) ^ n} { ن!})

سلسلة Maclaurin

[T] في التمارين 45-48 ، حدد قيمة (x ) بحيث تكون السلسلة المحددة ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞a_n ) هي قيمة سلسلة Maclaurin لـ (f (خ) ) في (س ). تقريب قيمة (f (x) ) باستخدام ( displaystyle S_ {10} = sum_ {n = 0} ^ {10} a_n ).

45) ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {1} {n!} )

46) ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {2 ^ n} {n!} )

إجابه:
(x = e ^ 2؛ quad S_ {10} = dfrac {34،913} {4725} ≈7.3889947 )

47) ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {(- 1) ^ n (2π) ^ {2n}} {(2n)!} )

48) ( displaystyle sum_ {n = 0} ^ ∞ frac {(- 1) ^ n (2π) ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!} )

إجابه:
( sin (2π) = 0 ؛ quad S_ {10} = 8.27 × 10 ^ {- 5} )

في التمارين 49 - 52 استخدم الدالتين (S_5 (x) = x− dfrac {x ^ 3} {6} + dfrac {x ^ 5} {120} ) و (C_4 (x) = 1− dfrac {x ^ 2} {2} + dfrac {x ^ 4} {24} ) في ([−π، π] ).

49) [T] رسم ( sin ^ 2x− (S_5 (x)) ^ 2 ) على ([−π، π] ). قارن الحد الأقصى للفرق مع مربع التقدير المتبقي لتايلور من أجل ( sin x. )

50) [T] رسم ( cos ^ 2x− (C_4 (x)) ^ 2 ) على ([−π، π] ). قارن الحد الأقصى للفرق مع مربع التقدير المتبقي لتايلور لـ ( cos x ).

إجابه:

الفرق صغير في الجزء الداخلي من الفاصل الزمني ولكنه يقترب من (1 ) بالقرب من نقاط النهاية. التقدير المتبقي هو (| R_4 | = frac {π ^ 5} {120} ≈2.552. )

51) [T] قطعة أرض (| 2S_5 (x) C_4 (x) - sin (2x) | ) على ([−π، π] ).

52) [T] قارن ( dfrac {S_5 (x)} {C_4 (x)} ) على ([−1،1] ) بـ ( tan x ). قارن هذا بتقدير تايلور المتبقي لتقريب ( tan x ) من خلال (x + dfrac {x ^ 3} {3} + dfrac {2x ^ 5} {15} ).

إجابه:

يكون الاختلاف بترتيب (10 ​​^ {- 4} ) على ([1،1] ) بينما يكون خطأ تقريب تايلور حول (0.1 ) بالقرب من (± 1 ). المنحنى العلوي عبارة عن قطعة أرض من ( tan ^ 2x− left ( dfrac {S_5 (x)} {C_4 (x)} right) ^ 2 ) وتظهر الحبكة المتقطعة السفلية (t ^ 2− يسار ( dfrac {S_5} {C_4} يمين) ^ 2 ).

53) [T] رسم (e ^ x − e_4 (x) ) حيث (e_4 (x) = 1 + x + dfrac {x ^ 2} {2} + dfrac {x ^ 3} {6} + dfrac {x ^ 4} {24} ) في ([0،2] ). قارن الحد الأقصى للخطأ بتقدير تايلور الباقي.

54) (تقريب تايلور وإيجاد الجذر.) تذكر أن طريقة نيوتن (x_ {n + 1} = x_n− dfrac {f (x_n)} {f '(x_n)} ) تقترب من حلول ​​(f (x) ) = 0 ) بالقرب من الإدخال (x_0 ).

أ. إذا كان (f ) و (g ) دالات عكسية ، فسر لماذا حل (g (x) = a ) هو القيمة (f (a) ) لـ (f )

ب. لنفترض أن (p_N (x) ) (N ^ { text {th}} ) درجة متعددة حدود ماكلورين لـ (e ^ x ). استخدم طريقة نيوتن لتقريب حلول ​​(p_N (x) −2 = 0 ) لـ (N = 4،5،6. )

ج. اشرح لماذا الجذور التقريبية لـ (p_N (x) −2 = 0 ) هي قيم تقريبية لـ ( ln (2). )

إجابه:
أ. الأجوبة ستختلف.
ب. فيما يلي قيم (x_n ) بعد (10 ​​) تكرارات طريقة نيوتن لتقريب جذر (p_N (x) −2 = 0 ): لـ (N = 4، x = 0.6939 .. . ؛ ) لـ (N = 5، x = 0.6932 ...؛ ) لـ (N = 6، x = 0.69315 ...؛. ) (ملاحظة: ( ln (2) = 0.69314. .. ))
ج. الأجوبة ستختلف.

تقييم الحدود باستخدام سلسلة تايلور

في التمارين 55 - 58 ، استخدم حقيقة أنه إذا كان ( displaystyle q (x) = sum_ {n = 1} ^ ∞a_n (x − c) ^ n ) يتقارب في فترة تحتوي على (c ) ، ثم ( displaystyle lim_ {x → c} q (x) = a_0 ) لتقييم كل حد باستخدام سلسلة تايلور.

55) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac { cos x − 1} {x ^ 2} )

56) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac { ln (1 − x ^ 2)} {x ^ 2} )

إجابه:
( dfrac { ln (1 − x ^ 2)} {x ^ 2} → −1 )

57) ( displaystyle lim_ {x → 0} frac {e ^ {x ^ 2} −x ^ 2−1} {x ^ 4} )

58) ( displaystyle lim_ {x → 0 ^ +} frac { cos ( sqrt {x}) - 1} {2x} )

إجابه:
( displaystyle frac { cos ( sqrt {x}) - 1} {2x} ≈ frac {(1− frac {x} {2} + frac {x ^ 2} {4!} - ⋯) −1} {2x} → - frac {1} {4} )

المساهمون

  • جيلبرت سترانج (معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا) وإدوين "جيد" هيرمان (هارفي مود) مع العديد من المؤلفين المساهمين. هذا المحتوى من OpenStax مرخص بترخيص CC-BY-SA-NC 4.0. قم بالتنزيل مجانًا من http://cnx.org.


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، لديك إجابات مناسبة مع تمارين متعددة الحدود مع الإجابات. للبدء في العثور على تمارين متعددة الحدود مع الإجابات ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا لجميع تمارين متعددي الحدود مع الإجابات التي يمكنني الحصول عليها الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


تقدير تايلور متعدد الحدود والخطأ

أريد أن أجد تقديرًا تقريبيًا لـ $ sqrt [3] $ وتقدير للخطأ المطلق في هذا التقريب. لهذا ، طلب منا التمرين تقريب الوظيفة بدرجة تايلور متعددة الحدود من الدرجة الأولى عند a = 64. لقد فعلت ذلك بهذه الطريقة: $ f (x) = sqrt [3] rightarrow f (64) = 4 $ f '(x) = frac <1> <3> x ^ <- frac <2> <3>> rightarrow f' (64) = frac <1> <48> $ $ f '' (x) = bigg ( frac <1> <3> bigg) bigg (- frac <2> <3> bigg) x ^ <- frac <5> <3>>=igg(-frac<2><9>igg)x1w<-frac<5> <3>> $

ثم حاولت تقدير الخطأ باستخدام باقي لاغرانج: 65 دولارًا تقريبًا 64 دولارًا و (65) تقريبًا 4+ فارك <1> <48> $ | f (x) -p_1 (x) | = | r_2 (x) | = bigg | frac <1> <3> bigg (- frac <2> <3> bigg) frac<3>>><2!> (ج 64) ^ 2igg|=-frac<2> <9> frac<3> >> <2!> | c-64 | ^ 2 $

سؤالي هو: في الخطوة الأخيرة ، استبدلت $ c $ بـ 64 ، لكني لا أعرف ما إذا كان ينبغي استبدال $ c $ بـ 64 أو 65.أود أن أعرف لماذا يجب أن تحل القيمة محل $ c $ وإذا كان الحل صحيحًا وكاملًا ، إذا كان ذلك ممكنًا.


حساب التفاضل والتكامل النشط

ما هي كثيرة الحدود تايلور؟ لأي أغراض تستخدم تيلور متعدد الحدود؟

كيف نحدد الدقة عندما نستخدم تيلور متعدد الحدود لتقريب دالة؟

حتى الآن ، كل سلسلة لا نهائية ناقشناها كانت عبارة عن سلسلة من الأرقام الحقيقية ، مثل

في الجزء المتبقي من هذا الفصل ، سنقوم بتضمين المتسلسلات التي تتضمن متغيرًا. على سبيل المثال ، إذا في السلسلة الهندسية في المعادلة (8.5.1) ، استبدلنا النسبة (r = frac <1> <2> ) بالمتغير (x text <،> ) لدينا اللانهائي (لا تزال هندسية)

هنا نرى شيئًا مثيرًا للاهتمام: لأن سلسلة هندسية تتقارب كلما كانت نسبتها (r ) ترضي (| r | lt 1 text <،> ) ومجموع سلسلة هندسية متقاربة هو ( frac < 1-r> text <،> ) يمكننا أن نقول ذلك لـ (| x | lt 1 text <،> )

تنص المعادلة (8.5.3) على أن الدالة غير متعددة الحدود ( frac <1> <1-x> ) على اليمين تساوي التعبير متعدد الحدود اللانهائي على اليسار. نظرًا لأن المصطلحات الموجودة على اليسار تصبح صغيرة جدًا حيث يصبح (k ) كبيرًا ، يمكننا اقتطاع السلسلة ونقول ، على سبيل المثال ،

للقيم الصغيرة لـ (x text <.> ) هذا يوضح طريقة واحدة يمكن من خلالها استخدام دالة متعددة الحدود لتقريب دالة غير متعددة الحدود ، مثل هذه التقريبات هي أحد الموضوعات الرئيسية في هذا القسم والقسم التالي.

في نشاط المعاينة 8.5.1 ، نبدأ استكشافنا للوظائف المتقاربة مع كثيرات الحدود.

معاينة النشاط 8.5.1.

أظهر نشاط المعاينة 8.3.1 كيف يمكننا تقريب الرقم (e ) باستخدام الدوال الخطية والتربيعية وغيرها من الوظائف متعددة الحدود ، ثم استخدمنا أفكارًا مماثلة في نشاط المعاينة 8.4.1 لتقريب ( ln (2) text <. > ) في هذا النشاط ، نقوم بمراجعة وتوسيع العملية للعثور على "أفضل" تقريب تربيعي للدالة الأسية (e ^ x ) حول الأصل. دع (f (x) = e ^ x ) طوال هذا النشاط.

ابحث عن صيغة (P_1 (x) text <،> ) الخطية (f (x) ) في (x = 0 text <.> ) (نحن نطلق على هذا الخطي (P_1 ) ) لأنه تقريب متعدد الحدود من الدرجة الأولى.) تذكر أن (P_1 (x) ) هو تقريب جيد لـ (f (x) ) لقيم (x ) بالقرب من (0 text < .> ) ارسم (f ) و (P_1 ) بالقرب من (س = 0 ) لتوضيح هذه الحقيقة.

نظرًا لأن (f (x) = e ^ x ) ليس خطيًا ، فإن التقريب الخطي في النهاية ليس جيدًا جدًا. للحصول على تقديرات تقريبية أفضل ، نريد تطوير تقريب مختلف "ينحني" لجعله أكثر ملاءمة للرسم البياني (f ) بالقرب من (x = 0 text <.> ) للقيام بذلك ، نضيف المصطلح التربيعي إلى (P_1 (x) text <.> ) بعبارة أخرى ، ندع

بالنسبة لبعض الأرقام الحقيقية (c_2 text <.> ) نحتاج إلى تحديد قيمة (c_2 ) التي تجعل الرسم البياني لـ (P_2 (x) ) مناسبًا بشكل أفضل لرسم بياني لـ (f (x) ) بالقرب من (س = 0 نص <.> )

تذكر أن (P_1 (x) ) كان تقريبًا خطيًا جيدًا لـ (f (x) ) بالقرب من (0 text <> ) هذا بسبب (P_1 (0) = f (0) ) و (P'_1 (0) = f '(0) text <.> ) لذلك من المعقول البحث عن قيمة (c_2 ) بحيث

تذكر أننا تركنا (P_2 (x) = P_1 (x) + c_2x ^ 2 text <.> )

احسب (P_2 (0) ) لإظهار أن (P_2 (0) = f (0) text <.> )

احسب (P'_2 (0) ) لإظهار أن (P'_2 (0) = f '(0) text <.> )

احسب (P '' _ 2 (x) text <.> ) ثم ابحث عن قيمة لـ (c_2 ) بحيث يكون (P '' _ 2 (0) = f '' (0) text <.> )

اشرح لماذا الشرط (P '' _ 2 (0) = f '' (0) ) سيضع "الانحناء" المناسب في الرسم البياني (P_2 ) لجعل (P_2 ) يتناسب مع الرسم البياني لـ (و ) حول (س = 0 نص <.> )

القسم الفرعي 8.5.1 Taylor Polynomials

يوضح نشاط المعاينة 8.5.1 الخطوات الأولى في عملية تقريب الوظائف مع كثيرات الحدود. باستخدام هذه العملية ، يمكننا تقريب الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغيرها من الوظائف غير متعددة الحدود بقدر ما نحب (لقيم معينة من (x )) مع كثيرات الحدود. هذا مفيد للغاية لأنه يسمح لنا بحساب قيم هذه الوظائف بأي دقة نحبها فقط باستخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة ، والتي يمكن برمجتها بسهولة في الكمبيوتر.

