مقالات

1.1: العمليات الجبرية مع الأعداد الصحيحة - الرياضيات


تتكون المجموعة ( mathbb {Z} ) لجميع الأعداد الصحيحة ، التي يدور حولها هذا الكتاب ، من جميع الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة بالإضافة إلى 0. وبالتالي فإن ( mathbb {Z} ) هي المجموعة التي قدمها [ mathbb {Z} = {...، - 4، -3، -2، -1،0،1،2،3،4، ... }. ] بينما كانت مجموعة الكل إيجابي الأعداد الصحيحة ، التي يُرمز إليها بـ ( mathbb {N} ) ، يتم تعريفها بواسطة [ mathbb {N} = {1،2،3،4 ، ... }. ]

في ( mathbb {Z} ) ، هناك عمليتان ثنائيتان أساسيتان ، وهما إضافة (يُرمز إليها بـ (+ )) و عمليه الضرب (يُرمز إليها بـ ( cdot )) ، والتي تلبي بعض الخصائص الأساسية التي تظهر منها كل خاصية أخرى لـ ( mathbb {Z} ).

  1. خاصية التبادل للجمع والضرب [ start {align} a + b = b + a a cdot b = b cdot a end {align} ]
  2. خاصية الترابط للجمع والضرب [ start {align} (a + b) + c & = & a + (b + c) (a cdot b) cdot c & = & a cdot (b cdot c) end {align} ]
  3. خاصية توزيعية الضرب على الجمع [ start {align} a cdot (b + c) & = & a cdot b + a cdot c. end {align} ]

في المجموعة ( mathbb {Z} ) توجد "عناصر هوية" للعمليتين (+ ) و ( cdot ) ، وهذه هي العناصر (0 ) و (1 ) ) على التوالي ، هذا يفي بالخصائص الأساسية [ start {align} a + 0 = 0 + a = a a cdot 1 = 1 cdot a = a end {align} ] لكل (a في mathbb {Z} ).
تسمح المجموعة ( mathbb {Z} ) مقلوب مضافة لعناصره ، بمعنى أنه لكل (a in mathbb {Z} ) يوجد عدد صحيح آخر في ( mathbb {Z} ) ، يُرمز إليه بـ (- a ) ، بحيث يكون [ أ + (- أ) = 0. ] أثناء الضرب ، فقط العدد الصحيح 1 له أ المعكوس الضربي بمعنى أن 1 هو العدد الصحيح الوحيد (a ) بحيث يوجد عدد صحيح آخر ، يُرمز إليه بـ (a ^ {- 1} ) أو بواسطة (1 / a ) ، (أي 1 نفسه في هذه الحالة ) مثل [a cdot a ^ {- 1} = 1. ]

من عمليات الجمع والضرب يمكن تحديد عمليتين أخريين على ( mathbb {Z} ) ، وهما الطرح (يشار إليها ب (- )) و قطاع (يُرمز إليها بـ (/ )). الطرح هو عملية ثنائية على ( mathbb {Z} ) ، أي معرف لأي عددين صحيحين في ( mathbb {Z} ) ، بينما القسمة ليست عملية ثنائية وبالتالي يتم تعريفها فقط لبعض الأزواج المعينة من أعداد صحيحة في ( mathbb {Z} ). يتم تعريف الطرح والقسمة على النحو التالي:

  1. يتم تعريف (a-b ) بواسطة (a + (- b) ) ، أي (a-b = a + (- b) ) لكل (a ، b in mathbb {Z} )
  2. يتم تعريف (a / b ) بالعدد الصحيح (c ) إذا وفقط إذا (a = b cdot c ).


شاهد الفيديو: Arithmetic الرياضيات: الجدع مشترك علمي درس مجموعة الأعداد الصحيحة مبادئ في الحسابيات الجزء 1 (شهر اكتوبر 2021).