مقالات

4.5: حل أنظمة المتباينات الخطية (متغيرين) - الرياضيات


أهداف التعلم

  • افحص حلول أنظمة المتباينات الخطية بمتغيرين.
  • حل أنظمة المتباينات الخطية.

حلول لأنظمة المتباينات الخطية

يتكون نظام المتباينات الخطية من مجموعة من اثنين أو أكثر من المتباينات الخطية مع نفس المتغيرات. على سبيل المثال،

نعلم أن كل متباينة في المجموعة تحتوي على عدد لا نهائي من حلول الأزواج المرتبة والمحددة بمنطقة في مستوى إحداثيات مستطيل. عند النظر في اثنتين من هذه المتباينات معًا ، فإن تقاطع هاتين المجموعتين يحدد مجموعة حلول الأزواج المرتبة المتزامنة. عندما نرسم كل من المتباينات المذكورة أعلاه على حدة ، فإننا نحصل عليها

(y> x-2 ) (y leq 2x + 2 )

جدول ( PageIndex {1} )

عندما يتم رسمها على نفس مجموعة المحاور ، يمكن تحديد التقاطع.

التقاطع مظلل بشكل أغمق ويتم تقديم الرسم البياني النهائي لمجموعة الحلول على النحو التالي:

يشير الرسم البياني إلى أن ((3، 2) ) حل لأنه يقع في التقاطع. للتحقق من ذلك ، أظهر أنه يحل كلا من عدم المساواة الأصلي:

( color {Cerulean} {Check:} : : color {black} {(3،2)} )

( start {array} {c | c} {Inequality : 1: quad y> x-2} & {Inequality : 2: quad y / leq 2x + 2} {2> 3-2 } & {2 leq 2 (3) +2} {2> 1 quad color {Cerulean} { checkmark}} & {2 leq 8 quad color {Cerulean} { checkmark}} نهاية {مجموعة} )

يتم تضمين النقاط الموجودة على الحد الصلب في مجموعة الحلول المتزامنة والنقاط الموجودة على الحدود المتقطعة ليست كذلك. ضع في اعتبارك النقطة ((- 1 ، 0) ) على الحد الصلب المحدد بواسطة (y = 2x + 2 ) وتحقق من أنها تحل النظام الأصلي:

( color {Cerulean} {Check:} : : color {black} {(- 1،0)} )

( start {array} {c | c} {Inequality : 1: quad y> x-2} & {Inequality : 2: quad y leq 2x + 2} {0> -1- 2} & {0 leq 2 (-1) +2} {0> -3 quad color {Cerulean} { checkmark}} & {0 leq 0 quad color {Cerulean} { checkmark }} نهاية {مجموعة} )

لاحظ أن هذه النقطة تحقق كلا من عدم المساواة وبالتالي يتم تضمينها في مجموعة الحلول. الآن ضع في اعتبارك النقطة ((2 ، 0) ) على الحدود المتقطعة المحددة بواسطة (y = x − 2 ) وتحقق من أنها لا تحل النظام الأصلي:

( color {Cerulean} {Check:} : : color {black} {(2،0)} )

( start {array} {c | c} {Inequality : 1: quad y> x-2} & {Inequality : 2: quad y leq 2x + 2} {0> 2-2 } & {0 leq 2 (2) +2} {0> 0 quad color {red} {x}} & {0 leq quad color {Cerulean} { checkmark}} end { مجموعة مصفوفة})

هذه النقطة لا تفي بكلا التفاوتات وبالتالي فهي غير مدرجة في مجموعة الحلول.

حل أنظمة المتباينات الخطية

حلول نظام من المتباينات الخطية هي الأزواج المرتبة التي تحل جميع المتباينات في النظام. لذلك ، لحل هذه الأنظمة ، ارسم مجموعات حلول المتباينات على نفس مجموعة المحاور وحدد مكان تقاطعها. يحدد هذا التقاطع ، أو التداخل ، منطقة حلول الأزواج المرتبة المشتركة.

