مقالات

13.4E: السلاسل وتدويناتها (تمارين) - الرياضيات


21. استخدم تدوين الجمع لكتابة مجموع المصطلحات ( frac {1} {2} m + 5 ) من (m = 0 ) إلى (m = 5 ).

22. استخدم تدوين الجمع لكتابة المجموع الناتج عن جمع الرقم 13 عشرين مرة.

23. استخدم صيغة مجموع المصطلحات (n ) الأولى من سلسلة حسابية لإيجاد مجموع أول أحد عشر حدًا من المتسلسلة الحسابية (2.5،4،5.5، ldots )

24 - يتكون السلم من 15 درجة مدببة تزداد أطوالها بفارق مشترك. يبلغ طول الدرجة الأولى 5 بوصات ، بينما يبلغ طول الدرجة الأخيرة 20 بوصة. ما هو مجموع أطوال الدرجات؟

25. استخدم صيغة مجموع المصطلحات (n ) الأولى من سلسلة هندسية لإيجاد (S_ {9} ) للسلسلة (12،6،3، frac {3} {2} ، ldots )

26. رسوم السنوات الثلاث الأولى لعضوية نادي الصيد مبينة في الجدول 1. إذا استمرت الرسوم في الارتفاع بنفس المعدل ، فكم ستكون التكلفة الإجمالية للسنوات العشر الأولى من العضوية؟

الجدول 1
سنةرسوم العضوية
1$1500
2$1950
3$2535

27. أوجد مجموع السلسلة الهندسية اللانهائية ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 45 cdot left (- frac {1} {3} right) ^ {k-1} ) .

28. الكرة لها نسبة ارتداد ( frac {3} {5} ) ارتفاع الارتداد السابق. اكتب سلسلة تمثل المسافة الإجمالية التي قطعتها الكرة ، بافتراض أنها سقطت في البداية من ارتفاع 5 أقدام. ما هي المسافة الكلية؟ (تلميح: المسافة الإجمالية التي تقطعها الكرة عند كل ارتداد هي مجموع ارتفاعات الارتفاع والسقوط.).
29. يودع اليخاندرو ( 80 دولار ) من أرباحه الشهرية في راتب سنوي يربحه (6.25 ٪ ) فائدة سنوية مركبة شهريًا. ما مقدار المال الذي سيوفره بعد 5 سنوات؟

30. افتتح التوأم ساره وسكوت حسابات تقاعد في عيد ميلادهما (21 ^ { text {st}} ). تودع سارة ( 4800.00 دولار ) كل عام ، وتحقق (5.5 ٪ ) فائدة سنوية ، مضاعفة شهريًا. يقوم سكوت بإيداع ( 3600.00 دولار ) كل عام ، ويحقق (8.5 ٪ ) فائدة سنوية ، مضاعفة شهريًا. أي توأم سيكسب أكبر قدر من الفائدة عندما يبلغان من العمر 55 عامًا؟ كم تريد مزيدا؟


أوراق عمل تحويل نظام الأرقام

من الروبوتات إلى الدفاع إلى أجهزة الكمبيوتر ، فإن التحويل من نظام رقمي إلى آخر لا يتلاشى أبدًا من الخطاب. اتقن فن التحويل بين أنظمة الأرقام الثنائية والثمانية والعشرية والسداسية العشرية مع هذه المجموعة المتنوعة من أوراق عمل تحويل نظام الأرقام القابلة للطباعة! مع الكثير من مشاكل التحويل القياسية و MCQs لتجميل ممارستك ، فإن أوراق عمل pdf هذه حول التحويل الأساسي هي بالضبط ما يتطلبه طلاب المدارس الثانوية لتغيير ثروات التحويل الخاصة بهم. الوصول إلى بعض أوراق العمل هذه مجانًا!


