مقالات

13.2: Inradius of h-triangle - الرياضيات


نظرية ( PageIndex {1} )

نصف قطر أي مثلث h أقل من ( dfrac {1} {2} cdot ln3 ).

دليل

دع (I ) و (r ) يكونان h-incenter و h-inradius لـ ( triangle_hXYZ ).

لاحظ أن الزوايا h (XIY ) و (YIZ ) و (ZIX ) لها نفس العلامة. بدون فقدان التعميم ، يمكننا أن نفترض أن كل منهم إيجابي وبالتالي

( المقاسةangle_hXIY + المقاسةangle_hYIZ + المقاسةangle_hZIX = 2 cdot بي )

يمكننا أن نفترض أن (augeangle_hXIY ge dfrac {2} {3} cdot pi )؛ إذا لم يتم إعادة التسمية (X ) و (Y ) و (Z ).

نظرًا لأن (r ) هي المسافة h من (I ) إلى ((XY) _h ) ، فإن الاقتراح 13.1.1 يشير إلى ذلك

( start {array} {rcl} {r} & <& { dfrac {1} {2} cdot ln dfrac {1 + cos dfrac { pi} {3}} {1 - cos dfrac { pi} {3}}} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot ln dfrac {1 + dfrac {1} {2}} {1 - dfrac {1} {2}}} {} & = & { dfrac {1} {2} cdot ln 3.} end {array} )

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض أن ( square_h ABCD ) يكون رباعي الزوايا في المستوى h بحيث تكون الزوايا h عند (A ) و (B ) و (C ) صحيحة و (AB_h = BC_h ) ). أوجد الحد الأعلى الأمثل لـ (AB_h ).

تلميح

لاحظ أن زاوية prarllism لـ (B ) إلى ((CD) _h ) أكبر من ( dfrac { pi} {4} ) ، وتتقارب مع ( dfrac { pi} {4} ) كـ (CD_h to infty ).

بتطبيق الاقتراح 13.1.1 ، حصلنا على ذلك

(BC_h < dfrac {1} {2} cdot ln dfrac {1 + dfrac {1} { sqrt {2}}} {1 - dfrac {1} { sqrt {2}}} = ln (1 + sqrt {2}). )

الجانب الأيمن هو حد (BC_h ) إذا (CD_h to infty ). لذلك ، ( ln (1 + sqrt {2}) ) هو الحد الأعلى الأمثل.


2 13 14 مثلث

زاوية & الزاوية أ = α = 7.36 1 11606635 ° = 7 ° 21'40 & Prime = 0.12 8 84764903 راد
زاوية & الزاوية B = β = 56.38 8 76254015 ° = 56 ° 23'15 & Prime = 0.98 4 41497206 rad
زاوية & الزاوية C = γ = 116.25 1 1213935 ° = 116 ° 15'4 & Prime = 2.02 9 89664426 راد

ارتفاع: حأ = 11.65 9 92238164
ارتفاع: حب = 1.79 4 3726741
ارتفاع: حج = 1.66 6 56034023

الوسيط: مأ = 13.47 2 21935853
الوسيط: مب = 7.59 9 93420768
الوسيط: مج = 6.12 4 3724357

إنراديوس: ص = 0.80 4 40844011
محيط الدائرة: R = 7.80 5 49792536

إحداثيات Vertex: أ [14 0] ب [0 0] ج [1.10 7 71428571 1.66 6 56034023]
سنترويد: CG [5.03 6 57142857 0.55 5 52011341]
إحداثيات الدائرة المقيدة: يو [7 -3.45 2 22023622]
إحداثيات الدائرة المنقوشة: أنا [1.5 0.80 4 40844011]

الزوايا الخارجية (أو الخارجية ، الخارجية) للمثلث:
& الزاوية أ '= α' = 172.63 9 8839336 ° = 172 ° 38'20 & Prime = 0.12 8 84764903 راد
& الزاوية B '= β' = 123.61 2 2374598 ° = 123 ° 36'45 & Prime = 0.98 4 41497206 rad
& الزاوية C '= γ' = 63.74 9 8786065 ° = 63 ° 44'56 & Prime = 2.02 9 89664426 راد


كيف حسبنا هذا المثلث؟

تقدم حساب المثلث على مرحلتين. تتمثل المرحلة الأولى في محاولة حساب الجوانب الثلاثة للمثلث من معلمات الإدخال. تختلف المرحلة الأولى باختلاف استعلام المثلثات الذي تم إدخاله. تحسب المرحلة الثانية الخصائص الأخرى للمثلث ، مثل الزوايا ، والمساحة ، والمحيط ، والارتفاعات ، ومركز الجاذبية ، ونصف قطر الدائرة ، وما إلى ذلك. تؤدي بعض بيانات الإدخال أيضًا إلى حللين إلى ثلاثة حلول مثلث صحيحة (على سبيل المثال ، إذا كانت منطقة المثلث المحددة وجانبان - ينتج عنها عادةً مثلث حاد ومنفرج).
الآن نعرف أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث ، والمثلث محدد بشكل فريد. بعد ذلك ، نحسب خصائص أخرى - نفس الإجراء المتبع في حساب المثلث من الجوانب الثلاثة المعروفة SSS.

1. محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة

2. نصف مقياس المثلث

نصف محيط المثلث يساوي نصف محيطه. يظهر مقياس semiperimeter بشكل متكرر في صيغ للمثلثات التي يتم إعطاؤها اسمًا منفصلاً. من خلال متباينة المثلث ، يكون أطول طول ضلع في المثلث أقل من نصف مقياس الطول.

3. منطقة المثلث باستخدام صيغة Heron & # 39s

تعطي صيغة هيرون مساحة المثلث عندما يكون طول الأضلاع الثلاثة معروفًا. ليست هناك حاجة لحساب الزوايا أو المسافات الأخرى في المثلث أولاً. تعمل صيغة هيرون بشكل جيد في جميع حالات وأنواع المثلثات.

4. احسب ارتفاعات المثلث من مساحته.

توجد طرق عديدة لمعرفة ارتفاع المثلث. أسهل طريقة هي من المنطقة وطول القاعدة. مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب طول القاعدة وارتفاعها. يمكن أن يكون كل جانب من جوانب المثلث قاعدة هناك ثلاث قواعد وثلاثة ارتفاعات (ارتفاعات). ارتفاع المثلث هو قطعة مستقيمة متعامدة من الرأس إلى الخط الذي يحتوي على القاعدة.

5. حساب الزوايا الداخلية للمثلث باستخدام قانون جيب التمام

يعتبر قانون جيب التمام مفيدًا لإيجاد زوايا المثلث عندما نعرف الأضلاع الثلاثة. قاعدة جيب التمام ، المعروفة أيضًا باسم قانون جيب التمام ، تربط الأضلاع الثلاثة للمثلث بزاوية المثلث. قانون جيب التمام هو استقراء لنظرية فيثاغورس لأي مثلث. تعمل نظرية فيثاغورس فقط في مثلث قائم الزاوية. نظرية فيثاغورس هي حالة خاصة لقانون جيب التمام ويمكن اشتقاقها منها لأن جيب التمام 90 درجة هو 0. من الأفضل إيجاد الزاوية المقابلة لأطول ضلع أولاً. مع قانون جيب التمام ، لا توجد مشكلة أيضًا في الزوايا المنفرجة كما هو الحال مع قانون الجيب لأن دالة جيب التمام سالبة للزوايا المنفرجة وصفر لليمين وموجبة للزوايا الحادة. نستخدم أيضًا جيب التمام العكسي المسمى arccosine لتحديد الزاوية من قيمة جيب التمام.

6. Inradius

إن دائرة المثلث هي دائرة مماس لكل جانب. يُطلق على المركز المحوري اسم incenter وله نصف قطر يسمى inradius. كل المثلثات لها ساق ، وتقع دائمًا داخل المثلث. الوصلة هي تقاطع المنصفات ثلاثية الزوايا. حاصل ضرب نصف القطر (نصف المحيط) للمثلث هو مساحته.

7. Circumradius

محيط المثلث هو دائرة تمر عبر كل رءوس المثلث ، ومحيط المثلث هو نصف قطر دائرة المثلث. الخيط (مركز الدائرة) هو النقطة التي تتقاطع فيها المنصفات العمودية لمثلث.

8. حساب المتوسطات

متوسط ​​المثلث هو قطعة مستقيمة تصل رأسًا بنقطة منتصف الضلع المقابل. يحتوي كل مثلث على ثلاثة متوسطات ، وكلها تتقاطع مع بعضها البعض عند النقطه الوسطى للمثلث. يقسم النقطه الوسطى كل وسيط إلى أجزاء في النسبة 2: 1 ، مع كون النقطه الوسطى أقرب مرتين من منتصف الجانب كما هو الحال مع الرأس المعاكس. نستخدم نظرية أبولونيوس لحساب طول الوسيط من أطوال أضلاعه.


الجيب وجيب التمام ونسب الظل

يمثل الجيب وجيب التمام وظل الزاوية النسب دائما صحيح او صادق لزوايا معينة. تذكر أن هذه النسب تنطبق فقط على المثلثات القائمة.

توضح هذه المثلثات الثلاثة الموضحة أدناه.

على الرغم من اختلاف أطوال الأضلاع ، إلا أن كل جانب له زاوية 37 درجة ، وكما ترى ، فإن جيب 37 هو نفسه دائمًا!

بمعنى آخر ، $ sin ( red <37 ^ < circ >>) $ دائمًا $ red <.6> $.

ممارسة مشاكل

المشكلة 1

في الشكل 2 ، ما الضلع المجاور للزاوية $ الزاوية L $؟

ما هو جانب الوتر؟

استخدم sochcahtoa للمساعدة في تذكر النسبة.

$ cos ( angle red L) = frac cos ( angle red L) = frac <8> <10> = .8 $

احسب $ cos ( angle N) $ (زاوية مختلفة عن السؤال السابق ، انظر بعناية إلى الحروف).

المشكلة 2

ما هي نسبة الجيب لـ $ angle C $؟

$ sin ( الزاوية C) = frac < text> sin ( angle C) = frac <6> <10> sin ( angle C) = frac <6> <10> sin ( angle C) = .6 $

مشكلة 3

ما هي نسبة جيب التمام لـ $ angle C $ بالدولار المثلث ABC $؟

المشكلة 4

ما هي نسبة الظل لـ $ زاوية A $؟

استخدم sochcahtoa للمساعدة في تذكر النسبة.

المشكلة 5

استخدم sochcahtoa للمساعدة في تذكر النسب.

$ text angle red R boxed sin ( red R) = frac sin ( red R) = frac <12> <13> sin ( red R) = .923 boxed cos ( red R) = frac cos ( red R) = frac <9> <13> = cos ( red R) .69 boxed tan ( red R) = frac tan ( red R) = frac <12> <9> tan ( red R) = 1.3 $

المشكلة 6

اظهر الاجابة

$ sin ( red X) = frac sin ( red X) = frac <24> <25> sin ( red X) = .96 $

المشكلة 7

اظهر الاجابة

$ sin ( red X) = frac sin ( red X) = frac <7> <25> sin ( red X) = .28 $

المشكلة 8

احسب: $ text sin ( angle H) text cos ( angle H) text tan ( angle H) $

اظهر الاجابة

$ sin ( angle red H) = frac <3> <5> sin ( angle red H) = .6 cos ( angle red H) = frac <4> <5> cos ( angle red H) = .8 tan ( angle red H) = frac <3> <4> tan ( angle red H) = .75 $

ممارسة مشاكل II

المشكلة 9

أي زاوية أدناه لها نسبة الظل $ frac <3> <4> $؟

استخدم sochcahtoa للمساعدة في تذكر نسبة الظل.

إذن أي زاوية لها ظل وهذا هو ما يعادل إلى $ frac <3> <4> $؟

لديك خياران فقط. إما $ angle L $ أو $ angle K $. لذلك دعونا نحسب المماس لكل زاوية.

$ tan ( angle K) = frac <12> <9> frac <12> <9> red < ne> frac 3 4 $

$ tan ( angle L) = frac <9> <12> frac <9> <12> = frac 3 4 $

المشكلة 10

أي زاوية أدناه لها جيب تمام $ frac <3> <5> $؟

استخدم sochcahtoa للمساعدة في تذكر نسبة الظل.

إذن ، أي زاوية لها جيب تمام؟ ما يعادل إلى $ frac 3 5 $؟

لديك خياران فقط. إما $ angle L $ أو $ angle K $. لذلك دعونا نحسب المماس لكل زاوية.

$ cos ( angle K) = frac <9> <15> frac <9> <15> red < ne> frac 3 4 $

$ cos (L) = frac <12> <15> frac <12> <15> = frac 3 5 $

المشكلة 11

أي زاوية أدناه لها ظل $ ما يقرب من .29167 $؟

اظهر الاجابة

هذا أصعب قليلاً لأنك حصلت على النسبة في صورة عدد عشري ، ومع ذلك ، لديك خياران فقط. إما $ angle A $ أو $ angle C $.

$ tan ( angle A) = frac <48> <14> tan ( angle A) = 3.42857 $

$ tan ( angle C) = frac <14> <48> tan ( angle C) = .29167 $

المشكلة 12

أي زاوية تحتها لها مماس 2.4؟

اظهر الاجابة

مرة أخرى ، هناك خياران (الزاويتان R أو P) ، ولكن نظرًا لأن النسبة الخاصة بك أكبر من 1 ، فقد تتمكن بسرعة من ملاحظة أنه يجب أن تكون R.

$ tan ( angle P) = frac <5> <12> tan ( angle P) = 0. 41666 $

$ tan ( angle R) = frac <12> <5> tan ( angle R) = 2.4 $

مشاكل الكلمات

المشكلة 13

في $ triangle JKL $، sin (k) = $ frac <3> <5> $ ، ما هو tan (k)؟

من الأسهل حل مشكلة كلامية مثل هذه ، عن طريق رسم المثلث أولاً وتسمية الأضلاع. نعرف الضلع المقابل للزاوية $ الزاوية K $ ونعرف طول الوتر.

للحصول على نسبة الظل ، نحتاج إلى معرفتها طول الضلع المجاور.

كيف يمكننا إيجاد طول الضلع المجاور؟

$ a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 3 ^ 2 + b ^ 2 = 5 ^ 2 b ^ 2 = 5 ^ 2- 3 ^ 2 = 25-9 = 16 b = 4 $


أسئلة الهندسة لـ SSC CHSL PDF

أسئلة وأجوبة SSC Stenographer Constable Geometry قم بتنزيل ملف PDF استنادًا إلى ورقة أسئلة العام السابق الخاصة بامتحان SSC Stenographer. 10 أسئلة هندسية مهمة جدًا لـ Stenographer Constable.

