مقالات

6.5: نظرية القيمة المتوسطة - الرياضيات


فيما يلي سؤالان مثيران للاهتمام يتعلقان بالمشتقات:

  1. افترض أن وظيفتين مختلفتين لهما نفس المشتق ؛ ماذا يمكنك أن تقول عن العلاقة بين الوظيفتين؟
  2. لنفترض أنك تقود سيارة من كشك رسوم المرور على طريق رسوم مرور إلى كشك رسوم مرور آخر بسرعة متوسطة تبلغ 70 ميلاً في الساعة. ما الذي يمكن استنتاجه بشأن سرعتك الفعلية أثناء الرحلة؟ على وجه الخصوص ، هل تجاوزت الحد الأقصى للسرعة البالغ 65 ميلاً في الساعة؟

في حين أن هذه تبدو مختلفة تمامًا ، فقد اتضح أن المشكلتين مرتبطتان ارتباطًا وثيقًا. نحن نعلم أن "السرعة" هي في الحقيقة مشتق من اسم مختلف ؛ فلنبدأ بترجمة السؤال الثاني إلى شيء قد يكون من الأسهل تخيله. لنفترض أن الوظيفة (f (t) ) تعطي موضع سيارتك على الطريق برسوم في الوقت (t ). التغيير في موضعك بين كشك رسوم المرور والأخرى التي تليها يُعطى بواسطة (f (t_1) -f (t_0) ) ، بافتراض أنك في الوقت المناسب (t_0 ) كنت في الكشك الأول وفي الوقت (t_1 ) وصلت إلى الكشك الثاني. متوسط ​​سرعتك للرحلة هو

[ dfrac {f (t_1) -f (t_0)} {t_1-t_0}. ]

إذا فكرنا في الرسم البياني (f (t) ) ، فإن متوسط ​​السرعة هو ميل الخط الذي يربط النقطتين ((t_0، f (t_0)) ) و ((t_1، f ( t_1)) ). سرعتك في أي وقت معين (t ) بين (t_0 ) و (t_1 ) هي (f '(t) ) ، ميل المنحنى. الآن السؤال (2) يصبح سؤال حول الميل. على وجه الخصوص ، إذا كان الميل بين نقطتي النهاية 70 ، فماذا يمكن أن يقال عن المنحدرات عند النقاط بين نقطتي النهاية؟

كقاعدة عامة ، عند مواجهة مشكلة جديدة ، غالبًا ما يكون من الجيد فحص نسخة مبسطة أو أكثر من المشكلة ، على أمل أن يؤدي ذلك إلى فهم المشكلة الأصلية. في هذه الحالة ، يكون تبسيط المشكلة في شكل "الميل" أسهل إلى حد ما من المشكلة الأصلية ، ولكن المكافئة.

هنا مثال خاص للمشكلة. افترض أن (f (t_0) = f (t_1) ). ثم يكون لنقطتي النهاية نفس الارتفاع ويكون ميل الخط الذي يربط بين نقاط النهاية صفرًا. ماذا يمكننا أن نقول عن المنحدر بين نقاط النهاية؟ لا ينبغي أن يتطلب الأمر الكثير من التجارب قبل أن تقتنع بصحة هذه العبارة: في مكان ما بين (t_0 ) و (t_1 ) يكون المنحدر صفرًا تمامًا ، أي في مكان ما بين (t_0 ) و ( t_1 ) الميل يساوي ميل الخط الفاصل بين نقطتي النهاية. يشير هذا إلى أنه ربما يكون الأمر نفسه صحيحًا حتى لو كانت نقاط النهاية على ارتفاعات مختلفة ، ومرة ​​أخرى ، من المحتمل أن يقنعك القليل من التجارب بأن الأمر كذلك. ولكن يمكننا أن نفعل ما هو أفضل من "التجريب" --- يمكننا إثبات أن الأمر كذلك.

نبدأ بالنسخة المبسطة:

نظرية رول

افترض أن (f (x) ) له مشتق في الفاصل ((أ ، ب) ) ، ومستمر على الفاصل ([أ ، ب] ) ، و (و (أ) = و (ب)). ثم عند بعض القيمة (c in (a، b) )، (f '(c) = 0 ).

