مقالات

11.1: أ- اليعاقبة ، معكوس المصفوفات ، والقيم الذاتية - الرياضيات


في هذا الملحق ، نجمع بعض النتائج حول اليعاقبة والمعاكسات والقيم الذاتية لمصفوفات (2 مرات 2 ) التي يتم استخدامها بشكل متكرر في المادة.

أولاً ، نعتبر توسع تايلور لوظيفة ذات قيمة متجه لمتغيرين ، يُشار إليهما على النحو التالي:

[H (x، y) = begin {pmatrix} {f (x، y)} {g (x، y)} end {pmatrix}، (x، y) in mathbb {R} ^ 2 ، label {A.1} ]

بتعبير أدق ، سنحتاج إلى توسيع تايلور لهذه الوظائف من خلال الدرجة الثانية:

[H (x_ {0} + h، y_ {0} + k) = H (x_ {0}، y_ {0}) + DH (x_ {0}، y_ {0}) start {pmatrix} { h} {k} end {pmatrix} + mathcal {O} (2). التسمية {A.2} ]

يجب أن يكون توسع تايلور للدالة ذات القيمة العددية لمتغير واحد مألوفًا لمعظم الطلاب في هذا المستوى. من المحتمل أن يكون هناك إلمام أقل بتوسع تايلور لوظيفة متجهية ذات قيمة لمتغير متجه. ومع ذلك ، لحساب هذا ، نقوم فقط بتوسيع كل مكون من مكونات الوظيفة (وهي دالة ذات قيمة قياسية لمتغير متجه) في كل متغير ، مع الاحتفاظ بالمتغير الآخر ثابتًا للتوسع في هذا المتغير المحدد ، ثم نقوم بتجميع النتائج لـ كل مكون في شكل مصفوفة.

يؤدي تنفيذ هذا الإجراء لمكون (f (x، y) ) في المعادلة المرجع {A.1} إلى:

[ start {align} f (x_ {0} + h، y_ {0} + k) & = f (x_ {0}، y_ {0} + k) + frac { جزئي f} { جزئي x} (x_ {0}، y_ {0} + k) h + mathcal {O} (h ^ 2) [4pt] & = f (x_ {0}، y_ {0}) + frac { f} { جزئي y} (x_ {0}، y_ {0}) k + mathcal {O} (k ^ 2) + frac { جزئي f} { جزئي x} (x_ {0}، y_ {0}) h + mathcal {O} (hk) + mathcal {O} (h ^ 2). تسمية {A.3} نهاية {محاذاة} ]

يمكن تطبيق نفس الإجراء على (g (x، y) ). إعادة دمج المصطلحات في التعبير المتجه للمعادلة المرجع {A.1} يعطي:

[H (x_ {0} + h، y_ {0} + k) = begin {pmatrix} {f (x_ {0}، y_ {0})} {g (x_ {0}، y_ { 0})} end {pmatrix} + start {pmatrix} { frac { جزئي f} { جزئي x} (x_ {0}، y_ {0})} & { frac { جزئي f} { جزئي y} (x_ {0}، y_ {0})} { frac { جزئي g} { جزئي x} (x_ {0}، y_ {0})} & { frac { جزئي g} { جزئي y} (x_ {0}، y_ {0})} end {pmatrix} begin {pmatrix} {h} {k} end {pmatrix} + mathcal {O} (2 ) ، التسمية {A.4} ]

ومن ثم ، فإن اليعقوبي للمعادلة المرجع {A.1} في ((x_ {0}، y_ {0}) ) هو:

[ start {pmatrix} { frac { جزئي f} { جزئي x} (x_ {0}، y_ {0})} & { frac { جزئي f} { جزئي y} (x_ {0 }، y_ {0})} { frac { جزئي g} { جزئي x} (x_ {0}، y_ {0})} & { frac { جزئي g} { جزئي y} ( x_ {0}، y_ {0})} end {pmatrix}، label {A.5} ]

وهي مصفوفة (2 ضرب 2 ) من الأعداد الحقيقية.

سنحتاج إلى حساب معكوس مثل هذه المصفوفات ، وكذلك قيمها الذاتية.

نشير إلى مصفوفة (2 مرات 2 ) للأرقام الحقيقية:

[A = begin {pmatrix} {a} & {b} {c} & {d} end {pmatrix}، a، b، c، d in mathbb {R}. التسمية {A.6} ]

من السهل التحقق من أن معكوس A تم الحصول عليه من خلال:

[A ^ {- 1} = frac {1} {ad-bc} begin {pmatrix} {d} & {- b} {-c} & {a} end {pmatrix}. التسمية {A.7} ]

لنفترض أن ( mathbb {I} ) يشير إلى مصفوفة الهوية (2 times 2 ). ثم قيم eigenvalues ​​من A هي حلول المعادلة المميزة:

[det (A - lambda mathbb {I}) = 0. label {A.8} ]

حيث "det" هو تدوين محدد المصفوفة. هذه معادلة تربيعية في ( lambda ) لها حلين:

[ lambda_ {1،2} = frac {tr A} {2} pm frac {1} {2} sqrt {(tr A) ^ 2-4det A} ، label {A.9} ]

حيث استخدمنا الترميز:

(tr A equiv trace A = a + d )، (det A equiv selected A = ad-bc ).


وظائف المصفوفات

لوغاريتم أ ∈ ℂ ن×ن هي أي مصفوفة X مثل ذلك ه X = أ. كما رأينا في نظرية 1.27 ، أي لا معنى له أ عدد لا نهائي من اللوغاريتمات. في هذا الفصل أ ∈ ℂ ن×ن يُفترض أنه لا توجد قيم ذاتية على ℝ - و "السجل" يشير دائمًا إلى اللوغاريتم الأساسي ، والذي نتذكره من نظرية 1.31 هو اللوغاريتم الفريد الذي يقع طيفه في الشريط < ض : - π & lt أنا (ض) & lt π>.

يمكن أن تُعزى أهمية لوغاريتم المصفوفة إلى كونه الوظيفة العكسية للمصفوفة الأسية وهذه العلاقة الحميمة تؤدي إلى روابط وثيقة بين النظرية والطرق الحسابية للوظيفتين.

تم تنظيم هذا الفصل على النحو التالي. نبدأ بتطوير بعض الخصائص الأساسية للوغاريتم ، بما في ذلك الشروط التي بموجبها سجل صيغة المنتج (قبل الميلاد) = تسجيل الدخول (ب) + تسجيل (ج) يحمل. ثم نعتبر مشتق فريشيه والتكييف. تم اشتقاق توسعات سلسلة Mercator و Gregory ويتم شرح الخصائص المختلفة لتقريب Padé القطري إلى اللوغاريتم. تم تطوير نسختين من طريقة القياس والتربيع العكسي بشيء من التفصيل ، أحدهما يستخدم نموذج Schur والآخر يعمل بمصفوفات كاملة. ثم يتم اشتقاق خوارزمية Schur— Parlett التي تستخدم القياس والتربيع العكسي على الكتل القطرية مع صيغة خاصة للكتل 2 × 2. ثم يتم عرض تجربة عددية تقارن بين أربع طرق مختلفة. أخيرًا ، تم وصف خوارزمية لتقييم مشتق فريشيه.

نبدأ بتعبير متكامل للوغاريتم.

نظرية 11.1 (ريختر). ل أ ∈ ℂ ن×ن مع عدم وجود قيم ذاتية على ℝ - ،

تسجيل (A) = ∫ 0 1 (A - I) [t (A - I) + I] - 1 d t. (11.1)

دليل. يكفي لإثبات النتيجة قطريًا أ، بواسطة Theorem 1.20 ، وبالتالي يكفي إظهار هذا السجل x = ʃ0 1 (x − 1) [ر(x - 1) + ل] 1 د ل x ∈ ℂ الكذب ℝ - هذه المساواة الأخيرة فورية.


