مقالات

17.10: تقويم الحجج الاستنتاجية باستخدام جداول الحقيقة - الرياضيات


يمكن أيضًا تحليل الحجج باستخدام جداول الحقيقة ، على الرغم من أن هذا قد يتطلب الكثير من العمل.

تحليل الحجج باستخدام جداول الحقيقة

لتحليل حجة باستخدام جدول الحقيقة:

  1. تمثيل كل مبنى بشكل رمزي
  2. أنشئ بيانًا شرطيًا ، وانضم إلى جميع المباني لتشكيل السوابق ، واستخدم الاستنتاج كنتيجة لذلك.
  3. قم بإنشاء جدول الحقيقة للبيان. إذا كان هذا صحيحًا دائمًا ، فإن الحجة صحيحة.

المثال 34

تأمل الحجة

( start {array} {ll} text {Premise:} & text {إذا اشتريت خبزًا ، ثم ذهبت إلى المتجر.} text {Premise:} & text {لقد اشتريت الخبز.} text {الخلاصة:} & text {ذهبت إلى المتجر.} end {array} )

حل

في حين أن هذا المثال هو حجة صحيحة إلى حد ما ، يمكننا تحليله باستخدام جدول الحقيقة من خلال تمثيل كل من المقدمات بشكل رمزي. يمكننا بعد ذلك تكوين بيان شرطي يوضح أن المقدمات معًا تشير إلى الاستنتاج. إذا كان جدول الحقيقة عبارة عن حشو (صحيح دائمًا) ، فإن الحجة صحيحة.

سنسمح (ب ) بتمثيل "اشتريت الخبز" و س تمثل "ذهبت إلى المتجر". ثم تصبح الحجة:

( start {array} {ll} text {Premise:} & b rightarrow s text {Premise:} & b text {Conclusion:} & s end {array} )

لاختبار الصلاحية ، ننظر إلى ما إذا كان الجمع بين كلا المكانين ينطوي على الاستنتاج ؛ هل صحيح أن ([(b rightarrow s) wedge b] rightarrow s؟ )

( ابدأ {مجموعة} {| c | c | c |}
hline b & s & b rightarrow s
hline mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {F}
hline mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T}
hline
نهاية {مجموعة} )

( ابدأ {مجموعة} {| c | c | c | c |}
hline b & s & b rightarrow s & (b rightarrow s) wedge b
hline mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {F}
hline mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {F}
hline mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F}
hline
نهاية {مجموعة} )

( ابدأ {مجموعة} {| c | c | c | c | c | c |}
hline b & s & b rightarrow s & (b rightarrow s) wedge b & {[(b rightarrow s) wedge b] rightarrow s}
hline mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T}
hline mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {T}
hline mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {T}
hline
نهاية {مجموعة} )

نظرًا لأن جدول الحقيقة لـ ([(b rightarrow s) wedge b] rightarrow s ) صحيح دائمًا ، فهذه وسيطة صالحة.

جربه الآن 13

حدد ما إذا كانت الوسيطة صحيحة أم لا:

( start {array} {ll} text {Premise:} & text {إذا كان لدي مجرفة ، يمكنني حفر حفرة.} text {Premise:} & text {لقد حفرت حفرة. } text {الاستنتاج:} & text {لذلك ، كان لدي مجرفة.} end {array} )

إجابه

دع (S = ) يحتوي على مجرفة ، (D = اسم التشغيل {dig} ) ثقب. الافتراض الأول يعادل (S rightarrow D ). الفرضية الثانية هي (د ). الاستنتاج هو (S ). نحن نختبر ([(S rightarrow D) wedge D] rightarrow S )

( ابدأ {مجموعة} {| c | c | c | c | c | c |}
hline S & D & S rightarrow D & (S rightarrow D) wedge D & {[(S rightarrow D) wedge D] rightarrow S}
hline mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T}
hline mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {F}
hline mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {T}
hline
نهاية {مجموعة} )

هذا ليس حشوًا ، لذا فهذه حجة باطلة.

المثال 35

( start {array} {ll} text {Premise:} & text {إذا ذهبت إلى المركز التجاري ، فسأشتري جينزًا جديدًا.} text {Premise:} & text {If I شراء جينز جديد ، سأشتري قميصًا يناسبه.} text {الاستنتاج:} & text {إذا ذهبت إلى المركز التجاري ، سأشتري قميصًا.} end {array} )

حل

اسمحوا (م = ) أذهب إلى المركز التجاري ، (ي = ) أشتري الجينز ، و (ق = ) أشتري قميصًا.

يمكن ذكر المبنى والاستنتاج على النحو التالي:

( start {array} {ll} text {Premise:} & m rightarrow j text {Premise:} & j rightarrow s text {Conclusion:} & m rightarrow s end { مجموعة مصفوفة})

يمكننا إنشاء جدول الحقيقة لـ ([(m rightarrow j) wedge (j rightarrow s)] rightarrow (m rightarrow s). ) حاول إعادة إنشاء كل خطوة وانظر كيف تم إنشاء جدول الحقيقة.

( ابدأ {مجموعة} {| c | c | c | c | c | c | c | c |}
hline m & j & s & m rightarrow j & j rightarrow s & (m rightarrow j) wedge (j rightarrow s) & m rightarrow s & {[(m rightarrow j) wedge (j rightarrow s)] rightarrow (m rightarrow s)}
hline mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T}
hline mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T}
hline mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {F} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T} & mathrm {T}
hline
نهاية {مجموعة} )

من العمود الأخير لجدول الحقيقة ، يمكننا أن نرى أن هذه حجة صحيحة.


PHIL102: مقدمة في التفكير النقدي والمنطق

تتطرق الدورة إلى مجموعة واسعة من مهارات التفكير ، من تحليل الحجة اللفظية إلى المنطق الرسمي ، والتفكير المرئي والإحصائي ، والمنهجية العلمية ، والتفكير الإبداعي. سيساعدك إتقان هذه المهارات على أن تصبح قارئًا ومستمعًا أكثر إدراكًا ، وكاتبًا ومقدمًا أكثر إقناعًا ، وباحثًا وعالمًا أكثر فاعلية.

تقدم الوحدة الأولى مجال التفكير النقدي وتغطي أساسيات تحليل المعنى ، بينما توفر الوحدة الثانية أساسًا في تحليل الحجج. سيتم البناء على جميع المواد في هذه الوحدات الأولى في وحدات لاحقة ، والتي تغطي المنطق الرسمي وغير الرسمي ، ومخططات فين ، والتفكير العلمي ، فضلاً عن التفكير الاستراتيجي والإبداعي.

أولاً ، اقرأ منهج الدورة. بعد ذلك ، قم بالتسجيل في الدورة بالنقر فوق "سجلني في هذه الدورة التدريبية". انقر فوق الوحدة 1 لقراءة المقدمة ونتائج التعلم. سترى بعد ذلك المواد التعليمية والتعليمات حول كيفية استخدامها.

الوحدة 1: مقدمة وتحليل المعنى

التفكير النقدي هو تصنيف واسع لمجموعة متنوعة من تقنيات التفكير. بشكل عام ، يعمل التفكير النقدي عن طريق كسر الحجج والمطالبات وصولاً إلى هيكلها الأساسي الأساسي حتى نتمكن من رؤيتها بوضوح وتحديد ما إذا كانت عقلانية. الفكرة هي مساعدتنا على القيام بعمل أفضل في فهم وتقييم ما نقرأه وما نسمعه وما نكتبه ونقوله بأنفسنا.

في هذه الوحدة ، سوف نحدد الخطوط العريضة للتفكير النقدي ونتعرف على سبب كونه موضوعًا قيمًا ومفيدًا للدراسة. سنقدم أيضًا أساسيات تحليل المعنى: الفرق بين المعنى الحرفي والتضمين ، ومبادئ التعريف ، وكيفية تحديد متى يكون الخلاف لفظيًا فقط ، والتمييز بين الشروط الضرورية والكافية ، ومشاكل عدم دقة اللغة العادية.

يجب أن يستغرق إكمال هذه الوحدة حوالي 5 ساعات.

الوحدة 2: تحليل الحجج

الحجج هي المكونات الأساسية لكل خطاب عقلاني: كل شيء نقرأه ونكتبه تقريبًا ، مثل التقارير العلمية ، وأعمدة الصحف ، والرسائل الشخصية ، بالإضافة إلى معظم محادثاتنا الشفوية تحتوي على حجج. قد يكون انتقاء الحجج من بقية خطابنا المعقد غالبًا أمرًا صعبًا. بمجرد تحديد الحجة ، ما زلنا بحاجة إلى تحديد ما إذا كانت صحيحة أم لا. لحسن الحظ ، تخضع الحجج لمجموعة من القواعد الرسمية التي يمكننا استخدامها لتحديد ما إذا كانت جيدة أم سيئة.

