مقالات

9: سلسلة حلول ODE (طريقة Frobenius ') - الرياضيات


  • 9.1: طريقة فروبينيوس
    طريقة Frobenius هي طريقة لتحديد حل متسلسل لا نهائي لمعادلة تفاضلية عادية من الدرجة الثانية.
  • 9.2: النقاط الفردية
    عادةً ما تحدد طريقة Frobenius حلين مستقلين بشرط ألا تكون جذور المعادلة غير مفصولة بعدد صحيح.
  • 9.3: حالات خاصة
    بالنسبة للحالتين الخاصتين ، سأقدم الحل فقط. يتطلب قدرا كبيرا من الجبر لدراسة هاتين الحالتين.

حل معادلات ODE: طريقة Frobenius ، أمثلة عملية

أجد طريقة Frobenius جميلة جدًا ، وأود أن أكون قادرًا على تطبيقها. على وجه الخصوص ، هناك ثلاثة أسئلة في كتابي المدرسي حاولت. في كل سؤال أوقفني فهمي المحدود. واحد فقط من هذه الأسئلة (الأخير) تم تعيينه في الواجب المنزلي. الباقي أمثلة وجدتها مثيرة للاهتمام *.

1) $ L [y] = xy '' + 2xy '+ 6e ^ xy = 0 $ (1)

تبدأ مقالة ويكيبيديا بالقول إن طريقة Frobenius هي طريقة لإيجاد حلول لـ ODEs للنموذج

لوضع (1) في هذه الصورة ، يمكنني الضرب في x ، مما يعطيني

لكن هل هذا جيد؟ يبدو أن الخطوة الأولى في الطريقة هي القسمة على $ x ^ 2 $ ، لذا ألا يمكنني ترك المعادلة في شكلها الأصلي؟ سأفترض أنني أستطيع.

الآن ندع $ y_1 = sum _^ < infty> a_n x ^ $

استبدال في (2) نحصل ،

لكن ماذا الآن؟ أدرك أن 6 دولارات أمريكية ^ س = 6 دولارات أمريكية.^ < infty> x ^ n / n! $ ، لكن قوتي تتوقف عند هذا الحد. هل يمكنني ضرب السلسلتين معًا؟ يجب أن أضرب كل حد في سلسلة في كل حد في الآخر ، ولا أعرف كيف أتعامل مع ذلك. لا يقدم النص أي أمثلة عملية لا يكون فيها P (x) أو Q (x) متعدد الحدود. حتى الآن يتوقف عملي هنا.

مرة أخرى ، سأترك السؤال في شكله الأصلي ، بدلاً من محاولة الحصول على x ^ 2 في المقدمة (أدرك أنني لا أتحقق من أن النقطة المفردة هي نقطة فردية عادية ، لكنني أتحقق من الإجابة في الجزء الخلفي من الكتاب ، x = 1 و x = 0 هي بالفعل نقاط منتظمة). من خلال نقطتين فرديتين عاديتين ، أتوقع أن أحصل على مجموعتين من الإجابات: واحدة بالقرب من x = 1 والأخرى بالقرب من x = 0. هل يكفي المضي قدمًا في حالة واحدة ثم الحالة التالية؟ سأفترض ذلك ، وأبدأ بالحالة القريبة من x = 0.

مرة أخرى ، السماح لـ $ y_1 = sum _^ < infty> a_n x ^ $ ، وأخذ المشتقات المناسبة ، نجدها بالتعويض ،

نقوم بتحويل فهارس المجاميع أعلاه ، بحيث يكون كل شيء من حيث القوة نفسها لـ x.

نقوم بمزامنة الفهارس من أجل تجميع المصطلحات المتشابهة ، عن طريق استخراج المصطلحات المبكرة من كل سلسلة ،

في هذه المرحلة ، أتوقع ظهور المعادلة الأساسية ، وأتوقع أن تكون مشابهة لمعادلة أويلر. هذا يعني أنني أتوقع كثير الحدود الذي يمكنني حله للحصول على اثنين من "الأس عند التفرد". لسوء الحظ ، لا يمكنني رؤية معادلة غير رسمية وأنا في حيرة من أمري لمعرفة السبب على وجه التحديد.

