مقالات

4.1: مقدمة لنظم الممثلين المتميزين - الرياضيات


افترض أن الأندية الطلابية في الكلية ترسل ممثلاً للحكومة الطلابية من بين أعضاء النادي. لذا فإن السؤال الجوهري الأول هو: هل هناك أي شيء مفيد أو مثير للاهتمام يمكننا أن نقول عنه في ظل أي ظروف يمكن اختيار مثل هؤلاء الممثلين.

نحول هذا إلى موقف رياضي أكثر:

التعريف: نظام الممثلين المتميزين (SDR)

افترض أن (A_1، A_2، ldots، A_n ) هي مجموعات ، والتي نشير إليها على أنها وضع النظام. أ (مكتمل) نظام الممثلين المتميزين هي مجموعة ( {x_1 ، x_2 ، ldots x_n } ) مثل (x_i in A_i ) للجميع (i ) ، وليس اثنان من (x_i ) متماثلان. النظام (الجزئي) للممثلين المتميزين هو مجموعة من العناصر المميزة ( {x_1، x_2، ldots x_k } ) مثل (x_i in A_ {j_i} ) ، حيث (j_1، j_2، ldots، j_k ) هي أعداد صحيحة مميزة في ([n] ).

في الاستخدام القياسي ، يعني مصطلح "نظام الممثلين المتميزين" "النظام الكامل للممثلين المتميزين" ، ولكن سيكون من الملائم السماح لـ "نظام الممثلين المتميزين" بأن يعني إما نظامًا كاملاً أو جزئيًا لممثلين متميزين اعتمادًا على السياق. نحن عادةً ما تختصر "نظام الممثلين المميزين" كـ SDR.

سنحلل هذه المشكلة بطريقتين: دمجًا واستخدام نظرية الرسم البياني.


نظرية استحالة السهم

في نظرية الاختيار الاجتماعي ، نظرية استحالة السهم، ال نظرية الاحتمال العام أو مفارقة السهم هي نظرية استحالة تنص على أنه عندما يكون لدى الناخبين ثلاثة بدائل مميزة أو أكثر (خيارات) ، لا يمكن لنظام تصويت انتخابي مرتبة تحويل التفضيلات المرتبة من الأفراد في تصنيف على مستوى المجتمع (كامل ومتعدد) مع تلبية مجموعة محددة من المعايير: مجال غير مقيد, غير دكتاتورية, كفاءة باريتو، و استقلالية البدائل غير ذات الصلة. غالبًا ما يتم الاستشهاد بهذه النظرية في مناقشات نظرية التصويت حيث يتم تفسيرها بشكل أكبر بواسطة نظرية جيبارد-ساترثويت. تم تسمية النظرية على اسم الاقتصادي كينيث أرو الحائز على جائزة نوبل ، الذي أظهر النظرية في أطروحة الدكتوراه الخاصة به ونشرها في كتابه عام 1951 الاختيار الاجتماعي والقيم الفردية. كانت الورقة الأصلية بعنوان "صعوبة في مفهوم الرعاية الاجتماعية". [1]

باختصار ، تنص النظرية على أنه لا يمكن تصميم نظام انتخابي مرتب يلبي دائمًا معايير "الإنصاف" الثلاثة هذه:

  • إذا فضل كل ناخب البديل X على البديل Y ، فإن المجموعة تفضل X على Y.
  • إذا ظل تفضيل كل ناخب بين X و Y دون تغيير ، فإن تفضيل المجموعة بين X و Y سيظل أيضًا دون تغيير (حتى إذا تغيرت تفضيلات الناخبين بين الأزواج الأخرى مثل X و Z أو Y و Z أو Z و W).
  • لا يوجد "دكتاتور": لا يوجد ناخب واحد يمتلك القدرة على تحديد تفضيل المجموعة دائمًا.

لا تغطي النظرية أنظمة التصويت الكاردينال ، لأنها تنقل معلومات أكثر من ترتيب الترتيب. [2] [3] ومع ذلك ، تظهر نظرية جيبارد أن التصويت الاستراتيجي لا يزال يمثل مشكلة.

يمكن للنهج البديهي الذي تم اعتماده Arrow أن يتعامل مع جميع القواعد التي يمكن تصورها (والتي تستند إلى التفضيلات) ضمن إطار عمل واحد موحد. وبهذا المعنى ، يختلف النهج نوعياً عن النهج السابق في نظرية التصويت ، حيث تم فحص القواعد واحدة تلو الأخرى. لذلك يمكن للمرء أن يقول أن النموذج المعاصر لنظرية الاختيار الاجتماعي بدأ من هذه النظرية. [4]

النتائج العملية للنظرية قابلة للنقاش: قال أرو "معظم الأنظمة لن تعمل بشكل سيئ طوال الوقت. كل ما أثبتته هو أن الجميع يمكن أن يعمل بشكل سيء في بعض الأحيان." [5]


حل

يتم رسم النقاط الثلاث والأجزاء المرتبطة بها وتسميتها أدناه:

لحساب المسافة بين نقطتين ، $ A $ و $ B $ على سبيل المثال ، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس بشرط أن نتمكن من إيجاد مثلث قائم الزاوية يحتوي على $ overline$ كجانب واحد. خطوط الشبكة الرأسية والأفقية متعامدة مع بعضها البعض ، لذا يمكننا عمل زاوية قائمة باختيار قطعة خط شبكة رأسية وقطعة خط شبكة أفقية كأرجل المثلث. تم تصوير هذا أيضًا أعلاه حيث $ مثلث ADB $ هو مثلث قائم الزاوية بزاوية قائمة $ D $. يمكننا تطبيق نظرية فيثاغورس على $ triangle ADB $ للعثور على $ | AB | ^ 2 = | AD | ^ 2 + | BD | ^ 2. $ نعلم $ | AD | = 2 دولار أمريكي و دولار | دينار بحريني | = 6 دولارات عن طريق حساب المربعات على شبكة الإحداثيات. لذلك هذا يعني $ | AD | = sqrt <40> دولار وحدة. بتطبيق نفس الأسلوب على $ triangle AEC $ بالزاوية اليمنى $ E $ نجد $ | AC | = sqrt <25> = 5 دولارات أمريكية. باستخدام $ triangle CFB $ نجد أن $ | CB | = sqrt <45> دولار وحدة.

بالنظر إلى الجزء (ب) ، نحتاج إلى إيجاد المسافة الأفقية والعمودية المقطوعة للانتقال من $ (u، v) $ إلى $ (s، t) $. الانتقال من $ u $ إلى $ s $ يتطلب إزاحة أفقية لـ $ s-u $ من الوحدات بينما الانتقال من $ v $ إلى $ t $ هو إزاحة رأسية لوحدات $ t-v $. بتطبيق النمط في الجزء (ب) ، فإن المسافة من $ (u، v) $ إلى $ (s، t) $ هي $ sqrt <(s-u) ^ 2 + (t-v) ^ 2> $.

يمكننا التحقق من هذه الصيغة والنمط من خلال رسم صورة تمثيلية كما في الجزء (أ) ، على الرغم من أننا لم نقم بتسمية الأرقام على المحاور لأننا لا نعرف الإحداثيات الدقيقة للنقاط:


هناك العديد من الصور الأخرى المحتملة مثل $ (u، v) $ أو $ (s، t) $ يمكن أن تقع على أحد محاور الإحداثيات أو يمكن أن تكون في أرباع مختلفة. ومع ذلك ، فإن علاقة فيثاغورس تظل قائمة بغض النظر عن المكان الذي نترجم فيه الصورة.

