مقالات

جدول موجز للتكاملات - الرياضيات


( int u ^ { alpha} du = frac {u ^ { alpha +1}} { alpha +1} + c، quad alpha neq -1 )

( int frac {du} {u} = ln | u | + c )

( int cos u : du = sin u + c )

( int sin u : du = - cos u + c )

( int tan u : du = - ln | cos u | + c )

( int cot u : du = ln | sin u | + c )

( int sec ^ {2} u : du = tan u + c )

( int csc ^ {2} u : du = - cot u + c )

( int sec u : du = ln | sec u + tan u | + c )

( int cos ^ {2} u : du = frac {u} {2} + frac {1} {4} sin 2u + c )

( int sin ^ {2} u : du = frac {u} {2} - frac {1} {4} sin 2u + c )

( int frac {du} {1 + u ^ {2}} du = tan ^ {- 1} u + c )

( int frac {du} { sqrt {1-u ^ {2}}} du = sin ^ {- 1} u + c )

( int frac {1} {u ^ {2} -1} du = frac {1} {2} ln | frac {u-1} {u + 1} | + c )

( int cosh u : du = sinh u + c )

( int sinh u : du = cosh u + c )

( int u : dv = uv- int v : du )

( int u cos u : du = u sin u + cos u + c )

( int u sin u : du = -u cos u + sin u + c )

( int ue ^ {u} du = ue ^ {u} -e ^ {u} + c )

( int e ^ { lambda u} cos omega u : du = frac {e ^ { lambda u} ( lambda cos omega u + omega sin omega u)} { lambda ^ {2} + omega ^ {2}} + c )

( int e ^ { lambda u} sin omega u : du = frac {e ^ { lambda u} ( lambda sin omega u + omega cos omega u)} { lambda ^ {2} + omega ^ {2}} + c )

( int ln | u | : du = u ln | u | -u + c )

( int u ln | u | : du = frac {u ^ {2} ln | u |} {2} - frac {u ^ {2}} {4} + c )

( int cos omega _ {1} u cos omega _ {2} u : du = frac { sin ( omega _ {1} + omega _ {2}) u} {2 ( omega _ {1} + omega _ {2})} + frac { sin ( omega _ {1} - omega _ {2}) u} {2 ( omega _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )

( int sin omega _ {1} u sin omega _ {2} u : du = - frac { sin ( omega _ {1} + omega _ {2}) u} { 2 ( omega _ {1} + omega _ {2})} + frac { sin ( omega _ {1} - omega _ {2}) u} {2 ( omega _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )

( int sin omega _ {1} u cos omega _ {2} u : du = - frac { cos ( omega _ {1} + omega _ {2}) u} { 2 ( omega _ {1} + omega _ {2})} - frac { cos ( omega _ {1} - omega _ {2}) u} {2 ( omega _ {1} - omega _ {2})} + c quad ( omega _ {1} neq pm omega _ {2}) )


42. ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C ∫ u e a u d u = 1 a 2 (a u - 1) e a u + C

43. ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u - n a ∫ u n - 1 e a u d u ∫ u n e a u d u = 1 a u n e a u - n a ∫ u n - 1 e a u d u

44. ∫ e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sin b u - b cos b u) + C ∫ e a u sin b u d u = e a u a 2 + b 2 (a sin b u - b cos b u) + C

45. ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C ∫ e a u cos b u d u = e a u a 2 + b 2 (a cos b u + b sin b u) + C

46. ​​∫ ln u d u = u ln u - u + C ∫ ln u d u = u ln u - u + C

47. ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln u - 1] + C ∫ un ln udu = un + 1 (n + 1) 2 [(n + 1) ln ش - 1] + ج

48. ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + C ∫ 1 u ln u d u = ln | ln u | + ج


تعريف وخصائص التكاملات الثلاثية

يمكننا تقديم التكامل الثلاثي المماثل للتكامل المزدوج كحد لمجموع ريمان. نبدأ من أبسط حالة عندما تكون منطقة التكامل (U ) عبارة عن مربع مستطيل ( يسار [ يمين] مرات يسار [ يمين ) (مرات يسار [ حق] ) (الشكل (1 )).

دع مجموعة الأرقام ( left <<,، ldots،> right > ) يكون قسمًا من ( يسار [ right] ) في فترات زمنية صغيرة بحيث تكون العلاقات التالية صحيحة:

وبالمثل ، يمكننا إنشاء أقسام من المقطع ( left [ right] ) على طول (y ) - المحور والجزء ( اليسار [ right] ) على طول المحور (z ):

مجموع ريمان للوظيفة (f left ( يمين) ) فوق قسم ( يسار [ يمين] مرات يسار [ يمين ) ( مرات يسار [ right] ) يتم تعريفه بواسطة

هنا (<يسار (<,,> right)> ) هي نقطة ما في المربع المستطيل ( يسار (<<>>,> يمين) ) ( مرات يسار (<<>>,> يمين) ) ( مرات يسار (<<>>,> right) ، ) والاختلافات بينهما

التكامل الثلاثي للدالة (f left ( يمين) ) في خط متوازي ( يسار [ يمين] مرات يسار [ يمين] مرات يسار [ right] ) يتم تعريفه على أنه حد لمجموع Riemann ، بحيث تكون القيم القصوى للاختلافات ( Delta ، ) ( دلتا ) و ( دلتا ) الاقتراب من الصفر:

لتحديد التكامل الثلاثي على منطقة عامة (U ، ) نختار مربع مستطيل ( يسار [ يمين ) ( مرات يسار [ يمين ) (مرات يسار [ right] ) تحتوي على المنطقة المحددة (U. ) ثم نقدم الوظيفة (g left ( حق) ) مثل ذلك

ثم التكامل الثلاثي للدالة (f left ( right) ) فوق منطقة عامة يتم تعريف (U ) على أنه

خواص التكاملات الثلاثية

دع (و يسار ( يمين) ) و (ز يسار ( right) ) هي دوال قابلة للتكامل في المنطقة (U. ) ثم تكون الخصائص التالية صالحة:


جدول موجز للتكاملات - الرياضيات

تذكر أن تعريف التكامل المحدد (معطى مرة أخرى أدناه) له تلخيص في جوهره.