محددات الشرائح

ميتشل وايسبلوث ، في الذرات والجزيئات ، 1978

11.1 عناصر المصفوفة - عامة

في القسم 8.4 رأينا أن الموجات متعددة الإلكترونات تعمل ψ (λ1، λ2،…، λن) يجب أن يكون غير متماثل فيما يتعلق بتبادل إحداثيات (الفضاء والدوران) لأي إلكترونين. يمكن ضمان عدم التناسق من خلال التعبير عن دالة الموجة بدلالة محددات سلاتر كما في (8.4-13). لتسهيل حساب الكميات الفيزيائية المختلفة ، سنحتاج إلى تعبيرات لعناصر المصفوفة للمشغلين عندما تتم كتابة وظائف الموجة في شكل محدد.

فكر في نظام ثنائي الإلكترون ودع

في ψكأنا), ك عبارة عن تسمية تحدد مداريًا معينًا ، أي وظيفة إلكترون واحد تعتمد على إحداثيات الفضاء والدوران ، والفهرس i هو تسمية إلكترونية. يمكن اختصار التدوين بالكتابة

سوف يُفترض أيضًا أنه لأي مداري دوران مثل ψك و ψل

هذا له نتيجة فورية أن

أين ψأنا و ψي هي أي من الوظائف المحددة (11.1-1) - (11.1-3).

لنفترض الآن أن لدينا مجموع عوامل تشغيل إلكترون واحد

أين F1 و F2 لديهم نفس الاعتماد الوظيفي ولكن F1 يعمل فقط على مدار السبين الذي يشغله الإلكترون 1 ، أي ψ (λ1)، و F2 يعمل فقط على ψ (λ2). نظرًا لأن متغيرات التكامل متغيرات وهمية ، فقد نكتب

لذلك ، في ضوء العلاقة المتعامدة (11.1-5) ،

مع تعبيرات مماثلة لـ 〈ψ2|F| ψ2〉 و 〈ψ3|F| ψ3〉. للعناصر خارج القطر

مشغل ثنائي الإلكترون ز12 يعمل على كلا ψ (λ1) و ψ (λ2) ، على سبيل المثال ، في حالة عامل الطرد Coulomb الإلكتروني ه 2 /ص12. لعنصر قطري نموذجي

وللعناصر خارج القطر

يمكن تعميم هذه النتائج للحالة الخاصة لمحددات Slater (11.1-1) - (11.1-3) على محددات البعد التعسفي. وهكذا ، دعونا

يجب أن نلاحظ أيضًا الترتيب الذي تظهر به المدارات في (11.1-12) و (11.1-13) لأن تبادل عمودين (أو صفوف) سيغير علامة دالة الموجة المحددة. كما هو مكتوب سابقا الترتيب

لعنصر المصفوفة القطرية

فيها حجة أك والرقم على F تم حذفها ، لأنها ستصبح من الآن فصاعدًا ، لأنها تعسفية (انظر ، على سبيل المثال ، (11.1-7)). عنصر المصفوفة 〈ب|F|ب〉 له نفس الشكل فيما يتعلق ب ب المدارات. لعنصر مصفوفة خارج القطر

إذا أ و ب تختلف بأكثر من زوج واحد من المدارات ، و

إذا كان a k ≠ b l ، لكن بقية المدارات في ب هي نفسها الموجودة في أ. تحدث علامة الجمع عند الحاجة إلى عدد زوجي من التقاطعات لنقل بل المداري في كالموضع th أو ، بعبارة أخرى ، عندما يكون تكافؤ التقليب حتى علامة الطرح تظهر كنتيجة لتبديل التكافؤ الفردي. تم توفير أمثلة عن (11.1-18) بواسطة (11.1-9a) و (11.1-9c). يمكن أيضًا ملاحظة أنه بالنسبة لمشغلي الإلكترون الواحد مثل (11.1-14) ، فإن وظائف المنتج البسيطة والوظائف المحددة تعطي نفس عناصر المصفوفة.

عناصر المصفوفة القطرية جي نكون

وللعناصر خارج القطر لدينا الحالات:

إذا أ و ب تختلف بأكثر من اثنين أزواج من المدارات تدور ،

إذا أ و ب تختلف بزوج واحد من المدارات ، على سبيل المثال ، k ≠ b l ،

تنطبق نفس القاعدة الواردة في (11.1-18) على علامات ± في (11.1-21) و (11.1-22). يتم إعطاء أمثلة للعناصر المائلة وغير المائلة بواسطة (11.1-10) و (11.1-11).

سوف نفترض الآن أن مدار الدوران العام أأنا) يتكون من منتج دالة مكانية φأ(صأنا) ودالة الدوران ζأنا أ (مس). تكون الأخيرة دائمًا إما دالة α أو β spin اعتمادًا على ما إذا كان مس هو +1/2 أو −½. هكذا

التي تم فيها إدخال التعامد المتعامد لوظائف السبين.

إذا أ ، ب ، ج ، و د هي مدارات تدور بشكل (11.1 −23) ، يصبح عنصر المصفوفة العام لمشغل ثنائي الإلكترون

مصفوفة الفرقة

أ مصفوفة الفرقة عبارة عن مصفوفة متفرقة تظهر عناصرها غير الصفرية فقط على القطر الرئيسي وعلى أقطار صفرية أو أكثر على جانبي القطر الرئيسي.

توضيح

المصفوفة القطرية هي مصفوفة نطاق

مصفوفة هيسنبرج هي مصفوفة نطاق

مصفوفة القص هي مصفوفة الشريط

عرض ثنائي الأبعاد لمصفوفة النطاق

كتلة الأردن هي مصفوفة الشريط


رياضيات 130 الجبر الخطي

    وصف الدورة التدريبية. Math 130 هو مطلب لتخصصات الرياضيات والفيزياء ، ويوصى به بشدة للتخصصات في العلوم الأخرى خاصة بما في ذلك تخصصات علوم الكمبيوتر. تشمل الموضوعات أنظمة المعادلات الخطية وحلولها ، والمصفوفات وجبر المصفوفة ، ومحددات المصفوفات العكسية والتباديل ، ومساحات متجهية الأبعاد الحقيقية ، ومساحات المتجهات المجردة وبديهياتها ، والتحولات الخطية ، والمنتجات الداخلية (منتجات النقطة) ، والتعامد ، والمنتجات المتقاطعة ، و المساحات الفرعية للتطبيقات الهندسية ، الاستقلال الخطي ، قواعد الفراغات المتجهة ، الأبعاد ، متجهات eigen لرتبة المصفوفة ، قيم eigenvalisation ، قطرية المصفوفة. ستتم مناقشة بعض تطبيقات الجبر الخطي ، مثل رسومات الكمبيوتر ، وقوانين كيرشوف ورسكووس ، والانحدار الخطي (المربعات الصغرى) ، وسلسلة فورييه ، أو المعادلات التفاضلية.
    انظر أيضًا Clark & ​​rsquos الفهرس الأكاديمي.

    البروفيسور ر. الخميس 4: 00 & ndash5: 00 عن طريق التعيين. غرفة BP 345
    البروفيسور إي جويس. MWF 10: 00 & ndash10: 50 ، MWF 1: 00 & ndash2: 00. غرفة BP 322
    K. شولتز. يوم الإثنين 8:00 و ndash10: 00 الدروس الخصوصية. غرفة BP 316
    اجتماعات الفصل العادية ، 14 أسبوعًا ، 42 ساعة
    اثنان مساءا نصفي وامتحان نهائي 6 ساعات
    قراءة النص والاستعداد للفصل 4 ساعات اسبوعيا 56 ساعة
    أداء واجبات منزلية أسبوعية 56 ساعة
    لقاء مع مدرسين أو في مجموعات دراسية ، متغير من 4 إلى 12 ساعة
    المراجعة للنهائيات والنهائيات ، 12 ساعة
  • لتزويد الطلاب بفهم جيد لمفاهيم وطرق الجبر الخطي الموضحة بالتفصيل في المنهج الدراسي.
  • لمساعدة الطلاب على تطوير القدرة على حل المشكلات باستخدام الجبر الخطي.
  • لربط الجبر الخطي بمجالات أخرى داخل وخارج الرياضيات.
  • لتطوير التفكير المجرد والنقدي من خلال دراسة البراهين المنطقية والطريقة البديهية كما هو مطبق في الجبر الخطي.
  • معرفة العالم الطبيعي والثقافات والمجتمعات البشرية بما في ذلك المعرفة التأديبية التأسيسية والقدرة على استخدام طرق مختلفة لمعرفة العالم بأبعاده المتعددة. الطلاب سوف
    • تطوير فهم الجبر الخطي ، وهو مجال معرفي أساسي للرياضيات
    • تطوير فهم تطبيقات الجبر الخطي في الرياضيات والعلوم الطبيعية والاجتماعية
    • تطوير تقدير لتفاعل الجبر الخطي مع المجالات الأخرى
    • أن تكون قادرًا على استخدام المفاهيم والأساليب الموضحة في المنهج الدراسي
    • اكتساب مهارات الاتصال والتنظيم ، بما في ذلك الاتصال الكتابي الفعال في مهامهم الأسبوعية
    • تكون قادرة على متابعة الحجج المنطقية المعقدة وتطوير الحجج المنطقية المتواضعة
    • البدء في الالتزام بالتعلم مدى الحياة ، مع إدراك أن مجالات الرياضيات والنمذجة الرياضية والتطبيقات تتقدم بوتيرة سريعة
    • تعلم كيفية إدارة التعلم والتنمية الخاصة بهم ، بما في ذلك إدارة الوقت والأولويات والتقدم
    • التعرف على الموضوعات المتكررة والمبادئ العامة التي لها تطبيقات واسعة في الرياضيات خارج المجالات التي يتم تقديمها فيها
    • فهم التفاعل الأساسي بين النظرية والتطبيق في الجبر الخطي
    • تكون قادرة على حل المسائل عن طريق الجبر الخطي
    • يطبقون معرفتهم في حل المشكلات الحقيقية