لإيجاد المسافة من $ (u، v) $ إلى $ (s، t) $ ، يمكننا أن نجعل هاتين النقطتين رأسين من مستطيل ، بأضلاعه الأفقية والعمودية ، كما هو مرسوم أعلاه. تركنا $ A = (s، t) $ و $ B = (u، v) $ في الحسابات التالية. منذ الجانب $ overline$ عمودي ، هذا يعني أن $ x $ - المنسق لـ $ Q $ هو نفسه $ B = (u، v) $ ، أي $ u $. وبالمثل ، فإن المنسق $ y $ $ Q $ هو نفسه $ y $ - المنسق لـ $ A = (s، t) $ ، أي $ t $. إذن $ Q = (u، t) $. الساق $ overline$ له طول $ | t-v | $ بينما طول الساق $ QA $ $ | s-u | $. بتطبيق نظرية فيثاغورس نجد أن المسافة من $ (u، v) $ إلى $ (s، t) $ هي $ sqrt <| s-u | ^ 2 + | t-v | ^ 2> $. هذا هو نفس ما وجدناه أعلاه: مربع أي رقم غير سالب ، لذا $ | s-u | ^ 2 = (s-u) ^ 2 $ و $ | t-v | ^ 2 = (t-v) ^ 2 $.


دائم من ن-بواسطة-ن مصفوفة أ = (أاي جاي) يعرف ب

يمتد المجموع هنا على جميع العناصر σ للمجموعة المتماثلة سن أي على جميع التباديل للأرقام 1 ، 2 ،. ن.

تعريف الدائم أ يختلف عن محدد أ من حيث أن تواقيع التباديل لا تؤخذ في الاعتبار.

يُرمز إلى ثابت المصفوفة A لكل أ، بيرم أ، أو لكل أ، وأحيانًا مع وجود أقواس حول الوسيطة. يستخدم Minc لكل (أ) لدائم المصفوفات المستطيلة ، ولكل (أ) متي أ هي مصفوفة مربعة. [2] يستخدم موير وميتزلر الترميز | + | + <| >> quad <| >>>. [3]

الكلمة، دائم، نشأت مع كوشي في عام 1812 باسم "fonctions symétriques Permanentes" لنوع من الوظائف ذات الصلة ، [4] واستخدمها موير وميتزلر [5] بالمعنى الحديث الأكثر تحديدًا. [6]

إذا نظر المرء إلى الدائمة كخريطة تأخذ ن المتجهات كوسيطات ، إذن فهي خريطة متعددة الخطوط وهي متماثلة (بمعنى أن أي ترتيب للمتجهات ينتج عنه نفس دائم). علاوة على ذلك ، بالنظر إلى مصفوفة مربعة A = (a i j) حق)> من أجل ن: [7]

  • موج الشعر بإستمرار(أ) ثابت في ظل التباديل التعسفي لصفوف و / أو أعمدة أ. يمكن كتابة هذه الخاصية بشكل رمزي كـ perm (أ) = بيرم (PAQ) لأي مصفوفات تبديل ذات حجم مناسبص و س,
  • ضرب أي صف واحد أو عمود من أ بواسطة عدديس التغييرات بيرم (أ) ل س⋅ الحيوانات المنوية (أ),
  • موج الشعر بإستمرار(أ) ثابت تحت التحويل ، أي بيرم (أ) = بيرم (أ تي).

من ناحية أخرى ، فإن خاصية الضرب الأساسية للمحددات غير صالحة للأشياء الدائمة. [9] مثال بسيط يوضح أن الأمر كذلك.

صيغة مماثلة لصيغة لابلاس لتطوير المحدد على طول صف أو عمود أو قطري صالحة أيضًا لـ [10] الدائمة التي يجب تجاهلها لجميع العلامات الدائمة. على سبيل المثال ، التوسيع على طول العمود الأول ،

بينما يعطي التوسيع على طول الصف الأخير ،

على عكس المحدد ، فإن الثابت ليس له تفسير هندسي سهل ، فهو يستخدم بشكل أساسي في التركيبات ، وفي معالجة وظائف بوزون جرين في نظرية المجال الكمي ، وفي تحديد احتمالات الحالة لأنظمة أخذ عينات البوزون. [11] ومع ذلك ، فإنه يحتوي على تفسرين نظريين للرسم البياني: كمجموع أوزان أغلفة الدورة للرسم البياني الموجه ، وكمجموع أوزان المطابقات المثالية في رسم بياني ثنائي الأجزاء.

الموترات المتماثلة تحرير

أغطية دورة تحرير

إذا تم تحديد وزن غطاء دورة ليكون نتاج أوزان الأقواس في كل دورة ، إذن

مطابقة مثالية تحرير

وبالتالي فإن دائم أ يساوي مجموع أوزان جميع عمليات المطابقة الكاملة للرسم البياني.

تحرير التعداد

يمكن حساب إجابات العديد من أسئلة العد على أنها دائمة للمصفوفات التي تحتوي على 0 و 1 فقط كمدخلات.

دع Ω (ن,ك) أن تكون فئة كل (0 ، 1) - مصفوفات النظام ن مع مجموع كل صف وعمود يساوي ك. كل مصفوفة أ في هذا الفصل لديه بيرم (أ) & gt 0. [13] مصفوفات الوقوع للطائرات الإسقاطية موجودة في الفئة Ω (ن 2 + ن + 1, ن + 1) من أجل ن عدد صحيح & gt 1. تم حساب القيم الثابتة المقابلة لأصغر مستويات الإسقاط. ل ن = 2 و 3 و 4 القيم هي 24 و 3852 و 18534400 على التوالي. [13] اسمحوا ض تكون مصفوفة الوقوع للمستوى الإسقاطي مع ن = 2 طائرة فانو. بشكل ملحوظ ، بيرم (ض) = 24 = | ديت (ض) | ، القيمة المطلقة لمحدد ض. هذا هو نتيجة ل ض كونها مصفوفة دائرية والنظرية: [14]

إذا أ هي مصفوفة دائرية في الفصل Ω (ن,ك) ثم إذا ك & GT 3 ، بيرم (أ) & gt | det (أ) | و إذا ك = 3 ، بيرم (أ) = | det (أ) |. علاوة على ذلك ، متى ك = 3 ، عن طريق تبديل الصفوف والأعمدة ، أ يمكن وضعها في شكل مبلغ مباشر من ه نسخ المصفوفة ض وبالتالي ، ن = 7ه و بيرم (أ) = 24 هـ.

