مقالات

3.1: الدوال المثلثية للزوايا - الرياضيات


أسئلة التركيز

تهدف الأسئلة التالية إلى توجيه دراستنا للمواد في هذا القسم. بعد دراسة هذا القسم ، يجب أن نفهم المفاهيم التي تحركها هذه الأسئلة وأن نكون قادرين على كتابة إجابات دقيقة ومتماسكة لهذه الأسئلة.

  • كيف نحدد جيب التمام والجيب كوظائف للزوايا؟
  • كيف يتم تعريف الدوال المثلثية على الزوايا باستخدام دوائر من أي نصف قطر؟

بداية النشاط

  1. كيف نحدد زاوية قياسها واحد راديان؟ انظر التعريف في الصفحة 27.
  2. ارسم زاوية في الوضع القياسي بمقياس ( dfrac { pi} {4} ) راديان. ارسم زاوية في الوضع القياسي بمقياس ( dfrac {5 pi} {3} ) راديان.
  3. ما هي معادلة طول القوس (s ) على دائرة نصف قطرها (r ) التي يتم قطعها بزاوية بمقياس راديان ( ثيتا )؟ انظر الصفحة 36. لماذا تشير هذه الصيغة إلى أن الراديان عبارة عن كمية بلا أبعاد وأن القياس بالراديان يمكن اعتباره عددًا حقيقيًا؟

بعض النتائج السابقة

في القسم 1.2 ، حددنا دالة جيب التمام ودالة الجيب باستخدام دائرة الوحدة. على وجه الخصوص ، علمنا أنه يمكننا تعريف ( cos (t) ) و ( sin (t) ) لأي رقم حقيقي حيث يمكن اعتبار الرقم الحقيقي (t ) على أنه طول القوس على دائرة الوحدة.

في القسم 1.3 ، تعلمنا أن قياس الراديان للزاوية هو طول القوس على دائرة الوحدة التي تقطعها الزاوية. هذا هو،

الزاوية (في الوضع القياسي) من (t ) راديان سوف تتوافق مع قوس طول (t ) على دائرة الوحدة ، وهذا يسمح لنا بالتفكير في ( cos (t) ) و ( sin (t) ) عندما (t ) هو قياس الراديان لزاوية.

لذلك عندما نفكر في ( cos (t) ) و ( sin (t) ) (والوظائف المثلثية الأخرى) ، يمكننا اعتبار (t ) على أنها:

  • رقم حقيقي
  • طول القوس مع النقطة الأولية ((1 ، 0) ) على دائرة الوحدة ؛
  • قياس الراديان لزاوية في الوضع القياسي.

يوضح الشكل ( PageIndex {1} ) قوسًا على دائرة الوحدة بالزاوية المقابلة.

الشكل ( PageIndex {1} ): زاوية في الوضع القياسي مع دائرة الوحدة

الدوال المثلثية للزاوية

مع التدوين في الشكل 3.1 ، نرى أن ( cos (t) = x ) و ( sin (t) = y ). في هذا السياق ، غالبًا ما نستخدم جيب التمام والجيب وظائف دائرية لأنها محددة بنقاط على دائرة الوحدة. نريد الآن التركيز على منظور جيب التمام والجيب كوظائف للزوايا. عند استخدام هذا المنظور ، سوف نشير إلى جيب التمام والجيب كـ الدوال المثلثية. من الناحية الفنية ، لدينا نوعان مختلفان من جيب التمام والجيب: أحدهما يُعرّف على أنه وظائف الأقواس والآخر بوظائف الزوايا. ومع ذلك ، فإن الاتصال قريب جدًا والتمييز طفيف جدًا لدرجة أننا سنقوم في كثير من الأحيان بتبادل المصطلحات الدائرية والمثلثية. أحد العناصر الترميزية هو أنه عندما نفكر في الدوال المثلثية كوظائف للزوايا ، فإننا غالبًا ما نستخدم الأحرف اليونانية للزوايا. الأكثر شيوعًا هي ( ثيتا ) (ثيتا) ، ( ألفا ) (ألفا) ، ( بيتا ) (بيتا) ، و ( فاي ) (فاي).

على الرغم من أن تعريف الدوال المثلثية يستخدم دائرة الوحدة ، فسيكون من المفيد جدًا توسيع هذه الفكرة للسماح لنا بتحديد جيب التمام وجيب الزوايا المرتبطة بدوائر أي نصف قطر. سيكون المفهوم الرئيسي الذي سنستخدمه للقيام بذلك هو المثلثات المتشابهة. سنستخدم المثلثات الموضحة في الشكل 3.2.

في هذا الشكل ، تكون الزاوية ( ثيتا ) في الوضع القياسي ، والنقطة (P (u ، v) ) على دائرة الوحدة ، والنقطة (Q ) على دائرة نصف قطرها (ص). لذلك نرى أن [ cos ( ثيتا) = u ] و [ الخطيئة ( ثيتا) = v ]

سنستخدم الآن المثلثات ( مثلث PAO ) و ( مثلث PAO ) لكتابة ( كوس ( ثيتا) ) و ( الخطيئة ( ثيتا) ) شروط (س ، ص ) و (ص ). يوضح الشكل 3.3 هذه المثلثات في حد ذاتها بدون دوائر.

المثلثين في الشكل 3.2 مثلثين متشابهين لأن الزوايا المتناظرة للمثلثين متساوية. (انظر الصفحة 421 في الملحق ج) لهذا السبب ، يمكننا كتابة [ dfrac {u} {1} = dfrac {x} {r} ] [u = dfrac {x} {r} ] [ cos ( theta) = dfrac {x} {r} ] و [ dfrac {u} {1} = dfrac {y} {r} ] [v = dfrac {y } {r} ] [ sin ( theta) = dfrac {y} {r} ]

الشكل ( PageIndex {2} ): زاوية في الوضع القياسي

الشكل ( PageIndex {3} ): مثلثات متشابهة من الشكل ( PageIndex {2} )

بالإضافة إلى ذلك ، لاحظ أن (u ^ {2} + v ^ {2} = 1 ) و (x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} ). لقد حصلنا على النتائج التالية ، والتي توضح أنه بمجرد أن نعرف إحداثيات نقطة واحدة على الجانب النهائي للزاوية ( theta ) في الوضع القياسي ، يمكننا تحديد جميع الدوال المثلثية الست لتلك الزاوية.

