مقالات

القسم 12.3 الإجابات - الرياضيات


1. (u (x، y) = frac {8} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n-1) pi (1 -y)} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi} sin (2n-1) pi x )

2. (u (x، y) = - frac {32} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {(1 + (- 1) ^ {n } 2) sinh n pi (3-y) / 2} {n ^ {3} sinh 3n pi / 2} sin frac {n pi x} {2} )

3. (u (x، y) = frac {8} { pi ^ {2}} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} frac { sinh (2n-1) pi (1-y / 2)} {(2n-1) ^ {2} sinh (2n-1) pi} sin frac {(2n-1) pi x} {2} )

4. (u (x، y) = frac { pi} {2} frac { sinh (1-y)} { sinh 1} sin x- frac {16} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {n sinh 2n (1-y)} {(4n ^ {2} -1) ^ {2} sinh 2n} sin 2nx )

5. (u (x، y) = 3y + frac {108} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { sinh n pi y / 3} {n ^ {3} cosh 2n pi / 3} cos frac {n pi x} {3} )

6. (u (x، y) = frac {y} {2} + frac {4} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n-1) pi y} {(2n-1) ^ {3} cosh 2 (2n-1) pi} cos (2n-1) pi x )

7. (u (x، y) = - frac {8y} {3} + frac {32} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { sinh n pi y / 2} {n ^ {3} cosh n pi} cos frac {n pi x} {2} )

8. (u (x، y) = frac {y} {3} + frac {4} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh n pi y} {n ^ {3} cosh n pi} cos n pi x )

9. (u (x، y) = frac {128} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { cosh (2n-1) pi (x -3) / 4} {(2n-1) ^ {3} cosh 3 (2n-1) pi / 4} sin frac {(2n-1) pi y} {4} )

10. (u (x، y) = - frac {96} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} left [1 + (- 1) ^ {n} frac {4} {(2n-1) pi} right] frac { cosh (2n-1) pi (x-2) / 2} {(2n-1) ^ {3} cosh ( 2n-1) pi} sin frac {(2n-1) pi y} {2} )

11. (u (x، y) = frac {768} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} left [1 + (- 1) ^ {n} frac {2} {(2n-1) pi} right] frac { cosh (2n-1) pi (x-2) / 4} {(2n-1) ^ {3} cosh (2n -1) pi / 2} sin frac {(2n-1) pi y} {4} )

12. (u (x، y) = frac {96} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} left [3 + (- 1) ^ {n} frac {4} {(2n-1) pi} right] frac { cosh 3 (2n-1) pi (x-2) / 2} {(2n-1) ^ {3} cosh ( 2n-1) pi / 2} sin frac {(2n-1) pi y} {2} )

13. (u (x، y) = - frac {16} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { cosh (2n-1) x / 2} {(2n -3) (2n + 1) (2n-1) sinh (2n-1) / 2} cos frac {(2n-1) y} {2} )

14. (u (x، y) = - frac {432} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} left [1+ frac {4 (-1) ^ {n}} {(2n-1) pi} right] frac { cosh (2n-1) pi x / 6} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi / 3} cos frac {(2n-1) pi y} {6} )

15. (u (x، y) = - frac {64} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { cosh (2n-1 ) x / 2} {(2n-1) ^ {4} sinh (2n-1) / 2} cos frac {(2n-1) y} {2} )

16. (u (x، y) = - frac {192} { pi ^ {4}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { cosh (2n-1) pi x / 2} {(2n-1) ^ {4} sinh (2n-1) pi / 2} left [(- 1) ^ {n} + frac {2} {(2n-1) pi } right] cos frac {(2n-1) pi y} {2} )

17. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh n pi y / a} { sinh n pi b / a} sin frac {n pi x} {a}، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac {n pi x} {a} dx، quad u (x، y) = frac {72} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n- 1) pi y / 3} {(2n-1) ^ {3} sinh 2 (2n-1) pi / 3} sin frac {(2n-1) pi x} {3} )

18. (u (x، y) = alpha_ {0} (1-y / b) + sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh n pi ( بواسطة) / a} { sinh n pi b / a} cos frac {n pi x} {a}، quad alpha_ {0} = frac {1} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) dx، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {n pi x} { a} dx، quad n geq 1، quad u (x، y) = frac {8 (1-y)} {15} - frac {48} { pi ^ {4}} sum_ { n = 1} ^ { infty} frac { sinh n pi (1-y)} { sinh n pi} cos n pi x )

19. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh (2n-1) pi (by) / 2a} { sinh ( 2n-1) pi b / a} cos frac {(2n-1) pi x} {2a}، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {(2n-1) pi x} {2a} dx، quad u (x، y) = frac {288} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n-1) pi (2-y) / 6} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi / 3} sin frac {(2n-1) pi x} {6} )

20. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh (2n-1) pi (by) / 2a} { sinh ( 2n-1) pi b / 2a} sin frac {(2n-1) pi x} {2a}، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac {(2n-1) pi x} {2a} dx، quad u (x، y) = frac {32} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} left [(-1) ^ {n} 5+ frac {18} {(2n-1) pi} right] frac { sinh (2n-1) pi (2-y) / 2} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi} cos frac {(2n-1) pi x} {2} )

21. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh n pi (yb) / a} { cosh n pi b / a} sin frac {n pi x} {a}، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac { n pi x} {a} dx، quad u (x، y) = - 12 sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { cosh n (y- 2)} {n ^ {3} cosh 2n} sin nx )

22. (u (x، y) = alpha_ {0} + sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh n pi y / a} { cosh n pi b / a} cos frac {n pi x} {a} ، quad alpha_ {0} = frac {1} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) dx ، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {n pi x} {a} dx، quad n geq 1، quad u (x، y) = frac { pi ^ {4}} {30} -3 sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {n ^ {4}} frac { cosh 2ny} { cos 2n} cos 2nx )

23. (u (x، y) = frac {a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh n pi (yb) / a } {n cosh n pi b / a} sin frac {n pi x} {a} ، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a } f (x) sin frac {n pi x} {a} dx، quad u (x، y) = frac {4} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} (-1) ^ {n + 1} frac { sinh (2n-1) (y-1)} {(2n-1) ^ {3} cosh (2n-1)} sin (2n-1) ) x )

24. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha _ {n} frac { cosh n pi x / b} { cosh n pi a / b } sin frac {n pi y} {b}، quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b} g (y) sin frac {n pi y} {b} dy، quad u (x، y) = frac {96} { pi ^ {5}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { cosh (2n -1) pi x} {(2n-1) ^ {5} cosh (2n-1) pi} sin (2n-1) pi y )

25. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh (2n-1) pi x / 2b} { cosh (2n- 1) pi a / 2b} cos frac {(2n-1) pi y} {2b} ، quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b } g (y) cos frac {(2n-1) pi y} {2b} dy، quad u (x، y) = - frac {128} { pi ^ {3}} sum_ { n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n} frac { cosh (2n-1) pi x / 4} {(2n-1) ^ {3} cosh (2n-1) pi / 2} cos frac {(2n-1) pi y} {4} )

