مقالات

2.E: تمارين للفصل الثاني - الرياضيات


تمارين حسابية

1. عبر عن الأرقام المركبة التالية بالصيغة (x + yi ) من أجل (x، y in mathbb {R}: )

(أ) ((2 + 3i) + (4 + i) )

(ب) ((2 + 3i) ^ 2 (4 + i) )

(ج) ( frac {2 + 3i} {4 + i} )

(د) ( frac {1} {i} + frac {3} {1 + i} )

(هـ) ((- أنا) ^ {- 1} )

(و) ((- 1 + i sqrt {3}) ^ 3 )

2. احسب الأجزاء الحقيقية والخيالية من التعبيرات التالية ، حيث (z ) هو
عدد مركب (x + yi ) و (x، y in mathbb {R}: )

(أ) ( frac {1} {z ^ 2} )

(ب) ( frac {1} {3z + 2} )

(ج) ( frac {z + 1} {2z-5} )

(د) (ض ^ 3 )

3. ابحث عن (r> 0 ) و ( theta in [0، 2 pi) ) مثل ((1 - i) / 2 = re ^ {i theta}. )

4. حل المعادلات التالية من أجل (z ) عدد مركب:
(أ) (ض ^ 5 - 2 = 0 )
(ب) (ض ^ 4 + أنا = 0 )
(ج) (ض ^ 6 + 8 = 0 )
(د) (ض ^ 3 - 4 ط = 0 )

5. احسب
(أ) اقتران معقد للكسر ((3 + 8i) ^ 4 / (1 + i) ^ 10. )
(ب) اقتران مركب من الكسر ((8 - 2i) ^ 10 / (4 + 6i) ^ 5. )
(ج) المعامل المركب للكسر (i (2 + 3i) (5-2i) / (- 2 - i). )
(د) المعامل المركب للكسر ((2 - 3i) ^ 2 / (8 + 6i) ^ 2. )

6. احسب الأجزاء الحقيقية والخيالية:
(أ) (ه ^ {2 + i} )
(ب) (الخطيئة (1 + i) )
(ج) (ه ^ {3 − i} )
(د) (كوس (2 + 3 ط) )

7. احسب الجزء الحقيقي والخيالي من (e ^ {e ^ {z}} ) من أجل (z in mathbb {C}. )

تمارين إثبات الكتابة

1. لنفرض (a in mathbb {R} ) و (z، w in mathbb {C}. ) إثبات ذلك
(أ) (Re (az) = aRe (z) ) و (Im (az) = aIm (z). )
(ب) (Re (z + w) = Re (z) + Re (w) ) و (Im (z + w) = Im (z) + Im (w). )

2. دع (z in mathbb {C}. ) أثبت أن (Im (z) = 0 ) فقط إذا كان (Re (z) = z. )

3. لنفترض (z، w in mathbb {C}. ) إثبات قانون متوازي الأضلاع (| z - w | ^ 2 + | z + w | ^ 2 = 2 (| z | ^ 2 + | w | ^ 2). )

4. دع (z، w in mathbb {C} ) مع ( bar {z} w neq 1 ) بحيث إما (| z | = 1 ) أو (| w | = 1. ) أثبت أن ( left | frac {z − w} {1 - bar {z} w} right | = 1. )

5. للحصول على زاوية ( ثيتا في [0، 2 بي)، ) فاي الثانية الخريطة الخطية (F_ ثيتا: mathbb {R} ^ 2 rightarrow mathbb {R} ^ 2 )، الذي يصف الدوران بالزاوية ( theta ) في اتجاه عكس عقارب الساعة.

تلميح: لزاوية معينة ( ثيتا )، فاي الثانية (أ، ب، ج، د في mathbb {R} ) بحيث (F_ ثيتا (X_1، x_2) = (ax_1 + bx_2، cx_1 + dx_2). )


تمارين

في الرسم التالي ، تمثل المجالات الخضراء ذرات عنصر معين. تمثل الكرات الأرجوانية ذرات عنصر آخر. إذا تلامست كرات العناصر المختلفة ، فهي جزء من وحدة واحدة من المركب. التغيير الكيميائي التالي الذي تمثله هذه المجالات قد ينتهك إحدى أفكار نظرية دالتون الذرية. أي واحد؟

أي من افتراضات نظرية دالتون تتسق مع الملاحظة التالية المتعلقة بأوزان المواد المتفاعلة والمنتجات؟ عندما يتم تسخين 100 جرام من كربونات الكالسيوم الصلبة ، يتم إنتاج 44 جرامًا من ثاني أكسيد الكربون و 56 جرامًا من أكسيد الكالسيوم.

حدد فرضية نظرية دالتون التي تنتهكها الملاحظات التالية: 59.95٪ من عينة واحدة من ثاني أكسيد التيتانيوم هي التيتانيوم 60.10٪ من عينة مختلفة من ثاني أكسيد التيتانيوم هي التيتانيوم.

يتم تحليل عينات المركب X و Y و Z ، مع عرض النتائج هنا.

مجمعوصفكتلة الكربونكتلة الهيدروجين
Xسائل واضح ، عديم اللون ، ذو رائحة قوية1.776 جرام0.148 جرام
صسائل واضح ، عديم اللون ، ذو رائحة قوية1.974 جرام0.329 جرام
ضسائل واضح ، عديم اللون ، ذو رائحة قوية7.812 جرام0.651 جرام

هل تقدم هذه البيانات مثالاً (أمثلة) على قانون النسب المحددة ، أو قانون النسب المتعددة ، أو كلاهما ، أو كليهما؟ ماذا تخبرك هذه البيانات عن المركبات X و Y و Z؟

2.2 تطور النظرية الذرية

ينتهك وجود النظائر إحدى الأفكار الأصلية لنظرية دالتون الذرية. أي واحد؟

كيف تتشابه الإلكترونات والبروتونات؟ كيف هم مختلفون؟

كيف تتشابه البروتونات والنيوترونات؟ كيف هم مختلفون؟

توقع واختبار سلوك جسيمات ألفا التي تم إطلاقها على ذرة نموذج "حلوى البرقوق".

(أ) توقع المسارات التي تتخذها جسيمات ألفا التي يتم إطلاقها على الذرات باستخدام هيكل نموذج بودنغ البرقوق من طومسون. اشرح لماذا تتوقع أن تأخذ جسيمات α هذه المسارات.

(ب) إذا تم إطلاق جسيمات α ذات الطاقة الأعلى من تلك الموجودة في (أ) عند ذرات حلوى البرقوق ، فتوقع كيف ستختلف مساراتها عن مسارات جسيمات α منخفضة الطاقة. اشرح أسبابك.

(ج) اختبر الآن تنبؤاتك من (أ) و (ب). افتح محاكاة Rutherford Scattering وحدد علامة التبويب "Plum Pudding Atom". اضبط "Alpha Particles Energy" على "min" ، واختر "show traces". انقر فوق البندقية لبدء إطلاق جسيمات ألفا. هل يتوافق هذا مع توقعاتك من (أ)؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فشرح لماذا سيكون المسار الفعلي هو الذي يظهر في المحاكاة. اضغط على زر الإيقاف المؤقت أو "إعادة تعيين الكل". اضبط "طاقة جسيمات ألفا" على "الحد الأقصى" ، وابدأ في إطلاق جسيمات ألفا. هل يتوافق هذا مع توقعاتك من (ب)؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فشرح تأثير زيادة الطاقة على المسارات الفعلية كما هو موضح في المحاكاة.

توقع واختبار سلوك جسيمات ألفا التي تم إطلاقها في نموذج ذرة رذرفورد.

(أ) توقع المسارات التي تتخذها جسيمات ألفا التي يتم إطلاقها في الذرات باستخدام بنية نموذج ذرة رذرفورد. اشرح لماذا تتوقع أن تأخذ جسيمات α هذه المسارات.

(ب) إذا تم إطلاق جسيمات ألفا ذات الطاقة الأعلى من تلك الموجودة في (أ) على ذرات رذرفورد ، فتوقع كيف ستختلف مساراتها عن مسارات جسيمات ألفا منخفضة الطاقة. اشرح أسبابك.