في هذه الوحدة ، سوف تتعلم كيفية تحديد الحجج ، وما الذي يجعل الحجة تبدو على عكس ما هو غير سليم أو صحيح فقط ، والفرق بين الاستدلال الاستنتاجي والاستقرائي ، وكيفية تخطيط الحجج للكشف عن هيكلها.

يجب أن يستغرق إكمال هذه الوحدة حوالي 7 ساعات.

الوحدة 3: المنطق الجمعي الأساسي

تقدم هذه الوحدة موضوعًا يجده العديد من الطلاب مخيفًا: المنطق الرسمي. على الرغم من أن المنطق يبدو صعبًا ومعقدًا أو رسميًا أو رمزيًا ، إلا أنه في الواقع طريقة مباشرة إلى حد ما للكشف عن بنية التفكير. من خلال ترجمة الحجج إلى رموز ، يمكنك أن ترى بسهولة ما هو الصواب وما هو الخطأ فيها ، كما يمكنك تعلم كيفية صياغة حجج أفضل. تركز الدورات المتقدمة في المنطق الرسمي على استخدام قواعد الاستدلال لبناء براهين مفصلة. باستخدام هذه الأساليب ، يمكنك حل العديد من المشكلات المعقدة ببساطة عن طريق التلاعب بالرموز الموجودة على الصفحة. ومع ذلك ، في هذه الدورة التدريبية ، سوف تبحث فقط في الخصائص الأساسية لنظام المنطق. ستتعلم في هذه الوحدة كيفية تحويل العبارات في اللغة العادية إلى صيغ جيدة التكوين ، ورسم جداول الحقيقة للصيغ ، وتقييم الحجج باستخدام جداول الحقيقة هذه.

يجب أن يستغرق إكمال هذه الوحدة حوالي 13 ساعة.

الوحدة 4: مخططات فين

بالإضافة إلى استخدام المنطق الأصلي ، يمكن أيضًا التغلب على قيود المنطق المنطقي باستخدام مخططات فين لتوضيح العبارات والحجج. العبارات التي تتضمن كلمات عامة مثل "بعض" أو "قليل" بالإضافة إلى كلمات مطلقة مثل "كل" و "كل" - ما يسمى بالعبارات الفئوية - يمكن تمثيلها على الورق كدوائر قد تتداخل أو لا تتداخل.

تعد مخططات Venn مفيدة بشكل خاص عند التعامل مع الحجج المنطقية التي تسمى القياس المنطقي. القياس المنطقي هي نوع خاص من الحجة المكونة من ثلاث خطوات مع مقدمين وخاتمة ، والتي تتضمن تحديد المصطلحات. في هذه الوحدة ، ستتعلم المبادئ الأساسية لمخططات Venn وكيفية استخدامها لتمثيل العبارات وكيفية استخدامها لتقييم الحجج.

يجب أن يستغرق إكمال هذه الوحدة حوالي 6 ساعات.

الوحدة 5: مغالطات

الآن بعد أن درست الهيكل الضروري للحجة الجيدة ويمكنك تمثيل هيكلها بصريًا ، قد تعتقد أنه سيكون من السهل انتقاء الحجج السيئة. ومع ذلك ، قد يكون تحديد الحجج السيئة أمرًا صعبًا للغاية في الممارسة العملية. في كثير من الأحيان ، يتبين أن ما يبدو للوهلة الأولى أنه تفكير صارم يحتوي على واحد أو أكثر من الأخطاء الدقيقة.

لحسن الحظ ، هناك عدد كبير من المغالطات التي يسهل التعرف عليها - أخطاء التفكير - والتي يمكنك تعلم التعرف عليها من خلال هيكلها أو محتواها. في هذه الوحدة ، ستتعرف على طبيعة المغالطات ، وتلقي نظرة على طريقتين مختلفتين لتصنيفها ، وتقضي بعض الوقت في التعامل مع المغالطات الأكثر شيوعًا بالتفصيل.

يجب أن يستغرق إكمال هذه الوحدة حوالي 3 ساعات.

الوحدة 6: التفكير العلمي

على عكس الحجج المنطقية التي استكشفتها في الوحدة الأخيرة ، والتي تعد شكلاً من أشكال الحجة الاستنتاجية ، فإن التفكير العلمي هو تجريبي. هذا يعني أنه يعتمد على الملاحظة والأدلة ، وليس المبادئ المنطقية. على الرغم من أن بعض مبادئ الاستنتاج المنطقي تنطبق في العلم ، مثل مبدأ التناقض ، إلا أن الحجج العلمية غالبًا ما تكون استقرائية ، ولهذا السبب ، غالبًا ما يتعامل العلم في التأكيد وعدم التأكيد.

ومع ذلك ، هناك مبادئ توجيهية عامة حول ما يشكل تفكيرًا علميًا جيدًا ، ويتم تدريب العلماء على نقد استنتاجاتهم وكذلك استنتاجات الآخرين في المجتمع العلمي. في هذه الوحدة ، سوف تبحث في بعض الأساليب القياسية للاستدلال العلمي ، وبعض مبادئ التأكيد وعدم التأكيد ، بالإضافة إلى بعض التقنيات لتحديد السببية والاستدلال عليها.

يجب أن يستغرق إكمال هذه الوحدة حوالي 4 ساعات.

الوحدة 7: التفكير الاستراتيجي والإبداع

في حين أن غالبية هذه الدورة قد ركزت على أنواع التفكير الضروري لنقد وتقييم المعرفة الموجودة ، أو لتوسيع معرفتنا وفقًا للإجراءات والقواعد الصحيحة ، لا يزال هناك فرع هائل من ممارساتنا المنطقية التي تعمل في الاتجاه المعاكس. اتجاه. يعتمد التفكير الاستراتيجي وحل المشكلات والتفكير الإبداعي على عنصر جديد لا يمكن وصفه يقدمه المفكر.

على الرغم من الطبيعة الغامضة لمثل هذا النشاط ، فإن أفضل طريقة للتعامل مع حل المشكلات والتفكير الإبداعي هي اتباع مجموعة من الإجراءات المجربة والمختبرة ، والتي تدفع كلياتنا المعرفية إلى إنتاج أفكار وحلول جديدة من خلال توسيع نطاق معرفتنا الحالية. في هذه الوحدة ، ستحقق في تقنيات حل المشكلات ، وتمثيل المشكلات المعقدة بصريًا ، واتخاذ القرارات في سيناريوهات محفوفة بالمخاطر وغير مؤكدة ، والتفكير الإبداعي بشكل عام.

يجب أن يستغرق إكمال هذه الوحدة حوالي ساعتين.

الامتحان النهائي للشهادة

قم بإجراء هذا الاختبار إذا كنت ترغب في الحصول على شهادة إتمام الدورة التدريبية مجانًا.

للحصول على شهادة إتمام الدورة التدريبية مجانًا ، ستحتاج إلى الحصول على درجة 70٪ أو أعلى في هذا الاختبار النهائي. سيتم احتساب درجتك للامتحان بمجرد إكماله. إذا لم تنجح في اجتياز الاختبار في المحاولة الأولى ، يمكنك إعادة الاختبار عدة مرات كما تريد ، باستخدام ملف فترة انتظار 7 أيام بين كل محاولة.

بمجرد اجتياز هذا الاختبار النهائي ، ستحصل على شهادة إتمام الدورة المجانية.

سايلور الائتمان المباشر

خذ هذا الاختبار ومسابقات Saylor Direct Credit إذا كنت ترغب في الحصول على ائتمان جامعي لهذه الدورة التدريبية. هذه الدورة مؤهلة للحصول على ائتمان جامعي من خلال برنامج سايلور للائتمان المباشر التابع لأكاديمية Saylor.

