مقالات

3.2: المعادلات شبه الخطية من الدرجة الثانية - الرياضيات


هنا ننظر في المعادلة
ابدأ {المعادلة}
التسمية {quasilin}
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x، u، nabla u) u_ {x_ix_j} + b (x، u، nabla u) = 0
نهاية {المعادلة}
في المجال ( Omega subset mathbb {R} ) ، حيث (u: Omega mapsto mathbb {R} ^ 1 ). نفترض أن (a ^ {ij} = a ^ {ji} ).

كما في القسم السابق يمكننا اشتقاق المعادلة المميزة
$$
sum_ {i، j = 1} ^ na ^ {ij} (x، u، nabla u) chi_ {x_i} chi_ {x_j} = 0.
$$
على عكس المعادلات الخطية ، تعتمد حلول المعادلة المميزة على الحل المدروس.


3.2: المعادلات شبه الخطية من الدرجة الثانية - الرياضيات

معادلات النموذج start لو = و ( mathbf) ضع الكلمة المناسبة نهاية حيث $ Lu $ عبارة عن تعبير تفاضلي جزئي خطي فيما يتعلق بوظيفة غير معروفة يتم استدعاء $ u $ معادلة خط مستقيم (أو نظام خطي). هذه المعادلة معادلة خطية متجانسة إذا كان $ f = 0 $ و معادلة خطية غير متجانسة غير ذلك. على سبيل المثال ، start لو: = a_ <11> u_ + 2a_ <12> u_+ أ_ <22> ش+ a_1u_x + a_2 u_y + a u = f ( mathbf) ضع الكلمة المناسبة نهاية خطية إذا كانت جميع المعاملات $ a_$ ، $ a_j $ ، $ a $ ثابتة ، نسميها معادلة خطية ذات معاملات ثابتة وإلا فإننا نتحدث عنه معاملات متغيرة.

خلاف ذلك تسمى المعادلة غير خطي. ومع ذلك ، هناك تصنيف أكثر دقة لهذه المعادلات. معادلات من النوع ( ref) ، حيث يتم استدعاء التعبير الأيمن $ f $ يعتمد على الحل ومشتقاته ذات الرتبة الأدنى نصف خطية، المعادلات التي يعتمد فيها كل من المعاملات والتعبير الأيمن على الحل على الحل وتسمى مشتقاته ذات الترتيب الأدنى شبه خطي. على سبيل المثال ابدأ لو: = أ_ <11> (س ، ص) ش_ + 2a_ <12> (س ، ص) ش_+ أ_ <22> (س ، ص) ش_ = f (x، y، u، u_x، u_y) label نهاية نصف خطي ، و ابدأ Lu: = a_ <11> (x، y، u، u_x، u_y) u_ + 2a_ <12> (x ، y ، u ، u_x ، u_y) u_+ a_ <22> (x، y، u، u_x، u_y) u_ = f (x، y، u، u_x، u_y) label نهاية شبه خطي ، بينما تبدأ F (x ، y ، u ، u_x ، u_y ، u_، ش، ش) = 0 التسمية نهاية عام غير خطي.

المعادلات الإهليلجية والقطعية والقطع المكافئ

جنرال لواء

ضع في اعتبارك معادلة الدرجة الثانية ( ref): يبدأ Lu: = sum_ <1 le i، j le n> a_ ش + نص = و ( mathbf) ضع الكلمة المناسبة نهاية أين l.o.t. يعني شروط ترتيب أقل أي ، شروط $ u $ ومشتقاته ذات الترتيب الأدنى) مع $ a_= أ$. دعونا نغير المتغيرات $ mathbf= mathbf( mathbf& # 39) $. ثم مصفوفة المعاملات الرئيسية
يبدأ أ = تبدأ a_ <11> & amp dots & ampa_ <1n> vdots & amp ddots & amp vdots a_& amp النقاط & أمبير a_نهايةنهاية في نظام الإحداثي الجديد يصبح $ A & # 39 = Q ^ * AQ $ حيث $ Q = T ^ <* ، - 1> $ و $ T = left ( frac < جزئي x_i> < جزئي x & # 39_j > حق) _$ عبارة عن مصفوفة جاكوبي. الدليل يتبع بسهولة من حكم السلسلة (حساب التفاضل والتكامل الثاني).

لذلك ، إذا كانت المعاملات الرئيسية حقيقية وثابتة ، فمن خلال التغيير الخطي لمصفوفة المتغيرات الخاصة بالمعاملات الرئيسية يمكن تقليلها إلى الشكل القطري ، حيث يمكن أن تكون العناصر القطرية إما $ 1 أو $ -1 $ أو $. بضرب المعادلة بـ $ -1 $ إذا لزم الأمر ، يمكننا أن نفترض أن هناك على الأقل $ 1 $ مثل $ -1 $. على وجه الخصوص ، بالنسبة إلى $ n = 2 $ ، يصبح الجزء الأساسي إما $ u_+ u_$ أو $ u_-u_$ أو $ u_وتسمى هذه المعادلات بيضاوي الشكل, القطعي، و قطع مكافئ على التوالي (سيكون هناك دائمًا مشتق ثاني لأنه بخلاف ذلك ستكون معادلة من الدرجة الأولى).

يأتي هذا المصطلح من منحنيات الدرجة الثانية المقاطع المخروطية: if $ a_ <11> a_ <22> -a_ <12> ^ 2 & gt0 $ معادلة $ a_ <11> xi ^ 2 + 2a_ <12> xi eta + a_ <22> eta ^ 2 + a_1 xi + a_2 eta = c $ يحدد بشكل عام القطع الناقص ، إذا كان $ a_ <11> a_ <22> -a_ <12> ^ 2 & lt0 $ تحدد هذه المعادلة بشكل عام غلوًا وإذا كان $ a_ <11> a_ <22> -a_ <12> ^ 2 = 0 دولار يحدد القطع المكافئ.

دعونا نفكر في المعادلات بأبعاد مختلفة:

إذا أخذنا في الاعتبار المعادلات ذات الترتيب الثاني دولارين فقط مع معاملات حقيقية ثابتة ، فستبدو في الإحداثيات المناسبة إما تبدأ ش+ u_+ نص = f التسمية نهاية أو تبدأ ش-u_+ نص = f ، التسمية نهاية أين l.o.t. يعني شروط ترتيب أقل، ونحن نسمي هذه المعادلات بيضاوي الشكل و القطعي على التوالى.

ماذا تفعل إذا كان أحد المشتقات الثانية مفقودًا؟ نحن نحصل معادلات القطع المكافئ يبدأ ش-cu_+ نص = و. ضع الكلمة المناسبة نهاية مع $ c ne 0 $ (لا نعتبر $ cu_y $ مصطلح طلب أدنى هنا) و IVP $ u | _= g $ في اتجاه $ y & gt0 $ إذا $ c & gt0 $ وفي الاتجاه $ y & lt0 $ إذا $ c & lt0 $. يمكننا استبعاد $ c = 0 $ باعتباره غير مثير للاهتمام.

ومع ذلك ، فإن هذا التصنيف يترك معادلة شرودنغر مهمة جدًا ابدأ ش + i c u_y = 0 label نهاية بـ $ c ne 0 $. لذلك IVP $ u | _= g $ تم وضعه جيدًا في كلا الاتجاهين $ y & gt0 $ و $ y & lt0 $ ولكنه يفتقر إلى العديد من خصائص المعادلات المكافئة (مثل مبدأ الحد الأقصى أو التهدئة لا يزال لها خصائص مثيرة للاهتمام من تلقاء نفسها).

مرة أخرى ، إذا أخذنا في الاعتبار معادلات الترتيب من فئة 2 دولار فقط مع معاملات حقيقية ثابتة ، فعندها في الإحداثيات المناسبة ستبدو إما تبدأ ش+ u_+ u_+ نص = f التسمية نهاية أو تبدأ ش+ u_-u_+ نص = f ، التسمية نهاية ونسمي هذه المعادلات بيضاوي الشكل و القطعي على التوالى.

كما نحصل عليه معادلات القطع المكافئ مثل ابدأ ش+ u_-cu_z + نص = و. ضع الكلمة المناسبة نهاية ماذا عن البدء ش-u_-cu_z + نص = و؟ ضع الكلمة المناسبة نهاية قد يسميها الجبر الشكلاني القطع المكافئ القطعي ولكن بما أن هذه المعادلة لا تعرض خصائص تحليلية مثيرة للاهتمام (إلا إذا اعتبر المرء عدم وجود مثل هذه الخصائص مثيرًا للاهتمام على وجه الخصوص ، فإن IVP ضعيف في كلا الاتجاهين) سيكون انحرافًا.

نعم ، ستكون هناك معادلة شرودنغر ابدأ ش + u_+ i c u_z = 0 label نهاية مع $ c ne 0 $ ولكن $ u_ -u_+ i c u_z = 0 $ سيكون لها أيضًا IVP $ u | _= ز $ في وضع جيد في كلا الاتجاهين.

هنا سنحصل أيضًا بيضاوي الشكل يبدأ ش+ u_+ u_+ u_+ نص = f ، التسمية نهاية القطعي يبدأ ش+ u_+ u_-u_+ نص = f ، التسمية نهاية ولكن أيضا فوق الزئبق يبدأ ش+ u_-u_-u_+ نص = f ، التسمية نهاية التي تعرض بعض الخصائص التحليلية المثيرة للاهتمام ولكن هذه المعادلات أقل أهمية بكثير من القطع الناقص أو القطعي أو المكافئ.

سيكون Parabolic و Schrödinger هنا أيضًا.

ملاحظة 1. يتم تعميم مفاهيم المعادلات الإهليلجية أو القطعية أو القطع المكافئ على أبعاد أعلى (تافهة) ومعادلات ذات رتبة أعلى ، لكن معظم المعادلات المكتوبة عشوائيًا لا تنتمي إلى أي من هذه الأنواع ولا يوجد سبب لتصنيفها.

لا توجد تصنيفات كاملة لأجهزة PDE ولا يمكن أن يكون ذلك بسبب أن أي تصنيف معقول لا يجب أن يعتمد على شكل المعادلة ولكن على الخصائص التحليلية المعقولة التي تعرضها (أي من IVP أو BVP يتم طرحه جيدًا وما إلى ذلك).

معادلات من نوع المتغير

لجعل الأمور أكثر تعقيدًا ، هناك معادلات تغير الأنواع من نقطة إلى أخرى ، على سبيل المثال. معادلة تريكومي ابدأ ش+ xu_= 0 التسمية نهاية وهو القطع الناقص مثل $ x & gt0 $ والقطع الزائدي مثل $ x & lt0 $ وعند $ x = 0 $ به & quot؛ انحلال قطعي & quot. إنه نموذج لعبة يصف التدفق الثابت العابر للصوت للغاز. تسمى هذه المعادلات معادلات من نوع المتغير (الملقب ب. معادلات من النوع المختلط).

لم يكن هدفنا تقديم تعريفات دقيقة ولكن شرح الموقف.


3.2: المعادلات شبه الخطية من الدرجة الثانية - الرياضيات

التحكم الأمثل في التدفقات التكافلية شبه الخطية من الدرجة الثانية

فيكتور أونومزا وزيري وكايود روفوس أديبوي

قسم الرياضيات / علوم الحاسوب الاتحادية جامعة التكنولوجيا , نيجيريا

يدرس هذا البحث التحكم الأمثل لمجموعة Laplacian من معادلات الرتبة التفاضلية الثانية والمعادلات شبه الخطية أو معادلات الدرجة الأولى في الطبيعة. تصنف الدراسة البحث إلى حالات ذات بعد واحد إلى الحالات ذات الأبعاد النونية كنقاط للتعميم. تعطي القيم العددية والمحاكاة الفيزيائية تصورات بصرية للتدفقات متساوية الجهد من واحد إلى ثلاثي الأبعاد.

تدفقات متساوية الجهد معادلات لابلاس لمحاكاة التحكم الأمثل دالة هاميلتونية مركز الزلزال

تُصنف مجموعة معادلات لابلاسيان عمومًا على أنها معادلات تدفق متساوية الجهد. تؤدي هذه المعادلات إلى ظهور معادلات تفاضلية جزئية إهليلجية لحالات أبعاد مختلفة (Hobson et al ، 2002). تُعرَّف معادلة لابلاسيا للشكل شبه الخطي من الدرجة الثانية على النحو التالي:

المعادلة ثلاثية الأبعاد (1.1) تحمل درجة حرارة ثابتة في وسط متناحي الخواص ، والتي تميز الجاذبية أو الجهد الكهروستاتيكي في نقاط الفضاء الفارغ ، وتصف السرعة المحتملة لتدفق السوائل غير القابل للانضغاط ، و / أو غير القابل للضغط. المعادلة (1.1) هي النموذج الأولي لمعادلة فردية لمعادلة لابلاس ثلاثية الأبعاد. حالات المعادلات الفردية الأخرى ذات الأبعاد هي:

المعادلات (1.2) و (1.3) و (1.4) هي على التوالي معادلات تدفق متساوي الجهد أحادي وثنائي الأبعاد ونوني الأبعاد. نعتزم في هذا البحث الحصول على التحكم الأمثل في معادلات التدفق متساوي الجهد من الدرجة الأولى باستخدام مبدأ الحد الأقصى.

الشروط اللازمة للتحكم الأمثل

تم شطب الشروط اللازمة للأمثل بشكل واضح في (Gottfried and Weisman، 1973) و (Singh and Titli، 1978) في ظل المعارض المتغيرة ولكن هذه الشروط الضرورية للحصول على التحكم الأمثل تم تبسيطها بالتفصيل بواسطة (Rao، 1978). باختصار ، قمنا بتحديد الخطوط العريضة لهذه الطريقة في مواجهة وإن كانت بإيجاز كما قال سينغ وتيتلي (المرجع نفسه):

ضع في اعتبارك مشكلة التقليل

تخضع لمعادلة القيد الديناميكي:

مع الشرط الأولي والحد

هذه المجموعة من المعادلات (2.1) و (2.2) تعطي دالة هاميلتونية في شكل أكثر إحكاما:

التي تستمد منها الشروط اللازمة للأمثل من خلال عبارات التعبيرات هذه:

علاوة على ذلك ، يتم تعريف حالة النهج المتغير على النحو التالي:

نظر سينغ وآخرون (المرجع نفسه) إلى المعادلات (2.5) و (2.6) و (2.7) باعتبارها الشروط اللازمة لتحقيق الأمثل وتحتوي على معادلات تفاضلية من الدرجة الأولى 2n (أي أنها تتكون من معادلات n state و n cost) والعلاقات الجبرية m (لمعادلة التحكم 2.7) التي يجب أن تكون راضيًا خلال فترة التحسين 0، رF ]. لحل هذه المعادلات ، نطلب شروط حد 2n ، يتم إعطاء n من هذه الشروط الأولية على الحالة بواسطة المعادلة (2.3) و n أو (ن + 1) اعتمادًا على ما إذا كان رF محدد. إذا تم تحديده وتم تحديد طبيعة الهدف المحدد كما في المعادلة (2.1) ، فإن العنصر الإضافي (ن + 1) يمكن التعبير عن العلاقة على النحو المنصوص عليه في هذه المجموعة من المعادلات المجمعة (2.9) أدناه:

تعطي المعادلة (2.4) جذرًا لصيغ الشروط اللازمة لتحقيق أمثلية وظيفية لهدف تربيعي متكامل معين. الشرط الضروري للأمثل الذي تحدده معادلة التحكم (2.7) يعطي زيادة لمبدأ الحد الأقصى المشهور.