    ستقدم مناقشة النص والفصل المفاهيم والأساليب والتطبيقات والحجج المنطقية التي سيقوم الطلاب بممارستها وحل المشكلات في المهام اليومية ، وسيتم اختبارها في الاختبارات القصيرة والنصف النهائي والنهائي.

    لقد فزنا & rsquot بتغطية جميع الموضوعات المدرجة أدناه بنفس العمق. بعض الموضوعات أساسية ونحن & rsquoll نغطيها بالتفصيل والبعض الآخر يشير إلى اتجاهات أخرى للدراسة في الجبر الخطي ونحن & rsquoll نتعامل معها على أنها استطلاعات. إلى جانب تلك الموضوعات المدرجة أدناه ، سنناقش بعض تطبيقات الجبر الخطي في أجزاء أخرى من الرياضيات والإحصاء والعلوم الفيزيائية والاجتماعية.

      المصفوفات. إضافة مصفوفة وضرب عددي. ضرب المصفوفة. مصفوفة الجبر. المصفوفة معكوسة. صلاحيات المصفوفة. المصفوفات المتناظرة والمدورة. المتجهات: جمعها وطرحها وضربها بواسطة العددية (أي الأعداد الحقيقية). تفسير رسومي لهذه العمليات المتجهية تطوير البصيرة الهندسية. المنتجات والمعايير الداخلية في صن: المنتجات الداخلية للناقلات (وتسمى أيضًا المنتجات النقطية) ، ومعيار المتجه (وتسمى أيضًا الطول) ، ونواقل الوحدة. تطبيقات المنتجات الداخلية في صن: خطوط ، طائرات في ص 3 ، والخطوط والطبقات المفرطة في ص ن .
      المصفوفة معكوسة. المصفوفات الأولية. مقدمة في المحددات ، محددات 2 × 2 و 3 × 3 ، مناطق المثلثات ومتوازيات الأضلاع في المستوى ، أحجام متوازيات السطوح ، اليعاقبة توصيف خصائص وتركيبات المحددات ، العوامل المساعدة ، المصفوفات المائلة والمثلثة. المزيد من خصائص المحددات ، خوارزمية لتقييم المحددات ، ومحددات المنتجات ، والمقلوب ، والمقللات ، وقاعدة Cramer & rsquos. التباديل والمحددات. المنتجات المتقاطعة.
      رتبة المصفوفة. رتبة وأنظمة المعادلات الخطية. نطاق.
      مجالات. الفراغات المتجهة ، تعريفها البديهي. خصائص الفراغات المتجهة التي تتبع البديهيات. الفراغات الفرعية للمساحات المتجهة. الامتداد الخطي.
      الاستقلال الخطي. التركيبات والأساس الخطي. سبان والاستقلال. القواعد. إحداثيات. البعد. الأساس والأبعاد في ص ن .
      التحولات الخطية. التحولات والمصفوفات الخطية. بعض التحولات الخطية للمستوى ص 2 المدى والمساحة الفارغة. إحداثيات. التكوين والفئات. تغيير الأساس والتشابه.
      القيم الذاتية والمتجهات الذاتية ومساحات eigenspaces. التناوب والقيم الذاتية المعقدة. المصفوفات المربعة القابلة للقياس.
      صلاحيات المصفوفات. أنظمة معادلات الفروق. المعادلات التفاضلية الخطية.
      المنتجات الداخلية. المنتجات المعيارية والداخلية في جن ومساحات المنتج الداخلية مجردة. عدم المساواة Cauchy & rsquos. التعامد. المصفوفات المتعامدة. عملية تقويم غرام شميدت
      قطري متعامد من المصفوفات المتماثلة. أشكال تربيعية.
      المجموع المباشر لمساحتين فرعيتين. مكملات متعامدة. التوقعات. توصيف الإسقاطات والإسقاطات المتعامدة. الإسقاط المتعامد على نطاق مصفوفة. تقليل المسافة إلى الفضاء الجزئي. وظائف ملائمة للبيانات: تقريب المربعات الصغرى.
      ارقام مركبة. دورة Dave & rsquos القصيرة حول الأعداد المركبة. مساحات ناقلات معقدة. المصفوفات المعقدة. مساحات داخلية معقدة للمنتج. المتقارنات Hermitian. قطري موحد ومصفوفات عادية. التحلل الطيفي.
    • التحولات الخطية. تعريف التحول الخطي إل: الخامس & rarr دبليو من مجال المجال الخامس إلى فضاء المجال المشترك دبليو. متي الخامس& نبسب = دبليو, إل يسمى أيضًا عامل تشغيل خطي في الخامس.
    • أمثلة إل: ص ن & rarr ص م . تشغيل المعاملات الخطية ص 2 بما في ذلك التدويرات والانعكاسات والتوسعات والتقلصات وتحولات القص والإسقاطات والهوية والتحولات الصفرية
    • الفضاء الفارغ (النواة) ونطاق (صورة) التحويل ، وأبعادهما ، والبطلان ورتب التحويل
    • نظرية البعد: راند زائد لا شيء يساوي أبعاد المجال
    • تمثيل مصفوفة للتحول الخطي بين مسافات متجهة ذات أبعاد محدودة مع قواعد محددة
    • عمليات التحولات الخطية الخامس & rarr دبليو. الفضاء المتجه لجميع التحولات الخطية الخامس & rarr دبليو. تكوين التحولات الخطية
    • تتوافق عمليات المصفوفة المقابلة ، على وجه الخصوص ، مع مضاعفة المصفوفة مع تكوين التحولات الخطية. صلاحيات المصفوفات المربعة. عمليات المصفوفة في ماتلاب
    • الانعكاس والتشابه. ثبات البعد في ظل التماثل. المصفوفات المعكوسة
    • تغيير مصفوفة الإحداثيات بين قاعدتين مختلفتين لمساحة متجه. المصفوفات المتشابهة.
    • مسافات مزدوجة.
    • [تمثيل مصفوفة للأعداد المركبة وآخر للمربعات. ملاحظة تاريخية عن الكواتيرنيونات.]
    • عمليات الصف الأولية والمصفوفات الأولية.
    • رتبة المصفوفة (رتبة الصف) وثنائي (رتبة عمودها).
    • خوارزمية لعكس المصفوفة. انقلاب المصفوفة في ماتلاب
    • نظم المعادلات الخطية من حيث المصفوفات. مصفوفة المعامل والمصفوفة المعززة. المعادلات المتجانسة وغير المتجانسة. مساحة الحل والاتساق وعدم تناسق الأنظمة.
    • انخفاض شكل الصف ، طريقة الإزالة (تسمى أحيانًا إزالة Gaussian أو تقليل Gauss-Jordan)
    • محددات 2x2 للأمر 2. تعدد الخطوط. معكوس مصفوفة 2x2. منطقة مُشار إليها في مستو متوازي أضلاع ، مساحة مثلث.
    • نxن المحددات. توسيع العامل المساعد
    • محددات الحوسبة في ماتلاب
    • خصائص المحددات. التحويل ، وتأثير عمليات الصف الأولية ، وتعدد الخطوط. محددات المنتجات والعاكسات والمحولات. حكم كريمر و رسكوس للحل ن المعادلات في ن غير معروف.
    • حجم إشارة موازٍ في 3 مسافات
    • [موضوع اختياري: التباديل وانعكاسات التباديل الزوجية والفردية]
    • [موضوع اختياري: منتجات متقاطعة بتنسيق ص 3 ]
    • مسافة eigens للمشغل الخطي هي فضاء فرعي يعمل فيه العامل كضرب بثابت ، يُطلق عليه قيمة eigenvalue (وتسمى أيضًا القيمة المميزة). المتجهات في فضاء eigenspace كلها متجهات ذاتية لتلك القيمة الذاتية.
    • التفسير الهندسي للمتجهات الذاتية والقيم الذاتية. النقاط الثابتة و 1-eigenspace. الإسقاطات و 0-eigenspace الخاصة بهم. تأملات لها & ndash1-eigenspace.
    • سؤال قطري.
    • كثير الحدود المميز.
    • القيم الذاتية المعقدة والتناوب.
    • خوارزمية لحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
    • المنتجات الداخلية لمساحات المتجهات الحقيقية والمعقدة (للمساحات المتجهة الحقيقية ، تُسمى المنتجات الداخلية أيضًا المنتجات النقطية أو المنتجات العددية) والمعايير (تسمى أيضًا الأطوال أو القيم المطلقة). مساحات المنتج الداخلية. ناقلات في ماتلاب.
    • عدم مساواة المثلث وعدم المساواة بين كوشي وشوارتز ، خصائص أخرى للمنتجات الداخلية
    • الزاوية بين متجهين
    • تعامد المتجهات ("المتعامد" و "العادي" هما كلمات أخرى لـ "عمودي")
    • متجهات الوحدة ونواقل الوحدة القياسية في ص ن
    • أساس متعامد

