مقالات

8.1: المساحة بين المنحنيات - الرياضيات


تم تعريف "المنطقة الواقعة تحت المنحنى" في الفصل الخامس على أنها المنطقة الواقعة أسفل بعض المنحنيات (y = f (x) ) وفوق المحور (x ) - خلال فترة زمنية معينة. كانت تلك حالة خاصة من المنطقة بين المنحنيات، حيث بشكل عام منحنى واحد (y = f_1 (x) ) ليس بالضرورة دائمًا أعلى منحنى آخر (y = f_2 (x) ) على كامل الفاصل الزمني ، كما في الشكل [شكل: منحنيات المساحة] لفاصل ( {أ} {ب} ).

لا يمكن أن تكون منطقة (A ) المنطقة الواقعة بين المنحنيات في الشكل [شكل: منحنيات الشكل] سالبة. وبالتالي ، فإن عنصر منطقة متناهي الصغر نموذجي ( dA ) للمنطقة يكون على شكل (h (x) ، dx ) ، حيث وظيفة الارتفاع (h (x) ) هو الاختلاف غير السلبي في إحداثيات المنحنيات (y ) - في كل (x ) في ( ival {a} {b} ): (h (x) ) = Abs {f_1 (x) - f_2 (x)} ). لذلك:

مثال ( PageIndex {1} ): areacurves1

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد المنطقة الواقعة بين (y = e ^ {x} ) و (y = e ^ {- x} ) فوق ( ival {0} {2} ).

حل: منذ (e ^ x ge e ^ {- x} ) لـ (x ) في ( ival {0} {2} ) ، دالة الارتفاع (h (x) ) للمنطقة بين المنحنيات على ( ival {0} {2} ) هو (h (x) = Abs {e ^ x - e ^ {- x}} = e ^ x - e ^ {- x} ). وبالتالي فإن منطقة (أ ) المنطقة هي

[ start {align} A ~ & = ~ int_0 ^ 2 ~ (e ^ x - e ^ {- x}) ~ dx

[4pt] & = ~ e ^ x + e ^ {- x} ~ Biggr | _0 ^ 2 ~ = ~ e ^ 2 + e ^ {- 2} ~ - ~ (1 + 1) & = ~ 2 ( كوش ، 2 ؛ - ؛ 1) ~. نهاية {محاذاة} ]

مثال ( PageIndex {1} ): areacurves2

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد مساحة المنطقة التي يحدها (y = x ^ 2 ) و (y = x ).

حل: ستعني المنطقة "المحدودة" دائمًا منطقة منطقة محدودة ، على عكس المناطق غير المحدودة. تتقاطع المنحنيات (y = x ^ 2 ) و (y = x ) عند (x = 0 ) و (x = 1 ) ، وبالتالي فإن المنطقة التي تربط المنحنيات هي المنطقة المظللة الموضحة في الرقم على اليمين. بما أن (x ge x ^ 2 ) لـ (0 le x le 1 ) ، فإن دالة الارتفاع للمنطقة هي (h (x) = abs {x ^ 2-x} = xx ^ 2 ). منطقة المنطقة (أ ) هي إذن

[ start {align} A ~ & = ~ int_0 ^ 1 ~ (x - x ^ 2) ~ dx

[4pt] & = ~ frac {1} {2} ، x - frac {1} {3} ، x ^ 2 ~ Biggr | _0 ^ 1 ~ = ~ frac {1} {2} - frac {1} {3} ~ = ~ frac {1} {6} ~. end {align} ]

مثال ( PageIndex {1} ): areacurves3

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد مساحة المنطقة التي يحدها (y = sin ، x ) و (y = cos ، x ) فوق ( ival {0} { pi / 3} ).

