مقالات

2.4: التعبيرات الجبرية (قطع اللغز) - الرياضيات


إذا كنت مثل معظم الكنديين ، فإن صاحب العمل يدفع لك كل أسبوعين. كيف تحسب شيك راتبك كل فترة دفع؟ يتم احتساب أرباحك على النحو التالي:

[ $ 12.00 times text {(ساعات العمل خلال فترة الدفع نصف الشهرية)} nonumber ]

ساعات العمل خلال فترة الدفع نصف الشهرية هي المتغير غير المعروف. لاحظ أن التعبير يظهر مطولًا عند كتابة تفسير المتغير. الجبر هو وسيلة لجعل مثل هذه التعبيرات أكثر ملاءمة للمعالجة. لتقصير التعبير ، مما يسهل قراءته ، يقوم الجبر بتعيين حرف أو مجموعة من الأحرف لتمثيل المتغير. في هذه الحالة ، قد تختار h لتمثيل "ساعات العمل خلال فترة الدفع نصف الشهرية". هذا يعيد كتابة التعبير أعلاه على النحو التالي:

[ $ 12.00 times h text {or} $ 12 h nonumber ]

لسوء الحظ ، فإن كلمة الجبر تجعل عيون الكثير من الناس تلمع. لكن تذكر أن الجبر هو مجرد طريقة لحل مشكلة عددية. يوضح كيف تتلاءم قطع اللغز معًا للتوصل إلى حل.

على سبيل المثال ، لقد استخدمت مهاراتك في الجبر إذا سبق لك أن قمت ببرمجة صيغة في Microsoft Excel. لقد أخبرت Excel أن هناك علاقة بين الخلايا في جدول البيانات الخاص بك. ربما تطلب الحساب الخاص بك تقسيم الخلية A3 على الخلية B6 ثم ضربها في الخلية F2. هذه معادلة جبرية. بعد ذلك ، أخذ Excel المعادلة الجبرية وحساب الحل عن طريق استبدال القيم المناسبة تلقائيًا من الخلايا المشار إليها (المتغيرات الخاصة بك).

كما هو موضح في الشكل أعلاه ، يتضمن الجبر دمج العديد من المفاهيم المترابطة. يوضح هذا الشكل فقط المفاهيم المهمة لرياضيات الأعمال ، والتي سيقدمها هذا الكتاب المدرسي قطعة قطعة. سيصبح فهمك للجبر أكثر اكتمالًا حيث يتم تغطية المزيد من المفاهيم على مدار هذا الكتاب.

يستعرض هذا القسم لغة الجبر وقواعد الأس وقواعد العملية الأساسية والاستبدال. في القسم 2.5 ستعمل هذه المفاهيم في حل معادلة خطية واحدة لمتغير واحد غير معروف إلى جانب معادلتين خطيتين بمتغيرين غير معروفين. أخيرًا ، في القسم 2.6 سوف تستكشف مفاهيم اللوغاريتمات واللوغاريتمات الطبيعية.

لغة الجبر

يتطلب فهم قواعد الجبر الإلمام بأربعة تعريفات رئيسية.

تعبير جبري

يشير التعبير الجبري الرياضي إلى العلاقة بين والعمليات الرياضية التي يجب إجراؤها على سلسلة من الأرقام أو المتغيرات. على سبيل المثال ، التعبير 12 دولارًا يقول أنه يجب أن تأخذ أجر الساعة 12 دولارًا وتضربه في عدد ساعات العمل. لاحظ أن التعبير لا يتضمن علامة يساوي أو "=". يخبرك فقط بما يجب القيام به ويتطلب منك استبدال قيمة للمتغير (المتغيرات) غير المعروفة لحلها. لا يوجد حل واحد محدد للتعبير.

معادلة جبرية

تأخذ المعادلة الجبرية الرياضية تعبيرين جبريين وتعادلهما. يمكن حل هذه المعادلة لإيجاد حل للمتغيرات غير المعروفة. افحص الرسم التوضيحي التالي لترى كيف أن التعبيرات الجبرية والمعادلات الجبرية مترابطة.

مصطلح

في أي تعبير جبري ، المصطلحات هي المكونات التي يتم فصلها عن طريق الجمع والطرح. بالنظر إلى المثال أعلاه ، فإن التعبير (6x + 3y ) يتكون من فترتين. هذه المصطلحات هي " (6x )" و " (3y )." يشير الاسم الرمزي إلى عدد المصطلحات التي تظهر في التعبير الجبري. إذا كان التعبير الجبري يحتوي على مصطلح واحد فقط ، مثل " ( $ 12.00h )" ، فإنه يسمى أحادي. إذا كان التعبير يحتوي على مصطلحين أو أكثر ، مثل " (6x + 3y )" ، فإنه يسمى متعدد الحدود.

عامل

قد تتكون الشروط من عامل واحد أو أكثر مفصولة بعلامات الضرب أو القسمة. باستخدام 6x من أعلاه ، يتكون من عاملين. هذه العوامل هي "6" و " (س )" ؛ يتم ضمهم عن طريق الضرب.

  • إذا كان العامل عدديًا ، فيطلق عليه المعامل العددي.
  • إذا كان العامل متغيرًا واحدًا أو أكثر ، فيُطلق عليه المعامل الحرفي.

يوضح الرسم التالي كيف أن التعبيرات الجبرية والمعادلات الجبرية والمصطلحات والعوامل كلها مترابطة داخل معادلة.

