مقالات

2.6E: تكامل العوامل (تمارين) - الرياضيات


Q2.6.1

1.

  1. تحقق من أن ( mu (x، y) = y ) عامل تكامل لـ [y dx + left (2x + frac {1} {y} right) dy = 0 tag {A} ] في أي مستطيل مفتوح لا يتقاطع مع محور (x ) أو ، على نحو مكافئ ، أن [y ^ {2} dx + (2xy + 1) dy = 0 tag {B} ] مطابق تمامًا لأي مستطيل من هذا القبيل.
  2. تحقق من أن (y equiv0 ) هو حل (B) وليس من (A).
  3. أظهر أن [y (xy + 1) = c tag {C} ] هو حل ضمني لـ (B) ، واشرح سبب كل دالة قابلة للتفاضل (y = y (x) ) بخلاف (y ) equiv0 ) الذي يرضي (C) هو أيضًا حل (A).

2.

  1. تحقق من أن ( mu (x، y) = 1 / (xy) ^ 2 ) عامل تكامل لـ [- y ^ {2} dx + x ^ {2} dy = 0 tag {A} ] على أي مستطيل مفتوح لا يتقاطع مع الخط (y = x ) أو ، على نحو مكافئ ، [- frac {y ^ {2}} {(xy) ^ {2}} dx + frac {x ^ {2}} {(xy) ^ {2}} dy = 0 tag {B} ] مطابقة تمامًا لأي مستطيل.
  2. استخدم النظرية 2.2.1 لتوضيح أن [ frac {xy} {(xy)} = c tag {C} ] هو حل ضمني لـ (B) ، وشرح سبب كونه أيضًا حلًا ضمنيًا لـ (A )
  3. تحقق من أن (y = x ) هو حل (A) ، على الرغم من أنه لا يمكن الحصول عليه من (C).

Q2.6.2

في تمارين 2.6.3 - 2.6.16 إيجاد عامل تكامل ؛ هذه دالة لمتغير واحد فقط ، وتحل المعادلة المعطاة.

3. (ydx-xdy = 0 )

4. (3x ^ {2} ydx + 2x ^ {3} dy = 0 )

5. (2y ^ {3} dx + 3y ^ {2} dy = 0 )

6. ((5xy + 2y + 5) dx + 2xdy = 0 )

7. ((xy + x + 2y + 1) ، dx + (x + 1) ، dy = 0 )

8. ((27x ^ 2 + 8y ^ 3) ، dx + (18x ^ 2y + 12xy ^ 2) ، dy = 0 )

9. ((6x ^ 2 + 2y) ، dx + (12x ^ 2y + 6x + 3) ، dy = 0 )

10. (y ^ 2 ، dx + left (xy ^ 2 + 3xy + {1 over y} right) ، dy = 0 )

11. ((12x ^ 3y + 24x ^ 2y ^ 2) ، dx + (9x ^ 4 + 32x ^ 3y + 4y) ، dy = 0 )

12. ((x ^ 2y + 4xy + 2y) ، dx + (x ^ 2 + x) ، dy = 0 )

13. (- y ، dx + (x ^ 4-x) ، dy = 0 )

14. ( cos x cos y ، dx + ( sin x cos y- sin x sin y + y) ، dy = 0 )

15. ((2xy + y ^ 2) ، dx + (2xy + x ^ 2-2x ^ 2y ^ 2-2xy ^ 3) ، dy = 0 )

16. (y sin y ، dx + x ( sin y-y cos y) ، dy = 0 )

Q2.6.3

في تمارين 2.6.17 - 2.6.23 أوجد عامل تكامل على الشكل ( mu (x، y) = P (x) Q (y) ) وحل المعادلة المعطاة.

17. (y (1 + 5 ln | x |) ، dx + 4x ln | x | ، dy = 0 )

18. (( alpha y + gamma xy) ، dx + ( beta x + delta xy) ، dy = 0 )

19. ((3x ^ 2y ^ 3-y ^ 2 + y) ، dx + (- xy + 2x) ، dy = 0 )

20. (2y ، dx + 3 (x ^ 2 + x ^ 2y ^ 3) ، dy = 0 )

21. ((a cos xy-y sin xy) ، dx + (b cos xy-x sin xy) ، dy = 0 )

22. (x ^ 4y ^ 4 ، dx + x ^ 5y ^ 3 ، dy = 0 )

23. (y (x cos x + 2 sin x) ، dx + x (y + 1) sin x ، dy = 0 )

Q2.6.4

في تمارين 2.6.24 - 2.6.27 إيجاد عامل تكامل وحل المعادلة. ارسم حقل اتجاه وبعض المنحنيات المتكاملة للمعادلة في المنطقة المستطيلة المشار إليها.

24. ((x ^ 4y ^ 3 + y) ، dx + (x ^ 5y ^ 2-x) ، dy = 0؛ quad {- 1 le x le1، -1 le y le1 } )

25. ((3xy + 2y ^ 2 + y) ، dx + (x ^ 2 + 2xy + x + 2y) ، dy = 0؛ quad {- 2 le x le2، -2 le y le2 } )

26. ((12 xy + 6y ^ 3) ، dx + (9x ^ 2 + 10xy ^ 2) ، dy = 0؛ quad {- 2 le x le2، -2 le y le2 } )

27. ((3x ^ 2y ^ 2 + 2y) ، dx + 2x ، dy = 0؛ quad {- 4 le x le4، -4 le y le4 } )

Q2.6.5

28. افترض أن (a ) و (b ) و (c ) و (d ) ثوابت مثل (ad-bc ne0 ) و let (m ) و (n ) تكون أرقامًا حقيقية عشوائية. اظهر ذلك

[(ax ^ my + by ^ {n + 1}) ، dx + (cx ^ {m + 1} + dxy ^ n) ، dy = 0 ]

له عامل تكامل ( mu (x، y) = x ^ alpha y ^ beta ).

