مقالات

7.1: القطع الناقص - الرياضيات


إذا سألت شخصًا عشوائيًا "ما هي الدائرة؟" سيكون الرد المعتاد هو ركل العلبة على الطريق: "شيء ما هذا دائري". هناك تعريف بسيط:

وبالمثل ، فإن السؤال "ما هو القطع الناقص؟" من المحتمل أن يتم الرد بـ "شكل بيضاوي" أو "شيء على شكل بيضة" أو "دائرة مضغوطة". التعريف الدقيق سيكون:

يوضح الشكل [شكل: دائرة دائرية] التعريفات أعلاه ، مع وجود نقطة (P ) تتحرك على طول كل منحنى.

على طول القطع الناقص ، يظل مجموع (d_1 + d_2 ) المسافات من (P ) إلى البؤر ثابتًا. يجعل تعريف الدائرة من السهل تخيل شكلها ، خاصة لأي شخص رسم دائرة بالبوصلة. من ناحية أخرى ، قد لا يشير تعريف القطع الناقص إلى شكل "بيضاوي" على الفور. يصبح شكله واضحًا عند إنشاء شكل بيضاوي يدويًا ، باستخدام التعريف فقط. ألصق دبابيس في لوحة واربط طرفي قطعة من الخيط بالمسامير ، بحيث يكون الخيط طويلًا بدرجة كافية بحيث يكون هناك بعض التراخي (انظر الشكل [شكل: رسم الرسم البياني] (أ)). ستكون الدبابيس بؤرة القطع الناقص.

شد الخيط بقلم رصاص تلامس نقطته السبورة ، ثم حرك القلم الرصاص قدر الإمكان على جميع جوانب الدبابيس. سيكون الشكل المرسوم قطعًا بيضاويًا ، كما في الشكل [شكل: رسم رسم بيضاوي] (ب). طول السلسلة هو المجموع الثابت (d_1 + d_2 ) للمسافات من النقاط الموجودة على القطع الناقص إلى البؤر. تناسق القطع الناقص واضح.

هناك بعض المصطلحات المرتبطة بالحذف. ال محور الرئيسية هو الخط الذي يحتوي على البؤر ، و المركز في منتصف المسافة بين البؤر ، كما في الشكل [شكل: قطع القطع الناقصة]:

ال الرؤوس هي النقاط التي يتقاطع فيها القطع الناقص مع المحور الرئيسي. ال المحور الرئيسي هو الوتر الذي ينضم إلى الرؤوس ، و محور صغير هو الوتر عبر المركز المتعامد مع المحور الرئيسي. الاثنان محاور شبه رئيسية هي نصفي المحور الرئيسي الذي يربط المركز بالرؤوس ( ( overline {CV_1} ) و ( overline {CV_2} ) في الشكل [fig: ellipseparts]). وبالمثل محاور شبه طفيفة هما نصفي المحور الثانوي. الوتر عبر المركز هو أ قطر الدائرة. لاحظ أن الدائرة هي الحالة الخاصة للقطع الناقص ببؤر متطابقة (أي أن البؤر والمركز هما نفس النقطة). تظهر القطع الناقصة في الطبيعة (مثل مدارات الكواكب حول الشمس) وفي العديد من التطبيقات. كان الإغريق القدماء قادرين على اشتقاق العديد من خصائص القطع الناقص من تعريفه الهندسي البحت.1 في الوقت الحاضر ، تُشتق هذه الخصائص عادةً باستخدام طرق من الهندسة التحليلية- دراسة الأجسام الهندسية في سياق أنظمة الإحداثيات.2 لقد رأيت بالفعل معادلة القطع الناقص في (xy ) - المستوى المتمركز في الأصل: ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، حيث (أ> ب> 0 ) ، مع محور (س ) - كمحور رئيسي. يمكن اشتقاق المعادلة مباشرة من تعريف القطع الناقص.

في المستوى (xy ) ، اجعل بؤر القطع الناقص هي النقاط (( pm c، 0) ) بالنسبة للبعض (c> 0 ) ، بحيث يكون المركز هو الأصل (( 0،0) ) والمحور (س ) هو المحور الرئيسي ، كما في الشكل على اليمين. قم بالإشارة إلى (2 أ ) المجموع الثابت (د_1 + د_2 ) للمسافات من النقاط ((س ، ص) ) على القطع الناقص إلى البؤر ، مع (أ> 0 ). لاحظ أن (a> c ) ، لأن المسافة (2c ) بين البؤرتين يجب أن تكون أقل من (d_1 + d_2 = 2a ). ثم بصيغة المسافة ،

[ start {align} d_1 ~ + ~ d_2 ~ & = ~ 2a sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ + ~ sqrt {(xc) ^ 2 + y ^ 2} ~ & = ~ 2a left ( sqrt {(xc) ^ 2 + y ^ 2} right) ^ 2 ~ & = ~ left (2a ~ - ~ sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} right) ^ 2 (xc) ^ 2 ~ + ~ إلغاء {y ^ 2} ~ & = ~ 4a ^ 2 ~ - ~ 4a ، sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ + ~ (x + c) ^ 2 ~ + ~ إلغاء {y ^ 2} 4a ، sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ & = ~ 4a ^ 2 ~ + ~ (x + c) ^ 2 ~ - ~ (xc) ^ 2 Cancel {4} a ، sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ & = ~ إلغاء {4} a ^ 2 ~ + ~ إلغاء {4} xc sqrt {(x + c) ^ 2 + y ^ 2} ~ & = ~ a ~ + ~ tfrac {c} {a} x x ^ 2 ~ + ~ إلغاء {2cx} ~ + ~ c ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 ~ & = ~ a ^ 2 ~ + ~ إلغاء {2cx} ~ + ~ tfrac {c ^ 2} { أ ^ 2} س ^ 2 يسار (1 - tfrac {c ^ 2} {a ^ 2} right) ، x ^ 2 ~ + ~ y ^ 2 ~ & = ~ a ^ 2 ~ - ~ ج ^ 2

[4pt] frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2 - c ^ 2} ~ & = ~ 1

[4pt] frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} ~ & = ~ 1 quad text {حيث $ b ^ 2 = a ^ 2 - c ^ 2 $ (وهكذا $ a> b> 0 $)} quad checkmark end {align} ] الرسم البياني للقطع الناقص الناتج ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac { y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع (a> b> 0 ) والبؤر في (( pm c، 0) ) موضحة في الشكل [الشكل: ellipab]. نظرًا لأن المحور (x ) - هو المحور الرئيسي ، يتم العثور على الرؤوس عن طريق ضبط (y = 0 ): (x = pm a ). وبالتالي ، فإن الرؤوس هي (( pm a ، 0) ) ، لذلك ينتقل المحور الرئيسي من ((- a ، 0) ) إلى ((a ، 0) ) ويبلغ طوله (2a ) (أي أن المحور شبه الرئيسي له طول (أ )). وبالمثل ، يُظهر الإعداد (x = 0 ) أن المحور الثانوي ينتقل من ((0 ، -b) ) إلى ((0 ، ب) ) ، (أي أن المحور شبه الثانوي له طول (ب ) )). منذ (أ> ب> 0 ) و (ب ^ 2 = أ ^ 2 - ج ^ 2 ) ،
ثم (c = sqrt {a ^ 2 - b ^ 2} ). وهكذا ، ل أي القطع الناقص للنموذج ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع (a> b> 0 ) ، ستكون البؤر في (( pm c، 0) ) ، حيث (c = sqrt {a ^ 2 - b ^ 2} ). يمكن استخدام البؤر لتحديد خاصية هندسية مهمة للقطع الناقص:

الانحراف (e ) هو مقياس لمدى "البيضاوي" في القطع الناقص ، مع (0

المدار الإهليلجي للأرض حول الشمس دائري تقريبًا: الانحراف هو 0.017. فقط مداري كوكب الزهرة ونبتون (كلاهما عند 0.007) لهما انحراف أقل بين الكواكب التسعة في النظام الشمسي ، بينما يمتلك بلوتو (0.252) أعلى انحراف.