نقوم بعد ذلك بتوسيع النهج في نشاط المعاينة 8.5.1 إلى وظائف عشوائية في نقاط عشوائية. لنفترض أن (f ) دالة تحتوي على العديد من المشتقات التي نحتاجها عند نقطة (x = a text <.> ) تذكر أن (P_1 (x) ) هو خط الظل لـ (f ) في ((a، f (a)) ) وتعطى من خلال الصيغة

(P_1 (x) ) هو التقريب الخطي لـ (f ) بالقرب من (a ) الذي له نفس قيمة المنحدر والدالة مثل (f ) عند النقطة (x = a text <. > )

نريد بعد ذلك إيجاد تقريب تربيعي

بحيث (P_2 (x) ) عن كثب النماذج (f (x) ) بالقرب من (x = a text <.> ) ضع في اعتبارك الحسابات التالية لقيم ومشتقات (P_2 (x) نص <:> )

لجعل (P_2 (x) ) مناسبًا (f (x) ) أفضل من (P_1 (x) text <،> ) نريد (P_2 (x) ) و (f (x) ) ) بنفس التقعر عند (x = a text <،> ) بالإضافة إلى نفس قيمة المنحدر والدالة. هذا هو ، نريد أن يكون لدينا

لذلك ، فإن التقريب التربيعي (P_2 (x) ) إلى (f ) المتمركز في (x = a ) هو

يمتد هذا النهج بشكل طبيعي إلى كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى. نحدد كثيرات الحدود

الخاصية المحددة لهذه كثيرات الحدود هي أنه لكل (n text <،> ) (P_n (x) ) وجميع مشتقاتها الأولى (n ) يجب أن تتوافق مع تلك الخاصة بـ (f ) في (س = أ نص <.> ) بعبارة أخرى نحن نطلب ذلك

للجميع (k ) من 0 إلى (n text <.> )

لترى الظروف التي يحدث هذا في ظلها ، افترض

لذا فإن وجود (P ^ <(k)> _ n (a) = f ^ <(k)> (a) ) يعني أن (k! c_k = f ^ <(k)> (a) ) وبالتالي

لكل قيمة من (k text <.> ) باستخدام هذا التعبير لـ (c_k text <،> ) وجدنا صيغة التقريب متعدد الحدود لـ (f ) الذي نسعى إليه. يسمى هذا كثير الحدود أ تايلور كثير الحدود.

تايلور متعدد الحدود.

ال (n ) ال طلب تايلور متعدد الحدود من (f ) المتمركزة في (س = أ ) معطاة من قبل

تقارب هذه الدرجة (n ) كثير الحدود (f (x) ) بالقرب من (x = a ) ولها خاصية (P_n ^ <(k)> (a) = f ^ <(k)> (a) ) لـ (k = 0، 1، ldots، n text <.> )

المثال 8.5.1.

حدد ترتيب تيلور متعدد الحدود من أجل (f (x) = e ^ x text <،> ) بالإضافة إلى ترتيب تيلور متعدد الحدود العام من أجل (f ) المتمركز في (x = 0 نص <.> )

نحن نعلم أن (f '(x) = e ^ x ) وهكذا (f' (x) = e ^ x ) و (f '' '(x) = e ^ x text <. > ) وهكذا ،

لذا فإن الترتيب الثالث لتايلور متعدد الحدود من (f (x) = e ^ x ) المتمركز في (x = 0 ) هو

بشكل عام ، بالنسبة للدالة الأسية (f ) لدينا (f ^ <(k)> (x) = e ^ x ) لكل عدد صحيح موجب (k text <.> ) وبالتالي ، فإن (ك ) المصطلح رقم في (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود من أجل (f (x) ) المتمركز في (x = 0 ) هو

لذلك ، فإن (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود من أجل (f (x) = e ^ x ) المتمركز في (x = 0 ) هو

النشاط 8.5.2.

لقد رأينا للتو أن (n ) ترتيب تيلور متعدد الحدود المتمركز في (أ = 0 ) للدالة الأسية (ه ^ س ) هو

في هذا النشاط ، نحدد متعدد الحدود من رتبة Taylor الصغيرة للعديد من الوظائف المألوفة الأخرى ، ونبحث عن الأنماط العامة.

احسب المشتقات الأربعة الأولى لـ (f (x) ) في (x = 0 text <.> ) ثم ابحث عن الترتيب الرابع لكثير الحدود تايلور (P_4 (x) ) من أجل ( frac <1> <1-x> ) متمركز في (0 نص <.> )

بناءً على نتائجك من الجزء (i) ، حدد صيغة عامة لـ (f ^ <(k)> (0) text <.> )

احسب المشتقات الأربعة الأولى لـ (f (x) ) عند (x = 0 text <.> ) ثم ابحث عن الترتيب الرابع لكثير الحدود تايلور (P_4 (x) ) من أجل ( cos (x) ) متمركزة في (0 نص <.> )

بناءً على نتائجك من الجزء (i) ، ابحث عن صيغة عامة لـ (f ^ <(k)> (0) text <.> ) (فكر في كيفية تأثير (k ) على القيمة الزوجية أو الفردية من المشتق (ك ) عشر.)

احسب المشتقات الأربعة الأولى لـ (f (x) ) في (x = 0 text <.> ) ثم ابحث عن الترتيب الرابع لكثير الحدود تايلور (P_4 (x) ) من أجل ( sin (x) ) متمركزة في (0 نص <.> )

بناءً على نتائجك من الجزء (i) ، ابحث عن صيغة عامة لـ (f ^ <(k)> (0) text <.> ) (فكر في كيفية تأثير (k ) على القيمة الزوجية أو الفردية من المشتق (ك ) عشر.)

من الممكن أن (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود ليس متعدد الحدود من الدرجة (n text <> ) أي أن ترتيب التقريب يمكن أن يكون مختلفًا عن درجة كثير الحدود. على سبيل المثال ، في النشاط 8.5.3 وجدنا أن الترتيب الثاني لتايلور متعدد الحدود (P_2 (x) ) متمركز في (0 ) من أجل ( sin (x) ) هو (P_2 (x) = x text <.> ) في هذه الحالة ، يكون ترتيب تيلور متعدد الحدود من الدرجة الثانية هو متعدد الحدود من الدرجة الأولى.

القسم الفرعي 8.5.2 سلسلة تايلور

في النشاط 8.5.2 ، رأينا أن الترتيب الرابع لتايلور متعدد الحدود (P_4 (x) ) لـ ( sin (x) ) المتمركز في (0 ) هو

يصف النمط الذي وجدناه للمشتقات (f ^ <(k)> (0) ) ترتيب تيلور متعدد الحدود ، على سبيل المثال ،

وما إلى ذلك وهلم جرا. من المفيد النظر في السلوك الرسومي لهذه الوظائف يوضح الشكل 8.5.2 الرسوم البيانية لعدد قليل من كثيرات حدود تايلور المتمركزة في (0 ) لوظيفة الجيب.

لاحظ أن (P_1 (x) ) قريب من دالة الجيب فقط لقيم (x ) القريبة من (0 text <،> ) ولكن كلما زادنا درجة تيلور متعدد الحدود ، توفر معادلات تايلور متعددة الحدود ملاءمة أفضل للرسم البياني لوظيفة الجيب على فترات زمنية أكبر. يوضح هذا السلوك العام لتايلور متعدد الحدود: لأي وظيفة حسنة التصرف بشكل كافٍ ، التسلسل () من Taylor متعدد الحدود يتقارب مع الوظيفة (f ) على فترات زمنية أكبر وأكبر (على الرغم من أن هذه الفترات قد لا تزيد بالضرورة دون قيود) إذا تقاربت معادلات تايلور متعددة الحدود في النهاية مع (f ) على مجالها بالكامل ، نكتب

التعريف 8.5.3.

لنفترض أن (f ) دالة توجد جميع مشتقاتها في (x = a text <.> ) فإن for (f ) المتمركز في (x = a ) هو السلسلة (T_f ( x) ) المعرفة بواسطة

في الحالة الخاصة حيث (a = 0 ) في التعريف 8.5.3 ، تسمى سلسلة Taylor أيضًا لـ (f text <.> ) من المثال 8.5.1 نعرف (n ) ث ترتيب تيلور متعدد الحدود متمركزًا في (0 ) للدالة الأسية (e ^ x text <> ) وبالتالي ، فإن سلسلة Maclaurin لـ (e ^ x ) هي

النشاط 8.5.3.

في النشاط 8.5.2 ، حددنا ترتيبًا صغيرًا لكثيرات الحدود من Taylor لبعض الوظائف المألوفة ، ووجدنا أيضًا أنماطًا عامة في المشتقات التي تم تقييمها في (0 text <.> ) استخدم هذه المعلومات لكتابة سلسلة تايلور المتمركزة في (0 ) للوظائف التالية.

(f (x) = cos (x) ) (ستحتاج إلى التفكير بعناية في كيفية الإشارة إلى أن العديد من المعاملات تساوي 0. فكر في طريقة عامة لتمثيل عدد صحيح زوجي.)

(f (x) = sin (x) ) (ستحتاج إلى التفكير بعناية في كيفية الإشارة إلى أن العديد من المعاملات هي (0 نص <.> ) فكر في طريقة عامة لتمثيل عدد صحيح فردي .)

النشاط 8.5.4.

ارسم الرسوم البيانية للعديد من كثيرات حدود تايلور المتمركزة في (0 ) (من أجل 5 على الأقل) من أجل (e ^ x ) واقنع نفسك بأن هذه كثيرات حدود تايلور تتقارب مع (e ^ x ) لكل قيمة من (س نص <.> )

ارسم الرسوم البيانية للعديد من كثيرات حدود تايلور المتمركزة في (0 ) (بالترتيب 6 على الأقل) لـ ( cos (x) ) واقنع نفسك أن هذه كثيرات حدود تايلور تتقارب مع ( cos (x) ) ) لكل قيمة من (x text <.> ) اكتب سلسلة تايلور المتمركزة في (0 ) من أجل ( cos (x) text <.> )

ارسم الرسوم البيانية للعديد من كثيرات حدود تايلور المتمركزة في (0 ) لـ ( frac <1> <1-x> text <.> ) بناءً على الرسوم البيانية الخاصة بك ، لأي قيم (س ) هل يبدو أن معادلات تايلور متعددة الحدود هذه تتقارب مع ( frac <1> <1-x> text <؟> ) كيف يختلف هذا الموقف عما نلاحظه مع (e ^ x ) و ( cos ( x) text <؟> ) بالإضافة إلى ذلك ، اكتب سلسلة Taylor المتمركزة في (0 ) من أجل ( frac <1> <1-x> text <.> )

سلسلة Maclaurin لـ (e ^ x text <،> ) ( sin (x) text <،> ) ( cos (x) text <،> ) و ( frac < 1> <1-x> ) بشكل متكرر ، لذلك يجب أن نتأكد من معرفتها والتعرف عليها جيدًا.

القسم الفرعي 8.5.3 الفاصل الزمني لتقارب سلسلة تايلور

في القسم السابق (في الشكل 8.5.2 والنشاط 8.5.4) لاحظنا أن كثيرات حدود تايلور تتمحور حول (0 ) لـ (e ^ x text <،> ) ( cos (x) اقترب النص <و> ) و ( sin (x) ) إلى هذه الوظائف لجميع قيم (x ) في مجالهم ، ولكن تمركزت كثيرات حدود تايلور في (0 ) من أجل ( frac <1> <1-x> ) تتقارب مع ( frac <1> <1-x> ) على الفاصل ((- 1،1) ) وتباعد مع جميع القيم الأخرى لـ (x ) نص <.> ) لذلك لا تحتاج سلسلة تايلور للدالة (f (x) ) إلى التقارب لجميع قيم (x ) في مجال (f text <.> )

تقترح ملاحظاتنا سؤالين طبيعيين: هل يمكننا تحديد قيم (س ) التي تتقارب من أجلها سلسلة تايلور؟ وهل سلسلة تايلور للدالة (f ) تتقارب فعليًا إلى (f (x) text <؟> )

المثال 8.5.4.

