مقالات

4.E: الدوال الأسية واللوغاريتمية (تمارين) - الرياضيات


4.1: الوظائف الأسية

عندما ينمو السكان بسرعة ، غالبًا ما نقول إن النمو "أسي" ، مما يعني أن شيئًا ما ينمو بسرعة كبيرة. في هذا القسم ، سوف نلقي نظرة على الدوال الأسية ، التي تمثل هذا النوع من النمو السريع.

شفهي

1) اشرح لماذا ستتجاوز قيم الدالة الأسية المتزايدة قيم دالة خطية متزايدة.

إجابه:

الدوال الخطية لها معدل تغير ثابت. تزداد الدوال الأسية بناءً على نسبة من الأصل.

2) بالنظر إلى صيغة دالة أسية ، هل من الممكن تحديد ما إذا كانت الدالة تنمو أم تتحلل أضعافًا مضاعفة بمجرد النظر إلى الصيغة؟ يشرح.

3) يعرّف قاموس أكسفورد الكلمة الاسمية على أنها قيمة "مذكورة أو معبر عنها ولكنها لا تتوافق بالضرورة تمامًا مع القيمة الحقيقية". قم بتطوير حجة معقولة لسبب استخدام مصطلح المعدل الاسمي لوصف النسبة المئوية السنوية لحساب الاستثمار الذي يضاعف الفائدة.

إجابه:

عندما تتراكم الفائدة ، تصبح النسبة المئوية للفائدة المكتسبة إلى رأس المال أكبر من معدل النسبة السنوية لحساب الاستثمار. وبالتالي ، فإن النسبة المئوية السنوية لا تتوافق بالضرورة مع الفائدة الحقيقية المكتسبة ، والتي هي نفس تعريف الاسمية.

جبري

بالنسبة للتمارين التالية ، حدد ما إذا كانت العبارة تمثل دالة أسية. يشرح.

4) متوسط ​​الزيادة السكانية السنوية لقطيع من الذئاب هو (25 ).

5) يقل عدد البكتيريا بمعامل ( frac {1} {8} ) كل (24 ) ساعة.

إجابه:

متسارع؛ عدد السكان يتناقص بمعدل متناسب.

6) زادت قيمة مجموعة العملات بنسبة (3.25 ٪ )سنويًا على مدار (20 ) سنة الماضية.

7) لكل جلسة تدريب ، يتقاضى المدرب الشخصي على عملائه ( 5 دولارات ) أقل من جلسة التدريب السابقة.

إجابه:

لا أسي تقل الشحنة بمقدار ثابت في كل زيارة ، وبالتالي فإن العبارة تمثل دالة خطية.

8) يتم تمثيل ارتفاع المقذوف في الوقت (t ) بالدالة (h (t) = -4.9t ^ 2 + 18t + 40 )

بالنسبة للتمارين التالية ، ضع في اعتبارك هذا السيناريو: لكل عام


4.E: الدوال الأسية واللوغاريتمية (تمارين) - الرياضيات

في هذا الفصل سوف نلقي نظرة على الدوال الأسية واللوغاريتمية. هاتان الوظيفتان مهمتان للغاية ويجب أن يفهمهما أي شخص يتابع دورات الرياضيات في وقت لاحق. تحتوي هذه الوظائف أيضًا على تطبيقات في العلوم والهندسة والأعمال على سبيل المثال لا الحصر. في الواقع ، يمكن أن تظهر هذه الوظائف في أي مجال يستخدم حتى درجة صغيرة من الرياضيات.

يجد العديد من الطلاب صعوبة في التعامل مع هاتين الوظيفتين ، وخاصة وظائف اللوغاريتم. ربما يكون هذا بسبب اختلافها الشديد عن أي من الوظائف الأخرى التي اطلعوا عليها حتى هذه النقطة ، وتستخدم اللوغاريتمات تدوينًا سيكون جديدًا على الجميع تقريبًا في فصل الجبر. ومع ذلك ، ستجد أنه بمجرد تجاوز التدوين والبدء في فهم بعض خصائصها ، فإنها في الحقيقة ليست سيئة للغاية.

فيما يلي قائمة بالموضوعات التي يتم تناولها في هذا الفصل.

الدالات الأسية - في هذا القسم سوف نقدم وظائف أسية. سنقدم بعض الخصائص الأساسية والرسوم البيانية للوظائف الأسية. سنناقش أيضًا ما يعتبره كثير من الناس دالة أسية ، (f (x) = < bf e> ^).

وظائف اللوغاريتم - في هذا القسم سوف نقدم وظائف اللوغاريتم. نعطي الخصائص والرسوم البيانية الأساسية للوظائف اللوغاريتمية. بالإضافة إلى ذلك ، نناقش كيفية تقييم بعض اللوغاريتمات الأساسية بما في ذلك استخدام تغيير الصيغة الأساسية. سنناقش أيضًا اللوغاريتم المشترك ، ( log (x) ) ، واللوغاريتم الطبيعي ، ( ln (x) ).

حل المعادلات الأسية - في هذا القسم سنناقش طريقتين لحل المعادلات التي تحتوي على أسي.

حل المعادلات اللوغاريتمية - سنناقش في هذا القسم طريقتين لحل المعادلات التي تحتوي على اللوغاريتمات. أيضًا ، كما سنرى ، باستخدام إحدى الطرق ، سنحتاج إلى توخي الحذر من نتائج الطريقة لأنه من الممكن دائمًا أن تعطي الطريقة قيمًا ليست في الواقع حلولًا للمعادلة.

التطبيقات - في هذا القسم سنلقي نظرة على تطبيقين للوظائف الأسية وتطبيق اللوغاريتمات. نحن ننظر إلى الفائدة المركبة والنمو الأسي والانحلال وكثافة الزلازل.


4.E: الدوال الأسية واللوغاريتمية (تمارين) - الرياضيات

تعليمات التطبيق الصغير على الشاشة: يوجد زر إظهار وإخفاء لوظيفة السجل الطبيعي. كيف ترتبط e x و ln (x)؟

أمثلة

تُقاس الضوضاء الأرضية الناتجة عن إقلاع طائرة في الوقت t = 0 بالديسيبل ، وتُعطى بواسطة

حيث t تقاس بالثواني. كم من الوقت سيستغرق قبل أن ينخفض ​​مستوى الضوضاء إلى 2 ديسيبل؟

وابحث عن مجالات f و f & # 01501.

