مقالات

4.8: دالة الجذر التربيعي - الرياضيات


في هذا القسم نوجه انتباهنا إلى دالة الجذر التربيعي ، وهي الدالة التي تحددها المعادلة

[ start {array} {c} {f (x) = sqrt {x}} end {array} ]

نبدأ القسم برسم الرسم البياني للدالة ، ثم نعالج المجال والمدى. بعد ذلك ، سنبحث في عدد من التحولات المختلفة للوظيفة.

الرسم البياني لوظيفة الجذر التربيعي

دعنا ننشئ جدولًا للنقاط التي ترضي معادلة الوظيفة ، ثم نرسم النقاط من الجدول على نظام إحداثيات ديكارتي على ورق الرسم البياني. سنستمر في إنشاء النقاط وتخطيطها حتى نقتنع بالشكل النهائي للرسم البياني.

نعلم أنه لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. لذلك ، لا نريد أن نضع أي سلبي x- القيم في طاولتنا. لتبسيط حساباتنا بشكل أكبر ، دعنا نستخدم الأرقام التي يمكن حساب جذرها التربيعي بسهولة. هذا يعيد إلى الأذهان المربعات الكاملة مثل 0 ، 1 ، 4 ، 9 ، وهكذا. لقد وضعنا هذه الأرقام كـ x- القيم الواردة في الجدول بـ شكل 1(ب) ، ثم احسب الجذر التربيعي لكل منهما. في شكل 1(أ) ، سترى كل نقطة من الجدول مرسومة كنقطة صلبة. إذا واصلنا إضافة نقاط إلى الجدول ، ورسمها ، فسوف يملأ الرسم البياني في النهاية ويأخذ شكل المنحنى المصمت الموضح في شكل 1(ج).

أسلوب الرسم النقطي المستخدم لرسم الرسم البياني لـ (f (x) = sqrt {x} ) في شكل 1 هو إجراء تم اختباره ومألوف. ومع ذلك ، فإن النهج الأكثر تعقيدًا يتضمن نظرية الانعكاسات التي تم تطويرها في الفصل السابق.

بمعنى ما ، أخذ الجذر التربيعي هو "معكوس" التربيع. حسنًا ، ليس تمامًا ، مثل دالة التربيع (f (x) = x ^ 2 ) في الشكل 2(أ) فشل في اختبار الخط الأفقي ولم يكن واحدًا لواحد. ومع ذلك ، إذا حددنا مجال دالة التربيع ، فإن الرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 ) في الشكل 2(ب) ، حيث (x ge 0 ) ، يجتاز اختبار الخط الأفقي ويكون واحدًا لواحد. لذلك ، فإن الرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ) ، له معكوس ، ويمكن العثور على الرسم البياني لعكسه من خلال عكس الرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ) ، عبر الخط ذ = x (يرى الشكل 2(ج)).

للعثور على معادلة المعكوس ، تذكر أن الإجراء يتطلب منا تبديل أدوار x و ذ، ثم حل المعادلة الناتجة لـ ذ. وبالتالي ، اكتب أولاً (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ) ، بالشكل

[ start {array} {c} {y = x ^ 2، x ge 0} nonumber end {array} ]

بعد ذلك ، قم بالتبديل x و ذ.

[ start {array} {c} {x = y ^ 2، y ge 0} end {array} ]

عندما نحل هذه المعادلة الأخيرة لـ ذ، نحصل على حلين ،

[ start {array} {c} {y = pm sqrt {x}} end {array} ]

ومع ذلك، في المعادلة (2)، لاحظ أن ذ يجب أن تكون أكبر من أو تساوي الصفر. وبالتالي ، يجب أن نختار الإجابة غير السلبية في المعادلة (3)، لذلك فإن معكوس (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ) ، به معادلة

[ start {array} {c} {f ^ {- 1} (x) = sqrt {x}} nonumber end {array} ]

هذه هي معادلة انعكاس الرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ) ، التي تم تصويرها في الشكل 2(ج). لاحظ الاتفاق الدقيق مع الرسم البياني لدالة الجذر التربيعي في شكل 1(ج).

تسلسل الرسوم البيانية بتنسيق الشكل 2 تساعدنا أيضًا في تحديد مجال ومدى دالة الجذر التربيعي.

