مقالات

7.3: المسافة - الرياضيات


تتعامل خصائص الشبكة التي فحصناها حتى الآن بشكل أساسي مع أوجه الارتباط - الاتصالات المباشرة من جهة فاعلة إلى أخرى. لكن الطريقة التي يتم بها دمج الأشخاص في الشبكات أكثر تعقيدًا من ذلك. قد يكون لكل شخص خمسة أصدقاء ، يسميانهما A و B. لكن لنفترض أنه لا أحد من أصدقاء الشخص "أ" لديه أي أصدقاء باستثناء أصدقاء "أ" الخمسة ، في المقابل ، لكل منهم خمسة أصدقاء. المعلومات المتاحة لإمكانية تأثير B و B أكبر بكثير من A. وهذا يعني أن كونك "صديقًا لصديق" في بعض الأحيان قد يكون ذا أهمية كبيرة.

لالتقاط هذا الجانب من كيفية اندماج الأفراد في الشبكات ، يتمثل أحد الأساليب الرئيسية في فحص المسافة بين الفاعل والآخرين. إذا كان هناك ممثلان متجاوران ، فإن المسافة بينهما واحدة (أي أنها تستغرق خطوة واحدة لتنتقل الإشارة من المصدر إلى جهاز الاستقبال). إذا كان A يخبر B ، و B يخبر C (و A لا يخبر C) ، فإن الممثلين A و C على مسافة اثنين. يمكن أن يكون عدد الجهات الفاعلة على مسافات مختلفة من كل فاعل مهمًا لفهم الاختلافات بين الجهات الفاعلة في القيود والفرص المتاحة لهم نتيجة لمواقعهم. أحيانًا نهتم أيضًا بعدد الطرق المتاحة للتواصل بين ممثلين ، على مسافة معينة. بمعنى ، هل يمكن للممثل "أ" الوصول إلى الممثل "ب" بأكثر من طريقة؟ في بعض الأحيان ، قد تشير الاتصالات المتعددة إلى اتصال أقوى بين فاعلين أكثر من اتصال واحد.

قد تكون المسافات بين الجهات الفاعلة في الشبكة سمة كلية مهمة للشبكة ككل. عندما تكون المسافات كبيرة ، فقد يستغرق الأمر وقتًا طويلاً حتى تنتشر المعلومات عبر مجموعة سكانية. قد يكون أيضًا أن بعض الجهات الفاعلة غير مدركة تمامًا للآخرين ، وتتأثر بالآخرين - حتى لو كان من الممكن الوصول إليهم تقنيًا ، فقد تكون التكاليف عالية جدًا لإجراء عمليات التبادل. قد يكون التباين عبر الجهات الفاعلة في المسافات التي لديهم عن الجهات الفاعلة الأخرى أساسًا للتمايز وحتى التقسيم الطبقي. هؤلاء الممثلون الأقرب إلى آخرين قد يكونون قادرين على ممارسة قوة أكبر من أولئك البعيدين. سيكون لدينا الكثير لنقوله عن هذا الجانب من التباين في مسافات الفاعلين في الفصل التالي.

في الوقت الحالي ، نحتاج إلى تعلم القليل من المصطلحات المستخدمة لوصف المسافات بين الممثلين: يمشي ، مسارات ، أنصاف مسارات ، الخ. باستخدام هذه التعريفات الأساسية ، يمكننا بعد ذلك تطوير بعض الطرق الأكثر فعالية لوصف الجوانب المختلفة للمسافات بين الجهات الفاعلة في الشبكة.

يمشي إلخ.

لوصف المسافات بين الجهات الفاعلة في شبكة ما بدقة ، نحتاج إلى بعض المصطلحات. وكما اتضح ، سواء كنا نتحدث عن رسم بياني بسيط أو رسم بياني موجه ، فإن ذلك يحدث فرقًا كبيرًا. إذا كان A و B متجاورين في رسم بياني بسيط ، فإن المسافة بينهما واحدة. ومع ذلك ، في الرسم البياني المباشر ، يمكن أن تكون A مجاورة لـ B بينما B ليست مجاورة لـ A - المسافة من A إلى B تساوي واحدًا ، لكن لا توجد مسافة من B إلى A. بسبب هذا الاختلاف ، نحتاج إلى حدود مختلفة قليلاً لوصف المسافات بين الجهات الفاعلة في الرسوم البيانية والرسوم البيانية.

رسوم بيانية بسيطة: الشكل الأكثر عمومية للاتصال بين فاعلين في الرسم البياني يسمى أ يمشي. السير هو سلسلة من الممثلين والعلاقات التي تبدأ وتنتهي مع الممثلين. أ المشي مغلق هي نقطة تكون فيها نقطة البداية والنهاية للمشي نفس الفاعل. المشي غير مقيد. يمكن أن يشمل المشي نفس الممثل أو نفس العلاقة عدة مرات. أ دورة هي مسيرة مقيدة بشكل خاص تُستخدم غالبًا في الخوارزميات التي تفحص الأحياء (النقاط المجاورة) للممثلين. الدورة هي مسيرة مغلقة من 3 ممثلين أو أكثر ، كلهم متميزون، باستثناء الممثل الأصل / الوجهة. طول المسيرة هو ببساطة عدد العلاقات الموجودة فيه. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك هذا الرسم البياني في الشكل 7.10.

الشكل 7.10: يمشي في رسم بياني بسيط

هناك العديد من المسارات في الرسم البياني (في الواقع ، عدد لا حصر له إذا كنا على استعداد لتضمين مناحي بأي طول - على الرغم من أننا عادة ما نقصر انتباهنا على أطوال صغيرة إلى حد ما). لتوضيح القليل فقط ، ابدأ من الممثل A وانتقل إلى الممثل C. هناك مسيرة واحدة بطول 2 (A ، B ، C). هناك مسيرة واحدة طولها ثلاثة (أ ، ب ، د ، ج). هناك عدة مسارات بطول أربعة (A ، B ، E ، D ، C ؛ A ، B ، D ، B ، C ؛ A ، B ، E ، B ، C). نظرًا لأن هذه العناصر غير مقيدة ، يمكن استخدام نفس الجهات الفاعلة والعلاقات أكثر من مرة في جولة معينة. لا توجد دورات تبدأ وتنتهي بالحرف "أ" ، هناك بعض البداية والنهاية بالممثل "ب" (ب ، د ، ج ، ب ؛ ب ، هـ ، د ، ب ؛ ب ، ج ، د ، ه ، ب).

عادة ما يكون من المفيد تقييد مفهومنا إلى حد ما لما يشكل اتصالاً. أحد الاحتمالات هو تقييد العد فقط مناحي التي لا تعيد استخدام العلاقات. أ ممر المشاة بين ممثلين هو أي مسيرة تتضمن علاقة معينة لا تزيد عن مرة واحدة (ومع ذلك ، يمكن أن تكون نفس الجهات الفاعلة الأخرى جزءًا من ممر عدة مرات. طول الممر هو عدد العلاقات فيه. جميع المسارات عبارة عن مسارات ، ولكن ليس كل مناحي هو ممرات. إذا بدأ المسار وينتهي بنفس الفاعل ، فإنه يسمى أ درب مغلق. في المثال أعلاه ، هناك عدد من المسارات من A إلى C. باستثناء المسارات مثل A ، B ، D ، B ، C (وهي مسيرة ، ولكنها ليست مسارًا لأن العلاقة BD تُستخدم أكثر من مرة) .