السؤال رقم 1: تقع النقطة R على القطعة المستقيمة PQ بحيث يكون PR = 24 سم و RQ = 6 سم. تقع النقطتان S و T على نفس الجانب من الخط PQ بحيث يكون $ triangle $ PRS و $ triangle $ RQT مثلثين متساويين الأضلاع. إذا كانت M و N هما النقطتان الوسطيتان للجزء الخطي PT و QS على التوالي ، فابحث عن منطقة $ triangle $ MNR.

السؤال 2: من المسلم به أن AO = BO و PA و PC مماس للدائرة. إذا كان $ angle $ OBC = $ x $ ° ، فاكتشف قيمة $ 20x $؟

السؤال 3: تحتوي الدائرة على وترين متعامدين AB و CD. طول الوتر AB يساوي 6 سم وطول الوتر CD يساوي 12 سم. C أقرب إلى A و B من D. إذا كان معروفًا أن الوتر CD يمر عبر O ، مركز الدائرة ، فما مساحة المضلع AOBD؟

السؤال 4: ثلاث دوائر متساوية الحجم معبأة بإحكام داخل دائرة أكبر بحيث تلامس الدوائر الثلاث بعضها خارجياً وتلمس الدائرة الأكبر داخلياً. إذا كان قطر الدائرة الأصغر هو "r" ، فإن المنطقة خارج الدوائر الأصغر ولكن داخل الدائرة الأكبر تكون

السؤال الخامس: ما هو حجم رباعي السطوح منتظم طول ضلعه 20 سم؟

السؤال 6: في المثلث ABC و P و Q و R هي نقاط على الجانبين AB و BC و AC على التوالي مثل RQ = CQ و PQ = BQ. البحث عن زاوية $$ عندما $ زاوية = 60 $؟ (بالدرجات)

السؤال 7: في الشكل الموضح أدناه ، إذا كان "C" هو مركز الدائرة و a و b و c هي مناطق المثلث PQR و Square QTRC والدائرة على التوالي. أوجد النسبة أ: ب: ج.

السؤال الثامن: أوجد المساحة التي يحدها الرسم البياني y = | x + p | و ص = 6

السؤال 9: يتم إنشاء مثلث متساوي الأضلاع GCD على جانب القرص المضغوط لمربع ABCD. E هي نقطة منتصف الضلع AB. ما هي نسبة المساحة داخل المربع ABCD والمثلث الخارجي EDC إلى مساحة المضلع DECG؟

السؤال 10: يتم رسم مربع EFGH من الضلع 6 cm في مثلث متساوي الأضلاع ABC بحيث يقع GH على طول BC. يقع E على الجانب AB و F على الجانب AC على التوالي. أوجد ضلع المثلث؟

الإجابات والحلول:

دعونا نحل هذه المشكلة بمساعدة الهندسة الإحداثية. افترض أن النقطة P في الأصل وأن Q عند (30 ، 0) ثم إحداثيات R = (24 ، 0).

نعلم أن النقطتين S و T تقعان على نفس الجانب من الخط PQ بحيث يكون $ triangle $ PRS و $ triangle $ RQT مثلثين متساويين الأضلاع. ومن ثم يمكننا القول أن PR = RS = PS = 24 وحدة و RQ = QT = RT = 6 وحدات.

نعلم أن ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع = $ dfrac < sqrt <3> a> <2> $

& # 8216x & # 8217 إحداثي النقطة S سيكون نصف مجموع إحداثيات & # 8216x & # 8217 للرؤوس P و R.

& # 8216y & # 8217 سيكون إحداثي النقطة S مساويًا لارتفاع المثلث PSR.

ومن ثم إحداثيات الرأس S = ($ dfrac <0 + 24> <2> $، $ dfrac <24 sqrt <3>> <2> $) = ($ 12 $، $ 12 sqrt <3> $ )

وبالمثل في المثلث RTQ ،

إحداثيات الرأس T = ($ dfrac <24 + 30> <2> $، $ dfrac <6 sqrt <3>> <2> $) = ($ 27 $، $ 3 sqrt <3> $) .

من المسلم به أن M و N هما النقطتان الوسطيتان للجزء الخطي PT و QS على التوالي ،

إحداثيات النقطة N = ($ dfrac <30 + 12> <2> $، $ dfrac <0 + 12 sqrt <3>> <2> $) = ($ 21 $، $ 6 sqrt <3 > دولار).

أيضا إحداثيات النقطة R = (24، 0).

الآن بعد أن أصبح لدينا جميع رؤوس المثلث MNR ، يمكننا إيجاد المسافة MN و NR و MR.

يمكننا أن نرى أن MN = NR = MR. ومن ثم يمكننا القول أن المثلث MNR هو مثلث متساوي الأضلاع.

لذلك ، مساحة المثلث MNR = $ dfrac < sqrt <3>> <4> times (3 sqrt <13>) ^ 2 $ = $ dfrac <117 sqrt <3>> <4> $ سم مربع

ومن ثم ، فإن الخيار (أ) هو الإجابة الصحيحة.

رسم AQ و QB حيث Q هو مركز الدائرة. في رباعي PAQB

نعلم أن الزاوية المقابلة لها ظل مركز الدائرة = 90 درجة ، أي $ زاوية $ PAQ = $ زاوية $ QBP = $ زاوية $ QBC = 90 درجة

$ Rightarrow $ 90 ° + $ angle $ AQB + 90 ° + 75 ° = 360 °

$ Rightarrow $ $ angle $ AQB = 105 درجة

نعلم أن الزاوية المقابلة لوتر في المنتصف تساوي ضعف الزاوية المقابلة للمحيط. لذا

$ Rightarrow $ $ angle $ AOB = $ frac <1> <2> times 105 $ = 52.5 °

بما أن AO = OB ، فإن $ angle $ AOQ = $ angle $ BOQ = $ frac <1> <2> times $ $ angle $ AOB

$ Rightarrow $ $ angle $ AOQ = $ angle $ BOQ = $ frac <1> <2> times $ 52.5 ° = 26.25 °

$ Rightarrow $ QB = QO إذن

نعلم أن $ angle $ QBC = $ angle $ QBO + $ angle $ OBC = 90 °

$ Rightarrow $ $ angle $ OBC = 90 ° & # 8211 26.25 ° = 63.75 ° = $ x $ °

قيمة 20 دولارًا × دولارًا = 20 * 63.75 = 1275. ومن ثم فإن 1275 هي الإجابة الصحيحة.

يمر القرص المضغوط عبر مركز الدائرة. لذلك ، يجب أن يكون القرص المضغوط هو قطر الدائرة.
طول القرص المضغوط = 12 سم
= & gt نصف قطر الدائرة = 6 سم.
طول AB = 6 سم.

إذا وصلنا AB بمركز الدائرة ، فسنحصل على مثلث متساوي الأضلاع (جميع الأضلاع الثلاثة ستكون 6 سم).
الآن ، دعونا ننضم إلى A و D و B و D.

$ زاوية AOB $ = 60ᵒ (بما أن المثلث AOB مثلث متساوي الأضلاع).
تتم ترجمة $ angle AOB $ و $ angle ADB $ بنفس الوتر ، $ AB $.
لذلك ، فإن $ angle ADB $ = 30ᵒ (الزاوية التي يقابلها وتر على المحيط هي نصف الزاوية التي يقابلها نفس الوتر في المركز).

الآن ، في المثلث AOB ، AO = BO = 6 سم (نصف قطر الدائرة).
$ زاوية ADO $ = 30ᵒ / 2 = 15ᵒ (حيث أن الرقم متماثل حول القرص المضغوط).
= & gt $ angle OAD $ = 15ᵒ (بما أن المثلث AOD متساوي الساقين).
لذلك ، $ angle AOD $ = 180ᵒ & # 8211 15ᵒ & # 8211 15ᵒ = 150ᵒ.
مساحة المثلث AOD = 0.5 * r * r * sin 150ᵒ
= 0.5*6*6*0.5
= 9 دولار سم ^ 2 دولار
مساحة الشكل AOBD = 2 * مساحة المثلث AOD
= 2*9
= 18 دولار سم ^ 2 دولار

لذلك ، الخيار (ب) هو الجواب الصحيح.

نصف قطر الدائرة الأصغر هو $ frac<2> $ بما أن القطر هو $ r $.

عند ضم أنصاف أقطار الدوائر الثلاث ، نحصل على مثلث متساوي الأضلاع ضلعه $ r $.
سيكون حافز هذا المثلث متساوي الأضلاع هو مركز الدائرة الأكبر أيضًا.
Inradius للمثلث متساوي الأضلاع = $ frac<2 sqrt <3>> $
نصف قطر الدائرة الخارجية = نصف قطر الدائرة الأصغر + دائرة نصف قطرها في المثلث.
= & gt نصف قطر الدائرة الخارجية = $ frac <2> + frac< sqrt <3>> دولار
مساحة الدائرة الأكبر = $ pi * [ frac<2> * (1 + frac <2> < sqrt <3>>)] ^ 2 $
= $ frac < pi * r ^ 2> <4> * (1+ frac <4> <3> + frac <4> < sqrt <3>>) $
= $ frac < pi * r ^ 2> <4> * ( frac <7 + 4 sqrt <3>> <3>) $

مساحة الدوائر الأصغر = $ 3 * frac < pi r ^ 2> <4> $ ، حيث أن $ r $ هو القطر هنا.
الفرق بين المساحات = $ frac < pi r ^ 2> <4> ( frac <7 + 4 sqrt <3>> <3> & # 8211 3) $
= $ frac < pi r ^ 2> <4> ( frac <4 sqrt <3> -2> <3>) $

لذلك ، الخيار (ب) هو الجواب الصحيح.

تم توفير أن رباعي الوجوه منتظم.

في الهندسة الصلبة ، يبلغ حجم الهرم ثلث حجم المنشور ذي الارتفاع المماثل.
رباعي الوجوه هو حالة خاصة للهرم.
دعونا أولاً نكتشف حجم المنشور ثم نقسمه على 3.

جميع الوجوه المثلثة الأربعة في رباعي الوجوه متطابقة. لذلك ، سيكون ارتفاع المثلث هو الارتفاع المائل للرباعي السطوح.
لنفترض أن ضلع المثلث هو $ a $.
Inradius = $ a / 2 sqrt <3> $
Inradius ، يشكل ارتفاع رباعي السطوح وارتفاع المثلث مثلث قائم الزاوية.

بتطبيق نظرية فيثاغورس ، نحصل على ، $ h ^ 2 + (a / 2 sqrt <3>) ^ 2 = ( sqrt <3> a / 2) ^ 2 $

ارتفاع رباعي السطوح = $ frac < sqrt <6> a> <3> $

حجم رباعي السطوح ، V = (1/3) * مساحة مثلث القاعدة * ارتفاع رباعي السطوح
= $ frac <1> <3> * frac < sqrt <3> a ^ 2> <4> * frac < sqrt <6> a> <3> $
= $ فارك<6 sqrt <2>> $
يمكننا الآن إيجاد حجم رباعي الوجوه بالتعويض عن قيمة $ a = 20 $.
$ V = frac <20 ^ 3> <6 sqrt <2>> $
$ V = frac <8000> <6 sqrt <2>> $
V = 942.8 سم ^ 3 دولار
ومن ثم ، فإن الخيار (ج) هو الإجابة الصحيحة.

الحل البديل:

يتم الحصول على حجم رباعي الوجوه بواسطة الصيغة $ V = frac<6 sqrt <2>> $.
بالتعويض عن $ a = 20 $ ، يمكننا إيجاد الإجابة.

دعونا نأخذ زاوية $ = c $ و $ زاوية = ب دولار
من الشكل أدناه
60 + ب + ج = 180
ب + ج = 120
في المثلث QRC
2c + e = 180 ……… .. (أنا)
في المثلث PQB
2 ب + و = 180 ……… .. (II)
(I) + (II)
2 (ب + ج) + ه + و = 360
ه + و = 120
زاوية $ = 180- (e + f) = 60 دولارًا

اجعل نصف قطر الدائرة "r"
طول ضلع المربع يساوي "ص"
مساحة المربع QTRC، b = $ r ^ <2> $
مساحة المثلث PQR ، a = $ frac <1> <2> $ * $ 2r $ * $ r $ = $ r ^ <2> $ (ارتفاع المثلث يساوي نصف القطر $ r $ من دائرة.)
مساحة الدائرة ، c = $ pi $ * $ r ^ <2> $
أ: ب: ج = $ 1 $: $ 1 $: $ pi $

انظر إلى الشكل.
بما أن ميل المستقيمين يساوي 1
Anfle CBO = زاوية DCB = 45
BD = DC = 6
وبالمثل م = 6
المساحة = 1/2 * 12 * 6 = 36

دع جانب المربع يكون "$ a $"
مساحة المثلث EDC = & gt $ frac <1> <2> times a times a $ = $ frac <2>$
مساحة المثلث GDC = & gt $ frac < sqrt <3> a ^ 2> <4> $
مساحة المضلع DECG = & gt $ frac <2> & # 8211 frac < sqrt <3> a ^ 2> <4> $ = $ frac <(2 - sqrt <3>) a ^ 2> <4> $
المساحة داخل المربع ABCD والمثلث الخارجي EDC = & gt $ frac <2>$
النسبة = & gt $ frac < frac<2>> < frac <(2 - sqrt <3>) a ^ 2> <4>> $ = $ frac <2> <2 & # 8211 sqrt <3>> $
ومن ثم ، فإن الخيار (ج) صحيح.

10) الإجابة (ب)

رسم عمودي من الرأس A إلى الجانب EF لتقاطعها عند النقطة D

ED / DA = tan30 درجة
بالتناظر ، ED = 3 سم
= & gt DA = 3√3 سم
ارتفاع المثلث = & gt (6 + 3√3) سم
جانب المثلث = & gt (2 / √3) (6 + 3√3) سم
ضلع المثلث = & gt (4√3 + 6) سم
ومن ثم ، فإن الخيار (ب) هو الصحيح.

نأمل أن تكون أسئلة الهندسة الخاصة بـ SSC Stenographer مفيدة للغاية لإعدادك.