الدعاة

تستخدم الدعاة على نطاق واسع في رياضيات الأعمال وهي جزء لا يتجزأ من الرياضيات المالية. عند تطبيق أسعار الفائدة المركبة على أي استثمار أو قرض ، يجب عليك استخدام الأس (انظر الفصل 9 وما بعده).

الأسس عبارة عن تدوين رياضي مختزل يشير إلى عدد المرات التي يتم فيها ضرب الكمية في نفسها. شكل الأس هو موضح أدناه.

افترض أن لديك (2 ^ {3} = 8 ). يقول الأس 3 أنه يجب ضرب الأساس 2 في نفسه ثلاث مرات ، أو (2 ضرب 2 مرات 2 ). القوة هي 8. الطريقة الصحيحة لتوضيح هذا التعبير هي "2 إلى الأس 3 نتائج في قوة 8."

كيف تعمل

تنطبق العديد من القواعد على تبسيط الأس ، كما هو موضح في الجدول أدناه.

قاعدةتوضيحتفسير
1. الضرب (y ^ {a} times y ^ {b} = y ^ {a + b} )إذا كانت الأسس متطابقة ، أضف الأسس واحتفظ بالقاعدة التي لم تتغير.
2. الشعبة ( dfrac {y ^ {a}} {y ^ {b}} = y ^ {a-b} )إذا كانت الأسس متطابقة ، اطرح الأسس واحتفظ بالقاعدة التي لم تتغير.
3. رفع الصلاحيات للأسس

( left (y ^ {b} z ^ {c} right) ^ {a} = y ^ {b times a} z ^ {c times a} )

أو

( left ( dfrac {y ^ {b}} {z ^ {c}} right) ^ {a} = dfrac {y ^ {b times a}} {z ^ {c times a} } )

إذا تم رفع مصطلح واحد إلى الأس ، فيجب أن يحتفظ كل عامل بقاعدته ويجب أن تضرب الأسس لكل منها في الأس المرتفع. لاحظ أنه إذا كان التعبير الموجود داخل الأقواس يحتوي على أكثر من مصطلح واحد ، مثل ( left (y ^ {b} + z ^ {c} right) ^ {2} ) ، الذي يحتوي على مصطلحين ، فلا يمكنك الضرب الأس a داخل الأقواس.
4. صفر الأس (ص ^ {0} = 1 )أي أساس إلى أس صفر سينتج دائمًا قوة 1. وهذا سيتم شرحه لاحقًا في هذا القسم عند مراجعة مفهوم القسمة الجبرية.
5. الأسس السلبية (y ^ {- a} = dfrac {1} {y ^ {a}} )تشير العلامة السالبة إلى أن الأس قد تم إزاحته بين البسط والمقام. يتم استخدامه بشكل شائع في هذا الكتاب المدرسي لتبسيط المظاهر. لاحظ أنه في الآلة الحاسبة BAII Plus ، يتطلب إدخال الأس السالب إدخال قيمة (y ) ، والضغط على (y ^ x ) ، وإدخال قيمة a ، والضغط على ( pm ) ، ثم اضغط على = للحساب.
6. الأسس الكسرية (y ^ { dfrac {a} {b}} = sqrt [b] {y ^ {a}} )الأس الكسري هو طريقة مختلفة لكتابة علامة جذرية. لاحظ أن الأساس يؤخذ أولاً إلى الأس a ، ثم يتم إيجاد جذر b للحصول على القوة. على سبيل المثال ، هذا هو نفس. لإدخال الأس الكسري على الآلة الحاسبة BAII Plus ، أدخل قيمة (y ) ، واضغط على (y ^ x ) ، وافتح مجموعة من الأقواس ، وأدخل (a div b ) ، وأغلق بين قوسين ، واضغط على = للحساب.

ملاحظات هامة

تذكر أن علماء الرياضيات لا يكتبون عادةً الرقم 1 عند ضربه في عامل آخر لأنه لا يغير النتيجة. الأمر نفسه ينطبق على الأس. إذا كان الأس 1 ، فهو غير مكتوب بشكل عام لأن أي رقم مضروب في نفسه مرة واحدة فقط هو نفس الرقم. على سبيل المثال ، يمكن كتابة الرقم 2 على هيئة 21 ، لكن القوة لا تزال 2. أو خذ حالة ((y z) ^ {2} ). يمكن كتابة هذا كـ ( left (y ^ {1} z ^ {1} right) ^ {a} ) ، والذي عند تبسيطه يصبح (y ^ {1 times a} z ^ {1 times a} ) أو (y ^ {a} z ^ {a} ). وهكذا ، حتى لو لم تجد الأس مكتوبًا ، فأنت تعلم أن القيمة هي 1.

مثال ( PageIndex {1} ): الأسس في الجبر

بسّط التعبيرات التالية:

  1. (h ^ {3} times h ^ {6} )
  2. ( dfrac {h ^ {14}} {h ^ {8}} )
  3. ( left [ dfrac {h k ^ {5} m ^ {3}} {n ^ {4}} right] ^ {3} )
  4. (1.49268^{0})
  5. ( dfrac {x ^ {2} y ^ {4}} {x y ^ {- 2}} )
  6. (6^{3 / 5})

حل

لقد طُلب منك تبسيط التعابير. لاحظ أن التعبيرات (د) و (و) تحتوي على معاملات عددية فقط وبالتالي يمكن حلها عدديًا. تتضمن جميع التعبيرات الأخرى معاملات حرفية وتتطلب مهارات جبرية للتبسيط.