ربما يكون التعريف الأكثر فائدة للعلاقة بين ممثلين (أو بين الفاعلين وأنفسهم) هو أ طريق. المسار هو مسار يمكن فيه استخدام كل من الفاعلين والعلاقة الأخرى في الرسم البياني في وقت واحد على الأكثر. الاستثناء الوحيد لهذا هو ملف طريق مغلق، والتي تبدأ وتنتهي بنفس الممثل. جميع المسارات عبارة عن ممرات ومسارات ، لكن كل مناحي وكل المسارات ليست مسارات. في مثالنا ، يوجد عدد محدود من المسارات التي تربط A و C: A ، B ، C ؛ أ ، ب ، د ، ج ؛ أ ، ب ، ه ، د ، ج.

الرسوم البيانية الموجهة: يمكن أيضًا تحديد الممرات والمسارات للرسوم البيانية الموجهة. ولكن هناك نوعان من النكهات لكل منهما ، اعتمادًا على ما إذا كنا نريد أن نأخذ التوجيه بعين الاعتبار أم لا. أنصاف مناحي ، وأنصاف مسارات ، و أنصاف المسارات هي نفسها بالنسبة للبيانات غير الموجهة. عند تحديد هذه المسافات ، يتم ببساطة تجاهل اتجاهية الوصلات (أي ، يتم التعامل مع الأقواس - أو الروابط الموجهة كما لو كانت حواف - روابط غير موجهة). كما هو الحال دائمًا ، فإن طول هذه المسافات هو عدد العلاقات في المسيرة أو الممر أو المسار.

إذا أردنا الانتباه إلى اتجاه الاتصالات يمكننا تحديدها يمشي ، مسارات، و مسارات بنفس الطريقة كما كان من قبل ، ولكن مع التقييد لا يجوز لنا "تغيير الاتجاه" ونحن نتحرك عبر العلاقات من ممثل إلى ممثل. ضع في اعتبارك الرسم البياني الموجه في الشكل 7.11.

الشكل 7.11: يمشي في رسم بياني موجه

في هذا الرسم البياني الموجه ، هناك عدد من المسارات من أ إلى ج. ومع ذلك ، لا توجد مسارات من ج (أو أي مكان آخر) إلى أ. بعض هذه المسارات من أ إلى ج هي أيضًا مسارات (مثل أ ، ب ، هـ ، د ، ب ، ج). ومع ذلك ، هناك ثلاثة مسارات فقط من A إلى C. مسار واحد بطول 2 (A ، B ، C) ؛ واحد طوله ثلاثة (أ ، ب ، د ، ج) ؛ واحد طوله أربعة (أ ، ب ، ه ، د ، ج).

توفر الأنواع المختلفة من الروابط (مناحي ، ومسارات ، ومسارات) استخدامًا مع عدد من الطرق المختلفة للتفكير في المسافات بين الممثلين. السبب الرئيسي الذي يجعل محللي الشبكات الاجتماعية مهتمين بهذه المسافات هو أنها توفر طريقة للتفكير في قوة الروابط أو العلاقات. قد يكون للجهات الفاعلة التي ترتبط بأطوال أو مسافات قصيرة روابط أقوى. قد يكون اتصالهم أيضًا أقل عرضة للاضطراب ، وبالتالي أكثر استقرارًا وموثوقية.

يمكن إيجاد عدد مناحي الطول المحدد بين جميع أزواج الممثلين برفع المصفوفة إلى تلك القوة. طريقة مناسبة لإنجاز هذا هو الاستخدام أدوات> Matrix Algebra, ولتحديد تعبير مثل إخراج = إنتاج (X1، X1). ينتج عن ذلك مربع المصفوفة X1 ، ويخزنها على هيئة مجموعة بيانات "خارج". يمكن العثور على مناقشة أكثر تفصيلاً لهذه الفكرة في الفصل السابق حول تمثيل الشبكات كمصفوفات. يمكن بعد ذلك إضافة هذه المصفوفة إلى X1 لإظهار عدد الممرات بين أي ممثلين بطول اثنين أو أقل.

دعونا ننظر بإيجاز إلى المسافات بين أزواج الممثلين في بيانات Knoke حول تدفقات المعلومات الموجهة. يوضح الشكل 7.12 أعداد المسارات ذات الأطوال المختلفة.

شكل 7.12: عدد مناحي في شبكة معلومات Knoke

يعد جرد إجمالي الاتصالات بين الجهات الفاعلة مفيدًا بشكل أساسي في التعرف على مدى "قرب" كل زوج ، وفي التعرف على مدى ارتباط النظام بأكمله بشكل وثيق. هنا ، يمكننا أن نرى أنه باستخدام روابط من خطوتين فقط (على سبيل المثال "صديق صديق") ، هناك قدر كبير من الارتباط في الرسم البياني بشكل عام ؛ نرى أيضًا أن هناك اختلافات حادة بين الجهات الفاعلة في درجة ترابطها ومن يرتبطون بها. يمكن استخدام هذه الاختلافات لفهم كيفية تحرك المعلومات في الشبكة ، والجهات الفاعلة التي من المحتمل أن يكون لها تأثير على بعضها البعض ، وعدد من الخصائص المهمة الأخرى.

المسافة الجيوديسية واللامركزية والقطر

تستخدم معظم الخوارزميات تعريفًا خاصًا للمسافة بين الجهات الفاعلة في الشبكة لتحديد الخصائص الأكثر تعقيدًا لمواقف الأفراد وهيكل الشبكة ككل. هذه الكمية هي المسافة الجيوديسية. بالنسبة لكل من البيانات الموجهة وغير الموجهة ، فإن المسافة الجيوديسية هي عدد العلاقات في أقصر مسافة ممكنة من جهة فاعلة إلى أخرى (أو ، من ممثل إلى أنفسهم ، إذا كنا نهتم ، وهو ما لا نفعله عادةً).

تستخدم المسافة الجيوديسية على نطاق واسع في تحليل الشبكة. قد تكون هناك اتصالات بين فاعلين في الشبكة. إذا أخذنا في الاعتبار كيف يمكن للعلاقة بين اثنين من الفاعلين أن توفر لكل منهما الفرصة والقيود ، فقد يكون الأمر كذلك أن هذه العلاقات ليست كلها مهمة. على سبيل المثال ، افترض أنني أحاول إرسال رسالة إلى سو: بما أنني أعرف عنوان بريدها الإلكتروني ، يمكنني إرسالها مباشرة (مسار بطول 1). أعرف أيضًا دونا ، وأعلم أن دونا لديها عنوان البريد الإلكتروني الخاص بسو. يمكنني إرسال رسالتي من سو إلى دونا ، وأطلب منها إعادة توجيهها. سيكون هذا مسارًا بطول اثنين. في مواجهة هذا الاختيار ، من المحتمل أن أختار المسار الجيوديسي (أي مباشرة إلى سو) لأنه أقل صعوبة وأسرع ، ولأنه لا يعتمد على دونا. أي أن المسار الجيوديسي (أو المسارات ، حيث يمكن أن يكون هناك أكثر من واحد) هو غالبًا الاتصال "الأمثل" أو "الأكثر فعالية" بين فاعلين. تفترض العديد من الخوارزميات في تحليل الشبكة أن الجهات الفاعلة ستستخدم المسار الجيوديسي عندما تتوفر البدائل.

باستخدام UCINET ، يمكننا بسهولة تحديد أطوال المسارات الجيوديسية في بياناتنا الموجهة حول تبادل المعلومات. هنا هو مربع الحوار ل الشبكة> التماسك> المسافة.

الشكل 7.13: الشبكة> التماسك> مربع حوار المسافة

تعد بيانات تبادل معلومات Knoke ثنائية (ترسل المنظمة "أ" معلومات إلى المؤسسة "ب" ، أو لا تقوم بذلك). أي أن النمط يتم تلخيصه بواسطة مصفوفة مجاورة. بالنسبة للبيانات الثنائية ، فإن المسافة الجيوديسية بين فاعلين هي عدد الروابط في أقصر مسار بينهما.

