مقالات

تمارين: علم المثلثات الابتدائية (كورال) - الرياضيات


هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة خريطة نص "علم المثلثات الابتدائية" الخاصة بـ Corral. الطريقة القاطعة لحل المعادلات المثلثية) تمت مناقشتها.

  • 1.E: زوايا المثلث القائم الزاوية (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة خريطة نص "علم المثلثات الابتدائية" الخاصة بـ Corral. الطريقة القاطعة لحل المعادلات المثلثية) تمت مناقشتها.
  • 2.E: المثلثات العامة (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة خريطة نص "علم المثلثات الابتدائية" الخاصة بـ Corral. الطريقة القاطعة لحل المعادلات المثلثية) تمت مناقشتها.
  • 3.E: الهويات (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة خريطة نص "علم المثلثات الابتدائية" الخاصة بـ Corral. الطريقة القاطعة لحل المعادلات المثلثية) تمت مناقشتها.
  • 4.E: قياس راديان (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة خريطة نص "علم المثلثات الابتدائية" الخاصة بـ Corral. الطريقة القاطعة لحل المعادلات المثلثية) تمت مناقشتها.
  • 5.E: الرسوم البيانية والوظائف العكسية (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة خريطة نص "علم المثلثات الابتدائية" الخاصة بـ Corral. الطريقة القاطعة لحل المعادلات المثلثية) تمت مناقشتها.
  • 6.E: مواضيع إضافية (تمارين)
    هذه هي تمارين الواجب المنزلي لمرافقة خريطة نص "علم المثلثات الابتدائية" الخاصة بـ Corral. الطريقة القاطعة لحل المعادلات المثلثية) تمت مناقشتها.

علم المثلثات بواسطة Michael Corral - معاينة HTML

استعمال أي مثلث قائم الزاوية أ كإحدى الزوايا.

نظرًا لأننا حددنا الدوال المثلثية من حيث نسب الأضلاع ، يمكنك التفكير

لوحدات القياس لتلك الأضلاع على أنها تلغي في تلك النسب. هذا يعنى

الذي - التي قيم الدوال المثلثية هي أرقام بلا وحدة. لذلك عندما يكون الأمريكي

قام الطالب بحساب 3/5 على أنها قيمة الخطيئة أ في المثال 1.5 ، هذا هو نفسه 3/5 ذلك

قام الطالب الألماني بحسابه رغم اختلاف الوحدات لأطوال الأضلاع.

أوجد قيم جميع الدوال المثلثية الست لـ 45◦.

حل: بما أننا قد نستخدم أي مثلث قائم الزاوية به 45◦ كواحد من

الزوايا ، استخدم الأبسط: خذ مربعًا طول ضلعه وحدة واحدة و

قسّمها إلى نصفين قطريًا ، كما في الشكل على اليمين. منذ قدمين

للمثلث △ ABC لها نفس الطول ، △ ABC هو مثلث متساوي الساقين ،

مما يعني أن الزوايا أ و ب متساوية. منذ ذلك الحين أ + ب = 90◦ ، هذا

يعني أنه يجب أن يكون لدينا أ = ب = 45◦. بواسطة نظرية فيثاغورس ، فإن

الطول ج من الوتر المعطى بواسطة

وهكذا ، باستخدام الزاوية أ نحن نحصل:

لاحظ أننا كنا سنحصل على نفس الإجابات إذا استخدمنا أي مثلث قائم الزاوية مماثل

ABC. على سبيل المثال ، إذا ضربنا كل جانب من جوانب △ ABC بواسطة

2 ، ثم سيكون لدينا مماثلة

مثلث بأرجل بطول

2 ووتر الطول 2. هذا سيعطينا sin 45◦ = 2 ، وهو

= 1 كما كان من قبل. الشيء نفسه ينطبق على الوظائف الأخرى.

3 سوف نستخدم الترميز AB للدلالة على طول قطعة مستقيمة AB.

الفصل 1 • حساب المثلثات القائم الزاوية

أوجد قيم جميع الدوال المثلثية الست لـ 60◦.

حل: بما أننا قد نستخدم أي مثلث قائم الزاوية به 60◦ كواحد من

الزوايا ، سنستخدم واحدة بسيطة: خذ مثلثًا جميع جوانبه 2

وحدات طويلة وتقسيمها إلى نصفين عن طريق رسم المنصف من رأس واحد إلى

الجانب الآخر ، كما في الشكل على اليمين. منذ المثلث الأصلي

كان مثلث متساوي الاضلاع (أي أن جميع الجوانب الثلاثة لها نفس الطول) ، لها

كانت ثلاث زوايا متساوية ، أي 60 درجة. أذكر من الابتدائية ge-

قياس أن المنصف من زاوية رأس مثلث متساوي الأضلاع

إلى جانبه المقابل ، يتم تقسيم كل من زاوية الرأس والجانب المقابل. وبالتالي

كما في الشكل على اليمين ، المثلث

ABC له زاوية أ = 60◦ و

زاوية ب = 30◦ مما يفرض الزاوية ج أن تكون 90 درجة. وهكذا ، △ ABC هو حق

مثلث. نرى أن طول الوتر ج = AB = 2 والساق تيار متردد له طول ب = تيار متردد = 1.

حسب نظرية فيثاغورس ، الطول أ من الساق قبل الميلاد اعطي من قبل

أ 2 + ب 2 = ج 2

وهكذا ، باستخدام الزاوية أ نحن نحصل:

لاحظ أنه ، كمكافأة ، نحصل على قيم جميع الدوال المثلثية الستة البالغة 30◦ ، باستخدام الزاوية

ب = 30◦ في نفس المثلث △ ABC في الاعلى:

أ هي زاوية حادة مثل هذه الخطيئة أ = 2. أوجد قيم المثلثات الأخرى

حل: بشكل عام ، من المفيد رسم مثلث قائم الزاوية لحل مشاكل هذا

يكتب. والسبب هو أن الدوال المثلثية تم تعريفها من حيث

نسب أضلاع مثلث قائم الزاوية ، ويتم إعطاؤك وظيفة واحدة من هذا القبيل (الجيب ،

في هذه الحالة) بالفعل من حيث النسبة: الخطيئة أ = 2. منذ الخطيئة أ يعرف ب

المقابل ، استخدم 2 لطول الضلع المقابل أ واستخدم 3 بطول الوتر في a

مثلث قائم الزاوية △ ABC (انظر الشكل أعلاه) ، بحيث أن الخطيئة أ = 2. الجانب المجاور ل أ غير معروف

الطول ب، ولكن يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس للعثور عليه:

الدوال المثلثية للزاوية الحادة • القسم 1.2

نحن نعرف الآن أطوال جميع أضلاع المثلث △ ABC، اذا لدينا:

ربما لاحظت الروابط بين الجيب وجيب التمام ، القاطع وقاطع التمام ،

وظل وظل التمام للزوايا التكميلية في المثالين 1.5 و 1.7. إن تعميم هذه الأمثلة يعطينا النظرية التالية:

نظرية 1.2. نظرية الوظيفة المشتركة: إذا أ و ب هي الزوايا الحادة المكملة في أ

مثلث قائم الزاوية △ ABC، ثم العلاقات التالية:

نقول أن أزواج الدوال ، ، و هي وظائف مشتركة.