26. (u (x، y) = frac {b} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh n pi x / b} { n sinh n pi a / b} sin frac {n pi y} {b} ، quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b} g (y) sin frac {n pi y} {b} dy، quad u (x، y) = frac {64} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {n + 1} frac { cosh (2n-1) pi x / 4} {(2n-1) ^ {3} sinh (2n-1) pi / 4} sin frac {(2n-1) pi y} {4} )

27. (u (x، y) = - frac {2b} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { cosh (2n-1) pi (xa) / 2b} {(2n-1) sinh (2n-1) pi a / 2b} sin frac {(2n-1) y} {2b}، quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b} g (y) sin frac {(2n-1) pi y} {2b} dy، quad u (x، y) = 192 sum_ {n = 1} ^ { infty} left [1 + (- 1) ^ {n} frac {4} {(2n-1) pi} right] frac { cosh (2n-1 ) (x-1) / 2} {(2n-1) ^ {4} sinh (2n-1) / 2} sin frac {(2n-1) y} {2} )

28. (u (x، y) = alpha_ {0} (xa) + frac {b} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} frac { sinh n pi (xa) / b} {n cosh n pi a / b} cos frac {n pi y} {b} ، quad alpha_ {0} = frac {1} {b } int_ {0} ^ {b} g (y) cos frac {n pi y} {b} dy، quad alpha_ {n} = frac {2} {b} int_ {0} ^ {b} g (y) cos frac {n pi y} {b} dy، quad u (x، y) = frac { pi (x-2)} {2} - frac { 4} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { sinh (2n-1) (x-2)} {(2n-1) ^ {3} cosh 2 (2n- 1)} cos (2n-1) ص )

29. (u (x، y) = alpha_ {0} + sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} e ^ {- n pi y / a} cos frac { n pi x} {a} ، quad alpha_ {0} = frac {1} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) dx، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {n pi x} {a} dx، quad n geq 1، quad u (x، y) = frac { pi ^ {3}} {2} - frac {48} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n-1) ^ {4} } ه ^ {- (2n-1) y} cos (2n-1) x )

30. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} e ^ {- (2n-1) pi y / 2a} cos frac {(2n -1) pi x} {2a} ، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) cos frac {(2n-1) pi x} {2a} dx، quad u (x، y) = - frac {288} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {(- 1 ) ^ {n}} {(2n-1) ^ {3}} e ^ {- (2n-1) pi y / 6} cos frac {(2n-1) pi x} {6} )

31. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} alpha_ {n} e ^ {- (2n-1) pi y / 2a} sin frac {(2n -1) pi x} {2a} ، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac {(2n-1) pi x} {2a} dx، quad u (x، y) = frac {32} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n-1) ^ {3}} e ^ {- (2n-1) y / 2} sin frac {(2n-1) x} {2} )

32. (u (x، y) = - frac {a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { alpha_ {n}} {n} e ^ {- n pi y / a} sin frac {n pi x} {a} ، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0} ^ {a} f (x) sin frac {n pi x} {a} dx، quad u (x) = 4 sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {(1 + (- 1) ^ {n} 2) } {n ^ {4}} e ^ {- ny} sin nx )

33. (u (x، y) = - frac {2a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { alpha_ {n}} {2n-1} e ^ { - (2n-1) pi y / 2a} cos frac {(2n-1) pi x} {2a} ، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ {0 } ^ {a} f (x) cos frac {(2n-1) pi x} {2a} dx، quad u (x، y) = frac {5488} { pi ^ {3}} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n-1) ^ {3}} left [1+ frac {4 (-1) ^ {n}} {(2n- 1) pi} right] e ^ {- (2n-1) pi y / 14} cos frac {(2n-1) pi x} {14} )

34. (u (x، y) = - frac {2a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac { alpha _ {n}} {2n-1} e ^ {- (2n-1) pi y / 2a} sin frac {(2n-1) pi x} {2a} ، quad alpha_ {n} = frac {2} {a} int_ { 0} ^ {a} f (x) sin frac {(2n-1) pi x} {2a} dx، quad u (x، y) = - frac {2000} { pi ^ {3 }} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {1} {(2n-1) ^ {3}} left [(- 1) ^ {n} + frac {4} {(2n -1) pi} right] e ^ {- (2n-1) pi y / 10} sin frac {(2n-1) pi x} {10} )

35. (u (x، y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {A_ {n} sinh n pi (by) / a + B_ {n} sinh n pi y / a} { sinh n pi b / a} sin frac {n pi x} {a} + sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {C_ {n} sinh n pi (ax) / b + D_ {n} sinh n pi x / b} { sinh n pi a / b} sin frac {n pi y} {b} )

36. (u (x، y) = C + frac {a} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {B_ {n} cosh n pi y / a-A_ {n} cosh n pi (yb) / a} {n sinh n pi b / a} cos frac {n pi x} {a} + frac {b} { pi} sum_ {n = 1} ^ { infty} frac {D_ {n} cosh n pi x / b-C_ {n} cosh n pi (xa) / b} {n sinh n pi a / ب} cos frac {n pi y} {b} )


12.3 معدل القوانين

كما هو موضح في الوحدة السابقة ، غالبًا ما يتأثر معدل التفاعل بتركيزات المواد المتفاعلة. قيم القوانين (تسمى أحيانًا قوانين المعدل التفاضلي) أو معادلات المعدل هي تعبيرات رياضية تصف العلاقة بين معدل التفاعل الكيميائي وتركيز المواد المتفاعلة فيه. كمثال ، ضع في اعتبارك التفاعل الموصوف بواسطة المعادلة الكيميائية

أين أ و ب هي معاملات متكافئة. تتم كتابة قانون معدل رد الفعل هذا على النحو التالي:

بحيث [أ] و [ب] تمثل التركيزات المولية للمواد المتفاعلة ، و ك هو ثابت المعدل ، وهو خاص بتفاعل معين عند درجة حرارة معينة. الأس م و ن هي أوامر رد الفعل وعادة ما تكون أعداد صحيحة موجبة ، على الرغم من أنها يمكن أن تكون كسورًا أو سالبة أو صفرًا. معدل ثابت ك وأوامر رد الفعل م و ن يجب تحديده بشكل تجريبي من خلال ملاحظة كيفية تغير معدل التفاعل مع تغير تركيزات المواد المتفاعلة. معدل ثابت ك مستقل عن تركيزات المادة المتفاعلة ، ولكنه يختلف باختلاف درجة الحرارة.

تصف أوامر التفاعل في قانون المعدل الاعتماد الرياضي للمعدل على تركيزات المادة المتفاعلة. بالإشارة إلى قانون المعدل العام أعلاه ، يكون التفاعل م النظام فيما يتعلق أ و ن النظام فيما يتعلق ب. على سبيل المثال ، إذا م = 1 و ن = 2 ، يكون رد الفعل من الدرجة الأولى في أ والمرتبة الثانية في ب. ترتيب التفاعل الكلي هو ببساطة مجموع الأوامر لكل مفاعل. بالنسبة لقانون المعدل المثال هنا ، يكون التفاعل من الدرجة الثالثة بشكل عام (1 + 2 = 3). يتم عرض بعض الأمثلة المحددة أدناه لتوضيح هذا المفهوم بشكل أكبر.

