مقالات

10.2: إظهار الاستقلال الخطي - الرياضيات


لقد رأينا طريقتين مختلفتين لإظهار أن مجموعة من المتجهات تعتمد خطيًا: إما أن نجد مجموعة خطية من المتجهات تساوي صفرًا ، أو يمكننا التعبير عن أحد المتجهات كمجموعة خطية من المتجهات الأخرى. بالتساوي ، لتوضيح أن المجموعة (v_ {1} ، v_ {2} ، ldots ، v_ {n} ) مستقلة خطيًا ، يجب أن نوضح أن المعادلة (c_ {1} v_ {1} + c_ {2} v_ {2} + cdots + c_ {n} v_ {n} = 0 ) ليس لها حلول بخلاف (c_ {1} = c_ {2} = cdots = c_ {n} = 0. )

مثال 109

ضع في اعتبارك المتجهات التالية في ( Re ^ {3} ):
[v_ {1} = start {pmatrix} 0 0 2 end {pmatrix} ،
qquad v_ {2} = start {pmatrix} 2 2 1 end {pmatrix} ،
qquad v_ {3} = start {pmatrix} 1 4 3 end {pmatrix}. ]

هل هم مستقلون خطيًا؟

نحن بحاجة لمعرفة ما إذا كان النظام

[c ^ {1} v_ {1} + c ^ {2} v_ {2} + c ^ {3} v_ {3} = 0 ]

لديه أي حلول لـ (c ^ {1} ، c ^ {2} ، c ^ {3} ). يمكننا إعادة كتابة هذا كنظام متجانس:

[ begin {pmatrix} v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} end {pmatrix} begin {pmatrix} c ^ {1} c ^ {2} c ^ {3} end {pmatrix} = 0. ]

هذا النظام لديه حلول فقط إذا وفقط إذا كانت المصفوفة (M = begin {pmatrix} v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} end {pmatrix} ) مفردة ، لذلك يجب أن نجد محدد ( م):

[
det M = det begin {pmatrix}
0 & 2 & 1 \
0 & 2 & 4 \
2 & 1 & 3 \
نهاية {pmatrix}
= 2 det start {pmatrix}
2 & 1 \
2 & 4 \
نهاية {pmatrix}
=12.
]

نظرًا لأن المصفوفة (M ) لها محدد غير صفري ، فإن الحل الوحيد لنظام المعادلات

[ begin {pmatrix} v_ {1} & v_ {2} & v_ {3} end {pmatrix} begin {pmatrix} c ^ {1} c ^ {2} c ^ {3} end {pmatrix} = 0 ]

هو (c_ {1} = c_ {2} = c_ {3} = 0 ). لذا فإن المتجهات (v_ {1} ، v_ {2} ، v_ {3} ) مستقلة خطيًا.


تشخيص المواد

تعتبر سلاسل ماركوف مثالًا رئيسيًا على أهمية القدرة على كتابة مصفوفة على أنها قطرية. عندما يمكن القيام بذلك ، فإننا نسميها قطريًا.

مع تعريف مفهوم الأقطار ، يمكننا تحديد مشكلة رئيسية أخرى في الجبر الخطي ، وهي المشكلة الخامسة.

لمقاربة مشكلة القطر ، نسأل أولاً: إذا كان قابلاً للتقطير ، فما الذي يجب أن يكون صحيحًا و؟ إذا كان قطريًا ، فهذا يعني ذلك. يكتب الآن

أين هو المتجه من العمود العاشر من. لذلك تتكون المصفوفة من أعمدة متجهات ذاتية لـ. العناصر القطرية هي قيم eigenvalues ​​المقابلة. علاوة على ذلك ، نظرًا لأن الأعمدة قابلة للعكس ، فهي مستقلة خطيًا. لذا، لدينا النظرية التالية.

  1. حل مشكلة eigenproblem من أجل ،
  2. أوجد أنه يمكن اختيار المتجهات الذاتية على أنها مستقلة خطيًا ،
  3. جلس ،

في الحقيقة هذا صحيح قبل إثبات أن هذا الإجراء يعمل ، نعطي مثالاً.

الحل تم حل مشكلة eigenproblem لـ في الثانية. 5.2 إن أزواج eigenpairs العامة هي

هي مجموعة مستقلة خطيًا ، لذلك نشكل

أخيرًا نتحقق لنرى ما إذا كان

وهكذا تم قطري. إذا كنا قد شكلنا

الآن نعلن ونثبت النظرية التي يوضحها المثال الأخير.

ثم قطري وأين

منذ ذلك الحين ، أصبحنا قطريين.

تعطينا النظريات 5.3.1 و 5.3.2 معًا نتيجة مهمة.

يمكن ذكر النتيجة في نظرية 5.3.3 بطريقتين مكافئتين أخريين.

لاحظ أنه لحل مشكلة القطر ، نقوم أولاً بحل مشكلة eigenproblem لـ.

الحل وجدنا في مثال سابق أن أزواج eigenpairs لـ هي

لدينا متجهان ذاتيان مستقلان خطيًا للمصفوفة. وهكذا يكون قطريًا. اختيار ، يمكننا الاختيار

الحل المعادلة المميزة هي

أو . القيم الذاتية هي و. بالنسبة إلى المتجهات الذاتية ، نحلها مما يقلل إلى

ولا يمكننا الحصول على متجهين ذاتيين مستقلين خطيًا للمصفوفة. وبالتالي لا يمكن تحديدها قطريًا. هناك طريقة أخرى لقول هذا وهي أن المتجهات الذاتية لـ لا تشكل أساسًا لـ.

الحل في المثال 5 من Sec. 5.2 قمنا بحل مشكلة eigenproblem لـ. بالإشارة إلى هذا المثال ، نرى أن أزواج eigenpairs المحددة هي

مستقلة خطيًا ، تمتلك المصفوفة ثلاثة متجهات ذاتية مستقلة خطيًا وقابلة للتقطير. اختيار هو

إذا أردنا الحصول على القيم الذاتية بترتيب تنازلي من حيث الحجم ، فسنختار

كلاهما لهما 3 كقيمة ذاتية للتعددية 2. أظهر أن هذا غير قابل للتقطير ، ولكنه قابل للقطر.

الحل: كثير الحدود المميز لعوامل مثل ، بحيث 3 هي قيمة ذاتية للتعددية 2. نحن نعلم بالفعل أن 3 هي قيمة ذاتية للتعدد 2 من المثال 6 من الثانية. 5.2 إن eigenpairs من أجل هي

كأساس للمتجهات الذاتية لـ. وهكذا يكون قطريًا. لكن أزواج eigenpairs لا تنشئ أساسًا ، ولا يمكن تحديدها قطريًا. الملاحظة الرئيسية هناك هي أن ، هو أقل بدقة من تعدد قيمة eigenvalue 3 لتساوي تعدد قيمة eigenvalue 3.

