مقالات

8.4: اختبارات التقارب - اختبار المقارنة - الرياضيات


لقد رأينا أن الاختبار المتكامل يسمح لنا بتحديد تقارب أو تباعد سلسلة من خلال مقارنتها بتكامل غير لائق ذي صلة. في هذا القسم ، نوضح كيفية استخدام اختبارات المقارنة لتحديد تقارب أو تباعد سلسلة من خلال مقارنتها بسلسلة معروفة تقاربها أو تباعدها. عادةً ما تُستخدم هذه الاختبارات لتحديد تقارب السلاسل التي تشبه السلاسل الهندسية أو السلسلة p.

اختبار المقارنة

في القسمين السابقين ، ناقشنا فئتين كبيرتين من السلاسل: سلسلة هندسية وسلسلة p. نحن نعلم بالضبط متى تتقارب هذه السلسلة ومتى تتباعد. نوضح هنا كيفية استخدام التقارب أو الاختلاف لهذه السلسلة لإثبات التقارب أو الاختلاف لسلسلة أخرى ، باستخدام طريقة تسمى اختبار المقارنة.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السلسلة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2 + 1}. ]

هذه السلسلة تشبه السلسلة المتقاربة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2} ]

نظرًا لأن المصطلحات في كل سلسلة موجبة ، فإن تسلسل المجاميع الجزئية لكل سلسلة يتزايد بشكل رتيب. علاوة على ذلك ، منذ ذلك الحين

[0 < dfrac {1} {n ^ 2 + 1} < dfrac {1} {n ^ 2} ]

لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة (n ) ، (kth ) المجموع الجزئي (S_k ) من ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2 + 1} ) استوفي

[S_k = sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2 + 1} < sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2} < sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

(انظر الشكل (أ) والجدول.) بما أن السلسلة الموجودة على اليمين تتقارب ، فإن التسلسل ({S_k} ) محدد أعلاه. نستنتج أن ({S_k} ) هو تسلسل متزايد رتيب محدد أعلاه. لذلك ، من خلال نظرية التقارب أحادية اللون ، يتقارب ({S_k} ) ، وبالتالي

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2 + 1} ]

يتقارب.

وبالمثل ، انظر إلى السلسلة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n − 1/2}. ]

هذه السلسلة تشبه السلسلة المتباعدة

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n}. ]

تسلسل المجاميع الجزئية لكل سلسلة يتزايد بشكل رتيب و

[ dfrac {1} {n − 1/2}> dfrac {1} {n}> 0 ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، فإن مجموع (kth ) الجزئي (S_k ) من

[ sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n − 1/2} ]

استوفي

[S_k = sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n − 1/2}> sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n}. ]

(راجع الشكل ( PageIndex {1n} ) والجدول ( PageIndex {1} )). نظرًا لأن السلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} 1 / n ) تتباعد إلى ما لا نهاية ، فإن تسلسل المجاميع الجزئية ( sum ^ k_ {n = 1} 1 / n ) غير محدود. وبالتالي ، فإن ({S_k} ) هو تسلسل غير محدود ، وبالتالي يتباعد. نستنتج أن

[ sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n − 1/2} ]

يتباعد.

الجدول ( PageIndex {1} ): مقارنة سلسلة بـ a (p ) - series ( (p = 2 ))
(ك)12345678
( sum_ {n = 1} ^ k dfrac {1} {n ^ 2 + 1} )0.50.70.80.85880.89730.92430.94430.9597
( sum_ {n = 1} ^ ك dfrac {1} {n ^ 2} )11.251.36111.42361.46361.49141.51181.5274
جدول ( PageIndex {2} ): مقارنة سلسلة مع المتسلسلة التوافقية
(ك)12345678

( sum_ {n = 1} ^ ك dfrac {1} {n − 1/2} )

22.66673.06673.35243.57463.75643.91034.0436
( sum_ {n = 1} ^ ك dfrac {1} {n} )11.51.83332.09332.28332.452.59292.7179

اختبار المقارنة

  1. افترض أن هناك عددًا صحيحًا (N ) مثل (0≤a_n≤b_n ) للجميع (n≥N ). إذا تقارب ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتقارب.
  2. افترض أن هناك عددًا صحيحًا (N ) مثل (a_n≥b_n≥0 ) للجميع (n≥N. ) إذا تباعد ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد.

دليل

نثبت الجزء الأول. إثبات الجزء الثاني. هو المانع للجزء الأول. لنفترض أن ({S_k} ) هو تسلسل المجاميع الجزئية المرتبطة بـ ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) ، واجعل (L = sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ). منذ الشروط (a_n0، )

[S_k = a_1 + a_2 + ⋯ + a_k≤a_1 + a_2 + ⋯ + a_k + a_ {k + 1} = S_ {k + 1}. لا يوجد رقم]

لذلك ، فإن تسلسل المجاميع الجزئية آخذ في الازدياد. علاوة على ذلك ، منذ (a_n≤b_n ) للجميع (n≥N ) ، إذن

[ sum_ {n = N} ^ ka_n≤ sum_ {n = N} ^ kb_n≤ sum_ {n = 1} ^ ∞b_n = L. لا يوجد رقم]

لذلك ، للجميع (k≥1 ) ،

[S_k = (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1}) + sum_ {n = N} ^ ka_n≤ (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1}) + L. لا يوجد رقم]

نظرًا لأن (a_1 + a_2 + ⋯ + a_ {N − 1} ) هو رقم محدد ، فإننا نستنتج أن التسلسل ({S_k} ) محدد أعلاه. لذلك ، ({S_k} ) هو تسلسل متزايد محدد أعلاه. من خلال نظرية التقارب أحادية اللون ، نستنتج أن ({S_k} ) يتقارب ، وبالتالي فإن السلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) تتقارب.

لاستخدام اختبار المقارنة لتحديد تقارب أو تباعد سلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) ، من الضروري العثور على سلسلة مناسبة للمقارنة بها. نظرًا لأننا نعرف خصائص التقارب للسلسلة الهندسية والسلسلة p ، فغالبًا ما يتم استخدام هذه السلاسل. إذا كان هناك عدد صحيح (N ) مثل هذا بالنسبة للجميع (n≥N ) ، فإن كل مصطلح يكون أقل من كل مصطلح مطابق لسلسلة متقاربة معروفة ، ثم ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) تتقارب. وبالمثل ، إذا كان هناك عدد صحيح (N ) مثل أنه بالنسبة للجميع (n≥N ) ، يكون كل مصطلح a أكبر من كل مصطلح مطابق لسلسلة متباعدة معروفة ، ثم ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ) يتباعد.

مثال ( PageIndex {1} ): استخدام اختبار المقارنة

لكل من السلاسل التالية ، استخدم اختبار المقارنة لتحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد.

  1. ( sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} )
  2. ( sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {2 ^ n + 1} )
  3. ( sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} { ln ، n} )

حل

أ. قارن بـ ( sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3} ). نظرًا لأن ( sum_ {n = 1} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 3} ) هي سلسلة p مع (p = 3 ) ، فهي تتقارب. إضافه على،

[ dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} < dfrac {1} {n ^ 3} nonumber ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، يمكننا أن نستنتج أن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 3 + 3n + 1} ) يتقارب.

ب. قارن بـ ( sum ^ ∞_ {n = 1} ( dfrac {1} {2}) ^ n ). بما أن ( sum_ {n = 1} ^ ∞ ( dfrac {1} {2}) ^ n ) عبارة عن سلسلة هندسية بها (r = 1/2 ) و (| 1/2 | <1 ) ، تتقارب. أيضا،

[ dfrac {1} {2 ^ n + 1} < dfrac {1} {2 ^ n} non Number ]

لكل عدد صحيح موجب (n ). لذلك ، نرى أن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {2 ^ n + 1} ) يتقارب.

ج. قارن بـ ( sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1} {n} ). حيث

[ dfrac {1} {ln ، n}> dfrac {1} {n} non Number ]

لكل عدد صحيح (n≥2 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / n ) يتباعد ، لدينا هذا ( sum ^ ∞_ {n = 2} dfrac {1} { ln ، n} ) تباعد.

تمرين ( PageIndex {1} )

استخدم اختبار المقارنة لتحديد ما إذا كانت السلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {n} {n ^ 3 + n + 1} ) تتقارب أو تتباعد.

تلميح

ابحث عن قيمة (p ) مثل ( dfrac {n} {n ^ 3 + n + 1} ≤ dfrac {1} {n ^ p} ).

إجابه

السلسلة تتقارب.