29. افترض أن (M ) و (N ) و (M_x ) و (N_y ) متواصلة لجميع ((س ، ص) ) ، و ( مو = مو ( x، y) ) عامل تكامل لـ [M (x، y) dx + N (x، y) dy = 0. tag {A} ]

افترض أن ( mu_x ) و ( mu_y ) متصلان للجميع ((x، y) ) ، وافترض أن (y = y (x) ) دالة قابلة للتفاضل مثل ( mu (x، y (x)) = 0 ) و ( mu_x (x، y (x)) ne0 ) للجميع (x ) في بعض الفواصل (I ). أظهر أن (y ) هو حل (A) في (I ).

30. وفقًا للنظرية 2.1.2 ، الحل العام للمعادلة الخطية غير المتجانسة [y '+ p (x) y = f (x) tag {A} ]

هو [y = y_ {1} x left (c + int f (x) / y_ {1} (x) dx right) ، tag {B} ]

حيث (y_1 ) هو أي حل غير بديهي للمعادلة التكميلية (y '+ p (x) y = 0 ). في هذا التمرين نحصل على هذا الاستنتاج بطريقة مختلفة. قد تجد أنه من المفيد تطبيق الطريقة المقترحة هنا لحل بعض التمارين الواردة في القسم 2.1.

  1. أعد كتابة (A) كـ [[p (x) yf (x)] dx + dy = 0، tag {C} ] وأظهر أن ( mu = pm e ^ { int p (x) ، dx} ) هو عامل تكامل لـ (C).
  2. اضرب (A) في ( mu = pm e ^ { int p (x) ، dx} ) وتأكد من أن المعادلة الناتجة يمكن إعادة كتابتها كـ [( mu (x) y) '= mu (x) f (x). ] ثم ادمج طرفي هذه المعادلة وحل من أجل (y ) لتوضيح أن الحل العام لـ (A) هو [y = {1 over mu (x) )} left (c + int f (x) mu (x) ، dx right). ] لماذا هذا الشكل من الحل العام يعادل (B)؟

2.6E: تكامل العوامل (تمارين) - الرياضيات

حتى الآن ، رأينا عددًا غير قليل من التكاملات التي تتضمن تربيعية. زوجان من الأمثلة هما ،

لقد رأينا أيضًا أن التكاملات تتضمن ( sqrt < - > ) ، ( sqrt <- > ) و ( sqrt <+ > ) باستبدال حساب المثلثات.

لاحظ مع ذلك أن كل هذه التكاملات تفتقد إلى مصطلح (x ). كلهم يتألفون فقط من مصطلح تربيعي وثابت.

من السهل القيام ببعض التكاملات التي تتضمن تربيعات عامة. على سبيل المثال ، يمكن إجراء التكامل التالي باستبدال سريع.

يمكن عمل بعض التكاملات مع التربيعات باستخدام كسور جزئية. على سبيل المثال،

لسوء الحظ ، لن تعمل هذه الطرق مع الكثير من التكاملات. لن ينجح الاستبدال البسيط إلا إذا كان البسط مضاعفًا ثابتًا لمشتق المقام ، ولن تعمل الكسور الجزئية إلا إذا أمكن تحليل المقام.

موضوع هذا القسم هو كيفية التعامل مع التكاملات التي تتضمن التربيعية عندما لا تعمل التقنيات التي نظرنا إليها حتى هذه النقطة.

مرة أخرى في قسم استبدال المثلث ، رأينا كيفية التعامل مع الجذور التربيعية التي تحتوي على تربيعية عامة فيها. دعنا نلقي نظرة سريعة على واحد آخر من هذا القبيل لأن الفكرة التي ينطوي عليها القيام بهذا النوع من التكامل هي بالضبط ما سنحتاجه للتكاملات الأخرى في هذا القسم.

تذكر من قسم استبدال المثلثات أنه من أجل إجراء استبدال مثلث هنا ، نحتاج أولاً إلى إكمال المربع في المعادلة التربيعية. هذا يعطي،

بعد إكمال المربع يصبح التكامل ،

عند القيام بذلك ، يمكننا تحديد التعويض المثلثي الذي نحتاجه. ها هو،

[x + 2 = tan theta hspace <0.5in> x = tan theta - 2 hspace <0.5in> dx = < sec ^ 2> theta ، d theta ] [ الجذر التربيعي <<< يسار ( right)> ^ 2> + 1> = sqrt <<< tan> ^ 2> theta + 1> = sqrt <<< sec> ^ 2> theta> = left | < ثانية ثيتا> حق | = ثانية ثيتا ]

تذكر أنه نظرًا لأننا نقوم بتكامل غير محدد ، يمكننا إسقاط أشرطة القيمة المطلقة. باستخدام هذا التعويض يصبح التكامل ،

يمكننا إنهاء التكامل بالمثلث القائم الزاوية التالي.

