مقالات

1.9: المشتقات الجزئية - الرياضيات


تعريف المشتق الجزئي

لنفترض أن (f (x، y) ) دالة لمتغيرين. ثم نحدد ال المشتقات الجزئية مثل:

التعريف: مشتق جزئي

[f_x = dfrac { جزئي f} { جزئي x} = lim_ {h to {0}} dfrac {f (x + h، y) -f (x، y)} {h} ]

[f_y = dfrac { جزئي f} { جزئي y} = lim_ {h to {0}} dfrac {f (x، y + h) -f (x، y)} {h} ]

إذا كانت هذه الحدود موجودة.

جبريًا ، يمكننا التفكير في المشتق الجزئي للدالة فيما يتعلق بـ (x ) كمشتق للدالة مع ثبات (y ). هندسيًا ، يمثل المشتق بالنسبة إلى (x ) عند نقطة (P ) ميل المنحنى الذي يمر عبر (P ) الذي يكون إسقاطه على المستوى (x ) خطًا أفقيًا (إذا تسافر شرقا ، ما مدى انحدارك تتسلق؟)

مثال ( PageIndex {1} )

يترك

[f (x، y) = 2x + 3y nonumber ]

ومن بعد

[ start {align *} dfrac { جزئي f} { جزئي} & = lim_ {h to {0}} dfrac {(2 (x + h) + 3y) - (2x + 3y) } {h} nonumber [4pt] & = lim_ {h to {0}} dfrac {2x + 2h + 3y-2x-3y} {h} nonumber [4pt] & = lim_ {h to {0}} dfrac {2h} {h} = 2. النهاية {محاذاة *} ]

نستخدم أيضًا الترميز (f_x ) و (f_y ) للمشتقات الجزئية بالنسبة إلى (x ) و (y ) على التوالي.

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن (f_y ) للوظيفة من المثال أعلاه.

إيجاد المشتقات الجزئية بالطريقة السهلة

بما أن المشتق الجزئي بالنسبة إلى (س ) هو مشتق مع بقاء باقي المتغيرات ثابتة ، يمكننا إيجاد المشتق الجزئي بأخذ المشتق المنتظم مع الأخذ في الاعتبار باقي المتغيرات كثوابت.

مثال ( PageIndex {2} )

يترك

[f (x، y) = 3xy ^ 2 - 2x ^ 2y nonumber ]

ومن بعد

[f_x = 3y ^ 2 - 4xy nonumber ]

و

[f_y = 6xy - 2x ^ 2. لا يوجد رقم]

تمارين ( PageIndex {2} )

أوجد كلا المشتقين الجزئيين لـ

  1. (و (س ، ص) = س ص الخطيئة س )
  2. (f (x، y) = dfrac {x + y} {x - y} ).

ترتيب الجزئيات الأعلى

كما هو الحال مع دالة متغير واحد ، يمكننا تحديد المشتقات الثانية لوظائف متغيرين. لدوال متغيرين ، لدينا أربعة أنواع: (f_ {xx} ) ، (f_ {xy} ) ، (f_ {yx} ) ، و (f_ {yy} ).

مثال ( PageIndex {3} )

يترك

[f (x، y) = ye ^ x nonumber ]

ومن بعد

[f_x = ye ^ x nonumber ]

و

[f_y = e ^ x. لا يوجد رقم]

الآن بأخذ أجزاء كل من هذه ، نحصل على:

[f_ {xx} = ye ^ x ؛ ؛ ؛ f_ {xy} = e ^ x ؛ ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ ؛ f_ {yy} = 0. لا يوجد رقم]

لاحظ أن

[f_ {x، y} = f_ {yx}. nonumber ]

نظرية

لنفترض أن (f (x، y) ) دالة ذات مشتقات مستمرة من الدرجة الثانية ، إذن

[f_ {xy} = f_ {yx}. ]

وظائف أكثر من متغيرين

لنفترض أن

[f (x، y، z) = xy - 2yz nonumber ]

هي دالة من ثلاثة متغيرات ، ثم يمكننا تعريف المشتقات الجزئية بنفس الطريقة التي حددنا بها المشتقات الجزئية لثلاثة متغيرات.