(ج) توقع كيف ستختلف المسارات التي تسلكها جسيمات ألفا إذا تم إطلاقها على ذرات رذرفورد من عناصر أخرى غير الذهب. ما العامل الذي تتوقع أن يسبب هذا الاختلاف في المسارات ولماذا؟

(د) اختبر الآن تنبؤاتك من (أ) و (ب) و (ج). افتح محاكاة Rutherford Scattering وحدد علامة التبويب "Rutherford Atom". نظرًا لمقياس المحاكاة ، من الأفضل البدء بنواة صغيرة ، لذا اختر "20" لكل من البروتونات والنيوترونات ، و "min" للطاقة ، وأظهر الآثار ، ثم ابدأ بإطلاق جسيمات ألفا. هل يتوافق هذا مع توقعاتك من (أ)؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فشرح لماذا سيكون المسار الفعلي هو الذي يظهر في المحاكاة. أوقف مؤقتًا أو أعد ضبط ، اضبط الطاقة على "الحد الأقصى" ، وابدأ في إطلاق جسيمات ألفا. هل يتوافق هذا مع توقعاتك من (ب)؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فشرح تأثير زيادة الطاقة على المسار الفعلي كما هو موضح في المحاكاة. توقف مؤقتًا أو أعد ضبط ، حدد "40" لكل من البروتونات والنيوترونات ، و "min" للطاقة ، وأظهر الآثار ، ثم أطلق النار بعيدًا. هل يتوافق هذا مع توقعاتك من (ج)؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فشرح لماذا سيكون المسار الفعلي هو الذي يظهر في المحاكاة. كرر هذا بأعداد أكبر من البروتونات والنيوترونات. ما هو التعميم الذي يمكنك إجراؤه فيما يتعلق بنوع الذرة والتأثير على مسار جسيمات ألفا؟ كن واضحًا ومحددًا.

2.3 التركيب الذري والرمزية

بأي طريقة تختلف دائمًا نظائر عنصر معين؟ بأي طريقة (طرق) تكون دائمًا متشابهة؟

اكتب الرمز لكل من الأيونات التالية:

(أ) الأيون ذو الشحنة 1+ والرقم الذري 55 والعدد الكتلي 133

(ب) الأيون الذي يحتوي على 54 إلكترونًا و 53 بروتونًا و 74 نيوترونًا

(ج) الأيون ذو العدد الذري 15 ورقم الكتلة 31 وشحنة 3 −

(د) أيون به 24 إلكترونًا و 30 نيوترونًا وشحنة 3+

اكتب الرمز لكل من الأيونات التالية:

(أ) الأيون المشحون 3+ شحنة ، 28 إلكترونًا ، وعدد كتلته 71

(ب) الأيون الذي يحتوي على 36 إلكترونًا و 35 بروتونًا و 45 نيوترونًا

(ج) الأيون الذي يحتوي على 86 إلكترونًا و 142 نيوترونًا وشحنة 4+

(د) الأيون ذو الشحنة 2+ والرقم الذري 38 والعدد الكتلي 87

افتح محاكاة Build an Atom وانقر على أيقونة Atom.

(أ) اختر أيًا من العناصر العشرة الأولى التي ترغب في بنائها وحدد رمزها.

(ب) اسحب البروتونات والنيوترونات والإلكترونات على قالب الذرة لتكوين ذرة من العنصر.
حدد عدد البروتونات والنيوترونات والإلكترونات في ذرتك ، بالإضافة إلى صافي الشحنة وعدد الكتلة.

(ج) انقر فوق "Net Charge" و "Mass Number" ، وتحقق من إجاباتك على (b) ، وصححها ، إذا لزم الأمر.

(د) توقع ما إذا كانت ذرتك ستكون مستقرة أو غير مستقرة. اذكر تفكيرك.

(هـ) ضع علامة في المربع "مستقر / غير مستقر". هل كانت إجابتك على (د) صحيحة؟ إذا لم يكن الأمر كذلك ، فتوقع أولاً ما يمكنك القيام به لإنشاء ذرة مستقرة من العنصر الخاص بك ، ثم قم بذلك ومعرفة ما إذا كان يعمل. اشرح أسبابك.

(أ) اسحب البروتونات والنيوترونات والإلكترونات على قالب الذرة لعمل ذرة محايدة من Oxygen-16 وإعطاء رمز النظير لهذه الذرة.

(ب) أضف الآن إلكترونين آخرين لتكوين أيون وإعطاء رمز الأيون الذي قمت بإنشائه.

(أ) اسحب البروتونات والنيوترونات والإلكترونات على قالب الذرة لعمل ذرة متعادلة من الليثيوم 6 وإعطاء رمز النظير لهذه الذرة.

(ب) قم الآن بإزالة إلكترون واحد لعمل أيون وإعطاء رمز الأيون الذي قمت بإنشائه.

حدد عدد البروتونات والنيوترونات والإلكترونات في النظائر التالية المستخدمة في التشخيص الطبي:

(أ) العدد الذري 9 ، الكتلة العدد 18 ، الشحنة 1−

(ب) العدد الذري 43 ، الكتلة العدد 99 ، الشحنة 7+

(ج) العدد الذري 53 ، العدد الكتلي الذري 131 ، الشحنة 1−

(د) العدد الذري 81 ، الكتلة الذرية رقم 201 ، شحنة 1+

(هـ) قم بتسمية العناصر في الأجزاء (أ) و (ب) و (ج) و (د).

فيما يلي خصائص نظائر عنصرين أساسيين في نظامنا الغذائي. حدد عدد البروتونات والنيوترونات والإلكترونات في كل منها وقم بتسميتها.

(أ) العدد الذري 26 ، الكتلة العددية 58 ، الشحنة 2+

(ب) العدد الذري 53 ، الكتلة العدد 127 ، الشحنة 1−

اكتب عدد البروتونات والإلكترونات والنيوترونات في الذرات المحايدة لكل من النظائر التالية:

اكتب عدد البروتونات والإلكترونات والنيوترونات في الذرات المحايدة لكل من النظائر التالية:

انقر فوق الموقع وحدد علامة التبويب "مزيج النظائر" ، وقم بإخفاء مربعي "النسبة المئوية للتكوين" و "متوسط ​​الكتلة الذرية" ، ثم حدد عنصر البورون.

(أ) اكتب رموز نظائر البورون التي تظهر بشكل طبيعي بكميات كبيرة.

(ب) توقع الكميات النسبية (النسب المئوية) لنظائر البورون الموجودة في الطبيعة. اشرح السبب وراء اختيارك.

(ج) أضف النظائر إلى الصندوق الأسود لعمل خليط يطابق توقعاتك في (ب). يمكنك سحب النظائر من صناديقها أو النقر فوق "المزيد" ثم تحريك أشرطة التمرير إلى الكميات المناسبة.

(د) اكشف عن مربعي "النسبة المئوية للتكوين" و "متوسط ​​الكتلة الذرية". ما مدى توافق مزيجك مع توقعاتك؟ إذا لزم الأمر ، اضبط كميات النظائر لتطابق توقعاتك.

(هـ) حدد مزيج "الطبيعة" من النظائر ومقارنته بالتنبؤ الخاص بك. ما مدى جودة توقعك مع المزيج الطبيعي؟ يشرح. إذا لزم الأمر ، قم بتعديل المبالغ الخاصة بك لجعلها مطابقة لمبالغ "الطبيعة" بأكبر قدر ممكن.

كرر التمرين 2.20 باستخدام عنصر يحتوي على ثلاثة نظائر طبيعية.

عنصر يحتوي على الوفرة الطبيعية والكتل النظيرية التالية: 90.92٪ وفرة مع 19.99 amu ، و 0.26٪ وفرة مع 20.99 amu ، و 8.82٪ وفرة مع 21.99 amu. احسب متوسط ​​الكتلة الذرية لهذا العنصر.

يعتمد متوسط ​​الكتل الذرية المدرجة بواسطة IUPAC على دراسة النتائج التجريبية. يحتوي البروم على نظيرين ، 79 Br و 81 Br ، تم تحديد كتلتهما (78.9183 و 80.9163 amu ، على التوالي) والوفرة (50.69٪ و 49.31٪ على التوالي) في تجارب سابقة. احسب متوسط ​​الكتلة الذرية للبروم بناءً على هذه التجارب.