يمكن أيضًا استخدام الدوام لحساب عدد التباديل مع المواضع المقيدة (المحظورة). للمعيار ن- مجموعة <1 ، 2 ،. ن> ، دع A = (a i j) )> تكون المصفوفة (0 ، 1) حيث أاي جاي = 1 إذا أناي مسموح به في التقليب و أاي جاي = 0 خلاف ذلك. ثم بيرم (أ) يساوي عدد التباديل في ن- ضبط أن يفي بجميع القيود. [10] هناك حالتان خاصتان مشهورتان لهذا هما حل مشكلة التشويش ومشكلة Ménage: عدد التباديل في ن- مجموعة بدون نقاط ثابتة (انحرافات) تعطى بواسطة

أين ي هل ن×ن مصفوفة كل 1 و أنا هي مصفوفة الهوية ، ويتم إعطاء أرقام الوحدات بواسطة

أين أنا' هي مصفوفة (0 ، 1) بإدخالات غير صفرية في المواضع (أنا, أنا + 1) و (ن, 1).

تحرير الحدود

إن عدم المساواة بين برجمان ومينك ، التي حدسها H. Minc في عام 1963 [15] وأثبتها L.M Brégman في عام 1973 ، [16] يعطي حدًا أعلى للثبات الدائم ن × ن (0 ، 1) -مصفوفة. إذا أ لديها صأنا منها على التوالي أنا لكل 1 أنان، تنص اللامساواة على ذلك

في عام 1926 ، توقع فان دير فيردن أن الحد الأدنى دائم بين الجميع ن × ن المصفوفات العشوائية المضاعفة هي ن!/ن ن ، تم تحقيقه بواسطة المصفوفة التي تساوي جميع الإدخالات 1 /ن. [17] تم نشر البراهين على هذا التخمين في عام 1980 من قبل ب. جيريس [18] وفي عام 1981 من قبل جي بي إيجوريتشيف [19] ودي آي فاليكمان [20] إن إثبات إيغوريتشيف هو تطبيق لعدم المساواة بين أليكساندروف وفنتشل. [21] عن هذا العمل ، فاز إيجوريشيف وفاليكمان بجائزة فولكرسون عام 1982. [22]

يمكن إعادة كتابته من حيث إدخالات المصفوفة على النحو التالي:

يُعتقد أن حساب الثابت أصعب من حساب المحدد. بينما يمكن حساب المحدد في وقت كثير الحدود عن طريق إزالة Gaussian ، لا يمكن استخدام إزالة Gaussian لحساب الدائم. علاوة على ذلك ، فإن حساب مصفوفة (0،1) الدائم هو # P-complete. وبالتالي ، إذا كان من الممكن حساب الثابت في وقت كثير الحدود بأي طريقة ، إذن FP = #P، وهي عبارة أقوى من P = NP. عندما تكون إدخالات أ غير سالبة ، ومع ذلك ، يمكن حساب الدائم تقريبًا في وقت متعدد الحدود الاحتمالي ، حتى خطأ ε M < displaystyle varepsilon M> ، حيث M هي قيمة الدائم و ε & gt 0 < displaystyle varepsilon & gt0> تعسفي. [25] يمكن أيضًا تقريب الثابت لمجموعة معينة من المصفوفات شبه المحددة الموجبة في وقت متعدد الحدود الاحتمالي: أفضل خطأ يمكن تحقيقه في هذا التقريب هو ε M < displaystyle varepsilon < sqrt >> (M هي مرة أخرى قيمة الدائم). [26]

كتعميم ، لأي تسلسل ن الأعداد الصحيحة غير السالبة ، s 1 ، s 2 ، ... ، s n < displaystyle s_ <1> ، s_ <2> ، dots ، s_> تعريف:

نظرية ماكماهون الرئيسية فيما يتعلق بالمحددات الدائمة والمحددات هي: [28]

أين أنا هو الترتيب ن مصفوفة الهوية و X هي مصفوفة قطرية بقطر [x 1 ، x 2 ، ... ، x n]. ، x_ <2>، dots، x_].>

يمكن تعميم الوظيفة الدائمة لتطبيقها على المصفوفات غير المربعة. في الواقع ، يجعل العديد من المؤلفين هذا تعريفًا دائمًا ويعتبرون التقييد على المصفوفات المربعة حالة خاصة. [29] على وجه التحديد ، ل م × ن المصفوفة A = (a i j) )> مع من، حدد

حيث P (ن,م) هي مجموعة الكل م- شروط ن- مجموعة <1،2. ن>. [30]

نظم الممثلين المتميزين تحرير

يسمح تعميم تعريف المصفوفات الدائمة إلى غير المربعة باستخدام المفهوم بطريقة أكثر طبيعية في بعض التطبيقات. على سبيل المثال:

يترك س1, س2, . سم تكون مجموعات فرعية (ليست بالضرورة مميزة) من ن-مرصع من. مصفوفة الوقوع لهذه المجموعة من المجموعات الفرعية هي م × ن (0،1) - مصفوفة أ. عدد أنظمة الممثلين المتميزين (SDR's) لهذه المجموعة هو بيرم (أ). [31]


4. النظم التخطيطية في الهندسة

استخدم علماء الرياضيات الرسوم البيانية ولا يزالون يستخدمونها على نطاق واسع. إن توصيل المفاهيم والبراهين الرياضية والكتب المدرسية على السبورات و mdashis ليس حساسًا بشكل موحد. الأرقام والصور شائعة. تماشياً مع المفهوم السائد للمنطق باعتباره منطقياً بشكل أساسي ، ومع ذلك ، لا يُعتقد عادةً أنها تلعب دورًا في التفكير الرياضي الصارم. ويقتصر استخدامها على تعزيز فهم الدليل. لا يُعتقد بشكل قياسي أنها تشكل أي جزء من الإثبات نفسه.

يتضح الموقف جيدًا من خلال التقييم القياسي لمنهجية إقليدس ورسكووس في عناصر. لا توجد رسوم بيانية أكثر بروزًا في أي موضوع رياضي مما كانت عليه في الهندسة الأولية التي يطورها إقليدس في النص. يبدو أن براهين الموضوع تتعلق إلى حد ما بمخططات المثلثات والدوائر التي تظهر معها. هذا هو الحال بشكل خاص مع البراهين الهندسية لـ عناصر. الرسوم التخطيطية لإقليدس ليست توضيحية فقط. تعتمد بعض خطوات الاستدلال الخاصة به على مخطط تم إنشاؤه بشكل مناسب. في القصة القياسية ، تشير هذه الخطوات إلى وجود ثغرات في براهين إقليدس ورسكووس. لقد أظهروا كيف لم ينفذ إقليدس بالكامل مشروع تطوير الهندسة بشكل بديهي.

شرع كين ماندرز في تفجير هذه القصة بعمله الأساسي ldquo The Euclidean diagram & rdquo (2008 [1995]). يكشف تحليله لطريقة إثبات الرسم التخطيطي لإقليدس ورسكووس أن إقليدس يستخدم المخططات بطريقة منظمة ومنضبطة. ومن ثم فإنه يدعو إلى التساؤل عن التقييم السلبي المشترك لصرامة عناصر. علاوة على ذلك ، تشير تفاصيل تحليل Manders & rsquo إلى أنه يمكن فهم براهين النص على أنها تلتزم بمنطق رسم بياني رسمي. تم تأكيد ذلك لاحقًا من خلال تطوير أنظمة رسم بياني رسمية مصممة لتوصيف مثل هذا المنطق. كان أول هؤلاء FG (تم تقديمه في Miller 2007) ، متبوعًا بالنظام الاتحاد الأوروبي (موما 2010).