  • في الشكل 2(أ) ، يفتح القطع المكافئ للخارج إلى أجل غير مسمى ، يسارًا ويمينًا. وبالتالي ، فإن المجال هو (D_ {f} = (- infty ، infty) ) ، أو جميع الأرقام الحقيقية. أيضًا ، يحتوي الرسم البياني على قمة عند نقطة الأصل ويفتح لأعلى إلى أجل غير مسمى ، وبالتالي يكون النطاق (R_ {f} = [0، infty) ).
  • في الشكل 2(ب) ، قمنا بتقييد المجال. وبالتالي ، فإن الرسم البياني (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ) ، يحتوي الآن على المجال (D_ {f} = [0، infty) ). النطاق لم يتغير وهو (R_ {f} = [0، infty) ).
  • في الشكل 2(ج) ، لقد عكسنا الرسم البياني لـ (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ) ، عبر السطر y = x للحصول على الرسم البياني لـ (f ^ {- 1} (x) = sqrt {x} ). نظرًا لأننا قمنا بتبديل دور x و y ، يجب أن يساوي مجال دالة الجذر التربيعي نطاق (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ). أي (D_ {f ^ {- 1}} = [0، infty) ). وبالمثل ، يجب أن يساوي نطاق دالة الجذر التربيعي مجال (f (x) = x ^ 2 ) ، (س ج 0 ). ومن ثم ، (R_ {f ^ {- 1}} = [0، infty) ).

بالطبع ، يمكننا أيضًا تحديد مجال ومدى دالة الجذر التربيعي بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على x- و ذ- المحاور كما هو مبين في الأشكال 3(أ) و (ب) على التوالي.

قد يعترض البعض على النطاق ، ويسألون "كيف نعرف أن الرسم البياني لصورة دالة الجذر التربيعي في الشكل 3(ب) يرتفع إلى أجل غير مسمى؟ " مرة أخرى ، تكمن الإجابة في تسلسل الرسوم البيانية في الشكل 2. في الشكل 2(ج) ، لاحظ أن الرسم البياني (f (x) = x ^ 2 ) ، (x ge 0 ) ، يفتح إلى أجل غير مسمى إلى اليمين حيث يرتفع الرسم البياني إلى اللانهاية. ومن ثم ، بعد عكس هذا الرسم البياني عبر الخط ذ = x، يجب أن يرتفع الرسم البياني الناتج لأعلى إلى أجل غير مسمى أثناء تحركه إلى اليمين. وبالتالي ، فإن نطاق دالة الجذر التربيعي هو ([0، infty) ).

الترجمات

إذا قمنا بتحويل الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) لليمين واليسار ، أو لأعلى ولأسفل ، فإن المجال و / أو النطاق سيتأثران.

مثال ( PageIndex {4} )

ارسم الرسم البياني (f (x) = sqrt {x − 2} ). استخدم الرسم البياني الخاص بك لتحديد المجال والمدى.

نعلم أن المعادلة الأساسية (y = sqrt {x} ) لها الرسم البياني الموضح في الأشكال 1(ج). إذا استبدلنا x مع xفي الشكل 2 ، المعادلة الأساسية (y = sqrt {x} ) تصبح (f (x) = sqrt {x − 2} ). من عملنا السابق على التحويلات الهندسية ، نعلم أن هذا سيؤدي إلى إزاحة الرسم البياني وحدتين إلى اليمين ، كما هو موضح في الأشكال 4 (أ و ب).

لإيجاد المجال ، نسقط كل نقطة على التمثيل البياني لـ f على المحور x ، كما هو موضح في الشكل 4(أ). لاحظ أن جميع النقاط على يمين 2 أو بما في ذلك مظللة على المحور x. وبالتالي ، فإن مجال f هو

المجال = ([2، infty) ) = {x: (x ge 0 )}

نظرًا لعدم وجود تحول في الاتجاه الرأسي ، يظل النطاق كما هو. للعثور على النطاق ، نقوم بإسقاط كل نقطة على الرسم البياني على المحور الصادي ، كما هو موضح في شكل 4(ب). لاحظ أن جميع النقاط عند وما فوق الصفر مظللة على المحور ص. وبالتالي ، فإن نطاق f هو

المدى = ([0، infty) ) = {y: (y ge 0 )}.

يمكننا إيجاد مجال هذه الدالة جبريًا من خلال فحص معادلتها التعريفية (f (x) = sqrt {x − 2} ). نفهم أنه لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. لذلك ، يجب أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب (موجب أو صفر). هذا هو،

(س - 2 ج 0 ).

حل هذه المتباينة ل x,

(س ج 2 ).

وبالتالي ، فإن مجال f هو Domain = ([2، infty) ) ، وهو ما يطابق الحل الرسومي أعلاه.