أوجد جميع حلول المعادلة ln (x + 4) = 2ln (x) & # 0150 ln (2).

صغيرة

أشرطة فيديو

تمارين

الموارد على الويب

تطبيق مثير للاهتمام

الأوقات القياسية العالمية للميل - هل هي أسية؟

متطلبات البرنامج: للحصول على أفضل النتائج عند عرض هذه الصفحة والتفاعل معها ، احصل على البرنامج المجاني مدرج هنا.

حقوق النشر والنسخ 2005 Donald L. Kreider، C. Dwight Lahr، Susan J. Diesel


وظائف لوغاريتمية وإضافية

عادةً ما يكون b رقمًا أكبر من 1 (على الرغم من أنه يجب أن يكون أكبر من 0 فقط ولا يساوي 1). يتم تحديد الوظيفة لجميع x> 0. هذا هو الرسم البياني الخاص بها لأي قاعدة b.

& bull لأي قاعدة ، التقاطع x هو 1. لماذا؟

لرؤية الإجابة ، مرر مؤشر الماوس فوق المنطقة الملونة.
لتغطية الإجابة مرة أخرى ، انقر فوق "تحديث" ("إعادة تحميل").

لوغاريتم 1 هو 0. y = log b 1 = 0.

& bull يمر الرسم البياني بالنقطة (ب ، 1). لماذا ا؟

لوغاريتم الأساس هو 1. log b b = 1.

& bull الرسم البياني أسفل المحور x - اللوغاريتم سلبي - من أجل

سجل ب (& ناقص 4) ، على سبيل المثال ، لا معنى له. نظرًا لأن b دائمًا إيجابي ،

لا يمكن أن تنتج قوة b عددًا سالبًا.

& bull نطاق الدالة هو جميع الأعداد الحقيقية.

& bull يعتبر المحور y السالب خط مقارب عمودي (موضوع 18).

مثال 1. ترجمة المحاور. هذا هو الرسم البياني للوغاريتم الطبيعي ، y = ln x (موضوع 20).

وهنا التمثيل البياني لـ y = ln (x & ناقص 2) - وهو ترجمته 2 وحدة إلى اليمين.

انتقل تقاطع x من 1 إلى 3. وانتقل الخط المقارب العمودي من 0 إلى 2.

المشكلة 1. ارسم الرسم البياني لـ y = ln (x + 3).

هذه ترجمة 3 وحدات إلى اليسار. انتقل x -intercept من 1 إلى & ناقص 2. وانتقل الخط المقارب العمودي من 0 إلى & ناقص 3.

الدوال الأسية

بالتوافق مع كل دالة لوغاريتمية مع القاعدة b ، نرى أن هناك دالة أسية بالقاعدة b:

الدالة الأسية هي معكوس دالة اللوغاريتم. سوف ندخل في ذلك أكثر أدناه.

يتم تحديد دالة أسية لكل عدد حقيقي x. هذا هو الرسم البياني الخاص بها لأي قاعدة ب:

هناك شيئان مهمان يجب ملاحظتهما:

& bull يقع تقاطع y عند (0، 1). بالنسبة إلى ، ب 0 = 1.

& bull المحور السالب هو خط مقارب أفقي. ل ، عندما يكون x رقمًا سالبًا كبيرًا - على سبيل المثال b & ناقص 10000 - إذن y هو عدد موجب صغير جدًا.

أ) دع f (x) = e x. اكتب الدالة f (& ناقص x).

يتم استبدال الوسيطة x بـ & ناقص x.

ب) ما العلاقة بين التمثيل البياني لـ y = e x والرسم البياني
ب) من y = e & ناقص x؟

y = e & minusx هو الانعكاس حول محور y لـ y = e x.

ج) ارسم الرسم البياني لـ y = e & minus x.

الدوال الأسية والوظائف اللوغاريتمية ذات القاعدة b هي دوال مقلوبة.

الدالتان log b x و b x هما مقلوبان.

ها هي العلاقات العكسية. في أي قاعدة ب:

القاعدة 1) تجسد تعريف اللوغاريتم: log b x هو الأس الذي يجب رفع b إليه لإنتاج x.

القاعدة الثانية) رأيناها في الموضوع السابق.

و (س) = ب س و ز (س) = السجل ب س.

تلبي هذه القواعد تعريف زوج من الوظائف العكسية (موضوع 19). لذلك بالنسبة لأي قاعدة ب ، فإن الوظائف

و (س) = ب س و ز (س) = السجل ب س

المشكلة 3. تقييم ما يلي.

أ) سجل 2 2 5 = 5 ب) سجل 5 5 2 x = 2 س ج) سجل 10 6. 2 = 6 . 2
د) 2 سجل 2 5 = 5 هـ) 5 لوغ 5 (س & ناقص 1) = س & ناقص 1 و) 10 سجل 100 = 100

أ) ما هي الدالة المعكوسة لـ y = ln x؟

ب) دع f (x) = ln x و g (x) = e x ، وأظهر أن f و g ترضي
ب) العلاقات العكسية.

فيما يلي الرسوم البيانية لـ y = e x و y = ln x:

كما هو الحال مع جميع أزواج الدوال العكسية ، فإن رسومها البيانية متناظرة بالنسبة للخط y = x. (انظر موضوع 19.)

المشكلة 5. تقييم ما يلي.

أ) ln e x + 1 = س + 1 ب) ه ln (س & ناقص 5) = س & ناقص 5

المشكلة 6. قيم ln e arccos (& ناقص 1).

"الزاوية التي يكون جيب التمام فيها & ناقص 1 هو & pi."

المعادلات الأسية واللوغاريتمية

مثال 2. حل هذه المعادلة من أجل x:

حل . عندما يظهر x المجهول كأسس ، ثم "لتحريره" ، خذ الدالة العكسية لكلا الجانبين.

في هذا المثال ، خذ اللوغاريتم للأساس 5 لكلا الطرفين.

بشكل عام ، إذا كان لدينا أي معادلة ،

و (خ) = أ ،
ثم إذا كانت g معكوس f:
x = ز (أ).