هذا القسم مخصص لشرح تحليل Manders & [رسقوو] والأنظمة الرسمية التي نشأت عنه. بعد مسح موجز لكيفية عرض مخططات إقليدس ورسكووس عبر القرون ، تم تقديم صورة Manders & rsquo لدورها في البراهين الهندسية. وصف كيفية عمل الأنظمة FG و الاتحاد الأوروبي قم بتصوير هذه الصورة بشكل رسمي ثم قم بتمييز منطق المخططات الإقليدية.

4.1 مناظر على مخططات إقليدس ورسكووس من القرن الرابع قبل الميلاد إلى القرن العشرين الميلادي

الهندسة الأولية لـ عناصر تم اعتبارها أساسًا للرياضيات منذ إنشائها في اليونان القديمة حتى القرن التاسع عشر. وبناءً عليه ، وجد الفلاسفة المهتمون بطبيعة الرياضيات أنفسهم مضطرين للتعليق على البراهين التخطيطية للنص. كانت القضية المركزية ، إن لم تكن القضية المركزية ، هي مشكلة عمومية. يوفر الرسم البياني الذي يظهر مع برهان إقليدي ملف أعزب إنشاء مثيل لنوع التكوينات الهندسية التي يدور الدليل حولها. ومع ذلك ، يتم الاحتفاظ بالخصائص التي يتم الاحتفاظ بها في الرسم التخطيطي الكل تكوينات من النوع المحدد. ما الذي يبرر هذه القفزة من الخاص إلى العام؟

كتوضيح ، ضع في اعتبارك إثبات الاقتراح 16 من الكتاب الأول من عناصر.

  • لنفترض أن ABC مثلثًا ، ونترك جانبًا واحدًا منه BC يتم إنتاجه إلى D
  • أقول إن الزاوية ACD أكبر من الزاوية الداخلية والزاوية المقابلة BAC.
  • دع التيار المتردد ينقسم في E [I ، 10] ، ودع BE يتم ضمها وإنتاجها في خط مستقيم إلى F.
  • دع EF تساوي BE [I، 3] ، ودع FC تنضم.
  • بعد ذلك ، نظرًا لأن AE يساوي EC ، و BE يساوي EF ، فإن الجانبين AE و EB يساويان الجانبين CE و EF على التوالي والزاوية AEB تساوي الزاوية FEC [I، 15].
  • لذلك فإن القاعدة AB تساوي القاعدة FC ، والمثلث ABE يساوي المثلث CFE [I، 4] وبالتالي فإن الزاوية BAE تساوي الزاوية ECF (وهي أيضًا الزاوية ACF)
  • لكن الزاوية ACD أكبر من الزاوية ACF
  • لذلك فإن الزاوية ACD أكبر من BAE.

يبدو أن الدليل يشير إلى أجزاء الرسم البياني المقدمة مع الإثبات. ومع ذلك ، لا يُقصد بالدليل إنشاء شيء ما حول المثلث في الرسم التخطيطي فقط ، بل يهدف إلى إنشاء شيء حول كل المثلثات. وبالتالي ، فإن الرسم البياني يمثل ، بطريقة ما ، كل المثلثات.

دور الرسوم البيانية كتمثيلات لاحظه أرسطو في الكتاب أ ، الفصل 10 من التحليلات اللاحقة:

لا يستند المقياس الجغرافي إلى أي استنتاج على الخط المعين الذي رسمه وهو ما وصفه ، ولكنه [يشير إلى] ما توضحه الأرقام. (الترجمة بواسطة T. Heath ، وجدت في إقليدس 1956: المجلد الأول ، ص 119)

لا يواجه أرسطو في المقطع مسألة كيفية استخدام المقياس الجغرافي للرسوم البيانية للتفكير فيما توضحه. بعد بضعة قرون ، قام Proclus في تعليقه على عناصر. يؤكد Proclus أن الانتقال من حالة معينة إلى نتيجة عالمية له ما يبرره بسبب المقاييس الجغرافية

& hellip استخدم الكائنات الموضحة في الرسم التخطيطي ليس مثل هذه الأشكال المحددة ، ولكن كأشكال تشبه أخرى من نفس النوع. ليس من حيث الحجم والزاوية التي أمامي أن تنقسم ، ولكن لكونها مستقيمة ولا شيء أكثر & hellip افترض أن الزاوية المعطاة هي زاوية قائمة و hellip إذا لم أستفيد من صوابها وأخذت في الاعتبار فقط طابعها المستقيم ، الاقتراح سيتم تطبيقه بالتساوي على جميع الزوايا ذات الجوانب المستقيمة. (تعليق على الكتاب الأول لعناصر إقليدس ورسكووس، مورو 1970: 207))

ظل مكان المخططات في الهندسة مشكلة في أوائل العصر الحديث. تقدمت الشخصيات الفلسفية الرئيسية في القرنين السابع عشر والثامن عشر مواقف بشأنها. يؤكد لايبنيز توقعًا لوجهة النظر الحديثة السائدة:

& hellipit ليست الأشكال التي تزود البرهان بالمقاييس الهندسية ، على الرغم من أن أسلوب العرض قد يجعلك تعتقد ذلك. قوة العرض مستقلة عن الشكل المرسوم ، والذي يتم رسمه فقط لتسهيل معرفة معنانا ، ولإصلاح الانتباه ، فإن الافتراضات العامة ، أي التعريفات والبديهيات والنظريات الموضحة بالفعل ، هي التي تجعل المنطق ، والذي من شأنه أن يحافظ عليه على الرغم من عدم وجود الرقم. (1704 مقالات جديدة: 403)

في مقدمة كتابه مبادئ المعرفة البشرية (1710 ، القسم 16) ، يكرر بيركلي بعد 13 قرنا من ذلك أن Proclus و rsquos يتعاملون مع مشكلة العمومية. على الرغم من أن المرء دائمًا ما يكون لديه مثلث معين & lsquoin view & [رسقوو] عند العمل من خلال عرض توضيحي حول المثلثات ، هناك & lsquonot أقل ذكر & [رسقوو] للتفاصيل الخاصة بالمثلث المعين في العرض التوضيحي. وهكذا ، فإن العرض يثبت ، وفقًا لبيركلي ، الافتراض العام حول المثلثات.

يمكن العثور على الحساب الأكثر تطورًا ، والأكثر تعقيدًا وصعوبة ، للمخططات الهندسية في الفترة الحديثة في كانط. رأى كانط شيئًا ذا أهمية معرفية عميقة في استخدام مقياس الهندسة و rsquos لمخطط معين للتفكير حول مفهوم هندسي. في التفكير بهذه الطريقة ، مقياس الأرض

يعتبر المفهوم في الخرسانة، على الرغم من أنه غير تجريبي ، ولكن بالأحرى كما عرضته فقط بداهة، أي ، مبني ، والذي يجب أن يكون فيه ما يتبع الشروط العامة للبناء أيضًا بشكل عام من موضوع المفهوم المشيد. (1781 ، نقد العقل الخالص، A716 / B744.)

للحصول على وجهات نظر متناقضة حول ما تكشفه مثل هذه المقاطع حول مكان ملاءمة المخططات في فلسفة الهندسة Kant & rsquos ، انظر Shabel 2003 و Friedman 2012.