عدد قليل من المشاكل الهندسية التي يفترض أنها سهلة والتي تحيرني (أين الهندسة؟)

** ملاحظة: إعادة النشر لأن الأشخاص يريدون الصور ، ولكن حاول أن تفعل ذلك بدون صور لأننا لم نحصل على الصور عندما فعلنا هذه المشاكل وكان علينا أن نبتكر هذه الأشكال والمخططات بأنفسنا.

مرحبًا ، أنا & # x27d أقدر ذلك إذا استطعت يا رفاق كسر هذه المشاكل وشرح كيف يمكنك & # x27d حلها لأنك تربك القرف مني لول.

دائرة تمر عبر نقاط المنتصف في الوتر AB والساق قبل الميلاد لمثلث قائم الزاوية ABC ويلمس الرجل الأخرى تيار متردد. في أي نسبة تقسم نقطة الظل هذه تيار متردد?

مثلث ABC محفور في دائرة. امتداد للوسيط مرسوم من الرأس أ يتقاطع مع هذه الدائرة عند نقطة د. تجد قبل الميلاد إذا تيار متردد = العاصمة = 1.

ابحث عن الحد الأدنى لقيمة التعبير: |أ + ب | + الجذر التربيعي ( (أ - 1)2 + (ب - 3)2 ).

رباعي ا ب ت ث محفور في دائرة. قطري تيار متردد يشطر الزاوية سيئ ويتقاطع مع القطر الآخر BD عند نقطة ك. تجد كيه سي إذا قبل الميلاد = 4 و AK = 6.

في مستطيل 5 في 12 ا ب ت ث، تم رسم قطرين ودرجت دائرتان في المثلثات القائمة سيئ و بى سى دى. أوجد مربع المسافة بين مراكز الدوائر.

مساحة المثلث ABC هي S. أوجد مساحة المثلث الذي يساوي ضلعه متوسطات المثلث.

في المثلث القائم ، الارتفاع إلى الوتر يساوي 1 ، وقياس إحدى الزوايا الحادة يساوي 15 درجة. أوجد الوتر.

مرة أخرى ، حاول القيام بذلك عن طريق عمل المخططات الخاصة بك كما لم & # x27t الحصول على المخططات عندما فعلنا ذلك.

مرة أخرى ، شكرا لك على كل المساعدة.

بالنسبة للمشكلة 1 ، قد أكون مخطئًا ولكني أعتقد أن الرسم التخطيطي الخاص بك خاطئ ، ولا ينبغي أن تكون نقطة التقاطع بين الدائرة والوتر تماسًا ، والآن حل.

ضع ABC على المستوى بحيث تكون الأرجل متعامدة مع المحور. نسمي الدائرة O ونقاط التقاطع D و E على التوالي. من الواضح أن D و E لهما نفس إحداثيات y. بالإضافة إلى ذلك ، عند استدعاء مماس الدائرة لـ AC F ، يكون OF عموديًا على AC الذي يوازي المحور x ، مما يجعل OF موازية للمحور y. باستخدام حقائق بسيطة نسبيًا حول المثلثات ، من الواضح أن المسافة من D إلى OF تساوي المسافة من E إلى OF ، قم باستدعاء تقاطع DE و OF G. من خلال استخدام مستطيل يحتوي على النقاط D و A و E و G ، أن طول المقطع AD يساوي طول المقطع EG. أخيرًا ، بإسقاط عمودي من D (نقطة منتصف الوتر) إلى AC ، يجب أن تصبح الإجابة واضحة.

إذا كان لا يزال محيرًا ، فحاول إيجاد طول AC كمجموع بطريقتين باستخدام المعلومات الواردة أعلاه

لـ & quot البحث عن الحد الأدنى لقيمة التعبير: |أ + ب | + الجذر التربيعي ( (أ - 1)^2 + (ب - 3)^2 ). & مثل التفكير في هذا هندسيًا ، أي هندسة الإحداثيات. تلميح: إذا فكرنا في a و b على أنهما يمثلان إحداثيات (x ، y) لنقطة ، إذن الجذر التربيعي ( (أ - 1)^2 + (ب - 3) ^ 2 هو التعبير عن مسافة النقطة (أ ، ب) من النقطة (1،3). لذلك .. أوجد النقطة (أ ، ب) الأقرب في نفس الوقت إلى (1،3) وتجعل | أ + ب | الأصغر

آسف لأني أبله ، متعب أمس. فكر في | a + b | بهذه الطريقة: إذا | أ + ب | = عدد ما ج ثم لديك سطرين محتملين مثل

b = -a - c ، أي أن c تحدد تقاطع y للخط المقابل لـ | a + b |. فكر في هندسة هذه الخطوط والدائرة المتمركزة عند (1،3).

إذا اقتصرنا على الربع الأول (وهذا أمر منطقي لأن. [ارسم صورة]) ثم | a + b | هو مجرد جمع إحداثيات x و y للنقطة معًا

الحد الأدنى يحدث عند نقطة ليست في الربع الأول.

بالنسبة لبعض هؤلاء ، يمكنك في الواقع افتراض & quotsimplest الممكنة & quot إصدار الشكل ، وحساب الإجابة لذلك.

المثلث ABC مرسوم داخل دائرة. امتداد للوسيط المرسوم من الرأس A يقطع هذه الدائرة عند النقطة D. أوجد BC إذا كان AC = DC = 1.

افترض أن الضلع BC هو قطر الدائرة. إذن فالزاوية أ هي الزاوية القائمة ، و ABDC تشكل مربعًا. هل هذا متوافق مع المعلومات التي قدمتها & # x27re؟ نعم: يسمح لك المربع بالحصول على AC = DC = 1. ثم BC هو قطر المربع الذي يبلغ طوله المربع (2).

تعمل هذه الإستراتيجية ، لأنه إذا كانت الكمية التي طلبتها & # x27re ثابتة والتي ستكون صحيحة لأي نسخة من الشكل ، فمن الواضح أنها ستظل صحيحة بالنسبة لأبسط نسخة ممكنة من الشكل.

لكن عليك أن تكون حذراً ، لأن المعلومات المقدمة في بعض الأحيان تمنعك من تكوين شكل & quottoo بسيط & quot. على سبيل المثال:

الشكل الرباعي ABCD مرسوم في دائرة. يقسم القطر AC الزاوية BAD ويتقاطع مع القطر الآخر BD عند النقطة K. أوجد KC إذا كان BC = 4 و AK = 6.

سيكون الشكل الرباعي & quotsimplest & quot الذي يمكننا إدراجه في دائرة مربعًا ، ولكن إذا جربنا ذلك ، فسنجد أنه يمكننا & # x27t جعل BC = 4 و AK = 6 هذه المعلومات غير متوافقة مع ABCD كونها مربعًا. (أعتقد أن الطائرة الورقية حيث يكون قطر التيار المتردد يجب أن تعمل بشكل جيد. لقد عملت Haven & # x27t من خلالها لمعرفة مدى بساطة هذا الأمر الذي يجعل المشكلة ، على الرغم من ذلك).

مساحة المثلث ABC هي S. أوجد مساحة المثلث الذي يساوي ضلعه متوسطات المثلث.

حسنًا ، إذا كان هذا مناسبًا لأي مثلث ، فلا بد أنه يعمل مع مثلث متساوي الأضلاع. لنفترض أن ABC مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه x. ثم سيكون المثلث الأصغر متساوي الأضلاع أيضًا. من السهل معرفة مساحة كلا المثلثين باستخدام فيثاغورس ، حتى نتمكن من تقسيمها مباشرة.

المشكلة الثانية: لنفترض أن الضلع BC هو قطر الدائرة. إذن فالزاوية أ هي الزاوية القائمة ، و ABDC تشكل مربعًا. المعلومات المقدمة ، AC = DC = 1 تعمل إذا كان ABDC مربعًا. لذلك AB يساوي 1 أيضًا.

إذا كانت الزاوية A تساوي 90 درجة ، فإن المثلث ABC مثلث قائم الزاوية ، و BC هو الوتر. باستخدام نظرية فيثاغورس: a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 بما أن 1 تربيع يساوي 1 و 1 + 1 يساوي 2 ، فإن طول BC هو الجذر التربيعي لـ 2.

ربما أكون قد أفرطت في تعقيدها.

في المثال الثاني ، بما أن هناك مثلث ABC ومتوسط ​​ممتد من A إلى D ، فيمكننا القول إن هناك رباعيًا داخل الدائرة ، وهذا هو الشكل الرباعي ABDC. ونظرًا لأن AD هو امتداد لمتوسط ​​المثلث ABC ، ​​فيمكننا القول إن AD يقسم BC.

وبالعودة إلى حقيقة وجود الشكل الرباعي ABDC. ثم يمكننا القول إن BC قطري في الشكل الرباعي المعطى. هناك قطري آخر ، وهو AD ، حيث أن الأقطار عبارة عن قطع مستقيمة تصل إلى رأسين غير متجاورين.

نظرًا لأن المائل AD يقطع BC ، فيمكننا تحديد نوع الشكل الرباعي هذا. بالطبع هو نظير لوغرام. وبما أن AC = DC = 1 ، فإن جانبي PARALLELOGRAM متساويان بالفعل. ما هو متوازي الأضلاع الذي له ضلعان متساويان وقطرهما شطر آخر؟ إنه RHOMBUS. نظرًا لأن SQUARE هو المعين الوحيد الذي يمكن كتابته في دائرة. لذلك ، فإن الشكل الرباعي هو مربع ، وبالنظر إلى أن AC = DC = 1 ، من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس ، يتم قياس الأقطار على أنها SQRT2.

كيف استنتجت في العالم أنه متوازي أضلاع؟ فإنه لا يجب أن تكون.

نعم ، هذا & # x27s ^ ما كنت أتساءل أيضًا. ما هو سبب استنتاجك أن الشكل متوازي أضلاع؟

حلولي لكل هذه ، بدون أي & اقتباسات & quot:

حقيقة أن الدائرة & # x27s تزيد من تعقيد المشكلة. اجعل نقطة منتصف BC تكون M ونقطة منتصف AB تكون N ونقطة التماس مع AC تكون P.

الحقيقة المهمة هنا هي أن MN || AC ، لذلك يجب أن يتقاطع المنصف العمودي MN مع P! إحدى الطرق لإثبات ذلك بصرامة هي استخدام الخطوط المتوازية وشرط التماس لإثبات أن المثلث MNP متساوي الساقين (عبر الزوايا).

الباقي سهل: الارتفاع من N إلى AC يقسمه إلى نصفين ، والمنصف العمودي MN يقسمه إلى النصف مرة أخرى ، لذا فإن CP هي فعليًا ربع التيار المتردد.

هذه ليست مشكلة سهلة! استغرق الأمر مني بعض الوقت. سأستخدم النظريات التالية:

في الأساس ، تقول نظرية ستيوارت & # x27s ما يلي: افترض أن لديك مثلثًا ABC ونقطة D على BC. لنفترض أن AD = d ، BC = a ، AB = c ، BC = b ، BD = m ، CD = n. ثم يحمل ما يلي:

طريقة تذكر ذلك هي إعادة ترتيبها على النحو التالي:

أب + رجل = bmb + cnc (& quot ، يضع أبي ورجل قنبلة في الحوض & quot)

يمكنني أن أعطيك دليلًا على ذلك إذا أردت.

فصاعدا! لنفترض أن E هو التقاطع بين AD و BC. استخدم Stewart & # x27s على مثلث CAD. ثم:

(CE) 2 (AD) + (AE) (ED) (AD) = AC 2 * DE + CD 2 * AE.

نعلم أن AC = CD = 1 ، ونفترض أن x = CE = BE. نظف التعبير أعلاه للحصول على:

× 2 (AD) + (AE) (ED) (AD) = DE + EA = AD

هناك م في كل مكان! قسّم للحصول على:

الآن الخاتمة: بقوة نقطة (أو & quotinersecting chords theorem & quot) ، AE * ED = BE * EC. لكن BE = EC = x! إذن (AE) (ED) = x 2 ، و:

نستنتج أن x = sqrt (2) / 2 و BC = sqrt (2).

حل بلدي طويل. أقوم & # x27ll بتأجيله إلى أسفل هذا المنشور.

إذا كان التيار المتردد ينصف الزاوية & ltBAD ، فإن & ltCBD = & ltCAD = & ltCAB = & ltCDB. وهكذا يكون المثلث CBD متساوي الساقين. بما أن BC = 4 ، فإننا نعرف الآن أن CD = 4.

ماذا الآن؟ نفس الحيلة القديمة. استخدم نظرية ستيوارت & # x27s على مثلث اتفاقية التنوع البيولوجي. دع CK = x. لقد حصلنا على ذلك:

× 2 (دينار بحريني) + (دينار كويتي) (دينار كويتي) (دينار بحريني) = 16 دينار كويتي +16 دينار كويتي = 16 دينار كويتي.

قسّم على BD لتحصل على:

حسب قوة النقطة ، (BK) (دينار كويتي) = 6x ، لذلك لدينا تربيعي في x:

هذه العوامل سهلة ونحصل على x = 2.

& # x27 سنستخدم نظرية فيثاغورس لحساب المسافة. للقيام بذلك ، سنقوم برسم الشعاع إلى جانبي المستطيل ، ورسم مثلث قائم الزاوية يكون الوتر هو القطعة الواقعة بين نصف القطر ، بحيث تكون أرجله موازية لجوانب المستطيل. الآن نحتاج فقط إلى أطوال هذه الأرجل المذكورة.

أولاً ، سنحسب نصف قطر الدوائر. كل دائرة منقوشة في مثلث قائم الزاوية ٥-١٢-١٣. سأستخدم الصيغة التالية:

أي أن مساحة المثلث هي نصف القطر مضروبًا في نصف المحيط (نصف المحيط). يمكنني تقديم دليل على هذه الصيغة إذا كنت تريد.

على أي حال ، من الواضح أن مساحة المثلث 5-12-13 هي 30 ، ومقياس نصف القطر هو (5 + 12 + 13) / 2 = 15. وهكذا ، 30 = 15r ، والداخل هو 2.

الآن ، أطوال أرجل المثلث القائم الذي رسمناه سابقًا ستكون 12 - 2 - 2 ، و5 - 2 - 2 (يمكنني توضيح هذا إذا أردت) ، لذا فإن الأطوال هي 8 و 1. بواسطة فيثاغورس ، تصبح المسافة الجذر التربيعي (65).

هذه نتيجة كلاسيكية للغاية ، والدليل جميل جدًا.

