مقالات

4.2: حساب المنحنيات البارامترية - الرياضيات


الآن وقد قدمنا ​​مفهوم المنحنى المحدد ، فإن خطوتنا التالية هي معرفة كيفية التعامل مع هذا المفهوم في سياق حساب التفاضل والتكامل. على سبيل المثال ، إذا عرفنا معلمات لمنحنى معين ، فهل من الممكن حساب ميل خط المماس للمنحنى؟ ماذا عن طول قوس المنحنى؟ أو المنطقة الواقعة تحت المنحنى؟

سيناريو آخر: لنفترض أننا نرغب في تمثيل موقع كرة البيسبول بعد أن تترك الكرة يد الرامي. إذا تم تمثيل موضع كرة البيسبول من خلال منحنى الطائرة ((x (t)، y (t)) ) فيجب أن نكون قادرين على استخدام حساب التفاضل والتكامل لإيجاد سرعة الكرة في أي وقت. علاوة على ذلك ، يجب أن نكون قادرين على حساب المسافة التي قطعتها تلك الكرة كدالة زمنية.

مشتقات المعادلات البارامترية

نبدأ بسؤال كيفية حساب ميل خط مماس لمنحنى حدودي عند نقطة ما. ضع في اعتبارك منحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات البارامترية

[ start {align} x (t) & = 2t + 3 label {eq1} y (t) & = 3t − 4 label {eq2} end {align} ]

ضمن (- 2≤t≤3 ).

يظهر الرسم البياني لهذا المنحنى في الشكل ( PageIndex {1} ). إنه مقطع خط يبدأ عند ((- 1 ، −10) ) وينتهي عند ((9،5). )

يمكننا حذف المعلمة من خلال حل المعادلة أولاً ref {eq1} من أجل (t ):

(س (ر) = 2 طن + 3 )

(س − 3 = 2 طن )

(t = dfrac {x − 3} {2} ).

استبدال هذا في (y (t) ) (المعادلة المرجع {eq2}) ، نحصل على

(ص (ر) = 3 طن − 4 )

(y = 3 ( dfrac {x − 3} {2}) - 4 )

(y = dfrac {3x} {2} - dfrac {9} {2} −4 )

(y = dfrac {3x} {2} - dfrac {17} {2} ).

يُعطى ميل هذا الخط بواسطة ( dfrac {dy} {dx} = dfrac {3} {2} ). بعد ذلك نحسب (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ). هذا يعطي (x ′ (t) = 2 ) و (y ′ (t) = 3 ). لاحظ أن

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} = dfrac {3} {2}. ]

هذا ليس من قبيل الصدفة ، كما هو موضح في النظرية التالية.

مشتق المعادلات البارامترية

ضع في اعتبارك منحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات البارامترية (x = x (t) ) و (y = y (t) ). افترض أن (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ) موجودان وافترض أن (x ′ (t) ≠ 0 ). ثم يتم إعطاء المشتق ( dfrac {dy} {dx} ) بواسطة

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} = dfrac {y ′ (t)} {x ′ (t)}. التسمية {الفقرة} ]

دليل

يمكن إثبات هذه النظرية باستخدام قاعدة السلسلة. على وجه الخصوص ، افترض أنه يمكن حذف المعلمة (t ) ، مما ينتج عنه وظيفة قابلة للتفاضل (y = F (x) ). ثم (y (t) = F (x (t)). ) التفريق بين طرفي هذه المعادلة باستخدام قاعدة السلسلة ينتج عنها

[y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t)، ]

وبالتالي

[F ′ (x (t)) = dfrac {y ′ (t)} {x ′ (t)}. ]

لكن (F ′ (x (t)) = dfrac {dy} {dx} ) ، مما يثبت النظرية.

يمكن استخدام المعادلة لحساب مشتقات منحنيات المستوى ، وكذلك النقاط الحرجة. تذكر أن النقطة الحرجة للدالة القابلة للتفاضل (y = f (x) ) هي أي نقطة (x = x_0 ) بحيث إما (f ′ (x_0) = 0 ) أو (f ′ (x_0) )) غير موجود. تعطي المعادلة صيغة لميل خط المماس لمنحنى محدد حدوديًا بغض النظر عما إذا كان يمكن وصف المنحنى بواسطة دالة (y = f (x) ) أم لا.