تشير الأدلة الرسومية إلى أن سلسلة Taylor المتمركزة في (0 ) من أجل (e ^ x ) تتقارب لجميع قيم (x text <.> ) للتحقق من ذلك ، استخدم اختبار النسبة لتحديد جميع قيم (س ) التي من أجلها سلسلة تايلور

تذكر أن اختبار النسبة لا ينطبق إلا على سلسلة من المصطلحات غير السلبية. في هذا المثال ، قد يحتوي المتغير (x ) على قيم سالبة. لكننا مهتمون بالتقارب المطلق ، لذلك نطبق اختبار النسبة على السلسلة

لأي قيمة لـ (x text <.> ) لذا فإن سلسلة Taylor (8.5.4) تتقارب تمامًا لكل قيمة (x text <،> ) وبالتالي تتقارب مع كل قيمة (x ) نص <.> )

لا يزال هناك سؤال واحد: بينما تتقارب سلسلة Taylor لـ (e ^ x ) للجميع (x text <،> ) ما فعلناه لا يخبرنا أن سلسلة تايلور هذه تتقارب بالفعل إلى (e ^ x ) لكل (x text <.> ) سنعود إلى هذا السؤال عندما ننظر في الخطأ في تقريب تايلور بالقرب من نهاية هذا القسم.

يمكننا تطبيق الفكرة الرئيسية من المثال 8.5.4 بشكل عام. لتحديد قيم (س ) التي من أجلها سلسلة تايلور

تتمركز في (x = a ) سوف تتقارب ، ونطبق اختبار النسبة مع (a_k = | c_k (x-a) ^ k | text <.> ) تتقارب السلسلة إذا ( lim_ فارك<>> lt 1 text <.> )

لذلك عندما نطبق اختبار النسبة ، نحصل عليه

هناك ثلاثة احتمالات يمكن أن تكون (L text <:> ) (L ) (0 text <،> ) قيمة موجبة محدودة ، أو يمكن أن تكون غير محدودة. بناءً على هذه القيمة لـ (L text <،> ) يمكننا تحديد قيم (x ) سلسلة تايلور الأصلية تتقارب.

إذا (L = 0 text <،> ) فإن سلسلة تايلور تتقارب عند ((- infty، infty) text <.> )

إذا كان (L ) لانهائيًا ، فإن سلسلة تايلور تتقارب فقط عند (x = a text <.> )

إذا كان (L ) محدودًا وغير صفري ، فإن سلسلة تايلور تتقارب تمامًا للجميع (س ) التي ترضي

لأن اختبار النسبة غير حاسم عندما تكون (| x-a | cdot L = 1 text <،> ) نقاط النهاية (a pm frac <1>) يجب التحقق منها بشكل منفصل.

من المهم ملاحظة أن مجموعة قيم (س ) التي تتقارب عندها سلسلة تايلور هي دائمًا فاصل زمني متمركز في (س = أ نص <.> ) لهذا السبب ، المجموعة التي عليها سلسلة تايلور تتقارب يسمى فاصل التقارب. نصف طول فترة التقارب يسمى نصف قطر التقارب. إذا كانت فترة التقارب في سلسلة تايلور لانهائية ، فإننا نقول إن نصف قطر التقارب لانهائي.

النشاط 8.5.5.

استخدم اختبار النسبة لتحديد الفاصل الزمني لتقارب سلسلة تايلور صراحة من أجل (f (x) = frac <1> <1-x> ) المتمركز في (x = 0 text <.> )

استخدم اختبار النسبة لتحديد الفاصل الزمني لتقارب سلسلة تايلور بشكل صريح من أجل (f (x) = cos (x) ) المتمركز في (x = 0 text <.> )

استخدم اختبار النسبة لتحديد الفاصل الزمني لتقارب سلسلة تايلور بشكل صريح من أجل (f (x) = sin (x) ) المتمركز في (x = 0 text <.> )

يتيح لنا اختبار النسبة تحديد مجموعة قيم (x ) التي تتقارب فيها سلسلة تايلور تمامًا. ومع ذلك ، لمجرد تقارب سلسلة Taylor لوظيفة (f ) ، لا يمكننا التأكد من أن سلسلة Taylor تتقارب فعليًا إلى (f (x) text <.> ) لإظهار سبب ومكان سلسلة تايلور في الواقع ، نتقارب مع الوظيفة (f text <،> ) سننظر بعد ذلك في الخطأ الموجود في تيلور متعدد الحدود.

القسم الفرعي 8.5.4 تقديرات الخطأ لتايلور متعدد الحدود

نحن نعرف الآن كيفية العثور على كثيرات حدود تايلور لوظائف مثل ( sin (x) text <،> ) وكيفية تحديد فترة التقارب لسلسلة تايلور المقابلة. نطور بعد ذلك خطأ مرتبطًا سيخبرنا بمدى جودة (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود (P_n (x) ) يقترب من وظيفة التوليد (f (x) text <.> ) هذا الخطأ مرتبط سيسمح لنا أيضًا بتحديد ما إذا كانت سلسلة تايلور في فترة التقارب الخاصة بها تساوي فعليًا الوظيفة (f ) التي اشتُق منها سلسلة تايلور. أخيرًا ، سنكون قادرين على استخدام الخطأ المرتبط لتحديد ترتيب تيلور متعدد الحدود (P_n (x) ) الذي سنضمن أن (P_n (x) ) يقارب (f (x) ) إلى الدرجة المطلوبة من الدقة.

بالنسبة لهذه الحجة ، نفترض طوال الوقت أننا نركز تقديراتنا التقريبية عند (0 ) (لكن حجة مماثلة تنطبق على التقريبات المتمركزة في (أ )). نحدد الخطأ الدقيق ، (E_n (x) text <،> ) الذي ينتج عن تقريب (f (x) ) مع (P_n (x) ) بواسطة

نحن مهتمون بشكل خاص بـ (| E_n (x) | text <،> ) المسافة بين (P_n ) و (f text <.> ) لأن

لـ (0 leq k leq n text <،> ) نحن نعلم ذلك

لـ (0 leq k leq n text <.> ) علاوة على ذلك ، بما أن (P_n (x) ) هو متعدد الحدود من الدرجة أقل من أو يساوي (n text <،> ) نعلم الذي - التي

وهكذا ، منذ (E ^ <(n + 1)> _ n (x) = f ^ <(n + 1)> (x) - P_n ^ <(n + 1)> (x) text <،> ) إنه يتبع هذا

افترض أننا نريد تقريب (f (x) ) عند رقم (c ) قريب من (0 ) باستخدام (P_n (c) text <.> ) إذا افترضنا (| f ^ <(n + 1)> (t) | ) يحده عدد ما (M ) في ([0، c] text <،> ) بحيث

للجميع (0 leq t leq c text <،> ) يمكننا أن نقول ذلك

للجميع (t ) بين (0 ) و (ج نص <.> ) بالتساوي ،

في ([0، c] text <.> ) بعد ذلك ، نقوم بدمج المصطلحات الثلاثة في عدم المساواة (8.5.5) من (t = 0 ) إلى (t = x text <،> ) وبالتالي تجد ذلك

لكل قيمة (x ) في ([0، c] text <.> ) منذ (E ^ <(n)> _ n (0) = 0 text <،> ) FTC الأول يخبرنا ذلك

دمج هذه المتباينة الأخيرة ، نحصل عليها

تكامل (n ) مرات ، وصلنا إليه

لكل (x ) في ([0، c] text <.> ) وهذا يمكننا من استنتاج أن

لجميع (س ) في ([0 ، ج] نص <،> ) وقد وجدنا حدًا لخطأ التقريب ، (E_n text <.> )

استند عملنا أعلاه إلى التقريب المتمركز في (a = 0 text <> ) يمكن تعميم الوسيطة للاحتفاظ بأي قيمة لـ (a text <،> ) مما ينتج عنه النظرية التالية.

تم ربط خطأ لاغرانج لـ (P_n (x) ).

لنفترض أن (f ) دالة متصلة مع (n + 1 ) مشتقات مستمرة. افترض أن (M ) رقم حقيقي موجب مثل ( left | f ^ <(n + 1)> (x) right | le M ) على الفاصل ([a، c] text <.> ) إذا كان (P_n (x) ) هو (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود من أجل (f (x) ) متمركز في (x = a text <،> ) إذن

يمكننا استخدام هذا الخطأ لإخبارنا بمعلومات مهمة حول تيلور متعدد الحدود وسلسلة تايلور ، كما نرى في الأمثلة والأنشطة التالية.

المثال 8.5.5.

حدد مدى جودة ترتيب تايلور متعدد الحدود (P_ <10> (x) ) لـ ( sin (x) text <،> ) المتمركز في (0 text <،> ) تقريبًا ( الخطيئة (2) نص <.> )

للإجابة على هذا السؤال نستخدم (f (x) = sin (x) text <،> ) (c = 2 text <،> ) (a = 0 text <،> ) و (n = 10 ) في صيغة لاجرانج المرتبطة بالخطأ. نحتاج أيضًا إلى إيجاد قيمة مناسبة لـ (M text <.> ) لاحظ أن مشتقات (f (x) = sin (x) ) كلها تساوي ( pm sin (x) ) ) أو ( pm cos (x) text <.> ) وهكذا ،

لأي (n ) و (س نص <.> ) لذلك ، يمكننا اختيار (م ) ليكون (1 نص <.> ) ثم

لذلك (P_ <10> (2) ) يقترب ( sin (2) ) إلى الحد الأقصى (0.00005130671797 text <.> ) يخبرنا نظام الجبر الحاسوبي بذلك

مع اختلاف فعلي يبلغ حوالي (0.0000500159 نص <.> )

النشاط 8.5.6.

لنفترض أن (P_n (x) ) هو (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود من أجل ( sin (x) ) متمركز في (x = 0 text <.> ) حدد الحجم الذي نحتاج إليه اختر (n ) بحيث (P_n (2) ) يقارب ( sin (2) ) إلى (20 ) المنازل العشرية.

المثال 8.5.6.

أظهر أن سلسلة تايلور لـ ( sin (x) ) تتقارب فعليًا إلى ( sin (x) ) للجميع (x text <.> )

تذكر من المثال السابق أنه منذ (f (x) = sin (x) text <،> ) نحن نعلم

لأي (n ) و (x نص <.> ) هذا يسمح لنا باختيار (M = 1 ) في صيغة لاغرانج المرتبطة بالخطأ. هكذا،

أظهرنا في عمل سابق أن سلسلة تايلور ( sum_^ < infty> فارك) يتقارب لكل قيمة من (x text <.> ) نظرًا لأن شروط أي سلسلة متقاربة يجب أن تقترب من الصفر ، فإن ذلك يتبع ذلك

لكل قيمة من (x text <.> ) وبالتالي ، مع أخذ الحد كـ (n to infty ) في المتباينة (8.5.6) ، فإنه يتبع ذلك

نتيجة لذلك ، يمكننا الآن الكتابة

لكل رقم حقيقي (x نص <.> )

النشاط 8.5.7.

أظهر أن سلسلة Taylor المتمركزة في (0 ) من أجل ( cos (x) ) تتقارب مع ( cos (x) ) لكل رقم حقيقي (x نص <.> )

بعد ذلك ، نعتبر سلسلة Taylor لـ (e ^ x text <.> )

أظهر أن سلسلة Taylor المتمركزة في (0 ) من أجل (e ^ x ) تتقارب مع (e ^ x ) لكل قيمة غير سالبة لـ (x text <.> )

أظهر أن سلسلة Taylor المتمركزة في (0 ) من أجل (e ^ x ) تتقارب مع (e ^ x ) لكل قيمة سلبية لـ (x text <.> )

اشرح سبب تقارب سلسلة Taylor المتمركزة في (0 ) من أجل (e ^ x ) إلى (e ^ x ) لكل رقم حقيقي (x text <.> ) تذكر أننا أظهرنا سابقًا أن تركزت سلسلة تايلور في (0 ) من أجل (e ^ x ) تتقارب للجميع (x text <،> ) وقد أكملنا الآن الحجة القائلة بأن سلسلة تايلور لـ (e ^ x ) في الواقع يتقارب إلى (e ^ x ) للجميع (x text <.> )

دع (P_n (x) ) يكون (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود من أجل (e ^ x ) متمركز في (0 text <.> ) ابحث عن قيمة (n ) لذلك هذا (P_n (5) ) يقارب (e ^ 5 ) صحيح إلى (8 ) المنازل العشرية.