سواء من خلال اللعب مع هذا الجمع أو من خلال وسائل أخرى ، يمكننا تطوير العديد من الخصائص المهمة للتكامل المحدد. نحن نعتبر العديد من هؤلاء أدناه ، بدوره.

افترض ، كما فعلنا في الماضي ، أن القسم المرتبط بمجموع Riemann مُعطى بواسطة $ a = x_0 lt x_1 lt x_2 lt cdots lt x_n = b $.

تذكر الآن أن $ Delta_i = x_i - x_علامة $ ، التي تتغير عند تبديل حدود التكامل من $ displaystyle < int_a ^ b> $ إلى $ displaystyle < int_b ^ a> $.

يقدم هذا $ (- 1) $ كعامل في كل مصطلح من مجموع Riemann ، والذي يمكن سحبه بعد ذلك خارج المجموع ، ثم الحد.

بالطبع ، إذا كان الفاصل الزمني المعني هو $ [a، a] $ ، فإن أي $ Delta_i $ موجود في مجموع Riemann يجب أن يكون صفرًا - وهذا بدوره يجعل المجموع وحدوده صفرًا أيضًا.

افترض أن $ F $ مشتق عكسي لـ $ f $ ، و $ G $ مشتق عكسي $ g $. إذن ، يجب أن يكون $ F pm G $ مشتقًا عكسيًا لـ $ f pm g $. هذا يعني ذاك

إذا كان $ f (x) ge 0 $ حيث $ a le x le b $ ، فإن $ displaystyle < int_a ^ b f (x) ، dx ge 0> $

معرفة $ f (x) ge 0 $ يخبرنا كل $ f (x_i ^ *) ge 0 $. علاوة على ذلك ، منذ $ a le b $ نعرف أيضًا $ Delta_i ge 0 $. وبالتالي ، فإن كل مصطلح في التجميع أدناه يحدد التكامل المحدد هو غير سالب ، مما يجعل المجموع (وبالتالي قيمة الحد) غير سالب.

دع $ h = f - g $ ، ثم لاحظ أن $ h (x) ge 0 $ لكل $ a le x le b $. ثم يتم تطبيق النتيجة السابقة وتخبرنا $ int_a ^ b h (x) ، dx ge0 $. بالتساوي ، $ int_a ^ b (f (x) -g (x)) ، dx = int_a ^ b f (x) ، dx - int_a ^ b g (x) ge 0 $.

$ int_a ^ b f (x) ، dx ge int_a ^ b g (x) ، dx $

يمكننا إثبات ذلك بطريقة صارمة لأي قيم $ a $ و $ b $ و $ c $ والدالة القابلة للتكامل $ f $ ، لكن الحجة التالية قد تكون أكثر وضوحًا. افترض أن $ a lt b lt c $ و $ f (x) $ غير سالب ، كما هو مقترح في الصورة أدناه.

في هذا السياق ، لاحظ أن $ int_a ^ bf (x) ، dx $ يعطي المساحة أسفل المنحنى من $ a $ إلى $ b $ (يظهر باللون الوردي) ، بينما $ int_b ^ cf (x) ، dx يعطي $ المساحة أسفل المنحنى من $ b $ إلى $ c $ (كما هو موضح باللون الأخضر الفاتح). من الواضح أن مجموع هذين المجالين هو المنطقة الواقعة أسفل من $ a $ إلى $ c $ ، مُعطى بواسطة $ int_a ^ c f (x) ، dx $.


موارد ذات الصلة

يتم توفير المحتوى التالي بموجب ترخيص المشاع الإبداعي. سيساعد دعمك MIT OpenCourseWare على الاستمرار في تقديم موارد تعليمية عالية الجودة مجانًا. لتقديم تبرع أو لعرض مواد إضافية من مئات دورات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، قم بزيارة MIT OpenCourseWare على ocw.mit.edu.

الأستاذ: إذن نحن ننتقل إلى الوحدة الثالثة هنا. لذلك بدأنا بالوحدة 3. وهذه هي مقدمة التكامل. إنها في الأساس النصف الثاني من حساب التفاضل والتكامل بعد الاشتقاق. ما سأتحدث عنه اليوم هو ما يُعرف بالتكاملات المحددة. في الواقع ، يبدو أننا نفتقد مجموعة من الأضواء العلوية؟ هل هناك سبب لذلك؟ همم. دعونا نرى. آآآه. حسنا. حسنًا ، هذا أكثر إشراقًا الآن. حسنا. لذلك يمكن تقديم فكرة التكاملات المحددة بعدة طرق. لكنني سأكون متسقًا مع بقية العرض التقديمي في الدورة التدريبية. سنبدأ من وجهة النظر الهندسية. وجهة النظر الهندسية هي أن المشكلة التي نريد حلها هي إيجاد المساحة أسفل المنحنى. وجهة النظر الأخرى التي يمكن للمرء أن يتخذها ، وسنذكر ذلك في نهاية هذه المحاضرة ، فكرة الجمع التراكمي. لذا ضع ذلك في الاعتبار أن هناك الكثير مما يحدث هنا. وهناك العديد من التفسيرات المختلفة لماهية التكامل.

الآن ، لنرسم صورة هنا. سأبدأ من مكان أ وسأنتهي عند مكان ب. ولدي بعض المنحنى هنا. وما يدور في بالي هو العثور على هذه المنطقة هنا. وبطبيعة الحال ، من أجل القيام بذلك ، أحتاج إلى معلومات أكثر من مجرد نقطة البداية وأين ننتهي. أحتاج أيضًا إلى القاع والأعلى. حسب الاصطلاح ، يكون الجزء السفلي هو المحور x والأعلى هو المنحنى الذي حددناه ، وهو y = f (x). ولدينا رمز لهذا ، وهو التدوين باستخدام حساب التفاضل والتكامل لهذا بدلاً من بعض الرموز الهندسية. وهذا هو التعبير التالي. يطلق عليه تكامل ، ولكن الآن سيكون له ما يعرف بحدود عليه. سيبدأ عند أ وينتهي عند ب. ونكتب في الدالة f (x) dx. إذن هذا ما يُعرف بالتكامل المحدد. ويتم تفسيرها هندسيًا على أنها المساحة الواقعة أسفل المنحنى. الفرق الوحيد بين هذه المجموعة من الرموز وما كان لدينا من قبل مع تكاملات غير محددة هو أننا لم نحدد من قبل أين بدأت وأين انتهت.