اجعل نقاط المنتصف لـ BC و AC و AB هي M و N و P على التوالي. سأستخدم الآن بعض الحيل: & # x27m سأقوم بترجمة الوسيط AM ، بحيث تنتهي النقطة M عند C. تحت هذه الترجمة ، تنتهي النقطة A عند نقطة جديدة سنسميها Q. ثم AMCQ الرباعي هو متوازي الأضلاع.

الآن ، بما أن AQ = MC = BM ، لاحظ أن AQMB هو متوازي أضلاع أيضًا! من هذه المتوازيات نستنتج ما يلي:

وفويلا! أطوال أضلاع المثلث CPQ هي بالضبط أطوال متوسطات المثلث ABC! الآن نحن فقط بحاجة إلى مساحة CPQ.

تدوين سريع: [ABCDEFGH] هي منطقة ABCDEFGH. لنفترض أن [ABC] = K. ثم [AQC] = K / 2 ، لأن القاعدة (AQ) تساوي نصف قاعدة (BC) ، والارتفاعات هي نفسها. وهكذا [ABCQ] = 3/2 ك.

الآن نطرح [APQ] و [BPC]. لدينا هذا المثلث APQ نصف ارتفاع المثلث AQC (لأن P هي نقطة وسط ، ويمكننا استخدام حجة مثلثات مماثلة بعد رسم الارتفاعات) ، لذلك [APQ] = [AQC] / 2 = K / 4. أيضًا ، المثلث BPC له نصف ارتفاع المثلث ABC ، ​​لذلك [BPC] = K / 2.

إجمالاً ، [CPQ] = [ABCQ] - [APQ] - [BPC] = 3/2 K - 1/4 K - 1/2 K = 3/4 K

أشعر أن هناك & # x27s حلاً أسهل لهذا من أي شيء توصلت إليه ، لأن هذا يشبه استخدام سلاح نووي أثناء الطيران.

لذلك نحن بحاجة إلى تصغير | a + b | + الجذر التربيعي ((أ -1) 2 + (ب -3) 2). أولاً ، أعتقد أن التعبير الموجود أسفل الجذر التربيعي قبيح ، لذا قم بإجراء الاستبدالات التالية: أ = س + 1 ، ب = ص + 3. ثم تصبح المشكلة تصغير:

نعم ، نحن بحاجة إلى تفسير هندسي هنا. نعلم أن الجذر التربيعي (x 2 + y 2) هو مجرد المسافة إلى نقطة الأصل ، ولكن ماذا عن | x + y + 4 |؟ تنبيه المفسد: هذا هو الجذر التربيعي (2) ضعف المسافة من (س ، ص) إلى الخط س + ص + 4 = 0 (يمكنك إثبات ذلك باستخدام المثلثات القائمة ، أو استخدام صيغة المسافة إلى الخط).

لذا ، إذا كان الأصل هو O ، (x ، y) هو P ، وكانت سفح الارتفاع من P إلى الخط L المحدد على أنها x + y + 4 = 0 هي Q ، فإننا نحتاج إلى تقليل الجذر التربيعي (2) * PQ + OP.

آك ، هذه المشكلة ما زالت أقبح مني! لماذا L خط قطري ؟! هذا سيء! دع & # x27s ندير مستوى الإحداثيات 45 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة ، لذا فإن الخط L هو الآن الخط y = -2sqrt (2). (يمكنك إثبات ذلك عن طريق حساب المسافة بين O و L) الآن دع إحداثيات P (x ، y) تشير إلى مستوى الإحداثيات هذا بدلاً من ذلك لأنه & # x27s أكثر ودية.

الآن ، باستخدام الملاحظة التي مفادها أن (x ، y) يجب أن تقع فوق السطر L للكمية التي نريد أن تكون في حدها الأدنى ، يمكننا بسهولة إعداد بعض التعبيرات الجبرية لـ PQ و OP والفوز. ولكن هنا & # x27s نهج أكثر سهولة: ما هو الإحداثي x الذي يجب أن يكون عليه الجذر التربيعي (2) PQ + PO للحد الأدنى؟ لاحظ أنه عندما تظل y ثابتة ونغير x ، فإن المسافة من (x ، y) إلى الخط الأفقي L لا تتغير.لذلك ، نظرًا لاختلاف x فقط ، يتم تصغير sqrt (2) PQ + PO تمامًا عند تصغير أمر الشراء. لكن ألا يحدث هذا بالضبط عندما تكون x = 0؟

حسنًا ، س = 0. الآن نحن نختلف ذ. بما أن x = 0 ، فالمسافات PO و PQ كلها مسافات رأسية ، لذلك يقلل هذا من تقليل الكمية:

في هذه المرحلة ، يمكنك معرفة الرسم البياني لهذه المعادلة وأنت & # x27re الانتهاء. بدلاً من ذلك ، يمكننا تقديم حجة غير رسمية: هذا مجرد مجموع المسافات المطلقة على خط الأرقام حيث يتم ترجيح المسافة إلى الرقم 2sqrt (2) بشكل أكبر ، لذلك لتقليل مجموع المسافة المرجحة ، يجب أن نجعل المسافة 2sqrt (2) 0. هكذا نحدد y = 2sqrt (2) ، مما يؤدي إلى إجابتنا النهائية: | y | + sqrt (2) | ص - 2sqrt (2) | = 2sqrt (2)

للتسجيل ، من أخبرك أن هذه المشاكل هي & quot ؛ سهلة & quot ؛ فهو يكذب.

(تحرير: لا أعرف كيفية استخدام النصوص الفوقية على reddit) (تحرير 2: لا أعرف كيفية استخدام العلامات النجمية على reddit أيضًا)


إذا بدأت بتسلسل الأرقام المربعة ، وأخذت جميع الفروق بين الحدود المتتالية ، فستحصل على جميع الأرقام الفردية بالتسلسل. على سبيل المثال ، $ 2 ^ 2 - 1 ^ 2 = 3 3 ^ 2 - 2 ^ 2 = 5 4 ^ 2-3 ^ 3 = 7 $ في بعض الأحيان ، يحدث هذا الرقم الفردي ليكون مربعًا بحد ذاته. على سبيل المثال ، لدينا 5 ^ 2 - 4 ^ 2 = 9 = 3 ^ 2 13 ^ 2 - 12 ^ 2 = 25 = 5 ^ 2 دولار ، وبإعادة ترتيب هذه ، نحصل على ثلاثيات فيثاغورس: 3 ^ 2 + 4 ^ دولار. 2 = 5 ^ 2 5 ^ 2 + 12 ^ 2 = 13 ^ 2 $ إذا أردنا وصف جميع ثلاثيات فيثاغورس المختلفة التي تظهر بهذه الطريقة ، فسننتهي بتعبيرك بالضبط.

تلاحظ الصيغة أنه غالبًا ما تكون ثلاثية فيثاغورس بالصيغة $ (t_1، t_2، t_2 + 1) $. تحاول معرفة متى تكون هذه هي الحالة وتولد هذه الصيغة ذلك ، لدينا: $ (2n ^ 2 + 2n + 1) ^ 2- (2n ^ 2 + 2n) ^ 2 = 4n ^ 2 + 4n + 1 = ( 2n + 1) ^ 2 دولار

نظرًا لأن الاختلاف هنا مجرد مربع ، فهو ثلاثي صالح. ومع ذلك ، فإن هذا يفتقد إلى العديد من الثلاثيات ، خاصةً مضاعفات الثلاثيات الموجودة ، ولكن المثال هو $ (8،15،17) $. أنا أفضل استخدام:

$ (p ^ 2-q ^ 2) ^ 2 + (2pq) ^ 2 = (p ^ 2 + q ^ 2) ^ 2 $ هذا هو الأكثر شهرة لارتباطه بالأرقام المركبة ، فهو $ Re (z ^ 2) + Im (z ^ 2) = | z ^ 2 | $ ويمكن استخدام هذا لإنشاءهم. اضبط الآلة الحاسبة على الوضع المعقد واستخدم $ (1000 text+ text <1000Ran #> i) ^ 2 = $ وستكون كل نتيجة قاعدة وارتفاع مثلث فيثاغورس.

(Ran # هو منشئ الأرقام العشوائية للآلات الحاسبة الخاصة بي ، وقد يكون مختلفًا عن حاسبتك. كما أنه يولد من .001 $ إلى $ 1 $ ، بحد أقصى 3 $ dp ، ومن ثم الضرب في $ 1000 $)

لننظر إلى ثلاثية فيثاغورس البدائية $ (a، b، c) $. ضع في اعتبارك $ b = 4T_n $ حيث $ T_n $ هو $ n ^ < text> رقم ثلاثي. لاحظ أنه إذا كان الأمر كذلك ، فإن قيمة $ c $ هي $ 4T_n + 1 $.

لاحظ أن صيغة النص $ n ^ <> الرقم المثلث $ مُعطى ب $ frac<2> دولار. كل ما يتبقى لنا هو حل قيمة $ a $ من المعادلة التالية: $ a ^ 2 + [4T_n] ^ 2 = [4T_n + 1] ^ 2 $. حل هذا يعطي قيمة $ a $ كـ $ 2n + 1 $. ومن ثم ، فإن $ (a، b، c) = (2n + 1، 4T_n، 4T_n + 1) $ هو ثلاثي فيثاغورس.

الصيغة الخاصة بك (أسميها & quotyours & quot في إشارة إلى المنشور) هي حالة خاصة لصيغة قمت بتطويرها في عام 2009 ونشرتها هنا من حين لآخر للإجابة على أسئلة حول ثلاثية فيثاغورس.

يبدأ qquad A = (2n-1) ^ 2 + 2 (2n-1) k qquad B = 2 (2n-1) k + 2k ^ 2 qquad C = (2n-1) ^ 2 + 2 (2n- 1) ك + 2 ك ^ 2 نهاية

يقوم بتوليد مجموعة فرعية من الثلاثيات حيث يكون $ GCD (A، B، C) $ مربعًا فرديًا. يوضح الجدول أدناه هذه المجموعات حيث $ n $ هو الرقم المحدد و $ k $ هو & quotcount & quot أو رقم العضو داخل المجموعة.

يبدأ n & amp k = 1 & amp k = 2 & amp k = 3 & amp k = 4 & amp k = 5 & amp k = 6 hline Set_1 & amp 3،4،5 & amp 5،12،13 & amp 7،24،25 & amp 9،40 ، 41 & amp 11،60،61 & amp 13،84،85 hline Set_2 & amp 15،8،17 & amp 21،20،29 & amp27،36،45 & ampp33،56،65 & amp 39،80،89 & amp 45،108،117 hline Set_3 & amp 35،12،37 & amp 45،28،53 & amp55،48،73 & amp65،72،97 & amp 75،100،125 & amp 85،132،157 hline Set_ <4> & amp63،16،65 & amp77،36،85 & amp91،60،109 & amp105،88،137 & amp119،120،169 & amp 133،156،205 hline Set_ <5> & amp99،20،101 & amp117،44،125 & amp135،72،153 & amp153،104،185 & amp171،140،221 & amp 189،180،261 hline إذا سمحنا لـ $ n = 1 $ ، تصبح المعادلة $ quad A = (2k + 1) ^ 2 quad B = (2k ^ 2 + 2k) ^ 2 quad C = (2k ^ 2 + 2k +1) ^ 2 quad $ الذي يطابقك تمامًا وينشئ المجموعة الفرعية $ (Set_1) $ في الجدول أعلاه.

كيف تطور؟ لاحظ أن الفرق $ (d) = (C-B) = (2n-1) ^ 2 $ والزيادة $ (i) $ بين قيم $ A $ هي $ 2 (2n-1) $. لاحظ الآن أن $ A $ هو مجموع $ (d) $ بالإضافة إلى الزيادة $ (i) $ في مضاعف $ (k) $. من هنا ، تتبع الدالة B والدالة C بالتعويض عن التعبيرات المعروفة الآن لـ $ A $ و $ (C-B) $ في نظرية فيثاغورس.


SSC الرياضيات موضوع أوراق محلولة حكيمة & # 8211 الهندسة

1. ABCD شكل رباعي حيث القطر BD = 64 سم ، AL ⊥ BD و CM BD ، بحيث يكون AL = 13.2 سم و CM = 16.8 سم. مساحة الشكل الرباعي ABCD بالسنتيمتر المربع هي (SSC Sub. Ins. 2012)

(أ) 537.6
(ب) 960.0
(ج) 422.4
(د) 690.0

2. في ABC، ∠B = 60 °، C = 40 ° إذا كان AD منصفًا ∠BAC و AE ⊥ BC ، فإن EAD هو (SSC Sub. Ins. 2012)
(أ) 40 درجة
(ب) 80 درجة
(ج) 10 درجات
(د) 20 درجة

3. في الشكل أدناه ، إذا كان AB || القرص المضغوط و CE ⊥ED ثم قيمة x هي (SSC Sub. Ins. 2012)

(أ) 37
(ب) 45
(ج) 53
(د) 63

4. PA و PB هما ظلان مرسومان من نقطة خارجية P إلى دائرة مركزها O حيث النقطتان A و B هما نقطتا الاتصال. يجب أن يكون OAPB الرباعي (SSC Sub. Ins. 2012)
(أ) مربع
(ب) كونسيليك
(ج) مستطيل
(د) معين

5. G هي النقطه الوسطى من ∆ABC. إذا كان AG = BC ، فإن ∠BGC تكون (SSC Sub. Ins. 2012)
(أ) 60 درجة
(ب) 120 درجة
(ج) 90 درجة
(د) 30 درجة

6. في الشكل التالي ، إذا كانت OA = 10 و AC = 16 ، فيجب أن يكون OB (SSC Sub. Ins. 2012)

(أ) 3
(ب) 4
(ج) 5
(د) 6

7. إذا كانت A = 90 ° ، BC = a ، AC = b و AB = c في ABC ، ​​فإن قيمة tan B + tan C هي (SSC Sub. Ins. 2012)

8. ABC مثلث قائم الزاوية ، قائم الزاوية عند C و p هو طول العمود العمودي من C على AB. إذا كانت a و b و c هي أطوال الأضلاع BC و CA و AB على التوالي ، إذن (SSC CHSL 2012)

9. إذا كان ∆ABC مثلث متساوي الساقين مع ∠C = 90 ° و AC = 5 سم ، فإن AB هو: (SSC CHSL 2012)
(أ) 5 سم
(ب) 10 سم
(ج) 5√2 سم
(د) 2.5 سم

10. طول ضلعي الزاوية القائمة لمثلث قائم الزاوية هما 6 سم و 8 سم. طول دائرة نصف قطرها: (SSC CHSL 2012)
(أ) 5 سم
(ب) 7 سم
(ج) 6 سم
(د) 10 سم

