مقالات

2.E: تمارين - رياضيات


تمرين ( PageIndex {1} )

بالنسبة لأزواج المصفوفات التالية ، حدد ما إذا كان المجموع (A + B ) معرفًا. إذا كان الأمر كذلك ، ابحث عن المجموع.

  1. (A = left [ start {array} {rr} 1 & 0 0 & 1 end {array} right]، B = left [ begin {array} {rr} 0 & 1 1 & 0 نهاية {مجموعة} يمين] )
  2. (A = left [ start {array} {rrr} 2 & 1 & 2 1 & 1 & 0 end {array} right]، B = left [ begin {array} {rrr} - 1 & 0 & 3 0 & 1 & 4 end {array} right] )
  3. (A = left [ start {array} {rr} 1 & 0 -2 & 3 4 & 2 end {array} right]، B = left [ begin {array} {rrr } 2 & 7 & -1 0 & 3 & 4 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {2} )

لكل مصفوفة (A ) ، ابحث عن المصفوفة (- A ) بحيث (A + (-A) = 0 ).

  1. (A = left [ start {array} {rr} 1 & 2 2 & 1 end {array} right] )
  2. (A = left [ start {array} {rr} -2 & 3 0 & 2 end {array} right] )
  3. (A = left [ start {array} {rrr} 0 & 1 & 2 1 & -1 & 3 4 & 2 & 0 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {3} )

في سياق الاقتراح [prop: propertiesofaddition] ، صِف (- A ) و (0. )

إجابه

للحصول على (- A ، ) فقط استبدل كل إدخال من (A ) بمقلوبه الجمعي. المصفوفة 0 هي التي تحتوي على جميع الأصفار.

2.1.2: الضرب القياسي للمصفوفات

تمرين ( PageIndex {4} )

لكل مصفوفة (A ) ، ابحث عن حاصل الضرب ((- 2) A ، 0A ، ) و (3A ).

  1. (A = left [ start {array} {rr} 1 & 2 2 & 1 end {array} right] )
  2. (A = left [ start {array} {rr} -2 & 3 0 & 2 end {array} right] )
  3. (A = left [ start {array} {rrr} 0 & 1 & 2 1 & -1 & 3 4 & 2 & 0 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {7} )

باستخدام الخصائص الواردة فقط في Proposition [prop: propertiesofaddition] و Proposition [prop: propertiescalarmult] show (0A = 0. ) هنا (0 ) على اليسار هو العدد (0 ) و ( 0 ) على اليمين هي مصفوفة صفرية ذات حجم مناسب.

إجابه

(0A = left (0 + 0 right) A = 0A + 0A. ) الآن أضف (- left (0A right) ) لكلا الجانبين. ثم (0 = 0A ).

تمرين ( PageIndex {8} )

باستخدام الخصائص الواردة في الاقتراح [prop: propertiesofaddition] و Proposition [prop: featurescalarmult] ، وكذلك تظهر المشكلات السابقة ( left (-1 right) A = -A. )

إجابه

(A + left (-1 right) A = left (1+ left (-1 right) right) A = 0A = 0. ) لذلك ، من تفرد المعكوس الجمعي ثبت في أعلاه المشكلة [addinvrstunique] ، يتبع ذلك (- A = left (-1 right) A ).

2.2

تمرين ( PageIndex {9} )

ضع في الاعتبار المصفوفات (A = left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 7 end {array} right]، B = left [ begin {array} { rrr} 3 & -1 & 2 -3 & 2 & 1 end {array} right]، C = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & 1 end {array } right]، D = left [ start {array} {rr} -1 & 2 2 & -3 end {array} right]، E = left [ begin {array} { r} 2 3 end {array} right] ).

تمرين ( PageIndex {10} )

ابحث عن التالي إذا أمكن. إذا لم يكن من الممكن شرح السبب.

  1. (- 3 أ )
  2. (3 ب- أ )
  3. (تيار متردد )
  4. (CB )
  5. (AE )
  6. (EA )
إجابه
  1. ( left [ start {array} {rrr} -3 & -6 & -9 -6 & -3 & -21 end {array} right] )
  2. ( left [ begin {array} {rrr} 8 & -5 & 3 -11 & 5 & -4 end {array} right] )
  3. غير ممكن
  4. ( left [ start {array} {rrr} -3 & 3 & 4 6 & -1 & 7 end {array} right] )
  5. غير ممكن
  6. غير ممكن

تمرين ( PageIndex {11} )

ضع في الاعتبار المصفوفات (A = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & 2 1 & -1 end {array} right]، B = left [ begin {array } {rrr} 2 & -5 & 2 -3 & 2 & 1 end {array} right]، C = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 5 & 0 end {مجموعة} يمين] ، D = يسار [ تبدأ {مجموعة} {rr} -1 & 1 4 & -3 نهاية {مجموعة} يمين] ، E = يسار [ تبدأ {مجموعة } {r} 1 3 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {12} )

ابحث عن التالي إذا أمكن. إذا لم يكن من الممكن شرح السبب.

  1. (- 3 أ )
  2. (3 ب- أ )
  3. (تيار متردد )
  4. (كاليفورنيا )
  5. (AE )
  6. (EA )
  7. (يكون)
  8. (DE )
إجابه
  1. ( left [ start {array} {rr} -3 & -6 -9 & -6 -3 & 3 end {array} right] )
  2. غير ممكن.
  3. ( left [ start {array} {rr} 11 & 2 13 & 6 -4 & 2 end {array} right] )
  4. غير ممكن.
  5. ( left [ start {array} {r} 7 9 -2 end {array} right] )
  6. غير ممكن.
  7. غير ممكن.
  8. ( left [ start {array} {r} 2 -5 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {13} )

دعونا (A = left [ start {array} {rr} 1 & 1 -2 & -1 1 & 2 end {array} right] )، (B = left [ ابدأ {array} {rrr} 1 & -1 & -2 2 & 1 & -2 end {array} right]، ) و (C = left [ begin {array} {rrr} 1 & 1 & -3 -1 & 2 & 0 -3 & -1 & 0 end {array} right]. ) ابحث عن التالي إذا أمكن.