مثال ( PageIndex {1} )

ارسم مجموعة الحلول:

( left { start {align} −2x + y &> - 4 3x − 6y & ≥6 end {align} right. ).

حل:

لتسهيل عملية الرسم البياني ، نحل أولاً من أجل (y ).

2x-4 y & leq frac {1} {2} x-1 end {align} right. )

بالنسبة للمتباينة الأولى ، نستخدم حدًا متقطعًا محددًا بواسطة (y = 2x − 4 ) ونظلل جميع النقاط فوق الخط. بالنسبة إلى المتباينة الثانية ، نستخدم حدًا صلبًا محددًا بواسطة (y = frac {1} {2} x − 1 ) ونظلل جميع النقاط أدناه. التقاطع معتم.

الآن نقدم الحل مع التقاطع المظلل فقط.

إجابه:

مثال ( PageIndex {2} )

ارسم مجموعة الحلول:

( left { start {align} −2x + 3y &> 6 4x − 6y &> 12 end {align} right. ).

حل:

ابدأ بحل المتباينتين لـ (y ).

استخدم خطًا متقطعًا لكل حد. بالنسبة إلى المتباينة الأولى ، ظلل جميع النقاط فوق الحد. بالنسبة إلى المتباينة الثانية ، ظلل كل النقاط أسفل الحد.

كما ترى ، لا يوجد تقاطع بين هاتين المنطقتين المظللتين. لذلك ، لا توجد حلول متزامنة.

إجابه:

لا يوجد حل ، (∅ )

مثال ( PageIndex {3} )

ارسم مجموعة الحلول:

حل:

بعد رسم جميع المتباينات الثلاث على نفس مجموعة المحاور ، نحدد أن التقاطع يقع في المنطقة المثلثية الموضحة في الصورة.

إجابه:

يشير الرسم إلى أن ((- 1 ، 1) ) نقطة مشتركة. كتحقق ، استبدل هذه النقطة في المتباينات وتحقق من أنها تحل جميع الشروط الثلاثة.

( color {Cerulean} {Check:} : : color {black} {(- 1،1)} )

( start {array} {c | c | c} {Inequality : 1:} & {Inequality : 2:} & {Inequality : 3:} {y geq -4} & {y < x + 3} & {y / leq -3x + 3} {1 geq -4 quad color {Cerulean} { checkmark}} & {1 <-1 + 3} & {1 leq -3 (-1) +3} {} & {1 <2 quad color {Cerulean} { checkmark}} & {1 leq 3 + 3} {} & {} & {1 leq 6 quad color {Cerulean} { checkmark}} end {array} )

الماخذ الرئيسية

  • لحل أنظمة المتباينات الخطية ، ارسم مجموعات الحلول لكل متباينة على نفس مجموعة المحاور وحدد مكان تقاطعها.

تمرين ( PageIndex {1} ) حل أنظمة المتباينات الخطية

حدد ما إذا كانت النقطة المعطاة هي حل لنظام المعادلات الخطية المعطى.

  1. ((3 ، 2) ) ؛ ( left { start {align} y & ≤x + 3 y & ≥ − x + 3 end {align} right. )
  2. ((- 3 ، −2) ) ؛ ( left { begin {align} y & <- 3x + 4 y & geq 2x-1 end {align} right. )
  3. ((5،0) ) ؛ ( left { start {align} y &> - x + 5 y & ≤ frac {3} {4} x − 2 end {align} right. )
  4. ((0 ، 1) ) ؛ ( left { start {align} y & < frac {2} {3} x + 1 y & ≥ frac {5} {2} x − 2 end {align} right. )
  5. ((- 1، frac {8} {3}) ) ؛ ( left { start {align} −4x + 3y & ≥ − 12 2x + 3y & <6 end {align} right. )
  6. ((- 1 ، −2) ) ؛ ( left { start {align} −x + y & <0 x + y & <0 x + y & <- 2 end {align} right. )
إجابه

1. نعم

3. لا

5. لا

تمرين ( PageIndex {2} ) حل أنظمة المتباينات الخطية

ارسم مجموعة الحل.