11. طول نصف قطر دائرة مثلث له جوانب 3 سم و 4 سم و 5 سم هو: (SSC CHSL 2012)
(أ) 2 سم
(ب) 2.5 سم
(ج) 3 سم
(د) 1.5 سم

12. A ، O ، B هي ثلاث نقاط على قطعة مستقيمة و C هي نقطة لا تقع على AOB. إذا كانت ∠AOC = 40 ° و OX ، OY هما المنصفان الداخليان والخارجيان لـ ∠AOC على التوالي ، فإن BOY هو (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 70 درجة
(ب) 80 درجة
(ج) 72 درجة
(د) 68 درجة

13. في الشكل التالي ، O هو مركز الدائرة و XO عمودي على OY. إذا كانت مساحة المثلث XOY هي 32 ، فإن مساحة الدائرة هي (SSC CGL 1st Sit. 2012)

(أ) 64
(ب) 256 π
(ج) 16 π
(د) 32 π

14. يتم إنتاج الجانب BC من ∆ ABC إلى D. إذا كانت ACD = 108 ° و B = 1/2 ∠A فإن A هي 2 (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 36 درجة
(ب) 72 درجة
(ج) 108 درجة
(د) 59 درجة

15. دائرتان من نصف القطر 4 سم و 9 سم على التوالي تلامسان بعضهما البعض خارجيًا عند نقطة ما ويلامسهما ظل مشترك عند النقطتين P و Q على التوالي. مساحة المربع مع جانب واحد PQ هي (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 97 سم مربع
(ب) 194 سم مربع
(ج) 72 سم مربع
(د) 144 سم مربع

16. يرسم مماسين من النقطة P إلى دائرة عند A و B. 0 هي مركز الدائرة. إذا كان ∠AOP = 60 درجة ، فإن ∠ APB هو (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 120 درجة
(ب) 90 درجة
(ج) 60 درجة
(د) 30 درجة

17. إذا كانت كل زاوية داخلية ضعف كل زاوية خارجية لمضلع عادي مع عدد n من الجوانب ، فإن قيمة n تكون (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 8
(ب) 10
(ج) 5
(د) 6

18. إذا كان طول الضلع PQ للمعين PQRS يساوي 6 سم و PQR = 120 درجة ، فإن طول QS بالسنتيمتر يساوي
(جلسة SSC CGL الأولى. 2012)
(أ) 4
(ب) 6
(ج) 3
(د) 5

19. الزاوية المكونة من عقرب الساعات وعقرب الدقائق للساعة الساعة 2:15 مساءً. هو (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 27 درجة
(ب) 45 درجة
(ج) 22
(د) 30 درجة

20. طول ضلعين من أضلاع المثلث 4 سم و 10 سم. إذا كان طول الضلع الثالث هو & # 8216a & # 8217 سم. ثم (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) أ & GT5
(ب) 6≤a≤12
(ج) أ & LT5
(د) 6 & lta & lt 14

21. في ABC ، ​​AD هو الوسيط و AD = 1/2 BC. إذا كانت BAD = 30 ° ، فإن قياس ∠ACB هو (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 90 درجة
(ب) 45 درجة
(ج) 30 درجة
(د) 60 درجة

22. محيط مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية هو 2p وحدة. منطقة نفس المثلث هي: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)

23. ∆ABC و ∆DEF متشابهان وتبلغ مساحتهما على التوالي 64 سم 2 و 121 سم 2. إذا كانت EF = 15.4 سم ، فإن BC هي: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 12.3 سم
(ب) 11.2 سم
(ج) 12.1 أ
(د) 11.0 سم

24. إذا كان G هو النقطه الوسطى ∆ABC و AG = BC ، فإن BGC هو: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 75 درجة
(ب) 45 درجة
(ج) 90 درجة
(د) 60 درجة

25. بإنقاص 15 درجة من كل زاوية في المثلث ، تكون نسب زواياه 2: 3: 5. قياس الراديان لأكبر زاوية هو: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)

26. O هو المركز المحيط للمثلث ABC الذي يبلغ طول نصف قطره 13 سم. لنفترض أن BC = 24 سم و OD عمودي على BC. ثم يكون طول OD: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 7 سم
(ب) 3 سم
(ج) 4 سم
(د) 5 في

27. D و E هما نقطتا الوسط AB و AC لـ ∆ABC BC يتم إنتاجهما إلى أي نقطة يتم ربط P DE و DP و EP. ثم ، (SSC CGL 2nd Sit. 2012)

28. طول الوتر المشترك لدائرتين نصف قطرهما 15 سم و 20 سم بينهما مسافة 25 سم على حدة (بالسنتيمتر): (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 20
(ب) 24
(ج) 25
(د) 15

29. AB قطر دائرة مركزها O. CD هو وتر يساوي نصف قطر الدائرة. يتم إنتاج AC و BD للقاء عند P. ثم قياس ∠APB هو: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 120 درجة
(ب) 30 درجة
(ج) 60 درجة
(د) 90 درجة

30. R و r هما نصف قطر دائرتين (R & gt r). إذا كانت المسافة بين مركز الدائرتين d ، فإن طول الظل المشترك لدائرتين هو: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)

31. P نقطة خارج دائرة وتبعد 13 سم عن مركزها. القاطع المرسوم من النقطة P يتقاطع مع الدائرة عند النقطتين A و B بحيث يكون PA = 9 cm و AB = 7 cm. نصف قطر الدائرة: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 5.5 في
(ب) 5 سم
(ج) 4 سم
(د) 4.5 سم

32. محيطان لمثلثين متشابهين ∆ ABC و ∆PQR هما 36 سم و 24 سم على التوالي. إذا كان PQ = 10 سم ، فإن AB يكون: (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 25 سم
(ب) 10 سم
(ج) 15 سم
(د) 20 سم

33. في المثلث ذو الزاوية المنفرجة ABC ، ​​∠A هي الزاوية المنفرجة و O هي المركز العمودي. إذا كان ∠BOC = 54 ° ، فإن ∠BAC هو (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 108 درجة
(ب) 126 درجة
(ج) 136 درجة
(د) 116 درجة

34. إذا كانت نسبة المساحات لمثلثين متشابهين هي 9:16 ، فإن نسبة أضلاعهما المقابلة هي (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 3: 5
(ب) 3: 4
(ج) 4: 5
(د) 4: 3

35. لنفترض أن الوسيطين BE و CF لكل من ∆ABC و G هما نقطة تقاطعهما. اسمح أيضًا لـ EF بقطع AG عند O. ثم AO: OG هو (SSC CGL 1st Sit 2012)
(أ) 1: 1
(ب) 1: 2
(ج) 2: 1
(د) 3: 1

36. إذا كان S هو محيط ABC و A = 50 ° ، فإن قيمة ∠BCS هي (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 20 درجة
(ب) 40 درجة
(ج) 60 درجة
(د) 80 درجة

37. AC و BC هما وتران متساويان في الدائرة. يتم إنتاج BA إلى أي نقطة P و CP ، عندما يتم ربط الدائرة عند T. ثم (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) CT: TP = AB: CA
(ب) CT: TP = CA: AB
(ج) CT: CB = CA: CP
(د) CT: CB = CP: CA

38. PQ هو الظل المشترك المباشر لدائرتين من نصف القطر r1 و ص2 لمس بعضها البعض خارجيًا عند A. ثم قيمة

39. BC هو وتر من دائرة مركزها O. A هي نقطة على قوس رئيسي BC كما هو موضح في الشكل أعلاه. ما هي قيمة ∠BAC + ∠OBC؟ (جلسة SSC CGL الأولى 2012)

(أ) 120 درجة
(ب) 60 درجة
(ج) 90 درجة
(د) 180 درجة

40. دائرتان بنصف قطر 5 سم و 8 سم تلامسان بعضهما البعض خارجيًا عند نقطة أ. إذا كان خط مستقيم عبر النقطة A يقطع الدوائر عند النقطتين P و Q على التوالي ، فإن AP: AQ هي (SSC CGL 1st Sit 2012)
(أ) 8: 5
(ب) 5: 8
(ج) 3: 4
(د) 4: 5

41. إذا كنت في وسط ABC و A = 60 ° ، فإن قيمة ∠BIC هي (SSC CGL 1st Sit. 2012)
(أ) 100 درجة
(ب) 120 درجة
(ج) 150 درجة
(د) 110 درجة

42. المنصفات الخارجية لـ ∠B و ∠C لـ ABC تلتقي عند النقطة P. إذا كانت BAC = 80 ° ، فإن thenBPC هي (SSC CGL 1st Sit 2012)
(أ) 50 درجة
(ب) 40 درجة
(ج) 80 درجة
(د) 100 درجة

43. عندما يتأرجح بندول طوله 50 سم ، فإنه ينتج قوسًا يبلغ 16 سم. الزاوية التي تشكلت في قياس الدرجة هي (تقريبًا) (SSC CGL 1st Sit 2012)
(أ) 18 ° 25 & # 8242
(ب) 18 ° 35 & # 8242
(ج) 18 ° 20 & # 8242
(د) 18 ° 08 & # 8242

44. يجب رسم منحنى طريق سكة حديد على شكل دائرة. ما نصف القطر الذي يجب استخدامه إذا كان للمسار تغيير اتجاهه بمقدار 25 درجة على مسافة 40 مترًا؟ (جلسة SSC CGL الأولى 2012)
(أ) 91.64 متراً
(ب) 90.46 مترا
(ج) 89.64 مترا
(د) 93.64 مترا

45. نصف قطر دائرة المثلث المصنوع بواسطة المحور السيني والمحور الصادي و 4x + 3y = 12 هو (SSC CGL 2nd Sit 2012)
(أ) 2 وحدة
(ب) 2.5 وحدة
(ج) 3 وحدات
(د) 4 وحدات

46. ​​طول نصف القطر المحيط لمثلث له أطوال أطوال 12 سم و 16 سم و 20 سم (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 15 سم
(ب) 10 سم
(ج) 18 سم
(د) 16 سم

47. إذا كانت D هي النقطة الوسطى من الضلع BC من ABC وكانت مساحة ABD 16 سم 2 ، فإن مساحة ∆ABC هي (SSC CGL 2nd Sit 2012)
(أ) 16 سم 2
(ب) 24 سم 2
(ج) 32 سم 2
(د) 48 سم 2

48. ABC مثلث. يتقاطع الوسيطان CD و BE مع بعضهما البعض عند O. ثم A ODE: ∆ABC هو (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 1: 3
(ب) 1: 4
(ج) 1: 6
(د) 1:12

49. إذا كانت P ، R ، فارغة مساحة متوازي الأضلاع ، المعين والمثلث القائم على نفس القاعدة وبين نفس المتوازيات ، أي مما يلي صحيح؟ (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) R & ltP & ltT
(ب) P & gtR & gtT
(ج) R = P = T.
(د) R = P = 2T

50. AB هو قطر دائرة ∆APB N هو سفح العمود العمودي المرسوم من النقطة P على AB. إذا كان AP = 8 سم و BP = 6 سم ، فسيكون طول BN هو (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 3.6 سم
(ب) 3 سم
(ج) 3.4 سم
(د) 3.5 سم

51. دائرتان لهما نفس نصف القطر r تتقاطع مع بعضهما البعض وتمر إحداهما بمركز الأخرى. ثم طول الوتر المشترك هو (SSC CGL 2nd Sit. 2012)

52. منصف ∠A من ABC يقطع BC عند D وختان المثلث عند E. ثم (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) AB: AC = BD: DC
(ب) AD: AC = AE: AB
(ج) AB: AD = AC: AE
(د) AB: AD = AE: AC

53. دائرتان تتقاطعان عند P و Q. PA و PB هما قطران. ثم ∠AQB هو (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 120 درجة
(ب) 135 درجة
(ج) 160 درجة
(د) 180 درجة

54. O هو مركز الدائرة التي تمر عبر النقاط A و B و C بحيث تكون ∠BAO = 30 ° و BCO = 40 ° و AOC = x °. ما هي قيمة س؟ (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 70 درجة
(ب) 140 درجة
(ج) 210 درجة
(د) 280 درجة

55. A و B هما مركزا دائرتين نصف قطرهما 5 سم و 2 سم على التوالي. المماس المشترك المباشر للدوائر يلتقي AB الممتد عند P. ثم P يقسم AB. (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) خارجياً بنسبة 5: 2
(ب) داخليا بنسبة 2: 5
(ج). داخليًا بنسبة 5: 2
(د) خارجياً بنسبة 7: 2

56. عجلة تدور 3.5 مرات في ثانية واحدة. ما الوقت (بالثواني) الذي تستغرقه العجلة لتدوير 55 راديان من الزاوية؟ (SSC CGL 2nd Sit. 2012)
(أ) 1.5
(ب) 2.5
(ج) 3.5
(د) 4.5

57. إذا كانت مساحة المثلث متساوي الأضلاع هي A والارتفاع b ، إذن

58. المثلث PQR يحدد دائرة مركزها O ونصف قطرها rcm بحيث ∠PQR = 90 °. إذا كان PQ = 3 سم ، QR = 4 سم ، فإن قيمة r هي: (SSC Sub. Ins. 2013)
(أ) 2
(ب) 1.5
(ج) 2.5
(د) 1

59- في الشكل التالي. AB هو قطر دائرة مركزها O. إذا كانت AOE = 150 درجة. ∠DAO = 51 درجة ثم مقياس CBE هو: (SSC Sub. Ins. 2013)

60. مساحة المثلثين المتشابهين ABC و DEF هي 20 سم 2 و 45 سم 2 على التوالي. إذا كان AB = 5 سم. ثم DE يساوي: (SSC Sub. Ins. 2013)
(أ) 6.5 سم
(ب) 7.5 سم
(ج) 8.5 سم
(د) 5.5 سم

61. في المثلث ABC ، ​​يتم إنتاج BC إلى D بحيث يكون CD = AC. إذا كانت ∠BAD = 111 ° و ACB = 80 ° ، فإن مقياس ∠ABC هو: (SSC Sub. Ins. 2013)
(أ) 31 درجة
(ب) 33 درجة
(ج) 35 درجة
(د) 29 درجة

62. في ABC ∠A + ∠B = 145 درجة و C + 2∠B = 180 درجة. الحالة أي من العلاقات التالية صحيحة؟ (SSC الفرعية الإضافية 2013)
(أ) CA = AB
(ب) CA & ltAB
(ج) BC & gtAB
(د) CA & gtAB