نحن لدينا

[f_x = y ؛ ؛ ؛ f_y = x-2z ؛ ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ ؛ f_z = -2y. ]

مثال ( PageIndex {4} ): معادلة الحرارة

افترض أن بابًا مفتوحًا لمبنى ما خلال يوم ثلجي. يمكن إثبات أن المعادلة

[H_t = c ^ 2H_ {xx} nonumber ]

نماذج لهذا الموقف حيث (H ) هي حرارة الغرفة عند النقطة (x ) قدمًا بعيدًا عن الباب في الوقت (t ). اظهر ذلك

[H = e ^ {- t} cos ( frac {x} {c}) nonumber ]

يفي بهذه المعادلة التفاضلية.

حل

نحن لدينا

[H_t = -e ^ {- t} cos ( dfrac {x} {c}) nonumber ]

[H_x = - dfrac {1} {c} e ^ {- t} sin ( frac {x} {c}) nonumber ]

[H_ {xx} = - dfrac {1} {c ^ 2} e ^ {- t} cos ( dfrac {x} {c}). لا يوجد رقم]

لهذا السبب

[c ^ 2 H_ {xx} = -e ^ {- t} cos ( dfrac {x} {c}). لا يوجد رقم]

والنتيجة تتبع.


حساب التفاضل والتكامل الكسري

وتطوير حساب لمثل هؤلاء المشغلين مع تعميم المعامل الكلاسيكي.

في هذا السياق ، فإن مصطلح القوى يشير إلى التطبيق التكراري لمشغل خطي د إلى وظيفة F، أي التأليف بشكل متكرر د مع نفسها ، كما في D n (f) = (D ∘ D ∘ D ∘ ⋯ ∘ D ⏟ n) (f) = D (D (D (⋯ D ⏟ n (f) ⋯))) (و) = (دعامة _) (و) = دعامة _(و) cdots)))>.

على سبيل المثال ، قد يطلب المرء تفسيرًا ذا مغزى لـ

كتناظرية للجذر التربيعي الوظيفي لمشغل التمايز ، أي تعبير لبعض المشغل الخطي الذي عند تطبيقه مرتين إلى أي وظيفة سيكون لها نفس تأثير التفاضل. بشكل عام ، يمكن للمرء أن ينظر إلى مسألة تعريف عامل التشغيل الخطي

لكل رقم حقيقي بهذه الطريقة ، عندما يأخذ a قيمة عدد صحيح ن ∈ ℤ ، يتزامن مع التمايز المعتاد n -fold D إذا ن & gt 0 ، ومع (-ن) -th قوة J عندما ن & lt 0.

أحد الدوافع وراء تقديم ودراسة هذه الأنواع من الامتدادات لعامل التمايز D هو أن مجموعات قوى المشغل < د أ | أ ∈ ℝ> المعرفة بهذه الطريقة هي مستمر نصف مجموعات مع المعلمة أ ، منها الأصل منفصله نصف مجموعة من < د ن | ن ∈ ℤ> بالنسبة للعدد الصحيح n هي مجموعة فرعية قابلة للعدد: نظرًا لأن المجموعات شبه المستمرة لديها نظرية رياضية متطورة جيدًا ، فيمكن تطبيقها على فروع أخرى من الرياضيات.

المعادلات التفاضلية الكسرية ، والمعروفة أيضًا باسم المعادلات التفاضلية غير العادية ، [1] هي تعميم للمعادلات التفاضلية من خلال تطبيق حساب التفاضل والتكامل الكسري.