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر.

مثال ( PageIndex {5} )

ارسم الرسم البياني (f (x) = sqrt {x + 4} + 2 ). استخدم الرسم البياني الخاص بك لتحديد مجال ومدى f.

مرة أخرى ، نعلم أن المعادلة الأساسية (y = sqrt {x} ) لها الرسم البياني الموضح في شكل 1(ج). إذا استبدلنا x مع x+4 ، المعادلة الأساسية (y = sqrt {x} ) تصبح (y = sqrt {x + 4} ). من عملنا السابق مع التحويلات الهندسية ، نعلم أن هذا سيؤدي إلى إزاحة الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) أربع وحدات إلى اليسار ، كما هو موضح في الشكل 5(أ).

إذا علمنا بإضافة 2 إلى المعادلة (y = sqrt {x + 4} ) لإنتاج المعادلة (y = sqrt {x + 4} + 2 ) ، فسيؤدي ذلك إلى إزاحة الرسم البياني لـ (y = sqrt {x + 4} ) وحدتان لأعلى ، كما هو موضح في الشكل 5(ب).

لتحديد المجال الخامس من (f (x) = sqrt {x + 4} + 2 ) ، نقوم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني لـ f على المحور x ، كما هو موضح في الشكل 6(أ). لاحظ أن جميع النقاط على يمين أو بما في ذلك 4 مظللة على x-محور. وبالتالي ، فإن مجال (f (x) = sqrt {x + 4} + 2 ) هو

المجال = ([- 4، infty) ) = {x: (x ge −4 )}

وبالمثل ، لإيجاد مدى F، اعرض جميع النقاط على الرسم البياني لـ F على ذ-المحور ، كما هو موضح في الشكل 6(ب). لاحظ أن جميع النقاط على ذ-المحور الأكبر أو المتضمن 2 مظلل. وبالتالي ، فإن نطاق F هو

النطاق = ([2، infty) ) = {y: (y ge 2 )}

يمكننا أيضًا إيجاد مجال F جبريًا بفحص المعادلة (f (x) = sqrt {x + 4} + 2 ). لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب ، لذا يجب أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب (صفر أو موجب). بالتالي،

(س + 4 ج 0 ).

حل هذه المتباينة ل x,

(س جنرال الكتريك −4 ).

وبالتالي ، فإن مجال f هو Domain = ([- 4، infty) ) ، وهو ما يطابق الحل الرسومي المعروض أعلاه.

خواطر

إذا بدأنا بالمعادلة الأساسية (y = sqrt {x} ) ، ثم استبدل x بـ −x ، ثم يتم التقاط الرسم البياني للمعادلة الناتجة (y = sqrt {−x} ) من خلال عكس رسم بياني لـ (y = sqrt {x} ) (انظر شكل 1(ج)) أفقيًا عبر المحور الصادي. يظهر الرسم البياني لـ (y = sqrt {−x} ) في شكل 7(أ).

وبالمثل ، سيكون الرسم البياني لـ (y = - sqrt {x} ) انعكاسًا رأسيًا للرسم البياني (y = sqrt {x} ) عبر المحور x ، كما هو موضح في الشكل 7(ب).

في كثير من الأحيان ، سيُطلب منك إجراء تفكير و ترجمة.

مثال ( PageIndex {6} )

ارسم الرسم البياني لـ (f (x) = sqrt {4− x} ). استخدم الرسم البياني الناتج لتحديد مجال ومدى f.

أولاً ، أعد كتابة المعادلة (f (x) = sqrt {4− x} ) على النحو التالي:

(و (س) = الجذر التربيعي {- (س − 4)} )

تعريف

تأملات أولا. عادةً ما يكون إجراء تأملات قبل الترجمات أكثر سهولة.

مع وضع هذه الفكرة في الاعتبار ، نرسم أولاً الرسم البياني لـ (f (x) = sqrt {x} ) ، وهو انعكاس للرسم البياني (f (x) = sqrt {x} ) عبر ال ذ-محور. يظهر هذا في الشكل 8(أ).

الآن ، في (f (x) = sqrt {−x} ) استبدل x مع x4 للحصول على (f (x) = sqrt {- (x − 4)} ). يؤدي هذا إلى إزاحة الرسم البياني لـ (f (x) = sqrt {−x} ) أربع وحدات إلى اليمين ، كما هو موضح في الصورة الشكل 8(ب).