لذا فإن الجيب وجيب التمام هما دالتان مشتركتان ، والقاطع وجيب التمام هما دالتان مشتركتان ، وماسان و

ظل التمام هي وظائف مشتركة. هذه هي الطريقة التي حصلت بها دوال جيب التمام وقاطع التمام وظل التمام على

"شارك" في أسمائهم. تقول نظرية الوظيفة المشتركة أن أي دالة مثلثية لـ

الزاوية الحادة تساوي وظيفتها المشتركة للزاوية التكميلية.

اكتب كلًا من الأرقام التالية كدوال مثلثية بزاوية أقل من 45◦: (أ) خطيئة 65◦

(ب) كوس 78◦ (ج) تان 59◦.

الحل: (أ) تكملة 65◦ تساوي 90◦ - 65◦ = 25◦ والدالة المشتركة للخطيئة هي cos ، لذلك من خلال

في نظرية الوظيفة المشتركة ، نعلم أن sin 65◦ = cos 25◦.

(ب) تكملة 78◦ هي 90◦ - 78◦ = 12◦ والدالة المشتركة لـ cos هي sin ، لذا cos 78◦ = sin 12◦.

(ج) تكملة 59◦ هي 90◦ - 59◦ = 31◦ والدالة المشتركة للظل هي cot ، لذا tan 59◦ = cot 31◦.

اثنان من المثلثات القائمة العامة (أي أ & GT 0)

غالبًا ما تنشأ الزوايا 30 درجة و 45 درجة و 60 درجة في التطبيقات. يمكننا استخدام فيثاغورس

نظرية لتعميم المثلثات القائمة في الأمثلة 1.6 و 1.7 ومعرفة ماذا أي 45 −

45-90 و30-60-90 تبدو مثلثات قائمة كما في الشكل 1.2.2 أعلاه.

الفصل 1 • حساب المثلثات القائم الزاوية

أوجد الجيب وجيب التمام والظل 75◦.

حل: بما أن 75◦ = 45◦ + 30◦ ، ضع مثلثًا قائمًا بطول 30−60−90

ADB بأرجل بطول

3 و 1 فوق الوتر

لمثلث قائم 45-45-90 △ ABC الذي يمتلك الوتر

3 ، كما في الشكل على اليمين. من الشكل 1.2.2 (أ) نحن

نعلم أن طول كل ساق △ ABC هو طول

2. هكذا تيار متردد = قبل الميلاد = 3 =

عمودي تيار متردد، بحيث △ ADE هو مثلث قائم الزاوية. حيث

باك = 45◦ و D AB = 30◦ ، نرى ذلك ∠ د إ = 75◦ منذ ذلك الحين

إنه مجموع هاتين الزاويتين. وبالتالي ، نحن بحاجة إلى إيجاد الجيب ،

جيب التمام وظل ∠ د إ.

لاحظ أن ∠ ADE = 15◦ ، لأنها تكملة ∠ د إ.

و ∠ ADB = 60◦ ، لأنها تكملة ∠ D AB. رسم

فرنك بلجيكي عمودي DE، بحيث △ DFB هو مثلث قائم الزاوية.

ثم ∠ BDF = 45◦ ، لأنه فرق ADB = 60◦ و

ADE = 15◦. أيضا ، ∠ دبف = 45◦ لأنه مكمل لـ

BDF. الوتر BD من △ DFB بطول 1 و DFB

هو 45 - 45 - 90 مثلث قائم الزاوية ، لذلك نحن نعلم ذلك مدافع = FB = 1 .

الآن ، نحن نعرف ذلك DEتيار متردد و قبل الميلادتيار متردد، وبالتالي FE و قبل الميلاد متوازية. على نفس المنوال، FB و EC كلاهما عمودي على DE وبالتالي FB يوازي EC. هكذا، FBCE مستطيل منذ ∠ قبل الميلاد

هي الزاوية الصحيحة. وبالتالي EC = FB = 1 و FE = قبل الميلاد =

DE = مدافع + FE = 1 +

AE = تيار مترددEC =

ملاحظة: بأخذ المقلوب ، نحصل على csc 75◦ =

بالنسبة للتمارين 1-10 ، أوجد قيم التوابع المثلثية الستة لـ

الزوايا أ و ب في المثلث القائم △ ABC في الشكل 1.2.3.

1. أ = 5, ب = 12, ج = 13

2. أ = 8, ب = 15, ج = 17

3. أ = 7, ب = 24, ج = 25

4. أ = 20, ب = 21, ج = 29

5. أ = 9, ب = 40, ج = 41

6. أ = 1, ب = 2, ج = 5

7. أ = 1, ب = 3

8. أ = 2, ب = 5

9. أ = 5, ج = 6

10. ب = 7, ج = 8

بالنسبة للتدريبات 11-18 ، أوجد قيم الدوال المثلثية الخمس الأخرى للزاوية الحادة أ

بالنظر إلى القيمة المشار إليها لإحدى الوظائف.

الدوال المثلثية للزاوية الحادة • القسم 1.2

للتدريبات 19-23 ، اكتب الرقم المعطى كدالة مثلثية لزاوية حادة أصغر من

للتدريبات 24-28 ، اكتب الرقم المعطى كدالة مثلثية لزاوية حادة أكبر

29. في المثال 1.7 وجدنا قيم جميع الدوال المثلثية الست 60 of و 30◦.

(أ) هل sin 30◦ + sin 30◦ = sin 60◦؟

(ب) هل cos 30◦ + cos 30◦ = cos 60◦؟

(ج) هل tan 30◦ + tan 30◦ = tan 60◦؟

(د) هل 2 sin 30◦ cos 30◦ = sin 60◦؟

30. لزاوية حادة أيمكن أن يخطئ أ تكون أكبر من 1؟ اشرح اجابتك.

31. لزاوية حادة أيمكن كوس أ تكون أكبر من 1؟ اشرح اجابتك.

32. لزاوية حادة أيمكن أن يخطئ أ تكون أكبر من تان أ؟ اشرح اجابتك.

33. إذا أ و ب هي زوايا حادة و أ & lt باشرح لماذا الخطيئة أ & lt الخطيئة ب.

34. إذا أ و ب هي زوايا حادة و أ & lt ب، اشرح لماذا كوس أ & GT كوس ب.

35. إثبات نظرية الوظيفة المشتركة (نظرية 1.2). ( تلميح: ارسم مثلثًا قائمًا وقم بتسمية الزوايا

36. استخدم المثال 1.10 لإيجاد جميع الدوال المثلثية الستة لـ 15◦.

37. في الشكل 1.2.4 ، سي بي هو قطر دائرة نصف قطرها

2 سم والوسط ا, △ ABC هو مثلث قائم الزاوية ، و قرص مضغوط

(أ) ابحث عن الخطيئة أ. ( تلميح: استخدم نظرية طاليس. )

(ب) أوجد طول تيار متردد.

(ج) أوجد طول ميلادي.

(د) الشكل 1.2.4 مرسوم على نطاق واسع. استخدم منقلة ل

قم بقياس الزاوية أ، ثم استخدم الآلة الحاسبة للعثور على

جيب تلك الزاوية. هل نتيجة الآلة الحاسبة قريبة من

ملاحظة: تأكد من أن الآلة الحاسبة في وضع الدرجة.