الطرق الرياضية للفيزيائيين: دليل شامل

الآن في نسخته السابعة ، الطرق الرياضية للفيزيائيين يواصل تقديم جميع الأساليب الرياضية التي من المحتمل أن يواجهها العلماء والمهندسون الطموحون كطلاب وباحثين مبتدئين. يوفر هذا النص الأكثر مبيعًا العلاقات الرياضية وإثباتاتها الأساسية لدراسة الفيزياء والمجالات ذات الصلة. مع الاحتفاظ بالميزات الرئيسية للإصدار السادس ، توفر النسخة الجديدة توازنًا أكثر دقة في التفسير والنظرية والأمثلة. من خلال اتباع نهج مهارات حل المشكلات لدمج النظريات مع التطبيقات ، سيساعد التركيز المحسن للكتاب الطلاب على النجاح طوال حياتهم الأكاديمية وفي وظائفهم بشكل جيد. تتضمن بعض التحسينات الملحوظة محتوى أكثر دقة وتركيزًا في موضوعات مهمة ، وتنظيم محسّن ، وملاحظات محدّثة ، وتفسيرات مكثفة ومجموعات تمارين بديهية ، ومجموعة أوسع من حلول المشكلات ، وتحسين الوضع ، ومجموعة أكبر من صعوبة التمارين.


تعيين التدوين

في هذه الدروس ، سنتعلم مفهوم المجموعة ، وطرق تحديد المجموعات ، والترميز المحدد ، والمجموعة الفارغة ، ورموز "عنصر من" ، والمجموعة الفرعية ، والتقاطع ، والاتحاد. هذه الدروس جزء من سلسلة دروس في مجموعات.

يقدم الجدول التالي ملخصًا للرموز المستخدمة في مجموعات.

المجموعة هي مجموعة محددة جيدًا من الكائنات المميزة.

الكائنات الفردية في مجموعة تسمى أفراد أو عناصر من المجموعة.

بعض تدوينات المجموعات هي:
<1، 2، 3> = مجموعة أعداد صحيحة أكبر من 0 وأقل من 4 =

لدينا أيضًا المجموعة الفارغة التي يُشار إليها بعلامة <> أو Ø ، مما يعني أن المجموعة لا تحتوي على عناصر.

يمكن أن يكون لدينا مجموعات لا نهائية على سبيل المثال <1 ، 2 ، 3 ، & hellip> ، مما يعني أن المجموعة تحتوي على عدد لا حصر له من العناصر.

لدينا رمز يظهر العضوية. نربط عضوًا ومجموعة باستخدام الرمز ∈. إذا كان الكائن x عنصرًا في المجموعة A ، نكتب x ∈ A. إذا لم يكن الكائن z عنصرًا من عناصر المجموعة A ، نكتب z ∉ A.

∈ تشير إلى "عنصر من" أو "عضو في" أو "ينتمي إلى"

∉ تشير إلى "ليس عنصرًا من" أو "ليس عضوًا في" أو "لا ينتمي إلى"

مثال:
إذا كانت A = <1 ، 3 ، 5> إذن 1 A و 2 ∉ A

أشرطة فيديو

يقدم هذا الفيديو مفهوم المجموعة والطرق المختلفة لتحديد المجموعات.

مجموعة الرموز: مناقشة مجموعة الرموز: القوائم ، والأوصاف ، وتدوين منشئ المجموعات.

يصف الفيديو التالي: مجموعة الرموز ، المجموعة الفارغة ، رموز "هي عنصر من مجموعة فرعية ، تقاطع واتحاد.

تعيين التدوين: طريقة القائمة ، تعيين تدوين المنشئ.

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


تمارين في التحليل

سيتم نشر تمارين التحليل في مجلدين. يغطي هذا المجلد الأول مشاكل في خمسة موضوعات أساسية للتحليل الرياضي: المساحات المتريّة قياس المساحات الطوبولوجية والتكامل وقياس مارتينجاليس والطوبولوجيا والتحليل الوظيفي. يتوافق كل موضوع من خمسة موضوعات مع فصل مختلف مع تضمين النظرية الأساسية والتعاريف والنتائج الرئيسية المصاحبة ، متبوعة بالتعليقات والملاحظات المناسبة لفهم المادة بشكل أفضل. يتم تقديم ما لا يقل عن 170 تمرينًا / مشكلة لكل موضوع ، مع توفر الحلول في نهاية كل فصل. تقدم المجموعة الكاملة من التمارين صورة متوازنة ومفيدة للتطبيق المحيط بكل موضوع.