الآن ، من أجل فهم ما يجب فعله مع هذا الرجل ، سأقوم فقط بوصف ما نفعله بشكل تجريدي للغاية. ثم قم بتنفيذ مثال واحد بالتفصيل. لذا ، لحساب هذه المنطقة ، سنتبع في البداية ثلاث خطوات. أولًا ، سنقسم إلى مستطيلات. ولسوء الحظ ، لأنه من المستحيل تقسيم المنطقة المتعرجة إلى مستطيلات ، سنقوم بالغش. لذا فهم فقط مستطيلات غير مقتبسة. إنها تقريبًا مستطيلات. والشيء الثاني الذي سنفعله هو جمع المساحات. والشيء الثالث الذي سنفعله هو تصحيح هذه المشكلة التي لم نقم بها في الواقع. أننا فقدنا بعض القطع أو كنا نختار بعض القطع الإضافية. والطريقة التي سنصححها هي أخذ النهاية عندما يصبح المستطيل رقيقًا. نحيف للغاية ، نحيف للغاية.

بشكل تصويري ، مرة أخرى ، يبدو هكذا. لدينا أ وب ، ولدينا الرجل هنا ، هذا هو المنحنى. وسأقطعها. سأقوم أولاً بتقطيع المحور x بزيادات صغيرة. وبعد ذلك سأقوم بتقطيع الأشياء هنا. وسأقرر بعض المستطيل ، ربما بعض نمط الدرج هنا. مثله. الآن ، أنا لا أهتم كثيرًا. في بعض الحالات ، تتخطى المستطيلات في بعض الحالات تكون تحتها. إذن المنطقة الجديدة التي أجمعها متوقفة عن العمل. إنها ليست تمامًا مثل المنطقة الواقعة أسفل المنحنى. إنها هذه المنطقة هنا. لكنه يتضمن هذه الأجزاء الإضافية هنا. ومن ثم يفتقد هذا الرجل الصغير هنا. هذا القدر القليل مفقود. وكما قلت ، هذه القطع الصغيرة هنا ، هذه قليلاً هنا إضافية. لهذا السبب لا نقسم المنطقة إلى مستطيلات. نحن فقط نأخذ المستطيلات. ثم الفكرة هي أنه كلما أصبحت هذه الأشياء أكثر نحافة ونحافة ، فإن الكميات الصغيرة التي نفتقدها ستذهب إلى الصفر. وستكون ضئيلة. بالفعل ، يمكنك أن ترى أنها مساحة رقيقة نوعًا ما ، لذا فنحن لا نفتقدها كثيرًا. وعندما تصبح هذه أكثر نحافة ونحافة ، تختفي المشكلة ونحصل على الإجابة على الأنف في النهاية.

إذن هذا هو مثالنا الأول. سآخذ أول منحنى مثير للاهتمام ، وهو f (x) = x ^ 2. لا أريد أن أفعل أي شيء أكثر تعقيدًا من مثال واحد ، لأن هذا عمل حقيقي هنا ، ما سنمر به. ولجعل الأمور أسهل على نفسي ، سأبدأ عند a = 0. لكن من أجل معرفة النمط ، سأسمح لـ b أن يكون عشوائيًا.

لنرسم الرسم البياني ونبدأ في تقسيم الأشياء. هذا هو القطع المكافئ ، وهذه القطعة التي نريدها ، والتي ستتوقف عند هذا المكان ، ب ، هنا. والخطوة الأولى هي التقسيم إلى عدد n من الأجزاء. هذا يعني ، حسنًا ، بيانياً ، سأضع علامة على الثلاثة الأولى فقط. وربما سيكون هناك الكثير منهم. وبعد ذلك سأرسم بعض المستطيلات هنا ، وسأختار عمل المستطيلات على طول الطريق من اليمين. هذا هو ، سأجعلنا نمط الدرج هذا هنا ، مثل هذا. هذا خياري. يمكنني اختيار أي مستوى أريده ، وسأختار الأطراف الصحيحة كشكل الدرج. لذلك أنا أتجاوز مع كل مستطيل.

والآن علي أن أكتب الصيغ لما هي هذه المجالات. الآن ، هناك ميزة كبيرة تتمتع بها المستطيلات. وهذا هو مكان الانطلاق. وهو أنه من السهل العثور على مناطقهم. كل ما تريد معرفته هو القاعدة والارتفاع ، وتضرب ، وتحصل على المساحة. هذا هو السبب الذي يجعلنا نبدأ بالمستطيلات. وفي هذه الحالة ، هذه المسافات ، أفترض أنها جميعًا فترات متساوية ومتساوية. وسأفعل ذلك دائمًا. ومن ثم فإن التباعد ، والقواعد ، وطول القاعدة ، دائمًا ما يكون b / n. كل فترات متساوية. هذا هو طول القاعدة. وبعد ذلك ، أحتاج إلى المرتفعات. ومن أجل تتبع الارتفاعات ، سأرسم جدولًا صغيرًا هنا ، مع x و f (x) ، وقم بالتعويض عن بعض القيم فقط لمعرفة النمط. المكان الأول هنا ، بعد 0 ، هو ب / ن. إذن ، ها هي b / n ، وهي قيمة x. وقيمة f (x) هي الارتفاع هناك. وهذا فقط ، أوجد قيمة f (x) ، f (x) هي x ^ 2. وهذا (ب / ن) ^ 2. وبالمثل ، التالي هو 2b / n. والقيمة هنا هي (2b / n) ^ 2. هذا هذا. هذا الارتفاع هنا هو 2b / n. هذا هو المستطيل الثاني. وسأكتب واحدة أخرى. 3b / n ، هذا هو الثالث. والارتفاع (3b / n) ^ 2. وهكذا دواليك.