38. في التمرين 37 ، تحقق من منطقة ABC يساوي 1 AB

· قرص مضغوط. لماذا يكون لهذا معنى؟

39. في التمرين 37 ، تحقق من منطقة ABC يساوي 1 AB

40. في التمرين 37 ، تحقق من منطقة ABC يساوي 1 ( قبل الميلاد) 2 سرير أطفال أ.

الفصل 1 • حساب المثلثات القائم الزاوية

1.3 التطبيقات وحل المثلثات القائمة

خلال تطورها المبكر ، غالبًا ما كان علم المثلثات يستخدم كوسيلة لقياس غير مباشر.

surement ، على سبيل المثال تحديد مسافات أو أطوال كبيرة باستخدام قياسات الزوايا و

مسافات صغيرة ومعروفة. اليوم ، يستخدم علم المثلثات على نطاق واسع في الفيزياء وعلم الفلك والمهندس-

جي والملاحة والمسح ومجالات مختلفة من الرياضيات وتخصصات أخرى. في هذا

سنرى بعض الطرق التي يمكن من خلالها تطبيق علم المثلثات. الآلة الحاسبة الخاصة بك

يجب أن تكون في وضع الدرجات لهذه الأمثلة.

يقف شخص على بعد 150 قدمًا من سارية العلم ويبلغ طوله زاوية الارتفاع 32◦ من عنده

خط رؤية أفقي إلى أعلى سارية العلم. افترض أن عيني الشخص هي مسافة عمودية

6 أقدام من الأرض. ما هو ارتفاع سارية العلم؟

حل: الصورة على اليمين تصف الوضع. نحن نرى ذلك

ارتفاع سارية العلم ح + 6 قدم أين

ح = 150 تان 32◦ = 150 (0.6249) = 94.

كيف عرفنا أن tan 32◦ = 0.6249؟ باستخدام الآلة الحاسبة. و

نظرًا لعدم احتواء أي من الأرقام المعطاة لنا على منازل عشرية ، قمنا بالتقريب

من الإجابة عن ح لأقرب عدد صحيح. وبالتالي ، فإن ارتفاع سارية العلم هو ح +6 = 94 + 6 = 100 قدم.

الشخص الذي يقف على بعد 400 قدم من قاعدة الجبل يقيس زاوية الارتفاع من الأرض

إلى قمة الجبل 25 درجة. ثم يمشي الشخص مسافة 500 قدم إلى الخلف بشكل مستقيم ويقيس

زاوية الارتفاع الآن 20 درجة. كم يبلغ ارتفاع الجبل؟

حل: سنفترض أن الأرض مسطحة وليست في-

متشبث بالنسبة لقاعدة الجبل. يترك ح يكون الارتفاع

من الجبل ، وليكن x تكون المسافة من قاعدة

الجبل إلى النقطة الواقعة أسفل قمة القمر مباشرة-

tain ، كما في الصورة على اليمين. ثم نرى ذلك

ح = ( x + 400) تان 25 درجة و

ح = ( x + 900) تان 20 درجة ، إذن

( x + 400) تان 25◦ = ( x + 900) tan 20◦ ، لأنهما متساويان ح. استخدم هذه المعادلة لحلها x:

x تان 25◦ - x tan 20◦ = 900 tan 20◦ - 400 tan 25◦

أخيرًا ، استبدل x في الصيغة الأولى ل ح للحصول على ارتفاع الجبل:

ح = (1378 + 400) تان 25◦ = 1778 (0.4663) = 829 قدمًا

التطبيقات وحل المثلثات القائمة • القسم 1.3

يبلغ قياس المنطاد 4280 قدمًا فوق سطح الأرض زاوية الاكتئاب من 24◦ من خطها الأفقي

البصر إلى قاعدة منزل على الأرض. على افتراض أن الأرض مسطحة ، إلى أي مدى على طول

الارض هي البيت من المنطاد؟

حل: يترك x تكون المسافة على الأرض من المنطاد

إلى المنزل ، كما في الصورة على اليمين. منذ الأرض و

خط رؤية المنطاد الأفقي متوازي ، كما نعلم من البداية

علم الهندسة أن زاوية الارتفاع θ من قاعدة المنزل إلى

المنطاد يساوي زاوية الاكتئاب من المنطاد إلى

قاعدة المنزل ، أي θ = 24◦. لذلك،

يقيس مراقب أعلى جبل على ارتفاع 3 أميال فوق مستوى سطح البحر زاوية انخفاض قدرها 2.23 درجة

لأفق المحيط. استخدم هذا لتقدير نصف قطر الأرض.

حل: سوف نفترض أن الأرض هي كرة ص يكون

نصف قطر الأرض. دع النقطة أ تمثل الجزء العلوي من

الجبل والسماح ح يكون أفق المحيط في خط البصر من

أ، كما في الشكل 1.3.1. يترك ا كن مركز الارض وليكن ب

تكون نقطة على خط الرؤية الأفقي من أ (أي على الخط

عمودي يا أ). يترك θ تكون الزاوية ∠ AOH.

حيث أ 3 أميال فوق مستوى سطح البحر ، لدينا يا أ = ص + 3. أيضًا ،

أوه = ص. الآن منذ ذلك الحين ABOA، لدينا ∠ OAB = 90◦ ، هكذا نرى

هذا ∠ أوه = 90 درجة - 2.23 درجة = 87.77 درجة. نرى أن الخط يمر أ

و ح هو خط مماس لسطح الأرض (بالنظر إلى

السطح كدائرة نصف القطر ص عبر ح كما في الصورة). وبالتالي

عن طريق التمرين 14 في القسم 1.1 ، آهأوه ومن ثم ∠ أوه أ = 90◦.

بما أن الزوايا في المثلث △ أوه تضيف ما يصل إلى 180 درجة ، لدينا

θ = 180 درجة - 90 درجة - 87.77 درجة = 2.23 درجة. هكذا،

لذلك حل ل ص نحن نحصل

ص = ( ص + 3) كوس 2.23◦

صص cos 2.23◦ = 3 cos 2.23◦

ملاحظة: هذه الإجابة قريبة جدًا من نصف القطر الفعلي (المتوسط) للأرض البالغ 3956.6 ميلاً.

4 بالطبع ليس كرويًا تمامًا. الأرض هي بيضاوي، أي على شكل بيضة ، مع ملاحظة الاهليلجيه

من 1/297 (للكرة إهليلجيه 0). انظر الصفحات 26-27 في W.H. مونك وجي جي إف ماكدونالد ، دوران

الأرض: مناقشة جيوفيزيائية، لندن: مطبعة جامعة كامبريدج ، 1960.

الفصل 1 • حساب المثلثات القائم الزاوية

كتطبيق آخر لعلم المثلثات في علم الفلك ، سنجد المسافة

من الارض الى الشمس. يترك ا كن مركز الارض فليكن أ كن نقطة

على خط الاستواء ، واسمحوا ب تمثل كائنًا (مثل نجم) في الفضاء ، كما في

الصورة على اليمين. إذا كانت الأرض في مثل هذه الزاوية

OAB = 90◦ ، ثم نقول هذه الزاوية α = ∠ OBA هل المنظر الاستوائي

من الكائن. وقد لوحظ أن المنظر الاستوائي للشمس يبدو واضحًا.

قريبًا α = 0.00244◦. استخدم هذا لتقدير المسافة من مركز

حل: يترك ب يكون موضع الشمس. نريد إيجاد طول OB.