يمكن ملاحظة الاختلافات في متوسط ​​الكتلة الذرية للعناصر التي تم الحصول عليها من مصادر مختلفة. يقدم الليثيوم مثالاً على ذلك. التركيب النظائري لليثيوم من المعادن الموجودة بشكل طبيعي هو 7.5٪ 6 Li و 92.5٪ 7 Li ، وكتلتيهما 6.01512 amu و 7.01600 amu ، على التوالي. كان المصدر التجاري لليثيوم ، المعاد تدويره من مصدر عسكري ، 3.75٪ 6 لي (والباقي 7 لي). احسب متوسط ​​قيم الكتلة الذرية لكل من هذين المصدرين.

قد يختلف متوسط ​​الكتل الذرية لبعض العناصر ، اعتمادًا على مصادر خاماتها. يتكون البورون الطبيعي من نظيرين لهما كتل معروفة بدقة (10 ب ، 10.0129 أمو و 11 ب ، 11.00931 أمو). يمكن أن تختلف الكتلة الذرية الفعلية للبورون من 10.807 إلى 10.819 ، اعتمادًا على ما إذا كان مصدر المعدن من تركيا أو الولايات المتحدة. احسب النسبة المئوية للوفرة المؤدية إلى قيمتي متوسط ​​الكتلة الذرية للبورون من هذين البلدين.

نسبة الوفرة 18 O: 16 O في بعض النيازك أكبر من تلك المستخدمة لحساب متوسط ​​الكتلة الذرية للأكسجين على الأرض. هل متوسط ​​كتلة ذرة الأكسجين في هذه النيازك أكبر من أو أقل أو يساوي كتلة ذرة الأكسجين الأرضية؟

2.4 الصيغ الكيميائية

اشرح سبب اختلاف رمز ذرة عنصر الأكسجين وصيغة جزيء الأكسجين.

اشرح سبب اختلاف رمز عنصر الكبريت وصيغة جزيء الكبريت.

اكتب الصيغ الجزيئية والتجريبية للمركبات التالية:

اكتب الصيغ الجزيئية والتجريبية للمركبات التالية:

حدد الصيغ التجريبية للمركبات التالية:

حدد الصيغ التجريبية للمركبات التالية:

اكتب الصيغ التجريبية للمركبات التالية:

افتح محاكاة بناء جزيء وحدد علامة التبويب "جزيئات أكبر". حدد "مجموعة" ذرة مناسبة لبناء جزيء من ذرتين من الكربون وست ذرات هيدروجين. اسحب الذرات إلى الفراغ الموجود فوق "كيت" لعمل جزيء. سيظهر اسم عندما تكون قد صنعت جزيءًا فعليًا موجودًا (حتى لو لم يكن هو الجزيء الذي تريده). يمكنك استخدام أداة المقص لفصل الذرات إذا كنت ترغب في تغيير التوصيلات. انقر فوق "3D" لرؤية الجزيء ، وإلقاء نظرة على كل من احتمالات ملء الفراغ والكرة والعصا.

(أ) ارسم الصيغة الهيكلية لهذا الجزيء واذكر اسمه.

(ب) هل يمكنك ترتيب هذه الذرات بأية طريقة لعمل مركب مختلف؟

استخدم محاكاة بناء جزيء لتكرار التمرين 2.34 ، ولكن قم ببناء جزيء يحتوي على كربونين وستة هيدروجين وأكسجين واحد.

(أ) ارسم الصيغة الهيكلية لهذا الجزيء واذكر اسمه.

(ب) هل يمكنك ترتيب هذه الذرات لتكوين جزيء مختلف؟ إذا كان الأمر كذلك ، ارسم صيغتها الهيكلية واذكر اسمها.

(ج) كيف يتم سحب الجزيئات في (أ) و (ب) نفس الشيء؟ كيف يختلفون؟ ماذا يسمون (نوع العلاقة بين هذه الجزيئات وليس أسمائهم).؟

استخدم محاكاة بناء جزيء لتكرار التمرين 2.34 ، ولكن قم ببناء جزيء من ثلاثة ذرات كربون وسبعة هيدروجين وكلور.

(أ) ارسم الصيغة الهيكلية لهذا الجزيء واذكر اسمه.

(ب) هل يمكنك ترتيب هذه الذرات لتكوين جزيء مختلف؟ إذا كان الأمر كذلك ، ارسم صيغتها الهيكلية واذكر اسمها.

(ج) كيف تتشابه الجزيئات المرسومة في (أ) و (ب)؟ كيف يختلفون؟ ماذا يسمون (نوع العلاقة بين هذه الجزيئات وليس أسمائهم)؟

2.5 الجدول الدوري

باستخدام الجدول الدوري ، صنف كل عنصر من العناصر التالية كمعدن أو غير فلزي ، ثم صنف كل عنصر على أنه عنصر مجموعة رئيسية (تمثيلي) ، أو معدن انتقالي ، أو معدن انتقالي داخلي:

باستخدام الجدول الدوري ، صنف كل عنصر من العناصر التالية على أنه معدن أو غير فلزي ، ثم صنف كل عنصر على أنه عنصر مجموعة رئيسية (تمثيلي) ، أو معدن انتقالي ، أو معدن انتقالي داخلي:

باستخدام الجدول الدوري ، حدد أخف عضو في كل مجموعة من المجموعات التالية:

باستخدام الجدول الدوري ، حدد أثقل عضو في كل مجموعة من المجموعات التالية:

استخدم الجدول الدوري لإعطاء اسم ورمز لكل عنصر من العناصر التالية:

(أ) الغاز الخامل في نفس فترة الجرمانيوم

(ب) معدن الأرض القلوي في نفس الفترة مثل السيلينيوم

(ج) الهالوجين في نفس فترة الليثيوم

(د) الكالكوجين في نفس فترة الكادميوم

استخدم الجدول الدوري لإعطاء اسم ورمز لكل عنصر من العناصر التالية:

(أ) الهالوجين في نفس فترة المعدن القلوي مع 11 بروتونًا

(ب) معدن الأرض القلوي في نفس الفترة بغاز نبيل متعادل مع 18 إلكتروناً

(ج) الغاز النبيل الموجود في نفس الصف مثل نظير يحتوي على 30 نيوترونًا و 25 بروتونًا

(د) الغازات الخاملة في نفس فترة الذهب

اكتب رمزًا لكل من النظائر المحايدة التالية. قم بتضمين العدد الذري والعدد الكتلي لكل منهما.

(أ) المعدن القلوي الذي يحتوي على 11 بروتونًا وعدد كتلته 23

(ب) عنصر الغاز النبيل الذي يحتوي نواته على 75 نيوترون و 54 إلكترونًا في الذرة المحايدة.

(ج) النظير الذي يحتوي نواته على 33 بروتون و 40 نيوترون

(د) معدن الأرض القلوي المكون من 88 إلكتروناً و 138 نيوتروناً

اكتب رمزًا لكل من النظائر المحايدة التالية. قم بتضمين العدد الذري والعدد الكتلي لكل منهما.

(أ) الكالكوجين برقم كتلي 125

(ب) الهالوجين الذي يعتبر أطول نظائره عمرًا مشعًا

(ج) الغازات النبيلة المستخدمة في الإضاءة ذات 10 إلكترونات و 10 نيوترونات

(د) أخف فلز قلوي بثلاثة نيوترونات

2.6 المركبات الجزيئية والأيونية

باستخدام الجدول الدوري ، توقع ما إذا كانت الكلوريدات التالية أيونية أو تساهمية: KCl ، NCl3، ICl ، MgCl2، PCl5و CCl4.

باستخدام الجدول الدوري ، توقع ما إذا كانت الكلوريدات التالية أيونية أو تساهمية: SiCl4، PCl3، كاكل2، CsCl ، CuCl2، و CrCl3.