    ملاحظات الفصل ، الاختبارات القصيرة ، الاختبارات ، الواجبات المنزلية

    • بعض التعيينات
      1. التدريبات من 1.1 إلى 1.7 صفحة 53 ، والمشكلات من 1.1 إلى 1.6 صفحة 55.
      2. المشاكل من 1.8 إلى 1.14 صفحة 57.
      3. المشاكل من 2.1 إلى 2.8 صفحة 86.
      4. التدريبات من 3.1 إلى 3.8 ، 3.11 صفحة 125. (لاحظ أن هذه هي التمارين وليست المشكلات.)
      5. تمارين من 4.1 إلى 4.6 ، صفحة 144.
      6. المشاكل من 5.1 إلى 5.7 ، صفحة 170.
      7. مشاكل مختلفة من الفصلين 6 و 7. (مهام مختلفة في أقسام الفصل المختلفة)

      : تراكيب النظريات والبراهين ، البراهين التركيبية والتحليلية ، الرموز المنطقية ، والبراهين المكتوبة جيدًا
    • قليلا عن المجموعات


    لما نعملها بهذه الطريقه؟

    قد تبدو هذه طريقة غريبة ومعقدة في الضرب ، لكنها ضرورية!

    يمكنني أن أعطيك مثالًا من الحياة الواقعية لتوضيح سبب قيامنا بضرب المصفوفات بهذه الطريقة.

    مثال: يبيع المتجر المحلي 3 أنواع من الفطائر.

    • تكلفة فطائر التفاح $3 كل
    • تكلفة فطائر الكرز $4 كل
    • تكلفة فطائر التوت $2 كل

    وهذا هو العدد الذي باعوه في 4 أيام:

    الآن فكر في هذا. ال قيمة المبيعات ليوم الاثنين يتم حسابها بهذه الطريقة:

    إذن فهو ، في الواقع ، "المنتج النقطي" للأسعار وعدد ما تم بيعه:

    ($3, $4, $2) • (13, 8, 6) = $3×13 + $4×8 + $2×6
    = $83

    نحن تطابق السعر للعدد المباع ، تتضاعف كل ، إذن مجموع النتيجة.

    • وكانت مبيعات يوم الاثنين هي: فطائر التفاح: $3×13=$39فطائر الكرز: $4×8=$32و فطائر العنبية: $2×6=$12. معًا هذا هو 39 دولارًا + 32 دولارًا + 12 دولارًا = $83
    • ويوم الثلاثاء: $3×9 +$4×7 + $2×4 =$63
    • ويوم الأربعاء: $3×7 +$4×4 + $2×0 =$37
    • ويوم الخميس: $3×15 +$4×6 + $2×3 =$75

    لذلك من المهم مطابقة كل سعر لكل كمية.

    الآن أنت تعرف لماذا نستخدم "المنتج النقطي".

    وإليك النتيجة الكاملة في شكل ماتريكس:

    باعوا $83 يستحق الفطائر يوم الاثنين ، $63 يوم الثلاثاء ، إلخ.

    (يمكنك وضع هذه القيم في حاسبة المصفوفة لمعرفة ما إذا كانت تعمل أم لا.)


    القسم الفرعي 5.6.2 المصفوفات العشوائية والحالة المستقرة

    في هذا القسم الفرعي ، نناقش معادلات الفرق التي تمثل الاحتمالات، مثل مثال الصندوق الأحمر. تسمى هذه الأنظمة سلاسل ماركوف. النتيجة الأكثر أهمية في هذا القسم هي نظرية بيرون-فروبينيوس ، التي تصف السلوك طويل المدى لسلسلة ماركوف.

    تعريف

    هو العشوائية إذا كانت جميع إدخالاته غير سالبة ، ومجموع إدخالات كل عمود إلى

    المصفوفة هي إيجابي إذا كانت جميع إدخالاتها أرقامًا موجبة.

    المصفوفة العشوائية الموجبة هي مصفوفة عشوائية تكون جميع إدخالاتها أرقامًا موجبة. على وجه الخصوص ، لا يوجد إدخال يساوي الصفر. على سبيل المثال ، المصفوفة الأولى أدناه هي مصفوفة عشوائية موجبة ، والثانية ليست:

    ملاحظة

    بشكل عام ، أ عادي المصفوفة العشوائية هي مصفوفة عشوائية

    تنطبق نظرية بيرون-فروبينيوس أدناه أيضًا على المصفوفات العشوائية المنتظمة.

    مثال

    استمرارًا لمثال الصندوق الأحمر ، المصفوفة

    هي مصفوفة عشوائية إيجابية. حقيقة أن مجموع الأعمدة

    يقول أنه يجب إعادة جميع الأفلام المستأجرة من كشك معين إلى بعض كشك آخر (تذكر أن كل عميل يعيد فيلمه في اليوم التالي). على سبيل المثال ، يقول العمود الأول:

    من الافلام المستأجرة من الكشك

    30٪ willbereturnedtokiosk1 30٪ willbereturnedtokiosk2 40٪ willbereturntokiosk3.

    حيث يتم إرجاع جميع الأفلام إلى أحد الأكشاك الثلاثة.

    يمثل تغيير الحالة من يوم إلى آخر:

    هذا يقول أن مجموع عدد نسخ Prognosis Negative في الأكشاك الثلاثة لا يتغير من يوم لآخر كما نتوقع.

    حقيقة أن مداخل النواقل

    مجموع نفس الرقم هو نتيجة لحقيقة أن مجموع أعمدة المصفوفة العشوائية

    كن مصفوفة عشوائية ، دعنا

    ثم مجموع مداخل

    يساوي مجموع إدخالات

    تبين أن حساب السلوك طويل المدى لمعادلة الاختلاف هو مشكلة ذات قيمة ذاتية. القيم الذاتية للمصفوفات العشوائية لها خصائص خاصة جدًا.

