مقالات

7.4: زوايا المثلثات - رياضيات


نظرية ( PageIndex {1} )

في أي ( مثلث ABC ) لدينا

( المقاس ABC + المستطيل المقاس BCA + المستطيل المقاس CAB equiv pi. )

دليل

لاحظ أولاً أنه إذا كان ( مثلث ABC ) متدهورًا ، فإن المساواة تتبع النتيجة الطبيعية 2.4.1. علاوة على ذلك ، نفترض أن ( المثلث ABC ) غير متولد.

دع (X ) يكون انعكاسًا لـ (C ) عبر نقطة المنتصف (M ) لـ ([AB] ). حسب الاقتراح 7.2.1 ( المقاس باكس = قياس المثلث ABC ). لاحظ أن ((AX) ) هو انعكاس لـ ((CB) ) عبر (M ) ؛ لذلك من خلال نظرية 7.2.1 ، ((AX) متوازي (CB) ).

بما أن ([BM] ) و ([MX] ) لا يتقاطعان ((CA) ) ، فإن النقاط (B ، M ) ، و (X ) تقع على نفس الجانب من ((CA) ). بتطبيق الخاصية المستعرضة لـ ((CA) ) إلى ((AX) ) و ((CB) ) ، نحصل على ذلك

[ المقاسة BCA + المقاسة CAX equiv pi. ]

منذ ( المقاسة باكس = قياس المثلث ABC ) ، لدينا

( القياس CAX equiv المقاس CAB + المستطيل المقاس ABC )

تشير الهوية الأخيرة و 7.4.1 إلى النظرية.

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض أن ( المثلث ABC ) يكون مثلثًا غير متولد. افترض أن هناك نقطة (D في [BC] ) مثل ذلك

( المقاس BAD equiv المقاس DAC ، BA = AD = DC. )

أوجد زوايا ( مثلث ABC ).

تلميح

تطبيق نظرية مرتين 4.3.1 ومرتين نظرية ( PageIndex {1} ).

تمرين ( PageIndex {2} )

اظهر ذلك

(| المقاسة ABC | + | المقاسة BCA | + | قياس CAB | = pi )

لأي ( مثلث ABC ).

تلميح

إذا كان ( مثلث ABC ) متدهورًا ، فإن أحد قياسات الزاوية هو ( pi ) والآخران يساوي 0. ومن هنا تكون النتيجة.

افترض أن ( المثلث ABC ) غير متولد. اضبط ( alpha = مقاسة CAB ) ، ( beta = Measangle ABC ) ، و ( gamma = scaleangle BCA )

من خلال النظرية 3.3.1 ، قد نفترض أن (0 < alpha، beta، gamma < pi ). لذلك،

[0> alpha + beta + gamma <3 cdot pi. ]

بواسطة Theorem ( Pageindex {1} ) ،

[ alpha + beta + gamma equiv pi. ]

من 7.4.2 و 7.4.3 تأتي النتيجة.

تمرين ( PageIndex {3} )

لنفترض أن ( مثلث ABC ) يكون مثلثًا متساويًا غير متولد بالقاعدة ([AC] ). لنفترض أن (د ) هو انعكاس لـ (أ ) عبر (ب ). أظهر أن ( زاوية ACD ) صحيحة.

تلميح

تطبيق نظرية مرتين 4.3.1 ومرتين نظرية ( PageIndex {1} ).

تمرين ( PageIndex {4} )

لنفترض أن ( المثلث ABC ) يكون مثلث متساوي الساقين غير متولد بقاعدة ([AC] ). افترض أن الدائرة تمر عبر (A ) ، وتتركز عند نقطة على ([AB] ) ، وماسًا إلى ((BC) ) عند النقطة (X ). بيّن أن (augeangle CAX = pm dfrac { pi} {4} ).

تلميح

افترض أن (O ) يدل على مركز الدائرة.

لاحظ أن ( مثلث AOX ) متساوي الساقين و ( زاوية OXC ) صحيح. بتطبيق النظرية ( PageIndex {1} ) والنظرية 4.3.1 والتبسيط ، يجب أن نحصل على (4 cdot selectedangle CAX equiv pi ).