من الممكن أيضًا تحديد المسافة بين فاعلين حيث يتم تقييم الروابط. أي عندما يكون لدينا مقياس لقوة الروابط ، أو تكاليف الفرصة البديلة للعلاقات ، أو احتمالية الارتباط. الشبكة> التماسك> المسافة يمكن حساب المسافة (والقرب) للبيانات القيمة ، كذلك (حدد "نوع البيانات" المناسب).

عندما تكون لدينا مقاييس لقوة الروابط (على سبيل المثال حجم التجارة بالدولار بين دولتين) ، يتم تعريف "المسافة" بين فاعلين على أنها قوة أضعف طريق بينهما. إذا أرسل A 6 وحدات إلى B ، وأرسل B 4 وحدات إلى C ، فإن "قوة" المسار من A إلى C (بافتراض أن A إلى B إلى C هي أقصر مسار) هي 4.

عندما يكون لدينا مقياس لاحتمال استخدام الرابط ، يتم تعريف "المسافة" بين فاعلين على أنها المنتج على طول المسار - كما هو الحال في تحليل المسار في الإحصائيات.

ال تحويل القرب و عامل التوهين أجزاء من مربع الحوار تسمح بإعادة قياس المسافات إلى القرب. بالنسبة للعديد من التحليلات ، قد نكون مهتمين بالتفكير في الروابط بين الجهات الفاعلة من حيث مدى قربها أو تشابهها ، بدلاً من مدى بُعدها. هناك عدد من الطرق للقيام بذلك.

ال مضاعف تحول القرب يقسم المسافة بأكبر مسافة ممكنة بين فاعلين. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا 7 عقد ، فإن أقصى مسافة ممكنة لبيانات الجوار ستكون 6. تعطي هذه الطريقة قياسًا للمسافة كنسبة مئوية من الحد الأقصى النظري لرسم بياني معين.

ال مادة مضافة تحويل القرب يطرح المسافة الفعلية بين فاعلين من عدد العقد. إنه مشابه لمقياس الضرب ، لكنه يعطي قيمة كمقياس القرب ، وليس نسبة.

ال خطي يقوم تحول القرب بإعادة قياس المسافة عن طريق عكس المقياس (أي يصبح الأقرب هو الأبعد ، والأبعد يصبح الأقرب) وإعادة التسجيل لجعل نطاق المقياس من الصفر (أقرب زوج من العقد) إلى واحد (الزوج الأكثر بعدًا من العقد) .

ال تسوس الأسي تحول الطريقة المسافة إلى قرب عن طريق ترجيح الروابط في المسار بقيم متناقصة لأنها تقع بعيدًا عن الأنا. مع ال عامل التوهين 0.5 ، على سبيل المثال ، المسار من A إلى B إلى C سينتج عنه مسافة 1.5.

ال تردد الاضمحلال يتم تعريف الطريقة على أنها 1 مطروحًا منها نسبة الفاعلين الآخرين الذين هم أقرب أو أقرب إلى الهدف مثل الأنا. الفكرة (رون بيرت) هي أنه إذا كان هناك العديد من الممثلين الآخرين الأقرب إلى الهدف الذي تحاول الوصول إليه أكثر من نفسك ، فأنت فعليًا "أبعد".

في مثالنا ، نستخدم تقاربات موجّهة بسيطة ، والنتائج (الشكل 7.14) واضحة تمامًا.

شكل 7.14: المسافات الجيوديسية لتبادل المعلومات Knoke

نظرًا لأن الشبكة كثيفة إلى حد ما ، فإن المسافات الجيوديسية تكون صغيرة بشكل عام. يشير هذا إلى أن المعلومات قد تنتقل بسرعة كبيرة في هذه الشبكة. لاحظ أيضًا أن هناك مسافة جيوديسية لكل زوج x ، و y ، و y ، x - أي أن الرسم البياني متصل تمامًا ، وجميع الممثلين "يمكن الوصول إليهم" من جميع الممثلين الآخرين (أي ، يوجد مسار بطول من كل جهة فاعلة لبعضها البعض). عندما لا تكون الشبكة متصلة بالكامل ، لا يمكننا تحديد المسافات الجيوديسية بين جميع الأزواج. يتمثل النهج القياسي في مثل هذه الحالات في معاملة المسافة الجيوديسية بين الجهات الفاعلة غير المتصلة بطول أكبر من أي مسافة حقيقية في البيانات. لكل فاعل ، يمكننا حساب المتوسط ​​والانحراف المعياري لمسافاتهم الجيوديسية لوصف قربهم من جميع الجهات الفاعلة الأخرى. لكل ممثل ، تسمى أكبر مسافة جيوديسية لهذا الممثل شذوذ - مقياس لمدى بعد الممثل عن الأبعد عن الآخر.

نظرًا لأن الشبكة الحالية متصلة بالكامل ، فإن الرسالة التي تبدأ في أي مكان ستصل في النهاية إلى الجميع. على الرغم من أن الكمبيوتر لم يحسبها ، فقد نرغب في حساب متوسط ​​(أو متوسط) المسافة الجيوديسية ، والانحراف المعياري في المسافات الجيوديسية للمصفوفة ، ولكل فاعل من حيث الصفوف والعمود. هذا من شأنه أن يخبرنا إلى أي مدى يكون كل ممثل عن الآخر كمصدر للمعلومات للآخر ؛ ومدى بعد كل ممثل عن بعضه البعض ممن يحاولون التأثير عليهم. يخبرنا أيضًا سلوك الممثلين (في هذه الحالة ، سواء سمعوا شيئًا أم لا) الأكثر توقعًا والأقل توقعًا.

عند النظر إلى الشبكة بأكملها ، نرى أنها متصلة ، وأن متوسط ​​المسافة الجيوديسية بين الجهات الفاعلة صغير جدًا. يشير هذا إلى نظام من المحتمل أن تصل فيه المعلومات إلى الجميع ، والقيام بذلك بسرعة إلى حد ما. للحصول على فكرة أخرى عن حجم الشبكة ، قد نفكر في قطرها. ال قطر الشبكة هي أكبر مسافة جيوديسية ممكنة في الشبكة (المتصلة). في الحالة الحالية ، لا يوجد ممثل على بعد أكثر من ثلاث خطوات من أي جهة أخرى - شبكة "مضغوطة" للغاية. يخبرنا قطر الشبكة عن مدى "حجمها" ، من ناحية (أي ، كم عدد الخطوات اللازمة للانتقال من جانب إلى آخر). يعتبر القطر أيضًا كمية مفيدة حيث يمكن استخدامه لتعيين حد أعلى لأطوال الوصلات التي ندرسها. يحد العديد من الباحثين من استكشافاتهم للوصلات بين الجهات الفاعلة لتشمل الوصلات التي لا يتجاوز قطرها قطر الشبكة.

في بعض الأحيان يكون تكرار الاتصال ميزة مهمة لهيكل الشبكة. إذا كان هناك العديد من المسارات الفعالة التي تربط بين فاعلين ، فسيتم تحسين احتمالات انتقال الإشارة من أحدهما إلى الآخر. مؤشر واحد لهذا هو عدد المسارات الجيوديسية بين كل زوج من الممثلين. بالطبع ، إذا كان هناك ممثلان متجاوران ، فلا يمكن أن يكون هناك سوى مسار واحد من هذا القبيل. يمكن حساب عدد المسارات الجيوديسية باستخدام الشبكة> التماسك> لا. الجيوديسيا، كما في الشكل 7.15.

الشكل 7.15: حوار للشبكة> التماسك> لا. الجيوديسيا

النتائج موضحة في الشكل 7.16.