ملخص القسم الفرعي 8.5.5

يمكننا استخدام تيلور متعدد الحدود لتقريب الوظائف. يسمح لنا هذا بتقريب قيم الوظائف باستخدام الجمع والطرح والضرب والقسمة للأرقام الحقيقية فقط. (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود المتمركز في (س = أ ) من وظيفة (و ) هو

سلسلة تايلور المتمركزة في (س = أ ) لوظيفة (و ) هي

(n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود المتمركز في (a ) من أجل (f ) هو المجموع الجزئي (n ) لسلسلة تايلور المتمركز في (a text <.> ) لذا (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود لوظيفة (f ) هو تقريب لـ (f ) على الفاصل الزمني حيث تتقارب سلسلة تايلور لقيم (س ) التي تتقارب فيها سلسلة تايلور إلى (و ) نكتب

يوضح لنا Lagrange Error Bound كيفية تحديد الدقة في استخدام Taylor متعدد الحدود لتقريب وظيفة. بشكل أكثر تحديدًا ، إذا كان (P_n (x) ) هو (n ) ترتيب تايلور متعدد الحدود من أجل (f ) متمركز في (س = أ ) وإذا كان (م ) هو الحد الأعلى لـ ( left | f ^ <(n + 1)> (x) right | ) على الفاصل الزمني ([a، c] text <،> ) ثم

تمارين 8.5.6 تمارين

1. تحديد معادلات تايلور متعددة الحدود من صيغة دالة.
2. تحديد كثيرات حدود تايلور من القيم المشتقة المعطاة.
3. إيجاد سلسلة تايلور لدالة كسرية معينة.
4. إيجاد سلسلة تايلور لوظيفة مثلثية معينة.
5. إيجاد سلسلة تايلور لوظيفة لوغاريتمية معينة.

في هذا التمرين نقوم بفحص سلسلة تايلور لوظائف كثيرة الحدود.

ابحث عن الترتيب الثالث لتايلور متعدد الحدود المتمركز في (a = 0 ) من أجل (f (x) = x ^ 3-2x ^ 2 + 3x-1 text <.> ) هل تفاجئك إجابتك؟ يشرح.

بدون إجراء أي حساب إضافي ، ابحث عن معادلات تايلور متعددة الحدود بالترتيب الرابع والثاني عشر والمائة (متمركزة في (أ = 0 )) لـ (f (x) = x ^ 3-2x ^ 2 + 3x-1 text .> ) لماذا تتوقع هذا؟

افترض الآن أن (f (x) ) هي درجة (م ) متعددة الحدود. صِف تمامًا (n ) ترتيب تيلور متعدد الحدود (متمركز في (أ = 0 )) لكل (n نص <.> )

كانت جميع الأمثلة التي أخذناها في الاعتبار في هذا القسم تتعلق بتايلور متعدد الحدود والمتسلسلة التي تتمحور حول 0 ، ولكن يمكن توسيط سلسلة تيلور ومتسلسلة عند أي قيمة لـ (a text <.> ) نحن ننظر إلى أمثلة من مثل تايلور متعدد الحدود في هذا التمرين.

دع (f (x) = sin (x) text <.> ) ابحث عن كثيرات حدود تايلور لأعلى من خلال الترتيب الرابع (f ) المتمركز في (x = frac < pi> <2> text <.> ) ثم ابحث عن سلسلة Taylor لـ (f (x) ) المتمركزة في (x = frac < pi> <2> text <.> ) لماذا كان يجب أن تتوقع النتيجة؟

دع (f (x) = ln (x) text <.> ) ابحث عن كثيرات حدود تايلور لأعلى من خلال الترتيب الرابع (f ) المتمركز في (x = 1 text <.> ) ثم ابحث عن سلسلة تايلور لـ (f (x) ) متمركزة في (x = 1 text <.> )

استخدم النتيجة من (ب) لتحديد أي من كثيرات الحدود لتايلور سوف تقرب ( ln (2) ) إلى منزلتين عشريتين. اشرح بالتفصيل كيف تعرف أن لديك الدقة المطلوبة.

يمكننا استخدام سلسلة Taylor المعروفة للحصول على سلسلة Taylor أخرى ، ونستكشف هذه الفكرة في هذا التمرين ، كمعاينة للعمل في القسم التالي.

احسب المشتقات الأربعة الأولى لـ ( sin (x ^ 2) ) ومن ثم ابحث عن ترتيب Taylor متعدد الحدود من أجل ( sin (x ^ 2) ) المتمركز في (a = 0 text <.> )

يوضح الجزء (أ) نهج القوة الغاشمة لحساب تايلور متعدد الحدود والمتسلسلة. الآن نجد طريقة أسهل تستخدم سلسلة تايلور المعروفة. تذكر أن سلسلة Taylor المتمركزة في 0 لـ (f (x) = sin (x) ) هي

استبدل (x ^ 2 ) بـ (x ) في سلسلة Taylor (8.5.7). اكتب أول عدة مصطلحات وقارن بينها وبين عملك في الجزء (أ). اشرح لماذا يجب أن يعطي الاستبدال في هذه المشكلة سلسلة Taylor لـ ( sin (x ^ 2) ) متمركزة في 0.

ما الذي يجب أن نتوقعه من فترة تقارب السلسلة ( sin (x ^ 2) )؟ شرح بالتفصيل.

استنادًا إلى الأمثلة التي رأيناها ، قد نتوقع أن تتقارب سلسلة Taylor للدالة (f ) دائمًا مع القيم (f (x) ) في فترة التقارب الخاصة بها. نستكشف هذه الفكرة بمزيد من التفصيل في هذا التمرين. دع (f (x) = ابدأe ^ <-1 / x ^ 2> amp text x neq 0، 0 amp text x = 0. end)

أظهر ، باستخدام تعريف المشتق ، أن (f '(0) = 0 text <.> )

يمكن إثبات أن (f ^ <(n)> (0) = 0 ) للجميع (n geq 2 text <.> ) بافتراض أن هذا صحيح ، ابحث عن سلسلة Taylor لـ (f ) متمركزة في 0.

ما الفاصل الزمني لتقارب سلسلة تايلور المتمركزة في 0 من أجل (f text <؟> ) اشرح. لأي قيم من (x ) فاصل التقارب لسلسلة تايلور تتقارب سلسلة تايلور مع (f (x) text <؟> )


القسم 8.7 Taylor Polynomials ¶ الرابط الثابت

ضع في اعتبارك دالة (y = f (x) ) ونقطة ( big (c، f (c) big) text <.> ) المشتق ، ( fp (c) text < ،> ) يعطي معدل التغيير الفوري لـ (f ) عند (x = c text <.> ) من بين جميع الأسطر التي تمر عبر النقطة ( big (c، f (c) big ) text <،> ) السطر الذي يقارب بشكل أفضل (f ) عند هذه النقطة هو خط الظل أي الخط الذي يكون ميله (معدل التغيير) ( fp (c) text <.> )

في & lt & ltUnresolved xref ، قم بالإشارة إلى "fig_taypolyintroa_1" تحقق من الهجاء أو استخدم السمة "المؤقتة" & gt & gt ، نرى دالة (y = f (x) ) بالرسم البياني. الجدول في الشكل 8.7.1. (ب) أن (f (0) = 2 ) و ( fp (0) = 1 text <> ) لذلك ، خط الظل إلى (f ) في (x = 0 ) هو (p_1 (x) = 1 (x-0) +2 = x + 2 text <.> ) يتم إعطاء خط الظل أيضًا في الشكل. لاحظ أن "بالقرب" (x = 0 text <،> ) (p_1 (x) almost f (x) text <> ) أي أن خط الظل يقارب (f ) جيدًا.

أحد أوجه القصور في هذا التقريب هو أن الخط المماس يتطابق فقط مع ميل (f text <> ) فهو لا يتطابق ، على سبيل المثال ، مع تقعر (f text <.> ) يمكننا العثور على كثير الحدود ، (p_2 (x) text <،> ) الذي يتطابق مع التقعر بالقرب من (0 ) دون صعوبة كبيرة. يعطي الجدول في الشكل 8.7.1 المعلومات التالية: start و (0) = 2 qquad fp (0) = 1 qquad fp '(0) = 2. النهاية

لذلك ، نريد أن يكون لكثير الحدود (p_2 (x) ) نفس الخصائص. هذا هو ، نحن بحاجة نبدأ p_2 (0) = 2 qquad p_2 '(0) = 1 qquad p_2' '(0) = 2. النهاية

هذه مجرد مشكلة قيمة أولية. يمكننا حل هذا باستخدام التقنيات الموضحة أولاً في القسم 5.1. للحفاظ على (p_2 (x) ) بسيطًا قدر الإمكان ، سنفترض أنه ليس فقط (p_2 '' (0) = 2 text <،> ) ولكن هذا (p_2 '' (x) = 2 text <.> ) أي أن المشتق الثاني لـ (p_2 ) ثابت ، بمعنى أن (p_2 ) دالة تربيعية.

إذا كان (p_2 '' (x) = 2 text <،> ) ثم (p_2 '(x) = 2x + C ) لبعض الثوابت (C text <.> ) بما أننا قررنا ذلك (p_2 '(0) = 1 text <،> ) نجد أن (C = 1 ) وهكذا (p_2' (x) = 2x + 1 text <.> ) أخيرًا ، يمكننا حساب (p_2 (x) = x ^ 2 + x + C text <.> ) باستخدام قيمنا الأولية ، نعرف (p_2 (0) = 2 ) لذا (C = 2 text <.> ) نستنتج أن (p_2 (x) = x ^ 2 + x + 2 text <.> ) تم رسم هذه الوظيفة مع (f ) في الشكل 8.7.2.

يمكننا تكرار عملية التقريب هذه عن طريق إنشاء كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى التي تتطابق مع المزيد من مشتقات (f ) في (x = 0 text <.> ) بشكل عام ، يمكن للعديد من الحدود (n ) يتم إنشاؤه لمطابقة مشتقات (n ) الأولى (f text <.> ) يوضح الشكل 8.7.2 أيضًا (p_4 (x) = -x ^ 4/2-x ^ 3/6 + x ^ 2 + x + 2 text <،> ) تطابق مشتقاتها الأربعة الأولى عند 0 تلك الخاصة بـ (f text <.> ) (باستخدام الجدول في الشكل 8.7.1 ، ابدأ بـ (p_4 ^ <( 4)> (x) = - 12 ) وحل مشكلة القيمة الأولية ذات الصلة.)

الشكل 8.7.2 الرسم (f text <،> ) (p_2 ) و (p_4 text <.> )

نظرًا لأننا نستخدم المزيد والمزيد من المشتقات ، فإن تقريب كثير الحدود الخاص بنا إلى (f ) يصبح أفضل وأفضل. في هذا المثال ، يصبح الفاصل الزمني الذي يكون فيه التقريب "جيدًا" أكبر وأكبر. يوضح الشكل 8.7.3 (p_ <13> (x) text <> ) يمكننا أن نؤكد بصريًا أن هذا كثير الحدود يقارب (f ) جيدًا على ([- 2،3] text <.> ) (كثير الحدود (p_ <13> (x) ) ليس "لطيفًا" بشكل خاص. إنه start amp p_ <13> = (x) frac <16901x ^ <13>> <6227020800> + frac <13x ^ <12>> <1209600> - frac <1321x ^ <11>> <39916800> - frac <779x ^ <10>> <1814400>-frac<359x999> <362880> amp + frac<240>+frac<139x]7> <5040> + frac <11 x ^ 6> <360> - frac <19x ^ 5> <120> - frac<2> - frac<6> + x ^ 2 + x + 2 end

الشكل 8.7.3 الرسم (f ) و (p_ <13> text <.> )

تعد كثيرات الحدود التي أنشأناها أمثلة على كثيرات الحدود تايلور، سميت على اسم عالم الرياضيات البريطاني بروك تايلور الذي قام باكتشافات مهمة حول هذه الوظائف. بينما أنشأنا معادلات تايلور متعددة الحدود أعلاه من خلال حل مسائل القيمة الأولية ، يمكن إثبات أن كثيرات حدود تايلور تتبع نمطًا عامًا يجعل تشكيلها أكثر مباشرة. هذا موصوف في التعريف التالي.