بيانات المشاكل

في هذا القسم ، لدينا مجموعة مشاكل التحسين هذه لحالات الأبعاد شبه الخطية من الدرجة الثانية متساوية الجهد. سنحصل على الضوابط الفردية المثلى الخاصة بهم في القسم التالي باستخدام النظرية في القسم السابق:

بشروط أولية وحدوية

تعطي مجموعة المعادلات (3.1) و (3.2) و (3.3) مشكلة تحسين التدفق الاحتمالي أحادي البعد بينما في (3.2) ، يشير المصطلح الإضافي إلى التحكم عند النقطة x والوقت t إلى تدفق مسار أحادي البعد من المشكلة.

بشروط أولية وحدوية:

تعطي مجموعة المعادلات (3.4) و (3.5) و (3.6) مشكلة التحكم في تحسين التدفق التفاضلي ثنائي الأبعاد.

بشروط أولية وحدوية

ض (0 ، ص ، ث ، تي) = ض (س ، 0 ، ث ، تي): 0 & # 8804 t & # 8804 1

ض (س ، ص ، ث ، 0) = ض (س ، ص ، ث): 0 & # 8804 س & # 8804 1 ، 0 & # 8804 ص & # 8804 1

تعطي مجموعة المعادلات (3.7) و (3.8) و (3.9) مشكلة تحسين التدفق التفاضلي ثلاثي الأبعاد.

ثمالعاشر- مشكلة التحسين الأبعاد هي:

بشروط أولية وحدوية

z (0، y، w، ، p، t) = z (x، 0، w، ، p، t) = z (x، y، w، ، 0، t)

سنحصل على الحلول المثلى للمشكلات المحددة في القسم التالي باستخدام الإجراءات الحسابية النظرية الموضحة في القسم الثالث أعلاه.

الحلول الحسابية للمشاكل المذكورة أعلاه

نقسم هذا القسم إلى أقسام فرعية وفقًا للمشكلات التي تواجهنا.

مشكلة شبه خطية أحادية البعد من الدرجة الثانية

أذكر المعادلتين (3.1) و (3.2) ، فإن وظيفة هاميلتونيان هي معادلة غير مقيدة في النموذج:

H (x، u، & # 955، t) = z 2 (x، t) + u 2 (x، t) + & # 955 (t) [zxx (س ، ر) + ش (س ، ر)]

يتم تحديد الشروط اللازمة للعلاقات المثلى في هذا الترتيب التسلسلي:

تفريق المعادلة (4.4) ومقارنة ناتجها مع ناتج المعادلة (4.2) ، ينتج عنه معادلة تفاضلية جزئية من الدرجة الأولى من النموذج:

في إجراء مميز كما في Zachmann and Duchateau (1986) ، إذا كانت المعادلة (4.5) تحتوي على حل سلسلة فورييه ، فقم بتعيين

التفريق (4.6) بالنسبة إلى t يعطي:

وبالتالي يمكن التعبير عن معادلة القيد (3.2) على النحو التالي:

بحيث يتم تعريف المعادلة المميزة (4.10) على أنها

لذلك ، فإن الخاصية الجذر & # 955 قابلة للمقارنة على النحو التالي:

يمكن التعبير عن الهدف التربيعي الوظيفي (3.1) على النحو التالي:

مع مراعاة الخصائص المتسلسلة العامة للحلول:

تعطي المعادلة 4.13 تعبيرات الخصائص العامة:

تُعرَّف مشكلة تقليل عدم التقييد المقابلة بإيجاز على النحو التالي:

الآن حل المعادلة (4.13) بقمع المتغير المستقل x العائد

ثم يتبع من المعادلتين (4.6) و (4.17) ومع ذلك:

ومن ثم ، مع المعادلة (4.17) ومع اعتبارات المعادلتين (4.11) و (4.18) ، يكون الحل العام للمعادلة (4.13) هو:

علاوة على ذلك ، من المشتقات الحسابية أعلاه ، نلاحظ أن المشتق الجزئي لعنصر التحكم ش (س ، ر) فيما يتعلق تي هي الدولة ض (س ، ر). وهكذا من المعادلة (4.19) ، يتم تعريف معادلة الحالة بهذا الترتيب:

لذلك ، بالنسبة لمعادلة التدفق شبه الخطي أحادية البعد ، يكون التحكم والحالة معادلتين (4.19) و (4.20) على التوالي.

مشكلة تحسين التدفق شبه الخطي ثنائية الأبعاد من الدرجة الثانية

بطريقة منهجية على النحو الوارد أعلاه ، لن يكون من الصعب اشتقاق السيطرة والحالة المثلى للمشكلة ثنائية الأبعاد.

H = z 2 (x ، y ، t) + u 2 (x ، y ، t) + & # 955 T (zxx (س ، ص ، ر)) + ضس ص (س ، ص ، ر) + ش (س ، ص ، ص)

يتم توفير الشروط اللازمة لتحقيق الأمثل على النحو التالي:

بمقارنة المعادلتين (4.22) و (4.23) ، لدينا معادلة شبه خطية من الدرجة الأولى:

كما في أعلاه ، بافتراض حل سلسلة فورييه:

مع الدولة المعرفة على النحو التالي:

من المعادلتين (4.26) و (4.27) ، لدينا معادلة القيد (3.5) تحولت إلى:

المعادلة (4.28) ربما تكون مبسطة ومكتوبة في صيغة مميزة على النحو التالي:

بدون اتباع الإجراءات اللازمة لإعادة كتابة إجراءات التصغير ، لدينا:

حل المعادلة (4.28) ، لدينا التحكم الأمثل مثل

بالطريقة نفسها كما في الحالة أحادية البعد ، تُعرَّف الحالة على النحو التالي:

المعادلتان (4.31) و (4.32) هي التحكم الأمثل المطلوب والحالة الوظيفية على التوالي.

التحكم الأمثل والحالة للتدفق متساوي الجهد ثلاثي الأبعاد

بدون الكثير من اللغط ، لن يكون لدينا الخلط في التعميم من القسمين الفرعيين في هذا القسم على أن التحكم الأمثل ومعادلات الحالة يتم تعريفها بالتسلسل على النحو التالي:

المعادلتان (4.33) و (4.34) هما الحلان الوظيفيان للتحكم الأمثل ثلاثي الأبعاد.

التحكم والحالة الأمثل لتدفق الجهد متساوي الأبعاد

باتباع نفس النمط مثل الأقسام الفرعية الثلاثة ، نستنتج أن التحكم الأمثل ومشكلة تحسين الأبعاد بالحالة يتم استدعاءها بسهولة كما في هذه الملاحظات:

من خلال التحكم الأمثل المشتق والحلول الوظيفية للحالة ، نحصل الآن على القيم العددية لكل مساحة بعدية. نتصور صعوبة هائلة في محاكاة التحكم المادي الأمثل والحالة للتصور المرئي لأي مسافات ذات أبعاد أعلى أكبر من حالة ثلاثية الأبعاد. وبالتالي ، فإن تحليلنا يكون على أساس واحد من خلال حالات الاشتقاقات ثلاثية الأبعاد أعلاه.

التحليل العددي الأمثل

نحصل على القيم العددية التالية لمشاكل الأبعاد التالية:

مخرجات برنامج المشكلة أحادية البعد هي

مخرجات الحل العددي الأمثل باستخدام رمز البرنامج للحالة أحادية البعد هي: ش (س ، ر) = 3.927 & # 872910 -4 و ض (س ، ر) = 1.591 & # 872910 -6 للتحكم الأمثل على التوالي. يتم تحقيق هذه عندما س = -0.019 في ر = 1.943 & # 8729104 .

المخرجات الرقمية المثلى ثنائية الأبعاد

نواتج القيم العددية المثلى باستخدام أكواد البرنامج هي كما يلي:

التحكم الأمثل ش (س ، ص ، تي) = 2.468 & # 872910 -9 والدولة ض (س ، ص ، تي) = 1.25 & # 872910 -10 يتم الحصول عليها عندما ن = 1, س = 2.5 & # 872910 -5 , ص = 5 & # 872910 -5 ، و ر = 2.5 & # 872910 -4 .

القيم العددية المثلى ثلاثية الأبعاد

تكشف العلبة ثلاثية الأبعاد تمامًا كما هو موضح أدناه لأنه مع زيادة مساحة الأبعاد ، يصبح كل من التحكم الأمثل وإخراج الحالة صغيرًا بشكل تدريجي كما هو موضح في هذا الإخراج الرقمي. التحكم الأمثل في هذا الفضاء هو ش (س ، ص ، ث ، تي) = 1.938 & # 872910 -11 بينما مسار الدولة ض (س ، ص ، ث ، تي) = 6.545 & # 872910 -13 .

يتم الحصول على هذه القيم العددية المثلى عندما ن = 1 ، س = 2.5 & # 872910 -5 ، ص = 5 & # 872910 -5 ، ث = 6.25 & # 872910 -5 ، و ر = 5 & # 872910 -5 .

ملاحظات على الملاحظات العددية

تظهر الملاحظات التي تم إجراؤها حتى الآن زيادة في الطاقة الكامنة مع التقدم اللاحق في الفضاء البعدي. يكون القياس مهمًا إذا قارنا الأطوال الموجية العددية في عنصر التحكم والحالة فيما يتعلق بالحالات أحادية وثنائية الأبعاد أو ملاحظات النتائج المثلى ثنائية الأبعاد وثلاثية الأبعاد. ومن ثم ستلاحظ مظاهر الترددات العالية مع حضور أطوال موجية أقصر.

كشفت هذه الدراسة عن بعض الحقائق النظرية الأساسية التي تفيد بأنه كلما زاد تركيز المادة في المركز (يشار إليها من الآن فصاعدًا باسم مركز الزلزال) ، يصبح مركز الزلزال أكثر حماسًا في التحريض بسبب الخبرة الهائلة للطاقة الكامنة العالية.

بعد هذا الاستحواذ التقليدي للقيم العددية المثلى ، يمكننا الانتقال إلى فترة مؤقتة للحصول على التحكم في التدفقات المتساوية الأبعاد المختلفة وتحديد القيم العددية في المتغيرات المتزايدة المختلفة بالتتابع مع زيادة الأبعاد خطوة بحكمة.

ومع ذلك ، نلاحظ بشكل عابر أن القيم العددية المثلى (التي تمثل قيم الأطوال الموجية) تصبح متناهية الصغر مع اتساع مسافات الأبعاد. علاوة على ذلك ، نذكر بشكل عابر أن القيم العددية لطول الموجة المعروضة تختلف مع زيادة في ملف تعريف المستوى m.

محاكاة الفراغات أحادية الأبعاد إلى ثلاثية الأبعاد

هنا ، نقدم المحاكاة الفيزيائية لمساحات الحل الوظيفية الثلاثة كما هو مشتق في الأقسام الفرعية من القسم 4 أعلاه عندما ن = 1.

المحاكاة أحادية البعد للحالات وعناصر التحكم هي كما يلي:

الحالة أحادية البعد

الشكلان 1 و 2 هما عنصر التحكم الأمثل ومحاكاة الحالة للتدفقات متساوية الجهد أحادية البعد على التوالي. كلاهما يعرض مناطق وسط السهول ولكن الحواف غارقة إلى حد ما مع الكثير من الاضطرابات الموجية في الموضات المنفصلة. تكون السعات أكثر وضوحًا من الخارج في صناديقنا وفي تضخمات متنوعة إلى اليمين للتحكم الأمثل وإلى اليسار بالحالة المثلى.

الشكل 1. محاكاة التحكم الأمثل عند n = 1

الشكل 2. محاكاة الحالة المثلى عند n = 1

الحالة ثنائية الأبعاد

الشكلان 3 و 4 يمثلان المحاكاة للفضاء ثنائي الأبعاد. تعتبر اضطرابات الموجة أكثر اضطرابًا من الحالات أحادية البعد أعلاه. يبدو واضحًا هنا أن السهل النسبي السلمي في القضية أحادية البعد قد اختفى. ربما يعزى هذا إلى اختلافاتهم في الأطوال الموجية للمقارنات العددية المثلى التي تدعم هذا التأكيد.

الشكل 3. التحكم الأمثل عند n = 1

الشكل 4. الحالة المثلى عند n = 1

محاكاة ثلاثية الأبعاد

في فحوصات مماثلة على النحو الوارد أعلاه ، لدينا التحكم والمحاكاة الحالة في الشكلين 5 و 6 على التوالي للحالة ثلاثية الأبعاد. تكون أشكال الموجات أكثر إحكاما وذات أطوال موجية أقصر هنا مما كانت عليه في الملاحظات السابقة. تنبئ هذه الملاحظة المذهلة بوجود اختلافات في إمكانات الطاقة أكبر من التقييمين السابقين.

الشكل 5. التحكم الأمثل عند n = 1

الشكل 6. الحالة المثلى عند n = 1

كان العمل البحثي منيرًا جدًا. توضح القيم العددية الحسابية أنه كلما زادت مساحة الأبعاد ، كلما كانت قيم التحكم العددي والحالة المثلى أصغر. توضح هذه القيم العددية المتناقصة إلى حد ما أن حزم الطاقة في المساحات ذات الأبعاد الأعلى أكثر أهمية من المساحات السفلية. أي أن الطاقة التي يتم اختبارها من خلال معادلة فضاء التدفق متساوي الجهد أحادي البعد هي أقل من تلك التي تعاني منها الحالة ثنائية الأبعاد وما إلى ذلك. من الواضح أن المحاكاة المرصودة تعطي وزنًا للملاحظات المذكورة أعلاه. مع زيادة المساحات ذات الأبعاد المحاكية ، تظهر ملاحظاتهم المادية بعض أنماط الموجات المدمجة مع ضوابط أمثل أقصر وتحدد الأطوال الموجية. ما يصوره هذا الانضغاط هو أنه كلما زاد الفضاء البعدي لتدفق متساوي الجهد ، زاد مستوى الطاقة الذي يرمز إلى الحضور العالي لرصد الترددات.

