مقالات

8.6: حلول للفصل السادس - الرياضيات


تمرين 6.3

يترك أ = {أ, ب} ، وانتبه إلى الطلبات المسبقة الموضحة هنا: ( start {array} {l} a bullet end {array} ) ( begin {array} {l} b bullet end {array } ) ، ( start {array} {l} a bullet end {array} ) → ( start {array} {l} b bullet end {array} ) ، ( start {array} {l} a bullet end {array} ) ( leftrightarrows ) ( begin {array} {l} b bullet end {array} ) .

  1. أقصى اليسار (يتم تشغيل الطلب المسبق المنفصل أ) ليس له كائن أولي ، لأن أ (nleq ) ب و ب (nleq ) أ.
  2. الوسط يحتوي على كائن أولي واحد ، وهو أ.
  3. أقصى اليمين (الطلب المسبق المشترك على أ) له كائنين أوليين.

تمرين 6.6

تذكر أن كائنات الفئة الحرة على الرسم البياني هي رؤوس الرسم البياني ، وأن الأشكال التشكلية هي مسارات. وبالتالي فإن الفئة المجانية على الرسم البياني جي له جسم أولي إذا كان هناك رأس الخامس له مسار فريد لكل كائن. في 1. و 2. ، الرأس أ هذه الخاصية ، لذا فإن الفئات المجانية في الرسمين البيانيين 1. و 2. لها كائنات أولية. في الرسم البياني 3. ، لا أ ولا ب لديهم مسار لبعضهم البعض ، وبالتالي لا يوجد كائن أولي. في الرسم البياني 4. ، الرأس أ لديها العديد من المسارات لنفسها ، وبالتالي لا تحتوي فئتها الحرة على كائن أولي أيضًا.

تمرين 6.7

1. الشروط المتبقية هي أن F (1 (_ {R} )) = 1 (_ {S} ) ، وذلك F (ص1 ∗ (_ {R} ) ص2) = F (ص1) ∗ (_ {S} ) F (ص2).

2. الكائن الأولي في الفئة اجهزة هو جهاز الأعداد الطبيعية ( ( mathbb {N} ) ، 0 ، + ، 1 ، ∗).

وتعني حقيقة أن ذلك مبدئيًا ذلك بالنسبة لأي منصة حفر أخرى ص = (ص، 0 (_ {R} ) ، + (_ {R} ) ، 1 (_ {R} ) ، ∗ (_ {R} )) ، هناك تماثل شكلي فريد F : ( mathbb {N} ) → ص.

ما هو هذا التشابه؟ حسنًا ، لكي تكون تشابهًا قويًا ، F يجب إرسال 0 إلى 0 (_ {R} ) ، 1 إلى 1 (_ {R} ). علاوة على ذلك ، يجب أن يكون لدينا أيضًا F (م + ن) = F (م) + (_ {R} ) F (ن)، وبالتالي

لذلك إذا كان هناك تماثل تلاعب F : ( mathbb {N} ) → ص، يجب أن تعطى بالصيغة أعلاه. لكن هل هذه الصيغة تعمل بشكل صحيح في الضرب؟
يبقى التحقق F (م ن) = F (م) ∗ (_ {R} ) F (ن) ، وسيتبع ذلك من التوزيع. مشيرا إلى ذلك F (م ن) يساوي مجموع م نسخ 1 (_ {R} ) ، لدينا

وبالتالي ( ( mathbb {N} ) ، 0 ، + ، 1 ، ∗) هو الكائن الأولي في اجهزة.

تمرين 6.8

في التعريف 6.1 ، يكون الكائن الأولي Ø ( in ) C هو الشيء الشامل. في هذه الحالة ، كل الأشياء ج ( in ) C هي "كائنات قابلة للمقارنة". لذا فإن الخاصية العامة للكائن الأولي هي أن أي شيء الكائن ج ( in ) C ، هناك خريطة فريدة Ø → ج قادمة من الكائن الأولي.

تمرين 6.10

إذا ج (_ {1} ) هي أولية ثم بالخاصية العامة ، لأي ج هناك شكل فريد ج(_{1}) → ج؛ على وجه الخصوص ، هناك شكل فريد من نوعه ج(_{1}) → ج (_ {2} ) ، أطلق عليه F . وبالمثل ، إذا ج (_ {2} ) أولية ثم هناك شكل فريد ج(_{2}) → ج (_ {1} ) ، سمّيه ز. لكن كيف نعرف ذلك F و ز هي عكس بعضها البعض؟ حسنا منذ ذلك الحين ج (_ {1} ) مبدئيًا هناك شكل فريد ج(_{1}) → ج (_ {1} ). لكن يمكننا التفكير في اثنين: معرفج1 و F ; ز. وبالتالي يجب أن يكونوا متساوين. وبالمثل ل ج (_ {2} ) ، فلدينا F ; ز = id (_ {c_ {1}} ) و g ؛ F = id (_ {c_ {2}} ) وهو تعريف F و ز كونها معكوسة بشكل متبادل.

تمرين 6.13

يترك (ص، ≤) يكون طلبًا مسبقًا ، و ص, ف (في) ص. تذكر أن الطلب المسبق هو فئة بها شكل واحد على الأكثر ، يُشار إليه بـ ≤ ، بين أي كائنين. تذكر أيضًا أن جميع المخططات الموجودة في طلب مسبق للتنقل ، لأن هذا يعني أن أي شكلين لهما نفس المجال والمجال المشترك متساويان.
ترجمة التعريف 6.11 إلى هذه الحالة ، منتج مشترك ص + ف هو ص هو عنصر من ص مثل ذلك ص ص + ف و ف ص + ف، وذلك لجميع العناصر x (في) ص مع الخرائط ص x و ف x، نحن لدينا ص + ف x. لكن هذا يقول ذلك بالضبط ص + ف هي صلة: وهي أقل عنصر فوق كليهما ص و ف. وبالتالي ، فإن المنتجات المشتركة في الطلبات المسبقة هي نفسها تمامًا مثل الصلات.

تمرين 6.16

الوظيفة [F , ز] يتم تعريفه بواسطة

[F , ز] : أ ب ( longrightarrow ) تي

تفاحة 1 ( mapsto ) أ

banana1 ( mapsto ) ب

الكمثرى 1 (Mapsto) ص

الكرز1 ( مابستو ) ج

البرتقالي1 ( mapsto ) ا

تفاحة 2 ( مابستو ) ه

الطماطم 2 ( mapsto ) ا

مانجو 2 ( mapsto ) ا.

تمرين 6.17

1. المعادلة ι (_ {A} ) ؛ [F , ز] = F هي تبادلية المثلث الأيسر في الرسم البياني التبادلي (6.12) الذي يحدد [F , ز].

2. المعادلة ι (_ {B} ) ؛ [F , ز] = ز هي تبادلية المثلث الأيمن في الرسم البياني التبادلي (6.12) الذي يحدد [F , ز].

3. المعادلة [F , ز] ; ح = [F ; ح, ز ; ح] يتبع من الملكية العامة للمنتج المشترك. في الواقع ، الرسم التخطيطي

يتنقل ، وتقول الخاصية العالمية أن هناك خريطة فريدة [F ; ح, ز ; ح]: أ + ب د الذي يحدث هذا.

ومن ثم يجب أن يكون لدينا [F , ز] ; ح = [F ; ح, ز ; ح]. 4. بالمثل ، لإظهار [ι (_ {A} ) ، ι (_ {B} )] = id (_ {A + B} ) ، لاحظ أن المخطط

يتنقل بشكل تافه. ومن هنا التفرد في (6.12) ، [ι (_ {A} ) ، ι (_ {B} )] = id (_ {أ + ب} ).

تمرين 6.18

يتعلق هذا التمرين بإظهار أن المنتجات المشتركة والجسم الأولي يعطي فئة أحادية متماثلة. نظرًا لأن كل ما لدينا هو منتجات مشتركة وكائن أولي ، وبما أنه يتم تحديدها من خلال خصائصها العامة ، فإن الحل هو استخدام هذه الخصائص العامة مرارًا وتكرارًا ، لإثبات أنه يمكن إنشاء جميع بيانات التعريف 4.45.

1. لتعريف الممول +: C × C → C ، يجب علينا تحديد تأثيره على الكائنات والتشكيلات. في كلتا الحالتين ، نأخذ فقط المنتج المشترك. إذا (أ, ب) هو كائن من C × C ، صورته أ + ب هو ، كالعادة ، المنتج المشترك لكائني C.