هذه التغطية شبه الموسوعية للتدريبات في التحليل الرياضي هي الأولى من نوعها ويمكن الوصول إليها من قبل عدد كبير من القراء. سيجد طلاب الدراسات العليا مجموعة المشكلات ذات قيمة في التحضير لامتحاناتهم الأولية أو التأهيلية وكذلك لاختبار فهمهم العميق للمادة. يتم الإشارة إلى التمارين حسب درجة الصعوبة. سيجد المعلمون الذين يقومون بتدريس الدورات التي تتضمن واحدًا أو كل الموضوعات المذكورة أعلاه تمارين مفيدة للغاية في إعداد الدورة التدريبية. قد يجد الباحثون في التحليل هذا العمل مفيدًا كملخص للنظريات التحليلية المنشورة في مجلد واحد يمكن الوصول إليه.

ليسزيك جاسيكسي هو رئيس نظرية التحسين والتحكم في معهد علوم الكمبيوتر في جامعة جاجيلونيان في كراكوف ، بولندا. شارك في تأليف كتاب "التحليل غير الخطي" (CRC 2005) و "نظرية النقاط الحرجة غير السلس ومشكلات القيمة غير الخطية" (CRC 2006) ، إلى جانب نيكولاوس باباجورجيو. Nikolaos S. Papageorgiou هو أستاذ الرياضيات في كلية الرياضيات التطبيقية والعلوم الفيزيائية في الجامعة التقنية الوطنية في أثينا ، اليونان. شارك في تأليف كتاب "التحليل غير الخطي" (CRC 2005) و "نظرية النقاط الحرجة غير السلس ومشكلات القيمة غير الخطية" (CRC 2006) ، إلى جانب ليزيك جاسيكسي.

يقدم الكتاب معظم النظريات المعيارية في التحليل الحقيقي والطوبولوجيا والتحليل الوظيفي بالإضافة إلى مجموعة متنوعة من المشاكل مع حلولها. ... العرض واضح وأنيق. الترميز قياسي في جميع أنحاء النص. ... مفيد لتخريج الطلاب وأعضاء هيئة التدريس الذين تتركز اهتماماتهم في الاحتمالات ، والتمويل ، ونظرية القياس ، والطوبولوجيا ، والمعادلات التفاضلية الجزئية ، ونظرية المشغل…. مثل هذا الكتاب يجب أن يعيش بالتأكيد في كل مكتبة حيث توجد كتب رياضيات أخرى في مواضيع مماثلة ". (ضروبا أديكاري ، تقييمات MAA ، maa.org ، ديسمبر ، 2015)

"ستحمل الموضوعات التي يتم تناولها تقريبًا أي طالب جاد من الرياضيات الجامعية المتقدمة على طول الطريق إلى امتحانات تأهيل الخريجين .... تلخيص: موصى به. طلاب المرحلة الجامعية العليا وطلاب الدراسات العليا ". (دي في فيلدمان ، الاختيار ، المجلد 52 (9) ، مايو 2015)

"هذا المجلد عبارة عن مجموعة من المشكلات المثيرة للاهتمام في التحليل الحقيقي والتحليل الوظيفي. إنه موجه لطلاب البكالوريوس والدراسات العليا المتقدمين وكذلك للباحثين في التحليل البحت والتطبيقي. ... تقدم مجموعة التمارين الكاملة صورة متوازنة ومفيدة للتطبيق المحيط بكل موضوع. يوصي المراجع بشدة بهذا الكتاب لجميع المكتبات الرياضية ". (Viceniu D. Rădulescu، zbMATH، Vol. 1298، 2014)


حسّن أسلوبك في العزف على البيانو مع تمارين حانون!

تم تصميم تمارين هانون على البيانو بدقة متناهية لتوفير المستوى الأمثل من الممارسة لعازفي البيانو من جميع المستويات والقدرات. تتمتع السلسلة الكاملة من التمارين بسجل حافل في تحسين المهارات الفنية والسرعة والدقة التي تمتد إلى ما يزيد عن قرن من الزمان.