الحل لحل هذه المشكلة ، نستخدم مصفوفة تمثل القص. والسبب في إمكانية القيام بذلك هو أنه إذا كانت المصفوفات متشابهة وواحدة مماثلة لمصفوفة قطرية ، فإن الأخرى تشبه أيضًا المصفوفة القطرية نفسها (المسألة 14 في القسم 4.4). وبالتالي ، فإن القابلية للقطر ثابتة في ظل التشابه ، ونقول إن التحويل الخطي قابل للقطر إذا كان البعض الذي يمثل مصفوفة التحويل قابلًا للقطر. يكفي استخدام المصفوفة فيما يتعلق بالأساس القياسي

لتمثيل القص. إن eigenpair العام لهذه المصفوفة هو

لا يمكن بناء أساس من المتجهات الذاتية للمصفوفة الممثلة. لذلك ، لا يكون تحويل القص قطريًا.

نحن نعلم الآن أن المصفوفة قابلة للتحديد قطريًا إذا وفقط إذا كانت تحتوي على متجهات ذاتية مستقلة خطيًا. إذا كانت كبيرة ، فإن التحقق من الاستقلال الخطي يمكن أن يكون مملاً. هناك شرط بسيط كافٍ للقابلية للقطر.

تشكل مجموعة مستقلة خطيًا ، وبالتالي فهي قابلة للتحديد قطريًا.

الحل المعادلة المميزة هي. وبالتالي فإن قيم eigenvalues ​​لـ هي ، و 2. بما أن لديها ثلاث قيم ذاتية متميزة ، فإن النظرية 5.3.4 تشير إلى أنه قابل للقطر.

افترض أن ذلك يعتمد خطيًا (LD). يمكننا إيجاد مجموعة مستقلة خطيًا (LI) من خلال العملية التالية. نظرًا لأن المتجهات الذاتية ليست صفرية ، فهي مجموعة LI. إذا كانت LD ، فإننا نتوقف مع مجموعة LI الخاصة بنا. إذا كانت LI ولكنها LD ، فإننا نتوقف عن ذلك ، وهكذا. لنفترض أننا أكملنا هذه العملية ولدينا LI لكن LD (يمكن أن يساوي).

لذلك توجد ثوابت ، ليست كلها صفر ، مع

أيضًا ، لأنه إذا كان صفرًا ، إذن (بالاستقلال الخطي لـ) ، وسيكون LI ، تناقض.

الآن نضرب كلا طرفي المعادلة. (5.3.1) واستخدم جبر المصفوفة للحصول عليها

ضرب (5.3.1) وطرح من المعادلة. (5.3.2) ، لدينا

نظرًا لأن قيم eigenvalues ​​متميزة وهي LI ، يجب أن يكون لدينا. استبدال هذه القيم في (5.3.1) ، لدينا

الآن يجب أن يكون هذا المتجه الصفري يتناقض مع الفرضية القائلة بأن المتجه الذاتي. لذلك من المستحيل أن تكون LD ، ويجب أن تكون LI.

فحص قطري المصفوفات بمجرد أن يتم مائل المصفوفة ، قد نحتاج إلى بعض الفحوصات السهلة على الشكل القطري. حيث

يعني أن هذا مشابه ، ثم من خلال النتائج السابقة على مصفوفات مماثلة يجب أن يكون لدينا

الحل في المثال 4 وجدنا ذلك

في هذه الحالة tr tr ، ورتبة المرتبة. هذا لا يضمن صحة القطر ولكنه يعطي ثقة أكبر في الإجابة.

نظرًا لأن الرتب غير متساوية ، فإن الشخص قد قطري بشكل غير صحيح.

لاحظ أن هذه الفحوصات ليست كافية لإثبات صحة القطر ، فهي تساعد فقط في العثور على قطري غير صحيح. على سبيل المثال،

لها نفس الأثر ، المحدد ، والرتبة ، ولكن

ليس قطرية

لا حتى قطريًا. انظر المثال 3.

المعنى الهندسي للقطر في حالة الفضاء المتجه الحقيقي ، يعطي قطرية معلومات حول الإجراء الهندسي للتحول الناتج عن. على سبيل المثال ، منذ ذلك الحين

نحن نعلم أنه يمتد ببساطة النواقل

هو أساس ، إذا كان للمتجه متجه تنسيق

ثم متجه إحداثيات

يوضح هذا استخدام القيم المميزة للكلمات والمتجهات المميزة في تلك المتجهات

هي `` مميزة '' لعمل. تحدد المتجهات الاتجاهات التي يمكن أن تسمى الاتجاهات الرئيسية لـ.

الحل بالنسبة لمتجه معين ، تُعطى الإحداثيات بواسطة ، حيث توجد مصفوفة الانتقال من الأساس القياسي إلى الأساس. في هذه الحالة تكون المصفوفة

يعطي المتجه ، وهو معكوس مصفوفة الانتقال ،

هو متجه الإحداثيات فيما يتعلق بـ.

يوضح المثال الأخير الحقيقة التالية.

سنرى في القسم التالي أنه إذا كانت مصفوفة متماثلة حقيقية ، فيمكن دائمًا اختيار أساس المتجهات الذاتية على أنها متعامدة.

عن طريق قطري المصفوفة.

واحسب. تعطي المعادلة المميزة قيم eigenvalues ​​و. إن أزواج eigenpairs هي

اختيار وبالتالي أن يكون طول المتجهات الذاتية 1 ، لدينا

هذا يعني أن الإجراء على مصفوفة إحداثيات قياسية لمتجه يكون كما يلي:

ثانياً: الإسقاط على المحور

ثالثا: الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة

كتطبيق نهائي لهذه الملاحظات ، نلاحظ أنه نظرًا لأن تحويل القص غير قابل للقطر (مثال 6) ، فإن تحويل القص لا `` يمتد '' الكائنات في اتجاهين مستقلين. يعكس هذا مشاعرنا البديهية حول القص ، والتي تنتج عن التشوه `` الجانبي '' للمكعب الذي تم توضيحه في اللقاءات السابقة مع هذا المثال.


الجبر الخطي لتعلم الاستفسار القائم على الفريق

نقول أن مجموعة من المتجهات تكون إذا كان أحد المتجهات في المجموعة ينتمي إلى امتداد الآخرين. خلاف ذلك ، نقول أن المجموعة هي.

يمكنك التفكير في المجموعات المعتمدة خطيًا على أنها تحتوي على متجه فائض ، بمعنى أنه يمكنك إسقاط متجه دون تقليل مدى المجموعة. في الصورة أعلاه ، تكمن المتجهات الثلاثة في نفس الفضاء الجزئي المستوي ، ولكن هناك حاجة إلى متجهين فقط لتمتد المستوى ، وبالتالي فإن المجموعة تعتمد خطيًا.