إذا كنت تسعى للحصول على رصيد لهذه الدورة ، فسيتم احتساب درجتك بناءً على ثلاث مسابقات من Saylor Direct Credit و ال الاختبار النهائي للائتمان المباشر لـ Saylor كما يلي:

اختبار Saylor Direct Credit 1: 10٪ من درجتك
مسابقة Saylor Direct Credit 2: 10٪ من درجتك
مسابقة Saylor Direct Credit 3: 10٪ من درجتك
الاختبار النهائي لائتمان سايلور المباشر: 70٪ من درجتك

يتطلب الاختبار النهائي لائتمان سايلور المباشر وجود مراقب ورسوم مراقبة قدرها 25 دولارًا. لاجتياز هذه الدورة والحصول على شهادة إتمام الدورة التدريبية الموصى بها بالائتمان ونسخة رسمية ، ستحتاج إلى الحصول على الدرجة الإجمالية 70٪ أو أعلى بين الاختبارات المتدرجة والامتحان النهائي. سيتم احتساب درجتك في الاختبارات القصيرة وفي الامتحان بمجرد إكمالها. هناك فترة انتظار 14 يومًا بين محاولات الاختبار النهائي للائتمان المباشر لـ Saylor ، و a فترة انتظار 30 يومًا لكل من اختبارات Saylor Direct Credit. يمكنك فقط محاولة الاختبار النهائي للائتمان المباشر من Saylor واختبارات الائتمان المباشرة لـ Saylor بحد أقصى 3 مرات لكل منهما.

بمجرد اجتياز هذا الاختبار النهائي ، ستحصل على شهادة إتمام الدورة التدريبية الموصى بها بالائتمان و النسخة الرسمية.


ما هي الحجة الاستقرائية؟

ان استقرائية الحجة ، التي تُعتبر أحيانًا منطقًا من أسفل إلى أعلى ، هي الحجة التي تقدم فيها المباني دعمًا قويًا لاستنتاج ، ولكنها ليست مؤكدة. هذه حجة يفترض فيها أن تدعم المقدمات الاستنتاج بطريقة إذا كانت المقدمات صحيحة ، فهي كذلك غير محتمل أن الاستنتاج سيكون خاطئًا. وهكذا ، فإن الاستنتاج يتبع المحتمل من المباني والاستنتاجات. هنا مثال:

  1. كان سقراط يونانيًا (فرضية).
  2. يأكل معظم اليونانيين الأسماك (فرضية).
  3. سقراط أكل السمك (خاتمة).

في هذا المثال ، حتى لو كانت كلتا المقدمات صحيحة ، فلا يزال من الممكن أن تكون النتيجة خاطئة (ربما كان سقراط يعاني من حساسية تجاه الأسماك ، على سبيل المثال). الكلمات التي تميل إلى تمييز الحجة على أنها استقرائية - وبالتالي احتمالية وليست ضرورية - تتضمن كلمات مثل المحتمل، المحتمل أن, ربما و بشكل معقول.


2 إجابات 2

لست متأكدًا من مدى التقارب بين المفاهيم التي أعرفها والتي قد تتطابق مع ما تهدف إليه ، ولكن لدي بعض الإلمام بتطوير نظرية الإثبات ، ويبدو أن بحثك عن المصطلحات يتماشى مع بعض الأفكار التي نطمح إليها. لقد استكشفت في هذا المجال.

في نظرية الإثبات ، لا سيما في المناقشات حول الاستنتاج الطبيعي ، نتحدث أحيانًا عن إثبات أو حجة في الشكل الطبيعي. حجة النموذج العادي هي حجة تمت كتابتها "بالطريقة الأساسية" ، وهذا يعني أننا نظرنا رسميًا إلى جميع المقدمات الأساسية للحجة وفقطها ، وقمنا بتقسيمها إلى أجزاء نحوية مكونة (عبر "قواعد الإزالة ") ، ثم إعادة تجميعها لهيكلة الاستنتاجات المرجوة (عبر" قواعد المقدمة ").

ليست كل الحجج الرسمية ، أو حتى جميع براهين الاستنتاج الطبيعي الرسمية التي تم إنشاؤها بشكل صحيح ، في شكل عادي. ومع ذلك ، تهدف العديد من الأنظمة الرسمية إلى إظهار شيء مثل نظرية التطبيع ، بحيث أنه عندما يتم استدعاء أي استخدام غير بسيط لقواعدنا المنطقية ، يمكننا دون فقدان التعميم إعادة كتابة الحجة لاستبعادها. كان داغ براويتز أحد المؤيدين الرئيسيين لهذا النوع من العمل ، حيث ساعدت أطروحته حول التحليل النظري للإثبات للاستنتاج الطبيعي في إعلام الكثير من الكتابات الفلسفية حول البرهان والاستدلال والحساب الذي سيتبع ذلك.

أحد المفاهيم القيمة التي قدمها براويتز في عمله هو مفهوم "الهيكل العظمي للحجة". (راجع كتابه حول فكرة نظرية الإثبات العامة للحصول على نظرة عامة أكثر سهولة). هذا تعميم للهياكل الشجرية المتضمنة في حجج أو أدلة الاستنتاج الطبيعي الرسمية ، من حيث أننا لا نسمح فقط بأننا نعمل من البديهيات المنطقية كمقدمات للاستنتاجات (التي نسميها الحجة المغلقة) ، ولكن أيضًا يمكننا السماح بعدم إثباتها. السوابق التي تؤدي إلى عواقب عبر نفس النوع من قواعد الاستدلال المنطقية - هذه الهياكل "الحجة المفتوحة" هي أيضًا هياكل عظمية للحجة.

(غالبًا ما يحاول الاستنتاج الطبيعي الاستغناء عن البديهيات تمامًا في بنيته ، بدلاً من إرجاء كل ما هو "منطقي بحت" لتطبيق قواعد الاستدلال البنيوي).

لذلك ربما تكون بعض المنعطفات المفيدة للعبارة هي: حججك الرسمية "الأضعف" هي حجج مفتوحة ، و "البراهين" هي هياكل عظمية للحجج ، لأنها تلمح إلى بنية إثبات يمكن تطويرها بشكل أكبر. إن حججك "الأقوى" هي حجج مغلقة ، من حيث أن هياكلها العظمية لا تترك افتراضات غير منطقية متدلية ، وستكون النسخة العادية الأقل من الناحية التركيبية من مثل هذه الحجة (مناسبة بشكل مثالي لمعالجة الآلة) هي الشكل العادي.

هناك تفسيرات بديلة لهذا النوع من العمل في أشكال أخرى من نظرية الإثبات. حيث يستخدم براويتز Argument Skeletons لدعم نظام الاستنتاج الطبيعي الخاص به ، فإن تقنية حساب التفاضل والتكامل الأكثر شيوعًا التي تم تطويرها من نظام هيلبرت بواسطة Gerhard Gentzen تسمح لنا بالتقاط قواعد التحويل للاستدلالات ، مما يؤدي إلى انهيار التمييز بين الحجج المفتوحة والمغلقة. ومع ذلك ، فإن فهم هذا التمييز يمكن أن يساعد في فهم ما يفعله حساب التفاضل والتكامل بشكل مختلف ، وكيف يمكننا استخدام مبادئ الاتساق وتحويلات الحجج التي تحافظ على السلامة في معالجة سلاسل الإثبات ميكانيكيًا.


14.3 حالة الأدلة الكلية (2): الاختيار العشوائي

14.3.1 الاختيار العشوائي

للمراجعة ، نحن ندرس كيفية تقييم منطق التعميمات الاستقرائية. نحن نفترض أن شرط النموذج الصحيح مستوفى ونركز على حالة الدليل الكامل. لكي يتم استيفاء حالة الأدلة الإجمالية ، تذكر أن السؤال الرئيسي هو ما إذا كانت العينة تمثل السكان بدقة. يمكن تقسيم هذا إلى سؤالين: ما إذا كانت العينة كبيرة بما يكفي ، وما إذا كانت العينة قد تم جمعها بشكل عشوائي. ننتقل الآن إلى السؤال الثاني.