اختبار مقارنة الحد

يعمل اختبار المقارنة بشكل جيد إذا تمكنا من العثور على سلسلة مماثلة تفي بفرضية الاختبار. ومع ذلك ، قد يكون من الصعب أحيانًا العثور على سلسلة مناسبة. تأمل السلسلة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1}. ]

من الطبيعي مقارنة هذه السلسلة بالسلسلة المتقاربة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

ومع ذلك ، فإن هذه السلسلة لا تفي بالفرضية اللازمة لاستخدام اختبار المقارنة بسبب

[ dfrac {1} {n ^ 2−1}> dfrac {1} {n ^ 2} ]

لجميع الأعداد الصحيحة (n≥2 ). على الرغم من أنه يمكننا البحث عن سلسلة مختلفة للمقارنة بها ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / (n ^ 2−1) ، ) بدلاً من ذلك نوضح كيف يمكننا استخدام اختبار المقارنة المحدودة لمقارنة

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1} ]

و

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2}. ]

دعونا نفحص الفكرة الكامنة وراء اختبار المقارنة المحدد. ضع في اعتبارك سلسلتين ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ). بشروط موجبة (a_n ) و (b_n ) وتقييمها

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n}. ]

إذا

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = L ≠ 0، ]

ثم ، من أجل (n ) كبيرة بما يكفي ، (a_n≈Lb_n ). لذلك ، تتقارب كلتا السلسلتين أو تتباعد كلتا السلسلتين. بالنسبة للسلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / (n ^ 2−1) ) و ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / n ^ 2 ) ، نرى ذلك

[ lim_ {n → ∞} dfrac {1 / (n ^ 2−1)} {1 / n ^ 2} = lim_ {n → ∞} dfrac {n ^ 2} {n ^ 2−1 } = 1. ]

نظرًا لأن ( sum ^ ∞_ {n = 2} 1 / n ^ 2 ) يتقارب ، فإننا نستنتج أن

[ sum_ {n = 2} ^ ∞ dfrac {1} {n ^ 2−1} ]

يتقارب.

يمكن استخدام اختبار المقارنة في حالتين أخريين. افترض

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = 0. ]

في هذه الحالة ، ({a_n / b_n} ) هو تسلسل محدود. نتيجة لذلك ، يوجد ثابت (M ) مثل (a_n≤Mb_n ). لذلك ، إذا تقارب ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتقارب. من ناحية أخرى ، افترض

[ lim_ {n → ∞} dfrac {a_n} {b_n} = ∞. ]

في هذه الحالة ، ({a_n / b_n} ) هو تسلسل غير محدود. لذلك ، لكل ثابت (M ) يوجد عدد صحيح (N ) بحيث (a_n≥Mb_n ) للجميع (n≥N. ) لذلك ، إذا ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) يتباعد ، ثم ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد أيضًا.

اختبار مقارنة الحد

دع (a_n، b_n≥0 ) للجميع (n≥1. )

  1. إذا ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n = L ≠ 0، ) ثم ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) كلاهما يتقارب أو يتباعد.
  2. إذا تقارب ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n = 0 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) تتقارب.
  3. إذا تباعد ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n = ∞ ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد.

لاحظ أنه إذا تباعد (a_n / b_n → 0 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن اختبار مقارنة الحد لا يعطي أي معلومات. وبالمثل ، إذا تقارب (a_n / b_n → ∞ ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، فإن الاختبار لا يوفر أيضًا أي معلومات. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك السلسلتين ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / sqrt {n} ) و ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n ^ 2 ). هذه السلسلة كلاهما من سلسلة p مع (ع = 1/2 ) و (ع = 2 ) ، على التوالي. بما أن (p = 1/2> 1، ) تتباعد السلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / sqrt {n} ). من ناحية أخرى ، بما أن (p = 2 <1 ) ، فإن السلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n ^ 2 ) تتقارب. ومع ذلك ، لنفترض أننا حاولنا تطبيق اختبار المقارنة المحدود ، باستخدام المتقارب ص السلسلة ( sum_ {n = 1} ^ ∞1 / n ^ 3 ) كسلسلة المقارنة الخاصة بنا. أولا ، نحن نرى ذلك

[ dfrac {1 / sqrt {n}} {1 / n ^ 3} = dfrac {n ^ 3} { sqrt {n}} = n ^ {5/2} → ∞ كـ n → ∞. ]

وبالمثل ، نرى ذلك

[ dfrac {1 / n ^ 2} {1 / n ^ 3} = n → ∞ كـ n → ∞. ]

لذلك ، إذا (a_n / b_n → ∞ ) عند ( sum_ {n = 1} ^ ∞b_n ) ، فإننا لا نحصل على أي معلومات حول التقارب أو الاختلاف في ( sum_ {n = 1} ^ ∞a_n ).

مثال ( PageIndex {2} ): استخدام اختبار مقارنة الحدود

لكل من السلاسل التالية ، استخدم اختبار مقارنة الحد لتحديد ما إذا كانت السلسلة تتقارب أو تتباعد. إذا لم يتم تطبيق الاختبار ، فقل ذلك.

  1. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n} +1} )
  2. ( displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} )
  3. (displaystyle sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {ln (n)} {n ^ 2})

حل

أ. قارن هذه السلسلة بـ ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n}} ). احسب

( lim_ {n → ∞} dfrac {1 / ( sqrt {n} +1)} {1 / sqrt {n}} = lim_ {n → ∞} dfrac { sqrt {n}} { sqrt {n} +1} = lim_ {n → ∞} dfrac {1 / sqrt {n}} {1 + 1 / sqrt {n}} = 1. )

من خلال اختبار مقارنة الحد ، نظرًا لأن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n}} ) يتباعد ، ثم ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} { sqrt {n} +1} ) يتباعد.

ب. قارن هذه السلسلة بـ ( sum ^ ∞_ {n = 1} ( dfrac {2} {3}) ^ n ). نحن نرى ذلك

( lim_ {n → ∞} dfrac {(2 ^ n + 1) / 3 ^ n} {2 ^ n / 3 ^ n} = lim_ {n → ∞} dfrac {2 ^ n + 1} {3 ^ n} ⋅ dfrac {3 ^ n} {2 ^ n} = lim_ {n → ∞} dfrac {2 ^ n + 1} {2 ^ n} = lim_ {n → ∞} [1 + ( dfrac {1} {2}) ^ n] = 1. )

لذلك،

( lim_ {n → ∞} dfrac {(2 ^ n + 1) / 3 ^ n} {2 ^ n / 3 ^ n} = 1. )

بما أن ( sum ^ ∞_ {n = 1} ( dfrac {2} {3}) ^ n ) يتقارب ، فإننا نستنتج أن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {2 ^ n +1} {3 ^ n} ) تتقارب.

ج. منذ (lnn

( lim_ {n → ∞} dfrac {lnn / n ^ 2} {1 / n} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n} {1} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} {n}. )

من أجل تقييم ( lim_ {n → ∞} lnn / n ) ، قم بتقييم الحد كـ (x → ∞ ) للدالة الحقيقية القيمة (ln (x) / x ). هاتان الحدين متساويتان ، ويسمح لنا إجراء هذا التغيير باستخدام قاعدة L’Hôpital. نحصل

( lim_ {x → ∞} dfrac {lnx} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {1} {x} = 0. )

لذلك ، ( lim_ {n → ∞} lnn / n = 0 ) ، وبالتالي ،

( lim_ {n → ∞} dfrac {lnn / n ^ 2} {1 / n} = 0. )

نظرًا لأن الحد هو (0 ) ولكن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n} ) متباعد ، فإن اختبار مقارنة الحد لا يوفر أي معلومات.

قارن مع ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2} ) بدلاً من ذلك. في هذه الحالة،

( lim_ {n → ∞} dfrac {lnn / n ^ 2} {1 / n ^ 2} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n ^ 2 } {1} = lim_ {n → ∞} lnn = ∞. )

نظرًا لأن الحد (∞ ) ولكن ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ 2} ) متقارب ، لا يزال الاختبار لا يوفر أي معلومات.

والآن نجرب سلسلة بين الاثنين اللذين جربناه بالفعل. باختيار السلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ {3/2}} ) ، نرى ذلك

( lim_ {n → ∞} dfrac {lnn / n ^ 2} {1 / n ^ {3/2}} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} {n ^ 2} ⋅ dfrac {n ^ {3/2}} {1} = lim_ {n → ∞} dfrac {lnn} { sqrt {n}} ).

على النحو الوارد أعلاه ، من أجل تقييم ( lim_ {n → ∞} lnn / sqrt {n} ) ، قم بتقييم الحد كـ (x → ∞ ) للدالة ذات القيمة الحقيقية (lnx / sqrt { س} ). باستخدام قاعدة L’Hôpital ،

( lim_ {x → ∞} dfrac {lnx} { sqrt {x}} = lim_ {x → ∞} dfrac {2 sqrt {x}} {x} = lim_ {x → ∞} dfrac {2} { sqrt {x}} = 0 ).

نظرًا لأن الحد (0 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {1} {n ^ {3/2}} ) يتقارب ، يمكننا أن نستنتج أن ( sum ^ ∞ _ {n = 1} dfrac {lnn} {n ^ 2} ) تتقارب.

تمرين ( PageIndex {2} )

استخدم اختبار مقارنة الحدود لتحديد ما إذا كانت السلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} dfrac {5 ^ n} {3 ^ n + 2} ) تتقارب أو تتباعد.

تلميح

قارن مع سلسلة هندسية.

إجابه

المسلسل يتباعد.