الشكل 7.16: عدد المسارات الجيوديسية لتبادل المعلومات Knoke

نرى أن معظم الاتصالات الجيوديسية بين هذه الجهات الفاعلة ليست فقط مسافة قصيرة ، ولكن غالبًا ما يكون هناك العديد من المسارات الأقصر من x إلى y. هذا يشير إلى أمرين: من غير المحتمل أن ينهار تدفق المعلومات ، لأن هناك مسارات متعددة ؛ وسيكون من الصعب على أي فرد أن يكون "وسيطًا" قويًا في هذا الهيكل لأن معظم الجهات الفاعلة لديها طرق فعالة بديلة للاتصال بالجهات الفاعلة الأخرى التي يمكنها تجاوز أي جهة فاعلة معينة.

تدفق

غالبًا ما يكون استخدام المسارات الجيوديسية لفحص خصائص المسافات بين الأفراد والشبكة بأكملها أمرًا منطقيًا للغاية. ولكن ، قد تكون هناك حالات أخرى يكون فيها المسافة بين فاعلين ، وترابط الرسم البياني ككل أفضل على الرغم من أنه يشمل جميع الوصلات - وليس فقط الأكثر كفاءة. إذا بدأت شائعة ، على سبيل المثال ، فسوف تمر عبر شبكة بجميع المسارات - وليس فقط أكثرها كفاءة. قد يعتمد مقدار المصداقية التي يعطيها شخص آخر لشائعي على عدد المرات التي يسمعونها فيها من مصادر مختلفة - وليس على السرعة التي يسمعونها بها. لاستخدامات المسافة مثل هذه ، نحتاج إلى مراعاة جميع الروابط بين الجهات الفاعلة.

تم تطوير العديد من المناهج لحساب مقدار الاتصال بين أزواج من الجهات الفاعلة التي تأخذ في الاعتبار جميع الروابط فيما بينها. تم استخدام هذه القياسات لعدد من الأغراض المختلفة ، وتنعكس هذه الاختلافات في الخوارزميات المستخدمة لحسابها.

الشبكة> التماسك> الحد الأقصى للتدفق. تتساءل إحدى الأفكار حول مدى اتصال اثنين من الفاعلين تمامًا (تسمى أقصى تدفق بواسطة UCINET) عن عدد الجهات الفاعلة المختلفة في جوار المصدر التي تؤدي إلى المسارات إلى الهدف. إذا كنت بحاجة لإيصال رسالة إليك ، وكان هناك شخص واحد فقط يمكنني إرسال هذه الرسالة إليه لإعادة الإرسال ، فإن اتصالي ضعيف - حتى إذا كان لدى الشخص الذي أرسله إليه طرقًا عديدة للوصول إليك. من ناحية أخرى ، إذا كان هناك أربعة أشخاص يمكنني إرسال رسالتي إليهم ، ولكل منهم طريقة أو أكثر لإعادة إرسال رسالتي إليك ، فإن اتصالي يكون أقوى. يقترح نهج "التدفق" أن قوة رباطتي معك ليست أقوى من الحلقة الأضعف في سلسلة الاتصالات ، حيث يعني الضعف عدم وجود بدائل. يرتبط هذا النهج للتواصل بين الجهات الفاعلة ارتباطًا وثيقًا بمفهوم التباعد الذي سنفحصه لاحقًا. كما أنه قريب منطقيًا من فكرة أن عدد المسارات ، وليس طولها ، قد يكون مهمًا في ربط الناس. بالنسبة لبيانات تدفق المعلومات الموجهة لدينا ، يتم عرض نتائج عدد UCINET للحد الأقصى للتدفق في الشكل 7.17.

الشكل 7.17: أقصى تدفق لشبكة معلومات Knoke

يجب أن تتحقق بنفسك ، على سبيل المثال ، من وجود أربعة وسطاء ، أو مسارات بديلة ، في التدفقات من الممثل 1 إلى الممثل 2 ، ولكن هناك خمس نقاط من هذا القبيل في التدفق من الممثل 2 إلى الممثل 1. كلما زاد عدد التدفقات من الممثل 1 عامل إلى آخر ، كلما زادت احتمالية حدوث الاتصال ، وقل "ضعف" الاتصال. لاحظ أن الجهات الفاعلة 6 و 7 و 9 محرومة نسبيًا. على وجه الخصوص ، لدى الممثل 6 طريقة واحدة فقط للحصول على المعلومات من جميع الجهات الفاعلة الأخرى (متجه العمود للتدفقات إلى الممثل 6).


المسافة لنظام التشغيل Windows

أحدث إصدار من Distance هو 7.3 Release 2. تم تنزيل المسافة من قبل أكثر من 50000 مستخدم من حوالي 135 دولة.

كيف تبدو المسافة؟ وهنا بعض لقطات الشاشة.

المسافة 7.3 متاحة للتنزيل بينما الإصدارات السابقة (7.2 ، 7.1 ، 7.0 ، 6.2 ، 6.1 ، 5.0 ، 4.1 ، 3.5 و 2.2 كما هو مفصل أدناه) متاحة عن طريق طلب البريد الإلكتروني. جميع إصدارات المسافة متاحة بدون تكلفة. ترد الاقتباسات المقترحة لجميع الإصدارات الثلاثة في صفحة الاقتباس.

تتوفر معلومات عن سجل المسافة في صفحة سجل المسافة.


7.3: المسافة - الرياضيات

يتم توفير جميع المقالات المنشورة بواسطة MDPI على الفور في جميع أنحاء العالم بموجب ترخيص وصول مفتوح. لا يلزم الحصول على إذن خاص لإعادة استخدام كل أو جزء من المقالة المنشورة بواسطة MDPI ، بما في ذلك الأشكال والجداول. بالنسبة للمقالات المنشورة بموجب ترخيص Creative Common CC BY ذي الوصول المفتوح ، يمكن إعادة استخدام أي جزء من المقالة دون إذن بشرط الاستشهاد بالمقال الأصلي بوضوح.

تمثل الأوراق الرئيسية أكثر الأبحاث تقدمًا مع إمكانات كبيرة للتأثير الكبير في هذا المجال. يتم تقديم الأوراق الرئيسية بناءً على دعوة فردية أو توصية من قبل المحررين العلميين وتخضع لمراجعة الأقران قبل النشر.

يمكن أن تكون ورقة الميزات إما مقالة بحثية أصلية ، أو دراسة بحثية جديدة جوهرية غالبًا ما تتضمن العديد من التقنيات أو المناهج ، أو ورقة مراجعة شاملة مع تحديثات موجزة ودقيقة عن آخر التقدم في المجال الذي يراجع بشكل منهجي التطورات الأكثر إثارة في العلم. المؤلفات. يوفر هذا النوع من الأوراق نظرة عامة على الاتجاهات المستقبلية للبحث أو التطبيقات الممكنة.

تستند مقالات اختيار المحرر على توصيات المحررين العلميين لمجلات MDPI من جميع أنحاء العالم. يختار المحررون عددًا صغيرًا من المقالات المنشورة مؤخرًا في المجلة ويعتقدون أنها ستكون مثيرة للاهتمام بشكل خاص للمؤلفين أو مهمة في هذا المجال. الهدف هو تقديم لمحة سريعة عن بعض الأعمال الأكثر إثارة المنشورة في مجالات البحث المختلفة بالمجلة.


الدرس 7 مشاكل الممارسة

في سياق الارتفاع ، ماذا سيكون | text-7 | قدم يعني؟

طابق العبارات المكتوبة باللغة الإنجليزية مع الجمل الرياضية.

  1. الرقم -4 هو مسافة 4 وحدات من 0 على خط الأعداد.
  2. الرقم -63 يبعد أكثر من 4 وحدات عن 0 على خط الأعداد.
  3. الرقم 4 أكبر من الرقم -4.
  4. العددين 4 و -4 هما نفس المسافة بعيدًا عن 0 على خط الأعداد.
  5. الرقم -63 أقل من الرقم 4.
  6. الرقم -63 أبعد عن 0 من الرقم 4 على خط الأعداد.
  1. | text-63 | & GT 4
  2. نص -63 & الملازم 4
  3. | text-63 | & GT | 4 |
  4. | text-4 | = 4
  5. 4 & GT النص -4
  6. | 4 | = | text-4 |

قارن بين كل زوج من التعبيرات باستخدام & gt أو & lt أو =.