لإيجاد مجال الوظيفة (f (x) = sqrt {- (x − 4)} ) ، أو ما يعادله ، (f (x) = sqrt {4 − x} ) ، اعرض كل نقطة على الرسم البياني لـ F على x-المحور ، كما هو موضح في الشكل 9(أ). لاحظ أن جميع الأعداد الحقيقية الأصغر من أو التي تساوي 4 مظللة على x-محور. ومن ثم ، فإن مجال F هو

المجال = ((- infty، 4] ) = {x: (x le 4 )}.

وبالمثل ، للحصول على نطاق f ، قم بإسقاط كل نقطة على الرسم البياني لـ f على محورها ، كما هو موضح في الشكل 9(ب). لاحظ أن جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من أو التي تساوي الصفر مظللة على المحور ص. ومن ثم ، فإن نطاق f هو

المدى = ([0، infty) ) = {x: (x ge 0 )}.

يمكننا أيضًا إيجاد مجال الدالة F بفحص المعادلة (f (x) = sqrt {4 − x} ). بالتالي،

(4 - س ج 0 ).

حل هذه المتباينة الأخيرة من أجل x. اطرح أولًا 4 من طرفي المتباينة ، ثم اضرب طرفي المتراجحة الناتجة في 1. بالطبع ، يؤدي الضرب في رقم سالب إلى عكس رمز عدم المساواة.

(- س جنرال الكتريك −4 )

(س لو 4 )

وبالتالي ، فإن مجال f هو {x: (x le 4 )}. في تدوين الفاصل ، المجال = ((- infty، 4] ). يتوافق هذا بشكل جيد مع النتيجة الرسومية الموجودة أعلاه.

في كثير من الأحيان ، سوف يتطلب الأمر مزيجًا من الآلة الحاسبة الخاصة بك وقليلًا من المعالجة الجبرية لتحديد مجال دالة الجذر التربيعي.

مثال ( PageIndex {7} )

ارسم الرسم البياني (f (x) = sqrt {5−2x} ) استخدم الرسم البياني والتقنية الجبرية لتحديد مجال الوظيفة.

قم بتحميل الوظيفة في Y1 في قائمة Y = الخاصة بآلتك الحاسبة ، كما هو موضح في الشكل 10(أ). حدد 6: ZStandard من قائمة ZOOM لإنتاج الرسم البياني الموضح بتنسيق الشكل 10(ب).

انظر بعناية إلى الرسم البياني في الشكل 10(ب) ولاحظ أنه من الصعب معرفة ما إذا كان الرسم البياني يتجه لأسفل حتى "يلمس" المحور السيني بالقرب من (س حوالي 2.5 ). ومع ذلك ، فإن تجربتنا السابقة مع وظيفة الجذر التربيعي تجعلنا نعتقد أن هذه مجرد قطعة أثرية من الدقة غير الكافية على الآلة الحاسبة التي تمنع الرسم البياني من "لمس" المحور السيني عند (x حوالي 2.5 ).

النهج الجبري سوف يحل المشكلة. يمكننا تحديد مجال f من خلال فحص المعادلة (f (x) = sqrt {5 - 2x} ). وبالتالي ، لا يمكننا أخذ الجذر التربيعي لرقم سالب ، لذا يجب أن يكون التعبير تحت الجذر غير سالب (صفر أو موجب).

(5 - 2 س ج 0 ).

حل هذه المتباينة الأخيرة من أجل x. أولًا ، اطرح 5 من طرفي المتباينة.

(- 2x ge −5 ).

بعد ذلك ، قسّم طرفي هذه المتباينة الأخيرة على 2. تذكر أنه يجب علينا عكس المتباينة بمجرد القسمة على عدد سالب.

( frac {−2x} {- 2} le frac {−5} {- 2} ).

(x le frac {5} {2} ).

وبالتالي ، فإن مجال f هو {x: (x le frac {5} {2} )}. في تدوين الفاصل ، المجال = ((- infty، frac {5} {2}] ). يتوافق هذا بشكل جيد مع النتيجة الرسومية الموجودة أعلاه.

يكشف مزيد من الاستبطان عن أن هذه الحجة تحسم أيضًا مسألة ما إذا كان الرسم البياني "يلامس" x-المحور في (x = frac {5} {2} ). إذا بقيت غير مقتنع ، فاستبدل (x = frac {5} {2} ) في (f (x) = sqrt {5−2x} ) لترى

(f ( frac {5} {2}) = sqrt {5−2 ( frac {5} {2})} = sqrt {0} = 0 ).