    أن تكون مصفوفة عشوائية. ثم:

    هي قيمة ذاتية (حقيقية أو معقدة) لـ

    دليل

    العشوائية ، ثم صفوف من

    لكن بضرب المصفوفة في المتجه

    لها نفس خاصية كثيرة الحدود:

    لذلك فهي أيضًا قيمة ذاتية لـ

    الإدخال رقم لمعادلة المتجه هو

    بأكبر قيمة مطلقة ، لذلك

    حيث تحمل المساواة الأخيرة بسبب

    في الواقع ، بالنسبة لـ إيجابي مصفوفة عشوائية

    هي قيمة ذاتية (حقيقية أو معقدة) لـ

    تعد مساحة -eigens لمصفوفة عشوائية مهمة جدًا.

    تعريف

    أ حالة مستقرة من مصفوفة عشوائية

    بحيث تكون الإدخالات إيجابي ومجموع

    تصف نظرية بيرون-فروبينيوس السلوك طويل المدى لمعادلة فرق ممثلة بمصفوفة عشوائية. والدليل خارج نطاق هذا النص.

    نظرية بيرون-فروبينيوس

    أن تكون مصفوفة عشوائية إيجابية. ثم

    يقبل ناقل فريد من نوعه في حالة ثابتة

    مع إدخالات تلخيص لبعض الأرقام

    ترجمة: تقدم نظرية بيرون-فروبينيوس التأكيدات التالية:

    -eigenspace عند الضرب المتكرر في

    ينبغي للمرء أن يفكر في ناقل الحالة المستقرة

    كمتجه ل النسب المئوية. على سبيل المثال ، إذا تم توزيع الأفلام وفقًا لهذه النسب اليوم ، فسيكون لها نفس التوزيع غدًا ، منذ ذلك الحين

    وبغض النظر عن بدء توزيع الأفلام ، سيكون التوزيع طويل المدى دائمًا هو ناقل الحالة المستقرة.

    هل الرقم الإجمالي من الأشياء في النظام الذي يتم نمذجته. لا يتغير العدد الإجمالي ، لذلك يجب أن تقترب حالة النظام على المدى الطويل

    لأنه موجود في

    -eigenspace وإدخالات

    وصفة 1: حساب متجه الحالة المستقرة

    أن تكون مصفوفة عشوائية إيجابية. فيما يلي كيفية حساب متجه الحالة المستقرة لـ

    بمجموع إدخالات

    الوصفة أعلاه مناسبة لإجراء العمليات الحسابية يدويًا ، لكنها لا تستفيد من حقيقة ذلك

    هي مصفوفة عشوائية. من الناحية العملية ، من الأسرع عمومًا حساب متجه الحالة المستقرة بواسطة الكمبيوتر على النحو التالي:

    الوصفة الثانية: تقريب متجه الحالة المستقرة بواسطة الكمبيوتر

    أن تكون مصفوفة عشوائية إيجابية. فيما يلي كيفية تقريب متجه الحالة المستقرة لـ

    مثال (أ
    مثال

    بالاستمرار في مثال الصندوق الأحمر ، يمكننا توضيح نظرية Perron-Frobenius بشكل صريح. المصفوفة

    له كثير الحدود مميزة

    هي أكبر في القيمة المطلقة من القيم الذاتية الأخرى ، وأن لها تعدد جبري (وبالتالي ، هندسي)

    نحسب المتجهات الذاتية لقيم eigenvalues

    يحتوي بالضرورة على إدخالات إيجابية يكون متجه الحالة المستقرة

    تكرار الضرب في

    وهو متجه مع القيمة الذاتية

    ، على النحو الذي تضمنه نظرية Perron – Frobenius.

    ماذا تقول الحسابات المذكورة أعلاه عن عدد نسخ التشخيص السلبي في أكشاك أتلانتا ريد بوكس؟ افترض أن الأكشاك تبدأ بـ 100 نسخة من الفيلم ، بـ

    كن المتجه الذي يصف هذه الحالة. ثم سيكون هناك

    الأفلام في الأكشاك في اليوم التالي ،

    في اليوم التالي ، وما إلى ذلك. نحن نسمح

    (بالطبع ليس من المنطقي أن يكون لديك عدد كسري من الأفلام ، يتم تضمين الكسور العشرية هنا لتوضيح التقارب.) يقول ناقل الحالة المستقرة أنه في النهاية ، سيتم توزيع الأفلام في الأكشاك وفقًا للنسب المئوية

    38.888888% 33.333333% 27.777778%

    الذي يتفق مع الجدول أعلاه. علاوة على ذلك ، هذا التوزيع مستقل بداية توزيع الأفلام في الأكشاك.

    ننتقل الآن إلى تصور ديناميكيات (أي الضرب المتكرر بواسطة) المصفوفة

    هذه المصفوفة قابلة للتحديد قطريًا لدينا

    -تنسيق دون تغيير ، موازين

    الضرب المتكرر في

    - تنسق صغيرة جدًا ، لذلك "تمتص جميع النواقل في

    ولكن فيما يتعلق بنظام الإحداثيات الذي تحدده الأعمدة

    "تمتص جميع النواقل في

    -eigenspace "، دون تغيير مجموع إدخالات المتجهات.

    انقر فوق "ضرب" لمضاعفة النقاط الملونة في

    على اليمين. لاحظ أنه على كلا الجانبين ، يتم "امتصاص جميع النواقل في

    -eigenspace "(الخط الأخضر). (لقد صعدنا

    بحيث يكون للناقلات نفس الحجم تقريبًا على اليمين واليسار. "القفزة" التي تحدث عند الضغط على "ضرب" هي نفي لـ

    -eigenspace ، وهي ليست متحركة.)

    تكون صورة المصفوفة العشوائية الموجبة هي نفسها دائمًا ، سواء كانت قابلة للتقطير أم لا: يتم امتصاص جميع النواقل في

    -eigenspace ، " وهو خط ، دون تغيير مجموع مداخل المتجهات. هذا هو المحتوى الهندسي لنظرية بيرون-فروبينيوس.


    حاسبة المصفوفة

    المصفوفة ، في سياق رياضي ، هي مصفوفة مستطيلة من الأرقام أو الرموز أو التعبيرات المرتبة في صفوف وأعمدة. غالبًا ما تستخدم المصفوفات في المجالات العلمية مثل الفيزياء ورسومات الكمبيوتر ونظرية الاحتمالات والإحصاء وحساب التفاضل والتكامل والتحليل العددي والمزيد.

    أبعاد المصفوفة ، أ، عادة ما يشار إليها باسم م & # 215 ن. هذا يعني ذاك أ لديها م من الصفوف و ن الأعمدة. عند الإشارة إلى قيمة محددة في مصفوفة ، تسمى عنصرًا ، غالبًا ما يتم استخدام متغير به خطين للإشارة إلى كل عنصر بناءً على موضعه في المصفوفة. على سبيل المثال ، معطى أاي جاي، أين أنا = 1 و ي = 3, أ1,3 هي قيمة العنصر في الصف الأول والعمود الثالث من المصفوفة المعطاة.

    تشبه عمليات المصفوفة مثل الجمع والضرب والطرح وما إلى ذلك ما اعتاد معظم الناس على رؤيته في الحساب والجبر الأساسيين ، ولكنها تختلف في بعض النواحي وتخضع لقيود معينة. فيما يلي وصف لعمليات المصفوفة التي يمكن أن تؤديها هذه الآلة الحاسبة.

    إضافة مصفوفة

    لا يمكن إجراء إضافة المصفوفة إلا على مصفوفات من نفس الحجم. هذا يعني أنه لا يمكنك إضافة مصفوفتين إلا إذا كانت كلتا المصفوفتين م & # 215 ن. على سبيل المثال ، يمكنك إضافة اثنين أو أكثر 3 × 3, 1 × 2، أو 5 × 4 المصفوفات. لا يمكنك إضافة ملف 2 × 3 و أ 3 × 2 مصفوفة ، أ 4 × 4 و أ 3 × 3، إلخ. يجب أن يتطابق عدد الصفوف والأعمدة لجميع المصفوفات المضافة تمامًا.