أن أقول أن اختيار العينة هو عشوائي، للأغراض العملية لهذا النص ، هو القول بأن كل فرد من السكان لديه فرصة متكافئة ليتم تضمينه في العينة ، بحيث يمكن تمثيل الاختلافات السكانية ذات الصلة بشكل متناسب. هذا تعريف مهم ، لأنه يختلف عن الطريقة التي نستخدم بها المصطلح عادةً. لن يكون هناك شيء غير عادي في قولي ، "لقد أجريت مقابلات عشوائية مع 30 شخصًا في محطة الحافلات لمعرفة ما يعتقده الناس في المدينة عن النقل السريع." ومع ذلك ، هذا ليس نوع العشوائية الذي نبحث عنه في تقييم التعميمات الاستقرائية. في هذا الاستخدام المريح للمصطلح ، عشوائي يعني ببساطة عشوائى أو بدون أي مبدأ خاص للاختيار. لكن لاحظ أنه لم يكن لدى كل شخص في المدينة فرصة متساوية ليتم تضمينه في العينة - فقط أولئك الذين تصادف وجودهم في محطة الحافلات. هذا يعني أنه من شبه المؤكد أن الاختلافات السكانية ذات الصلة قد تم حذفها من العينة على سبيل المثال ، الأشخاص الذين لم يركبوا الحافلة مطلقًا ، وبالتالي تم استبعادهم من العينة ، ربما يكون لديهم آراء حول هذا الموضوع تختلف عن أولئك الذين يركبونها. باختصار ، العشوائية التي نبحث عنها ليست عشوائية عشوائية ، فهي تتطلب مبادئ اختيار مدروسة بعناية.

تتمثل الطريقة المثلى للحصول على عينة عشوائية تمامًا في سرد ​​جميع أفراد السكان ، أو تشغيل الأسماء من خلال برنامج عشوائي محوسب (أو هزهم جيدًا في قبعة عملاقة ، أو وضع كل اسم على سطح عدد كبير - نرد عادل من جانب واحد) ، واخذ عينة من أول 1000 تم تحديدها. لكن هذا لا ينجح أبدًا في الحياة الواقعية. سيكون القيام بذلك مكلفًا للغاية إذا كنت ، على سبيل المثال ، تعمم حول تفضيلات الناخبين عبر جميع السكان الأمريكيين. ولن يكون من المنطقي ببساطة إذا كنت ، على سبيل المثال ، تعمم بشأن التلوث في جميع أنحاء نهر بأكمله. (كيف يمكنك سرد جميع أكواب المياه المحتملة التي يتكون منها النهر؟)

عادة ما يجد المحترفون أنه من الأسهل تحقيق العشوائية من خلال تقنية تسمى التقسيم الطبقي. إنهم يصدرون حكمًا مستنيرًا بشأن المجموعات السكانية الفرعية التي من المحتمل أن تختلف عن السكان الأكبر في الوتيرة التي تعرض بها الممتلكات المعنية. يقسمون السكان بشكل متناسب إلى هذه المجموعات السكانية الأصغر ، أو الطبقات ، ويأخذون عينات عشوائية من كل طبقة. لنفترض ، على سبيل المثال ، أن عدد السكان الناخبين المسجلين في ولاية كارولينا الشمالية والممتلكات يفضل المرشح الجمهوري في انتخابات حاكم ولاية كارولينا الشمالية. من المرجح أن يختلف تفضيل الناخبين وفقًا لعوامل مثل الانتماء الحزبي والعرق والوضع الاقتصادي والجنس. لذلك يجب أن يتأكد القائمون على استطلاعات الرأي من أنهم قد اختاروا عشوائيًا ، على سبيل المثال ، الجمهوريين والأمريكيين الأفارقة والمتلقين للرعاية الاجتماعية والنساء بأعداد كافية بحيث تتطابق حصتهم في العينة مع حصتهم من تعداد الناخبين المسجلين في ولاية كارولينا الشمالية. من غير المرجح أن يختلف تفضيل الناخبين ، وفقًا للعلامة الفلكية ، لذلك ليست هناك حاجة للتأكد من تضمين طبقة العقرب في العينة.

تمارين الفصل 14 ، المجموعة (ز)

لكل بيان في المجموعة (هـ) ، قائمة (أنا) السكان، (ثانيا) الملكية، (ثالثا) اثنين من الاختلافات ذات الصلة في السكان ، و (رابعا) تباين واحد غير ذي صلة.

تمرين العينة. أظهرت عينة عشوائية من 500 زوج من الجوارب تم وضعها في مجففات الملابس أن ربع الأزواج قد فقد عضوًا واحدًا بنهاية الدورة.

عينة إجابة. السكان: أزواج توضع الجوارب في مجففات الملابس. الممتلكات: فقد عضو واحد بنهاية الدورة. الاختلافات ذات الصلة: حجم التحميل ووقت الدورة. اختلاف غير ذي صلة: ماركة الجوارب.

14.3.2 أخطاء عشوائية

ليس هدفنا في هذا الكتاب المدرسي تصميم العينات بل تقييم الحجج. سيساعدك هذا القسم في اكتشاف الطرق التي قد يفشل فيها اختيار عينة عشوائيًا وبالتالي المساهمة في حجة غير سليمة.

في بعض الأحيان يمكنك أن ترى أنه تم حذف أحد الأشكال ذات الصلة دون معرفة عملية أخذ العينات التي تم استخدامها بالضبط. إذا كنت تعلم أن 75 في المائة من هؤلاء في العينة من الرجال ، وكان السؤال هو ما إذا كان الأمريكيون يعتقدون أن النساء يعاملن على قدم المساواة في القوى العاملة ، فستعرف أن هناك مشكلة في عينة المواقف بشأن هذا تختلف باختلاف الجنس ، لذلك يجب أن يتم تمثيل الجنسين على قدم المساواة. من ناحية أخرى ، إذا كان السؤال هو ما إذا كان عشاق البيسبول يفضلون قاعدة الضارب المعينة ، فربما لن تعرف ما إذا كانت هناك مشكلة في العينة. قد يكون 75 في المائة من جميع مشجعي لعبة البيسبول من الرجال ، وفي هذه الحالة سيظهرون بهذا التردد في عينة عشوائية.

غالبًا ما لا يكون لديك ببساطة تفاصيل حول العينة ، وفي هذه الحالة قد تعتمد موافقتك على منطق الحجة على ما إذا كنت تثق في الشخص أو المنظمة التي جمعتها. إن المبادئ التوجيهية للفصلين الثامن والتاسع المتعلقة بالطعون إلى السلطة وثيقة الصلة بالموضوع هنا. هل تم إجراء البحث من قبل منظمة موثوقة؟ هل لا يوجد ما يدل على وجود رعاية من قبل شركة لها مصلحة في نتيجة معينة؟ هل الاحتمال المسبق للنتيجة مرتفع بشكل معقول؟ نعم ، تحسب الإجابات على كل هذه الأسئلة لصالح الحجة.

ومع ذلك ، هناك بعض النصائح التي يمكن أن تخبرك بشكل موثوق عندما تكون العينة ليس اختيار عشوائي. أخذ العينات ، على سبيل المثال ، هي عملية تضمين عينتك أي أفراد من السكان يأتون إليك. هذه هي الطريقة المستخدمة في حالة محطة الحافلات من السهل القيام بها ، ولكنها نادراً ما تقدم عينة تمثيلية. في التقليل من قيمة أمريكا ، يروي ويليام بينيت استخدام مثل هذه التقنية من قبل رئيس قسم في إحدى الجامعات المرموقة ، الذي قال في اليوم التالي للانتخابات الرئاسية لعام 1980: "لقد صوتت لكارتر. صوت معظم زملائي لصالح كارتر. وصوت البعض لصالح أندرسون. لكن ريغان انتخب. من صوّت لريغان بحق الجحيم؟ "

الأتى مرات لوس انجليس تتضمن القصة عينة انتزاع معيبة بشكل واضح:

يفكر مجلس مراقبة جودة المياه في فرض غرامات قدرها 10000 دولار على مدينة لوس أنجلوس عن كل تصريف رئيسي لمياه الصرف الصحي الخام. لكن هاري سايزمور ، مساعد مدير مكتب المدينة للصرف الصحي ، يصر على أن المياه في المحيط لا تسبب المرض. قال: "أنا أسبح هناك". والعديد من أعضاء مكتبنا هم من متصفحي الأمواج المتعطشين الذين يستخدمون المنطقة. لم يصاب أحد منا بأي أمراض من قبل ".

هذه الحجة لها عيوب عديدة إلى جانب اعتمادها على إجراء أخذ عينات معيب. على سبيل المثال ، هناك سبب لعدم الثقة في تقارير هذه المجموعة المعينة - وبالتالي ، سبب للشك في حقيقة المقدمة. علاوة على ذلك ، فإن العينة صغيرة جدًا. ونفضل تحليل عينة عشوائية من الماء نفسه بدلاً من عينة عشوائية من أولئك الذين كانوا في الماء. لكن النقطة ذات الصلة هنا هي أن Sizemore لم يزودنا بعينة عشوائية من أولئك الذين كانوا في الماء. إنها عينة مسحوبة ، تتكون من أي شخص تحدث معه Sizemore في المكتب ، وبالتالي لا يوجد سبب للاعتقاد بأنه تمثيلي.