لأي نقطة ((x، y) ) بخلاف الأصل على الجانب الطرفي للزاوية ( theta ) في الوضع القياسي ، يتم تعريف الدوال المثلثية لـ ( theta ) على النحو التالي: [ cos ( theta) = dfrac {x} {r} ] [ sin ( theta) = dfrac {y} {r} ] [ tan ( theta) = dfrac {y} { x}، x neq 0 ] [ sec ( theta) = dfrac {r} {x}، x neq 0 ] [ csc ( theta) = dfrac {r} {y} ، y neq 0 ] [ cot ( theta) = dfrac {x} {y}، y neq 0 ] حيث (r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2 } ) و (r> 0 ) وهكذا (r = sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} ).
لاحظ أنه يمكن أيضًا تحديد الدوال المثلثية الأخرى من حيث (x ، y ) ، و (r ). على سبيل المثال ، إذا (x neq 0 ) ، إذن [ tan ( theta) = dfrac { sin ( theta)} { cos ( theta)} = dfrac { dfrac {y} {r}} { dfrac {x} {r}} = dfrac {y} {r} cdot dfrac {r} {x} = dfrac {y} {x} ] [ ثانية ( ثيتا) = dfrac {1} { cos ( theta)} = dfrac {1} { dfrac {x} {r}} = 1 cdot dfrac {r} {x} = dfrac {r} {س} ]

على سبيل المثال ، إذا كانت النقطة ((3 ، -1) ) على الجانب الطرفي للزاوية ( theta ) ، فيمكننا استخدام (x = 3 ) ، (y = -1 ) ) و (r = sqrt {(- 3) ^ {2} + 1 ^ {2}} = sqrt {10} ) ، وهكذا

[ cos ( theta) = dfrac {3} { sqrt {10}} ] [ sin ( theta) = - dfrac {1} { sqrt {10}} ] [ tan ( theta) = - dfrac {1} {3} ] [ cot ( theta) = - dfrac {3} {1} ] [ sec ( theta) = dfrac { الجذر التربيعي {10}} {3} ] [ csc ( theta) = - dfrac { sqrt {10}} {1} ]

سيوفر التمرينان التاليان بعض التدريب على استخدام هذه النتائج.

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض أننا نعلم أن النقطة (P (3، 7) ) تقع على الجانب النهائي للزاوية ( theta ) في الوضع القياسي.

  1. ارسم نظام إحداثيات ، وارسم النقطة (P ) ، وارسم الجانب النهائي للزاوية ( theta ).
  2. حدد نصف القطر r للدائرة المتمركزة عند نقطة الأصل التي تمر بالنقطة (P (-5، 13) ). تلميح: (x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} ).
  3. الآن حدد قيم الدوال المثلثية الست لـ ( theta ).
إجابه

1.

2. (r = sqrt {(- 3) ^ {2} + 7 ^ {2}} = sqrt {58} )

3. [ cos ( theta) = - dfrac {3} { sqrt {58}} ]

[ sin ( theta) = dfrac {7} { sqrt {58}} ]

[ tan ( theta) = - dfrac {7} {3} ]

[ cos ( theta) = - dfrac {3} {7} ]

[ sec ( theta) = - dfrac { sqrt {58}} {3} ]

[ tan ( theta) = dfrac { sqrt {58}} {7} ]

تمرين ( PageIndex {2} )

لنفترض أن ( alpha ) زاوية ، وأن ( tan ( alpha) = dfrac {2} {3} ) ، وعندما يكون ( alpha ) في الوضع القياسي ، يكون جانبها النهائي في الربع الثالث.

  1. ارسم نظام إحداثيات ، ارسم الجانب النهائي للزاوية ( ألفا ) في الوضع القياسي.
  2. حدد نقطة تقع على الجانب الطرفي لـ ( alpha ).
  3. حدد الدوال المثلثية الست لـ ( alpha ).
إجابه

1.

2. بما أن ( tan ( alpha) = dfrac {2} {3} ) ، يمكننا أن نستنتج أن النقطة ((3، 2) ) تقع على الجانب الطرفي لـ ( alpha ) .

3. بما أن ((3، 2) ) على الجانب الطرفي لـ ( alpha ) يمكننا استخدام (x = 3، y = 2 ) و (r = sqrt {3 ^ { 2} + 2 ^ {2}} ). وبالتالي

[ cos ( theta) = dfrac {2} { sqrt {13}} ]

[ sin ( theta) = dfrac {3} { sqrt {13}} ]

[ tan ( theta) = dfrac {2} {3} ]

[ cos ( theta) = dfrac {3} {2} ]

[ sec ( theta) = - dfrac { sqrt {13}} {2} ]

[ tan ( theta) = dfrac { sqrt {13}} {3} ]

هوية فيثاغورس

ربما تكون أهم هوية للدوال الدائرية هي ما يسمى بـ Pythagorean Identity ، والتي تنص على أنه لأي رقم حقيقي (t ) ، [ cos ^ {2} (t) + sin ^ {2} (t ) = 1 ]

لا ينبغي أن يكون مفاجئًا أن هذه المطابقة تنطبق أيضًا على الدوال المثلثية عندما نعتبرها وظائف للزوايا. سيتم التحقق من هذا في التحقق من التقدم التالي.

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض ( theta ) أن تكون زاوية وافترض أن ((x، y) ) هي نقطة على الجانب الطرفي لـ ( theta ) في الوضع القياسي. ثم نسمح (r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} ). لذلك نرى أن [ cos ( theta) ^ {2} + cos ( theta) ^ {2} = ( dfrac {x} {r}) ^ {2} + ( dfrac {y} { r}) ^ {2}. ]

  1. استخدم الجبر لإعادة كتابة (( dfrac {x} {r}) ^ {2} + ( dfrac {y} {r}) ^ {2} ) ككسر بمقامه ، يكون جانبه النهائي في الجزء الثالث رباعي.
  2. استخدم الآن حقيقة أن (x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2} ) لإثبات أن (( dfrac {x} {r}) ^ {2} + ( dfrac { ص} {r}) ^ {2} = 1 )
  3. أخيرًا ، استنتج أن [ cos ( theta) ^ {2} + sin ( theta) ^ {2} = 1 ]
إجابه

يجب أن يبدو العمل المكتمل كما يلي:

[ cos ^ {2} ( theta) + sin ^ {2} ( theta) = ( dfrac {x} {r}) ^ {2} + ( dfrac {y} {r}) ^ {2} = dfrac {x ^ {2}} {r ^ {2}} + dfrac {y ^ {2}} {r ^ {2}} = dfrac {x ^ {2} + y ^ { 2}} {r ^ {2}} = dfrac {r ^ {2}} {r ^ {2}} = 1 ]

يوضح اختبار التقدم التالي كيفية استخدام مطابقة فيثاغورس للمساعدة في تحديد الدوال المثلثية للزاوية.