تلقت مي الأموال وأنفقتها بالطرق التالية الشهر الماضي. لكل مثال ، اكتب رقمًا موقعًا لتمثيل التغيير في المال من وجهة نظرها.

  1. أعطتها جدتها 25 دولارًا في بطاقة عيد ميلاد.
  2. حصلت على 14 دولارًا مقابل مجالسة الأطفال.
  3. أنفقت 10 دولارات على تذكرة للحفل.
  4. تبرعت بمبلغ 3 دولارات لجمعية خيرية محلية
  5. حصلت على فائدة قدرها 2 دولار على الأموال الموجودة في حساب التوفير الخاص بها.

فيما يلي أدنى درجات الحرارة المسجلة في القرنين الماضيين لبعض المدن الأمريكية. درجات الحرارة في درجة فهرنهايت.


ما هي المسافة بين نقطتين؟

لأي نقطتين يوجد جزء خط واحد بالضبط يربط بينهما. المسافة بين نقطتين هي طول المقطع المستقيم الذي يربط بينهما. لاحظ أن المسافة بين نقطتين تكون دائمًا موجبة. تسمى المقاطع التي لها أطوال متساوية شرائح متطابقة.

المسافة بين نقطتين
(xأ، ذأ) و (xب، ذب)مسافة
(1 ، 2) و (3 ، 4)2.8284
(1 ، 3) و (-2 ، 9)6.7082
(1 ، 2) و (5 ، 5)5
(1 ، 2) و (7 ، 6)7.2111
(1 ، 1) و (7 ، -7)10
(13 ، 2) و (7 ، 10)10
(1 ، 3) و (5 ، 0)5
(1 ، 3) و (5 ، 6)5
(9 ، 6) و (2 ، 2)8.0623
(5 ، 7) و (7 ، 7)2
(8 ، 2) و (3 ، 8)7.8102
(8 ، -3) و (4 ، -7)5.6569
(8 ، 2) و (6 ، 1)2.2361
(-6 ، 8) و (-3 ، 9)3.1623
(7 ، 11) و (-1 ، 5)10
(-6 ، 5) و (-3 ، 1)5
(-6 ، 7) و (-1 ، 1)7.8102
(5 ، -4) و (0 ، 8)13
(5 ، -8) و (-3 ، 1)12.0416
(-5 ، 4) و (2 ، 6)7.2801
(4 ، 7) و (2 ، 2)5.3852
(4 ، 2) و (8 ، 5)5
(4 ، 6) و (3 ، 7)1.4142
(-3 ، 7) و (8 ، 6)11.0454
(-3 ، 4) و (5 ، 4)8
(-3 ، 2) و (5 ، 8)10
(-3 ، 4) و (1 ، 6)4.4721
(-2 ، 4) و (3 ، 9)7.0711
(-2 ، 4) و (4 ، 7)6.7082
(-2 ، 5) و (5 ، 2)7.6158
(-12 ، 1) و (12 ، -1)24.0832
(-1 ، 5) و (0 ، 4)1.4142
(-1 ، 4) و (4 ، 1)5.831
(0 ، 1) و (4 ، 4)5
(0 ، 5) و (12 ، 3)12.1655
(0 ، 1) و (6 ، 3.5)6.5
(0 ، 8) و (4 ، 5)5
(0 ، 0) و (3 ، 4)5
(0 ، 0) و (1 ، 1)1.4142
(0 ، 1) و (4 ، 4)5
(0 ، 5) و (12 ، 3)12.1655
(2 ، 3) و (5 ، 7)5
(2 ، 5) و (-4 ، 7)6.3246
(2 ، 3) و (1 ، 7)4.1231
(2 ، 8) و (5 ، 3)5.831
(3 ، 2) و (-1 ، 4)4.4721
(3 ، 12) و (14 ، 2)14.8661
(3 ، 7) و (6 ، 5)3.6056
(3 ، 4) و (0 ، 0)5

كيف تحسب المسافة بين نقطتين؟

عادة ما يتم الإشارة إلى طول المقطع باستخدام نقاط النهاية بدون تسطير. على سبيل المثال ، ` textيُشار إليه بـ ` overlineأو في بعض الأحيان "م overline". تستخدم المسطرة بشكل شائع لإيجاد المسافة بين نقطتين. إذا وضعنا العلامة `0` عند نقطة النهاية اليسرى ، وكانت العلامة التي تقع عليها نقطة النهاية الأخرى هي المسافة بين نقطتين. بشكل عام ، لا نحتاج للقياس من علامة 0. من خلال افتراض المسطرة ، فإن المسافة بين نقطتين هي القيمة المطلقة بين الأرقام الموضحة على المسطرة. من ناحية أخرى ، إذا كانت النقطتان "A و B" على المحور x ، أي أن إحداثيات `A و B` هي` (x_A ، 0) `و` (x_B ، 0)` على التوالي ، فإن المسافة بين نقطتين `AB = | x_B −x_A |`. يمكن تطبيق نفس الطريقة لإيجاد المسافة بين نقطتين على المحور ص. تعتمد صيغة المسافة بين نقطتين في مستوى الإحداثيات الديكارتية ثنائي الأبعاد على نظرية فيثاغورس. لذلك ، يتم استخدام نظرية فيثاغورس لقياس المسافة بين أي نقطتين `A (x_A، y_A)" و "B (x_B، y_B)"

مشاكل العالم الحقيقي باستخدام الطول بين نقطتين

إذا قارنا أطوال مقطعين خطيين أو أكثر ، فإننا نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين. عادة ما نستخدم صيغة المسافة لإيجاد طول أضلاع المضلعات إذا كنا نعرف إحداثيات رءوسها. في هذه الحالة ، يمكننا استكشاف طبيعة المضلعات. يمكن أن تساعدنا أيضًا في إيجاد مساحة ومحيط المضلع.

تستخدم آلة حاسبة الطول بين نقطتين في جميع مجالات الرياضيات تقريبًا. على سبيل المثال ، المسافة بين رقمين مركبين `z_1 = a + ib` و` z_2 = c + id` في المستوى المركب هي المسافة بين النقطتين `(أ ، ب) و (ج ، د)` ، أي

المسافة بين نقطتين ممارسة مشاكل

مشكلة الممارسة 1:
بدءًا من نفس النقطة ، سار مايكل وآن. سار مايكل على بعد 5 أميال شمالًا و 2 ميلًا غربًا ، بينما سارت آن على بعد 7 أميال شرقًا و 2 ميل جنوبًا. ما المسافة بينهما؟

مشكلة الممارسة 2:
أوجد المسافة بين النقطتين "E و F."


أمثلة محلولة

أوجد المسافة بين النقطتين ((2، -6 )) و ((7، 3 ))

لنفترض أن النقاط المعطاة هي:

صيغة إيجاد المسافة بين نقطتين هي:

( لذا) مسافة (= الجذر التربيعي <106> )
مثال 2

بيّن أن النقاط ((2 ، -1) ، (0 ، 1) ) و ((2 ، 3 )) هي رؤوس مثلث قائم الزاوية.

لنفترض أن النقاط المعطاة هي:

سنجد المسافة بين كل نقطتين باستخدام صيغة المسافة.

الآن وقد عرفنا أطوال الأضلاع الثلاثة ،

وهكذا ، يلبي (A ، B ) و (C ) نظرية فيثاغورس.

إذن ( المثلث ABC ) مثلث قائم الزاوية.