لكل من المركبات التالية ، حدد ما إذا كانت أيونية أو تساهمية. إذا كانت أيونية ، فاكتب رموز الأيونات المعنية:

لكل من المركبات التالية ، حدد ما إذا كانت أيونية أو تساهمية ، وإذا كانت أيونية ، فاكتب رموز الأيونات المعنية:

لكل أزواج من الأيونات التالية ، اكتب صيغة المركب الذي سيشكلونه:

لكل من أزواج الأيونات التالية ، اكتب صيغة المركب الذي سيشكلونه:


الفصل 2

بصفتنا مشاركًا في Amazon ، فإننا نكسب من عمليات الشراء المؤهلة.

هل تريد الاستشهاد بهذا الكتاب أو مشاركته أو تعديله؟ هذا الكتاب هو Creative Commons Attribution License 4.0 ويجب أن تنسب OpenStax.

    إذا كنت تعيد توزيع هذا الكتاب كله أو جزء منه بتنسيق طباعة ، فيجب عليك تضمين الإسناد التالي في كل صفحة مادية:

  • استخدم المعلومات أدناه لتوليد اقتباس. نوصي باستخدام أداة استشهاد مثل هذه.
    • المؤلفون: لين ماريسيك ، ماري آن أنتوني سميث ، أندريا هانيكوت ماتيس
    • الناشر / الموقع الإلكتروني: OpenStax
    • عنوان الكتاب: Elementary Algebra 2e
    • تاريخ النشر: 22 أبريل 2020
    • المكان: هيوستن ، تكساس
    • عنوان URL للكتاب: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • عنوان URL للقسم: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/chapter-2

    © 22 يناير 2021 OpenStax. محتوى الكتاب المدرسي الذي تنتجه OpenStax مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution License 4.0. لا يخضع اسم OpenStax وشعار OpenStax وأغلفة كتب OpenStax واسم OpenStax CNX وشعار OpenStax CNX لترخيص المشاع الإبداعي ولا يجوز إعادة إنتاجه دون الحصول على موافقة كتابية مسبقة وصريحة من جامعة رايس.


    حلول NCERT لتمرين الرياضيات للصف 8 2.4

    حلول NCERT للرياضيات للفصل 8 ، الفصل 2 ، التمرين 2.4 ، المعادلات الخطية في متغير واحد. الصنف 8 الرياضيات حلول على سبيل المثال. 2.4 ترد هنا باللغتين الهندية والإنجليزية المحدثة للعام الدراسي 2021-2022.

    إذا كان شخص ما يواجه مشكلة في فهم أي سؤال معطى في حل PDF ، فيمكنه أيضًا الرجوع إلى حلول الفيديو. يتم عرض مقاطع الفيديو المتعلقة بالتمرين 2.4 هنا مع الشرح المناسب.

    تمرين حل كتاب الرياضيات للصف الثامن 2.4 باللغتين الهندية والإنجليزية

    حلول NCERT للصف 8 الرياضيات الفصل 2 التمرين 2.4 باللغتين الهندية والإنجليزية

    الفئة: 8الرياضيات
    الفصل 2المعادلات الخطية في متغير واحد
    تمرين: 2.4حلول NCERT في ملفات PDF ومقاطع الفيديو

    رياضيات الصف 8 الفصل 2 التمرين 2.4 الحل في مقاطع الفيديو

    تمرين الرياضيات للصف الثامن 2.4 الشرحبياجة
    رياضيات فئة 8 الفصل 2 تمرين 2.4 الحلTG-c3DmHKUg

    حل المعادلات ذات المتغير في كلا الجانبين

    المعادلة هي تساوي قيم تعبيرين. إذا أخذنا في الاعتبار المعادلة 2x & # 8211 3 = 7 ، فهناك تعبيرين هما 2x & # 8211 3 و 7. في معظم الأمثلة التي صادفناها حتى الآن ، RHS مجرد رقم. لكن هذا لا يحدث دائمًا بهذه الطريقة يمكن أن يكون للطرفين تعبيرات ذات متغيرات. على سبيل المثال ، تحتوي المعادلة 2x & # 8211 3 = x + 2 على تعبيرات ذات متغير على كلا الجانبين. التعبير الموجود على اليسار هو (2x & # 8211 3) والتعبير الأيمن هو (x + 2). نناقش الآن كيفية حل المعادلات بمقادير ذات متغيرات على كلا الجانبين.

    المزيد عن تمرين الرياضيات للصف الثامن 2.4

    يوجد إجمالي 10 أسئلة بناءً على تطبيق المعادلات الخطية في متغير واحد. سنفعل أسئلة مماثلة في الفصول التالية أيضًا باستخدام المعادلات الخطية في متغيرين. السؤال 1 و 2 سؤالان بسيطان يعتمدان على الجمع والطرح البسيط. يحتوي السؤال 3 و 4 على مفاهيم الأعداد المكونة من رقمين. سيتم أيضًا طلب مفهوم الرقم المكون من رقمين في الفصول التالية. لهذا السبب ، هذان السؤالان مهمان. يستكشف السؤال رقم 5 حساب الأعمار في ظل بعض الظروف. في السؤال 6 ، تم إعطاء حصة من طول وعرض قطعة الأرض المستطيلة. إذن ، أولًا نفترض الطول والعرض بضرب متغير في النسب المعطاة. الآن أوجد المحيط بدلالة المتغير واضرب الناتج في 100. الآن بالمعادلة التي تم الحصول عليها من الناتج إلى 75000 ، يمكننا الحصول على الإجابة.

    السؤال الأكثر صعوبة من التمرين 2.4 لرياضيات الصف 8

    أصعب سؤال في التمرين 2.4 في CBSE Class 8 Maths هو السؤال رقم 8. هنا ، علينا أن نفترض أن العدد الإجمالي للغزلان هو x. إذن ، x / 2 سوف تعداد الغزلان التي ترعى في الحقل. الآن الغزلان المتبقية هي x / 2. وفقًا للأسئلة ، يلعب 3/4 من x في مكان قريب. لذا ، فإن العدد الإجمالي للغزلان x سيكون مساويًا لـ x / 2 + 3/4 من (x / 2). بحل هذا ، يمكننا الحصول على الإجابة.

    ما هو أصعب سؤال في تمرين 2.4 لرياضيات الصف الثامن؟

    يبدو أن السؤال 7 من التمرين 2.4 من رياضيات الفئة 8 هو السؤال الأكثر صعوبة في التمرين بأكمله.

    كيف أحصل على حل تمرين 2.4 للرياضيات للصف 8 باللغة الهندية؟

    قم بزيارة أكاديمية Tiwari واحصل على الحل باللغة الهندية المتوسطة مجانًا للاستخدام.

    هل يوجد أي تطبيق لحل Class 8 Maths يعمل بدون إنترنت؟

    قم بتنزيل تطبيق Tiwari Academy Class 8 Maths Offline باللغة الهندية أو الإنجليزية المتوسطة ، والتي تعمل بدون الإنترنت بمجرد تنزيلها.


    مقدمة

    مرحبا بك في ما قبل الجبر 2e، أحد موارد OpenStax. تمت كتابة هذا الكتاب المدرسي لزيادة وصول الطلاب إلى مواد تعليمية عالية الجودة ، والحفاظ على أعلى معايير الصرامة الأكاديمية بتكلفة قليلة أو بدون تكلفة.

    حول OpenStax

    OpenStax هي منظمة غير ربحية مقرها في جامعة رايس ، وتتمثل مهمتنا في تحسين وصول الطلاب إلى التعليم. نُشر أول كتاب جامعي مرخص له بشكل مفتوح في عام 2012 ، ومنذ ذلك الحين توسعت مكتبتنا لتشمل أكثر من 35 كتابًا لدورات الكلية ودورات AP ® التي يستخدمها مئات الآلاف من الطلاب. يتم تجريب OpenStax Tutor ، أداة التعلم الشخصية منخفضة التكلفة الخاصة بنا ، في دورات الكلية في جميع أنحاء البلاد. من خلال شراكاتنا مع المؤسسات الخيرية وتحالفنا مع منظمات الموارد التعليمية الأخرى ، يعمل OpenStax على كسر الحواجز الأكثر شيوعًا أمام التعلم وتمكين الطلاب والمعلمين من النجاح.

    حول موارد OpenStax

    التخصيص

    ما قبل الجبر 2e مرخص بموجب ترخيص Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY) ، مما يعني أنه يمكنك توزيع المحتوى وتعديله والبناء عليه ، طالما أنك تقدم الإسناد إلى OpenStax والمساهمين في محتواه.