يُترك كتمرين لإظهار أن القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع (a> b> 0 ) يمكن كتابتها من حيث اللامركزية (هـ ):

[ label {eqn: ellipe} y ^ 2 ~ = ~ (1 - e ^ 2) ، (a ^ 2 - x ^ 2) ]

مثال ( PageIndex {1} ): elliparea

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد المنطقة داخل القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ).

حل: بالتناظر ، ستكون المساحة أربعة أضعاف المساحة في الربع الأول. يعطي حل (ص ) في معادلة القطع الناقص

[y ^ 2 ~ = ~ b ^ 2 ~ - ~ frac {b ^ 2 x ^ 2} {a ^ 2} quad Rightarrow quad y ~ = ~ b ، sqrt {1 - frac { x ^ 2} {a ^ 2}} ~ = ~ frac {b} {a} ، sqrt {a ^ 2 - x ^ 2} ] لنصف الكرة العلوي. هكذا،

[ start {align} text {Area} ~ & = ~ 4 ، int_0 ^ ay ~ dx ~ = ~ frac {4b} {a} ، int_0 ^ a sqrt {a ^ 2 - س ^ 2} ~ dx

[6pt] & = ~ frac {4b} {a} ، left ( frac {a ^ 2} {2} ، sin ^ {- 1} left ( frac {x} {a} right) ~ + ~ frac {1} {2} ، x ، sqrt {a ^ 2 - x ^ 2} ~ Biggr | _0 ^ a right) quad text {(بالصيغة ( المرجع {eqn: sqrta2u2sin}) في القسم 6.3)}

[6pt] & = ~ frac {4b} {a} ، left ( frac {a ^ 2} {2} ، frac { pi} {2} ~ + ~ 0 ~ - ~ (0 ~ + ~ 0) صحيح)

[6pt] & = ~ pi ، ab end {align} ]

السمة الرائعة للقطع الناقص هي خاصية الانعكاس: سوف ينعكس الضوء الساطع من تركيز واحد إلى أي نقطة على القطع الناقص على التركيز الآخر. يوضح الشكل [الشكل: انعكاس القطع الناقص] الضوء المنبعث من البؤرة (F_1 ) ويعكس نقطة (P ) على القطع الناقص إلى البؤرة الأخرى (F_2 ). مبدأ فيرما من المثال

مثال ( PageIndex {1} ): minmax4

أضف نصًا هنا.

حل

في القسم 4.1 أظهر أن الزاوية الواردة ( theta_1 ) (زاوية السقوط) للضوء من النقطة A ستساوي الزاوية الصادرة ( theta_2 ) (زاوية الانعكاس) للنقطة B للضوء المنعكس عن عاكس مسطح السطح عند النقطة (P ) ، كما في الشكل [الشكل: fermat2] (أ). ينطبق مبدأ فيرمات أيضًا على الأسطح المنحنية - على سبيل المثال. القطع الناقص - مع قياس الزوايا بالنسبة إلى الخط المماس للمنحنى عند نقطة الانعكاس ، كما في الشكل [fig: fermat2] (b).

لاحظ أن مبدأ فيرما يكافئ القول بأن الزوايا ( alpha_1 ) و ( alpha_2 ) التي يصنعها مسار الضوء مع الخط الطبيعي عبر نقطة الانعكاس متساوية ، لأن كل زاوية تساوي (90 ) الدرجات - theta ) ، كما في الشكل [الشكل: fermat3] (أ):

وبالتالي ، لإثبات خاصية الانعكاس ، يكفي إثبات أن الخط العادي (n ) للقطع الناقص عند (P ) يشطر الزاوية ( زاوية F_1PF_2 ) في الشكل [الشكل: fermat3] (ب) —هذا سيجعل ( alpha_1 = alpha_2 ) ، بحيث يلبي المسار المشار إليه من (F_1 ) إلى (P ) إلى (F_2 ) مبدأ فيرما. أولاً ، دع (P = (x_0، y_0) ) يكون نقطة على القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) ، مع (أ> ب> 0 ). افترض أن (P ) ليس رأسًا (أي (y_0 ne 0 )) ، وإلا فإن خاصية الانعكاس تبقى تافهة. من خلال التمرين [exer: elliptan] في القسم 3.4 ، تكون معادلة الخط المماس للقطع الناقص عند (P = (x_0، y_0) ) هي

[ label {eqn: elliptan} frac {x x_0} {a ^ 2} ~ + ~ frac {y y_0} {b ^ 2} ~ = ~ 1 ~، ] بحيث يكون ميلها (- frac {b ^ 2 x_0} {a ^ 2 y_0} ). ومن ثم ، فإن المقلوب السالب ( frac {a ^ 2 y_0} {b ^ 2 x_0} ) هو ميل الخط العادي (n ) ، الذي تكون معادلته صالحة حتى عندما (x_0 = 0 ) ( أي عندما (y_0 = pm ب )) - ثم

[ label {eqn: ellipnormal} b ^ 2 x_0 ، (y - y_0) ~ = ~ a ^ 2 y_0 ، (x - x_0) ~. ] الإعداد (y = 0 ) وحل من أجل (x ) يظهر (x ) - تقاطع (n ) عند

[x ~ = ~ frac {(a ^ 2 - b ^ 2) ، x_0 y_0} {a ^ 2 y_0} ~ = ~ frac {c ^ 2} {a ^ 2} ، x_0 ~ = ~ e ^ 2 ، x_0 ] دع (N = (e ^ 2 x_0،0) ) يكون هذا (x ) - اعتراض ، كما في الشكل [fig: fermat3] (b). المسافة (F_1N ) من التركيز (F_1 = (- ج ، 0) = (- عصام ، 0) ) إلى (N ) هي إذن

[F_1N ~ = ~ e ^ 2 ، x_0 ~ - ~ (-ea) ~ = ~ e ، (a + ex_0) ] بينما المسافة (F_2N ) من التركيز (F_2 = (c، 0) = (إي ، 0) ) إلى (N ) هو

[F_2N ~ = ~ ea ~ - ~ e ^ 2 ، x_0 ~ = ~ e ، (a - ex_0) ~. ] لذلك ،

[ frac {F_1N} {F_2N} ~ = ~ frac {e ، (a + ex_0)} {e ، (a - ex_0)} ~ = ~ frac {a + ex_0} {a - ex_0} ~. ] بصيغة المسافة ، تُعطى المسافة (F_1P ) من (F_1 = (- ea ، 0) ) إلى (P = (x_0، y_0) ) بواسطة

[ start {align} (F_1P) ^ 2 ~ & = ~ (x_0 + ea) ^ 2 ~ + ~ y_0 ^ 2 & = ~ x_0 ^ 2 ~ + ~ 2eax_0 ~ + ~ e ^ 2a ^ 2 ~ + ~ (1-e ^ 2) ، (a ^ 2 - x_0 ^ 2) quad text {(بالصيغة ( ref {eqn: ellipe}))} (F_1P) ^ 2 ~ & = ~ a ^ 2 ~ + ~ 2eax_0 ~ + ~ e ^ 2x_0 ^ 2 ~ = ~ (a + ex_0) ^ 2 F_1P ~ & = ~ a + ex_0 ~. end {align} ] بالمثل ، المسافة ( F_2P ) from (F_2 = (ea، 0) ) إلى (P = (x_0، y_0) ) من خلال