  1. (أب )
  2. (بكالوريوس )
  3. (تيار متردد )
  4. (كاليفورنيا )
  5. (CB )
  6. (قبل الميلاد)
إجابه
  1. ( left [ begin {array} {rrr} 3 & 0 & -4 -4 & 1 & 6 5 & 1 & -6 end {array} right] )
  2. ( left [ start {array} {rr} 1 & -2 -2 & -3 end {array} right] )
  3. غير ممكن
  4. ( left [ begin {array} {rr} -4 & -6 -5 & -3 -1 & -2 end {array} right] )
  5. ( left [ start {array} {rrr} 8 & 1 & -3 7 & 6 & -6 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {14} )

دعونا (A = left [ start {array} {rr} -1 & -1 3 & 3 end {array} right] ). ابحث عن جميع (2 times 2 ) المصفوفات ، (B ) بحيث (AB = 0. )

إجابه

[ start {align} left [ begin {array} {rr} -1 & -1 3 & 3 end {array} right] left [ begin {array} {cc} x & y z & w end {array} right] & = & left [ begin {array} {cc} -xz & -wy 3x + 3z & 3w + 3y end {array} right] & = & left [ begin {array} {cc} 0 & 0 0 & 0 end {array} right] end {align} ] الحل هو: (w = -y، x = -z ) لذا تكون المصفوفات بالشكل ( left [ begin {array} {rr} x & y -x & -y end {array} right]. )

تمرين ( PageIndex {15} )

دعونا (X = left [ start {array} {rrr} -1 & -1 & 1 end {array} right] ) and (Y = left [ begin {array} {rrr} 0 & 1 & 2 end {array} right]. ) ابحث عن (X ^ {T} Y ) و (XY ^ {T} ) إن أمكن.

إجابه

(X ^ {T} Y = left [ start {array} {rrr} 0 & -1 & -2 0 & -1 & -2 0 & 1 & 2 end {array} right ] ، XY ^ {T} = 1 )

تمرين ( PageIndex {16} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right]، B = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & k end {array} right]. ) هل من الممكن اختيار (k ) بحيث (AB = BA؟ ) إذا كان الأمر كذلك ، فماذا يجب أن يساوي (k )؟

إجابه

[ start {align} left [ begin {array} {cc} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] left [ begin {array} {cc} 1 & 2 3 & k end {array} right] & = & left [ begin {array} {cc} 7 & 2k + 2 15 & 4k + 6 end {array} right] left [ start {array} {cc} 1 & 2 3 & k end {array} right] left [ begin {array} {cc} 1 & 2 3 & 4 end {array} right ] & = & left [ start {array} {cc} 7 & 10 3k + 3 & 4k + 6 end {array} right] end {align} ] وبالتالي يجب أن يكون لديك ( begin {array} {c} 3k + 3 = 15 2k + 2 = 10 end {array} ) ، الحل هو: ( left [k = 4 right] )

تمرين ( PageIndex {17} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right]، B = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 1 & k end {array} right]. ) هل من الممكن اختيار (k ) بحيث (AB = BA؟ ) إذا كان الأمر كذلك ، فماذا يجب أن يساوي (k )؟

إجابه

[ start {align} left [ begin {array} {cc} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] left [ begin {array} {cc} 1 & 2 1 & k end {array} right] & = & left [ begin {array} {cc} 3 & 2k + 2 7 & 4k + 6 end {array} right] left [ start {array} {cc} 1 & 2 1 & k end {array} right] left [ begin {array} {cc} 1 & 2 3 & 4 end {array} right ] & = & left [ begin {array} {cc} 7 & 10 3k + 1 & 4k + 2 end {array} right] end {align} ] ومع ذلك ، (7 neq 3 ) وبالتالي لا يوجد خيار محتمل لـ (ك ) الذي سيجعل هذه المصفوفات تنتقل.

تمرين ( PageIndex {18} )

ابحث عن (2 مرات 2 ) المصفوفات ، (A ) ، (B ، ) و (C ) بحيث (A neq 0 ، C neq B ، ) ولكن (AC = AB. )

تمرين ( PageIndex {19} )

دعونا (A = left [ start {array} {rr} 1 & -1 -1 & 1 end {array} right]، B = left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 1 end {array} right]، C = left [ begin {array} {cc} 2 & 2 2 & 2 end {array} right] ).

إجابه

[ start {align} left [ begin {array} {rr} 1 & -1 -1 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 1 end {array} right] & = & left [ begin {array} {cc} 0 & 0 0 & 0 end {array} right] left [ begin {array} {rr} 1 & -1 -1 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {cc} 2 & 2 2 & 2 end {array} right ] & = & left [ begin {array} {cc} 0 & 0 0 & 0 end {array} right] end {align} ]

تمرين ( PageIndex {20} )

أعط مثالاً عن المصفوفات (من أي حجم) ، (A ، B ، C ) مثل (B neq C ) ، (A neq 0 ، ) ومع ذلك (AB = AC. )

تمرين ( PageIndex {21} )

ابحث عن (2 مرات 2 ) المصفوفات (A ) و (B ) مثل (A neq 0 ) و (B neq 0 ) ولكن (AB = 0 ).