سنستخدم نصف القطر الفعلي للأرض ، المذكور في نهاية المثال

1.14 للحصول على يا أ = 3956.6 ميلا. منذ ∠ OAB = 90◦ ، لدينا

لذا فإن المسافة من مركز الأرض إلى الشمس حوالي 93 مليون ميل.

ملاحظة: مدار الأرض حول الشمس عبارة عن قطع ناقص ، وبالتالي فإن المسافة الفعلية للشمس تختلف.

في المثال أعلاه ، استخدمنا زاوية صغيرة جدًا (0.00244 درجة). يمكن تقسيم الدرجة إلى

وحدات أصغر: أ دقيقة هو واحد على ستين من الدرجة ، وأ ثانيا هي واحد على ستين من الدقيقة.

رمز الدقيقة هو ′ ورمز الثانية هو ′ ′. على سبيل المثال 4.5◦ = 4◦ 30 ′. و

في المثال 1.15 استخدمنا α = 0.00244◦ ≈ 8.8 ′ ′ ، والتي نذكرها فقط لأن هناك زاوية ما

تستخدم أجهزة القياس الدقائق والثواني.

يقيس مراقب على الأرض زاوية 32 32 4 ′ من زاوية مرئية

من حافة الشمس إلى الحافة الأخرى (المقابلة) ، كما في الصورة الموجودة على

حق. استخدم هذا لتقدير نصف قطر الشمس.

حل: دع النقطة ه كن الارض ودع س كن مركز

الشمس. خطوط رؤية الراصد إلى الحواف المرئية للشمس

هي خطوط مماسة لسطح الشمس عند النقاط أ و ب. هكذا،

E AS = ∠ نظام الفرامل ذات التحكم الإلكتروني (EBS) = 90◦. نصف قطر الشمس يساوي مثل. بوضوح مثل = بكالوريوس. منذ ذلك الحين إب = E أ (لماذا؟) ، والمثلثات △ E AS و △ نظام الفرامل ذات التحكم الإلكتروني (EBS) متشابهة. وهكذا ، ∠ AES = ∠ BES = 1

الآن، ES هي المسافة من سطح - المظهر الخارجي من الأرض (حيث يقف المراقب) إلى المركز-

ثالثا من الشمس. في المثال 1.15 وجدنا المسافة من المركز من الارض للشمس

ليكون 92 ، 908 ، 394 ميلا. نظرًا لأننا تعاملنا مع الشمس في هذا المثال كنقطة ، فنحن بعدل-

في معاملة تلك المسافة على أنها المسافة بين مركزي الأرض والشمس. وبالتالي ES =

92908394 - نصف قطر الأرض = 92908394 - 3956.6 = 92904437.4 ميل. لذلك،

مثل = ES sin 0.26722◦ = (92904437.4) sin 0.26722◦ = 433293 ميلا.

ملاحظة: هذه الإجابة قريبة من نصف قطر الشمس الفعلي (المتوسط) البالغ 432 ، 200 ميل.

التطبيقات وحل المثلثات القائمة • القسم 1.3

ربما لاحظت أن الحلول للأمثلة التي أظهرناها مطلوبة على الأقل

مثلث قائم الزاوية. في المشاكل التطبيقية ، ليس من الواضح دائمًا أي مثلث قائم الزاوية

استخدام ، وهذا هو سبب صعوبة هذه الأنواع من المشاكل. في كثير من الأحيان لن يكون هناك مثلث قائم الزاوية

واضح على الفور ، لذلك سيكون عليك إنشاء واحدة. لا توجد استراتيجية عامة لذلك ،

لكن تذكر أن المثلث القائم الزاوية يتطلب زاوية قائمة ، لذا ابحث عن الأماكن حيث يمكنك ذلك

شكل مقاطع خطية متعامدة. عندما تحتوي المشكلة على دائرة ، يمكنك إنشاء بشكل صحيح

الزوايا باستخدام عمودية خط المماس على الدائرة عند نقطة 5 مع الخط المستقيم

التي تربط هذه النقطة بمركز الدائرة. لقد فعلنا ذلك بالضبط في الأمثلة 1.14 و 1.15

يُظهر مخطط أداة الآلة الموجود على اليمين متماثلًا V- بلوك,

حيث توجد بكرة دائرية واحدة فوق أسطوانة دائرية أصغر.

كل بكرة تلامس كلا الجانبين المائلين للكتلة V. ابحث عن

متر د من الأسطوانة الكبيرة ، مع الأخذ في الاعتبار المعلومات الواردة في الرسم التخطيطي.

حل: القطر د من الأسطوانة الكبيرة ضعف نصف القطر


المراجعات

تمت المراجعة بواسطة كاليب هولواي ، أستاذ مساعد ، معهد جامعة وست فيرجينيا للتكنولوجيا في 4/1/19

في حين أن النصوص الأخرى قد تتضمن المزيد من الموضوعات ، فإن تجربتي هي أنه لا يوجد وقت كافٍ في الفصل الدراسي للوصول إليها جميعًا. يغطي هذا النص حساب المثلثات الدائري والمثلث الأيمن ، وعلم المثلثات التحليلي (الهويات والمثلثات. قراءة المزيد

تمت المراجعة بواسطة كاليب هولواي ، أستاذ مساعد ، معهد جامعة وست فيرجينيا للتكنولوجيا في 4/1/19

تصنيف الشمولية: 4 انظر أقل

في حين أن النصوص الأخرى قد تتضمن المزيد من الموضوعات ، فإن تجربتي هي أنه لا يوجد وقت كافٍ في الفصل الدراسي للوصول إليها جميعًا. يغطي هذا النص علم المثلثات الدائري والمثلث الأيمن ، وعلم المثلثات التحليلي (الهويات والمعادلات المثلثية) ، والتطبيقات ، ويقضي وقتًا كافيًا على المتجهات والأرقام المركبة والإحداثيات القطبية لإكمال الفصل الدراسي بدقة.

تصنيف دقة المحتوى: 5

لم أواجه أي أخطاء أثناء مراجعتي للكتاب.

الملاءمة / تصنيف طول العمر: 5

علم المثلثات أمر حيوي للرياضيات والهندسة ، وكذلك للعديد من العلوم الطبيعية. لا أرى ذلك يتغير في أي وقت قريب. التطبيقات الواردة في هذا الكتاب (التي لا يوجد عدد قليل منها) ذات صلة بهذه التخصصات.

نغمة هذا الكتاب مريحة للغاية ، وتكاد تكون حوارية ، لكنها لا تفتقر إلى الدقة الرياضية اللازمة. يقدم الأفكار والتقنيات بطريقة مناسبة دون أن يبدو منعزلاً. يتم تقديم أفكار جديدة من خلال ربطها بأفكار مألوفة ، ويتم إرشاد الطلاب لاستخدام تفكيرهم الخاص وبالتالي تطوير فهمهم الخاص للمفاهيم الجديدة. يبدأ كل قسم عادة بمثال أو مشكلة لتحفيز المناقشة التالية.