أظهر أن ( angle CAX ) يجب أن يكون حادًا. ويترتب على ذلك أن (augeangle CAX = pm dfrac { pi} {4} ).

تمرين ( PageIndex {5} )

وضح أن لدينا أي رباعي الزوايا (ABCD )

( المقاس ABC + المستطيل المقاس BCD + المستطيل المقاس CDA + المستطيل المقاس DAB equiv 0 ).

تلميح

طبق النظرية ( PageIndex {1} ) على ( مثلث ABC ) و ( مثلث BDA ).


هندسة المثلثات

تعريفات وصيغ لمساحة المثلث ومجموع زوايا المثلث ونظرية فيثاغورس ومثلثات فيثاغورس ومثلثات خاصة (المثلث 30-60-90 والمثلث 45-45-90)
فقط قم بالتمرير لأسفل أو انقر فوق ما تريد وسأقوم بالتمرير لأسفل نيابة عنك!

أمثلة على المثلثات مساحة المثلث مجموع الزوايا
لمثلث
نظرية فيثاغورس فيثاغورس خاص
ثلاث مرات
مثلثات خاصة
45-45-90 أمبير 36-60-90

هذه الصيغة للمثلثات القائمة فقط!
يُطلق على ضلعي a و b للمثلث القائم الزاوية الأرجل ، ويسمى الضلع المقابل للزاوية اليمنى (90 درجة) ، ج ، بالوتر. ستساعدك هذه الصيغة في إيجاد طول أ ، ب أو ج ، إذا أعطيت أطوال الاثنين الآخرين.

والسبب في أنها مميزة للغاية هو أنها أعداد صحيحة - لا أحد من تلك الكسور العشرية أو الكسور أو الجذور الغريبة!


مثال 7.4 الصف 9 رياضيات السؤال 1.
بيّن أنه في المثلث القائم الزاوية ، يكون الوتر هو الضلع الأطول.
حل:

مثال 7.4 الصف 9 رياضيات السؤال 2.
في الشكل المعين ، يتم تمديد الجانبين AB و AC لـ Δ ABC إلى النقطتين P و Q على التوالي. أيضا ، PBC ∠ QCB. اظهر ذلك
AC & GT AB.
حل:

مثال 7.4 الصف 9 رياضيات السؤال 3.
في الشكل ∠ B & lt ∠ A و C & lt ∠ D. أظهر أن AD & ltBC
حل:

مثال 7.4 الصف 9 رياضيات سؤال 4.
AB و CD هما على التوالي أصغر وأطول جوانب من الشكل الرباعي ABCD (انظر الشكل). أظهر أن ∠ A & gt ∠ C و B & gt ∠ D.
حل:
معطى: ABCD شكل رباعي. AB هو أقصر جانب و CD هو أطول ضلع.
لإثبات: ∠ A & gt ∠ C و B & gt ∠ D.
البناء: انضم A و C ، وكذلك B و D.
الدليل: في Δ ABC ، ​​AB هو أصغر جانب.
BC & GT AB
∠ 1 & GT ∠ 2 & # 8230 (ط)
[∵ الزاوية المقابلة للجانب الأطول أكبر]

مثال 7.4 الصف 9 رياضيات السؤال 5.
في الشكل ، PR & gt PQ و PS منصف QPR. إثبات أن ∠ PSR & gt ∠ PSQ.
حل:
في Δ PQR ، لدينا

مثال 7.4 الصف 9 رياضيات سؤال 6.
أظهر أنه من بين جميع مقاطع الخط المرسومة من نقطة معينة ، وليس عليها ، فإن مقطع الخط العمودي هو الأقصر.
حل:

معطى: x خط و A نقطة لا تقع على x. AB ⊥ x ، C هي أي نقطة على x غير النقطة B.
لإثبات: AB & lt AC
الدليل: في Δ ABC ، ​​∠ B هي الزاوية اليمنى.
∴ ∠ C زاوية حادة.
∴ ∠ B & GT ∠ C
= & gt AC & gtAB
(الضلع المقابل للزاوية الأكبر أطول)
= & gtAB & lt AC
ومن ثم ، فإن القطعة المستقيمة العمودية هي الأقصر.