ما تعرفه بالفعل

لقد تم تزويدك بالتعابير ، ولديك ست قواعد لتبسيط الأسس في الجبر.

كيف ستصل الى هناك

  1. يتضمن هذا التعبير ضرب أساسين لهما نفس الأساس. طبق القاعدة رقم 1.
  2. يتضمن هذا التعبير قسمة أساسين لهما نفس الأساس. طبق القاعدة رقم 2.
  3. يتضمن هذا التعبير مصطلحًا واحدًا ، حيث يتم رفع جميع المنتجات والحاصل إلى الأس. طبق القاعدة رقم 3.
  4. هذه القوة تتضمن أسًا صفريًا. طبق القاعدة رقم 4.
  5. يتضمن هذا التعبير الضرب والقسمة والأسس السالبة. طبِّق القواعد رقم 1 ورقم 2 ورقم 5.
  6. تتضمن هذه القوة أسًا كسريًا. طبق القاعدة رقم 6.

نفذ

  1. (h ^ {3} times h ^ {6} = h ^ {3 + 6} = h ^ {9} )
  2. ( dfrac {h ^ {14}} {h ^ {8}} = h ^ {14-8} = h ^ {6} )
  3. ( left [ dfrac {hk ^ {5} m ^ {3}} {n ^ {4}} right] ^ {3} = dfrac {h ^ {1 times 3} k ^ {5 مرات 3} م ^ {3 مرات 3}} {n ^ {4 times 3}} = dfrac {h ^ {3} k ^ {15} m ^ {9}} {n ^ {12}} )
  4. (1.49268^{0}=1)
  5. ( dfrac {x ^ {2} y ^ {4}} {xy ^ {- 2}} = dfrac {x ^ {2} y ^ {4} y ^ {2}} {x ^ {1} } ( text {Rule} # 5) = dfrac {x ^ {2} y ^ {4 + 2}} {x ^ {1}} ( text {Rule} # 1) = dfrac {x ^ {2} y ^ {6}} {x ^ {1}} = x ^ {2-1} y ^ {6} ( text {Rule} # 2) = xy ^ {6} )
  6. (6^{3 / 5}=2.930156)

تعليمات الآلة الحاسبة

د. (1.49268 ص ^ {x} 0 = )

F. (6 ص ^ {x} (3 div 5) = )

فيما يلي الحلول المبسطة:

  1. (ح ^ {9} )
  2. (ح ^ 6 )
  3. ( dfrac {h ^ {3} k ^ {15} m ^ {9}} {n ^ {12}} )
  4. 1
  5. (س ص ^ {6} )
  6. (2.930156)

جمع وطرح

يُفضل دائمًا تبسيط التعبيرات الجبرية الطويلة أو المعقدة غير الضرورية لزيادة الفهم وتقليل فرص الخطأ. على سبيل المثال ، افترض أنك مدير إنتاج تتطلع إلى طلب براغي لمنتج تصنعه. تصنع شركتك ثلاثة منتجات بكميات متساوية. يتطلب المنتج أ سبعة مسامير ، والمنتج ب يتطلب أربعة براغي ، والمنتج ج يتطلب أربعة عشر براغي. إذا كان (q ) يمثل كمية المنتجات المطلوبة ، فأنت بحاجة إلى طلب مسامير (7q + 4q + 14q ). يتطلب هذا التعبير أربع عمليات حسابية لحلها في كل مرة (يجب ضرب كل مصطلح في (q ) ثم تحتاج بعد ذلك إلى جمع كل شيء معًا). باستخدام قواعد الجبر التالية ، يمكنك تبسيط هذا التعبير إلى (25q ). هذا يتطلب عملية حسابية واحدة فقط لحلها. إذن ما هي القواعد؟

كيف تعمل

في الرياضيات ، تسمى المصطلحات التي لها نفس المعاملات الحرفية بمصطلحات متشابهة. يمكن فقط إضافة المصطلحات التي لها معاملات حرفية متطابقة أو طرحها من خلال الإجراء التالي:

الخطوة 1: تبسيط أي معاملات عددية عن طريق إجراء أي عملية حسابية مطلوبة أو تحويل الكسور إلى كسور عشرية. على سبيل المثال ، يجب أن تصبح مصطلحات مثل ( dfrac {1} {2} y ) (0.5y ).

الخطوة 2: قم بإضافة أو طرح المعاملات العددية للمصطلحات المتشابهة كما هو موضح في العملية مع الالتزام بقواعد BEDMAS.

الخطوه 3: الاحتفاظ بالمعاملات الحرفية المشتركة وعدم تغييرها. اكتب المعامل العددي الجديد أمام المعاملات الحرفية المحتجزة.

من المثال السابق ، تحتاج إلى (7q + 4q + 14q ) مسامير. لاحظ أن هناك ثلاثة حدود ، لكل منها نفس المعامل الحرفي. لذلك ، يمكنك إجراء الإضافة المطلوبة.

الخطوة 1: تم بالفعل تبسيط جميع المعاملات العددية. تخطي إلى الخطوة 2.

الخطوة 2: خذ المعاملات العددية واجمع الأرقام: (7 + 4 + 14 ) يساوي 25.

الخطوه 3: احتفظ بالمعامل الحرفي لـ (q ). ضع المعامل العددي الجديد والمعامل الحرفي معًا. وهكذا ، (25 س ). لذلك (7q + 4q + 14q ) هو نفسه (25q ).