مثال ( PageIndex {1} ): إيجاد مشتق منحنى حدودي

احسب المشتق ( dfrac {dy} {dx} ) لكل من منحنيات المستوى التالية المحددة حدًا ، وحدد أي نقاط حرجة في الرسوم البيانية الخاصة بها.

  1. (x (t) = t ^ 2−3، y (t) = 2t − 1، −3≤t≤4 )
  2. (x (t) = 2t + 1، y (t) = t ^ 3−3t + 4، −2≤t≤5 )
  3. (x (t) = 5 cos t، y (t) = 5 sin t، 0≤t≤2π )

حل

أ. لتطبيق المعادلة المرجع {الفقرة} ، احسب أولاً (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ):

(س ′ (ر) = 2 طن )

(ص ′ (ر) = 2 ).

استبدلها بعد ذلك في المعادلة:

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2} {2t} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {1} {t} ).

هذا المشتق غير معرف عندما (t = 0 ). حساب (x (0) ) و (y (0) ) يعطي (x (0) = (0) ^ 2−3 = −3 ) و (y (0) = 2 (0) −1 = −1 ) ، والتي تتوافق مع النقطة ((- 3 ، −1) ) على الرسم البياني. الرسم البياني لهذا المنحنى عبارة عن قطع مكافئ يفتح إلى اليمين ، والنقطة ((- 3 ، −1) ) هي رأسه كما هو موضح.

ب. لتطبيق المعادلة المرجع {الفقرة} ، احسب أولاً (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ):

(س ′ (ر) = 2 )

(y ′ (t) = 3t ^ 2−3 ).

استبدلها بعد ذلك في المعادلة:

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {3t ^ 2−3} {2} ).

هذا المشتق هو صفر عندما (t = ± 1 ). عندما (t = −1 ) لدينا

(x (−1) = 2 (−1) + 1 = −1 ) و (y (−1) = (- 1) ^ 3−3 (−1) + 4 = −1 + 3 + 4 = 6 ) ،

والتي تتوافق مع النقطة ((- 1،6) ) على الرسم البياني. عندما (t = 1 ) لدينا

(س (1) = 2 (1) + 1 = 3 ) و (ص (1) = (1) ^ 3−3 (1) + 4 = 1−3 + 4 = 2 ، )

والتي تتوافق مع النقطة ((3،2) ) على الرسم البياني. النقطة ((3،2) ) هي حد أدنى نسبي والنقطة ((- 1،6) ) هي قيمة قصوى نسبية ، كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

ج. لتطبيق المعادلة المرجع {الفقرة} ، احسب أولاً (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ):

(س ′ (ر) = - 5 الخطيئة t )

(y ′ (t) = 5 cos t. )

استبدلها بعد ذلك في المعادلة:

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {5 cos t} {- 5 sin t} )

( dfrac {dy} {dx} = - cot t. )

هذا المشتق هو صفر عندما ( cos t = 0 ) وغير معرف عندما ( sin t = 0. ) هذا يعطي (t = 0، dfrac {π} {2}، π، dfrac { 3π} {2} و ) و (2π ) كنقاط حرجة لـ ر. باستبدال كل من هذه في (x (t) ) و (y (t) ) ، نحصل على

(ر ) (س (ر) ) (ص (ر) )
050
( dfrac {π} {2} )05
(π )−50
( dfrac {3π} {2} )0−5
(2π )50

تتوافق هذه النقاط مع جوانب وأعلى وأسفل الدائرة التي تمثلها المعادلات البارامترية (الشكل). على حافتي الدائرة اليمنى واليسرى ، يكون المشتق غير معرّف ، وفي الأعلى والأسفل ، المشتق يساوي صفرًا.

تمرين ( PageIndex {1} )

احسب المشتق (dy / dx ) لمنحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = t ^ 2−4t، y (t) = 2t ^ 3−6t، −2≤t≤3 ]

وحدد أي نقاط حرجة على الرسم البياني.

تلميح

احسب (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ) واستخدم المعادلة المرجع {الفقرة}.

إجابه

(x ′ (t) = 2t − 4 ) و (y ′ (t) = 6t ^ 2−6 ) ، لذلك ( dfrac {dy} {dx} = dfrac {6t ^ 2−6 } {2t − 4} = dfrac {3t ^ 2−3} {t − 2} ).

هذا التعبير غير معرّف عندما (t = 2 ) ويساوي الصفر عندما (t = ± 1 ).

مثال ( PageIndex {2} ): البحث عن خط الظل

أوجد معادلة خط المماس للمنحنى المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = t ^ 2−3، y (t) = 2t − 1، −3≤t≤4 ]

عندما (ر = 2 ).