تمرين ( PageIndex {4} )

افترض أن ( theta ) زاوية في الوضع القياسي وأن ( sin ( theta) = dfrac {1} {3} ) و ( dfrac { pi} {2} < theta < pi ).

  1. استخدم هوية فيثاغورس لتحديد ( cos ^ {2} ( theta) ) ثم استخدم حقيقة أن ( dfrac { pi} {2} < theta < pi ) لتحديد ( كوس (ثيتا).
  2. استخدم الهوية ( tan ( theta) = dfrac { sin ( theta)} { cos ( theta)} ) لتحديد قيمة ( tan ( theta) ).
  3. حدد قيم الدوال المثلثية الثلاث الأخرى لـ ( theta ).
إجابه

1. باستخدام هوية فيثاغورس ، نرى أن ( cos ^ {2} ( theta) + ( dfrac {1} {3}) ^ {2} = 1 ) وهكذا ( cos ^ {2 } ( theta) = dfrac {8} {9} ). منذ ( dfrac { pi} {2} < theta < pi ) ، ( cos ( theta) <0 ). ومن هنا ، ( cos ( theta) = - dfrac { sqrt {8}} {3} ).

2. ( tan ( theta) = dfrac { dfrac {1} {3}} {- dfrac { sqrt {8}} {3}} = - dfrac {1} { sqrt {8 }} ).

3. ( cot ( theta) = - sqrt {8} ، csc ( theta) = 3 ) ، و ( sec ( theta) = - dfrac {3} { sqrt {8 }} )

الدوال المثلثية المعكوسة

في القسم 2.5 ، درسنا الدوال المثلثية العكسية عندما اعتبرنا الدوال المثلثية (الدائرية) دوال لرقم حقيقي (t ). ومع ذلك ، في بداية هذا القسم ، رأينا أنه يمكن أيضًا اعتبار (t ) طول قوس على دائرة الوحدة ، أو قياس الراديان لزاوية في الوضع القياسي. في ذلك الوقت ، كنا نستخدم دائرة الوحدة لتحديد قياس الراديان لزاوية ، لكن الآن يمكننا استخدام أي نقطة على الجانب النهائي للزاوية لتحديد الزاوية. الشيء المهم هو أن هذه هي الآن دوال للزوايا ولذا يمكننا استخدام الدوال العكسية المثلثية لتحديد الزوايا. يمكننا استخدام قياس راديان أو قياس درجة للزوايا. النتائج التي نحتاجها ملخصة أدناه.

  1. ( theta = arcsin (x) = sin ^ {- 1} (x) ) يعني ( sin ( theta) = x ) و (- dfrac { pi} {2} leq theta leq dfrac { pi} {2} ) أو (- 90 ^ circ leq theta leq 90 ^ circ ).
  2. ( theta = arccos (x) = cos ^ {- 1} (x) ) تعني ( cos ( theta) = x ) و (0 leq theta leq pi ) أو (0 ^ circ leq theta leq 180 ^ circ ).
  3. ( theta = arctan (x) = tan ^ {- 1} (x) ) تعني ( tan ( theta) = x ) و (- dfrac { pi} {2} < theta < dfrac { pi} {2} ) أو (- 90 ^ circ < theta <90 ^ circ ).

الأشياء المهمة التي يجب تذكرها هي أنه يمكن ترجمة معادلة تتضمن الدالة المثلثية العكسية إلى معادلة تتضمن الدالة المثلثية المقابلة وأن الزاوية يجب أن تكون في نطاق معين. على سبيل المثال ، إذا علمنا أن النقطة ((5 ، 3) ) تقع على الجانب الطرفي للزاوية ( theta ) وأن (0 leq theta < pi ) ، فإننا نعرف that [ tan ( theta) = dfrac {y} {x} = dfrac {3} {5} ]

يمكننا استخدام دالة الظل العكسي لتحديد (وتقريب) الزاوية لأن دالة الظل العكسي تعطي زاوية (بقياس راديان) بين (- dfrac { pi} {2} ) و ( dfrac {) pi} {2} ). منذ ( tan ( theta)> 0 ) ، سنحصل على زاوية بين 0 و ( dfrac { pi} {2} ). [ theta = arctan ( dfrac {3} {5}) حوالي 0.54042 ]

إذا استخدمنا مقياس الدرجة ، فسنحصل على ( dfrac { pi} {2} ). [ theta = arctan ( dfrac {3} {5}) حوالي 30.96376 ^ circ ]

من المهم أن نلاحظ أنه عند استخدام الدوال المثلثية العكسية ، يجب أن نكون حذرين مع القيود المفروضة على الزوايا. على سبيل المثال ، إذا ذكرنا أن ( tan ( alpha) = dfrac {5} {3} ) و ( pi < alpha < dfrac {3 pi} {2} ) ، إذن لن تعطي دالة الظل العكسي النتيجة الصحيحة. لا يزال بإمكاننا استخدام [ theta = arctan ( dfrac {3} {5}) حوالي 0.54042 ] ولكن علينا الآن استخدام هذه النتيجة وحقيقة أن الجانب الطرفي لـ ( alpha ) هو في الربع الثالث. لذلك [ alpha = theta + pi ] [ alpha = arctan ( dfrac {3} {5}) + pi ] [ alpha almost 3.68201 ]

يجب علينا الآن استخدام الآلة الحاسبة للتحقق من أن ( tan ( alpha) = dfrac {3} {5} )

تظهر العلاقة بين الزوايا ( alpha ) و ( theta ) في الشكل ( PageIndex {4} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

افترض أن النقطة ((- 2، 5) ) على الجانب الطرفي للزاوية ( theta ) في الوضع القياسي وأن (0 leq theta <360 ^ circ ). ثم نعرف أن ( tan ( theta) = - dfrac {5} {2} = -2.5 ).

الشكل ( PageIndex {4} ): زاويتان بنفس قيمة الظل

  1. ارسم صورة للزاوية ( theta ).
  2. استخدم الآلة الحاسبة لتقريب قيمة ( tan ^ {- 1} (- 2.5) ) إلى ثلاث منازل عشرية.
  3. لاحظ أن ( tan ^ {- 1} (- 2.5) ) زاوية سالبة ولا يمكن أن تساوي ( theta ) لأن ( theta ) زاوية موجبة. استخدم التقريب لـ ( tan ^ {- 1} (- 2.5) ) لتحديد تقريب ( theta ) لثلاث منازل عشرية.
إجابه

2. ( tan ^ {- 1} (- 2.5) تقريبًا -68.199 ^ circ )

3. ( theta = -68.199 ^ circ + 180 ^ circ حوالي 111.801 ^ circ )

في المثال التالي ، سنحدد القيمة الدقيقة للزاوية المعطاة بدلالة دالة مثلثية عكسية.