63. من النقطة P ، يتم رسم ظلين PA و PB على دائرة مركزها O. إذا كانت OP مساوية لقطر الدائرة ، فإن APB هي (SSC CHSL 2013)
(أ) 60 درجة
(ب) 45 درجة
(ج) 90 درجة
(د) 30 درجة

64. وتر طوله 12 سم مرسوم في دائرة قطرها 20 سم. مسافة الوتر من المركز هي (SSG CHSL 2013)
(أ) 16 سم
(ب) 8 سم
(ج) 6 سم
(د) 10 سم

65. 360 سم مربع و 250 سم مربع هي مناطق مثلثين متشابهين. إذا كان طول أحد أضلاع المثلث الأول 8 سم ، فإن طول الضلع المقابل للمثلث الثاني يكون (SSC CHSL 2013)

66. إذا كانت في ABC، ∠ABC = 5∠ACB و ∠ BAC = 3 ∠ACB ، فإن ABC = (SSC CHSL 2013)
(أ) 120 درجة
(ب) 130 درجة
(ج) 80 درجة
(د) 100 درجة

67- تلتقي الخطوط العمودية المرسومة من الرؤوس إلى الجوانب المتقابلة للمثلث عند النقطة التي اسمها (SSC CHSL 2013)
(أ) مركز تقويم العظام
(ب) الحافز
(ج) محيط
(د) النقطه الوسطى

68. إذا كان ∆ABC مشابهًا لـ ADEF بحيث يكون BC = 3 سم ، و EF = 4 سم ومساحة ∆ABC = 54 سم 2 ، فإن مساحة ADEF هي: (SSC CGL 1st Sit 2013)
(أ) 54 سم 2
(ب) 66 سم 2
(ج) 78 سم 2
(د) 96 سم 2

69. وتر AB من الدائرة C1 نصف قطرها (√3 +1) سم تلامس الدائرة C2 وهو متحدة المركز لـ C1. إذا كان نصف قطر C2 هو

70. في المثلث ABC، AB = AC، ∠BAC = 40 °. ثم الزاوية الخارجية عند B هي: (SSC CGL 1st Sit 2013)
(أ) 80 درجة
(ب) 90 درجة
(ج) 70 درجة
(د) 110 درجة

71. وتر طوله 30 سم على مسافة 8 سم من مركز الدائرة. نصف قطر الدائرة: (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 19
(ب) 17
(ج) 23
(د) 21

72. إذا كانت ABCD عبارة عن مستطيل وكانت P ، Q ، R ، S هي نقاط المنتصف

73. P و Q نقطتان على دائرة مركزها O. R هي نقطة على القوس الصغير للدائرة ، بين النقطتين P و Q. وتلتقي مماسات الدائرة عند النقطتين P و Q. النقطة S. إذا كانت PSQ = 20 ° ، ∠PRQ =؟ (جلسة SSC CGL الأولى 2013)
(أ) 100 درجة
(ب) 80 درجة
(ج) 200 درجة
(د) 160 درجة

74. AB و CD هما وتران متوازيان لدائرة بحيث AB = 10 cm و CD = 24 cm. إذا كانت الأوتار على جانبي المركز المتقابل وكانت المسافة بينهما 17 سم ، فإن نصف قطر الدائرة يكون: (SSC CGL 1st Sit 2013)
(أ) 10 سم
(ب) 11 سم
(ج) 12 سم
(د) 13 سم

75. ABC هو مثلث متساوي الساقين بحيث AB = AC و ∠B = 35 °. AD هو متوسط ​​القاعدة BC. ثم ∠BAD هو: (SSC CGL 1st Sit 2013)
(أ) 55 درجة
(ب) 70 درجة
(ج) 35 درجة
(د) 110 درجة

76. ABCD هو شبه منحرف دائري مع AB || DC و AB = وقطر الدائرة. إذا كان ∠CAB = 30 ° ، فإن ADC هو (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(أ) 60 درجة
(ب) 120 درجة
(ج) 150 درجة
(د) 30 درجة

77. ABC مثلث. تتقاطع مناصرات الزاوية الداخلية B والزاوية الخارجية C عند D. إذا كان BDC = 50 درجة ، فإن A تكون (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(أ) 100 درجة
(ب) 90 درجة
(ج) 120 درجة
(د) 60 درجة

78. AB هو وتر من دائرة مركزها O و DOC هو قطعة مستقيمة تنشأ من النقطة D على الدائرة وتتقاطع ، AB ينتج عند C بحيث يكون BC = OD. إذا كانت ∠BCD = 20 ° ، إذن ∠AOD =؟ (جلسة SSC CGL الثانية. 2013)
(أ) 20 درجة
(ب) 30 درجة
(ج) 40 درجة
(د) 60 درجة

79. في دائرة نصف قطرها 17 cm ، يرسم وتران متوازيان أطوالهما 30 cm و 16 cm. إذا كان كلا الحبلين على نفس الجانب من المركز ، فإن المسافة بين الأوتار تكون (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(أ) 9 سم
(ب) 7 سم
(ج) 23 سم
(د) 11 سم

80. أ ب ج مثلث قائم الزاوية ، ب هو الزاوية القائمة. نقاط المنتصف من BC و AC هي على التوالي B & # 8217 و A & # 8217. نسبة مساحة الشكل الرباعي AA & # 8217 B & # 8217B إلى مساحة المثلث ABC هي (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(أ) 1: 2
(ب) 2: 3
(ج) 3: 4
(د) لا شيء مما سبق

81. في المثلث ABC ، ​​يتم تمديد الضلع BC حتى D. بحيث يكون CD = AC ، إذا كانت BAD = 109 ° و ∠ACB = 72 ° فإن قيمة ∠ABC هي (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(أ) 35 درجة
(ب) 60 درجة
(ج) 40 درجة
(د) 45 درجة

82. دائرتان تتلامسان داخليًا. نصف قطرها 2 سم و 3 سم. الوتر الأكبر في الدائرة الكبرى والذي يقع خارج الدائرة الداخلية للطول.

83. ABCD عبارة عن رباعي دوري AB و DC يتم إنتاجهما للقاء عند P. إذا كانت ADC = 70 درجة و DAB = 60 درجة ، فإن ∠PBC + ∠PCB هو (SSC CGL 2nd sit. 2013)
(أ) 130 درجة
(ب) 150 درجة
(ج) 155 درجة
(د) 180 درجة

84. من النقطة P التي تقع على مسافة 13 سم من المركز O في دائرة نصف قطرها 5 سم ، في نفس المستوى ، يتم رسم زوج من المماس PQ و PR إلى الدائرة. منطقة PQOR الرباعية هي (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(أ) 65 سم 2
(ب) 60 سم 2
(ج) 30 سم 2
(د) 90 سم 2

85. إذا كانت الأقواس ذات الطول المربع في دائرتين تقابل زاويتين 60 درجة و 75 درجة في مراكزها ، فإن نسبة نصف قطرها هي (SSC CGL 2nd Sit. 2013)
(أ) 3: 4
(ب) 4: 5
(ج) 5: 4
(د) 3: 5

86. N هي سفح العمود العمودي من النقطة P في دائرة نصف قطرها 7 cm ، على قطر AB من الدائرة. إذا كان طول الوتر PB هو 12 سم ، فإن مسافة النقطة N من النقطة B هي (SSC CGL 1st Sit. 2013)

87.

88. إذا كان G هو النقطه الوسطى ∆ABC و ∆ABC = 48 سم 2 ، فإن مساحة BGC هي (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 16 سم 2
(ب) 24 سم 2
(ج) 32 سم 2
(د) 8 سم 2

89. يتقاطع القطران AC و BD لدوري رباعي ABCD مع بعضهما البعض عند النقطة P. ثم ، فمن الصحيح دائمًا أن (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) AP.BP = CP.DP
(ب) AP.CD = AB.CP
(ج) BP. AB = CD. CP
(د) AP. CP = BP. موانئ دبي

90. إذا كان O هو محيط المثلث PQR و QOR = 110 ° ، OPR = 25 ° ، فإن قياس ∠PRQ هو (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 55 درجة
(ب) 60 درجة
(ج) 65 درجة
(د) 50 درجة

91. عصا عمودية بطول 12 سم تلقي بظلالها على الأرض بطول 8 سم. في الوقت نفسه ، يلقي البرج بظلاله على الأرض بطول 40 مترًا. ارتفاع البرج (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 65 م
(ب) 70 م
(ج) 72 م
(د) 60 م

92. A ، B ، C ، D أربع نقاط على دائرة. يتقاطع AC و BD عند النقطة E بحيث تكون ∠BEC = 130 ° و ECD = 20 °. ∠BAC = 130 درجة و ECD = 20 درجة. ∠BAC هو (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 100 درجة
(ب) 110 درجة
(ج) 120 درجة
(د) 90 درجة

93. في المثلث ، إذا تساوت ثلاثة ارتفاعات ، يكون المثلث (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) حق
(ب) Isoceles
(ج) منفرج
(د) متساوي الأضلاع

94. A، B، P هي ثلاث نقاط على دائرة مركزها O. إذا كانت OAP = 25 ° و OBP = 35 ° ، فإن قياس AOB هو (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 120 درجة
(ب) 60 درجة
(ج) 75 درجة
(د) 150 درجة

95.

96. طول الظل (حتى نقطة الاتصال) المرسوم من نقطة خارجية P إلى دائرة نصف قطرها 5 cm هو 12 cm. مسافة P من مركز الدائرة هي (SSC CGL Ist. Sitt 2013)
(أ) 11 سم
(ب) 12 سم
(ج) 13 سم
(د) 14 سم

97. ABCD شكل رباعي دوري ، AB هو قطر الدائرة. إذا كانت ∠ACD = 50 درجة ، فإن قيمة ∠BAD هي (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 30 درجة
(ب) 40 درجة
(ج) 50 درجة
(د) 60 درجة

98. دائرتان متساويتان من الراديكوش خارجياً عند النقطة P. من النقطة T على المماس عند P ، يتم رسم المماس TQ و TR إلى الدوائر بنقطتي التلامس Q و R على التوالي. العلاقة بين TQ و TR هي (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) TQ & ltTR
(ب) TQ & gtTR
(ج) TQ = 2TR
(د) TQ = TR

99. عندما تتلامس دائرتان خارجيًا ، يكون عدد الظلال المشتركة (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 4
(ب) 3
(ج) 2
(د) 1

100. D و E هما نقطتا الوسط AB و AC لـ ABC. إذا كانت A = 80 ° ، °C = 35 ° ، إذن ،EDB تساوي (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 100 درجة
(ب) 115 درجة
(ج) 120 درجة
(د) 125 درجة

101. إذا كان نصف قطر مثلث بمحيط 32 سم يساوي 6 سم ، فإن مساحة المثلث بالسنتيمتر المربع هي (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 48
(ب) 64
(ج) 100
(د) 96

102. مجموع ارتفاعات المثلث الثلاثة هو (SSCCGL 1st Sit. 2013)
(أ) يساوي مجموع الجوانب الثلاثة
(ب) أقل من مجموع الأضلاع
(ج) أكبر من مجموع الأضلاع
(د) ضعف مجموع الأضلاع

103. في ABC، ∠A + ∠B = 65 °، ∠B + ∠C = 140 ° ، ثم أوجد ∠B. (جلسة SSC CGL الأولى. 2013)
(أ) 40 درجة
(ب) 25 درجة
(ج) 35 درجة
(د) 20 درجة

104. طول الظل المرسوم لدائرة نصف قطرها 4 سم من نقطة تبعد 5 سم عن مركز الدائرة هو (SSC CGL 1st Sit 2013)
(أ) 3 سم
(ب) 4√2 في
(ج) 5√2 سم
(د) 3√2 أ

105. الشكل الرباعي الدوري ABCD هو AB = BC ، AD = DC ، AC BD ، ∠CAD =. ثم الزاوية ∠ABC = (SSC CGL 1st Sit 2013)

106. ارتفاع مثلث متساوي الأضلاع 15 سم. مساحة المثلث هي (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 50√3 سم مربع.
(ب) 70√3 سم مربع.
(ج) 75√3 سم مربع.
(د) 150√3 سم مربع.

107. وتران متوازيان لدائرة قطرها 20 سم على جانبي المركز بطول 12 سم و 16 سم. المسافة بين الأوتار هي (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 16 سم
(ب) 24 سم
(ج) 14 سم
(د) 20 سم

108. في ∆ABC، DE || تيار متردد. D و E نقطتان على AB و CB على التوالي. إذا كان AB = 10 سم و 24 سم ، فإن BE: CE هي (SSC CGL 1st Sit 2013)
(أ) 2: 3
(ب) 2: 5
(ج) 5: 2
(د) 3: 2

109. A و B و C هي النقاط الثلاث الموجودة على الدائرة ، بحيث تكون gles التي يقابلها الوتران AB و AC في المركز O 90 ° و 110 ° على التوالي. ∠BAC يساوي (SSC CGL 1st Sit. 2013)
(أ) 70 درجة
(ب) 80 درجة
(ج) 90 درجة
(د) 100 درجة

110.

111. في ∆ABC و AD و BE و CF ثلاثة متوسطات. محيط ∆ABC دائمًا (SSC Sub. Ins. 2014)

112.