حسنًا ، وظيفتي التالية هي إضافة هذه المجالات. وقد أعددت ذلك من خلال معرفة القاعدة والارتفاع. إذن ، المساحة الإجمالية ، أو مجموع المساحات ، دعنا نقول ، لهذه المستطيلات ، هي - حسنًا ، أول واحد هو (b / n) (b / n) ^ 2. الثاني هو 2b / n - أنا آسف ، هو (b / n) (2b / n) ^ 2. ويستمر فقط. والأخير هو (b / n) (nb / n) ^ 2. لذلك من المهم جدًا معرفة المعادلة العامة. وهنا لدينا قاعدة. وهنا لدينا الارتفاع ، وهنا لدينا نفس نوع القاعدة ، لكن لدينا ارتفاع جديد. وهكذا دواليك. والنمط هو أن المعامل هنا هو 1 ، ثم 2 ، ثم 3 ، وصولًا إلى n. المستطيلات تصبح أطول وأطول ، وهذا الأخير هو الأكبر.

حسنًا ، هذه أداة معقدة للغاية. وأول شيء أريد القيام به هو تبسيطه وبعد ذلك سأقيمه بالفعل. لكن في الواقع لن أقوم بتقييمه بالضبط. سأقوم فقط بتقييم النهاية. تبين أن الحدود أسهل دائمًا. الهدف من التفاضل والتكامل هنا هو أن هذه المستطيلات صلبة. لكن القيمة المحددة قيمة سهلة. إذن ما نتجه إليه هو الصيغة البسيطة ، على عكس الصيغة المعقدة. حسنًا ، أول شيء سأفعله هو استبعاد كل عوامل b / n هذه. هناك ب / ن ، هنا ، وهناك (ب / ن) ^ 2 ، لذلك قيل لنا جميعًا ، لدينا (ب / ن) ^ 3. كعامل مشترك. ثم الحد الأول هو 1 ، والحد الثاني المتبقي هو 2 ^ 2. 2 ^ 2. ثم الحد الثالث سيكون 3 ^ 2 ، على الرغم من أنني لم أكتبه. في المصطلح الأخير ، هناك عامل إضافي لـ n ^ 2. في البسط. حسنًا ، هل الجميع معي هنا؟

الآن ، ما أود فعله هو أن آخذ النهاية في النهاية حيث يذهب n إلى ما لا نهاية هنا. والكمية التي يصعب فهمها هي هذه الكمية الهائلة هنا. وهناك تغيير واحد أود القيام به ، لكنه تغيير متواضع للغاية. صغير للغاية. وهو أنني سأكتب 1 ، فقط لأرى أن هناك نمطًا عامًا هنا. سنكتب 1 كـ 1 ^ 2. ودعنا نضع الرقم 3 هنا ، لماذا لا. والآن أريد استخدام خدعة. لا ينصح بهذه الحيلة تمامًا ، لكنني سأقول المزيد عن ذلك عندما ننتهي حتى النهاية. أريد أن أفهم حجم هذه الكمية. لذا سأستخدم خدعة هندسية لرسم صورة لهذه الكمية. وبالتحديد ، سأقوم ببناء هرم. وقاعدة الهرم ستكون n × n من الكتل. تخيلوا أننا في مصر ونبني هرمًا. والطبقة التالية ستكون n-1 في n-1. إذن هذه الطبقة التالية هي n-1 في n-1. إذن ، إجمالي عدد الكتل في الأسفل هو n تربيع. هذا هو هذا المصطلح الموجود في أقصى اليمين هنا. لكن المصطلح التالي ، الذي لم أكتب فيه ولكن ربما ينبغي عليّ أن أفعل ، كان المصطلح التالي إلى الأخير هو هذا المصطلح. وهذه هي الطبقة الثانية التي ارتديتها.

الآن ، هذا هو المنظر العلوي ، إذا أردت. لكن ربما ينبغي علينا أيضًا التفكير من منظور وجهة نظر جانبية. ها هي نفس الصورة ، نبدأ من n ونبني هذه الطبقة هنا. والآن سنضع طبقة فوقه ، وهي أقصر قليلاً. إذن ، الطبقة الأولى بطول n. والطبقات الثانية بطول n-1 ، وفوق ذلك لدينا شيء بطول n-2 ، وهكذا دواليك. وسنقوم بتكديسها. لذلك نحن نجمعهم. على طول الطريق إلى القمة ، وهي مجرد كتلة حجرية عملاقة واحدة. وهذا الأخير ، 1 ^ 2. لذا فإننا نرجع إلى الوراء في المجموع. ولذا يجب أن أقوم ببناء هذا الأمر برمته. وصعدت إلى الأعلى في نمط الدرج هذا إلى هذه الكتلة العلوية ، هناك.

إذن هذه هي الحيلة التي يمكنك استخدامها لتقدير حجم هذا ، وهي كافية في النهاية لأن n يذهب إلى اللانهاية. الحيلة هي أنني أستطيع تخيل الشيء الصلب تحت الدرج ، مثل هذا. هذا هرم عادي ، وليس هرم سلم. الذي هو في الداخل. وهذا في الداخل. وهكذا ، لكنه هرم عادي على عكس هرم الدرج. وهكذا ، نعرف صيغة حجم ذلك. لأننا نعرف صيغة أحجام المخاريط. وصيغة حجم هذا الرجل من الداخل هي 1/3 قاعدة في الارتفاع. وفي هذه الحالة ، القاعدة هنا - أي 1/3 ، والقاعدة هي n على n ، أليس كذلك؟ إذن القاعدة هي n ^ 2. هذا هو الأساس. والارتفاع يصل إلى أعلى نقطة. إذن الارتفاع ن. وما اكتشفناه هنا هو أن هذا المجموع بالكامل أكبر من 1/3 ن ^ 3.

الآن ، لقد زعمت أن - هذا الخط ، بالمناسبة له منحدر 2. لذا تذهب بمقدار 1/2 في كل مرة تصعد فيها 1. وهذا هو سبب وصولك إلى القمة. من ناحية أخرى ، يمكنني حصرها بالخارج أيضًا برسم خط موازٍ هنا. وهذا سينخفض ​​بمقدار 1/2 على هذا الجانب و 1/2 على الجانب الآخر. إذن ستكون القاعدة n + 1 في n + 1 لهذا الهرم الأكبر. وسترتفع بمقدار 1 أعلى. لذا على الطرف الآخر ، حصلنا على أن هذا أقل من 1/3 (n + 1) ^ 3. مرة أخرى ، (n + 1) ^ 2 مرة n + 1 ، مرة أخرى ، هذه القاعدة مضروبة في الارتفاع. من هذا الهرم الأكبر. نعم سؤال.

الطالب: (غير مسموع) ثم مساواته بالحجم.