حل

ابحث أولاً عن ميل خط الظل باستخدام المعادلة ref {paraD} ، والتي تعني حساب (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ):

(س ′ (ر) = 2 طن )

(ص ′ (ر) = 2 ).

استبدلها بعد ذلك في المعادلة:

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2} {2t} )

( dfrac {dy} {dx} = dfrac {1} {t} ).

عندما (t = 2، dfrac {dy} {dx} = dfrac {1} {2} ) ، فهذا هو ميل خط الظل. يعطي حساب (x (2) ) و (y (2) )

(س (2) = (2) ^ 2−3 = 1 ) و (ص (2) = 2 (2) −1 = 3 ) ،

والتي تتوافق مع النقطة ((1،3) ) على الرسم البياني (الشكل). الآن استخدم صيغة نقطة الميل لمعادلة الخط لإيجاد معادلة خط الظل:

(y − y_0 = m (x − x_0) )

(y − 3 = dfrac {1} {2} (x − 1) )

(y − 3 = dfrac {1} {2} x− dfrac {1} {2} )

(y = dfrac {1} {2} x + dfrac {5} {2} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

أوجد معادلة خط المماس للمنحنى المحدد بواسطة المعادلات

(x (t) = t ^ 2−4t ، y (t) = 2t ^ 3−6t ، −2≤t≤3 ) عندما (t = 5 ).

تلميح

احسب (x ′ (t) ) و (y ′ (t) ) واستخدم المعادلة المرجع {الفقرة}.

إجابه

معادلة خط الظل هي (ص = 24 س + 100. )

مشتقات الدرجة الثانية

هدفنا التالي هو معرفة كيفية أخذ المشتق الثاني لوظيفة محددة بشكل حدودي. يُعرَّف المشتق الثاني للدالة (y = f (x) ) على أنه مشتق من المشتق الأول ؛ هذا هو،

[ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {d} {dx} left [ dfrac {dy} {dx} right]. التسمية {eqD2} ]

حيث

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} ، ]

يمكننا استبدال (y ) على جانبي المعادلة المرجع {eqD2} بـ ( dfrac {dy} {dx} ). هذا يعطينا

[ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {d} {dx} left ( dfrac {dy} {dx} right) = dfrac {(d / dt) (dy / dx )} {dx / dt}. تصنيف {paraD2} ]

إذا علمنا (dy / dx ) كدالة لـ (t ) ، فإن هذه الصيغة سهلة التطبيق

مثال ( PageIndex {3} ): البحث عن مشتق ثاني

احسب المشتق الثاني (d ^ 2y / dx ^ 2 ) لمنحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات البارامترية (x (t) = t ^ 2−3، y (t) = 2t − 1، −3≤t ≤4. )

حل

من المثال نعلم أن ( dfrac {dy} {dx} = dfrac {2} {2t} = dfrac {1} {t} ). باستخدام المعادلة المرجع {paraD2} ، نحصل عليها

( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {(d / dt) (dy / dx)} {dx / dt} = dfrac {(d / dt) (1 / t)} { 2t} = dfrac {−t ^ {- 2}} {2t} = - dfrac {1} {2t ^ 3} ).

تمرين ( PageIndex {3} )

احسب المشتق الثاني (d ^ 2y / dx ^ 2 ) لمنحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات

(x (t) = t ^ 2−4t ، y (t) = 2t ^ 3−6t ، −2≤t≤3 )

وحدد أي نقاط حرجة على الرسم البياني.

تلميح

ابدأ بالحل من نقطة الاختبار السابقة ، واستخدم المعادلة.

إجابه

( dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {3t ^ 2−12t + 3} {2 (t − 2) ^ 3} ). النقاط الحرجة ((5،4) ، (- 3 ، −4) ) ، و ((- 4،6). )

التكاملات التي تتضمن المعادلات البارامترية

الآن وقد رأينا كيفية حساب مشتقة منحنى مستو ، فإن السؤال التالي هو: كيف نجد المساحة الواقعة أسفل منحنى محددًا بشكل حدودي؟ تذكر الحلقة الحلقية المحددة بواسطة هذه المعادلات البارامترية

[ start {align} x (t) & = t− sin t y (t) & = 1− cos t. نهاية {محاذاة} ]

افترض أننا نريد إيجاد مساحة المنطقة المظللة في الرسم البياني التالي.