نأمل أن تساعدك حلول NCERT للفصل 9 الرياضيات الفصل 7 مثلثات المثال 7.4. إذا كان لديك أي استفسار بخصوص NCERT Solutions للصف 9 الرياضيات الفصل 7 المثلثات المثال 7.4 ، قم بإسقاط تعليق أدناه وسنعاود الاتصال بك في أقرب وقت ممكن.


حلول NCERT للفصل 9 الرياضيات الفصل 7

حلول NCERT للصف 9 الرياضيات ، الفصل 7 ، تمرين المثلثات 7.1 ، التمرين 7.2 ، التمرين 7.3 ، التمرين 7.4 والتمرين 7.5 في اللغة الإنجليزية المتوسطة بالإضافة إلى اللغة الهندية المحدثة للجلسة الأكاديمية الجديدة 2021-2022. وفقًا لـ Utter Pradesh Board (براياجراج) ، سيستخدم طلاب الفصل 9 كتب NCERT للرياضيات التاسعة ككتب دراسية. لذلك ، يمكن تنزيل UP Board Solutions للفئة 9 Maths Tribhuj ki Prashnavali 7.1 و Prashnavali 7.2 و Prashnavali 7.3 و Prashnavali 7.4 و Prashnavali 7.5 بتنسيق PDF متوسط ​​هندي للتنزيل مجانًا للجلسة الأكاديمية 2021-22. تعتمد حلول NCERT في اللغة الهندية المتوسطة والإنجليزية أو العرض بتنسيق الفيديو ، للطلاب الذين يدرسون كتب NCERT 2021-22 ، على منهج CBSE 2021-2022.

ترد أدناه أسئلة وحلول لجميع التمارين الخمسة للفصل التاسع من الرياضيات. يتم وصف خطوات حل الأسئلة بشكل صحيح من قبل خبراء الموضوع. يتم تقديم حلول سهلة ومبسطة ، حتى يتمكن الطالب من الفهم بسهولة.


يمكنك تصنيف المثلث حسب طول الضلع أو الزاوية الداخلية.

أنواع المثلثات حسب أطوال الأضلاع.

نوع المثلث بأطوال الأضلاعوصف

المثلث متساوي الساقين له ضلعان متساويان في الطول ، وضلع واحد إما أطول أو أقصر من الأضلاع المتساوية. الزاوية ليس لها تأثير على هذا النوع من المثلث.

متساوي الاضلاع

جميع الجوانب والزوايا متساوية في الطول والدرجة.

جميع الجوانب والزوايا لها أطوال ودرجات مختلفة.

أنواع المثلثات بالزاوية.

نوع المثلث بالزاوية الداخليةوصف

يمين (زاوية قائمة)

قياس كل زاوية من الزوايا الثلاث أقل من 90 درجة.

زاوية واحدة أكبر من 90 درجة.

المثلثات مصنفة حسب الأضلاع والزوايا.


  • تم تحديد المثلث الذهبي بشكل فريد باعتباره المثلث الوحيد الذي له زواياه الثلاث بنسبة 1: 2: 2 (36 درجة ، 72 درجة ، 72 درجة). [3]
  • يمكن العثور على المثلثات الذهبية في مسامير الخماسي العادية.
  • يمكن أيضًا العثور على المثلثات الذهبية في شكل عشري منتظم ، مضلع عشر جوانب متساوي الزوايا ومتساوي الأضلاع ، عن طريق توصيل أي رأسين متجاورين بالمركز. هذا لأن: 180 (10−2) / 10 = 144 ° هي الزاوية الداخلية ، وشطرها من خلال الرأس إلى المركز: 144/2 = 72 درجة. [1]
  • أيضا ، تم العثور على مثلثات ذهبية في شباك من عدة نجمات من dodecahedrons و icosahedrons.