[ start {align} (F_2P) ^ 2 ~ & = ~ (x_0 - ea) ^ 2 ~ + ~ y_0 ^ 2 ~ = ~ x_0 ^ 2 ~ - ~ 2eax_0 ~ + ~ e ^ 2a ^ 2 ~ + ~ (1-e ^ 2) ، (a ^ 2 - x_0 ^ 2) (F_2P) ^ 2 ~ & = ~ a ^ 2 ~ - ~ 2eax_0 ~ + ~ e ^ 2x_0 ^ 2 ~ = ~ (a - ex_0) ^ 2 F_2P ~ & = ~ a - ex_0 ~. end {align} ]

هكذا،

[ frac {F_1P} {F_2P} ~ = ~ frac {a + ex_0} {a - ex_0} ~ = ~ frac {F_1N} {F_2N} ~ ، ] مما يعني أن ( alpha_1 = alpha_2 ):3 بموجب قانون الجيب ، ومع ( ثيتا = الزاوية F_2NP ) كما في الشكل على اليمين ،

[ frac { sin ، alpha_2} {F_2N} ~ = ~ frac { sin ، theta} {F_2P} ~ = ~ frac { sin ، (180 Degrees - theta)} {F_2P} ~ = ~ frac { sin ، (180 Degrees - theta)} {F_1P} ، cdot ، frac {F_1P} {F_2P} ~ = ~ frac { sin ، alpha_1} {F_1N} ، cdot ، frac {F_1N} {F_2N} ~ = ~ frac { sin ، alpha_1} {F_2N} ] وبالتالي ( sin ، alpha_2 = sin ، alpha_1 )، بحيث ( alpha_2 = alpha_1 ) (منذ (0 Degrees < alpha_1، ، alpha_2 <90 Degrees )). ( رباعي علامة اختيار )

قطع ناقص للشكل

[ frac {x ^ 2} {b ^ 2} ~ + ~ frac {y ^ 2} {a ^ 2} ~ = ~ 1 ] مع (a> b> 0 ) يبدل أدوار (س ) و (ص ) في الأمثلة السابقة: المحور الرئيسي الآن هو المحور (ص ) - البؤر في ((0 ، مساء ج) ) ، حيث (ج) = sqrt {a ^ 2 - b ^ 2} ) ، والرؤوس موجودة عند ((0، pm a) ) ، كما في الشكل [الشكل: ellipba].

وبالتالي ، فإن المقام الأكبر في الجانب الأيسر من المعادلة بالصيغة ( frac {x ^ 2} { square ^ 2} + frac {y ^ 2} { square ^ 2} = 1 ) يخبرك أي محور هو المحور الرئيسي. على سبيل المثال ، المحور الرئيسي للقطع الناقص ( frac {x ^ 2} {25} + frac {y ^ 2} {16} = 1 ) هو المحور (x ) - (منذ (25) > 16 )) ، في حين أن القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {4} + frac {y ^ 2} {9} = 1 ) يحتوي على المحور (y ) - كمحوره الأساسي ( منذ (9> 4 )). [sec7dot1]

أنشئ شكلًا بيضاويًا باستخدام الإجراء الموضح في الشكل [شكل: رسم بيضاوي]. ضع الدبابيس على مسافة 7 بوصات واستخدم خيطًا بطول 10 بوصات.

بالنسبة للتمارين 2-6 ، قم برسم الرسم البياني للقطع الناقص المحدد ، وحدد المحاور الرئيسية والثانوية والمواقع الدقيقة للبؤر والرؤوس ، وابحث عن الانحراف (e ). [[1.]]

5

( dfrac {x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {16} = 1 )

( dfrac {x ^ 2} {4} + dfrac {y ^ 2} {9} = 1 )

( dfrac {4x ^ 2} {25} + dfrac {y ^ 2} {4} = 1 )

(x ^ 2 + 4y ^ 2 = 1 vphantom { dfrac {x ^ 2} {15}} )

(25x ^ 2 + 9y ^ 2 = 225 vphantom { dfrac {x ^ 2} {15}} )

أظهر ذلك لـ (a> b> 0 ) القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع الانحراف (e ) يمكن كتابتها كـ (y ^ 2 = (1-e ^ 2) (a ^ 2 - x ^ 2) ).

استخدم المثال

مثال ( PageIndex {1} ): elliparea

أضف نصًا هنا.

حل

لإظهار المنطقة داخل القطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع الانحراف (e ) هو ( pi أ ^ 2 ، sqrt {1-e ^ 2} ).

بالنسبة إلى جميع (a> b> 0 ) ، ابحث عن نقاط تقاطع الأشكال البيضاوية ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) و ( frac {x ^ 2} {b ^ 2} + frac {y ^ 2} {a ^ 2} = 1 ).

أظهر أن الرؤوس هي أقرب وأبعد نقطة على القطع الناقص لأي تركيز. [[1.]]

أظهر أن أي خط منحدر (m ) مماس للقطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) يجب أن يكون النموذج

[y ~ = ~ mx ~ pm ~ sqrt {a ^ 2 m ^ 2 ؛ + ؛ ب ^ 2} ~. ]

[exer: ellipladder] سلم بطول 10 أقدام بعلامة 3 أقدام من أعلى يستقر على الحائط. إذا انزلق الجزء العلوي من السلم إلى أسفل الحائط ، مع انزلاق قدم السلم بعيدًا عن الحائط على الأرض ، كما في الشكل [شكل: سلم بيضاوي] ، فقم بإظهار تحرك العلامة على طول جزء من القطع الناقص.

[exer: ellipdirectrix] تعريف آخر للقطع الناقص هو مجموعة النقاط (P ) التي نسبة المسافة من (P ) إلى نقطة ثابتة (F ) (تركيز) إلى المسافة من (P ) إلى خط ثابت (D ) (ملف الدليل) ثابت (e <1 ) (الانحراف): ( frac {PF} {PG} = e ) ، كما في الشكل [الشكل: ellipdirectrix]. استخدم هذا التعريف لتوضيح أن معادلة القطع الناقص مع التركيز ((c، 0) ) يمكن كتابتها كـ ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) لبعض (أ> ب> 0 ). أوجد معادلة الدليل.

[exer: ellipdircle] أظهر أن مجموعة نقاط التقاطع لجميع خطوط التماس العمودية على القطع الناقص تشكل دائرة ، كما في الشكل [شكل: دائرة بيضاوية] (يُظهر خطين مماسين من هذا القبيل (T_1 perp T_2 )).

[exer: elliplatus] الوتر من القطع الناقص الذي يمر عبر البؤرة ويكون عموديًا على المحور الرئيسي هو المستقيم العريض. أظهر ذلك للقطع الناقص ( frac {x ^ 2} {a ^ 2} + frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 ) مع (a> b> 0 ) طول كل منها طول المستقيم هو ( frac {2b ^ 2} {a} ).

افترض أن الخط الطبيعي في أحد طرفي المستقيم العريض للقطع الناقص يمر عبر نهاية المحور الثانوي. بيّن أن الانحراف المركزي (e ) هو أصل المعادلة (e ^ 4 + e ^ 2 - 1 = 0 ) ، ثم ابحث عن (e ).

بيّن أن مجموعة جميع نقاط المنتصف لعائلة من الأوتار المتوازية في القطع الناقص تقع على قطر. (تلميح: استخدم التناظر مع أوتار المنحدر (م ني 0 ).)