يصف تفاعلًا من الدرجة الأولى في بيروكسيد الهيدروجين والأول من الدرجة الأولى بشكل عام. قانون السعر:

يصف رد فعل من الدرجة الثانية في C4ح6 والمرتبة الثانية بشكل عام. قانون السعر:

يصف رد فعل من الدرجة الأولى في H + ، الترتيب الأول في OH - ، والرتبة الثانية بشكل عام.

مثال 12.3

كتابة قوانين معدل من أوامر رد الفعل

هي المرتبة الثانية في NO2 والترتيب الصفري في CO عند 100 درجة مئوية. ما هو قانون معدل رد الفعل؟

حل

رد الفعل من الدرجة الثانية في NO2 هكذا م = 2. وهكذا يكون التفاعل صفري الترتيب في أول أكسيد الكربون ن = 0. قانون السعر هو:

تذكر أن الرقم المرفوع إلى الأس صفر يساوي 1 ، وبالتالي [CO] 0 = 1 ، ولهذا السبب يمكن حذف مصطلح تركيز ثاني أكسيد الكربون من قانون المعدل: يعتمد معدل التفاعل فقط على تركيز NO2. سيشرح قسم الفصل التالي حول آليات التفاعل كيف أن تركيز المادة المتفاعلة لا يمكن أن يكون له أي تأثير على معدل التفاعل على الرغم من مشاركته في التفاعل.

تحقق من التعلم الخاص بك

تم تحديد معدل = ك[NO] 2 [H2]. ما هي الأوامر المتعلقة بكل مفاعل ، وما هو الترتيب العام للتفاعل؟

إجابه:

الطلب في NO = 2 ترتيب في H.2 = 1 ترتيب إجمالي = 3

تحقق من التعلم الخاص بك

يتم تحديد قانون معدل التفاعل بين الميثانول وخلات الإيثيل ، في ظل ظروف معينة ، على النحو التالي:

ما هو ترتيب التفاعل بالنسبة للميثانول وخلات الإيثيل ، وما هو الترتيب العام للتفاعل؟

إجابه:

طلب في CH3OH = طلب واحد في CH3CH2OCOCH3 = 0 الترتيب العام = 1

نهج تجريبي شائع لتحديد قوانين المعدل هو طريقة المعدلات الأولية. تتضمن هذه الطريقة قياس معدلات التفاعل لتجارب تجريبية متعددة أجريت باستخدام تركيزات مختلفة من المتفاعلات الأولية. تسمح مقارنة المعدلات المقاسة لهذه التجارب بتحديد أوامر التفاعل ، وبالتالي ، معدل ثابت ، والتي تُستخدم معًا لصياغة قانون معدل. يتم توضيح هذا النهج في المثالين التاليين من التمارين.

مثال 12.4

تحديد قانون السعر من الأسعار الأولية

تمت دراسة هذا التفاعل في المختبر ، وتم تحديد بيانات المعدل التالية عند 25 درجة مئوية.

حدد قانون المعدل وثابت المعدل للتفاعل عند 25 درجة مئوية.

حل

حدد قيم م, ن، و ك من البيانات التجريبية باستخدام العملية التالية المكونة من ثلاثة أجزاء:

أوجد قيمة م من البيانات التي تختلف فيها [NO] و [O3] ثابت. في التجارب الثلاث الأخيرة ، [لا] يختلف بينما [س3] لا تزال ثابتة. عندما تتضاعف [NO] من التجربة 3 إلى 4 ، يتضاعف المعدل ، وعندما يتضاعف [NO] ثلاث مرات من التجربة 3 إلى 5 ، يتضاعف المعدل أيضًا ثلاث مرات. وبالتالي ، فإن المعدل أيضًا يتناسب طرديًا مع [NO] ، و م في قانون المعدل يساوي 1.

أوجد قيمة ن من البيانات التي [O3] يختلف و [لا] ثابت. في التجارب الثلاثة الأولى ، تكون [NO] ثابتة و [O3] يختلف. يتغير معدل التفاعل بالتناسب المباشر مع التغيير في [O3]. عندما O3] يتضاعف من التجربة 1 إلى 2 ، ويتضاعف المعدل عندما [O3] ثلاث مرات من التجربة 1 إلى 3 ، يزداد المعدل أيضًا ثلاث مرات. وبالتالي ، فإن المعدل يتناسب طرديا مع [O3]، و ن يساوي 1 ، وبالتالي فإن قانون المعدل هو:

أوجد قيمة ك من مجموعة واحدة من التركيزات والمعدل المقابل. يتم استخدام البيانات من التجربة 1 أدناه:

تحقق من التعلم الخاص بك

حدد قانون المعدل وثابت المعدل للتفاعل من البيانات التجريبية التالية:


12.3 القانون الثاني للديناميكا الحرارية: الانتروبيا

بنهاية هذا القسم ، ستكون قادرًا على القيام بما يلي:

  • وصف الانتروبيا
  • صف القانون الثاني للديناميكا الحرارية
  • حل المسائل المتعلقة بالقانون الثاني للديناميكا الحرارية

دعم المعلم

دعم المعلم

ستساعد أهداف التعلم في هذا القسم طلابك على إتقان المعايير التالية:

  • (6) مفاهيم العلوم. يعرف الطالب أن التغييرات تحدث داخل نظام مادي ويطبق قوانين الحفاظ على الطاقة والزخم. يتوقع من الطالب أن:
    • (ز) تحليل وشرح الأمثلة اليومية التي توضح قوانين الديناميكا الحرارية ، بما في ذلك قانون حفظ الطاقة وقانون الانتروبيا

    شروط القسم الرئيسية

    غير قادر علي

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    [BL] [OL] [AL] راجع الحرارة ودرجة الحرارة المطلقة. أذكر المناقشات السابقة حول كفاءة المحرك. تقييم فهم الطلاب للكفاءة.

    تذكر من مقدمة الفصل أنه ليس من الممكن نظريًا أن تكون المحركات فعالة بنسبة 100٪. يفسر القانون الثاني للديناميكا الحرارية هذه الظاهرة ، والذي يعتمد على مفهوم يعرف بالانتروبيا. الانتروبيا هو مقياس لاضطراب النظام. يصف الانتروبيا أيضًا مقدار الطاقة ليس متاح للقيام بالعمل. كلما زاد اضطراب النظام وزاد الانتروبيا ، قلت طاقة النظام المتاحة للقيام بالعمل.