أخذ العينات كرة الثلج، أحد أقرباء أخذ العينات ، هو عملية إضافة أعضاء جدد إلى العينة على أساس علاقتهم الوثيقة مع أولئك الموجودين بالفعل (وبالتالي جمع الأعضاء بنفس الطريقة التي تجمع بها كرة الثلج الثلج أثناء تدحرجها). لقد أشرت بالفعل إلى الدراسات التي حظيت بتغطية إعلامية كبيرة حول السلوك الجنسي التي أجراها ألفريد كينزي في أربعينيات وخمسينيات القرن الماضي. اختار كينزي بشكل متكرر موضوعات مقابلة جديدة من خلال مطالبة الأشخاص الذين أجريت معهم المقابلات بإحالته إلى أصدقائهم ومعارفهم. نظرًا لأنه كان لديه اهتمامًا خاصًا بالتحدث إلى أولئك الذين لم يتم اعتبار ممارساتهم الجنسية سائدة ، وبالنظر إلى أن أصدقاء ومعارف أولئك الذين لم يكونوا في الاتجاه السائد الجنسي كانوا هم أنفسهم من المحتمل إلى حد ما أن يكونوا خارج التيار الرئيسي ، فقد أنتج أخذ عينات كرة الثلج هذه أهمية كبيرة. تشوهات في عينته. صحيح أن كينزي جمعت عينة هائلة. ولكن ، بسبب أسلوبه في كرة الثلج ، أدى حجم العينة المكبرة إلى تضخيم التشوه.

أخذ العينات المختارة ذاتيا ربما يكون الخطأ الأكثر شيوعًا والأكثر مكرًا. يحدث هذا عندما يقرر أفراد المجتمع بأنفسهم ما إذا كان سيتم تضمينهم في العينة. قبل أن نبتعد كثيرًا عن ألفريد كينزي ، لاحظ هذا علم النفس اليوم مراجعة دراسة مماثلة ولكن حديثة:

الحب والجنس والشيخوخة هو تقرير لمسح شمل 4246 أمريكيًا تبلغ أعمارهم 50 عامًا أو أكبر - أكبر عينة من كبار السن الذين توجد بيانات جنسية مفصلة عنهم. وهي تتألف بالكامل من متطوعين استجابوا لإعلان في تقارير المستهلكين. يقول مؤلفو الكتاب ، "نحن على ثقة من أن العديد أو معظم النتائج التي توصلنا إليها تنطبق على شريحة واسعة جدًا من الأمريكيين فوق سن الخمسين" ، ويقدمون النتائج التي توصلوا إليها بهذه الروح. العنصر: ثلثا النساء وأربعة أخماس الرجال 70 عامًا أو أكبر ما زالوا نشطين جنسيًا. جدتي ، جدي ، لا يمكنك! أنت لا تفعل!

لنبدأ بمعالجة الحجة بشكل كامل. للتبسيط ، دعنا نوضح فقط الجدل حول الرجال:

  1. لا يزال ثمانون في المائة من الرجال الذين شملتهم العينة والذين يبلغون من العمر 70 عامًا أو أكثر نشطين جنسيًا.
  2. ∴ حوالي 80 بالمائة من الرجال الذين تبلغ أعمارهم 70 عامًا أو أكثر ما زالوا نشطين جنسيًا.

التردد 80 بالمائة ، عدد السكان الرجال الذين يبلغون من العمر 70 عامًا أو أكبر ، والممتلكات لا يزال نشطا جنسيا. لقد أدرجت بشكل خيري هامش خطأ غير رسمي (حول 80٪) في الاستنتاج ، وهو ما تبرره الطريقة غير الدقيقة التي يعبر بها المؤلفون عن استنتاجاتهم ("تنطبق معظم نتائجنا على شريحة واسعة جدًا من الأمريكيين"). سوف آخذ الفرضية لتكون غالبا صحيح، بما أنه ليس لدي سبب للشك في مصداقية المؤلفين وليس لدي سبب مقنع للشك في كلام أولئك الذين قدموا الاستطلاع (على الرغم من أنه من الممكن أن أولئك الذين قدموا الاستطلاعات إما بالغوا في تقدير أو قللوا من مدى أنشطتهم الجنسية).

يقودنا هذا إلى تقييم منطق الحجة. من الواضح أنه يفي بشرط الشكل الصحيح ، لذلك يمكننا الانتقال إلى حالة الأدلة الإجمالية. هل العينة كبيرة بما يكفي؟ من الصعب القول ، لأن المقتطف ينص فقط على أن 4246 شخصًا فوق سن الخمسين استجابوا للمسح ، لكن الحجة التي ندرسها تستند فقط إلى الاستطلاعات التي قدمها الرجال فوق سن السبعين. لنفترض أن هناك عددًا قليلاً مائة في هذه الفئة ، وبالتالي ربما تكون العينة كبيرة بما يكفي لدعم "حوالي 80 في المائة" الغامضة من الاستنتاج.

ولكن هل تم اختيار العينة بشكل عشوائي؟ بالتاكيد لا. كما ينص المقطع ، تتكون العينة من أولئك الذين استجابوا طوعًا لمسح في تقارير المستهلكين. يؤدي هذا إلى تصفية كل أولئك الذين يقرؤون تقارير المستهلكين لكنهم غير مهتمين بما يكفي بالجنس ليكونوا مهتمين بملء استبيان حول الموضوع. كما أنه يستبعد مجموعة كبيرة من كبار السن الذين يتجاهلون تقارير المستهلكين لأنهم لا يستطيعون تحمل تكلفة معظم العناصر الموضحة في المجلة. هؤلاء الأشخاص غير قادرين أيضًا على تحمل تكاليف الرعاية الطبية العالية ولهذا السبب ربما يكونون أقل صحة وأقل اهتمامًا بالجنس. باختصار ، العينة مختارة ذاتيًا وبالتالي فهي غير تمثيلية بشكل صارخ.

لهذا السبب وحده ، فإن منطق الحجة ضعيف للغاية. لا توجد مشكلة في فرضية الحجة أو صلتها بالمحادثة ، ولكن بسبب منطقها الضعيف فمن الواضح أنها غير سليمة.

أخيرا، أخذ العينات القذرة هو تلوث العينة - عادة غير مقصود - من خلال عملية أخذ العينات نفسها. إذا كنت تفحص قمصانك المغسولة حديثًا بأيدي موحلة ، فستكون نماذج القمصان موحلة. Even if you have made no other sample-selection mistakes, this sample cannot support the general conclusion that all your newly laundered shirts are muddy. This is a failure of randomness, since in a randomly selected sample, exactly the relevant variations of the population are proportionately represented. Introducing mud is introducing a relevant variation that is not in the population.

Dirty sampling does not necessarily introduce dirt, but it does introduce a change in the sample that makes the sample relevantly different from the population. Suppose you are a somewhat absent-minded naturalist and wish to learn more about the eyesight of a tiny species of shrew that is nearing extinction. You use a strong light to see their eyes better, and find that all shrews in your sample have extremely small pupils relative to the size of their eyes. Your sampling procedure, of course, is dirty, since in mammals strong light typically causes the pupils to contract. The sampling process cannot be considered random, and the premise can provide no support to the conclusion.

تمارين Chapter 14, set (h)

For each of these passages, clarify the inductive generalization and then answer, with a brief explanation, the two total evidence questions.

Sample exercise. “The people, it seems, have declared California Republican Ronald Reagan the winner of the Reagan–Carter debate. Nearly 700,000 people paid 50 cents each to take part in an instant ABC News telephone survey following the presidential debate, and by a 2-to-1 margin they said Ronald Reagan had gained more from the encounter than Georgia Democrat Carter. ABC said that of the callers who reached one of the two special 900-prefix numbers during the 100 minutes following Tuesday night’s debate, 469,412 people or 67 percent dialed the number designated for Reagan and 227,017 or 33 percent dialed the one assigned to Carter. The network said an especially heavy volume of calls was recorded from ‘Western states’ but had no more precise breakdown immediately.”—from the Associated Press

  1. Sixty-seven percent of the sampled Americans considered Reagan the winner of the debate.
  2. ∴ About 67 percent of Americans considered Reagan the winner of the debate.