ملاحظة بارزة أخرى هي أن الملف الشخصي يتغير في الفضاء. القيمة الموصوفة هنا تشير ببساطة إلى طبقة المستوى m t h. تؤدي هذه الطبقات إلى زيادة الاختلافات في مستويات الطاقة متساوية الجهد حتى في نفس الفضاء ذي الأبعاد. وبالتالي تكون مستويات الطاقة في مركز أي تدفقات متساوية الجهد أعلى من تلك الموجودة داخل جيرانهم. هذا يفسر الاعتقاد النظري بأن مركز الأرض يحتوي على حزمة طاقة أكبر بكثير من جوارها مما يقلل من الكمية عندما يبتعد المرء عن مركزه.

يجب أن نذكر أن تطبيق النتائج التي توصلنا إليها على الخطاب التحليلي الضائع يفترض وجود مساحة جاذبية حرة داخل باطن الأرض.

1 Duchateau P.., Zachmann D. W. ، المعادلات التفاضلية الجزئية ، شركة McGraw-Hill Publishing Company ، 1986.

2 Gottfried B. S.، Weisman J.، مقدمة في نظرية التحسين، Prentice-Hall، Englewood Cliffs، New Jersey، 1973.

3 Hobson M. P، Riley K. F.، Bence S. J.، Mathematical Methods for Physics and Engineering، Cambridge University Press، 2002.

4 Hughes F. W.، Brighton J.A، Fluid Dynamics مع مقدمة عن تدفق الصوت دون سرعة الصوت وسرعة الصوت تدفق المضطرب غير القابل للانضغاط تدفق الطبقة الفائقة السرعة الديناميكا المغناطيسية للسوائل غير النيوتونية ، سلسلة الخطوط العريضة لـ Schaum ، 1991.

5 Ibiejugba M. A. ، في عدم المساواة اللحظية في Krassnoselskiii ، التقدم في النمذجة والمحاكاة 1987 ، 6 (3) ، ص. 1-17.

6 لامبرت ج.د ، الطرق العددية للأنظمة التفاضلية العادية ، جون وايلي وأولاده ، 1993.

7 Rao S. S.، Optimization Theory and Application، Wiley Eastern Limited، 1978.

8 Reju S. A. ، التحسين الحسابي في الرياضيات ، دكتوراه. أطروحة ، جامعة إيلورين ، إيلورين ، نيجيريا ، 1995.

9 Reju S. A. ، Ibiejugba M.A ، Evans D.J. ، النتائج الحسابية للتحكم الأمثل في معادلة الانتشار مع مشكلة التدرج المقترن الممتد ، التطورات في النمذجة وتحليل أمبير 1999 ، 3 (2) ، ص. 1-22.

10 Reju S. A. ، Ibiejugba M.A ، Evans D.J ، التحكم الأمثل في مشكلة انتشار الموجة مع أسلوب التدرج المقترن الممتد ، انتر. J. الحاسوب الرياضيات.، 2001 ، 77 (3) ، ص. 425-439.

11 Singh M.A، Titli A. J.، System Decomposition، Optimization and Control، Pergason Toulouse، France، 1978.

12 سميث جي دي ، الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية: طرق الفروق المحدودة ، مطبعة جامعة أكسفورد ، 1985.


رياضيات (رياضيات)

الدوال متعددة الحدود والعقلانية والأسية واللوغاريتمية والمثلثية (التركيز على الحساب والرسوم البيانية وموقع الجذور) الخطوط المستقيمة والمقاطع المخروطية. في المقام الأول دورة تمهيدية للطالب دون خلفية جيدة في الدوال المثلثية والرسوم البيانية و / أو الهندسة التحليلية. غير مفتوح للطلاب الحاصلين على شهادات MATH 121 أو MATH 125. متطلب سابق: ثلاث سنوات من رياضيات المدرسة الثانوية.

رياضيات 121. حساب التفاضل والتكامل في العلوم والهندسة. 4 وحدات.

الدوال ، الهندسة التحليلية للخطوط ومتعددة الحدود ، الحدود ، مشتقات الدوال الجبرية والمثلثية. تكامل محدد ، المشتقات العكسية ، النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ، تغيير المتغيرات. الإعداد الموصى به: ثلاث سنوات ونصف السنة من رياضيات المدرسة الثانوية. يمكن تطبيق رصيد لواحد على الأكثر من رياضيات 121 و MATH 123 و MATH 125 على الساعات المطلوبة للتخرج. التهم لمتطلبات الاستدلال الكمي في CAS. متطلب سابق: رياضيات 120 أو 30 في الاختبار التشخيصي للرياضيات أو معفى من الاختبار التشخيصي للرياضيات.

رياضيات 122. حساب التفاضل والتكامل في العلوم والهندسة II. 4 وحدات.

استمرار الرياضيات 121. الأسي واللوغاريتمات ، النمو والانحلال ، الدوال المثلثية العكسية ، المعدلات ذات الصلة ، التقنيات الأساسية للتكامل ، المساحة والحجم ، الإحداثيات القطبية ، المعادلات البارامترية. متعدد الحدود تايلور ونظرية تايلور. يمكن تطبيق رصيد لواحد على الأكثر من رياضيات 122 و MATH 124 و MATH 126 على الساعات المطلوبة للتخرج. متطلب سابق: رياضيات 121 أو 123 أو 126 رياضيات.

رياضيات 123. حساب التفاضل والتكامل I. 4 وحدات.

الحدود والاستمرارية ومشتقات الدوال الجبرية والمتجاوزة ، بما في ذلك التطبيقات والخصائص الأساسية للتكامل. تقنيات التكامل والتطبيقات. يجب أن يكون لدى الطلاب 31/2 سنة من رياضيات المدرسة الثانوية. يمكن تطبيق رصيد لواحد على الأكثر من رياضيات 121 و MATH 123 و MATH 125 على الساعات المطلوبة للتخرج. التهم لمتطلبات الاستدلال الكمي في CAS.

رياضيات 124. حساب التفاضل والتكامل II. 4 وحدات.

مراجعة التمايز. تقنيات التكامل وتطبيقات التكامل المحدد. المعادلات البارامترية والإحداثيات القطبية. نظرية تايلور. المتتاليات ، السلاسل ، السلاسل الكهربائية. العمليات الحسابية المعقدة. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات. يمكن تطبيق رصيد لواحد على الأكثر من رياضيات 122 و MATH 124 و MATH 126 على الساعات المطلوبة للتخرج. متطلب سابق: رياضيات 121 والتنسيب حسب القسم.

رياضيات 125. تطبيقات الرياضيات وحساب التفاضل والتكامل في الحياة والعلوم الإدارية والاجتماعية. 4 وحدات.

التفاضل الاحتمالي المنفصل والمستمر وحساب التفاضل والتكامل لرسم بياني متغير واحد ، والمعدلات ذات الصلة ، والحد الأقصى والحد الأدنى. تقنيات التكامل والطرق العددية والأحجام والمناطق. تطبيقات في العلوم الفيزيائية والحياتية والاجتماعية. يجب على الطلاب الذين يخططون لأخذ أكثر من فصلين دراسيين في الرياضيات التمهيدية أن يأخذوا رياضيات 121. الإعداد الموصى به: ثلاث سنوات ونصف السنة من رياضيات المدرسة الثانوية. يمكن تطبيق رصيد لواحد على الأكثر من رياضيات 121 و MATH 123 و MATH 125 على الساعات المطلوبة للتخرج. التهم لمتطلبات الاستدلال الكمي في CAS. متطلب سابق: رياضيات 120 أو 30 في الاختبار التشخيصي للرياضيات أو معفى من الاختبار التشخيصي للرياضيات.

رياضيات 126. تطبيقات الرياضيات وحساب التفاضل والتكامل في الحياة والعلوم الإدارية والاجتماعية II. 4 وحدات.

استمرار الرياضيات 125 التي تغطي المعادلات التفاضلية ، حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، الطرق المنفصلة. المشتقات الجزئية ، القيم القصوى والدنيا لوظائف متغيرين ، الانحدار الخطي. المعادلات التفاضلية معادلات الدرجة الأولى والثانية ، الأنظمة ، طرق سلسلة تايلور ، معادلات اختلاف طريقة نيوتن. يمكن تطبيق رصيد لواحد على الأكثر من رياضيات 122 و MATH 124 و MATH 126 على الساعات المطلوبة للتخرج. متطلب سابق: رياضيات 121 أو 123 أو 125 رياضيات.

رياضيات 150. الرياضيات من وجهة نظر عالم رياضيات. 3 وحدات.

تم تطوير موضوع رياضي مثير للاهتمام ويمكن الوصول إليه لم يتم تناوله في المناهج القياسية. يتعرض الطلاب لأساليب التفكير الرياضي والتقدم التاريخي للمفاهيم الرياضية. مقدمة عن طريقة عمل علماء الرياضيات وموقفهم من مهنتهم. يجب أن تؤخذ في السنة الأولى ليتم احتسابها في تخصص الرياضيات. متطلب سابق: ثلاث سنوات ونصف من رياضيات المدرسة الثانوية. التهم لمتطلبات الاستدلال الكمي في CAS.

رياضيات 201. مقدمة في الجبر الخطي للتطبيقات. 3 وحدات.

عمليات المصفوفة ، أنظمة المعادلات الخطية ، الفراغات المتجهة ، الفراغات الفرعية ، القواعد والاستقلالية الخطية ، القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، قطرية المصفوفات ، التحويلات الخطية ، المحددات. أقل نظرية من رياضيات 307. مناسبة للتخصصات في العلوم والهندسة والاقتصاد. متطلب سابق: MATH 122 أو MATH 124 أو MATH 126.

رياضيات 223. حساب التفاضل والتكامل في العلوم والهندسة III. 3 وحدات.

مقدمة في خطوط وطائرات الجبر المتجه. دوال لعدة متغيرات: المشتقات الجزئية ، التدرجات ، قاعدة السلسلة ، المشتق الاتجاهي ، الحد الأقصى / الصغرى. تكاملات متعددة ، إحداثيات أسطوانية وكروية. مشتقات الدوال ذات القيمة المتجهية والسرعة والتسارع. حقول المتجهات ، تكاملات الخط ، نظرية جرين. يمكن تطبيق رصيد واحد كحد أقصى من رياضيات 223 و MATH 227 على الساعات المطلوبة للتخرج. متطلب سابق: 122 رياضيات أو 124 رياضيات.

رياضيات 224. المعادلات التفاضلية الأولية. 3 وحدات.

دورة أولى في المعادلات التفاضلية العادية. معادلات وتطبيقات من الدرجة الأولى ، معادلات خطية ذات معاملات ثابتة ، أنظمة خطية ، تحويلات لابلاس ، طرق عددية للحل. يمكن تطبيق رصيد لواحد على الأكثر من رياضيات 224 ورياضيات 228 على الساعات المطلوبة للتخرج. متطلب سابق: رياضيات 223 أو 227 رياضيات.

رياضيات 227. حساب التفاضل والتكامل III. 3 وحدات.

ناقلات الجبر والهندسة. الخرائط والمصفوفات الخطية. حساب التفاضل والتكامل من المتجهات ذات القيمة. مشتقات دوال متعددة المتغيرات. تكاملات متعددة. حقول المتجهات وتكاملات الخط. يمكن تطبيق رصيد واحد كحد أقصى من رياضيات 223 و MATH 227 على الساعات المطلوبة للتخرج. متطلب سابق: 124 رياضيات وتنسيب من قبل القسم.

رياضيات 228. المعادلات التفاضلية. 3 وحدات.

معادلات تفاضلية عادية أولية: معادلات من الدرجة الأولى ، أنظمة خطية ، تستخدم الطرق العددية للحل. يمكن تطبيق رصيد لواحد على الأكثر من رياضيات 224 ورياضيات 228 على الساعات المطلوبة للتخرج. متطلب سابق: 227 رياضيات أو تحديد من قبل القسم.

رياضيات 301. مقرر القراءة للمرحلة الجامعية الأولى. 1-3 وحدات.

يجب على الطلاب الحصول على موافقة الأستاذ المشرف قبل التسجيل. يجب اعتماد أكثر من ساعة معتمدة من قبل لجنة البكالوريوس بالقسم.

رياضيات 302. ندوة الأقسام. 3 وحدات.

ندوة مكرسة لفهم صياغة وحل المشاكل الرياضية. ندوة قسم SAGES. سيقوم الطلاب بالتحقيق ، من وجهات نظر مختلفة ممكنة ، من خلال دراسات الحالة ، كيف تتقدم الرياضيات كتخصص - ما الذي يفعله علماء الرياضيات. ستكون الدورة إلى حد كبير في شكل ندوة. ستكون هناك مهمتان تتعلقان بالكتابة بأسلوب التخصص. التسجيل بإذن (يقتصر على التخصصات حسب الطلب). يعد بمثابة ندوة إدارية لـ SAGES.

رياضيات 303. نظرية الأعداد الأولية. 3 وحدات.

الأعداد الأولية وقابلية القسمة ونظرية التطابق والوظائف النظرية العددية. معادلات ديوفانتين ونظرية المخلفات التربيعية وموضوعات أخرى يحددها اهتمام الطالب. التأكيد على حل المشكلات (صياغة التخمينات وتبريرها). متطلب سابق: 122 رياضيات أو 124 رياضيات.

رياضيات 304. الرياضيات المتقطعة. 3 وحدات.

مقدمة عامة للمصطلحات الرياضية الأساسية وتقنيات الرياضيات المجردة في سياق الرياضيات المنفصلة. الموضوعات المقدمة هي التفكير الرياضي ، الروابط المنطقية ، الاستنتاج ، الاستقراء الرياضي ، المجموعات ، الوظائف والعلاقات ، الخوارزميات ، الرسوم البيانية ، التفكير التوافقي. يتم تقديمه كـ CSDS 302 و ECSE 302 و MATH 304. متطلب سابق: MATH 122 أو MATH 124 أو MATH 126.

رياضيات 305. مقدمة في الرياضيات المتقدمة. 3 وحدات.

- دورة في نظرية وممارسة الكتابة وقراءة الرياضيات. الموضوعات الرئيسية هي المنطق ولغة الرياضيات ، وتقنيات الإثبات ، ونظرية المجموعات ، والوظائف. قد تتضمن الموضوعات الإضافية مقدمات لنظرية الأعداد ، أو نظرية المجموعة ، أو الطوبولوجيا ، أو مجالات أخرى من الرياضيات المتقدمة. متطلب سابق: MATH 122 أو MATH 124 أو MATH 126.

رياضيات 307. الجبر الخطي. 3 وحدات.

دورة في الجبر الخطي تدرس أساسيات مساحات المتجهات ومساحات المنتج الداخلية والتحولات الخطية على أساس بديهي. تشمل الموضوعات: حلول الأنظمة الخطية ، جبر المصفوفة على الأعداد الحقيقية والمركبة ، الاستقلال الخطي ، القواعد والأبعاد ، القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، تحلل القيمة الفردية ، والمحددات. قد تشمل الموضوعات الأخرى المربعات الصغرى ، والمنتج الداخلي العام ، والمسافات المعيارية ، والإسقاطات المتعامدة ، والنظرية الطيفية ذات الأبعاد المحدودة. هذه الدورة مطلوبة من جميع الطلاب المتخصصين في الرياضيات والرياضيات التطبيقية. أكثر نظرية من رياضيات 201. متطلب سابق: رياضيات 122 أو رياضيات 124.