مثال ( PageIndex {1} ): تحديد القيمة الدقيقة

سنحدد القيمة الدقيقة لـ ( cos ( arcsin (- dfrac {2} {7})) ). لاحظ أنه يمكننا استخدام الآلة الحاسبة لتحديد ذلك [ cos ( arcsin (- dfrac {2} {7})) حوالي 0.958315 ]

على الرغم من أن هذا صحيح لأقرب ستة منازل عشرية ، إلا أنه ليس القيمة الدقيقة. ومع ذلك ، يمكننا استخدام هذا التقريب للتحقق من عملنا أدناه.

سمحنا ( theta = arcsin (- dfrac {2} {7}) ) علمنا بعد ذلك أن [ sin ( theta) = - dfrac {2} {7} ] و [- dfrac { pi} {2} leq theta leq dfrac { pi} {2} ]

نلاحظ أنه منذ ( sin ( theta) <0 ) ، نعلم بالفعل أن (- dfrac { pi} {2} leq theta leq 0 ).

لذلك يمكننا استخدام هوية فيثاغورس لتحديد ( cos ^ {2} ( theta) ) على النحو التالي: [ cos ^ {2} ( theta) + sin ^ {2} ( theta) = 1 ] [ cos ^ {2} ( theta) = 1 - (- dfrac {2} {7}) ^ {2} ] [ cos ^ {2} ( theta) = dfrac {45} {49} ]

منذ (- dfrac { pi} {2} leq theta leq 0 ) ، نرى أن ( cos ( theta) = dfrac { sqrt {45}} {7} ). هذا هو [ cos ( arcsin (- dfrac {2} {7})) = dfrac { sqrt {45}} {7}. ]

يمكننا الآن استخدام الآلة الحاسبة للتحقق من أن ( dfrac { sqrt {45}} {7} almost 0.958315 ).

ملخص

درسنا في هذا القسم المفاهيم والأفكار المهمة التالية:

يمكن تعريف الدوال المثلثية باستخدام أي نقطة على الجانب النهائي للزاوية في الوضع القياسي. لأي نقطة ((x، y) ) بخلاف الأصل على الجانب الطرفي للزاوية ( theta ) في الوضع القياسي ، يتم تعريف الدوال المثلثية لـ ( theta ) على النحو التالي:

[ cos ( theta) = dfrac {x} {r} ] [ sin ( theta) = dfrac {y} {r} ] [ tan ( theta) = dfrac { y} {x}، x neq 0 ] [ sec ( theta) = dfrac {r} {x}، x neq 0 ] [ csc ( theta) = dfrac {r} {y}، y neq 0 ] [ cot ( theta) = dfrac {x} {y}، y neq 0 ] حيث (r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2} ) و (r> 0 ) وهكذا (r = sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}} ). تظل هوية فيثاغورس صحيحة عندما نستخدم الدوال المثلثية للزاوية. أي ، لأي زاوية ، [ cos ( theta) ^ {2} + sin ( theta) ^ {2} = 1. ]
بالإضافة إلى ذلك ، لا يزال لدينا الدوال العكسية المثلثية. خاصه،

  • ( theta = arcsin (x) = sin ^ {- 1} (x) ) يعني ( sin ( theta) = x ) و (- dfrac { pi} {2} leq theta leq dfrac { pi} {2} ) أو (- 90 ^ circ leq theta leq 90 ^ circ ).
  • ( theta = arccos (x) = cos ^ {- 1} (x) ) تعني ( cos ( theta) = x ) و (0 leq theta leq pi ) أو (0 ^ circ leq theta leq 180 ^ circ ).
  • ( theta = arctan (x) = tan ^ {- 1} (x) ) تعني ( tan ( theta) = x ) و (- dfrac { pi} {2} < theta < dfrac { pi} {2} ) أو (- 90 ^ circ < theta <90 ^ circ ).

3.1.2: متطابقات الحاصل

أنت تعمل في فصل الرياضيات يومًا ما عندما يميل صديقك ويسألك عما حصلت عليه من أجل جيب وجيب زاوية معينة.

& مثل حصلت ( dfrac <1> <2> ) للجيب ، و ( dfrac < sqrt <3>> <2> ) لجيب التمام. لماذا؟ & مثل تسأل.

& quot يبدو أنه من المفترض أن أحسب دالة الظل لنفس الزاوية التي فعلتها للتو ، لكن لا يمكنني تذكر علاقة الظل. ماذا علي أن أفعل؟ & مثل يقول.

هل تعرف كيف يمكنك مساعدة صديقك في العثور على الإجابة ، حتى لو كنت أنت وهو لا يتذكران العلاقة من أجل الظل؟


في دائرة قطرها (40 ، rm ، ) طول الوتر (20 ، rm. ) أوجد طول القوس الصغير للوتر.

حل

قطر الدائرة (= 40 ، rm <سم> )

لذلك ، نصف قطر الدائرة (r = frac < rm <40 ، cm >> <2> = 20 ، rm)

لنفترض أن (AB ) هو وتر طول (20 ، rm ) من الدائرة.

ومن ثم ، فإن ( Delta AOB ) هو مثلث متساوي الأضلاع

وبالتالي ، ( theta = 60 ^ circ ) أو ( theta = frac < pi> <3> ) راديان

كما نعلم أنه إذا كان في دائرة نصف قطرها (r ، ) قوس من الطول (ل ) يقابل زاوية (& ثيتا ) راديان ،

ومن ثم ، فإن طول القوس الصغير للوتر هو ( frac <20 pi> <3> ، rm).


الدوال المثلثية الأخرى

حيث المقابل = الضلع المقابل a ، الضلع المجاور = الضلع المجاور لـ a ، والوتر = الضلع المقابل للوتر.

نظرًا لأن هذه الدوال الثلاث الأخيرة هي ببساطة عمليات تبادلية ، فكل ما تحتاجه في معظم الأحيان هو الثلاثة الأولى: الجيب وجيب التمام والظل. ومع ذلك ، قد تكون هناك أوقات تقوم فيها بتبسيط صيغة وينتهي بك الأمر بكسر يتضمن جيب الزاوية أو جيب التمام أو الظل. في تلك الحالات الخاصة ، قد يؤدي ذلك إلى تحسين الكود الخاص بك لاستخدام إحدى هذه الوظائف الثلاث الأخيرة بدلاً من ذلك.