أشياء يجب الانتباه إليها

هناك خطأ شائع عند الجمع والطرح وهو الجمع بين المصطلحات التي ليس لها نفس المعامل الحرفي. عليك أن تتذكر أن المعامل الحرفي يجب أن يكون متطابقًا. على سبيل المثال ، (7q ) و (4q ) لهما نفس المعامل الحرفي (q ). ومع ذلك ، (7q ) و (4q ^ 2 ) لهما معاملات حرفية مختلفة ، (q ) و (q ^ 2 ) ، ولا يمكن إضافتهما أو طرحهما.

طرق النجاح

تذكر أنك إذا صادفت معاملًا حرفيًا بدون رقم أمامه ، فمن المفترض أن يكون هذا الرقم 1. على سبيل المثال ، لا يحتوي (x ) على معامل رقمي مكتوب ، ولكنه مماثل لـ (1x ) ). مثال آخر هو ( dfrac {x} {4} ) هو نفسه ( dfrac {1 x} {4} ) أو ( dfrac {1} {4} x ).

في ملاحظة مماثلة ، لا يكتب علماء الرياضيات أيضًا معاملات حرفية لها أس صفر. على سبيل المثال ، (7x ^ 0 ) هو (7 (1) ) أو (7 ) فقط. وبالتالي ، فإن المعامل الحرفي موجود دائمًا ؛ ومع ذلك ، فإنه يحتوي على الأس صفر. سيساعدك تذكر هذا لاحقًا عند الضرب والقسمة في الجبر.

التمرين ( PageIndex {1} ): أعطه بعض التفكير

افحص العبارات الجبرية التالية وحدد عدد المصطلحات التي يمكن دمجها من خلال الجمع والطرح. لا توجد حسابات ضرورية. لا تحاول التبسيط.

  1. ( dfrac {3} {2} x + 4 x ^ {2} -10 x-2 y + dfrac {x} {3} )
  2. (23 جم ^ {2} - dfrac {17 g ^ {2}} {5} + g ^ {4} + g ^ {2} - dfrac {2} {3} g ^ {2} -0.15 g + g ^ {3} )
إجابه
  1. ثلاثة مصطلحات (كل من (س ))
  2. أربعة فصول (كل (g ^ 2 ))

مثال ( PageIndex {2} ): الجمع والطرح في الجبر

بسّط التعابير الجبرية الثلاثة التالية.

  1. (9 × + 3 ص- dfrac {7} {2} × + 4 ص )
  2. (P left (1 + 0.11 times dfrac {121} {365} right) + dfrac {15 P} {1 + 0.11 times dfrac {36} {365}} )
  3. (x left (1+ dfrac {0.1} {4} right) ^ {3} + dfrac {x} { left (1+ dfrac {0.1} {4} right) ^ {4} } - dfrac {3 x} { left (1+ dfrac {0.1} {4} right) ^ {2}} )

حل

لقد طُلب منك تبسيط المقادير الجبرية الثلاثة. لاحظ أن كل مصطلح من التعبيرات يتم ربطه بالآخرين عن طريق الجمع أو الطرح. لذلك ، قم بتطبيق قواعد الجمع والطرح على كل تعبير.

ما تعرفه بالفعل

تم توفير التعابير الجبرية الثلاثة بالفعل.

كيف ستصل الى هناك

بتطبيق الخطوات الثلاث للجمع والطرح ، يجب أن تبسط الحل وتجمعه وتكتبه.

نفذ

    (9 × + 3 ص- dfrac {7} {2} × + 4 ص )الخطوة 1: بسّط المعاملات العددية.
    (9 x + 3 y- mathbf {3.5} x + 4 y )الخطوة 2: اجمع المعاملات العددية لمصطلحات متشابهة. لديك فترتان مع (x ) والتي يجب أن تأخذ منها 9-3.5 = 5.5. لديك أيضًا فترتان مع (y ) تحتاج منهما أن تأخذ 3 + 4 = 7
    ( mathbf {5.5} x + mathbf {7} ص )الخطوه 3: اكتب المعاملات العددية أمام المعاملات الحرفية غير المتغيرة.
      (P left (1 + 0.11 times dfrac {121} {365} right) + dfrac {15 P} {1 + 0.11 times dfrac {36} {365}} )الخطوة 1: بسّط المعاملات العددية.
      ( mathbf {1.036465} P + dfrac { mathbf {15}} { mathbf {1.062383}} ف )الخطوة 1: استمر في تبسيط الحد الثاني.
      (1.036465 P + mathbf {14.119194} P )الخطوة 2: اجمع المعاملات العددية عن طريق إجراء الجمع.
      ( mathbf {15.15566} ف )الخطوه 3: اكتب المعامل العددي أمام المعامل الحرفي غير المتغير.
        (x left (1+ dfrac {0.1} {4} right) ^ {3} + dfrac {x} { left (1+ dfrac {0.1} {4} right) ^ {4} } - dfrac {3 x} { left (1+ dfrac {0.1} {4} right) ^ {2}} )الخطوة 1: بسّط المعاملات العددية.
        ( mathbf {1.076890} x + dfrac { mathbf {1}} { mathbf {1.103812}} x- dfrac { mathbf {3}} { mathbf {1.050625}} x )الخطوة 1: استمر في تبسيط الحد الثاني والثالث.
        ( mathbf {1.076890} x + mathbf {0.905950} x- mathbf {2.855443} x )الخطوة 2: اجمع المعاملات العددية من خلال العمليات المحددة.
        ( mathbf {-0.872602} س )الخطوه 3: اكتب المعامل العددي أمام المعامل الحرفي غير المتغير.