حل . قد نأخذ سجل كلا الجانبين إما مع القاعدة 2 أو القاعدة 3. دعنا نستخدم القاعدة 2:

سجل 2 2 × وناقص 4 = سجل 2 3 x
س & ناقص 4 = سجل 2 3 x
س & ناقص 4 = x log 2 3 ، وفقًا للقانون الثالث
x & ناقص x السجل 2 3 = 4
x (1 & ناقص السجل 2 3) = 4
x = 4
1 & ناقص السجل 2 3

سجل 2 3 هو بعض الأرقام. تم حل المعادلة.

مشكلة 8. حل من أجل x. يمكن التعبير عن الحل في صورة لوغاريتم.

سجل 10 3 س & ناقص 1 = سجل 2 2 × + 1
3 × وناقص 1 = (2 × + 1) سجل 2
3 × وناقص 1 = 2 × سجل 2 + سجل 2
3 × & ناقص 2 × السجل 2 = 1 + سجل 2
x (3 & ناقص 2 سجل 2) = 1 + سجل 2
x = 1 + سجل 2
3 & ناقص 2 سجل 2

حل. لتحرير سعة اللوغاريتم ، خذ الدالة العكسية - 5 x - لكلا الطرفين. أي ، دع كل جانب هو الأس ذو الأساس 5. بشكل مكافئ ، اكتب الصيغة الأسية.

2 × + 3 = 5 3
2 × = 125 ناقص 3
2 × = 122
x = 61.

تسجيل 4 (3 x & ناقص 5) = 0.
إذا جعلنا كل جانب هو الأس ذو الأساس 4 ، إذن
3 × وناقص 5 = 4 0 = 1
3 × = 6
x = 2.

تسجيل 2 (× 2 + 7) = 4.
× 2 + 7 = 2 4 = 16
× 2 = 16 & ناقص 7 = 9
x = & plusmn3.
نظرية. إذا كان لوغاريتمان لهما نفس الأساس متساويين ، فإن وسيطاتهما متساوية.

هذا يتبع مباشرة من العلاقات العكسية:

حل . إذا تركنا كل جانب هو الأس مع 10 كأساس ، فوفقًا للعلاقات العكسية:

2 × + 1 = 11.
هذا يعني
x = 5.

قد نستنتج ، إذن ، أنه إذا كانت المعادلة تبدو كالتالي:

سجل ب أ = سجل ب ب ،
ومن بعد
أ = ب.

5 × وناقص 1 = 2 × + 8
3 × = 9
x = 3.

إنشاء لوغاريتم واحد من مجموع

مثال 6. استخدم قوانين اللوغاريتمات (موضوع 20) لكتابة ما يلي كلوغاريتم واحد.

حل . سجل س + سجل ص & ناقص 2 سجل ض = سجل xy & ناقص السجل z 2
= سجل س ص
ض 2

المشكلة 13. اكتب كلوغاريتم واحد:

ك سجل س + م سجل ص & ناقص ن سجل ض

المشكلة 14. اكتب كلوغاريتم واحد:

تسجيل (2 × & ناقص 8) & ناقص السجل (× 2 & ناقص 16) = سجل 2 × وناقص 8
× 2 وناقص 16
= سجل 2 (س & ناقص 4)
(س & ناقص 4) (س + 4)
= سجل 2
x + 4

- يمكننا كتابة أي عدد في صورة لوغاريتم في أي أساس.

7 = سجل 2 2 7
5.9 = سجل 3 3 5. 9
ر = ln البريد t
3 = سجل 1000

مثال 8. اكتب ما يلي في صورة لوغاريتم واحد:

حل. سجل ب س + ن = سجل ب س + سجل ب ب ن
= سجل ب xb ن.

المشكلة 16. اكتب كلوغاريتم واحد:

سجل 2 + 3 = سجل 2 + سجل 10 3
= سجل 2 & مرات 10 3
= سجل 2000.

المشكلة 17. اكتب كلوغاريتم واحد:

ln A & ناقص t = ln A & ناقص ln e t
= ln A + ln e & ناقص t
= ln A e & ناقص t

تسجيل 2 س + سجل 2 (س + 2) = 3.
تسجيل 2 [x (x + 2)] = 3.
إذا جعلنا الآن كل طرف هو الأس ذو الأساس 2
(أو اكتب 3 = log 2 2 3) ، ثم
x (x + 2) = 2 3 = 8.
x 2 + 2 x & ناقص 8 = 0
(س & ناقص 2) (س + 4) = 0
x = 2 أو & ناقص 4.

يجب علينا رفض الحل x = & ناقص 4 ، لأن الرقم السالب & ناقص 4 لا يقع في مجال السجل 2 x.

ln (1 + x) & ناقص ln (1 & ناقص x) = 1.
= 1.
إذا جعلنا الآن كل طرف هو الأس ذو الأساس e ، إذن
= ه
1 + س = e & ناقص e x
ه س + س = ه & ناقص 1
(هـ + 1) س = ه & ناقص 1
x =

يمكن للطالب الآن أن يبدأ في رؤية: لحل أي معادلة لسعة دالة ، خذ الدالة العكسية لكلا الطرفين.


مشتق من الدالة الأسية

مثلما وجدنا مشتقات دوال أخرى ، يمكننا إيجاد مشتقات الدوال الأسية والدوال اللوغاريتمية باستخدام الصيغ. بينما نقوم بتطوير هذه الصيغ ، نحتاج إلى وضع افتراضات أساسية معينة. البراهين التي تحمل هذه الافتراضات خارج نطاق هذه الدورة.