البروفيسور: السؤال هو ، يبدو كما لو أنني أجمع مناطق وأساويها بالحجم. لكنني في الواقع أقوم بإنشاء مجلدات عن طريق إجراء هذه الزيادات الصادقة هنا. أي أن القاعدة هي n لكن الارتفاع هو 1. شكرًا لك على الإشارة إلى ذلك. كل واحد من هذه السلالم الصغيرة هنا بالضبط ارتفاعه 1. لذلك أنا بصراحة ألصق الكتل هناك. إنها نوع من الكتل المربعة ، وأنا أصطفها. وأنا أفكر في n على n مكعبات ، إذا أردت. مكعبات صادقة هناك. والارتفاع 1. والقاعدة هي n ^ 2.

حسنًا ، لذلك أدعي أنني حوصرت هذا الرجل بين كميتين هنا. والآن أنا مستعد لأخذ الحد الأقصى. إذا نظرت إلى هدفنا ، فنحن نريد أن يكون لدينا تعبير مثل هذا. وأنا ذاهب إلى - كان هذا هو التعبير الهائل الذي كان لدينا. وفي الواقع ، سأكتبها بشكل مختلف. سأكتبها كـ b ^ 3 ضرب 1 ^ 2 زائد 2 ^ 2 plus. زائد n ^ 2 ، مقسومًا على n ^ 3. سأجمع كل n معًا. حسنًا ، الشيء الصحيح الذي يجب فعله هو تقسيم ما كان لدي هناك. اقسم على n ^ 3 في هذه المجموعة من المتباينات هناك. وما أحصل عليه هنا هو 1/3 أقل من 1 زائد 2 ^ 2 زائد 3 ^ 2 زائد. زائد n ^ 2 مقسومًا على n ^ 3 أقل من 1/3 (n + 1) ^ 3 / n ^ 3. وهذا 1/3 + (1 + 1 / n) ^ 3.

والآن ، أدعي أننا انتهينا. لأن هذا هو 1/3 ، والنهاية ، كما يذهب n إلى ما لا نهاية ، من هذه الكمية هنا ، يمكن رؤيتها بسهولة ، وهذا ، كما يذهب n إلى ما لا نهاية ، هذا يذهب إلى 0. لذلك يذهب هذا أيضًا إلى 1/3 . إذن ، إجمالي المساحة هنا ، إذن ، المساحة الكلية ، تحت x ^ 2 ، والتي قد نكتب أحيانًا التكامل من 0 إلى bx ^ 2 dx ، ستكون مساوية - حسنًا ، هذه 1/3 هي التي حصلت عليها . ولكن بعد ذلك كان هناك أيضًا ب ^ 3. إذن هناك مكعبة ب الإضافية هنا. إذن فهو 1/3 ب ^ 3. هذه هي نتيجة هذا الحساب برمته. نعم سؤال.

البروفيسور: كان هذا سؤالًا جيدًا جدًا. السؤال هو ، لماذا تركنا b / n ^ 3 لهذه الخطوة. وجزء من الجواب هو حقد سبق. بمعنى آخر ، نحن نعرف ما نتجه إليه. نحن نعلم ، ونفهم ، هذه الكمية. كل هذا شيء واحد. هذا الشيء هو مجموع يكبر أكثر فأكثر. إنه ليس ما يسمى بالنموذج المغلق. لذا ، الشيء غير المعروف ، أو غير المفهوم جيدًا ، هو حجم هذه الكمية هنا. 1 ^ 2 + 2 ^ 2 مجموع المربعات. في حين أن هذا شيء يسهل فهمه. لذلك نحن عاملها. ونقوم بتحليل دقيق للقطعة التي لا نعرف حتى الآن حجمها. واكتشفنا أنه مشابه جدًا جدًا لـ n ^ 3. لكنها أكثر تشابهًا مع 1/3 n ^ 3. إنها مطابقة تقريبًا لـ 1/3 n ^ 3. هذه القطعة الإضافية هنا. هذا ما يحدث. ثم نطابق ذلك. نظرًا لأن هذا الشيء مشابه جدًا لـ 1/3 n ^ 3 ، فإننا نحذف n ^ 3 وحصلنا على النتيجة.

اسمحوا لي فقط أن أذكر أنه على الرغم من أن هذا قد يبدو غريبًا ، إلا أن هذا في الواقع هو ما تفعله دائمًا إذا قمت بتحليل هذه الأنواع من المجموع. أنت دائما عامل كل ما تستطيع. وبعد ذلك لا تزال تواجه مبلغًا كهذا. لذلك سيحدث هذا بشكل منهجي ، في كل مرة تواجه فيها مثل هذا المبلغ.

حسنًا ، أريد الآن أن أقول كلمة أخرى عن التدوين. وهو أن هذا الترميز مصدر إزعاج شديد هنا. وهو حقًا أكبر من أن نتعامل معه. وهكذا ، علماء الرياضيات لديهم اختصار لها. لسوء الحظ ، عندما تقوم بإجراء عملية حسابية بالفعل ، فسوف ينتهي بك الأمر بهذه المجموعة من الأشياء على أي حال. لكني أريد فقط أن أريكم هذا التلخيص من أجل ضغطه قليلاً.

فكرة تدوين الجمع هي التالية. لذلك هذا الشيء يميل - الأفكار هي كالتالي. سأوضحها بمثال أولاً. إذن ، الترميز العام هو مجموع a_i ، i = 1 إلى n ، هو a_1 زائد a_2 زائد dot dot plus a_n. إذن هذا هو الاختصار. وهذا هو عاصمة سيجما. وبالتالي ، هذه الكمية هنا ، على سبيل المثال ، هي 1 / n ^ 3 أضعاف مجموع i ^ 2 ، i = 1 إلى n. هذا ما يساوي هذا الشيء. وما أظهرناه للتو هو أن هذا يميل إلى 1/3 عندما يذهب n إلى اللانهاية. إذن هذه هي الطريقة التي يتم بها استخدام تدوين الجمع. هناك معادلة لكل من هذه المعاملات ، كل من هذه المدخلات هنا ، أو مجموعات. ثم هذا مجرد اختصار لما هو المجموع. وهذا هو السبب في أنني تمسكت بهذا 1 ^ 2 في البداية ، بحيث يمكنك أن ترى أن النمط يعمل على طول الطريق وصولاً إلى i = 1. إنه ليس استثناءً للقاعدة. إنه نفس كل الآخرين.