المفاهيم الرئيسية

  • تُستخدم اختبارات المقارنة لتحديد تقارب أو تباعد السلاسل ذات المصطلحات الإيجابية.
  • عند استخدام اختبارات المقارنة ، غالبًا ما تتم مقارنة سلسلة ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) بسلسلة هندسية أو سلسلة p.

قائمة المصطلحات

اختبار المقارنة
إذا تقارب (0≤a_n≤b_n ) للجميع (n≥N ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} أ_n ) تتقارب ؛ إذا تباعد (a_n≥b_n≥0 ) للجميع (n≥N ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} أ_n ) يتباعد
اختبار المقارنة المحدودة
افترض (a_n ، b_n≥0 ) للجميع (n≥1 ). إذا ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n → L ≠ 0 ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) كلاهما يتقارب أو كلاهما يتباعد ؛ إذا تقارب ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n → 0 ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) تتقارب. إذا تباعد ( lim_ {n → ∞} a_n / b_n → ∞ ) و ( sum ^ ∞_ {n = 1} b_n ) ، إذن ( sum ^ ∞_ {n = 1} a_n ) يتباعد

اختبار المقارنة

لنفترض أن b [n] سلسلة ثانية. اشتراط أن تكون كل [n] و b [n] موجبة. إذا تقاربت b [n] ، و a [n] & lt = b [n] لكل n ، فإن a [n] يتقارب أيضًا. إذا تباعد مجموع b [n] ، و a [n] & gt = b [n] لكل n ، فإن مجموع a [n] يتباعد أيضًا.

الفكرة في هذا الاختبار هي أنه إذا كان كل مصطلح في سلسلة ما أصغر من الآخر ، فيجب أن يكون مجموع تلك السلسلة أصغر. لذلك ، إذا كان كل حد في سلسلة أصغر من المصطلح المقابل في سلسلة متقاربة ، يجب أن تتقارب السلسلة الأصغر أيضًا. وإذا تباعدت سلسلة أصغر ، يجب أن تتباعد السلسلة الأكبر أيضًا.

كمثال ، ضع في اعتبارك السلسلة

قارن ذلك بسلسلة ثانية على النحو التالي:

نظرًا لأن هذا المجموع الجديد الأصغر يتباعد (وهو سلسلة متناسقة) ، فإن المجموع الأصلي يتباعد أيضًا.

للحصول على مثال آخر ، انظر إلى

قارن ذلك بسلسلة ثانية أيضًا:

تتقارب (لأنها سلسلة p مع p أكبر من واحد) ، لذا فإن المجموع الأول يتقارب أيضًا.


8.4: اختبارات التقارب - اختبار المقارنة - الرياضيات

من السهل جدًا ملاحظة أن تكامل بسيط غير لائق قد يكون من الصعب جدًا تحديد ما إذا كان متقاربًا أو متشعبًا. على سبيل المثال ، التكامل غير الصحيح

يصعب دراستها نظرًا لأنه من الصعب جدًا العثور على مشتق عكسي للوظيفة. تعتبر اختبارات التقارب أدوات مفيدة للغاية في التعامل مع مثل هذه التكاملات غير الصحيحة. لسوء الحظ ، تفشل بعض التكاملات غير الصحيحة في أن تقع ضمن نطاق هذه الاختبارات ولكننا لن نتعامل معها هنا.

أذكر اختبار p: بغض النظر عن قيمة الرقم p ، فإن التكامل غير الصحيح

متشعب دائما. علاوة على ذلك ، لدينا متقارب إذا وفقط إذا كان p & lt1 متقاربًا إذا وفقط إذا كان p & gt1

لاحظ أنه يمكن تعميم هذا الاختبار ليشمل التكاملات غير الصحيحة التالية

الاستنتاج مشابه للاستنتاج أعلاه. في الواقع ، لدينا متقارب إذا وفقط إذا كان p & lt1 متقاربًا إذا وفقط إذا كان p & lt1

اختبار المقارنة لنفترض أن f (x) و g (x) هما وظيفتان محددتان في [a، b] بحيث

لأي . ثم لدينا إذا كان متقاربًا ، فهو متقارب. إذا كان متشعبًا ، فهو متشعب.

مثال. تقرر التقارب أو الاختلاف

يشير اختبار p إلى أن التكامل غير الصحيح متقارب. ومن هنا يشير اختبار المقارنة إلى أن التكامل غير الصحيح

يجب أن نقدر جمال هذه الاختبارات. بدونهم كان من المستحيل تقريبًا اتخاذ قرار بشأن تقارب هذا التكامل.

قبل أن ندخل في اختبار الحد ، نحتاج إلى تذكر ما يلي:
سنقول ونكتب متى وفقط إذا

اختبار الحد دع f (x) و g (x) هما وظيفتان إيجابيتان معرفتان في [a ، b]. افترض أن كلتا الوظيفتين تظهران سلوكًا غير لائق في أي ومتى ، إذن لدينا
متقارب إذا وفقط إذا كان متقاربًا.

هذا البيان لا يزال ساريًا سواء كان رقمًا محدودًا أو لانهائيًا أو إذا كان السلوك غير اللائق عند b.

مثال. إنشاء التقارب أو الاختلاف

إجابه. من الواضح أن هذا التكامل غير لائق لأن المجال غير محدود (النوع الثاني). علاوة على ذلك ، نظرًا لأن الدالة غير محدودة عند 0 ، فإن لدينا أيضًا سلوكًا غير لائق عند 0. أولاً ، يجب أن نقسم التكامل ونكتب

أولا دعونا نعتني بالتكامل. حيث

متى و (بسبب اختبار p) التكامل

متقارب ، نستنتج من اختبار الحد ذلك

متقارب. بعد ذلك نقوم بالتحقيق في التكامل. حيث

متى و (بسبب اختبار p) التكامل

متقارب ، نستنتج من اختبار الحد ذلك

متقارب. لذلك ، التكامل غير الصحيح

ملاحظة. قد يلاحظ المرء أنه في المثال أعلاه ، استخدمنا فقط اختبار الحد مع اختبار p. لكن يجب أن نضع في اعتبارنا أن الأمر ليس كذلك بشكل عام. يوضح المثال التالي كيف أن استخدام الاختبارات الأخرى أكثر من مفيد.

مثال. إنشاء التقارب أو الاختلاف

إجابه. مرة أخرى ، من السهل ملاحظة أن لدينا سلوكًا غير لائق عند كل من 0 و. ومن ثم علينا تقسيم التكامل والكتابة

من السهل الاعتناء بالتكامل لأن لدينا

ولأنه متقارب (من خلال اختبار p) ، فإن اختبار المقارنة الأساسي يشير إلى ذلك

متقارب. بعد ذلك سنهتم بالتكامل. هنا نستخدم اختبار الحد. في الواقع ، منذ ذلك الحين ، لدينا

نظرًا لأنه متشعب (بواسطة اختبار p) ، فإن اختبار الحد يعني أن التكامل

متشعب. الاستنتاج هو التكامل غير السليم

ملاحظة. قد يجادل المرء بأن المثال أعلاه ليس في الواقع مثالًا جيدًا لتوضيح استخدام الاختبارات المختلفة. منذ إذا أظهرنا أولاً أن التكامل

متشعب من خلال اختبار الحد ، فنحن لا نحتاج إلى الاهتمام بالتكامل الآخر واستنتاج تباعد التكامل المحدد. نقطة جيدة جدا. فكر الآن في التكامل غير الصحيح

وتبين أن التكامل في هذه الحالة متقارب. دعونا نشير إلى أن الدوال المثلثية سيئة للغاية عندما يتعلق الأمر بالنظر إلى ما يحدث. ومن ثم فإن اختبار الحد غير مناسب على الإطلاق للاستخدام.

مثال. إنشاء التقارب أو الاختلاف

إجابه. من الواضح أن هذا ليس جزءًا لا يتجزأ من النوع الثاني. دعونا نتحقق مما إذا كان من النوع الأول. لاحظ ذلك أولاً. ومن ثم فإن الوظيفة غير محدودة عند x = 1 و x = 3 (يجب عليك التحقق منها بأخذ الحد .. اليسار كتدريب). نظرًا لأن 3 تقع بين 2 و 4 ، فإننا نستنتج أن التكامل غير صحيح وأن النقطة السيئة الوحيدة هي 3. ومن ثم يجب علينا تقسيم التكامل للحصول على

دعونا نعتني بالتكامل. من السهل أن نرى ذلك عندما يكون لدينا

يشير اختبار p إلى أن التكامل

متقارب. ومن ثم من خلال اختبار النهاية نستنتج أن التكامل

متقارب. باستخدام نفس الوسيطات ، يمكننا توضيح أن التكامل

هو أيضا متقارب. لذلك فإن التكامل

لاحظ أن جميع الاختبارات حتى الآن صالحة فقط للوظائف الإيجابية. قد يتساءل المرء بعد ذلك عما يحدث للتكاملات غير الصحيحة التي تتضمن وظائف غير موجبة. يتم الحصول على إجابة جزئية من خلال اختبارات التقارب المطلق.