تتمثل إحدى السمات الرئيسية لهذا الكتاب في عمليات التحقق من التقدم ، والتي تعد في الأساس أمثلة على المشكلات التي يعمل الطلاب على حلها بأنفسهم. عادة ما يتم إنشاء اختبارات التقدم هذه لتوجيه تعلم الطالب لموضوع جديد. ومع ذلك ، في بعض الأحيان ، يصل فحص التقدم إلى أحد أمرين: إما تكرار أسلوب تم توضيحه للتو في النص ، أو مشكلة يُتوقع من الطالب فيها تطوير فكرة جديدة لأنفسهم بتوجيه قليل جدًا من الكتاب. يجب أن يكون المعلم على دراية بمكان حدوث مثل هذه المشكلات وأن يصمم تعليمات الفصل للموضوعات المتأثرة بشكل ملائم.

أعتقد أن هذا الكتاب معياري كما يمكن أن يكون كتاب علم المثلثات. إنه بالتأكيد منظم جيدًا. سأحذر من التحرر الشديد في إعادة تنظيم النص. أولاً ، عادةً ما تبني الموضوعات في النص تلك التي جاءت من قبل. هذا بحكم الضرورة. من ناحية أخرى ، يشير البحث إلى أن الطلاب يطورون فهمًا أكثر تماسكًا لعلم المثلثات إذا تمت دراسة علم المثلثات الدائري قبل حساب المثلثات للمثلث الأيمن ، وتم توضيح العلاقة بين الاثنين ، كما يفعل هذا الكتاب. لذلك ، بغض النظر عن مدى كون هذا الكتاب نمطيًا أو لا ، أعتقد أنه من مصلحة المعلم تقديم الموضوعات بالترتيب الذي حدده الكتاب ، قدر الإمكان.

المنظمة / الهيكل / معدل التدفق: 5

يبدأ الكتاب بالبحث في العمق إلى حد ما في قياس الزاوية ، وهو موضوع غالبًا ما يتم تغطيته في نصوص علم المثلثات. ينصب التركيز في الأقسام العديدة الأولى على وظائف الجيب وجيب التمام ، بحيث يمكن للطلاب تطوير فهم شامل لكيفية تصرف هذه الوظائف قبل توجيه الانتباه إلى وظائف حساب المثلثات الأربعة الأخرى ، والتي يمكن اعتبارها جميعًا مشتقًا من شرط الجيب وجيب التمام. جيب التمام. تتم تغطية علم المثلثات الدائري قبل حساب المثلث الأيمن ، والذي ، كما ذكرنا سابقًا ، يشجع على فهم أكثر شمولية للمثلثات من النهج العكسي. في العديد من الكتب المدرسية ، يتم حجب المتجهات حتى وقت لاحق من الكتاب ، حيث يتم تجميعها مع & quotations & quotations & quot في علم المثلثات. هنا ، يتم تقديمها مباشرة بعد الموضوعات التقليدية لمثلثات المثلث الأيمن ، والتي أحبها. الموضوعات المتبقية - الهويات المثلثية والمعادلات المثلثية والأرقام المركبة - يتم تناولها بالترتيب القياسي. يتم تقديم نظرة عامة شاملة على جبر الأعداد المركبة قبل حساب مثلثات الأعداد المركبة.

كان الكتاب سهل القراءة ، وكانت جميع المخططات والرسوم البيانية واضحة وسهلة القراءة. يحتوي الكتاب على العديد من الروابط إلى تطبيقات خارجية ، وكلها (التي راجعتها) تعمل.

تصنيف الأخطاء النحوية: 5

لم تكن هناك أخطاء نحوية لاحظتها.

تصنيف الملاءمة الثقافية: 5

هذا الكتاب مناسب لأي طالب قد يستخدمه بغض النظر عن خلفيته.

يتوافق هذا الكتاب في كثير من النواحي مع الفهم الحالي لتعليم علم المثلثات. يتم قضاء قدر كبير من الوقت مبكرًا في تطوير فهم الطلاب للزوايا وقياس الزوايا. يتعلم الطلاب ليس فقط عملية قياس الزوايا ، ولكن أيضًا طبيعة الزوايا نفسها. يتم تقديم كل من راديان وقياس الدرجة من حيث الأقواس الفرعية ، بحيث يمكن للطلاب التنقل بين المقياسين بسلاسة. في وقت لاحق ، تتم دراسة تحويلات وظائف حساب المثلثات (عادةً ما يكون موضوعًا صعبًا للطلاب) من خلال التركيز على حجج الوظائف واستدعاء تكوين الوظيفة. هذا المثال نموذجي للميل الصحي للكتاب لدمج المفاهيم القديمة في الجديد ، لكنه يتجنب أيضًا الفخ الشائع لتقديم التحولات بمصطلحات هندسية بحتة ، حيث يفهم الطلاب الرسوم البيانية على أنها & quotshape & quot ؛ وليس أثرًا لعلاقة . بدلاً من ذلك ، يشجع نهج الكتاب هذا على & quot ؛ عرض العملية & quot من الوظائف من خلال الاهتمام بالعلاقة بين المدخلات والمخرجات ، وكيف تتغير هذه العلاقة عند تكوين وظيفتين. هذا الكتاب ليس كاملا أرغب في التركيز بشكل أكبر على التباين بين المدخلات والمخرجات للوظائف المثلثية ، لا سيما عندما يتعلق الأمر بالرسوم البيانية للجيب وجيب التمام وكيف يتم تحديد أشكال هذه الرسوم البيانية بالطرق التي تتغير بها المدخلات والمخرجات سويا. ولكن بشكل عام ، يقوم هذا الكتاب بعمل أفضل في تقديم علم المثلثات للطلاب أكثر من معظم الكتب التي رأيتها ، سواء كانت مفتوحة أو للبيع بالتجزئة.

تمت المراجعة بواسطة كارولين جودمان ، أستاذ مساعد مدرس الرياضيات ، جامعة سينسيناتي ، كلية كليرمونت في 27/3/18

تم إنشاء هذا النص لدورة علم المثلثات المكونة من ثلاثة وحدات (MATH123-Trigonometry) بجامعة Grand Valley State University. بخلاف الأقسام المخروطية ، يغطي النص كل ما يتم تضمينه عادةً في الدورة التدريبية الأولى لعلم المثلثات. ومع ذلك ، فإن. اقرأ أكثر

تمت المراجعة بواسطة كارولين جودمان ، أستاذ مساعد مدرس الرياضيات ، جامعة سينسيناتي ، كلية كليرمونت في 27/3/18

تصنيف الشمولية: 5 انظر أقل

تم إنشاء هذا النص لدورة علم المثلثات المكونة من ثلاثة وحدات (MATH123-Trigonometry) بجامعة Grand Valley State University. بخلاف الأقسام المخروطية ، يغطي النص كل ما يتم تضمينه عادةً في الدورة التدريبية الأولى لعلم المثلثات. ومع ذلك ، فإن شمولية هذا النص تفوق النصوص الأخرى في نواح كثيرة مهمة. تم تطوير المفاهيم المثلثية بطريقة شاملة للغاية وصبورة ومتماسكة تتحدث بالتأكيد إلى الطلاب ، مع تطوير فهمهم الرياضي وتفكيرهم التحليلي. يستغرق الأمر وقتًا لإشراك القارئ في عملية التفكير باستخدام روابط لمخططات مطورة جيدًا ومتكاملة ، وتطبيقات Geogrebra ، وأوراق العمل ، ومقاطع فيديو على YouTube (تم تطويرها بواسطة Grand Valley State University). توفر أنشطة مراجعة البداية وأسئلة التركيز وفحوصات التقدم وملخصات الأقسام التوجيه ودعم التعلم النشط والعميق. يتم تضمين إجابات وتلميحات حول التمارين المختارة والحقائق الهندسية حول الدوائر والمثلثات في الملاحق. يأخذ هذا النص نهجًا زمنيًا عكسيًا مثيرًا للاهتمام لعلم المثلثات. يتم تقديم الدوال المثلثية كوظائف دائرية ولاحقًا كدوال مثلثية. أنا الآن مقتنع بأن هذا يوفر منظورًا أكثر شمولية لعلم المثلثات ويوضح بشكل أفضل العديد من المفاهيم مثل الطبيعة بلا أبعاد للراديان.