تمرين ( PageIndex {22} )

دعونا (A = left [ start {array} {rr} 1 & -1 -1 & 1 end {array} right]، B = left [ begin {array} {cc} 1 & 1 1 & 1 end {array} right]. ) [ left [ begin {array} {rr} 1 & -1 -1 & 1 end {array} right] left [ start {array} {cc} 1 & 1 1 & 1 end {array} right] = left [ begin {array} {cc} 0 & 0 0 & 0 end {array } حق ]]

تمرين ( PageIndex {23} )

أعط مثالاً عن المصفوفات (من أي حجم) ، (A ، B ) مثل (A neq 0 ) و (B neq 0 ) ولكن (AB = 0. )

تمرين ( PageIndex {24} )

ابحث عن (2 times 2 ) المصفوفات (A ) و (B ) مثل (A neq 0 ) و (B neq 0 ) مع (AB neq BA ).

تمرين ( PageIndex {25} )

دعونا (A = left [ start {array} {cc} 0 & 1 1 & 0 end {array} right]، B = left [ begin {array} {cc} 1 & 2 3 & 4 نهاية {مجموعة} يمين] ). [ start {align} left [ begin {array} {cc} 0 & 1 1 & 0 end {array} right] left [ begin {array} {cc} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] & = & left [ start {array} {cc} 3 & 4 1 & 2 end {array} right] left [ begin {array } {cc} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] left [ begin {array} {cc} 0 & 1 1 & 0 end {array} right] & = & يسار [ start {array} {cc} 2 & 1 4 & 3 end {array} right] end {align} ]

تمرين ( PageIndex {26} )

اكتب النظام [ start {array} {c} x_ {1} -x_ {2} + 2x_ {3} 2x_ {3} + x_ {1} 3x_ {3} 3x_ {4} + 3x_ {2} + x_ {1} end {array} ] بالشكل (A left [ begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} end {array} right] ) حيث (A ) هي مصفوفة مناسبة.

إجابه

(A = left [ start {array} {rrrr} 1 & -1 & 2 & 0 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 & 0 1 & 3 & 0 & 3 نهاية {مجموعة} يمين] )

تمرين ( PageIndex {27} )

اكتب النظام [ start {array} {c} x_ {1} + 3x_ {2} + 2x_ {3} 2x_ {3} + x_ {1} 6x_ {3} x_ {4} + 3x_ {2} + x_ {1} end {array} ] بالشكل (A left [ begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} end {array} right] ) حيث (A ) هي مصفوفة مناسبة.

إجابه

(A = left [ start {array} {rrrr} 1 & 3 & 2 & 0 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 6 & 0 1 & 3 & 0 & 1 نهاية {مجموعة} يمين] )

تمرين ( PageIndex {28} )

اكتب النظام [ start {array} {c} x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} 2x_ {3} + x_ {1} + x_ {2} x_ {3} - x_ {1} 3x_ {4} + x_ {1} end {array} ] بالشكل (A left [ begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} x_ {3} x_ {4} end {array} right] ) حيث (A ) هي مصفوفة مناسبة.

إجابه

(A = left [ start {array} {rrrr} 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 & 3 نهاية {مجموعة} يمين] )

تمرين ( PageIndex {29} )

مصفوفة (أ ) تسمى عاطل إذا (A ^ {2} = A. ) دع [A = left [ begin {array} {rrr} 2 & 0 & 2 1 & 1 & 2 -1 & 0 & -1 end {array} right] ] وأظهر أن (A ) غير فعال.

2.3

تمرين ( PageIndex {30} )

لكل زوج من المصفوفات ، ابحث عن ((1،2) ) - الإدخال و ((2،3) ) - إدخال المنتج (AB ).

  1. (A = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & -1 3 & 4 & 0 2 & 5 & 1 end {array} right]، B = left [ ابدأ {array} {rrr} 4 & 6 & -2 7 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 end {array} right] )
  2. (A = left [ start {array} {rrr} 1 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 0 & 5 end {array} right]، B = left [ begin {array} {rrr} 2 & 3 & 0 -4 & 16 & 1 0 & 2 & 2 end {array} right] )

2.4

تمرين ( PageIndex {31} )

افترض أن (A ) و (B ) مصفوفات مربعة من نفس الحجم. أي مما يلي صحيح بالضرورة؟

  1. ( left (A-B right) ^ {2} = A ^ {2} -2AB + B ^ {2} )
  2. ( left (AB right) ^ {2} = A ^ {2} B ^ {2} )
  3. ( left (A + B right) ^ {2} = A ^ {2} + 2AB + B ^ {2} )
  4. ( left (A + B right) ^ {2} = A ^ {2} + AB + BA + B ^ {2} )
  5. (A ^ {2} B ^ {2} = A left (AB right) B )
  6. ( left (A + B right) ^ {3} = A ^ {3} + 3A ^ {2} B + 3AB ^ {2} + B ^ {3} )
  7. ( left (A + B right) left (A-B right) = A ^ {2} -B ^ {2} )
إجابه
  1. ليس بالضرورة صحيحًا.
  2. ليس بالضرورة صحيحًا.
  3. ليس بالضرورة صحيحًا.
  4. بالضرورة صحيح.
  5. بالضرورة صحيح.
  6. ليس بالضرورة صحيحًا.
  7. ليس بالضرورة صحيحًا.