113- دائرتان نصف قطر 25 سم و 9 سم تلامسان بعضهما البعض خارجياً. طول الظل المشترك المباشر هو (SSC Sub. Ins. 2014)
(أ) 34 سم
(ب) 30 سم
(ج) 36 سم
(د) 32 سم

114- إذا كان AB = 5 سم ، و AC = 12 ، و AB then AC ، فإن نصف قطر دائرة ∆ABC هو (SSC Sub. Ins. 2014)
(أ) 6.5 سم
(ب) 6 سم
(ج) 5 سم
(د) 7 سم

115. مجموع الزوايا الداخلية للمضلع هو 1444 درجة. عدد جوانب المضلع هو (SSC CHSL 2014)
(أ) 6
(ب) 9
(ج) 10
(د) 12

116. في ∆ABC و D و E نقطتان على الجانبين AB و AC

117. يبلغ محيط مثلثين متشابهين ∆ABC و APQR 3 6 سم و 24 سم على التوالي. إذا كان PQ = 10 سم ، فإن AB يكون (SSC CHSL 2014)
(أ) 15 سم
(ب) 12 سم
(ج) 14 سم
(د) 26 سم

118. إذا كانت أضلاع المثلث القائم الزاوية عبارة عن ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ، يكون طول أصغر ضلع هو (SSC CHSL 2014)
(أ) 3 وحدات
(ب) وحدتان
(ج) 4 وحدات
(د) 5 وحدات

119. تتقاطع دائرتان عند النقطتين A و B. يتقاطع خط مستقيم موازٍ لـ AB مع الدوائر عند C و D و E و F. إذا كان CD = 4.5 cm ، فإن مقياس EF هو (SSC CHSL 2014)
(أ) 1.50 سم
(ب) 2.25 سم
(ج) 4.50 سم
(د) 9.00 سم

120. في الشكل الرباعي ABCD ، يلتقي منصفا A و B عند O. إذا كانت C = 70 ° و D = 130 ° ، فإن قياس AOB هو (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(أ) 40 درجة
(ب) 60 درجة
(ج) 80 درجة
(د) 100 درجة

121. في ∆ABC و E و D هي نقاط على الجانبين AB و AC على التوالي بحيث تكون ∠ABC = ∠ADE. إذا كان AE = 3 سم ، AD = 2 سم و EB = 2 سم ، فإن طول DC يكون (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(أ) 4 سم
(ب) 4.5 سم
(ج) 5.0 سم
(د) 5.5 سم

122. في دائرة مركزها O ، AB هو وتر ، و AP هو مماس للدائرة. إذا كان ∠AOB = 140 درجة ، فإن مقياس ∠PAB هو (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(أ) 35 درجة
(ب) 55 درجة
(ج) 70 درجة
(د) 75 درجة

123. في ∆ABC ، ​​∠A & lt∠B. الارتفاع إلى القاعدة يقسم الرأس

124- إذا كانت O هي مركز ∆ABC إذا كانت ∠BOC = 120 ° ، فإن قياس ∠BAC هو (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(أ) 30 درجة
(ب) 60 درجة
(ج) 150 درجة
(د) 75 درجة

125. وتران متوازيان لدائرة قطرها 20 سم بطول 12 سم و 16 سم. إذا كانت الأوتار في نفس الجانب من المركز ، فإن المسافة بينهما (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(أ) 28 سم
(ب) 2 سم
(ج) 4 سم
(د) 8 سم

126. الزاوية الداخلية لمضلع منتظم 140 درجة. عدد جوانب ذلك المضلع هو (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(أ) 9
(ب) 8
(ج) 7
(د) 6

127. إذا كانت دائرتان بطول 9 سم و 4 سم تلامسان خارجيًا ، فسيكون طول الظل المشترك (SSC CGL 1st Sit. 2014)
(أ) 5 سم
(ب) 7 سم
(ج) 8 سم
(د) 12 سم

128. إذا كان المثلث ABC و BE و CF عبارة عن متوسطين متعامدين مع بعضهما البعض وإذا كان AB = 19 سم و AC = 22 سم فإن طول BC يكون: (SSC Sub. Ins. 2015)
(أ) 20.5 سم
(ب) 19.5 سم
(ج) 13 سم
(د) 26 سم

129. تتقاطع دائرتان من نصف القطر 10 سم و 8 سم ويبلغ طول الوتر المشترك 12 سم. ثم المسافة بين مراكزهم هي: (SSC الفرعية Ins. 2015)
(أ) 15 سم
(ب) 10 سم
(ج) 8 سم
(د) 13.3 سم

130. مثلثان متساوي الساقين لهما زوايا رأسية متساوية ومساحتهما في النسبة 16: 9. ثم نسبة ارتفاعاتهم المقابلة هي: (SSC الفرعية Ins. 2015)
(أ) 4.5: 8
(ب) 8: 4.5
(ج) 3: 4
(د) 4: 3

131- يبلغ محيط المثلثين المتشابهين 30 سم و 20 سم على التوالي. إذا كان أحد أضلاع المثلث الأول 9 سم. حدد الجانب المقابل للمثلث الثاني: (SSC Sub. Ins. 2015)
(أ) 15 سم
(ب) 5 سم
(ج) 6 سم
(د) 13.5 سم

132- يبلغ قطر الحقل الرباعي الشكل 24 متراً والعموديان الساقطان عليه من الرءوس المقابلة المتبقية هما 8 م و 13 م. مساحة الحقل هي: (SSC Sub. Ins. 2015)
(أ) 252 م 2
(ب) 1152 م 2
(ج) 96 م 2
(د) 156 م 2

133- في ABC ، ​​∠B = 60 ° ، C = 40 ° AD و AE هما على التوالي منصف A وعمودي على BC. مقياس EAD هو: (SSC CHSL 2015)
(أ) 9 درجات
(ب) 11 درجة
(ج) 12 درجة
(د) 10 درجات

134- ABCD مربع. ارسم مثلث QBC على الجانب BC مع الأخذ في الاعتبار BC كقاعدة وارسم مثلث PAC على AC كقاعدته مثل ∆QBC

∆PAC.

135. المسافة بين مركزي دائرتين بنصف قطر 3 سم و 8 سم هي 13 سم. إذا كانت نقاط الاتصال الخاصة بالماس المشترك المباشر للدوائر هي P و Q ، فإن طول مقطع الامتياز PQ هو: (SSC CHSL 2015)
(أ) 11.9 سم
(ب) 11.5 سم
(ج) 12 سم
(د) 11.58 سم

136- في ∆ABC ، ​​AB = BC = K ، AC = √2 K ، ثم ∆ABC هي: (SSC CHSL 2015)
(أ) مثلث متساوي الساقين
(ب) مثلث قائم الزاوية
(ج) مثلث متساوي الأضلاع
(د) مثلث متساوي الساقين الأيمن

137. تتلامس دائرتان من نصف القطر 5 سم و 3 سم من الخارج ، ثم النسبة التي يقسم فيها الظل المشترك المباشر للدوائر خارجيا الخط الذي يربط بين مراكز الدوائر هي: (SSC CHSL 2015)
(أ) 2.5: 1.5
(ب) 1.5: 2.5
(ج) 3: 5
(د) 5: 3

138. في ABC ، ​​يقطع الخط المار بـ A الضلع BC عند D بحيث يكون BD: DC = 4: 5. إذا كانت مساحة ∆ABD = 60 سم 2 ، فإن مساحة ADC هي (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 50 سم 2
(ب) 60 سم 2
(ج) 75 سم 2
(د) 90 سم 2

139. يُرسم الظل إلى دائرة نصف قطرها 6 سم من نقطة تقع على مسافة 10 سم من مركز الدائرة. سيكون طول الظل (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 4 سم
(ب) 5 في
(ج) 8 سم
(د) 7 سم

140. عمودان بارتفاع 7 م و 12 م يقفان على سطح مستو. إذا كانت المسافة بين أقدامهم 12 مترًا ، فستكون المسافة بين قمتهم (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 13 م
(ب) 19 م
(ج) 17 م
(د) 15 م

141- قياس الزاوية التي يزيد حجم ملحقها عن ثلاثة أضعاف (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 30 درجة
(ب) 45 درجة
(ج) 60 درجة
(د) 75 درجة

142- أضلاع المثلث الذي تبلغ مساحته 7776 سم مربع بنسبة 3: 4: 5. محيط المثلث هو (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 400 سم
(ب) 412 سم
(ج) 424 سم
(د) 432 سم

143- وترين بطول الوحدة والوحدة b للدائرة يصنعان الزاويتين 60 درجة و 90 درجة في مركز الدائرة على التوالي ، ثم العلاقة الصحيحة هي (SSC CGL 1st Sit. 2015)

144- في متوازي الأضلاع PQRS ، الزاوية P تساوي أربع مرات للزاوية Q ، ثم قياس ∠R هو (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 36 درجة
(ب) 72 درجة
(ج) 130 درجة
(د) 144 درجة

145. إذا بدأت الساعة عند الظهر ، فإن الزاوية التي تم تدويرها بواسطة عقرب الساعة عند 3.45 مساءً هي (SSC CGL 1st Sit. 2015)

146. لنفترض أن C و C2 هي الدوائر المنقوشة والمحدودة لمثلث له جوانب 3 سم و 4 سم و 5 سم ثم تكون مساحة C1 إلى منطقة C2 هي (SSC CGL 1st Sit. 2015)

147. إذا كانت زوايا المثلث الثلاث هي:

(أ) سكالين
(ب) متساوي الساقين
(ج) بزاوية قائمة
(د) متساوي الأضلاع

148. إذا تم الإشارة إلى عدد الرؤوس والحواف والوجوه في خط متوازي المستطيل بالرمز v و e و f على التوالي ، فإن قيمة (v & # 8211 e + f) هي (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 4
(ب) 2
(ج) 1
(د) 0

149. إذا كان ارتفاع المثلث متساوي الأضلاع هو 12-3 سم ، فإن مساحته ستكون: (SSC CGL 1st Sit. 2015)

150. المنصفات الداخلية لـ ∠Q و ∠R من APQR تتقاطع عند O. إذا كانت ROQ = 96 درجة ، فإن قيمة ∠RPQ هي: (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 12 درجة
(ب) 6 درجات
(ج) 36 درجة
(د) 24 درجة

151. إذا كان قياس الزوايا الثلاث للمثلث بنسبة 2: 3: 5 ، فإن المثلث هو: (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) متساوي الأضلاع
(ب) متساوي الساقين
(ج) بزاوية منفرجة
(د) بزاوية قائمة

152- G هي النقطه الوسطى من ∆ABC. يتقاطع الوسيطان AD و BE بزوايا قائمة. إذا كان طول كل من AD و BE 9 سم و 12 سم على التوالي ، فإن طول AB (بالسنتيمتر) يكون؟ (جلسة SSC CGL الأولى. 2015)
(أ) 10
(ب) 10.5
(ج) 9.5
(د) 11

153- إذا سافر شخص من النقطة L باتجاه الشرق لمسافة 12 كيلومترًا ثم قطع مسافة 5 كيلومترات باتجاه الشمال ووصل إلى النقطة M ، فإن أقصر مسافة من L إلى M هي: (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 14
(ب) 12
(ج) 17
(د) 13

154- إذا كانت D و E و Fare هي النقاط المتوسطة لـ BC و CA و AB على التوالي من ∆ABC ، ​​فإن نسبة مساحة متوازي الأضلاع DEFB ومنطقة شبه المنحرف CAFD هي: (SSC CGL 1st Sit. 2015)
(أ) 1: 3
(ب) 1: 2
(ج) 3: 4
(د) 2: 3

155. O هو مركز العظام لـ ∆ABC ، ​​وإذا كان BOC = 110 ° فسيكون ∠BAC (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 110 درجة
(ب) 70 درجة
(ج) 100 درجة
(د) 90 درجة

156. BE و CF هما ارتفاعان لمثلث ABC. إذا كان AB = 6 سم ، AC = 5 سم ، CF = 4 سم ، ثم طول BE (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 4.8 سم
(ب) 7.5 سم
(ج) 3.33 سم
(د) 5.5 سم

157. في A ABC ، ​​BC ممتد حتى D (SSC CGL 1st Sit. 2016)

(أ) 60 درجة
(ب) 75 درجة
(ج) 80 درجة
(د) 90 درجة

158. O هو مركز الدائرة و AB هو مماسها الذي يلامس النقطة B. إذا كان OB = 3 cm. و OA = 5 سم ، ثم قياس AB بالسنتيمتر هو (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) -34
(ب) 2
(ج) 8
(د) 4

159. X و Y هما النقطتان الوسطيتان للضلعين AB و AC لمثلث ABC. إذا كان BC + XY = 12 وحدة ، فإن BC & # 8211 XY يكون (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 8 وحدات
(ب) 4 وحدات
(ج) 6 وحدات
(د) وحدتان

160. في ∆PQR و L و M نقطتان على الجانبين PQ و PR على التوالي مثل LM || ريال قطري. إذا كان PL = 2 سم LQ = 6 سم و PM = 1.5 سم ، فإن MR بالسم هو (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 0.5
(ب) 4.5
(ج) 9
(د) 8

161. طول نصف قطر دائرة مركزها O يساوي 5 سم وطول الوتر AB يساوي 8 سم. مسافة الوتر AB من النقطة O هي (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 2 سم
(ب) 3 سم
(ج) 4 سم
(د) 15 سم

162. في المثلث ABC ، ​​إذا كان A + C = 140 درجة و∠A + 3∠B = 180 درجة ، فإن A تساوي (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 80 درجة
(ب) 40 درجة
(ج) 60 درجة
(د) 20 درجة

163. إذا كان PA و PB هما ظلان لدائرة مع المركز O بحيث يكون APB = 80 °. ثم ، ∠AOP =؟ (جلسة SSC CGL الأولى. 2016)
(أ) 40 درجة
(ب) 50 درجة
(ج) 60 درجة
(د) 70 درجة

164. أي مجموعة من الأضلاع الثلاثة يمكن & # 8217t أن تشكل مثلثًا؟ (جلسة SSC CGL الأولى. 2016)
(أ) 5 سم ، 6 سم ، 7 سم
(ب) 5 سم ، 8 سم ، 15 سم
(ج) 8 سم ، 15 سم ، 18 سم
(د) 6 سم ، 7 سم ، 11 سم

165. AB هو قطر دائرة مركزها O و P هي نقطة على محيطها ، إذا كانت POA = 120 ° ، فإن قيمة ∠PBO هي: (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 30 درجة
(ب) 60 درجة
(ج) 50 درجة
(د) 40 درجة

166. القوس 30 ° في دائرة واحدة هو ضعف قوس في دائرة ثانية نصف قطرها ثلاثة أضعاف نصف قطر الدائرة الأولى. ثم الزوايا التي يقابلها قوس الدائرة الثانية في مركزها هي (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 3 درجات
(ب) 4 درجات
(ج) 5 درجات
(د) 6 درجات

167. أي من النسب التالية يمكن أن تكون نسبة أضلاع مثلث قائم الزاوية؟ (جلسة SSC CGL الأولى. 2016)
(أ) 9: 6: 3
(ب) 13:12: 5
(ج) 7: 6: 5
(د) 5: 3: 2

168. عدد الدوائر التي يمكن رسمها من خلال ثلاث نقاط غير خطية هو (SSC CGL 1st Sit 2016)
(أ) واحد بالضبط
(ب) اثنان
(ج) ثلاثة
(د) أكثر من ثلاثة

169. دائرتان تتلامسان داخليًا. نصف قطر الدائرة الصغيرة 6 سم والمسافة بين مركز دائرتين 3 سم. نصف قطر الدائرة الأكبر هو (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 7.5 سم
(ب) 9 سم
(ج) 8 سم
(د) 10 سم