لاشتقاق معادلة للمنطقة الواقعة تحت المنحنى المحدد بواسطة الوظائف

[ start {align} x & = x (t) y & = y (t) end {align} ]

حيث (a≤t≤b ).

نفترض أن (x (t) ) قابل للتفاضل ونبدأ بقسم متساوٍ من الفاصل (a≤t≤b ). افترض (t_0 = a

نستخدم المستطيلات لتقريب المساحة الواقعة أسفل المنحنى. ارتفاع المستطيل النموذجي في هذه المعلمة هو (y (x ( bar {t_i})) ) لبعض القيمة ( bar {t_i} ) في أنايمكن حساب الفاصل الزمني الفرعي ، والعرض كـ (x (t_i) −x (t_ {i − 1}) ). وبالتالي فإن مساحة iالعاشر المستطيل معطى بواسطة

[A_i = y (x ( bar {t_i})) (x (t_i) −x (t_ {i − 1})). ]

ثم مجموع ريمان للمنطقة

[A_n = sum_ {i = 1} ^ ny (x ( bar {t_i})) (x (t_i) −x (t_ {i − 1})). ]

ينتج عن ضرب وقسمة كل منطقة على (t_i − t_ {i − 1} )

[ start {align} A_n & = sum_ {i = 1} ^ ny (x ( bar {t_i})) left ( dfrac {x (t_i) −x (t_ {i − 1})} {t_i − t_ {i − 1}} right) (t_i − t_ {i − 1}) & = sum_ {i = 1} ^ ny (x ( bar {t_i})) left ( dfrac {x (t_i) −x (t_ {i − 1})} {Δt} right) Δt. نهاية {محاذاة} ]

أخذ الحد (n ) يقترب من اللانهاية يعطي

[A = lim_ {n → ∞} A_n = ∫ ^ b_ay (t) x ′ (t) dt. ]

وهذا يؤدي إلى نظرية التالية.

المنطقة الواقعة تحت منحنى حدودي

ضع في اعتبارك منحنى المستوى غير المتقاطع مع الذات المحدد بواسطة المعادلات البارامترية

[x = x (t)، y = y (t)، a≤t≤b ]

وافترض أن (x (t) ) قابل للاشتقاق. المساحة الواقعة تحت هذا المنحنى مُعطاة بـ

[A = ∫ ^ b_ay (t) x ′ (t) dt. ]

مثال ( PageIndex {4} ): إيجاد المنطقة تحت منحنى حدودي

أوجد المساحة الواقعة أسفل منحنى الحلقة الدائرية التي تحددها المعادلات

[x (t) = t− sin t، y (t) = 1− cos t، 0≤t≤2π. ]

حل

باستخدام المعادلة ، لدينا

(A = ∫bay (t) x ′ (t) dt )

(= ∫ ^ {2π} _0 (1− cos t) (1− cos t) dt )

(= ∫ ^ {2π} _0 (1−2 cos t + cos ^ 2t) دت )

(= ∫ ^ {2π} _0 (1−2 cos t + dfrac {1+ cos 2t} {2}) dt )

(= ∫ ^ {2π} _0 ( dfrac {3} {2} −2 cos t + dfrac { cos 2t} {2}) dt )

(= dfrac {3t} {2} −2 sin t + dfrac { sin 2t} {4} ∣ ^ {2π} _0 )

(= 3π )

تمرين ( PageIndex {4} )

أوجد المساحة الواقعة أسفل منحنى hypocycloid المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = 3 cos t + cos3t، y (t) = 3 sin t − sin3t، 0≤t≤π. ]

تلميح

استخدم المعادلة ، جنبًا إلى جنب مع الهويات ( sin α sin β = dfrac {1} {2} [ cos (α − −) - cos (α + β)] ) و ( sin ^ 2t = dfrac {1− cos 2t} {2} ).

إجابه

(A = 3π ) (لاحظ أن الصيغة المتكاملة تعطي إجابة سلبية في الواقع. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن (x (t) ) دالة متناقصة على الفاصل ([0،2π]؛ ) أي ، يتم تتبع المنحنى من اليمين إلى اليسار.)