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    يصعب فهم معنى الانتروبيا ، حيث قد يبدو كمفهوم مجرد. ومع ذلك ، نرى أمثلة على الإنتروبيا في حياتنا اليومية. على سبيل المثال ، في حالة ثقب إطار السيارة ، ينتشر الهواء في جميع الاتجاهات. عندما يتم وضع الماء في طبق على منضدة ، فإنه يتبخر في النهاية ، وتنتشر الجزيئات الفردية في الهواء المحيط. عندما يتم وضع جسم ساخن في الغرفة ، فإنه ينشر الطاقة الحرارية بسرعة في جميع الاتجاهات. يمكن اعتبار الانتروبيا بمثابة مقياس لتشتت الطاقة. يقيس مقدار الطاقة المشتتة في العملية. إن تدفق أي طاقة يكون دائمًا من الأعلى إلى الأقل. ومن ثم ، فإن الانتروبيا تميل دائمًا إلى الزيادة.

    على الرغم من أنه يمكن استخدام جميع أشكال الطاقة للقيام بالعمل ، إلا أنه من غير الممكن استخدام الطاقة المتاحة بالكامل في العمل. وبالتالي ، لا يمكن تحويل كل الطاقة المنقولة بالحرارة إلى عمل ، ويُفقد جزء منها في شكل حرارة مهدرة - أي الحرارة التي لا تذهب إلى العمل. يعد عدم توفر الطاقة أمرًا مهمًا في الديناميكا الحرارية في الواقع ، فقد نشأ المجال من الجهود المبذولة لتحويل الحرارة إلى عمل ، كما تفعل المحركات.

    معادلة التغيير في الانتروبيا ، Δ S S ، هي

    أين س هي الحرارة التي تنقل الطاقة أثناء العملية ، و تي هي درجة الحرارة المطلقة التي تحدث فيها العملية.

    س إيجابي لنقل الطاقة داخل النظام بالحرارة والسالب لنقل الطاقة بعيدا عن المكان النظام بالحرارة. في النظام الدولي للوحدات ، يتم التعبير عن الانتروبيا بوحدات الجول لكل كلفن (J / K). إذا تغيرت درجة الحرارة أثناء العملية ، فعادةً ما يكون تقديرًا جيدًا (للتغيرات الصغيرة في درجة الحرارة) تي أن تكون متوسط ​​درجة الحرارة من أجل تجنب تعقيد الرياضيات (حساب التفاضل والتكامل).

    نصائح للنجاح

    درجة الحرارة المطلقة هي درجة الحرارة المقاسة بالكلفن. مقياس كلفن هو مقياس درجة حرارة مطلقة يتم قياسه من حيث عدد الدرجات فوق الصفر المطلق. لذلك فإن جميع درجات الحرارة إيجابية. استخدام درجات حرارة من مقياس غير ثابت آخر ، مثل فهرنهايت أو سلزيوس ، سيعطي إجابة خاطئة.

    القانون الثاني للديناميكا الحرارية

    هل سبق لك أن لعبت لعبة الورق 52 الصغيرة؟ إذا كان الأمر كذلك ، فقد كنت في الطرف المتلقي لنكتة عملية ، وفي أثناء ذلك ، تعلمت درسًا قيمًا حول طبيعة الكون كما هو موضح في القانون الثاني للديناميكا الحرارية. في لعبة 52 صغيرة ، يقوم المخادع بإلقاء مجموعة كاملة من أوراق اللعب على الأرض ، ويمكنك التقاطها. في عملية التقاط البطاقات ، ربما لاحظت أن حجم العمل المطلوب لإعادة البطاقات إلى حالة منظمة في المجموعة أكبر بكثير من حجم العمل المطلوب لإلقاء البطاقات وإنشاء الفوضى.

    ينص القانون الثاني للديناميكا الحرارية على ذلك إن الانتروبيا الكلية لنظام ما تزداد أو تظل ثابتة في أي عملية عفوية لا تتناقص أبدًا. أحد الآثار المهمة لهذا القانون هو أن الحرارة تنقل الطاقة تلقائيًا من الأجسام ذات درجة الحرارة الأعلى إلى المنخفضة ، ولكن لا تتحرك تلقائيًا في الاتجاه العكسي. وذلك لأن الانتروبيا تزداد لنقل الحرارة من الطاقة من الساخنة إلى الباردة (الشكل 12.9). لأن التغيير في الانتروبيا هو س/تي، هناك تغير أكبر في Δ S S في درجات حرارة منخفضة (أصغر تي). الانخفاض في الانتروبيا الساخنة (أكبر تي) وبالتالي فإن الجسم أقل من الزيادة في إنتروبيا البرد (أصغر تي) ، مما ينتج عنه زيادة إجمالية في الانتروبيا للنظام.

    هناك طريقة أخرى للتفكير في هذا الأمر وهي أنه من المستحيل لأي عملية ، كنتيجة وحيدة ، أن تقوم بنقل الحرارة للطاقة من المبرد إلى الجسم الأكثر سخونة. لا يمكن للحرارة نقل الطاقة تلقائيًا من البرودة إلى الأكثر سخونة ، لأن إنتروبيا النظام الكلي ستنخفض.

    أولاً ، لماذا زادت الإنتروبيا؟ خلط جسدي الماء له نفس تأثير نقل الحرارة للطاقة من مادة ذات درجة حرارة أعلى إلى مادة ذات درجة حرارة منخفضة. يقلل الخلط من إنتروبيا الماء الأكثر سخونة ولكنه يزيد من إنتروبيا الماء البارد بكمية أكبر ، مما ينتج عنه زيادة عامة في الانتروبيا.

    ثانيًا ، بمجرد خلط كتلتين من الماء ، لن يتبقى أي اختلاف في درجة الحرارة لدفع عملية نقل الطاقة عن طريق الحرارة وبالتالي القيام بالشغل. الطاقة لا تزال في الماء ، لكنها الآن غير متوفره للقيام بالعمل.

    ثالثًا ، الخليط أقل تنظيماً ، أو لاستخدام مصطلح آخر ، أقل تنظيماً. فبدلاً من امتلاك كتلتين عند درجات حرارة مختلفة وبتوزيعات مختلفة للسرعات الجزيئية ، أصبح لدينا الآن كتلة واحدة بتوزيع واسع للسرعات الجزيئية ، والتي ينتج عن متوسطها درجة حرارة متوسطة.

    هذه النتائج الثلاث - الإنتروبيا ، وعدم توفر الطاقة ، والاضطراب - ليست مرتبطة فقط بل هي في الواقع متكافئة بشكل أساسي. يرتبط نقل الحرارة للطاقة من الساخنة إلى الباردة بميل الطبيعة لأن تصبح الأنظمة مضطربة وأن تكون الطاقة الأقل متاحة للاستخدام كعمل.

    بناءً على هذا القانون ، ما الذي لا يمكن أن يحدث؟ الجسم البارد الذي يلامس جسمًا ساخنًا لا ينقل الطاقة تلقائيًا عن طريق الحرارة إلى الجسم الساخن ، ويصبح أكثر برودة بينما يصبح الجسم الساخن أكثر سخونة. كما أن السيارة الساخنة والثابتة لا تبرد من تلقاء نفسها وتبدأ في التحرك.