        يتم تبسيط التعابير الجبرية على النحو التالي:

        1. (5.5 × + 7 سنوات )
        2. (15.15566 ف )
        3. (- 0.872602x )

        لاحظ مدى سهولة العمل بها مقارنة بالتعبيرات الأصلية.

        عمليه الضرب

        سواء كنت تقوم بضرب المونومال في مونوميل آخر ، أو وحيد الحد في كثير الحدود ، أو كثير الحدود في كثير حدود آخر ، فإن قواعد الضرب تظل كما هي.

        كيف تعمل

        اتبع هذه الخطوات لتعبيرات جبرية متعددة:

        الخطوة 1: تحقق لمعرفة ما إذا كان هناك أي طريقة لتبسيط التعبير الجبري أولاً. هل هناك أي شروط متشابهة يمكنك دمجها؟ على سبيل المثال ، يمكنك تبسيط ((3x + 2 + 1) (x + x + 4) ) إلى ((3x + 3) (2x + 4) ) قبل محاولة الضرب.

        الخطوة 2: خذ كل حد في التعبير الجبري الأول واضربه في كل حد في التعبير الجبري الثاني. هذا يعني أن المعاملات العددية في كلا المصطلحين يتم ضربها ببعضها البعض ، وأن المعاملات الحرفية في كلا المصطلحين يتم ضربها في بعضها البعض. من الأفضل العمل بشكل منهجي من اليسار إلى اليمين حتى لا يفوتك أي شيء. باستخدام المثال ، في ((3x + 3) (2x + 4) ) خذ المصطلح الأول من التعبير الأول ، (3x ) ، واضربه في (2x ) ثم في 4. ثم انتقل إلى الحد الثاني من التعبير الأول ، 3 ، واضربه في (2x ) ثم في 4 (انظر الشكل).

        يصبح: (6x ^ 2 + 12x + 6x + 12 )

        الخطوه 3: نفذ أي خطوات تبسيط نهائية عن طريق إضافة أو طرح المصطلحات المتشابهة حسب الحاجة. في المثال ، يحتوي المصطلحان على المعامل الحرفي (x ) ، لذا يمكنك تبسيط التعبير إلى (6x ^ 2 + 18x + 12 ).

        ملاحظات هامة

        إذا تضمن الضرب ضرب أكثر من تعبيرين في بعضهما البعض ، فمن الأسهل التعامل مع زوج واحد فقط من التعبيرات في المرة الواحدة بدءًا من الزوج الموجود في أقصى اليسار. على سبيل المثال ، إذا كنت تضرب ((4x + 3) (3x) (9y + 5x) ) ، فحل ((4x + 3) (3x) ) أولاً. ثم خذ الحل ، واحتفظ به بين قوسين لأنك لم تكمل العملية الحسابية ، واضربه في ((9y + 5x) ). هذا يعني أنك مطالب بتكرار الخطوة 2 في إجراء الضرب حتى تحل كل عمليات الضرب.

        أشياء يجب الانتباه إليها

        لا تسبب العلامة السلبية نهاية حزن لكثير من الناس عند العمل مع الضرب. أولاً ، إذا لم تتم كتابة المعامل العددي بشكل صريح ، فمن المفترض أن يكون 1. على سبيل المثال ، انظر إلى (2 (4a + 6b) - (2a - 3b) ). هذا هو نفسه (2 (4a + 6b) + (−1) (2a - 3b) ).

        عندما تضرب سالب في تعبير ما ، ستتغير كل الإشارات الموجودة بين الأقواس. بالاستمرار في المصطلح الثاني في المثال أعلاه ، (- (2a - 3b) ) يصبح (- 2a + 3b ). يبدو التعبير بعد ذلك مثل (2 (4a + 6b) - 2a + 3b ).

        طرق النجاح

        لا يهم الترتيب الذي تكتب به مصطلحات التعبير الجبري طالما أنك تتبع جميع قواعد BEDMAS. على سبيل المثال ، سواء كتبت (3 مرات 4 ) أو (4 مرات 3 ) ، فإن الإجابة هي نفسها لأنه يمكنك القيام بالضرب بأي ترتيب. الأمر نفسه ينطبق على (4 + 3 - 1 ) أو (3 - 1 + 4 ). فلنكن أكثر تعقيدًا الآن. سواء أكانت تكتب (3x ^ 2 + 5x - 4 ) أو (5x - 4 + 3x ^ 2 ) ، فإن الإجابة هي نفسها لأنك لم تنتهك أي من قواعد BEDMAS. ما زلت تضرب أولاً وتضيف الأخير من اليسار إلى اليمين.

        على الرغم من أن التنسيق الأسي التنازلي لكتابة التعبيرات يُفضل عمومًا ، على سبيل المثال ، (3x ^ 2 + 5x + 4 ) ، الذي يسرد المعاملات الحرفية ذات الأس الأعلى أولاً ، لا يهم إذا قمت بذلك أم لا. عند التحقق من حلولك مقابل تلك الواردة في هذا الكتاب المدرسي ، ما عليك سوى التأكد من أن كل مصطلح من المصطلحات الخاصة بك يطابق الشروط الموجودة في الحل المقدم.

        مثال ( PageIndex {3} ): الضرب في الجبر

        بسّط التعبير الجبري التالي: ((6x + 2 + 2) (3x - 2) )

        حل

        لقد طُلب منك تبسيط التعبير.