    إذا كانت المصفوفات بنفس الحجم ، تتم إضافة المصفوفة عن طريق إضافة العناصر المقابلة في المصفوفات. على سبيل المثال ، بالنظر إلى مصفوفتين ، أ و بمع العناصر أاي جاي، و باي جاي، تتم إضافة المصفوفات بإضافة كل عنصر ، ثم وضع النتيجة في مصفوفة جديدة ، ج، في الموضع المقابل في المصفوفة:

    في المصفوفات أعلاه ، أ1,1 = 1 أ1,2 = 2 ب1,1 = 5 ب1,2 = 6 إلخ نضيف العناصر المقابلة للحصول عليها جاي جاي. إضافة القيم في الصفوف والأعمدة المقابلة:

    أ1,1 + ب1,1 = 1 + 5 = 6 = ج1,1
    أ1,2 + ب1,2 = 2 + 6 = 8 = ج1,2
    أ2,1 + ب2,1 = 3 + 7 = 10 = ج2,1
    أ2,2 + ب2,2 = 4 + 8 = 12 = ج2,2

    وهكذا ، المصفوفة ج هو:

    طرح المصفوفة

    يتم إجراء طرح المصفوفة بنفس طريقة إضافة المصفوفة الموضحة أعلاه ، باستثناء طرح القيم بدلاً من إضافتها. إذا لزم الأمر ، ارجع إلى المعلومات والأمثلة أعلاه لوصف الترميز المستخدم في المثال أدناه. مثل إضافة المصفوفة ، يجب أن تكون المصفوفات التي يتم طرحها بنفس الحجم. إذا كانت المصفوفات بنفس الحجم ، فسيتم طرح المصفوفة عن طريق طرح العناصر في الصفوف والأعمدة المقابلة:

    وهكذا ، المصفوفة ج هو:

    ضرب المصفوفة

    الضرب القياسي:

    يمكن ضرب المصفوفات بقيمة عددية بضرب كل عنصر في المصفوفة في العدد القياسي. على سبيل المثال ، معطى مصفوفة أ وعددي ج:

    نتاج ج و أ هو:

    ضرب المصفوفة:

    يعتبر ضرب مصفوفتين (أو أكثر) أكثر أهمية من الضرب في عدد. من أجل ضرب مصفوفتين ، يجب أن يتطابق عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مع عدد الصفوف في المصفوفة الثانية. على سبيل المثال ، يمكنك ضرب 2 × 3 مصفوفة من قبل أ 3 × 4 مصفوفة ، ولكن ليس ملف 2 × 3 مصفوفة من قبل أ 4 × 3.

    لاحظ أنه عند ضرب المصفوفات ، أ & # 215 ب لا يساوي بالضرورة ب & # 215 أ. في الحقيقة ، فقط لأن أ يمكن ضربها ب لا يعني ذلك ب يمكن ضربها أ.

    إذا كانت المصفوفات هي الأحجام الصحيحة ، ويمكن ضربها ، يتم ضرب المصفوفات بتنفيذ ما يعرف باسم حاصل الضرب النقطي. يتضمن حاصل الضرب النقطي ضرب العناصر المقابلة في صف المصفوفة الأولى ، في أعمدة المصفوفة الثانية ، وتلخيص النتيجة ، مما ينتج عنه قيمة واحدة. لا يمكن تنفيذ حاصل الضرب النقطي إلا على متواليات ذات أطوال متساوية. هذا هو السبب في أن عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى يجب أن يتطابق مع عدد صفوف الثانية.

    ثم يصبح حاصل الضرب النقطي هو القيمة في الصف والعمود المقابل للمصفوفة الجديدة ، ج. على سبيل المثال ، من القسم أعلاه من المصفوفات التي يمكن ضربها ، يكون الصف الأزرق في أ بالعمود الأزرق في ب لتحديد القيمة في العمود الأول من الصف الأول من المصفوفة ج. يشار إلى هذا على أنه حاصل الضرب القياسي للصف 1 من أ والعمود 1 من ب:

    يتم تنفيذ حاصل الضرب القياسي لكل صف من أ وكل عمود من ب حتى تكتمل جميع تركيبات الاثنين لإيجاد قيمة العناصر المقابلة في المصفوفة ج. على سبيل المثال ، عند تنفيذ حاصل الضرب القياسي للصف 1 من أ والعمود 1 من ب، ستكون النتيجة ج1,1 من المصفوفة ج. حاصل الضرب القياسي للصف 1 من أ والعمود 2 من ب سوف يكون ج1,2 من المصفوفة جوما إلى ذلك ، كما هو موضح في المثال أدناه:

    عند ضرب مصفوفتين ، سيكون للمصفوفة الناتجة نفس عدد الصفوف مثل المصفوفة الأولى ، في هذه الحالة أ، ونفس عدد الأعمدة مثل المصفوفة الثانية ، ب. حيث أ هو 2 × 3 و ب هو 3 × 4, ج سوف يكون 2 × 4 مصفوفة. يمكن أن تساعد الألوان هنا أولاً في تحديد ما إذا كان يمكن ضرب مصفوفتين ، وثانيًا ، أبعاد المصفوفة الناتجة. بعد ذلك ، يمكننا تحديد قيم العنصر ج من خلال تنفيذ حاصل الضرب النقطي لكل صف وعمود ، كما هو موضح أدناه:

    أدناه ، حساب حاصل الضرب القياسي لكل صف وعمود من ج معروض:

    ج1,1 = 1࡫ + 2࡭ + 1ࡧ = 20
    ج1,2 = 1࡬ + 2࡮ + 1ࡧ = 23
    ج1,3 = 1ࡧ + 2ࡧ + 1ࡧ = 4
    ج1,4 = 1ࡧ + 2ࡧ + 1ࡧ = 4
    ج2,1 = 3࡫ + 4࡭ + 1ࡧ = 44
    ج2,2 = 3࡬ + 4࡮ + 1ࡧ = 51
    ج2,3 = 3ࡧ + 4ࡧ + 1ࡧ = 8
    ج2,4 = 3ࡧ + 4ࡧ + 1ࡧ = 8

    قوة المصفوفة

    For the intents of this calculator, "power of a matrix" means to raise a given matrix to a given power. For example, when using the calculator, "Power of 2" for a given matrix, أ, means A 2. Exponents for matrices function in the same way as they normally do in math, except that matrix multiplication rules also apply, so only square matrices (matrices with an equal number of rows and columns) can be raised to a power. This is because a non-square matrix, أ, cannot be multiplied by itself. A × A in this case is not possible to compute. Refer to the matrix multiplication section, if necessary, for a refresher on how to multiply matrices. معطى:

    أ raised to the power of 2 is:

    As with exponents in other mathematical contexts, A 3, would equal A × A × A, A 4 would equal A × A × A × A, and so on.

    Transpose of a matrix

    The transpose of a matrix, typically indicated with a "T" as an exponent, is an operation that flips a matrix over its diagonal. This results in switching the row and column indices of a matrix, meaning that أاي جاي in matrix أ, becomes أji في A T. If necessary, refer above for description of the notation used.

    ان m × n matrix, transposed, would therefore become an n × m matrix, as shown in the examples below:

    Determinant of a matrix

    The determinant of a matrix is a value that can be computed from the elements of a square matrix. It is used in linear algebra, calculus, and other mathematical contexts. For example, the determinant can be used to compute the inverse of a matrix or to solve a system of linear equations.

    There are a number of methods and formulas for calculating the determinant of a matrix. The Leibniz formula and the Laplace formula are two commonly used formulas.

    Determinant of a 2 × 2 matrix:

    The determinant of a 2 × 2 matrix can be calculated using the Leibniz formula, which involves some basic arithmetic. Given matrix أ:

    The determinant of أ using the Leibniz formula is:

    Note that taking the determinant is typically indicated with "| |" surrounding the given matrix. معطى:

    Determinant of a 3 × 3 matrix:

    One way to calculate the determinant of a 3 × 3 matrix is through the use of the Laplace formula. Both the Laplace formula and the Leibniz formula can be represented mathematically, but involve the use of notations and concepts that won't be discussed here. Below is an example of how to use the Laplace formula to compute the determinant of a 3 × 3 matrix:

    From this point, we can use the Leibniz formula for a 2 × 2 matrix to calculate the determinant of the 2 × 2 matrices, and since scalar multiplication of a matrix just involves multiplying all values of the matrix by the scalar, we can multiply the determinant of the 2 × 2 by the scalar as follows:

    This can further be simplified to:

    |A| = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

    This is the Leibniz formula for a 3 × 3 matrix.