    مثال آخر هو توسيع نفث الغاز الذي يتم إدخاله في أحد أركان غرفة التفريغ. يتمدد الغاز ليملأ الغرفة ، لكنه لا يتجمع من تلقاء نفسه في الزاوية. يمكن للحركة العشوائية لجزيئات الغاز أن تعيدهم جميعًا إلى الزاوية ، لكن هذا لم يحدث أبدًا (الشكل 12.10).

    لقد أوضحنا أن الحرارة لا تنقل الطاقة تلقائيًا من جسم بارد إلى جسم أكثر سخونة. الكلمة الأساسية هنا هي بطريقة عفوية. اذا نحن اعمل على النظام هو من الممكن نقل الطاقة بالحرارة من جسم أبرد إلى جسم أكثر سخونة. سنتعلم المزيد عن هذا في القسم التالي ، الذي يغطي الثلاجات كأحد تطبيقات قوانين الديناميكا الحرارية.

    أحيانًا يسيء الناس فهم القانون الثاني للديناميكا الحرارية ، معتقدين أنه بناءً على هذا القانون ، من المستحيل أن تنخفض الإنتروبيا في أي مكان معين. لكن في الواقع هو ممكن لانتروبيا جزء واحد الكون يتناقص طالما أن التغيير الكلي في إنتروبيا الكون يزداد. في صيغة المعادلة ، يمكننا كتابة هذا بالصيغة

    Δ S tot = Δ S syst + S بيئة & gt 0. Δ S tot = Δ S syst + S بيئة & gt 0.

    كيف يمكن أن تنخفض إنتروبيا النظام؟ نقل الطاقة ضروري. إذا التقطت الكرات المتناثرة حول الغرفة ووضعتها في فنجان ، فإن عملك قد قلل من إنتروبيا هذا النظام. إذا قمت بجمع خام الحديد من الأرض وقمت بتحويله إلى صلب وقمت ببناء جسر ، فإن عملك قد قلل من إنتروبيا هذا النظام. يمكن للطاقة القادمة من الشمس أن تقلل من إنتروبيا الأنظمة المحلية على الأرض - أي ، Δ S syst Δ S syst سالبة. لكن الانتروبيا الكلية لبقية الكون تزداد بمقدار أكبر - أي ، محيط S البيئة موجبة وأكبر في الحجم. في حالة خام الحديد ، على الرغم من أنك جعلت نظام الجسر والصلب أكثر تنظيمًا ، إلا أنك فعلت ذلك على حساب الكون. إجمالاً ، تزداد إنتروبيا الكون بسبب الاضطراب الناتج عن حفر المعدن وتحويله إلى صلب. لذلك،

    والقانون الثاني للديناميكا الحرارية هو ليس انتهكت.

    في كل مرة يخزن فيها النبات بعض الطاقة الشمسية في شكل طاقة كيميائية محتملة ، أو يرفع الهواء الدافئ طائرًا محلقًا ، تتعرض الأرض لانخفاضات محلية في الانتروبيا حيث تستخدم جزءًا من نقل الطاقة من الشمس إلى الفضاء السحيق للقيام بعمل . هناك زيادة إجمالية كبيرة في الانتروبيا الناتجة عن هذا النقل الهائل للطاقة. يتم تخزين جزء صغير من نقل الطاقة هذا عن طريق الحرارة في أنظمة منظمة على الأرض ، مما يؤدي إلى انخفاضات محلية أصغر بكثير في الانتروبيا.

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    [AL] اسأل الطلاب عما سيحدث إذا لم يكن القانون الثاني للديناميكا الحرارية صحيحًا. ماذا لو كان اتجاه تدفق الطاقة غير متوقع؟ هل ستكون الحياة على الأرض قادرة على العمل؟

    حل المشكلات التي تنطوي على القانون الثاني للديناميكا الحرارية

    لا يرتبط الانتروبيا بعدم توفر الطاقة للقيام بالعمل فحسب ، بل هو أيضًا مقياس للاضطراب. على سبيل المثال ، في حالة ذوبان كتلة الجليد ، يتغير نظام عالي التنظيم ومنظم لجزيئات الماء إلى سائل غير منظم ، حيث لا يكون للجزيئات مواقع ثابتة (الشكل 12.11). هناك زيادة كبيرة في الانتروبيا لهذه العملية ، كما سنرى في المثال العملي التالي.

    مثال عملي

    الانتروبيا المرتبط بالاضطراب

    أوجد الزيادة في الانتروبيا بمقدار 1.00 كجم من الجليد الذي يكون في الأصل عند 0 درجة مئوية 0 درجة مئوية ويذوب ليشكل الماء عند 0 درجة مئوية 0 درجة مئوية.

    إستراتيجية

    يمكن حساب التغيير في الانتروبيا من تعريف Δ S Δ S بمجرد أن نجد الطاقة ، ساللازمة لإذابة الجليد.

    يتم تعريف التغيير في الانتروبيا على أنه

    هنا، س هي الحرارة اللازمة لإذابة 1.00 كجم من الجليد وتعطي بواسطة

    لأن س هي كمية الطاقة الحرارية التي تضيفها إلى الجليد ، وقيمتها موجبة ، و تي هي درجة حرارة انصهار الجليد ، T = 273 K T = 273 K لذا فإن التغير في الانتروبيا هو

    التغيير في الانتروبيا إيجابي ، لأن الحرارة تنقل الطاقة داخل الجليد يسبب تغير المرحلة. هذه زيادة كبيرة في الإنتروبيا ، لأنها تحدث عند درجة حرارة منخفضة نسبيًا. يترافق مع زيادة في اضطراب جزيئات الماء.

    مشاكل الممارسة

    1. 1.84 مرات 10 ^ <3> ، نص
    2. 3.67 مرات 10 ^ <3> ، نص
    3. 1.84 مرات 10 ^ <8> ، نص
    4. 3.67 مرات 10 ^ <8> ، نص

    تأكد من فهمك

    دعم المعلم

    دعم المعلم

    استخدم هذه الأسئلة لتقييم إنجاز الطالب لأهداف القسم التعليمية. إذا كان الطلاب يكافحون من أجل هدف معين ، فستساعد هذه الأسئلة في تحديد الطلاب وتوجيههم إلى المحتوى ذي الصلة.

    1. الانتروبيا هو مقياس للطاقة الكامنة للنظام.
    2. الانتروبيا هو مقياس للعمل الصافي الذي يقوم به النظام.
    3. الانتروبيا هو مقياس لاضطراب النظام.
    4. الانتروبيا هو مقياس لانتقال الحرارة للطاقة إلى نظام.

    ما هي أشكال الطاقة التي يمكن استخدامها لأداء العمل؟

    1. فقط العمل قادر على القيام بالعمل.
    2. فقط الحرارة قادرة على القيام بالعمل.
    3. فقط الطاقة الداخلية قادرة على القيام بالعمل.
    4. الحرارة والعمل والطاقة الداخلية كلها قادرة على القيام بالعمل.
    1. تؤدي جميع العمليات العفوية إلى انخفاض الانتروبيا الكلية للنظام.
    2. تؤدي جميع العمليات العفوية إلى زيادة الانتروبيا الكلية للنظام.
    3. تؤدي جميع العمليات العفوية إلى انخفاض أو ثبات إجمالي إنتروبيا النظام.
    4. تؤدي جميع العمليات العفوية إلى زيادة أو ثبات الإنتروبيا الكلية للنظام.