النشاط 2.5.2.

دعونا ( vec_1 ، vec_2، vec_3 ) تكون متجهات في ( mathbb R ^ n text <.> ) افترض (3 vec_1-5 vec_2 = vec_3 نص <،> ) لذا فإن المجموعة ( < vec_1 ، vec_2، vec_3 > ) يعتمد خطيًا. أي مما يلي ينطبق على معادلة المتجه (x_1 vec_1 + x_2 vec_2 + x_3 vec_3 = VEC <0> )؟

إنه يتفق مع حل واحد

إنه متوافق مع العديد من الحلول اللانهائية

حقيقة 2.5.3.

بالنسبة لأي مساحة متجهة ، فإن المجموعة ( < vec v_1 ، dots vec v_n > ) تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا كانت معادلة المتجه (x_1 vec v_1 + dots + x_n vec v_n = vec <0> ) يتوافق مع عدد لا نهائي من الحلول.

النشاط 2.5.3.

وقم بتمييز جزء المصفوفة الذي يوضح ذلك

يعتمد خطيًا (الجزء الذي يوضح أن نظامه الخطي يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول).

الملاحظة 2.5.4.

مجموعة من المتجهات الإقليدية ( < vec v_1، dots vec v_n > ) تعتمد خطيًا إذا وفقط إذا ( RREF left [ start vec v_1 & amp dots & amp vec v_n end right] ) له عمود بدون موضع محوري.

الملاحظة 2.5.5.

قارن النتائج التالية:

مجموعة من المتجهات ( IR ^ m ) ( < vec v_1، dots vec v_n > ) مستقلة خطيًا إذا وفقط إذا ( RREF left [ start vec v_1 & amp dots & amp vec v_n end right] ) يحتوي على جميع الأعمدة المحورية.

مجموعة من ( IR ^ m ) ناقلات ( < vec v_1 ، dots vec v_n > ) تمتد ( IR ^ m ) إذا وفقط إذا ( RREF يسار [ يبدأ vec v_1 & amp dots & amp vec v_n end right] ) به كل الصفوف المحورية.

النشاط 2.5.4.

ضع في اعتبارك ما إذا كانت مجموعة المتجهات الإقليدية ( left < left [ begin-4 2 3 0 - 1 نهاية يمين] ، يسار [ ابدأ1 2 0 0 3 end يمين] ، يسار [ ابدأ1 10 10 2 6 نهاية يمين] ، يسار [ ابدأ3 4 7 2 1 نهاية right] right > ) تابع خطيًا أو مستقلًا خطيًا.

أعد تفسير هذا السؤال على أنه سؤال مناسب حول حلول معادلة المتجه.

استخدم حل هذا السؤال للإجابة على السؤال الأصلي.

النشاط 2.5.5.

ضع في اعتبارك ما إذا كانت مجموعة كثيرات الحدود ( left ) تابعة خطيًا أو مستقلة خطيًا.

أعد تفسير هذا السؤال على أنه سؤال مناسب حول حلول معادلة متعددة الحدود.

استخدم حل هذا السؤال للإجابة على السؤال الأصلي.

النشاط 2.5.6.

ما هو أكبر عدد من المتجهات ( IR ^ 4 ) التي يمكن أن تشكل مجموعة مستقلة خطيًا؟


رياضيات 1530

جدول الطوارئ (أو جدول التردد ثنائي الاتجاه) هو جدول تتوافق فيه الترددات مع متغيرين. يتم استخدام متغير واحد لتصنيف الصفوف ومتغير آخر يستخدم لتصنيف الأعمدة.

يختبر اختبار الاستقلال الفرضية الصفرية القائلة بأن متغيري الصف والعمود في جدول الطوارئ مستقلان.

متطلبات:

  1. يتم اختيار بيانات العينة بشكل عشوائي
  2. يتم تمثيل بيانات العينة كأعداد تردد في جدول ثنائي الاتجاه.
  3. لكل خلية في جدول الطوارئ ، يكون التردد المتوقع E هو 5. على الأقل (لا يوجد شرط يجب أن يكون كل تكرار مرصود على الأقل 5. كما لا يوجد أي شرط بأن يكون للسكان توزيع طبيعي أو أي توزيع محدد آخر.

درجات الحرية:

الفرضيات الباطلة والبديلة:

(H_0 ): متغيرات الصف والعمود مستقلة (يعني: لا توجد علاقة بين المتغيرات)

(H_A ): متغيرات الصف والعمود تابعة (يعني: بعض العلاقة بين المتغيرات)

إحصائية اختبار لاختبار الاستقلال:

سوف تحصل على إحصائية الاختبار من التكنولوجيا. يجب تسمية الصفوف في العمود الأول. استخدم هذه الصيغة إذا كنت تريد حساب إحصاء الاختبار يدويًا. تحتوي الصفحات الأخيرة من هذه الملاحظات على شرح أكثر تفصيلاً لحساب الترددات المتوقعة والقيمة الحرجة وإحصاء الاختبار يدويًا.

استخدام التكنولوجيا لاختبار الاستقلال:

  • لاغية ، (H_0 )
    • توزيع ___________ هو نفس التوزيع المتوقع.
    • لكل فئة ، القيمة الملاحظة تساوي القيمة المتوقعة.
    • رياضيا:
      • (p_ <1> = p_ <2> = p_ <3> dots ) ​​لتوزيع موحد متوقع
      • (p_1 = _ _ _ _ _ _ _ ، p_2 = _ _ _ _ _ _ _ ، p_3 = _ _ _ _ _ _ _. ) لأي توزيع متوقع غير منتظم.
      • يختلف توزيع _____________ عن التوزيع المتوقع.
      • في الفئات ، قيمة واحدة على الأقل ملحوظة لا تساوي القيمة المتوقعة.

      استخدام التكنولوجيا من أجل الاستقلال:

      1. التعرف على قيمة مربع كاي الحرجة، (< تشي ^ 2> _) (يسمى (< تشي ^ 2> _) في النص الخاص بك) لتظليل المنحنى الخاص بك.
        1. (df = (الأعمدة - 1) (الصفوف - 1) )
        2. المنطقة إلى اليمين (دائمًا اختبار الذيل الأيمن ، استخدم ≥) هي مستوى الأهمية
        1. إحصاء الاختبار (Chi-Square)
        2. ف القيمة

        هل يجب على سائقي الدراجات النارية اختيار خوذات ذات لون معين؟ إذا كان الأمر كذلك ، ما هو اللون الذي يظهر بشكل أفضل؟

        يبدو أنه يجب على سائقي الدراجات النارية اختيار خوذات ذات لون أصفر / برتقالي.