حل: كما هو موضح في الشكل على اليمين ، تتقاطع المنحنيات عند (x = tfrac { pi} {4} ) و ( cos ، x ge sin ، x ) من أجل (0 le x le tfrac { pi} {4} ) ، بينما ( sin ، x ge cos ، x ) لـ ( tfrac { pi} {4} le x le tfrac { pi} {3} ). وبالتالي ، يجب تقسيم منطقة (أ ) المنطقة إلى عنصرين:

[ begin {align} A ~ & = ~ int_0 ^ { pi / 3} ~ abs { sin ، x ؛ - ؛ cos ، x} ~ dx & = ~ int_0 ^ { pi / 4} ~ ( cos ، x ؛ - ؛ sin ، x) ~ dx ~ + ~ int_ { pi / 4} ^ { pi / 3} ~ ( sin ، x ؛ - ؛ cos ، x) ~ dx & = ~ left ( sin ، x ؛ + ؛ cos ، x ~ Biggr | _0 ^ { pi / 4} right) ~ + ~ left (- cos ، x ؛ - ؛ sin ، x ~ Biggr | _ { بي / 4} ^ { pi / 3} يمين)

[4pt] & = ~ left ( frac {1} { sqrt {2}} + frac {1} { sqrt {2}} right) ~ - ~ (0 - 1) ~ + ~ يسار (- frac {1} {2} - frac { sqrt {3}} {2} right) ~ - ~ left (- frac {1} { sqrt {2}} - frac { 1} { sqrt {2}} right)

[4pt] & = ~ frac {4 sqrt {2} - 3 - sqrt {3}} {2} end {align} ]

يمكن تمديد الصيغة ([eqn: areacurves]) للعثور على المنطقة الواقعة بين أي عدد من المنحنيات ، عن طريق تقسيم التكامل على فترات فرعية بوظائف ارتفاع مختلفة.

مثال ( PageIndex {1} ): areacurves4

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد مساحة المنطقة التي يحدها (y = 6-x ^ 2 ) و (y = x ) و (y = -5x ) أعلى المحور (x ).

حل: كما هو موضح في الشكل على اليمين ، فوق المحور (x ) - يتقاطع المنحنى (y = 6-x ^ 2 ) مع الخط (y = x ) عند (x = 2 ) و يتقاطع مع الخط (y = -5x ) عند (x = -1 ). بما أن (6-x ^ 2 ge -5x ) over ( ival {-1} {0} ) و (6-x ^ 2 ge x ) over ( ival {0} { 2} ) ، يجب تقسيم منطقة (أ ) المنطقة المظللة إلى عنصرين:

[ start {align} A ~ & = ~ int _ {- 1} ^ 0 ~ Abs {6 - x ^ 2 - (-5x)} ~ dx ~ + ~ int_ {0} ^ 2 ~ القيمة المطلقة {6 - x ^ 2 - x} ~ dx & = ~ int _ {- 1} ^ 0 ~ (6 - x ^ 2 + 5x) ~ dx ~ + ~ int_ {0} ^ 2 ~ (6 - x ^ 2 - x) ~ dx & = ~ left (6x - frac {1} {3} x ^ 3 + frac {5} {2} x ^ 2 ~ Biggr | _ {-1} ^ {0} right) ~ + ~ left (6x - frac {1} {3} x ^ 3 - frac {1} {2} x ^ 2 ~ Biggr | _ {0} ^ {2} right)

[4pt] & = ~ 0 ~ - ~ left (-6 + frac {1} {3} + frac {5} {2} right) ~ + ~ left (12 - frac {8} {3} - 2 right) ~ - ~ 0 ~ = ~ frac {21} {2} end {align} ]

بالنسبة لبعض المناطق بين المنحنيات ، قد يكون من الأسهل تبديل أدوار (x ) و (y ) ، بحيث يمكنك استخدام دالة عرض أفقي بدلاً من دالة الارتفاع الرأسي.

مثال ( PageIndex {1} ): areacurves5

أضف نصًا هنا.

حل

أوجد مساحة المنطقة التي يحدها (x = y ^ 2-2 ) و (y = x ).