170. PQR مثلث متساوي الأضلاع. يتم رسم MN بالتوازي مع QR بحيث يكون M على PQ و N على PR. إذا كان PN = 6 سم ، فإن طول MN هو (SSC CGL 1st Sit. 2016)
(أ) 3 سم
(ب) 6 سم
(ج) 12 سم
(د) 4.5 سم

171. في المثلث ABC ، ​​∠B AC = 50 ° وتلتقي منصفات ABC و ACB عند P. ما هي قيمة ∠BPC (بالدرجات)؟ (SSC CGL2017)
(أ) 100
(ب) 105
(ج) 115
(د) 125

172- تتقاطع دائرتان من نفس نصف القطر عند P و Q. إذا كان طول الوتر المشترك 30 سم وكانت المسافة بين مركزي الدائرتين 40 سم ، فما نصف القطر (بالسنتيمتر) للدائرتين ؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 25
(ب) 25-2
(ج) 50
(د) 50√2

173. في الشكل الآتي ، ∠QRN = 40 ° ، PQR = 46 ° ، MN هو ظل عند R. ما قيمة (بالدرجات) x و y و z على التوالي؟ (SSC CGL 2017)

(أ) 40 و 46 و 94
(ب) 40 و 50 و 90
(ج) 46 ، 54 ، 80
(د) 50 و 40 و 90

174. في ∆PQR، ∠R = 54 ° ، يلتقي المنصف العمودي لـ PQ عند S مع QR عند T. إذا كانت ∠TPR = 46 ° ، فما قيمة ∠PQR (بالدرجات)؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 25
(ب) 40
(ج) 50
(د) 60

175. محيط المثلث متساوي الساقين هو 32 سم وكل ضلع متساوي الأضلاع يساوي 5/6 مرات من القاعدة. ما هي مساحة المثلث (سم 2)؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 39
(ب) 48
(ج) 57
(د) 64

176- إذا كان طول كل جانب من جوانب المعين PQRS 8 سم و PQR = 120 ° ، فما هو طول QS (بالسنتيمتر)؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 4-5
(ب) 6
(ج) 8
(د) 12

177. في الشكل التالي ، ABC مثلث. منصفات B الداخلية والخارجية C تتقاطع عند D. إذا كانت ∠BDC = 48 ° ، فما قيمة A (بالدرجات)؟ (SSC CGL 2017)

(أ) 48
(ب) 96
(ج) 100
(د) 114

178. في الشكل الآتي ، O هو مركز الدائرة و DCE = 45 °. إذا كان CD = 10√2 cm ، فما طول AC (بالسنتيمتر). (CB = BD): (SSC CGL 2017)

(أ) 14
(ب) 15.5
(ج) 18.5
(د) 20

179. في المثلث ABC ، ​​يرسم خط من الرأس A إلى النقطة D على BC. إذا كان BC = 9 سم و DC = 3 سم ، فما هي نسبة مساحة المثلث ABD والمثلث ADC على التوالي؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 1: 1
(ب) 2: 1
(ج) 3: 1
(د) 4: 1

180. PQR هو مثلث قائم الزاوية حيث ∠R = 90 °. إذا كانت RS ⊥ PQ و PR = 3 سم و RQ = 4 سم ، فما قيمة RS (بالسنتيمتر)؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 12/5
(ب) 36/5
(ج) 5
(د) 2.5

181. في المثلث PQR ، A هي نقطة تقاطع جميع الارتفاعات و B هي نقطة تقاطع جميع منصفات الزوايا في المثلث. إذا كانت ∠PBR = 105 ° ، فما قيمة ∠PAR (بالدرجات)؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 60
(ب) 100
(ج) 105
(د) 115

182. إذا كان هناك أربعة خطوط في المستوى ، فماذا لا يمكن أن يكون عدد نقاط تقاطع هذه الخطوط؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 0
(ب) 5
(ج) 4
(د) 7

183. في ABC ، ​​∠BAC = 90 درجة ، ويتم رسم AD بشكل عمودي على BC. إذا كان BD = 7 سم و CD = 28 سم ، فما طول AD (بالسنتيمتر)؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 3.5
(ب) 7
(ج) 10.5
(د) 14

184- وتر طوله 60 سم على مسافة 16 سم من مركز الدائرة. ما نصف قطر الدائرة (بالسنتيمتر)؟ (SSC CGL 2017)
(أ) 17
(ب) 34
(ج) 51
(د) 68

185. في الشكل الموضح ، تلامس دائرة أصغر دائرة أكبر عند P وتمر عبر مركزها O. PR هو وتر طوله 34 سم ، فما هو طول PS (بالسنتيمتر)؟ (SSC CGL 2017)

(أ) 9
(ب) 17
(ج) 21
(د) 25

186. في الشكل التالي ، ABC مثلث فيه ، AB = 10 سم ، AC = 6 سم ، والارتفاع AE = 4 سم. إذا كان AD هو قطر الدائرة المحيطة ، فما طول نصف القطر (بالسنتيمتر)؟ (SSC CGL 2017)

(أ) 3
(ب) 7.5
(ج) 12
(د) 15

187. أوجد مجموع الزوايا الداخلية لثنائي أضلاع؟ (SSC CHSL 2017)
(أ) 1620 درجة
(ب) 1800 درجة
(ج) 1440 درجة
(د) 1260 درجة

188. في ∆PQR ، P: ∠Q: ∠R = 2: 2: 5. يتم رسم خط موازٍ لـ QR الذي يلامس PQ و PR عند A و B على التوالي. ما هي قيمة ∠PBA & # 8211 ∠PAB؟ (SSC الفرعية Ins. 2017)
(أ) 60
(ب) 30
(ج) 24
(د) 36

189. في الشكل الآتي ، O هو مركز الدائرة ، ∠DAB = 110 ° و ∠BEC = 100 °. ما هي قيمة (بالدرجات) ∠OCB؟ (SSC الفرعية Ins. 2017)

(أ) 5
(ب) 10
(ج) 15
(د) 20

190. إذا كانت ADEF مائلة بزاوية قائمة عند E ، و DE = 15 و DFE = 60 ° ، فما قيمة EF؟ (SSC الفرعية Ins. 2017)
(أ) 5-3
(ب) 5
(ج) 15
(د) 30

191. في الشكل التالي ، مساحة المثلث متساوي الساقين PQT هي 128 سم 2 و QT = PQ و PQ = 4 PS ، PT || SR ، إذن ما هي المساحة (بالسنتيمتر 2) من PTRS الرباعي؟ (SSC الفرعية Ins. 2017)

(أ) 80
(أ) 64
(ج) 124
(د) 72

192. في الشكل الآتي ، يمر BD عبر المركز O ، AB = 12 ، AC = 8. ما نصف قطر الدائرة؟ (SSC الفرعية Ins. 2017)


تغطية الرموز

12.2 خوارزمية جشعة وأغطية جيدة

توضح النظرية التالية وجود أغلفة جيدة من خلال خوارزمية جشعة شبه بناءة (انظر القسم 20.3 للقضايا شبه البناءة).

يتركأيكون 0-1 مصفوفة تحتوي على عدد N من الصفوف والأعمدة M. افترض أن كل صف يحتوي على واحد على الأقل وأن كل عمود يحتوي على واحد على الأكثر. ثم يوجد حرف N. x مصفوفة فرعية كجمنأمع

دليل. في الواقع ، إخراج خوارزمية ج قدم. جلس أأ = أ. اختر مجموعة قصوى من كأ أعمدة الوزن أ من عند أأ وجود دعامات منفصلة زوجية (كأ قد تكون صفرًا). تجاهل هذه الأعمدة وجميع كأ صفوف حادثة لأحدهم ، يتبقى لنا كأ x (مكأ) مصفوفة أأ−1. من الواضح أن أعمدة أأ−1 لها وزن على الأكثر أ - 1 (وإلا يمكن إضافة هذا العمود إلى المجموعة المهملة سابقًا ، بما يتعارض مع أقصى حد لها). بعد ذلك ، قم بإزالة من أأ−1 مجموعة قصوى من كأ−1 افصل بين أعمدة الوزن أ - 1 و (أ − 1)كأ−1 صفوف الحادث ، وبالتالي الحصول على كأ−1 x (مكأكأ−1) مصفوفة أأ–2. تنتهي العملية بعد ذلك أ خطوات. اتحاد أعمدة المجموعات المهملة مطلوب ج مع

دعونا نظهر أهمية النظرية السابقة للتزاوج. اختر ل أ نقاط مصفوفة الوقوع / المجالات. هذا هو 2 ن أعمدة أ تمثل النقاط ، 2 ن الصفوف تمثل مراكز مجالات نصف القطر R ، مع 1 عند تقاطع الصف أنا والعمود ي إذا المجال أنا يحتوي على نقطة ي. لذلك يحتوي كل صف على عدد 1 & # x27s يساوي عدد النقاط في الكرة ، بمعنى ، الخامس(ن ، ص). هناك بالضبط الخامس(ن ، ص) 1 & # x27s في كل عمود لأن كل نقطة تنتمي بالضبط الخامس(ن ، ص) المجالات. في هذا الإعداد ، تنتج النظرية شبه بناء للكود ج من الحجم ك تتقاطع مع جميع المجالات ، أي ص-الغطاء (يتكون هنا من نواقل العمود). بحلول (12.2.2) لدينا


13.2: Inradius of h-triangle - الرياضيات

الجمهور المستهدف: طلاب المدارس الثانوية وطلاب الكلية الجدد والطلاب الجدد وطلاب الصف 11/12 في الهند الذين يستعدون لامتحانات ISC / CBSE وامتحانات القبول مثل IIT-JEE ، أي شخص آخر يحتاج إلى هذا البرنامج التعليمي كمرجع!

6. المشكلة: أوجد قيمة sin -1 (sin 3 π / 5)
7. المشكلة: وضح أن sin -1 12/13 + cos -1 4/5 + tan -1 63/16 = π
8. المشكلة: احسب قيمة cos (Arctan 15/8 - Arcsin 7/25).
9. حل المشكلة: حل tan -1 2 x + tan -1 3 x = π / 4
10. المشكلة: أثبت أن 2 tan -1 13 + tan -1 17 = π / 4

11. المشكلة: حل المعادلة

تان -1 س + 1 س -1 + تان -1 س -1 س = تان -1 (-7)

أ = tan -1 x + 1x-1 = & gt tana = x + 1x-1

بما أن tan (a + b) = tanc
∴ tana + tanb1-tana.tanb = tanc
أنا. ه. x + 1x-1 + x-1x1-x + 1x-1.x-1x = -7
أي 2x2-x + 11-x = -7

هذه القيمة تجعل الجانب الأيسر من المعادلة موجبًا ، بحيث لا توجد قيمة لـ x تفي بالمعادلة المعطاة بشكل صارم.

قيمة x = 2 هي حل المعادلة
تان -1 س + 1 س -1 + تان -1 س -1 س = π + تان -1 (-7)

12. المشكلة: حل Arccos 2x - Arccos x = π / 3.
13. المشكلة: رسم بياني
ط) ص = كوس -1 س + 1 ب) ص = خطيئة -1 (س -2)

14. المشكلة: أظهر أنه يمكن للمرء استخدام تركيبة من أزرار حساب المثلثات مثل ، sin ، cos ، tan ، sin −1 ، cos −1 ، و tan −1 ، لاستبدال الزر المقلوب المكسور
آلة حاسبة.
15. المشكلة: الكاميرا موضوعة على سطح البركة. غواص على ارتفاع 18 قدمًا فوق عدسة الكاميرا. الطول الممتد للغواص هو 8 أقدام.

16. المشكلة: إذا كانت sin -1 x + (sin -1 y + sin -1 z) = π / 2 ، اكتشف x 2 + y 2 + z 2 + 2xyz.

17. المشكلة: إذا كانت الخطيئة -1 (x- x22 + x34.) cos -1 (x 2 - x42 + x64 -.) = π / 2
18. المشكلة: حل المعادلة:

تان -1 2 س + تان -1 3 س = ن + π / 4



19. المشكلة: أي زاوية أكبر؟

A = 2tan -1 (2 2-1) و B = 3sin -1 (13) + sin -1 (35)

الحل: نلاحظ 2 2 - 1 2 (1.4) - 1 = 2.8 - 1 = 1.8
إذن 2 2-1 & GT 3 = & GT 2tan -1 (2 2-1) & gt2tan -1 3 = 2π3

ب = 3sin -1 (13) + خطيئة -1 (35)

= الخطيئة -1 [3. 13 - 4 (13) 3] + خطيئة -1 (35)

& lt sin -1 (32) + sin -1 (32) = 2π3 [∵2327 & lt 32 و 35 & lt 3 2]

20. المشكلة: افترض أن الآلة الحاسبة معطلة وأن المفاتيح الوحيدة التي لا تزال تعمل هي الأزرار sin 1 و cos −1 و tan −1. تظهر الشاشة في البداية 0. بالنظر إلى أي رقم منطقي موجب q ، أظهر أنه يمكننا الحصول على q لتظهر على لوحة عرض الآلة الحاسبة بالضغط على بعض التسلسل المحدد للأزرار. افترض أن الآلة الحاسبة تقوم بحسابات بالأرقام الحقيقية بدقة غير محدودة ، وأن جميع الوظائف بدلالة الراديان.
الحل: لأن cos −1 sin θ = 2 - θ و tan (π2 - θ) = 1tanθ لـ 0 & lt θ & lt π2 ، لدينا أي x & gt 0 ،

tan cos −1 sin tan −1 x = tan (π2 - tan −1 x) = 1x. (*)

tan cos −1 sin tan −1 cos tan −1 √ x = x + 1. (**)

من خلال الاستقراء على مقام r ، نثبت الآن أنه يمكن الحصول على r ، لكل عدد نسبي غير سالب r ، باستخدام العمليات

إذا كان المقام 1 ، فيمكننا الحصول على √ r لكل عدد صحيح غير سالب r بالتطبيق المتكرر لـ √ x → x + 1. افترض الآن أنه يمكننا الحصول على r لجميع الأعداد النسبية r ذات المقام يصل إلى n. على وجه الخصوص ، يمكننا الحصول على أي من

و
√ r ، لأي r موجب للمقام الدقيق n + 1 ، يمكن الحصول عليه من خلال التطبيق المتكرر √ x → x + 1.
وبالتالي لأي عدد نسبي موجب r ، يمكننا الحصول على √ r. على وجه الخصوص ، نحن
يمكن الحصول على q2 = q.


شاهد الفيديو: How is in radius Inscribed Circle radius related with area and side lengths of a triangle (شهر اكتوبر 2021).