        *** ملاحظة: إذا أجريت هذا الاختبار باستخدام α = 0.01 ، فقد تفشل في رفض الاستقلال.

        حساب التكرارات المتوقعة والقيمة الحرجة وإحصاء الاختبار يدويًا

        ال اختبار خي مربع يوفر طريقة لاختبار الارتباط بين متغيرات الصف والعمود في جدول ثنائي الاتجاه. تفترض الفرضية الصفرية H0 أنه لا يوجد ارتباط بين المتغيرات (بمعنى آخر ، لا يختلف أحد المتغيرات وفقًا للمتغير الآخر) ، بينما تدعي الفرضية البديلة Ha وجود ارتباط ما. لا تحدد الفرضية البديلة نوع الارتباط ، لذا يلزم إيلاء اهتمام وثيق للبيانات لتفسير المعلومات التي يوفرها الاختبار.

        يعتمد اختبار chi-square على إحصائية اختبار تقيس تباين البيانات المرصودة من القيم المتوقعة في ظل الفرضية الصفرية بعدم وجود ارتباط. يتطلب هذا حساب القيم المتوقعة بناءً على البيانات. تساوي القيمة المتوقعة لكل خلية في جدول ثنائي الاتجاه (إجمالي الصف * إجمالي العمود) / n ، حيث يمثل n العدد الإجمالي للملاحظات المضمنة في الجدول. (http://www.stat.yale.edu/Courses/1997-98/101/chisq.htm)

        الرموز:
        • يمثل O التكرار الملحوظ لنتيجة ما في خلية من جدول الطوارئ
        • يمثل E التردد المتوقع في الخلية ، والذي تم العثور عليه بافتراض أن متغيرات الصف والعمود مستقلة

        (انظر الصفحة 549-550 لمعرفة الأساس المنطقي وراء الترددات المتوقعة - فهي تستند إلى ضرب احتمال العد في خلية معينة في حجم العينة)

        قيمة حرجة:

        يمكن العثور على القيمة الحرجة لـ ( chi ^ 2 ) في الجدول A-4 باستخدام درجات الحرية ومستوى الأهمية (تذكر أن اختبار الاستقلال ذو الطرف الأيمن ، لذلك تمثل α المنطقة على يمين قيمة حرجة).

        درجات الحرية
        إحصائية اختبار لاختبار الاستقلال:

        يجب حساب E لكل خلية في جدول الطوارئ.

        يتم حساب TS عن طريق إضافة كل ( frac < left (O-E right) ^ 2> E ) من كل خلية.


        الواجب المنزلي

        لكل مشكلة ، حدد المتغيرات العشوائية. انظر أيضًا لمعرفة ما إذا كان هناك أي قيم متطرفة يجب إزالتها. قم بتحليل الارتباط مع وبدون النقاط الخارجية المشتبه بها لتحديد ما إذا كانت إزالتها تؤثر على الارتباط. مجموعات البيانات الواردة في هذا القسم موجودة في القسم 10.1 وسيتم استخدامها في القسم 10.3.

        1. عندما يعثر عالم الأنثروبولوجيا على بقايا هيكل عظمي ، فإنه يحتاج إلى معرفة ارتفاع الشخص. تم جمع ارتفاع الشخص (بالسنتيمتر) وطول عظم المشط 1 (بالسم) وهما في المثال ( PageIndex <5> ) (& quot توقع الارتفاع ، & quot 2013). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        2. مثال ( PageIndex <6> ) يحتوي على قيمة المنزل ومقدار دخل الإيجار في السنة التي يجلبها المنزل (& quot رأس المال والإيجار & quot 2013). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        3. يجمع البنك الدولي معلومات عن متوسط ​​العمر المتوقع للشخص في كل بلد (& quot متوسط ​​العمر المتوقع في ، & quot 2013) ومعدل الخصوبة لكل امرأة في البلد (& quot ؛ معدل الخصوبة ، & quot ؛ 2013). توجد بيانات 24 دولة تم اختيارها عشوائيًا لعام 2011 في مثال ( PageIndex <7> ). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        4. جمع البنك الدولي بيانات عن النسبة المئوية من الناتج المحلي الإجمالي التي تنفقها دولة ما على النفقات الصحية (& quot الإنفاق الصحي ، & quot 2013) وكذلك النسبة المئوية للنساء اللواتي يتلقين رعاية ما قبل الولادة (& quot؛ تلقي المرأة الحامل & quot؛ 2013). توجد بيانات البلدان التي تتوفر فيها هذه المعلومات لعام 2011 في مثال ( PageIndex <8> ). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        5. يظهر طول ووزن لاعبي البيسبول في المثال ( PageIndex <9> ) (& quotMLB heightsweights، & quot 2013). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        6. الأنواع المختلفة لها أوزان جسم مختلفة وأوزان دماغية مختلفة في المثال ( فهرس الصفحة <10> ). (& quotBrain2bodyweight، & quot 2013). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        7. تم أخذ عينة عشوائية من نقانق اللحم البقري وقياس كمية الصوديوم (بالملجم) والسعرات الحرارية. (& quotData hotdogs، & quot 2013) البيانات موجودة في مثال ( PageIndex <11> ). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        8. دخل الفرد في 1960 دولارًا للدول الأوروبية والنسبة المئوية للقوى العاملة التي تعمل في الزراعة في عام 1960 موجودة في مثال ( PageIndex <12> ) (& quot التنمية الاقتصادية لمنظمة التعاون والتنمية في الميدان الاقتصادي & quot 2013). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        9. تم ربط تدخين السجائر بالسرطان. عدد الوفيات لكل مائة ألف من سرطان المثانة وعدد السجائر المباعة للفرد عام 1960 في مثال ( PageIndex <13> ) (& quotSmoking and cancer، & quot 2013). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        10. يمكن أن يؤثر وزن السيارة على الأميال التي يمكن أن تحصل عليها السيارة. تم جمع عينة عشوائية من أوزان السيارات وعدد الأميال وهي في مثال ( PageIndex <14> ) (& quotPassenger car mileage، & quot 2013). أوجد معامل الارتباط ومعامل التحديد ثم فسر كلاهما.
        11. هناك علاقة عكسية بين نفقات الشرطة ومعدل الجريمة. هل هذا يعني أن إنفاق المزيد من الأموال على الشرطة يؤدي إلى انخفاض معدل الجريمة؟ اشرح اجابتك.
        12. هناك علاقة إيجابية بين مبيعات التبغ ومبيعات الكحول. هل يعني ذلك أن تعاطي التبغ يجعل الشخص يشرب الكحول أيضًا؟ اشرح اجابتك.
        13. هناك علاقة ارتباط موجبة بين متوسط ​​درجة الحرارة في مكان ما ومعدل الأخلاق من سرطان الثدي. هل يعني ذلك أن ارتفاع درجات الحرارة يتسبب في وفاة المزيد من النساء بسبب سرطان الثدي؟ اشرح اجابتك.
        14. هناك علاقة ارتباط موجبة بين طول الوقت الذي تستغرقه شركة أدوات المائدة في تلميع الطبق وسعر الطبق. هل يعني ذلك أن وقت صقل الطبق يحدد سعر الطبق؟ اشرح اجابتك.