2.5

تمرين ( PageIndex {1} )

ضع في الاعتبار المصفوفات (A = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & 2 1 & -1 end {array} right]، B = left [ begin {array } {rrr} 2 & -5 & 2 -3 & 2 & 1 end {array} right]، C = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 5 & 0 end {مجموعة} يمين]، D = left [ start {array} {rr} -1 & 1 4 & -3 end {array} right]، E = left [ start {array } {r} 1 3 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن التالي إذا أمكن. إذا لم يكن من الممكن شرح السبب.

  1. (- 3A {^ T} )
  2. (3 ب - أ ^ {T} )
  3. (E ^ {T} B )
  4. (EE ^ {T} )
  5. (ب ^ {T} ب )
  6. (CA ^ {T} )
  7. (D ^ {T} BE )
إجابه
  1. ( left [ start {array} {rrr} -3 & -9 & -3 -6 & -6 & 3 end {array} right] )
  2. ( left [ start {array} {rrr} 5 & -18 & 5 -11 & 4 & 4 end {array} right] )
  3. ( left [ start {array} {rrr} -7 & 1 & 5 end {array} right] )
  4. ( left [ start {array} {rr} 1 & 3 3 & 9 end {array} right] )
  5. ( left [ start {array} {rrr} 13 & -16 & 1 -16 & 29 & -8 1 & -8 & 5 end {array} right] )
  6. ( left [ start {array} {rrr} 5 & 7 & -1 5 & 15 & 5 end {array} right] )
  7. غير ممكن.

تمرين ( PageIndex {1} )

دع (A ) يكون (n times n ) مصفوفة. إظهار (أ ) يساوي مجموع مصفوفة متماثلة وانحراف متماثل.

تلميح

أظهر أن ( frac {1} {2} left (A ^ {T} + A right) ) متماثل ثم ضع في اعتبارك استخدام هذا كأحد المصفوفات.

تمرين ( PageIndex {1} )

أظهر أن ( frac {1} {2} left (A ^ {T} + A right) ) متماثل ثم ضع في اعتبارك استخدام هذا كأحد المصفوفات. (A = frac {A + A ^ {T}} {2} + frac {A-A ^ {T}} {2}. )

تمرين ( PageIndex {1} )

بيّن أن القطر الرئيسي لكل مصفوفة متماثلة منحرفة تتكون من أصفار فقط. تذكر أن القطر الرئيسي يتكون من كل إدخال في المصفوفة والذي يكون على شكل (a_ {ii} ).

إجابه

إذا كان (A ) متماثلًا ، فإن (A = -A ^ {T}. ) يتبع ذلك (a_ {ii} = - a_ {ii} ) وهكذا كل (a_ {ii} = 0 ).

تمرين ( PageIndex {1} )

أثبت [matrixtranspose2]. أي ، أظهر أنه بالنسبة إلى (م مرات n ) مصفوفة (أ ) ، مصفوفة (م مرات n ) مصفوفة (ب ) ، والقياسات (ص ، ق ) ، ما يلي الحجوزات: [ left (rA + sB right) ^ T = rA ^ {T} + sB ^ {T} ]

2.6

تمرين ( PageIndex {1} )

أثبت أن (I_ {m} A = A ) حيث (A ) هو (m times n ) مصفوفة.

إجابه

( left (I_ {m} A right) _ {ij} equiv sum_ {j} delta _ {ik} A_ {kj} = A_ {ij} )

تمرين ( PageIndex {1} )

افترض أن (AB = AC ) و (A ) مصفوفة قابلة للانعكاس (n times n ). هل يتبع ذلك (B = C؟ ) اشرح لماذا أو لم لا.

إجابه

نعم (ب = ج). اضرب (AB = AC ) على اليسار ب (A ^ {- 1} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

افترض أن (AB = AC ) و (A ) مصفوفة (n times n ) غير قابلة للعكس. هل يتبع ذلك (B = C )؟ اشرح لماذا ولماذا لا.

تمرين ( PageIndex {1} )

أعط مثالاً لمصفوفة (A ) مثل (A ^ {2} = I ) ومع ذلك (A neq I ) و (A neq -I. )

إجابه

(A = left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 end {array} right] )

2.7

تمرين ( PageIndex {1} )

دعونا [A = left [ start {array} {rr} 2 & 1 -1 & 3 end {array} right] ] ابحث عن (A ^ {- 1} ) إن أمكن. إذا لم يكن (A ^ {- 1} ) موجودًا ، اشرح السبب.

إجابه

( left [ start {array} {rr} 2 & 1 -1 & 3 end {array} right] ^ {- 1} = left [ begin {array} {rr} vspace { 0.05in} frac {3} {7} & - vspace {0.05in} frac {1} {7} vspace {0.05in} frac {1} {7} & vspace {0.05in} frac {2} {7} end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

دعونا [A = left [ start {array} {rr} 0 & 1 5 & 3 end {array} right] ] ابحث عن (A ^ {- 1} ) إن أمكن. إذا لم يكن (A ^ {- 1} ) موجودًا ، اشرح السبب.

إجابه

( left [ begin {array} {cc} 0 & 1 5 & 3 end {array} right] ^ {- 1} = left [ begin {array} {cc} - vspace { 0.05in} frac {3} {5} & vspace {0.05in} frac {1} {5} 1 & 0 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

أضف نص التمارين هنا. لنفترض [A = left [ start {array} {rr} 2 & 1 3 & 0 end {array} right] ] Find (A ^ {- 1} ) إذا كان ذلك ممكنا. إذا لم يكن (A ^ {- 1} ) موجودًا ، اشرح السبب.