    نظرًا لأن كتبنا مرخصة بشكل علني ، فأنت حر في استخدام الكتاب بأكمله أو اختيار واختيار الأقسام الأكثر صلة باحتياجات الدورة التدريبية الخاصة بك. لا تتردد في إعادة مزج المحتوى من خلال تخصيص فصول وأقسام معينة لطلابك في منهجك الدراسي ، بالترتيب الذي تفضله. يمكنك أيضًا توفير رابط مباشر في منهجك الدراسي يؤدي إلى الأقسام الموجودة في عرض الويب لكتابك.

    يتوفر للمدربين أيضًا خيار إنشاء نسخة مخصصة من كتاب OpenStax الخاص بهم. يمكن إتاحة النسخة المخصصة للطلاب في صورة مطبوعة أو رقمية منخفضة التكلفة من خلال مكتبة الحرم الجامعي. قم بزيارة صفحة كتابك على موقع openstax.org للحصول على مزيد من المعلومات.

    إسناد الفن في ما قبل الجبر 2e

    في ما قبل الجبر 2e، تحتوي معظم الأعمال الفنية على الإسناد إلى العنوان أو منشئها أو صاحب حقوقها ومنصة مضيفة وترخيص ضمن التسمية التوضيحية. بالنسبة للفن المرخص به علنًا ، يجوز لأي شخص إعادة استخدام الفن طالما أنه يقدم نفس الإسناد إلى مصدره الأصلي. تم توفير بعض الأعمال الفنية من خلال الأذونات ويجب استخدامها فقط مع الإسناد أو القيود المنصوص عليها في الاعتماد.

    أخطاء

    تخضع جميع كتب OpenStax المدرسية لعملية مراجعة صارمة. ومع ذلك ، مثل أي كتاب مدرسي احترافي ، تحدث أخطاء في بعض الأحيان. نظرًا لأن كتبنا تستند إلى الويب ، يمكننا إجراء تحديثات بشكل دوري عند الضرورة من الناحية التربوية. إذا كان لديك تصحيح لاقتراحه ، أرسله من خلال الرابط الموجود في صفحة كتابك على openstax.org. يراجع خبراء الموضوع جميع اقتراحات الأخطاء. تلتزم OpenStax بالحفاظ على الشفافية بشأن جميع التحديثات ، لذلك ستجد أيضًا قائمة بتغييرات الأخطاء السابقة في صفحة كتابك على openstax.org.

    صيغة

    يمكنك الوصول إلى هذا الكتاب الدراسي مجانًا في عرض الويب أو PDF من خلال openstax.org وبتكلفة منخفضة في الطباعة.

    حول ما قبل الجبر 2e

    ما قبل الجبر 2e تم تصميمه لتلبية متطلبات النطاق والتسلسل لدورة الجبر المسبق لفصل دراسي واحد. يقدم النص المفاهيم الأساسية للجبر بينما يعالج احتياجات الطلاب من خلفيات وأنماط تعلم متنوعة. يعتمد كل موضوع على المواد التي تم تطويرها مسبقًا لإثبات تماسك الرياضيات وبنيتها.

    يقدم الطلاب الذين يدرسون الرياضيات الأساسية وفصول الجبر في الكلية مجموعة فريدة من التحديات. لم ينجح العديد من الطلاب في هذه الفصول الدراسية في فصول الرياضيات السابقة. قد يعتقدون أنهم يعرفون بعض الرياضيات ، لكن معرفتهم الأساسية مليئة بالثغرات. علاوة على ذلك ، يحتاج هؤلاء الطلاب إلى تعلم أكثر بكثير من محتوى الدورة. إنهم بحاجة إلى تعلم مهارات الدراسة وإدارة الوقت وكيفية التعامل مع القلق من الرياضيات. يفتقر بعض الطلاب إلى مهارات القراءة والحساب الأساسية. تنظيم ما قبل الجبر يجعل من السهل تكييف الكتاب ليناسب مجموعة متنوعة من المناهج الدراسية.

    التغطية والنطاق

    ما قبل الجبر 2e يتبع نهج دعم الطلاب في عرضه للمحتوى. يتم تقديم البداية ، على وجه الخصوص ، على شكل سلسلة من الخطوات الصغيرة حتى يكتسب الطلاب الثقة في قدرتهم على النجاح في الدورة. تم تخطيط ترتيب الموضوعات بعناية للتأكيد على التقدم المنطقي طوال الدورة ولتيسير الفهم الشامل لكل مفهوم. عندما يتم تقديم أفكار جديدة ، فإنها ترتبط بشكل واضح بالموضوعات السابقة

      الفصل 1: الأعداد الصحيحة

    يتم نمذجة وشرح كل عملية من العمليات الأساسية الأربع ذات الأعداد الصحيحة - الجمع والطرح والضرب والقسمة. كما يتم تغطية كل عملية ، يتم تضمين مناقشات التدوين الجبري وعلامات العملية ، وترجمة التعبيرات الجبرية إلى عبارات كلمات ، واستخدام العملية في التطبيقات.

    يتم عرض المفردات الرياضية لأنها تنطبق على الأعداد الصحيحة. تم تقديم استخدام المتغيرات ، التي تميز الجبر عن الحساب ، في وقت مبكر من الفصل ، كما أن تطوير المفاهيم الحسابية وممارستها باستخدام المتغيرات بالإضافة إلى التعبيرات الرقمية. بالإضافة إلى ذلك ، تتم مناقشة الفرق بين التعبيرات والمعادلات ، ويتم تقديم مشاكل الكلمات ، ويتم نمذجة عملية حل المعادلات ذات الخطوة الواحدة.

    أثناء تقديم العمليات الأساسية بالأرقام السالبة ، يستمر الطلاب في ممارسة تبسيط التعبيرات الجبرية وتقييمها وترجمتها. يتم تقديم خاصية تقسيم المساواة واستخدامها لحل المعادلات ذات الخطوة الواحدة.

    تُستخدم دوائر وأشرطة الكسور للمساعدة في جعل الكسور حقيقية ولتطوير العمليات عليها. يواصل الطلاب تبسيط وتقييم التعبيرات الجبرية ذات الكسور ، ويتعلمون استخدام خاصية الضرب في المساواة لحل المعادلات التي تتضمن كسورًا.

    يتم عرض العمليات الأساسية ذات الكسور العشرية ، بالإضافة إلى طرق تحويل الكسور إلى الكسور العشرية والعكس صحيح. يتم تضمين المتوسطات والاحتمالات ومعدلات الوحدات وأسعار الوحدات والجذور التربيعية لتوفير فرص للاستخدام وتقريب الكسور العشرية.

    يتم استكشاف التحويلات بين النسب المئوية والكسور والأرقام العشرية. تشمل تطبيقات النسبة المئوية حساب ضريبة المبيعات والعمولة والفائدة البسيطة. كما يتم معالجة النسب وحل معادلات النسبة المئوية كنسب.

    يتم تقديم خصائص الأعداد الحقيقية وتطبيقها كتتويج للعمل المنجز حتى الآن ، ولإعداد الطلاب للفصول القادمة حول المعادلات ومتعددة الحدود والرسوم البيانية.

    تم عرض تراكم تدريجي لحل المعادلات متعددة الخطوات. تتضمن المشكلات حل المعادلات ذات الثوابت على كلا الجانبين ، والمتغيرات في كلا الجانبين ، والمتغيرات والثوابت على كلا الجانبين ، والمعاملات الكسرية والعشرية.

    يبدأ الفصل بفرص حل مشاكل الأرقام "التقليدية" ، والعملات المعدنية ، والمزيج. تغطي أقسام الهندسة خصائص المثلثات ، والمستطيلات ، وشبه المنحرف ، والدوائر ، والأشكال غير المنتظمة ، ونظرية فيثاغورس ، وأحجام ومساحات سطح المواد الصلبة. كما يتم تضمين مشاكل وصيغ معدل المسافة والوقت.

    يتم تقديم إضافة وطرح كثيرات الحدود كامتداد للعمل السابق على دمج المصطلحات المتشابهة. يتم تعريف الأس الصحيح ثم تطبيقه على الترميز العلمي. يختتم الفصل بمقدمة موجزة عن تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل.