يمكننا إثبات ذلك من خلال تحديد جميع الإحداثيات على الرسم البياني:

تشكل النقاط المعطاة مثلثًا قائم الزاوية.
مثال 3

ابحث عن نقطة على المحور y تكون على مسافة متساوية من النقطتين ((- 1، 2 )) و ((2، 3) )

نعلم أن إحداثي x لأي نقطة على المحور y هو (0 )

ومن ثم ، نفترض أن النقطة التي تقع على مسافة متساوية من النقاط المعينة هي ((0 ، ك )). بمعنى آخر.،

المسافة بين ((0 ، ك) ) و ((- 1 ، 2) ) (= ) المسافة بين ((0 ، ك) ) و ((2 ، 3) )

لذلك ، فإن النقطة المطلوبة هي ، ((0 ، ك) = (0 ، 4) )

( لذا) النقطة المطلوبة (= (0, 4))


ماجستير الرياضيات التعليم عن بعد

أفضل إدارة تقدم تعليمًا عالي الجودة مبلغًا أقل مقارنة بالآخرين ، كانت السيدة شيلا مفيدة لي منذ اليوم الأول .. واصلت طرح أسئلتي واحدة تلو الأخرى ، ثق بي أنها كانت تجيب بصبر على جميع الشكوك.

السيدة شيلا كانت مفيدة لي من اليوم الأول .. واصلت طرح أسئلتي واحدة تلو الأخرى ، ثق بي أنها كانت تجيب بصبر على كل الشكوك. كما يدرك الناس أنه جائحة .. حاولت الأكاديمية فهم الموقف أيضًا. متحمس جدًا للقيام بهذه الرحلة مع هذه الأكاديمية للعامين القادمين.

VRS education هو الحل الوحيد للتعليم عن بعد.

خدمة عظيمة ؟؟ أقترح أشخاصًا إذا كنت تخطط للتعليم عن بعد ، فسيكون هذا أحد أفضل الخيارات

خدمة رائعة ، إذا كنت تبحث عن التعليم عن بعد ، فابدأ.

خيار ممتاز للتعليم عن بعد

موصى به للغاية لمن يريد دورات التعلم عن بعد.

إنه تدريب رائع على الإطلاق. الكليات جيدة جدًا وطريقة تدريسها رائعة. أقترح عليك إعطاء أفضل لحظاتك هنا دون أي شك ورفع نجاحك عالياً.


استخدم هذه الآلة الحاسبة لإيجاد أقصر مسافة (دائرة كبيرة / مسافة هوائية) بين نقطتين على سطح الأرض.

انقر على الخريطة أدناه لتعيين نقطتين على الخريطة والعثور على أقصر مسافة (دائرة كبيرة / مسافة جوية) بينهما. بمجرد إنشائها ، يمكن تغيير موضع العلامة (العلامات) عن طريق النقر مع الاستمرار ، ثم سحبها.

المسافة في نظام إحداثيات

المسافة في مستوى إحداثيات ثنائي الأبعاد:

يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين على مستوى إحداثي ثنائي الأبعاد باستخدام صيغة المسافة التالية

حيث (x1، ذ1) و (x2، ذ2) هي إحداثيات النقطتين المعنيتين. لا يهم ترتيب النقاط بالنسبة للصيغة طالما أن النقاط المختارة متسقة. على سبيل المثال ، بالنظر إلى النقطتين (1 ، 5) و (3 ، 2) ، يمكن تعيين إما 3 أو 1 كـ x1 أو x2 طالما يتم استخدام قيم y المقابلة:

د =& راديك (3-1) 2 + (2-5) 2
=& جذر 2 2 + (-3) 2
=& راديك 4 + 9
=& راديك 13

د =& راديك (1-3) 2 + (5-2) 2
=& راديك (-2) 2 + 3 2
=& راديك 4 + 9
=& راديك 13

في كلتا الحالتين ، النتيجة هي نفسها.

المسافة في مساحة إحداثيات ثلاثية الأبعاد:

يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين على مستوى إحداثي ثلاثي الأبعاد باستخدام صيغة المسافة التالية

حيث (x1، ذ1، ض1) و (x2، ذ2، ض2) هي إحداثيات ثلاثية الأبعاد للنقطتين المعنيتين. مثل الإصدار ثنائي الأبعاد من الصيغة ، لا يهم أي من النقطتين تم تعيينه (x1، ذ1، ض1) أو (x2، ذ2، ض2) ، طالما تم استخدام النقاط المقابلة في الصيغة. بالنظر إلى النقطتين (1 ، 3 ، 7) و (2 ، 4 ، 8) ، يمكن إيجاد المسافة بين النقطتين على النحو التالي:

د =وجذر (2-1) 2 + (4-3) 2 + (8-7) 2
=& نصف 1 2 + 1 2 + 1 2
=& جذر 3

المسافة بين نقطتين على سطح الأرض

هناك عدد من الطرق لإيجاد المسافة بين نقطتين على طول سطح الأرض. فيما يلي صيغتان مشتركتان.

يمكن استخدام صيغة هافرسين لإيجاد المسافة بين نقطتين على جسم كروي وفقًا لخط العرض وخط الطول:

في صيغة هافرسين ، d هي المسافة بين نقطتين على طول دائرة كبيرة ، و r نصف قطر الكرة ، و Straightphi1 و & مستقيم2 هي خطوط عرض النقطتين ، و & lambda1 و & لامدا2 هي خطو طول النقطتين ، كلها بوحدات الراديان.

تعمل معادلة هافرسين من خلال إيجاد مسافة الدائرة العظمى بين نقاط خط العرض وخط الطول على الكرة ، والتي يمكن استخدامها لتقريب المسافة على الأرض (نظرًا لأنها في الغالب كروية). الدائرة الكبيرة (أيضًا تقويم العظام) للكرة هي أكبر دائرة يمكن رسمها على أي كرة معينة. يتكون من تقاطع المستوى مع الكرة من خلال نقطة مركز الكرة. مسافة الدائرة العظمى هي أقصر مسافة بين نقطتين على سطح الكرة.

قد تحتوي النتائج التي تستخدم معادلة هافرسين على خطأ يصل إلى 0.5٪ لأن الأرض ليست كرة مثالية ، ولكنها مجسم بيضاوي نصف قطره 6،378 كم (3963 ميل) عند خط الاستواء ونصف قطر 6،357 كم (3950 ميل) قطب. وبسبب هذا ، فإن صيغة لامبرت (صيغة السطح الإهليلجي) تقارب سطح الأرض بدقة أكبر من صيغة هافرسين (صيغة السطح الكروي).

صيغة لامبرت (الصيغة المستخدمة من قبل الآلات الحاسبة أعلاه) هي الطريقة المستخدمة لحساب أقصر مسافة على طول سطح الشكل الإهليلجي. عند استخدامها لتقريب الأرض وحساب المسافة على سطح الأرض ، فإنها تتمتع بدقة تصل إلى 10 أمتار عبر آلاف الكيلومترات ، وهي أكثر دقة من صيغة هافرسين.

صيغة لامبرت هي كما يلي:

حيث a هو نصف القطر الاستوائي للقطع الناقص (في هذه الحالة الأرض) ، و سيجما هي الزاوية المركزية بالراديان بين نقطتي خطوط الطول والعرض (وجدت باستخدام طريقة مثل صيغة هافرسين) ، f هي تسطيح الأرض ، و X و Y أدناه.

في التعبيرات أعلاه ، & بيتا1 و & بيتا1 هي خطوط عرض مخفضة باستخدام المعادلة أدناه:

أين & مستقيم هو خط عرض نقطة.

Note that neither the haversine formula nor Lambert's formula provide an exact distance because it is not possible to account for every irregularity on the surface of the Earth.