وبالتالي ، فإن الرسم البياني لـ f "يلامس" المحور x عند النقطة (( frac {5} {2}، 0) ).

في تمرين 1-10، أكمل كل من المهام التالية:

  1. قم بإعداد نظام إحداثيات على ورقة الرسم البياني. قم بتسمية وقياس كل محور.
  2. أكمل جدول النقاط للدالة المحددة. ارسم كل نقطة على نظام الإحداثي الخاص بك ، ثم استخدمها للمساعدة في رسم الرسم البياني للدالة المحددة.
  3. استخدم أقلام ملونة مختلفة لإبراز كل النقاط على x- و ذ- المحاور لتحديد المجال والمدى. استخدم تدوين الفاصل الزمني لوصف مهام الوظيفة المحددة.

تمرين ( PageIndex {1} )

(و (س) = - الجذر التربيعي {س} )

x

0

1

4

9

و (خ)

إجابه

x

0

1

4

9

و (خ)

0

1

2

3

ارسم النقاط في الجدول واستخدمها للمساعدة في رسم الرسم البياني.

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور x لتحديد المجال: المجال = ([0، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ((- infty ، 0] ).

تمرين ( PageIndex {2} )

(و (س) = الجذر التربيعي {−x} )

x

0

1

4

9

و (خ)

تمرين ( PageIndex {3} )

(f (x) = sqrt {x + 2} )

x

2

1

2

7

و (خ)

إجابه

x

2

1

2

7

F (x)

0

1

2

3

ارسم النقاط في الجدول واستخدمها للمساعدة في رسم الرسم البياني.

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور السيني لتحديد المجال: المجال = ([2، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ([0، infty) ).

تمرين ( PageIndex {4} )

(و (س) = الجذر التربيعي {5 − س} )

x

4

1

4

5

و (خ)

تمرين ( PageIndex {5} )

(f (x) = sqrt {x} +2 )

x

0

1

4

9

و (خ)

إجابه

x

0

1

4

9

و (خ)

2

3

4

5

ارسم النقاط في الجدول واستخدمها لرسم الرسم البياني لـ F.

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور x لتحديد المجال: المجال = ([0، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ([2، infty) ).

تمرين ( PageIndex {6} )

(و (س) = الجذر التربيعي {س} −1 )

x

0

1

4

9

و (خ)

تمرين ( PageIndex {7} )

(f (x) = sqrt {x + 3} +2 )

x

3

2

1

6

و (خ)

إجابه

x

3

2

1

6

و (خ)

2

3

4

5

ارسم النقاط في الجدول واستخدمها لرسم الرسم البياني لـ F.

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور السيني لتحديد المجال: المجال = ([3 ، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ([2، infty) ).

تمرين ( PageIndex {8} )

(f (x) = sqrt {x − 1} +3 )

x

1

2

5

10

F (x)

تمرين ( PageIndex {9} )

(و (س) = الجذر التربيعي {3 − س} )

x

6

1

2

3

F (x)

إجابه

x

6

1

2

3

F (x)

3

2

1

0

ارسم النقاط في الجدول واستخدمها لرسم الرسم البياني لـ F.

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور السيني لتحديد المجال: المجال = (( infty ، 3] ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ([0، infty) ).

تمرين ( PageIndex {10} )

(و (س) = - الجذر التربيعي {س + 3} )

x

3

2

1

6

F (x)

في تمارين 11-20، قم بتنفيذ كل من المهام التالية.

  1. قم بإعداد نظام إحداثيات على ورقة الرسم البياني. قم بتسمية وقياس كل محور. تذكر أن ترسم كل الخطوط بمسطرة.
  2. استخدم التحويلات الهندسية لرسم الرسم البياني للدالة المحددة على نظام الإحداثي الخاص بك دون استخدام آلة حاسبة للرسوم البيانية. ملاحظة: يجوز لك التحقق من الحل الخاص بك باستخدام الآلة الحاسبة ، ولكن يجب أن تكون قادرًا على إنتاج الرسم البياني دون استخدام الآلة الحاسبة.
  3. استخدم أقلام رصاص ملونة مختلفة لعرض النقاط على الرسم البياني للوظيفة على x- و ذ- المحاور. استخدم تدوين الفاصل الزمني لوصف مجال ومدى الوظيفة.