حل: كما هو موضح في الشكل على اليمين ، فإن القطع المكافئ (x = y ^ 2-2 ) يتقاطع مع الخط (y = x ) عند (x = -1 ) و (x = 2 ). تحتوي المنطقة على وظائف ارتفاع مختلفة (h (x) ) لـ (- 2 le x le -1 ) و (- 1 le x le 2 ) ، بحيث يلزم تكاملان من أجل المنطقة (أ ). ومع ذلك ، لاحظ أن دالة العرض (w (y) ) لها تعريف واحد على المنطقة بأكملها بين المنحنيات (x = y ^ 2-2 ) و (x = y ): (w (y ) = Abs {y - (y ^ 2-2)} = y - (y ^ 2 -2) ). وبالتالي ، بدلاً من دمج الشرائط الرأسية ( dA = h (x) ، dx ) على طول (x ) - المحور ، قم بدمج الشرائط الأفقية ( dA = w (y) ، dy ) على طول المحور (ص ) - من (ص = -1 ) إلى (ص = 2 ):

[ start {align} A ~ & = ~ int _ {- 1} ^ 2 ~ w (y) ~ dy ~ = ~ int _ {- 1} ^ 2 Abs {y - (y ^ 2 - 2 )} ~ dy & = ~ int _ {- 1} ^ 2 (y - (y ^ 2 - 2)) ~ dy & = ~ frac {1} {2} y ^ 2 - frac {1} {3} y ^ 3 + 2y ~ Biggr | _ {- 1} ^ {2}

[4pt] & = ~ left (2 - frac {8} {3} + 4 right) ~ - ~ left ( frac {1} {2} + frac {1} {3} - 2 right) ~ = ~ frac {9} {2} end {align} ]

يمكن إيجاد المساحة بين المنحنيات المعطاة بواسطة المعادلات القطبية بالمثل. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المنحنيات (r = r_1 ( theta) ) و (r = r_2 ( theta) ) مع (r_1 ( theta) ge r_2 ( theta) ) عندما ( alpha le theta le beta ) كما في الشكل [الشكل: المنطقة القطبية]. منطقة (A ) المنطقة الواقعة بين المنحنيات وتلك الزوايا هي ببساطة الفرق بين المساحات "الخارجية" و "الداخلية" ، كل منها معطى بواسطة الصيغة ([eqn: polararea]):

[A ~ = ~ int _ { alpha} ^ { beta} tfrac {1} {2} ، r_1 ^ 2 dtheta ~ - ~ int _ { alpha} ^ { beta} tfrac {1 } {2} ، r_2 ^ 2 dtheta ~ = ~ int _ { alpha} ^ { beta} tfrac {1} {2} ، (r_1 ^ 2 - r_2 ^ 2) ~ dtheta ] في عام ، لتضمين الحالات التي يبدل فيها المنحنيان "الخارجي" و "الداخلي" المواضع ، خذ القيمة المطلقة للاختلاف:

مثال ( PageIndex {1} ): areacurves6

أضف نصًا هنا.

حل

ابحث عن المنطقة بين (r = 1 + cos ، theta ) و (r = 1- cos ، theta ) لـ ( frac { pi} {6} le theta le frac { pi} {3} ).

حل: دع (r_1 ( theta) = 1 + cos ، theta ) و (r_2 ( theta) = 1- cos ، theta ). منذ (r_1 ( theta)> r_2 ( theta) ) لـ ( frac { pi} {6} le theta le frac { pi} {3} ) ، المنطقة ( أ ) من المنطقة (كما هو موضح في الشكل على اليمين) هو

[ start {align} A ~ & = ~ int _ { pi / 6} ^ { pi / 3} tfrac {1} {2} ، Abs {r_1 ^ 2 - r_2 ^ 2} ~ dtheta ~ = ~ int _ { pi / 6} ^ { pi / 3} tfrac {1} {2} ، ((1+ cos ، theta) ^ 2 - (1- cos ، theta) ^ 2) ~ dtheta & = ~ int _ { pi / 6} ^ { pi / 3} 2 ، cos ، theta ~ dtheta ~ = ~ 2 ، sin ، theta ~ Biggr | _ { pi / 6} ^ { pi / 3} ~ = ~ 2 ، left ( frac { sqrt {3}} {2} - frac {1} {2 } right) ~ = ~ sqrt {3} ؛ - ؛ 1 نهاية {محاذاة} ]