اشتقاق جزئي

المشتق الجزئي هو المشتق بالنسبة إلى متغير واحد لدالة متعددة المتغيرات. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة f (x، y) = sin (xy). عند تحليل تأثير أحد متغيرات دالة متعددة المتغيرات ، غالبًا ما يكون من المفيد إصلاح المتغيرات الأخرى عقليًا عن طريق التعامل معها على أنها ثوابت. إذا أردنا قياس التغير النسبي لـ f بالنسبة إلى x عند نقطة (x ، y) ، فيمكننا أخذ المشتقة فقط بالنسبة إلى x بينما نتعامل مع y باعتباره ثابتًا لنحصل على:

هذه الوظيفة الجديدة التي أشرنا إليها على أنها تسمى المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى x. وبالمثل ، إذا أصلحنا x وغيرنا y ، فسنحصل على المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى y:

ملاحظة: عند الإشارة إلى المشتقات الجزئية ، فإن fx يستخدم أحيانًا بدلاً من. هندسيًا ، وتمثل منحدرات الخطوط المماس للرسم البياني لـ f عند النقطة (x ، y) في اتجاه المحور x و y على التوالي.

التعريف الرسمي للمشتق الجزئي للدالة المتغيرة n f (x1 . xن) بالنسبة إلى xأنا هو:

ملاحظة: عبارة "المشتق الجزئي الأول" تعني.

المشتقات الجزئية لـ f (x1. xن) مثل وظائف x نفسها1. xن. لذلك يمكننا بسهولة أخذ المشتقات الجزئية للمشتقات الجزئية وما إلى ذلك. على سبيل المثال ، المشتق الجزئي x لـ ، المشار إليه ، هو -y 2 sin (xy). بصورة مماثلة:

لاحظ أن . اتضح أن عملية تبادل ترتيب المتغيرات التي نأخذ منها مشتقات جزئية تنتج نفس الإجابة لأي دالة. تُعرف هذه الحقيقة بمساواة الجزئيات المختلطة.

نظرية: مساواة الجزئيات المختلطة

ملاحظة: عند كتابة مشتقات جزئية ذات رتبة أعلى ، فإننا نستخدم في العادة بدلاً من و على التوالي.

مشتق اتجاهي

تمثل المشتقات الجزئية كيف تعمل الدالة f (x1و. xن) يتغير في اتجاه كل محور إحداثيات. ولكن كيف نقيس التغيير النسبي في f على طول اتجاه عشوائي لا يتماشى مع أي محاور إحداثيات؟ لنفترض أنك تبدأ من نقطة p = (p1و. صن) وتريد العثور على التغيير النسبي أو "الميل" في f الناجم عن تغيير متناهي الصغر على طول متجه الوحدة. ثم المشتق الاتجاهي لـ Dشتُعطى f لـ f في الاتجاه u عند p بالصيغة التالية:

حيث يعني الرمز p أننا نأخذ مشتقات جزئية في p. لفهم سبب قياس هذا التغيير النسبي على طول متجه الوحدة u ، ابدأ بدالة لمتغير واحد. في هذه الحالة ، يوجد اتجاه واحد فقط وبالتالي فإن المشتق الاتجاهي في هذا الاتجاه هو كما نتوقع. في متغيرين ، أذكر الصورة

ولاحظ أن خطوط المماس تشكل مستوى مماسًا للمنحنى عند النقطة p = (x0، ذ0). معادلة الطائرة هي:

حيث & Deltax = x - x0 و & Deltay = y - y0 تمثل التغيير في x و y بعيدًا عن (x0، ذ0). عندما (س ، ص) = (س0، ذ0) ، يجب أن تكون قيمة z فقط f (x0، ذ0). لكل خطوة وحدة في اتجاه x الموجب ، يجب أن تزيد قيمة z بوحدات. وبالمثل ، يجب أن تزيد قيمة z بوحدات لكل خطوة وحدة في اتجاه y الموجب. إذا حددنا التغيير في z كـ & Deltaz = z - f (x0، ذ0) ، فإن التغيير في اتجاه المتجه u = [& Deltax، & Deltay] T يكون. يمكننا تعميم هذا على التغيير في f (x1. xن) في الاتجاه u = [& Deltau1. & Deltauن] T للحصول على. إذا طلبنا أن تكون u متجه وحدة ، فإن هذا التعبير هو تعريفنا الأصلي لمشتق اتجاهي.