تصنيف دقة المحتوى: 5

لم ألاحظ أي أخطاء أو تحيز في محتوى الكتاب.

الملاءمة / تصنيف طول العمر: 5

يبدأ الكتاب المدرسي بالتطبيقات الأكثر صلة بعلم المثلثات ، ولكنه لا يكتب بطريقة تتطلب التحديثات الضرورية. إذا لزم الأمر ، يمكن تحديثه بسهولة. يدعو المؤلف & # 39s التعليقات ، خاصة من الطلاب الذين يستخدمون النص.

يجعل النص حتى أكثر المفاهيم المثلثية تعقيدًا واضحة ويمكن للطلاب الوصول إليها. يطور المفاهيم وتعريفات المصطلحات حتى يتمكن الطلاب من فهمها وتذكرها. يتضمن اختبارات التقدم للطلاب للتحقق من فهمهم. تسرد ملخصات الأقسام التعريفات الهامة والنتائج المثبتة في القسم. يمكن للطالب المنضبط والمتحمس تعلم علم المثلثات من هذا النص بمفرده. قد يحتاج بعض الطلاب إلى مزيد من التوضيح للقراءة.

النص متسق داخليًا من حيث المصطلحات والإطار. يراجع كل نشاط من أنشطة البداية العمل الرياضي السابق اللازم للقسم الجديد. يتم تطوير الإجابات على أنشطة البداية هذه في المادة لاحقًا في القسم. يحتوي كل قسم على فحوصات تقدم مع إجابات لهذه المراجعات في الملحق أ. يتم تلخيص كل قسم من خلال سرد التعاريف والنتائج المهمة التي تم إثباتها في القسم.

من الأفضل قراءة هذا النص من البداية إلى النهاية لفهم كيفية تطوير الأفكار بشكل كامل. ومع ذلك ، يمكن لكل فصل أن يقف على حدة. كل قسم قراءة صغير إلى حد ما والنص داخل كل قسم مقسم إلى أجزاء صغيرة لإبقاء القارئ منشغلًا ونشطًا واهتمًا.

المنظمة / الهيكل / معدل التدفق: 5

هذا النص منظم للغاية ومنظم جيدًا ويتدفق جيدًا. إنه قوي بشكل خاص في تطويره الواضح والمنطقي للمواضيع. هناك القدر المناسب من الإيقاع والتنوع للحفاظ على مشاركة القارئ. يستخدم لغة أكثر تحادثية ودودة من معظم النصوص الرياضية.

كانت هناك بعض الروابط لأرقام لا يبدو أنها تأخذني بالضبط إلى الشكل ، ولكن على الأقل قريبة منهم. بخلاف ذلك ، لم ألاحظ أي مشكلات في الواجهة أو مشكلات التنقل أو تشويه الصور أو أي ميزات عرض أخرى مشتتة أو مربكة.

تصنيف الأخطاء النحوية: 5

لقد لاحظت فقط خطأين نحويين في Progress Check 1.2 وفي الصفحة 168 حيث يبدو أن كلمة أو كلمتين مفقودة.

تصنيف الملاءمة الثقافية: 5

هذا النص ليس غير حساس ثقافيا بأي شكل من الأشكال. بدلاً من ذلك ، تُشرك مجموعة متنوعة من الموارد وأنشطة البداية الطلاب الذين لديهم أنماط تعلم وخلفيات رياضية مختلفة.

أعتقد أن هذا النص ممتاز. إنه يستخدم نهجًا موجهًا وله نغمة محادثة ومثيرة للاهتمام وجذابة تعد بالوصول الفعال إلى جميع المتعلمين من طالب الرياضيات الجاد إلى أولئك الذين يعانون من قلق الرياضيات. سأجعل هذا النص متاحًا بالتأكيد لطلابي للحصول على ملاحظاتهم وآمل في استخدامه كنص رئيسي في المستقبل. يمكن أن يسهل بشكل كبير التدريس والتعلم في كل من الدورات التدريبية عبر الإنترنت والتقليدية.


تمارين: علم المثلثات الابتدائية (كورال) - الرياضيات

الموقع الإلكتروني: وصف الدراسة الذاتية - MyOpenMath - يحتوي على فيديو نظرة عامة عن الدراسة الذاتية

موقع الويب: استخدم في وصف الفصل الدراسي - MyOpenMath - يحتوي على فيديو نظرة عامة على الفصل الدراسي

الموقع الإلكتروني: web2.0calc - آلة حاسبة علمية على الإنترنت

الموقع الإلكتروني: eCalc - آلة حاسبة علمية على الإنترنت

الموقع الإلكتروني: حاسبات Desmos - حاسبة الرسوم البيانية المتقدمة عبر الإنترنت

الموقع الإلكتروني: حاسبة مصفوفة بلوبت - حاسبة مصفوفة عبر الإنترنت

البرنامج: RedCrab - آلة حاسبة علمية وإحصائية قابلة للتنزيل

البرنامج: Kalkules - آلة حاسبة علمية قابلة للتنزيل

البرنامج: GraphCalc - آلة حاسبة للرسوم البيانية ثنائية وثلاثية الأبعاد

الموقع الإلكتروني: AAAMath - دروس الرياضيات وممارسة الصفوف من K إلى 8 - AAAMath

دروس الفيديو: الحساب - Mathispower4u

دروس الفيديو: الحساب وما قبل الجبر - Khan Academy

دروس الفيديو: الحساب - PatrickJMT

الكتاب المدرسي: أساسيات الرياضيات - ديني بورزينسكي ووايد إليس

الكتاب المدرسي: Prealgebra - كلية ريدوودز ، قسم الرياضيات


علم المثلثات - إيجاد الزوايا.

عند الاقتضاء ، يتم إعطاء كل ورقة عمل مستوى السنة التي تنطبق عليها. نظرًا لأننا جميعًا في بلدان مختلفة ، فإن المستوى العام يتوافق مع عدد السنوات في المدرسة. لذلك ، على سبيل المثال ، ورقة العمل الخاصة بالسنة 11 مخصصة للطلاب في الصف الحادي عشر من المدرسة.
قد تظل أوراق العمل الخاصة بالسنوات السابقة أو اللاحقة مناسبة لك.

يرجى ملاحظة: هذه خدمة مجانية ويتم توفير أوراق العمل هذه على أساس "كما هي". لن ندخل في أي مراسلات حول محتوى أوراق العمل أو الأخطاء أو الإجابات أو الرسوم الدراسية.


تعلم الرياضيات من خلال رؤيتها كقصة

طلب مدرس اللغة الإنجليزية المشارك في تدريس علم المثلثات من الطلاب شرح معادلة لطفل وتحويل المشكلات المنفصلة إلى قصة.