التعريف 8.7.4 تايلور متعدد الحدود ، متعدد الحدود لماكلورين

لنفترض أن (f ) دالة توجد مشتقاتها الأولى (n ) في (x = c text <.> )

ال كثير حدود تايلور من الدرجة (n ) من (و ) في (س = ج ) هو ابدأ p_n (x) = f (c) + fp (c) (xc) + frac < fpp (c)> <2!> (xc) ^ 2 + frac < fp '' (c)> < 3!> (xc) ^ 3 + cdots + frac(ج)>(س ج) ^ ن. نهاية

حالة خاصة من كثير حدود تايلور هي Maclaurin كثير الحدود ، حيث (c = 0 text <.> ) وهذا هو ، متعدد حدود ماكلورين من الدرجة (n ) من (و ) هو ابدأ p_n (x) = f (0) + fp (0) x + frac < fpp (0)> <2!> x ^ 2 + frac < fp '' (0)> <3!> x ^ 3 + cdots + فارك(0)>س ^ ن. نهاية

سنتدرب على إنشاء كثيرات حدود تايلور وماكلورين في الأمثلة التالية.

مثال 8.7.5: إيجاد واستخدام كثيرات حدود Maclaurin

ابحث عن (n ^ text ) متعدد حدود Maclaurin من أجل (f (x) = e ^ x text <.> )

استخدم (p_5 (x) ) لتقريب قيمة (e text <.> )

نبدأ بإنشاء جدول بمشتقات (e ^ x ) التي تم تقييمها عند (x = 0 text <.> ) في هذه الحالة بالذات ، هذا بسيط نسبيًا ، كما هو موضح في الجدول 8.7.6.

(و (س) = ه ^ س ) (السهم الأيمن) (و (0) = 1 )
( fp (x) = e ^ x ) (السهم الأيمن) ( fp (0) = 1 )
(fp '(x) = e ^ x ) (السهم الأيمن) ( fp '(0) = 1 )
( vdots ) ( vdots )
(f ^ <(n)> (x) = e ^ x ) (السهم الأيمن) (و ^ <(n)> (0) = 1 )
الجدول 8.7.6 تم تقييم مشتقات (f (x) = e ^ x ) عند (x = 0 text <.> ) من خلال تعريف سلسلة Maclaurin ، بدأنا p_n (x) amp = f (0) + fp (0) x + frac < fpp (0)> <2!> x ^ 2 + frac < fp '' (0)> <3! > x ^ 3 + cdots + fracx ^ n amp = 1 + x + frac <1> <2> x ^ 2 + frac <1> <6> x ^ 3 + frac <1> <24> x ^ 4 + cdots + فارك <1>س ^ ن. نهاية

باستخدام إجابتنا من الجزء 1 ، لقد بدأنا e ^ x almost p_5 (x) = 1 + x + frac <1> <2> x ^ 2 + frac <1> <6> x ^ 3 + frac <1> <24> x ^ 4 + frac <1> <120> x ^ 5. نهاية لتقريب قيمة (e text <،> ) لاحظ أن (e = e ^ 1 = f (1) almost p_5 (1) text <.> ) من السهل جدًا تقييم ( p_5 (1) text <:> ) start p_5 (1) = 1 + 1 + frac12 + frac16 + frac1 <24> + frac1 <120> = frac <163> <60> تقريبًا 2.71667. نهاية تم إعطاء مؤامرة من (f (x) = e ^ x ) و (p_5 (x) ) في الشكل 8.7.7. بالنسبة إلى (5 ) منازل عشرية ، فإن القيمة الفعلية لـ (e ) هي (2.71828 نص <.> ) لذا فإن هذا التقريب يوافق على منزلتين عشريتين. الشكل 8.7.7 قطعة أرض من (f (x) = e ^ x ) و 5 (^) درجة متعددة حدود ماكلورين (p_5 (x) نص <.> )

مثال 8.7.8: إيجاد واستخدام معادلات تايلور متعددة الحدود

ابحث عن (n ^ text ) كثير حدود تايلور لـ (y = ln (x) ) في (x = 1 text <.> )

استخدم (p_6 (x) ) لتقريب قيمة ( ln (1.5) text <.> )

استخدم (p_6 (x) ) لتقريب قيمة ( ln (2) text <.> )

نبدأ بإنشاء جدول بمشتقات ( ln (x) ) تم تقييمه عند (x = 1 text <.> ) بينما لم يكن هذا مباشرًا كما كان في المثال السابق ، إلا أن النمط يظهر بالفعل (لـ (n ge 1 )) ، كما هو موضح في الجدول 8.7.9. لاحظ أنه في كل مرة نأخذ فيها مشتقًا (بدءًا من المشتق الثاني) ، نطبق قاعدة القوة و "ننزع" الأس لمضربه في المعامل السابق. لذا فإن (6 ) في (4 ^) المشتق هو في الواقع (1 cdot 2 cdot 3 = 3! text <.> )

(و (س) = ln (س) ) (السهم الأيمن) (و (1) = 0 )
( fp (x) = 1 / س ) (السهم الأيمن) ( fp (1) = 1 )
(fp '(x) = -1 / س ^ 2 ) (السهم الأيمن) ( fp '(1) = -1 )
(fp '' (x) = 2 / x ^ 3 ) (السهم الأيمن) (fp '' (1) = 2 )
(و ^ <(4)> (س) = -6 / س ^ 4 ) (السهم الأيمن) (و ^ <(4)> (1) = -6 )
( vdots ) ( vdots )
(و ^ <(n)> (س) = ) (السهم الأيمن) (و ^ <(n)> (1) = )
( دس فارك <(- 1) ^(ن -1)!>) ((-1)^(ن -1)! )
الجدول 8.7.9 تم تقييم مشتقات ( ln (x) ) عند (x = 1 text <.> ) لاحظ أن المعاملات البديلة تبدأ عند (n = 1 text <.> ) باستخدام التعريف 8.7.4 ، بدأنا p_n (x) amp = f (c) + fp (c) (xc) + frac < fpp (c)> <2!> (xc) ^ 2 + frac < fp '' (c) > <3!> (xc) ^ 3 + cdots + frac(xc) ^ n amp = 0 + frac <0!> <1!> (x-1) - frac <1!> <2!> (x-1) ^ 2 + frac <2 !> <3!> (x-1) ^ 3 + cdots + frac <(- 1) ^ cdot (n-1)!>(x-1) ^ n amp = (x-1) - frac12 (x-1) ^ 2 + frac13 (x-1) ^ 3- frac14 (x-1) ^ 4 + cdots + فارك <(- 1) ^>(x-1) ^ ن. نهاية لاحظ كيف تبين أن معاملات المصطلحات ((x-1) ) "لطيفة".

يمكننا حساب (p_6 (x) ) باستخدام عملنا أعلاه: start p_6 (x) = (x-1) - frac12 (x-1) ^ 2 + frac13 (x-1) ^ 3- frac14 (x-1) ^ 4 + frac15 (x-1) ^ 5 - frac16 (x-1) ^ 6 text <.> end بما أن (p_6 (x) ) يقارب ( ln (x) ) قريبًا جيدًا (x = 1 text <،> ) نحن تقريبًا ( ln (1.5) تقريبًا p_6 (1.5) نص <:> ) تبدأ p_6 (1.5) amp = (1.5-1) - frac12 (1.5-1) ^ 2 + frac13 (1.5-1) ^ 3 + dots amp dots - frac14 (1.5-1) ^ 4 + frac15 (1.5-1) ^ 5- frac16 (1.5-1) ^ 6 amp = frac <259> <640> amp حوالي 0.404688. نهاية هذا تقريب جيد حيث توضح الآلة الحاسبة أن ( ln (1.5) حوالي 0.4055 نص <.> ) الشكل 8.7.10 مؤامرات (y = ln (x) ) مع (y = p_6 ( x) text <.> ) يمكننا أن نرى أن ( ln (1.5) almost p_6 (1.5) text <.> ) الشكل 8.7.10 قطعة من (y = ln (x) ) ) و 6 (^) درجة تيلور متعددة الحدود في (س = 1 نص <.> )

نقارب ( ln (2) ) بـ (p_6 (2) text <:> ) start p_6 (2) amp = (2-1) - frac12 (2-1) ^ 2 + frac13 (2-1) ^ 3- frac14 (2-1) ^ 4 + cdots amp cdots + frac15 (2-1) ^ 5- frac16 (2-1) ^ 6 amp = 1- frac12 + frac13- frac14 + frac15- frac16 amp = frac <37> <60> amp حوالي 0.616667. نهاية هذا التقريب ليس مثيرًا للإعجاب بشكل رهيب: تظهر الآلة الحاسبة اليدوية أن ( ln (2) حوالي 0.693147 نص <.> ) يوضح الرسم البياني في الشكل 8.7.10 أن (p_6 (x) ) يوفر دقة أقل تقريب ( ln (x) ) حيث (x ) يقترب من 0 أو 2. والمثير للدهشة أنه حتى 20 (^ text ) درجة فشل تايلور متعدد الحدود في تقريب ( ln (x) ) لـ (x & gt2 ) جيد جدًا ، كما هو موضح في الشكل 8.7.11. سنناقش قريبًا سبب ذلك. الشكل 8.7.11 قطعة أرض من (y = ln (x) ) و 20 (^ ) درجة تيلور متعددة الحدود في (س = 1 نص <.> )

تُستخدم معادلات تايلور متعددة الحدود لتقريب الوظائف (f (x) ) في حالتين أساسيتين:

عندما يكون (f (x) ) معروفًا ، ولكن ربما يكون "من الصعب" حسابه مباشرة. على سبيل المثال ، يمكننا تعريف (y = cos (x) ) إما كنسبة أضلاع مثلث قائم الزاوية ("المجاور فوق الوتر") أو كإحداثي أفقي حيث يتقاطع الشعاع الطرفي لزاوية مع دائرة الوحدة . ومع ذلك ، لا يوفر أي من هذين الأسلوبين طريقة مناسبة للحساب ( cos (2) ) (كما هو الحال مع جميع حسابات التفاضل والتكامل ، فنحن نستخدم قياس الراديان بشكل افتراضي ، لذا فهذه زاوية مقدارها (2 ) راديان). يمكن أن توفر كثيرة حدود تايلور ذات الدرجة العالية بشكل كافٍ طريقة معقولة لحساب مثل هذه القيم باستخدام العمليات التي عادةً ما تكون متصلة بجهاز الكمبيوتر ( (+ text <،> ) (- text <،> ) × و ( div )).

عندما لا يكون (f (x) ) معروفًا ، لكن المعلومات حول مشتقاته معروفة. يحدث هذا في كثير من الأحيان أكثر مما يعتقده المرء ، خاصة في دراسة المعادلات التفاضلية.

على الرغم من أن تايلور متعدد الحدود يستطع تُستخدم في الآلات الحاسبة وأجهزة الكمبيوتر لحساب قيم الدوال المثلثية ، وهي في الواقع ليست كذلك بشكل عام. تم تطوير طرق أخرى أكثر كفاءة ودقة ، مثل خوارزمية CORDIC. ومع ذلك ، فإن فهم كيفية استخدام تيلور متعدد الحدود مهم لتطوير فهم تقنيات التقريب المختلفة.

في كلتا الحالتين ، يجب أن يكون لديك معلومة مهمة هي "ما مدى جودة تقريبي؟" إذا استخدمنا كثير حدود تايلور لحساب ( cos (2) text <،> ) كيف نعرف مدى دقة التقريب؟

واجهتنا نفس المشكلة عند دراسة التكامل العددي. قدمت النظرية 5.5.24 حدودًا للخطأ عند استخدام ، على سبيل المثال ، قاعدة سيمبسون لتقريب تكامل محدد. سمحت لنا هذه الحدود بتحديد أنه ، على سبيل المثال ، باستخدام (10 ​​) فترات فرعية توفر تقريبًا داخل ( pm .01 ) من القيمة الدقيقة. تعطي النظرية التالية حدودًا مماثلة لتايلور (وبالتالي ماكلورين) متعدد الحدود.

نظرية 8.7.12 نظرية تايلور

لنفترض أن (f ) دالة يكون مشتقها ((n + 1) ^ text ) موجودًا على فاصل زمني (I ) ودع (c ) يكون في (I text < .> ) ثم ، لكل (x ) في (I text <،> ) يوجد (z_x ) بين (x ) و (c ) بحيث يبدأ f (x) = f (c) + fp (c) (x-c) + frac < fpp (c)> <2!> (x-c) ^ 2 + cdots + frac(ج)>(x-c) ^ n + R_n (x) ، end حيث ( ds R_n (x) = frac(z_x)> <(n + 1)!> (x-c) ^ <(n + 1)> text <.> )

ينص الجزء الأول من نظرية تايلور على أن (f (x) = p_n (x) + R_n (x) text <،> ) حيث (p_n (x) ) هو (n ^ text ) ترتيب تايلور متعدد الحدود و (R_n (x) ) هو الباقي ، أو الخطأ ، في تقريب تايلور. يقدم الجزء الثاني حدودًا لمدى كبر هذا الخطأ. إذا كان المشتق ((n + 1) ^ text ) كبيرًا ، فقد يكون الخطأ كبيرًا إذا كان (x ) بعيدًا عن (c text <،> ) قد يكون الخطأ أيضًا كبير. ومع ذلك ، فإن المصطلح ((n + 1)! ) في المقام يميل إلى التأكد من أن الخطأ يقل كلما زاد (n ).