[ tan theta = frac <> <1> hspace <0.5in> sec theta = frac << sqrt <+ 4x + 5> >> <1> = sqrt <+ 4x + 5> ]

لذلك ، من خلال إكمال المربع ، تمكنا من أخذ تكامل يحتوي على تربيع عام فيه وتحويله إلى شكل يسمح لنا باستخدام تقنية تكامل معروفة.

لنقم بمراجعة سريعة لإكمال المربع قبل المتابعة. هذه هي الصيغة العامة لاستكمال الصيغة التربيعية التي سنستخدمها.

سيأخذ هذا دائمًا معادلة تربيعية عامة ويكتبها في صورة حد تربيعي وحد ثابت.

تذكر أيضًا أنه من أجل القيام بذلك ، يجب أن يكون لدينا معامل واحد أمام (). إذا لم يكن الأمر كذلك ، فسنحتاج إلى تحليل المعامل قبل إكمال المربع. بعبارات أخرى،

الآن ، دعنا نرى كيف يمكن استخدام إكمال المربع لعمل تكاملات لا يمكننا القيام بها في هذه المرحلة.

حسنًا ، هذا لا يؤثر ، لذا فإن الكسور الجزئية لن تعمل على هذا. وبالمثل ، نظرًا لأن البسط هو "1" فقط ، فلا يمكننا استخدام التعويض (u = 2 - 3x + 2 ). لنرى ماذا سيحدث إذا أكملنا المربع في المقام.

مع هذا التكامل هو ،

الآن قد لا يبدو هذا تغييرًا كبيرًا. ومع ذلك ، لاحظ أنه يمكننا الآن استخدام التعويض التالي.

يمكننا الآن أن نرى أن هذا المماس معكوس! لذلك ، باستخدام الصيغة من بداية القسم الذي حصلنا عليه ،

هذا المثال مختلف قليلاً عن المثال السابق. في هذه الحالة ، لدينا (x ) في البسط ولكن البسط لا يزال غير مضاعف لمشتقة المقام ، وبالتالي فإن الاستبدال البسيط في حساب التفاضل والتكامل I لن يعمل.

فلنكمل مرة أخرى المربع الموجود في المقام ونرى ما نحصل عليه ،

[ + 10x + 28 = + 10x + 25-25 + 28 = < يسار ( يمين) ^ 2> + 3 ]

عند إكمال المربع يصبح التكامل ،

في هذه المرحلة ، يمكننا استخدام نفس نوع التعويض الذي استخدمناه في المثال السابق. الاختلاف الحقيقي الوحيد هو أننا سنحتاج إلى التأكد من إعادة التعويض في البسط أيضًا.

لذلك ، بشكل عام عند التعامل مع جزء لا يتجزأ في النموذج ،

هنا سنفترض أن المقام لا يعمل وأن البسط ليس مضاعفًا ثابتًا لمشتقة المقام. في هذه الحالات ، نكمل المربع الموجود في المقام ثم نقوم بالتعويض الذي سينتج عنه ظل عكسي و / أو لوغاريتم اعتمادًا على الشكل الدقيق للبسط.

دعنا الآن نلقي نظرة على اثنين من التكاملات التي لها نفس الشكل العام مثل ( eqref) باستثناء المقام سيتم رفعه إلى أس. بعبارة أخرى ، دعونا نلقي نظرة على التكاملات في الشكل ،

بالنسبة للجزء الأكبر ، سيعمل هذا التكامل بنفس الطريقة التي يعمل بها التكامل السابقان مع استثناء واحد سيحدث لاحقًا. فلنبدأ بإكمال المربع على التربيع في المقام.

[ - 6 س + 11 = - 6x + 9-9 + 11 = <اليسار ( يمين) ^ 2> + 2 ]

الآن ، سنستخدم نفس الاستبدال الذي استخدمناه لهذه النقطة في المثالين السابقين.

الآن ، هنا حيث تبدأ الاختلافات في الظهور. يمكن عمل التكامل الأول بالتعويض (v = + 2 ) وهي ليست صعبة للغاية. ومع ذلك ، لا يمكن إجراء التكامل الثاني بالتعويض المستخدم على التكامل الأول وهو ليس مماسًا معكوسًا.

اتضح أن التعويض المثلثي سيعمل بشكل جيد على التكامل الثاني وسيكون كما فعلنا عندما كان لدينا جذور تربيعية في المسألة.

[u = sqrt 2 tan theta hspace <0.5in> du = sqrt 2 < sec ^ 2> theta ، d theta ]

مع هذين الاستبداليين تصبح التكاملات ،

حسنًا ، في هذه المرحلة لدينا خياران للتكامل المتبقي. يمكننا إما استخدام الأفكار التي تعلمناها في القسم الخاص بالتكاملات التي تتضمن التكاملات المثلثية أو يمكننا استخدام الصيغة التالية.

دعنا نستخدم هذه الصيغة لعمل التكامل.

بعد ذلك ، دعنا نستخدم المثلث الأيمن التالي لإعادة هذا إلى (س ).

إذن ، تكامل جيب التمام هو

كل ما قيل ، فإن التكامل الأصلي هو ،

إنها إجابة طويلة وفوضوية ، ولكن ها هي الإجابة.