    يتم وضع هذا الفصل أخيرًا بحيث يتم إكمال كل الجبر بمتغير واحد قبل العمل مع المعادلات الخطية في متغيرين. تقدم الأمثلة من رسم النقاط إلى رسم الخطوط البيانية عن طريق عمل جدول حلول لمعادلة. يتم تضمين خصائص الخطوط الرأسية والأفقية والاعتراضات. يعطي رسم المعادلات الخطية في نهاية الدورة للطلاب فرصة جيدة لمراجعة تقييم التعبيرات وحل المعادلات.

    يتم تقسيم جميع الفصول إلى أقسام متعددة ، ويمكن الاطلاع على عناوينها في جدول المحتويات.

    التغييرات في الإصدار الثاني

    ال ما قبل الجبر 2e ركزت المراجعة على الوضوح الرياضي والدقة. تمت مراجعة كل مثال ، وجربه ، وتمرين القسم ، وتمرين المراجعة ، وعنصر اختبار الممارسة من قبل العديد من خبراء هيئة التدريس ، ثم تم التحقق منه بواسطة المؤلفين. نتج عن هذا الجهد المكثف مئات التغييرات في النص ولغة المشكلة والإجابات وحلول المعلم والرسومات.

    ومع ذلك ، فإن OpenStax ومؤلفونا يدركون الصعوبات التي يفرضها تغيير المشكلة وممارسة الأرقام عند مراجعة الكتب المدرسية. في محاولة لجعل الانتقال إلى الإصدار الثاني سلسًا قدر الإمكان ، قللنا أي تغيير في أرقام التمارين. على سبيل المثال ، بدلاً من حذف المشكلات أو إضافتها عند الضرورة ، قمنا باستبدال المشكلات من أجل الحفاظ على الترقيم كما هو. نتيجة لذلك ، في جميع الفصول تقريبًا ، لن يكون هناك تغيير في أرقام التمرين في الفصول التي يحدث فيها التغيير ، سيكون طفيفًا. يجب أن يكون منسقو الكلية والمقررات قادرين على استخدام الإصدار الجديد بطريقة مباشرة.

    ولزيادة الراحة أيضًا ، ستظهر الإجابات على تمارين "كن مستعدًا" الآن في كتيبات الحلول العادية ، وليس كمورد منفصل.

    يتوفر دليل انتقال مفصل كمصدر للمدرس في openstax.org.

    الأساس التربوي والميزات

    أهداف التعلم

    ينقسم كل فصل إلى عدة أقسام (أو وحدات) ، كل منها منظم حول مجموعة من أهداف التعلم. يتم سرد أهداف التعلم بوضوح في بداية كل قسم وهي النقطة المحورية لكل عنصر تعليمي.

    النص السردي

    يستخدم النص السردي لتقديم المفاهيم والمصطلحات والتعريفات الأساسية ، لتوفير سياق واقعي ، ولتوفير انتقالات بين الموضوعات والأمثلة. تم استخدام صوت غير رسمي لجعل المحتوى في متناول الطلاب.

    في هذا الكتاب ، نعتمد على بعض الاصطلاحات الأساسية لإبراز أهم الأفكار:

    • تكون المصطلحات الأساسية بخط عريض ، عادةً عند تقديمها لأول مرة و / أو عند تعريفها رسميًا.
    • يتم استدعاء المفاهيم والتعريفات الأساسية في مربع أزرق لسهولة الرجوع إليها.

    أمثلة

    يتم دعم كل هدف تعليمي بواحد أو أكثر من الأمثلة العملية ، والتي توضح مناهج حل المشكلات التي يجب على الطلاب إتقانها. Typically, we include multiple Examples for each learning objective in order to model different approaches to the same type of problem, or to introduce similar problems of increasing complexity.

    All Examples follow a simple two- or three-part format. First, we pose a problem or question. Next, we demonstrate the Solution, spelling out the steps along the way. Finally (for select Examples), we show students how to check the solution. Most examples are written in a two-column format, with explanation on the left and math on the right to mimic the way that instructors “talk through” examples as they write on the board in class.

    الأرقام

    Prealgebra 2e contains many figures and illustrations. Art throughout the text adheres to a clear, understated style, drawing the eye to the most important information in each figure while minimizing visual distractions.

    Supporting Features

    Four small but important features serve to support Examples:

    Be Prepared!

    Each section, beginning with Section 1.2, starts with a few “Be Prepared!” exercises so that students can determine if they have mastered the prerequisite skills for the section. Reference is made to specific Examples from previous sections so students who need further review can easily find explanations. Answers to these exercises can be found in the supplemental resources that accompany this title.

    كيف

    A “How To” is a list of steps necessary to solve a certain type of problem. A "How To" typically precedes an Example.

    جربها

    A “Try It” exercise immediately follows an Example, providing the student with an immediate opportunity to solve a similar problem. In the PDF and the Web View version of the text, answers to the Try It exercises are located in the Answer Key.

    وسائط

    The “Media” icon appears at the conclusion of each section, just prior to the Section Exercises. This icon marks a list of links to online video tutorials that reinforce the concepts and skills introduced in the section.

    Disclaimer: While we have selected tutorials that closely align to our learning objectives, we did not produce these tutorials, nor were they specifically produced or tailored to accompany Prealgebra 2e.

    تمارين القسم

    Each section of every chapter concludes with a well-rounded set of exercises that can be assigned as homework or used selectively for guided practice. Exercise sets are named Practice Makes Perfect to encourage completion of homework assignments.

    • Exercises correlate to the learning objectives. This facilitates assignment of personalized study plans based on individual student needs.
    • Exercises are carefully sequenced to promote building of skills.
    • Values for constants and coefficients were chosen to practice and reinforce arithmetic facts.
    • Even and odd-numbered exercises are paired.
    • Exercises parallel and extend the text examples and use the same instructions as the examples to help students easily recognize the connection.
    • Applications are drawn from many everyday experiences, as well as those traditionally found in college math texts.
    • الرياضيات اليومية highlights practical situations using the math concepts from that particular section.
    • تمارين الكتابة are included in every Exercise Set to encourage conceptual understanding, critical thinking, and literacy.

    Chapter Review Features

    The end of each chapter includes a review of the most important takeaways, as well as additional practice problems that students can use to prepare for exams.

    • Key Terms provides a formal definition for each bold-faced term in the chapter.
    • المفاهيم الرئيسية summarizes the most important ideas introduced in each section, linking back to the relevant Example(s) in case students need to review.
    • تمارين مراجعة الفصل includes practice problems that recall the most important concepts from each section.
    • اختبار الممارسة includes additional problems assessing the most important learning objectives from the chapter.
    • مفتاح الحل includes the answers to all Try It exercises and every other exercise from the Section Exercises, Chapter Review Exercises, and Practice Test.

    Additional Resources

    Student and Instructor Resources

    We’ve compiled additional resources for both students and instructors, including Getting Started Guides, manipulative mathematics worksheets, Links to Literacy assignments, and an answer key. Instructor resources require a verified instructor account, which can be requested on your openstax.org log-in. Take advantage of these resources to supplement your OpenStax book.

    Partner Resources

    OpenStax Partners are our allies in the mission to make high-quality learning materials affordable and accessible to students and instructors everywhere. Their tools integrate seamlessly with our OpenStax titles at a low cost. To access the partner resources for your text, visit your book page on openstax.org.

    About the Authors

    Senior Contributing Authors

    Lynn Marecek and MaryAnne Anthony-Smith taught mathematics at Santa Ana College for many years and have worked together on several projects aimed at improving student learning in developmental math courses. They are the authors of Strategies for Success: Study Skills for the College Math Student, published by Pearson HigherEd.