يحسب المثال التالي تقديرات الخطأ لتقديرات ( ln (1.5) ) و ( ln (2) ) التي تم إجراؤها في المثال 8.7.8.

مثال 8.7.13 إيجاد حدود خطأ في كثير حدود تايلور

استخدم النظرية 8.7.12 لإيجاد حدود الخطأ عند تقريب ( ln (1.5) ) و ( ln (2) ) مع (p_6 (x) text <،> ) كثير حدود تايلور للدرجة 6 من (f (x) = ln (x) ) في (x = 1 text <،> ) كما تم حسابه في المثال 8.7.8.

نبدأ بتقريب ( ln (1.5) ) بـ (p_6 (1.5) text <.> ) تشير النظرية إلى فاصل مفتوح (I ) يحتوي على كل من (x ) و (c text <.> ) كلما كانت الفترة الزمنية التي نستخدمها أصغر كلما كان ذلك أفضل سيعطينا تقديرًا أكثر دقة (وأصغر!) للخطأ. ندع (I = (0.9،1.6) text <،> ) حيث أن هذا الفاصل الزمني يحتوي على كل من (c = 1 ) و (x = 1.5 text <.> ) تشير النظرية ( max عضلات المعدة(z)> text <.> ) في حالتنا ، هذا يسأل "ما حجم المشتق (7 ^ text ) (y = ln (x) ) على الفاصل ((0.9،1.6) text <؟> ) "المشتق السابع هو (y = -6! / x ^ 7 text <.> ) أكبر قيمة مطلقة تحصل عليها في (I ) حوالي 1506. (لا توجد أرقام حرجة لـ (f ^ <(7)> ) في الفاصل الزمني لذلك نقوم بتقييم نقاط النهاية: (f ^ <(7)> (0.9) حوالي 1506 ) و (f ^ <(7)> (1.6) حوالي 27 نص <.> )) على وجه الخصوص ، نحن نقوم بالتقييم عند (x = 1.5 text <،> ) لذلك دعونا (x = 1.5 ) نص <.> ) وهكذا يمكننا ربط الخطأ كما يلي: start عضلات المعدة amp leq frac < max abs(z) >> <7!> abs <(1.5-1) ^ 7> amp leq frac <1506> <5040> cdot frac1 <2 ^ 7> amp حوالي 0.0023 . نهاية حسبنا (p_6 (1.5) = 0.404688 text <> ) باستخدام الآلة الحاسبة ، نجد ( ln (1.5) حوالي 0.405465 text <،> ) بحيث يكون الخطأ الفعلي حوالي (0.000778 text <،> ) وهو أقل من حدنا (0.0023 text <.> ) هذا يؤكد نظرية تايلور تنص النظرية على أن تقريبنا سيكون ضمن حوالي 2 جزء من الألف من القيمة الفعلية ، في حين أن التقريب كان في الواقع أقرب. تعطي نظرية تايلور حدًا أعلى للخطأ.

نجد مرة أخرى فاصلاً (I ) يحتوي على كل من (c = 1 ) و (x = 2 text <> ) نختار (I = (0.9،2.1) text <.> ) القيمة القصوى للمشتق السابع لـ (f ) على هذا الفاصل مرة أخرى حوالي 1506 (حيث تقترب القيم الأكبر من (x = 0.9 )). هكذا تبدأ abs amp leq frac < max abs(z) >> <7!> abs <(2-1) ^ 7> amp leq frac <1506> <5040> cdot1 ^ 7 amp حوالي 0.30. نهاية هذا الحد ليس جيدًا كما كان من قبل. باستخدام درجة 6 Taylor متعددة الحدود في (x = 1 ) سيجعلنا في حدود 0.3 من الإجابة الصحيحة. نظرًا لأن (p_6 (2) تقريبًا 0.61667 text <،> ) يضمن تقدير الخطأ لدينا أن القيمة الفعلية لـ ( ln (2) ) تقع في مكان ما بين (0.31667 ) و (0.91667 نص < .> ) هذه الحدود ليست مفيدة بشكل خاص. في الواقع ، كان تقريبنا أقل من 0.07. ومع ذلك ، فنحن نقترب ظاهريًا لأننا لا نعرف الإجابة الحقيقية. من أجل التأكد من أن لدينا تقريبًا جيدًا ، يجب أن نلجأ إلى استخدام كثير الحدود من الدرجة الأعلى.

نحن نتدرب مرة أخرى. هذه المرة ، نستخدم نظرية تايلور للعثور على (n ) الذي يضمن أن يكون التقريب في حدود مبلغ معين.

مثال 8.7.14 إيجاد كثيرات حدود دقيقة بشكل كافٍ لتايلور

ابحث عن (n ) بحيث أن (n ^ text ) كثير حدود تايلور لـ (f (x) = cos (x) ) في (x = 0 ) تقارب ( cos (2) ) في حدود (0.001 ) من الإجابة الفعلية. ما هو (p_n (2) text <؟> )

باتباع نظرية تايلور ، نحتاج إلى حدود على حجم مشتقات (f (x) = cos (x) text <.> ) في حالة هذه الدالة المثلثية ، هذا سهل. جميع مشتقات جيب التمام هي ( pm sin (x) ) أو ( pm cos (x) text <.> ) في جميع الحالات ، هذه الدوال لا تزيد أبدًا عن 1 في القيمة المطلقة. نريد أن يكون الخطأ أقل من (0.001 text <.> ) للعثور على (n text <،> ) المناسب ، ضع في اعتبارك عدم المساواة التالية: start فارك < ماكس القيمة المطلقة(z) >> <(n + 1)!> abs <(2-0) ^ <(n + 1) >> amp leq 0.001 frac1 <(n + 1)!> cdot2 ^ <(n + 1)> amp leq 0.001 end

وجدنا (n ) يلبي هذا التفاوت الأخير بالتجربة والخطأ. عندما (n = 8 text <،> ) لدينا ( ds frac <2 ^ <8 + 1 >> <(8 + 1)!> حوالي 0.0014 text <> ) عندما ( n = 9 text <،> ) لدينا ( ds frac <2 ^ <9 + 1 >> <(9 + 1)!> حوالي 0.000282 lt 0.001 text <.> ) وهكذا نحن تريد تقريب ( cos (2) ) مع (p_9 (2) نص <.> )

لقد شرعنا الآن في حساب (p_9 (x) text <.> ) نحتاج مرة أخرى إلى جدول بمشتقات (f (x) = cos (x) ) المقيمة عند (x = 0 ) text <.> ) يرد جدول بهذه القيم في الشكل 8.7.15.

(و (س) = كوس (س) ) (السهم الأيمن) (و (0) = 1 )
( fp (x) = - الخطيئة (x) ) (السهم الأيمن) ( fp (0) = 0 )
( fp '(x) = - cos (x) ) (السهم الأيمن) (fp '(0) = -1 )
( fp '' (x) = الخطيئة (x) ) (السهم الأيمن) (fp '' (0) = 0 )
(f ^ <(4)> (x) = cos (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(4)> (0) = 1 )
(f ^ <(5)> (x) = - sin (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(5)> (0) = 0 )
(f ^ <(6)> (x) = - cos (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(6)> (0) = -1 )
(f ^ <(7)> (x) = sin (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(7)> (0) = 0 )
(و ^ <(8)> (س) = كوس (س) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(8)> (0) = 1 )
(f ^ <(9)> (x) = - sin (x) ) (السهم الأيمن) (و ^ <(9)> (0) = 0 )
الجدول 8.7.15 جدول بمشتقات (f (x) = cos (x) ) المقيمة عند (x = 0 text <.> )

لاحظ كيف أن المشتقات ، المقيمة عند (x = 0 text <،> ) تتبع نمطًا معينًا. ستختفي جميع القوى الفردية لـ (x ) في كثير حدود تايلور لأن معاملها يساوي 0. بينما تشير حدود الخطأ لدينا إلى أننا بحاجة إلى (p_9 (x) text <،> ) يوضح عملنا أن هذا سيكون مثل (p_8 (x) text <.> )

نظرًا لأننا نقوم بتكوين كثير الحدود الخاص بنا في (x = 0 text <،> ) فإننا نقوم بإنشاء متعدد حدود Maclaurin ، و: begin p_8 (x) amp = f (0) + fp (0) x + frac < fpp (0)> <2!> x ^ 2 + frac < fp '' (0)> <3! > x ^ 3 + cdots + frac> <8!> x ^ 8 amp = 1- frac <1> <2!> x ^ 2 + frac <1> <4!> x ^ 4- frac <1> <6!> x ^ 6 + frac <1> <8!> x ^ 8 end

أخيرًا نقترب ( cos (2) text <:> ) start cos (2) تقريبًا p_8 (2) = - فارك <131> <315> تقريبًا -0.41587. نهاية

يضمن خطأنا المرتبط أن هذا التقريب ضمن (0.001 ) من الإجابة الصحيحة. توضح لنا التكنولوجيا أن تقريبنا في الواقع يقع في حدود (0.0003 ) من الإجابة الصحيحة.

يوضح الشكل 8.7.16 رسمًا بيانيًا لـ (y = p_8 (x) ) و (y = cos (x) text <.> ) لاحظ مدى اتفاق الوظيفتين حول ((- pi ، pi) text <.> )

الشكل 8.7.16 رسم بياني لـ (f (x) = cos (x) ) ودرجته 8 متعدد حدود Maclaurin.

مثال 8.7.17 إيجاد واستخدام معادلات تايلور متعددة الحدود

أوجد الدرجة 4 كثير حدود تايلور ، (p_4 (x) text <،> ) لـ (f (x) = sqrt) في (س = 4 نص <.> )

استخدم (p_4 (x) ) لتقريب ( sqrt <3> text <.> )

ابحث عن حدود للخطأ عند تقريب ( sqrt <3> ) مع (p_4 (3) text <.> )

نبدأ بتقييم مشتقات (f ) عند (x = 4 text <.> ) ويتم ذلك في الشكل 8.7.18.

(و (س) = الجذر التربيعي) (السهم الأيمن) (و (4) = 2 )
( ds fp (x) = فارك <1> <2 sqrt>) (السهم الأيمن) ( ds fp (4) = فارك <1> <4> )
( ds fp '(x) = فارك <-1> <4x ^ <3/2 >> ) (السهم الأيمن) ( ds fp '(4) = فارك <-1> <32> )
( ds fp '' (x) = frac3 <8x ^ <5/2 >> ) (السهم الأيمن) ( ds fp '' (4) = فارك <3> <256> )
( ds f ^ <(4)> (x) = frac <-15> <16x ^ <7/2 >> ) (السهم الأيمن) ( ds f ^ <(4)> (4) = فارك <-15> <2048> )
الجدول 8.7.18 جدول بمشتقات (f (x) = sqrt) تم تقييمها عند (x = 4 text <.> ) تسمح لنا هذه القيم بتكوين متعدد الحدود لتايلور (p_4 (x) text <:> ) start p_4 (x) = 2 + frac14 (x-4) + frac <-1/32> <2!> (x-4) ^ 2 + frac <3/256> <3!> (x-4 ) ^ 3 + frac <-15/2048> <4!> (x-4) ^ 4. نهاية

كـ (p_4 (x) تقريبًا sqrt) بالقرب من (x = 4 text <،> ) نحن نقرب ( sqrt <3> ) مع (p_4 (3) = 1.73212 text <.> )

للعثور على حد للخطأ ، نحتاج إلى فاصل زمني مفتوح يحتوي على (x = 3 ) و (x = 4 text <.> ) قمنا بتعيين (I = (2.9،4.1) text <. > ) أكبر قيمة هو المشتق الخامس من (f (x) = sqrt) يأخذ هذا الفاصل الزمني بالقرب من (x = 2.9 text <،> ) عند حوالي (0.0273 text <.> ) (غالبًا ما نرسم ((n + 1) ^) لإيجاد قيمته القصوى. في هذه الحالة يكون (f ^ <(5)> (x) = 105 / (32x ^ <9/2>) ) يتناقص دائمًا ، لذلك يحدث الحد الأقصى عند (2.9 text <.> )) هكذا تبدأ عضلات المعدة leq frac <0.0273> <5!> abs <(3-4) ^ 5> تقريبًا 0.00023. نهاية يوضح هذا أن تقريبنا دقيق على الأقل لأول منزلتين بعد العلامة العشرية. (اتضح أن تقريبنا دقيق بالفعل لأربعة أماكن بعد العلامة العشرية.) رسم بياني لـ (f (x) = sqrt x ) و (p_4 (x) ) موضح في الشكل 8.7.19. لاحظ كيف لا يمكن تمييز الوظيفتين تقريبًا في ((2،7) text <.> ) الشكل 8.7.19 رسم بياني لـ (f (x) = sqrt) ودرجتها 4 كثير حدود تايلور في (س = 4 نص <.> )

يعطي مثالنا الأخير مقدمة موجزة عن استخدام Taylor متعدد الحدود لحل المعادلات التفاضلية.