    Determinant of a 4 × 4 matrix and higher:

    The determinant of a 4 × 4 matrix and higher can be computed in much the same way as that of a 3 × 3, using the Laplace formula or the Leibniz formula. As with the example above with 3 × 3 matrices, you may notice a pattern that essentially allows you to "reduce" the given matrix into a scalar multiplied by the determinant of a matrix of reduced dimensions, i.e. a 4 × 4 being reduced to a series of scalars multiplied by 3 × 3 matrices, where each subsequent pair of scalar × reduced matrix has alternating positive and negative signs (i.e. they are added or subtracted).

    The process involves cycling through each element in the first row of the matrix. Eventually, we will end up with an expression in which each element in the first row will be multiplied by a lower-dimension (than the original) matrix. The elements of the lower-dimension matrix is determined by blocking out the row and column that the chosen scalar are a part of, and having the remaining elements comprise the lower dimension matrix. Refer to the example below for clarification.

    Here, we first choose element أ. The elements in blue are the scalar, أ, and the elements that will be part of the 3 × 3 matrix we need to find the determinant of:

    Next, we choose element ب:

    Continuing in the same manner for elements ج و د, and alternating the sign (+ - + - . ) of each term:

    We continue the process as we would a 3 × 3 matrix (shown above), until we have reduced the 4 × 4 matrix to a scalar multiplied by a 2 × 2 matrix, which we can calculate the determinant of using Leibniz's formula. As can be seen, this gets tedious very quickly, but is a method that can be used for n × n matrices once you have an understanding of the pattern. There are other ways to compute the determinant of a matrix which can be more efficient, but require an understanding of other mathematical concepts and notations.

    Inverse of a matrix

    The inverse of a matrix أ is denoted as A -1، أين A -1 is the inverse of أ if the following is true:

    A×A -1 = A -1 ×A = I, where أنا is the identity matrix

    The identity matrix is a square matrix with "1" across its diagonal, and "0" everywhere else. The identity matrix is the matrix equivalent of the number "1." For example, the number 1 multiplied by any number ن يساوي ن. The same is true of an identity matrix multiplied by a matrix of the same size: A × I = A. Note that an identity matrix can have any square dimensions. For example, all of the matrices below are identity matrices. From left to right respectively, the matrices below are a 2 × 2, 3 × 3، و 4 × 4 identity matrix:

    ال n × n identity matrix is thus:

    Inverse of a 2 × 2 matrix:

    To invert a 2 × 2 matrix, the following equation can be used:

    If you were to test that this is in fact the inverse of أ you would find that both:

    are equal to the identity matrix:

    Inverse of a 3 × 3 matrix:

    The inverse of a 3 × 3 matrix is more tedious to compute. An equation for doing so is provided below, but will not be computed. معطى:

    أ=ei-fh ب=-(di-fg) ج=dh-eg د=-(bi-ch) ه=ai-cg F=-(ah-bg) جي=bf-ce ح=-(af-cd) أنا=ae-bd

    4 × 4 and larger get increasingly more complicated, and there are other methods for computing them.


    STAT 542: MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS: CLASSICAL THEORY AND RECENT DEVELOPMENTS

    Prereq: STAT 581-582 plus linear algebra and matrix theory. In particular, familiarity with hypothesis testing, decision theory, and invariance. BIOSTAT/STAT 533 (univariate linear models) is also helpful.

    The first 3/4 of the course will concentrate on "classical" multivariate analysis, i.e, distribution theory and statistical inference based on the multivariate normal distribution. The last 1/4 will cover special topics of interest to the instructor and/or requested by the class. There will be several homework assignments. Time permitting, each registered student will report on a topic of interest to her/him.

    Topics include (as time permits):

    0. Brief review of matrix algebra and the multivariate normal distribution: pdf, marginal and conditional distributions, covariance matrix, correlations and partial correlations.

    1. The Wishart distribution: definition and properties, distribution of the sample covariance matrix, marginal and conditional distributions.

    2. Estimation and testing: likelihood inference and invariance. Hotelling's T^2 test, multivariate linear models and MANOVA, testing independence, Bartlett's tests for equality of covariance matrices. The James-Stein estimator for the mean vector, the Stein estimator for the covariance matrix.

    3. Distributions derived from the Wishart distribution and their role in hypothesis testing: eigenvalues, principle components, canonical correlations. Jacobians of multivariate distributions. Stein’s integral representation of the density of a maximal invariant statistic.

    4. Group symmetry in estimation and testing (the Copenhagen theory.)

    5. Multivariate probability inequalities and their applications to the power of multivariate tests and multiparameter confidence intervals.

    6. Lattice conditional independence models and their applications to missing data problems and "seemingly unrelated regression" models.

    Anderson, T. W. (2003). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis (3rd ed). Wiley, New York.

    Andersson, S. A. (1999). An Introduction to Multivariate Statistical Analysis, Lecture Notes, Indiana University.

    Bilodeau, M. and Brenner, D. (1999). Theory of Multivariate Statistics. Springer, New York.

    Eaton, M. L. (1983). Multivariate Statistics. Wiley, New York.

    Eaton, M. L. (1989). Group Invariance Applications in Statistics. IMS-ASA.

    Lehmann, E. L. and Romano, J. P. (2005). Testing Statistical Hypotheses, 3nd ed. Wiley, New York.

    Muirhead, R. J. (1982). Aspects of Multivariate Statistical Theory. Wiley, New York.

    Seber, G. A. F. (1984). Multivariate Observations. Wiley, New York.

    Anderson, T. W. and Perlman, M. D. (1993). Parameter consistency of invariant tests for MANOVA and related multivariate hypotheses. Statistics and Probability: A Raghu Raj Bahadur Festschrift (J.K. Ghosh, S.K. Mitra, K.R. Parthasarathy, B.L.S. Prakasa Rao, eds.), 37-62. Wiley Eastern Ltd.

    Andersson, S. A. (1990). The lattice structure of orthogonal linear models and orthogonal variance component models. Scand. J. Statist. 17 287-319.

    Andersson, S. A., Brons, H. K., and Tolver Jensen, S. (1983). Distribution of eigenvalues in multivariate statistical analysis. آن. Statist. 11 392-415.

    Andersson, S. A. and Klein, T. (2010) On Riesz and Wishart distributions associated with decomposable undirected graphs. J. Multivariate Analysis 101 789-810.

    Andersson, S. A. and Madsen, J. (1998). Symmetry and lattice conditional independence in a multivariate normal distribution. آن. Statist. 26 525-572.

    Andersson, S. A. and Perlman, M. D. (1991). Lattice-ordered conditional independence models for missing data. Statistics and Probability Letters 12 465-486.

    Andersson, S. A. and Perlman, M. D. (1993). Lattice models for conditional independence in a multivariate normal distribution. آن. Statist. 21 1318-1358.

    Andersson, S. A. and Perlman, M. D. (1994). Normal linear models with lattice conditional independence restrictions. في Multivariate Analysis and its Applications (T.W. Anderson, K.T. Fang, I. Olkin,eds.), IMS Lecture Notes-Monograph Series المجلد. 24 97-110.

    Andersson, S. A. and Perlman, M. D. (1998). Normal linear regression models with recursive graphical Markov structure. J. Multivariate Analysis 66 133-187.

    Andersson, S. A. and Wojnar, G. G. (2004). Wishart distributions on homogeneous cones. J. Theoret. Prob. 17 781-818.

    Daniels, M. J. and Kass, R. E. (2001). Shrinkage estimators for covariance matrices. Biometrics 57 1173-1184.

    Das Gupta, S., Anderson, T. W., and Mudholkar, G. S. (1964). Monotonicity of the power functions of some tests of the multivariate linear hpothesis. آن. رياضيات. Statist. 35 200-205.

    Drton, M., Andersson, S. A., and Perlman, M. D. (2005). Lattice conditional independence models for seemingly unrelated regression models with missing data. J. Multivariate Analysis 97 385-411.

    Joe, H. (2006). Generating random correlation matrices based on partial correlations. J. Multivariate Analysis 97 2177-2189.