  1. الكلمة الشكل البيضاوي يرجع في الواقع إلى عالم الفلك اليوناني والقياس الجغرافي أبولونيوس من بيرجا (262-190 قبل الميلاد) ، والذي يبدو أنه تحسن عن اسم "ثيريوس" الذي أعطاه إقليدس الشكل (حوالي 360-300 قبل الميلاد).
  2. رائد من قبل عالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي رينيه ديكارت (1596-1650) ، ديكارتي يسمى نظام الإحداثيات. الاقتراح "أنا أفكر ، إذن أنا موجود" (كوجيتو ، إرغو سوم) بسبب ديكارت
  3. هذا يتبع مباشرة من الاقتراح 3 في الكتاب السادس من إقليدس عناصر. انظر البرهان الهندسي البحت في الصفحات 125-126 في إقليدس ، عناصر، (ترجمة توماس إل هيث) ، سانتا في ، نيو مكسيكو: مطبعة الأسد الأخضر ، 2002.↩
  4. الانحراف (e ) للقطع المكافئ 1 يعني عدم وجود قمة ثانية ، على عكس القطع الناقص (حيث (e <1 ) قسري وجود رأسين في التعريف البديل) .↩
  5. سيتم مناقشة هذا بمزيد من التفصيل في القسم 7.4.↩
  6. انظر الصفحات 159-161 في Smith، CE، الميكانيكا التطبيقية: احصائيات، نيويورك: John Wiley & Sons ، Inc. ، 1976.↩
  7. يمكن أن يمتد الدليل إلى الأقماع المزدوجة المائلة. انظر §364 في Salmon، GS، رسالة في الأقسام المخروطية، لندن: Longmans ، Green and Co. ، 1929.↩
  8. الحالة التي ينتج فيها ( alpha = 0 Degrees ) دائرة ، والتي لا تعتبر عادةً قسمًا مخروطيًا.
  9. لا يشير الرمز الأولي ( (')) إلى التمايز - فهو يعمل فقط لتمييز المحاور الجديدة.
  10. للحصول على دليل ، انظر القسم 6.8 في Protter، M.H. و C.B. Morrey ، الهندسة التحليلية، الطبعة الثانية ، ريدينج ، ماجستير: شركة أديسون ويسلي للنشر ، 1975.↩
  11. سبب استخدام المنطقة مرتين هو مجرد الحصول على نتيجة نهائية "أكثر نظافة" تتضمن (أ ) بدلاً من (2 أ ). ↩
  12. انظر الصفحات من 25 إلى 29 في Shervatov، V.G. وظائف الزائدية، بوسطن: DC Heath and Company ، 1963.↩
  13. تم تطويره وشهرته في الستينيات من قبل مهندسين ، بيير بيزير وبول دي كاستيلجاو ، لنمذجة هيكل السيارة في مصنعي السيارات الفرنسيين رينو وستروين ، على التوالي.
  14. تم حلها لأول مرة في عام 1696 من قبل الفيزيائي السويسري وعالم الرياضيات يوهان برنولي (1667-1748).
  15. انظر الصفحات 60-62 في Clegg، J.C.، حساب الاختلافات، إدنبرة: Oliver & Boyd، Ltd. ، 1968. للحصول على دليل برنولي ، انظر الصفحات من 644 إلى 655 في Smith، D.E.، كتاب مصدر في الرياضيات، نيويورك: منشورات دوفر ، 1959.↩
  16. أنشأها عالم الرياضيات الفلمنكي جريجوار دي سانت فنسنت (1584-1667) وعالم الرياضيات الإيطالي بونافينتورا كافالييري (1598-1647) في 17العاشر قرن ، استخدمه نيوتن لاحقًا في كتابه طريقة التدفق (1671).↩
  17. هناك الكثير من منحنيات الطائرة الممتعة لتغطيتها هنا. للحصول على مجموعة شاملة ، انظر Lawrence، J.D.، كتالوج منحنيات المستوى الخاص، New York: Dover Publications، Inc.، 1972. انظر أيضًا Seggern، D.H. von، كتيب CRC للمنحنيات والأسطح الرياضية، بوكا راتون ، فلوريدا: CRC Press ، Inc. ، 1990.↩
  18. الصيغة ( tfrac {1} {2} ، bc ، sin ، A ) لمساحة المثلث ( مثلث ABC ) مشتقة في معظم نصوص علم المثلثات. على سبيل المثال ، انظر ص 54 في Corral، M.، علم المثلثات، http://mecmath.net/trig/، 2009.↩
  19. مستوحى من خطوط القوة وخطوط الجهد المتساوي لثنائي القطب الكهربائي. انظر الصفحات 55-56 في ستراتون ، ج. النظرية الكهرومغناطيسية، نيويورك: شركة McGraw-Hill Book ، Inc. ، 1941.↩

معادلة القطع الناقص

قبل النظر إلى معادلة ellispe أدناه ، يجب أن تعرف بعض المصطلحات.

مزيد من الأمثلة على المحاور والرؤوس والرؤوس المشتركة

مثال على المحور الأفقي الرئيسي

مثال على الرسم البياني ومعادلة القطع الناقص على

  • المحور الرئيسي لهذا القطع الناقص أفقي وهو الجزء الأحمر من (-2 ، 0) إلى (2 ، 0).
  • مركز هذا القطع الناقص هو الأصل لأن (0 ، 0) هي نقطة المنتصف للمحور الرئيسي.
  • قيمة a = 2 و b = 1.

مثال على المحور الرئيسي الرأسي

مثال على الرسم البياني ومعادلة القطع الناقص على:

  • المحور الرئيسي لهذا القطع الناقص عمودي وهو الجزء الأحمر من (2 ، 0) إلى (-2 ، 0).
  • مركز هذا القطع الناقص هو الأصل لأن (0 ، 0) هي نقطة المنتصف للمحور الرئيسي.
  • قيمة a = 2 و b = 1.

المحور الرئيسي هو الجزء الذي يحتوي على كل من البؤر ونقاط النهاية الخاصة به على القطع الناقص. تسمى نقاط النهاية هذه الرؤوس. نقطة المنتصف للمحور الرئيسي هي مركز القطع الناقص.

المحور الثانوي عمودي على المحور الرئيسي في المركز ، وتسمى نقاط نهاية المحور الثانوي بالرؤوس المشتركة.

القمم عند تقاطع المحور الرئيسي والقطع الناقص.

تقع الرؤوس المشتركة عند تقاطع المحور الثانوي والقطع الناقص.

معادلة النموذج القياسي من القطع الناقص

الشكل العام لمعادلة الشكل القياسي للقطع الناقص مبين أدناه ..

في المعادلة ، المقام تحت الحد $ x ^ 2 $ هو مربع إحداثي x عند المحور x.

المقام تحت الحد $ y ^ 2 $ هو مربع الإحداثي y عند المحور y.


الفصل 1 مقدمة.

الفصل 2: ​​المسار: البدء.

2.2.1 الأعداد الصحيحة والأعداد النسبية والأعداد غير النسبية.

2.2.2 حجم الأعداد غير النسبية.

2.2.3 ملاءمة المنطق والنظام العشري.

2.2.4 النتائج المنطقية وغير المنطقية.

الفصل 3: الفضاء: الهندسة.

3.1 الفضاء الإقليدي والأبعاد وإعادة القياس.

3.1.1 الفضاء والأشياء الإقليدية.

3.1.2 الفضاء الإقليدي بأبعاد أعلى.

3.1.3 وحدات القياسات والمقاييس للأشياء.

3.1.4 إعادة القياس والقياس والأبعاد.

3.1.5 ندفة الثلج لكوخ ، جسم كسوري.

3.2 قياسات الأجسام المختلفة.

3.2.1 نظرية فيثاغورس ، طول الوتر.

3.2.2 نظرية كافالييري في بعدين.