في القرن التاسع عشر مرت الهندسة والرياضيات ككل بثورة. المفاهيم أكثر تجريدية وعمومية بكثير من تلك الموجودة في عناصر (على سبيل المثال ، الأشكال الهندسية غير الإقليدية والمجموعات) ظهرت. لم تفقد الأسئلة المتعلقة بطبيعة طريقة Euclid & rsquos التخطيطية إلحاحها فحسب ، بل أصبحت هذه الطريقة تُفهم على أنها معيبة من الناحية الرياضية. وجد الرأي الأخير تعبيره الأكثر دقة في العمل الرائد لموريتز باش ، الذي قدم أول البديهية الحديثة للهندسة الأولية في باش (1882). في ذلك ، أظهر Pasch كيف يمكن تطوير الموضوع دون الرجوع إلى الرسوم البيانية أو حتى إلى الرسوم البيانية للمفاهيم الهندسية. يتم التعبير عن المعيار المنهجي الذي يوجه العمل بشكل جيد في المقطع التالي الذي غالبًا ما يتم اقتباسه:

في الواقع ، إذا كانت الهندسة استنتاجية حقًا ، فيجب أن تكون عملية الاستنتاج مستقلة من جميع النواحي عن اشارة للمفاهيم الهندسية ، تمامًا كما يجب أن تكون مستقلة عن الأشكال فقط علاقات المنصوص عليها بين المفاهيم الهندسية المستخدمة في المقترحات (على التوالي التعاريف) المعنية يجب أن تؤخذ في الاعتبار. (تأكيد Pasch 1882: 98 في الأصل. الترجمة هنا مأخوذة من Schlimm 2010)

منذ ذلك الحين ، رسخ هذا المعيار نفسه في كل من الرياضيات والمناقشات الفلسفية للرياضيات. إن ترسيخه في الأخير هو ما يعارضه ماندرز في Manders 2008 [1995]. في الحساب الذي طوره للهندسة القديمة ، لا تشير ضرورة استشارة رسم تخطيطي في برهان إلى وجود فجوة استنتاجية. بدلاً من ذلك ، يشكل الرسم التخطيطي والنص معًا إثباتًا رياضيًا صارمًا واستنتاجيًا.

4.2 Manders & [رسقوو] التمييز الدقيق / المشترك ومشكلة العمومية

4.2.1 التمييز الدقيق / المشترك

لشرح تقسيم العمل بين النص والرسم البياني في الهندسة القديمة ، يميز Manders بين بالضبط و شارك بالضبط خصائص المخططات الهندسية في Manders 2008 [1995]. أساس التمييز هو مفهوم الاختلاف. ال شارك بالضبط الشروط التي تتحقق من خلال الرسم البياني هي تلك الشروط التي لا تتأثر بنطاق معين من كل تغيير مستمر في مخطط محدد. & [رسقوو] بالضبط على النقيض من ذلك ، تتأثر الشروط بمجرد أن يخضع الرسم البياني لأصغر اختلاف. تقريبًا ، تشتمل الخصائص الدقيقة للمخطط و rsquos على الطرق التي تحدد بها أجزائها مجموعة محدودة من المناطق المستوية ، وعلاقات الاحتواء بين هذه المناطق. العلاقة الدقيقة البارزة هي المساواة بين مقدارين داخل الرسم التخطيطي. على سبيل المثال ، مطلوب فقط تغيير طفيف في موضع CF في الرسم التخطيطي للمقترح 16 لجعل الزوايا BAE و ECF غير متساويتين.

الملاحظة الرئيسية Manders & rsquo هي أن مخططات إقليدس و rsquos تساهم في البراهين فقط من خلال خصائصهم الدقيقة المشتركة. لا يستنتج إقليدس أبدًا خاصية دقيقة من الرسم التخطيطي إلا إذا كان يتبع مباشرةً خاصية مطابقة. يتم افتراض العلاقات بين المقادير التي لم يتم عرضها كاحتواء منذ البداية أو يتم إثباتها عبر سلسلة من الاستدلالات في النص. يمكن تأكيد ذلك بسهولة من خلال إثبات الافتراض 16. الاستنتاج الوحيد الذي يعتمد على الرسم التخطيطي هو الاستنتاج الثاني من الإثبات. الاستنتاج ، على وجه التحديد ، هو أن الزاوية ACD أكبر من الزاوية ACF. هذا ، بشكل حاسم ، يعتمد على الرؤية من الرسم البياني لتلك الزاوية ACD يحتوي على زاوية ACF. هناك العديد من العلاقات الأخرى التي تم التأكيد عليها لإثباتها. على الرغم من أن المخطط يقوم بإنشاء مثيل لها ، إلا أنها مبررة بشكل صريح في النص. ومع هذه العلاقات ، فإن المترابطات هي مقادير منفصلة مكانيًا.

ليس من الصعب أن نفترض سبب تقييد إقليدس لنفسه بهذه الطريقة. يبدو أن الرسوم البيانية قادرة على العمل بفعالية كرموز للإثبات فقط من حيث قدرتها على تمثيل خصائص وعلاقات دقيقة مشتركة. الخصائص الدقيقة للرسوم البيانية محسّنة للغاية بحيث لا يمكن استنساخها بسهولة ولتدعم الأحكام المحددة. كما يضعها ماندرز

تمتلك الممارسة موارد للحد من مخاطر الاختلاف على الإسناد (الصريح) المتزامن من الرسم التخطيطي ، لكنها تفتقر إلى مثل هذه الموارد للإسناد الدقيق ، وبالتالي لا يمكنها السماح بها دون أن تتحلل في حالة من الفوضى في الأحكام المتضاربة بشكل لا يمكن حله. (ماندرز 2008 [1995]: 91 & ndash92)

تؤدي رؤى Manders & rsquo بشكل طبيعي إلى فكرة أن حجج إقليدس ورسكووس يمكن صياغتها بطريقة مشابهة للطريقة التي تم بها إضفاء الطابع الرسمي على مخططات فين في شين 1994. المعلومات الدقيقة التي تحملها مخططات إقليدس ورسكووس منفصلة. عندما يتم الرجوع إلى رسم تخطيطي لهذه المعلومات ، فإن ما يهم بشأنها هو كيف تقسم خطوطها ودوائرها منطقة مستوية محدودة إلى مجموعة محدودة من المناطق الفرعية. هذا يفتح الباب أمام تصور مخططات إقليدس ورسكووس كجزء من بناء الجملة من طريقة إثبات إقليدس ورسكووس.

4.2.2 مشكلة العمومية في إنشاءات إقليدس ورسكووس

إن تحقيق هذا المفهوم في نظام رسمي للإثبات يرقى ، كما في شين 1994 ، إلى تحديد بناء الجملة ودلالات المخططات. على الجانب النحوي ، هذا يعني تحديد مخططات إقليدس ورسكووس ككائنات رسمية بدقة ، وإعطاء القواعد التي بموجبها تكون المخططات شكل كائن رسمي في اشتقاقات مقترحات إقليدس ورسكوس. على الجانب الدلالي ، يعني هذا تحديد كيفية تفسير التعبيرات القابلة للاشتقاق هندسيًا ، أو بعبارة أخرى كيف يتم فهمها بالضبط على أنها تمثل افتراضات إقليدس ورسكوس.