طول القوس لمنحنى حدودي

بالإضافة إلى إيجاد المساحة الواقعة أسفل المنحنى البارامترى ، نحتاج أحيانًا إلى إيجاد طول قوس المنحنى البارامترى. في حالة المقطع المستقيم ، يكون طول القوس هو نفس المسافة بين نقطتي النهاية. إذا كان الجسيم ينتقل من النقطة (A ) إلى النقطة (B ) على طول منحنى ، فإن المسافة التي يقطعها الجسيم هي طول القوس. لتطوير صيغة لطول القوس ، نبدأ بالتقريب بواسطة مقاطع الخط كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

بالنظر إلى منحنى المستوى المحدد بواسطة الوظائف (x = x (t) ، y = y (t) ، a≤t≤b ) ، نبدأ بتقسيم الفاصل ([a، b] ) إلى ( n ) فترات فرعية متساوية: (t_0 = a

[d_1 = sqrt {(x (t_1) −x (t_0)) ^ 2+ (y (t_1) −y (t_0)) ^ 2} ]

[d_2 = sqrt {(x (t_2) −x (t_1)) ^ 2+ (y (t_2) −y (t_1)) ^ 2} إلخ. ]

ثم اجمع هذه. دعنا نشير إلى طول القوس الدقيق و (s_n ) للإشارة إلى التقريب بواسطة n مقاطع الخط:

[s≈ sum_ {k = 1} ^ ns_k = sum_ {k = 1} ^ n sqrt {(x (t_k) −x (t_ {k − 1})) ^ 2+ (y (t_k) −y (t_ {k − 1})) ^ 2}. تسمية {arc5} ]

إذا افترضنا أن (x (t) ) و (y (t) ) وظائف قابلة للتفاضل لـ (t ) ، فإن نظرية القيمة المتوسطة تنطبق ، لذلك في كل فترة فرعية ([t_ {k − 1 }، t_k] ) يوجد ( hat {t_k} ) و ( hat {t˜_k} ) بحيث

[x (t_k) −x (t_ {k − 1}) = x ′ ( hat {t_k}) (t_k − t_ {k − 1}) = x ′ ( hat {t_k}) Δt ]

[y (t_k) −y (t_ {k − 1}) = y ′ ( tilde {t_k}) (t_k − t_ {k − 1}) = y ′ ( tilde {t_k}) Δt. ]

لذلك تصبح المعادلة المرجع {arc5}

[ start {align} s ≈ sum_ {k = 1} ^ ns_k & = sum_ {k = 1} ^ n sqrt {(x ′ ( hat {t_k}) Δt) ^ 2 + (y ′ ( tilde {t_k}) Δt) ^ 2} & = sum_ {k = 1} ^ n (x ′ ( tilde {t_k})) ^ 2 (Δt) ^ 2 + (y ′ ( tilde {t_k})) ^ 2 (Δt) ^ 2 & = ( sum_ {k = 1} ^ n (x ′ ( hat {t_k})) ^ 2+ (y ′ ( tilde {t_k}) ) ^ 2Δt end {محاذاة}. ]

هذا مجموع Riemann الذي يقارب طول القوس على قسم من الفاصل ([a، b] ). إذا افترضنا كذلك أن المشتقات مستمرة وتركنا عدد النقاط في القسم يزداد بدون حدود ، فإن التقريب يقترب من طول القوس الدقيق. هذا يعطي

[ start {align} s & = lim_ {n → ∞} sum_ {k = 1} ^ ns_k & = lim_ {n → ∞} ( sum_ {k = 1} ^ n sqrt {( x ′ ( hat {t_k})) ^ 2+ (y ′ ( tilde {t_k})) ^ 2}) Δt & = ∫ ^ b_a sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ ( ذ ′ (ر)) ^ 2} د. نهاية {محاذاة} ]

عند أخذ الحد ، يتم تضمين قيمتي ( bar {t_k} ) و ( tilde {t_k} ) في نفس الفاصل الزمني المتقلص باستمرار للعرض (Δt ) ، لذلك يجب أن تتقارب مع نفس القيمة.

يمكننا تلخيص هذه الطريقة في النظرية التالية.