أخيرًا نأتي إلى السؤال المخصص ، والذي تمكنت من معالجته في شكل نهائي تقريبًا.

مرة أخرى ، السماح لـ $ y_1 = sum _^ < infty> a_n x ^ $ ، بأخذ المشتقات واستبدالها بـ L ، نحصل على

واستخراج $ 0 ^ مصطلح $ للمبلغ الأول ،

وفويلا! لدينا مصطلح رسمي مع الحلول $ r_1 = 1 $ و $ r_2 = 0 $ ، وعلاقة تكرار. من نصي أتوقع ذلك

ومنذ $ r_1 - r_2 in mathbb $,

لإيجاد $ a_n $ نلاحظ علاقة التكرار بـ $ r = r_1 = 1 $ ،

$ a_2 = -a_1 / 2 * 3 = a_0 / 3 * 2 * 1 * 2 * 1 = a_0 / 3! 2! $

وبشكل عام ، $ a_n = (-1) ^ na_0 / n! (n + 1)! $

لذلك لدينا $ y_1 = | x | + مجموع _^ < infty> (- 1) ^ na_0x ^/ ن! (ن + 1)! $

ليس من السهل القيام بذلك مع r = r_2 = 0 ، أخشى.

منذ أن أصبحت العلاقة $ a_n = -a_/ n (n-1) $ ، مما يعني أنه لا يمكننا الحصول على a_1 خوفًا من القسمة على الصفر. أبدًا ، بدءًا من n = 2 نحصل ،

$ a_3 = -a_2 / 2 * 3 = a_1 / 3 * 2 * 1 * 2 * 1 = a_1 / 3! 2! $

وبشكل عام ، $ a_n = (-1) ^a_1 / ن! (س -1)! $

لذلك لدينا $ y_2 = ay_1ln | x | + 1 + مجموع _^ < infty> (- 1) ^a_1x ^/ ن! (ن -1)! $

الذي أشعر أنه قد لا يكون صحيحًا. وحتى إذا كان الأمر كذلك ، فكيف يجب على رجل واحد أن يحل مشكلة في حياة واحدة؟

شكرا للجميع للنظر في هذا. أريد أن أؤكد أنني لست مجرد طالب يبحث عن مساعدة في واجباته المدرسية: أود حقًا أن أفهم هذه الطريقة لأنها تروق لي. تعجبني بشكل خاص الطريقة التي نستخلص بها التعبير غير الرسمي من المبالغ ، من أجل مزامنتها. هذا رائع جدا. وكيف تحصل على علاقة تكرار واحدة يمكنك استخدامها لكلا الحلين: أنيق.


سلسلة الحلول في MATLAB 2020a والإصدارات الأحدث

اعتبارًا من MATLAB 2020a ، فإن القدرة على طلب حلول متسلسلة للمعادلات التفاضلية باستخدام dsolve موجود الآن ، لكن بناء الجملة يختلف قليلاً عما توقعناه عند إصدار 2019 من المعادلات التفاضلية مع MATLAB كتب. في هذه الصفحة ، نشرح البنية الصحيحة ونعطي بعض الأمثلة الفعلية.

لطلب حل متسلسل لمعادلة تفاضلية باستخدام dsolve، ابدأ بما هو عادي dsolve رمز ، ولكن أضف اكسبانسيون بوينت تليها النقطة التي يريد المرء حلًا متسلسلًا حولها. عادة ما تكون هذه هي النقطة التي يتم عندها تحديد الشرط الأولي. حدد 'ترتيب' لتغيير عدد المصطلحات في السلسلة ، تمامًا كما تفعل مع مسلسل أمر. نعطي عدد من الأمثلة.

& ديامز حل ص '= ذ مع الحالة الأولية ذ(0) = 1. الحل هو الدالة الأسية. syms y (t) dsolve (diff (y) == y، y (0) == 1، 'ExpansionPoint'، 0) ينتج هذا الناتج ans = t ^ 5/120 + t ^ 4/24 + t ^ 3 / 6 + ر ^ 2/2 + ر + 1


الخطوة 1: نظرًا لأن الحل الثابت ، y = cy0 لجميع x ، من الواضح أنه حل يمكنك حل المعادلة المتجانسة y '' + (1 / x) y'- cy = 0 وإضافة cy0.