نُشر لأول مرة عام 1873 ، عازف البيانو الموهوب بواسطة Charles Louis Hanon أصبح مصدر إلهام قيم لمعلمي البيانو والطلاب وفناني الأداء. تم الآن إتقان تمارين Hanon الأصلية الستين ونقلها إلى كل مفتاح رئيسي ، مما يوفر للمشاركين أقصى قدر من التدريب على الأداء والممارسة المتاحة.

للحصول على أقصى استفادة من التدرج المنطقي لتمارين حانون ، يوصى بممارسة تمارين البيانو هذه بشكل يومي. بهذه الطريقة ، سيلاحظ التلاميذ الفرق بسرعة حيث تصبح أصابعهم أقوى وأكثر مهارة في الأعمال والتقنيات الصعبة.

من العناصر الأساسية في تمارين إصبع البيانو التركيز على التكرار اليومي لتقوية اليدين والأصابع. الفكرة الأساسية هي غرس الاستقلال والمرونة في أرقام الأداء ، مما يسمح للمبدعين الداخليين لكل عازف بيانو بالظهور على المسرح الموسيقي.

من خلال الممارسة المركزة والمركزة لهذه التمارين ، يمكن لجميع الطلاب تحقيق أساسيات الأداء الرائع واللعب.

مع القوة والقدرة على التحمل والكفاءة العامة التي يمكن أن تشجعها تمارين أصابع البيانو ، فليس من المستغرب أن يظل العمل الرائع للإضاءة لتشارلز لويس حانون نصًا أساسيًا لجميع عازفي البيانو الراغبين في تحسين النطاق الكامل لقدرات العزف على البيانو


تحليل حقيقي تفاعلي

المجموعات هي اللبنات الأساسية في الرياضيات ، وليس من السهل في الواقع إعطاء تعريف دقيق لمجموعة الكائنات الرياضية. ومع ذلك ، بمجرد تقديم المجموعات ، يمكن للمرء مقارنتها ، وتحديد عمليات مشابهة لعمليات الجمع والضرب عليها ، واستخدامها لتحديد كائنات جديدة مثل أنواع مختلفة من أنظمة الأرقام. في الواقع ، تستند معظم الموضوعات في التحليل الحديث في النهاية إلى مجموعات.

لذلك ، من الجيد أن يكون لديك فهم أساسي للمجموعات ، وسنراجع بعض الحقائق الأولية في هذا القسم. يجب أن يكون معظم هذا القسم ، إن لم يكن كل ، مألوفًا والغرض الرئيسي منه هو تحديد التدوين الأساسي حتى لا يكون هناك التباس في باقي هذا النص.

  • أ ب: أ هي مجموعة فرعية من ب يعني أن كل عنصر في أ موجود أيضًا في ب.
  • أ ب: الاتحاد ب هو مجموعة كل العناصر الموجودة في أ أو ب أو في كليهما.
  • أ ب: تقاطع ب هو مجموعة كل العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين أ وب.
  • أ ب: أ ناقص ب كلها عناصر من أ ليست في ب.
  • شركات (أ): مكمل أ يتكون من جميع العناصر غير الموجودة في أ.
  • يتم فصل مجموعتين إذا كانت A B = 0 (المجموعة الفارغة)
  • مجموعتان A و B متساويتان إذا كانت A B و B A

المجموعات الأكثر استخدامًا هي مجموعات الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة والأرقام المنطقية والحقيقية والمجموعة الفارغة. عادة ما يتم الإشارة إليها بواسطة هذه الرموز:

  • العدد = <1 ، 2 ، 3 ، 4 ،. > = الأعداد الطبيعية (في بعض الأحيان يعتبر 0 جزءًا من الأعداد الطبيعية أيضًا)
  • Z = <. -3 ، -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ،. > = الأعداد الصحيحة
  • س =

    (اقرأ كـ "كل عدد p / q ، مثل أن p و q عناصر من Z") = أرقام منطقية

  • R = الأعداد الحقيقية
  • 0 = مجموعة فارغة (المجموعة التي لا تحتوي على عناصر)
  • حدد المجموعات التالية: E = ، O = ، A = ، B = < x R: -1 & lt x & lt 7> ، و I = . ثم:
    1. ما هي ، بالكلمات ، المجموعات E و O و I؟
    2. أوجد أ ب ، أ ب ، أ / ب ، شركات (أ).
    3. أوجد O E ، O I ، comp (I).