إجابه

( left [ begin {array} {cc} 2 & 1 3 & 0 end {array} right] ^ {- 1} = left [ begin {array} {cc} 0 & vspace {0.05in} frac {1} {3} 1 & - vspace {0.05in} frac {2} {3} end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

دع [A = left [ start {array} {rr} 2 & 1 4 & 2 end {array} right] ] ابحث عن (A ^ {- 1} ) إن أمكن. إذا لم يكن (A ^ {- 1} ) موجودًا ، اشرح السبب.

إجابه

( left [ begin {array} {cc} 2 & 1 4 & 2 end {array} right] ^ {- 1} ) غير موجود. هذه المصفوفة هي ( left [ begin {array} {cc} 1 & vspace {0.05in} frac {1} {2} 0 & 0 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض أن (A ) يكون (2 مرات 2 ) مصفوفة قابلة للعكس ، مع (A = left [ start {array} {cc} a & b c & d end {array} right ]. ) ابحث عن صيغة لـ (A ^ {- 1} ) بدلالة (أ ، ب ، ج ، د ).

إجابه

( left [ start {array} {cc} a & b c & d end {array} right] ^ {- 1} = left [ begin {array} {cc} frac {d } {ad-bc} & - frac {b} {ad-bc} - frac {c} {ad-bc} & frac {a} {ad-bc} end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض [A = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 0 & 2 end {array} right] ] Find (A ^ {-1} ) إن أمكن. إذا لم يكن (A ^ {- 1} ) موجودًا ، اشرح السبب.

إجابه

( left [ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 1 & 0 & 2 end {array} right] ^ {- 1} = left [ ابدأ {array} {rrr} -2 & 4 & -5 0 & 1 & -2 1 & -2 & 3 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض [A = left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 3 2 & 3 & 4 1 & 0 & 2 end {array} right] ] Find (A ^ {-1} ) إن أمكن. إذا لم يكن (A ^ {- 1} ) موجودًا ، اشرح السبب.

إجابه

( left [ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 3 2 & 3 & 4 1 & 0 & 2 end {array} right] ^ {- 1} = left [ ابدأ {array} {rrr} -2 & 0 & 3 0 & vspace {0.05in} frac {1} {3} & - vspace {0.05in} frac {2} {3} 1 & 0 & -1 end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض [A = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 3 2 & 1 & 4 4 & 5 & 10 end {array} right] ] Find (A ^ {-1} ) إن أمكن. إذا لم يكن (A ^ {- 1} ) موجودًا ، اشرح السبب.

إجابه

هو ( left [ begin {array} {ccc} 1 & 0 & vspace {0.05in} frac {5} {3} 0 & 1 & vspace {0.05in} frac {2} {3} 0 & 0 & 0 end {array} right] ). لا يوجد معكوس.

تمرين ( PageIndex {1} )

دعونا [A = left [ نبدأ {array} {rrrr} 1 & 2 & 0 & 2 1 & 1 & 2 & 0 2 & 1 & -3 & 2 1 & 2 & 1 & 2 end {array} right] ] ابحث عن (A ^ {- 1} ) إن أمكن. إذا لم يكن (A ^ {- 1} ) موجودًا ، اشرح السبب.

إجابه

( left [ start {array} {rrrr} 1 & 2 & 0 & 2 1 & 1 & 2 & 0 2 & 1 & -3 & 2 1 & 2 & 1 & 2 end {array} right] ^ {- 1} = left [ begin {array} {rrrr} -1 & vspace {0.05in} frac {1} {2} & vspace {0.05in} frac { 1} {2} & vspace {0.05in} frac {1} {2} 3 & vspace {0.05in} frac {1} {2} & - vspace {0.05in} frac {1 } {2} & - vspace {0.05in} frac {5} {2} -1 & 0 & 0 & 1 -2 & - vspace {0.05in} frac {3} {4} & vspace {0.05in} frac {1} {4} & vspace {0.05in} frac {9} {4} end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

باستخدام معكوس المصفوفة ، أوجد حل الأنظمة:

  1. [ left [ start {array} {rr} 2 & 4 1 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {c} x y end {array} يمين] = يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} 1 2 نهاية {مجموعة} يمين] ]
  2. [ left [ start {array} {rr} 2 & 4 1 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {c} x y end {array} يمين] = يسار [ تبدأ {مجموعة} {r} 2 0 نهاية {مجموعة} يمين] ]

الآن قدم الحل من حيث (a ) و (b ) إلى [ left [ start {array} {rr} 2 & 4 1 & 1 end {array} right] left [ start {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin {array} {c} a b end {array} right] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

باستخدام معكوس المصفوفة ، أوجد حل الأنظمة:

  1. [ left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 3 2 & 3 & 4 1 & 0 & 2 end {array} right] left [ begin {array} {c } x y z end {array} right] = left [ start {array} {r} 1 0 1 end {array} right] ]
  2. [ left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 3 2 & 3 & 4 1 & 0 & 2 end {array} right] left [ begin {array} {c } x y z end {array} right] = left [ start {array} {r} 3 -1 -2 end {array} right] ]

الآن قدم الحل من حيث (أ ، ب ، ) و (ج ) لما يلي: [ يسار [ ابدأ {مجموعة} {rrr} 1 & 0 & 3 2 & 3 & 4 1 & 0 & 2 end {array} right] left [ start {array} {c} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {c} a b c end {array} right] ]

إجابه
  1. ( left [ start {array} {c} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {c} 1 - vspace {0.05in} frac {2} {3} 0 end {array} right] )
  2. ( left [ start {array} {c} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {r} -12 1 5 end {مجموعة} يمين] )
  3. ( left [ start {array} {c} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {c} 3c-2a frac {1} {3} ب- frac {2} {3} c ac end {array} right] )

تمرين ( PageIndex {1} )

أظهر أنه إذا كان (A ) (n times n ) مصفوفة قابلة للعكس و (X ) عبارة عن (n times 1 ) مصفوفة بحيث (AX = B ) لـ (B ) مصفوفة (n مرات 1 ) ، ثم (X = A ^ {- 1} B ).

