مقالات

9.3: حالات خاصة - رياضيات


بالنسبة للحالتين الخاصتين ، سأقدم الحل فقط. يتطلب الأمر قدرًا كبيرًا من الجبر لدراسة هاتين الحالتين.

الحالة الأولى: جذران متساويان

إذا كانت المعادلة غير الرسمية لها جذران متساويان ، ( gamma_1 = gamma_2 ) ، فلدينا حل واحد بالصيغة [y_1 (t) = t ^ { gamma_1} sum_ {n = 0} ^ infty c_n t ^ n. ] يتخذ الحل الآخر الشكل [y_2 (t) = y_1 (t) ln t + t ^ { gamma_1 + 1} sum_ {n = 0} ^ infty d_n t ^ n. ] لاحظ أن هذا الحل الأخير دائمًا ما يكون فريدًا عند (t = 0 ) ، مهما كانت قيمة ( gamma_1 )!

الحالة الثانية: جذرين يختلفان بعدد صحيح

إذا كانت المعادلة غير الرسمية التي تختلف بعدد صحيح ، ( gamma_1- gamma_2 = n> 0 ) ، فلدينا حل واحد على الشكل [y_1 (t) = t ^ { gamma_1} sum_ {n = 0 } ^ infty c_n t ^ n. ] يأخذ الحل الآخر الشكل [y_2 (t) = ay_1 (t) ln t + t ^ { gamma_2} sum_ {n = 0} ^ infty d_n t ^ n. ] يتم تحديد الثابت (أ ) عن طريق الاستبدال ، وفي بعض الحالات ذات الصلة يكون زوجيًا (0 ) ، بحيث تكون الحلول تستطيع يكون من شكل سلسلة معمم.

مثال ( PageIndex {1} ):

ابحث عن حلين مستقلين لـ [t ^ 2y '' + ty '+ ty = 0 ] بالقرب من (t = 0 ).

حل

المعادلة غير الرسمية هي ( gamma ^ 2 = 0 ) ، لذلك نحصل على حل واحد لصيغة السلسلة

[y_1 (t) = sum_n c_n t ^ n. ]

نجد

[ start {align *} t ^ 2y '_ 1 & = sum_n n (n-1) c_n t ^ n nonumber ty'_1 & = sum_n n c_n t ^ n non number ty_1 & = sum_nc_n t ^ {n + 1} = sum_ {n '} c_ {n'-1} t ^ {n'} end {align *} ]

نضيف شروط القوة المتساوية في (س ) ،

[ start {array} {rclclclclcl} t ^ 2y '_ 1 & = 0 & + & 0 t & + & 2c_2t ^ 2 & + & 6c_3t ^ 3 & + & ldots ty'_1 & = 0 & + & c_1t & + & 2c_2t ^ 2 & + & 3c_3t ^ 3 & + & ldots ty_1 & = 0 & + & c_0t & + & c_1t ^ 2 & + & c_2t ^ 3 & + & ldots hline t ^ 2y '+ ty' + ty & = 0 & + & (c_1 + c_0) t & + & (4c_2 + c_1) t ^ 2 & + & (9c_3 + c_2) t ^ 2 & + & ldots end {array} ]

كلتا الطريقتين تعطي [t ^ 2y '' + ty '+ ty = sum_ {n = 1} ^ infty (c_n n ^ 2 + c_ {n-1}) t ^ n، ]

ويؤدي إلى علاقة التكرار

[c_n = - frac {1} {n ^ 2} c_ {n-1} ] الذي يحتوي على الحل [c_n = (-1) ^ n frac {1} {n! ^ 2} ] وبالتالي [y_1 (t) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ n frac {1} {n! ^ 2} x ^ n ] دعونا نلقي نظرة على الحل الثاني

[y_2 (t) = ln (t) y_1 (t) + underbrace {t sum_ {n = 0} ^ infty d_n t ^ n} _ {y_3 (t)} ]

هنا استبدل سلسلة الطاقة برمز (y_3 ) للراحة. نجد

[ begin {align *} y_2 '& = ln (t) y_1' + frac {y_1 (t)} {t} + y_3 ' nonumber y_2' '& = ln (t) y_1' '+ frac {2y'_1 (t)} {t} - frac {y_1 (t)} {t ^ 2} + + y_3' ' end {align *} ]

بجمع كل هذا معًا ، لدينا ،

[ begin {align *} t ^ 2y_2 '' + ty_2 '+ ty_2 & = ln (t) left (t ^ 2 {y_1}' '+ t {y_1}' + t {y_1} right) -y_1 + 2ty'_1 + y_1 + t ^ 2 {y_3} '+ t {y_3}' + y_3 nonumber & = 2t {y_1} '+ t ^ 2 {y_3}' '+ t {y_3} '+ ty_3 = 0. end {align *} ]

إذا استبدلنا الآن توسعات السلسلة بـ (y_1 ) و (y_3 ) فسنحصل على [2c_n + d_n (n + 1) ^ 2 + d_ {n-1} = 0 ، ] والتي يمكن معالجتها من أجل النموذج

هنا توجد بعض المواد المفقودة

مثال ( PageIndex {2} ):

ابحث عن حلين مستقلين لـ [t ^ 2 {y '}' + t ^ 2 {y} '- ty = 0 ] بالقرب من (t = 0 ).

حل

المعادلة غير الرسمية هي ( alpha ( alpha-1) = 0 ) ، بحيث يكون لدينا جذرين يختلفان بعدد صحيح. حل ( alpha = 1 ) هو (y_1 = t ) ، كما يمكن التحقق منه عن طريق الاستبدال. يجب إيجاد الحل الآخر في النموذج

[y_2 (t) = في ln t + sum_ {k = 0} d_k t ^ k ]

نجد

[ begin {align *} y_2 '& = & a + a ln t + sum_ {k = 0} kd_k t ^ {k-1} nonumber y_2' '& = & a / t + sum_ {k = 0} k (k-1) d_k t ^ {k-2} nonumber end {align *} ]

وهكذا نجد [ begin {align *} t ^ 2y '_ 2 + t ^ 2y'_2-ty_2 = a (t + t ^ 2) + sum_ {k = q} ^ infty left [d_k k (k-1) + d_ {k-1} (k-2) right] t ^ k end {align *} ]

نجد

[d_0 = a، ؛ ؛ ؛ 2 d_2 + a = 0، ؛ ؛ ؛ d_k = (k-2) / (k (k-1)) d_ {k-1} ؛ ؛ (ك> 2) ]

عند الإصلاح (d_0 = 1 ) نجد [y_2 (t) = 1 + t ln t + sum_ {k = 2} ^ infty frac {1} {(k-1)! k!} (-1) ^ {k + 1} t ^ k ]


شاهد الفيديو: متوازي الأضلاع و حالات خاصة (شهر اكتوبر 2021).