بادئ ذي بدء ، نبدأ بافتراض أن الوظيفة [اللاتكس] B (x) = b ^ x ، ، b & gt0 [/ latex] ، مُعرَّفة لكل رقم حقيقي ومستمرة. في الدورات السابقة ، تم تحديد قيم الدوال الأسية لجميع الأرقام المنطقية - بدءًا من تعريف [اللاتكس] b ^ n [/ اللاتكس] ، حيث [اللاتكس] n [/ اللاتكس] هو عدد صحيح موجب — كمنتج لـ [لاتكس] ب [/ لاتكس] مضروبة بنفسها [لاتكس] ن [/ لاتكس] مرات. لاحقًا ، قمنا بتعريف [اللاتكس] b ^ 0 = 1 ، ، b ^ <−n> = frac <1>[/ latex] لعدد صحيح موجب [latex] n [/ latex] ، و [latex] b ^= ( sqrt [t]]) ^ s [/ latex] للأعداد الصحيحة الموجبة [اللاتكس] s [/ latex] و [اللاتكس] t [/ latex]. تترك هذه التعريفات مسألة قيمة [اللاتكس] b ^ r [/ latex] مفتوحة حيث يكون [اللاتكس] r [/ اللاتكس] عددًا حقيقيًا عشوائيًا. بافتراض أن استمرارية من [اللاتكس] B (x) = b ^ x، ، b & gt0 [/ latex] ، قد نفسر [اللاتكس] b ^ r [/ اللاتكس] على أنها [لاتكس] مجموعة سفلية< lim> b ^ x [/ latex] حيث تكون قيم [latex] x [/ latex] عندما نأخذ الحد منطقية. على سبيل المثال ، قد نعرض [اللاتكس] <4> ^ < pi> [/ latex] باعتباره الرقم المقبول

كما نرى في الجدول التالي ، [لاتكس] 4 ^ < pi> حوالي 77.88 [/ لاتكس].

تقريب قيمة [لاتكس] 4 ^ < pi> [/ لاتكس]
[لاتكس] x [/ لاتكس] [لاتكس] 4 ^ x [/ لاتكس] [لاتكس] x [/ لاتكس] [لاتكس] 4 ^ x [/ لاتكس]
[لاتكس] 4 ^ 3 [/ لاتكس] 64 [لاتكس] 4 ^ <3.141593> [/ لاتكس] 77.8802710486
[لاتكس] 4 ^ <3.1> [/ لاتكس] 73.5166947198 [لاتكس] 4 ^ <3.1416> [/ لاتكس] 77.8810268071
[لاتكس] 4 ^ <3.14> [/ لاتكس] 77.7084726013 [لاتكس] 4 ^ <3.142> [/ لاتكس] 77.9242251944
[لاتكس] 4 ^ <3.141> [/ لاتكس] 77.8162741237 [لاتكس] 4 ^ <3.15> [/ لاتكس] 78.7932424541
[لاتكس] 4 ^ <3.1415> [/ لاتكس] 77.8702309526 [لاتكس] 4 ^ <3.2> [/ لاتكس] 84.4485062895
[لاتكس] 4 ^ <3.14159> [/ لاتكس] 77.8799471543 [لاتكس] 4 ^ 4 [/ لاتكس] 256

نفترض أيضًا أنه بالنسبة إلى [latex] B (x) = b ^ x، ، b & gt0 [/ latex] ، توجد قيمة [latex] B ^ < prime> (0) [/ latex] للمشتق. في هذا القسم ، نوضح أنه من خلال إجراء هذا الافتراض الإضافي ، من الممكن إثبات أن الوظيفة [اللاتكس] B (x) [/ اللاتكس] قابلة للتفاضل في كل مكان.

نفترض افتراضًا أخيرًا: أن هناك قيمة فريدة لـ [اللاتكس] b & gt0 [/ لاتكس] والتي [لاتكس] B ^ < prime> (0) = 1 [/ لاتكس]. نحدد [اللاتكس] e [/ اللاتكس] لتكون هذه القيمة الفريدة ، كما فعلنا في مقدمة إلى الوظائف والرسوم البيانية. (الشكل) يقدم الرسوم البيانية للوظائف [اللاتكس] y = 2 ^ x ، ، y = 3 ^ x ، ، y = 2.7 ^ x [/ latex] ، و [اللاتكس] y = 2.8 ^ x [/ latex] . يوفر التقدير المرئي لمنحدرات الخطوط المماس لهذه الوظائف عند 0 دليلًا على أن قيمة [اللاتكس] e [/ اللاتكس] تقع في مكان ما بين 2.7 و 2.8. الوظيفة [اللاتكس] E (x) = e ^ x [/ latex] تسمى دالة أسية طبيعية. مقلوبها ، [اللاتكس] L (x) = log_e x = ln x [/ latex] يسمى دالة لوغاريتمية طبيعية.

شكل 1. الرسم البياني لـ [اللاتكس] E (x) = e ^ x [/ latex] يقع بين [اللاتكس] y = 2 ^ x [/ latex] و [اللاتكس] y = 3 ^ x [/ latex].

للحصول على تقدير أفضل لـ [اللاتكس] e [/ اللاتكس] ، قد نبني جدولًا لتقديرات [اللاتكس] B ^ < prime> (0) [/ اللاتكس] لوظائف الشكل [اللاتكس] B (x) = ب ^ س [/ لاتكس]. قبل القيام بذلك ، تذكر ذلك

لقيم [لاتكس] س [/ لاتكس] قريبة جدا من الصفر. لتقديراتنا ، نختار [لاتكس] x = 0.00001 [/ لاتكس] و [لاتكس] س = -0.00001 [/ لاتكس] للحصول على التقدير

تقدير قيمة [اللاتكس] ه [/ اللاتكس]
[لاتكس] ب [/ لاتكس] [لاتكس] فارك-1> <- 0.00001> & ​​ltB ^ < prime> (0) & lt frac-1> <0.00001> [/ لاتكس] [لاتكس] ب [/ لاتكس] [لاتكس] فارك-1> <- 0.00001> & ​​ltB ^ < prime> (0) & lt frac-1> <0.00001> [/ لاتكس]
2 [لاتكس] 0.693145 & ltB ^ < prime> (0) & lt0.69315 [/ لاتكس] 2.7183 [لاتكس] 1.000002 & ltB ^ < prime> (0) & lt1.000012 [/ لاتكس]
2.7 [لاتكس] 0.993247 & ltB ^ < prime> (0) & lt0.993257 [/ لاتكس] 2.719 [لاتكس] 1.000259 & ltB ^ < prime> (0) & lt1.000269 [/ لاتكس]
2.71 [لاتكس] 0.996944 & ltB ^ < prime> (0) & lt0.996954 [/ لاتكس] 2.72 [لاتكس] 1.000627 & ltB ^ < prime> (0) & lt1.000637 [/ لاتكس]
2.718 [لاتكس] 0.999891 & ltB ^ < prime> (0) & lt0.999901 [/ لاتكس] 2.8 [لاتكس] 1.029614 & ltB ^ < prime> (0) & lt1.029625 [/ لاتكس]
2.7182 [لاتكس] 0.999965 & ltB ^ < prime> (0) & lt0.999975 [/ لاتكس] 3 [لاتكس] 1.098606 & ltB ^ < prime> (0) & lt1.098618 [/ لاتكس]

تشير الأدلة من الجدول إلى أن [اللاتكس] 2.7182 & lte & lt2.7183 [/ لاتكس].