إجابه

اضرب كلا جانبي (AX = B ) على اليسار ب (A ^ {- 1} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

أثبت أنه إذا كان (A ^ {- 1} ) موجودًا و (AX = 0 ) ثم (X = 0 ).

إجابه

اضرب في كلا الجانبين على اليسار ب (A ^ {- 1}. ) وهكذا [0 = A ^ {- 1} 0 = A ^ {- 1} left (AX right) = left (A ^ {- 1} A right) X = IX = X ]

التمرين ( PageIndex {1} ): معكوس المنتج

وضح أنه إذا كان (A ^ {- 1} ) موجودًا لمصفوفة (n times n ) ، فهذا يعني أنه فريد. أي إذا (BA = I ) و (AB = I، ) ثم (B = A ^ {- 1}. )

إجابه

(A ^ {- 1} = A ^ {- 1} I = A ^ {- 1} left (AB right) = left (A ^ {- 1} A right) B = IB = B. )

تمرين ( PageIndex {1} )

بيّن أنه إذا كانت (A ) مصفوفة قابلة للعكس (n times n ) ، فعندئذ تكون (A ^ {T} ) و ( left (A ^ {T} right) ^ {- 1} = left (A ^ {- 1} right) ^ {T}. )

إجابه

تحتاج إلى إظهار أن ( left (A ^ {- 1} right) ^ {T} ) يعمل مثل معكوس (A ^ {T} ) لأنه من التفرد في المشكلة أعلاه ، فإن هذا يعني إنه معكوس. من خصائص التحويل ، [ start {align} A ^ {T} left (A ^ {- 1} right) ^ {T} & = & left (A ^ {- 1} A right) ^ {T} = I ^ {T} = I left (A ^ {- 1} right) ^ {T} A ^ {T} & = & left (AA ^ {- 1} right) ^ {T} = I ^ {T} = I end {align} ] ومن هنا ( left (A ^ {- 1} right) ^ {T} = left (A ^ {T} right) ^ {- 1} ) وهذه المصفوفة الأخيرة موجودة.

تمرين ( PageIndex {1} )

أظهر ( left (AB right) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1} ) بالتحقق من أن [AB left (B ^ {- 1} A ^ {- 1 } right) = I ] و [B ^ {- 1} A ^ {- 1} left (AB right) = I ] تلميح: استخدم مشكلة [exerinverseprod].

إجابه

( left (AB right) B ^ {- 1} A ^ {- 1} = A left (BB ^ {- 1} right) A ^ {- 1} = AA ^ {- 1} = أنا ) (B ^ {- 1} A ^ {- 1} left (AB right) = B ^ {- 1} left (A ^ {- 1} A right) B = B ^ {- 1 } IB = B ^ {- 1} B = I )

تمرين ( PageIndex {1} )

أظهر أن ( left (ABC right) ^ {- 1} = C ^ {- 1} B ^ {- 1} A ^ {- 1} ) من خلال التحقق من أن [ left (ABC right) يسار (C ^ {- 1} B ^ {- 1} A ^ {- 1} right) = I ] و [ left (C ^ {- 1} B ^ {- 1} A ^ {- 1 } right) left (ABC right) = I ] تلميح: استخدم مشكلة [exerinverseprod].

إجابه

يأتي الدليل على هذا التمرين من السابق.

تمرين ( PageIndex {1} )

إذا كان (A ) قابلاً للعكس ، اعرض ( left (A ^ {2} right) ^ {- 1} = left (A ^ {- 1} right) ^ {2}. ) تلميح: استخدم مشكلة [exerinverseprod].

إجابه

(A ^ {2} left (A ^ {- 1} right) ^ {2} = AAA ^ {- 1} A ^ {- 1} = AIA ^ {- 1} = AA ^ {- 1} = I ) ( left (A ^ {- 1} right) ^ {2} A ^ {2} = A ^ {- 1} A ^ {- 1} AA = A ^ {- 1} IA = أ ^ {- 1} أ = أنا )

تمرين ( PageIndex {1} )

إذا كان (A ) قابلاً للعكس ، اعرض ( left (A ^ {- 1} right) ^ {- 1} = A. ) تلميح: استخدم مشكلة [exerinverseprod].

إجابه

(A ^ {- 1} A = AA ^ {- 1} = I ) وهكذا بالتميز ، ( left (A ^ {- 1} right) ^ {- 1} = A ).

2.8

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 2 & 3 1 & 2 end {array} right] ). افترض أنه تم تطبيق عملية صف على (A ) وكانت النتيجة (B = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 2 & 3 end {array} right] ). أوجد المصفوفة الأولية (E ) التي تمثل عملية الصف هذه.

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 4 & 0 2 & 1 end {array} right] ). لنفترض أنه تم تطبيق عملية صف على (A ) وكانت النتيجة (B = left [ begin {array} {rr} 8 & 0 2 & 1 end {array} right] ). أوجد المصفوفة الأولية (E ) التي تمثل عملية الصف هذه.

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rr} 1 & -3 0 & 5 end {array} right] ). لنفترض أنه تم تطبيق عملية صف على (A ) وكانت النتيجة (B = left [ begin {array} {rr} 1 & -3 2 & -1 end {array} right] ). أوجد المصفوفة الأولية (E ) التي تمثل عملية الصف هذه.