3.2.3 نظرية كافالييري ، أرخميدس يزن في.

3.2.4 تطبيقات بسيطة لنظرية Cavalieri & # 8217s.

3.2.6 مساحة سطح المخروط.

3.2.7 نظرية كافالييري نسخة أقوى في ثلاثة أبعاد.

3.2.9 المجال كهرم معمم.

3.2.10 مساحة سطح الكرة وحجمها.

3.2.11 خرائط المساحة المتساوية ، رحلة أخرى.

الفصل 4: اللغة: الجبر.

4.1 الإحداثيات الديكارتية وترجمة المحاور.

4.1.1 تقاطعات الكائنات الهندسية كحلول للمعادلات.

4.1.2 ترجمة المحور والكائن.

4.2.2 القطع المكافئ والمعادلة التربيعية.

4.3.1 معادلات الدائرة.

4.3.2 أرخميدس وقيمة π.

4.3.3 خطوط الظل لدائرة.

4.4 المجال رباعي الأبعاد.

4.4.1 نظرية فيثاغورس في الأبعاد العليا.

4.4.2 القياسات في الأبعاد العليا و ن- مكعبات الأبعاد.

4.4.5 ن-الكرة الأبعاد باعتبارها ن- الهرم الابعاد

4.4.6 الحجم ثلاثي الأبعاد لسطح الكرة رباعي الأبعاد

4.5 السلسلة المحدودة والاستقراء.

4.5.3 استخدام الحث كطريقة حل.

4.6 الجبر الخطي في بعدين.

4.6.3 التحولات الخطية للطائرة في حد ذاتها.

4.6.4 معكوس التحويل الخطي.

4.7.1 القطع الناقص كتحول خطي لدائرة.

4.7.2 معادلة القطع الناقص.

4.7.3 رحلة إلى بؤر القطع الناقص.

الفصل 5: الأداة العالمية: قياس المثلثات.

5.1 الدوال المثلثية.

5.2 الرسوم البيانية لوظائف الجيب وجيب التمام والظل.

5.4.3 تان (θ) من حيث الخطيئة (θ) و كوس (θ).

5.4.4 جيوب وجيب مبالغ الزوايا.

5.6 بطليموس وأرسطرخس.

5.6.1 بناء طاولة بطليموس.

5.6.2 طبعة جديدة من Aristarchus.

الفصل 6: القاتل: كالكلس.

6.1 دراسات الحركة والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

6.1.1 السرعة الثابتة ومشكلتان للحركة.

6.1.2 حساب التفاضل ، تعميم المسألة الأولى.

6.1.3 حساب التكامل ، تعميم المسألة الثانية.

6.1.4 العلاقات بين التفاضل والتكامل والنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.

6.1.5 التكامل ، تدوين Leibniz & # 8217 ، والنظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل.

6.2 المزيد من الحركة: الذهاب في دوائر.

6.3 المزيد من حساب التفاضل.

6.3.1 قواعد التمايز.

6.3.2 الترميز والمشتقات عند نقطة محددة.

6.3.3 التمايز الأعلى وأمثلة.

6.3.4 التمايز والمستفسر.

6.4 المزيد من حساب التفاضل والتكامل.

6.4.1 النظرية العكسية والنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.

6.4.2 طرق التكامل.

6.5.1 نظرية كافالييري والنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.

6.5.2 حجم الكرة والأشياء الأخرى ذات المجالات المقطعية المعروفة.

الفصل 7: ثماني دقائق تغير التاريخ.

7.1 قوانين نيوتن للحركة.

7.3 ثوابت الحركة والطاقة.

7.3.1 طاقة الجسم المقذوف.

7.3.2 طاقة نظام تتحرك في بعد واحد.

7.4 كبلر ونيوتن: Aristarchus Redeemed.


كتابة معادلات للقطوع الناقصة غير متمركزة في الأصل

مثل الرسوم البيانية للمعادلات الأخرى ، فإن الرسم البياني لـ الشكل البيضاوي يمكن ترجمتها. إذا تمت ترجمة القطع الناقص [اللاتكس] h [/ latex] الوحدات أفقيًا ووحدات [اللاتكس] k [/ اللاتكس] عموديًا ، فسيكون مركز القطع الناقص [لاتكس] يسار (h ، ك يمين) [/ لاتكس] . هذا ترجمة ينتج عنه الشكل القياسي للمعادلة التي رأيناها سابقًا ، مع استبدال [اللاتكس] x [/ اللاتكس] بـ [اللاتكس] اليسار (x-h اليمين) [/ اللاتكس] و ذ تم استبداله بـ [لاتكس] يسار (y-k يمين) [/ لاتكس].

ملاحظة عامة: النماذج القياسية لمعادلة القطع الناقص مع المركز (ح, ك)

الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص مع المركز [لاتكس] يسار (ح ، نص <> ك يمين) [/ لاتكس] و المحور الرئيسي بالتوازي مع x-المحور هو

  • [لاتكس] أ & gtb [/ لاتكس]
  • طول المحور الرئيسي هو [اللاتكس] 2 أ [/ لاتكس]
  • إحداثيات الرؤوس هي [لاتكس] يسار (h pm a، k right) [/ latex]
  • طول المحور الثانوي [لاتكس] 2 ب [/ لاتكس]
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي [لاتكس] يسار (ح ، ك م ب يمين) [/ لاتكس]
  • إحداثيات البؤر هي [اللاتكس] يسار (h pm c، k right) [/ latex] ، حيث [اللاتكس]^<2>=^<2>-^ <2> [/ لاتكس].

الشكل القياسي لمعادلة القطع الناقص مع المركز [اللاتكس] اليسار (h ، k اليمين) [/ اللاتكس] والمحور الرئيسي الموازي لل ذ-المحور هو

  • [لاتكس] أ & gtb [/ لاتكس]
  • طول المحور الرئيسي هو [لاتكس] 2 أ [/ لاتكس]
  • إحداثيات الرؤوس هي [لاتكس] يسار (h، k pm a right) [/ latex]
  • طول المحور الثانوي [لاتكس] 2 ب [/ لاتكس]
  • إحداثيات الرؤوس المشتركة هي [لاتكس] يسار (h pm b، k right) [/ latex]
  • إحداثيات البؤر هي [اللاتكس] يسار (h، k pm c right) [/ latex] ، حيث [اللاتكس]^<2>=^<2>-^ <2> [/ لاتكس].

تمامًا كما هو الحال مع علامات الحذف المتمركزة في الأصل ، فإن القطع الناقصة المتمركزة في نقطة [لاتكس] يسار (h، k right) [/ لاتكس] لها رؤوس ورؤوس مشتركة وبؤر مرتبطة بالمعادلة [لاتكس]^<2>=^<2>-^ <2> [/ لاتكس]. يمكننا استخدام هذه العلاقة جنبًا إلى جنب مع معادلات نقطة المنتصف والمسافة لإيجاد معادلة القطع الناقص في الشكل القياسي عند إعطاء الرؤوس والبؤر.

(أ) القطع الناقص الأفقي مع المركز [اللاتكس] اليسار (h، k right) [/ اللاتكس] (ب) القطع الناقص العمودي مع المركز [اللاتكس] اليسار (h ، k اليمين) [/ اللاتكس]

الكيفية: بالنظر إلى رؤوس وبؤر القطع الناقص غير المتمركز في الأصل ، اكتب معادلته في الشكل القياسي.