تمرين ( PageIndex {11} )

(f (x) = sqrt {x} +3 )

إجابه

أولاً ، ارسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) ، كما هو موضح في (أ). ثم أضف 3 لإنتاج المعادلة (y = sqrt {x} + 3 ). سيؤدي هذا إلى تحويل الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) لأعلى 3 وحدات ، كما هو موضح في (ب).

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور x لتحديد المجال: المجال = ([0، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ([3، infty) ).

تمرين ( PageIndex {12} )

(f (x) = sqrt {x + 3} )

تمرين ( PageIndex {13} )

(و (س) = الجذر التربيعي {س − 2} )

إجابه

أولاً ، ارسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) ، كما هو موضح في (أ). ثم استبدل x بـ x - 2 للحصول على المعادلة (y = sqrt {x − 2} ). سيؤدي هذا إلى تحويل الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) إلى وحدتين يمينًا ، كما هو موضح في (ب).

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور x لتحديد المجال: المجال = ([2، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ([0، infty) ).

تمرين ( PageIndex {14} )

(و (س) = الجذر التربيعي {س} −2 )

تمرين ( PageIndex {15} )

(f (x) = sqrt {x + 5} +1 )

إجابه

أولاً ، ارسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) ، كما هو موضح في (أ). ثم استبدل x بـ x + 5 للحصول على المعادلة (y = sqrt {x + 5} ). ثم أضف 1 لإنتاج المعادلة (f (x) = sqrt {x + 5} +1 ). سيؤدي هذا إلى تحويل الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) إلى 5 وحدات يسارًا ، ثم 1 وحدة لأعلى ، كما هو موضح في (ب).

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور x لتحديد المجال: المجال = ([- 5، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ([1، infty) ).

تمرين ( PageIndex {16} )

(و (س) = الجذر التربيعي {س − 2} −1 )

تمرين ( PageIndex {17} )

(ص = - الجذر التربيعي {س + 4} )

إجابه

أولاً ، ارسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) ، كما هو موضح في (أ). ثم ينفي إنتاج (y = - sqrt {x} ). سيعكس هذا الرسم البياني (y = sqrt {x} ) عبر المحور x كما هو موضح في (ب). أخيرًا ، استبدل x بـ x + 4 للحصول على المعادلة (y = - sqrt {x + 4} ). سيؤدي هذا إلى إزاحة الرسم البياني لـ (y = - sqrt {x} ) أربع وحدات إلى اليسار ، كما هو موضح في (ج).

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور x لتحديد المجال: المجال = ([- 4، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ((- infty ، 0] ).

تمرين ( PageIndex {18} )

(f (x) = - sqrt {x} +4 )

تمرين ( PageIndex {19} )

(f (x) = - sqrt {x} +3 )

إجابه

أولاً ، ارسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) ، كما هو موضح في (أ). أخيرًا ، أضف 3 لإنتاج المعادلة (y = - sqrt {x} +3 ). سيؤدي هذا إلى تحويل الرسم البياني (y = - sqrt {x} ) ثلاث وحدات لأعلى ، كما هو موضح في (ج).

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور x لتحديد المجال: المجال = ([0، infty) ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور الصادي لتحديد النطاق: Range = ((- infty، 3] ).

تمرين ( PageIndex {20} )

(و (س) = - الجذر التربيعي {س + 3} )

تمرين ( PageIndex {21} )

لرسم الرسم البياني للدالة (f (x) = sqrt {3 − x} ) ، قم بتنفيذ كل من الخطوات التالية بالتسلسل بدون مساعدة الآلة الحاسبة.

  1. قم بإعداد نظام إحداثيات ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ). قم بتسمية الرسم البياني بمعادلته.
  2. قم بإعداد نظام إحداثيات ثاني ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {−x} ). قم بتسمية الرسم البياني بمعادلته.
  3. قم بإعداد نظام إحداثيات ثالث ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {- (x - 3)} ). قم بتسمية الرسم البياني بمعادلته. هذا رسم بياني لـ (y = sqrt {3 − x} ). استخدم تدوين الفاصل الزمني للإشارة إلى مجال ونطاق هذه الوظيفة.
إجابه

أولاً ، ارسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ) ، كما هو موضح في (أ). ثم استبدل x مع x لإنتاج المعادلة (y = sqrt {x} ). سيعكس هذا الرسم البياني (y = sqrt {x} ) عبر ذ- المحور كما هو مبين في (ب). أخيرًا ، استبدل x مع x 3 لإنتاج المعادلة (ذ = sqrt {(x 3)} ). سيؤدي هذا إلى تحويل الرسم البياني لـ (y = sqrt {−x} ) ثلاث وحدات إلى اليمين ، كما هو موضح في (ج).

قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور x لتحديد المجال: المجال = ((- infty، 3] ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: Range = ( [0، infty) ).

تمرين ( PageIndex {22} )

لرسم الرسم البياني للدالة (f (x) = sqrt {x − 3} ) ، نفذ كل من الخطوات التالية بالتسلسل.

  1. قم بإعداد نظام إحداثيات ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ). قم بتسمية الرسم البياني بمعادلته.
  2. قم بإعداد نظام إحداثيات ثالث ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {- (x + 3)} ). هذا رسم بياني لـ (y = sqrt {x − 3} ). استخدم تدوين الفاصل الزمني للإشارة إلى مجال ونطاق هذه الوظيفة.

تمرين ( PageIndex {23} )

لرسم الرسم البياني للدالة (f (x) = sqrt {−x − 3} ) ، قم بتنفيذ كل من الخطوات التالية بالتسلسل بدون مساعدة الآلة الحاسبة.

  1. قم بإعداد نظام إحداثيات ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ). قم بتسمية الرسم البياني بمعادلته.
  2. قم بإعداد نظام إحداثيات ثالث ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {- (x + 1)} ). هذا رسم بياني لـ (y = sqrt {x − 1} ). ثم استبدل x بـ −x لإنتاج المعادلة (y = sqrt {−x} ). سيعكس هذا الرسم البياني (y = sqrt {x} ) عبر المحور الصادي ، كما هو موضح في (ب). أخيرًا ، استبدل x بـ x + 1 لإنتاج المعادلة (y = sqrt {- (x + 1)} ). سيؤدي هذا إلى تحويل الرسم البياني لوحدة (y = sqrt {−x} ) إلى اليسار ، كما هو موضح في (ج).

    قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور السيني لتحديد المجال: المجال = ((- infty ، −1] ). قم بإسقاط جميع النقاط على الرسم البياني على المحور ص لتحديد النطاق: النطاق = ([0، infty) ).

    تمرين ( PageIndex {24} )

    لرسم الرسم البياني للدالة (f (x) = sqrt {1 − x} ) ، قم بتنفيذ كل من الخطوات التالية بالتسلسل.

    1. قم بإعداد نظام إحداثيات ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {x} ). قم بتسمية الرسم البياني بمعادلته.
    2. قم بإعداد نظام إحداثيات ثالث ورسم الرسم البياني لـ (y = sqrt {- (x − 1)} ). هذا رسم بياني لـ (y = sqrt {1 − x} ). استخدم تدوين الفاصل الزمني لتوضيح مجال ونطاق هذه الوظيفة.

    في تمارين 25-28، قم بتنفيذ كل من المهام التالية.

    1. ارسم الرسم البياني للدالة المحددة باستخدام حاسبة الرسوم البيانية الخاصة بك. انسخ الصورة في نافذة العرض الخاصة بك إلى ورقة واجبك المنزلي. قم بتسمية كل محور وقياسه باستخدام xmin و xmax و ymin و ymax. قم بتسمية الرسم البياني بمعادلته. استخدم الرسم البياني لتحديد مجال الوظيفة ووصف المجال بتدوين الفاصل الزمني.
    2. استخدم نهجًا جبريًا بحتًا لتحديد مجال الوظيفة المحددة. استخدم تدوين الفاصل الزمني لوصف نتيجتك. هل تتفق مع النتيجة الرسومية من الجزء 1؟

    تمرين ( PageIndex {25} )

    (f (x) = sqrt {2x + 7} )

    إجابه

    نستخدم آلة حاسبة بالرسوم البيانية لإنتاج الرسم البياني التالي لـ (f (x) = sqrt {2x + 7} )

    نحن نقدر أن المجال سيتألف من جميع الأرقام الحقيقية على يمين ما يقرب من 3.5. لإيجاد حل جبري ، لاحظ أنه لا يمكنك أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. ومن ثم ، فإن التعبير تحت الجذر في (f (x) = sqrt {2x + 7} ) يجب أن يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

    (2 س + 7 ج 0 )

    (2x ge −7 )

    (x ge - frac {7} {2} )

    ومن ثم ، فإن المجال هو ([- frac {7} {2}، infty) ).

    تمرين ( PageIndex {26} )

    (f (x) = sqrt {7−2x} )

    تمرين ( PageIndex {27} )

    (f (x) = sqrt {12−4x} )

    إجابه

    نستخدم آلة حاسبة بيانية لإنتاج الرسم البياني التالي لـ (f (x) = sqrt {12−4x} ).