طول القوس لمنحنى حدودي

ضع في اعتبارك منحنى المستوى المحدد بواسطة المعادلات البارامترية

[x = x (t)، y = y (t)، t_1≤t≤t_2 ]

وافترض أن (x (t) ) و (y (t) ) وظائف قابلة للتفاضل لـ t. ثم يتم الحصول على طول القوس لهذا المنحنى بواسطة

[s = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 + left ( dfrac {dy} {dt} right) ^ 2} د. التسمية {arcP} ]

عند هذه النقطة ، يؤدي الاشتقاق الجانبي إلى صيغة سابقة لطول القوس. على وجه الخصوص ، افترض أنه يمكن حذف المعلمة ، مما يؤدي إلى دالة (y = F (x) ). ثم (y (t) = F (x (t)) ) وتعطي قاعدة السلسلة

[y ′ (t) = F ′ (x (t)) x ′ (t). ]

استبدال هذا في المعادلة ref {arcP} يعطي

[ begin {align} s & = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 + left (F ′ (x) dfrac { dx} {dt} right) ^ 2} dt & = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt { left ( dfrac {dx} {dt} right) ^ 2 (1+ left ( F ′ (x) right) ^ 2)} dt & = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} x ′ (t) sqrt {1+ left ( dfrac {dy} {dx} right) ^ 2} د. نهاية {محاذاة} ]

لقد افترضنا هنا أن (x ′ (t)> 0 ) ، وهو افتراض معقول. تعطي قاعدة السلسلة (dx = x ′ (t) dt، ) والسماح (a = x (t_1) ) و (b = x (t_2) ) نحصل على الصيغة

[s = ∫ ^ b_a sqrt {1+ left ( dfrac {dy} {dx} right) ^ 2} dx، ]

وهي صيغة طول القوس التي تم الحصول عليها في مقدمة تطبيقات التكامل.

مثال ( PageIndex {5} ): إيجاد طول القوس لمنحنى حدودي

أوجد طول قوس نصف الدائرة المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = 3 cos t، y (t) = 3 sin t، 0≤t≤π. ]

حل

القيم (t = 0 ) إلى (t = π ) تتبع المنحنى الأحمر في الشكل. لتحديد طوله ، استخدم المعادلة ref {arcP}:

(s = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt {( dfrac {dx} {dt}) ^ 2 + ( dfrac {dy} {dt}) ^ 2} dt )

(= ∫ ^ π_0 sqrt {(- 3 sin t) ^ 2 + (3 cos t) ^ 2} dt )

(= ∫ ^ π_0 sqrt {9sin ^ 2t + 9cos ^ 2t} dt )

(= ∫ ^ π_0 sqrt {9 (sin ^ 2t + cos ^ 2t)} dt )

(= ∫ ^ π_03dt = 3t | ^ π_0 )

(= 3π ).

لاحظ أن صيغة طول القوس لنصف دائرة هي (πr ) ونصف قطر هذه الدائرة هو 3. هذا مثال رائع على استخدام حساب التفاضل والتكامل لاشتقاق صيغة معروفة للكمية الهندسية.

تمرين ( PageIndex {5} )

أوجد طول قوس المنحنى المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = 3t ^ 2، y (t) = 2t ^ 3،1≤t≤3. ]

تلميح

استخدم المعادلة.

إجابه

(s = 2 (10 ^ {3/2} −2 ^ {3/2}) ≈57.589 )

نعود الآن إلى المشكلة التي تم طرحها في بداية القسم حول خروج كرة بيسبول من يد الرامي. بتجاهل تأثير مقاومة الهواء (ما لم تكن كرة منحنى!) ، تتحرك الكرة في مسار مكافئ. بافتراض أن يد الرامي عند نقطة الأصل وتنتقل الكرة من اليسار إلى اليمين في اتجاه المحور x الموجب ، يمكن كتابة المعادلات البارامترية لهذا المنحنى على النحو التالي

[x (t) = 140 طنًا ، ص (t) = - 16 طنًا ^ 2 + 2 طن ]

أين ر يمثل الوقت. نحسب أولًا المسافة التي تقطعها الكرة كدالة زمنية. يتم تمثيل هذه المسافة بطول القوس. يمكننا تعديل صيغة طول القوس قليلاً. أعد كتابة الدالتين أولاً (x (t) ) و (y (t) ) باستخدام الخامس كمتغير مستقل ، وذلك لإزالة أي لبس مع المعلمة ر:

[x (v) = 140v ، y (v) = - 16v ^ 2 + 2v. ]

ثم نكتب صيغة طول القوس على النحو التالي:

(s (t) = ∫ ^ t_0 sqrt {( dfrac {dx} {dv}) ^ 2 + ( dfrac {dy} {dv}) ^ 2} dv )

(= ∫ ^ t_0 sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} dv ).