        يتم إعطاء معامل الارتباط ومعامل التحديد فقط. انظر الحلول للإجابة كاملة.


        إذا الخامس هي مساحة متجهية فوق حقل ك و إذا دبليو هي مجموعة فرعية من الخامس، ومن بعد دبليو هو الفضاء الجزئي الخطي من الخامس إذا كانت تحت عمليات الخامس, دبليو هي مساحة متجهية ك. بالتساوي ، مجموعة فرعية غير فارغة دبليو هو فضاء فرعي من الخامس إذا ، في أي وقت ث1, ث2 هي عناصر دبليو و α, β هي عناصر ك، إنه يتبع هذا αw1 + βw2 في داخل دبليو. [2] [3] [4] [5] [6]

        كنتيجة طبيعية ، تم تجهيز جميع الفراغات المتجهية بمساحتين خطيتين على الأقل (ربما تكون مختلفة): مساحة المتجه الصفرية التي تتكون من متجه صفري وحده ومساحة المتجه بأكملها نفسها. هذه تسمى مساحات فرعية تافهة من الفضاء المتجه. [7]

        المثال الأول تحرير

        دع المجال ك كن المجموعة ص من الأعداد الحقيقية ، ودع الفضاء المتجه الخامس أن تكون مساحة الإحداثيات الحقيقية ص 3. يأخذ دبليو لتكون مجموعة جميع النواقل في الخامس المكون الأخير الذي هو 0. ثم دبليو هو فضاء فرعي من الخامس.

        1. معطى ش و الخامس في دبليو، ثم يمكن التعبير عنها كـ ش = (ش1, ش2، 0) و الخامس = (الخامس1, الخامس2، 0). ثم ش + الخامس = (ش1+الخامس1, ش2+الخامس2, 0+0) = (ش1+الخامس1, ش2+الخامس2، 0). هكذا، ش + الخامس هو عنصر من دبليو، جدا.
        2. معطى ش في دبليو وعددي ج في ص، إذا ش = (ش1, ش2، 0) مرة أخرى ، إذن جش = (cu1, cu2, ج0) = (cu1, cu2، 0). هكذا، جش هو عنصر من دبليو جدا.

        المثال الثاني تحرير

        دع المجال يكون ص مرة أخرى ، ولكن الآن دع الفضاء المتجه الخامس تكون الطائرة الديكارتية ص 2. يأخذ دبليو لتكون مجموعة النقاط (x, ذ) من ص 2 من هذا القبيل x = ذ. ثم دبليو هو فضاء فرعي من ص 2 .

        1. يترك ص = (ص1, ص2) و ف = (ف1, ف2) تكون عناصر من دبليو، وهذا هو ، نقاط في الطائرة من هذا القبيل ص1 = ص2 و ف1 = ف2. ثم ص + ف = (ص1+ف1, ص2+ف2) حيث ص1 = ص2 و ف1 = ف2، ومن بعد ص1 + ف1 = ص2 + ف2، وبالتالي ص + ف هو عنصر من دبليو.
        2. يترك ص = (ص1, ص2) تكون عنصرًا في دبليو، وهذا هو ، نقطة في الطائرة من هذا القبيل ص1 = ص2، والسماح ج يكون عددًا في ص. ثم جص = (cp1, cp2) حيث ص1 = ص2، ومن بعد cp1 = cp2، وبالتالي جص هو عنصر من دبليو.

        بشكل عام ، أي مجموعة فرعية من مساحة الإحداثيات الحقيقية ص ن التي يتم تحديدها من خلال نظام المعادلات الخطية المتجانسة سوف ينتج عنها فضاء فرعي. (المعادلة في المثال أنا كنت ض = 0 ، وكانت المعادلة في المثال الثاني x = ذ.) هندسيًا ، هذه المسافات الفرعية هي نقاط وخطوط ومستويات ومسافات تمر عبر النقطة 0.

        المثال الثالث تحرير

        مرة أخرى تأخذ المجال ليكون ص، ولكن الآن دع الفضاء المتجه الخامس كن المجموعة ص ص من جميع الوظائف من ص ل ص. دع C (ص) تكون مجموعة فرعية تتكون من وظائف مستمرة. ثم ج (ص) هي مساحة فرعية لـ ص ص .

        1. نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن 0 درجة مئوية (ص) ⊂ صص .
        2. نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن مجموع الدوال المستمرة مستمر.
        3. مرة أخرى ، نعلم من حساب التفاضل والتكامل أن حاصل ضرب دالة متصلة ورقم مستمر.

        المثال الرابع تحرير

        احتفظ بنفس المجال ومساحة المتجه كما كان من قبل ، ولكن ضع في اعتبارك الآن مجموعة Diff (ص) لجميع الوظائف القابلة للتفاضل. يُظهر نفس نوع الحجة كما كان من قبل أن هذه مساحة فرعية أيضًا.

        الأمثلة التي توسع هذه الموضوعات شائعة في التحليل الوظيفي.

        من تعريف الفراغات المتجهة ، يترتب على ذلك أن المسافات الفرعية غير فارغة ، ومغلقة تحت المجاميع وتحت المضاعفات العددية. [8] على قدم المساواة ، يمكن تمييز الفراغات الفرعية بخاصية إغلاقها تحت مجموعات خطية. هذا هو ، مجموعة غير فارغة دبليو هي فضاء فرعي إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة خطية تتكون من عدد محدود من عناصر دبليو ينتمي أيضا إلى دبليو. ينص التعريف المكافئ على أنه يكافئ أيضًا النظر في مجموعات خطية من عنصرين في وقت واحد.

        في فضاء متجه طوبولوجي X، فضاء فرعي دبليو لا يلزم إغلاقها طوبولوجيًا ، ولكن دائمًا ما تكون المساحة الجزئية ذات الأبعاد المحدودة مغلقة. [9] وينطبق الشيء نفسه على المساحات الفرعية من الترميز المحدود (أي ، المساحات الفرعية التي يحددها عدد محدود من الوظائف الخطية المستمرة).

        تتضمن أوصاف الفراغات الفرعية مجموعة الحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية ، والمجموعة الفرعية من الفضاء الإقليدي الموصوف بواسطة نظام المعادلات البارامترية الخطية المتجانسة ، وامتداد مجموعة من المتجهات ، والفضاء الفارغ ، ومساحة العمود ، ومساحة الصف من مصفوفة. هندسيًا (خاصة فوق مجال الأعداد الحقيقية وحقولها الفرعية) ، الفضاء الجزئي هو مسطح في ن- الفضاء الذي يمر عبر الأصل.