مدونة Symbolab

إستراتيجية؟ لقد خمنت بشكل صحيح ، يمكن أن يساعدك Symbolab في فن اختبار التحويل. ما عليك سوى كتابة السلسلة باستخدام اللوحة (أو اللاتكس) ، واضغط على Go ، و & # 8230 تحصل على اختبار التقارب بخطوات مفصلة ، تمامًا مثل ذلك!

في الواقع ، تختار خوارزمياتنا تلقائيًا أفضل اختبار تقارب وتنفيذه ، ولكن هذا & # 8217s لمنشور مدونة مختلف ، أو لا & # 8230

نقدم أيضًا ميزة رائعة أخرى ، الخطوات المؤقتة. تتضمن معظم اختبارات التقارب مثل اختبار النسبة أو اختبار المقارنة أو اختبار التباعد أو الاختبار المتكامل حسابات حد معقدة أو حسابات متكاملة. يتضمن اختبار المقارنة على سبيل المثال اختيار سلسلة ، وستذكرك الخطوات المؤقتة بكيفية اختبار السلسلة التي اخترتها للتقارب أو الاختلاف وما يدور الاختبار حوله.

ألق نظرة على هذه الأمثلة لتبدأ:
اختبار مقارنة الحد:

انقر فوق علامة زائد الرمادي للحصول على مواصفات الاختبار

انقر فوق علامة الجمع الحمراء للخطوات المؤقتة ، في هذا المثال خطوات السلسلة والحد:

انقر فوق علامة الجمع الرمادي في المربع لمزيد من المعلومات حول حالة Cauchy & # 8217s:

نأمل أن تجد هذه الميزات الجديدة مثيرة ومفيدة.
ترقبوا المزيد من التحديثات.


8.4: اختبارات التقارب - اختبار المقارنة - الرياضيات

بالنظر إلى سلسلة معينة ، فإن السؤال الأول الذي يرغب المرء في الإجابة عليه هو ما إذا كانت السلسلة تتقارب أم لا. لا يوجد اختبار عالمي واحد يمكن للمرء استخدامه لتحديد ما إذا كانت سلسلة متقاربة. بدلاً من ذلك ، هناك عدد من الاختبارات ، قد يكون بعضها مفيدًا في حالة واحدة ، والبعض الآخر في حالة أخرى.

مبدأ اساسي. إذا كان تسلسل S.ن = & # 966 (n) تزداد دائمًا كلما زاد n ولكنها تظل دائمًا أقل من رقم ثابت Q ، ثم موجودة وليست أكبر من Q.

التقارب. تكون السلسلة الموجبة متقاربة إذا كان كل بند من شروطها أقل من أو يساوي الشروط المقابلة لسلسلة معروفة بأنها متقاربة.

تشعب. تكون السلسلة الموجبة متباينة إذا كان كل بند من شروطها أكبر من أو يساوي الشروط المقابلة لسلسلة معروفة بأنها متباعدة.

ثم السلسلة & # 931uن (موجب أو مختلط المدى)

إذا فشل الاختبار ، جرب اختبار النظرية التالية.

نظرية 1. إذا ، لسلسلة معينة & # 931uن,

تتقارب السلسلة إذا كانت b - a & gt 1 وتتباعد إذا كانت b - a 1.

حل. باستخدام اختبار النسبة

وبالتالي فإن الاختبار غير حاسم.

لذلك ، وفقًا للنظرية ، تتباعد السلسلة.

3. اختبار متكامل. دع المصطلح العام للسلسلة & # 931uن يكون f (n) ، وليكن f (x) هي الوظيفة التي تم الحصول عليها عن طريق استبدال n بالمتغير المستمر x. الآن إذا كانت جميع قيم x & gt a (حيث a هي عدد صحيح موجب) هذه الدالة f (x) موجبة ومتناقصة وإذا كانت f (x) & # 8594 0 كـ x & # 8594 & # 8734 ، فإن السلسلة & # 931 شن يتقارب إذا كان لا يتجزأ

متقارب ومتباعد إذا كان هذا التكامل متشعبًا.

مثال. تأمل السلسلة

بالنسبة لجميع القيم الموجبة لـ x ، تكون هذه الدالة موجبة ومتناقصة ، وكما x & # 8594 & # 8734 ، f (x) & # 8594 0. فضلا عن ذلك

وهكذا يتقارب التكامل والسلسلة متقاربة.

4. اختبار متعدد الحدود. اذا كنتن = g (n) / h (n) حيث g (n) و h (n) متعددو الحدود في n ، ثم السلسلة & # 931uن متقارب إذا كانت درجة h (n) تتجاوز درجة g (n) بأكثر من 1 وإلا فإن السلسلة متباعدة.

مثال. تأمل السلسلة

تتجاوز درجة المقام درجة البسط بمقدار 2 وبالتالي فإن المتسلسلة متقاربة.

5. اختبار متسلسل بالتناوب. سلسلة متناوبة & # 931uن متقارب إذا


اختبار Abel & # 39s لإثبات التقارب

أنا أعمل من "فهم التحليل" من قبل أبوت وما يلي هو تمرين يعمل من خلال إثبات اختبار هابيل. أنا أعيد إنتاج السؤال والحل. أنا في حيرة من أمري في جزء من الدليل قرب النهاية. أي توضيحات ستكون رائعة.

ينص اختبار Abel's for Convergence على أنه إذا كانت السلسلة $ sum_^ < infty> x_n $ تتقارب ، وإذا كان $ (y_n) $ تسلسل يرضي $ y_1 ge y_2 ge cdots ge 0 $ ، فإن السلسلة $ sum_يتقارب ^ < infty> x_ny_n $.

(أ) افترض أن $ sum_يحتوي ^ < infty> a_n $ على مبالغ جزئية يحدها $ A & gt0 $ ثابت ويفترض $ b_1 ge b_2 ge cdots ge 0 $. استخدم التجميع حسب الأجزاء لتوضيح أن $ | sum_^ a_jb_j | le 2Ab_1 $.

اجعل $ A & gt0 $ حدًا أعلى للمجاميع الجزئية $ s_n $ من $ sum_^ < infty> a_n $ ، ومن هنا ابدأ | sum_^ a_jb_j | & amp = | s_n b_ - s_m ب_ + sum_^ s_j (b_j-b_) | le & amp le Ab_ + أب + أ (ب_-ب_) = & amp = 2Ab_ le 2Ab_1 النهاية

(ب) إثبات اختبار Abel عن طريق تعيين $ a_n = x_$ و $ b_n = y_$.

لإظهار أن $ sum_^ < infty> x_ny_n $ تتقارب ، نستخدم معيار كوشي. لنفترض أن $ epsilon & gt 0 $ ، نحتاج إلى إظهار وجود $ N $ مثل أنه إذا كان $ n & gt m ge N $ ، فإنه يتبع ذلك $ | sum_^x_jy_j | & lt epsilon $. دع $ a_n = x_$ و $ b_n = y_$ ، ثم من الجزء (أ) ، بدأنا | sum_^x_jy_j | = | sum_^a_jb_j | le 2Ab_1 ، النهاية حيث $ A $ هو الحد الأعلى للمجاميع الجزئية $ sum_^ < infty> a_n = sum_^ < infty> x_j $. منذ $ sum_^ < infty> x_n $ تتقارب ، ثم من خلال معيار Cauchy ، يمكننا اختيار $ N $ بحيث يتضمن $ n & gt m ge N $ $ | sum_^x_j | & lt frac < epsilon> <2y_1> $.

حتى هذه اللحظة ، أفهم بوضوح كل خطوة من خطوات الإثبات ، لكن ما يلي يحدث عندما أشعر بالارتباك:

إذا نظرنا مرة أخرى إلى ما يمثله $ A $ الثابت ، فسيتبع ذلك أنه إذا كان $ n & gt m ge N $ ، إذن ابدأ أ le | sum_^x_j | & lt frac < epsilon> <2y_1>. نهاية

كيف يمكن أن يكون ما ورد أعلاه صحيحا؟ $ A $ هو الحد الأعلى للمجموع الجزئي للسلسلة $ sum_^ < infty> x_j $ ، لذلك بحكم التعريف ، يجب أن يكون لدينا $ | sum_^x_j | le A $ للجميع $ n & gt m $. إذن ، ما سبب عدم المساواة أعلاه $ A le | sum_^x_j | $؟


إعادة النظر في حساب التفاضل والتكامل # 19: اختبارات التقارب

مرحبًا بكم في الجزء 19 من سلسلة الجزء الواحد والعشرين: إعادة النظر في حساب التفاضل والتكامل. نحن في منتصف العمل مع سلسلة. جلسة اليوم: اختبارات التقارب.

في دورة حساب التفاضل والتكامل ، غالبًا ما تُسأل عما إذا كانت سلسلة معينة تتقارب - أي هل تحتوي السلسلة على مجموع. لا يُطلب منك بالضرورة العثور على المجموع نفسه ، فقط لتقول ما إذا كانت السلسلة تحتوي على واحد.

تلميح: من الجيد معرفة السلسلة p.

تتقارب هذه السلسلة عندما p> 1 وتتباعد عندما p & # 8804 1.