    لنقل الطاقة من درجة حرارة عالية إلى منخفضة ، ما الذي يحدث عادةً للإنتروبيا في النظام بأكمله؟

    1. ينخفض.
    2. يجب أن تظل ثابتة.
    3. لا يمكن توقع إنتروبيا النظام بدون قيم محددة لدرجات الحرارة.
    4. انه يزيد.

    بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

    هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب Texas Education Agency (TEA). المادة الأصلية متاحة على: https://www.texasgateway.org/book/tea-physics. تم إجراء تغييرات على المواد الأصلية ، بما في ذلك التحديثات على الفن والبنية وتحديثات المحتوى الأخرى.

      إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

    • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
      • المؤلفون: Paul Peter Urone، Roger Hinrichs
      • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
      • عنوان الكتاب: الفيزياء
      • تاريخ النشر: 26 مارس 2020
      • المكان: هيوستن ، تكساس
      • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/physics/pages/1-introduction
      • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/physics/pages/12-3-second-law-of-thermodynamics-entropy

      © 29 يناير 2021 وكالة تكساس التعليمية (TEA). لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


      ورقة عمل Gemdas - الحل

      قيم التعبير التالي

      & # xa0 = & # xa0 & # xa0 5 & ​​# xa0 5 & # xa0 - & # xa016 & # xa0 (إجراء الضرب ، 5 (5) & # xa0 = 25)

      & # xa0 = & # xa0 & # xa0 25 - & # xa0 16 (نفذ عملية الطرح)

      قيم التعبير التالي

      = & # xa0 2 [5 & # xa0 + & # xa0(30 & # xa0 6) ²] (تقييم الجزء الداخلي من معظم الأقواس)

      = & # xa0 2 [5 & # xa0 + & # xa05²] (تقييم القوة)

      قيم التعبير التالي

      = & # xa0 & # xa0 (6 + 4 ²) / (3 ² & # xa0 ⋅ 4) (تقييم القوى)

      قيم التعبير التالي

      قيم التعبير التالي

      تقييم العلامات في القوس الداخلي ،

      من اليسار إلى اليمين ، لدينا عملية الضرب أولاً. لذا علينا أن نضرب 4 في 17 ثم نقسمه على 2.

      بقسمة كل من البسط والمقام على 2 ، نحصل على

      بعد الاطلاع على الأشياء المذكورة أعلاه ، نأمل أن يكون الطلاب قد فهموا "ورقة عمل Gemdas مع الإجابات". & # xa0

      بصرف النظر عن الأشياء المذكورة أعلاه ، إذا كنت تريد معرفة المزيد عن "ورقة عمل Gemdas مع الإجابات" ، فالرجاء النقر هنا

      بصرف النظر عن الأشياء الواردة في هذا القسم ، إذا كنت بحاجة إلى أي أشياء أخرى في الرياضيات ، فيرجى استخدام بحث google المخصص هنا.

      إذا كان لديك أي ملاحظات حول محتوى الرياضيات لدينا ، يرجى مراسلتنا عبر البريد الإلكتروني: & # xa0

      نحن دائما نقدر ملاحظاتك. & # xa0

      يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


      أوريغون يدفع فكرة أن الرياضيات عنصرية ، ويشجع المعلمين على تفكيك التفوق الأبيض

      أرسل القسم الأسبوع الماضي كتيبًا عبر الإنترنت لدورة تدريبية بعنوان & # 8220A Pathway to Equered Math Education "، والتي تتضمن قسمًا عن" تفكيك العنصرية في تعليم الرياضيات ". يشتمل الكتيب على مواد تشكل أساسًا دورة لنشر الوضح داخل الفصول الدراسية.

      تُصنّف الدورة التدريبية التي يروّج لها ODE نفسها على أنها "نهج متكامل للرياضيات يركز على الطلاب السود واللاتينكس ومتعدد اللغات في الصفوف من السادس إلى الثامن ، ويتصدى للحواجز التي تحول دون المساواة في الرياضيات ، ويوازن التدريس مع معايير الأولوية على مستوى الصف." تتحدى الدورة حقيقة أن بعض الإجابات خاطئة ببساطة بينما تتحدى المبادئ التأسيسية لأمريكا على نطاق واسع.

      وفقًا لمنهج الدورة ، هناك خمسة & # 8220 خطوات & # 8221 يمكن أن تساعد المعلمين على إبعاد & # 8220 العنصرية & # 8221 من الرياضيات في فصولهم الدراسية. في قسم تفكيك العنصرية ، تطلب الدورة من المدرسين فحص "أفعالهم ومعتقداتهم وقيمهم حول تدريس الرياضيات" بهدف واضح هو التشهير بهم في عمل دروس حول سياسات الهوية.

      "ثقافة التفوق الأبيض تتغلغل في فصول الرياضيات في تصرفات المعلم اليومية. إلى جانب المعتقدات التي تكمن وراء هذه الإجراءات ، فإنها تديم الضرر التعليمي لطلاب [الأقليات] ، وتحرمهم من الوصول الكامل إلى عالم الرياضيات "، كما ينص القسم.

      يحدد قسم الدورة التدريبية أيضًا "الطرق التي يظهر بها تفوق البيض في فصول الرياضيات".

      وفقًا لمواد التدريس ، فإن التركيز الشديد على مطالبة الطلاب بالحصول على الإجابة "الصحيحة" عند حل مسائل الرياضيات مرتبط بتفوق البيض ، كما هو الحال مع العمل بشكل مستقل. تفضل الدورة عمل الرياضيات الجماعي للطلاب.

      "غالبًا ما يتم التركيز على تعلم الرياضيات في" العالم الحقيقي "، كما لو أن فصولنا الدراسية ليست جزءًا من العالم الحقيقي. هذا يعزز مفاهيم إما / أو التفكير لأنه يُنظر إلى الرياضيات على أنها مفيدة فقط عندما تكون في سياق معين "، كما ينص قسم تفكيك العنصرية. "ومع ذلك ، يمكن أن يؤدي هذا إلى استخدام الرياضيات لدعم الأساليب الرأسمالية والإمبريالية في الوجود وفهم العالم."

      وتستهدف الدورة التدريبية "الرأسمالية" و "الإمبريالية" ، بينما تقترح استخدام دروس الرياضيات للمساعدة في تطوير أحياء الأطفال المحرومين.

      وتدعو المواد أيضًا المعلمين إلى أن يسألوا أنفسهم كيف "يمكن أن تساعد الرياضيات في حل المشكلات التي تؤثر على مجتمعات الطلاب" ، والتعرف على "الطرق التي تشارك بها المجتمعات الملونة في الرياضيات وحل المشكلات في حياتهم اليومية".

      علاوة على ذلك ، ستطلب الدورة من المعلمين تحديد و "تحدي الطرق التي تُستخدم بها الرياضيات لدعم الآراء الرأسمالية والإمبريالية والعنصرية".

