مقالات

3.5: المعدلات ذات الصلة - الرياضيات


إذا كانت هناك عدة كميات مرتبطة بمعادلة ، فإن التفريق بين طرفي هذه المعادلة فيما يتعلق بالمتغير (عادةً (t ) ، يمثل الوقت) ينتج عنه علاقة بين معدلات تغير تلك الكميات. ثم يتم استخدام معدلات التغيير المعروفة في تلك العلاقة لتحديد معدل غير معروف ذي صلة.

مثال ( PageIndex {1} ): relrate1

أضف نصًا هنا.

حل

افترض أنه يتم ضخ المياه في بركة مستطيلة بمعدل 60 ألف قدم مكعب في الدقيقة. إذا كان طول المسبح 300 قدم وعرضه 100 قدم وعمقه 10 أقدام ، فما مدى سرعة تغير ارتفاع المياه داخل البركة؟

حل: دع (V ) يكون حجم الماء في البركة. بما أن حجم المستطيل المصمت هو ناتج الطول والعرض والارتفاع للمادة الصلبة ، إذن

[V ~ = ~ (300) (100) h ~ = ~ 30000h ~~ text {ft} ^ 3 ] حيث (h ) هو ارتفاع الماء ، كما في الصورة على اليمين. كل من (V ) و (h ) هما دالتان للوقت (t ) (تقاس بالدقائق) ، و ( dVdt = 60000 ~ text {ft} ^ 3 ) / min أعطيت. الهدف هو العثور على ( frac {d ! h} { dt} ). حيث

[ dVdt ~ = ~ ddt ، (30000 س) ~ = ~ 30000 ، فارك {d ! h} { dt} ] ثم

[ frac {d ! h} { dt} ~ = ~ frac {1} {30000} dVdt ~ = ~ frac {1} {30000} cdot 60000 ~ = ~ 2 ~ text {قدم / دقيقة}. ]

مثال ( PageIndex {1} ): relrate2

أضف نصًا هنا.

حل

افترض أن زاوية الميل من أعلى عمود 100 قدم إلى الشمس تتناقص بمعدل (0.05 ) راديان في الدقيقة. ما مدى سرعة زيادة طول ظل القطب على الأرض عندما تكون زاوية الميل ( pi / 6 ) راديان؟ قد تفترض أن العمود عمودي على الأرض.

حل: لنفترض أن ( theta ) هي زاوية الميل وليكن (س ) هو طول الظل ، كما في الصورة على اليمين. كل من ( theta ) و (x ) هما دالات زمنية (t ) (تقاس بالدقائق) و ( frac {d negmedspace theta} { dt} = -0.05 ) راد / min أعطيت (المشتق سالب لأن ( theta ) يتناقص). الهدف هو إيجاد ( dxdt ) عندما ( theta = pi / 6 ) ، يُرمز إليه بـ ( dxdt Biggr | _ { theta = pi / 6} ) (يعني الشريط العمودي "مقيمة عند" قيمة الرمز الموجود على يمين الشريط). حيث

[x ~ = ~ 100 ؛ cot ، theta quad Rightarrow quad dxdt ~ = ~ -100 ؛ csc ^ 2 theta cdot frac {d negmedspace theta} { dt } ~ = ~ -100 ؛ csc ^ 2 theta cdot (-0.05) ~ = ~ 5 ؛ csc ^ 2 theta ] ثم

[ dxdt Biggr | _ { theta = pi / 6} ~ = ~ 5 ؛ csc ^ 2 ( pi / 6) ~ = ~ 5 ؛ (2) ^ 2 ~ = ~ 20 ~ نص {قدم / دقيقة}. ]

مثال ( PageIndex {1} ): relrate3

أضف نصًا هنا.

حل

يتناقص نصف قطر الأسطوانة الدائرية اليمنى بمعدل (3 ) سم / دقيقة ، بينما يتزايد الارتفاع بمعدل (2 ) سم / دقيقة. أوجد معدل تغير حجم الأسطوانة عندما يكون نصف القطر (8 ) سم والارتفاع (6 ) سم.