رياضيات 308. مقدمة في الجبر المجرد. 3 وحدات.

دورة أولى في الجبر المجرد ، تدرس على أساس بديهي. الهياكل الجبرية الرئيسية التي تمت دراستها هي المجموعات والحلقات والحقول. تشمل الموضوعات التشابهات الشكلية وهياكل حاصل القسمة. هذه الدورة مطلوبة من جميع الطلاب المتخصصين في الرياضيات. من المفيد ، ولكن ليس ضروريًا ، أن يكون الطالب قد درس MATH 307 قبل MATH 308. متطلب سابق: MATH 122 أو MATH 124.

رياضيات 319. الاحتمالية التطبيقية والعمليات العشوائية للبيولوجيا. 3 وحدات.

تطبيقات الاحتمالات والعمليات العشوائية على النظم البيولوجية. ستشمل الموضوعات الرياضية: مقدمة لمساحات الاحتمالية المنفصلة والمستمرة (بما في ذلك التوليد العددي للعينات العشوائية الزائفة من توزيعات احتمالية محددة) ، وعمليات ماركوف في وقت منفصل ومستمر مع مساحات عينة منفصلة ومستمرة ، وعمليات النقطة بما في ذلك عمليات بواسون المتجانسة وغير المتجانسة وماركوف سلاسل على الرسوم البيانية ، وعمليات الانتشار بما في ذلك الحركة البراونية وعملية Ornstein-Uhlenbeck. سيتم تحديد الموضوعات البيولوجية حسب اهتمامات الطلاب والمدرس. تشمل الموضوعات المحتملة ما يلي: القنوات الأيونية العشوائية والمحركات الجزيئية والمعدلات العشوائية وبلمرة الأكتين والتوبولين ونماذج المشي العشوائية لقطارات السنبلة العصبية والتركيز الكيميائي البكتيري والإشارات والشبكات التنظيمية الجينية وديناميكيات المفترس العشوائية. سيكون التركيز على المحاكاة العملية وتحليل الظواهر العشوائية في النظم البيولوجية. سيتم تطوير الأساليب العددية باستخدام مزيج من MATLAB ، والحزمة الإحصائية R ، و MCell ، و / أو URDME ، وفقًا لتقدير المدرب. ستشكل مشاريع الطلاب جزءًا كبيرًا من الدورة. يتم تقديمها كـ BIOL 319 و ECSE 319 و MATH 319 و SYBB 319 و BIOL 419 و EBME 419 و MATH 419 و PHOL 419 و SYBB 419. متطلب سابق: MATH 224 أو MATH 223 و BIOL 300 أو BIOL 306 و MATH 201 أو MATH 307 أو موافقة المعلم.

رياضيات 321. أساسيات التحليل. 3 وحدات.

المنطق الرياضي المجرد في سياق التحليل في الفضاء الإقليدي. مقدمة في الاستدلال الرسمي والمجموعات والوظائف وأنظمة الأرقام. المتتاليات والمتسلسلات Cauchy المتواليات والتقارب. مطلوب لجميع تخصصات الرياضيات. العمل الإضافي المطلوب لطلاب الدراسات العليا. (لا يجوز للطلاب الخريجين في قسم الرياضيات اعتمادها للحصول على رصيد للخريجين.) يتم تقديمه في مادتي MATH 321 و MATH 421. متطلب سابق: MATH 223 أو MATH 227.

رياضيات 322. أساسيات التحليل II. 3 وحدات.

استمرار الرياضيات 321. طوبولوجيا مجموعة النقاط في المساحات المترية مع الانتباه إلى اكتمال الفضاء ذي الأبعاد n ، والاكتناز ، والترابط ، واستمرارية الوظائف. الموضوعات في المتتاليات ، وسلسلة الوظائف ، والتقارب المنتظم ، وسلسلة فورييه ، والتقريب متعدد الحدود.التطور النظري للتمايز وتكامل ريمان. مطلوب لجميع تخصصات الرياضيات. العمل الإضافي المطلوب لطلاب الدراسات العليا. (لا يجوز للطلاب الخريجين في قسم الرياضيات اعتمادها للحصول على رصيد للخريجين.) يتم تقديمه في مادتي MATH 322 و MATH 422. متطلب سابق: MATH 321.

رياضيات 324. مقدمة في التحليل المركب. 3 وحدات.

خصائص وتفردات وتمثيلات الدوال التحليلية والتكامل المعقد. نظريات كوشي ، المخلفات المتسلسلة ، الخرائط المطابقة والاستمرارية التحليلية. أسطح ريمان. الصلة بنظرية المشاكل الجسدية. متطلب سابق: رياضيات 224 أو 228.

رياضيات 327. التحدب والتحسين. 3 وحدات.

مقدمة في نظرية المجموعات والوظائف المحدبة وإلى أقصى درجات المشاكل في مجالات الرياضيات حيث يلعب التحدب دورًا. من بين الموضوعات التي تمت مناقشتها الخصائص الأساسية للمجموعات المحدبة (النقاط القصوى ، بنية الوجه من polytopes) ، نظريات الفصل ، الازدواجية والقطبية ، خصائص الوظائف المحدبة ، الحد الأدنى والحد الأقصى للوظائف المحدبة على مجموعة محدبة ، مشاكل التحسين المختلفة. يتم تقديمه كـ MATH 327 و MATH 427 و OPRE 427. متطلب سابق: MATH 223 أو MATH 227.

رياضيات 330. مقدمة في الحوسبة العلمية. 3 وحدات.

مسح تمهيدي للحوسبة العلمية من المبادئ إلى التطبيقات. تشمل الموضوعات التي سيتم تناولها في الدورة: حل الأنظمة الخطية والمربعات الصغرى ، والتقريب والاستيفاء ، وحل الأنظمة غير الخطية ، والتكامل والتفاضل العددي ، والحل العددي للمعادلات التفاضلية. سيتم تخصيص المشاريع التي تستخدم الأساليب العددية لحل المشكلات من مجالات التطبيق المختلفة طوال الفصل الدراسي. متطلب سابق: رياضيات 224 أو 228.

رياضيات 332. المعادلات التي غيرت العالم. 3 وحدات.

ستعرف هذه الدورة الطلاب على بعض المعادلات الأساسية التي غيرت العالمين. معادلة واحدة في الأسبوع ، سيقوم الطلاب بالتحقيق في الرياضيات وراء بعض المعادلات أو الأفكار الأكثر تأثيرًا ، مثل تحويل فورييه ومعادلات ماكسويل ومعادلة شرودنجر ومعادلة الموجة. سيبحث الطلاب في المناخ العلمي والاجتماعي الذي ظهرت فيه المعادلات ، ويبلغون عن تأثير المعادلات على الطريقة التي نرى بها العالم ونعيش حياتنا اليوم. سوف يتناوب الفصل بين المحاضرات ، حيث يقدم المعلم الخلفية الرياضية اللازمة لتوضيح وفهم المعادلة ، والعروض التقديمية ، حيث سيقدم الطلاب نتائج تحقيقاتهم. سيُطلب من الطلاب كتابة ورقة مصطلح تتعلق بمعادلة معينة وتقديم عرض تقديمي نهائي. سيتناول الدرجات كلاً من النضج الرياضي للطلاب وتنظيم الورقة وعرضها. يعد بمثابة ندوة إدارية لـ SAGES. متطلب سابق: (رياضيات 223 أو 227) و (رياضيات 224 أو 228).

رياضيات 333. الرياضيات والدماغ. 3 وحدات.

هذه الدورة مخصصة لطلاب المرحلة الجامعية العليا في الرياضيات أو العلوم المعرفية أو الهندسة الطبية الحيوية أو علم الأحياء أو علم الأعصاب الذين لديهم اهتمام بالتحقيق الكمي للدماغ ووظائفه. سيتم تعريف الطلاب على مجموعة متنوعة من التقنيات الرياضية اللازمة لنمذجة ومحاكاة وظائف الدماغ المختلفة ، ولتحليل نتائج المحاكاة والبيانات المقاسة المتاحة. سيتبع العرض الرياضي - عند الاقتضاء - من خلال التنفيذ المقابل في Matlab. ستغطي الدورة بعض الموضوعات الأساسية في الجوانب الرياضية للمعادلات التفاضلية والكهرومغناطيسية والمشاكل العكسية والتصوير المتعلقة بوظائف الدماغ. سيتم التطرق إلى التحقق من صحة النماذج الرياضية وتزييفها في ضوء البيانات التجريبية المتاحة. ستكون هذه الدورة خطوة أولى نحو تنظيم طرق التحقيق المختلفة للدماغ في إطار رياضي موحد. ستتضمن المحاضرات جزءًا للمناقشة. يعد العرض التقديمي النهائي والتقرير المكتوب جزءًا من متطلبات الدورة. يعد بمثابة ندوة إدارية لـ SAGES. متطلب سابق: رياضيات 224 أو 228.

رياضيات 338. مقدمة في الأنظمة الديناميكية. 3 وحدات.

الأنظمة الديناميكية غير الخطية المنفصلة ذات البعد الواحد أو البعدين. الديناميات الفوضوية ، نظرية التشعب الأولي ، الزائدية ، الديناميات الرمزية ، الاستقرار الهيكلي ، نظرية المشعب المستقر. متطلب سابق: رياضيات 223 أو 227 رياضيات.

رياضيات 343. علوم الكمبيوتر النظرية. 3 وحدات.

مقدمة لفئات مختلفة من الأوتوماتا ومراسلاتهم مع فئات مختلفة من اللغات الرسمية والقواعد ، والحوسبة ، والتعقيد وتقنيات الإثبات المختلفة. يتم تقديمه كـ CSDS 343 و MATH 343. متطلب سابق: MATH 304 و EECS 340.

رياضيات 351. مشروع التخرج لبرنامج الرياضيات والفيزياء. 2 وحدة.

دورة من فصلين دراسيين (2 ساعة معتمدة لكل فصل دراسي) في بكالوريوس العلوم المشتركة. في برنامج الرياضيات والفيزياء. مشروع قائم على البحث العددي و / أو النظري تحت إشراف أحد أعضاء هيئة التدريس بالرياضيات ، وربما بالاشتراك مع أحد أعضاء هيئة التدريس من الفيزياء. دراسة التقنيات المستخدمة في مجال بحث معين والأدبيات الحديثة المرتبطة بالمشروع. العمل المؤدي إلى نتائج ذات مغزى والتي سيتم تقديمها كورقة مصطلح وتقرير شفهي في نهاية الفصل الدراسي الثاني. ستقوم هيئة التدريس المشرفة بمراجعة التقدم مع الطالب بشكل منتظم ، بما في ذلك تقارير التقدم التفصيلية التي يتم إجراؤها مرتين في كل فصل دراسي ، لضمان إكمال العمل بنجاح. يعد من SAGES Senior Capstone.

رياضيات 352. الرياضيات تتويجا. 3 وحدات.

مشروع تتويجا للرياضيات. يتابع الطلاب بحثًا نظريًا أو تجريبيًا أو تعليميًا تحت إشراف مستشار Capstone - عادة ما يكون عضوًا في هيئة التدريس بقسم MAMS. يتم تلخيص نتائج واستنتاجات المشروع في شكل مكتوب وفي عرض تقديمي عام ، على سبيل المثال ، في ندوة MAMS السنوية ، أو في ندوة تقاطعات CWRU وجلسات الملصقات. من أجل التسجيل ، يجب على الطالب أولاً الحصول على موافقة مستشار Capstone. يتم تشجيع الطلاب بشدة على البدء في وقت مبكر من التسجيل لبدء المناقشات مع مستشار Capstone المحتمل. قبل منح الموافقة ، قد يطلب المستشار اقتراح Capstone الذي يحدد الأهداف والخلفية المتوقعة والمنهجية والإطار الزمني للمشروع. إن تحديد ما إذا كانت التوقعات الخاصة بمشروع Capstone ومتطلبات SAGES Capstone قد تم الوفاء بها هي مسؤولية مستشار Capstone وحده. يعد من SAGES Senior Capstone.

رياضيات 357. النمذجة الرياضية عبر العلوم. 3 وحدات.

دورة ائتمانية ثلاثية في النمذجة الرياضية كما تنطبق على علوم الأصول. يكتسب الطلاب خبرة عملية في مجموعة واسعة من التقنيات لنمذجة أسئلة البحث في علم الكونيات والفيزياء الفلكية ، وعلم الأحياء التطوري التكاملي (بما في ذلك الأنثروبولوجيا الفيزيائية ، وعلم البيئة ، وعلم الحفريات ، والعلوم المعرفية التطورية) ، وعلوم الكواكب وعلم الأحياء الفلكي. يتم تقديمه كـ ORIG 301 و ORIG 401 و MATH 357. متطلب سابق: ORIG 201 و ORIG 202 و BIOL 225 و MATH 122 و CHEM 106 و (PHYS 122 أو PHYS 124).

رياضيات 361. الهندسة. 3 وحدات.

مقدمة لمختلف الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد ، بما في ذلك الإقليدية ، الكروية ، الزائدية ، الإسقاطية ، والأفينية. سوف يدرس المساق الأساس البديهي للهندسة ، مع التركيز على التحولات. تشمل الموضوعات الافتراض المتوازي وبدائلها ، ومجموعات التساوي والتحويل ، والأسقف ، والمستوى الزائدي ونماذجها ، والهندسة الكروية ، والتحولات الأفينية والإسقاطية ، وغيرها من الموضوعات. سوف ندرس دور الأعداد المعقدة و hypercomplex في التمثيل الجبري للتحولات. الدورة قائمة بذاتها. يعد بمثابة ندوة إدارية لـ SAGES. متطلب سابق: رياضيات 224.

رياضيات 363. نظرية العقدة. 3 وحدات.

مقدمة في النظرية الرياضية للعقد والروابط ، مع التركيز على الأساليب الاندماجية الحديثة. ينتقل Reidemeister إلى إسقاطات الوصلة ، والنظائر المحيطة والمنتظمة ، وربط قابلية الألوان ثلاثية الألوان ، والتشابك العقلاني ، والضفائر ، وعقدة الحلقة ، والأسطح والجنس ، ومتعدد حدود العقدة (قوس ، X ، جونز ، ألكساندر ، HOMFLY) ، عبور عدد العقد المتناوبة و amphicheirality . سيتم متابعة الارتباطات بالفيزياء النظرية والبيولوجيا الجزيئية والتطبيقات العلمية الأخرى في مشاريع المدى ، بما يتناسب مع خلفية الطلاب واهتماماتهم. متطلب سابق: رياضيات 223 أو 227 رياضيات.