أعط السلسلة اللانهائية & # 8721 a (n) ، ابحث عن سلسلة لانهائية أخرى قابلة للمقارنة & # 8721 b (n). السلسلة المستخدمة للمقارنة تهيمن على السلسلة المعنية. أو:

b_n & # 8805 a_n لكل n عدد صحيح

بالإضافة إلى ذلك ، فإن كل المصطلحات على حد سواء السلسلة ، & # 8721 a (n) و & # 8721 b (n) ، موجبة.

إذا كان & # 8721 b (n) يتقارب ، كذلك & # 8721 a (n).

ومع ذلك ، إذا تباعد & # 8721 a (n) ، فسيكون كذلك & # 8721 b (n).

هناك متغير من اختبار المقارنة يسمى اختبار الحد. هذا إذا

إذا كان & # 8721 b (n) يتقارب و L 0 ، & # 8721 a (n) يتباعد.

لسلسلة لانهائية معينة & # 8721 a (n) ، إذا

ليم | a_n + 1 / a_n | = L كـ n & # 8594 & # 8734 ، و

ملاحظة: السلسلة متقاربة تمامًا إذا

إذا كان & # 8721 a (n) يتقارب ولكن & # 8721 | أ (ن) | لا ، ثم يقال أن السلسلة متقاربة بشكل مشروط.

لسلسلة لانهائية معينة & # 8721 a (n) ، إذا

ليم | a_n | ^ (1 / n) = L كـ n & # 8594 & # 8734 ، و

إذا كان التسلسل (تجاهل (-1) ^ n) هو تسلسل تنازلي صارم للأرقام الموجبة (أي a_n + 1

1. هل هذه السلسلة تتلاقى؟

a_n + 1 = (n + 1) ^ 2 / (2 (n + 1) - 1)! = (ن + 1) ^ 2 / (2 ن + 1)!

a_n + 1 / a_n
= (ن + 1) ^ 2 / (2 ن + 1)! * (2 ن - 1)! / ن ^ 2
= (ن + 1) ^ 2 / (ن ^ 2 * (2 ن + 1) (2 ن))
= (ن ^ 2 + 2 ن + 1) / (4 ن ^ 4 + 2 ن ^ 3)

ومن ثم ، فإن السلسلة المعنية تتباعد.

4. هل هذه السلسلة تتلاقى؟

استخدم اختبار السلاسل المتناوبة.

أولا a_n ينخفض ​​بشكل صارم. ثانيًا ، a_n & # 8594 0 كـ n & # 8594 & # 8734.

بالتناوب على المتسلسلة ، فإن السلسلة متقاربة شرطيًا

5. هل هذه السلسلة تتلاقى؟

1 / (2 ln 2) - 1 / (3 ln 3) + 1 / (4 ln 4) - 1 / (5 ln 5) +. + (-1) ^ n / (n ln n) +.


القسم الفرعي 8.3.1 اختبار متكامل

ذكرنا في القسم 8.1 أن التسلسل () هي دالة (a (n) ) مجالها ( mathN text <،> ) مجموعة الأعداد الطبيعية. إذا كان بإمكاننا تمديد (a (n) ) إلى ( mathbb text <،> ) الأرقام الحقيقية ، وهي موجبة ومتناقصة في ([1، infty) text <،> ) ثم تقارب ( ds infser a_n ) هو نفسه كـ ( ds int_1 ^ infty a (x) dx text <.> )

نظرية 8.3.1 اختبار متكامل

دع تسلسل () يتم تعريفه بواسطة (a_n = a (n) text <،> ) حيث (a (n) ) مستمر وإيجابي ومتناقص في ([1، infty) text <.> ) ثم يتقارب ( ds infser a_n ) ، إذا ، وفقط إذا ، يتقارب ( ds int_1 ^ infty a (x) dx ).

لا تنص النظرية 8.3.1 على أن التكامل والتجميع لهما نفس القيمة.

يمكننا إثبات حقيقة اختبار التكامل باستخدام رسمين بيانيين بسيطين. في الشكل 8.3.2. (أ) ، يكون ارتفاع كل مستطيل (a (n) = a_n ) لـ (n = 1،2 ، ldots text <،> ) ومن الواضح أن المستطيلات تحتوي على المزيد من المنطقة الواقعة تحت (y = a (x) text <.> ) لذلك يمكننا أن نستنتج أن نبدأ ds int_1 ^ infty a (x) dx lt infser a_n. ضع الكلمة المناسبة علامة <8.3.1> نهاية

في الشكل 8.3.2 (ب) ، نرسم مستطيلات تحت (y = a (x) ) بقاعدة اليد اليمنى ، بدءًا من (n = 2 text <.> ) هذه المرة ، المنطقة من المستطيلات أقل من المساحة الموجودة أسفل (y = a (x) text <،> ) لذا ( ds sum_^ infty a_n lt int_1 ^ infty a (x) dx text <.> ) لاحظ كيف يبدأ هذا الجمع مع (n = 2 text <> ) إضافة (a_1 ) إلى كلا الجانبين يتيح لنا إعادة كتابة المجموع بدءًا من (n = 1 text <:> ) start infser a_n lt a_1 + int_1 ^ infty a (x) dx. ضع الكلمة المناسبة علامة <8.3.2> نهاية

بدمج المعادلتين (8.3.1) و (8.3.2) ، بدأنا infser a_n lt a_1 + int_1 ^ infty a (x) dx lt a_1 + infser a_n. ضع الكلمة المناسبة علامة <8.3.3> نهاية

من المعادلة (8.3.3) يمكننا عمل العبارتين التاليتين:

إذا تباعد ( ds infser a_n ) ، فإن ( ds int_1 ^ infty a (x) dx ) (بسبب ( ds infser a_n lt a_1 + int_1 ^ infty a (خ) DX ))

إذا تقارب ( ds infser a_n ) ، فإن ( ds int_1 ^ infty a (x) dx ) (بسبب ( ds ds int_1 ^ infty a (x) dx lt infser a_n text <.> ))

لذلك فإن كلا من السلسلة والتكامل يتقاربان أو يتباعدان. تسمح لنا النظرية 8.2.21 بتوسيع هذه النظرية إلى سلسلة حيث يكون (a (n) ) موجبًا ومتناقصًا في ([b، infty) ) لبعض (b & gt1 text <.> ) رسمي يتم عرض دليل على الاختبار المتكامل أدناه.

دليل

لنفترض (a (x) = a_x ) أن تكون دالة إيجابية ، مستمرة ، متناقصة في ([1، infty) text <.> ) سننظر في كيفية المبالغ الجزئية لـ ( infser a_n ) مقارنة بالتكامل ( int_0 ^ infty a (x) dx text <.> ) نعتبر أولاً الحالة التي يتباعد فيها ( int_1 ^ < infty> a (x) dx ).

افترض أن ( int_1 ^ < infty> a (x) dx ) يتباعد. باستخدام الشكل 8.3.2 (أ) ، يمكننا القول أن (S_n = sum_^a_i gt int_1 ^a (x) dx text <.> ) إذا سمحنا (n to infty ) في عدم المساواة هذه ، فإننا نعلم أن ( int_1 ^ستصبح a (x) dx ) كبيرة بشكل تعسفي كـ (n to infty ) (منذ (a (x) gt 0 ) و ( int_1 ^ < infty> a (x) dx ) يتباعد). لذلك نستنتج أن (S_n = sum_^a_i ) سيصبح كبيرًا بشكل تعسفي مثل (n to infty text <،> ) وبالتالي ( infser a_n ) يتباعد.

افترض الآن أن ( int_1 ^ < infty> a (x) dx ) يتقارب مع (M text <،> ) حيث (M ) هو عدد محدد وموجب. باستخدام الشكل 8.3.2 (ب) ، يمكننا القول أن (0 lt S_n = sum_^a_i lt int_1 ^ < infty> a (x) dx = M text <.> ) لذلك فإن تسلسل المجاميع الجزئية ، (S_n ) مقيد. علاوة على ذلك ، (S_n ) هو تسلسل متزايد بشكل رتيب لأن جميع المصطلحات (a_n ) موجبة. نظرًا لأن (S_n ) مقيد ورتيب في نفس الوقت ، فإن (S_n ) يتقارب من خلال المتواليات المتقاربة مقيدًا وبالتعريف 8.2.1 ، فإن السلسلة ( infser a_n ) تتقارب أيضًا.

مثال 8.3.3 استخدام الاختبار المتكامل

حدد تقارب ( ds infser frac < ln (n)> نص <.> ) (شروط التسلسل ( = < ln (n) / n ^ 2 > ) و n (^ < text > ) المبالغ الجزئية معطاة في الشكل 8.3.4.)