على الرغم من أن هذه الدوال المثلثية تبدو مخيفة ، إلا أنها في الحقيقة مجرد وظائف تمت برمجتها مسبقًا في الآلة الحاسبة. يمكنك الوصول إليها باستخدام الأزرار ، تمامًا مثل وظيفة الضرب أو وظيفة الجذر التربيعي. إذا كان لديك آلة حاسبة علمية ، خذ دقيقة لتتعرف على وظائف حساب المثلثات الخاصة بها. إذا كان لديك Windows مثبتًا على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، فإنه يأتي مع آلة حاسبة في قائمة البرامج الملحقة. إذا قمت بتبديل طريقة العرض إلى علمي ، فسترى أن وظائف حساب المثلثات تظهر على الجانب الأيسر. اكتب 30 ، ثم انقر فوق زر الجيب. يجب أن تحصل على 0.5. لاحظ أنه يمكنك أيضًا التبديل إلى وضع الراديان في الجزء العلوي وإدخال الزاوية في وضع الراديان إذا كنت تريد ذلك. تمنحك معظم الآلات الحاسبة العلمية هذا الخيار. قد ترغب في التدرب على استخدام الآلة الحاسبة مع بعض الزوايا المستخدمة بشكل متكرر الموضحة في الجدول 3.1.

الجدول 3.1. الدوال المثلثية للزوايا المستخدمة بكثرة

يفضل العديد من المبرمجين إنشاء جدول بحث للوظائف المثلثية قبل بدء تشغيل حلقة اللعبة الفعلية. يمكن أن يؤدي ذلك إلى زيادة السرعة التي يمكن بها حساب القيم المثلثية في الكود. فيما يلي مثال على إنشاء جدول البحث:

بعد إنشاء جدول الخطيئة هذا ، لم يعد البرنامج بحاجة إلى استدعاء الخطيئة () دالة لحساب القيمة ، ولكن يفضل البحث عنها بهذه الطريقة:

من خلال كتابة الزاوية إلى int ، ثم الحصول على قيمتها المطلقة واستخدام عامل المقياس ، فإننا نضمن أنه بغض النظر عن حجم الزاوية ، فإننا لن نفقد حدود المصفوفة الخاصة بنا. من المهم أيضًا ملاحظة أنه إذا كان # براغما جوهري يتم استخدام الأمر لجعل وظائف حساب المثلثات جوهرية في مترجم Microsoft ، يصبح مقدار التحسين الذي تم إنشاؤه باستخدام جدول البحث ضئيلًا تقريبًا.

تحقق من مكتبة MSDN الخاصة بك للحصول على قائمة بتبديلات المحول البرمجي التي يجب تشغيلها لجعل وظائف حساب المثلثات جوهرية. كن حذرًا أيضًا من أنه لا يمكن استخدام الأوامر الجوهرية في هذه الوظائف أثناء وجودك في التصحيح الوضع ، لذلك استخدم هذا الخيار فقط عندما تكون جاهزًا لإنشاء إصدار الإصدار النهائي.

دعنا نلقي نظرة على مثالين لنرى كيف يتم استخدام هذه الدوال المثلثية بالفعل.

مثال 3.6: استخدام جيب التمام

افترض أن شخصيتك في اللعبة تطلق سهمًا على هدف في الهواء. إنه يصوب بزاوية 60 ، والسهم يتبع مسارًا مستقيمًا بمقدار 50 بكسل. إذا كانت الشمس فوق الأرض مباشرةً ، فما المسافة التي يجب أن يقطعها الظل عبر الأرض؟

حل

يمكن تصميم هذا السيناريو بمثلث قائم الزاوية. ضع الزاوية في الوضع القياسي ، وقم بتسمية الوتر بطول 50 بكسل ، كما هو موضح في الشكل 3.6.

الشكل 3.6. مثلث قائم الزاوية لرمي سهم.

يمكنك أن ترى أنك تبحث بالفعل عن طول الضلع السفلي للمثلث القائم. يطلق عليه أ.

تنشئ دالة جيب التمام علاقة بين الضلع المجاور أ والوتر ، لذا استخدم ما يلي:

باستخدام حاسبة Windows ، اكتب الزاوية: 60. ثم انقر فوق زر كوس. يجب أن يمنحك هذا 0.5. أخيرًا ، اضرب ذلك في 50 بكسل ، مما يعطيك 25.

هذا يعني أن الظل يجب أن ينتقل بمقدار 25 بكسل عبر الأرض.

لاحظ أنه عندما تعرف الزاوية ، فإنك تستخدم دالة جيب التمام العادية في الآلة الحاسبة. تقوم الآلة الحاسبة في الواقع بإرجاع قيمة النسبة (المجاور / الوتر) لتلك الزاوية. ماذا لو كنت تعمل بشكل عكسي؟ أي ماذا لو كنت تعرف الكسر وتريد قياس الزاوية؟ يتطلب هذا استخدام معكوس إحدى الدوال المثلثية. المعكوس مكتوب بخط مرتفع 1 ، وتوضع الأحرف "قوس" أمام الاسم. على سبيل المثال ، يتم كتابة دالة جيب التمام المعكوسة cos 1 ويتم نطقها "arccosine". تستخدم العديد من الآلات الحاسبة الوظيفة الثانية أو مفتاح Shift للعكسات. تحقق من الآلة الحاسبة الخاصة بك للعثور عليهم. تحتوي الآلة الحاسبة في Windows على خانة اختيار للدالة العكسية.

دعنا نعيد النظر في مثال سهم الرماية للتدرب على الدالة العكسية.

المثال 3.7: استخدام المماس المعكوس

افترض أن شخصيتك في اللعبة تطلق سهمًا على هدف في الهواء. إنه يقف على بعد 100 بكسل من الهدف ، وهو 400 بكسل من الأرض. ما الزاوية التي يجب أن يصوب إليها إذا كان السهم سيتبع مسارًا مستقيمًا؟

حل

يمكن تصميم هذا السيناريو بمثلث قائم الزاوية. هذه المرة ، تعرف أطوال الضلعين ، كما هو موضح في الشكل 3.7.

الشكل 3.7. مثلث قائم الزاوية آخر لرمي سهم.

هذه المرة تبحث عن الزاوية في الوضع القياسي. يطلق عليه أ.

تنشئ دالة الظل علاقة بين الضلع المقابل والضلع المجاور ، لذا استخدم ما يلي:

باستخدام حاسبة Windows ، اكتب نسبة الضلع المقابل مقسومًا على الضلع المجاور: 4. انقر فوق خانة الاختيار Inv (معكوس). ثم انقر فوق الزر تان. يجب أن يمنحك هذا حوالي 76.

هذا يعني أن اللاعب يجب أن يصوب بزاوية 76 في الوضع القياسي لضرب الهدف.