رياضيات 365. مقدمة في الهندسة الجبرية. 3 وحدات.

هذه مقدمة أولى للهندسة الجبرية - دراسة حلول المعادلات متعددة الحدود - لطلاب المرحلة الجامعية المتقدمين. تشمل التطبيقات الحديثة في هذا المجال الكبير والمهم نظرية الأعداد والتوافقيات والفيزياء النظرية والروبوتات وعلم التشفير ونظرية الترميز. قد تختلف محتويات الدورة من فصل دراسي إلى آخر ، ويمكن أن تشمل ، على سبيل المثال: النظرية الكلاسيكية للمنحنيات الجبرية في تحديد المستويات الأفينية والإسقاطية على الحقول الحقيقية أو المعقدة ، ثوابت التكافؤ الإسقاطي والمتفرد المماسات ، تقاطع التعددية الناتجة. تنثني المنحنيات المنطقية لنظم نظرية بيزوت الخطية وهيكل المجموعة على مكعب. متطلب سابق: رياضيات 307 وكورق: رياضيات 308.

رياضيات 376. التحليل الرياضي للنماذج البيولوجية. 3 وحدات.

يركز هذا المقرر الدراسي على الأساليب الرياضية المستخدمة لتحليل النماذج البيولوجية ، مع أمثلة مستمدة إلى حد كبير من علم البيئة ولكن أيضًا من علم الأوبئة وعلم الأحياء التنموي ومجالات أخرى. تشمل الموضوعات الرياضية التوازن والاستقرار في الوقت المنفصل والمستمر ، وبعض جوانب الديناميات العابرة ، ومعادلات انتشار التفاعل (الحالة المستقرة ، وعدم الاستقرار المنتشر ، وموجات السفر). تشمل الموضوعات البيولوجية العديد من نماذج & quotclassic & quot ، مثل نموذج Lotka-Volterra ونموذج Ricker و Michaelis-Menten / النوع الثاني / الاستجابات المشبعة. ينصب التركيز على التقريبات التي تؤدي إلى الحلول التحليلية ، وليس التحليل العددي. أحد الجوانب المهمة في هذه الدورة هو الترجمة بين الأوصاف اللفظية والرياضية: الهدف ليس فقط حل المشكلات الرياضية ولكن لاستخراج المعنى البيولوجي من الإجابات التي نجدها. يتم تقديمها كـ BIOL 306 و MATH 376. متطلب سابق: BIOL 300 أو MATH 224 أو موافقة المعلم.

رياضيات 378. علم الأعصاب الحسابي. 3 وحدات.

المحاكاة الحاسوبية والتحليل الرياضي للخلايا العصبية والدوائر العصبية ، والخصائص الحسابية للجهاز العصبي. يتم تعليم الطلاب مجموعة من النماذج للخلايا العصبية والدوائر العصبية ، ويطلب منهم تنفيذ واستكشاف الخصائص الحسابية والديناميكية لهذه النماذج. يقدم المقرر الدراسي للطلاب نظرية الأنظمة الديناميكية لتحليل الخلايا العصبية والتعلم العصبي ونماذج أنظمة الدماغ وعلاقتها بالشبكات الاصطناعية والعصبية. مطلوب مشروع المدى. سيقوم الطلاب المسجلين في MATH 478 بإجراء الترتيبات مع المعلم لحضور محاضرات إضافية وإكمال المهام الإضافية التي تتناول الموضوعات الرياضية المتعلقة بالدورة التدريبية. الإعداد الموصى به: MATH 223 و MATH 224 أو BIOL 300 و BIOL 306. يتم تقديمه كـ BIOL 378 و COGS 378 و MATH 378 و BIOL 478 و CSDS 478 و EBME 478 و ECSE 478 و MATH 478 و NEUR 478.

رياضيات 380. مقدمة في الاحتمالات. 3 وحدات.

التحليل التوافقي. التباديل والتوافيق. بديهيات الاحتمال. عينة من الفضاء والأحداث. النتائج المحتملة بنفس القدر. احتمال مشروط. صيغة بايز. أحداث ومحاكمات مستقلة. المتغيرات العشوائية المنفصلة ، وظائف الكتلة الاحتمالية. القيمة المتوقعة ، التباين. متغيرات برنولي ، ذات الحدين ، بواسون ، هندسية ، متغيرات عشوائية سالبة ذات الحدين. المتغيرات العشوائية المستمرة ، وظائف الكثافة. القيمة والتباين المتوقعان. متغيرات عشوائية منتظمة ، أسية ، جاما. نظرية حدود De Moivre-Laplace. وظائف الكتلة الاحتمالية المشتركة والكثافة. المتغيرات العشوائية المستقلة وتوزيع مبالغها. التغاير. التوقعات والتوزيعات المشروطة (حالة منفصلة). وظائف توليد اللحظة. قانون الأعداد الكبيرة. نظرية الحد المركزي. مواضيع إضافية (إذا سمح الوقت): عملية بواسون ، سلاسل ماركوف الفضائية المحدودة ، الإنتروبيا. متطلب سابق: رياضيات 223 أو 227 رياضيات.

رياضيات 382. الاحتمالية عالية الأبعاد. 3 وحدات.

سلوك المتجهات العشوائية ، والمصفوفات العشوائية ، والإسقاطات العشوائية في المساحات عالية الأبعاد ، مع نظرة نحو تطبيقات علوم البيانات. تشمل الموضوعات عدم المساواة الذيلية لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة ، وقواعد المصفوفات العشوائية ، وتركيز القياس ، وحدود العمليات العشوائية. قد تتضمن التطبيقات بنية الرسوم البيانية العشوائية ، واكتشاف المجتمع ، وتقدير التباين المشترك والتكتل ، وتقليل الأبعاد العشوائية ، والعمليات التجريبية ، والتعلم الإحصائي ، ومشكلات الاسترداد المتفرقة. مطلوب عمل إضافي لطلاب الدراسات العليا. يتم تقديمه كـ MATH 382 و MATH 482 و STAT 382 و STAT 482. متطلب سابق: MATH 307 و (MATH 380 أو STAT 345 أو STAT 445).

رياضيات 383. موضوعات في الاحتمالات. 3 وحدات.

هذه دورة جامعية ثانية في الاحتمالات. قد تشمل الموضوعات: العمليات العشوائية ، وسلاسل ماركوف ، والحركة البراونية ، والمارتينجاليس ، وأسس القياس النظرية للاحتمالية ، ونظرية الحد الكمي / معدلات التقارب ، وطرق الاقتران ، وطرق فورييه ، ونظرية ergodic. متطلب سابق: رياضيات 380.

رياضيات 394. مقدمة في نظرية المعلومات. 3 وحدات.

تهدف هذه الدورة إلى أن تكون مقدمة في المعلومات ونظرية الترميز مع التركيز على الجوانب الرياضية. إنها مناسبة لطلاب البكالوريوس والدراسات العليا المتقدمين في الرياضيات والرياضيات التطبيقية والإحصاء والفيزياء وعلوم الكمبيوتر والهندسة الكهربائية. محتوى المقرر الدراسي: مقاييس المعلومات - الانتروبيا ، الانتروبيا النسبية ، المعلومات المتبادلة ، وخصائصها. المجموعات والتسلسلات النموذجية ، خاصية التقسيم المقارب ، ضغط البيانات. ترميز القناة والقدرة: نظرية تشفير القناة. الانتروبيا التفاضلية ، قناة غاوس ، نظرية شانون نيكويست. عدم المساواة في نظرية المعلومات (مستوى 400). مواضيع إضافية قد تشمل الاستشعار المضغوط وعناصر نظرية المعلومات الكمومية. الإعداد الموصى به: MATH 201 أو MATH 307. يتم تقديمه كـ MATH 394 و CSDS 394 و ECSE 394 و MATH 494 و CSDS 494 و ECSE 494. متطلب سابق: MATH 223 و MATH 380 أو المتطلبات لم يتم استيفاء الإذن.

رياضيات 401. الجبر المجرد .3 وحدات.

الخصائص الأساسية للمجموعات والحلقات والوحدات والحقول. نظريات التشابه لمجموعات نظرية سيلو عدم القدرة على حل المجموعات وقابلية حلها لمجموعات جوس ليما ومعيار آيزنشتاين وحدات متولدة بشكل نهائي على المجالات المثالية الرئيسية مع تطبيقات لمجموعات أبليان والأشكال الكنسية لفئات المصفوفات والمفاتيح ناتج موتر للوحدات ، ومجال الأشكال ثنائية الخطوط والتربيعية النظرية الأساسية لنظرية جالوا ، حل المعادلات بواسطة الجذور. متطلب سابق: رياضيات 308.

رياضيات 402. الجبر المجرد II. 3 وحدات.

استمرار لرياضيات 401. متطلب سابق: رياضيات 401.

رياضيات 405. تحليل المصفوفة المتقدم. 3 وحدات.

دورة متقدمة في الجبر الخطي ونظرية المصفوفة. تشمل الموضوعات التوصيفات المتغيرة للقيم الذاتية لمصفوفات Hermitian ، والمصفوفة وقواعد المتجهات ، وتوصيف المصفوفات المحددة الإيجابية ، وتحلل القيمة الفردية والتطبيقات ، واضطراب القيم الذاتية. تعتبر هذه الدورة أكثر نظرية من الرياضيات 431 التي تركز على الجوانب الحسابية للجبر الخطي. متطلب سابق: رياضيات 307.

رياضيات 406. المنطق الرياضي ونظرية النموذج. 3 وحدات.

التفاضل والتكامل المقترح ونظريات الاتساق الكمي نظريات الاتساق والاكتمال Gödel نتائج عدم الاكتمال وأهميتها الفلسفية مقدمة للمفاهيم الأساسية لنظرية النموذج ومشاكل صياغة الحجج في الفلسفة والعلوم. يتم تقديمه كـ PHIL 306 و MATH 406 و PHIL 406.

رياضيات 408. مقدمة في علم التشفير. 3 وحدات.

مقدمة في النظرية الرياضية للاتصال الآمن. تشمل الموضوعات: أنظمة التشفير الكلاسيكية أحادية الاتجاه ووظائف الباب الخلفي RSA و DSA وأنظمة المفاتيح العامة الأخرى مشكلة خوارزميات البدائية والعوامل وأساليب الهجوم الأخرى ، مقدمة إلى نظرية التعقيد ، موضوعات أخرى حسب ما يسمح به الوقت. التحضير الموصى به: رياضيات 303.

رياضيات 413. نظرية المخططات. 3 وحدات.

اللبنات الأساسية للرسم البياني ، والأشجار ، والاتصال ، والمطابقات ، والأغطية ، والسطوح ، ومشكلات NP الكاملة ، والرسوم البيانية العشوائية ، والرسوم البيانية للموسع ، التطبيقات والخوارزميات المختلفة. متطلب سابق: رياضيات 201 أو 307.

رياضيات 419. الاحتمالية التطبيقية والعمليات العشوائية للبيولوجيا. 3 وحدات.

تطبيقات الاحتمالات والعمليات العشوائية على النظم البيولوجية. ستشمل الموضوعات الرياضية: مقدمة لمساحات الاحتمالية المنفصلة والمستمرة (بما في ذلك التوليد العددي للعينات العشوائية الزائفة من توزيعات احتمالية محددة) ، وعمليات ماركوف في وقت منفصل ومستمر مع مساحات عينة منفصلة ومستمرة ، وعمليات النقطة بما في ذلك عمليات بواسون المتجانسة وغير المتجانسة وماركوف سلاسل على الرسوم البيانية ، وعمليات الانتشار بما في ذلك الحركة البراونية وعملية Ornstein-Uhlenbeck. سيتم تحديد الموضوعات البيولوجية حسب اهتمامات الطلاب والمدرس. تشمل الموضوعات المحتملة ما يلي: القنوات الأيونية العشوائية والمحركات الجزيئية والمعدلات العشوائية وبلمرة الأكتين والتوبولين ونماذج المشي العشوائية لقطارات السنبلة العصبية والتركيز الكيميائي البكتيري والإشارات والشبكات التنظيمية الجينية وديناميكيات المفترس العشوائية. سيكون التركيز على المحاكاة العملية وتحليل الظواهر العشوائية في النظم البيولوجية. سيتم تطوير الأساليب العددية باستخدام مزيج من MATLAB ، والحزمة الإحصائية R ، و MCell ، و / أو URDME ، وفقًا لتقدير المدرب. ستشكل مشاريع الطلاب جزءًا كبيرًا من الدورة. يتم تقديمه كـ BIOL 319 و ECSE 319 و MATH 319 و SYBB 319 و BIOL 419 و EBME 419 و MATH 419 و PHOL 419 و SYBB 419.

رياضيات 421. أساسيات التحليل. 3 وحدات.

المنطق الرياضي المجرد في سياق التحليل في الفضاء الإقليدي. مقدمة في الاستدلال الرسمي والمجموعات والوظائف وأنظمة الأرقام. المتتاليات والمتسلسلات Cauchy المتواليات والتقارب. مطلوب لجميع تخصصات الرياضيات. العمل الإضافي المطلوب لطلاب الدراسات العليا. (لا يجوز للطلاب الخريجين في قسم الرياضيات اعتمادها للحصول على ائتمان للخريجين). يتم تقديمه على أنهما رياضيات 321 و 421.

رياضيات 422. أساسيات التحليل II. 3 وحدات.

استمرار الرياضيات 321. طوبولوجيا مجموعة النقاط في المساحات المترية مع الانتباه إلى اكتمال الفضاء ذي الأبعاد n ، والاكتناز ، والترابط ، واستمرارية الوظائف. الموضوعات في المتتاليات ، وسلسلة الوظائف ، والتقارب المنتظم ، وسلسلة فورييه ، والتقريب متعدد الحدود. التطور النظري للتمايز وتكامل ريمان. مطلوب لجميع تخصصات الرياضيات. العمل الإضافي المطلوب لطلاب الدراسات العليا. (لا يجوز للطلاب الخريجين في قسم الرياضيات اعتمادها للحصول على ائتمان للخريجين.) يتم تقديمه على أنهما رياضيات 322 ورياضيات 422. متطلب سابق: رياضيات 321 أو 421.

رياضيات 423. مقدمة في التحليل الحقيقي. 3 وحدات.

النظرية العامة للقياس والتكامل. التدابير والتدابير الخارجية. قياس Lebesgue على n-space. دمج. نظريات التقارب. مقاييس المنتج ونظرية Fubini. التدابير الموقعة. تحلل هان-جوردان ، نظرية الرادون-نيكوديم ، تحلل ليبيسغ. وظيفة SpaceP- تكامل. نظرية التمايز Lebesgue في n-space. متطلب سابق: رياضيات 322 أو 422.

رياضيات 424. مقدمة في التحليل الحقيقي II. 3 وحدات.