الخطوة 2: اضرب هذه المعادلة في x لتحصل على xy '' + y'- cxy = 0.

الخطوة 3: اكتب
[tex] y = sum_^ infty a_nx ^[/ itex]
اشتق مصطلحًا بمصطلح لإيجاد y 'و y' والتعويض في تلك المعادلة.

الخطوة 4: انظر فقط إلى المصطلحات التي لها أقل قوة لـ x. يجب أن تكون هذه معادلة من الدرجة الثانية في c ضرب a0. افترض أن [itex] a_0 ne 0 [/ itex] بحيث يجب أن يكون المعامل 0 وحل هذه المعادلة & quotindicial & quot لقيمتين من c.

الخطوة 5: ضع كل من قيم c في المعادلة الخاصة بك بدورها لإيجاد حلين مستقلين للمعادلة المتجانسة. عند تعيين كل معامل x في أس يساوي 0 ، ستحصل على معادلة عودية لـ aن.


افترض أ2 غير صفري للجميع ض. ثم يمكننا القسمة للحصول عليها

تتطلب طريقة سلسلة الطاقة إنشاء حل لسلسلة الطاقة

إذا أ2 هو صفر بالنسبة للبعض ض، فإن طريقة Frobenius ، وهي تباين في هذه الطريقة ، مناسبة للتعامل مع ما يسمى "بالنقاط الفردية". تعمل الطريقة بشكل مشابه مع المعادلات ذات الترتيب الأعلى وكذلك للأنظمة.

يمكننا محاولة بناء حل متسلسل

استبدال هذه في المعادلة التفاضلية

عمل تحول في المجموع الأول

إذا كانت هذه السلسلة حلاً ، فيجب أن تكون كل هذه المعامِلات صفرًا ، لذلك لكليهما ك= 0 و ك& gt0:

يمكننا إعادة ترتيب هذا للحصول على علاقة تكرار لـ أك+2.

يمكننا تحديد أ0 و أ1 إذا كانت هناك شروط أولية ، أي إذا كانت لدينا مشكلة قيمة أولية.

والحل المتسلسل هو

والتي يمكننا تقسيمها إلى مجموع حلين متسلسلين مستقلين خطيًا:

والتي يمكن تبسيطها بشكل أكبر باستخدام المتسلسلة فوق الهندسية.

طريقة أبسط لحل هذه المعادلة (وحل سلسلة الطاقة بشكل عام) باستخدام نموذج سلسلة تايلور للتوسع. هنا نفترض أن الإجابة هي من النموذج

إذا فعلنا ذلك ، فإن القاعدة العامة للحصول على علاقة التكرار للمعاملات هي

في هذه الحالة يمكننا حل معادلة Hermite بخطوات أقل:

يمكن تطبيق طريقة سلسلة الطاقة على معادلات تفاضلية غير خطية معينة ، ولكن بمرونة أقل. فئة كبيرة جدًا من المعادلات غير الخطية يمكن حلها تحليليًا باستخدام طريقة باركر سوتشاكي. نظرًا لأن طريقة Parker-Sochacki تتضمن توسيعًا للنظام الأصلي للمعادلات التفاضلية العادية من خلال المعادلات المساعدة ، فلا يُشار إليها ببساطة على أنها طريقة سلسلة الطاقة. يتم إجراء طريقة باركر سوتشاكي قبل طريقة المتسلسلة الكهربية لجعل طريقة المتسلسلة الكهربية ممكنة في العديد من المشكلات غير الخطية. يمكن توسيع مشكلة ODE باستخدام المتغيرات المساعدة التي تجعل طريقة سلسلة الطاقة تافهة لنظام مكافئ أكبر. يؤدي توسيع مشكلة ODE باستخدام المتغيرات المساعدة إلى إنتاج نفس المعاملات (نظرًا لأن سلسلة القدرة الخاصة بوظيفة فريدة) على حساب حساب معاملات المعادلات المساعدة أيضًا. في كثير من الأحيان ، بدون استخدام المتغيرات المساعدة ، لا توجد طريقة معروفة للحصول على سلسلة الطاقة لحل النظام ، وبالتالي يصعب تطبيق طريقة سلسلة الطاقة وحدها على معظم المعادلات غير الخطية.