إذا (F, ز): (أ, ب) → (ج, د) هو التشكل ، ثم يمكننا تشكيل مورفيسم F + ز = [F ؛ ι (_ {C} ) ، ز ؛ ι (_ {د} )]: أ + ب ج + دحيث ι (_ {C} ): ج ج + د و ι (_ {د} ): د ج + د هي الأشكال القانونية التي يقدمها تعريف المنتج المشترك أ + ب.

لاحظ أن هذا البناء يرسل أشكال الهوية إلى أشكال الهوية ، منذ التمرين 6.17 4 لدينا

معرف (_ {A} ) + معرف (_ {B} ) = [معرف (_ {A} ) ؛ ι (_ {A} ) ، المعرف (_ {B} ) ؛ ι (_ {B} )] = [ι (_ {A} ) ، ι (_ {B} )] = id (_ {A + B} ).

لإثبات أن + هو عامل تشغيل ، نحتاج أيضًا إلى إظهار أنه يحافظ على التركيب. لنفترض أن لدينا أيضًا حالة غير متبلورة (ح, ك): (ج, د) → (ه, F) في C × C. علينا توضيح أن (F + ز) ; (ح + ك) = (F ; ح) + (ز ; ك). هذه نسخة أكثر تعقيدًا قليلاً من الوسيطة في التمرين 6.17 3. وهي تتبع حقيقة أن الرسم البياني أدناه ينتقل:

في الواقع ، نستخدم مرة أخرى تفرد المشاركة في (6.12) ، هذه المرة لإظهار أن (F ; ح) + (ز ; ك) = [F ; ح ؛ ι (_ {E} ) ، ك ؛ ι (_ {F} )] = (F + ز) ; (ح + ك)، كما هو مطلوب.

2. استدعاء الخاصية العالمية للكائن الأولي يعطي خريطة فريدة! (_ {A} ): Ø → أ. ثم يكون copairing [id (_ {A} )،! (_ {A} )] خريطة أ + Ø → أ. علاوة على ذلك ، فهو تماثل مع معكوس ι (_ {A} ): أ أ + Ø.

في الواقع ، باستخدام الخصائص في التمرين 6.17 والخصائص العامة للكائن الأولي ، لدينا ι (_ {A} )؛ [المعرف (_ {A} ) ،! (_ {A} )] = id (_ {A} ) ، و

[معرف (_ {A} ) ،! (_ {A} )] ؛ ι (_ {A} ) = [معرف (_ {A} ) ؛ ι (_ {A} ) ،! (_ {A} ) ؛ ι (_ {A} )] = [ι (_ {A} ) ،! (_ {A + Ø} )] = [ι (_ {A} ) ، ι (_ {Ø} )] = id (_ {A + Ø} ).

تظهر حجة مماثلة [! (_ {A} ) ، معرف (_ {A} )]: Ø + أ أ هو تماثل.

3. سنقوم فقط بتدوين الخرائط وعكساتها. نترك الأمر لك ، إذا كنت ترغب في ذلك ، للتحقق من أنها بالفعل انعكاسات

أ) الخريطة [id (_ {A + ι_ {B}، ι_ {C}} )] = [[ι (_ {A} ) ، ι (_ {B} ) ؛ ι (_ {B + C} )] ، ι (_ {C} ) ؛ ι (_ {B + C} )]: (أ + ب) + ج أ + (ب + ج) هو تماثل ، مع معكوس [ι (_ {A} ) ، ι (_ {B} ) + id (_ {C} )]: أ + (ب + ج) → (أ + ب) + ج.

ب) الخريطة [ι (_ {A} ) ، ι (_ {B} )]: أ + ب ب + أ هو تماثل.

لاحظ أن تدويننا هنا مربك بعض الشيء: هناك خريطتان باسم ι (_ {A} ) ، (i) ι (_ {A} ): أ أ + بو (2) ι (_ {A} ): أ ب + أ، وبالمثل لـ ι (_ {B} ). في ما سبق نعني الخريطة (2). لها معكوس [ι (_ {A} ) ، ι (_ {B} )]: ب + أ أ + ب، حيث نعني في هذه الحالة الخريطة (i).

تمرين 6.24

1. افترض أنك أعطيت رسمًا تخطيطيًا تعسفيًا للشكل ب أ ج في قرص(_{س})؛ نحن بحاجة إلى إظهار أنه يحتوي على دفع. الأشكال الوحيدة في قرص (_ {S} ) هي هويات ، لذلك على وجه الخصوص أ = ب = ج، والمربع الذي يتألف من كل الهويات هو مطاردته.

2. افترض قرص (_ {S} ) له كائن أولي س. ثم س لايمكن ان يكون فارغا! ولكن لا يمكن أيضًا أن تحتوي على أكثر من كائن واحد ، لأنه إذا س′ هو كائن آخر ثم هناك التشكل س س′ ، ولكن الأشكال الوحيدة في س هي الهويات بذلك س = س′. ومن هنا المجموعة س يجب أن تتكون من عنصر واحد بالضبط.

تمرين 6.26

الضغط هو المجموعة ( التسطير {4} ) ، كما هو موضح في الجزء العلوي الأيمن في الرسم البياني أدناه ، والمجهزة أيضًا بالوظائف المصورة:

نريد أن نرى أن هذا يتحقق مع الوصف من المثال 6.25 ، أي أنه مجموعة فئات التكافؤ في ( underline {5} ) ⊔ 3 التي تم إنشاؤها بواسطة العلاقة {F (أ) ∼ ز(أ) | أ ( in ) ( تسطير {4} )}. إذا أشرنا إلى عناصر 5 كـ {1 ، ... ، 5} وعناصر ( تسطير {3} ) كـ {1 ′، 2 ′، 3 ′} ، فيمكننا إعادة رسم الدوال F, ز:

التي تنص على أننا نأخذ علاقة التكافؤ في ( تسطير {5} ) ⊔ ( تسطير {3} ) تم إنشاؤها بواسطة: 1 1 ′ ، و 3 ∼ 1 ′ ، و 5 ∼ 2 5 ، و 5 3 ′. فئات التكافؤ هي {1 ، 1 ′ ، 3} ، {2} ، {4} و {5 ، 2 ′ ، 3 ′}. هذه الأربعة هي بالضبط العناصر الأربعة في المجموعة المسماة "Pushout" في Eq. (أ 1).

تمرين 6.28

1. الرسم البياني على اليسار يتنقل لأن Ø هو أولي ، وكذلك لديه خريطة فريدة Ø → X + ص. هذا يعني أنه يجب أن يكون لدينا F ؛ ι (_ {X} ) = ز ؛ ι (_ {ص} ).

2. هناك خريطة فريدة من نوعها X + ص تي جعل الرسم البياني في (6.21) تنقلات يعني ضمناً الخاصية العامة للمنتج المشترك (6.12) المطبقة على الخرائط x : X تي و ذ : ص تي.

3. افترض X + (_ {Ø} )ص موجود. من خلال الخاصية العامة لـ Ø ، مع إعطاء أي زوج من الأسهم x : X تي و ذ : ص تي، الرسم البياني

يتنقل. هذا يعني ، من خلال الملكية العامة للدفعة X + (_ {Ø} )ص، توجد خريطة فريدة ر : X + (_ {Ø} )ص تي بحيث ι (_ {X} ) ؛ ر = x و ι (_ {Y} ) ؛ ر = ذ.

هكذا X + (_ {Ø} )ص هو منتج مشترك X + ص.

تمرين 6.35

علينا أن نتحقق من أن كولميت الرسم البياني الموضح على اليسار يتم إعطاؤه حقًا عن طريق أخذ ثلاث دفعات كما هو موضح على اليمين:

هذا هو ، نحن بحاجة لإظهار ذلك س، جنبًا إلى جنب مع خرائط من أ, ب, X, ص، و ض، لديه الخاصية العالمية المطلوبة. لذا افترض أن هناك شيئًا معينًا تي مع رسمين تخطيطيين للتنقل كما هو موضح:

نحن بحاجة لإظهار أن هناك خريطة فريدة من نوعها س تي جعل كل شيء يتنقل. حيث س هو مطرود من X أ ص، هناك خريطة فريدة من نوعها س تي صنع مثلث تبادلي مع صو منذ ذلك الحين ص هو مطرود من ص ب ض، هناك خريطة فريدة ص تي صنع مثلث تبادلي مع ص. هذا يعني أن هناك تنقل (ص, س, ص, تي) مربع ، وبالتالي خريطة فريدة س تي من الضغط مما يجعل كل شيء يتنقل. هذا ما أردنا إظهاره.