الآن ، هنا ، في هذا المنتدى ، لدينا أيضًا واحدة من هذه المبالغ الطويلة للغاية. ويمكن كتابة هذا بالطريقة التالية. وآمل أن تتفقوا ، هذا صعب إلى حد ما. لكن إحدى طرق كتابتها هي أن المجموع من i = 1 إلى n لـ - الآن يجب أن أكتب صيغة المصطلح العام. وهو b / n (ib / n) ^ 2. هذه طريقة لاختصار هذه الصيغة الضخمة في صيغة أقصر كثيرًا. والآن ، التلاعب الذي أجريته به ، وهو تحليل هذا (b / n) ^ 3 ، هو أمر مسموح لي تمامًا القيام به هنا أيضًا. هذا هو قانون التوزيع. هذا ، إذا قمت بإخراج b ^ 3 / n ^ 3 ، فسيتبقى لي المجموع ، i = 1 إلى n ، لـ i ^ 2 ، أليس كذلك؟ لذا فإن هذه الرموز تجعلها أكثر إحكاما. ما نتعامل معه. الظاهرة المفاهيمية لا تزال هي نفسها. وما زالت الفوضى تختبئ تحت السجادة. لكن التدوين - على الأقل يتناسب مع عدد أقل من الرموز ، على أي حال.

لذلك دعونا نستمر هنا. لقد أعطيتك عملية حسابية واحدة. والآن أريد أن أجعله يتناسب مع نمط معين. وهذا هو الشيء الذي أود حسابه. لذا ، دعونا أولاً نجرب الحالة - S سأقوم بعمل مثالين آخرين. سأقوم بعمل مثالين آخرين ، لكنهما سيكونان أسهل بكثير. وبعد ذلك ستصبح الأمور أسهل بكثير من الآن فصاعدًا. لذا ، سيكون المثال الثاني هو الدالة f (x) = x. إذا رسمت هذا ، فهذه هي الدالة هنا ، وهذا هو الخط الذي ميله 1. وهنا ب. وبالتالي فإن هذه المساحة هنا تساوي مساحة المثلث بالقاعدة ب والارتفاع ب. إذن المساحة تساوي 1/2 ب * ب ، إذن هذه هي القاعدة. وهذا هو الارتفاع. نعرف أيضًا كيفية إيجاد مساحة المثلثات. وهكذا ، فإن الصيغة هي 1/2 ب ^ 2.

والمثال الثالث - لاحظ ، بالمناسبة ، لم يكن علي القيام بهذا التلخيص المفصل للقيام بذلك ، لأننا نعرف هذه المنطقة. المثال الثالث سيكون أسهل. f (x) = 1. أهم مثال على الإطلاق. بشكل ملحوظ ، عندما تصل إلى 18.02 ، حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ، سوف تنسى هذا الحساب. بطريقة ما. ولا أعرف لماذا ، لكن هذا يحدث للجميع. إذن ، الدالة أفقية فقط ، هكذا. حق؟ إنه الثابت 1. وإذا أوقفناه عند b ، فإن المساحة التي نريدها هي فقط من 0 إلى b. ونعلم أن هذا هو الارتفاع 1 ، لذا فهذه مساحة القاعدة ، وهي ب ، مضروبًا في 1. إنها ب.

لنلقِ نظرة الآن على النمط. سننظر إلى نمط الدالة ، وهي المساحة الواقعة أسفل المنحنى ، وهي - لديها هذه الصيغة المعقدة بدلالة - إذن هذه هي المساحة الواقعة أسفل المنحنى فقط. بين 0 و ب. ولدينا x ^ 2 ، والتي تبين أنها b ^ 3 / 3. ولدينا x ، والتي تبين أنها - حسنًا ، دعني أكتبها أكثر قليلاً لمنح نفسي بعض المساحة. x ، والتي تبين أنها b ^ 2 / 2. ثم لدينا 1 ، والتي تبين أنها b. لذا فإن هذا ، كما أدعي ، موحي. إذا كان بإمكانك معرفة النمط ، فإن إحدى الطرق لجعله أكثر وضوحًا هي أن ترى أن x هو x ^ 1. و 1 هو x ^ 0. إذن هذه هي الحالة ، 0 و 1 و 2. و b هي b ^ 1 / 1. لذا ، إذا كنت تريد تخمين ما يحدث عندما تكون f (x) هي x ^ 3 ، حسنًا إذا كانت 0 ، فأنت تفعل b ^ 1 / 1 إذا كانت 1 ، فأنت تفعل b ^ 2/2 إذا كانت 2 ، فأنت تفعل b ^ 3 / 3. لذلك من المعقول تخمين أن هذا يجب أن يكون b ^ 4 / 4. وهذا تخمين معقول ، أود أن أقول.

الآن ، الشيء الغريب هو أنه في التاريخ ، اكتشف أرخميدس المنطقة الواقعة تحت القطع المكافئ. كان ذلك منذ وقت طويل. كان ذلك بعد الأهرامات. وقد استخدم ، في الواقع ، طريقة أكثر تعقيدًا مما وصفته للتو. وطريقته ، المدهشة بشكل خيالي ، كانت رائعة جدًا لدرجة أنها ربما تكون قد عطلت الرياضيات بمقدار 2000 عام. لأن الناس كانوا كذلك - كان من الصعب جدًا أن لا يرى الناس هذا النمط. ولا يمكنني رؤية ذلك ، في الواقع ، هذه الأنواع من الحسابات سهلة. لذلك لم يتمكنوا من الوصول إلى المكعب. وحتى عندما وصلوا إلى المكعب ، كانوا يكافحون مع كل شيء آخر. ولم يتمكن الناس من إحراز تقدم جاد في حساب هذه المجالات إلا بعد أن توفرت حسابات التفاضل والتكامل معًا. على الرغم من أنه كان خبيرًا في حساب المساحات والأحجام ، في وقته. لذلك هذا شيء رائع حقًا أنه يمكننا الآن الحصول على طرق سهلة للقيام بذلك. والشيء الرئيسي الذي أريد إخباركم به هو أننا لن نضطر إلى العمل لبناء الأهرامات لحساب كل هذه الكميات. سيكون لدينا طريقة أسرع للقيام بذلك. هذه هي الطريقة البطيئة والمرهقة. وسنكون قادرين على القيام بذلك بسهولة بحيث يحدث بأسرع ما يمكنك التفريق. هذا قادم غدا. لكني أريدكم أن تعرفوا أنه سيكون - ومع ذلك ، سوف نعاني من القليل من الألم قبل أن نفعل ذلك. وسأخبرك بقطعة أخرى من الرموز هنا.