المتغير الخامس يعمل كمتغير وهمي يختفي بعد التكامل ، تاركًا طول القوس كدالة للوقت (t ). لدمج هذا التعبير ، يمكننا استخدام صيغة من الملحق أ ،

[∫ sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} du = dfrac {u} {2} sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} + dfrac {a ^ 2} {2} ln ∣u + sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} ∣ + C. ]

قمنا بتعيين (a = 140 ) و (u = −32v + 2. ) وهذا يعطي (du = −32dv، ) لذا (dv = - dfrac {1} {32} du. ) لذلك

[∫ sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} dv = - dfrac {1} {32} ∫ sqrt {a ^ 2 + u ^ 2} du ]

[= - dfrac {1} {32} [ dfrac {(- 32v + 2)} {2} sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} + dfrac {140 ^ 2} {2} ln ∣ (−32v + 2) + sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2}] | + C ]

و

(s (t) = - dfrac {1} {32} [ dfrac {(- 32t + 2)} {2} sqrt {140 ^ 2 + (- 32t + 2) ^ 2} + dfrac { 140 ^ 2} {2} ln ∣ (−32t + 2) + sqrt {140 ^ 2 + (- 32t + 2) ^ 2} ∣] + dfrac {1} {32} [ sqrt {140 ^ 2 + 2 ^ 2} + dfrac {140 ^ 2} {2} ln ∣2 + sqrt {140 ^ 2 + 2 ^ 2} ∣] = ( dfrac {t} {2} - dfrac {1 } {32}) sqrt {1024t ^ 2−128t + 19604} - dfrac {1225} {4} ln ∣ (−32t + 2) + sqrt {1024t ^ 2−128t + 19604} ∣ + dfrac { sqrt {19604}} {32} + dfrac {1225} {4} ln (2+ sqrt {19604}). )

تمثل هذه الوظيفة المسافة التي قطعتها الكرة كدالة للوقت. لحساب السرعة ، خذ مشتق هذه الدالة بالنسبة إلى (t ). في حين أن هذا قد يبدو مهمة شاقة ، فمن الممكن الحصول على الإجابة مباشرة من النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل:

[ dfrac {d} {dx} ∫ ^ x_af (u) du = f (x). ]

لذلك

(s ′ (t) = dfrac {d} {dt} [s (t)] )

(= dfrac {d} {dt} [∫ ^ t_0 sqrt {140 ^ 2 + (- 32v + 2) ^ 2} dv] )

(= sqrt {140 ^ 2 + (- 32t + 2) ^ 2} )

(= sqrt {1024t ^ 2−128t + 19604} )

(= 2 sqrt {256t ^ 2−32t + 4901} ).

بعد خروج الكرة من يد الرامي بثلث ثانية ، فإن المسافة التي تقطعها تساوي

(s ( dfrac {1} {3}) = ( dfrac {1/3} {2} - dfrac {1} {32}) sqrt {1024 ( dfrac {1} {3}) ^ 2−128 ( dfrac {1} {3}) + 19604} - dfrac {1225} {4} ln ∣ (−32 ( dfrac {1} {3}) + 2) + sqrt {1024 ( dfrac {1} {3}) ^ 2−128 ( dfrac {1} {3}) + 19604} ∣ + dfrac { sqrt {19604}} {32} + dfrac {1225} {4} ln (2+ sqrt {19604}) ≈46.69 ) قدم.

هذه القيمة تزيد قليلاً عن ثلاثة أرباع الطريق إلى لوحة المنزل. سرعة الكرة

(s ′ ( dfrac {1} {3}) = 2 sqrt {256 ( dfrac {1} {3}) ^ 2−16 ( dfrac {1} {3}) + 4901} ≈140.34 ) قدم / ثانية.

هذه السرعة تترجم إلى ما يقرب من 95 ميلا في الساعة - كرة سريعة الدوري الرئيسي.

تم إنشاء مساحة السطح بواسطة منحنى حدودي

تذكر مشكلة إيجاد مساحة سطح حجم ثورة. في Curve Length and Surface Area ، استنتجنا صيغة لإيجاد مساحة سطح وحدة تخزين تم إنشاؤها بواسطة دالة (y = f (x) ) من (x = a ) إلى (x = b، ) تدور حول المحور السيني:

[S = 2π∫ ^ b_af (x) sqrt {1+ (f ′ (x)) ^ 2} dx. ]

نحن الآن نعتبر حجمًا للثورة تم إنشاؤه عن طريق تدوير منحنى محدد حدوديًا (x = x (t) ، y = y (t) ، a≤t≤b ) حول المحور x كما هو موضح في الشكل ( PageIndex {9} ).