كما هو الحال مع المشاكل الأخرى ، سنكمل أولاً المربع الموجود في المقام.

[4 - 2x - = - يسار (<+ 2x - 4> right) = - left (<+ 2x + 1 - 1-4> right) = - left (<<< left ( right)> ^ 2> - 5> right) = 5 - < left ( يمين) ^ 2> ]

الآن ، دعونا نجري الاستبدال.

[u = x + 1 hspace <0.5in> x = u - 1 hspace <0.5in> dx = du ]

في التكامل الأول سنستخدم التعويض

وفي التكامل الثاني ، سنستخدم استبدال المثلثات التالي

[u = sqrt 5 sin theta hspace <0.5in> du = sqrt 5 cos theta ، d theta ]

باستخدام هذه الاستبدالات يصبح التكامل ،

سنحتاج إلى المثلث الأيمن التالي لإنهاء هذا التكامل.

لذا ، بالعودة إلى (x ) يصبح التكامل ،

غالبًا ما تكون الصيغة التالية مطلوبة عند استخدام استبدال المثلثات الذي استخدمناه في المثال السابق.

لاحظ أننا سنحتاج فقط إلى الاستبدالات المثلثية (الجيب والظل) التي استخدمناها هنا. لن تكون هناك حاجة هنا إلى استبدال المثلثات الثالث (القاطع) الذي استخدمناه. يمكن تحويل أي معادلة تربيعية يمكن أن تستخدم استبدالًا قاطعًا إلى استبدال الجيب ببساطة عن طريق تحليل علامة ناقص خارج المعادلة التربيعية. لاحظ أنه يمكننا فعل ذلك مع هذه الأنواع من المشكلات لأننا لا نملك جذرًا ، وبالتالي يمكن استبعاد علامة الطرح تمامًا من التكامل بينما لا يمكننا فعل ذلك بالجذور التي كانت لدينا في المشاكل السابقة في قسم الاستبدال.


تكامل الوظائف العقلانية & # 8211 صفحة 2

نلاحظ المربع الكامل في المقام ، لذا يمكننا تبسيط التكامل وكتابته على النحو التالي:

يمكن إيجاد التكاملين الأخيرين في جداول التكامل القياسية. لذلك

المثال 9.

يمكننا استخدام تحليل الكسر الجزئي لتحويل الدالة الكسرية إلى صيغة قابلة للتكامل. ستكون النتيجة هي نفسها إذا قمنا بتبسيط التكامل بشكل مباشر للحصول على:

المثال 10.

إذا كان مشتق المقام هو

[ يسار (<+ 2x + 2> right) ^ prime = 2x + 2، ]

نعيد كتابة التكامل على النحو التالي

نقيم التكامل الأول () عن طريق الاستبدال:

لإيجاد التكامل الثاني () نكمل المربع في المقام:

المثال 11.

نحلل التكامل إلى دوال جزئية:

المثال 12.

التعبير الخطي في المقام له تعدد (3 ، ) لذا فإن التحلل الجزئي للدالة الكسرية مكتوب على النحو التالي

بسّط ومساواة معاملات القوى المتشابهة لـ (x: )

نحصل على نظام المعادلات:

ويمكننا بسهولة حساب التكامل:

المثال 13.

حلل التكامل إلى مجموع كسرين:

يمكن كتابة Integrand كـ

يصبح التكامل الأولي

المثال 14.

باستخدام التحليل الجزئي للكسر ، نحصل على

تحديد المعاملات المجهولة:

[1 = أ اليسار ( يمين) + Bx يسار ( يمين) + ج,]

تتم كتابة الوظيفة الكسرية كمجموع الكسور الجزئية التالية:

إذن ، التكامل معطى بواسطة

المثال 15.

يمكننا تحليل المقام في التكامل:

حلل التكامل إلى دوال جزئية:

الآن يمكننا حساب التكامل الأولي:

المثال 16.

يمكننا تحليل المقام في التكامل:

حلل التكامل إلى دوال جزئية:

وهكذا ، يصبح التكامل

إذن ، الجواب الكامل هو

المثال 17.

نحلل التكامل إلى دوال جزئية ، مع الأخذ في الاعتبار أن المقام له جذر من الدرجة الثالثة:

نحصل على نظام المعادلات التالي:

التكامل الأولي يساوي

المثال 18.

التحلل الجزئي للدالة الكسرية له الشكل

احسب المعاملات غير المعروفة (أ ، ب ، ج ، د: )

[1 = أ يسار (<+ 2x + 1> right) + left ( يمين) يسار (<+ 2x + 1> right) + C left (<& # 8211 2x + 1> right) + left ( يمين) يسار (<& # 8211 2x + 1> right) ، ]


2.6E: تكامل العوامل (تمارين) - الرياضيات

الحل 1: الدمج. حلل وتحلل إلى كسور جزئية ، لتحصل على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك .)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 2: الدمج. حلل وتحلل إلى كسور جزئية ، لتحصل على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك .)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 3: الدمج. حلل وتحلل إلى كسور جزئية ، لتحصل على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك .)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 4: الدمج. نظرًا لأن درجة البسط لا تقل عن درجة المقام ، يجب علينا أولًا إجراء قسمة كثيرة الحدود. ثم عامل وتحلل إلى كسور جزئية ، والحصول على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك .)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 5: الدمج. نظرًا لأن درجة البسط لا تقل عن درجة المقام ، يجب علينا أولًا إجراء قسمة كثيرة الحدود. ثم عامل وتحلل إلى كسور جزئية ، والحصول على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك .)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 6: الدمج. حلل وتحلل إلى كسور جزئية لتحصل على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 7: الدمج. تحلل إلى كسور جزئية (هناك عامل خطي متكرر!) ، والحصول على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك
يترك .)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 8: الدمج. نظرًا لأن درجة البسط لا تقل عن درجة المقام ، يجب علينا أولًا إجراء قسمة كثيرة الحدود. ثم عامل وتحلل إلى كسور جزئية (هناك عامل خطي متكرر!) ، والحصول على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك

يترك
يترك
يترك

يترك

يتبع ذلك و.)