تمرين 6.41

الصيغة في نظرية 6.37 تقول أن الدفع X + (_ {N} ) ص من خلال مجموعة من فئات التكافؤ X ن ص تحت علاقة التكافؤ الناتجة عن x ن إذا x = F (ن)، و ذ ن إذا ذ(ن)، أين x (في) X, ذ (في) ص, ن (في) ن. منذ كل ن (في) ن يوجد x (في) X مثل ذلك س = F (ن) ، هذه المجموعة تساوي مجموعة فئات التكافؤ X ص تحت علاقة التكافؤ الناتجة عن x ذ إذا كان هناك ن مثل ذلك x = F (ن) و ذ = ز(ن). هذا هو بالضبط وصف المثال 6.25.

تمرين 6.48

المنتج أحادي الصيغة

تمرين 6.49

يترك x و ذ أن تكون قابلة للتركيب في cospans كوسبان (_ {FinSet} ). من حيث الأسلاك والمكونات المتصلة ، يحكم التكوين في كوسبان (_ {FinSet} ) يقول أن (i) cospan المركب له عنصر فريد في القمة لكل مكون متصل من تسلسل مخططات الأسلاك x و ذو (2) في مخطط الأسلاك لـ x ; ذ، كل عنصر من عناصر القدمين متصل بسلك بالعنصر الذي يمثل المكون المتصل الذي ينتمي إليه.

تمرين 6.57

الأشكال 1 و 4 و 6 متساوية ، والأشكال 3 و 5 متساوية. Morphism 3 لا يساوي أي شكل آخر مصور. هذه نتيجة مباشرة للنظرية 6.55.

تمرين 6.59

1. المدخلات ل ح يجب أن يكون المسمى ب.

2. إخراج ز يجب أن يكون المسمى د، نظرًا لأننا نعلم ذلك من الملصقات الموجودة في الجزء العلوي الأيمن ح هو التشكل ب د د.

3. يجب وضع علامة على سلك الإخراج الرابع للمركب د جدا!

تمرين 6.62

نرسم وصفات الوظائف أعلاه ، وتصورات الأسلاك أدناه. لاحظ أننا نصور المجموعة الفارغة بمساحة فارغة.

تمرين 6.63

يقول القانون الخاص أن مركب cospans

هي الهوية. هذا يعود للتحقق من أن المربع

هي ساحة دفع. من التافه أن نرى أن المربع يتنقل. افترض الآن أن لدينا خرائط F : X ص و ز : X ص مثل ذلك

اكتب ι (_ {1} ): X X + X للخريطة في النسخة الأولى من X في X + X، من خلال تعريف المنتج المشترك. ثم باستخدام حقيقة أن ι (_ {1} )؛ [معرف ، معرف] = معرف من التمرين 6.17 1 ، وتبديل المربع أعلاه ، لدينا F = ι (_ {1} ) ؛ [فعلت] ؛ F = ι (_ {1} ) ؛ [فعلت] ؛ ز = ز. هذا يعني ذاك F : X تي هي الخريطة الفريدة من نوعها

، وهكذا (A.2) عبارة عن ساحة دفع.

تمرين 6.67

المخطط المفقود هو

تمرين 6.70

يترك أ ( مجموعة فرعية ) س و ب ( مجموعة فرعية ) تي. ثم

( تبدأ {محاذاة}
varphi_ {S ^ { prime}، T ^ { prime}} left ( left ( mathrm {im} _ {f} times mathrm {im} _ {g} right) (A times B) right) & = varphi_ {S ^ { prime}، T ^ { prime}} ( {f (a) mid a in A } times {g (b) mid b في ب })
& = {(f (a)، g (b)) ​​mid a in A، b in B }
& = operatorname {im} _ {f times g} (A times B)
& = operatorname {im} _ {f times g} left ( varphi_ {S، T} (A، B) right)
نهاية {محاذاة} )

وهكذا يسافر المربع المطلوب.

تمرين 6.78

يقصدون أن كل فئة كوسبان (_ {C} ) يساوي فئة كوسبان (_ {F} ) لبعض حسن الاختيار F. يقولون لك أيضًا كيفية اختيار هذا F: خذ المرح F : C → جلس التي ترسل كل كائن من C إلى المجموعة {∗} ، وكل شكل من أشكال C إلى وظيفة الهوية على {∗}. بالطبع ، سيتعين عليك التحقق من أن هذا الممر هو ممتلئ أحادي التساهل ، ولكن في الواقع ليس من الصعب القيام بذلك.
للتحقق من ذلك كوسبان (_ {C} ) يساوي كوسبان (_ {F} ) ، لاحظ أولاً أن لديهم نفس الكائنات: كائنات C. بعد ذلك ، لاحظ أن التشكل في كوسبان (_ {F} ) هو cospan X ن ص في C مع عنصر FN = {∗}. لكن FN يحتوي أيضًا على عنصر فريد ، ∗! لذلك لا يوجد خيار هنا ، ويمكننا التفكير في أشكال كوسبان (_ {F} ) فقط لأكون cospans في C.

علاوة على ذلك ، فإن تكوين التشكل في كوسبان (_ {F} ) هو ببساطة التكوين المعتاد للكوسبان عبر الدفع ، لذا كوسبان (_ {F} ) = كوسبان (_ {C} ).
(من الناحية الفنية ، يمكننا قول ذلك كوسبان (_ {C} ) و كوسبان (_ {F} ) متماثل الشكل ، حيث يكون التماثل هو عامل الهوية على الكائنات كوسبان (_ {C} ) → كوسبان (_ {F} ) الذي يزين كل كوبان بـ ∗ ، وعكسه هو الذي ينسى هذا ∗. لكن هذا قريب بما يكفي لمعادلة أن العديد من منظري الفئات ، بما في ذلك ، لا يمانعون في قول المساواة في هذه الحالة).

تمرين 6.79

يمكننا تمثيل الدائرة في المعادلة. (6.71) من خلال المجموعة (الخامس, أ, س, ر، ل) أين الخامس = {ul ، ur ، dl ، dr} ، أ = {r1 و r2 و r3 و c1 و i1} و س, ر، و l بالجدول

تمرين 6.80

الدائرة Circ (F )(ج) هو

تمرين 6.82

الدائرة ψ (_ { تسطير {2، 2}} ) (ب, س) هو الاتحاد المنفصل بين الرسمين البيانيين المسمىين ب و س :

تمرين 6.83

cospan هو cospan ( underline {1} stackrel {f} { rightarrow} underline {2} stackrel {g} { leftarrow} underline {1} ) ، حيث f (1) و ز(1) = 2. الزخرفة هي الدائرة C ( ( underline {2} ) ، {أ}, س, ر، ل) ، أين س(أ) = 1, ر(أ) = 2 و ل (أ) = البطارية.

تمرين 6.86

أذكر الدائرة ج = (الخامس, أ, س, ر، l) من الحل إلى التمرين 6.79. ثم يتم إعطاء أول cospan مزخرف بواسطة cospan ( underline {1} stackrel {f} { rightarrow} V stackrel {g} { leftarrow} underline {2} ) ، F (1) = ul ، (1) = ur ، و ز(2) = ur مزينة بدائرة ج. تم إعطاء الكوسبان المزخرف الثاني بواسطة cospan ( underline {1} stackrel {f '} { rightarrow} V' stackrel {g '} { leftarrow} underline {2} ) والدائرة ج′:= (الخامس′, أ′, س′, ر′ ، ل ′) ، أين الخامس′ = {ل, ص, د}, أ′ = {r1 ′ ، r2 ′} ، والوظائف معطاة بالجداول

لتكوينها ، نأخذ أولاً الضغط على (V stackrel {g} { leftarrow} underline {2} stackrel {f '} { leftarrow} V' ).

هذا يعطي قمة جديدة الخامس ′ ′ = {ul، dl، dr، m، r} بخمسة عناصر ، وكوسبان مركب ( تسطير {1} مكدس {h} { rightarrow} V '' stackrel {k} { leftarrow} تسطير {2} ) مقدم بواسطة ح(1) = ul ، ك(1) = ص و ك(2) = م. الدائرة الجديدة تعطى بواسطة (الخامس,′′ أ + أ′, س,′′ ر، ′ ′ l ′ ′) حيث يتم إعطاء الوظائف بواسطة

هذا هو بالضبط ما تم تصويره في المعادلة. (6.74).