ستعطي طريقة سلسلة الطاقة حلولاً فقط لمشاكل القيمة الأولية (على عكس مشاكل القيمة الحدية) ، وهذه ليست مشكلة عند التعامل مع المعادلات الخطية لأن الحل قد يؤدي إلى حلول متعددة مستقلة خطيًا يمكن دمجها (عن طريق التراكب) لحلها مشاكل القيمة الحدية أيضًا. قيد آخر هو أن معاملات السلسلة سيتم تحديدها من خلال تكرار غير خطي (يتم توريث اللاخطية من المعادلة التفاضلية).

لكي تعمل طريقة الحل ، كما هو الحال في المعادلات الخطية ، من الضروري التعبير عن كل مصطلح في المعادلة غير الخطية كسلسلة قوى بحيث يمكن دمج كل المصطلحات في سلسلة قوى واحدة.

كمثال ، ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية

الذي يصف حلاً للتدفق الذي يحركه الشعيرات الدموية في الأخدود. هناك نوعان من اللاخطين: المصطلح الأول والثاني يتضمن المنتجات. يتم إعطاء القيم الأولية عند η = 1 < displaystyle eta = 1> ، مما يشير إلى أنه يجب إعداد سلسلة الطاقة على النحو التالي:

مما يجعل من السهل جدًا تقييم القيم الأولية. من الضروري إعادة كتابة المعادلة قليلاً في ضوء تعريف سلسلة القوة ،

بحيث يحتوي المصطلح الثالث على نفس الشكل η - 1 < displaystyle eta -1> الذي يظهر في سلسلة الطاقة.

الاعتبار الأخير هو ما يجب فعله بالمنتجات التي تحل محل سلسلة الطاقة في إنتاج سلسلة الطاقة عندما يكون من الضروري أن يكون كل مصطلح هو سلسلة الطاقة الخاصة به. هذا هو المكان الذي يوجد فيه منتج كوشي

من المفيد استبدال متسلسلة القدرة في المعادلة التفاضلية ويؤدي تطبيق هذه المتطابقة إلى معادلة يكون فيها كل مصطلح عبارة عن سلسلة قوى. بعد الكثير من إعادة الترتيب ، التكرار

∑ j = 0 i ((j + 1) (j + 2) ci - jcj + 2 + 2 (i - j + 1) (j + 1) ci - j + 1 cj + 1) + ici + (i + 1) ci + 1 = 0 ^ يسار ((ي + 1) (ي + 2) ج_ج_+2 (i-j + 1) (j + 1) c_ج_ يمين) + ic_+ (i + 1) ج_=0>


حلول متسلسلة للمعادلات من الدرجة الأولى

هذا القسم مخصص للحلول المتسلسلة للمعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

& oast نوضح هذا النهج بالمثال التالي. لذلك سنجد حلًا متسلسلًا (y (x) = sum_ x ^ n ) لمشكلة القيمة الأولية

مثال: المعادلة التفاضلية الخطية

مثال: ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية للمعادلة المستقلة من الدرجة الأولى:

ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية لأول معادلة ريكاتي التفاضلية:

نظرًا لأن دالة المنحدر لمعادلة Riccati هي متعددة الحدود ، فإن حلها هو دالة كاملة الشكل في بعض المناطق المجاورة للنقطة الأولية حيث يتم تحديد الشرط الأولي ، لذلك من الطبيعي البحث عنها في شكل سلسلة الطاقة:

هناك خيار آخر للعثور على تمثيل لسلسلة تايلور وهو استبدال سلسلة الطاقة (y (x) = sum_ c_n left (x - x_0 right) ^ n ) في المعادلة المعطاة (y '= f (x، y) ) وقم بمساواة معاملات شروط القوة المماثلة.

نوضح كيف تعمل متسلسلة القوة لحل مشاكل القيمة الأولية في مجموعة من الأمثلة.