الجمع وإعادة التجميع من رقمين

يتم تعريف طلاب الصف الثاني بعملية الجمع وإعادة التجميع المكونة من رقمين - وهي عملية نقل الأرقام على المعادلات الرأسية. في حين أن الجمع والطرح المكونين من رقمين هو تركيز منهج الرياضيات في الصف الثاني ، إلا أن هناك عددًا قليلاً من موارد المعادلات المكونة من رقمين في مكتبة التعلم التي تلبي احتياجات الصفين الأول والثالث أيضًا.

بالنسبة لطلاب الصف الثاني ، تقدم المكتبة أوراق عمل قابلة للطباعة وخطط دروس منظمة وتمارين عبر الإنترنت وكتاب عمل. طريقة عملية لتدريس المعادلات العمودية هي التدرب على الورق والقلم الرصاص. تمتلئ معظم أوراق العمل بمشكلات رياضية مختلفة لتوفير الوقت الثمين للمدرسين وأولياء الأمور. تستخدم أوراق العمل الأخرى المعادلات الأفقية. يشجع هذا التنسيق الطلاب على ممارسة تكديس المعادلات الخاصة بهم. يمكن للأعضاء المميزين الوصول إلى مصنف الرياضيات للصف الثاني مجانًا. بالإضافة إلى إعادة التجميع وممارسة المعادلة المكونة من رقمين ، تساعد تعيينات الكتاب الأطفال على فهم القيمة المكانية (القيمة العددية التي يُعطيها الرقم من خلال موقعه في رقم) من بين معايير الرياضيات الأساسية المشتركة الأخرى.

تقدم المصادر الأخرى عملاً تحضيريًا مكونًا من رقمين لطلاب الصف الأول ومهام تنشيطية لطلاب الصف الثالث. بغض النظر عن الدرجة ، تضمن مكتبة التعلم وصول الطلاب إلى متطلبات الجمع وإعادة التجميع للرياضيات المكونة من رقمين.


2.6E: تكامل العوامل (تمارين) - الرياضيات

  • ، أين هو ثابت
  • ، أين هو ثابت

معظم المشاكل التالية متوسطة. قليل من التحدي. يستخدم الكثير طريقة الاستبدال u. استخدم الترميز التفاضلي بحذر ودقة وكن حذرًا عند تبسيط التعبيرات الحسابية والجبرية.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 1.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 2.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 3.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 4.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 5.

انقر هنا للاطلاع على حل تفصيلي للمشكلة 6.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 7.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 8.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 9.

انقر هنا للاطلاع على حل تفصيلي للمشكلة 10.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 11.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 12.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 13.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 14.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 15.

انقر هنا لمشاهدة حل تفصيلي للمشكلة 16.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 17.

انقر هنا للاطلاع على حل تفصيلي للمشكلة 18.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 19.

تتطلب بعض المشكلات التالية طريقة التكامل بالأجزاء. هذا هو، .

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 20.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 21.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 22.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 23.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 24.

انقر هنا للاطلاع على حل تفصيلي للمشكلة 25.

انقر هنا لمشاهدة حل مفصل للمشكلة 26.

انقر هنا للعودة إلى القائمة الأصلية لأنواع مختلفة من مشاكل التفاضل والتكامل.

تعليقاتك وإقتراحاتك مرحب بها. يرجى إرسال أي مراسلات بالبريد الإلكتروني إلى دوان قبة من خلال النقر على العنوان التالي:


مشاكل محلولة

انقر أو اضغط على مشكلة لرؤية الحل.

مثال 1

مثال 2

مثال 3

مثال 4

مثال 5

مثال 1.

أولاً نختبر هذه المعادلة التفاضلية للتحقق من الدقة:

كما يمكن للمرء أن يرى ، هذه المعادلة ليست دقيقة. نحاول إيجاد عامل تكامل لتحويل المعادلة إلى دقة. احسب الدالة

يمكن للمرء أن يلاحظ أن التعبير

يعتمد فقط على المتغير (x. ) وبالتالي ، سيعتمد عامل التكامل أيضًا على (x: ) ( mu = mu left (x right). ) يمكننا الحصول عليه من معادلة

فصل المتغيرات ودمجها نحصل على:

نختار ( mu = x. ) ينتج عن ضرب المعادلة التفاضلية الأصلية بـ ( mu = x، ) المعادلة الدقيقة:

حل المعادلة الناتجة. الوظيفة (u left ( right) ) من نظام المعادلات:

ويترتب على ذلك من المعادلة الأولى

استبدل هذا في المعادلة الثانية لتحديد ( varphi left (y right): )

يتبع من هنا أن ( varphi left (y right) = C ، ) حيث (C ) ثابت.