يمكن الجمع بين المجموعات باستخدام العمليات المذكورة أعلاه مثل جمع ومضاعفة الأرقام. القوانين المألوفة مثل قوانين الترابطية والتبادلية والتوزيعية ستكون صحيحة بالنسبة للمجموعات أيضًا. على سبيل المثال ، ستوضح النتيجة التالية قانون التوزيع ، تُترك القوانين الأخرى كتمارين.

يمكن توضيح العديد من النتائج في نظرية المجموعات باستخدام مخطط فين ، كما في الدليل أعلاه. ومع ذلك ، فإن مثل هذه الرسوم البيانية لا تمثل براهين رياضية صارمة. ومع ذلك ، قبل تطوير دليل فعلي ، من الضروري أولاً تكوين صورة ذهنية للافتراضات والاستنتاجات والآثار المترتبة على النظرية. يمكن أن يكون مخطط Venn مفيدًا جدًا لهذه العملية. يمكنك التدرب على مخططات Venn باستخدامها في بعض عبارات الصواب / الخطأ في التمارين.

هناك العديد من النظريات الأخرى التي تتعامل مع العملية على المجموعات. واحدة مثيرة للاهتمام بشكل خاص هي نظرية قوانين De Morgan ، لأنها تتعامل مع أي عدد من المجموعات (حتى عدد لا نهائي). قد يكون رسم مخطط Venn في مثل هذه الحالة أمرًا مستحيلًا ، لكن الدليل الرياضي يمكن أن يتعامل بسهولة مع هذا الموقف:

نظرية 1.1.4: قوانين دي مورغان
أي أن تكملة تقاطع أي عدد من المجموعات تساوي اتحاد مكملاتها.

أي أن تكملة اتحاد أي عدد من المجموعات تساوي تقاطع مكملاتها.

حتى الآن ، قمنا بمراجعة بعض الحقائق الأساسية من نظرية المجموعات ، وتوصلنا أيضًا إلى فكرة حول كيفية سير الدورة التدريبية في التحليل الحقيقي:

أولاً ، هناك تعريفات توضح بدقة ما نتحدث عنه. من هذه التعريفات نستمد نتائج جديدة ، بناءً على النتائج القديمة ، والترميز ، والمنطق. النتائج الجديدة تسمى النظريات (إذا كانت مهمة أو واسعة) ، والاقتراحات (إذا كانت مثيرة للاهتمام ، ولكنها ليست قابلة للتطبيق على نطاق واسع) والنتائج الطبيعية (التي عادة ما تكون إعادة صياغة للنظريات أو الافتراضات في مواقف خاصة). سنمضي بهذه الطريقة في جميع أنحاء النص.

أصعب جزء في التحليل الحقيقي هو محاولة فهم البراهين على النتائج الجديدة ، أو حتى تطوير البراهين الخاصة بك. في حين أن هناك عددًا قليلاً من الأساليب "العامة" للإثباتات ، إلا أن هناك حاجة إلى الكثير من الخبرة والممارسة قبل أن تشعر بالاطلاع على تقديم البراهين الخاصة بك. ومع ذلك ، لا يتطلب سوى عدد قليل من البراهين براعة حقيقية ، ويمكن فهم العديد من البراهين الأخرى من خلال المراجعة الدقيقة لتعريفات المصطلحات المعنية. لذلك ، كقاعدة عامة:

ضع في اعتبارك أنه لا يمكن (تقريبًا) تقديم دليل عن طريق الأمثلة. يمكن أن يكون العمل على بعض الأمثلة مفيدًا بالتأكيد - ويجب في الواقع أن يتم ذلك دائمًا قبل البدء في إثبات - لكنها لا يمكن أن تشكل دليلاً صارمًا على بيان عام.