لطالما كرهت الرياضيات. الآن وجدت نفسي فجأة أدرس علم المثلثات. كنت مدرسًا للغة الإنجليزية في مدارس شيكاغو العامة وحصلت على شهادة في التربية الخاصة ، وعندما كانت مدرستي تواجه نقصًا في معلمي التربية الخاصة المعتمدين ، تم سحبي في منتصف العام للمشاركة في تدريس فصل علم المثلثات على مستوى المبتدئين مع مدرس الرياضيات .

واجه طلابي صعوبة في الحسابات ، معتقدين أنهم لم يكونوا جيدين في الرياضيات. مثلي ، لقد كرهوا ذلك. ما هو الهدف من العمل وإعادة صياغة هذه الحسابات؟ ما الذي كنا نحاول اكتشافه على أي حال؟ وأنا اتفقت معهم في الأصل.

ومع ذلك ، أصبحت حساب المثلثات ببطء فصلي المفضل في اليوم بعد أن أمضيت سنوات في تدريس اللغة الإنجليزية والقراءة ، واجهت تحديًا لتجاوز ما كنت أفعله دائمًا. عندما تكون جديدًا في شيء ما ، يكون لديك منظور جديد. أنت على استعداد لتحمل المخاطر. أنت على استعداد لتجربة أي شيء لأنك لا تعرف كيف يجب القيام بشيء ما.

عملت مع أستاذي المساعد لإنشاء سلسلة من الدروس التكميلية من خلال عدسة مختلفة للسماح للطلاب بتجربة المعنى الشخصي والإبداع في الرياضيات الخاصة بهم.

شرحه للطفل

لقد وجدت أن العديد من الطلاب يشعرون بالإحباط من الرياضيات لأنهم كانوا بحاجة إلى التوصل إلى إجابة واحدة صحيحة. كان هذا صعبًا بشكل خاص مع المتعلمين المتنوعين الذين عانوا من المعادلات متعددة الخطوات. بدلاً من التركيز على الوصول إلى الإجابة الصحيحة ، ركزت أنا وطلابي على عملية الوصول إلى هناك.

I brought in some books from Chris Ferrie’s Baby University series—books like General Relativity for Babies و Optical Physics for Babies. The idea is that you don’t fully know something unless you can break it down so simply that you can explain it to a young child.

That’s the task I gave my students. We started by reading Ferrie’s board books to see how simple language and illustrations could be used to explain complex subjects. Next, students chose a multistep equation they had initially struggled with. Working in pairs or small groups, they talked through their thinking and the steps needed to solve the equation. Their partners were encouraged to ask questions and get clarification so the ideas were explained at the simplest level.

Using the books as models, students revised and wrote down their explanations to make them so simple that they could be explained to a young child. After they wrote out their explanations, my co-teacher and I challenged them to create short books using card stock and colored pencils. Students worked with their small groups to talk through ideas and illustrate their books. If they struggled, they were able to pair with another student to create a book together.

Sharing with other students helped them explain ideas in new ways, which helped them develop a deeper understanding. Students were pushed to think metacognitively in order to explain their thinking and their process to others, and the class as a whole gained access to varying perspectives in math by hearing their peers’ thought processes. And they were all excited to see how they could use writing and art skills in an authentic way in math class.

Putting the ‘Story’ in ‘Story Problem’

The interesting thing often overlooked in math class is that it already includes stories and real-life connections, in the form of story problems. But the story problems are generally discrete—each is an individual unit, and they don’t tell a larger story.

Another issue is that the real-life elements usually don’t relate to things that are real issues in students’ lives. They might include calculating area so that someone can buy new carpet for their home. Or a story problem might be about landscapers planting a new tree, and needing to calculate the length of wire required to support the tree. These might be things the students will do later as adults, but they’re not current issues in the teens’ experience.

I used story problems as an opportunity to connect math to students’ lives by creating fictional math-based stories. First, students would work in small groups to go through the chapter in their math textbook and collect the story problems, writing them on index cards. Next, students would lay out the cards to see the questions as a whole: Out of 10 or more story problems in the chapter, were there five similar ones they could group together? What problem-solving skills were called for to work on these problems?

Looking at these five unconnected stories, students thought why they needed to solve them, and used their reasons to come up with some type of connected ideas. They created backstories for the names in the problems, in the process turning them into more developed characters. They identified challenges or reasons why the characters needed to solve the problem.

Finally, they combined the story problems they had created and developed a longer narrative to connect these scenarios, an overarching story rooted in authentic math story problems. Survival was a common theme: One group wrote about a zombie apocalypse and another imagined an alien invasion, situations in which characters needed to solve the problems and employ skills that would help them survive. It’s true that these stories were not rooted in students’ actual lives, but they were more engaging than rug purchases or landscaping.

When they used creative writing skills to develop math story problems about things they were interested in, students became more engaged. They wanted to read the other groups’ stories and work on the math in them because they had a real investment in the outcome. The stories helped students find motivation because they created an answer to the question “Why do we need to learn this?”


Solve Trigonometry Problems

Trigonometry problems with detailed solution are presented.

Problem 1: A person 100 meters from the base of a tree, observes that the angle between the ground and the top of the tree is 18 degrees. Estimate the height h of the tree to the nearest tenth of a meter.

Solution to Problem 1:

Problem 2: The angle of elevation of a hot air balloon, climbing vertically, changes from 25 degrees at 10:00 am to 60 degrees at 10:02 am. The point of observation of the angle of elevation is situated 300 meters away from the take off point. What is the upward speed, assumed constant, of the balloon? Give the answer in meters per second and round to two decimal places.

Solution to Problem 2:

tan(25 o ) = h1 / 300
و
tan(60 o ) = (h1 + h2) / 300

h1 = 300 tan(tan(25 o ))
و
h1 + h2 = 300 tan(60 o )

h2 = 300 [ tan(60 o ) - tan(25 o ) ]

= 300 [ tan(60 o ) - tan(25 o ) ] / (2 * 60) = 3.16 m/sec

Problem 3: Point P has initially coordinates (x,y). It is then rotated by angle أ about the origin to point P' (the distance r from the origin is conserved). What are the new coordinates (x',y') of point P'.

Solution to Problem 3:

    Express x , y , x' and y' using angles ب و a + b as follows

= r cos a cos b - r sin a sin b

= r sin a cos b + r cos a sin b

Problem 4:An airplane is approaching point A along a straight line and at a constant altitude h. At 10:00 am, the angle of elevation of the airplane is 20 o and at 10:01 it is 60 o . What is the altitude h of the airplane if the speed of the airplane is constant and equal to 600 miles/hour? (round answer to 2 decimal places).

Solution to Problem 4:

    We first calculate distance d using the time and speed (1 minute = 1/60 hour)

h = d / [ 1 / tan(20 o ) - 1 / tan(60 o ) ]

Problem 5: When the top T of a mountain is viewed from point A, 2000 m from ground, the angle of depression a is equal to 15 o and when it is viewed from point B on the ground the angle of elevation b is equal to 10 o . If points A and B are on the same vertical line, find the height h of the mountain. (round answer to one decimal place).

Solution to Problem 5:

    Let h be the height of the mountain as shown in the figure below. Use the right triangles MTB and MTA to write

    tan(10 o ) = h / d


Trigonometry Free Math Games & Activities for Kids

Trigonometry is a branch of mathematics. Trigonometry studies the relationships between side lengths and angles of triangles. There are six ratios including sine, cosine, tangent, cosecant, secant and cotangent. These six trigonometry ratios are abbreviated as sin, cos, tan, csc, sec, and cot. These are referred to as ratios since they can be expressed in terms of the sides of a right angled triangle for a specific angle.