مثال: معادلة ريكاتي القياسية

مثال: نبدأ بمعادلة Riccati القياسية ، التي تم العثور عليها مسبقًا في القسم ، ونقوم بتنفيذ جميع العمليات على أمل أن تصبح جميع الحسابات شفافة. لذلك نعتبر مسألة القيمة الأولية

الآن نستكشف الخيار الثاني ونستبدل سلسلة الطاقة (y (x) = sum- c_n ، x ^ n ) في المعادلة التفاضلية. منذ أول مشتق لها

مثال: خذ بعين الاعتبار مشكلة القيمة الأولية لمعادلة ريكاتي

استخدام الرياضيات، نجد حل معادلة ريكاتي نفسها في ظل ظروف أولية أخرى

مثال: نهاجم نفس مشكلة القيمة الأولية (y '= 8 ، x ^ 2 + frac <1> <2> ، y ^ 2، quad y (0) = 1، ) باستخدام طريقة مختلفة.

نجري استبدال برنولي

نجد حل سلسلة تايلور (v (x) = sum_ c_n x ^ n ) للمعادلة التفاضلية (v '' + 4 ، x ^ 2 v = 0. ). ينتج عن استبداله في المعادلة التفاضلية

& oast على الرغم من أننا وجدنا الحل العام كنسبة من سلسلتين قوى ، إلا أنه بعيد جدًا عن تمثيل السلاسل المطلوب لأننا نحتاج إلى تحديد قيم الثابت ك = ج1/ج0 والقسمة على سلسلتي الأس. بدلاً من ذلك ، نستخدم نهجًا آخر ونقدم الوظيفة

مثال: يوضح مثالنا التالي كيفية التعامل مع المعادلة التفاضلية باستخدام الميل المنطقي. ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية

مثال: ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية للمعادلة المستقلة من الدرجة الأولى:

& elinters تطبيق أسلوب سلسلة تايلور

& oast الآن نستخدم طريقة Frobenius ونشتق علاقة التكرار المقابلة لمعاملات الحل:

مثال: ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية لمعادلة من الدرجة الأولى قابلة للفصل:

سرعان ما تصبح طريقة سلسلة تايلور في حالة من الفوضى لأننا نحتاج إلى التفريق بين وظيفة المنحدر

عندما نطبق الشرط الأولي ، نضع a0 = 1 في الحل العام.

الآن نحل مشكلة القيمة الأولية بالضبط:

نرسم الحل الحقيقي مع كثيرتي حدود من الدرجة 8 و 9:

مثال: ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية ذات اللاخطية الجيبية

مثال: ضع في اعتبارك مشكلة القيمة الأولية لمعادلة أبيل

نرسم المصفوفة الفاصلة ومجال الاتجاه

نوجد تمدد سلسلة الأس باستخدام ما يلي الرياضيات الأوامر:

يمكن حل هذه المشكلة بطريقة مختلفة قليلاً. أولاً ، نحدد العامل التفاضلي (غير الخطي لأن المعادلة المعطاة غير خطية)

ثم قمنا بتعيين n ليكون 13 ، وهو عدد الحدود في سلسلة الأس:

تقول الخلية التالية لإنشاء مجموع n من المصطلحات وتحويلها بشكل فعال إلى سلسلة تقول أن المصطلحات التي تتجاوز n غير محددة. تشير O [x] ^ (n + 1) إلى أننا لا نعرف شيئًا عن شروط الترتيب n + 1 وما بعدها. لذلك نحدد السلسلة (المحدودة)

عوّض بهذا التعبير في العملية التفاضلية

أوجد المعاملات a [i] في سلسلة الأس لـ y [x] باستخدام عكس [الجدول [a [i] ،]]. هذا الأخير يجعل شكل المعاملات يتفق مع ما ستجده يدويًا: يتم التعبير عن المصطلح التالي من خلال الشروط السابقة.

للحصول على سلسلة الحل ، اضبط أ [0] يساوي الصفر:

كيفية تحديد تقريب متعدد الحدود للحل باستخدام CAS

الرياضيات لديه أمر قياسي لتمثيل الحل في شكل سلسلة الطاقة. على سبيل المثال،

للتبسيط ، اضبط "أ"يساوي المطلوب x0 القيمة. من المفترض أن حل سلسلة الطاقة في x-x0 نصف قطر تقارب موجب.
جلس ن يساوي أقصى حد للطاقة مطلوب في سلسلة الأس
قم بتعيين yInitial يساوي قيمة ذ متي x يساوي x0.