        الوصف الطبيعي للفضاء الجزئي 1 هو الضرب القياسي لمتجه واحد غير صفري الخامس لجميع القيم العددية الممكنة. 1-المساحات الفرعية المحددة بواسطة متجهين متساوية إذا وفقط إذا كان بالإمكان الحصول على متجه واحد من متجه آخر باستخدام الضرب القياسي:

        يتم تعميم هذه الفكرة للأبعاد الأعلى ذات الامتداد الخطي ، ولكن معايير المساواة ك-مسافات محددة بمجموعات من ك النواقل ليست بهذه البساطة.

        يتم توفير وصف مزدوج مع وظائف خطية (عادة ما يتم تنفيذها كمعادلات خطية). وظيفية خطية واحدة غير صفرية F يحدد فضاء النواة الفرعي الخاص به F = 0 من codimension 1. المساحات الفرعية من codimension 1 المحددة بواسطة وظيفتين خطيتين متساويتان ، إذا وفقط إذا كان يمكن الحصول على وظيفة واحدة من أخرى مع الضرب القياسي (في الفراغ المزدوج):

        إنه معمم للأبعاد الأعلى مع نظام المعادلات. سيقدم القسمان الفرعيان التاليان هذا الوصف الأخير بالتفصيل ، بينما تصف الأقسام الفرعية الأربعة المتبقية فكرة الامتداد الخطي.

        نظم المعادلات الخطية تحرير

        يتم تعيين الحل لأي نظام متجانس من المعادلات الخطية مع ن المتغيرات هي مساحة فرعية في مساحة الإحداثيات ك ن :

        على سبيل المثال ، مجموعة جميع النواقل (x, ذ, ض) (على الأعداد الحقيقية أو المنطقية) تلبية المعادلات

        هو فضاء فرعي أحادي البعد. بشكل أعم ، هذا يعني أنه بالنظر إلى مجموعة من ن وظائف مستقلة ، أبعاد الفضاء الجزئي في ك ك سيكون بُعد المجموعة الفارغة من أ، المصفوفة المركبة لـ ن المهام.

        مساحة خالية في المصفوفة تحرير

        في فضاء ذي أبعاد محدودة ، يمكن كتابة نظام متجانس من المعادلات الخطية كمعادلة مصفوفة واحدة:

        تُعرف مجموعة حلول هذه المعادلة بالفراغ الفارغ للمصفوفة. على سبيل المثال ، الفضاء الجزئي الموصوف أعلاه هو الفضاء الفارغ للمصفوفة

        كل فضاء فرعي من ك ن يمكن وصفها بأنها الفضاء الفارغ لبعض المصفوفات (انظر الخوارزميات أدناه لمزيد من المعلومات).

        تحرير المعادلات البارامترية الخطية

        المجموعة الفرعية من ك ن وصفها نظام المعادلات البارامترية الخطية المتجانسة هي فضاء فرعي:

        على سبيل المثال ، مجموعة جميع النواقل (x, ذ, ض) معلمات بواسطة المعادلات

        هو فضاء فرعي ثنائي الأبعاد لـ ك 3 ، إذا ك هو حقل رقمي (مثل الأرقام الحقيقية أو المنطقية). [ملاحظة 2]

        مدى النواقل تحرير

        في الجبر الخطي ، يمكن كتابة نظام المعادلات البارامترية كمعادلة متجهية واحدة:

        يُطلق على التعبير الموجود على اليمين مجموعة خطية من المتجهات (2 ، 5 ، −1) و (3 ، −4 ، 2). ويقال أن هذين المتجهين امتداد الفضاء الجزئي الناتج.

        بشكل عام ، أ تركيبة خطية من النواقل الخامس1, الخامس2, . , الخامسك هو أي متجه للنموذج

        تسمى مجموعة كل التركيبات الخطية الممكنة بامتداد امتداد:

        إذا كانت النواقل الخامس1, . , الخامسك لديك ن المكونات ، فإن امتدادها هو فضاء فرعي لـ ك ن . هندسيًا ، الامتداد هو المسطح من خلال الأصل في نمساحة الأبعاد التي تحددها النقاط الخامس1, . , الخامسك.

        مساحة العمود ومساحة الصف تحرير

        يمكن أيضًا كتابة نظام المعادلات البارامترية الخطية في فضاء ذي أبعاد محدودة كمعادلة مصفوفة واحدة:

        في هذه الحالة ، تتكون المساحة الجزئية من جميع القيم الممكنة للمتجه x. في الجبر الخطي ، تُعرف هذه المساحة الجزئية بمساحة العمود (أو الصورة) للمصفوفة أ. إنه بالضبط الفضاء الجزئي لـ ك ن امتدت بواسطة نواقل العمود من أ.

        مساحة صف المصفوفة هي الفضاء الجزئي الممتد بواسطة متجهات الصف. مساحة الصف مثيرة للاهتمام لأنها مكمل متعامد للمساحة الفارغة (انظر أدناه).

        تحرير الاستقلال والأساس والبعد

        بشكل عام ، هناك مساحة فرعية لـ ك ن حدد بواسطة ك المعلمات (أو امتدت بواسطة ك ناقلات) لها أبعاد ك. ومع ذلك، هناك استثناءات لهذه القاعدة. على سبيل المثال ، الفضاء الفرعي لـ ك 3 موزعة بواسطة المتجهات الثلاثة (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 0 ، 1) ، و (2 ، 0 ، 3) هي فقط xz- الطائرة ، مع وصف كل نقطة على المستوى بعدد لا نهائي من القيم المختلفة لـ ر1, ر2, ر3 .

        بشكل عام ، النواقل الخامس1, . , الخامسك وتسمى مستقل خطيا إذا

        ل (ر1, ر2, . , رك) ≠ (ش1, ش2, . , شك). [ملاحظة 3] إذا الخامس1, . الخامسك تكون مستقلة خطيًا ، ثم إحداثيات ر1, . رك لمتجه في الامتداد بشكل فريد.

        أ أساس لمساحة فرعية س هي مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا والتي يكون امتدادها س. عدد العناصر في الأساس يساوي دائمًا البعد الهندسي للفضاء الجزئي. يمكن تغيير أي مجموعة ممتدة لمساحة فرعية إلى أساس عن طريق إزالة المتجهات الزائدة (انظر § الخوارزميات أدناه لمزيد من المعلومات).

        تعديل التضمين

        تحدد العلاقة الثنائية للتضمين النظري للمجموعة ترتيبًا جزئيًا على مجموعة جميع المسافات الفرعية (من أي بُعد).