يوضح الشكل 8.3.4 أن (a (n) = ( ln (n)) / n ^ 2 ) موجب ويتناقص في ([2، infty) text <.> ) يمكننا تحديد ذلك تحليليًا أيضًا. نعلم أن (a (n) ) موجب لأن كلا من ( ln (n) ) و (n ^ 2 ) موجبان في ([2، infty) text <.> ) العلاج (a (n) ) كدالة مستمرة لـ (n ) معرفة في ([1، infty) text <،> ) ضع في اعتبارك (a '(n) = (1-2 ln (n)) / n ^ 3 text <،> ) وهو سالب لـ (n geq 2 text <.> ) بما أن (a '(n) ) سلبي ، (a (n ) ) يتناقص لـ (n geq 2 text <.> ) لا يزال بإمكاننا استخدام الاختبار المتكامل لأن عددًا محدودًا من المصطلحات لن يؤثر على تقارب السلسلة.

الشكل 8.3.4 رسم التسلسل والمتسلسلة في المثال 8.3.3.

بتطبيق اختبار Integral Test ، نقوم باختبار تقارب ( ds int_1 ^ infty frac < ln (x)> dx text <.> ) يتطلب تكامل هذا التكامل غير الصحيح استخدام التكامل حسب الأجزاء ، مع (u = ln (x) ) و (dv = 1 / x ^ 2 dx text <.> ) يبدأ int_1 ^ infty frac < ln (x)> دكس أمبير = ليم_ int_1 ^ b frac < ln (x)> dx amp = lim_ - frac1x ln (x) كبير | _1 ^ b + int_1 ^ b frac1 dx amp = lim_ - frac1x ln (x) - frac 1x Big | _1 ^ b amp = lim_1- frac1b- frac < ln (b)>. text <تطبيق قاعدة L'Hôpital:> amp = 1. end

منذ ( ds int_1 ^ infty frac < ln (x)> dx ) يتقارب ، وكذلك ( ds infser frac < ln (n)> نص <.> )

تم تقديم النظرية 8.2.10 بدون مبرر ، حيث تشير إلى أن السلسلة (p ) العامة ( ds infser frac 1 <(an + b) ^ p> ) تتقارب إذا ، وفقط إذا ، (p & gt1 text <.> ) في المثال التالي ، نثبت صحة ذلك من خلال تطبيق الاختبار المتكامل.

مثال 8.3.5 استخدام الاختبار المتكامل لتأسيس النظرية 8.2.10

استخدم الاختبار المتكامل لإثبات أن ( ds infser frac1 <(an + b) ^ p> ) يتقارب إذا ، وفقط إذا ، (p & gt1 text <.> )

ضع في اعتبارك التكامل ( ds int_1 ^ infty frac1 <(ax + b) ^ p> dx text <> ) بافتراض (p neq 1 text <،> ) start int_1 ^ infty frac1 <(ax + b) ^ p> dx amp = lim_ int_1 ^ c frac1 <(ax + b) ^ p> dx amp = lim_ فارك <1>(ax + b) ^ <1-p> Big | _1 ^ c amp = lim_ فارك <1> big ((ac + b) ^ <1-p> - (a + b) ^ <1-p> big). نهاية

يتقارب هذا الحد إذا ، وفقط إذا ، (p gt 1 ) بحيث يكون (1-p lt 0 text <.> ) من السهل إظهار أن التكامل يتباعد أيضًا في حالة ( p = 1 text <.> ) (هذه النتيجة مشابهة للعمل الذي يسبق Key Idea 6.8.16.)

لذلك ، يتقارب ( ds infser frac 1 <(an + b) ^ p> ) إذا ، وفقط إذا ، (p & gt1 text <.> )

نحن نعتبر اختبارين آخرين للتقارب في هذا القسم ، كلاهما مقارنة الاختبارات. أي أننا نحدد تقارب سلسلة واحدة بمقارنتها بسلسلة أخرى ذات تقارب معروف.


حساب التفاضل والتكامل النشط

تحت أي ظروف تتقارب سلسلة متناوبة؟ لماذا ا؟

إلى أي مدى يقارب المجموع الجزئي (n ) th لسلسلة بديلة متقاربة المجموع الفعلي للسلسلة؟ لماذا ا؟

حتى الآن ، اعتبرنا المتسلسلات ذات مصطلحات غير سالبة حصريًا. بعد ذلك ، نعتبر المتسلسلات التي لها بعض الحدود السالبة. على سبيل المثال ، السلسلة الهندسية

لديه (a = 2 ) و (r = - frac <2> <3> text <،> ) بحيث يتم تبديل كل مصطلح آخر. هذه السلسلة تتقارب إلى

في نشاط المعاينة 8.4.1 ومناقشتنا التالية ، نقوم بالتحقيق في سلوك سلسلة مماثلة حيث يكون للمصطلحات المتتالية علامات معاكسة.

معاينة النشاط 8.4.1.

أظهر نشاط المعاينة 8.3.1 كيف يمكننا تقريب الرقم (هـ ) بالتقريب الخطي والتربيعي والتقريب متعدد الحدود الآخر. نستخدم نهجًا مشابهًا في هذا النشاط للحصول على تقريب خطي وتربيعي لـ ( ln (2) text <.> ) على طول الطريق ، نواجه نوعًا من السلاسل يختلف عن معظم تلك التي رأيناها بعيد جدا. خلال هذا النشاط ، دع (f (x) = ln (1 + x) text <.> )

ابحث عن خط المماس لـ (f ) عند (x = 0 ) واستخدم هذا الخطي لتقريب ( ln (2) text <.> ) أي ، ابحث عن (L (x) text <،> ) تقريب خط الظل إلى (f (x) text <،> ) واستخدم حقيقة أن (L (1) almost f (1) ) لتقدير ( ln (2 ) نص <.> )

لا يوفر خطي ( ln (1 + x) ) تقريبًا جيدًا جدًا لـ ( ln (2) ) نظرًا لأن (1 ) ليس قريبًا من (0 نص <.> ) للحصول على تقريب أفضل ، نغير نهجنا بدلاً من استخدام خط مستقيم لتقريب ( ln (2) text <،> ) نستخدم دالة تربيعية لحساب تقعر ( ln ( 1 + x) ) لـ (x ) بالقرب من (0 text <.> ) باستخدام الخطية ، تتفق كل من قيمة الدالة والميل مع قيمة الخطية والانحدار عند (x = 0 text < .> ) سنقوم الآن بعمل تقريب تربيعي (P_2 (x) ) إلى (f (x) = ln (1 + x) ) متمركز في (x = 0 ) مع الخاصية التي (P_2 (0) = f (0) text <،> ) (P'_2 (0) = f '(0) text <،> ) و (P' '_ 2 (0) = f "(0) نص <.> )

دع (P_2 (x) = x - frac<2> text <.> ) أظهر أن (P_2 (0) = f (0) text <،> ) (P'_2 (0) = f '(0) text <،> ) و (P '' _ 2 (0) = f '' (0) text <.> ) استخدم (P_2 (x) ) لتقريب ( ln (2) ) باستخدام حقيقة ذلك (P_2 (1) تقريبًا و (1) نص <.> )

يمكننا الاستمرار في تقريب ( ln (2) ) مع كثيرات الحدود من الدرجة الأكبر التي تتوافق مشتقاتها مع مشتقات (f ) في (0 text <.> ) وهذا يجعل كثيرات الحدود تتناسب مع الرسم البياني لـ ( f ) أفضل لمزيد من قيم (x ) حول (0 text <.> ) على سبيل المثال ، دع (P_3 (x) = x - frac<2> + frac<3> text <.> ) أظهر أن (P_3 (0) = f (0) text <،> ) (P'_3 (0) = f '(0) text <،> ) (P '' _ 3 (0) = f '' (0) text <،> ) و (P '' _ 3 (0) = f '' (0) text <.> ) باستخدام نهج مماثل للأسئلة السابقة ، استخدم (P_3 (x) ) لتقريب ( ln (2) text <.> )

إذا استخدمنا درجة (4 ) أو درجة (5 ) متعددة الحدود لتقريب ( ln (1 + x) نص <،> ) ما هي تقريب ( ln (2) ) هل أعتقد أن النتيجة؟ استخدم الأسئلة السابقة لتخمين نمط ثابت ، وحدد درجة التقريب (4 ) والدرجة (5 ).

القسم الفرعي 8.4.1 اختبار السلسلة المتناوب

يعطينا نشاط المعاينة 8.4.1 عدة تقديرات تقريبية لـ ( ln (2) text <.> ) التقريب الخطي هو (1 نص <،> ) والتقريب التربيعي هو (1 - فارك < 1> <2> = frac <1> <2> text <.> ) إذا واصلنا هذه العملية ، مكعب ، رباعي (درجة (4 )) ، خماسي (درجة (5 )) ، و تعطينا كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى التقديرات التقريبية لـ ( ln (2) ) في الجدول 8.4.1.

الجدول 8.4.1.

خطي (1) (1)
تربيعي (1 - فارك <1> <2> ) (0.5)
مكعب (1 - فارك <1> <2> + فارك <1> <3> ) (0.8 خط علوي <3> )
رباعي (1 - فارك <1> <2> + فارك <1> <3> - فارك <1> <4> ) (0.58 خط علوي <3> )
الخماسي (1 - فارك <1> <2> + فارك <1> <3> - فارك <1> <4> + فارك <1> <5> ) (0.78 خط علوي <3> )

يوضح النمط هنا أنه يمكن تقريب ( ln (2) ) بالمجموع الجزئية للسلسلة اللانهائية

حيث يتم الإشارة إلى العلامات البديلة بالعامل ((- 1) ^ text <.> ) نحن نطلق على مثل هذه السلسلة اسم سلسلة بالتناوب.