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 5 & 1 2 & -1 & 4 end {array} right] ). لنفترض أنه تم تطبيق عملية صف على (A ) وكانت النتيجة (B = left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 2 & -1 & 4 0 & 5 & 1 نهاية {مجموعة} يمين] ).

  1. ابحث عن المصفوفة الأولية (E ) بحيث (EA = B ).
  2. أوجد معكوس (E ) ، (E ^ {- 1} ) ، مثل (E ^ {- 1} B = A ).

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 5 & 1 2 & -1 & 4 end {array} right] ). لنفترض أنه تم تطبيق عملية صف على (A ) وكانت النتيجة (B = left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 10 & 2 2 & -1 & 4 نهاية {مجموعة} يمين] ).

  1. ابحث عن المصفوفة الأولية (E ) بحيث (EA = B ).
  2. أوجد معكوس (E ) ، (E ^ {- 1} ) ، مثل (E ^ {- 1} B = A ).

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 5 & 1 2 & -1 & 4 end {array} right] ). لنفترض أنه تم تطبيق عملية صف على (A ) وكانت النتيجة (B = left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 5 & 1 1 & - frac {1} {2} & 2 end {array} right] ).

  1. ابحث عن المصفوفة الأولية (E ) بحيث (EA = B ).
  2. أوجد معكوس (E ) ، (E ^ {- 1} ) ، مثل (E ^ {- 1} B = A ).

تمرين ( PageIndex {1} )

لنفترض (A = left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 5 & 1 2 & -1 & 4 end {array} right] ). لنفترض أنه تم تطبيق عملية صف على (A ) وكانت النتيجة (B = left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 2 & 4 & 5 2 & -1 & 4 نهاية {مجموعة} يمين] ).

  1. ابحث عن المصفوفة الأولية (E ) بحيث (EA = B ).
  2. أوجد معكوس (E ) ، (E ^ {- 1} ) ، مثل (E ^ {- 1} B = A ).

2.10

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن تحليل (LU ) إلى ( left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 0 2 & 1 & 3 1 & 2 & 3 end {array} right]. )

إجابه

[ left [ start {array} {ccc} 1 & 2 & 0 2 & 1 & 3 1 & 2 & 3 end {array} right] = left [ begin {array} { ccc} 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 1 & 0 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 0 0 & - 3 & 3 0 & 0 & 3 end {array} right] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن تحليل (LU ) إلى ( left [ start {array} {rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 1 & 3 & 2 & 1 5 & 0 & 1 & 3 end { مجموعة} يمين]. )

إجابه

[ left [ start {array} {cccc} 1 & 2 & 3 & 2 1 & 3 & 2 & 1 5 & 0 & 1 & 3 end {array} right] = left [ ابدأ {array} {rrr} 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 5 & -10 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 3 & 2 0 & 1 & -1 & -1 0 & 0 & -24 & -17 end {array} right] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن (LU ) تحليل المصفوفة ( left [ start {array} {rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 -2 & 5 & 11 & 3 3 & -6 & -15 & 1 نهاية {مجموعة} يمين]. )

إجابه

[ left [ begin {array} {rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 -2 & 5 & 11 & 3 3 & -6 & -15 & 1 end {array} right ] = left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 3 & 0 & 1 end {array} right] left [ begin {array} { rrrr} 1 & -2 & -5 & 0 0 & 1 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 1 end {array} right] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن (LU ) تحليل المصفوفة ( left [ start {array} {rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 -1 & 2 & 4 & 3 2 & -3 & -7 & -3 end {array} right]. )

إجابه

[ left [ start {array} {rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 -1 & 2 & 4 & 3 2 & -3 & -7 & -3 end {array} right] = left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 2 & -1 & 1 end {array} right] left [ begin { صفيف} {rrrr} 1 & -1 & -3 & -1 0 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 1 end {array} right] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن (LU ) تحليل المصفوفة ( left [ start {array} {rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 -3 & 10 & 10 & 10 1 & -6 & 2 & -5 end {array} right]. )

إجابه

[ left [ begin {array} {rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 -3 & 10 & 10 & 10 1 & -6 & 2 & -5 end {array} اليمين] = left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 1 & -3 & 1 end {array} right] left [ begin {array } {rrrr} 1 & -3 & -4 & -3 0 & 1 & -2 & 1 0 & 0 & 0 & 1 end {array} right] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن (LU ) تحليل المصفوفة ( left [ start {array} {rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 3 & 10 & 8 & -1 2 & 5 & -3 & -3 end {array} right]. )

إجابه

[ left [ start {array} {rrrr} 1 & 3 & 1 & -1 3 & 10 & 8 & -1 2 & 5 & -3 & -3 end {array} right] = left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 3 & 1 & 0 2 & -1 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrrr } 1 & 3 & 1 & -1 0 & 1 & 5 & 2 0 & 0 & 0 & 1 end {array} right] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن (LU ) تحليل المصفوفة ( left [ start {array} {rrr} 3 & -2 & 1 9 & -8 & 6 -6 & 2 & 2 3 & 2 & -7 end {array} right]. )

إجابه

[ left [ start {array} {rrr} 3 & -2 & 1 9 & -8 & 6 -6 & 2 & 2 3 & 2 & -7 end {array} right ] = left [ start {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 3 & 1 & 0 & 0 -2 & 1 & 1 & 0 1 & -2 & -2 & 1 end {array} right] left [ start {array} {rrr} 3 & -2 & 1 0 & -2 & 3 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end { مجموعة} يمين] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن (LU ) تحليل المصفوفة ( left [ start {array} {rrr} -3 & -1 & 3 9 & 9 & -12 3 & 19 & -16 12 & 40 & -26 end {array} right]. )