        لا يمكن أن تقع مساحة جزئية في أي فضاء جزئي ذي بُعد أقل. إذا قاتمة يو = ك، وعدد محدود ، و يودبليو، ثم خافت دبليو = ك إذا وفقط إذا يو = دبليو.

        تحرير التقاطع

        معطى مساحات فرعية يو و دبليو من مساحة متجه الخامس، ثم تقاطعهم يودبليو := <الخامسالخامس : الخامس هو عنصر من كليهما يو و دبليو> هي أيضًا مساحة فرعية لـ الخامس. [10]

        1. يترك الخامس و ث تكون عناصر يودبليو. ثم الخامس و ث تنتمي إلى كليهما يو و دبليو. لأن يو هو فضاء فرعي ، إذن الخامس + ث ينتمي إلى يو. وبالمثل ، منذ ذلك الحين دبليو هو فضاء فرعي ، إذن الخامس + ث ينتمي إلى دبليو. هكذا، الخامس + ث ينتمي إلى يودبليو.
        2. يترك الخامس تنتمي إلى يودبليو، والسماح ج كن عدديًا. ثم الخامس ينتمي إلى كليهما يو و دبليو. حيث يو و دبليو هي فضاءات فرعية ، جالخامس ينتمي إلى كليهما يو و دبليو.
        3. حيث يو و دبليو هي مسافات متجهة ، إذن 0 ينتمي إلى كلتا المجموعتين. هكذا، 0 ينتمي إلى يودبليو.

        لكل فضاء متجه الخامس، المجموعة <0> و الخامس هي نفسها مساحات فرعية من الخامس. [11] [12]

        تحرير المجموع

        إذا يو و دبليو هي فضاءات فرعية ، هم مجموع هو الفضاء الجزئي

        على سبيل المثال ، مجموع سطرين هو المستوى الذي يحتوي على كليهما. أبعاد المجموع ترضي عدم المساواة

        max (dim ⁡ U، dim ⁡ W) dim ⁡ (U + W) dim ⁡ (U) + dim ⁡ (W).

        هنا ، يحدث الحد الأدنى فقط إذا تم احتواء مساحة فرعية واحدة في الأخرى ، بينما الحد الأقصى هو الحالة الأكثر عمومية. يرتبط أبعاد التقاطع والمجموع بالمعادلة التالية:

        مجموعة من المسافات الفرعية هي مستقل عندما يكون التقاطع الوحيد بين أي زوج من المسافات الفرعية هو الفضاء الجزئي البسيط. ال مبلغ مباشر هو مجموع المسافات الفرعية المستقلة ، مكتوبة كـ U ⊕ W . إعادة الصياغة المكافئة هي أن المجموع المباشر هو مجموع مساحة فرعية بشرط أن تساهم كل مساحة فرعية في مدى المجموع. [16] [17] [18] [19]

        تحرير شعرية المساحات الفرعية

        تقاطع العمليات ومجموعها يجعلان مجموعة جميع المساحات الفرعية عبارة عن شبكة معيارية محدودة ، حيث يكون الفضاء الجزئي <0> ، أقل عنصر ، عنصرًا متطابقًا لعملية الجمع ، والفضاء الجزئي المتطابق الخامس، العنصر الأعظم ، هو عنصر محايد لعملية التقاطع.

        متعامد يكمل تحرير

        هذه العملية ، التي تُفهم على أنها نفي (¬ < displaystyle neg>) ، تجعل شبكة الفراغات الفرعية أ (ربما لانهائية) شعرية متعامدة (على الرغم من أنها ليست شبكة توزيعية). [ بحاجة لمصدر ]

        في المساحات ذات الأشكال ثنائية الخطوط الأخرى ، لا تزال بعض هذه النتائج ، وليس كلها ، قائمة. في المساحات الإقليدية الزائفة والمساحات المتجهية العفوية ، على سبيل المثال ، توجد مكملات متعامدة. ومع ذلك ، قد تحتوي هذه المسافات على متجهات فارغة متعامدة مع نفسها ، وبالتالي توجد مساحات فرعية N مثل N such N ⊥ ≠ <0> neq <0 >>. نتيجة لذلك ، لا تحول هذه العملية شبكة المسافات الفرعية إلى جبر منطقي (ولا جبر Heyting). [ بحاجة لمصدر ]

        تتضمن معظم الخوارزميات الخاصة بالتعامل مع الفراغات الفرعية تقليل الصفوف. هذه هي عملية تطبيق عمليات الصف الأولية على مصفوفة ، حتى تصل إما إلى شكل مستوى الصف أو شكل مستوى الصف المختزل. تخفيض الصف له الخصائص الهامة التالية:

        1. تحتوي المصفوفة المصغرة على نفس المساحة الخالية مثل الأصل.
        2. لا يغير تقليل الصف من امتداد متجهات الصف ، أي أن المصفوفة المختزلة لها نفس مساحة الصف مثل الأصل.
        3. لا يؤثر تقليل الصف على الاعتماد الخطي لمتجهات العمود.

        أساس مساحة الصف تحرير

        1. استخدم عمليات الصف الأولية لوضعها أ في شكل صف الصف.
        2. تعد الصفوف غير الصفرية في نموذج المستوى أساسًا لمساحة الصف لـ أ.

        راجع المقالة على مساحة الصف للحصول على مثال.

        إذا وضعنا المصفوفة بدلاً من ذلك أ إلى شكل مستوى صف مختزل ، ثم يتم تحديد الأساس الناتج لمساحة الصف بشكل فريد. يوفر هذا خوارزمية للتحقق مما إذا كانت مسافات الصفوف متساوية ، وبالتالي ، ما إذا كانت مساحتان فرعيتان من ك ن متساوية.

        تحرير عضوية المساحة الفرعية

        1. إنشاء (ك + 1) × ن مصفوفة أ الذين صفوفهم هي النواقل ب1, . , بك و الخامس.
        2. استخدم عمليات الصف الأولية لوضعها أ في شكل صف الصف.
        3. إذا كان شكل المستوى يحتوي على صف من الأصفار ، فإن المتجهات <ب1, . بك, الخامس> تعتمد خطيًا ، وبالتالي الخامسس .

        Basis for a column space Edit

        1. Use elementary row operations to put أ into row echelon form.
        2. Determine which columns of the echelon form have pivots. The corresponding columns of the original matrix are a basis for the column space.

        See the article on column space for an example.

        This produces a basis for the column space that is a subset of the original column vectors. It works because the columns with pivots are a basis for the column space of the echelon form, and row reduction does not change the linear dependence relationships between the columns.

        Coordinates for a vector Edit

        1. Create an augmented matrixأ whose columns are ب1. بك , with the last column being الخامس.
        2. Use elementary row operations to put أ into reduced row echelon form.
        3. Express the final column of the reduced echelon form as a linear combination of the first ك الأعمدة. The coefficients used are the desired numbers ر1, ر2, . رك . (These should be precisely the first ك entries in the final column of the reduced echelon form.)