باستخدام التكنولوجيا الحسابية ، نجد أن مجموع أول 100 حد في هذه السلسلة هو 0.6881721793. للمقارنة ، ( ln (2) حوالي 0.6931471806 text <.> ) يوضح هذا أنه على الرغم من أن السلسلة (8.4.1) تتقارب مع ( ln (2) text <،> ) فهي يجب أن يفعل ذلك ببطء شديد ، نظرًا لأن مجموع أول 100 مصطلح ليس قريبًا بشكل خاص من ( ln (2) text <.> ) سنحقق في مسألة مدى سرعة تقارب سلسلة بديلة لاحقًا في هذا القسم .

التعريف 8.4.2.

السلسلة المتناوبة هي سلسلة من النموذج

حيث (a_k gt 0 ) لكل (k text <.> )

لدينا بعض المرونة في كيفية كتابة سلسلة بديلة على سبيل المثال ، السلسلة

يبدأ فهرسها عند (k = 1 text <،> ) أيضًا بالتناوب. كما سنرى قريبًا ، هناك العديد من النتائج الجيدة جدًا التي تصمد في المتسلسلة المتناوبة ، بينما يمكن أن تُظهر السلسلة المتناوبة أيضًا بعض السلوك غير المعتاد.

من المهم أن تتذكر أن معظم اختبارات السلسلة التي رأيناها في الأقسام السابقة تنطبق فقط على سلسلة ذات مصطلحات غير سلبية. تتطلب السلسلة المتناوبة اختبارًا مختلفًا.

النشاط 8.4.2.

تذكر أن السلسلة ، بحكم تعريفها ، تتقارب إذا وفقط إذا تقارب تسلسلها المقابل للمجاميع الجزئية.

احسب المجاميع الجزئية القليلة الأولى (حتى 10 منازل عشرية) من المتسلسلة البديلة

قم بتسمية كل مجموع جزئي بالتدوين (S_n = sum_^ (-1)^ فارك <1>) لاختيار مناسب لـ (n text <.> )

ارسم تسلسل المجاميع الجزئية من الجزء (أ). ماذا تلاحظ في هذا التسلسل؟

يوضح النشاط 8.4.2 السلوك العام لأي سلسلة متناوبة متقاربة. نرى أن المجاميع الجزئية للسلسلة التوافقية المتناوبة تتأرجح حول رقم ثابت يتبين أنه مجموع المتسلسلة.

تذكر ذلك إذا ( lim_ a_k neq 0 text <،> ) ثم تتباعد السلسلة ( sum a_k ) عن طريق اختبار الاختلاف. من هذه النقطة فصاعدًا ، سننظر فقط في سلسلة متناوبة

حيث يتكون التسلسل (a_k ) من أرقام موجبة تنخفض إلى (0 نص <.> ) (n ) المجموع الجزئي (S_n ) هو

(S_2 = a_1 - a_2 text <،> ) ومنذ ذلك الحين (a_1 gt a_2 ) لدينا (0 lt S_2 lt S_1 text <.> )

(S_3 = S_2 + a_3 ) وهكذا (S_2 lt S_3 text <.> ) لكن (a_3 lt a_2 text <،> ) لذا (S_3 lt S_1 text <.> ) وهكذا ، (0 lt S_2 lt S_3 lt S_1 text <.> )

(S_4 = S_3-a_4 ) وهكذا (S_4 lt S_3 text <.> ) لكن (a_4 lt a_3 text <،> ) لذا (S_2 lt S_4 text <.> ) وهكذا ، (0 lt S_2 lt S_4 lt S_3 lt S_1 text <.> )

(S_5 = S_4 + a_5 ) وهكذا (S_4 lt S_5 text <.> ) لكن (a_5 lt a_4 text <،> ) لذا (S_5 lt S_3 text <.> ) وهكذا ، (0 lt S_2 lt S_4 lt S_5 lt S_3 lt S_1 text <.> )

يستمر هذا النمط كما هو موضح في الشكل 8.4.4 (مع (n ) فردي) بحيث يقع كل مجموع جزئي بين المجموع الجزئي السابقتين.

لاحظ كذلك أن القيمة المطلقة للفرق بين ((n-1) ) مجموع جزئي (S_) و (n ) المجموع الجزئي (S_n ) هو

لأن التسلسل () إلى (0 نص <،> ) تصبح المسافة بين المجاميع الجزئية المتتالية قريبة من الصفر كما نرغب ، وبالتالي يتقارب تسلسل المجاميع الجزئية (على الرغم من أننا لا نعرف القيمة الدقيقة التي تتقارب إليها).

لقد أوضحت المناقشة السابقة حقيقة اختبار السلاسل البديلة.

سلسلة الاختبار بالتناوب.

إعطاء سلسلة بديلة ( sum (-1) ^ k a_k text <،> ) إذا كان التسلسل () من المصطلحات الموجبة تنخفض إلى 0 مثل (k to infty text <،> ) ثم تتقارب السلسلة البديلة.

لاحظ أنه إذا كان حد التسلسل () ليست 0 ، ثم تتباعد السلسلة بالتناوب.

النشاط 8.4.3.

أي سلسلة تتقارب وأيها تتباعد؟ برر إجاباتك.

القسم الفرعي 8.4.2 تقدير المبالغ المتناوبة

إذا تقاربت السلسلة ، فإن الوسيطة الخاصة باختبار السلاسل البديلة توفر لنا أيضًا طريقة لتحديد مدى قرب (n ) المجموع الجزئي (S_n ) من المجموع الفعلي للسلسلة. لمعرفة كيفية عمل ذلك ، دع (S ) يكون مجموع سلسلة متقاربة متناوبة ، لذلك

تذكر أن تسلسل المجاميع الجزئية يتأرجح حول المجموع (S ) بحيث

لذلك ، فإن قيمة المصطلح (a_) تقدير الخطأ لمدى تقارب المجموع الجزئي (S_n ) مع المجموع الفعلي (S text <.> ) نلخص هذه الحقيقة في بيان نظرية تقدير السلاسل البديلة.

نظرية تقدير السلاسل المتناوبة.

إذا كانت السلسلة البديلة ( sum_^ < infty> (- 1) ^a_k ) له مصطلحات موجبة (a_k ) تنخفض إلى الصفر كـ (k to infty text <،> ) و (S_n = sum_^ (-1)^a_k ) هو (n ) المجموع الجزئي للسلسلة البديلة ، إذن

مثال 8.4.5.

حدد مدى جودة (100 ) المجموع الجزئي (S_ <100> ) من

تقارب مجموع المتسلسلة.

إذا سمحنا (S ) أن يكون مجموع السلسلة ( sum_^ < infty> فارك <(- 1) ^> text <،> ) ثم نعرف ذلك

لذا فإن المجموع الجزئي 100 يقع ضمن 0.0099 من مجموع المتسلسلة. لقد ناقشنا حقيقة ذلك (وسنتحقق لاحقًا)

وهكذا (S حوالي 0.693147 ) بينما

نرى أن الفرق الفعلي بين (S ) و (S_ <100> ) هو تقريبًا (0.0049750013 text <،> ) وهو بالفعل أقل من (0.0099 text <.> )

النشاط 8.4.4.

حدد عدد المصطلحات اللازمة لتقريب مجموع المتسلسلة المتقاربة المتناوبة

القسم الفرعي 8.4.3 التقارب المشروط والمطلق

التي لا تكون جميع شروطها غير سلبية ولا متناوبة مختلفة عن أي سلسلة نظرنا إليها حتى الآن. يمكن أن يكون سلوك مثل هذه السلسلة معقدًا نوعًا ما ، ولكن هناك علاقة مهمة بين سلسلة بها بعض المصطلحات السلبية والمتسلسلة بكل المصطلحات الإيجابية.

النشاط 8.4.5.

يجب أن يكون المجموع أقل من السلسلة

يجب أن يكون المجموع أكبر من المتسلسلة

بالنظر إلى أن الشروط في السلسلة

تقارب الصفر ، ما رأيك أن تخبرنا النتيجتان السابقتان عن حالة التقارب لهذه السلسلة؟

كما يوحي المثال في النشاط 8.4.5 ، إذا كانت السلسلة ( sum a_k ) تحتوي على بعض المصطلحات السلبية ولكن ( sum | a_k | ) تتقارب ، فإن السلسلة الأصلية ، ( sum a_k text <، > ) يجب أن تتقارب أيضًا. بمعنى ، إذا تقارب ( sum | a_k | ) ، فيجب أن ( sum a_k text <.> )

كما لاحظنا للتو ، هذا هو الحال بالنسبة للسلسلة (8.4.2) ، لأن السلسلة المقابلة للقيم المطلقة لشروطها هي المتقاربة (p ) - السلسلة ( sum frac <1> text <.> ) ولكن هناك سلسلة ، مثل المتسلسلة التوافقية المتناوبة ( sum (-1) ^ فارك <1> text <،> ) التي تتقارب بينما تتقارب القيم المطلقة المقابلة ، ( sum frac <1> text <،> ) يتباعد. نحن نميز بين هذه السلوكيات من خلال تقديم اللغة التالية.