محتويات

A metric on a set X is a function (called وظيفة المسافة أو ببساطة مسافه: بعد)

1. d ( x , y ) = 0 ⇔ x = y identity of indiscernibles
2. d ( x , y ) = d ( y , x ) symmetry
3. d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( z , y ) عدم المساواة في المثلث

A metric (as defined) is a non-negative real-valued function. This, together with axiom 1, provides a separation condition, where distinct or separate points are precisely those that have a positive distance between them.

A metric is called an ultrametric if it satisfies the following stronger version of the عدم المساواة في المثلث where points can never fall 'between' other points:

d ( x , y ) ≤ max ( d ( x , z ) , d ( y , z ) )

A metric d on X is called intrinsic if any two points x and y in X can be joined by a curve with length arbitrarily close to د(x, ذ) .

A metric د on a group جي (written multiplicatively) is said to be left-invariant (Resp. right invariant) if we have

للجميع x, ذ، و ض في جي.

These conditions express intuitive notions about the concept of distance. For example, that the distance between distinct points is positive and the distance from x ل ذ is the same as the distance from ذ ل x. The triangle inequality means that the distance from x ل ض via ذ is at least as great as from x ل ض مباشرة. Euclid in his work stated that the shortest distance between two points is a line that was the triangle inequality for his geometry.

  • The discrete metric: if x = ذ ومن بعد د(x,ذ) = 0. Otherwise, د(x,ذ) = 1.
  • The Euclidean metric is translation and rotation invariant.
  • The taxicab metric is translation invariant.
  • More generally, any metric induced by a norm is translation invariant.
  • If ( p n ) n ∈ N )_ >> is a sequence of seminorms defining a (locally convex) topological vector spaceه, then d ( x , y ) = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n p n ( x − y ) 1 + p n ( x − y ) ^<2^>>(x-y)><1+p_(x-y)>>> is a metric defining the same topology. (One can replace 1 2 n <2^>>> by any summable sequence ( a n ) )> of strictly positive numbers.)
  • The normed space ( R , | ⋅ | ) ,|cdot |)> is a Banach space where the absolute value is a norm on the real line R > that induces the usual Euclidean topology on R . .> Define a metric D : R × R → R imes mathbb o mathbb > on R > by D ( x , y ) = | arctan ⁡ ( x ) − arctan ⁡ ( y ) | for all x , y ∈ R . .> Just like | ⋅ | 's induced metric, the metric D also induces the usual Euclidean topology on ℝ . However, D is not a complete metric because the sequence x ∙ = ( x i ) i = 1 ∞ =left(x_ ight)_^> defined by x i := i :=i> is a D -Cauchy sequence but it does not converge to any point of ℝ . As a consequence of not converging, this D -Cauchy sequence cannot be a Cauchy sequence in ( R , | ⋅ | ) ,|cdot |)> (i.e. it is not a Cauchy sequence with respect to the norm ‖ ⋅ ‖ ) because if it was | ⋅ | -Cauchy, then the fact that ( R , | ⋅ | ) ,|cdot |)> is a Banach space would imply that it converges (a contradiction). [2] , a metric defined in terms of distances in a certain graph.
  • The Hamming distance in coding theory. , a type of metric function that is appropriate to impose on any differentiable manifold. For any such manifold, one chooses at each point p a symmetric, positive definite, bilinear form L: Tص × Tص → ℝ on the tangent space Tص at p, doing so in a smooth manner. This form determines the length of any tangent vector الخامس on the manifold, via the definition ‖ v ‖ = L ( v , v ) < extstyle |v|=,mathbf )>>> . Then for any differentiable path on the manifold, its length is defined as the integral of the length of the tangent vector to the path at any point, where the integration is done with respect to the path parameter. Finally, to get a metric defined on any pair of points of the manifold, one takes the infimum, over all paths from x to y, of the set of path lengths. A smooth manifold equipped with a Riemannian metric is called a Riemannian manifold.
  • The Fubini–Study metric on complex projective space. This is an example of a Riemannian metric. , such as Levenshtein distance and other string edit distances, define a metric over strings. defines a distance function between graphs.
  • The Wasserstein metric is a distance function defined between two probability distributions.
  • The Finsler metric is a continuous nonnegative function F:TM→[0,+∞) defined on the tangent bundle.

For a given set X, two metrics د1 و د2 وتسمى topologically equivalent (uniformly equivalent) if the identity mapping

Norms on vector spaces are equivalent to certain metrics, namely homogeneous, translation-invariant ones. In other words, every norm determines a metric, and some metrics determine a norm.

where the metric induced by this norm is the original given metric d .

Similarly, a seminorm induces a pseudometric (see below), and a homogeneous, translation invariant pseudometric induces a seminorm.

There are numerous ways of relaxing the axioms of metrics, giving rise to various notions of generalized metric spaces. These generalizations can also be combined. The terminology used to describe them is not completely standardized. Most notably, in functional analysis pseudometrics often come from seminorms on vector spaces, and so it is natural to call them "semimetrics". This conflicts with the use of the term in topology.

Extended metrics Edit

Some authors allow the distance function د to attain the value ∞, i.e. distances are non-negative numbers on the extended real number line. Such a function is called an extended metric or "∞-metric". Every extended metric can be transformed to a finite metric such that the metric spaces are equivalent as far as notions of topology (such as continuity or convergence) are concerned. This can be done using a subadditive monotonically increasing bounded function which is zero at zero, e.g. د′(x, ذ) = د(x, ذ) / (1 + د(x, ذ)) or د′′(x, ذ) = min(1, د(x, ذ)).

The requirement that the metric take values in [0,∞) can even be relaxed to consider metrics with values in other directed sets. The reformulation of the axioms in this case leads to the construction of uniform spaces: topological spaces with an abstract structure enabling one to compare the local topologies of different points.

Pseudometrics Edit

  1. د(x, ذ) ≥ 0
  2. د(x, x) = 0 (but possibly د(x, ذ) = 0 for some distinct values xذ.)
  3. د(x, ذ) = د(ذ, x)
  4. د(x, ض) ≤ د(x, ذ) + د(ذ, ض).

In some contexts, pseudometrics are referred to as semimetrics because of their relation to seminorms.

Quasimetrics Edit

Occasionally, a quasimetric is defined as a function that satisfies all axioms for a metric with the possible exception of symmetry:. [6] The name of this generalisation is not entirely standardized. [7]

  1. د(x, ذ) ≥ 0 (positivity)
  2. د(x, ذ) = 0 if and only if x = ذ (positive definiteness)
  3. د(x, ذ) = د(ذ, x) (symmetry, dropped)
  4. د(x, ض) ≤ د(x, ذ) + د(ذ, ض) (عدم المساواة في المثلث)

Quasimetrics are common in real life. For example, given a set X of mountain villages, the typical walking times between elements of X form a quasimetric because travel up hill takes longer than travel down hill. Another example is a taxicab geometry topology having one-way streets, where a path from point أ to point ب comprises a different set of streets than a path from ب ل أ.

A quasimetric on the reals can be defined by setting

د(x, ذ) = xذ إذا xذ، و د(x, ذ) = 1 otherwise. The 1 may be replaced by infinity or by 1 + 10 ( y − x ) > .

The topological space underlying this quasimetric space is the Sorgenfrey line. This space describes the process of filing down a metal stick: it is easy to reduce its size, but it is difficult or impossible to grow it.

إذا د is a quasimetric on X, a metric d' على X can be formed by taking

d'(x, ذ) = 1 ⁄ 2 (د(x, ذ) + د(ذ, x)).

Metametrics Edit

في metametric, all the axioms of a metric are satisfied except that the distance between identical points is not necessarily zero. In other words, the axioms for a metametric are:

  1. د(x, ذ) ≥ 0
  2. د(x, ذ) = 0 implies x = ذ (but not vice versa.)
  3. د(x, ذ) = د(ذ, x)
  4. د(x, ض) ≤ د(x, ذ) + د(ذ, ض).