      & # 8220 إن مفهوم الرياضيات كونها موضوعية بحتة هو مفهوم خاطئ بشكل لا لبس فيه ، وتعليمها أقل من ذلك بكثير ، & # 8221 ينص المقرر. & # 8220 التمسك بفكرة أن هناك دائمًا إجابات صحيحة وخاطئة تديم الموضوعية وكذلك الخوف من الصراع المفتوح ".

      The course appears to be voluntary for teachers who wish to learn better ways to promote Marxist ideals. But it’s critical race theory on steroids² – 1,776 + 1,619.

      For example, the Marxist materials state, ”We cannot dismantle racism in a system that exploits people for private profit … If we want to dismantle racism, then we must build a movement for economic justice.”

      This is the state, or at least the future, of the country’s education system. Teachers in cities across the country are currently holding districts hostage by using the coronavirus pandemic to keep schools closed. Once many of those teachers finally get around to doing their jobs, some kids will likely be further underserved by lessons that are not relevant to promoting critical thinking — at least in the Beaver State.

      The course, more or less, seems to be an attack on the fundamentals of the country while using objective number-crunching as a pretext. It also infers that minorities do not have the ability to solve problems — which itself seems kind of racist.

      In Oregon, the idea that there are wrong answers to math problems is being challenged, as is the notion that minority kids are capable of competing in STEM activities without assistance.

      Apparently every lesson will be one where slackers all sit around the smart kid waiting for that person to come up with the correct answer. Weren’t those rare group opportunities fun?

      It isn’t clear, beyond the Marxist-rhetoric-serving adults, how students are supposed to actually benefit from the absurd social experiment that the course is.

      If you’re wondering where something so brazenly anti-American originated from, the lesson thanks the Bill and Melinda Gates Foundation for its “generous financial support.”


      Detailed Answer Key

      Find the simple interest on $6,900 at 16 ⅔% per year ਏor 2 years.

      Formula for simple interest is

      Plug these values in the above formula

      Hence, the interest earned is $240.

      If a sum of money is doubled in 10 years in simple interest, in how many years will it be tripled ? 

      Let P be the sum of money. 

      Given :  P is doubled in 10 years

      Now we can calculate interest for ten years as given below 

      From the above calculation, P is the interest for the first 10 years. 

      In simple interest, interest earned will be same for every year.

      Interest earned in the next 10 years will also be P. 

      It has been explained below.

      Hence, the sum of money will be tripled in 20 years. 

      If a sum of money amounts to $ 6200 in 2 years and $ 7400 in 3 years under simple interest, then find the principal.

      From the given given information we have the following points.

      At the end of 2 years, we get $6200

      At the end of 3 years, we get $7400

      From the above two points,  we can get the interest earned in the 3rd year. 

      It has been explained below. 

      In simple interest, interest will be same for every year.

      So, we can calculate the principal as given below.

      Hence, the principal is $3800.

      If a sum of money produces $3900 as interest in 3 years and 3 months at 16% per year simple interest, find the principal.  

      Formula for simple interest is

      The value of "t" must always be in "years". But in the question, it is given in both years and months. 

      To convert months into years, we have to divide the given months by 12.

      Multiply both sides by 25/13.

      Hence, the required principal is $7500. 

      Arthur invests his inheritance of $24,000 in two different accounts which pay 6% and 5% annual interest. After one year, he received $1330 in interest. How much did he invest in each account ?  

      Let "x" be the amount invested in 6% account. 

      Then, the amount invested in 5% account is

      Given :  Total interest earned on both the accounts is $1340.

      Interest in 6% account + Interest in 5% account  =  1330

      Subtract 1200 from both sides

      Hence, the amount invested in 6% account is $13,000 and in 5% account is $11,000.

      Mr. Garret invested twice as much money at 6% as he did at 7%. After one year, his earnings at 6% were $95 more than his earnings at 7%. Find the amount invested at each rate.   

      Let "x" be the amount invested at 7% rate. 

      Then, the amount invested in 6% rate is

      Interest earned after 1 year at 7% rate is 

      Interest earned after 1 year at 6% rate is 

      Given : Earnings at 6% were $95 more than his earnings at 7%. 

      That is, earnings in (2) were $95 moire than the earnings in (1). 

      Hence, the amount invested at 7% rate $1900 and at 6% rate is $3800. 

      Apart from the stuff given in this section , if  you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

      If you have any feedback about our math content, please mail us : 

      We always appreciate your feedback. 

      يمكنك أيضًا زيارة صفحات الويب التالية حول مواد مختلفة في الرياضيات. & # xa0


      Section 12.3 Answers - Mathematics

      Inscribed angles

      Before we begin, let’s state a few important theorems.

      THEOREM: If two angles inscribed in a circle intercept the same arc, then they are equal to each other.

      THEOREM: If an angle inside a circle intercepts a diameter, then the angle has a measure of (90^circ ).

      Now let’s use these theorems to find the values of some angles!

      مثال: Find the measure of the angle indicated.

      SOLUTION: First we see that (measuredangle DNC) and (measuredangle DEC) both intercept the same arc. So, by our first theorem, we know that (measuredangle DNC = measuredangle DEC). And since (measuredangle DNC = 37^circ ), we conclude that (measuredangle DEC = 37^circ ).

      Next, since (measuredangle EDC) intercepts a diameter of the circle, we can conclude, by our second theorem, that (measuredangle EDC = 90^circ ).

      So two of the angles in triangle (EDC) are (90^circ ) and (37^circ ). Then, by using the fact that the tree angles of a triangle must sum to (180^circ ), we know that the measure of the desired angle is (53^circ ).

      مثال: Find the measure of the indicated angle.

      SOLUTION: Since (measuredangle NBM) and (measuredangle NLM) intercept the same arc, they are equal, so that (measuredangle NLM = 52^circ ). Next, since (measuredangle NML) intersects a diameter of the circle, we know that (measuredangle NML = 90^circ ). Then since two of the angles of triangle (LMN) are (90^circ ) and (52^circ ), we know that the desired angle must be (38^circ ), by the fact that the three angles of a triangle must sum to (180^circ ). Solution: The desired angle is (38^circ ).

      يمكنك أدناه تحميل some مجانا أوراق عمل وممارسة الرياضيات.


      This question requires you to write out all the steps, even though the math itself isn't too complicated.

      You're trying to figure out the price per pound of beef (b) when it was equal to the price per pound of chicken (c). In other words, when b = c, or 2.35 + 0.25x = 1.75 + 0.40x. So you need to find the value of x in order to plug it back into the "b" equation, writes Dora Seigel of PrepScholar.

      Subtract 1.75 from each side:

      2.35(−1.75) + 0.25x = 1.75(−1.75) + 0.40x

      That leaves you with 0.6 + 0.25x = 0.40x. So subtract 0.25x from each side:

      The last step is to reduce the equation:

      Now that you know the value of x, you can put it into the equation for the price of beef:

      The correct answer is "D," $3.35.


      General Knowledge

      The Mathematics Subtest consists of approximately 40 multiple-choice questions and is 100 minutes long.