دليل

نعلم أن (f (x) ) له قيمة قصوى ودنيا في ([a، b] ) (لأنه مستمر) ، ونعلم أيضًا أن الحد الأقصى والحد الأدنى يجب أن يحدث عند نقطة النهاية ، عند نقطة يكون فيها المشتق صفراً ، أو نقطة يكون فيها المشتق غير معرّف. نظرًا لأن المشتق لم يتم تعريفه أبدًا ، فسيتم إزالة هذا الاحتمال.

إذا حدث الحد الأقصى أو الحد الأدنى عند نقطة (c ) ، بخلاف نقطة النهاية ، حيث (f '(c) = 0 ) ، فقد وجدنا النقطة التي نبحث عنها. بخلاف ذلك ، يحدث الحد الأقصى والحد الأدنى عند نقطة نهاية ، وبما أن نقاط النهاية لها نفس الارتفاع ، فإن الحد الأقصى والحد الأدنى هما نفس الشيء. هذا يعني أن (f (x) = f (a) = f (b) ) عند كل (x في [a، b] ) ، لذا فإن الوظيفة عبارة عن خط أفقي ، ولها مشتقة صفر في كل مكان في ((أ ، ب) ). ثم قد نختار أي (c ) على الإطلاق للحصول على (f '(c) = 0 ).

(ميدان)

ربما من اللافت للنظر أن هذه الحالة الخاصة هي كل ما نحتاجه لإثبات الحالة الأكثر عمومية أيضًا.

يعني نظرية القيمة

افترض أن (f (x) ) له مشتق في الفاصل ((a، b) ) ومستمر على الفاصل ([a، b] ). ثم عند بعض القيمة (c in (a، b) )، (f '(c) = {f (b) -f (a) over b-a} ).

دليل

دع (m = {f (b) -f (a) over ba} ) ، واعتبر وظيفة جديدة (g (x) = f (x) - m (xa) -f (a) ) . نعلم أن (g (x) ) له مشتق في كل مكان ، بما أن (g '(x) = f' (x) -m ). يمكننا حساب (g (a) = f (a) - m (aa) -f (a) = 0 ) و $$ eqalign {g (b) = f (b) -m (ba) -f (أ) & = f (b) - {f (b) -f (a) over ba} (ba) -f (a) cr & = f (b) - (f (b) -f (a) ) -f (a) = 0. cr} $$ لذا فإن ارتفاع (g (x) ) هو نفسه عند كلا نقطتي النهاية. هذا يعني ، من خلال نظرية رول ، أنه في بعض (ج ) ، (ز '(ج) = 0 ). لكننا نعلم أن (g '(c) = f' (c) -m ) ، لذا فإن $$ 0 = f '(c) -m = f' (c) - {f (b) -f (a) over ba}، $$ الذي يتحول إلى $$ f '(c) = {f (b) -f (a) over ba} ، $$ بالضبط ما نريد.

(ميدان)

بالعودة إلى الصيغة الأصلية للسؤال (2) ، نرى أنه إذا أعطى (f (t) ) موضع سيارتك في الوقت (t ) ، فإن نظرية القيمة المتوسطة تقول أنه في وقت ما (ج) ) ، (f '(c) = 70 ) ، أي أنه في وقت ما يجب أن تكون قد سافرت بالضبط بمتوسط ​​سرعتك للرحلة ، وأنك تجاوزت بالفعل الحد الأقصى للسرعة.

لنعد الآن إلى السؤال (1). افترض ، على سبيل المثال ، أن هناك وظيفتين تشتركان في مشتق يساوي 5 في كل مكان ، (f '(x) = g' (x) = 5 ). من السهل العثور على مثل هذه الوظائف: (5x ) ، (5x + 47 ) ، (5x-132 ) ، إلخ. هل هناك أمثلة أخرى أكثر تعقيدًا؟ لا --- الوظائف الوحيدة التي تعمل هي الوظائف "الواضحة" وهي (5x ) بالإضافة إلى بعض الثوابت كيف يمكننا أن نرى أن هذا صحيح؟