حل: لنفترض أن (r ) و (h ) و (V ) هي نصف قطر الأسطوانة وارتفاعها وحجمها على التوالي. ثم (V = pi ، r ^ 2 ، h ). بما أن ( frac { dr} { dt} = -3 ) سم / دقيقة و ( frac {d negmedspace h} { dt} = 2 ) سم / دقيقة ، ثم وفقًا لقاعدة المنتج:

[ dVdt ~ = ~ ddt ( pi ، r ^ 2 ، h) ~ = ~ left (2 pi ، r ؛ cdot ؛ drdt right) ، h ~ + ~ pi ، r ^ 2 ؛ cdot ؛ frac {d negmedspace h} { dt} quad Rightarrow quad dVdt Biggr | _ { text { scriptsize {$ start {matrix} r = 8 h = 6 end {matrix} $}}} ~ = ~ 2 pi ، (8) ، (- 3) ، (6) ~ + ~ pi ، (8 ^ 2 ) ، (2) ~ = ~ -160 pi ~ frac { text { scriptsize cm} ^ 3} { text { scriptsize min}} ]

[sec3dot5]

  1. يتم إسقاط حجر في الماء الراكد. إذا زاد نصف قطر التموج الخارجي الدائري بمعدل (4 ) قدم / ثانية ، ما مدى سرعة زيادة مساحة دائرة الماء المضطرب عندما يكون نصف القطر (10 ​​) قدم؟
  2. يقل نصف قطر الكرة بمعدل 3 مم / ساعة. حدد مدى سرعة تغير حجم ومساحة سطح الكرة عندما يكون نصف القطر 5 مم.
  3. طائرة ورقية (80 ) قدم فوق مستوى الأرض تتحرك أفقيًا بمعدل (4 ) قدم / ثانية بعيدًا عن الشخص الذي يطير بها. ما مدى سرعة تحرير السلسلة في اللحظة عند تحرير (100 ) قدم من السلسلة؟
  4. أ (10 ​​) - قدم سلم قائم على الحائط على أرض مستوية. إذا تم سحب الجزء السفلي من السلم بعيدًا عن الحائط بمعدل (5 ) قدم / ثانية ، ما مدى سرعة نزول الجزء العلوي من السلم في اللحظة التي يكون فيها (8 ) قدمًا من الأرض؟
  5. يمشي شخص (6 ) قدمًا بمعدل (6 ) قدم / ثانية بعيدًا عن ضوء (15 ) قدم فوق سطح الأرض. بأي معدل يتحرك نهاية ظل الشخص على الأرض بعيدًا عن الضوء؟
  6. يتحرك كائن على طول المنحنى (y = x ^ 3 ) في (xy ) - المستوى. في أي نقطة على المنحنى تتغير إحداثيات الكائن (س ) و (ص ) بنفس المعدل؟
  7. يتناقص نصف قطر المخروط الدائري الأيمن بمعدل (4 ) سم / دقيقة ، بينما يتزايد الارتفاع بمعدل (3 ) سم / دقيقة. أوجد معدل تغير حجم المخروط عندما يكون نصف القطر (6 ) سم والارتفاع (7 ) سم.
  8. يغادر قاربان نفس الرصيف في نفس الوقت ، يتجه أحدهما شمالًا بسرعة 25 ميلاً في الساعة والآخر يتجه شرقًا بسرعة 30 ميلاً في الساعة. ما مدى سرعة تغيير المسافة بين القوارب عندما يفصل بينهما 100 ميل؟
  9. كرر التمرين 8 بحيث تكون الزاوية بين القوارب (110 درجات ). [[1.]]
  10. تتغير الزاوية مع مرور الوقت. ما هي قيم ( theta ) التي تتغير ( sin ، theta ) و ( tan ، theta ) بنفس المعدل؟
  11. كرر المثال

    مثال ( PageIndex {1} ): relrate2

    أضف نصًا هنا.

    حل

    ولكن مع الأرض تصنع زاوية (100 درجة ) مع القطب على يسار العمود. [[1.]]
  12. يميل خزان أسطواني عمودي مملوء بالماء بسرعة زاوية ثابتة. افترض أن ارتفاع الخزان يبلغ ضعف نصف قطره على الأقل. أظهر أنه في اللحظة التي تم فيها إمالة الخزان (45 درجة ) ، فإن الماء يغادر الخزان أسرع مرتين مما كان عليه في اللحظة التي تم فيها قلب الخزان لأول مرة. (تلميح: فكر في شكل الماء داخل الخزان أثناء إمالته.


شاهد الفيديو: المعادلات ذات الخطوتين - رياضيات أول متوسط الفصل الأول (شهر اكتوبر 2021).