تمثل c [1] المعامل الموجود أمام x& sup1
ج [2] يمثل المعامل أمام x& sup2
إلخ.

ملاحظة: من أجل حل الحالات التي يكون فيها x = x0 لا يساوي 0 ، أقترح عليك تقليل ن مصطلح أقل من 5 من أجل منع وقت طويل المدى بشكل ملحوظ.

نظهر تطبيق الرياضيات في معادلة Riccati بسيطة (y '= x ^ 2 + y ^ 2. )

قارن مع آخر الرياضيات اختيار:

سلسلة تايلور أو خوارزمية التحويل التفاضلي

تقدم طريقة سلسلة تايلور الحل من خلال سلسلة لا نهائية (y (x) = sum_ c_n left (x - x_0 right) ^ n. ) المعاملات (c_n = frac (x_0)> ) يتم التعبير عنها من خلال مشتقات الوظيفة غير المعروفة التي يتم تقييمها في المركز والتي يتم تحديدها بدورها بشكل متكرر من مشكلة القيمة الأولية المحددة. المصطلح الأولي يتبع الشرط الأولي ج0 = ذ0. يمكن أيضًا العثور على المعامل الأول بسهولة:

  1. باستخدام ADM ، حل مشكلة القيمة الأولية: ( left (1 - xy right) y '= y ^ 2، qquad y (0) = 1، qquad (xy ne 1). )
  2. باستخدام ADM ، حل مشكلة القيمة الأولية: ( left (x - y right) y '= y، qquad y (0) = 1، qquad (y ne x). )
  1. ديتمان ، جي دبليو ، حلول سلسلة الطاقة للمعادلات التفاضلية العادية ، مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية، 1967 ، المجلد. 74 ، رقم 3 ، ص 428-430.
  2. Fu ، W.B. ، مقارنة بين الطرق العددية والتحليلية لحل معادلة Riccati ، المجلة الدولية للتربية الرياضية في العلوم والتكنولوجيا989 المجلد. 20 ، رقم 3 ، ص 421 - 327.
  3. غريغوريفا ، إي. طرق حل مشاكل التسلسل والمتسلسلة، Birkhäuser الطبعة الأولى. 2016.
  4. Liao، S. and Tan، Y.، نهج عام للحصول على حلول متسلسلة من المعادلات التفاضلية غير الخطية ، دراسات في الرياضيات التطبيقية, 119(4 ، ص 297–354.

العودة إلى صفحة ماثيماتيكا
العودة إلى الصفحة الرئيسية (APMA0330)
العودة إلى الجزء 1 (التخطيط)
العودة إلى الجزء 2 (ODEs من الدرجة الأولى)
العودة إلى الجزء 3 (الطرق العددية)
العودة إلى الجزء 4 (المعادلات التفاضلية الأخرى ذات الترتيب الثاني والأعلى)
العودة إلى الجزء 5 (السلسلة والتكرارات)
العودة إلى الجزء 6 (تحويل لابلاس)
العودة إلى الجزء 7 (مشاكل قيمة الحدود)


ولفرام موارد الويب

الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: كتاب مدرسي ديناميكي ، وخطط الدروس ، وعناصر واجهة المستخدم ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


9: سلسلة حلول ODE (طريقة Frobenius ') - الرياضيات

الرياضيات الهندسية المتقدمة

الأسبوع 1: المعادلات التفاضلية العادية من الدرجة الأولى ، المعادلات التفاضلية القابلة للفصل ، المعادلات التفاضلية الصحيحة ، التخفيض إلى الشكل الدقيق ، تحديد عوامل التكامل لعدم الدقة ، مشاكل القيمة الأولية ، المعادلات التفاضلية الخطية ، معادلة برنولي ، المعادلات التفاضلية غير المتجانسة ، المعادلات التفاضلية غير المتجانسة ، الديناميات السكانية ، معادلة فيرهولست ، بيكارد نظريات الوجود والتفرد ، حالة ليبشيتز