دعنا نتعرف على كيفية حل مشكلة مماثلة في الكود باستخدام دالة تعيد الزاوية بين كائنين في الموضع القياسي ، بالنظر إلى مواقعهم:

من المهم في هذه الوظيفة الوسائل التي من خلالها نكتشف الزاوية الفعلية بناءً على القيمة التي تم إرجاعها عتان () . تذكر أن جيب الزاوية موجب في الربعين الأول والثاني ، وجيب تمام الزوايا موجب في الربعين الأول والرابع ، بينما يكون ظل الزاوية موجبًا في الربعين الأول والثالث. جميع دوال المثلثات العكسية ستعيد دائمًا الزاوية في الأرباع الأولى إذا تم تمريرها بقيمة موجبة. ومع ذلك ، إذا تم تمرير قيمة سالبة ، أسين () و عتان () سيعود الزاوية في الربع الرابع ، بينما أكوس () سيعيد الزاوية في الربع الثاني. لذلك في هذا المثال ، يجب أن نتحقق من مواضع الكائن فيما يتعلق بأنفسهم لمعرفة الربع الذي توجد فيه الزاوية بالفعل ، ثم نضيف إما 180 أو 360 للحصول على تلك الزاوية في الموضع القياسي.

عندما تعرف قياس الزاوية ، استخدم دالة الجيب أو دالة جيب التمام أو وظيفة الظل العادية. إذا كنت تريد إرجاع الزاوية ، فاستخدم إحدى الدوال العكسية.

آخر شيء يحتاج هذا القسم إلى معالجته هو الرسم البياني للجيب وجيب التمام. ربما تكون قد شاهدت موجة صوتية من قبل هذا بالضبط ما تبدو عليه الرسوم البيانية للجيب وجيب التمام.

أولاً ، ستفحص التمثيل البياني لـ y = sin (x) ، ثم ستقارنه بالرسم البياني لـ y = cos (x). يمكنك استخدام الجدول 3.1 لرسم بعض الزوايا المرجعية للبدء. إذا استخدمت الزاوية في عمود الدرجات لقيم x ، فإن sin عمود يمثل قيم y المقابلة. إذا استخدمت الآلة الحاسبة لجيب بعض الزوايا الواقعة بينهما ، فستجد أنها تقع جميعًا على المنحنى المرسوم في الشكل 3.8.

الشكل 3.8. رسم بياني لـ y = sin (x).

لاحظ أن الرسم البياني له نمط يتكرر كل 360 (أو 2 ص) وهذا يسمى الفترة الأساسية . هناك طرق لتغيير الفترة الزمنية إذا كنت بحاجة إلى تمديد أو ضغط الرسم البياني أفقيًا ليناسب احتياجاتك. لتغيير النقطة ، ضع رقمًا أمام x. تمد الكسور الرسم البياني وتضغطه الأعداد الأكبر.

مثال 3.8: تمديد الموجة الجيبية أفقيًا

ارسم المعادلة y = sin (1/2 x).

حل

أسهل طريقة للبدء هي التعويض بعدة قيم x وحساب y المقابلة. يوضح الجدول 3.2 بعض النقاط الرئيسية.


3.1: الدوال المثلثية للزوايا - الرياضيات

الخطة الأسبوعية - ربيع 2010

التاريخ عنوان النشاط
08 مارس - 12 مارس مراجعة
الفصل 1 - الوظائف: الخصائص وخصائص أمبير
الفصل 2 - الوظائف: فهم معدلات التغيير

22 مارس - 26 مارس الفصل 3 - وظائف تربيعية
3.1 خصائص الوظائف التربيعية
3.2 تحديد قيم الحد الأقصى / الأدنى لوظيفة تربيعية
3.3 معكوس دالة تربيعية
3.4 العمليات مع الجذور

22 مارس - 26 مارس
3.5 حل المعادلات التربيعية
3.6 أصفار دالة تربيعية
3.7 عائلات الوظائف التربيعية
3.8 الأنظمة التربيعية الخطية
مراجعة واختبار الفصل

29 مارس - 01 أبريل الفصل 4 - الدوال الأسية
4.1 استكشاف النمو والانحلال
4.2 العمل مع الأس الصحيح
4.3 العمل مع الأسس العقلانية
4.4 تبسيط التعبيرات الجبرية التي تتضمن الأسس

13 أبريل - 16 أبريل
4.5 استكشاف خصائص الدوال الأسية
4.6 تحولات الدوال الأسية
4.7 التطبيقات التي تتضمن الدوال الأسية
مراجعة الفصل واختبار أمبير

19 أبريل - 23 أبريل الفصل الخامس - النسب المثلثية

5.1 النسب المثلثية للزوايا الحادة
5.2 النسب المثلثية للزوايا الخاصة
5.3 النسب المثلثية للزوايا الأكبر من 90 درجة
5.4 النسب المثلثية للزوايا بين 0 درجة و 360 درجة

26 أبريل - 30 أبريل

5.5 المتطابقات المثلثية
5.6 قانون شرط
5.7 قانون جيب التمام
5.8 حل مسائل ثلاثية الأبعاد باستخدام علم المثلثات
مراجعة الفصل واختبار أمبير

03 مايو - 07 مايو الفصل 6 - الوظائف الجيبية

6.1 الوظائف الدورية وخصائصها
6.2 التحقيق في خصائص الوظائف الجيبية
6.3 تفسير الوظائف الجيبية
6.4 تحولات الوظائف الجيبية

10 مايو - 14 مايو

6.5 رسم الرسم البياني للوظيفة الجيبية
6.6 نماذج من الوظائف الجيبية
6.7 حل المشكلات
اختبار مراجعة الفصل

17 مايو - 21 مايو الفصل السابع - المتتاليات والمتسلسلات

7.1 المتتاليات الحسابية
7.2 المتتاليات الهندسية
7.3 إنشاء قواعد لتعريف التسلسلات
7.4 استكشاف المتواليات العودية

25 مايو - 28 مايو

7.5 المتسلسلة الحسابية
7.6 سلسلة هندسية
7.7 مثلث باسكال وتوسعات ذات الحدين
اختبار مراجعة الفصل

31 مايو - 04 يونيو الفصل الثامن - التطبيقات المالية
8.1 فائدة بسيطة
8.2 الفائدة المركبة: القيمة المستقبلية
8.3 الفائدة المركبة: القيمة الحالية

07 يونيو - 11 يونيو

8.4 المعاشات: القيمة المستقبلية
8.5 المعاشات: القيمة الحالية
اختبار مراجعة الفصل
المراجعة التراكمية

14 يونيو - 18 يونيو

مراجعة تراكمية

21 يونيو

المراجعة التراكمية


سلسلة فورييه والتكاملات

12.1 المتسلسلة المثلثية

أدت الدوال المثلثية إلى ظهور طريقة أخرى للتمثيل المتسلسل للوظائف ، تختلف عن تمثيل سلسلة القوى. سلسلة من النموذج

يسمى أ سلسلة مثلثية. شروط هذه السلسلة هي وظائف دورية مع الفترة 2 π. لذلك ، إذا كانت تتقارب على (- π ، π] ، فإنها تتقارب على R. لذلك ، من المعقول دراسة هذه السلسلة على الفترة [- π ، π] ، مع الأخذ في الاعتبار أنها تنتج نفس القيم عند - π وفي π.