التعريف 8.4.6.

ضع في اعتبارك سلسلة ( sum a_k text <.> )

السلسلة ( sum a_k ) يتقارب على الاطلاق (أو هو متقاربة تماما) بشرط أن يتقارب ( sum | a_k | ).

السلسلة ( sum a_k ) يتقارب بشروط (أو هو متقاربة مشروطًا) بشرط أن ( sum | a_k | ) يتباعد و ( sum a_k ) يتقارب.

في هذا المصطلح ، تتقارب السلسلة (8.4.2) تمامًا بينما تكون السلسلة التوافقية المتناوبة متقاربة شرطيًا.

النشاط 8.4.6.

ضع في اعتبارك السلسلة ( sum (-1) ^ k frac < ln (k)> نص <.> )

هل هذه السلسلة تتلاقى؟ يشرح.

هل هذه السلسلة تتلاقى بشكل مطلق؟ اشرح الاختبار الذي تستخدمه لتحديد إجابتك.

ضع في اعتبارك السلسلة ( sum (-1) ^ k frac < ln (k)> نص <.> )

هل هذه السلسلة تتلاقى؟ يشرح.

هل هذه السلسلة تتلاقى بشكل مطلق؟ تلميح: استخدم حقيقة أن ( ln (k) lt sqrt) لقيم كبيرة من (ك ) ثم قارن بسلسلة (ص ) - مناسبة.

تبين أن السلسلة المتقاربة شرطيًا مثيرة جدًا للاهتمام. إذا كان التسلسل () ينخفض ​​إلى 0 ، لكن السلسلة ( sum a_k ) تتباعد ، فإن السلسلة المتقاربة المشروطة ( sum (-1) ^ k a_k ) تقع مباشرة على الحد الفاصل لكونها سلسلة متباعدة. نتيجة لذلك ، تتقارب أي سلسلة متقاربة مشروطًا ببطء شديد. علاوة على ذلك ، يمكن أن تحدث بعض الأشياء الغريبة جدًا مع سلسلة متقاربة شرطيًا ، كما هو موضح في بعض التمارين.

القسم الفرعي 8.4.4 ملخص اختبارات تقارب السلاسل

لقد ناقشنا العديد من الاختبارات لتقارب / اختلاف السلاسل في أقسامنا وفي التمارين. نغلق هذا القسم من النص بملخص لجميع الاختبارات التي واجهناها ، متبوعًا بنشاط يتحداك في تحديد اختبار التقارب الذي سيتم تطبيقه على عدة سلاسل مختلفة.

تتقارب السلسلة الهندسية ( sum ar ^ k ) ذات النسبة (r ) لـ (- 1 lt r lt 1 ) وتتباعد لـ (| r | geq 1 text <.> )

مجموع السلسلة الهندسية المتقاربة ( displaystyle sum_^ < infty> ar ^ k ) هو ( frac <1-r> text <.> )

إذا لم يتقارب التسلسل (a_n ) إلى 0 ، فإن السلسلة ( sum a_k ) تتباعد.

هذا هو الاختبار الأول الذي يتم تطبيقه لأن النتيجة بسيطة. ومع ذلك ، إذا كان ( lim_ a_n = 0 text <،> ) لا يمكن استخلاص نتيجة.

لنفترض (f ) أن تكون دالة موجبة ومتناقصة على فاصل زمني ([c، infty) ) وليكن (a_k = f (k) ) لكل عدد صحيح موجب (k geq c text < .> )

إذا تقارب ( int_c ^ < infty> f (t) dt ) ، فإن ( sum a_k ) يتقارب.

إذا تباعد ( int_c ^ < infty> f (t) dt ) ، فإن ( sum a_k ) يتباعد.

استخدم هذا الاختبار عندما يكون من السهل تكامل (f (x) ).

اسمح (0 leq a_k leq b_k ) لكل عدد صحيح موجب (k text <.> )

إذا تقارب ( sum b_k ) ، فإن ( sum a_k ) يتقارب.

إذا تباعد ( sum a_k ) ، فإن ( sum b_k ) يتباعد.

استخدم هذا الاختبار عندما يكون لديك سلسلة ذات سلوك معروف يمكنك مقارنته به - قد يكون من الصعب تطبيق هذا الاختبار.

لنفترض أن (a_n ) و (b_n ) متتاليتان من المصطلحات الإيجابية. إذا

بالنسبة لبعض الأعداد المحدودة الموجبة (L text <،> ) ، فإن السلسلتين ( sum a_k ) و ( sum b_k ) إما يتقاربان أو يتباعدان.

أسهل في التطبيق بشكل عام من اختبار المقارنة ، ولكن يجب أن يكون لديك سلسلة ذات سلوك معروف للمقارنة. مفيد للتطبيق على سلسلة من الوظائف المنطقية.

دع (a_k neq 0 ) لكل (k ) وافترض

إذا (r lt 1 text <،> ) فإن السلسلة ( sum a_k ) تتقارب تمامًا.

إذا (r gt 1 text <،> ) فإن السلسلة ( sum a_k ) تتباعد.

إذا (r = 1 text <،> ) فإن الاختبار غير حاسم.

يكون هذا الاختبار مفيدًا عندما تتضمن السلسلة العوامل والقوى.

دع (a_k geq 0 ) لكل (k ) وافترض

إذا (r lt 1 text <،> ) فإن السلسلة ( sum a_k ) تتقارب.

إذا (r gt 1 text <،> ) فإن السلسلة ( sum a_k ) تتباعد.

إذا (r = 1 text <،> ) فإن الاختبار غير حاسم.

بشكل عام ، يمكن عادةً استخدام اختبار النسبة بدلاً من اختبار الجذر. ومع ذلك ، يمكن أن يكون اختبار الجذر سريع الاستخدام عندما يتضمن (a_k ) (ك ) القوى.

إذا كان (a_n ) تسلسلًا موجبًا متناقصًا بحيث ( displaystyle lim_ a_n = 0 text <،> ) ثم السلسلة البديلة ( sum (-1) ^ a_k ) تتقارب.

ينطبق هذا الاختبار فقط على المتسلسلة المتناوبة - نفترض أن المصطلحات (a_n ) كلها موجبة وأن التسلسل () يتناقص.

دعونا (S_n = displaystyle sum_^ ن (-1) ^ a_k) يكون (n) مجموع جزئي من السلسلة المتناوبة (displaystyle sum_^ < infty> (- 1) ^ a_k text <.> ) افترض (a_n gt 0 ) لكل عدد صحيح موجب (n text <،> ) يتناقص التسلسل (a_n ) إلى 0 و ( displaystyle lim_ S_n = S text <.> ) ثم يتبع ذلك (| S - S_n | lt a_ نص <.> )

يمكن استخدام هذا الحد لتحديد دقة المجموع الجزئي (S_n ) كتقريب لمجموع سلسلة متناوبة متقاربة.

النشاط 8.4.7.

بالنسبة إلى (أ) - (ي) ، استخدم الاختبارات المناسبة لتحديد تقارب أو اختلاف السلسلة التالية. طوال الوقت ، إذا كانت السلسلة سلسلة هندسية متقاربة ، فأوجد مجموعها.


سلسلة اختبارات التقارب

المتسلسلة متقاربة إذا كان تسلسل مجموعها الجزئي يتقارب. في لغة أكثر رسمية ، تتقارب السلسلة إذا كان هناك حد ل مثل أي رقم موجب صغير بشكل تعسفي ، هناك عدد صحيح كبير ن مثل هذا للجميع ,

شروط التسلسل تتم مقارنتها بتلك الخاصة بواحد آخر . إذا ، للجميع ن , ، و يتقارب ، وكذلك يفعل . ومع ذلك ، إذا كان للجميع ن , ، و يتباعد ، وكذلك يفعل .

اختبار نسبة:

افترض ذلك للجميع ن, أن & GT 0. افترض أن هناك ص مثل ذلك

. إذا ص & lt 1 ، ثم تتقارب السلسلة. إذا ص & GT 1 ، ثم تتباعد السلسلة. إذا ص = 1 ، يكون اختبار النسبة غير حاسم ، وقد تتقارب أو تتباعد السلسلة.

افترض أن شروط التسلسل المعني غير سالبة ، وأنها موجودة ص مثل ذلك

. إذا ص & lt 1 ، ثم تتقارب السلسلة. إذا ص & GT 1 ، ثم تتباعد السلسلة. إذا كانت r = 1 ، فإن اختبار الجذر غير حاسم ، وقد تتقارب السلسلة أو تتباعد.


شاهد الفيديو: -المتسلسلات اللانهائية. اختبارات التقارب. اختبار المقارنةComparison-Test: الجزء الأول (شهر اكتوبر 2021).