مقالات

6.3: سلسلة الحلول والتقارب - الرياضيات


في القسم الأخير ، رأينا كيفية إيجاد حلول متسلسلة للمعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية. في هذه المناقشة ، سنشتق طريقة بديلة لإيجاد حلول متسلسلة. سنتعلم أيضًا كيفية تحديد نصف قطر تقارب الحلول بمجرد إلقاء نظرة سريعة على المعادلة التفاضلية.

مثال ( PageIndex {1} )

ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

[y '' + y '+ ty = 0. nonumber ]

كما كان من قبل ، نسعى إلى حل متسلسل

[y = a_0 + a_1t + a_2t ^ 2 + a_3t ^ 3 + a_4t ^ 4 + ... ؛. لا يوجد رقم]

تنص نظرية سلسلة تايلور على ذلك

[ ن!؛ a_n = y ^ {(n)} (0). لا يوجد رقم ]

نحن لدينا

[y '= -y' -ty. لا يوجد رقم ]

توصيل 0 يعطي

[2! ، a_2 = y '(0) = -y' (0) + 0 = -a_1 nonumber ]

[a_2 = - dfrac {a_1} {2}. لا يوجد رقم]

الحصول على مشتق المعادلة التفاضلية يعطي

[(y '' + y '+ ty)' = y '' '+ y' '+ ty' + y = 0 nonumber ]

أو

[y '' '= -y' '- ty' - y. لا يوجد رقم]

التعويض بصفر يعطي

[3! ، a_3 = a_1 - a_0 nonumber ]

[a_3 = dfrac {a_1} {6} - dfrac {a_0} {6}. لا يوجد رقم]

أخذ مشتق آخر يعطي

[(y '' '+ y' '+ ty' + y) '= y ^ {(iv)} + y' '' + ty '' + 2y '= 0 nonumber ]

أو

[y ^ {(iv)} = -y '' '- ty' '- 2y'. لا يوجد رقم]

التعويض بصفر يعطي

[4! ، a_4 = -a_1 + a_0 - 2a_1 nonumber ]

[a_4 = - dfrac {49} {24} a_1 + dfrac {a_0} {24}. لا يوجد رقم]

الشيء المهم الذي يجب ملاحظته هنا هو أنه يمكن كتابة جميع المعاملات بدلالة المعاملين الأولين. للتوصل إلى نظرية بخصوص هذا ، نحتاج أولاً إلى تعريف.

التعريف: الوظيفة التحليلية

الوظيفة (f (x) ) تسمى تحليلي عند (x_0 ) إذا كان (f (x) ) يساوي سلسلة أسه.

اتضح أنه إذا كان (p (x) ) و (q (x) ) تحليليًا ، فهناك دائمًا حل سلسلة الطاقة للمعادلة التفاضلية المقابلة. نذكر هذه الحقيقة أدناه دون دليل. إذا كانت (x_0 ) نقطة مثل (p (x) ) و (p (x) ) تحليلي ، فإن (x_0 ) يسمى نقطة عادية من المعادلة التفاضلية.

نظرية

لنفترض أن (x_0 ) نقطة عادية في المعادلة التفاضلية

[L (y) = y '' + p (t) y '+ q (t) y = 0. ]

ثم يمكن تمثيل الحل العام بسلسلة الطاقة

[y = sum_ {n = 0} ^ infty a_n (x-x_0) ^ n = a_0 ، y_1 (x) + a_1 ، y_2 (x). ]

حيث (a_0 ) و (a_1 ) ثوابت تعسفية و (y_1 ) و (y_2 ) تحليليان في (x_0 ). إن أنصاف أقطار التقارب لـ (y_1 ) و (y_2 ) كبيرة على الأقل مثل الحد الأدنى لأنصاف أقطار التقارب لـ (p ) و (q ).

ملاحظة: أسهل طريقة لإيجاد أنصاف أقطار تقارب معظم الدوال لنا باستخدام الحقيقة التالية

إذا كانت (f (x) ) دالة تحليلية لكل (x ) ، فإن نصف قطر التقارب لـ (1 / f (x) ) هو المسافة من مركز التقارب إلى أقرب جذر ( من المحتمل أن يكون معقدًا) من (و (س) ).

مثال ( PageIndex {2} )

أوجد حدًا أدنى لنصف قطر تقارب حلول السلاسل حول (x = 1 ) للمعادلة التفاضلية

[(س ^ 2 + 4) ؛ y '+ text {sin} ؛ (x) y '+ e ^ xy = 0. nonumber ]

حل

نحن لدينا

[p (x) = dfrac { sin x} {x ^ 2 + 4} nonumber ]

[q (x) = dfrac {e ^ x} {x ^ 2 + 4}. لا يوجد رقم]

كلاهما حاصل قسمة وظائف تحليلية. جذور (x ^ 2 + 4 ) هي

[2i ؛ ؛ ؛ نص {and} ؛ ؛ ؛ -2 ط. لا يوجد رقم ]

المسافة من (1 ) إلى (2i ) هي نفس المسافة من ((1،0) ) إلى ((0،2) ) وهي ( sqrt {5} ). نحصل على نفس المسافة من (1 ) إلى (- 2 ط ). ومن ثم ، فإن أنصاف أقطار تقارب الحلول كلاهما على الأقل ( sqrt {5} ).


شاهد الفيديو: مراجعة شاملة في الرياضيات للفصل الثاني للاولى ثانوي (شهر اكتوبر 2021).