التدابير على المساحات المدمجة محليًا. نظرية تمثيل ريش. عناصر التحليل الوظيفي. المسافات الخطية المعيارية. هان باناخ ، باناخ-شتاينهاوس ، رسم الخرائط المفتوح ، نظريات الرسم البياني المغلقة. طبولوجيا ضعيفة. نظرية باناخ-الاوغلو. مساحات الوظيفة. نظريات Stone-Weierstrass و Ascoli. نظرية الفضاء هيلبرت الأساسية. تطبيق لسلسلة فورييه. موضوعات إضافية: قياس هار على المجموعات المدمجة محليًا. متطلب سابق: رياضيات 423.

رياضيات 425. التحليل المركب. 3 وحدات.

وظائف تحليلية. التكامل على المسارات في المستوى المركب. فهرس نقطة فيما يتعلق بمسار مغلق نظرية كوشي وصيغة كوشي المتكاملة لسلسلة الطاقة تمثيل مفتوح لنظرية رسم الخرائط التفردات نظرية توسع لوران حساب التفاضل والتكامل الدوال التوافقية معادلة بواسون نظرية رسم خرائط ريمان. أكثر نظرية وعلى مستوى أعلى من MATH 324. متطلب سابق: MATH 322 أو MATH 422.

رياضيات 427. التحدب والتحسين. 3 وحدات.

مقدمة في نظرية المجموعات والوظائف المحدبة وإلى أقصى درجات المشاكل في مجالات الرياضيات حيث يلعب التحدب دورًا. من بين الموضوعات التي تمت مناقشتها الخصائص الأساسية للمجموعات المحدبة (النقاط القصوى ، بنية الوجه من polytopes) ، نظريات الفصل ، الازدواجية والقطبية ، خصائص الوظائف المحدبة ، الحد الأدنى والحد الأقصى للوظائف المحدبة على مجموعة محدبة ، مشاكل التحسين المختلفة. تم تقديمه في صورة رياضيات 327 و 427 و 427.

رياضيات 431. مقدمة في التحليل العددي. 3 وحدات.

الجبر الخطي العددي للعلماء والمهندسين. قواعد المصفوفة والمتجهات ، حساب الكمبيوتر ، التكييف والاستقرار ، التعامد. مشاكل المربعات الصغرى: تحليل عوامل QR والمعادلات العادية وتحليل القيمة المفردة. الحل المباشر للنظام الخطي: إزالة Gaussian وعوامل Cholesky. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية: خوارزمية QR ، حاصل رايلي ، التكرار العكسي. مقدمة في الأساليب التكرارية. سيتم تعريف الطلاب على MATLAB. متطلب سابق: رياضيات 201 أو 307.

رياضيات 432. المعادلات التفاضلية العددية. 3 وحدات.

الحل العددي للمعادلات التفاضلية للعلماء والمهندسين. حل المعادلات التفاضلية العادية بطرق متعددة الخطوات وخطوة واحدة. الاستقرار والاتساق والتقارب. معادلات قاسية. مخططات الفروق المحدودة. مقدمة إلى طريقة العناصر المحدودة. مقدمة لتقنيات الشبكات المتعددة. معادلة الانتشار: المخططات العددية وتحليل الثبات. مقدمة في المعادلات القطعية. سيتم استخدام MATLAB في هذه الدورة. متطلب سابق: رياضيات 224 أو 228.

رياضيات 433. الحلول العددية للأنظمة غير الخطية والتحسين. 3 وحدات.

يقدم هذا المساق مقدمة لطرق الحل العددي لأنظمة المعادلات غير الخطية ومشكلات التحسين. الدورة مناسبة لطلاب المرحلة الجامعية العليا وطلاب الدراسات العليا مع بعض الخلفية في حساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي. معرفة الجبر العددي الخطي مفيد. من بين الموضوعات التي سيتم تناولها في الدورة الأنظمة غير الخطية في متغير واحد طريقة نيوتن للمعادلات غير الخطية والتصغير غير المقيد طرق شبه نيوتن التقارب العالمي لأساليب نيوتن وعمليات البحث الخطية نهج منطقة الثقة طرق القطع غير الخطية المربعات الصغرى. متطلب سابق: رياضيات 223 أو 227 ورياضيات 431 أو إذن.

رياضيات 434. تحسين الأنظمة الديناميكية. 3 وحدات.

أساسيات التحسين الديناميكي مع تطبيقات للتحكم. المعالجة المتغيرة لمشاكل التحكم والمبدأ الأقصى. هياكل منظمات الأنظمة المثلى ، أجهزة التحكم الطرفية ، أجهزة التحكم في الوقت الأمثل. شروط كافية لتحقيق الأمثل. ضوابط فردية. الجوانب الحسابية. تطبيقات مختارة. الإعداد الموصى به: EECS / ECSE 408. يتم تقديمه كـ ECSE 421 و MATH 434.

رياضيات 435. المعادلات التفاضلية العادية. 3 وحدات.

دورة ثانية في المعادلات التفاضلية العادية. وجود حلول ODE وتفردها واستمرارها. النظم الخطية ، المصفوفة الأساسية ، الطرق النوعية (مستوى الطور). الاعتماد على البيانات والمعلمات الأولية (عدم المساواة في Gronwall ، التباين غير الخطي للمعلمات). استقرار المعادلات الخطية وغير الخطية ، الخطية ، نظرية بوانكير-بنديكسون. قد تشمل الموضوعات الإضافية طرق الاضطراب المنتظمة والمفردة ، والتذبذبات المستقلة ، وحصر المذبذبات القسرية ، والتفرع. متطلب سابق: رياضيات 224 وإما رياضيات 201 أو 307.

رياضيات 439. الحوسبة العلمية بايزي. 3 وحدات.

ستدمج هذه الدورة الطرق العددية في إطار بايزي. سيجعل الإطار الإحصائي من الممكن دمج المعلومات الأولية حول المجهول والخطأ في البيانات مباشرة في أكثر الأساليب العددية كفاءة. سيتم التركيز كثيرًا على فهم دور المتقدمين ، وتشفيرهم إلى حلول رقمية سريعة ، وكيفية ترجمة المعلومات النوعية أو القائمة على العينة - أو عدم وجودها - إلى مخطط رقمي. ستتم أيضًا مناقشة الثقة في النتائج المحسوبة من منظور بايز ، في ضوء البيانات المقدمة والمعلومات المسبقة. يجب أن تكون الدورة مفيدة لأي شخص يعمل على إحصائيات معالجة الإشارات والصور والتحليل العددي والنمذجة. الإعداد الموصى به: MATH 431. يتم تقديمه في شكل MATH 439 و STAT 439.

رياضيات 440. مسائل عكسية حسابية. 3 وحدات.

يقدم هذا المساق طرقًا حسابية مختلفة لحل المشكلات العكسية في ظل ظروف مختلفة. أولاً ، سيتم تقديم طرق التنظيم الكلاسيكية ، وسيتم التعامل مع التحديات الحسابية التي تطرحها. بعد ذلك ، ستتم دراسة الأساليب الإحصائية لحل المشكلات العكسية ومناقشة تنفيذها بواسطة الكمبيوتر. سنجمع بين النهجين لاستغلال إمكاناتهم على أفضل وجه. ستتم مناقشة التطبيقات الناشئة عن مجالات مختلفة من العلوم والهندسة والطب طوال الدورة.

رياضيات 441. النمذجة الرياضية. 3 وحدات.

الرياضيات هي لغة قوية لوصف ظواهر العالم الحقيقي وتقديم تنبؤات يصعب الحصول عليها أو يستحيل الحصول عليها. تمنح الدورة الطلاب المتطلبات المسبقة لترجمة الأوصاف النوعية المقدمة في اللغة المهنية غير الرياضية إلى اللغة الكمية للرياضيات. في حين أن التنوع في الموضوع واسع ، إلا أن بعض المبادئ العامة والمنهجيات التي يمكن أن يتبعها المصمم متشابهة في العديد من التطبيقات. تركز الدورة على هذه التشابهات. تعتمد الدورة على دراسات الحالة التمثيلية التي تمت مناقشتها وتحليلها في الفصل الدراسي ، مع التركيز على المبادئ العامة لتطوير وتحليل النماذج الرياضية. سيتم أخذ الأمثلة من مختلف مجالات العلوم والهندسة ، بما في ذلك علوم الحياة والعلوم البيئية والهندسة الطبية الحيوية والعلوم الفيزيائية. تعتمد النمذجة بشكل متزايد على الحساب ، لذلك يجب أن يتمتع الطلاب بالمهارات الأساسية لاستخدام أجهزة الكمبيوتر والبرامج مثل Matlab أو Mathematica. متطلب سابق: رياضيات 224 أو 228.

رياضيات 444. رياضيات التنقيب في البيانات والتعرف على الأنماط. 3 وحدات.

سيعطي هذا المساق مقدمة لفصل من الأساليب الرياضية والحسابية لحل مشاكل التنقيب في البيانات والتعرف على الأنماط. من خلال فهم المفاهيم الرياضية وراء الخوارزميات المصممة لتعدين البيانات وتحديد الأنماط ، سيتمكن الطلاب من التعديل لجعلها مناسبة لتطبيقات محددة. سيتم التركيز بشكل خاص على تقنيات عامل المصفوفة. ستتضمن متطلبات الدورة تنفيذ الأساليب في MATLAB وتطبيقها على المشكلات العملية. متطلب سابق: رياضيات 201 أو 307.

رياضيات 445. مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية. 3 وحدات.

طريقة خصائص المعادلات الخطية وشبه الخطية. معادلات الرتبة الثانية للمسائل الإهليلجية والقطع المكافئ ونوع القيمة الأولية والحدية. طريقة فصل المتغيرات ، توسعات دالة eigenfunction ، نظرية Sturm-Liouville. فورييه ، لابلاس ، هانكل يحول دوال بيسل ، كثيرات حدود ليجيندر. وظائف جرين. ومن الأمثلة على ذلك: انتشار الحرارة ومعادلة لابلاس ومعادلات الموجة وديناميكيات الغاز ذات البعد الواحد وغيرها. مناسب لكبار السن وطلاب الدراسات العليا في العلوم والهندسة والرياضيات. متطلب سابق: MATH 201 أو MATH 307 و MATH 224 أو MATH 228.

رياضيات 446. الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية. 3 وحدات.

هذه الدورة عبارة عن مقدمة للطرق العددية لأجهزة PDE ، وعلى وجه الخصوص ، طرق العناصر المحدودة (FEM) ، مع التركيز على الترابط بين وجهة النظر التحليلية الوظيفية لأجهزة PDE والحساب العملي والفعال للتقريب العددي. على وجه الخصوص ، ينصب التركيز على إظهار أن العديد من الأفكار المفيدة والأنيقة في الجبر الخطي ذي الأبعاد المحدودة لها نظير طبيعي في إعداد الأبعاد اللانهائي لمساحات هيلبرت ، وأن نفس التقنيات التي تضمن وجود الحلول وتفردها في الواقع توفر أيضًا طرقًا حسابية مستقرة لتقريب الحلول. تشمل الموضوعات التي يتم تناولها في هذه الدورة تحليل فورييه ، والمشتقات الضعيفة ، والأشكال الضعيفة ، والوظائف المعممة ، ومساحات سوبوليف ، ونظرية التتبع ، ونظريات التضمين المدمجة ، ونظريات بوانكاريه ، ونظرية رييز ، ونظرية فريدهولم طريقة العناصر المحدودة (FEM): توليد الشبكة ، والوجود ، والاستقرار ، والتقارب حلول المشكلات الإهليلجية التقديرية شبه التقديرية للمعادلات القطعية والقطع الزائد الصلابة الحل العددي للأنظمة الخطية بالطرق التكرارية. يشتمل جزء جوهري من هذا المقرر الدراسي على التنفيذ العددي لطريقة العناصر المحدودة. يتم استخدام Matlab كأداة برمجة في كل من العروض التوضيحية والأمثلة في الفصل وكذلك في المهام المنزلية. الإعداد الموصى به: الجبر الخطي ، حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، والمعادلات التفاضلية العادية.

رياضيات 449. النماذج الديناميكية لعلم الأحياء والطب. 3 وحدات.

مقدمة للنماذج الديناميكية المنفصلة والمستمرة مع تطبيقات في علم الأحياء والطب. تشمل الموضوعات: الديناميات السكانية ونماذج البيئة للأمراض المعدية ، علم الوراثة السكانية والتطور البيولوجي (التفاعل-الانتشار والتركيز الكيميائي) البيولوجيا الجزيئية والخلوية (الحركية الكيميائية الحيوية ، المسارات الأيضية ، علم المناعة). سيعرف المساق الطلاب بالمفاهيم الرياضية الأساسية وتقنيات نظرية النظم الديناميكية (التوازن ، الاستقرار ، التشعبات ، الديناميكيات المنفصلة والمستمرة ، الانتشار وانتشار الموجات ، عناصر نظرية النظام والتحكم). يتم استكمال العرض الرياضي بمقدمة لأدوات وتقنيات الكمبيوتر (ماثيماتيكا ، ماتلاب). متطلب سابق: MATH 224 أو MATH 228 أو BIOL / EBME 300 و MATH 201.

رياضيات 461. مقدمة في الطوبولوجيا. 3 وحدات.

الفراغات المترية ، الفراغات الطوبولوجية ، والوظائف المستمرة. الترابط والترابط وترابط المسار. مجموعات طوبولوجية الفتحات الطوبولوجية. متعددات الوجوه ، مجمعات مبسطة. المجموعات الأساسية. متطلب سابق: رياضيات 224 أو 228.

رياضيات 462. الطوبولوجيا الجبرية. 3 وحدات.

المجموعة الأساسية والمساحات المغطاة نظرية فان كامبن. مجموعات homotopy الأعلى تسلسلًا طويلًا دقيقًا للزوج. سلسلة نظرية التنادد تتراكم مع تسلسل دقيق قصير وطويل تسلسل ماير فيتوريس. تجانس الأسطح والمجمعات التطبيقات. متطلب سابق: رياضيات 461.

رياضيات 465. الهندسة التفاضلية. 3 وحدات.

المشعبات والهندسة التفاضلية. المجالات المتجهية مقاييس ريمان الانحناء الهندسة الجوهرية والخارجية للأسطح والمنحنيات المعادلات الهيكلية للهندسة الريمانية في نظرية غاوس-بونيه. متطلب سابق: رياضيات 321.

رياضيات 467. 3 وحدات.

الفتحات والهياكل القابلة للتفاضل في الفتحات. تشكل حقول متجه حزمة Tangent و cotangent التفاضلية تكامل حساب التفاضل والتكامل ونظرية Stokes. قد تشمل أنظمة هاميلتونية وصياغتها على وصلات الهياكل المتشعبة المتشعبة وانحناء الأوراق وتكاملها. متطلب سابق: رياضيات 322.