    نقدر أن المجال سيتألف من جميع الأرقام الحقيقية على يمين 3 تقريبًا. وبالتالي ، يجب أن يكون التعبير تحت الجذر في (f (x) = sqrt {12−4x} ) أكبر من أو يساوي الصفر .

    (12−4x GE 0 )

    (- 4x ge −12 )

    (س لو 3 )

    ومن ثم ، فإن المجال هو ((- infty ، 3] ).

    تمرين ( PageIndex {28} )

    (f (x) = sqrt {12 + 2x} )

    في تمارين 29-40، أوجد مجال الدالة المعطاة جبريًا.

    تمرين ( PageIndex {29} )

    (f (x) = sqrt {2x + 9} )

    إجابه

    لا يتم تعريف الجذر الزوجي لرقم سالب كرقم حقيقي. وبالتالي ، يجب أن يكون 2x + 9 أكبر من أو يساوي الصفر. بما أن (2x + 9 ge 0 ) يشير إلى أن (x ge - frac {9} {2} ) ، فإن المجال هو الفاصل ([- frac {9} {2}، infty ) ).

    تمرين ( PageIndex {30} )

    (f (x) = sqrt {3x + 3} )

    تمرين ( PageIndex {31} )

    (و (س) = الجذر التربيعي {−8 س − 3} )

    إجابه

    لا يتم تعريف الجذر الزوجي لرقم سالب كرقم حقيقي. وبالتالي ، يجب أن تكون 8x − 3 أكبر من أو تساوي الصفر. بما أن (- 8x − 3 ge 0 ) يشير إلى أن (x le - frac {3} {8} ) ، فإن المجال هو الفاصل ((- infty، - frac {3} { 8}] ).

    تمرين ( PageIndex {32} )

    (f (x) = sqrt {3x + 6} )

    تمرين ( PageIndex {33} )

    (و (س) = الجذر التربيعي {−6x − 8} )

    إجابه

    لا يتم تعريف الجذر الزوجي لرقم سالب كرقم حقيقي. وبالتالي ، يجب أن تكون −6x − 8 أكبر من أو تساوي الصفر. بما أن (- 6x − 8 ge 0 ) يشير إلى أن (x le - frac {4} {3} ) ، فإن المجال هو الفاصل ((- infty، frac {4} {3 }] ).

    تمرين ( PageIndex {34} )

    (و (س) = الجذر التربيعي {8 س − 6} )

    تمرين ( PageIndex {35} )

    (f (x) = sqrt {7x + 2} )

    إجابه

    لا يتم تعريف الجذر الزوجي لرقم سالب كرقم حقيقي. وبالتالي ، يجب أن تكون 7x + 2 أكبر من أو تساوي الصفر. بما أن (- 7x + 2 ge 0 ) يشير إلى أن (x le frac {2} {7} ) ، فإن المجال هو الفاصل ((- infty، frac {2} {7} ] ).

    تمرين ( PageIndex {36} )

    (و (س) = الجذر التربيعي {8 س − 3} )

    تمرين ( PageIndex {37} )

    (f (x) = sqrt {6x + 3} )

    إجابه

    لا يتم تعريف الجذر الزوجي لرقم سالب كرقم حقيقي. وبالتالي ، يجب أن تكون 6x + 3 أكبر من أو تساوي الصفر. بما أن (6x + 3 ge 0 ) يشير إلى أن (x ge - frac {1} {2} ) ، فإن المجال هو الفاصل ([- frac {1} {2}، infty ) ).

    تمرين ( PageIndex {38} )

    (و (س) = الجذر التربيعي {س − 5} )

    تمرين ( PageIndex {39} )

    (و (س) = الجذر التربيعي {−7x − 8} )

    إجابه

    لا يتم تعريف الجذر الزوجي لرقم سالب كرقم حقيقي. وبالتالي ، يجب أن تكون 7x − 8 أكبر من أو تساوي الصفر. بما أن (- 7x − 8 ge 0 ) يشير إلى أن (x le - frac {8} {7} ) ، فإن المجال هو الفاصل ((- infty، - frac {8} { 7}] )

    تمرين ( PageIndex {40} )

    (f (x) = sqrt {7x + 8} )


    شاهد الفيديو: حل رياضيات الصف السادس الابتدائي الجذر التربيعي (شهر اكتوبر 2021).