مثال 8.7.20 تقريب دالة غير معروفة

الدالة (y = f (x) ) غير معروفة باستثناء الحقائق التالية.

(تقول هذه الحقيقة الثانية أنه من المثير للدهشة أن مشتق الدالة هو في الواقع تربيع الدالة!)

أوجد الدرجة 3 متعدد حدود Maclaurin (p_3 (x) ) من (y = f (x) text <.> )

قد يعتقد المرء في البداية أنه لا توجد معلومات كافية للعثور على (p_3 (x) text <.> ) ومع ذلك ، لاحظ كيف أن الحقيقة الثانية أعلاه تتيح لنا معرفة ما هو (y '(0) ): يبدأ y '= y ^ 2 Rightarrow y' (0) = y ^ 2 (0). نهاية

بما أن (y (0) = 1 text <،> ) نستنتج أن (y '(0) = 1 text <.> )

الآن نجد معلومات حول (y '' text <.> ) بدءًا من (y '= y ^ 2 text <،> ) أخذ مشتقات من كلا الجانبين ، فيما يتعلق (س ). هذا يعني أنه يجب علينا استخدام التفاضل الضمني. يبدأ y ' amp = y ^ 2 frac كبير (ص كبير) أمبير = فارك كبير (ص ^ 2 كبير) y '' amp = 2y cdot y '. end الآن قم بتقييم كلا الجانبين عند (x = 0 text <:> ) start ص '' (0) amp = 2y (0) cdot y '(0) y' (0) amp = 2 النهاية

نكرر هذا مرة أخرى للعثور على (y '' (0) text <.> ) مرة أخرى نستخدم التفاضل الضمني هذه المرة ، قاعدة المنتج مطلوبة أيضًا. يبدأ فارك كبير (ص '' كبير) أمبير = فارك big (2yy ' big) y' ' amp = 2y' cdot y '+ 2y cdot y' '. end الآن قم بتقييم كلا الجانبين عند (x = 0 text <:> ) start y '' (0) amp = 2y '(0) ^ 2 + 2y (0) y' '(0) y' '(0) amp = 2 + 4 = 6 end

باختصار ، لدينا: ابدأ y (0) = 1 qquad y '(0) = 1 qquad y' '(0) = 2 qquad y' '(0) = 6. النهاية

يمكننا الآن تشكيل (p_3 (x) text <:> ) start p_3 (x) amp = 1 + x + frac <2> <2!> x ^ 2 + frac <6> <3!> x ^ 3 amp = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3. نهاية بشكل عام ، يبدو أن (p_n (x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + dots + x ^ n text <،> ) التي رأيناها من قبل تعادل (f ( x) = frac <1> <1-x> ) في ((- 1،1) text <.> )

الشكل 8.7.21 رسم بياني لـ (y = -1 / (x-1) ) و (y = p_3 (x) ) من المثال 8.7.20.

اتضح أن المعادلة التفاضلية التي بدأنا بها ، (y '= y ^ 2 text <،> ) حيث (y (0) = 1 text <،> ) يمكن حلها دون صعوبة كبيرة: ( ds y = frac <1> <1-x> text <.> ) يوضح الشكل 8.7.21 هذه الوظيفة مرسومة باستخدام (p_3 (x) text <.> ) لاحظ مدى تشابههما بالقرب من (س = 0 نص <.> )

إنه خارج نطاق هذا النص لمتابعة تحليل الخطأ عند استخدام Taylor متعدد الحدود لتقريب الحلول للمعادلات التفاضلية. غالبًا ما يتم التطرق إلى هذا الموضوع في دورات المعادلات التفاضلية التمهيدية وعادة ما يتم تغطيته بعمق في دورات التحليل العددي. مثل هذا التحليل مهم جدًا يحتاج المرء إلى معرفة مدى جودة تقريبه. لقد اكتشفنا هذا المثال ببساطة لإثبات فائدة تيلور متعدد الحدود.

تم تخصيص معظم هذا الفصل لدراسة السلاسل اللانهائية. تراجع هذا القسم عن هذه الدراسة ، وركز بدلاً من ذلك على التجميع المحدود للمصطلحات. في القسم التالي ، نستكشف سلسلة تايلور، حيث نمثل دالة بسلسلة لا نهائية.


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، لديك إجابات مناسبة مع تمارين متعددة الحدود مع الإجابات. للبدء في العثور على تمارين متعددة الحدود مع الإجابات ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا لجميع تمارين متعددي الحدود مع الإجابات التي يمكنني الحصول عليها الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


10.3E: تمارين لسلسلة تايلور متعدد الحدود وسلسلة تايلور - الرياضيات

رياضيات 4331/6312 - خريف 2017
مقدمة في التحليل الحقيقي
معلومات الدورة. عرض المنهج الدراسي. ساعات العمل: PGH 604 ، الثلاثاء 11:30 صباحًا - 12:30 مساءً ، نحن 1-2 مساءً. الأسبوع 1. طوبولوجيا R n. تسلسل كوشي واكتمالها. المجموعات المفتوحة والمغلقة. الواجب المنزلي مجموعة 1 ، تاريخ الاستحقاق مؤجل إلى 7 سبتمبر. الأسبوع 2. إغلاق المجموعة. الاكتناز. الواجب المنزلي مجموعة 2 ، موعد التسليم 14 سبتمبر. الأسبوع الثالث. خاصية Heine Borel وخصائص أخرى للمجموعات المدمجة. حدود واستمرارية الوظائف. الواجب المنزلي مجموعة 3 ، موعد التسليم في 21 سبتمبر. الأسبوع الرابع. وظائف غير مستمرة. الاستمرارية المنتظمة. مجموعات متصلة. الواجب المنزلي مجموعة 4 ، موعد التسليم 28 سبتمبر. الأسبوع الخامس. الترابط ونظرية القيمة المتوسطة في أبعاد أعلى. ملخص للمواد في أ مذكرة. الامتحان 1، 5 أكتوبر ، في الفصل. عندما تشعر أنك مستعد ، جرب أ تمرين الجري . الأسبوع السادس. التفاضلية ونظرية القيمة المتوسطة. الواجب المنزلي مجموعة 5 ، موعد التسليم 19 أكتوبر. الأسبوع السابع. تكامل ريمان وخصائصه. الواجب المنزلي مجموعة 6 ، موعد التسليم 26 أكتوبر. الأسبوع الثامن. النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل ، انظر مذكرة. المساحات المتجهية المعيارية. الواجب المنزلي مجموعة 7 ، موعد التسليم 2 نوفمبر. الأسبوع التاسع. مساحات المنتج الداخلية. عدم المساواة بين كوشي وشوارتز. العلاقة بين المنتج الداخلي والقاعدة. الامتحان 2، 9 نوفمبر ، في الصف. يغطي المواد من نظرية القيمة المتوسطة (وتعميمها ذي الأبعاد الأعلى) إلى فضاءات متجه معيارية. الأسبوع العاشر. عدم المساواة H & oumllder و Minkowski للوظائف والمتواليات. الواجب المنزلي مجموعة 8 ، يوم الثلاثاء 21 نوفمبر. الأسبوع 11. حدود تسلسل الوظائف. التقارب المنتظم. اكتمال C (K). الواجب المنزلي مجموعة 9 ، موعد التسليم 30 نوفمبر. الأسبوع الثاني عشر. الاستمرارية. إجمالي الحدود. توصيف المجموعات الفرعية المدمجة في C (K). إمتحان نهائي. 12 ديسمبر ، 11 صباحًا - 2 مساءً ، في الفصل. المواد من مجموعات الواجبات المنزلية 1-9. جلسة المراجعة يوم الثلاثاء 5 ديسمبر من الساعة 10 صباحًا حتى الظهر ، PGH 646.

رياضيات 7320 - خريف 2016
تحليل وظيفي
معلومات الدورة. عرض المنهج الدراسي. ساعات العمل: PGH 604 ، Mo 10-11 صباحًا ، من 11 صباحًا إلى 12 مساءً.
الأسبوع 1. أساسيات الطوبولوجيا. من المساحات شبه المقننة إلى المساحات المعيارية ، مع أمثلة (ملاحظات بقلم برنارد بودمان).
استمرارية الخرائط الخطية والقيود (ملاحظات كاظم سفاري). الأسبوع 2. الاكتمال. أمثلة على مساحات Banach (ملاحظات من Yaofeng Su). استكمال المساحات المترية (ملاحظات بقلم ويلفريدو مولينا).
الأسبوع الثالث. استكمال وتمديدات الخرائط المحدودة في المساحات المعيارية. توليد الطوبولوجيا مع الخرائط (ملاحظات من Worawit Tepsan). تقارب الشباك (ملاحظات بقلم أدريان راديلو). الأسبوع الرابع. من الشباك إلى قواعد التصفية (ملاحظات صابرين عاصي). القدرة على العد والاكتناز (ملاحظات نيكولاوس ميتساكوس). الأسبوع الخامس. فضاءات المتجهات الطوبولوجية (ملاحظات نيكولاوس كارانتزاس). خصائص الفصل (ملاحظات ديلان دوميل وايت). الأسبوع السادس. أحياء متوازنة من 0 (ملاحظات Duong Nguyen). فضاءات فرعية ذات أبعاد محدودة ، وخرائط إغلاق وخطية (ملاحظات روبرت مينديز). الأسبوع السابع. مساحات فرعية ذات أبعاد محدودة (ملاحظات من Qianfan Bai). ندوات وقواعد محلية (ملاحظات بقلم جيسون دوفال). الأسبوع الثامن. من القواعد المحلية المتوازنة المحدبة إلى الحلقات الدراسية (ملاحظات من Grant Getzelman). توصيف TVS المحدبة محليًا من حيث عائلات الندوات (ملاحظات روبرت منديز). الأسبوع التاسع. Metrization (ملاحظات لروبرت منديز وكاظم سفاري). فئات الاكتمال وباير (ملاحظات ديلان دوميل وايت ونيكوس كارانتزاس). الأسبوع العاشر. نظرية رسم الخرائط المفتوحة (ملاحظات من Yaofeng Su ، بقلم Wilfredo Molina و Qianfan Bai). نظرية الرسم البياني المغلق (ملاحظات بقلم Worawit Tepsan و Duong Nguyen). الأسبوع 11. نظرية هان باناخ (ملاحظات بقلم ووراويت تيبسان سو وأدريان راديلو. نظرية الفصل لماسور (ملاحظات أدريان راديلو وصابرين عاصي). الأسبوع الثاني عشر. فصل صارم (ملاحظات من Qianfan Bai و Yoafeng Su). طوبولوجيا ضعيفة (ملاحظات دوونغ نجوين وصابرين عاصي). الأسبوع 13. طوبولوجيا ضعيفة * (ملاحظات بقلم ديلان دوميل وايت وجيسون دوفال وويلفريدو مولينا). الأسبوع الرابع عشر. نظرية كيرين-ميلمان (ملاحظات لجيسون دوفال وكاظم سفاري). الانضغاط ، والحدود الكلية ، والنقاط القصوى (ملاحظات بقلم جيسون دوفال ، ونيكولاوس كارانتزاس ، ونيكولاوس ميتساكوس).