رياضيات 471. رياضيات هندسية متقدمة. 3 وحدات.

تحليل المتجهات ، سلسلة فورييه والتكاملات. تحويلات لابلاس والمعادلات التفاضلية الجزئية القابلة للفصل ومشاكل القيمة الحدية. وظائف Bessel و Legendre. التركيز على التقنيات والتطبيقات. متطلب سابق: رياضيات 224 أو 228.

رياضيات 473. مقدمة في معالجة الصور الرياضية والرؤية الحاسوبية. 3 وحدات.

يقدم هذا المساق تقنيات الرياضيات الأساسية لمعالجة الصور والرؤية الحاسوبية (IPCV). إنه متاح لطلاب المستوى الأعلى الجامعيين والخريجين من الرياضيات والعلوم والهندسة والطب. تشمل الموضوعات على سبيل المثال لا الحصر تقليل التشويش في الصورة وتحسين التباين وضغط الصورة وتجزئة الصورة والتعرف على الأنماط. الأدوات الرئيسية هي تحليل فورييه المنفصل والمويجات ، بالإضافة إلى بعض الإحصائيات والتحسين وقليل من حساب التباين والمعادلات التفاضلية الجزئية إذا سمح الوقت بذلك. يكتسب الطلاب خلفية نظرية قوية في نمذجة IPCV والحوسبة ، ويتقنون خبرات التطبيق العملي. عند الانتهاء من الدورة ، سيكون لدى الطلاب فهم واضح للطرق الكلاسيكية ، والتي ستساعدهم على تطوير مناهج منهجية جديدة لمشاكل التصوير الناشئة في مجموعة متنوعة من المجالات. الإعداد الموصى به: بعض الدورات الدراسية في الحوسبة العلمية والقدرة على البرمجة بلغة (أو الرغبة في التعلم) مثل Matlab أو C / C ++. متطلب سابق: MATH 330 أو MATH 431 أو ما يعادلها.

رياضيات 475. رياضيات التصوير في الصناعة والطب. 3 وحدات.

رياضيات خصائص إعادة بناء الصورة لتحويل الرادون ، والعلاقة مع طرق انعكاس تحويل فورييه ، بما في ذلك الالتفاف ، والإسقاط الخلفي ، وطبقة الطبقات المفلترة rho ، وتقنية إعادة البناء الجبري (ART) ، والتوسعات متعددة الحدود المتعامدة. إعادة البناء من هندسة شعاع المروحة ، تقنيات الزاوية المحدودة المستخدمة في مسح التصوير بالرنين المغناطيسي للتطبيقات. التحضير الموصى به: PHYS 431 أو MATH 471.

رياضيات 478. علم الأعصاب الحسابي. 3 وحدات.

المحاكاة الحاسوبية والتحليل الرياضي للخلايا العصبية والدوائر العصبية ، والخصائص الحسابية للجهاز العصبي. يتم تعليم الطلاب مجموعة من النماذج للخلايا العصبية والدوائر العصبية ، ويطلب منهم تنفيذ واستكشاف الخصائص الحسابية والديناميكية لهذه النماذج. يقدم المقرر الدراسي للطلاب نظرية الأنظمة الديناميكية لتحليل الخلايا العصبية والتعلم العصبي ونماذج أنظمة الدماغ وعلاقتها بالشبكات الاصطناعية والعصبية. مطلوب مشروع المدى. سيقوم الطلاب المسجلين في MATH 478 بإجراء الترتيبات مع المعلم لحضور محاضرات إضافية وإكمال المهام الإضافية التي تتناول الموضوعات الرياضية المتعلقة بالدورة التدريبية. الإعداد الموصى به: MATH 223 و MATH 224 أو BIOL 300 و BIOL 306. يتم تقديمه كـ BIOL 378 و COGS 378 و MATH 378 و BIOL 478 و CSDS 478 و EBME 478 و ECSE 478 و MATH 478 و NEUR 478.

رياضيات 482. الاحتمالية عالية الأبعاد. 3 وحدات.

سلوك المتجهات العشوائية ، والمصفوفات العشوائية ، والإسقاطات العشوائية في المساحات عالية الأبعاد ، مع نظرة نحو تطبيقات علوم البيانات. تشمل الموضوعات عدم المساواة الذيلية لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة ، وقواعد المصفوفات العشوائية ، وتركيز القياس ، وحدود العمليات العشوائية. قد تتضمن التطبيقات بنية الرسوم البيانية العشوائية ، واكتشاف المجتمع ، وتقدير التباين المشترك والتكتل ، وتقليل الأبعاد العشوائية ، والعمليات التجريبية ، والتعلم الإحصائي ، ومشكلات الاسترداد المتفرقة. مطلوب عمل إضافي لطلاب الدراسات العليا. يتم تقديمه كـ MATH 382 و MATH 482 و STAT 382 و STAT 482. متطلب سابق: MATH 307 و (MATH 380 أو STAT 345 أو STAT 445).

رياضيات 491. الاحتمال 1. 3 وحدات.

مفاهيم احتمالية. الاحتمال المنفصل ، التوزيعات الأولية. قياس الإطار النظري لنظرية الاحتمالات. فضاءات الاحتمالية ، جبر سيجما ، التوقعات ، التوزيعات. استقلال. النتائج الكلاسيكية على تقارب شبه مؤكد لمجموع المتغيرات العشوائية المستقلة. قانون كولموغوروف للأعداد الكبيرة. تكرار المبالغ. تقارب ضعيف لمقاييس الاحتمال. الانعكاس ، نظرية استمرارية ليفي. نظرية الحد المركزي. مقدمة لمشكلة الحد المركزي. متطلب سابق: رياضيات 322.

رياضيات 492. الاحتمالية II. 3 وحدات.

التوقعات المشروطة. مارتينجاليس المعلمة المنفصلة. أوقات التوقف ، التوقف الاختياري. العمليات الثابتة للمعلمة المنفصلة ونظرية ergodic. وقت منفصل عمليات ماركوف. مقدمة في العمليات العشوائية للمعلمات المستمرة. نظرية تناسق كولموغوروف. عمليات جاوس. نظرية الحركة البراونية (خصائص مسار العينة ، خاصية ماركوف القوية ، مارتينجالس المرتبطة بالحركة البراونية ، نظرية الحد المركزي الوظيفي). متطلب سابق: رياضيات 491.

رياضيات 494. مقدمة في نظرية المعلومات. 3 وحدات.

تهدف هذه الدورة إلى أن تكون مقدمة في المعلومات ونظرية الترميز مع التركيز على الجوانب الرياضية. إنها مناسبة لطلاب البكالوريوس والدراسات العليا المتقدمين في الرياضيات والرياضيات التطبيقية والإحصاء والفيزياء وعلوم الكمبيوتر والهندسة الكهربائية. محتوى المقرر الدراسي: مقاييس المعلومات - الانتروبيا ، الانتروبيا النسبية ، المعلومات المتبادلة ، وخصائصها. المجموعات والتسلسلات النموذجية ، خاصية التقسيم المقارب ، ضغط البيانات. ترميز القناة والقدرة: نظرية تشفير القناة. الانتروبيا التفاضلية ، قناة غاوس ، نظرية شانون نيكويست. عدم المساواة في نظرية المعلومات (مستوى 400). مواضيع إضافية قد تشمل الاستشعار المضغوط وعناصر نظرية المعلومات الكمومية. الإعداد الموصى به: MATH 201 أو MATH 307. يتم تقديمه كـ MATH 394 و CSDS 394 و ECSE 394 و MATH 494 و CSDS 494 و ECSE 494.

رياضيات 497. النماذج العشوائية: السلاسل الزمنية وسلاسل ماركوف. 3 وحدات.

مقدمة في النمذجة العشوائية للبيانات. التركيز على النماذج والتحليل الإحصائي للبيانات ذات الهيكل الزمني و / أو المكاني. ستحلل هذه الدورة الظواهر العشوائية التي تعتمد على الزمان والمكان من منظورين: المتسلسلة الزمنية الثابتة: التمثيل الطيفي للإشارات الحتمية ، الارتباط الذاتي. أطياف الطاقة. إرسال إشارات ثابتة عبر مرشحات خطية. تصميم مرشح مثالي ، نسبة الإشارة إلى الضوضاء. إشارات غاوسية ومصفوفات الارتباط. التمثيل الطيفي والمحاكاة الحاسوبية للإشارات الثابتة. سلاسل ماركوف المنفصلة: مصفوفات الانتقال والتكرار وتحليل الخطوة الأولى. معدل ثابت. التكرار والجدية ، المتوسطات التجريبية. السلوك على المدى الطويل ، التقارب إلى حالة الاستقرار. حان وقت الاستيعاب. القيم الذاتية وسلاسل ماركوف غير المتجانسة.مقدمة عن حقول جيبس ​​وماركوف تشين مونت كارلو (MCMC). ترتبط هذه الدورة بـ STAT 538 ولكن يمكن أخذها بشكل مستقل عنها. يتم تقديمه كـ: MATH 497 و STAT 437. متطلب سابق: STAT 243/244 (كتسلسل) أو STAT 312 أو STAT 312R أو STAT 313 أو STAT 332 أو STAT 333 أو STAT 345 أو MATH 380 أو MATH 491 أو إذن المتطلبات غير المستوفاة.

رياضيات 499. موضوعات خاصة. 3 وحدات.

مواضيع خاصة في الرياضيات.

رياضيات 528. ندوة التحليل. 1-3 وحدات.

الندوة المستمرة حول المجالات ذات الاهتمام الحالي في التحليل. يسمح للطلاب الجامعيين والخريجين المتقدمين بالمشاركة في البحث. تعكس الموضوعات اهتمامات وخبرات أعضاء هيئة التدريس وقد تشمل التحليل الوظيفي ونظرية التحدب وتطبيقاتها. يمكن الحصول عليها أكثر من مرة للحصول على ائتمان. موافقة الدائرة المطلوبة.

رياضيات 535. ندوة الرياضيات التطبيقية. 1-3 وحدات.

ندوة مستمرة حول مجالات الاهتمام الحالية في الرياضيات التطبيقية. يسمح للطلاب الجامعيين والخريجين المتقدمين بالمشاركة في البحث. ستعكس الموضوعات اهتمامات وخبرات أعضاء هيئة التدريس وقد تشمل موضوعات في الاحتمالات التطبيقية والعمليات العشوائية ، وميكانيكا الاستمرارية ، والتحليل العددي ، والفيزياء الرياضية أو البيولوجيا الرياضية. يمكن الحصول عليها أكثر من مرة للحصول على ائتمان.

رياضيات 549. ندوة علوم الحياة الرياضية. 1-3 وحدات.

ندوة مستمرة حول مجالات الاهتمام الحالية بتطبيقات الرياضيات في علوم الحياة. يسمح للطلاب الجامعيين والخريجين المتقدمين بالمشاركة في البحث. ستعكس الموضوعات اهتمامات وخبرات أعضاء هيئة التدريس وقد تشمل علم الأحياء الرياضي وعلم الأعصاب الحسابي والنمذجة الرياضية للأنظمة البيولوجية ونماذج الأمراض المعدية وبيولوجيا الخلية الحسابية وعلم البيئة الرياضي والطب الحيوي الرياضي الذي تم إنشاؤه على نطاق واسع. يمكن الحصول عليها أكثر من مرة للحصول على ائتمان.

MATH 598. النماذج العشوائية: الظواهر المنتشرة والمعادلات التفاضلية العشوائية. 3 وحدات.

مقدمة في النمذجة العشوائية للبيانات. التركيز على النماذج والتحليل الإحصائي للبيانات ذات الهيكل الزمني و / أو المكاني. ستحلل هذه الدورة الظواهر العشوائية التي تعتمد على الزمان والمكان من منظورين: الحركة البراونية والعمليات الانتشار: تصنيف العمليات العشوائية ، التوزيعات المحدودة الأبعاد ، المشي العشوائي وحدود قياسها ، الحركة البراونية وخصائص مساراتها ، عمليات الانتشار العامة ، فوكر بلانك معادلات كولموغوروف ، عمليات بواسون والنقطة ، انتشار الذيل الثقيل ، عمليات ليفي ، انتشار مستقر. حساب التفاضل والتكامل العشوائي والمعادلات التفاضلية العشوائية: تكاملات وينر العشوائية ، نظرية المربع المتوسط ​​، التكاملات العشوائية البراونية وصيغة إيتو ، التكاملات العشوائية لعمليات ليفي ، خاصية مارتينجال ، النظرية الأساسية وتطبيقات المعادلات التفاضلية العشوائية. ترتبط هذه الدورة بـ STAT 437 ولكن يمكن أخذها بشكل مستقل عنها. مقدمة كـ MATH 598 و STAT 538.

رياضيات 601. مشاكل القراءة والبحث. 1-18 وحدة.

عرض البحث الفردي والمناقشة والتحقيق في الأوراق البحثية في مجال متخصص في الرياضيات.


3.2: المعادلات شبه الخطية من الدرجة الثانية - الرياضيات

وصف الدورة التدريبية: حساب مصفوفة الجبر الخطي الأساسي والمحددات. مسافات المتجهات مساحات المنتج الداخلية. القيم الذاتية والمتجهات الذاتية التحويلات الخطية المصفوفات المتماثلة و SVD. المعادلات التفاضلية العادية المتجانسة سلسلة فورييه والمعادلات التفاضلية الجزئية.

مدرب: نيخيل سريفاستافا ، البريد الإلكتروني: الاسم الأول في math.oblear.edu

يرجى الحضور إلى ساعات العمل أو استشارة GSI الخاص بك قبل أرسل لي بريدًا إلكترونيًا حول المخاوف اللوجستية. بقدر الإمكان ، يرجى استخدام Piazza للأسئلة الرياضية.

محاضرات: TTh 5: 00-6: 30pm ، على Zoom (رابط على bCourses).

القطاع الثامن: MWF ، راجع قائمة الأوقات

ساعات العمل: T 1-2pm أو F 4-5pm عند Zoom

رقم التحكم بالمقرر: 25957

جرادسكوب: إذا لم تتم إضافتك بالفعل ، فإن رمز الدخول الخاص بـ Gradescope الخاص بهذه الدورة التدريبية هو D5K2Y6 في gradescope.com. للحصول على إرشادات حول كيفية مسح وتحميل رمز العمل الخاص بك على Gradescope ، شاهد هذا الفيديو والنشرة.