نظرية 12.1

إذا كانت السلسلة في Eq. (12.1) يتقارب بشكل موحد مع الوظيفة F على [- π، π] ، ومن بعد و ∈ ج (- π ، π) ، و (π) = و (- π) ،

مجموع سلسلة متقاربة بشكل موحد من الوظائف المستمرة مستمر. لذلك ، f ∈ C (- π ، π). أيضا،

∫ - π π sin nx dx = ∫ - π π cos nx dx = 0 ، n ∈ N ،

∫ - π π sin nx sin mx dx = ∫ - π π cos nx cos mx dx = 0، n، m ∈ N، n ≠ m،

∫ - π π sin nx cos mx dx = 0، n، m ∈ N،

∫ - π π sin 2 nx dx = ∫ - π π cos 2 nx dx = ، n ∈ N ،

يمكن إثبات ذلك باستخدام الهويات المثلثية. خذ أي n ∈ N. لنفترض أن m ∈ N بحيث يكون n ≤ m. إذا

لنفترض الآن أن f هي أي دالة تكون التكاملات في المعادلة لها. (12.2) لها معنى. المتسلسلة المثلثية في المعادلة. (12.1) ، حيث يتم تعريف a n و b n بواسطة Eq. (12.2) ، يسمى أ سلسلة فورييه إيقاف . الأرقام a n و b n من المعادلة. (12.2) تسمى معاملات فورييه إيقاف . نحن نكتب

إذا تقاربت سلسلة فورييه من f إلى f عند x ، فسيتم استبدال الرمز ∼ برمز المساواة.

تقول النظرية 12.1 أنه إذا كانت f C (-، π) ، فإن سلسلة فورييه لا يمكن أن تتقارب مع f بشكل موحد. لذلك ، يجب استخدام مفاهيم التقارب الأضعف الأخرى لمثل هذه الوظائف. بشكل عام ، تعد مشكلة التقارب لسلسلة فورييه أكثر تعقيدًا من نفس المشكلة بالنسبة لسلسلة تايلور. إذا تم استخدام التقارب النقطي ، فهناك مثال للدالة المستمرة ، التي أنشأها du Bois-Reymond 100 في عام 1876 ، والتي تتباعد فيها سلسلة فورييه عند نقطة ما. المفهوم الصحيح للتقارب لسلسلة فورييه هو التقارب في كل مكان تقريبًا (انظر القسم 10.5 * لمفهوم كل مكان تقريبًا). في عشرينيات القرن الماضي ، طرح Lusin 101 مشكلة في تقارب سلسلة فورييه في كل مكان تقريبًا لكل دالة متصلة. في عام 1965 ، أظهر كارليسون 102 أن سلسلة فورييه لكل دالة من L 2 (- ، π) ، أكبر من C (- π ، π) ، تتقارب في كل مكان تقريبًا في [- π ، π]. في وقت لاحق ، تم تمديد هذه النتيجة بواسطة Hunt 103 إلى جميع الوظائف من L p (- π ، π) باستثناء p = 1. في عام 1926 ، أنشأ Kolmogorov دالة في L (- π ، π) تتباعد منها سلسلة فورييه في كل مكان على [- π ، π].

تتطلب مناقشة التقارب في كل مكان تقريبًا لسلسلة فورييه خلفية لا تنتمي إلى نطاق هذا الكتاب. لذلك ، سوف نركز على تقارب سلسلة فورييه بالمعنى النقطي والموحد ، والذي تمت مناقشته في الفصول السابقة ، وأيضًا بمعنى المربع المتوسط ​​، الذي يتناسب تمامًا مع نطاق هذا الكتاب. أولاً نعطي المثال التالي لسلسلة فورييه المتقاربة بشكل موحد.

مثال 12.2

ارتبط بالدالة f (x) = x 2 ، - π ≤ x ≤ π سلسلة فورييه الخاصة بها

إذا أعطيت f على (0، π] ، فيمكننا إنشاء سلسلة فورييه من f على (0، π] بتمديد f إلى [- π، π] بطريقة عشوائية. نظرًا لأننا مهتمون بـ f على (0، π] ، قيم الامتداد على [- π ، 0] ليست ذات صلة. لذلك ، يمكن إنشاء سلسلة فورييه مختلفة من f على (0 ، π]. اثنان من هذه الامتدادات مهمان. إذا كان f ̃ هو الامتداد الفردي لـ f ، معاملات فورييه لـ f هي


الدوال المثلثية 3.1 مقدمة - عرض تقديمي باستخدام PowerPoint PPT

يعد موقع PowerShow.com موقعًا رائدًا لمشاركة العروض التقديمية / عرض الشرائح. سواء كان تطبيقك يتعلق بالعمل ، أو الكيفية ، أو التعليم ، أو الطب ، أو المدرسة ، أو الكنيسة ، أو المبيعات ، أو التسويق ، أو التدريب عبر الإنترنت أو لمجرد التسلية ، فإن موقع PowerShow.com هو مورد رائع. والأفضل من ذلك كله ، أن معظم ميزاته الرائعة مجانية وسهلة الاستخدام.

يمكنك استخدام PowerShow.com للعثور على أمثلة على عروض PowerPoint التقديمية عبر الإنترنت وتنزيلها حول أي موضوع يمكنك تخيله حتى تتمكن من تعلم كيفية تحسين الشرائح والعروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!

مقابل رسوم رمزية ، يمكنك الحصول على أفضل خصوصية على الإنترنت في المجال أو الترويج للعروض التقديمية وعروض الشرائح ذات الترتيب الأعلى بشكل عام. لكن بصرف النظر عن ذلك فهو مجاني. سنقوم بتحويل عروضك التقديمية وعروض الشرائح إلى تنسيق الفلاش العالمي بكل مجدها الأصلي للوسائط المتعددة ، بما في ذلك الرسوم المتحركة ، وتأثيرات الانتقال ثنائية وثلاثية الأبعاد ، والموسيقى المضمنة أو أي صوت آخر ، أو حتى الفيديو المضمّن في الشرائح. كل هذا مجانا. يمكن مشاهدة معظم العروض التقديمية وعروض الشرائح على PowerShow.com مجانًا ، بل إن الكثير منها مجاني للتنزيل. (يمكنك اختيار ما إذا كنت ستسمح للأشخاص بتنزيل عروض PowerPoint التقديمية الأصلية وعروض شرائح الصور مقابل رسوم أو مجانًا أم لا على الإطلاق.) تحقق من PowerShow.com اليوم - مجانًا. حقا هناك شيء للجميع!