يختلف الموقف الدلالي مع مخططات إقليدس ورسكووس عن ذلك مع Venn & rsquos. تُستخدم مخططات فين لإثبات ذلك منطقي النتائج. الاستنتاجات التي تم إجراؤها معهم هي موضوع محايد. من ناحية أخرى ، تُستخدم مخططات إقليدس ورسكووس لإثبات ذلك هندسي النتائج. الاستنتاجات التي تم إجراؤها معهم هي موضوع محدد. على وجه الخصوص ، على الرغم من أن كائنات الهندسة الإقليدية المستوية مجردة (على سبيل المثال ، الخطوط الهندسية بلا عرض) ، إلا أنها لا تزال مكانية. وبالتالي ، فإن القضايا المحيطة بمساحة المخططات والنطاق التمثيلي لا تنشأ مع مخططات إقليدس ورسكووس كما يحدث ، على سبيل المثال ، مع مخططات أويلر. في حالة الهندسة ، في الواقع ، تهم مكانية المخططات في صالحهم. القيود المكانية على ما هو ممكن مع التكوينات الهندسية تعمل أيضًا مع المخططات الإقليدية المكانية.

ومع ذلك ، كما هو معترف به في التعليق الفلسفي على هندسة إقليدس ورسكووس من العصور القديمة فصاعدًا ، هناك قضايا تتعلق بالمخططات الإقليدية ذات النطاق التمثيلي للتعامل معها. ما هو مبرر معاملة خصائص مخطط هندسي واحد كممثلة لجميع التكوينات في نطاق البرهان؟ كيف يمكن أن يثبت مخطط واحد نتيجة عامة؟ يوفر التمييز الدقيق / الدقيق المشترك الأساس لإجابة جزئية. يمكن مشاركة الخصائص الدقيقة المشتركة للرسم التخطيطي من خلال جميع التكوينات الهندسية في نطاق البرهان ، وبالتالي في مثل هذه الحالات يكون المرء مبررًا لقراءة الخصائص الدقيقة المشتركة من الرسم التخطيطي. في إثبات حول المثلثات على سبيل المثال ، يكون التباين بين التكوينات في نطاق الإثبات هو تباين الخصائص الدقيقة و mdashe.g. ، قياس المثلثات وزواياها ، النسب بين أضلاعها. تشترك جميعها في نفس الخصائص الدقيقة و mdashi ، أي أنها تتكون جميعًا من ثلاث مناطق خطية محدودة تحدد معًا منطقة.

هذه ليست إجابة كاملة لأن إثباتات إقليدس ورسكووس عادةً ما تتضمن إنشاءات على نوع تكوين أولي. مع إثبات الاقتراح 16 ، على سبيل المثال ، يتم تحديد بناء على مثلث به جانب واحد ممتد. في مثل هذه الحالات ، قد يمثل الرسم التخطيطي بشكل كافٍ الخصائص الدقيقة المشتركة للتكوين الأولي. ولكن لا يمكن افتراض أن نتيجة تطبيق إنشاء إثبات & rsquos على الرسم التخطيطي تمثل الخصائص الدقيقة المشتركة لجميع التكوينات الناتجة عن البناء. لا يحتاج المرء إلى التفكير في المواقف الهندسية المعقدة لرؤية ذلك. افترض على سبيل المثال أن نوع التكوين الأولي للإثبات هو مثلث. ثم الرسم التخطيطي

يعمل على تمثيل الخصائص الدقيقة المشتركة لهذا النوع. افترض كذلك أن الخطوة الأولى لبناء الإثبات و rsquos هي إسقاط العمود العمودي من رأس المثلث إلى الخط الذي يحتوي على الجانب المقابل للرأس. ثم نتيجة تنفيذ هذه الخطوة على الرسم التخطيطي

لم يعد يمثل. إن كون العمود العمودي يقع داخل المثلث في الرسم التخطيطي هو سمة مماثلة له. لكن هناك مثلثات ذات خصائص دقيقة مختلفة عن المخطط الأولي حيث يؤدي تطبيق خطوة البناء إلى وجود عمودي خارج المثلث. على سبيل المثال ، مع المثلث

نتيجة تطبيق خطوة البناء هي

4.3 النظم الرسمية FG و Eu

وهكذا ، يمكن أن يؤدي تنفيذ بناء إقليدي على مخطط تمثيلي إلى رسم تخطيطي غير تمثيلي. تتمثل المهمة المركزية لإضفاء الطابع الرسمي على البراهين التخطيطية لإقليدس ورسكووس في حساب هذا & mdashi.e. ، وتوفير قواعدها طريقة لتمييز الميزات العامة المشتركة عن السمات غير العامة في التمثيلات التخطيطية للإنشاءات. الأنظمة FG و الاتحاد الأوروبي اتبع نهجين مختلفين لهذه المهمة.

توظيف طريقة FG، يجب على المرء أن ينتج مع رسم تخطيطي كل الحالة التي يمكن أن تنتج عن البناء. ومن ثم فإن العلاقة الدقيقة المشتركة للبناء هي تلك التي تظهر في كل حالة. FG& rsquos أن يكون إنتاج كل حالة ، بالطبع ، ذا فائدة قليلة إذا لم يوفر أيضًا طريقة لإنتاجها جميعًا. طريقة FG يعتمد على حقيقة أن الخطوط والدوائر في مخططات النظام و rsquos محددة بمصطلحات طوبولوجية بحتة. تجعل مرونتها الناتجة من الممكن صياغة وتنفيذ طريقة عامة لتوليد الحالات في برنامج كمبيوتر. [9]

خطوط ودوائر الاتحاد الأوروبي الرسوم البيانية ليست مرنة بالمثل. وفقًا لذلك ، لا يمكن حل مشكلة العمومية من خلال تحليل الحالة FG يفعل. الفكرة المركزية لنهجها هي السماح للمخططات بحمل معلومات جزئية من البداية. داخل الاتحاد الأوروبي الاشتقاق ، يحتوي الرسم البياني الناتج عن بناء الإثبات و rsquos على محتوى أولي يتكون في جميع العلاقات النوعية لمخطط الإثبات و rsquos الأولي. لا يمكن قراءة العلاقات النوعية المتعلقة بالأشياء المضافة بواسطة البناء من الرسم التخطيطي على الفور. يجب اشتقاق تلك التي يمكن قراءتها من المخطط بواسطة قواعد النظام & rsquos. [10]

الاختلافات بين FG و الاتحاد الأوروبي approaches to formalizing Euclid&rsquos constructions can be understood as representing different general conceptions of the role of diagrams in mathematics. FG embodies a conception where diagrams concretely realize a range of mathematical possibilities. They support mathematical inference by furnishing direct access to these possibilities. Eu in contrast embodies a conception where diagrams serve to represent in a single symbol the various components of a complex mathematical situation. They support mathematical inference by allowing the mathematical reasoner to consider all these components in one place, and to focus on those components relevant to a proof.


Orthogonality

Stephen Andrilli , David Hecker , in Elementary Linear Algebra (Fifth Edition) , 2016

Orthogonal and Orthonormal Bases

Theorem 6.1 assures us that any orthogonal set of nonzero vectors in R n is linearly independent, so any such set forms a basis for some subspace of R n .