تمرين ( PageIndex {1} )

ابحث عن (LU ) تحليل المصفوفة ( left [ start {array} {rrr} -1 & -3 & -1 1 & 3 & 0 3 & 9 & 0 4 & 12 & 16 نهاية {مجموعة} يمين]. )

إجابه

[ left [ start {array} {rrr} -1 & -3 & -1 1 & 3 & 0 3 & 9 & 0 4 & 12 & 16 end {array} right] = left [ start {array} {rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 -3 & 0 & 1 & 0 -4 & 0 & -4 & 1 نهاية {مجموعة} يمين] يسار [ تبدأ {مجموعة} {rrr} -1 & -3 & -1 0 & 0 & -1 0 & 0 & -3 0 & 0 & 0 نهاية {مجموعة} يمين] ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد معامل (LU ) لمصفوفة المعامل باستخدام طريقة دوليتل واستخدمها لحل نظام المعادلات. [ start {array} {c} x + 2y = 5 2x + 3y = 6 end {array} ]

إجابه

(LU ) تحليل مصفوفة المعامل هو [ left [ begin {array} {cc} 1 & 2 2 & 3 end {array} right] = left [ begin {array} {cc} 1 & 0 2 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {cc} 1 & 2 0 & -1 end {array} right] ] أولاً حل [ left [ start {array} {cc} 1 & 0 2 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {c} u v end {array} right] = left [ begin {array} {c} 5 6 end {array} right] ] الذي يعطي ( left [ begin {array} {c} u v end {array} right] = ) ( left [ start {array} {r} 5 -4 end {array} right]. ) ثم حل [ left [ start {array} {rr} 1 & 2 0 & -1 end {array} right] left [ begin {array} {c} x y end {array} right] = left [ begin { المصفوفة} {r} 5 -4 end {array} right] ] والتي تقول أن (y = 4 ) و (x = -3. )

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد معامل (LU ) لمصفوفة المعامل باستخدام طريقة دوليتل واستخدمها لحل نظام المعادلات. [ ابدأ {مجموعة} {c} x + 2y + z = 1 y + 3z = 2 2x + 3y = 6 end {array} ]

إجابه

إن (LU ) عامل مصفوفة المعامل هو [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 2 & 3 & 0 end {array} يمين] = يسار [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & -1 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 end {array} right] ] حل أولاً [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & -1 & 1 end {array} right] left [ start {array} {c} u v w end {array} right ] = left [ start {array} {c} 1 2 6 end {array} right] ] الذي ينتج (u = 1، v = 2، w = 6 ). بعد ذلك حل [ left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 1 & 3 0 & 0 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {c} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {c} 1 2 6 end {array} right] ] هذا ينتج (ض = 6 ، ص = -16 ، س = 27. )

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد معامل (LU ) لمصفوفة المعامل باستخدام طريقة دوليتل واستخدمها لحل نظام المعادلات. [ ابدأ {مجموعة} {c} x + 2y + 3z = 5 2x + 3y + z = 6 x-y + z = 2 end {array} ]

تمرين ( PageIndex {1} )

أوجد معامل (LU ) لمصفوفة المعامل باستخدام طريقة دوليتل واستخدمها لحل نظام المعادلات. [ ابدأ {مجموعة} {c} x + 2y + 3z = 5 2x + 3y + z = 6 3x + 5y + 4z = 11 end {array} ]

إجابه

إن (LU ) عامل مصفوفة المعامل هو [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 2 & 3 & 1 3 & 5 & 4 end {array} اليمين] = left [ start {array} {rrr} 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 1 end {array} right] left [ begin {array} { rrr} 1 & 2 & 3 0 & -1 & -5 0 & 0 & 0 end {array} right] ] حل أولاً [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 3 & 1 & 1 end {array} right] left [ start {array} {c} u v w end {array} right ] = left [ start {array} {c} 5 6 11 end {array} right] ] الحل هو: ( left [ begin {array} {c} u v w end {array} right] = ) ( left [ begin {array} {c} 5 -4 0 end {array} right]. ) الحل التالي [ left [ start {array} {rrr} 1 & 2 & 3 0 & -1 & -5 0 & 0 & 0 end {array} right] left [ begin {array} {c } x y z end {array} right] = left [ begin {array} {c} 5 -4 0 end {array} right] ] الحل هو: ( left [ start {array} {c} x y z end {array} right] = left [ begin {array} {c} 7t-3 4 -5t t end {array} right] ، t in mathbb {R} ).

تمرين ( PageIndex {1} )

هل يوجد عامل (LU ) واحد فقط لمصفوفة معينة؟ تلميح: ضع في اعتبارك المعادلة [ left [ begin {array} {rr} 0 & 1 0 & 1 end {array} right] = left [ begin {array} {rr} 1 & 0 1 & 1 end{array} ight ] left [ egin{array}{rr} 0 & 1 0 & 0 end{array} ight ] .] Look for all possible (LU) factorizations .

إجابه

Sometimes there is more than one (LU) factorization as is the case in this example. The given equation clearly gives an (LU) factorization. However, it appears that the following equation gives another (LU) factorization. [left [ egin{array}{cc} 0 & 1 0 & 1 end{array} ight ] =left [ egin{array}{cc} 1 & 0 0 & 1 end{array} ight ] left [ egin{array}{cc} 0 & 1 0 & 1 end{array} ight ]]