  1. حدد ما إذا كان المحور الرئيسي موازيًا لـ x& # 8211 أو ذ-محور.
    1. إذا كان ذ-تتطابق إحداثيات الرؤوس والبؤر المعينة ، ثم يكون المحور الرئيسي موازيًا لـ x-محور. استخدم النموذج القياسي [اللاتكس] dfrac << left (x-h right)> ^ <2>> <^ <2>> + dfrac << left (y-k right)> ^ <2>> <^ <2>> = 1 [/ لاتكس].
    2. إذا كان x-تتطابق إحداثيات الرؤوس والبؤر المعينة ، ثم يكون المحور الرئيسي موازيًا لـ ذ-محور. استخدم النموذج القياسي [اللاتكس] dfrac << left (x-h right)> ^ <2>> <^ <2>> + dfrac << left (y-k right)> ^ <2>> <^ <2>> = 1 [/ latex].

    مثال: كتابة معادلة القطع الناقص المتمركزة في نقطة أخرى غير الأصل

    ما هي معادلة الشكل القياسي للقطع الناقص الذي يحتوي على رؤوس [لاتكس] يسار (-2 ، -8 يمين) [/ لاتكس] و [لاتكس] يسار (-2 ، نص <2> يمين) [/ اللاتكس] والبؤر [لاتكس] يسار (-2 ، -7 يمين) [/ لاتكس] و [لاتكس] يسار (-2 ، نص <1> يمين)؟ [/ لاتكس]

    ال x-تتطابق إحداثيات الرؤوس والبؤر ، لذا فإن المحور الرئيسي موازٍ لـ ذ-محور. وهكذا ، فإن معادلة القطع الناقص سيكون لها الشكل

    أولاً ، نحدد الوسط ، [لاتكس] يسار (ح ، ك يمين) [/ لاتكس]. يقع المركز في منتصف المسافة بين الرؤوس ، [لاتكس] يسار (-2 ، -8 يمين) [/ لاتكس] و [لاتكس] يسار (-2 ، نص <2> يمين) [/ لاتكس]. بتطبيق صيغة نقطة الوسط ، لدينا:

    الآن نجد [اللاتكس]^ <2> [/ لاتكس]. يتم تحديد البؤر بواسطة [اللاتكس] يسار (h، k pm c right) [/ latex]. لذا ، [اللاتكس] يسار (ح ، كك يمين) = يسار (-2 ، -7 يمين) [/ لاتكس] و [لاتكس] يسار (ح ، ك + ج يمين) = يسار (- 2، text <1> right) [/ latex]. نستبدل [اللاتكس] k = -3 [/ اللاتكس] باستخدام أي من هذه النقاط لحل مشكلة [اللاتكس] ج [/ اللاتكس].

    بعد ذلك ، نحل مشكلة [اللاتكس]^ <2> [/ لاتكس] باستخدام المعادلة [لاتكس]^<2>=^<2>-^ <2> [/ لاتكس].

    جربها

    ما هي معادلة الشكل القياسي للقطع الناقص الذي يحتوي على رؤوس [لاتكس] يسار (-3،3 يمين) [/ لاتكس] و [لاتكس] يسار (5،3 يمين) [/ لاتكس] وبؤر [لاتكس ] يسار (1 - 2 sqrt <3>، 3 right) [/ latex] و [latex] left (1 + 2 sqrt <3>، 3 right)؟ [/ latex]


    ولفرام موارد الويب

    الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

    استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

    استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

    انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

    حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

    تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

    مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

    مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: كتاب مدرسي ديناميكي ، وخطط الدروس ، وعناصر واجهة المستخدم ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


    يُدرج رمز التفاضل الجزئي. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: جزئي

    يُدرج رمز اللانهاية. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: اللانهاية أو اللانهائية

    يُدرج الرمز لمشغل ناقل نبلا. أمر نافذة الأوامر: نبلة

    يُدرج رمز كمّي موجود. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: موجود

    يُدرج رمز كمّي موجود. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: غير موجود

    يُدرج الرمز لمُحدد كمي عالمي "للجميع". الأمر الخاص بنافذة الأوامر: forall

    يُدرج رمز ثابت شريط h. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: hbar

    يُدرج رمز شريط لامدا. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: lambdabar

    يُدرج الرمز للجزء الحقيقي من العدد المركب. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: re

    يُدرج رمز الجزء التخيلي من رقم مركب. أمر نافذة الأوامر: im

    تُدرج هذه الأيقونة رمز دالة Weierstrass p. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: wp

    يقوم هذا الرمز بإدراج سهم لليسار. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: leftarrow

    يقوم هذا الرمز بإدراج سهم لليمين. الأمر الخاص بنافذة الأوامر: rightarrow

    يقوم هذا الرمز بإدراج سهم لأعلى. أمر نافذة الأوامر: uparrow

    يقوم هذا الرمز بإدراج سهم لأسفل. أمر نافذة الأوامر: downarrow

    تُدرج هذه الأيقونة علامة حذف (ثلاث نقاط أفقية منخفضة). الأمر الخاص بنافذة الأوامر: dotslow

    تُدرج هذه الأيقونة علامة قطع محورية (ثلاث نقاط أفقية متمركزة رأسياً). الأمر الخاص بنافذة الأوامر: المحور النقطي

    تُدرج هذه الأيقونة علامة حذف رأسية (ثلاث نقاط رأسية). الأمر الخاص بنافذة الأوامر: dotsvert

    تُدرج هذه الأيقونة علامة قطع قطرية صاعدة (ثلاث نقاط على القطر من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين) الأمر لإطار الأوامر: dotsup أو dotsdiag

    قطري ناقص

    تُدرج هذه الأيقونة علامة حذف قطري لأسفل (ثلاث نقاط على القطر من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين). الأمر الخاص بنافذة الأوامر: dotsdown

    يمكن إدخال epsilon الخلفي عن طريق كتابة backepsilon في نافذة الأوامر.

    لإدراج عنصر نائب في الصيغة ، اكتب & lt؟ & gt في نافذة الأوامر.


    2. القطع الناقص

    القطع الناقص عبارة عن مجموعة من النقاط في المستوى حيث يكون مجموع مسافات أي نقطة من نقاطها إلى نقطتين معينتين ثابتًا (شكل 8).

    تسمى المعادلة المركزية أو المتعارف عليها للقطع الناقص.

    المقطع A₁A₂هو المحور الرئيسي للقطع الناقص و

    المقطع بB₂ أناق المحور الصغير للقطع الناقص و

    البوينرق F₁ وF₂ هي بؤر القطع الناقص و

    نصف الفأسهق و ب والتوزيع نصف البؤريأتلبية العلاقات التالية:

    أ> ج أد a²-c² = b²

    2.1. غريب الأطوار القطع الناقص

    الانحراف اللامركزي للقطع الناقص هو

    العلاقة التالية تنطبق على المحاور والانحراف

    2.2. أدلة القطع الناقص

    أدلة القطع الناقص عبارة عن سطرين عاديين من الخطوط التي يقع عليها محورها الرئيسي ، بشكل متماثل فيما يتعلق بمركز القطع الناقص وعلى مسافة a / ε منه. معادلات الدلائل هي:

    2.3 العلاقة المتبادلة بين الحقوق والقطع الناقص

    الحقوق والأشكال الناقصة لها نفس العلاقات المتبادلة مثل
    مستقيمة ودائرية.