لذلك أنت بحاجة إلى القليل من الممارسة فقط لتعرف مقدار المدخرات التي سنحققها. لكن لن تضطر أبدًا إلى مواجهة حجج هندسية معقدة مثل هذه. لذا اسمحوا لي أن أضيف القليل من الترميز للتكاملات المحددة. وهذا يندرج تحت مسمى مبالغ ريمان. سميت على اسم عالم رياضيات من القرن التاسع عشر. إذن هذا هو الإجراء العام للتكاملات المحددة. نقسمها إلى قطع. وكيف لنا أن نفعل ذلك؟ حسنًا ، هذا هو أ وها هو ب. وما سنفعله هو تقسيمها إلى قطع صغيرة. وسنطلق اسمًا على الزيادة. وسنسمي ذلك دلتا x.

لذلك نقسم إلى هؤلاء. إذن كم عدد القطع الموجودة؟ إذا كان هناك عدد n من القطع ، فإن الصيغة العامة دائمًا هي دلتا x تساوي 1 / n من الطول الإجمالي. لذلك يجب أن يكون (b-a) / n. سنستخدم دائمًا هذه الزيادات المتساوية ، على الرغم من أنك لست مضطرًا للقيام بذلك مطلقًا. سنقوم بمبالغ ريمان هذه. والآن هناك القليل من المرونة الذي نسمح به لأنفسنا. وهو هذا. سنختار أي ارتفاع لـ f بين - في الفترة ، في كل فترة. إذن ما يعنيه هذا هو ، اسمحوا لي أن أعرضه لكم على الصورة هنا. هل ، أنا فقط أختار أي قيمة بينهما ، سأسميها c_i ، الموجودة هناك. ثم أصعد هنا. ولدي المستوى ، وهو f (c_i). وهذا هو المستطيل الذي أختاره. في الحالة التي فعلناها ، اخترنا دائمًا اليد اليمنى ، والتي تبين أنها الأكبر. لكن كان بإمكاني اختيار مستوى ما بينهما. أو حتى الطرف الأيسر. مما يعني أن الدرج كان أقل قليلاً. لذا فإن أي من هذه السلالم ستعمل بشكل جيد. هذا يعني أنه تم اختيار f (c_i) ، وهذا ارتفاع. والآن سنجمعهم جميعًا. وهذا مجموع مساحات المستطيلات ، لأن هذا هو الارتفاع. وهذه هي القاعدة.

من المفترض أن يكون هذا التدوين ، الآن ، موحيًا جدًا بالتدوين الذي استخدمه لايبنيز. وهو أنه في النهاية ، يصبح هذا جزءًا لا يتجزأ من a إلى b لـ f (x) dx. ولاحظ أنه تم استبدال دلتا x بـ dx. إذن هذا ما يحدث في النهاية. عندما تصبح المستطيلات رقيقة. هذا كما يذهب دلتا س إلى 0. وتسمى هذه الأدوات بمبالغ ريمان. هذا يسمى مجموع ريمان. ولقد عملنا بالفعل على مثال. كان هذا الرجل المعقد للغاية مثالًا لمجموع ريمان. إذن هذا تدوين. وسنمنحك فرصة لتعتاد عليها أكثر قليلاً عندما نقوم ببعض الأعمال العددية في النهاية.

الآن ، آخر شيء لهذا اليوم هو ، لقد وعدتك بمثال لم يكن مثالًا للمنطقة. أريد أن أكون قادرًا على توضيح أنه يمكن تفسير التكاملات على أنها مجاميع تراكمية. التكاملات كمجموع تراكمية. لذلك هذا مجرد مثال. وإليك الطريقة التي تسير بها الأمور. إذن سننظر في الدالة f ، وسننظر في المتغير t ، وهو الوقت. في سنوات. وسننظر في الدالة f (t) ، وهي بالدولارات لكل سنة. صحيح ، هذا مثال مالي هنا. هذه هي الوحدة هنا ، الدولارات في السنة. وسيكون هذا هو معدل الاقتراض. الآن ، سبب رغبتي في وضع الوحدات هنا هو توضيح أن هناك سببًا جيدًا لهذا dx الغريب ، والذي نلحقه بهذه التكاملات. هذا الترميز. يسمح لنا بتغيير المتغيرات ، ويسمح لهذا أن يكون متسقًا مع الوحدات. ويتيح لنا تطوير صيغ ذات مغزى ، تكون متسقة في جميع المجالات. ولذا أود التأكيد على الوحدات في هذا عندما أعددت مشكلة النمذجة هذه هنا.

الآن ، أنت تقترض المال ، دعنا نقول ، كل يوم. هذا يعني أن دلتا t = 1/365. هذا ما يقرب من 1 / ما لا نهاية ، من وجهة نظر الأغراض المختلفة. إذن هذا هو المبلغ الذي تقترضه. في كل مرة زيادة تقترض. ولنفترض أنك تقترض - يختلف أسعارك على مدار العام. أعني ، في بعض الأحيان تحتاج إلى المزيد من المال وأحيانًا تحتاج إلى أقل. بالتأكيد أي عمل سيكون بهذه الطريقة. وها أنت ذا ، لقد حصلت على أموالك. وأنت تقترض ولكن السعر متغير. وكم استعرت؟ حسنًا ، في اليوم 45 ، والذي يتوافق مع t يساوي 45/365 ، اقترضت المبلغ التالي. هنا كان معدل الاقتراض مضروبًا في هذه الكمية. لذلك ، دولارات في السنة. وهذا هو ، إذا كنت ترغب في ذلك - أريد أن أؤكد على القياس الذي يأتي هنا. لديك دولارات في السنة. وهذا هو عدد السنوات. So that comes out to be in dollars. This final amount. This is the amount that you actually borrow. So you borrow this amount. And now, if I want to add up how much you get-- you've borrowed in the entire year. That's this sum. i = 1 to 365 of f of, well, it's (i / 365) delta t. Which I'll just leave as delta t here. This is total amount borrowed.