هناك نوعان من البراهين ستتم مواجهتهما بشكل متكرر ويستحقان اهتمامًا خاصًا:


جدول المحتويات

نتعلم من خلال العمل. نتعلم الرياضيات من خلال حل المشاكل. هذا الكتاب هو المجلد الأول لسلسلة من كتب المسائل في التحليل الرياضي. إنه مخصص بشكل أساسي للطلاب الذين يدرسون المبادئ الأساسية للتحليل. ومع ذلك ، نظرًا للتنظيم والمستوى واختيار المشكلات ، سيكون أيضًا خيارًا مثاليًا للندوات التعليمية أو الحلقات الدراسية لحل المشكلات ، لا سيما تلك الموجهة نحو اختبار Putnam. الحجم مناسب أيضًا للدراسة الذاتية.

يبدأ كل قسم من أجزاء الكتاب بتمارين بسيطة نسبيًا ، ولكنها قد تحتوي أيضًا على مشاكل صعبة للغاية. في كثير من الأحيان ، تهتم العديد من التمارين المتتالية بجوانب مختلفة لمشكلة أو نظرية رياضية واحدة. تم تصميم هذا العرض التقديمي للمواد لمساعدة الطلاب على الفهم وتشجيعهم على طرح أسئلتهم الخاصة وبدء البحث. تهدف مجموعة المشكلات في الكتاب أيضًا إلى مساعدة المعلمين الذين يرغبون في دمج المشكلات في المحاضرات. يتم توفير حلول لجميع المشاكل.

يغطي الكتاب ثلاثة موضوعات: الأعداد الحقيقية ، والمتتاليات ، والمتسلسلات ، وينقسم إلى قسمين: التمارين و / أو المسائل ، والحلول. تشمل الموضوعات المحددة التي يتم تناولها في هذا المجلد ما يلي: الخصائص الأساسية للأرقام الحقيقية ، والكسور المستمرة ، والمتواليات الرتيبة ، وحدود التسلسلات ، ونظرية ستولز ، وجمع السلاسل ، واختبارات التقارب ، والمتسلسلة المزدوجة ، وترتيب السلاسل ، ومنتج كوشي ، والمنتجات اللانهائية .


مجموع شروط المتتالية الهندسية (متسلسلة هندسية)

لإيجاد مجموع أول n حد من متوالية هندسية ، استخدم الصيغة ،
S n = a 1 (1 & minus r n) 1 & minus r، & thinsp & thinsp r & ne 1 ،
حيث n هو عدد المصطلحات ، و 1 هو المصطلح الأول و r هو النسبة المشتركة.

أوجد مجموع أول 8 حدود من المتسلسلة الهندسية إذا كان 1 = 1 و r = 2.

S 8 = 1 (1 & 2 8) 1 & ناقص 2 = 255

أوجد S 10 للسلسلة الهندسية 24 + 12 + 6 +.

S 10 = 24 (1 & ناقص (1 2) 10) 1 & ناقص 1 2 = 3069 64

(أنت تجد S 10 للسلسلة 3 & ناقص 6 + 12 & ناقص 24 + ، ونسبتها المشتركة & ناقص 2.)

S n = a 1 (1 & minus r n) 1 & minus r S 10 = 3 [1 & ناقص (& 2) 10] 1 & ناقص (& ناقص 2) = 3 (1 & ناقص 1024) 3 = & ناقص 1023

قم بتنزيل تطبيقات أدوات التعلم المجانية الخاصة بنا وكتب الاختبار الإعدادية

أسماء الاختبارات الموحدة مملوكة لأصحاب العلامات التجارية وليست تابعة لشركة Varsity Tutors LLC.

4.9 / 5.0 تصنيف الرضا عن آخر 100،000 جلسة. اعتبارًا من 27/4/2018.

العلامات التجارية لمنافذ الوسائط مملوكة لوسائل الإعلام المعنية وليست تابعة لـ Varsity Tutors.