    اسمحوا أن تكون معادلة القطع الناقص b²x² + a²y² = a²b² و معادلة الخط у = kx + ن. العلاقة

    a²k² + b² & # 8211 n² =0 أو أ² k² + b² = n²

    هو شرط ثار الخط ش= kx + n تلامس القطع الناقص
    b²x² + a²y² = a²b²

    2.4 معادلة الظل والقطع الناقص طبيعي

    معادلة ظل القطع الناقصحد ذاتها b²x² + a²y² = a²b² عند النقطةر م (x₁y) يقرأ:

    b²x₁x + a²y₁y = a²b²

    معادلة القطع الناقص الطبيعي b²x² + a²y² = a²b² aر النقطة م (x₁ ، y₁) يقرأ:


    الجمع بين الأعداد الطبيعية

    يمكن دمج الأعداد الطبيعية باستخدام العمليات:

    • إضافة & - تؤدي إضافة الأعداد الطبيعية دائمًا إلى إنتاج رقم طبيعي آخر
    • الطرح & ndash يمكن أن ينتج عن طرح الأعداد الطبيعية عدد صحيح سالب
    • عمليه الضرب & ndash يؤدي ضرب الأعداد الطبيعية دائمًا إلى إنتاج عدد طبيعي آخر
    • قسم & ndash قسمة الأعداد الطبيعية يمكن أن ينتج عنها كسور عشرية أو كسور أو أرقام مختلطة

    فيما يلي أربعة أمثلة لإثبات هذه الصفات:

    1. 2 & # xA0 + & # xA0 7 & # xA0 = & # xA0 9
    2. 7   -   2   =   5 , لكن 2   -   7   =   - 5
    3. 2   ×   7   =   14
    4. 7 2   =   3.5   o r   3   1 2

    Resolving the second problem: the boundary condition

    The next question is, given a family of level set curves F(x,y,t) = C with variable parameter t, how can we find its boundary and express it in mathematical language?


    The answer is given by the boundary condition, which states that:

    For a family of level set curves F(x,y,t) = C with variable parameter t, it's envelope, or boundary of sweeping area, must satisfy the condition:
    .


    We will prove this condition using the implicit function theorem, which is an important theorem in calculus. ال implicit function theorem states that, if we have a level set F(x,y) = C that satisfies some mild conditions, then ذ can be viewed as an implicit function من x, because their values are interrelated with each other. If the value of ذ changes, the value of x also has to change, since the condition F(x,y) = C must always be satisfied. As shown in the previous section, sometimes we can derive an explicit function y = f(x) from the level set, sometimes we can't. But the failure of deriving this explicit expression doesn't mean that x و ذ are unrelated. They are still related through this "implicit function".


    This theorem can be generalized to functions of three or more variables. For example, in the level set F(x,y,t) = C , x can be viewed as an implicit function of ذ و ر, ذ can be viewed as an implicit function of x و ر، وما إلى ذلك وهلم جرا. Moreover, if we fix one of the variables in this level set, then it's reduced to the 2-variable case. Say, if we fix the value x in the lever set F(x,y,t) = C , then ذ is an implicit function of ر.


    With the implicit function theorem in hand, we are now equipped to prove the boundary condition, and find the envelope. Rather than looking at the whole family F(x,y,t) = C , we can fix the value of x, and focus on ذ كدالة ضمنية لـ ر. For example, in Figure 6-3, which is the ladder problem revisited, we can fix an x value by drawing a vertical line, so that each phase of the ladder intersects this line at a different point. The height, or y-coordinate of this point is an implicit function of the ladder's position, which is in turn determined by the variable parameter ر. Now the problem is reduced to finding the highest and lowest ones among all these intersections, because they must lie on the envelope, as shown in Figure 6-4.


    The maximum and minimum ذ values can be determined using the حكم السلسلة, which is a formula in calculus for computing the derivative of the composition of two or more functions. For example, if we have a function


    بحيث و are differentiable functions of t. Then the chain rule claims that:


    Same for function of three or more variables Β] .


    If we apply the chain rule to the level set with variable x fixed, we will get:


    التعبير didn't appear on the right side because variable x تم إصلاحه. علاوة على ذلك ، منذ ذلك الحين , this expression can be further reduced to:


    من ناحية أخرى ، منذ ذلك الحين is a constant function, we have:


    بحيث is the derivative of the implicit function y(t).

    For most envelopes, y is at its maximum or minimum as discussed before, so . And the previous equation is reduced to:


    which is the boundary condition we are trying to prove.


    7.1 Parametric Equations

    In this section we examine parametric equations and their graphs. In the two-dimensional coordinate system, parametric equations are useful for describing curves that are not necessarily functions. The parameter is an independent variable that both x و ذ depend on, and as the parameter increases, the values of x و ذ trace out a path along a plane curve. For example, if the parameter is ر (a common choice), then ر might represent time. ثم x و ذ are defined as functions of time, and ( x ( t ) , y ( t ) ) ( x ( t ) , y ( t ) ) can describe the position in the plane of a given object as it moves along a curved path.

    Parametric Equations and Their Graphs

    Consider the orbit of Earth around the Sun. Our year lasts approximately 365.25 days, but for this discussion we will use 365 days. On January 1 of each year, the physical location of Earth with respect to the Sun is nearly the same, except for leap years, when the lag introduced by the extra 1 4 1 4 day of orbiting time is built into the calendar. We call January 1 “day 1” of the year. Then, for example, day 31 is January 31, day 59 is February 28, and so on.

    The number of the day in a year can be considered a variable that determines Earth’s position in its orbit. As Earth revolves around the Sun, its physical location changes relative to the Sun. After one full year, we are back where we started, and a new year begins. According to Kepler’s laws of planetary motion, the shape of the orbit is elliptical, with the Sun at one focus of the ellipse. We study this idea in more detail in Conic Sections.

    Figure 7.2 depicts Earth’s orbit around the Sun during one year. The point labeled F 2 F 2 is one of the foci of the ellipse the other focus is occupied by the Sun. If we superimpose coordinate axes over this graph, then we can assign ordered pairs to each point on the ellipse (Figure 7.3). Then each x value on the graph is a value of position as a function of time, and each ذ value is also a value of position as a function of time. Therefore, each point on the graph corresponds to a value of Earth’s position as a function of time.

    تعريف

    إذا x و ذ are continuous functions of ر on an interval أنا, then the equations

    Example 7.1

    Graphing a Parametrically Defined Curve

    Sketch the curves described by the following parametric equations:

    حل

    1. To create a graph of this curve, first set up a table of values. Since the independent variable in both x ( t ) x ( t ) and y ( t ) y ( t ) is ر، يترك ر appear in the first column. Then x ( t ) x ( t ) and y ( t ) y ( t ) will appear in the second and third columns of the table.

    Sketch the curve described by the parametric equations

    Eliminating the Parameter

    To better understand the graph of a curve represented parametrically, it is useful to rewrite the two equations as a single equation relating the variables x و ذ. Then we can apply any previous knowledge of equations of curves in the plane to identify the curve. For example, the equations describing the plane curve in Example 7.1b. نكون

    Solving the second equation for ر يعطي

    This can be substituted into the first equation:

    This equation describes x as a function of ذ. These steps give an example of eliminating the parameter. The graph of this function is a parabola opening to the right. Recall that the plane curve started at ( 1 , −3 ) ( 1 , −3 ) and ended at ( 6 , 7 ) . ( 6 , 7 ) . These terminations were due to the restriction on the parameter ر.

    Example 7.2

    Eliminating the Parameter

    Eliminate the parameter for each of the plane curves described by the following parametric equations and describe the resulting graph.

    حل

    1. To eliminate the parameter, we can solve either of the equations for ر. For example, solving the first equation for ر يعطي

    Eliminate the parameter for the plane curve defined by the following parametric equations and describe the resulting graph.

    So far we have seen the method of eliminating the parameter, assuming we know a set of parametric equations that describe a plane curve. What if we would like to start with the equation of a curve and determine a pair of parametric equations for that curve? This is certainly possible, and in fact it is possible to do so in many different ways for a given curve. The process is known as parameterization of a curve .