على الرغم من أن "5" مشتق بسيط جدًا ، فلنلقِ نظرة على مشتق أبسط. لنفترض أن (f '(x) = g' (x) = 0 ). مرة أخرى ، يمكننا العثور على أمثلة: (f (x ) = 0 ) ، (f (x) = 47 ) ، (f (x) = - 511 ) كلها لها (f '(x) = 0 ). هل هناك وظائف غير ثابتة ( f ) مع المشتق 0؟ لا ، وإليكم السبب: افترض أن (f (x) ) ليست دالة ثابتة. هذا يعني أن هناك نقطتين على الدالة ذات ارتفاعات مختلفة ، على سبيل المثال (f (a) not = f (b) ) تخبرنا نظرية القيمة المتوسطة أنه في مرحلة ما (c ) ، (f '(c) = (f (b) -f (a)) / (ba) not = 0 ) لذا فإن أي دالة غير ثابتة لا تحتوي على مشتق يساوي صفرًا في كل مكان ؛ وهذا يشبه القول بأن الوظائف الوحيدة التي بها مشتق صفري هي الدوال الثابتة.

لنعد إلى المثال الأقل سهولة: افترض أن (f '(x) = g' (x) = 5 ). ثم ((f (x) -g (x)) '= f' (x) -g '(x) = 5 -5 = 0 ). باستخدام ما اكتشفناه في الفقرة السابقة ، نعلم أن (f (x) -g (x) = k ) ، لبعض الثابت (k ). لذلك يجب أن تختلف أي دالتين لهما المشتق 5 بواسطة ثابت ؛ نظرًا لأنه من المعروف أن (5x ) يعمل ، يجب أن تبدو الأمثلة الأخرى فقط مثل (5x + k ).

يمكننا الآن توسيع هذا ليشمل وظائف أكثر تعقيدًا ، دون أي عمل إضافي. افترض أن (f '(x) = g' (x) ). ثم كما كان من قبل ((f (x) -g (x)) '= f' (x) -g '(x) = 0 ) ، لذلك (f (x) -g (x) = k ) . مرة أخرى ، يعني هذا أننا إذا وجدنا دالة واحدة فقط (g (x) ) بمشتق معين ، فيجب أن تكون كل دالة أخرى لها نفس المشتق على الشكل (g (x) + k ).

مثال ( PageIndex {1} )

صف جميع الوظائف التي لها مشتق (5x-3 ).

حل

من السهل العثور على واحد: (g (x) = (5/2) x ^ 2-3x ) has (g '(x) = 5x-3 ). وبالتالي ، فإن الوظائف الأخرى الوحيدة التي لها نفس المشتق هي من الشكل (f (x) = (5/2) x ^ 2-3x + k ).

بالتناوب ، وإن لم يكن واضحًا ، ربما تكون قد لاحظت أولاً أن (g (x) = (5/2) x ^ 2-3x + 47 ) لها (g '(x) = 5x-3 ). ثم يجب أن يكون لكل دالة أخرى لها نفس المشتق الشكل (f (x) = (5/2) x ^ 2-3x + 47 + k ). يبدو هذا مختلفًا ، لكنه في الحقيقة ليس كذلك. وظائف النموذج (f (x) = (5/2) x ^ 2-3x + k ) هي نفسها تمامًا مثل وظائف النموذج (f (x) = (5/2) x ^ 2-3x + 47 + ك ). على سبيل المثال ، ((5/2) x ^ 2-3x + 10 ) هو نفسه ((5/2) x ^ 2-3x + 47 + (- 37) ) ، والأول من النموذج الأول بينما الشكل الثاني يحتوي على الشكل الثاني.

هذا يستحق استدعاء نظرية:

نظرية

إذا كان (f '(x) = g' (x) ) لكل (x in (a، b) ) ، ثم لبعض الثوابت (k ) ، (f (x) = g ( x) + k ) على الفاصل ((a، b) ).

مثال ( PageIndex {2} )

صف جميع الوظائف بمشتق ( sin x + e ^ x ). إحدى هذه الوظائف هي (- cos x + e ^ x ) ، لذا فإن كل هذه الوظائف لها الشكل (- cos x + e ^ x + k ).


شاهد الفيديو: شروط نظرية رول ونتيجتها وتفسيرها الهندسي مع تمارين على النظرية (شهر اكتوبر 2021).