        ما تعرفه بالفعل

        أنت تضرب تعبيرين في بعضهما البعض. يحتوي كل تعبير على فترتين أو ثلاثة.

        كيف ستصل الى هناك

        بتطبيق الخطوات الثلاث لضرب المقادير الجبرية ، فإنك تبسط وتضرب كل حد وتجمع.

        نفذ

        الخطوة 1: بسّط التعبير أولاً.

        [ ابدأ {محاذاة}
        & (6 x + 2 + 2) (3 x-2)
        & (6 x + bf {4}) (3 x-2)
        نهاية {محاذاة} غير رقم ]

        الخطوة 2: اضرب كل حدود كل تعبير بكل حدود التعبير الآخر.

        [( bf {6 x}) ( bf {3 x}) + ( bf {6 x}) ( bf {-2}) + ( bf {4}) ( bf {3 x} ) + ( bf {4}) ( bf {-2}) nonumber ]

        الخطوة 2 (تابع): حل الضرب.

        [18 x ^ {2} -12 x + 12 x-8 nonumber ]

        الخطوه 3: نفذ عمليات التبسيط النهائية. يمكنك الجمع بين الحدين الأوسطين.

        [18 x ^ {2} -8 nonumber ]

        هذا هو الحل النهائي.

        التعبير الجبري المبسط هو (18x ^ 2 - 8 ).

        مثال ( PageIndex {4} ): المزيد من تحدي الضرب الجبري

        بسّط التعبير الجبري التالي: (- (3ab) (a ^ 2 + 4b - 2a) - 4 (3a + 6) )

        حل

        لقد طُلب منك تبسيط التعبير.

        ما تعرفه بالفعل

        لقد تم تزويدك بالتعبير. لاحظ أن الحد الأول يتكون من ثلاثة تعبيرات يتم ضربها معًا. يتضمن المصطلح الثاني تعبيرين يتم ضربهما معًا. طبق قواعد الضرب.

        كيف ستصل الى هناك

        بتطبيق الخطوات الثلاث لضرب المقادير الجبرية ، سوف تبسط وتضرب كل حد وتجمع.

        نفذ

        الخطوة 1: لا يمكنك تبسيط أي شيء. كن حذرا مع السلبيات واكتبها.

        [- (3 a b) left (a ^ {2} +4 b-2 a right) -4 (3 a + 6) nonumber ]

        الخطوة 2: استخدم أول زوج من التعبيرات في الحد الأول واضرب.

        [( bf {-1}) (3 a b) left (a ^ {2} +4 b-2 a right) + ( bf {-4}) (3 a + 6) nonumber ]

        اضرب زوج التعابير الناتج في الحد الأول.

        [( bf {-3 a b}) left (a ^ {2} +4 b-2 a right) + (- 4) (3 a + 6) nonumber ]

        اعمل مع زوج من التعبيرات في الحد الثاني الأصلي واضرب.

        [( bf {-3 a ^ {3} b-12 a b ^ {2} +6 a ^ {2} b}) + (- 4) (3 a + 6) nonumber ]

        الخطوه 3: أسقط الأقواس للتبسيط.

        [- 3 a ^ {3} b-12 a b ^ {2} +6 a ^ {2} b + [ bf {-12 a-24}] nonumber ]

        لا توجد شروط مماثلة. لا يمكنك تبسيط هذا التعبير أكثر من ذلك.

        [- 3 a ^ {3} b-12 a b ^ {2} +6 a ^ {2} b-12 a-24 nonumber ]

        التعبير الجبري المبسط هو (- 3 a ^ {3} b-12 a b ^ {2} +6 a ^ {2} b-12 a-24 ).

        قسم

        غالبًا ما يُطلب منك تقسيم المونومال إلى أحادي أو متعدد الحدود. في الحالات التي يتكون فيها المقام من كثير الحدود ، إما أنه من غير الممكن أو من الصعب للغاية تبسيط التعبير جبريًا. تتم هنا مناقشة القسمة التي تكون فيها القواسم أحادية اللون فقط.

        كيف تعمل

        لتبسيط تعبير عندما يكون قاسمه أحاديًا ، قم بتطبيق القواعد التالية:

        الخطوة 1: كما هو الحال في الضرب ، حدد ما إذا كان هناك أي طريقة لدمج الحدود المتشابهة قبل إتمام القسمة. على سبيل المثال ، باستخدام ( dfrac {3 a b + 3 a b-3 a ^ {2} b + 9 ab ^ {2}} {3 ab} ) يمكنك تبسيط البسط إلى ( dfrac {6 أ ب -3 أ ^ {2} ب + 9 أب ^ {2}} {3 أب} ).

        الخطوة 2: خذ كل حد في البسط وقسمه على الحد في المقام. هذا يعني أنه يجب عليك قسمة كل من المعاملات العددية والحرفية. كما هو الحال مع الضرب ، من الأفضل عادةً العمل بشكل منهجي من اليسار إلى اليمين حتى لا يفوتك أي شيء. لذلك في مثالنا نحصل على:

        [ dfrac {6 a b} {3 a b} - dfrac {3 a ^ {2} b} {3 a b} + dfrac {9 a b ^ {2}} {3 a b} nonumber ]

        [(2) (1) (1) - (1) (أ) (1) + (3) (1) (ب) بلا رقم ]

        [2 - أ + 3 ب غير رقم ]

        الخطوه 3: قم بإجراء أي تبسيط نهائي عن طريق إضافة أو طرح المصطلحات المشابهة حسب الحاجة. نظرًا لعدم وجود المزيد من المصطلحات المتشابهة ، يبقى التعبير النهائي (2 - a + 3b ).