Metametrics appear in the study of Gromov hyperbolic metric spaces and their boundaries. ال visual metametric on such a space satisfies د(x, x) = 0 for points x on the boundary, but otherwise د(x, x) is approximately the distance from x to the boundary. Metametrics were first defined by Jussi Väisälä. [8]

Semimetrics Edit

  1. د(x, ذ) ≥ 0
  2. د(x, ذ) = 0 if and only if x = ذ
  3. د(x, ذ) = د(ذ, x)

Some authors work with a weaker form of the triangle inequality, such as:

د(x, ض) ≤ ρ (د(x, ذ) + د(ذ, ض)) (ρ-relaxed triangle inequality) د(x, ض) ≤ ρ max(د(x, ذ), د(ذ, ض)) (ρ-inframetric inequality).

The ρ-inframetric inequality implies the ρ-relaxed triangle inequality (assuming the first axiom), and the ρ-relaxed triangle inequality implies the 2ρ-inframetric inequality. Semimetrics satisfying these equivalent conditions have sometimes been referred to as "quasimetrics", [9] "nearmetrics" [10] or inframetrics. [11]

The ρ-inframetric inequalities were introduced to model round-trip delay times in the internet. [11] The triangle inequality implies the 2-inframetric inequality, and the ultrametric inequality is exactly the 1-inframetric inequality.

Premetrics Edit

Relaxing the last three axioms leads to the notion of a premetric, i.e. a function satisfying the following conditions:

This is not a standard term. Sometimes it is used to refer to other generalizations of metrics such as pseudosemimetrics [12] or pseudometrics [13] in translations of Russian books it sometimes appears as "prametric". [14] It is also called a distance. [15]

Any premetric gives rise to a topology as follows. For a positive real ص، ال ص-ball centered at a point ص is defined as

A set is called open if for any point ص in the set there is an ص-ball centered at ص which is contained in the set. Every premetric space is a topological space, and in fact a sequential space. بشكل عام ، فإن ص-balls themselves need not be open sets with respect to this topology. As for metrics, the distance between two sets أ و ب, is defined as

د(أ, ب) = infxأ, ذب د(x, ذ).

This defines a premetric on the power set of a premetric space. If we start with a (pseudosemi-)metric space, we get a pseudosemimetric, i.e. a symmetric premetric. Any premetric gives rise to a preclosure operator cl as follows:

Pseudoquasimetrics Edit

The prefixes pseudo-, quasi- و semi- can also be combined, e.g., a pseudoquasimetric (sometimes called hemimetric) relaxes both the indiscernibility axiom and the symmetry axiom and is simply a premetric satisfying the triangle inequality. For pseudoquasimetric spaces the open ص-balls form a basis of open sets. A very basic example of a pseudoquasimetric space is the set <0,1>with the premetric given by د(0,1) = 1 and د(1,0) = 0. The associated topological space is the Sierpiński space.

Sets equipped with an extended pseudoquasimetric were studied by William Lawvere as "generalized metric spaces". [16] From a categorical point of view, the extended pseudometric spaces and the extended pseudoquasimetric spaces, along with their corresponding nonexpansive maps, are the best behaved of the metric space categories. One can take arbitrary products and coproducts and form quotient objects within the given category. If one drops "extended", one can only take finite products and coproducts. If one drops "pseudo", one cannot take quotients. Approach spaces are a generalization of metric spaces that maintains these good categorical properties.

Łukaszyk-Karmowski distance Edit

Łukaszyk-Karmowski distance is a function defining a distance between two random variables or two random vectors. The axioms of this function are:

  1. د(x, ذ) > 0
  2. د(x, ذ) = د(ذ, x)
  3. د(x, ض) ≤ د(x, ذ) + د(ذ, ض).

This distance function satisfies the identity of indiscernibles condition if and only if both arguments are described by idealized Dirac delta density probability distribution functions.

Important cases of generalized metrics Edit

In differential geometry, one considers a metric tensor, which can be thought of as an "infinitesimal" quadratic metric function. This is defined as a nondegenerate symmetric bilinear form on the tangent space of a manifold with an appropriate differentiability requirement. While these are not metric functions as defined in this article, they induce what is called a pseudo-semimetric function by integration of its square root along a path through the manifold. If one imposes the positive-definiteness requirement of an inner product on the metric tensor, this restricts to the case of a Riemannian manifold, and the path integration yields a metric.

In general relativity the related concept is a metric tensor (general relativity) which expresses the structure of a pseudo-Riemannian manifold. Though the term "metric" is used, the fundamental idea is different because there are non-zero null vectors in the tangent space of these manifolds, and vectors can have negative squared norms. This generalized view of "metrics", in which zero distance does ليس imply identity, has crept into some mathematical writing too: [17]


محتويات

تعديل الملاحظة

  • In general, d H ( X , Y ) >(X,Y)> may be infinite. If both X و ص are bounded, then d H ( X , Y ) >(X,Y)> is guaranteed to be finite.
  • d H ( X , Y ) = 0 >(X,Y)=0> if and only if X و ص have the same closure.
  • For every point x من م and any non-empty sets ص, ض من م: د(x,ص) ≤ د(x,ض) + دح(ص,ض), where د(x,ص) is the distance between the point x and the closest point in the set ص.
  • |diameter(ص)-diameter(X)| ≤ 2 دح(X,ص). [4]
  • If the intersection Xص has a non-empty interior, then there exists a constant ص > 0, such that every set X′ whose Hausdorff distance from X اقل من ص also intersects ص. [5]
  • On the set of all subsets of م, دح yields an extended pseudometric.
  • On the set F(م) of all non-empty compact subsets of م, دح is a metric.
    • إذا م is complete, then so is F(م). [6]
    • إذا م is compact, then so is F(م).
    • The topology of F(م) depends only on the topology of م, not on the metric د.

    The definition of the Hausdorff distance can be derived by a series of natural extensions of the distance function d ( x , y ) in the underlying metric space م, as follows: [7]

    • Define a distance function between any point x من م and any non-empty set ص من م by:
    • Define a distance function between any two non-empty sets X و ص من م by:
    • إذا X و ص are compact then د(X,ص) will be finite د(X,X)=0 and د inherits the triangle inequality property from the distance function in م. As it stands, د(X,ص) هو ليس a metric because د(X,ص) is not always symmetric, and د(X,ص) = 0 does not imply that X = ص (It does imply that X ⊆ Y ). على سبيل المثال، د(<1,3,6,7>, <3,6>) = 2 , but د(<3,6>, <1,3,6,7>) = 0 . However, we can create a metric by defining the Hausdorff distance to be:

    In computer vision, the Hausdorff distance can be used to find a given template in an arbitrary target image. The template and image are often pre-processed via an edge detector giving a binary image. Next, each 1 (activated) point in the binary image of the template is treated as a point in a set, the "shape" of the template. Similarly, an area of the binary target image is treated as a set of points. The algorithm then tries to minimize the Hausdorff distance between the template and some area of the target image. The area in the target image with the minimal Hausdorff distance to the template, can be considered the best candidate for locating the template in the target. [8] In computer graphics the Hausdorff distance is used to measure the difference between two different representations of the same 3D object [9] particularly when generating level of detail for efficient display of complex 3D models.

    A measure for the dissimilarity of two shapes is given by Hausdorff distance up to isometry، يعني دح. Namely, let X و ص be two compact figures in a metric space م (usually a Euclidean space) then دح(X,ص) is the infimum of دح(أنا(X),ص) along all isometries أنا of the metric space م to itself. This distance measures how far the shapes X و ص are from being isometric.


    شاهد الفيديو: تعلم كيفية رسم بياني للقطب الزائد (شهر اكتوبر 2021).