    Lynn Marecek, Santa Ana College

    MaryAnne Anthony-Smith, Santa Ana College

    Andrea Honeycutt Mathis, Northeast Mississippi Community College

    Reviewers

    Tony Ayers, Collin College Preston Ridge Campus
    David Behrman, Somerset Community College
    Brandie Biddy, Cecil College
    Bryan Blount, Kentucky Wesleyan College
    Steven Boettcher, Estrella Mountain Community College
    Kimberlyn Brooks, Cuyahoga Community College
    Pamela Burleson, Lone Star College University Park
    Tamara Carter, Texas A&M University
    Phil Clark, Scottsdale Community College
    Christina Cornejo, Erie Community College
    Denise Cutler, Bay de Noc Community College
    Richard Darnell, Eastern Wyoming College
    Robert Diaz, Fullerton College
    Karen Dillon, Thomas Nelson Community College
    Valeree Falduto, Palm Beach State
    Bryan Faulkner, Ferrum College
    David French, Tidewater Community College
    Stephanie Gable, Columbus State University
    Heather Gallacher, Cleveland State University
    Rachel Gross, Towson University
    Dianne Hendrickson, Becker College
    Linda Hunt, Shawnee State University
    Betty Ivory, Cuyahoga Community College
    Joanne Kendall, Lone Star College System
    Kevin Kennedy, Athens Technical College
    Stephanie Krehl, Mid-South Community College
    Allyn Leon, Imperial Valley College
    Gerald LePage, Bristol Community College
    Laurie Lindstrom, Bay de Noc Community College
    Jonathan Lopez, Niagara University
    Yixia Lu, South Suburban College
    Mikal McDowell, Cedar Valley College
    Kim McHale, Columbia College of Missouri
    Allen Miller, Northeast Lakeview College
    Michelle Moravec, Baylor University TX/McLennan Community College
    Jennifer Nohai-Seaman, Housatonic Community College
    Rick Norwood, East Tennessee State University
    Linda Padilla, Joliet Junior College
    Kelly Proffitt, Patrick Henry Community College
    Teresa Richards, Butte-Glenn Community College
    Christian Roldan-Johnson, College of Lake County Community College
    Patricia C. Rome, Delgado Community College, City Park Campus
    Kegan Samuel, Naugatuck Valley Community College
    Bruny Santiago, Tarrant College Southeast Campus
    Sutandra Sarkar, Georgia State University
    Richard Sgarlotti, Bay Mills Community College
    Chuang Shao, Rose State College
    Carla VanDeSande, Arizona State University
    Shannon Vinson, Wake Technical Community College
    Maryam Vulis, Norwalk Community College
    Toby Wagner, Chemeketa Community College
    Libby Watts, Tidewater Community College
    Becky Wheelock, San Diego City College


    You can look over these other exercises to have the solutions of Chapter-2 Inverse Trigonometric Functions:

    FAQs: NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 2 Exercise 2.1

    What is meant by the Inverse Trigonometric Functions?

    Inverse Trigonometric Functions helps you in the determination of the given Trigonometric ratios. However, various formulas relate to these Inverse Trigonometric Functions.

    From where can I get the most relevant Trigonometric Solutions?

    In the above article, you can easily download the solutions for Exercise 2.1.

    What are the benefits of studying from the topics-wise solution for Inverse Trigonometric Functions?

    This is the most reliable source of studying for the board exams. These solutions will clear all your doubts and will helps you in scoring good marks.

    How many questions are present in NCERT Solutions for Class 12 Maths Chapter 2?

    Chapter 2 of NCERT Solutions for Class 12 has three exercises. The first exercise has 12 short answers and 2 multiple-choice questions.

    From where can I download the NCERT Solutions Class 12 Maths Chapter 2 Exercise 2.1 in one format?

    You can easily download the complete solution PDF that too free from the above article for NCERT solutions Class 12 Maths Chapter 2 Exercise 2.1 in just one format.

    What are the basic concepts taught in the Class 12 Maths Chapter 2 Exercise 2.1?

    In this exercise, you will learn the basic introduction for the Inverse Trigonometric Functions.

    What are the topics I will study in Class 12 Maths chapter 2?

    You will get to know various terms like sine, cosine, tangent, cot, cosec, sec, function, and range of the Inverse Trigonometric Functions. Besides, graphs.


    Download RS Aggarwal Solutions Class 10 Maths Chapter 2 PDF

    A polynomial is made up of terms that are only added, subtracted, or multiplied. A quadratic polynomial in x with real coefficients is of the form ax² + bx + c, where a, b, c are real numbers with a ≠ 0.

    Degree – The highest exponent of the variable in the polynomial is called the degree of the polynomial. Example: 3x 3 + 4, here degree = 3. Polynomials of degrees 1, 2 and 3 are called linear, quadratic and cubic polynomial respectively.

    Polynomials chapter starts with degrees of polynomial and differentiation of polynomials based on its degree namely:

    • Linear Polynomial: Degree 1
    • Quadratic Polynomial: Degree 2
    • Cubic Polynomial: Degree 3

    The next section describes the geometrical meaning of the zeroes of a polynomial. Various graphs are shown to explain how the plotting of equations is done.
    In general, for a linear polynomial ax + b, a ≠ 0, the graph of y = ax + b, the graph of y = ax + b is a straight line that intersects the x-axis at exactly one point.

    In quadratic polynomials, Parabolas are curves that have one of the two shapes either open upwards or open downwards. After that, solved examples are given to show how the number of zeroes can be determined by using the graphical method. Zeroes of a quadratic polynomial are precisely the x– coordinates of the point where the parabola intersects the x-محور.

    Here are the topics covered under Chapter Polynomials

    • Types of Polynomials ie, Linear, Quadratic, Cubic, and Biquadratic Polynomials
    • Values and Zeros of Polynomials
    • Relation Between Co-efficient and Zeros of a Polynomial

    RS Aggarwal Class 6 Math Second Chapter Factors And Multiples Exercise 2E Solution

    الجواب: Multiples of 36 are 36 x10= 360, 36 x 11= 396,….

    Multiples of 60 are 60 x 6= 360, 60 x 7= 420,…

    Multiples of 72 are 72 x 5= 360, 72 x 6= 432,…

    Common multiples of 36, 60 and 72 are 360,….

    Lowest common multiple of 36, 60 and 72 is 360.

    Hence, LCM of 36, 60 and 72= 360.

    (5) 36, 40, 126

    الجواب: Multiples of 36 x 70= 2520,…

    Multiples of 40 x 63= 2520,….

    Multiples of 126 x 20= 2520,….

    Common multiples of 36, 40 and 126 are 2520,….

    Lowest common multiple of 36, 40 and 126 is 2520.

    Hence, LCM of 36, 40 and 126= 2520.

    (6) 16, 28, 40, 77

    الجواب: Multiples of 16 are 16 x 385= 6160,…

    Multiples of 28 are 28 x 220= 6160,…

    Multiples of 40 are 40 x 154= 6160,….

    Multiple of 77= 77 x 80= 6160,….

    Common multiples of 16, 28, 40 and 77= 6160.

    Lowest common multiplie is 6160.

    Hence, LCM of 16, 28, 40 and 77= 6160.

    (7) 28, 36, 45, 60

    الجواب: Multiples of 28 are 28 x 45= 1260,…

    Multiples of 36 x 35= 1260,…

    Multiples of 45 x 28= 1260,…

    Multiples of 60 are 60 x 21= 1260,…

    Common multiples of 28, 36, 45 and 60 are 1260,…

    Lowest common multiplies 1260.

    Hence, LCM of 28, 36, 45 and 60= 1260.

    (8) 144, 180, 384

    الجواب: Multiples of 144 are 144 x 40= 5760,…

    Multiples of 180 are 180 x 32= 5760,…

    Multiples of 384 are 384 x 15= 5760,…

    Common multiples of 144, 180 and 384 are 5760,…

    Lowest common multiple is 5760.

    Hence, LCM of 144, 180 and 384= 5760.

    (9) 48, 64, 72, 96, 108

    Multiples of 48 are 48 x 36= 1728,…

    Multiples of 64 are 64 x 27= 1728,…

    Multiples of 72 are 72 x 24= 1728,…

    Multiples of 96 are 96 x 18= 1728,…

    Common multiples of 48, 64, 72 and 96 are 1728,…

    Lowest common multiplies 1728.

    Hence, LCM of 48, 64, 72 and 96= 1728.

    Find the HCF and LCM of

    الجواب: We first find the HCF of the given numbers.

    Therefore HCF= 26 and LCM= 5148.