تمرين 6.88

يؤلف η و x نحن لدينا

وتأليف نتيجة ( mathcal {E} ) يعطي

تمرين 6.96

1. يتوافق cospan الموضح على اليسار مع مخطط الأسلاك الموضح على اليمين:

لها دائرتان داخليتان ، لكل منهما منفذين. يتم توصيل منفذ واحد من الأول بمنفذ الثاني. يتم توصيل منفذ واحد من الأول بالدائرة الخارجية ، ويتم توصيل منفذ واحد من الثاني بالدائرة الخارجية. هذا هو بالضبط ما يقول الكوسبان القيام به.

2. يتوافق cospan الموضح على اليسار مع مخطط الأسلاك الموضح على اليمين:

3. المركب ز ◦(_{1}) F له علاقة (2 ، 2 ، 2 ، 2 ؛ 0) ؛ يوجد رسم على اليسار:

4. يظهر مخطط الأسلاك المرتبط على اليمين أعلاه. يمكن للمرء أن يرى أن أحد المخططات قد تم استبداله بدائرة أخرى.


حلول الرياضيات للصف 8 الرياضيات الفصل 6 - تحليل التعابير الجبرية

حلول الرياضيات للصف 8 رياضيات الفصل 6 تحليل عوامل التعابير الجبرية مع شرح بسيط خطوة بخطوة. تحظى هذه الحلول الخاصة بعوامل التعابير الجبرية بشعبية كبيرة بين طلاب الصف الثامن لأن حلول التحليل الرياضي للتعبيرات الجبرية مفيدة لإكمال واجباتك المدرسية بسرعة والتحضير للامتحانات. جميع الأسئلة والأجوبة من كتاب حلول الرياضيات للصف 8 الرياضيات الفصل 6 متوفرة مجانًا هنا. ستحب أيضًا التجربة الخالية من الإعلانات على Meritnation's Mathematics Solutions Solutions. تم إعداد جميع حلول الرياضيات للصف 8 من قبل خبراء وهي دقيقة بنسبة 100٪.

الصفحة رقم 30:

السؤال رقم 1:

إجابه:


1 & # 160 x 2 + 9 x + 18 = x 2 + 6 x + 3 x + 18 = x x + 6 + 3 x + 6 = x + 3 x + 6
2 & # 160 x 2-10 x + 9 = x 2-9 x - x + 9 = x x - 9-1 x - 9 = x - 1 x - 9
3 & # 160 y 2 + 24 y + 144 = & # 160 y 2 + 12 y + 12 y + 144 = & # 160 y y + 12 + 12 y + 12 = & # 160 y + 12 y + 12
4 & # 160 5 y 2 + 5 y - 10 = & # 160 5 y 2 + 10 y - 5 y - 10 = & # 160 5 yy + 2-5 & # 160 y + 2 = 5 y - 5 y + 2 = 5 ص - 1 ص + 2
5 & ​​# 160 ص 2 - 2 ص - 35 = ص 2-7 ص + 5 ص - 35 = ف ص - 7 + 5 ص - 7 = ف + 5 ص - 7
6 & # 160 ص 2-7 ص - 44 = & # 160 ف 2-11 ف + 4 ص - 44 = ف ص - 11 + 4 ص - 11 = ف + 4 & # 160 ف - 11
7 & # 160 م 2 - 23 م + 120 = م 2-15 م - 8 م + 120 = م - 15-8 م - 15 = م - 8 م - 15
8 & # 160 م 2-25 م + 100 = م 2 & # 160-20 م - 5 م + 100 = م م - 20-5 م - 20 = م - 5 م - 20
9 & # 160 3 x 2 + 14 x + 15 = 3 x 2 + 9 x + 5 x + 15 = 3 x x + 3 + 5 x + 3 = 3 x + 5 x + 3
10 & # 160 2 x 2 + x - 45 = & # 160 2 x 2 + 10 x - 9 x - 45 = & # 160 2 x x + 5-9 x + 5 = 2 x - 9 x + 5
11 & # 160 20 × 2-26 × + 8 = 20 × 2-16 × - 10 × + 8 = 4 × 5 × - 4-2 5 × - 4 = 4 × - 2 5 × - 4 = 2 2 × - 1 5 × - 4
12 & # 160 44 x 2 - x - 3 = & # 160 44 x 2 + 11 x - 12 x - 3 = 11 x 4 x + 1 - 3 4 x + 1 = 11 x - 3 4 x + 1

الصفحة رقم 31:

السؤال رقم 1:

إجابه:

من المعروف أن ،
أ 3 + ب 3 = أ + ب أ 2 + ب 2 - أ ب
1 & # 160 x 3 + 64 y 3 = x 3 + 4 y 3 = x + 4 y x 2 + 4 y 2 - x & # 215 4 y = x + 4 y x 2 + 16 y 2-4 x y
2 & # 160125 ف 3 + ف 3 = 5 ف 3 + ف 3 = 5 ف + ف 5 ف 2 + ف 2-5 ف & # 215 س = 5 ف + ف 25 ف 2 + س 2-5 ف س
3 & # 160125 ل 3 + 27 م 3 = 5 ك 3 + 3 م 3 = 5 ك + 3 م 5 ك 2 + 3 م 2-5 ك & # 215 3 م = 5 ك + 3 م 25 ك 2 + 9 م 2 - 15 كم
4 & # 160 2 لتر 3 + 432 م 3 = 2 لتر 3 + 216 م 3 = 2 لتر 3 + 6 م 3 = 2 ل + 6 مل 2 + 6 م 2 - ل & # 215 6 م = 2 ل + 6 م & # 160 لتر 2 + 36 م 2-6 ل
5 & ​​# 160 24 أ 3 + 81 ب 3 = 3 8 أ 3 + 27 ب 3 = 3 2 أ 3 + 3 ب 3 = 3 2 أ + 3 ب 2 أ 2 + 3 ب 2 - 2 أ & # 215 3 ب = 3 2 أ + 3 ب 4 أ 2 + 9 ب 2-6 أب
6 & # 160 y 3 + 1 8 y 3 = y 3 + 1 2 y 3 = y + 1 2 yy 2 + & # 160 1 2 y 2 - y & # 215 1 2 y = y + 1 2 yy 2 + ١ ٤ ذ ٢ - ١ ٢
7 & # 160 أ 3 + 8 أ 3 = أ 3 + 2 أ 3 = أ + 2 أ أ 2 + 2 أ 2 - أ & # 215 2 أ = أ + 2 أ & # 160 أ 2 + 4 أ 2 - 2
8 & # 160 1 + ف 3 125 = 1 3 + ف 5 3 = 1 + ف 5 1 2 + ف 5 2 - 1 & # 215 ف 5 = 1 + ف 5 1 + ف 2 25 - ف 5

الصفحة رقم 32:

السؤال رقم 1:

إجابه:

من المعروف أن ،
أ 3 - ب 3 & # 160 = & # 160 أ - ب أ 2 + ب 2 + أ ب
1 & # 160 y 3 - 27 = & # 160 y 3 - 3 3 = y - 3 y 2 + 3 2 + y & # 215 3 = y - 3 & # 160 y 2 + 9 + 3 y
2 & # 160 x 3 - 64 y 3 = x 3-4 y 3 = x - 4 y x 2 + 4 y 2 + x & # 215 4 y = x - 4 y x 2 + 16 y 2 + 4 x y
3 & # 160 27 م 3-216 ن 3 = 27 م 3-8 ن 3 = 27 م 3-2 ن 3 = 27 م - 2 ن.م 2 + 2 ن 2 + م & # 215 2 ن = 27 م - 2 نانومتر 2 + 4 ن 2 + 2 مليون
4 & # 160125 y 3 - 1 = 5 y 3 - 1 3 = 5 y - 1 5 y 2 + 1 2 + 5 y & # 215 1 = 5 y - 1 25 y 2 + 1 + 5 y
5 & ​​# 160 8 ص 3 - 27 ف 3 = 2 ص 3 - 3 ف 3 = 2 ص - 3 ص 2 ص 2 + 3 ص 2 + 2 ص & # 215 3 ص = 2 ص - 3 ص 4 ص 2 + 9 ص 2 + 6
6 & # 160343 أ 3 - 512 ب 3 = 7 أ 3-8 ب 3 = 7 أ - 8 ب 7 أ 2 + 8 ب 2 + 7 أ & # 215 8 ب = 7 أ - 8 ب 49 أ 2 + 64 ب 2 + 56 أب
7 & # 160 64 x 3-729 y 3 = 4 x 3-9 y 3 = 4 x - 9 y 4 x 2 + 9 y 2 + 4 x & # 215 9 y = 4 x - 9 y 16 x 2 + 81 ص 2 + 36 س ص
8 & # 160 16 أ 3 - 128 ب 3 = 16 أ 3 - 8 ب 3 = 16 أ 3 - 2 ب 3 = 16 أ - 2 با 2 + 2 ب 2 + أ & # 215 2 ب = 16 أ - 2 با 2 + 4 ب 2 + 2 أب