التحرير اللولبي اللوغاريتمي

يستخدم المثلث الذهبي لتشكيل بعض نقاط لولب لوغاريتمي. من خلال شق إحدى زوايا القاعدة ، يتم إنشاء نقطة جديدة والتي بدورها تشكل مثلثًا ذهبيًا آخر. [4] يمكن أن تستمر عملية التقسيم إلى أجل غير مسمى ، مما يؤدي إلى إنشاء عدد لا حصر له من المثلثات الذهبية. يمكن رسم لولب لوغاريتمي من خلال القمم. يُعرف هذا اللولب أيضًا باسم اللولب المتساوي الزوايا ، وهو مصطلح صاغه رينيه ديكارت. "إذا تم رسم خط مستقيم من القطب إلى أي نقطة على المنحنى ، فإنه يقطع المنحنى بنفس الزاوية بالضبط" ، ومن ثم متساوي الزوايا. [5]

يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالمثلث الذهبي ، وهو العقرب الذهبي ، وهو مثلث متساوي الساقين حيث تكون نسبة أطوال الأضلاع المتساوية إلى طول القاعدة هي المقلوب 1 φ النسبة الذهبية φ .

"المثلث الذهبي له نسبة طول القاعدة إلى طول الضلع مساوية للقسم الذهبي φ ، في حين أن العقرب الذهبي له نسبة طول الضلع إلى طول القاعدة مساوية للقسم الذهبي." [6]

تحرير الزوايا

(المسافة AX و CX كلاهما أ′ = أ = φ والمسافة AC تساوي ب′ = φ² ، كما هو موضح في الشكل.)


استراتيجيات لحل سؤال مثلث

نظرًا لوجود العديد من أنواع مسائل المثلث المختلفة ، فمن الصعب تقسيم مسار واحد محدد لحل المشكلة.

ومع ذلك ، فإن أعظم أصولك واستراتيجياتك عند حل مشكلات المثلث ستكون:

1) اكتب الصيغ الخاصة بك

نظرًا لعدم إعطائك أي صيغ ، يجب عليك الاحتفاظ بها في رأسك وفي قلبك. الخبر السار هو أنه كلما تدربت ، كلما كنت أفضل في ضرب مناطق المثلث أو أطوال الأضلاع من 30-60-90 مثلثات أو أي شيء آخر ستحتاجه.

ولكن إذا شعرت أنك ستنسى معادلاتك أثناء الاختبار ، فاخذ بضع ثوانٍ واكتبها قبل أن تبدأ في حل أسئلتك. بمجرد القيام بذلك ، سيكونون هناك بشكل لا يمحى لتعمل منه لبقية قسم الرياضيات ، ولن تقلق بشأن نسيانهم.

2) استخدم الصيغ الخاصة بك (وخذ الاختصارات الخاصة بك)

بمجرد أن تتأكد من أنك تذكرت الصيغ الخاصة بك ، فإن استخدامها هو أهم خطوة على الإطلاق لأي مشكلة في المثلث. وبالنظر إلى أن معظم الصيغ الخاصة بك تعمل بشكل أساسي كاختصارات (لماذا تكلف نفسك عناء حل نظرية فيثاغورس عندما تعلم أن أرجل المثلث 30-60-90 هي $ x ، x√3 ، 2x $؟) ، أنت سيوفر على نفسك قدرًا كبيرًا من الوقت والطاقة عندما يمكنك الاحتفاظ بالصيغ الخاصة بك في متناول اليد وبالترتيب.

3) عند العمل بأشكال متعددة ، قسّمها إلى خطوات صغيرة

تذكر أن التعامل مع مشكلة مثلث متعدد الأشكال يشبه العمل مع أحجار الدومينو. كل معلومة متتالية تفسح المجال للعثور على المعلومة التالية.

لا تخاف من عدم وجود معلومات كافية لديك أو وجود عدد كبير جدًا من الأشكال أو الخطوط التي يمكنك التعامل معها. سيكون لديك دائمًا بيانات كافية للمتابعة - فقط ركز على إيجاد شكل واحد وقطعة واحدة من المعلومات في كل مرة ، وستقع أحجار الدومينو في مكانها.