أوجد المشتق الاتجاهي لـ p = (4، 2) في الاتجاه.

أولاً نحسب المشتقات الجزئية ،

ثم نعوض بالنقطة p لنحصل على:

الانحدار

عند نقطة p ، الانحدار ، & nablafصمن f (x1و. xن) يتم تعريفه على أنه المتجه:

يمكننا التعبير عن المشتق الاتجاهي عند p في اتجاه متجه الوحدة u باعتباره حاصل الضرب القياسي ،

إحدى خصائص المنتج النقطي هي حيث || v || تشير إلى المقدار أو القاعدة الإقليدية ، و & ثيتا هي الزاوية بين v و w عندما يكون ذيلهما في نفس النقطة. لذلك،

لكن || u || = 1 ، نظرًا لأن u عبارة عن متجه وحدة ،

يتم تكبير المشتق الاتجاهي عندما يكون cos (& theta) = 1 أو & theta = 0 ويتم تصغيره عندما تكون cos (& theta) = -1 أو & theta = & pi. عندما تكون & ثيتا = 0 ، تشير u في نفس اتجاه & nablafص، و when & theta = & pi ، u تشير في الاتجاه المعاكس كـ & nablafص. باختصار ، يتم تكبير المشتق الاتجاهي عندما تشير u في نفس اتجاه & nablafص ويتم تصغيره عندما تشير u في الاتجاه المعاكس لـ & nablafص. تذكر أن المشتق الاتجاهي يقيس التغيير النسبي ، فقد أثبتنا النظرية التالية: يشير التدرج دائمًا إلى اتجاه الزيادة الشديدة.

قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات

افترض أن كل متغير من المتغيرات n لـ f (x1. xن) هي أيضًا دالة لـ m المتغيرات الأخرى ، w1. ثم، لذلك كل xأنا يمكن كتابتها كـ xأنا1. ثم). ثم لدينا الرسم البياني التالي للتبعيات حيث يعني كل سهم أن المتغير الموجود في ذيل السهم يتحكم في المتغير الموجود في رأس السهم.

إذا أردنا أخذ المشتقة الجزئية ، فيجب أن ننظر إلى جميع المسارات الممكنة من wي إلى f ، والتي تمثل جميع الطرق التي يستخدمها wي يؤثر بشكل غير مباشر على f. لطريق معين ، قل wي & rarr xأنا & rarr f ، تغيير & Deltawي في wي ينتج تغيير في xأنا والذي يتم تضخيمه بمعامل. هذا التغيير في xأنا ينتج بدوره تغييرًا في f يتم تضخيمه بمعامل. لهذا المسار ، تغيير في wي يتم تكبيره بواسطة عامل صافٍ لإحداث تغيير في f.

ثم نجمع التغييرات من جميع مجموعات المسارات الممكنة للحصول على التغيير الكلي في f:

القسمة على & Deltawي يمنحك التغيير في f بالنسبة للتغيير في wي، حده هو المشتق الجزئي:

لأننا وجدنا من خلال جمع كل التغييرات في f الناتجة عن تغيير في wي، تسمى أحيانًا المشتق الكلي لـ f بالنسبة إلى wي.


لنراجع أولاً قاعدة سلسلة المتغيرات الفردية. ضع في اعتبارك الوظيفة y = f (g (x)) = sin (x²). للحصول على مشتق هذا التعبير ، نضرب مشتق التعبير الخارجي بمشتق التعبير الداخلي أو "ربط القطع معًا". بعبارات أخرى:

على سبيل المثال لدينا ، ش = س² و ص = الخطيئة (ش). لذلك:

من الجيد التفكير في قاعدة المتغير الفردي كرسم تخطيطي للعمليات التي x يمر ، مثل ذلك:

هذا المفهوم لتصور المعادلات كمخططات سيكون مفيدًا للغاية عند التعامل مع قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات. أيضًا ، إذا كنت تستخدم Tensorflow (أو Keras) و TensorBoard ، أثناء قيامك ببناء النموذج الخاص بك وكتابة رمز التدريب الخاص بك ، يمكنك رؤية رسم تخطيطي لعمليات مشابهة لهذه.