تقويم الدورة التدريبية المؤقتة (تم التحديث في 5-04-15)

تقويم الدورة (محدث 11-10-14)


رياضيات 6304 - خريف 2012
نظرية المصفوفات معلومات المقرر. عرض المنهج الدراسي.
الأسبوع الأول. Overwiew والمراجعة. المصفوفات مثل الخرائط الخطية والمدى والنواة والرتبة والبطل. حاصل الضرب النقطي والتعامد. الإسقاط المتعامد. إجراء غرام شميت. التتبع والحاسم. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية. تشابه. الأسبوع الثاني. محدد وعكس. قطري. الشروط الكافية والضرورية لقابلية القطر. التعددية الجبرية والهندسية للقيم الذاتية. قطري متزامن. مصفوفات التنقل. الاسبوع الثالث. مسافات فرعية ثابتة. تنقل العائلات التي لديها ناقل eigenvector مشترك. عائلات المصفوفات القابلة للقياس ، والتقطير المتزامن والتبديل. المصفوفات Hermitian و skew-Hermitian. هوية الاستقطاب. المصفوفات الوحدوية. تحولات الأسرة. التكافؤ الوحدوي. الأسبوع الرابع. شور الثلاثي. المصفوفات العادية. القطرية الوحدوية والحالة الطبيعية. كايلي هاميلتون. قطري الكتلة مع كتل مثلثة. اضطرابات قطرية. الأسبوع الخامس. تحليل عامل الاستجابة السريعة وخوارزمية الاستجابة السريعة. عامل تشوليسكي. المصفوفات الحقيقية. قطري متعامد للمصفوفات المتماثلة. كتلة المثلث للمصفوفات الحقيقية. الأسبوع السادس. قطري الكتلة للمصفوفات المتعامدة الحقيقية. الأردن النموذج العادي لمصفوفات عديمة الفعالية. ملاحظات) -> نموذج الأردن. تطبيقات المصفوفة الأسية. الأسبوع السابع. التوصيف المتغير للقيم الذاتية لمصفوفات Hermitian. نظرية كورانت فيشر. نظرية ويل لتقديرات القيمة الذاتية لاضطرابات الرتبة المنخفضة الأسبوع الثامن. تقديرات Weyl eigenvalue لمجموع المصفوفات Hermitian. الأسبوع التاسع. مثال على الاضطرابات منخفضة الرتبة. تشابك القيمة الذاتية للمصفوفات الفرعية الرئيسية المزيد من تشابك القيمة الذاتية. مبدأ رايلي-ريتز المعمم. التخصص. الأسبوع العاشر. إضفاء الطابع الأكبر على قيم eigenvalues ​​من خلال مداخل قطرية. تحلل القيمة المفرد. القيم المفردة مقابل القيم الذاتية. تشابك القيم المفردة للمصفوفات الفرعية. الأسبوع الحادي عشر. تداخل القيم المفردة لمجموعات المصفوفات. التحلل القطبي. مشكلة المربعات الصغرى. المعادلة العادية للأنظمة الخطية. تحلل القيمة المفردة المختصرة. الأسبوع الثاني عشر. معايير المصفوفة. من منتج هيلبرت شميدت الداخلي إلى المعيار الإقليدي / فروبينيوس. قاعدة المصفوفة ونصف القطر الطيفي. أسبوع الشكر. صيغة جلفاند ونظرية دائرة غيرسغورين. الأسبوع الرابع عشر. تقديرات مصقولة لأقراص Gersgorin. عواقب غيرسغورين لعكس المصفوفات. مقدمة في نظرية الإطار.


Taylor dunn f17001 code

MAT 125 - Taylor Polynomials & amp Taylor Series القسم 1 ، الصفحة 2 من 43 مطبوعة 11/30/07 ، 1:14 مساءً LU 11/30/07 11/28/07 11/21/0711/19/07 11/16 / 070711/14/07 11/9.

  • حجم الملف: 4،465 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: 30 نوفمبر 2015
  • عدد المشاهدات: 1،061 مرة

قواعد لعبة Wargaming بواسطة Arthur Taylor - lonewarriorswa com

قواعد لعبة Wargaming بواسطة آرثر تايلور. الحرب الأهلية الإنجليزية. فلسفة آرثر تايلور في المناورات.

  • حجم الملف: 444 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: ١٢ ديسمبر ٢٠١٥
  • عدد المشاهدات: 1،782 مرة

LTC بيل كود Crosswalk - الآباء

وصف كود فاتورة مجموعة الخدمة نوع مستوى كود الخدمة قيمة المستوى proc cd Qual hcpcs كود cpt كود 1 رمز الإيرادات s 1 2 3 4 d نوع المطالبة إلى الملف i = 837i p = 837p

  • حجم الملف: 1،347 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: ١٠ ديسمبر ٢٠١٥
  • تمت المشاهدة: 2،437 مرة

كود الحريق أوهايو

شكلت حسب الأصول البلدية أو إدارة مكافحة الحرائق في أوهايو. قانون أوهايو النار هو. تمت رؤيته والقاعدة 1 من قانون أوهايو للحريق. القاعدة 7 مقاومة الحريق. 214- مرافق توزيع الوقود بالمحركات القاعدة 22. وإصلاح الكراجات. . مدير الإطفاء ومسؤولو كود النار في الفصول 3701.

  • حجم الملف: 7614 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: 6 ديسمبر 2015
  • تمت المشاهدة: 2،108 مرة

كود EOB الوصف رمز مجموعة أسباب الرفض

وصف رمز EOB tblExplanationOfBenefits سبب رمز مجموعة رمز الرفض. B10 لا توجد فواتير.

  • حجم الملف: 510 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: 8 ديسمبر 2015
  • تمت المشاهدة: 1،946 مرة

دليل المستخدم الرقمي لـ Code X & # 39s - Scholastic

الطلاب في الصفوف 68. كود X. تسجيل الطلاب والمعلمين في الكود X 8. تطبيق Code X على جهاز iPad للوصول إلى Common Core Code X Student Edition. . استخدم أزرار التعليقات التوضيحية للكشف عن الإجابات على الصفحة (الصفحات) المسقطة. 4.

  • حجم الملف: 2،125 كيلو بايت
  • اللغة الإنجليزية
  • تاريخ النشر: 18 ديسمبر 2015
  • تمت المشاهدة: 4،865 مرة

رقم الصنف C713 - مبيعات الفريزر من تايلور: قطع الغيار والمبيعات و.

رقم الصنف ______ C713 يقدم كل. C713 C713 خدمة الفريزر الناعمة. استشر موزع Taylor المحلي لديك بخصوص الأسلاك وأمبير


10.3E: تمارين لسلسلة تايلور متعدد الحدود وسلسلة تايلور - الرياضيات

أنت على وشك امسح عملك في هذا النشاط. هل انت متأكد من أنك تريد أن تفعل هذا؟

نسخة محدثة متوفرة

هناك نسخة محدثة من هذا النشاط. إذا قمت بالتحديث إلى أحدث إصدار من هذا النشاط ، فسيتم مسح تقدمك الحالي في هذا النشاط. بغض النظر ، سيبقى سجل الإنجاز الخاص بك. كيف تريد المتابعة؟

محرر التعبير الرياضي

ندرس سلسلة تايلور وماكلورين.

  • ال سلسلة تايلور من ، تتمحور في هو
  • الإعداد يعطي سلسلة Maclaurin من :

الفرق بين سلسلة تايلور متعدد الحدود وسلسلة تايلور هو أن الأول متعدد الحدود ، ويحتوي فقط على محدود عدد المصطلحات ، في حين أن الأخير عبارة عن سلسلة ، مجموع مجموعة لا نهائية من المصطلحات ، أي عدد منها (بما في ذلك عدد لانهائي) قد يكون صفرًا. عند إنشاء دالة تايلور متعددة الحدود لدالة في ، احتجنا إلى التقييم ، ومشتقاتها الأولى ، في. عند إنشاء سلسلة Taylor لـ ، من المفيد العثور على نمط يصف المشتق th لـ at. حان الوقت للحصول على أمثلة!

دعنا نرى مثالاً لا يتمحور حول:

أخيرًا ، في بعض الأحيان قد لا تكون صيغة تايلور هي أفضل طريقة لحساب سلسلة تايلور.

همم. هذا يزداد فوضى. دعونا نحاول العثور على سلسلة تايلور عبر سلسلة القوة المعروفة. نحن نعلم أن الإعداد لدينا الآن ومتى ومتى. نظرًا لأنه يمكننا العثور على سلسلة الطاقة المطلوبة من خلال الدمج. اكتب معي

منذ ذلك الحين ، ولدينا سلسلة الطاقة المرغوبة ، والتي تتقارب مع نصف قطر التقارب. ومع ذلك ، لاحظ أن فترة التقارب قد تكون مختلفة ، وهي في هذه الحالة. لاحظ أولاً أنه يمكن كتابة متسلسلة القوة الخاصة بنا في تدوين جمع مثل إذا أو يمكننا أن نرى أن هذا التسلسل في كلتا الحالتين ، فإن السلسلة تتقارب من خلال اختبار التسلسل البديل. ومن ثم فإن فترة التقارب هي.

أعلاه استخدمنا ضمنيًا النظرية التالية:

هذا يعني فقط أنه إذا كنت تعرف سلسلة طاقة لوظيفة ما ، فإن استخدام صيغة تايلور لن يفعل شيئًا سوى منحك سلسلة الطاقة.

هذا مثال غير مرضٍ إلى حدٍ ما:

لذا فإن سلسلة Maclaurin الخاصة بنا هي: هذا يتقارب مع جميع قيم ، ومن ثم يكون نصف قطر التقارب ، مع فترة التقارب. ومع ذلك ، كوظائف.

ومن الأمثلة الأكثر إرضاءً ما يلي:

من قدرتك على إظهار أنه قابل للتفاضل بلا حدود في كل مكان ، وإثبات ذلك. هذا متضمن للغاية ، ولن نقوم به هنا. إذا كانت لديك النباهة وقوة الإرادة ، فستكون تمرينًا رائعًا.

سنجد أنهم "في معظم الأحيان" متساوون ، لكننا بحاجة إلى النظر في الظروف التي تسمح لنا باستنتاج ذلك. تنص نظرية تايلور على أن الخطأ بين دالة ودرجتها ال تيلور متعدد الحدود هو: وهذا هو الحد الأقصى لقيمة on. إذا ذهبنا إلى كل فاصل مع اقتراب اللانهاية ، فإننا نستنتج أن الوظيفة تساوي توسع سلسلة تايلور. هذا يقودنا إلى نظريتنا التالية:

سنعمل على مثال تمثيلي لهذه النظرية لمعرفة ما يجري ، والحالة العامة هي نفسها إلى حد كبير.

هناك أخبار جيدة. يقال إن الوظيفة التي تساوي سلسلة Taylor الخاصة بها ، والتي تتمحور في أي نقطة في مجالها ، هي دالة تحليلية، ومعظم ، إن لم يكن كل ، الوظائف التي نواجهها في هذه الدورة هي وظائف تحليلية. بشكل عام ، أي دالة ينشئها المرء بوظائف أولية (كثيرة الحدود ، الأسية ، الدوال المثلثية ، إلخ) التي لم يتم تعريفها بطريقة متعددة التعريف ربما تكون تحليلية. بالنسبة لمعظم الوظائف ، نفترض أن الوظيفة تساوي سلسلة Taylor الخاصة بها في فاصل التقارب في السلسلة وفحص الباقي فقط (كما هو مذكور أعلاه) عندما نشك في أن شيئًا ما قد لا يعمل كما هو متوقع.


منقذ حساب التفاضل والتكامل: جميع الأدوات التي تحتاجها للتفوق في حساب التفاضل والتكامل

بالنسبة للعديد من الطلاب ، يمكن أن يكون حساب التفاضل والتكامل أكثر الدورات المحيرة والإحباط التي سيتخذونها على الإطلاق. المنقذ حساب التفاضل والتكامل يزود الطلاب بالأدوات الأساسية التي يحتاجون إليها ليس فقط لتعلم التفاضل والتكامل ، ولكن للتفوق فيه.

لقد ثبت أن جميع المواد الموجودة في دليل الدراسة سهل الاستخدام هذا تحقق نتائج. نشأ الكتاب من دورة مراجعة حساب التفاضل والتكامل الشهيرة التي يقدمها Adrian Banner في جامعة برينستون ، والتي طورها خصيصًا للطلاب الذين لديهم الحافز لكسب درجة A ولكنهم يحصلون فقط على متوسط ​​الدرجات في الامتحانات. ستكون الدورة الكاملة متاحة مجانًا على الويب في سلسلة من المحاضرات المسجلة بالفيديو. يعمل دليل الدراسة هذا كمكمل لأي مقرر أو كتاب مدرسي ذي متغير واحد في التفاضل والتكامل. إلى جانب مجموعة مختارة من التمارين ، يمكن أيضًا استخدام الكتاب ككتاب مدرسي في حد ذاته. الأسلوب غير رسمي وغير مخيف وحتى ترفيهي ، دون التضحية بالشمولية. يطور المؤلف مادة الدورة التدريبية القياسية مع عشرات الأمثلة التفصيلية التي تعامل القارئ مع "مونولوج داخلي" - تدريب الفكر الذي يجب على الطلاب اتباعه لحل المشكلة - توفير التفكير الضروري بالإضافة إلى الحل. ينصب تركيز الكتاب على بناء مهارات حل المشكلات. تتراوح الأمثلة من السهل إلى الصعب وتوضح العرض المتعمق للنظرية.

المنقذ حساب التفاضل والتكامل يجمع بين سهولة الاستخدام وسهولة القراءة مع عمق المحتوى والصرامة الرياضية لأفضل كتب التفاضل والتكامل. إنه حجم لا غنى عنه لأي طالب يسعى لإتقان حساب التفاضل والتكامل.