تكامل مونت كارلو هي تقنية لتقريب مساحة المنطقة عن طريق أخذ عدد كبير من النقاط العشوائية في مستطيل يحيط بالمنطقة (انظر الشكل [شكل: montecarloarea]). الفكرة بسيطة:

[ frac { text { # من النقاط في المنطقة}} { text { # من النقاط في المستطيل}} ~ almost ~ frac { text {area of ​​the region}} { text { مساحة المستطيل}} ] على سبيل المثال ، إذا كانت (20 ٪ ) من النقاط العشوائية في المستطيل تقع داخل المنطقة ، فعندئذٍ - حسب العشوائية - تتوقع أن تكون مساحة المنطقة حوالي (20 ٪ ) من مساحة المستطيل. كلما حصلت على نقاط عشوائية أكثر ، كلما كان التقريب أفضل. نظرًا لأن مساحة المستطيل معروفة ، وكذلك عدد النقاط العشوائية داخل المنطقة والمستطيل ، فمن السهل تقريب مساحة المنطقة.

مثال ( PageIndex {1} ): montecarloarea

أضف نصًا هنا.

حل

استخدم تكامل مونت كارلو لتقريب مساحة المنطقة في الربع الأول فوق المنحنيات (y = e ^ {x ^ 2} ) و (y = 2 ، cos ، x ^ 2 ) ، و داخل الدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 9 ).

حل: المنطقة هي المنطقة المظللة الموضحة في الشكل على اليمين ، محاطة بمستطيل عرض (2 ) وارتفاع (3 ). مساحة المستطيل (6 ) ، والنقطة ((س ، ص) ) في المستطيل موجودة داخل المنطقة فقط إذا تم استيفاء الشروط التالية:

[y ~> ~ e ^ {x ^ 2} quad text {and} quad y ~> ~ 2 ، cos ، x ^ 2 quad text {and} quad x ^ 2 + y ^ 2 ~ <~ 9 ] لاحظ أن هذه الشروط كلها في شكل متباينات. بعد ذلك ، يكون تكامل Monte Carlo بسيطًا في الأداء في Octave ، باستخدام 10 ملايين نقطة عشوائية:

octave> N = 1e7 ؛ octave> x = 2 * rand (1، N) ؛ octave> y = 3 * rand (1، N) ؛ octave> 6 * (sum (y> exp (x. ^ 2) & y > 2 * cos (x. ^ 2) & x. ^ 2 + y. ^ 2 <9)) / Nans = 0.94612

القيمة الفعلية - الدقيقة حتى 5 منازل عشرية - هي 0.94606.

الراند (1 ، ن)يقوم الأمر بإرجاع مصفوفة مننأرقام عشوائية بين (0 ) و (1 ). إذن البيانس = 2 * راند (1 ، ن)المخازننأرقام عشوائية بين (0 ) و (2 ) في مصفوفة للإحداثيات (س ) والبيانص = 3 * راند (1 ، ن)المخازننأرقام عشوائية بين (0 ) و (3 ) في مصفوفة للإحداثيات (ص ). البيانy> exp (x.2)تُرجع قيمة (1 ) إذا تم استيفاء الشرط (y> e ^ {x ^ 2} ) ، (0 ) وإلا. وبالمثل بالنسبة للبياناتص> 2 * كوس (س 2)وx.2 + ص 2 <9. ضم هذه العبارات الثلاثة مع&تُرجع الرموز قيمة (1 ) إذا تم استيفاء جميع الشروط الثلاثة ، (0 ) وإلا. المجموعالأمر هكذا يحسب كم منننقاط داخل المنطقة. قسمة ذلك العدد علىنيعطي نسبة النقاط داخل المنطقة ، ثم الضرب في (6 ) (مساحة المستطيل) يعطي المساحة التقريبية للمنطقة.