وبالتالي ، يتم إعطاء الحل العام للمعادلة التفاضلية الأصلية بواسطة


2.6E: تكامل العوامل (تمارين) - الرياضيات

الحل 9: الدمج. تحلل إلى كسور جزئية (هناك عامل خطي متكرر!) ، والحصول على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك
يترك
يتبع ذلك و.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 10: الدمج. عامل وتحلل إلى كسور جزئية (هناك عامل خطي متكرر!) ، والحصول على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 11: الدمج. عامل وتحلل إلى كسور جزئية (هناك عاملان خطيان متكرران!) ، والحصول على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك

يترك
يترك
يترك

يترك

يتبع ذلك و.)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 12: الدمج. استخدم طريقة الاستبدال u أولاً. يترك

عوض بالمسألة الأصلية ، مع استبدال جميع أشكال ، get

(حلل الدالة وحللها إلى كسور جزئية. هناك عامل خطي متكرر!)

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك
يترك .)

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 13: الدمج. نظرًا لأن درجة البسط لا تقل عن درجة المقام ، يجب علينا أولًا إجراء قسمة كثيرة الحدود. ثم عامل وتحلل إلى كسور جزئية ، والحصول على

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك

انقر هنا للعودة إلى قائمة المشاكل.

الحل 14: الدمج. استخدم طريقة الاستبدال u أولاً. يترك

عوض بالمسألة الأصلية ، مع استبدال جميع أشكال ، get

(تحلل إلى كسور جزئية.)

(بعد الحصول على المقام المشترك ، وجمع الكسور ، ومعادلة البسط ، يتبع ذلك
يترك
يترك .)


انسايت الرياضيات

في بعض الأحيان ، يمكن وصف حجم السكان $ P_T $ كدالة زمنية من خلال دالة أسية. على سبيل المثال ، تميّز النمو السكاني للبكتيريا بالدالة $ P_T = 0.022 times 1.032 ^ T $. يمكن تمييز هذا النمو الأسي أو الاضمحلال بالوقت الذي يستغرقه حجم السكان ليتضاعف أو يتقلص إلى النصف. للنمو الأسي ، يمكننا تحديد خاصية مضاعفة الوقت. بالنسبة للانحلال الأسي ، يمكننا تحديد صفة مميزة نصف الحياة.

مضاعفة الوقت

ال مضاعفة الوقت من السكان الذين يظهرون نموًا أسيًا هو الوقت اللازم لمضاعفة عدد السكان. ضمنيًا في هذا التعريف حقيقة أنه بغض النظر عن وقت بدء القياس ، سيستغرق السكان دائمًا نفس القدر من الوقت لمضاعفة. يتم توضيح هذا الوقت المضاعف في الصغير التالي.

الوقت المضاعف ونصف العمر. إذا كان حجم السكان $ P_T $ كدالة للوقت يمكن وصف $ T $ كدالة أسية ، مثل $ P_T = 0.168 cdot 1.1 ^ T $ ، إذن هناك وقت مميز لحجم السكان ليتضاعف أو يتقلص إلى النصف ، اعتمادًا على ما إذا كان عدد السكان ينمو أم يتقلص. يُظهر الخط الأخضر حجم السكان $ P_T = P_0 cdot b ^ T. $ يمكنك تغيير حجم السكان الأولي $ P_0 $ عن طريق سحب النقطة الخضراء وتغيير القاعدة $ b $ بكتابة قيمة في المربع. إذا كان $ b gt 1 $ ، فهذا يعني أن السكان يُظهرون نموًا أسيًا إذا lt b lt 1 $ ، فإن السكان يُظهرون تناقصًا أسيًا. تبرز التقاطعات والخطوط الزرقاء النقاط التي يتضاعف فيها حجم المجتمع أو يتقلص إلى النصف ، ويمكنك تحريك هذه النقاط عن طريق سحب النقاط الزرقاء. يُظهر السكان نموًا أسيًا إذا كان $ b gt 1 $ ويظهر تناقصًا أسيًا إذا lt b lt 1 $. إذا كان $ b gt 1 $ ، يتضاعف حجم السكان بعد وقت $ T _ < text> = frac < log 2> < log b> $. إذا lt b lt 1 $ ، فإن حجم المجتمع سينخفض ​​إلى النصف بعد وقت $ T _ < text> = frac < log 1/2> < log b> $. ثلاث مرات مضاعفة $ T _ < text> $ أو نصف عمر $ T _ < text> $ يتضح من الصلبان والخطوط الزرقاء. يمكنك سحب الصلبان الزرقاء لتغيير الفواصل الزمنية. يمكنك النقر على الأسهم لتغيير مقاييس الرسم البياني.

على سبيل المثال ، نلائم نموذج النظام الديناميكي الخطي المنفصل مع النمو السكاني للبكتيريا V. natriegens. معادلة النمو الأسي الناتجة كانت $ P_T = 0.022 مرة 1.032 ^ T $ (المعادلة (6) لصفحة نمو البكتيريا.) يمكننا رسم V. natriegens جنبًا إلى جنب مع وظيفة النموذج في نسخة معدلة من التطبيق الصغير أعلاه.