مطالبة حائزة على جوائز تستند إلى جوائز CBS Local و Houston Press.

ليس لدى Varsity Tutors أي ارتباط بالجامعات المذكورة على موقعها على الإنترنت.

يربط مدرسو Varsity المتعلمين بالخبراء. المدربون هم مقاولون مستقلون يصممون خدماتهم لكل عميل ، باستخدام أسلوبهم وطرقهم وموادهم.


MathHelp.com

إذا أخذت & quot 2 & quot في الجانب الأيمن من علامة & quotals & quot من أسفل ن وتحويله إلى نصف مضروبًا في الأقواس ، يمكنك أن ترى أن صيغة المجموع ، في الواقع ، ن & quotaverage & quot في الحدين الأول والأخير.

يمكن أن يكون التفكير في صيغة الجمع بهذه الطريقة طريقة مفيدة لحفظ المعادلة. (بالمناسبة: يمكن إثبات معادلة الجمع باستخدام الاستقراء.)

مجموع الأول ن شروط سلسلة تسمى & quotthe ن - المجموع الجزئي & quot ، وغالبًا ما يشار إليه بـ & quot S.ن & مثل.

أوجد المجموع الجزئي الخامس والثلاثين ، S 35 ، للمتتابعة الحسابية ذات الحدود

المجموع الجزئي الخامس والثلاثين لهذه المتتابعة هو مجموع أول خمسة وثلاثين حدًا. الشروط الأولى للتسلسل هي:

هناك فرق مشترك بين المصطلحين ، لذا فهذه بالفعل متتالية حسابية. سيكون المصطلح الأخير في المجموع الجزئي:

بعد ذلك ، بالتعويض بالصيغة ، يكون المجموع الجزئي الخامس والثلاثين هو:

35 المجموع الجزئي: S 35 = 350

كان بإمكاني أن أجد الفرق المشترك في التسلسل أعلاه بمجرد النظر إلى صيغة حدود المتتابعة. نظرًا لأن هذه متتالية حسابية ، فإن كل مصطلح يكون مقدارًا ثابتًا أكبر من الحد السابق. إذا كنا نستخدم متغيرًا مستمرًا ، مثل & quot x & quot استخدمناها عند رسم الخطوط المستقيمة ، بدلاً من المتغير المنفصل ن ، إذن & quot & quot خط مستقيم يزيد بمقدار النصف في كل خطوة.

يمكننا استخدام ما تعلمناه عن ميل الخط المستقيم ، وكيف يرتبط ذلك بمعادلة الخط المستقيم ، لقراءة الفرق المشترك من صيغة الحدود. والتي يمكن أن توفر بعض الوقت في الاختبار.

أوجد قيمة المجموع التالي:

من الصيغة ، & quot 2ن & ndash 5 & quot ، لـ ن - الحد الثالث ، أستطيع أن أرى أن كل حد سيكون أكبر بوحدتين من الحد السابق. (إذا لم أكن متأكدًا من ذلك ، يمكنني دائمًا إدخال بعض القيم لـ ن للتأكيد.) إذن هذا في الواقع مجموع حسابي. لكن هذا الجمع يبدأ في ن = 15 ، ليس عند ن = 1 ، وتنطبق صيغة الجمع على المجاميع التي تبدأ من ن = 1. فكيف يمكنني العمل مع هذا الجمع؟ باستخدام خدعة صغيرة:

إن أسرع طريقة لإيجاد قيمة هذا المجموع هي إيجاد المجموع الجزئي الرابع عشر والسابع والأربعين ، ثم طرح الرابع عشر من السابع والأربعين. S 14 هو مجموع الحد الأول حتى الحد الرابع عشر. من خلال إجراء هذا الطرح ، سأخصم الحد الأول حتى الرابع عشر من الأول إلى السابع والأربعين ، لذلك يتبقى لي مجموع الحدود من الخامس عشر إلى السابع والأربعين.

المصطلحات الضرورية الأخرى هي الرابع عشر والسابع والأربعون:

بهذه القيم ، لدي الآن كل ما أحتاجه لإيجاد مجموعتي الطرح الجزئيتين: