مقالات

8.1: تشعب التوازن الأول - الرياضيات


سنقوم الآن بدراسة موضوع تشعب توازنات الحقول المتجهية المستقلة ، أو "" ماذا يحدث عندما تفقد نقطة التوازن القطعية الزائدية عندما تتنوع المعلمة؟ " سوف ندرس هذا السؤال من خلال سلسلة من الأمثلة ، ثم ندرس ما تعلمنا إياه الأمثلة عن "الوضع العام" (وما قد يكون هذا).

مثال ( PageIndex {22} ): تشعب العقدة السرجية

ضع في اعتبارك الحقل المتجه غير الخطي المستقل التالي على ( mathbb {R} ^ 2 ):

( نقطة {x} = mu x ^ 2 ) ،

[ dot {y} = y، (x، y) in mathbb {R} ^ 2، label {8.1} ]

حيث ( mu ) هي معلمة (حقيقية). يتم الحصول على نقاط التوازن (8.1) من خلال:

[(x، y) = ( sqrt {μ}، 0)، (- sqrt {μ}، 0). التسمية {8.2} ]

من السهل ملاحظة أنه لا توجد نقاط توازن لـ ( mu <0 ) ، ونقطة توازن واحدة لـ ( mu = 0 ) ، ونقطتا توازن لـ ( mu> 0 ).

يتم إعطاء اليعقوبي للحقل المتجه الذي تم تقييمه عند كل نقطة توازن من خلال:

[( sqrt {μ}، 0): begin {pmatrix} {-2 sqrt {μ}} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix}، label {8.3 } ]

مما يترتب على ذلك أن التوازن هو قطعي ومستقر بشكل مقارب لـ ( mu> 0 ) ، وغير متماثل لـ ( mu = 0 ).

[(- sqrt {μ}، 0): begin {pmatrix} {2 sqrt {μ}} & {0} {0} & {1} end {pmatrix} label {8.4} ]

مما يترتب على ذلك أن التوازن عبارة عن نقاط سرج زائدية لـ ( mu> 0 ) ، وغير همجي لـ ( mu = 0 ). نؤكد مرة أخرى أنه لا توجد نقاط توازن لـ ( mu <0 ).

نتيجة لـ "بنية" (8.1) يمكننا بسهولة تمثيل سلوك التوازن كدالة لـ ( mu ) في مخطط التشعب. وهذا يعني أنه نظرًا لأن المكونين x و y لـ (8.1) "منفصلان" ، والتغير في عدد وثبات التوازن الذي نلتقطه تمامًا بواسطة إحداثيات x ، يمكننا رسم المكون x للحقل المتجه كدالة لـ ( mu ) ، كما نوضح في الشكل 8.1.

في الشكل 8.2 نوضح تشعب التوازن لـ (8.1) في المستوى (x - y ).

يشار إلى هذا النوع من التشعب على أنه تشعب عقدة السرج (في بعض الأحيان قد يشار إليه أيضًا باسم تشعب أضعاف أو تشعب ظل ، ولكن يتم استخدام هذه المصطلحات بشكل أقل تكرارًا).

السمة الرئيسية لتشعب عقدة السرج هي التالية. نظرًا لتنوع المعلمة ( ( mu )) ، يتغير عدد التوازن من صفر إلى اثنين ، ويحدث التغيير عند قيمة معلمة مقابلة للتوازن اللذين يتحدان في توازن واحد غير هزلي.

( mu ) تسمى معلمة التشعب و ( mu = 0 ) تسمى نقطة التشعب.

مثال ( PageIndex {23} ) (التشعب الحرج)

ضع في اعتبارك الحقل المتجه غير الخطي المستقل التالي على ( mathbb {R} ^ 2 ):

( نقطة {x} = mu x-x ^ 2 ) ،

[ dot {y} = y، (x، y) in mathbb {R} ^ 2، label {8.5} ]

حيث ( mu ) هي معلمة (حقيقية). يتم الحصول على نقاط التوازن (8.5) من خلال:

[(س ، ص) = (0 ، 0) ، ( مو ، 0). التسمية {8.6} ]

يتم إعطاء اليعقوبي للحقل المتجه الذي تم تقييمه عند كل نقطة توازن من خلال:

[(0،0) begin {pmatrix} { mu} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix} label {8.7} ]

[( mu، 0) begin {pmatrix} {- mu} & {0} {0} & {1} end {pmatrix} label {8.8} ]

مما يلي أن (0 ، 0) مستقر بشكل مقارب لـ ( mu <0 ) ، وسرج قطعي لـ ( mu> 0 ) ، و (( mu ، 0) ) هو السرج الزائدي لـ ( mu <0 ) ومستقر بشكل مقارب لـ ( mu> 0 ). يتقاطع هذان الخطان من النقاط الثابتة عند ( mu = 0 ) ، حيث توجد نقطة ثابتة واحدة غير زائدية.

في الشكل 8.3 نعرض مخطط التشعب لـ (8.5) في مستوى ( mu - x ).

في الشكل 8.4 نوضح تشعب التوازن لـ (8.5) في مستوى (س - ص ) من أجل ( مو <0 ) ، ( مو = 0 ) ، و ( مو> 0 ).

يشار إلى هذا النوع من التشعب على أنه تشعب عبر الحرج.

السمة الرئيسية للتشعب عبر الحرج هي التالية. نظرًا لأن المعلمة ( ( mu )) متغيرة ، يتغير عدد التوازن من اثنين إلى واحد ، والعودة إلى اثنين ، ويحدث التغيير في عدد التوازن عند قيمة معلمة تقابل الاتزانين اللذين يتحدان في واحد غير زائدي حالة توازن.

مثال ( PageIndex {24} ) (تشعب الشوكة (فوق الحرجة)).

ضع في اعتبارك الحقل المتجه غير الخطي المستقل التالي على ( mathbb {R} ^ 2 ):

( نقطة {x} = mu x-x ^ 3 ) ،

[ dot {y} = -y، (x، y) in mathbb {R} ^ 2، label {8.9} ]

حيث ( mu ) هي معلمة (حقيقية). يتم الحصول على نقاط التوازن (8.9) من خلال:

[(x، y) = (0، 0)، ( sqrt { mu}، 0)، (- sqrt { mu}، 0) label {8.10} ]

يتم إعطاء اليعقوبي للحقل المتجه الذي تم تقييمه عند كل نقطة توازن من خلال:

[(0، 0) begin {pmatrix} { mu} & {0} {0} & {1} end {pmatrix} label {8.11} ]

[( pm sqrt {μ}، 0) begin {pmatrix} {-2 mu} & {0} {0} & {1} end {pmatrix} label {8.12} ]

مما يلي أن (0 ، 0) مستقر مقاربًا لـ ( mu <0 ) ، وسرج زائدي لـ ( mu> 0 ) ، و (( pm sqrt {μ} ، 0 ) ) مستقرة بشكل مقارب لـ ( mu> 0 ) ، ولا توجد لـ ( mu <0 ). يمر هذان المنحنيان من النقاط الثابتة عبر الصفر عند ( mu = 0 ) ، حيث توجد نقطة ثابتة واحدة غير زائدية.

في الشكل 8.5 نعرض مخطط التشعب لـ (8.9) في مستوى ( mu - x ).

في الشكل 8.6 نوضح تشعب التوازن لـ (8.9) في مستوى (x - y ) من أجل ( mu <0 ) ، ( mu = 0 ) ، و ( mu> 0 ).

مثال ( PageIndex {25} ) (تشعب الشوكة (دون الحرجة))

ضع في اعتبارك الحقل المتجه غير الخطي المستقل التالي على ( mathbb {R} ^ 2 ):

( نقطة {x} = mu x + x ^ 3 ) ،

[ dot {y} = y، (x، y) in mathbb {R} ^ 2، label {8.13} ]

حيث ( mu ) هي معلمة (حقيقية). يتم الحصول على نقاط التوازن (8.9) من خلال:

[(x، y) = (0، 0)، ( sqrt {μ}، 0)، (- sqrt {μ}، 0). التسمية {8.14} ]

يتم إعطاء اليعقوبي للحقل المتجه الذي تم تقييمه عند كل نقطة توازن من خلال:

[(0، 0) begin {pmatrix} { mu} & {0} {0} & {- 1} end {pmatrix} label {8.15} ]

[( pm sqrt { mu}، 0) begin {pmatrix} {-2 mu} & {0} {0} & {1} end {pmatrix} label {8.16} ]

مما يلي أن (0 ، 0) مستقر مقاربًا لـ ( mu <0 ) ، وسرج زائدي لـ ( mu> 0 ) ، و (( pm sqrt {μ} ، 0 ) ) هي سروج زائدية لـ ( mu <0 ) ، ولا توجد لـ ( mu> 0 ). يمر هذان المنحنيان من النقاط الثابتة عبر الصفر عند ( mu = 0 ) ، حيث توجد نقطة ثابتة واحدة غير زائدية. في الشكل 8.7 نعرض مخطط التشعب لـ (8.13) في مستوى ( mu - x ).

في الشكل 8.8 نوضح تشعب التوازن لـ (8.9) في مستوى (س - ص ) من أجل ( مو <0 ) ، ( مو = 0 ) ، و ( مو> 0 ).

نلاحظ أن عبارة تشعب مذراة فوق الحرج يشار إليها أيضًا على أنها خسارة ناعمة في الاستقرار ويشار إلى عبارة تشعب مذراة دون الحرجة على أنها خسارة فادحة في الاستقرار. ما يعنيه هذا هو ما يلي. في التشعب فوق الحرج ، حيث ينتقل ( mu ) من السالب إلى الموجب ، تفقد نقطة التوازن الاستقرار ، ولكن مع زيادة ( mu ) إلى ما بعد الصفر ، فإن المسارات القريبة من الأصل مقيدة بمدى البعد عن الأصل. يتحرك. في تشعب مذراة دون الحرج ، يفقد الأصل الاستقرار حيث يزداد ( mu ) من السالب إلى الموجب ، لكن المسارات بالقرب من التوازن غير المستقر يمكن أن تصبح غير محدودة.

من الطبيعي طرح السؤال ،

"ما هو الشائع حول هذه الأمثلة الثلاثة للتشعبات للنقاط الثابتة لحقول متجهية ذات بعد واحد؟" نلاحظ ما يلي.

  • من الضروري (ولكن ليس كافيًا) لتشعب نقطة ثابتة عدم زيادة عدد النقاط الثابتة.
  • يتم تحديد "طبيعة" التشعب (مثل عدد واستقرار النقاط الثابتة التي تم إنشاؤها أو تدميرها) من خلال شكل اللاخطية.

لكن يمكننا أن نذهب إلى أبعد من ذلك ونتساءل ما هو الشيء المشترك حول هذه الأمثلة التي يمكن أن تؤدي إلى تعريف تشعب نقطة ثابتة لحقول المتجه المستقلة؟ من السمات المشتركة نعطي التعريف التالي.

التعريف 21 (تشعب نقطة ثابتة لحقل متجه ذاتي البعد أحادي البعد)

نحن نعتبر حقل متجه ذاتي البعد واحدًا اعتمادًا على معلمة ، ( mu ). نفترض أنه عند قيمة معلمة معينة لها نقطة ثابتة ليست زائدية. نقول أن التشعب يحدث عند "قيمة المعلمة غير الزائدية" إذا كانت قيمة ( mu ) في جوار تلك المعلمة عدد النقاط الثابتة وتغيرات ثباتها.

أخيرًا ، ننتهي من مناقشة التشعبات لنقطة ثابتة لحقول متجهية مستقلة ذات بُعد واحد مع مثال يوضح أن النقطة الثابتة غير الزائدية قد لا تتشعب كمعامل متنوع ، أي أن عدم الزائدة شرط ضروري ، ولكنه غير كافٍ لـ تشعب.

مثال ( PageIndex {26} )

نحن نعتبر المجال المتجه أحادي البعد المستقل:

[ dot {x} = mu-x ^ 3، x in mathbb {R}، label {8.17} ]

حيث ( mu ) هي معلمة. يحتوي حقل المتجه هذا على نقطة ثابتة غير زائدية عند x = 0 من أجل ( mu = 0 ). يتم إعطاء منحنى النقاط الثابتة في مستوى ( mu - x ) بواسطة ( mu = x ^ 3 ) ، والحقل اليعقوبي للحقل المتجه هو (- 3x ^ 2 ) ، وهو بدقة سالب في جميع النقاط الثابتة ، باستثناء النقطة الثابتة غير الزائدية في الأصل.

في التين. 8.9 نرسم النقاط الثابتة كدالة لـ ( mu ).

نرى أنه لا يوجد تغيير في عدد أو استقرار النقاط الثابتة لـ ( mu> 0 ) و ( mu <0 ). وبالتالي ، لا تشعب.


إيجاد التوازن ونقاط التشعب من الدرجة الأولى ODE & # 39s

أحاول إيجاد نقاط التوازن والتشعب لـ $ frac= rx + xe ^ <-x> $ بدأت بملاحظة أن $ x = 0 $ نقطة توازن لكل $ r $. أيضًا ، قمت بعد ذلك بتعيين RHS مساويًا للصفر وحلت لـ $ x $. لقد وجدت أن $ x = - ln (-r) $ لذا هذا يعني أن $ r = -1 $ يخلق أيضًا نقطة توازن. لست متأكدًا تمامًا من أين يمكنني المضي قدمًا في هذه المشكلة لحل نقاط التشعب. أعلم أنني بحاجة إلى إنشاء مخطط تشعب ، وأعتقد أنني بحاجة إلى رسم رسم بياني باستخدام $ x $ في المحور الرأسي و $ r $ كمتغير مستقل. هل $ x = - ln (-r) $ ما أريد رسمه؟


2 إجابات 2

افترض أن $ ( bar،شريط) $ هو توازن النظام. معيار ل التوازن $ ( bar،شريط)$ للخضوع لتشعب هوبف عند $ lambda = 0 $ هو أن القيم الذاتية لليعاقبة تقييمها عند التوازن خيالية بحتة إذا كان $ lambda = 0 $.

لذا ، عليك أولاً إيجاد التوازن ثم البدء في اختبار أي من هذه الاتزان يمكن أن يخضع لتشعب هوبف عن طريق تقييم الجاكوبيان عند كل منهما.

إعداد $ dot= نقطة= 0 $ والحل ، من السهل إظهار أن $ (0،0) $ هو توازن لأي قيمة $ lambda $ وأنه إذا كان $ lambda geq 0 $ ، فهناك توازنان إضافيان

نحن نعلم أن تشعبات هوبف لا تزيل / تضيف التوازن ، إنها فقط تغير استقرار توازن واحد. لذلك ، بما أن الاتزان الثاني والثالث لا يوجدان إذا كان $ lambda & lt0 $ ويحدث التشعب عندما يكون $ lambda = 0 $ ، فلا يتعين علينا أخذها في الاعتبار عند البحث عن التشعب.

لذا قم بتوصيل $ بار= بار= 0 $ في اليعقوبي ، من السهل إظهار أن قيم eigenvalues ​​لـ $ J $ - أي الأرقام المركبة $ alpha_1 $ و $ alpha_2 $ بحيث أن $ det ( alpha_1 IJ) = det ( alpha_2 IJ) = 0 دولار (يجب عدم الخلط بينه وبين المعلمة $ lambda $) - هي تخيلية بحتة إذا كان $ lambda = 0 $.

تحرير: من الناحية الفنية ، كان يجب أن أقول أن المعيار هو أن "الجزء الحقيقي من قيم eigenvalues ​​لليعقوبي الذي يتم تقييمه عند علامة تبديل التوازن" بدلاً من "القيم الذاتية هي خيالية بحتة".

الخطوة 1: كما ذكر jkn ، فإن الخطوة الأولى هي إيجاد التوازن بحيث يكون $ dot x = dot y = 0 $. من السهل الحصول على التوازن $ (0، 0) $.

الخطوة 2: احسب قيمة eigenvalue حول التوازن $ (0، 0) $. $ J = left ( begin lambda & amp1 -1 & amp lambda end right) $ وبالتالي فإن المعادلة المميزة هي $ det ( tilde lambda I-J) = 0 $

تسمح معادلة aobve بقيمتين eigenvalue $ lambda pm i $. ويسمى التخيلي $ omega = 1 $.

من الواضح أن $ lambda: = 0 $ بحيث يكون للنظام الديناميكي زوج من الجذور الوهمية الخالصة $ pm i $، moverover $ frac| _ < lambda = 0> = frac| _ < lambda = 0> ( lambda pm i) = 1 & gt0 $ هناك يعرض النظام الديناميكي تشعب هوبف عند $ lambda = 0 $.

الخطوة 3 ، احسب تشعب هوبف. فكر في $ (J- tilde lambda I) left ( begin q_1 q_2 end right) = 0 $ نحصل على eigenvector $ left ( begin q_1 q_2 end يمين) = يسار ( ابدأ i 1 end حق) $. من ناحية أخرى ، ضع في اعتبارك $ (J ^ T- overline < tilde lambda> I) left ( begin p_1 p_2 end right) = 0 $ نحصل على eigenvector $ left ( begin p_1 p_2 end يمين) = يسار ( ابدأ i 1 end right) $ من الممكن دائمًا تطبيع $ mathbf p $ فيما يتعلق بـ $ mathbf p $: $ & lt mathbf p، mathbf q & gt = 1، mbox & lt mathbf p، mathbf q & gt = bar p_1q_1 + bar p_2 q_2 $ وبالتالي $ left ( begin p_1 p_2 end right) = frac <1> <2> اليسار ( start i 1 end حق) $

نشير إلى المصطلح غير الخطي $ mathbf F: = left ( begin F_1 F_2 end يمين) = يسار ( ابدأ 0 -x ^ 2y end right) $ قدم المتغير المركب $ z: = & lt left ( begin p_1 p_2 end يمين) يسار ( يبدأ x y end right) & gt $ ثم يصبح النظام الديناميكي $ dot z = ( lambda + i) z + g (z، bar z، lambda) mbox g (z، bar z، lambda ) = & lt left ( begin p_1 p_2 end يمين) يسار ( يبدأ F_1 F_2 end right) & gt $ تظهر بعض الحسابات المباشرة $ g (z، bar z، lambda) = frac <1> <2> (z ^ 3-z ^ 2 bar zz ​​bar z ^ 2 + bar z ^ 3): = frac> <6> z ^ 3 + frac> <2> z ^ 2 bar z + frac> <2> z bar z ^ 2 + frac> <6> bar z ^ 3 $

نتذكر أن معامل Lyapunov الأول هو $ l_1 = frac <1> <2 omega ^ 2> mbox (ig_ <20> g_ <11> + omega g_ <21>) $

نظرًا لأن $ omega = 1 $ ، $ g_ <20> = g_ <11> = 0 $ ، $ g_ <21> = -1 $ ، نحصل على $ l_1 = - frac <1> <2> & lt0 $ لذلك $ lambda = 0 $ هو تشعب هوبف التمثيلي الفائق.


2 إجابات 2

لدراسة نقاط التشعب لـ $ x '= lambda ^ 2-8a lambda x + 2x ^ 2، quad a in mathbb، $ نرى أن $ x '= 0 $ يعني أن $ x = frac < lambda> <2> left (4a pm sqrt <2 (8a ^ 2-1)> right). $ $ textbf$. إذا كان $ 8a ^ 2 & lt 1 $ ، فإن التعبير في الجذر هو رقم سلبي (حقيقي). لذلك لا توجد نقاط تشعب ، أي لا يوجد $ x in mathbb$ الذي سيعطي $ x '= 0 $.

$ textbf$. إذا كان $ 8a ^ 2 = 1 $ ، فإن $ x ^ * = 2a lambda $ ، وهي نقطة ثابتة (وهي جذر مزدوج). إذا أدخلت قيم $ x & lt 2a lambda $ في $ x '$ ، ثم $ x' & gt0 $. ستلاحظ أيضًا أنه إذا أدخلت قيم $ x & gt 2a lambda $ ، ثم $ x '& gt0 $. لذلك إذا قمت بتشويش النقطة الثابتة $ x ^ * $ قليلاً إلى اليسار ، فيبدو أنها عامل جذب. ولكن إذا قمت بتشويش $ x ^ * $ قليلاً إلى اليمين ، فيبدو أنها مبيد الحشرات. لذا فإن $ x ^ * $ ليس جاذبًا ولا مبيدًا ، بل هو نقطة شبه ثابتة.

$ textbf$. إذا كان $ 8a ^ 2 & gt 1 $ ، فهناك حالتان فرعيتان يجب مراعاتهما.

$ اللون< textbf> دولار. إذا كان $ lambda not = 0 $ ، فهناك نقطتان ثابتتان: $ x_1 ^ * = frac < lambda> <2> left (4a - sqrt <2 (8a ^ 2-1)> right )، quad x_2 ^ * = frac < lambda> <2> left (4a + sqrt <2 (8a ^ 2-1)> right). يمكننا استخدام تحليل مشابه كما في $ textbf$ ، أو يمكننا رسم المعادلة التفاضلية على الرسم البياني المستوي لنرى أن $ x_1 ^ * $ نقطة ثابتة جذابة (مستقرة) ، بينما $ x_2 ^ * $ نقطة ثابتة طاردة (غير مستقرة).

$ اللون< textbf> دولار. إذا كان $ lambda = 0 $ ، فإن $ x ^ * = 0 $ هي نقطة ثابتة (مزدوجة) ، وهي مماثلة لـ $ textbf$ .


2 إجابات 2

ماذا يحدث عندما يكون لدينا:

  • هناك ثلاث (نقاط توازن) ثابتة $ x = 0 ، x = pm sqrt < lambda> $.
  • نظرًا لأن المعامل $ lambda $ يمر عبر قيمة التشعب $ lambda = 0 $ ، يفقد التوازن عند الأصل ثباته من خلال إعطائه ما يصل إلى اثنين من الاتزان المستقر الجديد اللذين ينقسمان عند الأصل.
  • أصبحت نقطة التوازن $ x = 0 $ غير مستقرة لـ $ lambda gt 0 $ ، في حين أن النقطتين الثابتين الأخريين مستقرة.

مخطط التشعب الثابت

لنأخذ مجموعة من قيم $ lambda $ ونرسمها على مخطط $ lambda - x $ ($ lambda = r $ في الرسم البياني). يمكننا التفكير في هذه كنقاط زمنية منفصلة وتمثل كل نقطة $ lambda $ ثابتًا. يمثل اللون الأزرق المستقر والأحمر غير مستقر ، وهذه المنطقة غير مستقرة عندما يكون $ lambda = [0، + infty) $.

تشعب متفاوت مع الزمن

يمكننا ضم كل هذه النقاط لأن السلوك النوعي هو نفسه بالنسبة لهم من التحليل المحدد وسيكون:

جانبا: يمكننا النظر إلى السلوكيات طويلة المدى إذا أردنا أن نرسم هذا كخريطة لوجيستية. نحن لدينا:

الآن ، ماذا لو تمكنا من كتابة $ lambda $ متغير بمرور الوقت والذي اجتاز تلك النقاط بسلاسة ثم قم بتشغيل فيلم مخطط التشعب؟ سنرى النظام ينتقل من نظام مستقر إلى نظام غير مستقر أو مستقر اعتمادًا على مسار التشعب الذي يتم اتخاذه. يظهر سلوك النظام على المدى الطويل أنه يمكننا الحصول على بعض التقلبات الجامحة والفوضوية.

يكمن الخطر هنا في أنه لا يزال لدينا DEQ الأصلي لحلها ، لذا فإن إنشاء $ lambda $ متغير بمرور الوقت يمكن أن يخلق ODE من الصعب جدًا أو المستحيل حله تحليليًا ، لكن لا يزال بإمكاننا حلها رقميًا ومراقبة السلوكيات.

في مثال الكتاب الذي استشهدت به ، يمثل $ lambda $ معدل حصاد الأسماك. إذا علمنا أنه يمكننا استخدام $ lambda $ معين بمرور الوقت لمنح النظام وقتًا للتعافي (على سبيل المثال ، في هذا الشهر فقط يُسمح لك بالحصاد) ، فإن هذا سيعطي مجموعة الأسماك وقتًا للتعافي وبالتالي النظام لا تدخل أبدًا في حالة غير مستقرة (فقد السكان). سيكون من المفيد اكتشاف $ lambda $ المتغير بمرور الوقت والذي يقوم بذلك حيث يمكننا بعد ذلك تشغيل عمليات المحاكاة ومعرفة ما إذا كان المعامل مضبوطًا لذلك نتجنب دائمًا الانقراض مع بعض الهامش (نظرًا لأن الطبيعة لا يمكن التنبؤ بها للغاية) والحفاظ على السكان بشكل جيد داخل منطقة مستقرة.

بالنسبة لنظامنا الأصلي ، الحل هو:

إذا غيرنا $ lambda = t $ ، فسيصبح الحل:

حيث $ erfi (t) $ هي دالة الخطأ التخيلي (ugly).

تخيل لو كان لدينا دالة $ lambda (t) $ أكثر تعقيدًا ، طرق عددية للإنقاذ (إذا كانت قابلة للحل على الإطلاق). تجدر الإشارة أيضًا إلى أننا كنا نتعامل مع توازن له $ sqrt < lambda> $ وهناك حاجة أيضًا إلى العناية باختيار وظيفة متغيرة بمرور الوقت.

لذلك ، يمكنك أن ترى أن اختيار $ lambda (t) $ المناسب سيكون صعبًا بالفعل. ومع ذلك ، أعتقد أن الهدف من التمرين هو أنه يمكننا استخدامه لتشغيل محاكاة بمرور الوقت لمعرفة ما إذا كانت خيارات المعلمات يمكن تجنب المناطق غير المستقرة لنموذجنا ثم تكييفها وفقًا لذلك لمنحنا هامشًا للأشياء غير المحددة في العالم الحقيقي. بالنسبة للمشكلة التي تسأل عنها ، يكفي التفكير في $ lambda $ المتغير بسلاسة على مدى مخطط التشعب في وظيفة متغيرة بمرور الوقت. يعرض الفيلم السلوكيات النوعية بمرور الوقت.

ملخص من أعلى

  • يجب أن يكون المرء حريصًا على أن $ lambda (t) $ ليس سالبًا في هذا المثال المحدد نظرًا لنقاط التوازن.
  • لا توجد طريقة واضحة لاختيار $ lambda (t) $ لتجنب المشكلات أو تحليل السلوكيات.
  • يمكن أن يتغير $ lambda (t) $ بسرعة كبيرة بحيث يتم تغيير التشعب بسرعة كبيرة وإرسالك إلى مستقر - غير مستقر - شبه مستقر بسرعة كبيرة.
  • يمكن أن تؤدي الاختيارات المختلفة لـ $ lambda (t) $ إلى تغيير ديناميكيات نظامك وفي الواقع تغيير DEQ الخاص بك تمامًا لاختيارات مختلفة كما هو موضح أعلاه.

هذا لا يدعي أنه غير ممكن. إذا كان بإمكانك بطريقة ما اختيار $ lambda (t) $ الذي يتحرك ببطء ، ربما حتى محاكاة النقاط في الحالة التي لا تتغير بمرور الوقت أو لم تغير طبيعة النظام الديناميكي ، فقد يكون ذلك ممكنًا.

كان هناك بحث في هذا المجال كما هو مشار إليه في الإجابة الأخرى ، وقد تكون هذه العناصر أيضًا ذات أهمية كأمثلة:


الخطية

عملية التحليل الخطي التحليلية شاملة لتحليل النقاط الثابتة. يتم فحص الديناميكيات بالقرب من نقطة ثابتة ، ولكن ليس عند هذه النقطة. على سبيل المثال ، هل يوجد اضطراب في & # 8220left & # 8221 من النقطة وهل ترى كيف تتصرف الوظيفة أو تتقارب أو تتباعد؟ هذه طريقة واحدة لتحديد الاستقرار. يتم إجراء نفس الشيء مع & # 8220right & # 8221 للنقطة الثابتة. يتم استخدام الكلمة & # 8220 خطي & # 8221 لأنه أثناء العملية التحليلية ، يتم تجاهل مصطلحات الترتيب الأعلى (& gt 2) من سلسلة تايلور للوظيفة.

نظرية: افترض أن x ا هي نقطة توازن للمعادلة التفاضلية dx / dt = f (x) حيث f دالة قابلة للتفاضل باستمرار. وبالتالي،

3.) إذا كان df (x ا ) / dt = 0 ، إذن هناك حاجة إلى مزيد من المعلومات لتحديد نوع النقطة.


تشعبات

بينما يوجد تعريف دقيق مقبول بشكل عام لمصطلح "معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى" ، فإن هذا ليس هو الحال بالنسبة لمصطلح "التشعب". عرض "التشعب" كوصف لظواهر معينة بدلا من ذلك.

بطريقة فجة للغاية ، سنقول أن النظام يخضع للتشعب إذا وفقط إذا تغير السلوك العام للنظام ، الذي يعتمد على معلمة ، عندما يتغير المتغير. دعونا نوضح ذلك من خلال مثال ديناميكيات السكان. في الواقع ، ضع في اعتبارك المعادلة اللوجستية التي تصف مجموعة معينة من الأسماك

حيث P (t) هو عدد الأسماك في الوقت t. إذا افترضنا أن الأسماك يتم حصادها بمعدل ثابت (على سبيل المثال) ، فعلينا تعديل المعادلة التفاضلية إلى

حيث H & gt 0 هو معدل الحصاد الثابت. فيما يلي مثال بسيط لمشكلة في العالم الحقيقي تمت صياغتها بواسطة معادلة تفاضلية تتضمن معلمة (المعدل الثابت H). من الواضح أن الصيادين سيكونون سعداء إذا كانت H كبيرة ، بينما سيدافع علماء البيئة عن H أصغر (من أجل حماية مجموعة الأسماك). ما هو إذن الثابت `` الأمثل '' H (في حالة وجود مثل هذا الثابت) الذي يسمح بالحصاد الأقصى دون تعريض بقاء الأسماك للخطر؟

أولاً ، دعونا نلقي نظرة على التوازن (أو الحلول الثابتة) لهذا النموذج. يجب أن نحصل

لذلك 1. إذا كانت H & lt 1/4 ، فلدينا حلان ثابتان 2. إذا كانت H = 1/4 ، فعندئذ يكون لدينا حل واحد ثابت 3. إذا كانت H & gt 1/4 ، فليس لدينا حلول ثابتة.

هذا مثال على المقصود بـ "التشعب". كما ترى ، يتغير عدد التوازن (أو الحلول الثابتة) (من اثنين إلى صفر) مع تغير المعلمة H (من أقل من 1/4 إلى أعلى من 1/4). لاحظ أن هذا مجرد شكل واحد من أشكال التشعب هناك أشكال أو تغييرات أخرى ، والتي تسمى أيضًا التشعبات.

طريقة مفيدة جدًا لتوضيح التشعبات هي من خلال مخطط التشعب. مرة أخرى سوف نوضح هذه الأداة من خلال مثال الحصاد. في الواقع ، ضع في اعتبارك عدد الأسماك المصمم بواسطة المعادلة

حيث H & gt 0 هو المعدل الثابت الذي يتم فيه حصاد الأسماك. كما رأينا من قبل اعتمادًا على الرقم H ، قد يكون لدينا حلان أو حل واحد أو لا يوجد حلان ثابتان. دعنا نرسم هذا على مخطط به محورين على المحور الأفقي ، سنضع المعلمة H على المحور الرأسي ، سيكون لدينا قيم P ، مع إعطاء الحلول الثابتة ، أي

دعونا نضيف بعض الخطوط العمودية التي تصف خطوط الطور. في الواقع ، لكل رقم H ، الخط الرأسي المعطى بواسطة H هو خط الطور المرتبط بالمعادلة التفاضلية

تذكر أن خط الطور يحمل معلومات عن طبيعة الحلول الثابتة (أو التوازن) فيما يتعلق بتصنيفها كمصادر أو أحواض أو عقد. يتم إعطاء هذا التصنيف من خلال علامة الوظيفة. يرد الرسم البياني لقيم مختلفة لـ H أدناه

بتجميع كل شيء معًا ، نحصل على الرسم البياني التالي (والذي يسمى مخطط التشعب)

بدلاً من مجرد رسم بعض خطوط الطور ، سنقوم عادةً بتلوين المناطق. الصورة التالية توضح ذلك بشكل جيد للغاية:

دعنا نستخدم هذا الرسم البياني لمناقشة مصير تجمعات الأسماك مع زيادة المعلمة H. عندما يكون H = 0 (لا يوجد صيد) ، يميل عدد الأسماك إلى القدرة الاستيعابية P = 1 وهي حوض. إذا زادت H ولكنها بقيت أصغر من 0.25 ، فإن عدد الأسماك لا يزال يميل إلى عدد جديد وأصغر

وهو أيضًا حوض. عندما تزداد H أكثر وتتجاوز 0.25 ، فإن المعادلة التفاضلية لا تحتوي على نقاط توازن (حلول ثابتة). يتناقص عدد الأسماك ويعبر المحور t في وقت محدد. هذا يعني أن أعداد الأسماك سوف تختفي تمامًا في وقت محدود. ومن ثم ، من أجل تجنب مثل هذه النتيجة الكارثية ، يجب أن يكون H أقل بقليل من 0.25 ، وهو ما يسمى معدل الحصاد الأمثل. يجب أيضًا أن تضع في اعتبارك أن الرقم الأصغر قليلاً سيكون خيارًا أفضل من H = 0.25 نفسه ، نظرًا لأن نقطة التوازن الوحيدة لـ H = 0.25 ليست بالوعة (في الواقع ، إنها عقدة) وبسرعة عندما ينخفض ​​عدد السكان P إلى أقل من 0.5 ، سنشهد مرة أخرى الانقراض في وقت محدود

يوضح الرسم المتحرك التالي سلوك الحلول مع تغير H. تعتمد الرسوم المتحركة على المعادلة التفاضلية ص'=ص(1-ص/5)-ح. في هذه الحالة ، يحدث التشعب ، متى ح=1.25.