    (12) 693, 1078

    الجواب: We first find the HCF of the given numbers.

    Therefore HCF= 77 and LCM= 9702.

    الجواب: We first find the HCF of the given numbers.

    Therefore HCF= 29 and LCM= 1160.

    (14) 861, 1353

    الجواب: We first find the HCF of the given numbers.

    Therefore HCF= 123 and LCM= 9471.

    (15) 2923, 3239

    الجواب: We first find the HCF of the given numbers.

    Therefore HCF= 79 and LCM= 119843.

    (16) For each pair of numbers, verify that their product= (HCF x LCM).

    حل: We have, 87= 3 x 29

    So, the HCF of 87 and 145 is 29

    And, the LCM of 87 and 145 is 3 x 5 x 29= 435.

    Now, the product of the given numbers= 87 x 145= 12615.

    Product of their HCF and LCM=(29 x 435)= 12615.

    (iii) 490, 1155

    (17) The product of two numbers is 2160 and their HCF is 12. Find their LCM.

    حل: We know that

    (18) The product of two numbers is 2560 and their LCM is 320. Find their HCF.

    حل: We know that

    (19) The HCF of two numbers is 145 and their LCM is 2175. If one of the numbers is 725, find the other number.

    حل: نحن نعرف ذلك،

    (One number) x (other number)= (HCF X LCM)

    (20) The HCF and LCM of two numbers are 131 and 8253 respectively. If one of the numbers is 917, find the other.

    حل: نحن نعرف ذلك،

    (One number) x (other number)= (HCF X LCM)

    (21) Find the least number divisible by 15, 20, 24, 32 and 36.

    الجواب: 15= 15 x 96= 1440.

    Hence, the required number is 1440.

    (22) Find the least number which when divided by 25, 40 and 60 leaves 9 as the remainder in each case.

    حل: 25= 25 x 24= 600.

    Hence the required number is (600+9)= 609.

    (23) Find the least number of five digits exactly divisible by 16, 18, 24 and 30.

    حل: 16= 16 x 630= 10080.

    Hence, the required number is 10080.

    (24) Find the greatest number of five digits exactly divisible by 9, 12, 15, 18 and 24.

    حل: 9= 9 x 11080= 99720.

    Hence the required number is 99720.

    (25) Three bells toll at intervals of 9, 12, 15 minutes. If they start tolling together, after what time will they next toll together?

    Therefore, LCM of 9, 12, 15= (3 x 3x 4 x5)= 180minutes

    So, all the toll at intervals will start tolling together after 180 minutes. i.e. 3 hours.

    (26) Three boys step off together from the same place. If their steps measure 36 cm, 48 cm and 54 cm, at what distance from the starting point will they again step together?

    حل: Therefore LCM of 36, 48, 54= 2 x 3 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3= 432 cm =4m 32 cm

    So their distance from the starting points is 4m 32cm.

    (27) The traffic lights at three different road crossing change after every 48 seconds, 72 seconds and 108 seconds. If they start changing simultaneously at 8 a.m., after how much time will they change again simultaneously?

    حل: Therefore, LCM of 48, 72, 108= 2 x 2 x 3 x 3 x 2 x 2 x 3= 432 sec

    So, they will change again simultaneously after 432 sec i.e. 7 minutes 12 sec.

    (28) Three measuring rods are 45cm, 50cm and 75cm in length. What is the least length (in meters) of a rope that can be measured by the full length of each of these three rods?

    حل: Therefore, LCM of 45, 50, 75= 450cm

    So the full length of each of these three rods is 450cm i.e., 4m 5cm.

    (29) An electrical device makes a beep after every 15 minutes. Another device makes a beep after every 20 minutes. They beeped together at 6 a.m. At what time will they next beep together?

    حل: Therefore, LCM of 15, 20= 60 minutes

    Thus they beeped together of 6 a.m. that they will next beep together at (6a.m + 60 minutes)= 7 a.m.

    (30) The circumferences of four wheels are 50 cm, 60 cm, 75 cm and 100 cm. They start moving simultaneously. What least distance should they cover so that each wheel makes a complete number of revolutions?

    Therefore, LCM of 50, 60, 75, 100= 5 x 5 x 2 x 3 x 2 x 1 x 1 x 1 x 1= 300 cm.


    2.E: Exercises for Chapter 2 - Mathematics

    Term Exam Paper Kit Additional Exam Paper(S3) is available.

    Revision on A1 Questions is available.

    Term Exam Paper Kit Additional Exam Paper (S1 and S2) are available.

    Bridging Guideline is available.

    Supplementary Exercises for Book 3B are available.

    Supplementary Exercises for Book 3A are available.

    Question Bank Update for Book 2B are available.

    PPT for Textbook Examples for Book 1B and 2B are available.

    Question Bank Update for Book 2A are available.

    PPT for Textbook Examples for Book 2A are available.

    Amendment for Book 3A and 3B are available.
    Supplementary Exercises(Teacher&rsquos Edition) for Book 1A are available.
    PPT for Textbook Examples for Book 1A are available.

    Supplementary Exercises for Book 2B are available.

    Supplementary Exercisesfor Book 2A ch 4 - 7 are available.

    Additional Basic Topical Worksheet (S2) is uploaded.

    Question Bank Update for Book 1B Chapter 11 - 14 are available.

    Question Bank Update for Book 1B Chapter 8 - 10 are available.

    Supplementary Exercises for Book 2A ch 1 - 3 are available.

    Question Bank Update for Book 1A is available.

    The following materials are available:

    • Textbook Information (3B)
    • E-tutor (3B)
    • Textbook Supplement (3B)
    • Term Exam Paper Kits (3B)
    • Resources for TSA (3B)
    • EDB Resources (3B)
    • Useful Websites (3B)
    • Basic Topical Worksheet (S3)

    The following materials for Book 3A are available:

    • Textbook Information
    • E-tutor
    • Textbook Supplement
    • Term Exam Paper Kits
    • Resources for TSA
    • EDB Resources
    • Useful Websites

    الجميع Supplementary Exercises for Book 1A and 1B are available.

    Extra Project for Book 2B is uploaded.

    الجميع Teaching Schedule for Book 3A and 3B are available.

    الجميع Full Solution for Book 3A and 3B are available.

    Study Guide of 1A Chapter 4 and 6 are uploaded.

    الجميع Supplementary Exercises for Book 1B are available.

    Supplementary Exercises of 1B Chapter 12 is uploaded.

    All resources for Book 2B are available.

    Supplementary Exercises of 1B chapter 8, 9 10 & 11 are uploaded.

    Supplementary Exercises of 1A chapter 3, 1B chapter 8 and 1B chapter 11 are uploaded.


    Balbharati solutions for Mathematics and Statistics 2 (Arts and Science) 12th Standard HSC Maharashtra State Board chapter 6 (Differential Equations) include all questions with solution and detail explanation. This will clear students doubts about any question and improve application skills while preparing for board exams. The detailed, step-by-step solutions will help you understand the concepts better and clear your confusions, if any. Shaalaa.com has the Maharashtra State Board Mathematics and Statistics 2 (Arts and Science) 12th Standard HSC Maharashtra State Board solutions in a manner that help students grasp basic concepts better and faster.

    Further, we at Shaalaa.com provide such solutions so that students can prepare for written exams. Balbharati textbook solutions can be a core help for self-study and acts as a perfect self-help guidance for students.

    Concepts covered in Mathematics and Statistics 2 (Arts and Science) 12th Standard HSC Maharashtra State Board chapter 6 Differential Equations are Differential Equations, Order and Degree of a Differential Equation, Formation of Differential Equations, Homogeneous Differential Equations, Linear Differential Equations, Application of Differential Equations.

    Using Balbharati 12th Board Exam solutions Differential Equations exercise by students are an easy way to prepare for the exams, as they involve solutions arranged chapter-wise also page wise. The questions involved in Balbharati Solutions are important questions that can be asked in the final exam. Maximum students of Maharashtra State Board 12th Board Exam prefer Balbharati Textbook Solutions to score more in exam.


    شاهد الفيديو: مراجعة للسنة الثانية متوسط بحل تمارين في الرياضيات للفصل الثاني مع الشرح المفصل رقم واحد (شهر اكتوبر 2021).