4) ارسمها

ارسم مخططاتك الخاصة إذا لم تعط أيًا منها. رسم على القمة من المخططات الخاصة بك عندما نكون الصور المعطاة. اكتب في معطياتك وجميع القياسات التي تجدها على طول الطريق إلى المتغير المفقود (أو المتغيرات) ، وحدد الخطوط المتطابقة والزوايا.

كلما تمكنت من توضيح المخططات الخاصة بك ، قل احتمال ارتكابك أخطاء غير مبالية في وضع الأرقام والمساواة في غير محله أو الخلط بينهما.


آلة حاسبة ثلاثية فيثاغورس أكثر عمومية

  • ال العدد الإجمالي من بين كل مثلثات فيثاغورس التي لها وتر في النطاق 20-30 هو 6
  • اذا نحن عرض الكل منهم هم:

نظرًا لوجود عدد لا حصر له من PTs مع أي اختلاف جانبي معين - انظر أعلاه على Hypotenuse وأطول ساق متتاليان والساقان متتاليتان - تم تمييز هذه الخيارات بعلامة & infin وسيظهر مربع إدخال إضافي لـ فرق عمليات البحث لقصر البحث على أقصى طول ضلع معين.
الأحجام يُبلغ عن الأحجام (الجانب | المحيط | المنطقة | inradius المطلوبة) في النطاق المحدد ، بحيث إذا تم العثور على جانب | محيط | منطقة | inradius في أكثر من ثلاثة أضعاف ، يتم الإبلاغ عنه مرة واحدة لكل ثلاثية منفصلة.
عرض الكل يسرد كل الثلاثيات التي تم العثور عليها ولكن إذا كنت تريد استخدام مثال واحد فقط عرض واحد.
ال النتائج يتم طباعتها في مربع النتائج ، ويتم إعطاء ثلاث مرات مع مساحتها ومحيطها وداخل نصف قطرها. حدد وانسخ من هذه المنطقة لاستخدام الإخراج كنص أو في تطبيقات أخرى.

آلة حاسبة عامة فيثاغورس


منصف زاوية المثلث - نظرية منصف الزاوية

تنص نظرية منصف الزاوية على أن:

منصف الزاوية لزاوية مثلث يقسم الضلع المقابل إلى جزأين متناسبين مع ضلعي المثلث الآخرين.

نسبة طول BD إلى طول DC تساوي نسبة طول الضلع AB إلى طول الضلع AC:


7.4: زوايا المثلثات - رياضيات

لتحديد المثلثات: استخدم مربعًا كبيرًا وقطعه مرتين على القطر - يكون الضلع الطويل لكل من هذه المثلثات على مستقيم الحبوب. ستقطع 4 مثلثات من كل مربع وستحتاج إلى إجراء بعض العمليات الحسابية البسيطة لتحديد عدد مثلثات الإعداد التي تحتاجها لحافك الخاص.

لتحديد حجم المربع ، استخدم هذه الصيغة البسيطة:

حجم الكتلة النهائية × 1.41 = القطر النهائي + 1.25 =
حجم المربع المراد قصه

(تقريب لأقرب 1/8 & quot)

لمثلثات الزوايا: استخدم مربعًا كبيرًا وقطعه بمجرد على القطر - تكون الجوانب القصيرة لكل من هذه المثلثات على خط مستقيم من الحبوب. ستقطع مثلثين من كل مربع - بالنسبة للزوايا الأربع لحافك ، ستحتاج إلى قطع مربعين بنفس الحجم وتقطيعهما إلى 4 مثلثات.

لتحديد حجم المربع ، استخدم هذه الصيغة البسيطة:

حجم الكتلة النهائية × 1.41 = القطر النهائي مقسومًا على 2 + 0.875 & quot =
حجم المربع المراد قصه


شاهد الفيديو: مادة الرياضيات للصف الخامس الأساسي. درس زوايا المثلث (شهر اكتوبر 2021).