الملخص

تظهر المزيد والمزيد من الأدلة أن الضامة يمكنها إحداث تأثيرات مؤيدة للورم ومضادة للورم. أصبحت الدراسة التي أجريت على الضامة المعدلة وراثيًا لقتل الخلايا السرطانية اتجاهًا جديدًا للعلاج المضاد للسرطان في السنوات الأخيرة. في هذا البحث ، نقترح نموذجًا رياضيًا للتفاعلات بين الخلايا السرطانية ، الضامة M1 و M2 ، ودراسة الاستقرار والتشعبات حول التوازن الداخلي. يتضح أن النموذج يعرض تذبذبات دورية مستقرة متفرعة من تشعب هوبف ، مما يشير إلى التعايش طويل الأمد للخلايا السرطانية والبلاعم M1 و M2 وكذلك انتكاس الورم على المدى الطويل. علاوة على ذلك ، يتم إجراء تحليل الحساسية لتوضيح تأثير المعلمات على حجم الورم. تظهر نتائجنا أن زيادة في ξ (نسبة معدلات التنشيط بواسطة الخلايا السرطانية للبلاعم M2 / M1) تؤدي إلى انخفاض في الخلايا السرطانية ، وهو ما يمكن تفسيره بأن ξ له تأثيرات كبيرة على γ1 (معدل الانتقال من الضامة M1 إلى M2) و γ2 (معدل الانتقال من الضامة M2 إلى M1). ومن ثم ، فإن اضمحلال الخلايا السرطانية ليس فقط نتيجة التنشيط المباشر للخلايا الضامة M1 و M2 بواسطة الخلايا السرطانية ، ولكن أيضًا التأثير المشترك للانتقال بين الضامة M1 و M2.


مناهج متعددة النطاقات

مشعب مركزي

فكرة المشعب البطيء الثابت تعمم النتائج القديمة عنها الفتحات المركزية، لاستغلالها لتقليل الديناميات بالقرب من نقطة تشعب . دعونا نفكر في النظام الديناميكي x. = f (x، α) بالقرب من نقطة التشعب: في α = α c ، تفقد النقطة الثابتة x 0 ، المستقرة لـ α & lt α c ، ثباتها. ينعكس هذا على أكبر قيمة (قيم) ذاتية لمصفوفة الاستقرار Df x 0 ، α ، وهي λ 1 α & lt 0 لـ α & lt α c ، λ 1 α & gt 0 لـ α & gt α c ، و λ 1 α c = 0. المعلمة الصغيرة هي ε = λ 1. كانت النتيجة الرئيسية إظهار أنه ، بالقرب من نقطة التشعب ، تتطابق الأوضاع البطيئة مع الاتجاهات غير المستقرة والأوضاع السريعة ذات الاتجاهات المستقرة (Haken 1996). التحلل إلى متغيرات بطيئة وسريعة يحكمه نظرية المشعب المركزي: يمكن التعبير عن الحلول من حيث السعات على طول المتجهات الذاتية للفضاء الفارغ للديناميات عند ε = 0 ، تظهر هذه السعات على أنها ذات صلة معلمات الطلب بالقرب من التشعب. يشار إلى هذا باسم مبدأ العبودية. مقارنة بالإعداد الوارد في القسم الفرعي "المشعبات الثابتة البطيئة" ، يُعطى المشعب البطيء الثابت M هنا بواسطة المشعب المركزي.


تحليل التشعب لنموذج الجلوكوز مع تأثير السمنة

نظرا لأهمية دراسة التغير في الجلوكوز الذي يتأثر بالسمنة وينتج عنه تأثير سلبي على صحة الجسم ، فقد تم في هذا البحث تطوير نموذج استقلاب الجلوكوز لدراسة تأثير السمنة. تمت دراسة التشعبات والسلوك الديناميكي المرتبط بنموذجنا بالكامل. بالنسبة لنموذج عدم التأخير ، يتضح أن النموذج يخضع لتشعب البعد المشترك 1 مثل التشعبات الحرجة ، والتشعبات السرجية ، والتشعبات ذات البعد المشترك 2 مثل تشعبات القفزة المتولدة ، والقفز الصفري ، والتشعبات المنعزلة. من ناحية أخرى ، نعتبر أن هناك تأخرًا في الاستجابة لحساسية الأنسولين تحت تأثير السمنة. لذلك ، يعتبر التأخير الزمني τ عاملاً إضافيًا في نموذج استقلاب الجلوكوز. قمنا بتعيين الشرط لوجود قيمة معلمة التأخير التي يعرض النموذج تشعب هوبف لها. أخيرًا ، يتم تقديم عمليات المحاكاة العددية لدعم التحليل النظري وأيضًا لإظهار السلوكيات الديناميكية المعقدة بما في ذلك عائلات المنحنيات الدورية. يمكن للديناميات الموصوفة لهذا النموذج أن توضح بوضوح العديد من الملاحظات السريرية لتأثير السمنة على مستوى الجلوكوز والتذبذب والاضطراب ، مما يدعم دورها المحتمل في السيطرة على نسبة السكر في الدم


شاهد الفيديو: أضخم مراجعة للسنة 5 إبتدائي في مادة الرياضياتشرح مبسط و ممتاز (شهر اكتوبر 2021).