    Example 7.3

    Parameterizing a Curve

    Find two different pairs of parametric equations to represent the graph of y = 2 x 2 − 3 . y = 2 x 2 − 3 .

    حل

    Since there is no restriction on the domain in the original graph, there is no restriction on the values of ر.

    Therefore, a second parameterization of the curve can be written as

    Find two different sets of parametric equations to represent the graph of y = x 2 + 2 x . y = x 2 + 2 x .

    Cycloids and Other Parametric Curves

    Imagine going on a bicycle ride through the country. The tires stay in contact with the road and rotate in a predictable pattern. Now suppose a very determined ant is tired after a long day and wants to get home. So he hangs onto the side of the tire and gets a free ride. The path that this ant travels down a straight road is called a cycloid (Figure 7.9). A cycloid generated by a circle (or bicycle wheel) of radius أ is given by the parametric equations

    To see why this is true, consider the path that the center of the wheel takes. The center moves along the x-axis at a constant height equal to the radius of the wheel. If the radius is أ, then the coordinates of the center can be given by the equations

    (The negative sign is needed to reverse the orientation of the curve. If the negative sign were not there, we would have to imagine the wheel rotating counterclockwise.) Adding these equations together gives the equations for the cycloid.

    Now suppose that the bicycle wheel doesn’t travel along a straight road but instead moves along the inside of a larger wheel, as in Figure 7.10. In this graph, the green circle is traveling around the blue circle in a counterclockwise direction. A point on the edge of the green circle traces out the red graph, which is called a hypocycloid .

    The general parametric equations for a hypocycloid are

    These equations are a bit more complicated, but the derivation is somewhat similar to the equations for the cycloid. In this case we assume the radius of the larger circle is أ and the radius of the smaller circle is ب. Then the center of the wheel travels along a circle of radius a − b . a − b . This fact explains the first term in each equation above. The period of the second trigonometric function in both x ( t ) x ( t ) and y ( t ) y ( t ) is equal to 2 π b a − b . 2 π b a − b .

    Student Project

    The Witch of Agnesi

    Many plane curves in mathematics are named after the people who first investigated them, like the folium of Descartes or the spiral of Archimedes. However, perhaps the strangest name for a curve is the witch of Agnesi . Why a witch?

    Maria Gaetana Agnesi (1718–1799) was one of the few recognized women mathematicians of eighteenth-century Italy. She wrote a popular book on analytic geometry, published in 1748, which included an interesting curve that had been studied by Fermat in 1630. The mathematician Guido Grandi showed in 1703 how to construct this curve, which he later called the “versoria,” a Latin term for a rope used in sailing. Agnesi used the Italian term for this rope, “versiera,” but in Latin, this same word means a “female goblin.” When Agnesi’s book was translated into English in 1801, the translator used the term “witch” for the curve, instead of rope. The name “witch of Agnesi” has stuck ever since.

    The witch of Agnesi is a curve defined as follows: Start with a circle of radius أ so that the points ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) and ( 0 , 2 a ) ( 0 , 2 a ) are points on the circle (Figure 7.12). يترك ا denote the origin. Choose any other point أ on the circle, and draw the secant line OA. يترك ب denote the point at which the line OA intersects the horizontal line through ( 0 , 2 a ) . ( 0 , 2 a ) . The vertical line through ب intersects the horizontal line through أ at the point ص. As the point أ varies, the path that the point ص travels is the witch of Agnesi curve for the given circle.

    Witch of Agnesi curves have applications in physics, including modeling water waves and distributions of spectral lines. In probability theory, the curve describes the probability density function of the Cauchy distribution. In this project you will parameterize these curves.

    1. On the figure, label the following points, lengths, and angle:
      1. ج is the point on the x-axis with the same x-coordinate as أ.
      2. x هل x-coordinate of ص، و ذ هل ذ-coordinate of ص.
      3. ه is the point ( 0 , a ) . ( 0 , a ) .
      4. F is the point on the line segment OA such that the line segment إي أف is perpendicular to the line segment OA.
      5. ب is the distance from ا ل F.
      6. ج is the distance from F ل أ.
      7. د is the distance from ا ل ب.
      8. θ θ is the measure of angle ∠ C O A . ∠ C O A .

      Student Project

      Travels with My Ant: The Curtate and Prolate Cycloids

      Earlier in this section, we looked at the parametric equations for a cycloid, which is the path a point on the edge of a wheel traces as the wheel rolls along a straight path. In this project we look at two different variations of the cycloid, called the curtate and prolate cycloids.

      First, let’s revisit the derivation of the parametric equations for a cycloid. Recall that we considered a tenacious ant trying to get home by hanging onto the edge of a bicycle tire. We have assumed the ant climbed onto the tire at the very edge, where the tire touches the ground. As the wheel rolls, the ant moves with the edge of the tire (Figure 7.13).

      As we have discussed, we have a lot of flexibility when parameterizing a curve. In this case we let our parameter ر represent the angle the tire has rotated through. Looking at Figure 7.13, we see that after the tire has rotated through an angle of ر, the position of the center of the wheel, C = ( x C , y C ) , C = ( x C , y C ) , is given by

      Note that these are the same parametric representations we had before, but we have now assigned a physical meaning to the parametric variable ر.

      After a while the ant is getting dizzy from going round and round on the edge of the tire. So he climbs up one of the spokes toward the center of the wheel. By climbing toward the center of the wheel, the ant has changed his path of motion. The new path has less up-and-down motion and is called a curtate cycloid (Figure 7.14). As shown in the figure, we let ب denote the distance along the spoke from the center of the wheel to the ant. As before, we let ر represent the angle the tire has rotated through. Additionally, we let C = ( x C , y C ) C = ( x C , y C ) represent the position of the center of the wheel and A = ( x A , y A ) A = ( x A , y A ) represent the position of the ant.

      1. What is the position of the center of the wheel after the tire has rotated through an angle of ر?
      2. Use geometry to find expressions for x C − x A x C − x A and for y C − y A . y C − y A .
      3. On the basis of your answers to parts 1 and 2, what are the parametric equations representing the curtate cycloid?
        Once the ant’s head clears, he realizes that the bicyclist has made a turn, and is now traveling away from his home. So he drops off the bicycle tire and looks around. Fortunately, there is a set of train tracks nearby, headed back in the right direction. So the ant heads over to the train tracks to wait. After a while, a train goes by, heading in the right direction, and he manages to jump up and just catch the edge of the train wheel (without getting squished!).
        The ant is still worried about getting dizzy, but the train wheel is slippery and has no spokes to climb, so he decides to just hang on to the edge of the wheel and hope for the best. Now, train wheels have a flange to keep the wheel running on the tracks. So, in this case, since the ant is hanging on to the very edge of the flange, the distance from the center of the wheel to the ant is actually greater than the radius of the wheel (Figure 7.15).
        The setup here is essentially the same as when the ant climbed up the spoke on the bicycle wheel. نحن نسمح ب denote the distance from the center of the wheel to the ant, and we let ر represent the angle the tire has rotated through. Additionally, we let C = ( x C , y C ) C = ( x C , y C ) represent the position of the center of the wheel and A = ( x A , y A ) A = ( x A , y A ) represent the position of the ant (Figure 7.15).
        When the distance from the center of the wheel to the ant is greater than the radius of the wheel, his path of motion is called a prolate cycloid . A graph of a prolate cycloid is shown in the figure.

      Section 7.1 Exercises

      For the following exercises, sketch the curves below by eliminating the parameter ر. Give the orientation of the curve.


      شاهد الفيديو: محاضره 7 القطع الناقص الفصل الثاني رياضيات السادس العلمي غيداء طارق الشمري (شهر اكتوبر 2021).