A basis B for a subspace W of R n is an orthogonal basis for W if and only if B is an orthogonal set. Similarly, a basis B for W is an orthonormal basis for W if and only if B is an orthonormal set.

The following corollary follows immediately from Theorem 6.1 :

Corollary 6.2

إذا B is an orthogonal set of ن nonzero vectors in R n , then B is an orthogonal basis for R n . Similarly, if B is an orthonormal set of ن vectors in R n , then B is an orthonormal basis for R n .

Consider the following subset of R 3 : <[1,0,−1],[−1,4,−1],[2,1,2]>. Because every pair of distinct vectors in this set is orthogonal (verify!), this is an orthogonal set. By Corollary 6.2 , this is also an orthogonal basis for R 3 . Normalizing each vector, we obtain the following orthonormal basis for R 3 :

One of the advantages of using an orthogonal or orthonormal basis is that it is easy to coordinatize vectors with respect to that basis.

إذا B = (v1,v2,…,vk) is a nonempty ordered orthogonal basis for a subspace W of R n , and if v is any vector in W , then

Consider the ordered orthogonal basis B = (v1,v2,v3) for R 3 from Example 2 , where v1 = [1,0,−1],v2 = [−1,4,−1], and v3 = [2,1,2]. يترك v = [−1,5,3]. We will use Theorem 6.3 to find [v]B.

Now, vv1 = −4,vv2 = 18, and vv3 = 9. Also, v1v1 = 2,v2v2 = 18, and v3v3 = 9. Hence,


Finite Dimensional Vector Spaces

Stephen Andrilli , David Hecker , in Elementary Linear Algebra (Fourth Edition) , 2010

Summary of Results

This section includes several different, but equivalent, descriptions of linearly independent and linearly dependent sets of vectors. Several additional characterizations are described in the exercises. The most important results from both the section and the exercises are summarized in Table 4.1 .

Table 4.1 . Equivalent conditions for a subset س of a vector space to be linearly independent or linearly dependent

Linear Independence of سLinear Dependence of سSource
إذا س = <v1,…, vن> and أ1v1 + … + أنvن = 0، ومن بعد أ1 = أ2 = … = أن = 0. (The zero vector requires zero coefficients.)إذا س = <v1,…, vن>, then أ1v1 + … + أنvن = 0 for some scalars أ1, أ2,…, أن, with some أأنا ≠ 0. (The zero vector does not require all coefficients to be zero.)Definition
لا vector in س is a finite linear combination of other vectors in س.Some vector in S is a finite linear combination of other vectors in س. Theorem 4.8 and Remarks after Example 14
لكل vس, we have v ∉ span(س −<v>).هناك vس such that v ∈ span(س − <v>).Alternate characterization
لكل vس, span(س − <v>) does not contain all the vectors of span(س).There is some vس such that span(س − <v>) = span(س). Exercise 12
إذا س = <v1,…, vن>, then for each k vk ∉ span(<v1,…, vk − 1>). (Each vk is not a linear combination of the previous vectors in س.)إذا س = <v1,…, vن>, some vk can be expressed as vk = أ1v1 + … + أk − 1vk − 1. (Some vk is a linear combination of the previous vectors in س.) Exercise 22
Every vector in span(س) can be uniquely expressed as a linear combination of the vectors in س.Some vector in span(س) can be expressed in more than one way as a linear combination of the vectors in س. Theorem 4.9 and Theorem 4.10
Every finite subset of س is linearly independent.Some finite subset of س is linearly dependent.Definition when س is infinite

New Vocabulary

linearly dependent (set of vectors)

linearly independent (set of vectors)

Highlights

A set of vectors is linearly dependent if there is a nontrivial linear combination of the vectors that equals 0.

A set of vectors is linearly independent if the only linear combination of the vectors that equals 0 is the trivial linear combination (i.e., all coefficients = 0).

A single element set <v> is linearly independent if and only if v0.

A two-element set <v1, v2> is linearly independent if and only if neither vector is a scalar multiple of the other.

The vectors <ه1,…, هن> are linearly independent in ℝ n , and the vectors <1,x,x2,…, xن> are linearly independent in P n .

Any set containing the zero vector is linearly dependent.

The Independence Test Method determines whether a finite set is linearly independent by calculating the reduced row echelon form of the matrix whose columns are the given vectors.

If a subset of ℝ n contains more than ن vectors, then the subset is linearly dependent.

A set of vectors is linearly dependent if some vector can be expressed as a linear combination of the others (i.e., is in the span of the other vectors). (Such a vector is said to be redundant.)

A set of vectors is linearly independent if no vector can be expressed as a linear combination of the others (i.e., is in the span of the other vectors).

A set of vectors is linearly independent if no vector can be expressed as a linear combination of those listed before it in the set.

A set of fundamental eigenvectors produced by the Diagonalization Method is linearly independent (this will be justified in Section 5.6 ).

An infinite set of vectors is linearly dependent if some finite subset is linearly dependent.

An infinite set of vectors is linearly independent if every finite subset is linearly independent.

A set س of vectors is linearly independent if and only if every vector in span(س) is produced by a unique linear combination of the vectors in س.


3. Alphabetic numerical notation

As soon as the order of letters in an alphabet became fixed, this opened a way to use the letters as numeric signs. Notwithstanding the fact that alphabets first emerged among Semitic peoples, first of all Phoenicians, it seems quite reasonable to suggest the Greeks being the inventors of alphabetic numeric notation ca. the sixth century BC (Chrisomalis 2010: 134). This system known as the Ionic or Milesian notation followed the Attic or Herodianic notation described in the previous section. The Greeks used three archaic letters to supplement their 24-letter alphabet expanding its capacity to denote unities, tens, and hundreds fully. Alphabetic numeric notation was borrowed by the Copts together with the alphabet, and also later by some other people, namely, Slavs, Armenians, Goths, etc.

In ancient Greek manuscripts the letters denoting numerals were distinguished from that for words by an overline, while modern practice is to add an acute-like sign on top-right of the numeral letter sequence. The archaic letters supplementing the Greek alphabet are: stigma (ϛ) or digamma (ϝ) for ‘6’, koppa (ϟ or ϙ) for ‘90’, and sampi (ϡ) for ‘900’, see Table 2.1. Thousands are marked by symbols for unities 1–9 preceded by a small stroke placed mostly to the bottom-left. Myriads (10,000s) are marked in a number of ways, in particular by the capital ‘M’ with the number of myriads placed above or before it (see Tables 2.1, 2.2). Another approach was to place a trema (dieresis or umlaut) above the letter for unities (Heath 2003: 18), e.g.

The numerals were written left to right, with letters for lower digits following that for higher ones, thus σμπ for 248 = 200 + 40 + 8.

Special symbols were used for fractions 1/2, 2/3, and 3/4 (see Table 2.5), while other unit fractions were written with a stroke on the top-left of the symbol corresponding to the denominator. This approach is however not a unique one and other ways to write fractions are also known (Heath 2003: 20–24).

Table 2.1: Alphabetic numerical notation

Note: Arabic alphabetic numerals are given for the western (Maghreb) system, with the eastern one in parentheses.

Table 2.2: Notation of large numerals in some alphabetic systems.