يظهر الرسم البياني لـ [اللاتكس] E (x) = e ^ x [/ latex] جنبًا إلى جنب مع الخط [اللاتكس] y = x + 1 [/ latex] في (الشكل). هذا الخط مماس للرسم البياني لـ [اللاتكس] E (x) = e ^ x [/ latex] عند [اللاتكس] x = 0 [/ اللاتكس].

الشكل 2. الخط المماس لـ [اللاتكس] E (x) = e ^ x [/ latex] عند [اللاتكس] x = 0 [/ اللاتكس] به ميل 1.

الآن بعد أن وضعنا افتراضاتنا الأساسية ، نبدأ تحقيقنا من خلال استكشاف مشتق [اللاتكس] B (x) = b ^ x ، ، b & gt0 [/ latex]. تذكر أننا افترضنا أن [اللاتكس] B ^ < prime> (0) [/ latex] موجود. من خلال تطبيق تعريف الحد على المشتق نستنتج ذلك

بالانتقال إلى [اللاتكس] B ^ < prime> (x) [/ latex] ، نحصل على ما يلي.

نرى ذلك على أساس افتراض أن [اللاتكس] B (x) = b ^ x [/ latex] قابل للتفاضل عند [latex] 0 ، ، B (x) [/ latex] ليس فقط قابلاً للتفاضل في كل مكان ، ولكن مشتقها

بالنسبة إلى [اللاتكس] E (x) = e ^ x ، ، E ^ < prime> (0) = 1 [/ latex]. وهكذا ، لدينا [اللاتكس] E ^ < prime> (x) = e ^ x [/ latex]. (سيتم اشتقاق قيمة [اللاتكس] B ^ < prime> (0) [/ latex] لوظيفة عشوائية من الشكل [اللاتكس] B (x) = b ^ x ، ، b & gt0 [/ latex] ، الى وقت لاحق.)


اللوغاريتم والأسئلة الأسية مع الإجابات والحلول - الصف 12

يتم استخدام مفاهيم اللوغاريتم والأسي في جميع أنحاء الرياضيات. يتم تقديم الأسئلة حول اللوغاريتم والأسئلة مع الحلول ، أسفل الصفحة ، مع شرح مفصل.

  1. حل المعادلة (1/2) 2 س + 1 = 1
  2. حل x y m = y x 3 من أجل m.
  3. نظرا: سجل8(5) = ب. سجل سريع4(10) من حيث ب.
  4. تبسيط بدون آلة حاسبة: سجل6(216) + [تسجيل (42) - تسجيل (6)] / تسجيل (49)
  5. بسّط بدون آلة حاسبة: ((3-1 - 9-1) / 6) 1/3
  6. اكسبرس (سجلxسجلأب) كلوغاريتم واحد.
  7. تجد أ بحيث يكون الرسم البياني لـ y = logأx يمر بالنقطة (هـ ، 2).
  8. ابحث عن ثابت أ مثل هذا السجل3 س = أ سجل5x ، لكل x> 0.
  9. حل من أجل x سجل المعادلة [log (2 + log2(x + 1))] = 0
  10. حل المعادلة من أجل x 2 x b 4 logبس = 486
  11. حل من أجل x المعادلة ln (x - 1) + ln (2x - 1) = 2 ln (x + 1)
  12. أوجد تقاطع x في الرسم البياني لـ y = 2 log (& # 8730 (x - 1) - 2)
  13. حل المعادلة من أجل x 9 - 3 x - 8 = 0
  14. حل المعادلة من أجل x 4 x - 2 = 3 x + 4
  15. إذا سجلx(1/8) = -3 / 4 ما هو x؟

حلول للمشاكل المذكورة أعلاه

    أعد كتابة المعادلة بالشكل (1/2) 2x + 1 = (1/2) 0
    يؤدي إلى 2x + 1 = 0
    حل من أجل x: x = -1/2