مضاعفة الوقت ونصف العمر مع بيانات البكتيريا. يظهر التطبيق الصغير السابق مع بيانات من النمو السكاني للبكتيريا V. natriegens (النقاط الزرقاء). بالنسبة للنموذج $ P_T = 0.022 مرة 1.032 ^ T $ مناسب للبيانات ، يكون وقت المضاعفة حوالي 22 دقيقة.

لاحظ أنه عند $ T = 26 $ ، $ P = 0.05 $ وعند $ T = 48 $ ، $ P = 0.1 $ وبالتالي تضاعف $ P $ من 0.05 إلى 0.1 في 22 دقيقة بين $ T = 26 $ و $ T = 48 دولار. أيضًا ، عند $ T = 70 $ ، $ P = 0.2 $ لذلك تضاعف عدد السكان أيضًا من 0.1 إلى 0.2 بين $ T = 48 $ و $ T = 70 $ ، وهو أيضًا 22 دقيقة.

الوقت المضاعف ، $ T _ < text> $ ، يمكن حسابها على النحو التالي للنمو الأسي للنموذج start x_t = x_0 مرات ب ^ t ، رباعي نص 1 $> ، التسمية علامة <1> نهاية حيث $ x_0 $ هو حجم السكان في الوقت $ t = 0 $.

من السمات المهمة للنمو الأسي أنه لا يهم المكان الذي نبدأ فيه القياس من أجل حساب وقت المضاعفة. سنختار بعض الوقت التعسفي $ t_1 $ بحيث يكون $ x_$ هو حجم السكان في ذلك الوقت. نريد حساب الوقت $ t_2 $ الذي تضاعف فيه حجم السكان إلى ضعف $ x_$. إذا كان $ x_= 2 x_$ ، فإن وقت المضاعفة هو $ T _ < text> = t_2-t_1 دولار. سنظهر أن هذا $ T _ < text> لن يعتمد $ على اختيارنا $ t_1 $.

لتحديد $ t_2 $ (وبالتالي $ T _ < text> $) ، يجب علينا حل المعادلة start x_ = 2 x_ نهاية والتي ، وفقًا لنموذج المعادلة eqref، يمكننا إعادة الكتابة في البداية x_0 مرات ب ^ = 2 × 0 مرات ب ^. نهاية قسمة طرفي المعادلة على $ x_0 ضرب b ^$ ، يمكننا تبسيط الشرط ليصبح نبدأ فارك<>><>> = 2 ، نهاية وهو نفس start ب ^ = 2. النهاية كما قلنا في البداية ، يمكننا إيجاد معادلة لـ $ T _ < text> = t_2-t_1 $ هذا لا يعتمد على اختيارنا $ t_1 $. الاستبدال في هذا التعبير بـ $ T _ < text> = t_2-t_1 $ في المعادلة السابقة ، نحصل على معادلتنا لـ $ T _ < text> $: start ب ^<>>> = 2. نهاية

يمكننا أن نجعل هذه المعادلة تبدو أجمل من خلال أخذ لوغاريتم كلا الطرفين. يبدأ سجل ب ^<>>> = سجل 2. النهاية بعد ذلك ، استنادًا إلى خصائص اللوغاريتم ، يمكننا إحضار الأس لأسفل لكتابة الإجابة على أنها تبدأ T _ < نص> log b = log 2. end أو تبدأ T _ < نص> = فارك < سجل 2> < سجل ب>. ضع الكلمة المناسبة علامة <2> نهاية

نقاط مهمة يجب تذكرها حول الوقت المضاعف $ T _ < text> $ هو أنه لا يعتمد على الوقت الذي يستخدمه $ t_1 $ لحساب المضاعفة ، أو حجم السكان الأولي $ x_0 $ ، ولا على الأساس الذي نستخدمه للوغاريتم.

للمعادلة ، $ P_T = 0.022 مرات 1.032 ^ T $ ، وقت المضاعفة هو $ log 2 / log 1.032 = 22.0056 $ ، كما هو موضح في التطبيق الصغير أعلاه.

نصف الحياة

بالنسبة للمعادلة الأسية $ y_t = y_0 times b ^ t $ مع lt b lt 1 $ ، لا تزيد الكمية $ y_t $ بمرور الوقت $ t $. بدلاً من ذلك ، ينخفض ​​$ y_t $. عمر النصف ، $ T _ < text> $ هو الوقت الذي يستغرقه $ y_t $ للانخفاض بمقدار النصف. (يُستخدم المصطلح & ldquohalf-life & rdquo أيضًا في السياق $ y_x = y_0 times b ^ x $ حيث يشير $ x $ إلى المسافة بدلاً من الوقت.)

يمكنك استكشاف مفهوم نصف العمر عن طريق تعيين $ b $ في النطاق lt b lt 1 $ في التطبيقات الصغيرة المذكورة أعلاه. على سبيل المثال ، بالنسبة للنموذج $ P_t = 0.4 مرة 0.82 ^ t $ ، ستجد أن عمر النصف يبلغ حوالي 3.5.

بتكرار نفس الإجراء الذي استخدمناه أعلاه لحساب وقت المضاعفة ، يمكنك حساب أن نصف العمر هو دالة للمعامل $ b $: begin T _ < نص> = frac < log frac <1> <2>> < log b>. ضع الكلمة المناسبة علامة <3> نهاية


التخصيم

بشكل عام ، التحليل إلى عوامل هو عكس عملية الضرب. إحدى عمليات التحليل المهمة هي عكس عمليات الضرب مثل هذا:

(x & ناقص 5) (x + 3) = x 2 & ناقص 2x & ناقص 15.