    Also see http://ms.mcmaster.ca/canty/seminars/Joe_vinecorr_print.pdf

    Kiefer, J. and Schwartz, R. (1965). Admissible Bayes character of T2-, R2-, and other fully invariant tests for classical multivariate normal problems. آن. رياضيات. Statist. 36 747-770.

    Ledet-Jensen, J. (1991). A large deviation-type approximation for the “Box class” of likelihood ratio criteria. ج. عامر. Statist. Assoc. 86 437-440.

    Madsen, J. (2000). Invariant normal models with recursive graphical Markov structure. آن. Statist. 28

    Marden, J. I. and Perlman, M. D. (1980). Invariant tests for means with covariates. آن. Statist. 8 825-63.

    Okamoto, M. (1973). Distinctiveness of the eigenvalues of a quadratic form in a multivariate sample. آن. Statist. 1 763-754.

    Perlman, M. D. (1980a). Unbiasedness of the likelihood ratio tests for equality of several covariance matrices and equality of several multivariate normal populations. آن. Statist. 8 247-263.

    Perlman, M. D. (1980b). Unbiasedness of multivariate tests: recent results. Proceedings of the Fifth International Symposium on Multivariate Analysis (P.R. Krishnaiah, ed.), 413-432. [Also see Anderson (2003) Section 8.10.2.]

    Perlman, M. D. and Olkin, I. (1980). Unbiasedness of invariant tests for MANOVA and other multivariate problems. Annals of Statistics 8 1326-1341.

    Perlman, M. D. (1987). Group symmetry covariance models. (Discussion of "A Review of Multivariate Analysis" by Mark Schervish.) Statistical Science 2, 421-425.

    Perlman, M. D. (1990). T.W. Anderson's theorem on the integral of a symmetric unimodal function over a symmetric convex set and its applications in probability and statistics. The Collected Papers of T.W. Anderson: 1943-1985 (G. Styan, ed.), Vol. 2 1627-1641. J. Wiley & Sons, New York.

    Schwartz, R. (1967). Admissible tests in multivariate analysis of variance. آن. Statist. 38, 698-710. [Also see Anderson (2003) Section 8.10.1.]

    Stein, C. (1956). The admissibility of Hotelling’s T2-اختبار. آن. رياضيات. Statist. 27 616-623.

    Tolver Jensen, S. (1988). Covariance hypotheses which are linear in both the covariance and the inverse covariance. آن. Statist. 16 302-322.


    Summarize the whole data set. In this example, summarize_all() generates a long-term mean of the data.

    Filter out just the January values, and get a long-term mean of those:

    Summarize the data by groups, in this case by months. First rearrange the data, and then summarize:

    Note that grouped data set looks almost exactly like the ungrouped one, except when listed, it includes the mention of the grouping variable (i.e., Groups: mon [12] ).

    Calculate annual averages of each variable, using the aggregate() function from the stats package.


    11.1: A- Jacobians, Inverses of Matrices, and Eigenvalues - Mathematics

    منسق الدورة: Dr Adrian Koerber

    الجدول الزمني للدورة

    يمكن الوصول إلى الجدول الزمني الكامل لجميع الأنشطة الخاصة بهذه الدورة التدريبية من مخطط الدورة التدريبية.

    مخرجات التعلم بالطبع
    1. Demonstrate understanding of basic concepts in linear algebra, relating to matrices, vector spaces and eigenvectors.
    2. Demonstrate understanding of basic concepts in calculus, relating to functions, differentiation and integration.
    3. Employ methods related to these concepts in a variety of applications.
    4. Apply logical thinking to problem-solving in context.
    5. Use appropriate technology to aid problem-solving.
    6. Demonstrate skills in writing mathematics.
    سمات خريجي الجامعة

    ستوفر هذه الدورة للطلاب فرصة لتطوير سمة (سمات) الخريجين المحددة أدناه:

    University Graduate Attribute Course Learning Outcome(s)
    Knowledge and understanding of the content and techniques of a chosen discipline at advanced levels that are internationally recognised. الكل
    The ability to locate, analyse, evaluate and synthesise information from a wide variety of sources in a planned and timely manner. 3,4
    An ability to apply effective, creative and innovative solutions, both independently and cooperatively, to current and future problems. 1,2,3,4,5
    A proficiency in the appropriate use of contemporary technologies. 5
    A commitment to continuous learning and the capacity to maintain intellectual curiosity throughout life. الكل

    الموارد المطلوبة
    الموارد الموصى بها
    1. Lay: Linear Algebra and its Applications 4th ed. (Addison Wesley Longman)
    2. Stewart: Calculus 7th ed. (international ed.) (Brooks/Cole)
    تعليم على الانترنت

    This course also makes use of online assessment software for mathematics called Maple TA, which we use to provide students with instantaneous formative feedback.

    وسائط التعلم والتدريس
    عبء العمل

    يتم توفير المعلومات أدناه كدليل لمساعدة الطلاب في المشاركة بشكل مناسب مع متطلبات الدورة.


    نشاط كمية ساعات العمل
    محاضرات 48 72
    دروس 11 22
    تعيينات 11 55
    Mid Semester Test 1 6
    مجموع 156
    ملخص أنشطة التعلم

    In Mathematics IA the two topics of algebra and calculus detailed below are taught in parallel, with two lectures a week on each. The tutorials are a combination of algebra and calculus topics, pertaining to the previous week's lectures.

    Lecture Outline


    الجبر

    • Matrices and Linear Equations (8 lectures)
      • Algebraic properties of matrices.
      • Systems of linear equations, coefficient and augmented matrices. Row operations.
      • Gauss-Jordan reduction. Solution set.
      • Linear combnations of vectors. Inverse matrix, elementary matrices, application to linear systems.
      • Definition and properties. Computation. Adjoint.
      • Convex sets, systems of linear inequalities.
      • Optimization of a linear functional on a convex set: geometric and algebraic methods.
      • التطبيقات.
      • Definition. Linear independence, subspaces, basis.
      • Definitions and calculation: characteristic equation, trace, determinant, multiplicity.
      • Similar matrices, diagonalization. التطبيقات.
      • Functions (6 lectures)
        • Real and irrational numbers. Decimal expansions, intervals.
        • Domain, range, graph of a function. Polynomial, rational, modulus, step, trig functions, odd and even functions.
        • Combining functions, 1-1 and monotonic functions, inverse functions including inverse trig functions.
        • Areas, summation notation. Upper and lower sums, area under a curve.
        • Properties of the definite integral. Fundamental Theorem of Calculus.
        • Revision of differentiation, derivatives of inverse functions.
        • Logarithm as area under a curve. Properties.
        • Exponential function as inverse of logarithm, properties. Other exponential and log functions. Hyperbolic functions.
        • Substitution, integration by parts, partial fractions.
        • Trig integrals, reduction formulae. Use of Matlab in evaluation of integrals.
        • Riemann sums, trapezoidal and Simpson's rules.

        Tutorial 1: Matrices and linear equations. Real numbers, domain and range of functions.

        Tutorial 2: Gauss-Jordan elimination. Linear combinations of vectors. Composition of functions, 1-1 functions.
        Tutorial 3: Systems of equations. Inverse functions. Exponential functions.
        Tutorial 4: Inverse matrices. Summation, upper and lower sums.
        Tutorial 5: Determinants. Definite integrals, average value.
        Tutorial 6: Convex sets, optimization. Antiderivatives, Fundamental Theorem of Calculus.
        Tutorial 7: Optimization. Linear dependence and independence. Differentiation of inverse functions.
        Tutorial 8: Linear dependence, span, subspace. Log, exponential and hyperbolic functions.
        Tutorial 9: Basis and dimension. Integration.
        Tutorial 10: Eigenvalues and eigenvectors. Integration by parts, reduction formulae.
        Tutorial 11: Eigenvalues and eigenvectors. Tirigonometric integrals.
        Tutorial 12: Diagonalization, Markov processes. Numerical integration.
        (Note: This tutorial is not an actual class, but is a set of typical problems with solutions provided.)

        Note: Precise tutorial content may vary due to the vagaries of public holidays.


        شاهد الفيديو: المصفوفات طريقة حل - eigenvalues and eigenvectors (شهر اكتوبر 2021).