كيف تعمل الآلة الحاسبة الجزئية المشتقة؟

يتم تمثيل المشتق الجزئي للدالة بـ & part. لنفترض أن f (x، y) دالة ذات متغير x و y

& partf / & partx تعني أن الدالة مشتقة من f بالنسبة إلى المتغير x.

& partf / & party تعني أن الوظيفة مشتقة من f بالنسبة إلى المتغير y.

هناك وظائف وقواعد مشتركة نتبعها لإيجاد المشتقات

مثال محلول على المشتق الجزئي

أوجد القيمة المشتقة الجزئية لـ 5x 3 + 2y 2 وتحقق منها باستخدام آلة حاسبة مشتقة جزئية

حل:

باستخدام الضرب في الثابت وقاعدة الأس ،

باستخدام الضرب في الثابت وقاعدة الأس ،

لذلك ، فإن القيمة المشتقة الجزئية لـ 5x 3 + 2x 2 بالنسبة إلى x و y هي 15x 2 و 4x.

وبالمثل ، يمكنك استخدام حاسبة المشتقات الجزئية لإيجاد قيمة المشتقات الجزئية لما يلي:


1.9: المشتقات الجزئية - الرياضيات

يعتبر التفريق بين أكثر من متغير أكثر تعقيدًا من التفريق بين دالة لمتغير واحد. بالنسبة لدالة متعددة المتغيرات ، يعتمد معدل تغيير الوظيفة على الاتجاه!. ضع في اعتبارك الوظيفة

والذي يظهر كسطح في مساحة xyz أدناه.

لنفترض أن السطح يتوافق مع جبل ونفترض أننا متسلق جبل يقع على القمة بالقرب من x = 0 و y = 0. لاحظ أنه إذا سافرنا في اتجاه x الموجب ، فإن الارتفاع يتناقص بسرعة. المشتق في اتجاه x سالب وله حجم كبير. من ناحية أخرى ، إذا سافرنا في الاتجاه y الموجب ، يتغير الارتفاع ببطء. يمكننا السفر في أي اتجاه ، ليس فقط بالتوازي مع محوري x و y ، وتعتمد المشتقة على الاتجاه.

هناك طريقة أخرى لعرض دالة لمتغيرين وهي رسم مخطط كفافي. لقد رأيت الخرائط الكنتورية. يتم ربط النقاط التي لها نفس الارتفاع بخطوط. لقد رأيت خرائط الطقس حيث يتم ربط النقاط ذات درجة الحرارة المتساوية بخطوط (تسمى هذه الخطوط متساوي الحرارة). مخطط كفاف للدالة z = f (x، y) يتكون من مجموعة من المنحنيات f (x، y) = c (تسمى منحنيات المستوى أو الكنتور) في المستوى xy لقيم مختلفة لـ c. على المنحنى f (x، y) = c، z = c. يتم عرض مخطط كفاف لوظيفة النموذج أدناه:

على كل منحنى في مخطط الكنتور z = f (x، y) ثابت. يختلف الثابت في المنحنيات المختلفة. لم نقم بإدراج قيم z على المنحنيات المختلفة أعلاه. ومع ذلك ، بمقارنة مخطط السطح مع مخطط الكنتور ، نستنتج أن المحيط البيضاوي بالقرب من الأصل يتوافق مع قيمة كبيرة لـ z ، على سبيل المثال. لاحظ أنه إذا تحرك المرء في اتجاه x السالب من نقطة الأصل ، فعندئذٍ يعبر المرء عددًا من المنحنيات الكنتورية على مسافة قصيرة. هذا يعني تغييرًا سريعًا في قيمة الوظيفة. إذا كان المرء يسافر في الاتجاه y ، فإن المرء لا يتقاطع مع العديد من منحنيات الكنتور في مسافة قصيرة ، يكون التغيير في قيمة الدالة أقل سرعة.