دالة أسية - مسائل حسابية


    نما عدد السكان من 25000 إلى 33600 في 10 سنوات. احسب ما هو متوسط ​​النمو السكاني السنوي بالنسبة المئوية؟
    لقد أدخلت إلكترونات بقيمة 1 كولوم في الحجم الداخلي لمادة عازلة مع withr = 6. بعد ثلاثين دقيقة ، وجدت أن 36.79٪ فقط من الإلكترونات كانت في الحجم الداخلي. حدد الموصلية σ للمادة العازلة.
    ما هي النسبة المئوية لزيادة شدة الصوت إذا زادت شدة الصوت بمقدار 1 ديسيبل؟
    كم من الوقت سيستغرق توفير 9000 يورو عن طريق إيداع 200 يورو في بداية كل عام بفائدة 2٪؟
    نصف العمر للنظير المشع هو الوقت الذي تستغرقه كمية من النظير لتقل إلى نصف كتلتها الأولية. بدءًا من 145 جرامًا من النظير المشع ، ما المقدار المتبقي بعد 3 أنصاف عمر؟
    يرغب المودع بانتظام في استثمار نفس المبلغ من المال في المؤسسة المالية في بداية العام ويريد توفير 10000 يورو في نهاية العام العاشر. ما المبلغ الذي يجب عليه إيداعه إذا كان سعر الفائدة السنوي للسنة
    تشتري سارة سيارة بتكلفة 12500 دولار. تنخفض القيمة بنسبة 8٪ في السنة الأولى و 10٪ في السنة الثانية و 5٪ في السنة الثالثة. احسب قيمة السيارة بعد السنة الثالثة.
    استثمر Jack 5000 دولار في وديعة لمدة 5 أشهر بنسبة 4.7 ٪ ص. أ. . في نهاية 5 أشهر ، أعاد جاك استثمار قيمة الاستحقاق من الإيداع الأول إلى وديعة لأجل 11 شهرًا بسعر 7.3٪ p. أ. ما هي قيمة الاستحقاق في نهاية المدة الثانية المودعة
    احسب مبلغ المال الذي يولد معاشًا سنويًا قدره 1000 يورو ، يتم دفعه في نهاية العام ولمدة 10 سنوات ، يتم إدخاله في البنك لحساب معدل فائدة سنوي قدره 2 ٪
    في 2006-2009 ، تغيرت قيمة المعادن الثمينة بسرعة. تمثل البيانات الواردة في الجدول التالي إجمالي معدل العائد (بالنسبة المئوية) على البلاتين والذهب والفضة من 2006 حتى 2009: السنة البلاتينية الذهبية الفضية 2009 62.7 25.0 56.8 2008 -41.3 4
    يبلغ عدد سكان الجيل الأول من الكائنات الحية الدقيقة 13500 فرد. كل جيل تال هو 11/10 أضعاف الجيل السابق. اكتشف عدد الأجيال التي ستصل على الأقل ثلاث مرات لأعضاء الجيل الأول.
    يتزايد معدل الجريمة في مدينة معينة بنسبة 7 ٪ بالضبط كل عام. إذا كان هناك 600 جريمة في عام 1990 وظل معدل الجريمة ثابتًا كل عام ، فحدد العدد التقريبي للجرائم في عام 2025.
    مدخراتي البالغة 90،000 بيزو فلبيني في البنك تكسب 6٪ فائدة في السنة. إذا قمت بإيداع 10،000 بيزو فلبيني إضافي في نهاية 6 أشهر ، فما المبلغ المتبقي إذا قمت بسحب 25000 بيزو فلبيني بعد عام؟
    في التدرج الهندسي ، a1 = 7 ، q = 5. أوجد حالة n لتجميع أول n من الأعضاء: sn≤217.
    1000 دولار يتم استثمارها بنسبة 10٪ فائدة مركبة. ما العامل الذي يضرب فيه رأس المال كل عام؟ كم سيكون هناك بعد ن = 12 سنة؟
    يأخذ Ramchacha مبلغ قرض 240000 من أحد البنوك لبناء منزل بمعدل فائدة بسيطة 12٪ سنويًا. بعد سنة واحدة. من أخذ القرض يستأجر المنزل بمعدل 5200 شهريًا. حدد عدد السنوات التي سيحتاجها لـ r
    حل من أجل x: (4 ^ x): 0،5 = 2/64.
    يتم استثمار مبلغ 2000 دولار بفائدة 5٪ شهريًا. إذا تم إضافة 200 دولار في بداية كل شهر متتالي ولكن بدون عمليات سحب. اكتب تعبيرًا عن القيمة المتراكمة بعد n من الأشهر. بعد كم شهر سوف يتراكم المبلغ
    قال أحد الخبراء العالميين في الفقاعات - البروفيسور روبرت شيلر ، خبير اقتصادي في جامعة ييل - إن عملة البيتكوين "كانت مثالًا رائعًا على الفقاعة" في عام 2014. إذا قمت بتبادل 100 دولار أمريكي فيات إلى بيتكوين في عام 2010 ، الآن في 2017 بقيمة 72.9 مليون دولار. العثور على
    الفائدة المركبة: أودعت كلارا 100،000 كرونة تشيكية في البنك بمعدل فائدة سنوي 1.5٪. تظل كل من الأموال والفوائد مودعة في البنك. كم عدد CZK سيكون في البنك بعد 3 سنوات؟

4.E: الدوال الأسية واللوغاريتمية (تمارين) - الرياضيات

1. تم تصميم مجموعة الدلافين من خلال الدالة [اللاتكس] A left (t right) = 8 < left (1.17 right)> ^ [/ اللاتكس] ، أين ر يعطى في سنوات. إلى أقرب عدد صحيح ، كم سيكون عدد الكبسولات بعد 3 سنوات؟

2. أوجد المعادلة الأسية التي تمر عبر النقطتين (0 ، 4) و (2 ، 9).

3. يريد درو توفير 2500 دولار للذهاب إلى كأس العالم القادمة. إلى أقرب دولار ، ما المبلغ الذي سيحتاجه للاستثمار في حساب الآن بمعدل 6.25٪ APR ، يتضاعف يوميًا ، من أجل الوصول إلى هدفه في 4 سنوات؟

4. تم فتح حساب استثماري بإيداع مبدئي قدره 9،600 دولار أمريكي بفائدة 7.4٪ تتضاعف باستمرار. كم ستكون قيمة الحساب بعد 15 سنة؟

5. رسم بيانيًا للوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = 5 < left (0.5 right)> ^ <-x> [/ latex] وانعكاسها عبر ذ-المحور على نفس المحاور ، واعطاء ذ-تقاطع.

6. يوضح الرسم البياني تحويلات الرسم البياني لـ [اللاتكس] f left (x right) = < left ( frac <1> <2> right)> ^ [/ لاتكس]. ما هي معادلة التحول؟

7. أعد كتابة [اللاتكس] < mathrm> _ <8.5> left (614.125 right) = a [/ latex] كمعادلة أسية مكافئة.

8. أعد كتابة [اللاتكس]^ < frac <1> <2>> = m [/ latex] كمعادلة لوغاريتمية مكافئة.

9. حل من أجل x عن طريق تحويل المعادلة اللوغاريتمية [اللاتكس] السجل _ < frac <1> <7>> left (x right) = 2 [/ latex] إلى الشكل الأسي.

10. تقييم [اللاتكس] mathrm left ( text <10،000،000> right) [/ latex] بدون استخدام الآلة الحاسبة.

11. تقييم [اللاتكس] mathrm يسار (0.716 يمين) [/ لاتكس] باستخدام الآلة الحاسبة. قرب لاقرب جزء من الف.

12. ارسم الدالة [اللاتكس] g left (x right) = mathrm يسار (12 - 6x يمين) +3 [/ اللاتكس].

13. حدد المجال ، وخط التقارب العمودي ، وسلوك نهاية الوظيفة [اللاتكس] f left (x right) = < mathrm> _ <5> يسار (39 - 13x يمين) +7 [/ لاتكس].

14. أعد كتابة [اللاتكس] mathrm left (17a cdot 2b right) [/ latex] كمجموع.