لاحظ أن حجم المستطيل يمكن أن يؤثر على التقريب - فكلما زاد حجم المستطيل ، يجب استخدام المزيد من النقاط. لاحظ أيضًا في هذا المثال أن إيجاد المنطقة باستخدام تكاملات محددة يتطلب طرق تكامل عددي ، بما أن (f (x) = e ^ {x ^ 2} ) و (f (x) = 2 ، cos ، x ^ 2 ) لا يمكن دمجها في نموذج مغلق. في الواقع ، حتى إيجاد نقاط تقاطع المنحنيات الثلاثة - من أجل تقسيم التكاملات - يتطلب طريقة عددية لإيجاد الجذور (مثل طريقة نيوتن).

[sec8dot1]

بالنسبة للتمارين 1-6 ، أوجد مساحة المنطقة التي يحدها المنحنيات المحددة.

3

(ص = س ^ 2 ) و (ص = 2 س + 3 )

(س = -ص ^ 2 + 2 ص ) و (س = 0 )

(ص = س ^ 2-1 ) و (ص = س ^ 3-1 )

3

(ص = س ^ 4 ) و (ص = س )

(س = ص ^ 2 ) و (س = ص + 2 )

(ص = 4 - 4x ^ 2 ) و (ص = 1 - س ^ 2 )

أوجد المساحة بين (y = 4x - x ^ 2 ) و (y = x ) على ( ival {0} {4} ).

أوجد المنطقة الواقعة بين (y = cosh ، x ) و (y = sinh ، x ) فوق ( lival {0} { infty} ).

أوجد مساحة المنطقة المحددة بواسطة المتباينات (0 le x le y - x le 1 - y le 1 ).

ابحث عن المنطقة بين (r = 1 + cos ، theta ) و (r = 2 + 2 cos ، theta ).

أوجد المنطقة بين (r = 1 + cos ، theta ) و (r = 2 + cos ، theta ). [[1.]]

أوجد مساحة المنطقة في الربع الأول بين وحدة القطع الزائد (x ^ 2-y ^ 2 = 1 ) والدائرة (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) (أي المنطقة المظللة الموضحة في الشكل على اليمين) بطريقتين:

  1. التكامل باستخدام الصيغة ([eqn: areacurves]).
  2. ارسم قطعة مستقيمة من الأصل (O ) إلى نقطة التقاطع
    (P ) على القطع الزائد ، ثم استخدم مناطق الدائرة الناتجة
    قطاعي وقطاع زائدي ، دون اللجوء إلى التكامل.
    هل تتفق إجابتك مع الجزء (أ)؟ يشرح.

[[1.]]

[exer: fourcircles] أوجد المنطقة المشتركة بين الدوائر الأربع لنصف القطر 5 الموضحة في الشكل [الشكل: أربع دوائر]. (تلميح: استخدم التناظر.)

[exer: parabolatriangle] لنفترض أن (A ) هي المنطقة التي يحدها القطع المكافئ (y = ax ^ 2 ) والخط (y = mx + b ) ، حيث (a ) ، (م ) و (ب ) ثوابت موجبة (انظر الشكل [الشكل: بارابولاتريانجل] (أ)). لنفترض أن (T ) هي مساحة المثلث ( مثلث ، BCD ) ، حيث (B ) و (C ) حيث يتقاطع الخط مع القطع المكافئ ، والنقطة (D ) على القطع المكافئ له نفس (x ) - تنسيق كنقطة منتصف المقطع المستقيم ( overline {BC} ) (انظر الشكل [الشكل: مكافئ مكافئ] (ب)). أظهر أن (A = frac {4} {3} T ).

في المثال

مثال ( PageIndex {1} ): montecarloarea

أضف نصًا هنا.