الأسبوع 2: الدرجة الثانية معادلات ODE الخطية المتجانسة ، ODEs غير متجانسة من الدرجة الثانية ، تخفيض النظام والأساس ، العوامل التفاضلية ، نمذجة التذبذبات الحرة (نظام الزنبرك الكتلي - التخميد الزائد ، التخميد الحرج ، تحت التخميد) ، معادلات أويلر كوشي ، الوجود وتفرد الحلول ، Wronskian ، طريقة المعاملات غير المحددة ، نمذجة التذبذبات القسرية (نظام الزنبرك الكتلي - التذبذبات القسرية المخمدة ، التذبذبات القسرية غير المثبطة) ، الحل عن طريق تباين المعلمات ، ODEs الخطية المتجانسة ذات الترتيب العالي ، جذور حقيقية مميزة ، الجذور المعقدة البسيطة ، الجذور الحقيقية المتعددة ، الجذور المعقدة المتعددة ، المعادلات غير المتجانسة الخطية ، طريقة المعاملات غير المحددة ، طريقة اختلاف المعلمات

الأسبوع الثالث: نظم المعامل الثابت والقيم الذاتية والمتجهات الذاتية ، وتحويل الدرجة التاسعة من ODE إلى نظام ، والنظرية الأساسية لأنظمة معادلات التفاضل والتكامل ، وأنظمة المعامل الثابت وطريقة مستوى الطور ، والطرق النوعية ، والمسارات ، و 5 أنواع من النقاط الحرجة للنظام (العقدة غير المناسبة ، العقدة المناسبة ، نقطة السرج ، المركز ، النقطة اللولبية) ، العقدة المتدهورة ، معايير النقاط الحرجة ، الاستقرار (النقاط الحرجة المستقرة وغير المستقرة والجذابة والمستقرة) ، الطرق النوعية للأنظمة غير الخطية ، التحويل الخطي للأنظمة غير الخطية ، البندول الحر والخطي ، التخطي للبندول المخمد ، المعادلات التفاضلية الخطية غير المتجانسة ، طريقة المعاملات غير المحددة ، طريقة اختلاف المعلمات

الأسبوع الرابع: الحلول المتسلسلة لطريقة سلسلة الطاقة في ODE ، فاصل التقارب ، نصف قطر التقارب ، معادلات Legendre ، معادلات Legendre متعددة الحدود ، طريقة Frobenius ، معادلات Bessel ، وظائف Bessel ،

الأسبوع الخامس: وظائف Bessel من النوع الثاني ، مشاكل Sturm-Liouville ، وظائف متعامدة ، توسعات متعامدة Eigenfunction.

الأسبوع 6-7: تحويلات لابلاس ، تحويل عكسي ، تحويل s ، تحويلات المشتقات والتكاملات ، دالة خطوة الوحدة ، تحويل t ، نبضات قصيرة ، دالة دلتا ديراك ، الكسور الجزئية ، الالتفاف ، المعادلات التكاملية ، التمايز والتكامل للتحويلات ، أنظمة ODE ، تحويل لابلاس: الصيغ العامة.

الأسبوع الثامن: الجبر الخطي ، الاستقلالية الخطية ، الرتبة ، فضاء المتجه ، محددات الرتبتين الثانية والثالثة ، معكوس المصفوفة ، حذف غاوس-الأردن ، فراغات المتجهات ، فضاءات المنتج الداخلية ، التحولات الخطية

الأسبوع التاسع: مسائل القيمة الذاتية للمصفوفة ، القيم الذاتية ، المتجه الذاتي ، المصفوفات الانحراف المتماثل والمتعامد ، قواعد eigenbase ، القطر ، الأشكال التربيعية

الأسبوع العاشر: حساب التفاضل المتجهي ، التدرج ، التباعد ، تجعيد حقل متجه ، حاصل الضرب النقطي ، الضرب العرضي ، الحقول المتجهة ، المشتقات الاتجاهية ، المنحنيات ، طول القوس

الأسبوع 11: حساب التفاضل والتكامل المتجه ، تكاملات الخط ، استقلالية مسار تكاملات الخط ، التكاملات المزدوجة ، نظرية الأخضر في المستوى ، التكاملات السطحية ، التكاملات الثلاثية ، نظرية الاختلاف في غاوس ، نظرية ستوكس.

الأسبوع 12-13: سلسلة فورييه ، تكاملات وتحولات.