15. أعد كتابة [اللاتكس] < mathrm>_ يسار (96 يمين) - < mathrm>_ يسار (8 يمين) [/ لاتكس] بشكل مضغوط.

17. استخدم خصائص اللوغاريتم لتوسيع [اللاتكس] mathrmغادر(^<3>^ <2> cdot sqrt [3] right) [/ اللاتكس].

18. تكثف التعبير [اللاتكس] 4 mathrm يسار (ج يمين) + ماذرم يسار (د يمين) + فارك < mathrm يسار (a right)> <3> + frac < mathrm left (b + 3 right)> <3> [/ latex] إلى لوغاريتم واحد.

19. أعد كتابة [latex] <16> ^ <3x - 5> = 1000 [/ latex] كلوغاريتم. ثم قم بتطبيق تغيير الصيغة الأساسية لحل مشكلة [اللاتكس] x [/ اللاتكس] باستخدام اللوغاريثم الطبيعي. قرب لاقرب جزء من الف.

20. حل [اللاتكس] < left ( frac <1> <81> right)> ^ cdot frac <1> <243> = < left ( frac <1> <9> right)> ^ <- 3x - 1> [/ latex] عن طريق إعادة كتابة كل جانب بقاعدة مشتركة.

21. استخدم اللوغاريتمات لإيجاد الحل الدقيق لـ [اللاتكس] -9^ <10a - 8> -5 = -41 [/ لاتكس]. إذا لم يكن هناك حل ، لا تكتب أي حل.

22. أوجد الحل الدقيق لـ [اللاتكس] 10^ <4x + 2> + 5 = 56 [/ لاتكس]. إذا لم يكن هناك حل ، لا تكتب أي حل.

23. ابحث عن الحل الدقيق لـ [اللاتكس] -5^ <- 4x - 1> -4 = 64 [/ لاتكس]. إذا لم يكن هناك حل ، لا تكتب أي حل.

24. أوجد الحل الدقيق لـ [اللاتكس] <2> ^= <6> ^ <2x - 1> [/ لاتكس]. إذا لم يكن هناك حل ، لا تكتب أي حل.

25. البحث عن الحل الدقيق لـ [اللاتكس]^ <2x> -^-72 = 0 [/ لاتكس]. إذا لم يكن هناك حل ، لا تكتب أي حل.

26. استخدم تعريف اللوغاريتم لإيجاد الحل الدقيق لـ [اللاتكس] 4 mathrm يسار (2n يمين) -7 = -11 [/ لاتكس]

27. استخدم خاصية واحد لواحد في اللوغاريتمات لإيجاد حل دقيق لـ [اللاتكس] mathrmغادر 4^ <2> -10 right) + mathrm يسار (3 يمين) = mathrm left (51 right) [/ latex] إذا لم يكن هناك حل ، فاكتب أي حل.

28. معادلة قياس شدة الصوت بالديسيبل د يتم تعريفه بواسطة المعادلة [اللاتكس] D = 10 mathrm اليسار ( frac<_ <0>> right) [/ latex] ، أين أنا هي شدة الصوت بوحدات واط لكل متر مربع و [لاتكس]_ <0> = <10> ^ <-12> [/ latex] هو أدنى مستوى صوت يمكن أن يسمعه الشخص العادي. كم ديسيبل ينبعث من حفلة لموسيقى الروك بقوة صوت [لاتكس] 4.7 cdot <10> ^ <-1> [/ latex] واط لكل متر مربع؟

29 - يتعامل ضابط السلامة الإشعاعية مع 112 جرامًا من مادة مشعة. بعد 17 يومًا ، تدهورت العينة إلى 80 جرامًا. بالتقريب إلى خمسة أرقام معنوية ، اكتب معادلة أسية تمثل هذا الموقف. إلى أقرب يوم ، ما هو نصف عمر هذه المادة؟

30. اكتب الصيغة الموجودة في التمرين السابق كمعادلة مكافئة مع القاعدة [لاتكس] ه [/ لاتكس]. اكتب الأس لأقرب خمسة أرقام ذات دلالة.

31. تم أخذ زجاجة من الصودا بدرجة حرارة 71 درجة فهرنهايت من الرف ووضعها في ثلاجة بدرجة حرارة داخلية تبلغ 35 درجة فهرنهايت. بعد عشر دقائق ، كانت درجة الحرارة الداخلية للصودا 63 درجة فهرنهايت. استخدم قانون نيوتن للتبريد حتى اكتب صيغة تمثل هذا الموقف. إلى أقرب درجة ، كم ستكون درجة حرارة الصودا بعد ساعة واحدة؟

32. يتم نمذجة سكان موائل الحياة البرية من خلال المعادلة [اللاتكس] P left (t right) = frac <360> <1 + 6.2^ <- 0.35 طن >> [/ لاتكس] ، أين ر يعطى في سنوات. كم عدد الحيوانات التي تم نقلها في الأصل إلى الموطن؟ كم سنة سوف يستغرق الأمر قبل أن يصل الموطن إلى نصف سعته؟

33. أدخل البيانات من الجدول أدناه في آلة حاسبة بيانية وقم برسم مخطط التبعثر الناتج. حدد ما إذا كانت البيانات من الجدول ستمثل على الأرجح دالة خطية أو أسية أو لوغاريتمية.

x و (خ)
1 3
2 8.55
3 11.79
4 14.09
5 15.88
6 17.33
7 18.57
8 19.64
9 20.58
10 21.42

34. يتم نمذجة تعداد بحيرة الأسماك من خلال المعادلة اللوجستية [اللاتكس] P left (t right) = frac <16،120> <1 + 25^ <- 0.75 طن >> [/ لاتكس] ، أين ر حان الوقت بالسنوات. إلى أقرب جزء من مائة ، كم سنة ستستغرقها البحيرة لتصل إلى 80٪ من قدرتها الاستيعابية؟

بالنسبة للتمارين التالية ، استخدم أداة الرسوم البيانية لإنشاء رسم تخطيطي مبعثر للبيانات الواردة في الجدول. راقب شكل الرسم التخطيطي المبعثر لتحديد ما إذا كان أفضل وصف للبيانات هو النموذج الأسي أو اللوغاريتمي أو اللوجيستي. ثم استخدم خاصية الانحدار المناسبة لإيجاد معادلة تشكل البيانات. عند الضرورة ، قم بتقريب القيم إلى خمسة منازل عشرية.