حل

كانت المنطقة محاطة بالمستطيل (R = lbrace ؛ (x ، y): ؛ 0 le x le 2 ~ ، ~ 0 le y le 3 ؛ r قوس ). استخدم تكامل مونت كارلو لتقريب مساحة المنطقة مرة أخرى ، باستخدام مستطيل مغلق مختلف (R ):
  1. (R = lbrace ؛ (س ، ص): ؛ 0 le x le 2 ~ ، ~ 1 le y le 3 ؛ r دعامة )
  2. (R = lbrace ؛ (س ، ص): ؛ 0 le x le 3 ~ ، ~ 0 le y le 3 ؛ r دعامة )

هل النتائج مختلفة بشكل كبير عن ذي قبل؟

تقريب مساحة المنطقة التي يحدها (y = x ^ 2 ) و (y = cos ، x ) بطريقتين مختلفتين:

  1. استخدم تكامل مونت كارلو مع 10 مليون نقطة.
  2. استخدم طريقة عددية لإيجاد الجذر لإيجاد نقاط تقاطع المنحنيات ، ثم استخدم تلك النقاط في طريقة تكامل عددي لإيجاد المنطقة.

[[1.]]

الكلب مقيد بالسلاسل إلى نقطة ثابتة عند القاعدة الدائرية للصومعة الأسطوانية. يبلغ نصف قطر الصومعة (50 ) قدم ويمكن أن تلتف السلسلة تمامًا في منتصف الطريق حول الصومعة. ما هي المساحة الإجمالية التي يمكن للكلب أن يتجول فيها دون حساب المساحة داخل الصومعة؟


  1. سيكون هذا آخر سيناريو "أخبار جيدة / أخبار سيئة" في هذا الكتاب. هذا هو الخبر السار.↩
  2. انظر الصفحات 162-163 في Smith، CE، الميكانيكا التطبيقية: احصائيات، نيويورك: John Wiley & Sons ، Inc. ، 1976.↩
  3. انظر ص 609 في Abramowitz، M. and I.A. ستيجون ، كتيب الوظائف الرياضية، نيويورك: منشورات دوفر ، 1965.↩
  4. متاح على https: //www.sagemath.org↩
  5. انظر الصفحات من 62 إلى 63 في أونيل ب. الهندسة التفاضلية الأولية، نيويورك: Academic Press ، Inc. ، 1966.↩
  6. انظر الاقتراحين 33 و 34 في على الكرة والاسطوانة ، الكتاب الأول، يظهر في Heath، T.L.، أعمال أرخميدس، Mineola، NY: Dover Publications، Inc.، 2002. هذا العمل متاح أيضًا على https: //archive.org↩
  7. انظر الصفحات 136-137 في Welchons A.M. و WR Krickenberger ، الهندسة الصعبة، بوسطن: جين وشركاه ، 1936.
  8. لإثبات وجود مثل هذه النقطة ، انظر ص 206 في Brown، F.L. ميكانيكا هندسية، الطبعة الثانية ، نيويورك: John Wiley & Sons، Inc. ، 1942. تستخدم بعض النصوص مصطلحات "مركز الكتلة" أو "centroid" بدلاً من "مركز الثقل" ، وهناك اختلافات في المعاني. ومع ذلك ، بالنسبة للحالة المعروضة هنا ، حيث يُفترض أن مجال الجاذبية له مقدار واتجاه ثابتان في جميع أنحاء المنطقة ، فكلها تعني نفس الشيء.
  9. لاحظ كيف يختلف هذا عن الادعاء بأن (F ) "ثابت بشكل أساسي على فترات زمنية صغيرة" ، كما تفعل معظم الكتب المدرسية. بدلاً من ذلك ، فإن القوة اللامتناهية في الصغر الإضافية التي تتجاوز (F (x) ) تساهم بصفر العمل على ( ival {x} {x + dx} ). ↩


شاهد الفيديو: 2 Arc Length And Surface Area طول القوس و مساحة السطح (شهر اكتوبر 2021).