نحن الآن جاهزون لمناقشة المشتقات الجزئية. لنفترض أننا مهتمون بتحديد معدل تغير z = f (x ، y) لـ y الثابت. على سبيل المثال ، دع y = 0 في مشكلة نموذجنا. ثم

z هي دالة في المتغير الفردي x. يمكن حساب dg / dx باستخدام تقنيات من حساب التفاضل والتكامل أحادي المتغير. ز '(س) = 4x ^ 3 + 3x ^ 2-36x-16. بشكل عام بالنسبة لـ y التعسفي ، يسمى المشتق في اتجاه x بالمشتق الجزئي فيما يتعلق x ويتم تعريفه بواسطة

في التعريف y هو ثابت. لحساب المشتق الجزئي بالنسبة إلى x ، نقوم بالاشتقاق بالنسبة إلى x ونفترض أن y ثابت. لمشكلة النموذج لدينا

وبالمثل ، يمكننا حساب المشتق الجزئي بالنسبة إلى y. يتم تعريفه بواسطة

لاحظ أن x الآن ثابت. لحساب المشتق الجزئي بالنسبة إلى y ، نشتق بالنسبة إلى y ونفترض أن x ثابت. لمشكلة النموذج لدينا

لتحديد المشتقات عند نقطة معينة في المستوى xy ، نعوض بإحداثيات النقطة في صيغتي f_x (x، y) و f_y (x، y). على سبيل المثال ، عند الأصل x = 0 و y = 0 و f_x (0،0) = - 16 و f_y (x، y) = 0. تدعم هذه الأرقام الحجج القائمة على مؤامرة السطح والمؤامرة الكنتورية. تتغير الوظيفة بسرعة أكبر في الاتجاه x منه في الاتجاه y.

مثال

أوجد المشتقات الجزئية لـ f بالنسبة إلى x و y واحسب معدلات تغير الدالة في اتجاهي x و y عند النقطة (-1،2).

مبدئيًا ، لن نحدد قيمتي x و y عندما نأخذ المشتقات ، سنتذكر فقط أيهما سنبقى ثابتًا أثناء أخذ المشتقة. أولًا ، ثبت y وأوجد المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى x:

ثانيًا ، ثبت x وأوجد المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى y:

الآن ، عوض بالقيمتين x = -1 و y = 2 في المعادلتين. نحصل على f_x (-1،2) = 10 و f_y (-1،2) = 28.

المشتقات الجزئية لوظائف عدة متغيرات

يمكننا بالطبع أخذ مشتقات جزئية لدوال أكثر من متغيرين. إذا كانت f دالة في المتغيرات n x_1 ، x_2 ،. x_n ، ثم لأخذ المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى x_i ، نحتفظ بجميع المتغيرات إلى جانب x_i ثابتًا ونأخذ المشتق.

مثال

لإيجاد المشتق الجزئي للدالة f بالنسبة إلى t للدالة

نحافظ على ثبات x و y و z ونأخذ المشتقة بالنسبة إلى المتغير المتبقي t. النتيجه هي


محتويات

إصلاح متجه /> ، وتحديد دالة /> بواسطة

ثم المشتق الجزئي لـ بالنسبة إلى يساوي  :


المشتقات الجزئية لقاعدة جيب التمام.

مرحبًا بالجميع ، كنت أتساءل عما إذا كان بإمكان أي شخص مساعدتي في حل هذه المشكلة. لدي مثلث أ = 13.5 م ، ب = 24.6 م ج ، وثيتا = 105.6 درجة.

هل يمكن لأحد أن يذكرني بما هو حكم جيب التمام؟

من قاعدة جيب التمام أحتاج إلى إيجاد:

  • المشتق الجزئي لـ c بالنسبة إلى a؟
  • المشتق الجزئي لـ c بالنسبة إلى b؟
  • المشتق الجزئي لـ c بالنسبة إلى ثيتا؟

كيف تجد المشتقات الجزئية؟

سيكون موضع تقدير أي مساعدة.

