مقالات

5.5: شروط أولية / حدية أكثر تعقيدًا - الرياضيات


ليس من الممكن دائمًا عند فصل المتغيرات فصل الشروط الأولية أو الحدود في شرط في إحدى الوظيفتين. يمكننا إما تعيين المشكلة إلى مسائل أبسط باستخدام تراكب الشروط الحدية ، وهي طريقة نوقشت أدناه ، أو يمكننا تحمل ثوابت تكامل إضافية.

اسمحوا لي أن أعطي مثالا على هذه الإجراءات. ضع في اعتبارك وجود سلسلة اهتزازية متصلة بمحمل هوائي ، تنزلق على طول قضبان تفصل بينهما مسافة 4 أمتار. يُطلب منك إيجاد الإزاحة لجميع الأوقات ، إذا كان الإزاحة الأولية ، أي عند (t = 0 ) s مترًا واحدًا والسرعة الابتدائية هي (x / t_0 ~ rm m / s ).

تتم كتابة المعادلة التفاضلية وشروط حدودها بسهولة ،

[ start {align} dfrac { جزئي ^ 2} { جزئي x ^ 2} u & = frac {1} {c ^ 2} dfrac { جزئي ^ 2} { جزئي t ^ 2} u، nonumber dfrac { جزئي} { جزئي x} u (0، t) & = dfrac { جزئي} { جزئي x} u (4، t) = 0، ؛ t> 0 ، nonumber u (x، 0) & = 1، nonumber dfrac { جزئي} { جزئي t} u (x، 0) & = x /t_0.end {align} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ماذا يحدث إذا أضفت حلين (v ) و (w ) من المعادلة التفاضلية التي تفي بنفس BC's كما هو مذكور أعلاه ولكن IC مختلفة ،

[ start {align} v (x، 0) = 0 &، & dfrac { جزئي} { جزئي t} v (x، 0) = x / t_0، nonumber w (x، 0) = 1 &، & dfrac { جزئي} { جزئي t} w (x، 0) = 0؟ end {align} ]

إجابه

(u ) = (v + w ) ، يمكننا إضافة BC.

إذا فصلنا المتغيرات ، (u (x ، t) = X (x) T (t) ) ، نجد أننا نحصل على شروط حدية سهلة لـ (X (x) ) ، [X '(0) = X '(4) = 0، ] لكن ليس لدينا مثل هذا الحظ لـ ((t) ). كما كان من قبل ، نحل معادلة القيمة الذاتية لـ (X ) ، ونجد حلولًا لـ ( lambda_n = frac {n ^ 2 pi ^ 2} {16} ) ، (n = 0،1 ، .. . ) و (X_n = cos ( frac {n pi} {4} x) ). نظرًا لعدم وجود شروط حدودية لـ (T (t) ) ، يتعين علينا اتخاذ الحل الكامل ،

[ start {align} T_0 (t) & = A_0 + B_0 t، nonumber T_n (t) & = A_n cos frac {n pi} {4} ct + B_n sin frac {n pi} {4} ct، end {align} ] وبالتالي [u (x، t) = dfrac {1} {2} (A_0 + B_0 t) + sum_ {n = 1} ^ infty left (A_n cos frac {n pi} {4} ct + B_n sin frac {n pi} {4} ct right) cos frac {n pi} {4} x. ]

الآن فرض الشروط الأولية

  • [u (x، 0) = 1 = dfrac {1} {2} A_0 + sum_ {n = 1} ^ infty A_n cos frac {n pi} {4} x، ] مما يعني (A_0 = 2 ) (A_n = 0، n> 0 ).
  • [ dfrac { جزئي} { جزئي t} u (x، 0) = x / t_0 = dfrac {1} {2} B_0 + sum_ {n = 1} ^ infty frac {n pi c} {4} B_n cos frac {n pi} {4} x. ] هذه هي سلسلة جيب فورييه من (x ) ، والتي واجهناها من قبل ، وتؤدي إلى المعاملات (B_0 = 4 ) و (B_n = - frac {64} {n ^ 3 pi ^ 3c} ) إذا كان (n ) فرديًا وصفر بخلاف ذلك.

لذا أخيرًا [u (x، t) = (1 + 2t) - frac {64} { pi ^ 3} sum_ {n ~ rm odd} frac {1} {n ^ 3} sin frac {n pi ct} {4} cos frac {n pi x} {4}. ]


شاهد الفيديو: كيف تحب الرياضيات وتكون عبقريا فيها -نصائح مهمة تساعدك في حب الرياضيات (شهر اكتوبر 2021).