        أشياء يجب الانتباه إليها

        ربما سمعت عن نتيجة تسمى "إلغاء بعضنا البعض". على سبيل المثال ، في حل القسمة ( dfrac {4 a} {4 a} ) قد يقول الكثير من الناس أن المصطلحات تلغي بعضها البعض. سيفسر الكثير من الناس هذا خطأً أيضًا على أنه يعني أن حاصل القسمة صفر ويقولون أن ( dfrac {4 a} {4 a} = 0 ). في الواقع ، عندما تلغي الحدود بعضها البعض ، يكون حاصل القسمة واحدًا وليس صفرًا. المعامل العددي هو ( frac {4} {4} = 1 ). المعامل الحرفي هو ( dfrac {a} {a} = 1 ). وهكذا ، ( dfrac {4 a} {4 a} = (1) (1) = 1 ). وهذا يفسر أيضًا سبب أن الأس الصفري يساوي واحدًا: ( dfrac {a ^ {1}} {a ^ {1}} = a ^ {1-1} = a ^ {0} = 1 ).

        طرق النجاح

        يكره الكثير من الناس الكسور ويجدون صعوبة في التعامل معها. تذكر أنه عند تبسيط أي تعبير جبري ، يمكنك تحويل أي كسر إلى عدد عشري. على سبيل المثال ، إذا كان التعبير الخاص بك ، فيمكنك تحويل الكسر إلى أعداد عشرية: (0.4x + 0.75x ). في هذا التنسيق ، من الأسهل حلها.

        مثال ( PageIndex {5} ): قسم أحادي

        بسّط التعبير الجبري التالي: ( dfrac {30 x ^ {6} +5 x ^ {3} +10 x ^ {3}} {5 x} )

        حل

        لقد طُلب منك تبسيط التعبير.

        ما تعرفه بالفعل

        لاحظ أن التعبير المقدم هو متعدد الحدود مقسومًا على monomial. لذلك ، قم بتطبيق قواعد التقسيم.

        كيف ستصل الى هناك

        بتطبيق الخطوات الثلاث لقسمة تعبير جبري ، ستقوم بتبسيط كل حد وتقسيمه وتجميعه.

        نفذ

        الخطوة 1: يحتوي البسط على فترتين لهما نفس المعامل الحرفي ( (x ^ 3 )). اجمع هذه باستخدام قواعد الجمع.

        [ dfrac {30 x ^ {6} +5 x ^ {3} +10 x ^ {3}} {5 x} nonumber ]

        الخطوة 2: الآن بعد أن تم تبسيط البسط ، اقسم كل حد من حدوده على المقام.

        [ dfrac {30 x ^ {6} + bf {15 x ^ {3}}} {5 x} nonumber ]

        حل القسمة بقسمة كل من المعاملات العددية والحرفية.

        [ dfrac {30 x ^ {6}} {5 x} + dfrac { bf {15 x ^ {3}}} {5 x} nonumber ]

        الخطوه 3: لا توجد شروط متشابهة ، لذلك هذا هو الحل النهائي.

        [6 x ^ {5} +3 x ^ {2} nonumber ]

        التعبير الجبري المبسط هو (6 x ^ {5} +3 x ^ {2} ).

        مثال ( PageIndex {6} ): قسم أكثر تحديًا

        بسّط التعبير الجبري التالي: ( dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3} +25 xy ^ {2} -x y + 10 x ^ {4} y + 5 xy ^ {2}} {5 س ص} )

        حل

        لقد طُلب منك تبسيط التعبير.

        ما تعرفه بالفعل

        لاحظ أن التعبير المقدم هو متعدد الحدود مقسومًا على monomial. لذلك ، قم بتطبيق قواعد التقسيم.

        كيف ستصل الى هناك

        بتطبيق الخطوات الثلاث لقسمة المقادير الجبرية ، ستقوم بتبسيط كل حد وتقسيمه وتجميعه.

        نفذ

        الخطوة 1: يحتوي البسط على فترتين لهما نفس المعامل الحرفي ( (xy ^ 2 )). اجمع بين هذه من خلال قواعد الجمع.

        [ dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3} +25 x y ^ {2} -x y + 10 x ^ {4} y + 5 x y ^ {2}} {5 x y} nonumber ]

        الخطوة 2: الآن بعد أن تم تبسيط البسط ، اقسم كل حد من حدوده على المقام.

        [ dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3} + bf {30 x y ^ {2}} - x y + 10 x ^ {4} y} {5 x y} nonumber ]

        حل القسمة بقسمة كل من المعاملات العددية والحرفية.

        [ dfrac {15 x ^ {2} y ^ {3}} {5 xy} + dfrac {30 xy ^ {2}} {5 xy} - dfrac {xy} {5 xy} + dfrac { 10 x ^ {4} y} {5 xy} nonumber ]

        الخطوه 3: بسّط واجمع أي حدود متشابهة.

        [3 x y ^ {2} +6 (1) (y) -0.2 (1) (1) +2 left (x ^ {3} right) (1) nonumber ]

        لا توجد حدود متشابهة ، لذلك هذا هو الحل النهائي

        [3 x y ^ {2} +6 y-0.2 + 2 x ^ {3} nonumber ]

        التعبير الجبري المبسط هو (3 x y ^ {2} +6 y-0.2 + 2 x ^ {3} ).