التحميل الان!

لقد سهلنا عليك العثور على كتب إلكترونية بتنسيق PDF دون أي حفر. ومن خلال الوصول إلى كتبنا الإلكترونية عبر الإنترنت أو عن طريق تخزينها على جهاز الكمبيوتر الخاص بك ، لديك إجابات مناسبة مع الفصل 3 من الوظائف الأسية واللوغاريتمية. للبدء في العثور على الفصل الثالث من الدوال الأسية واللوغاريتمية ، فأنت محق في العثور على موقعنا الإلكتروني الذي يحتوي على مجموعة شاملة من الأدلة المدرجة.
مكتبتنا هي الأكبر من بين هذه المكتبات التي تحتوي على مئات الآلاف من المنتجات المختلفة الممثلة.

أخيرًا حصلت على هذا الكتاب الإلكتروني ، شكرًا لكل هذه الوظائف الأسية واللوغاريتمية من الفصل 3 التي يمكنني الحصول عليها الآن!

لم أكن أعتقد أن هذا سيعمل ، أظهر لي أفضل أصدقائي هذا الموقع ، وهو يعمل! أحصل على الكتاب الإلكتروني المطلوب

wtf هذا الكتاب الاليكترونى الرائع مجانا ؟!

أصدقائي غاضبون جدًا لدرجة أنهم لا يعرفون كيف أمتلك كل الكتب الإلكترونية عالية الجودة التي لا يعرفون عنها!

من السهل جدًا الحصول على كتب إلكترونية عالية الجودة)

الكثير من المواقع المزيفة. هذا هو أول واحد نجح! شكرا جزيلا

wtffff أنا لا أفهم هذا!

ما عليك سوى اختيار النقر ثم زر التنزيل ، وإكمال العرض لبدء تنزيل الكتاب الإلكتروني. إذا كان هناك استبيان يستغرق 5 دقائق فقط ، فجرب أي استطلاع يناسبك.


4.E: الدوال الأسية واللوغاريتمية (تمارين) - الرياضيات

يُطلق على الرقم e أحد أهم الأرقام في جميع الرياضيات. ومع ذلك ، من المهم أن تتذكر أن e مجرد رقم. محسوبة على تسعة منازل عشرية

يمكن تمديد e إلى منازل عشرية لا حصر لها ولم يتم اكتشاف أي أنماط على الإطلاق. بهذا المعنى ، يشبه إلى حد بعيد pi.

انظر إلى هذين الرسمين البيانيين. الأول هو الرسم البياني لـ y = e ^ x والثاني هو y = e ^ -x

لاحظ في الرسم البياني الأول ، على يسار المحور y ، أن e ^ x تزداد ببطء شديد ، فهي تعبر المحور عند y = 1 ، وعلى يمين المحور ، فإنها تنمو بمعدل أسرع وأسرع.

التمثيل البياني الثاني هو عكس ذلك تمامًا. بالنسبة لسالب x ، يتحلل التمثيل البياني بمقادير أصغر وأصغر. يعبر المحور y عند y = 1 ، ثم يتحلل بمعدلات أبطأ وأبطأ.

السجل الطبيعي

اللوغاريتم الطبيعي هو اللوغاريتم الذي أساسه e. الدالتان ، اللوغاريتم الطبيعي و e الأسي ، هما معاكسان لبعضهما البعض. بعبارة أخرى ، فإن قول y = Ln [x] هو نفسه e ^ y = x.
انظر إلى مخطط y = Ln [x].


ينمو اللوغاريتم بسرعة في البداية ، ثم يتباطأ تدريجياً. يتخطى أيضًا المحور x عند 1 ويمكن العثور عليه فقط لـ x> 0. لذلك ، السجل [1] = 0 ، Ln [0 y = a e ^ (b x)

حيث أ و ب ثوابت. المنحنى الذي نستخدمه لملاءمة مجموعات البيانات موجود في هذا النموذج ، لذا من المهم فهم ما يحدث عند تغيير a و b.

تذكر أن أي رقم أو متغير عند رفعه إلى القوة 0 هو 1. في هذه الحالة إذا كانت b أو x تساوي 0 ، فإن e ^ 0 = 1. لذلك عند تقاطع y أو x = 0 ، تصبح الوظيفة y = a * 1 أو ص = أ. إذن ، الثابت a هو الجزء المقطوع من المحور y.

المعلمة الأخرى في معادلتنا هي ب. إذا كانت b صغيرة جدًا وأكبر من 0 ، يتم تسوية الوظيفة. المنحنى يزداد بمعدل أبطأ من b's الكبيرة. على العكس من ذلك ، يزداد المنحنى بسرعة بالنسبة إلى b كبير.

انظر إلى هاتين المؤامرات. الأول من أجل معادلة ذات b كبير ، والثاني من أجل a صغير b. لاحظ موازين المؤامرات.

بالنسبة إلى ، b أقل من 0 ، يحدث الشيء نفسه باستثناء أن المؤامرات تبدو مثل قطعة e ^ -x من أعلى.

تمارين


1.) بسّط التعابير التالية.

b.) ln(y - 1) = x + ln x = xe x + 1


3.) Sketch the following curves on the same axes. Identify the domains of each equation in terms of x.


Domain of y = e -x : negative infinity to positive infinity (-inf x : negative infinity to positive infinity (-inf Application of Exponentials


4.) If you invest A dollars at a fixed annual interest rate, r and interest is compounded continuously to your account, the amount of money, Ao, you will have at the end of t years is,

Compounded continuously means that the money in your account is continuously being added interest. It can almost be said that the interest is being added every second, day or night.

a.) You deposit $621 in an account that pays 10% interest. How much money will you have after 8 years? after 10 years?
8 years: 621e 0.8 = $1382.061
10 years: 621e = $1688.053

b.) How long will it take you to double your money if you invest $500 at an interest rate 6%? = (0.06)/ln(2) = 11.552 years


شاهد الفيديو: الدالة اللوغاريتمية 4: شرح خاصية الإشتقاق + تمارين مهمة يجب العمل عليها Fonction logarithme (شهر اكتوبر 2021).