الصفحة رقم 32:

السؤال 2:

إجابه:

من المعروف أن ،
أ 3 - ب 3 = أ - ب أ 2 + ب 2 + أ ب
1 & # 160 x + y 3 - x - y 3 = x + y - x - yx + y 2 + x - y 2 + x + yx - y = 2 yx 2 + y 2 + 2 xy + x 2 + y 2 - 2 س ص + س 2 - ص 2 = 2 ص 3 س 2 + ص 2
2 & # 160 3 أ + 5 ب 3 - 3 أ - 5 ب 3 = 3 أ + 5 ب - 3 أ - 5 ب 3 أ + 5 ب 2 + 3 أ - 5 ب 2 + 3 أ + 5 ب 3 أ - 5 ب = 10 ب 9 أ 2 + 25 ب 2 + 30 أب + 9 أ 2 + 25 ب 2 - 30 أب + 9 أ 2 - 25 ب 2 = 10 ب 27 أ 2 + 25 ب 2
3 & # 160 أ + ب 3 - أ 3 - ب 3 = أ + ب 3 - أ 3 + ب 3 = أ + ب 3 - أ + ب 2 + ب 2 - أب = أ + ب + ب 2 - أ 2 + ب 2 - أب = أ + ب 2 + ب 2 + 2 أب - أ 2 - ب 2 + أب = أ + ب 3 أب = 3 أ 2 ب + 3 أب 2
4 & # 160 ف 3 - ف + 1 3 = ف - ف + 1 ص 2 + ف + 1 2 + ف & # 215 ف + 1 = - 1 ص 2 + ص 2 + 1 + 2 ف + ص 2 + ص = - 1 3 ص 2 + 3 ص + 1 = - 3 ص 2-3 ص - 1
5 & ​​# 160 3 xy - 2 ab 3 - 3 xy + 2 ab 3 = 3 xy - 2 ab - 3 xy + 2 ab 3 xy - 2 ab 2 + 3 xy + 2 ab 2 + 3 xy - 2 ab 3 xy + 2 ab = - 4 ab 9 x 2 y 2 + 4 a 2 b 2-12 abxy + 9 x 2 y 2 + 4 a 2 b 2 + 12 abxy + 9 x 2 y 2-4 a 2 b 2 = - 4 أب 27 × 2 ص 2 + 4 أ 2 ب 2 = - 108 × 2 ص 2 أب - 16 أ 3 ب 3

الصفحة رقم 33:

السؤال رقم 1:

تبسيط:
(1) م 2 - ن 2 م + ن 2 & # 215 م 2 + م ن + ن 2 م 3 - ن 3

(2) أ 2 + 10 أ + 21 أ 2 + 6 أ - 7 & # 215 أ 2 - 1 أ + 3

(3) 8 × 3-27 ص 3 4 × 2-9 ص 2

(4) × 2-5 × - 24 × + 3 × + 8 & # 215 × 2 - 64 × - 8 2

(5) 3 × 2 - × - 2 × 2 - 7 × + 12 & # 247 3 × 2 - 7 × - 6 × 2-4

(6) 4 × 2-11 × + 6 16 × 2 - 9

(7) أ 3 - 27 5 أ 2 - 16 أ + 3 & # 247 أ 2 + 3 أ + 9 25 أ 2 - 1

(8) 1 - 2 x + x 2 1 - x 3 & # 215 1 + x + x 2 1 + x

إجابه:

من المعروف أن ،
أ 2 - ب 2 = أ + ب أ - ب & # 160 & # 160 أ 3 - ب 3 = أ - ب أ 2 + أ ب + ب 2
1 & # 160 m 2 - n 2 m + n 2 & # 215 m 2 + mn + n 2 m 3 - n 3 = & # 160 m + nm - nm + nm + n & # 215 m 2 + mn + n 2 م - نانومتر 2 + مليون + ن 2 = & # 160 1 م + ن
2 & # 160 أ 2 + 10 أ + 21 أ 2 + 6 أ - 7 & # 215 أ 2 - 1 أ + 3 = أ 2 + 7 أ + 3 أ + 21 أ 2 + 7 أ - أ - 7 & # 160 & # 215 & # 160 a + 1 a - 1 a + 3 = & # 160 aa + 7 + 3 a + 7 a & # 160 a + 7 - 1 a & # 160 + & # 160 7 & # 215 a + 1 أ - 1 أ + 3 = & # 160 أ + 7 أ + 3 أ - 1 أ + 7 & # 215 أ + 1 أ - 1 أ + 3 = & # 160 أ + 1
3 & # 160 8 x 3 - 27 y 3 4 x 2-9 y 2 = 2 x 3-3 y 3 2 x 2-3 y 2 = & # 160 2 x - 3 y 2 x 2 + & # 160 2 x & # 215 3 y + 3 y 2 2 x + 3 y 2 x - 3 y = & # 160 2 x - 3 y 4 x 2 + 6 xy + 9 y 2 2 x + 3 y 2 x - 3 y = 4 × 2 + & # 160 6 س ص + 9 ص 2 2 س + 3 ص
4 & # 160 x 2-5 x - 24 x + 3 x + 8 & # 215 x 2-64 x - 8 2 = x 2-8 x + 3 x - 24 x + 3 x + 8 & # 215 x 2 - 8 2 x - 8 2 = xx - 8 + 3 x - 8 & # 160 x + 3 x + 8 & # 215 x + 8 x - 8 x - 8 x - 8 = x + 3 x - 8 x + 3 x + 8 & # 215 x + 8 x - 8 x - 8 x - 8 = 1
5 & ​​# 160 3 x 2 - x - 2 x 2 - 7 x + 12 & # 247 3 x 2-7 x - 6 x 2-4 = 3 x 2-3 x + 2 x - 2 x 2-4 x - 3 x + 12 & # 160 & # 247 & # 160 3 x 2-9 x + 2 x - 6 x 2-2 2 = 3 xx - 1 + 2 x - 1 xx - 4 - 3 x - 4 & # 247 3 xx - 3 + 2 x - 3 x + 2 x - 2 = 3 x + 2 x - 1 x - 3 x - 4 & # 247 3 x + 2 x - 3 x + 2 x - 2 = 3 x + 2 x - 1 x - 3 x - 4 & # 215 x + 2 x - 2 3 x + 2 x - 3 = x - 1 x + 2 x - 2 x - 4 x - 3 x - 3
6 & # 160 4 × 2-11 × + 6 16 × 2-9 = 4 × 2-8 × - 3 × + 6 4 × 2 - 3 2 = 4 × × - 2 - 3 × - 2 4 × + 3 4 س - 3 = 4 س - 3 س - 2 4 س + 3 4 س - 3 = س - 2 4 س + 3
7 & # 160 أ 3 - 27 5 أ 2 - 16 أ + 3 & # 247 أ 2 + 3 أ + 9 25 أ 2-1 = أ 3 - 3 3 5 أ 2 - 15 أ - أ + 3 & # 160 & # 247 & # 160 a 2 + 3 a + 9 5 a 2-1 2 = a - 3 a 2 + a & # 215 3 + 3 2 5 aa - 3 - 1 a - 3 & # 247 a 2 + 3 أ + 9 5 أ + 1 5 أ - 1 = أ - 3 أ 2 + 3 أ + 9 5 أ - 1 أ - 3 & # 247 أ 2 + 3 أ + 9 5 أ + 1 5 أ - 1 = أ - 3 أ 2 + 3 أ + 9 5 أ - 1 أ - 3 & # 215 5 أ + 1 5 أ - 1 أ 2 + 3 أ + 9 = 5 أ + 1
8 & # 160 1 - 2 x + x 2 1 - x 3 & # 215 1 + x + x 2 1 + x = 1 - x - x + x 2 1 3 - x 3 & # 215 1 + x + x 2 1 + x = 1 1 - x - x 1 - x 1 - x 1 2 + 1 & # 215 x + x 2 & # 160 & # 215 & # 160 1 + x + x 2 1 + x = 1 - x 1 - x 1 - x 1 + x + x 2 & # 215 1 + x + x 2 1 + x = 1 - x 1 + x


سيتعلم طلاب الصف الثامن صيغ مختلفة للجبر تتعامل مع المتغيرات. عليهم أن يتعلموا كيفية إجراء العمليات الحسابية بمصطلحات جبرية. ستعمل هذه المصطلحات وفقًا لتنسيق معين عند إجراء عملية جبرية. سيركز RS Aggarwal Class 8 Maths Chapter 6 على تعليم الطلاب فيما يتعلق بهذه العمليات على أنواع مختلفة من التعبيرات الجبرية.