This is kind of a messy sum. In fact, your bank probably will keep track of it and they know how to do that. But when we're modeling things with strategies, you know, trading strategies, of course, you're really some kind of financial engineer and you want to cleverly optimize how much you borrow. And how much you spend, and how much you invest. This is going to be very, very similar to the integral from 0 to 1 of f(t) dt. At the scale of 1/35, it's probably-- 365, it's probably enough for many purposes. Now, however, there's another thing that you would want to model. Which is equally important. This is how much you borrowed, but there's also how much you owe the back at the end of the year. And the amount that you owe the bank at the end of the year, I'm going to do it in a fancy way. It's, the interest, we'll say, is compounded continuously. So the interest rate, if you start out with P as your principal, then after time t you owe-- So borrow P, after time t, you owe P e^(rt), where r is your interest rate. Say .05 per year.

That would be an example of an interest rate. And so, if you want to understand how much money you actually owe at the end of the year. At the end of the year what you owe is, well, you borrowed these amounts here. But now you owe more at the end of the year. You owe e^r times the amount of time left in the year. So the amount of time left in the year is 1 - i / 365. Or 365 - i days left. So this is 1 - i / 365. And this is what you have to add up, to see how much you owe. And that is essentially the integral from 0 to 1. The delta t comes out. And you have here e^(r(1-t)), so the t is replacing this i / 365, f(t) dt. And so when you start computing and thinking about what's the right strategy, you're faced with integrals of this type. So that's just an example. And see you next time. Remember to think about questions that you'll ask next time.


Math2.org Math Tables: Special Functions

Ei(x) = e -t /t dt (exponential integral) or it's variant, NONEQUIVALENT form:

(error function)

Psi(n,x) = n th derivative of Psi(x)

(laguerre polynomial degree n. (n) meaning n th derivative)

Dirichlet's beta function


Theorems with hyperlinks have proofs, related theorems, discussions, and/or other info.


A Brief Table of Integrals - Mathematics

There are several types of integrals which go under the name of a ``Dirichlet integral.'' The integral

where the kernel is the Dirichlet Kernel, gives the th partial sum of the Fourier Series.

Another integral is denoted

There are two types of Dirichlet integrals which are denoted using the letters , , , and . The type 1 Dirichlet integrals are denoted , , and , and the type 2 Dirichlet integrals are denoted , , and .

The type 1 integrals are given by

where is the Gamma Function. In the case ,

where the integration is over the Triangle bounded by the -axis, -axis, and line and is the Beta Function.

The type 2 integrals are given for -D vectors and , and ,

and are the cell probabilities. For equal probabilities, . The Dirichlet integral can be expanded as a Multinomial Series as

Sobel, M. Uppuluri, R. R. and Frankowski, K. Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. 4: Dirichlet Distribution--Type 1. Providence, RI: Amer. رياضيات. Soc., 1977.

Sobel, M. Uppuluri, R. R. and Frankowski, K. Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. 9: Dirichlet Integrals of Type 2 and Their Applications. Providence, RI: Amer. رياضيات. Soc., 1985.


2. Types of Integrals

The table presents a selection of integrals found in the Calculus books. It is a compilation of the most commonly used integrals. It includes:

  1. Table of Basic Forms
  2. Table of Rational Integrals
  3. Table of Integrals with Roots
  4. Table of Integrals with Logarithms
  5. Table of Exponential Integrals
  6. Table of Trigonometric Integrals
  7. Table of Products of Trigonometric and Monomial Functions
  8. Table of Products of Trigonometric and Exponential Functions
  9. Table of Integrals of Reverse Trigonometric Functions

The first member of each equation contains the function to be integrated, the second member contains the expanded integral.

The entries in the table are generally ordered according to the integrand form. As in any dictionary, this arrangement makes it easier to locate them. But the ordering also matches surprisingly well with a grouping of different methods, since a special technique of integration is naturally associated with each category. Several reduction formulas are also included.


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. And by having access to our ebooks online or by storing it on your computer, you have convenient answers with Table Of Integrals Integral Table . To get started finding Table Of Integrals Integral Table , you are right to find our website which has a comprehensive collection of manuals listed.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

Finally I get this ebook, thanks for all these Table Of Integrals Integral Table I can get now!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


OpenType Layout tags used with the MATH Table

The following OpenType Layout tags can be used by a math-layout engine to access a particular set of glyph variants. For detailed descriptions of the feature tags, see the Feature Tags section of the OpenType Layout Tag Registry..

OpenType Layout tags for math processing

This feature provides glyph variants adjusted to be more suitable for use in subscripts and superscripts.

These script style forms should not be scaled or moved in the font scaling and moving them is done by the math-layout engine. Instead, the 'ssty' feature should provide glyph forms that result in shapes that look good as superscripts and subscripts when scaled and positioned by the math engine. When designing the script forms, the font developer may assume that the scriptPercentScaleDown and scriptScriptPercentScaleDown values in the MathConstants table will be scaling factors applied to the size of the alternate glyphs by the math engine.

This feature can have a parameter indicating the script level: 1 for simple subscripts and superscripts, 2 for second level subscripts and superscripts (that is, scripts on scripts), and so on. (Currently, only the first two alternates are used).

For glyphs that are not covered by this feature, the original glyph is used in subscripts and superscripts.

This feature provides flattened forms of accents to be used over high-rise bases such as capitals.

This feature should only change the shape of the accent and should not move it in the vertical or horizontal direction. Moving of the accents is done by the math-layout engine.

Accents are flattened by the math engine if their base is higher than the flattenedAccentBaseHeight value in the MathConstants table.

This feature provides dotless forms for Math Alphanumeric characters, such as U+1D422 MATHEMATICAL BOLD SMALL I, U+1D423 MATHEMATICAL BOLD SMALL J, U+1D456 U+MATHEMATICAL ITALIC SMALL I, U+1D457 MATHEMATICAL ITALIC SMALL J, and so on.

The dotless forms are to be used as base forms for placing mathematical accents over them.


شاهد الفيديو: قواعد التكامل الاساسية - Basic Rules of Integration (شهر اكتوبر 2021).