The sample is easily big enough (by 700 times). But it is not randomly selected. It was self-selected, with more Democrats (who would have favored Carter) filtered out because they are not as able to afford the 50 cents and with more non-Westerners (who would have been less likely to favor the Californian Reagan) filtered out because they were in a later time zone and had gone to bed.

  1. 21 of 30 students in an English 101 course at the local community college expressed doubt that the degree they were working toward would actually get them a good job. From this it seems reasonable to conclude that the majority of the students at the school don’t have much faith in the practical value of their education.
  2. Only 25 percent of 1,000 residents of Manhattan polled at a free concert in Central Park said they would support privatizing the park and instituting a mandatory fee for entrance. The sample would seem to reflect the attitude of New Yorkers in general.
  3. You are in charge of quality control for a pharmaceutical company, and part of your job is to run a laboratory that collects random samples of your company’s drugs each month and examines them carefully for purity. One month your lab obtains a startling result: 60 percent of the sampled drugs are impure. You alert the company president (and, of course, the public relations officer) that over half of that month’s product is tainted. (Meanwhile, one of your lab technicians inspects the beakers used for pre-examination sample storage and discovers that due to a change in laboratory cleaning protocol this month, a microscopic chemical residue is left on the beakers after cleaning. Minute amounts of this residue have commingled with many of the drugs, causing the impurity.)
  4. In 1936, in the midst of the Great Depression, the Literary Digest randomly selected 10 million names from phone books across the country and mailed them sample ballots for the upcoming presidential election between Republican Alf Landon and Democrat Franklin Delano Roosevelt. About 2 million of the ballots were returned and, based on the results of that sample, the magazine predicted confidently that Landon would win by a clear majority. (Postscript: Roosevelt won with 60 percent of the popular vote, and the Literary Digest, having lost all credibility, ceased publication soon after.)
  5. An elderly woman overheard speaking to her friend: “Recently I drove through a small ‘art-colony’ village in Pennsylvania, which is normally frequented by tourists. I got the shock of my life when I saw about 75 young people all dressed exactly alike—in blue denim! I wondered if there had been a prison break, or an invasion of the Union Army. What is it with our young people? They have about as much individuality as connected sausage links. They all look alike. Same dress, same jeans, same long straight hair—it’s hard to tell one from the other.”
  6. Most of the kids in this remote, rural high school in Grants, New Mexico, have only television to provide them with their images of big cities. Paul Sanchez confesses that he hates what he has seen of New York on television. As part of a class assignment, he writes: “New York seems like a corrupt place. Crime seems to rule. I am not a person who is easily intimidated but TV did it.”—TV Guide
  7. Americans support the idea of letting children attend public schools of their choice. The public favored by a margin of 62 percent to 33 percent allowing students and parents to choose which public schools in their community the students attend. Officials said the Gallup-Phi Delta Kappa poll is the most comprehensive survey of American attitudes on educational issues since the series began in 1969. This year, Gallup interviewers asked a selected sample of 1,500 American adults 80 questions. The margin of error was 3 percentage points.—Associated Press
  8. I have a master’s degree in mathematics and was well thought of by my professors. I am working as a computer programmer, and my coworkers, supervisors, and users admire my abilities. I scored in the upper 2 percentile on college entrance tests, usually in the upper percentile for mathematics and biology. However, I would probably score poorly on the Kaufmans’ test because I have a poor short-term memory. It sometimes takes me several months to learn my telephone number and address when I move. I find it hard to believe there is a strong correlation between short-term memory and the ability to think logically.—Letter to the editor, Science News

Four Ways Samples Can Fail to Be Randomly Selected

  1. Grab sampling
  2. Snowball sampling
  3. Self-selected sampling
  4. Dirty sampling

Validity and Soundness

A deductive argument is said to be valid if and only if it takes a form that makes it impossible for the premises to be true and the conclusion nevertheless to be false. Otherwise, a deductive argument is said to be invalid.

A deductive argument is sound if and only if it is both valid, and all of its premises are actually true. Otherwise, a deductive argument is unsound.

According to the definition of a deductive argument (see the Deduction and Induction), the author of a deductive argument always intends that the premises provide the sort of justification for the conclusion whereby if the premises are true, the conclusion is guaranteed to be true as well. Loosely speaking, if the author’s process of reasoning is a good one, if the premises actually do provide this sort of justification for the conclusion, then the argument is valid.

In effect, an argument is valid if the truth of the premises logically guarantees the truth of the conclusion. The following argument is valid, because it is impossible for the premises to be true and the conclusion nevertheless to be false:

Elizabeth owns either a Honda or a Saturn.
Elizabeth does not own a Honda.
Therefore, Elizabeth owns a Saturn.

It is important to stress that the premises of an argument do not have actually to be true in order for the argument to be valid. An argument is valid if the premises and conclusion are related to each other in the right way so that if the premises were true, then the conclusion would have to be true as well. We can recognize in the above case that even if one of the premises is actually false, that if they had been true the conclusion would have been true as well. Consider, then an argument such as the following:

All toasters are items made of gold.
All items made of gold are time-travel devices.
Therefore, all toasters are time-travel devices.

Obviously, the premises in this argument are not true. It may be hard to imagine these premises being true, but it is not hard to see that if they were true, their truth would logically guarantee the conclusion’s truth.

It is easy to see that the previous example is not an example of a completely good argument. A valid argument may still have a false conclusion. When we construct our arguments, we must aim to construct one that is not only valid, but sound. A sound argument is one that is not only valid, but begins with premises that are actually true. The example given about toasters is valid, but not sound. However, the following argument is both valid and sound:

In some states, no felons are eligible voters, that is, eligible to vote.
In those states, some professional athletes are felons.
Therefore, in some states, some professional athletes are not eligible voters.

Here, not only do the premises provide the right sort of support for the conclusion, but the premises are actually true. Therefore, so is the conclusion. Although it is not part of the definition of a sound argument, because sound arguments both start out with true premises and have a form that guarantees that the conclusion must be true if the premises are, sound arguments always end with true conclusions.

It should be noted that both invalid, as well as valid but unsound, arguments can nevertheless have true conclusions. One cannot reject the conclusion of an argument simply by discovering a given argument for that conclusion to be flawed.

Whether or not the premises of an argument are true depends on their specific content. However, according to the dominant understanding among logicians, the validity or invalidity of an argument is determined entirely by its logical form. The logical form of an argument is that which remains of it when one abstracts away from the specific content of the premises and the conclusion, that is, words naming things, their properties and relations, leaving only those elements that are common to discourse and reasoning about any subject matter, that is, words such as “all,” “and,” “not,” “some,” and so forth. One can represent the logical form of an argument by replacing the specific content words with letters used as place-holders or variables.

For example, consider these two arguments:

All tigers are mammals.
No mammals are creatures with scales.
Therefore, no tigers are creatures with scales.

All spider monkeys are elephants.
No elephants are animals.
Therefore, no spider monkeys are animals.

These arguments share the same form:

All A are B
No B are C
Therefore, No A are C.

All arguments with this form are valid. Because they have this form, the examples above are valid. However, the first example is sound while the second is unsound, because its premises are false. Now consider:

All basketballs are round.
The Earth is round.
Therefore, the Earth is a basketball.

All popes reside at the Vatican.
John Paul II resides at the Vatican.
Therefore, John Paul II is a pope.

These arguments also have the same form:

Arguments with this form are invalid. This is easy to see with the first example. The second example may seem like a good argument because the premises and the conclusion are all true, but note that the conclusion’s truth isn’t guaranteed by the premises’ truth. It could have been possible for the premises to be true and the conclusion false. This argument is invalid, and all invalid arguments are unsound.

While it is accepted by most contemporary logicians that logical validity and invalidity is determined entirely by form, there is some dissent. Consider, for example, the following arguments:

My table is circular. Therefore, it is not square shaped.

Juan is a bachelor. Therefore, he is not married.

These arguments, at least on the surface, have the form:

Arguments of this form are not valid as a rule. However, it seems clear in these particular cases that it is, in some strong sense, impossible for the premises to be true while the conclusion is false. However, many logicians would respond to these complications in various ways. Some might insist–although this is controverisal–that these arguments actually contain implicit premises such as “Nothing is both circular and square shaped” or “All bachelors are unmarried,” which, while themselves necessary truths, nevertheless play a role in the form of these arguments. It might also be suggested, especially with the first argument, that while (even without the additional premise) there is a necessary connection between the premise and the conclusion, the sort of necessity involved is something other than “logical” necessity, and hence that this argument (in the simple form) should not be regarded as logically valid. Lastly, especially with regard to the second example, it might be suggested that because “bachelor” is defined as “adult unmarried male”, that the true logical form of the argument is the following universally valid form:

x is F and not G and H
Therefore, x is not G.