Trigonometric functions

Trigonometric functions are functions related to an angle. There are six trigonometric functions: sine, cosine, tangent and their reciprocals cosecant, secant, and cotangent, respectively. Sine, cosine, and tangent are the most widely used trigonometric functions. Their reciprocals, though used, are less common in modern mathematics. Trigonometric functions are also called circular functions.

There are two main ways in which trigonometric functions are typically discussed: in terms of right triangles and in terms of the unit circle . The right-angled triangle definition of trigonometric functions is most often how they are introduced, followed by their definitions in terms of the unit circle.


Exercises: Elementary Trigonometry (Corral) - Mathematics

Please bookmark this page, http://aleph0.clarku.edu/

djoyce/ma105/, so you can readily access it.

    General description. We will explore some major themes in mathematics--calculation, number, geometry, algebra, infinity, formalism--and their historical development in various civilizations, ranging from the antiquity of Babylonia and Egypt through classical Greece, the Middle and Far East, and on to modern Europe. We will see how the earlier civilizations influenced or failed to influence later ones and how the concepts evolved in these various civilizations.

The earliest civilizations have left only archaeological and limited historical evidence that requires substantial interpretation. We have many mathematical treatises from the later civilizations, but these are usually in a completed form which leave out the development of the concepts and the purposes for which the mathematics was developed. Thus, we will have to analyze the arguments given by historians of mathematics for their objectivity and completeness.

    Explores major themes&mdashcalculation, number, geometry, algebra, infinity&mdashand their historical development in civilizations ranging from the antiquity of Babylonia and Egypt through classical Greece, the Middle and Far East and then modern Europe. Analyzes the tension between applications of mathematics and the tendency toward formalism. Emphasizes presentations and discussions. Fulfills the Historical Perspective.
  • Content goals:
    • follow the development of mathematics from early number systems to the invention of calculus
    • read and understand some historical mathematics
    • survey the development and use of methods of computation, some of which involve tools such as the abacus
    • study the mathematics of various different civilizations, their conception and use of mathematics, and how the historical conditions of those civilizations affected and were affected by mathematics
    • develop your capacity to understand the contemporary world in the larger framework of tradition and history
    • focus on the problems of interpreting the past and can also deal with the relationship between past and present
    • introduce students to the ways scholars think critically about the past, present and future
    • Develop your ability to present mathematics and history in spoken and written forms
    • Help you practice research skills
    • Satisfy, in part, your curiosity of how mathematics developed and how it fits into culture
      When you have finished this course you should be able to:
  • describe the development of various areas of mathematics within and across various civilizations
  • describe the changing character of mathematics over time and recognize the distinction between formal and intuitive mathematics
  • give examples of significant applications of mathematics to commerce, science, and general life, past and present
  • understand that history includes the interpretation the past, not just facts
  • better research historical questions and present your conclusions to others
  • The chapters refer to our textbook.

    • Chapter 1: Egypt and Mesopotamia
      • Egypt: number system, multiplication and division, unit fractions, the Egyptian 2/ن table, linear equations and the method of false position, geometry.
      • Mesopotamia: sexagesimal (base 60) system and cuneiform notation, arithmetic, Babylonian multiplication table, Babylonian reciprocal table, elementary geometry, the Pythagorean theorem, Plimpton 322 tablet, square roots, quadratic equations, tokens of preliterate Mesopotamia.
      • The earliest Greek mathematics: various Greek numerals, Thales, Pythagoras and the Pythagoreans, difficult construction problems
      • Plato and Aristotle: logic, magnitudes, Zeno's paradoxes
      • The law of the lever, approximation of pi, sums of series
      • Astronomy before Ptolemy, Cosmology and astronomy
      • Early trigonometry, History of Trigonometry
      • Ptolemy and the Almagest
      • Practical mathematics, Heron, Ptolemy's Geography
      • Diophantus and Greek algebra, Pappus and analysis
        See also Outline of Mathematics in China
    • Number symbols, rod numerals, fractions
    • Geometry: areas and volumes, the Pythagorean theorem, similar triangles
    • Algebra: simultaneous linear equations, arithmetic triangle, solving polynomial equations.
    • Indeterminate analysis and the Chinese remainder theorem finding one
      • See also Outline of Mathematics in India
      • The Hindu-Arabic place-value system and arithmetic
      • Geometry
      • Equations and indeterminate analysis
      • Combinatorics
      • Trigonometry, Aryabhata's trig table
      • Decimal arithmetic
      • Algebra: quadratic equations, powers of the unknown, arithmetic triangle, cubic equations
      • Combinatorics
      • Geometry: parallel postulate, trigonometry
      • Translations from Arabic into Latin in the 12th and 13th centuries
      • Summary of early mathematics in western Europe
      • Combinatorics
      • The mathematics of kinematics: velocity, the Merton theorem, Oresme's fundamental theorem of calculus
      • Mathematics at the turn of the fourteenth century
      • Mathematics in America, Africa, and the Pacific
      • The Italian abacists, algebra in France, Germany, England , and Portugal
      • The solution of the cubic equation
      • Early development of symbolic algebra: Viéte and Stevin
      • Perspective, geography and navigation, astronomy and trigonometry, logarithms, kinematics
      • The theory of equations
      • Analytic geometry: coordinates, equations of curves
      • Elementary probability
      • نظرية الأعداد
      • الهندسة الإسقاطية
      • Tangents and extrema, areas and volumes, power series, rectification of curves and the fundamental theorem of calculus
      • Isaac Newton, Gottfried Leibniz, and the first calculus texts

      Class notes, quizzes, tests, homework assignments

        Wednesday, 18 Jan 2017.
        Welcome to the class! Course overview
        Egyptian numerals and arithmetic. Multiplication and division algorithms.
        Why teach history of math?


      slarsen/TAAFU/ Journal for Inquiry Based Learning in Mathematics, JIBLM.org: Variety of Materials for upper level IBL mathematics courses, IBL Calculus, IBL Statistics.

      Basic Statistics IBL Notes, http://statweb.calpoly.edu/arossman/stat217/ Notes by Allan Rossman

      --> Introduction to Statistics: Openintro Statistics (Diez et al) https://leanpub.com/openintro-statistics Elementary Statistics IBL Notes, Catherine Dillard, Holyoke Community College, MA Pre-midterm packet (Word) (Pre-midterm 1 (pdf), pre-midterm 2 (pdf)), Post-midterm packet (Word) (pdf), Statistical Research Article An Introduction to Proof via Inquiry-Based Learning, https://github.com/dcernst/IBL-IntroToProof Notes by Dana Ernst Resources from Prof. Annalisa Crannell, https://www.fandm.edu/annalisa-crannell/course-materials Includes Abstract Algebra, Analysis, Calculus and more Mathematics for future elementary and secondary Math Teachers (University of Wisconsin) https://uwosh.edu/mathematics/outreach/big-ideas/ Includes Numbers and Operations, Algebra, Geometry, Probability and Stats, College Algebra


      شاهد الفيديو: الرياضيات - العاشر - تمارين عامة على الاقترانات المثلثية - الاستاذ زياد الغول - الفاضلية الثانوية (شهر اكتوبر 2021).