قضايا التسجيل: لسوء الحظ ، ليس لدي سيطرة على مشاكل التسجيل. إذا كانت لديك أية مخاوف بشأن قائمة الانتظار وتبديل الأقسام وما إلى ذلك ، فيرجى الاتصال بأمين السجل أو مستشارة الرياضيات الجامعية جنيفر سيكست ، 964 إيفانز ، [email protected]

كتاب مدرسي: الجبر الخطي والمعادلات التفاضلية ، ثانية ثالث إصدار مخصص لـ UC Berkeley ، بواسطة Lay و Nagle و Saff و Snider (يتضمن 5 هـ لاي و 9 هـ من NSS). صورة الغلاف

وضع العلامات: 5٪ HW، 15٪ quizzes، 20٪ x 2 midterms، 40٪ final. سيتم إسقاط درجتي HW و Quiz السفليتين ، وسيتم استبدال درجة منتصف الفصل الأدنى بالدرجة النهائية ، إذا كان ذلك مفيدًا. جميع الاختبارات والامتحانات هي كتاب مفتوح وتعتمد على ميثاق الشرف. لن تكون الدرجات منحنية ، لذا لا داعي للقلق بشأن التنافس مع الآخرين ، ويمكنك التركيز على تعلم المادة وإظهارها لي و GSI التي تفهمها. الدرجة المتوسطة ستكون على الاكثر أ ب-. هذا ليس الحد الأعلى إذا كان أداء الجميع جيدًا للغاية ، سأكون سعيدًا لمنح الجميع A +.

الامتحانات: سيكون هناك اختباران نصفيان لمدة 36 ساعة في موعد أقصاه على Gradescope ، بتاريخ الخميس 2/18، و الثلاثاء 4/6. لن تكون هناك اختبارات مكياج باستثناء حالات الطوارئ الطبية الموثقة.

خذها للمنزل على مدار 24 ساعة الإختبارات على Gradescope كل الأربعاء. سوف يقومون بتغطية المواد حتى يوم الخميس السابق. ستكون الاختبارات القصيرة بنفس صعوبة الاختبارات تقريبًا ، وهي أفضل طريقة للتحقق من فهمك للمادة.


آندي تشينغيون تسنغ

هذه هي الدورة الثانية في التحليل الوظيفي ، والتي تغطي الجزء الأول والثالث تقريبًا في Rudin's تحليل وظيفي و الفصل 3-7 من ألان مقدمة في فضاءات وجبر باناخ. الموضوعات inlcude
1. نظرية هان باناخ في امتداد الوظائف الخطية. مساحات محدبة محليا. ثنائيات المسافات L ^ p (μ) و C (K).
2. نظرية الرادون-نيكوديم ونظرية تمثيل ريش. - الطوبولوجيا الضعيفة والضعيفة. نظريات Mazur ، Goldstine ، Banach-Alaoglu. الانعكاسية والانعكاسية المحلية. نظرية هان باناخ في فصل المجموعات المحدبة. النقاط المتطرفة ونظرية كيرين-ميلمان. الحديث الجزئي ونظرية باناخ-الحجر.
3. باناخ الجبر ، النظرية الطيفية الأولية. تبادلي الجبر Banach ونظرية تمثيل Gelfand.
4- حساب التفاضل والتكامل الوظيفي متعدد الأشكال. مشغلي الفضاء هيلبرت ،
5. ج ∗ - الجبر. نظرية جلفاند نيمارك. نظرية الطيفية للتبديل C ∗ -الجبر. نظرية الطيفية وحساب بوريل الوظيفي للمشغلين العاديين.
6- بعض المواضيع الإضافية. على سبيل المثال ، نظرية الأب echet – Kolmogorov ، مجموعات فرعية مضغوطة بشكل ضعيف من L1 (μ) ، ونظريات Eberlein-Sˇmulian و Kerin-Smulian ، وبناء Gelfand-Naimark-Segal

تحليل المعادلات التفاضلية الجزئية

المعلم: البروفيسور كليمان موهوت

الغرض من هذا المقرر الدراسي هو تقديم بعض الأساليب والمنهجيات في المعالجة الرياضية للمعادلات التفاضلية الجزئية (PDE). تعد نظرية PDE في الوقت الحاضر مجالًا كبيرًا للبحث النشط ، وتعود إلى ولادة التحليل الرياضي في القرنين الثامن عشر والتاسع عشر. إنها على مفترق طرق مع الفيزياء والعديد من مجالات الرياضيات البحتة والتطبيقية.
تبدأ الدورة بمقدمة لأربعة نماذج أولية من المعادلات الخطية: معادلة لابلاس ومعادلة الحرارة ومعادلة الموجة ومعادلة شرودينجر. سيتم التركيز على التقنيات التحليلية الوظيفية الحديثة التي تعتمد على فكرة مشكلة وتقديرات كوشي بدلاً من الحلول الصريحة ، على الرغم من أن التفاعل مع الطرق الكلاسيكية (مثل الحل الأساسي ، تمثيلات فورييه) سيتم مناقشته. ستتم دراسة المفاهيم الأساسية الموحدة التالية: الوضع الجيد ، تقديرات الطاقة ، الانتظام الإهليلجي ، الخصائص ، انتشار التفردات ، المبدأ الأقصى. ستنتهي الدورة بمناقشة بعض المشاكل المفتوحة في PDE.
1. مقدمة: من ODEs إلى PDEs
2. نظرية كوشي كوفاليفسكايا
3. المعادلات الإهليلجية من الرتب الثانية
4. الزائدية: معادلات النقل ومعادلات الموجة

أوراق سبيل المثال

أجهزة PDE الإهليلجية

المعلم: د. بريان كروميل

تهدف هذه الدورة إلى أن تكون مقدمة لنظرية المعادلات التفاضلية الجزئية. تلعب المعادلات الإهليلجية دورًا مهمًا في التحليل الهندسي وتوفر الخلفية القوية في المعادلات الإهليلجية الخطية أساسًا لفهم الموضوعات الأخرى بما في ذلك الحد الأدنى من عديدات الطيات الجزئية, الخرائط التوافقية، و النسبية العامة. سنناقش كلاً من الحلول الكلاسيكية والضعيفة للمعادلات الإهليلجية ، مع الأخذ في الاعتبار متى توجد حلول لمشكلة Dirichlet وتكون فريدة من نوعها مع مراعاة انتظام الحلول. يتضمن ذلك وضع مبادئ قصوى ، وتقديرات شودر ، وتقديرات أخرى حول الحلول. كلما سمح الوقت ، سنناقش مواضيع أخرى بما في ذلك نظرية دي جيورجي ناش ، والتي يمكن استخدامها لإثبات عدم المساواة في هارناك وتأسيس استمرارية هولدر للحلول الضعيفة والمعادلات الإهليلجية شبه الخطية.
تغطي هذه الدورة بشكل أساسي الفصول الثمانية الأولى في المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الدرجة الثانية بواسطة ديفيد جيلبارغ ونيل س. ترودينجر.

فيما يلي بعض الملاحظات الأساسية (تتضمن مناقشة حول معادلات لابلاس / بواسون ، والوظائف التوافقية ، وما إلى ذلك): أجهزة PDE الإهليلجية (Michealmas 2007) قدمها البروفيسور نيشان ويكراماسيكيرا وهو أيضًا مدير الدراسات في كلية تشرشل

مرجع جيد آخر هو المعادلات التفاضلية الجزئية. ملاحظات محاضرة Courant ، المجلد. 1 (2011) بواسطة Qing Han و Fanghua Lin.

معادلات الموجة غير الخطية

المعلم: د. جوناثان لوك

نناقش النظريات المحلية والعالمية لمعادلات الموجات شبه الخطية وتطبيقاتها على النظريات الفيزيائية بما في ذلك ميكانيكا الموائع والنسبية العامة. سيتم تناول الموضوعات التالية:
1. السلوك الكمي لحلول معادلة الموجة الخطية في زمكان مينكوفسكي
2. طرق الطاقة والنظرية المحلية لمعادلات الموجات شبه الخطية
3. التطبيق في النسبية العامة: الوضع الجيد المحلي لمعادلات أينشتاين
4. أمثلة على معادلات الموجات غير الخطية دون الحرجة
5. الشرط الفارغ والنظرية العالمية للبيانات الصغيرة لمعادلات الموجات شبه الخطية 6. التطبيق في ميكانيكا الموائع: تشكيل الصدمات في تناظر كروي
7. التطبيق في النسبية العامة: استقرار زمكان مينكوفسكي


أولاً ، عامل التفاضل على اليسار. نظرًا لأن $ a ^ 2 + 4ab + 4b ^ 2 = (a + 2b) (a + 2b) $ ، فإن عوامل التشغيل مثل $ frac < جزئي ^ 2> < جزئي t ^ 2> + 4 frac < جزئي ^ 2> < جزئي x جزئي t> + 4 فارك < جزئي ^ 2> < جزئي x ^ 2> = يسار ( فارك < جزئي> < جزئي t> +2 فارك < جزئي> < جزئي x> يمين) يسار ( frac < جزئي> < جزئي t> +2 frac < جزئي> < جزئي x> يمين) $ العوامل هي مشتقات اتجاهية من الدرجة الأولى. للأسف ، هما في نفس اتجاه المتجه $ (2،1) $ في المستوى $ (x، t) $. هذا يعني أن لدينا خاصية واحدة فقط في كل نقطة ، وهي خط على شكل $ x = 2t + C $. المعادلة متدهورة نوعًا ما ، مقارنة بالمعادلات القطعية الصادقة مثل $ frac < جزئي ^ 2u> < جزئي t ^ 2> + 4 frac < جزئي ^ 2 u> < جزئي x ^ 2> = 0 $ .

على أي حال ، نرى أنه على طول كل سطر بالصيغة $ x-2t = C $ يكون الحل خطيًا (بما أن المشتق الثاني هو صفر). ومن ثم ، يمكننا كتابة الحل العام على النحو التالي $ u (x، t) = f (x-2t) + t ، g (x-2t) $ حيث $ f $ و $ g $ وظائف عشوائية. (تأكد من أن هذا يعمل: تقييد $ u $ لأي خاصية يكون خطيًا.)

إذا كنت تعرف القيمة الأولية والسرعة الابتدائية عند $ t = 0 $ ، يمكنك إيجاد $ f $ و $ g $ ومعهما $ u $.


المعادلات الإهليلجية غير الخطية من الدرجة الثانية

المعادلات التفاضلية غير الخطية هي موضوع متنوع له تطبيقات مهمة في العلوم الفيزيائية والاجتماعية والهندسة. كما أنها تنشأ بشكل طبيعي في الهندسة. على وجه الخصوص ، كان الكثير من التقدم في المنطقة في القرن العشرين مدفوعًا بالتطبيقات الهندسية ، من مشكلة برنشتاين إلى وجود مقاييس K & aumlhler & ndashEinstein.

يقدم هذا الكتاب ، المصمم ككتاب دراسي ، مناقشة تفصيلية لمشاكل Dirichlet للمعادلات التفاضلية شبه الخطية وغير الخطية بالكامل من الدرجة الثانية مع التركيز على معادلات الانحناء المتوسط ​​وعلى معادلات Monge & ndashAmp & egravere. يعطي مقدمة سهلة الاستخدام لنظرية المعادلات الإهليلجية غير الخطية مع إيلاء اهتمام خاص للنتائج الأساسية وأهم التقنيات. وبدلاً من عرض الموضوعات بكامل عمومتها ، يهدف الكتاب إلى تقديم أدلة قائمة بذاتها وواضحة و "أولية" للحصول على نتائج في حالات خاصة مهمة. سيكون هذا الكتاب بمثابة مصدر قيم لطلاب الدراسات العليا أو أي شخص مهتم بهذا الموضوع.

القراء

طلاب الدراسات العليا وعلماء الرياضيات الباحثون المهتمون بـ PDE غير الخطي وتطبيقات الهندسة التفاضلية.

المراجعات والمصادقات

سيكون كتاب هان بمثابة مصدر قيم لطلاب الدراسات العليا ولأي شخص مهتم بموضوع أجهزة PDE غير الخطية من الدرجة الثانية.


نتائج التذبذب

في هذا القسم ، نحصل على شروط كافية لتذبذب جميع حلول المعادلة. (1.1). نظرًا للافتراضات وشكل معادلتنا ، نحتاج فقط إلى تقديم البراهين لحالة الحل الإيجابي في النهاية لأن البراهين على الحلول السلبية في النهاية ستكون متشابهة.

للراحة ، لأي تسلسل إيجابي حقيقي ( < مو_> ) الذي يتناقص إلى الصفر ، قمنا بتعيينه

من أجل (n ge n_ <1> ) ، حيث (n_ <1> in mathbb (n_ <0>) ) كبير بما يكفي.

Lemma 2.1.2 تحديث

يترك ( >) يكون حلاً إيجابيًا لـ Eq. (1.1) للجميع (n in mathbb (ن_ <0>) ). ثم يوجد ملف (n_ <1> in mathbb (ن_ <0>) ) مثل هذا للجميع n ( ge n_ <1> )

دليل

يمكن العثور على إثبات اللمة في [3] وبالتالي تم حذف التفاصيل. □

Lemma 2.2.2 تحديث

يترك ( >) يكون حلاً إيجابيًا لـ Eq. (1.1) للجميع (n in mathbb (ن_ <0>) ) ونفترض أن مكافئ. (2.1) يحمل. ثم يوجد ملف (n_ <1> in mathbb (ن_ <0>) ) مثل ذلك


تقديرات كارلمان للمشغلين والتطبيقات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية

يقدم هذا الكتاب مقدمة موجزة ومستقلة لتقديرات كارلمان لثلاث معادلات تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية النموذجية ، وهي المعادلات الإهليلجية والقطع المكافئ والقطعي وتطبيقاتها النموذجية في التحكم.

الناشر: سبرينغر الطبيعة

فئة: الرياضيات

يقدم هذا الكتاب مقدمة موجزة ومستقلة لتقديرات كارلمان لثلاث معادلات تفاضلية جزئية من الدرجة الثانية النموذجية ، وهي المعادلات الإهليلجية والقطع المكافئ والقطعي وتطبيقاتها النموذجية في التحكم والاستمرارية الفريدة والمشكلات العكسية. هناك ثلاث سمات جديدة ومهمة بشكل خاص للكتاب. أولاً ، هناك حاجة إلى بعض حسابات التفاضل والتكامل الأساسية فقط من أجل الحصول على النتائج الرئيسية المقدمة ، على الرغم من أن بعض المعرفة الأولية للتحليل الوظيفي والمعادلات التفاضلية الجزئية ستكون مفيدة في فهمها. ثانيًا ، جميع تقديرات كارلمان الواردة في الكتاب مشتقة من هوية أساسية لمشغل تفاضل جزئي من الدرجة الثانية ، والفرق الوحيد هو اختيار وظائف الوزن. ثالثًا ، هناك حاجة فقط إلى نعومة ضعيفة و / أو شروط تكاملية للمعاملات التي تظهر في المعادلات. ستكون تقديرات كارلمان للعوامل والتطبيقات التفاضلية الجزئية من الدرجة الثانية محل اهتمام جميع الباحثين في هذا المجال.


شاهد الفيديو: الأول الثانوي - رياضيات -حل معادلة من الدرجة الثانية (شهر اكتوبر 2021).