كلاس فان آارسن

MHB Seeker

مرحبًا بالجميع ، كنت أتساءل عما إذا كان بإمكان أي شخص مساعدتي في حل هذه المشكلة. لدي مثلث أ = 13.5 م ، ب = 24.6 م ج ، وثيتا = 105.6 درجة.

هل يمكن لأحد أن يذكرني بما هو حكم جيب التمام؟

أيضا (سؤالي هنا)
يجب أن أجد من قاعدة جيب التمام


  • المشتق الجزئي لـ c بالنسبة إلى a؟
    المشتق الجزئي لـ c بالنسبة إلى b؟
    المشتق الجزئي لـ c بالنسبة إلى ثيتا؟

سيكون موضع تقدير أي مساعدة

قاعدة جيب التمام هي
$ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos theta $
حيث $ theta $ هي الزاوية بين الضلع a و b.

بعبارات أخرى،
$ c = sqrt$
من المفترض أن تأخذ المشتقات الجزئية لهذا التعبير.
لتقييمها ، لا تحتاج إلى قيمة c.


بالنسبة للدالة المتغيرة f (x ، y) ، يمكننا تحديد مشتقات جزئية من 4 من الدرجة الثانية جنبًا إلى جنب مع رموزها.

مثال 1
ابحث عن f xx ، F س ص بالنظر إلى أن f (x ، y) = sin (x y)
حل

مثال 2
ابحث عن fxx، Fس ص، Fس ص، Fyx إذا كانت f (x، y) = x 3 + 2 x y.
حل

مثال 3
ابحث عن fxx، Fس ص، Fس ص، Fyx إذا كانت f (x، y) = x 3 y 4 + x 2 y.
حل

Fxx يحسب على النحو التالي
Fxx = & # 8706 2 f / & # 8706x 2 = & # 8706 (& # 8706f / & # 8706x) / & # 8706x
= & # 8706 (& # 8706 [x 3 y 4 + x 2 y] / & # 8706x) / & # 8706x
= & # 8706 (3 × 2 ص 4 + 2 × ص) / & # 8706x
= 6 س ص 4 + 2 ص
Fس ص يحسب على النحو التالي
Fس ص = & # 8706 2 f / & # 8706y 2 = & # 8706 (& # 8706f / & # 8706y) / & # 8706y
= & # 8706 (& # 8706 [x 3 y 4 + x 2 y] / & # 8706y) / & # 8706y
= & # 8706 (4 x 3 y 3 + x 2) / & # 8706y
= 12 × 3 ص 2
Fس ص يحسب على النحو التالي
Fس ص = & # 8706 2 f / & # 8706y & # 8706x = & # 8706 (& # 8706f / & # 8706x) / & # 8706y
= & # 8706 (& # 8706 [x 3 y 4 + x 2 y] / & # 8706x) / & # 8706y
= & # 8706 (3 x 2 y 4 + 2 x y) / & # 8706y
= 12 × 2 ص 3 + 2 س
Fyx يحسب على النحو التالي
Fyx = & # 8706 2 f / & # 8706x & # 8706y = & # 8706 (& # 8706f / & # 8706y) / & # 8706x
= & # 8706 (& # 8706 [x 3 y 4 + x 2 y] / & # 8706y) / & # 8706x
= & # 8706 (4 × 3 ص 3 + × 2) / & # 8706x
= 12 × 2 ص 3 + 2 س


1.9: المشتقات الجزئية - الرياضيات

تهدف الصورة الموجودة على اليسار إلى إظهار التفسير الهندسي للمشتق الجزئي.

يمثل إطار السلك السطح ، الرسم البياني للدالة ض = و (س ، ص)، والنقطة الزرقاء تمثل نقطة (أ ، ب ، و (أ ، ب)). المنحنيات الملونة هي "مقاطع عرضية" - النقاط الموجودة على السطح حيث س = أ (أخضر) و ص = ب (أزرق). القيمة الأولية لـ ب تساوي صفرًا ، لذلك عندما يتم تحميل التطبيق الصغير لأول مرة ، يقع المقطع العرضي الأزرق على طول x-محور.