        If the final column of the reduced row echelon form contains a pivot, then the input vector الخامس does not lie in س.


        Linear combinations of vectors and linear independence

        A linear combination is a weighted some of other vectors. The following are examples for linear combinations of vectors:

        (1)

        In general, a vector is a linear combination of vectors و if each can be multiplied by a scalar and the sum is equal to : for some numbers و .


        Graded assignments and exams

        Rules for collaboration on problem sets: You may use any textbooks or video resources you want. You may discuss the problems شفهيا with others (either in the class or not) without writing anything down (this includes typing) and without making any notes or recordings. When writing your solutions, you should work completely independently: no discussion على الاطلاق is allowed during the writing process.

        Rules for submission of problems sets: Problem sets should be submitted in PDF format, as a single file (do not submit each page as an individual file). Legibility is important. Typed solutions are appreciated but not required (you can use the tex or overleaf links below to get a LaTeX template to start typing your solutions).


        Linear Independence Dependence of a Set of Functions

        Recall from the Wronskian Determinants and Higher Order Linear Homogenous Differential Equations page that if we have an $n^>$ order linear homogenous differential equation $frac + p_1(t) frac<>y><>> + . + p_(t) frac

        + p_n(t)y = 0$ where $p_1$ , $p_2$ , …, $p_n$ are continuous on an open interval $I$ and if $y = y_1(t)$ , $y = y_2(t)$ , …, $y = y_n(t)$ are solutions to this differential equation, then provided that $W(y_1, y_2, . y_n) eq 0$ for at least one point $t in I$ , then $y_1$ , $y_2$ , …, $y_n$ form a fundamental set of solutions to this differential equation - that is, for constants $C_1$ , $C_2$ , …, $C_n$ , then every solution to this differential equation can be written in the form:

        We will now look at the connection between the solutions $y_1$ , $y_2$ , …, $y_n$ forming a fundamental set of solutions and the linear independence/dependence of such solutions. We first define linear independence and linear dependence below.

        تعريف: The functions $f_1$ , $f_2$ , …, $f_n$ are said to be Linearly Independent on an interval $I$ if for constants $k_1$ , $k_2$ , …, $k_n$ we have that $k_1f_1(t) + k_2f_2(t) + . + k_nf_n(t) = 0$ implies that $k_1 = k_2 = . = k_n = 0$ for all $t in I$ . This set of functions is said to be Linearly Dependent if $k_1f_1(t) + k_2f_2(t) + . + k_nf_n(t) = 0$ where $k_1$ , $k_2$ , …, $k_n$ are not all zero for all $t in I$ .

        Perhaps the simplest linearly independent sets of functions is that set that contains $f_1(t) = 1$ , $f_2(t) = t$ , and $f_3(t) = t^2$ . Let $k_1$ , $k_2$ , and $k_3$ be constants and consider the following equation:

        It's not hard to see that equation above is satisfied if and only if the constants $k_1 = k_2 = k_3 = 0$ .

        For another example, consider the functions $f_1(t) = sin t$ and $f_2(t) = sin (t + pi)$ defined on all of $mathbb$ . This set of functions is not linearly independent. To show this, let $k_1$ and $k_2$ be constants and consider the following equation:

        Now choose $t = pi$ . Then we have that:

        But the above equation is true for any choice of constants $k_1$ and $k_2$ since $sin pi = sin 2pi = 0$ , and thus $f_1$ and $f_2$ do not form a linearly independent set on all of $mathbb$ .

        From the concept of linear independence/dependence, we obtain the following theorem on fundamental sets of solutions for $n^>$ order linear homogenous differential equations.


        BASES OF VECTOR SPACES THE BASIS PROBLEM

        The set of vectors spans . That is, any vector in is a linear combination of and . The set of vectors also spans . Sets and differ in that is linearly independent while is linearly dependent. This makes a difference in writing a vector as a linear combination of vectors in the set. For example, writing (2,4) in terms of the vectors in , we have for the only possibility

        However, in terms of vectors from , we have several possibilities:

        The point is: If a set of vectors spans and is linearly dependent, then representation of a vector x in terms of vectors in is not unique. If we want uniqueness, the spanning set must also be linearly independent. Such a set is called a basis for . Bases are used in coding theory, as we see later in this section.

        This definitions say the following

        Solution We must show that the set is linearly independent and spans . That is, we must show that

        has a solution for any and that

        has only the solution . These equations, respectively, in augmented form are

        Instead of solving both sets of equations separately, we solve both at once by working with the doubly augmented matrix

        Doing this, we find that this matrix reduces to

        We find for the span that for linear independence we find that . Since is linearly independent and spans , it is a basis for .

        In Example 1, the coefficients in the linear combination of basis elements were unique for any given vector . This is true in general.

        for v we will show that the coefficients are actually equal. To do this, form , which equals , and combine terms to obtain

        Since is a basis, it is a linearly independent set. Thus, the coefficients in the last linear combination must all be zero. That is, , and the original linear combinations are the same.

        Solution Proceeding as in Example 1, we form the doubly augmented matrix and row-reduce:

        This system has a unique solution. Therefore, is linearly independent and spans it is a basis for .

        Solution The set is linearly dependent because, for example,

        Example 4 shows that a vector space may fail to have a basis. We need to decide whether a given vector space has a basis or not. Spanning sets of vectors help us answer the question.

        Now , so we can substitute this expression into the former linear combination to obtain

        Thus spans . If is linearly independent, is a basis for . If is linearly dependent, one of the vectors in is a linear combination of the others. Now we argue as before. In this way we must arrive eventually at a linearly independent set which spans . (If we reduce to a set with a single vector, that set is linearly independent because was a set of nonzero vectors.) The resulting set is a basis of .

        Thus we have the following fundamental result:

        We are particularly interested in bases of finitely generated vector spaces. Example 3 illustrated the fact that any set of three or more vectors from cannot be a basis for . After all, these vectors would be coplanar and form a linearly dependent set. A set of only one vector cannot be a basis for because it spans only a line through the origin. Thus it appears that any basis for must contain exactly two vectors. This follows from Theorem 3.5.3.

        This theorem means that the number of vectors in a basis is unique. If we find a basis for and has eight vectors in it, then every basis has eight vectors in it. Because of this we can define the dimension of a vector space to be the number of vectors in a basis for . If a basis has vectors in it, the dimension of is , we write , and we say is finite-dimensional . More particularly, is called an - dimensional vector space when a basis for has vectors in it. Example 1 shows that . The dimension of the zero vector space is defined to be zero.


        شاهد الفيديو: Part1 الاستقلال الخطي والارتباط الخطي (شهر اكتوبر 2021).