هنا ، سوف تحتاج إلى مساعدة من RS Aggarwal Solutions Class 8 Maths Chapter 6 التي أنشأها مرشدو Vedantu. تم حل مشاكل التمرين باستخدام أبسط الطرق لمتابعة وتطوير مؤسستك. قم بتنزيل هذا الحل واستخدمه كمرجع في الوقت الذي يناسبك لتحضير هذا الفصل.

Vedantu عبارة عن منصة توفر حل NCERT مجاني ومواد دراسية أخرى للطلاب. يمكنك أيضًا تنزيل NCERT Solutions for Class 8 Maths و Class 8 Science لمساعدتك على مراجعة المنهج الدراسي الكامل وتسجيل المزيد من الدرجات في امتحاناتك.


حلول CBSE NCERT للرياضيات للفصل 8 الفصل 6

حلول للأسئلة الواردة في NCERT Class 8 Maths Textbook سيساعدك على فهم الموضوعات بشكل أفضل. ستكون هذه الحلول مفيدة للغاية أثناء التحضير للاختبار النهائي. قبل التحقق من الحلول ، دع & # 8217s يكون لديك نظرة عامة على الموضوعات والمواضيع الفرعية في هذا الفصل. انقر فوق أي موضوع لتنزيل حلوله كملف PDF.

6.1مقدمة6.5.1 إيجاد الجذور التربيعية
6.2خصائص الأعداد المربعة6.5.2 إيجاد الجذور التربيعية بالطرح المتكرر
6.3بعض الأنماط الأكثر إثارة للاهتمام6.5.3إيجاد الجذور التربيعية من خلال التحليل الأولي
6.4إيجاد مربع العدد6.5.4 إيجاد الجذور التربيعية بطريقة القسمة
6.4.1أنماط أخرى في المربعات6.6الجذور التربيعية للأعداد العشرية
6.4.2ثلاثة توائم فيثاغورس6.7تقدير الجذر التربيعي
6.5الجذور التربيعية

منهج CBSE للصف الثامن للغة الإنجليزيةNCERT Class 8 English Book
منهج الرياضيات للصف الثامن من CBSENCERT Class 8 كتاب الرياضيات
منهج العلوم CBSE Class 8NCERT Class 8 Science Book
منهج العلوم الاجتماعية CBSE Class 8NCERT Class 8 كتاب العلوم الاجتماعية
منهج CBSE الفئة 8 الهنديةNCERT Class 8 Indian Book

حلول CBSE NCERT للرياضيات للصف 8 الفصل 6: تمارين محلولة وأسئلة داخل النص

فيما يلي حلول للأسئلة الموجودة في النص والأسئلة الموجودة في التمارين. قم بتنزيل حلول NCERT للصف الثامن رياضيات الفصل السادس بتنسيق PDF. يمكنك أن ترى أن جميع الحلول قد تم شرحها خطوة بخطوة وتم تأطيرها وفقًا لنظام وضع العلامات CBSE.

قم بتنزيل حلول CBSE Class 8 للرياضيات لفصول أخرى من الجدول أدناه:


لوحة غرب البنغال ، الفصل 6 ، الرياضيات ، الفصل 6 ، Vognangsoke Purnosonkha O Vognangso Diye Gun O Vag Kose Dekhi 6 Solution

مجلس ولاية البنغال الغربية للصف 6 حل الرياضيات التمرين الكامل 6 بواسطة الخبراء. هنا في هذه الصفحة WB Board Class 6 يمكن للطالب العثور على Ganit Prabha Class 6 Math الفصل 6 Vognangsoke Purnosonkha O Vognangso Diye Gun O Vag (ভগ্নাংশকে পূর্ণ সংখ্যা ও ভগ্নাংশ দিয়ে গুণ ও ভাগ) كوس دخي 6 حل.

(ج) 12 টাকার 1/3 অংশ 4

(د) 36 মিনিটের 1/6 অংশ 6

(هـ) ধরি ، মালার ঝুড়িতে 1 অংশ আম ছিল

মা রান্না করেছেন = (10 × 1/5) লি. = 2 লি.

সুতরাং ، খাওয়া হয়েছে = (8 × 1/4) লি. = 2 লি.

খাওয়ার পর তখনও জল = (8 & # 8211 2) লি. = 6.

(3) একটি বালতিতে 1/2 লিটার জল ধরে। এইরকম 7 টি বালতিতে কত লিটার জল ধরে হিসাব করি।

الإجابة: & # 8211 7 টি বালতি তে মোট জল ধরে = (7 × ½) লি.

(4) অখিলবাবু অবসর গ্রহণের পর তার সম্পত্তির ¼ অংশ পাড়ার লাইব্রেরিতে দান করেন। বাকি সম্পত্তির 1/6 অংশ স্ত্রীকে দেন। বাকি অংশ দুই ছেলেরে মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দেন। হিসাব করে দেখি অখিলবাবু স্ত্রীকে ও দুই ছেলের প্রত্যেককে কত অংশ সম্পত্তি দিলেন।

الإجابة: - ধরি ، অখিলবাবুর মোট সম্পত্তির পরিমান = 1 অংশ

= 5/8 অংশ দুই ছেলেকে সমান ভাগে ভাগ করে দিল।

(5) 150 টাকার ½ অংশ থেকে কত টাকা নিলে 30 পড়ে থাকবে।

সুতরাং، 45 টাকা দিলে 30 টাকা পড়ে থাকবে।

(7) শহরের একটা অনুষ্ঠানে প্রথম বছর 1400 দর্শক এসেছিলেন। পরের বছর দর্শক সংখ্যা প্রথম বছরের চেয়ে 7/10 অংশ বেড়ে গেল। পরের বছর মোট কতজন দর্শক এসেছিলেন হিসাব করি।

الإجابة: - পরের বছর দর্শক সংখ্যা হয়েছিল

সুতরাং، মোট দর্শক এসেছিলো = (1400+ 980) জন

(9) 1 এর অনোন্যক 1 এর সমান

(10) রমার কাছে যতগুলি স্ট্যাম্প আছে তার 2/3 অংশ আমাকে দিল। রমা যদি 18 টি স্ট্যাম্প আমাকে দেয় তবে রমার কাছে কতগুলি স্ট্যাম্প ছিল হিসাব করি।

حل: 2/3 অংশ = 18

(11) রাজিয়া তার টাকার 2/5 অংশ দেবনাথকে ও 3/10 সুনিতাকে সুনিতাকে দেয়ার পরে তার কাছে 180 টাকা রইল। প্রথমে রাজিয়ার কাছে কত টাকা ছিল হিসাব করি।

(ط) ¾ এর মধ্যে 1/16 আছে = (ب) 12 বার

(2) একটি ফিতের 7/8 অংশের দৈর্ঘ্য 56 মিটার ، ফিতের মোট দৈর্ঘ্য = (ب) 64 মিটার

সুতরাং، 5 ভাগে কাটার পর একটি টুকরোর দৈর্ঘ্য হবে

(16) আমার ঠাকুরমা অনেকটা কুলের আচার তৈরি করলেন। তিনি সেই আচারের 4/6 অংশ কাঁচের শিশিতে ভরতি করে তুলে রাখলেন এবং বাকিটা আমাদের 6 জনের মধ্যে সমান ভাগে ভাগ করে দিলেন। করে দেখি আমরা প্রত্যেকে মোট আচারের কত অংশ পেলাম


سيلينا موجزة الرياضيات الفئة 6 حلول ICSE الفصل 6 الأعداد السالبة والأعداد الصحيحة

دار سيلينا للنشر موجزة الرياضيات للصف السادس حلول ICSE الفصل السادس الأعداد السلبية والأعداد الصحيحة

يوفر موقع APlusTopper.com حلولًا خطوة بخطوة لـ Selina Concise ICSE Solutions للصف السادس من الرياضيات. يمكنك تنزيل Selina Concise Mathematics ICSE Solutions للفئة 6 بخيار تنزيل PDF مجانًا. دار سيلينا للنشر الرياضيات الموجزة لحلول ICSE للصف السادس يتم حل جميع الأسئلة وشرحها من قبل مدرسين رياضيين خبراء وفقًا لإرشادات مجلس ICSE.