  1. ( left { begin {align} y & leq x + 3 y & geq -x + 3 end {align} right. )
  2. ( left { begin {align} y & <- 3x + 4 y & geq 2x-1 end {align} right. )
  3. ( left { begin {align} y &> x y & <- 1 end {align} right. )
  4. ( left { start {align} y & < frac {2} {3} x + 1 y & ≥ frac {5} {2} x − 2 end {align} right. )
  5. ( left { start {align} y &> - x + 5 y & ≤ frac {3} {4} x − 2 end {align} right. )
  6. ( left { begin {align} y &> frac {3} {5} x + 3 y & < frac {3} {5} x − 3 end {align} right. )
  7. ( left { start {align} x + 4y & <12 - 3x + 12y & ≥ − 12 end {align} right. )
  8. ( left { start {align} −x + y & ≤6 2x + y & ≥1 end {align} right. )
  9. ( left { start {align} −2x + 3y &> 3 4x − 3y & <15 end {align} right. )
  10. ( left { start {align} −4x + 3y & ≥ − 12 2x + 3y & <6 end {align} right. )
  11. ( left { begin {align} 5x + y & ≤4 - 4x + 3y & <- 6 end {align} right. )
  12. ( left { begin {align} 3x + 5y & <15 - x + 2y & ≤0 end {align} right. )
  13. ( left { begin {align} x & ≥0 5x + y &> 5 end {align} right. )
  14. ( left { begin {align} x & ≥ − 2 y & ≥1 end {align} right. )
  15. ( left { start {align} x − 3 & <0 y + 2 & ≥0 end {align} right. )
  16. ( left { start {align} 5y & ≥2x + 5 - 2x & <- 5y − 5 end {align} right. )
  17. ( left { start {align} x − y & ≥0 - x + y & <1 end {align} right. )
  18. ( left { start {align} −x + y & ≥0 y − x & <1 end {align} right. )
  19. ( left { begin {align} x &> - 2 x & ≤2 end {align} right. )
  20. ( left { begin {align} y &> - 1 y & <2 end {align} right. )
  21. ( left { start {align} −x + 2y &> 8 3x − 6y & ≥18 end {align} right. )
  22. ( left { start {align} −3x + 4y & ≤4 6x − 8y &> - 8 end {align} right. )
  23. ( left { begin {align} 2x + y & <3 - x & ≤12y end {align} right. )
  24. ( left { begin {align} 2x + 6y & ≤6 - 13x − y & ≤3 end {align} right. )
  25. ( left { begin {align} y & <3 y &> x x &> - 4 end {align} right. )
  26. ( left { begin {align} y & <1 y & geq x-1 y & <- 3x + 3 end {align} right. )
  27. ( left { begin {align} -4x + 3y &> - 12 y & geq 2 2x + 3y &> 6 end {align} right. )
  28. ( left { begin {align} -x + y & <0 x + y & leq 0 x + y &> - 2 end {align} right. )
  29. ( left { begin {align} x + y & <2 x & <3 - x + y & leq 2 end {align} right. )
  30. ( left { begin {align} y + 4 & geq 0 frac {1} {2} x + frac {1} {3} y & leq 1 - frac {1} {2 } x + frac {1} {3} y & leq 1 end {align} right. )
  31. أنشئ نظامًا من المتباينات الخطية يصف جميع النقاط في الربع الأول.
  32. أنشئ نظامًا من المتباينات الخطية يصف جميع النقاط في الربع الثاني.
  33. أنشئ نظامًا من المتباينات الخطية يصف جميع النقاط في الربع الثالث.
  34. أنشئ نظامًا من المتباينات الخطية يصف جميع النقاط في الربع الرابع.
إجابه

1.

3.

5.

7.

9.

11.

13.

15.

17.

19.

21. لا يوجد حل ، (∅ )

23.

25.

27.

29.

31. ( left { begin {align} x &> 0 y &> 0 end {align} right. )

33. ( left { begin {align} x & <0 y & <0 end {align} right. )


شاهد الفيديو: حل أنظمة المتباينات الخطية بمتغيرين (شهر اكتوبر 2021).