العروض التقديمية مجانًا. أو استخدمه للعثور على عروض تقديمية عالية الجودة لـ PowerPoint وتنزيلها مع شرائح مصورة أو متحركة ستعلمك كيفية القيام بشيء جديد ، مجانًا أيضًا. أو استخدمه لتحميل شرائح PowerPoint الخاصة بك حتى تتمكن من مشاركتها مع المعلمين أو الفصل أو الطلاب أو الرؤساء أو الموظفين أو العملاء أو المستثمرين المحتملين أو العالم. أو استخدمها لإنشاء عروض شرائح صور رائعة حقًا - مع انتقالات ثنائية وثلاثية الأبعاد ورسوم متحركة وخيارات الموسيقى التي يمكنك مشاركتها مع أصدقائك على Facebook أو دوائر Google+. هذا كله مجاني أيضًا!


أسئلة وأجوبة الرياضيات & # 8211 الدوال المثلثية للجمع والفرق بين زاويتين -1

This set of Mathematics Multiple Choice Questions & Answers (MCQs) focuses on “Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles-1”.

5. Is cos (90° – x) = sin x.
a) True
b) False
View Answer

6. Is sin (90°+x) = cos x.
a) True
b) False
View Answer

7. tan(75°) =___________________
a) 2+(sqrt<3>)
b) 2-(sqrt<3>)
c) 1+(sqrt<3>)
d) (sqrt<3>)-1
View Answer

8. tan(15°) =___________________
a) 2 + (sqrt<3>)
b) 2 – (sqrt<3>)
c) 1 + (sqrt<3>)
d) (sqrt<3>) – 1
View Answer

9. cot 75° =___________________________
a) 2+(sqrt<3>)
b) 2-(sqrt<3>)
c) 1+(sqrt<3>)
d) (sqrt<3>)-1
View Answer

10. cot 15° =______________
a) 2+(sqrt<3>)
b) 2-(sqrt<3>)
c) 1+(sqrt<3>)
d) (sqrt<3>)-1
View Answer

11. Find cos 2x if sin x=1/2.
a) 1/2
b) 1/(sqrt<2>)
c) (sqrt<3>)/2
d) 1
View Answer

12. Find cos 2x if cos x = 1/(sqrt<2>).
a) 1/2
b) 0
c) (sqrt<3>)/2
d) 1
View Answer

13. Find cos 2x if tan x=1/(sqrt<3>).
a) 1/2
b) 0
c) (sqrt<3>)/2
d) 1
View Answer

Sanfoundry Global Education & Learning Series – Mathematics – Class 11.

Participate in the Sanfoundry Certification contest to get free Certificate of Merit. Join our social networks below and stay updated with latest contests, videos, internships and jobs!


وصف

ALERT: Before you purchase, check with your instructor or review your course syllabus to ensure that you select the correct ISBN. Several versions of Pearson's MyLab & Mastering products exist for each title, including customized versions for individual schools, and registrations are not transferable. In addition, you may need a CourseID, provided by your instructor, to register for and use Pearson's MyLab & Mastering products.

NOTE: Make sure to use the dashes shown on the Access Card Code when entering the code.

Student can use the URL and phone number below to help answer their questions:

https://support.pearson.com/getsupport/s/

Access codes for Pearson's MyLab & Mastering products may not be included when purchasing or renting from companies other than Pearson check with the seller before completing your purchase.

If you rent or purchase a used book with an access code, the access code may have been redeemed previously and you may have to purchase a new access code.

Access codes that are purchased from sellers other than Pearson carry a higher risk of being either the wrong ISBN or a previously redeemed code. Check with the seller prior to purchase.

0134996135 / 9780134996134 MyLab Math for Trigsted Trigonometry plus Guided Notebook -- Access Card Package, 3/e

0134751582 / 9780134751580 MyLab Math for Trigsted Trigonometry -- Access Kit, 3/e

0134768116 / 9780134768113 Guided Notebook for Trigsted Trigonometry, 3/e

جديد في هذا الإصدار

· Guided Visualizations bring mathematical concepts to life, helping students visualize the concepts through directed explorations and purposeful manipulation. Kirk Trigsted scripted and developed the Guided Visualizations specific for his Algebra & Trigonometry program. They are integrated into the eText and can be assigned with assessment exercises in MyLab Math to encourage active learning, critical thinking, and conceptual understanding. The Guided Visualization Exercsises are identified in MyLab math by the code “GV” and in the eText with the icon:

· Video Assessment Questions are assignable MyLab Math exercises tied to key video topics. These questions are designed to check students’ understanding of the important math concepts covered in the video. The Video Assessment questions are identified in MyLab Math by the code “VQ”.

· Drag and Drop Exercises are a new MyLab Math exercise type that allows students to drag items containing math expressions, words, graphs, or images from a starting bin into designated target areas. Students are asked to perform a higher level of decision making in their answers with these exercise types. This exercise type is utilized most in the Video Assessment Questions.

· Enhanced Sample Assignments are created by Kirk Trigsted to make course set•up easier by giving instructors a starting point for each chapter. Each assignment, handpicked by the author to align with this text, includes a thoughtful mix of question types (e.g., conceptual, skills, etc.) specific to that topic.

· Skill Builder Assignments offer adaptive practice that is designed to increase students’ ability to complete their assignments. By monitoring student performance on their homework, Skill Builder adapts to each student’s needs and provides just•in•time, in•assignment practice to help them improve their proficiency of key learning objectives.

· The Review chapter is significantly revised, including 160 new or updated exercises and 34 new videos. Also, a new section in the Review chapter discusses Operations with Radicals (section R.5)

· Interactive Chapter Summaries are organized by section and highlight important concepts and definitions with side•by•side examples and videos to make it easy for students to study key concepts. Chapter Summaries are assignable in MyLab™ Math.

· Over 1,200 New and Updated Exercises, helping students make the most of their time spent on homework, and maximize the digital environment to increase conceptual understanding. All exercises are assignable in MyLab Math and appear in the printed eText Reference.


شاهد الفيديو: الدوال المثلثية للزوايا رياضيات ثاني ثانوي. الفصل الثاني (شهر اكتوبر 2021).