الصيغة المماثلة لمنحنى محدد حدوديًا هي

[S = 2π∫ ^ b_ay (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} dt ]

بشرط ألا يكون (y (t) ) سالبًا في ([a، b] ).

مثال ( PageIndex {6} ): البحث عن مساحة السطح

أوجد مساحة سطح كرة نصف قطرها (r ) متمركزة في نقطة الأصل.

حل

نبدأ بالمنحنى المحدد بواسطة المعادلات

[x (t) = r cos t، y (t) = r sin t، 0≤t≤π. ]

يؤدي هذا إلى إنشاء نصف دائرة علوية نصف قطرها r متمركزة في الأصل كما هو موضح في الرسم البياني التالي.

عندما يدور هذا المنحنى حول x-المحور ، فإنه يولد كرة نصف قطرها (r ). لحساب مساحة سطح الكرة ، نستخدم المعادلة:

(S = 2π∫ ^ b_ay (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} dt )

(= 2π∫ ^ π_0r sin t sqrt {(- r sin t) ^ 2 + (r cos t) ^ 2} dt )

(= 2π∫ ^ π_0r sin t sqrt {r ^ 2sin ^ 2t + r ^ 2cos ^ 2t} dt )

(= 2π∫ ^ π_0r sin t sqrt {r ^ 2 (sin ^ 2t + cos ^ 2t)} dt )

(= 2π∫ ^ π_0r ^ 2 الخطيئة tdt )

(= 2πr ^ 2 (- cos t | ^ π_0) )

(= 2πr ^ 2 (−cosπ + cos0) )

(= 4πr ^ 2. )

هذه ، في الواقع ، صيغة مساحة سطح الكرة.

تمرين ( PageIndex {6} )

أوجد مساحة السطح المتولدة عند تحديد منحنى المستوى بواسطة المعادلات

[x (t) = t ^ 3، y (t) = t ^ 2،0≤t≤1 ]

تدور حول المحور السيني.

تلميح

استخدم المعادلة. عند حساب التكامل ، استخدم التعويض بـ u.

إجابه

[A = dfrac {π (494 sqrt {13} +128)} {1215} ]

المفاهيم الرئيسية

  • يمكن حساب مشتق المنحنى المحدد حدوديًا (x = x (t) ) و (y = y (t) ) باستخدام الصيغة ( dfrac {dy} {dx} = dfrac {y ′ (t)} {x ′ (t)} ) باستخدام المشتق ، يمكننا إيجاد معادلة خط المماس لمنحنى حدودي.
  • يمكن تحديد المنطقة الواقعة بين منحنى حدودي والمحور x باستخدام الصيغة (A = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} y (t) x ′ (t) dt. )
  • يمكن حساب طول القوس لمنحنى حدودي باستخدام الصيغة (s = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} ( dfrac {dx} {dt}) ^ 2 + ( dfrac {dy} {dt}) ^ 2dt ).
  • تُعطى مساحة سطح حجم دوران تدور حول المحور السيني بواسطة (S = 2π∫ ^ b_ay (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2 } دت ).
  • إذا كان المنحنى يدور حول المحور y ، فإن الصيغة هي (S = 2π∫ ^ b_a sqrt {x (t) (x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} دت. )

المعادلات الرئيسية

  • مشتق المعادلات البارامترية

[ dfrac {dy} {dx} = dfrac {dy / dt} {dx / dt} = dfrac {y ′ (t)} {x ′ (t)} ]

  • مشتق من الدرجة الثانية للمعادلات البارامترية

[ dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} = dfrac {d} {dx} ( dfrac {dy} {dx}) = dfrac {(d / dt) (dy / dx)} {dx / dt} ]

  • المنطقة الواقعة تحت منحنى حدودي

[A = ∫ ^ b_ay (t) x ′ (t) dt ]

  • طول قوس منحنى حدودي

[s = ∫ ^ {t_2} _ {t_1} sqrt {( dfrac {dx} {dt}) ^ 2 + ( dfrac {dy} {dt}) ^ 2} dt ]

  • مساحة السطح الناتجة عن منحنى حدودي

[S = 2π∫ ^ b_ay (t) sqrt {(x ′ (t)) ^ 2+ (y ′ (t)) ^ 2} dt ]


شاهد الفيديو: حل مسألة Vertical Curve المنحنى الرأسى - أعداد م. محمد صابر (شهر اكتوبر 2021).