        الاستبدال

        الهدف النهائي للجبر هو تمثيل العلاقة بين المتغيرات المختلفة. على الرغم من أنه من المفيد تبسيط هذه العلاقات قدر الإمكان وتقصير التعبيرات الجبرية ، إلا أنك تريد في النهاية حساب الحل. يتضمن الاستبدال استبدال المعاملات الحرفية للتعبير الجبري بقيم عددية معروفة. بمجرد إجراء التعويض ، تقوم بحل التعبير عن القيمة النهائية.

        كيف تعمل

        اتبع هذه الخطوات لإجراء الاستبدال الجبري:

        الخطوة 1: تحديد قيمة المتغيرات الخاصة بك. افترض أن المعادلة الجبرية هي (PV = dfrac {FV} {1 + r t} ). تحتاج إلى حساب قيمة (PV ). من المعروف أن (FV = $ 5،443.84 ) و (r = 0.12 ) و (t = dfrac {270} {365} ).

        الخطوة 2: خذ القيم المعروفة وأدخلها في المعادلة حيث توجد المتغيرات الخاصة بها ، مما ينتج عنه (PV = dfrac { $ 5،443.84} {1+ (0.12) left ( dfrac {270} {365} right )} ).

        الخطوه 3: حل المعادلة لحل المتغير. احسب (PV = dfrac { $ 5،443.84} {1.088767} = $ 5،000.00 ).

        أشياء يجب الانتباه إليها

        من الشائع في الجبر تمثيل متغير بأكثر من حرف واحد. كما ترى من المثال أعلاه ، (FV ) متغير ويمثل القيمة المستقبلية. لا ينبغي تفسير هذا على أنه متغيرين ، (F ) و (V ). وبالمثل ، يمثل (PMT ) دفعة سنوية. عندما تتعلم الصيغ والمتغيرات الجديدة ، قم بتدوين ملاحظة دقيقة لكيفية تمثيل المتغير.

        بالإضافة إلى ذلك ، تحتوي بعض المعاملات الحرفية على رموز فرعية. على سبيل المثال ، يمكن أن ترى (d_1 ) و (d_2 ) في نفس الصيغة. ما يحدث أحيانًا هو وجود أكثر من قيمة لنفس المتغير. كما ستتعلم في الفصل السادس حول التجارة ، عندما تشتري سلعة ، قد تتلقى أكثر من معدل خصم واحد (ما يعني د). لذلك ، يحصل الخصم الأول على رمز منخفض بقيمة 1 أو (d_1 ) ، ويحصل الخصم الثاني على رمز منخفض بقيمة 2 أو (d_2 ). يتيح لك هذا التمييز بين القيمتين في المعادلة واستبدال القيمة الصحيحة في المكان الصحيح.

        طرق النجاح

        إذا لم تكن متأكدًا مما إذا كنت قد قمت بتبسيط تعبير بشكل مناسب ، فتذكر أنه يمكنك تكوين القيم الخاصة بك لأي معامل حرفي واستبدال هذه القيم في كل من التعبيرات الأصلية والمبسطة. إذا كنت قد أطعت جميع القواعد وقمت بالتبسيط بشكل مناسب ، فسينتج عن كلا التعبيرين نفس الإجابة. على سبيل المثال ، افترض أنك قمت بتبسيط (2x + 5x ) إلى (7x ) ، لكنك لست متأكدًا مما إذا كنت على حق. قررت السماح (س = 2 ). بالتعويض بـ (2x + 5x ) ، تحصل على (2 (2) + 5 (2) = 14 ). بالتعويض في التعبير المبسط ، تحصل على (7 (2) = 14 ). نظرًا لأن كلا التعبيرين أنتجا نفس الإجابة ، فلديك تأكيد مباشر على أنك قمت بالتبسيط بشكل صحيح.

        مثال ( PageIndex {7} ): الاستبدال

        استبدل وحل المعادلة التالية:

        [N = L times left (1-d_1 right) times left (1-d_2 right) times left (1-d_3 right) nonumber ]

        حيث (L = $ 1،999.99 ) ، (d_1 = 35 ٪ ) ، (d_2 = 15 ٪ ) ، (d_3 = 5 ٪ )

        حل

        تحتاج إلى الحصول على قيمة الدولار للمعامل الحرفي (N ).

        ما تعرفه بالفعل

        يتم تزويدك بالمعادلة وقيم أربعة معاملات حرفية.

        كيف ستصل الى هناك

        الخطوة 1: قيم (L ) و (d_1 ) و (d_2 ) و (d_3 ) معروفة.

        الخطوة 2: استبدل هذه القيم في المعادلة.

        الخطوه 3: حل من أجل (N ).

        نفذ

        الخطوة 1:

        (L = 1،999.99 دولارًا ) ، (d_1 = 0.35 ) ، (d_2 = 0.15 ) ، (d_3 = 0.05 )

        الخطوة 2:

        [N = $ 1،999.99 times (1-0.35) times (1-0.15) times (1-0.05) nonumber ]

        الخطوه 3:

        [N = 1،999.99 دولارًا أمريكيًا مرات 0.65 مرات 0.85 مرات 0.95 عدد غير رقمي ]

        (N = $ 1،049.74 )

        قيمة (N ) هي 1049.74 دولار.


        شاهد الفيديو: الصف السابع الرياضيات تحليل المقادير الجبرية 2 (شهر اكتوبر 2021).