تذكر معنى المشتق الجزئي عند نقطة معينة (أ ، ب)، قيمة الجزئية بالنسبة إلى x، بمعنى آخر. Fx(أ ، ب) هو منحدر الخط المماس للمقطع العرضي الأزرق. (تغيير في ض على التغيير في x.) بمعنى آخر ، يخبرك بمدى السرعة ض التغييرات فيما يتعلق بالتغييرات في x.

قيمة ال Fذ(أ ، ب)، بالطبع ، يخبرك بمعدل التغيير ض بالنسبة إلى ذ. هذا هو ميل الخط المماس للمنحنى الأخضر.

كلا الخطين المماسيين مرسومان في الصورة باللون الأحمر. انقر واسحب النقطة الزرقاء لترى كيف تتغير المشتقات الجزئية. هناك الكثير مما يحدث في الصورة ، لذا انقر واسحب في مكان آخر لتدويرها واقنع نفسك بأن الخطوط الحمراء هي في الواقع مماسة للمقاطع العرضية. قد تضطر إلى إلقاء نظرة عليها من الأعلى لترى أن الخطوط الحمراء موجودة في الطائرات س = أ و ص = ب!

يمكنك تحريك النقطة الزرقاء لإقناع نفسك بأن المتجهات دائمًا ما تكون مماسة للمقاطع العرضية. تحقق أيضًا مما إذا كان بإمكانك معرفة مكان الجزئيات الأكثر إيجابية والأكثر سلبية.

المستوى المماس هو في الحقيقة مجرد تقريب خطي لدالة عند نقطة معينة. المشتقات الجزئية Fx(أ ، ب) و Fذ(أ ، ب) أخبرنا بميل المستوى المماس في x و ذ الاتجاهات.

بعبارة أخرى ، المتجهان الموضحان أعلاه ، (1 ، صx(أ ، ب))
(0 ، 1 ، صذ(أ ، ب)) كلاهما متوازيان مع المستوى المماس. (في كثير من الأحيان ، من خلال إساءة استخدام اللغة ، نقول إنهم "في" المستوى المماس ، ولكن هذا صحيح حقًا فقط إذا وضعت ذيول هذه المتجهات في (أ ، ب) أو نقطة أخرى في الطائرة. اسأل معلمك إذا كنت مرتبكًا بشأن هذه النقطة.)

تتضمن الصورة الموجودة على اليسار هذه المتجهات جنبًا إلى جنب مع المستوى المماس للسطح عند النقطة الزرقاء. مرة أخرى ، يمكنك النقر فوق النقطة وسحبها لتحريكها. انظر كيف المتجهات دائما في الطائرة؟

هذه حقيقة مفيدة إذا كنا نحاول إيجاد معادلة بارامترية لمستوى مماس: المعادلة هي ببساطة p (s ، t) = (a ، b ، f (a ، b)) + s * (1،0 ، fx(أ ، ب)) + ر * (0،1 ، صذ(أ ، ب))، أين س و ر كلاهما يتعدى الأعداد الحقيقية.


المشتقات الجزئية الثانية

لنفس الأسباب ، في حالة التعبير ،

فيما يلي أمثلة على المشتقات الجزئية الثانية الصافية:

مثال:

  • Fx=ذه س ص + ذكوسx
  • Fس ص=س صه س ص + كوسx
  • Fذ=xه س ص + خطيئةx
  • Fyx=س صه س ص + كوسx
  • على حد سواء Fس ص و Fyx موجودة لجميع النقاط بالقرب من (x0,ذ0)
  • ومستمرون عند (x0,ذ0),

يتم تعريف المشتقات الجزئية ذات الترتيب الأعلى بطريقة واضحة. وطالما توجد استمرارية مناسبة ، فليس من المهم في أي ترتيب يتم تنفيذ تسلسل التمايز الجزئي. مؤشر التفاضل والتكامل المتجه | الصفحة الرئيسية لرياضيات الويب العالمية


شاهد الفيديو: الأشتقاق الجزئي حصة 1 Partil Derivatives (شهر اكتوبر 2021).