      Each of the questions will contain four response options. You will choose the best response out of the available options, and indicate أ, ب, ج، أو د. For the Mathematics Subtest, an on-screen 4-function calculator and a mathematics reference sheet will be provided.

      The table below presents types of questions on the exam and directs you to examples of these formats among the sample items that follow.

      Table of Question Formats

      Type of Question Sample Question
      Scenario
      Examine a situation, problem, or case study. Then answer a question, make a diagnosis, or recommend a course of action by selecting the best response option.
      السؤال 2
      Word Problem
      Apply mathematical principles to solve a real-world problem.
      السؤال 7
      Direct Question
      Choose the response option that best answers the question.
      Question 18
      Command
      Select the best response option.
      Question 19
      Graphics
      Choose the option that best answers a question involving a number line, a geometric figure, graphs of lines or curves, a table, or a chart.
      Question 34

      Sample Questions

      The following questions represent both the form and content of questions on the examination. These questions will acquaint you with the general format of the examination however, these sample questions do not cover all of the competencies and skills that are tested and will only approximate the degree of examination difficulty.


      Geometry: Answer Key

      This provides the answers and solutions for the Put Me in, Coach! exercise boxes, organized by sections.

      Taking the Burden out of Proofs

      1. نعم
      2. Theorem 8.3: If two angles are complementary to the same angle, then these two angles are congruent.

      ?A and ?B are complementary, and ?C and ?B are complementary.

      Given: ?A and ?B are complementary, and ?C and ?B are complementary.

      Proving Segment and Angle Relationships

      Given: E is between D and F

      StatementsReasons
      1.E is between D and Fمعطى
      2.D, E, and F are collinear points, and E is on DFDefinition of between
      3.DE + EF = DFSegment Addition Postulate
      4.DE = DF ? EFSubtraction property of equality

      2. If ?BD divides ?ABC into two angles, ?ABD and ?DBC, then m?ABC = m?ABC - m?DBC.

      ?BD divides ?ABC into two angles, ?ABD and ?DBC.

      Given: ?BD divides ?ABC into two angles, ?ABD and ?DBC

      StatementsReasons
      1.?BD divides ?ABC into two angles, ?ABD and ?DBCمعطى
      2.m?ABD + m?DBC = m?ABCAngle Addition Postulate
      3.m?ABD = m?ABC - m?DBCSubtraction property of equality

      3. The angle bisector of an angle is unique.

      ?ABC with two angle bisectors: ?BD and ?BE.

      Given: ?ABC with two angle bisectors: ?BD and ?BE.

      4. The supplement of a right angle is a right angle.

      ?A and ?B are supplementary angles, and ?A is a right angle.

      Given: ?A and ?B are supplementary angles, and ?A is a right angle.

      StatementsReasons
      1.?A and ?B are supplementary angles, and ?A is a right angleمعطى
      2.m?A + m?B = 180Definition of supplementary angles
      3.m?A = 90Definition of right angle
      4.90 + m?B = 180Substitution (steps 2 and 3)
      5.m?B = 90الجبر
      6.?B is a right angleDefinition of right angle

      Proving Relationships Between Lines

      1. m?6 = 105 , m?8 = 75
      2. Theorem 10.3: If two parallel lines are cut by a transversal, then the alternate exterior angles are congruent.

      l ? ؟ m cut by a transversal t.

      Given: l ? ؟ m cut by a transversal t.

      3. Theorem 10.5: If two parallel lines are cut by a transversal, then the exterior angles on the same side of the transversal are supplementary angles.

      l ? ؟ m cut by a transversal t.

      Given: l ? ؟ m cut by a transversal t.

      Prove: ?1 and ?3 are supplementary.

      Interested in 3D Printing?

      We?ve researched the top things you should consider when purchasing a 3Dprinter, and have chosen the best printers of 2020 based on your needs.

      4. Theorem 10.9: If two lines are cut by a transversal so that the alternate exterior angles are congruent, then these lines are parallel.

      Lines l and m are cut by a transversal t.

      Given: Lines l and m are cut by a transversal t, with ?1

      5. Theorem 10.11: If two lines are cut by a transversal so that the exterior angles on the same side of the transversal are supplementary, then these lines are parallel.

      Lines l and m are cut by a t transversal t.

      Given: Lines l and m are cut by a transversal t, ?1 and ?3 are supplementary angles.

      Two's Company. Three's a Triangle

      Given: ?ABC is a right triangle, and ?B is a right angle.

      Prove: ?A and ?C are complementary angles.

      StatementReasons
      1.?ABC is a right triangle, and ?B is a right angleمعطى
      2.m?B = 90Definition of right angle
      3.m?A + m?B + m?C = 180نظرية 11.1
      4.m?A + 90 + m?C = 180Substitution (steps 2 and 3)
      5.m?A + m?C = 90الجبر
      6.?A and ?C are complementary anglesDefinition of complementary angles

      3. Theorem 11.3: The measure of an exterior angle of a triangle equals the sum of the measures of the two nonadjacent interior angles.

      ?ABC with exterior angle ?BCD.

      StatementReasons
      1.?ABC with exterior angle ?BCDمعطى
      2.?DCA is a straight angle, and m?DCA = 180Definition of straight angle
      3.m?BCA + m?BCD = m?DCAAngle Addition Postulate
      4.m?BCA + m?BCD = 180Substitution (steps 2 and 3)
      5.m?BAC + m?ABC + m?BCA = 180نظرية 11.1
      6.m?BAC + m?ABC + m?BCA = m?BCA + m?BCDSubstitution (steps 4 and 5)
      7.m?BAC + m?ABC = m?BCDSubtraction property of equality

      6. No, a triangle with these side lengths would violate the triangle inequality.

      Congruent Triangles

      Symmetric property: If ?ABC

      Transitive property: If ?ABC

      = ?DCB as shown in Figure 12.5, then ?ACB

      = ?DCB, as shown in Figure 12.8, then ?ACB

      = ?CDB, as shown in Figure 12.10, then ?ACB

      = CD, as shown in Figure 12.12, then ?ACB

      = ?R and M is the midpoint of PR, as shown in Figure 12.17, then ?N

      Smiliar Triangles

      Opening Doors with Similar Triangles

      1. If a line is parallel to one side of a triangle and passes through the midpoint of a second side, then it will pass through the midpoint of the third side.

      DE ? ؟ AC and D is the midpoint of AB.

      Given: DE ? ؟ AC and D is the midpoint of AB.

      Prove: E is the midpoint of BC.

      2. AC = 4?3 , AB = 8? , RS = 16, RT = 8?3

      Putting Quadrilaterals in the Forefront

      Trapezoid ABCD with its XB CY four altitudes shown.

      3. Theorem 15.5: In a kite, one pair of opposite angles is congruent.

      4. Theorem 15.6: The diagonals of a kite are perpendicular, and the diagonal opposite the congruent angles bisects the other diagonal.


      شاهد الفيديو: 5 الغاز للاذكياء فقط, الاغبياء لن يستطيعوا حل اى منها (شهر اكتوبر 2021).