الأسبوع 13-14: المعادلات التفاضلية الجزئية ، معادلة الموجة ، حل D Alembert لمعادلة الموجة ، معادلة الحرارة والحل بواسطة سلسلة فورييه ، المعادلة الحرارية والحل بواسطة فورييه - المجادلات والتحولات ، الغشاء المستطيل ، سلسلة فورييه المزدوجة ، لابلاسيان في الإحداثيات القطبية ، دائري الغشاء ، سلسلة Fourier-Bessel ، حل PDEs بواسطة Laplace Transforms


الرياضيات 376 يتكون من ثلاثة أجزاء رئيسية تغطي موضوعات معادلات تفاضلية معينة في 15 وحدة. ال الهدف الرئيسي في كل وحدة هو تحديد النوع المقابل من المعادلة أو نظام المعادلات وتعلم تقنيات حلها.

الجزء الأول: المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى

  • الوحدة 1: إدخال المعادلات التفاضلية العادية
  • الوحدة 2: المعادلات التفاضلية العادية القابلة للتكامل المباشر والتي يتم حلها من حيث المشتق
  • الوحدة 3: الاختزال إلى المعادلات القابلة للفصل
  • الوحدة 4: الاختزال إلى المعادلات الدقيقة: تكامل العوامل
  • الوحدة 5: معادلات الدرجة الأولى التي لم يتم حلها فيما يتعلق بالمشتق: الحلول البارامترية
  • الوحدة 6: مشاكل القيمة الأولية لمعادلة تفاضلية من الدرجة الأولى

الجزء الثاني: أنظمة المعادلات التفاضلية العادية ذات المعاملات الثابتة

  • الوحدة 7: النظرية الأساسية لنظم المعادلات التفاضلية الخطية العادية
  • الوحدة 8: أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية العادية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
  • الوحدة 9: حلول خاصة للمعادلات التفاضلية الخطية العادية غير المتجانسة
  • الوحدة 10: تحويلات لابلاس
  • الوحدة 11: مشاكل القيمة الأولية من منظور تحويلات لابلاس

الجزء الثالث: ما بعد المعادلات الخطية ذات المعاملات الثابتة

  • الوحدة 12: بعض حالات الاختزال للمعادلات التفاضلية الخطية العادية
  • الوحدة 13: حلول سلسلة الطاقة للمعادلات التفاضلية العادية ذات المعاملات التحليلية
  • الوحدة 14: المعاملات غير التحليلية: طريقة فروبينيوس
  • الوحدة 15: الأنظمة المستقلة لمعادلتين والتقريب الرقمي لحل مشاكل القيمة الأولية لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية

الرياضيات الهندسية - III

شروط ديريتشليت - سلسلة فورييه العامة - الدوال الفردية والزوجية - سلسلة الجيب وجيب التمام نصف المدى - الشكل المعقد لسلسلة فورييه - هوية بارسيفال - التحليل التوافقي.

وحدة & # 8211 II

تحويل فورييه

نظرية فورييه المتكاملة - تحويل فورييه زوج - تحويلات الجيب وجيب التمام - الخصائص - تحويل الدوال الأولية - نظرية الالتواء - هوية بارسيفال.

وحدة & # 8211 III

المعادلات التفاضلية الجزئية

التشكيل - حلول المعادلات من الدرجة الأولى - الأنواع القياسية والمعادلات القابلة للاختزال إلى الأنواع القياسية - الحلول الفردية - معادلة لاجرانج الخطية - مرور السطح المتكامل عبر منحنى معين - حل المعادلات الخطية ذات الترتيب الأعلى مع المعاملات الثابتة

وحدة & # 8211 IV

تطبيقات المعادلات التفاضلية الجزئية

طريقة فصل المتغيرات - حلول معادلة الموجة ذات البعد الواحد والمعادلة الحرارية أحادية البعد - حل الحالة الثابتة للمعادلة الحرارية ثنائية الأبعاد - حلول سلسلة فورييه في الإحداثيات الديكارتية.

وحدة & # 8211 سادسا

ض - معادلات التحويل والفرق

تحويل Z - خصائص أولية - تحويل Z معكوس - نظرية الالتفاف - نظريات القيمة الأولية والنهائية - معادلة تشكيل الفرق - حل معادلة الاختلاف باستخدام تحويل Z.