الأرقام السالبة والأعداد الصحيحة التمرين 6 & # 8211 سيلينا موجزة الرياضيات الفئة 6 حلول ICSE

السؤال رقم 1.
إملأ الفراغات :
(ط) سالب -20 هو & # 8230 & # 8230 & # 8230.
(2) سالب 0 هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(iii) سالب 8 هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(4) إذا كان الرقم 10 يمثل ربحًا بقيمة 10 دولارات ، فإن -10 يمثل & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 ..
(v) إذا كان الاتجاه إلى الجنوب سالبًا ، فسيكون الاتجاه شمالًا هو & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230
(vi) لأن 5 & lt 7 ، وبالتالي -5 & # 8230 & # 8230 & # 8230 .. -7. (vii) إذا كانت 3 & gt -2 ، فسيكون الرقم 3 على & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230 .. من -2.
(viii) If -8 < -6, then -8 is on the …………. of-6.
حل:
(i) 20
(ii) 0
(iii) -8
(iv) loss of ₹ 10
(v) positive
(vi) less than
(vii) right side
(viii) left side

السؤال 2.
Use a number line to write the following integers in ascending (increasing) order :
(i) -5, 8, 0, -9, 4, -14 and 12
(ii) -6, 7, 0, -9, 5 and 9
حل:
(i) -5, 8, 0, -9, 4, -14 and 12
Draw a number line for integers,, as shown below, and mark on it all the given integers.

Clearly, the given integers in the ascending order are :
-14 < -9 < -5 < 0 < 4 < 8 < 12
(ii) -6, 7, 0, -9, 5 and 9
Draw a number line for integers, as shown below, and mark on it all the given integers.

Clearly, the given integers in the ascending order are :
-9 < -6 < 0 < 5 < 7 < 9

السؤال 3.
Use a number line to write the following integers in descending (decreasing) order :
(i) -10, 0, 3, -4, 12, 11, -1 and 5
(ii) -4, 3, -8, -12, -7 and 6.
حل:
(i) -10, 0, 3,-4, 12, 11,-1 and 5
Draw a number line for integers, as shown below, and mark on it all the given integers.

Clearly, the given integers in the descending order are :
6 > 3 > 0 > -7 > -8 > -10 > – 12
(ii) -4, 3, -8, -12, -7 and 6.
Draw a number line for integers, as shown below, and mark on it all the given integers.

Clearly, the given integers in the descending order are :
6 > 3 > -4 > -7 > -8 > -12

السؤال 4.
Add:
(i) 13 and 15
(ii) -13 and 15
(iii) 13 and -15
(iv) -13 and -15
حل:
(i) 13 and 15
13 + 15 = 28
(ii) -13 and 15
(-13) + 15 = 2
(iii) 13 and -15
= (13)+ (-15)
= 13 – 15 = -2
(iv) -13 and-15
= (-13) + (-15)
= -13 – 15 = -28

السؤال 5.
Add:
(i) 259 from 214
(ii) -528 and -243
(iii) -623 and 326
(iv) 258 and -473
(v) -622 and -254
(vi) 257 and -254
حل:
(i) 259 from 214
= 259 + 214 = 473
(ii) -528 and-243
= -528 + (-243)
= -528 – 243
= -771
(iii) -623 and 326
= -623 + 326 = -297
(iv) 258 and —473
= 258 +(-473)
= 258 – 473
= -215
(v) -622 and-254
= -622 +(-254)
= -622 – 254
= -876
(vi) 257 and-254
= 257 +(-254)
= 257 – 254
= 3

السؤال 6.
Subtract :
(i) 5 from 8
(ii) -5 from 8
(iii) 4 from -7
(iv) -8 from -2
(v) -3 from 12
(vi) -6 from -3
حل:
(i) 5 from 8
= 8 – 5 = 3
(ii) -5 from 8
= 8 – (-5)
= 8 + 5 = 13
(ii) 4 from -7
= -7 – 4
= -11
(iv) -8 from -2 = -2 – (-8)
= -2 + 8
= 6
(v) -3 from 12
= -12 – 3 = -15
(vi) -6 from -3
= -3 – 3 (-6)
= – 3 + 6 = + 3

السؤال 7.
Subtract:
(i) -123 from 453
(ii) -78 from -12
(iii) 329 and -124
(iv) -222 from 0
حل:
(i) -123 from 453
= + 453 – (-123)
= 453 + 123 = 576
(ii) -78 from -12
= -12 – (-78)
= -12 + 78 = 66
(iii) 329 and-124
= + 329 – 124 = 205
(iv) -222 from 0
= 0 – (-222)
= 0 + 222 = 222

السؤال 8.
Using a number line, find the integer which is :
(i) 3 more than -1
(ii) 5 less than 2
(iii) 5 more than -9
(iv) 4 less than -4
(v) 7 more than 0
(vi) 7 less than -8
حل:



Chapter 6 Class 8 Squares and Square Roots

Get NCERT Solutions of Chapter 6 Class 8 Squares and Square Roots free at Teachoo. All NCERT Exercise questions and examples have been solved in an easy to understand way with detailed explanation of each step.

In this chapter, we will learn

  • ماذا يكون Square Numbers
  • الخصائص of Square numbers
    • Unit digit of square numbers
    • Number of zeroes in square of a number
    • Number of numbers between two square numbers
    • Sum of first n odd numbers is n 2

    Click on a topic or an exercise link below to start doing the chapter

    ملحوظة: When you click on a link, the first question will open. To see the other questions, there is a list at the bottom of the page (list with arrows). Important questions are also marked in that list.


    NCERT Solutions for Class 8 Math Chapter 6 – Squares and Square Roots

    What will be the unit digit of the squares of the following numbers?

    إجابه:

    We know that if a number has its unit’s place digit as أ, then its square will end with the unit digit of the multiplication أ × أ.

    Since the given number has its unit’s place digit as 1, its square will end with the unit digit of the multiplication (1 ×1 = 1) i.e., 1.

    Since the given number has its unit’s place digit as 2, its square will end with the unit digit of the multiplication (2 × 2 = 4) i.e., 4.

    Since the given number has its unit’s place digit as 9, its square will end with the unit digit of the multiplication (9 × 9 = 81) i.e., 1.

    Since the given number has its unit’s place digit as 3, its square will end with the unit digit of the multiplication (3 × 3 = 9) i.e., 9.

    Since the given number has its unit’s place digit as 4, its square will end with the unit digit of the multiplication (4 × 4 = 16) i.e., 6.

    Since the given number has its unit’s place digit as 7, its square will end with the unit digit of the multiplication (7 × 7 = 49) i.e., 9.

    Since the given number has its unit’s place digit as 8, its square will end with the unit digit of the multiplication (8 × 8 = 64) i.e., 4.

    Since the given number has its unit’s place digit as 0, its square will have two zeroes at the end. Therefore, the unit digit of the square of the given number is 0.

    Since the given number has its unit’s place digit as 6, its square will end with the unit digit of the multiplication (6 × 6 = 36) i.e., 6.

    Since the given number has its unit’s place digit as 5, its square will end with the unit digit of the multiplication (5 × 5 = 25) i.e., 5.

    السؤال 2:

    The following numbers are obviously not perfect squares. Give reason.

    إجابه:

    The square of numbers may end with any one of the digits 0, 1, 5, 6, or 9. Also, a perfect square has even number of zeroes at the end of it.

    (i) 1057 has its unit place digit as 7. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (ii) 23453 has its unit place digit as 3. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (iii) 7928 has its unit place digit as 8. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (iv) 222222 has its unit place digit as 2. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (v) 64000 has three zeros at the end of it. However, since a perfect square cannot end with odd number of zeroes, it is not a perfect square.