قمنا هنا بضرب عاملين خطيين للحصول على تعبير تربيعي باستخدام قانون التوزيع.

لتحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل ، علينا الانتقال من تعبير مثل x 2 & ناقص 2x & ناقص 15 إلى العوامل الخطية (x & ناقص 5) (x + 3) التي تولدها عند ضربها. كيف يمكننا عمل ذلك؟

يكمن الحل في حلول المعادلة x 2 & ناقص 2x & ناقص 15 = 0 (تسمى أ معادلة من الدرجة الثانية). إذا قمنا بتحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل ، يمكن كتابة المعادلة كـ (x & ناقص 5) (x + 3) = 0. لكن حاصل ضرب عاملين لا يمكن أن يساوي صفرًا إلا إذا كان أحدهما أو العامل الآخر يساوي صفرًا. لذلك ، حتى تصمد المعادلة أيضًا x & ناقص 5 يجب أن يكون صفرًا أو x + 3 يجب أن يكون صفرًا. لذلك فإن الحلين المحتملين للمعادلة هما x = 5 و x = & ناقص 3. بالنظر إلى الأمر بطريقة أخرى ، إذا عرفنا حلول المعادلة ، فيمكننا إيجاد العوامل: تأخذ فقط الشكل (x & ناقص (محلول)). في هذا المثال ، الحلان هما 5 و & ناقص 3، وبالتالي فإن هذين العاملين هما (x &ناقص 5) و (x &ناقص (& ناقص 3)) الذي يبسط إلى (x & ناقص 5) و (x + 3) .

لذا يبدو أننا لو تمكنا من حل المعادلات التربيعية ، يمكننا تحليل المعادلات التربيعية إلى عوامل. لكن هناك صيغة لحل المعادلات التربيعية التي ربما تكون قد رأيتها من قبل: تقول ذلك

حلول المعادلة أx 2 + بx + C = 0
من خلال الصيغة

على سبيل المثال ، التربيعية x 2 & ناقص 2x & ناقص 15 لديه A = 1 ، B = & ناقص 2 و C = & ناقص 15. لذلك وفقًا للصيغة ، فإن حلول المعادلة x 2 & ناقص 2x & ناقص 15 = 0 هي:

بمعرفة الحلول ، يمكننا بعد ذلك كتابة العوامل كما هو موضح سابقًا. إليك إذن استراتيجية الاستخدام:

مثال

x 2 & ناقص 12x + 35

احصل على قيم A و B و C عن طريق الفحص.

عوّض بالقيم في الصيغة التربيعية وبسّط.

x 2 & ناقص 12x + 35 = (x & ناقص 5) (x & ناقص 7)

أدخل قيم A و B و C للتعبير

6x 2 & ناقص 18x + 43

أدخل قيم A و B و C للتعبير

x 2 + x & ناقص 6

هناك بعض المضاعفات التي تظهر عند استخدام هذه الطريقة لتحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل.

أولاً ، تتضمن الصيغة أحيانًا (اعتمادًا على قيم المعاملات) الجذر التربيعي لعدد سالب.

مثال

عوّض بالقيم في الصيغة التربيعية وبسّط.

يشير الجذر التربيعي لرقم سالب إلى أنه لا يمكن تحليل المعادلة التربيعية باستخدام الأعداد الحقيقية.

لكن لا يحتوي سالب 31 على جذر تربيعي حقيقي ، لذلك لا يمكن تحليل هذه المعادلة التربيعية باستخدام الأعداد الحقيقية.

حلل كل تعبير إلى عوامل حيثما أمكن ذلك أو اكتب & quotI Impossible & quot إذا كان لا يمكن تحليله باستخدام أرقام حقيقية.

المضاعفات التالية هي أن هناك في بعض الأحيان حل واحد فقط للصيغة.

مثال

x 2 & ناقص 8x + 16

احصل على قيم A و B و C عن طريق الفحص

عوّض بالقيم في الصيغة التربيعية وبسّط.

يشير الجذر التربيعي للصفر إلى أن المعادلة التربيعية هي مربع كامل.

x 2 & ناقص 8x + 16 = (x & ناقص 4) (x & ناقص 4) = (x & ناقص 4) 2

اكتب المربع الكامل.

لا يزال المزيد من التدريبات للممارسة:

ممارسه الرياضه

حلل كل تعبير إلى عوامل حيثما أمكن ذلك أو اكتب & quotI مستحيل & quot. Type two identical factors for perfect squares, (x+b)(x+b), or use the Excel and MATLAB notation (x+b)^2

The third and final complication occurs for quadratic expressions where A is not equal to 1.

Obtain the values of A, B and C by inspection

Substitute the values into the quadratic formula and simplify.

4 x 2 + 12x + 5 = 4(x + )(x + )

4 x 2 + 12x + 5 = 2(x + )2(x + )

4 x 2 + 12x + 5 = (2x + 5)(2x + 1)

To make the factorisation correct we have to multiply by the coefficient of x 2 in the original quadratic, that is multiply by أ. (No action is required if A = 1.)

Now you are fully armed to tackle any quadratic expression. Try these quadratic exercises.