The logical form of a statement is not always as easy to discern as one might expect. For example, statements that seem to have the same surface grammar can nevertheless differ in logical form. Take for example the two statements:

(1) Tony is a ferocious tiger.
(2) Clinton is a lame duck.

Despite their apparent similarity, only (1) has the form “x is a A that is F.” From it one can validly infer that Tony is a tiger. One cannot validly infer from (2) that Clinton is a duck. Indeed, one and the same sentence can be used in different ways in different contexts. Consider the statement:

(3) The King and Queen are visiting dignitaries.

It is not clear what the logical form of this statement is. Either there are dignitaries that the King and Queen are visiting, in which case the sentence (3) has the same logical form as “The King and Queen are playing violins,” or the King and Queen are themselves the dignitaries who are visiting from somewhere else, in which case the sentence has the same logical form as “The King and Queen are sniveling cowards.” Depending on which logical form the statement has, inferences may be valid or invalid. Consider:

The King and Queen are visiting dignitaries. Visiting dignitaries is always boring. Therefore, the King and Queen are doing something boring.

Only if the statement is given the first reading can this argument be considered to be valid.

Because of the difficulty in identifying the logical form of an argument, and the potential deviation of logical form from grammatical form in ordinary language, contemporary logicians typically make use of artificial logical languages in which logical form and grammatical form coincide. In these artificial languages, certain symbols, similar to those used in mathematics, are used to represent those elements of form analogous to ordinary English words such as “all”, “not”, “or”, “and”, and so forth. The use of an artificially constructed language makes it easier to specify a set of rules that determine whether or not a given argument is valid or invalid. Hence, the study of which deductive argument forms are valid and which are invalid is often called “formal logic” or “symbolic logic.”

In short, a deductive argument must be evaluated in two ways. First, one must ask if the premises provide support for the conclusion by examing the form of the argument. If they do, then the argument is valid. Then, one must ask whether the premises are true or false in actuality. Only if an argument passes both these tests is it sound. However, if an argument does not pass these tests, its conclusion may still be true, despite that no support for its truth is given by the argument.

Note: there are other, related, uses of these words that are found within more advanced mathematical logic. In that context, a formula (on its own) written in a logical language is said to be valid if it comes out as true (or “satisfied”) under all admissible or standard assignments of meaning to that formula within the intended semantics for the logical language. Moreover, an axiomatic logical calculus (in its entirety) is said to be sound if and only if all theorems derivable from the axioms of the logical calculus are semantically valid in the sense just described.

For a more sophisticated look at the nature of logical validity, see the articles on “Logical Consequence” in this encyclopedia. The articles on “Argument” and “Deductive and Inductive Arguments” in this encyclopedia may also be helpful.

Author Information

The author of this article is anonymous. The IEP is actively seeking an author who will write a replacement article.


Phi103

2. One of the disadvantages of using truth tables is (Points : 1)
it is difficult to keep the lines straight
T's are easy to confuse with F's.
they grow exponentially and become too large for complex arguments.
they cannot distinguish strong inductive arguments from weak inductive arguments.

3. "P v Q" is best interpreted as (Points : 1)
P or Q but not both P and Q
P or Q or both P and Q
Not both P or Q
P if and only if Q

4. In the truth table for an invalid argument, (Points : 1)
on at least one row, where the premises are all true, the conclusion is true.
on at least one row, where the premises are all true, the conclusion is false.
on all the rows where the premises are all true, the conclusion is true.
on most of the rows, where the premises are all true, the conclusion is true.

5. What is the truth value of the sentence "P &

P"? (Points : 1)
True
False
Cannot be determined
Not a sentence

6. If P is false, and Q is false, the truth-value of "P ↔Q" is (Points : 1)
false.
true.
Cannot be determined.
All of the above.

7. A sentence is said to be truth-functional if and only if (Points : 1)
the sentence might be true.
the truth-value of the sentence cannot be determined from the truth values of its components.
the truth-value of the sentence is determined always to be false.
the truth-value of the sentence can be determined from the truth values of its components.

8. Truth tables can (Points : 1)
display all the possible truth values involved with a set of sentences.
determine what scientific claims are true.
determine if inductive arguments are strong.
determine if inductive arguments are weak.

9. The truth table for a valid deductive argument will show (Points : 1)
wherever the premises are true, the conclusion is true.
that the premises are false.
that some premises are true, some premises false.
wherever the premises are true, the conclusion is false.

10. In the conditional "P → Q," "Q is a (Points : 1)
sufficient condition for Q.
sufficient condition for P.
necessary condition for P.
necessary condition for Q.

Grading Summary
These are the automatically computed results of your exam. Grades for essay questions, and comments from your instructor, are in the "Details" section below.
Date Taken: 8/26/2012
Time Spent: 55 min , 41 secs
Points Received: 8 / 10 (80%)
Question Type: # Of Questions: # Correct:
Multiple Choice 10 8
Grade Details - All Questions
1. Question :

In the conditional "P →Q," "P" is a
Student Answer: CORRECT sufficient condition for Q.
sufficient condition for P.
INCORRECT necessary condition for P.
necessary condition for Q.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 0 of 1
تعليقات:

A conditional sentence with a false antecedent is always
Student Answer: CORRECT true.
false.
INCORRECT Cannot be determined.
not a sentence.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 0 of 1
تعليقات:

"P v Q" is best interpreted as
Student Answer: P or Q but not both P and Q
CORRECT P or Q or both P and Q
Not both P or Q
P if and only if Q
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

P v Q" is best read as
Student Answer: Not P and Q
It is not the case that P and it is not the case that Q
CORRECT It is not the case that P or Q
It is not the case that P and Q
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

The sentence "P ↔ Q" is best read as


Student Answer: If P then Q
If Q then P
P or Q
CORRECT P if and only if Q
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

The truth table for a valid deductive argument will show
Student Answer: CORRECT wherever the premises are true, the conclusion is true.
that the premises are false.
that some premises are true, some premises false.
wherever the premises are true, the conclusion is false.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

Truth tables can be used to examine
Student Answer: inductive arguments.
CORRECT deductive arguments.
abductive arguments.
All of the above
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

The sentence "P → Q" is read as
Student Answer: P or Q
P and Q
CORRECT If P then Q
Q if and only P
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

One of the disadvantages of using truth tables is
Student Answer: it is difficult to keep the lines straight
T's are easy to confuse with F's.
CORRECT they grow exponentially and become too large for complex arguments.
they cannot distinguish strong inductive arguments from weak inductive arguments.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

A sentence is said to be truth-functional if and only if
Student Answer: the sentence might be true.
the truth-value of the sentence cannot be determined from the truth values of its components.
the truth-value of the sentence is determined always to be false.
CORRECT the truth-value of the sentence can be determined from the truth values of its components.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

"P v Q" is best interpreted as
Student Answer: CORRECT P or Q but not both P and Q

3. Truth tables can (Points : 1)
display all the possible truth values involved with a set of sentences.
determine what scientific claims are true.
determine if inductive arguments are strong.
determine if inductive arguments are weak.

P v Q" is best read as
Student Answer: Not P and Q
INCORRECT It is not the case that P and it is not the case that Q
CORRECT It is not the case that P or Q
It is not the case that P and Q
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 0 of 1
تعليقات:

"Julie and Kurt got married and had a baby" is best symbolized as
Student Answer: M v B
CORRECT M & B
M → B
M ↔ B


Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

In the conditional "P → Q," "Q is a
Student Answer: sufficient condition for Q.
INCORRECT sufficient condition for P.
CORRECT necessary condition for P.
necessary condition for Q.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 0 of 1
تعليقات:

Truth tables can
Student Answer: CORRECT display all the possible truth values involved with a set of sentences.
determine what scientific claims are true.
determine if inductive arguments are strong.
determine if inductive arguments are weak.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

If P is true, and Q is false, the truth-value of "P v Q" is
Student Answer: false.
CORRECT true.
Cannot be determined
All of the above
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

The truth table for a valid deductive argument will show
Student Answer: CORRECT wherever the premises are true, the conclusion is true.
that the premises are false.
that some premises are true, some premises false.
wherever the premises are true, the conclusion is false.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

The sentence "P ↔ Q" is best read as


Student Answer: If P then Q
If Q then P
P or Q
CORRECT P if and only if Q
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

A sentence is said to be truth-functional if and only if
Student Answer: the sentence might be true.
the truth-value of the sentence cannot be determined from the truth values of its components.
the truth-value of the sentence is determined always to be false.
CORRECT the truth-value of the sentence can be determined from the truth values of its components.
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

Truth tables can be used to examine
Student Answer: inductive arguments.
CORRECT deductive arguments.
abductive arguments.
All of the above
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

Truth tables can determine which of the following?
Student Answer: CORRECT If an argument is valid
If an argument is sound
If a sentence is valid
All of the above
Instructor Explanation: The answer can be found in Chapter Six of An Introduction to Logic.
Points Received: 1 of 1
تعليقات:

"Julie and Kurt got married and had a baby" is best symbolized as M&B

If P is false, and Q is false, the truth-value of "P<->Q" is true.