Asterisks denote suggested notation not confirmed in the available sources

The letters of the Coptic alphabet, being a descendant of Greek, were used to write numerals in a similar fashion. Some deviation can be observed in notation of thousands and myriads (Mallon 1907: 76–77), see Table 2.2: symbols correspond to 100 × 1,000 = 100,000, while denote 1,000 × 1,000 = 1,000,000, with another order is marked by an additional overline: for 10,000,000. It should be noted that, as it was usually for alphabetic systems of numerical notation, large numerals did not have a firmly established representation standard, and for instance Chrisomalis (2010: 136–137 and 148) cites only numerals up to 9,000 written just in the Greek fashion. The Coptic alphabetic numerals were mostly used from the fourth to the tenth centuries AD, but they still remain as a notation system within the Coptic Church.

Ethiopic number shapes are also of Greek origin, see Table 2.1. In this system, however, all the signs after ρ (100) are abandoned and larger numbers are formed by a multiplicative approach, with the number of hundreds placed before the sign ፻ for ‘100’. The next new sign was ፼, a ligature of two ፻, denoting 100 × 100 = 10,000. Occasionally, the symbol ሺ shi is used for ‘thousand’, but rather with western numerals, not with the Ethiopic ones. Large numerals can be obtained by the multiplicative principle (http://www.geez.org/Numerals/), see Table 2.2.

Two types of numerological notation are also associated with the Ethiopic script (http://www.geez.org/Numerals/Numerology.html). One was almost directly copied from Hebrew Gematria, see Table 2.3. Note that values from 500 to 900 did not have a unique sign in the Hebrew system. The sign for 900 in the Ethiopic Gematria system is taken from the additional zemede series of signs for labiovelars, as does the sign for 1,000 (see Table 2.2). The symbol for 10,000 is alef-sadis /’ə/, while all the previously mentioned ones belong to geez series /-ä/.

The complete table of the Ethiopic script is used in the Debtera (Halehame) system, see Table 2.4. The first series ending in /-ä/ correspond to numerals 1 to 800, while in subsequent columns these values are multiplied by 2, 3, etc. to 7 for the /-o/ series. Thus the maximum value in this system is 5600. However, it seems that only the numbers from the first series were used in numerological calculations ( http://www.geez.org/Numerals/Numerology.html ).

Table 2.3: Ethiopic Gematria compared to Hebrew and Greek alphabetic systems

For detailed description of Hebrew numerals, see Gandz (1932/33).

Table 2.4: Ethiopic Debtera (Halehame) system

In the tenth century AD an alphabetic system based on the cursive script evolved in Egypt. This system is known as “numerals of the Epakt”, Zimām numerals, or Coptic numerals (Chrisomalis 2010: 149–150). Except for the symbol shapes, the system is similar to Coptic and Greek alphabetic notations described above (see Tables 2.1, 2.2). The numbers were written left to right, with symbols for highest values place on the left. From available descriptions (Sesiano 1989 Goldstein & Pingree 1981) it does not become sufficiently clear how the numerals from ten million were formed. Zimām numerals survived as long as the seventeenth century, being later replaced by the Arabic positional numerals (Chrisomalis 2010: 152).

Arabic alphabetic notation spread in Africa together with Islam in the seventh century (Cajori 1928 Chrisomalis 2010). In main features, it resembles the Greek principle as the arrangement of letters mostly corresponds to the Greek order and not to that of the Arabic alphabet. The presence of the 28 th letter allowed the extension of the notation to thousands in a natural way, see Table 2.1. A simple multiplicative principle is known for the numbers over 1,000 (Cajori 1928: 29). Note that the Arabic alphabetic numerical notation is written the same direction as the script does, i.e. right to left with the highest values placed rightmost.

Rumi numerals known also as Fez numerals (from the city of Fez or Fes, Arabic فاس‎, a city in Morocco) were used around this area starting from the sixteenth century AD (Chrisomalis 2010: 171). This notation system originated in Spain among the Arabic Christians of Toledo in 12–13 th centuries. The numerals are written right to left. Due to cursive writing, the shapes of symbols vary a lot, some generic ones are shown in Table 2.1. Both shapes and structure of the Rumi numeral notation demonstrate influence from Greek, Coptic, Zimām, and Arabic alphabetic system. For instance, there is no mark for multiplication by 10,000, which is the case in Greek, Coptic, and Zimām systems, but not in the Arabic one, where only multiplication by 1,000 is relevant.

In the Rumi notation special marks were also used for fractions, see Table 2.5 (Lazrek 2006).

Table 2.5: Fractions in Greek and Rumi alphabetic numerical notation systems

There is a modern alphabet for Wolof with letters having numerical values. This script is briefly described in the following section. It is not known how the alphabetic numerals are used in this writing system and what are the principles of representing numbers over 100. For the symbol set with phonetic values of letters see two last columns in Table 2.1.


Haskell Could not find module `System'

I'm new with Haskell and have trouble with its package.

I want to import System.Random but

Could not find module `System.Random'

Then I tried to import System but

Could not find module `System'.

It is a member of the hidden package `haskell98-2.0.0.0'.

I tried to search this problem, but those solutions still don't work.

As this said, I tried to install cabal on my Mac OS X using MacPort, but

Error: The following dependencies were not installed: ghc Error: Status 1 encountered during processing.

I have installed Haskell Platform and can use ghci in command-line. GHCi, version 7.2.1

Then I tried to use ghc-pkg expose haskell98-2.0.0.0 as this one says.

But this time, I can't even run ghci.

Top level:

Ambiguous interface for `Prelude':

it was found in multiple packages: base haskell98-2.0.0.0


This volume deals with novel high-quality research results of a wide class of mathematical models with applications in engineering, nature, and social sciences. Analytical and numeric, deterministic and uncertain dimensions are treated. Complex and multidisciplinary models are included. Innovation and challenge are welcome. Among the examples of treated problems, we include problems coming out of finance, engineering, social sciences, physics, biology and politics. Novelty arises with respect to both the mathematical treatment of the problem and, from within a given mathematical problem, the treatment of the problem.

Prof. Dr. Lucas Jódar
Prof. Dr. Rafael Company
Guest Editors

Manuscript Submission Information

Manuscripts should be submitted online at www.mdpi.com by registering and logging in to this website. Once you are registered, click here to go to the submission form. Manuscripts can be submitted until the deadline. All papers will be peer-reviewed. Accepted papers will be published continuously in the journal (as soon as accepted) and will be listed together on the special issue website. Research articles, review articles as well as short communications are invited. For planned papers, a title and short abstract (about 100 words) can be sent to the Editorial Office for announcement on this website.

Submitted manuscripts should not have been published previously, nor be under consideration for publication elsewhere (except conference proceedings papers). All manuscripts are thoroughly refereed through a single-blind peer-review process. A guide for authors and other relevant information for submission of manuscripts is available on the Instructions for Authors page. الرياضيات is an international peer-reviewed open access semimonthly journal published by MDPI.

Please visit the Instructions for Authors page before submitting a manuscript. The Article Processing Charge (APC) for publication in this open access journal is 1600 CHF (Swiss Francs). Submitted papers should be well formatted and use good English. Authors may use MDPI's English editing service prior to publication or during author revisions.


شاهد الفيديو: مقدمة مراجعة مادة الرياضيات العلمي توجيهي #2004 للاستاذ احمد عرابي (شهر اكتوبر 2021).