    (vi) 89722 has its unit place digit as 2. Therefore, it cannot be a perfect square.

    (vii) 222000 has three zeroes at the end of it. However, since a perfect square cannot end with odd number of zeroes, it is not a perfect square.

    (viii) 505050 has one zero at the end of it. However, since a perfect square cannot end with odd number of zeroes, it is not a perfect square.

    السؤال 3:

    The squares of which of the following would be odd numbers?

    إجابه:

    The square of an odd number is odd and the square of an even number is even. Here, 431 and 7779 are odd numbers.

    Thus, the square of 431 and 7779 will be an odd number.

    السؤال 4:

    Observe the following pattern and find the missing digits.

    إجابه:

    In the given pattern, it can be observed that the squares of the given numbers have the same number of zeroes before and after the digit 2 as it was in the original number. لذلك،

    10000001 2 = 100000020000001

    السؤال الخامس:

    Observe the following pattern and supply the missing number.

    إجابه:

    By following the given pattern, we obtain

    101010101 2 = 10203040504030201

    السؤال 6:

    Using the given pattern, find the missing numbers.

    إجابه:

    From the given pattern, it can be observed that,

    (i) The third number is the product of the first two numbers.

    (ii) The fourth number can be obtained by adding 1 to the third number.

    Thus, the missing numbers in the pattern will be as follows.

    السؤال 7:

    Without adding find the sum

    (ii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19

    (iii) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23

    إجابه:

    We know that the sum of first ن odd natural numbers is ن 2 .

    (i) Here, we have to find the sum of first five odd natural numbers.

    Therefore, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (5) 2 = 25

    (ii) Here, we have to find the sum of first ten odd natural numbers.

    Therefore, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = (10) 2 = 100

    (iii) Here, we have to find the sum of first twelve odd natural numbers.

    Therefore, 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 +17 + 19 + 21 + 23 = (12) 2 = 144

    السؤال الثامن:

    (i) Express 49 as the sum of 7 odd numbers.

    (ii) Express 121 as the sum of 11odd numbers.

    إجابه:

    We know that the sum of first ن odd natural numbers is ن 2 .

    Therefore, 49 is the sum of first 7 odd natural numbers.

    49 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13

    Therefore, 121 is the sum of first 11 odd natural numbers.

    121 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21

    السؤال 9:

    How many numbers lie between squares of the following numbers?

    (i) 12 and 13 (ii) 25 and 26 (iii) 99 and 100

    إجابه:

    We know that there will be 2ن numbers in between the squares of the numbers ن و (ن + 1).

    (i) Between 12 2 and 13 2 , there will be 2 × 12 = 24 numbers

    (ii) Between 25 2 and 26 2 , there will be 2 × 25 = 50 numbers

    (iii) Between 99 2 and 100 2 , there will be 2 × 99 = 198 numbers

    Page No 98:

    السؤال رقم 1:

    Find the square of the following numbers

    إجابه:

    (ii) The number 35 has 5 in its unit’s place. لذلك،

    35 2 = (3) (3 + 1) hundreds + 25

    السؤال 2:

    Write a Pythagorean triplet whose one member is

    إجابه:

    For any natural number م > 1, 2م, م 2 − 1, م 2 + 1 forms a Pythagorean triplet.

    (i) If we take م 2 + 1 = 6, then م 2 = 5

    The value of م will not be an integer.

    If we take م 2 − 1 = 6, then م 2 = 7

    Again the value of م is not an integer.

    Therefore, the Pythagorean triplets are 2 × 3, 3 2 − 1, 3 2 + 1 or 6, 8, and 10.

    (ii) If we take م 2 + 1 = 14, then م 2 = 13

    The value of م will not be an integer.

    If we take م 2 − 1 = 14, then م 2 = 15

    Again the value of م is not an integer.

    هكذا، م 2 − 1 = 49 − 1 = 48 and م 2 + 1 = 49 + 1 = 50

    Therefore, the required triplet is 14, 48, and 50.

    (iii) If we take م 2 + 1 = 16, then م 2 = 15

    The value of م will not be an integer.

    If we take م 2 − 1= 16, then م 2 = 17

    Again the value of م is not an integer.

    هكذا، م 2 − 1 = 64 − 1 = 63 and م 2 + 1 = 64 + 1 = 65

    Therefore, the Pythagorean triplet is 16, 63, and 65.

    (iv) If we take م 2 + 1 = 18,

    The value of م will not be an integer.

    If we take م 2 − 1 = 18, then م 2 = 19

    Again the value of م is not an integer.

    هكذا، م 2 − 1 = 81 − 1 = 80 and م 2 + 1 = 81 + 1 = 82

    Therefore, the Pythagorean triplet is 18, 80, and 82.

    Page No 102:

    السؤال رقم 1:

    What could be the possible ‘one’s’ digits of the square root of each of the following numbers?

    إجابه:

    (i) If the number ends with 1, then the one’s digit of the square root of that number may be 1 or 9. Therefore, one’s digit of the square root of 9801 is either 1 or 9.

    (ii) If the number ends with 6, then the one’s digit of the square root of that number may be 4 or 6. Therefore, one’s digit of the square root of 99856 is either 4 or 6.

    (iii) If the number ends with 1, then the one’s digit of the square root of that number may be 1 or 9. Therefore, one’s digit of the square root of 998001 is either 1 or 9.

    (iv) If the number ends with 5, then the one’s digit of the square root of that number will be 5. Therefore, the one’s digit of the square root of 657666025 is 5.

    السؤال 2:

    Without doing any calculation, find the numbers which are surely not perfect squares.

    إجابه:

    The perfect squares of a number can end with any of the digits 0, 1, 4, 5, 6, or 9 at unit’s place. Also, a perfect square will end with even number of zeroes, if any.

    (i) Since the number 153 has its unit’s place digit as 3, it is not a perfect square.

    (ii) Since the number 257 has its unit’s place digit as 7, it is not a perfect square.

    (iii) Since the number 408 has its unit’s place digit as 8, it is not a perfect square.

    (iv) Since the number 441 has its unit’s place digit as 1, it is a perfect square.

    السؤال 3:

    Find the square roots of 100 and 169 by the method of repeated subtraction.

    إجابه:

    We know that the sum of the first ن odd natural numbers is ن 2 .

    (i) 100 − 1 = 99 (ii) 99 − 3 = 96 (iii) 96 − 5 = 91

    (iv) 91 − 7 = 84 (v) 84 − 9 = 75 (vi) 75 − 11= 64

    (vii) 64 − 13 = 51 (viii) 51 − 15 = 36 (ix) 36 − 17 = 19

    We have subtracted successive odd numbers starting from 1 to 100, and obtained 0 at 10 th step.

    The square root of 169 can be obtained by the method of repeated subtraction as follows.

    (i) 169 − 1 = 168 (ii) 168 − 3 = 165 (iii) 165 − 5 = 160

    (iv) 160 − 7 = 153 (v) 153 − 9 = 144 (vi) 144 − 11 = 133

    (vii) 133 − 13 = 120 (viii) 120 − 15 = 105 (ix) 105 − 17 = 88

    (x) 88 − 19 = 69 (xi) 69 − 21 = 48 (xii) 48 − 23 = 25

    We have subtracted successive odd numbers starting from 1 to 169, and obtained 0 at 13 th step.

    السؤال 4:

    Find the square roots of the following numbers by the Prime Factorisation Method.


    If You are Choosing For Your Class 6 Math Book Solution Of ICSE Board You Have Reached The Perfect Place. Many Teachers Are Given All Easy Type Solution Of Class 6 Math Book Of Selina Concise.Here You get Of Your Math Bool All Problems Solutions As per New Syllabus in ICSE Selina Class 6 Math Text Book Solution.

    Netexplanations Provides Step By Step Easy Solution For Selina Concise ICSE For Class 6 Mathematics. By Studying These ICSE Selina Solutions For Class 6 Maths From Your Desktop Or Mobile You Score More Marks in ICSE Class 6 Board Examination.

    ICSE Solutions For Class 6 Maths Are Given Below For All Chapter. Select Chapter Number to Get ICSE Selina Solution Chapter Wise.


    شاهد الفيديو: الصف السادس الرياضيات حل تدريبات على مساحة المضلعات (شهر اكتوبر 2021).