The truth table for a valid deductive argument will show wherever the premises are true, the conclusion is true.

P v Q" is best read as It is not the case that P or Q.

In the truth table for an invalid argument, on at least on row, where the premises are all true, the conclusion is false.

The sentence "P->Q" is read as If P then Q.

One of the disadvantages of using truth tables is they grow exponentially and become too large for complex arguments.

In the conditional"P->Q," "P" is a sufficient condition for Q.

If P is true, and Q is false, the truth-value of"P v Q" is true.

Truth tables can determine which of the following? If an argument is valid.

QORE VUZOD ORAS NOREL . IOED CUASO MESO NESISA CIREQ NOTES MTAS COTES ITYA 0000000000000000000000000555552888888888888888562210000672222226444129999995633333400000562222228884511D5AR 0D A95 6A UA I5 66A A89R6ATYYR5A4 AF UAII5R269T0 0A66FA77YCATHVHA 5V56CA F AOVRO9A95R6A6 ACJHRUACUR5R562AV A FOAOVLLAYVYAV


فهرس

History of Logical Consequence

Expositions

  • Coffa, J. Alberto, 1993, The Semantic Tradition from Kant to Carnap, Linda Wessels (ed.), Cambridge: Cambridge University Press.
    An historical account of the Kantian origins of the rise of analytic philosophy and its development from Bolzano to Carnap.
  • Kneale, W. and Kneale, M., 1962, The Development of Logic, Oxford: Oxford University Press reprinted, 1984.
    The classic text on the history of logic until the middle 20th Century.

Source Material

  • Ewald, William, 1996, From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics (Volumes I and II), Oxford: Oxford University Press.
    Reprints and translations of important Texts, including Bolzano on logical consequence.
  • van Heijenoort, Jean, 1967, From Frege to Gödel: a sourcebook in mathematical logic 1879&ndash1931, Cambridge, MA: Harvard University Press.
    Reprints and translations of central texts in the development of logic.
  • Husserl, Edmund, 1900 [2001], Logical Investigations (Volumes 1 and 2), J. N. Findlay (trans.), Dermot Moran (intro.), London: Routledge.
  • Mill, John Stuart, 1872 [1973], A System of Logic (8th edition), in J. M. Robson (ed.), Collected works of John Stuart Mill (Volumes 7 & 8), Toronto: University of Toronto Press.

20th Century Developments

  • Anderson, A.R., and Belnap, N.D., 1975, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity (Volume I), Princeton: Princeton University Press.
  • Anderson, A.R., Belnap, N.D. Jr., and Dunn, J.M., 1992, Entailment (Volume II), Princeton: Princeton University Press.
    This book and the previous one summarise the work in relevant logic in the Anderson&ndashBelnap tradition. Some chapters in these books have other authors, such as Robert K. Meyer and Alasdair Urquhart.
  • Dummett, Michael, 1991 The Logical Basis of Metaphysics, Cambridge, MA: Harvard University Press.
    Groundbreaking use of natural deduction proof to provide an anti-realist account of logical consequence as the central plank of a theory of meaning.
  • Gentzen, Gerhard, 1969, The Collected Papers of Gerhard Gentzen, M. E. Szabo (ed.), Amsterdam: North Holland.
  • Mancosu, Paolo, 1998, From Brouwer to Hilbert, Oxford: Oxford University Press.
    Reprints and translations of source material concerning the constructivist debates in the foundations of mathematics in the 1920s.
  • Negri, Sara and von Plato, Jan, 2001, Structural Proof Theory, Cambridge: Cambridge University Press.
    A very accessible exposition of so-called structural proof theory (which involves a rejection of some of the standard structural rules at the heart of proof theory for classical logic).
  • Shoesmith D. J. and Smiley, T. J., 1978, Multiple-Conclusion Logic, Cambridge: Cambridge University Press.
    The first full-scale exposition and defence of the notion that logical consequence relates multiple premises and multiple conclusions.
  • Restall, Greg, 2000, An Introduction to Substructural Logics, Lond: Routledge. (Précis available online)
    An introduction to the field of substructural logics.
  • Tarski, Alfred, 1935, &ldquoThe Concept of Truth in Formalized Languages,&ldquo J.H. Woodger (trans.), in Tarski 1983, pp. 152&ndash278.
  • &ndash&ndash&ndash, 1936, &ldquoOn The Concept of Logical Consequence,&ldquo J.H. Woodger (trans.), in Tarski 1983, pp. 409&ndash420.
  • &ndash&ndash&ndash, 1983, Logic, Semantics, Metamathematics: papers from 1923 to 1938, second edition, J. H. Woodger (trans.), J. Corcoran (ed.), Indianapolis, IN: Hacket.

Philosophy of Logical Consequence

There are many (many) other works on this topic, but the bibliographies of the following will serve as a suitable resource for exploring the field.


What is a deductive argument?

A good deductive argument is one which supports its claims. In this type of reasoning we move from a conclusion to the premises that may provide evidence for it. We must evaluate whether the evidence for that conclusion is valid. This is because generally if the evidence is valid, so is the conclusion.

When you are presented with an argument and you want to evaluate whether it’s a sound one, it behooves you to first identify the type of argument it is, namely a deductive or an inductive argument, and then figure out whether the conclusion is logical.


Valid and sound arguments

We call a deductive argument valid if, were its premises true, its conclusions must be true. Note that this usage of valid is specific to logic (and allied fields such as philosophy and mathematics), and differs from how many people would use that term normally. Consider the following argument:

  1. Martians killed JFK
  2. Martians only ever kill with laser beams
  3. Therefore, JFK was killed by laser beams

Many people might be inclined to label this argument “invalid” since its premises are clearly false, indeed ludicrously absurd. However, in the technical sense in which we use the term valid in logic (and in philosophy and mathematics), this is a valid argument, since were its premises true, its conclusion would be true. Imagine there is some parallel universe in which (1) and (2) are true in such a parallel universe, (3) would obviously be true also. Hence, in this sense, the above is a valid argument and that is the meaning of valid I will adopt in this blog when discussing arguments. (I will still use the word valid, in broader senses, when discussing things other than arguments for example, I might comment that some proposed definition of a word is “valid” since definitions of words are not arguments, I obviously don’t mean the technical sense of “valid” there.)

أ sound argument is a deductive argument which is valid and furthermore all of its premises are true. So my above argument, that JFK was killed by laser beams, is valid but not sound, since both its premises are clearly false.

Note that the terminology of valid و sound is used for deductive arguments only we do not use this terminology with respect to inductive and abductive arguments. Whereas we call deductive arguments valid أو invalid, an inductive argument may be said to be strong أو ضعيف instead. An inductive argument is strong if the conditional probability of the truth of its conclusion given the truth of its premises is high an inductive argument is weak if the conditional probability of the truth of its conclusion given the truth of its premises is close to (or even less than) 50%. It is worth noting that while for deductive arguments, validity or invalidity is a binary, a black-and-white, either-or affair, for inductive arguments strength and weakness is a matter of degree, a continuum. The inductive analogue to soundness هو cogency – an inductive argument is cogent if it is strong and all its premises are true. Just as there are valid deductive arguments with false premises, so there are strong inductive arguments with false premises consider the following inductive argument:

  1. All of the one billion Martians observed so far have been found to have green skin
  2. Hence, all Martians have green skin

This is a strong inductive argument, since its conclusion (2) is highly likely to be true if its premise (1) is true however, it is not a cogent inductive argument, since its premise (1) is false – we have thus far observed, not one billion Martians, but no Martians at all.


شاهد الفيديو: جداول الصواب. العبارات المتكافئة منطقيا (شهر اكتوبر 2021).