مقالات

ص 4: مراجعة - أسس عقلانية - رياضيات


مصادر:
أ_أرفف الكتب / الجبر / الكتاب: _Algebra_and_Trigonometry_ (OpenStax) /01:_ المتطلبات الأساسية/1.04:_Radicals_and_Rational_Expressions R_أرفف الكتب / الجبر / الكتاب: _Advanced_Algebra_ (Redden) /05:_Radical_Functions_and_Equations/5.05:_Rational_Exponents

تعريف الأس العقلاني

في قسم سابق ، خصائص الأس الصحيح تم فحص. معظم هذه الخصائص صالحة أيضًا أي عدد حقيقي الأس. الاستثناءات هي قواعد صلاحيات المنتجات وصلاحيات القواسم ، والتي تتطلب إما أن تكون الأسس أعدادًا صحيحة أو أن تكون الأسس موجبة. (تفشل قاعدة القوة للأعداد المركبة). هذه الخصائص هي:

قواعد الدعاة
للأرقام الحقيقية أ ، ب ، م ، و ن مع أ و ب غير صفرية
(قيود قوة قاعدة منتج أو قوة قاعدة حاصل: n عدد صحيح أو a & b> 0)

قاعدة الأس الصفريالقاعدة السلبيةسيادة المنتجقاعدة الحاصلحكم القوةقوة المنتج القاعدةقوة حاصل القاعدة
(أ ^ 0 = 1 ) (a ^ {- n} = dfrac {1} {a ^ n} ) (a ^ m⋅a ^ n = a ^ {m + n} ) ( ابدأ {محاذاة *}
dfrac {a ^ m} {a ^ n} & = a ^ {m − n}
dfrac {a ^ m} {a ^ n} & = dfrac {1} {a ^ {n − m}}
نهاية {محاذاة *} )
((a ^ m) ^ n = a ^ {m⋅n} ) ((a⋅b) ^ n = a ^ n⋅b ^ n ) ( left ( dfrac {a} {b} right) ^ n = dfrac {a ^ n} {b ^ n} )

نالعاشر الجذور

من عملنا السابق مع الجذور التربيعية ، إذا ( sqrt [2] {a} = b ) ثم (a = b ^ 2 ) ، لذلك بالنسبة للجذور التربيعية (جذر بمؤشر (2 ) ) لا يمكن أن يكون الجذر (a ) للجذر التربيعي ( sqrt [2] {a} ) سالبًا. إذا كانت قيمة الجذر (a ) سالبة ، فيُقال إن الجذر التربيعي ( sqrt [2] {a} ) غير محدد. نعلم أيضًا أن (( sqrt {a}) ^ 2 = a ) ، لـ (a ge 0 ). فكر الآن في المعنى الذي يجب أن يكون عليه (a ^ {1/2} ). باستخدام قاعدة الطاقة ، ((a ^ {1/2}) ^ 2 = a ^ {(1/2) ⋅2} = a ^ 1 = a ). بدمج هذين الشكلين المختلفين لـ (a ) ، يمكن استنتاج أن (a ^ {1/2} = sqrt {a} ) لـ (a ge 0 ).

الآن قم بتوسيع هذه الفكرة إلى الجذور التكعيبية. الجذور التكعيبية هي جذور لها فهرس من (3 ). يمكن كتابة الجذر التكعيبي لـ (a ) ( sqrt [3] {a} ) أو (a ^ {1/3} ). ومع ذلك ، على عكس الجذور التربيعية ، يمكن أن يكون الجذر (أ ) أي رقم حقيقي (ليس فقط على الأرقام السالبة) وسيتم تعريف الجذر التكعيبي دائمًا. هذا لأنه إذا كان ( sqrt [3] {a} = b ) إذن (a = b ^ 3 ) و (a ) يمكن أن يكون أي رقم حقيقي لأنه عندما يتم تكعيب الرقم ، إذا كان سالبًا تكون النتيجة سلبية وإذا كانت موجبة تكون النتيجة موجبة. يمكن تمديد هذه الأفكار بطريقة مشابهة لأي عدد صحيح غير صفري (n ) جذر.

التعريف: الأساسي (n ) الجذر رقم (أ )

لأي عدد صحيح غير صفري (n ) ، فإن أصل (n ) جذر (أ ) هو مكتوب ( sqrt [n] {a} ) ولها نفس علامة (أ ).
علاوة على ذلك ، ( sqrt [n] {a} = a ^ { tfrac {1} {n}} ) و (( sqrt [n] {a}) ^ n = a ). يحدد مقام الأس الكسري فهرس (n ) الجذر.
عندما تكون (a ) سالبة و (n ) زوجية ، يكون الجذر (n ) الرئيسي غير معرّف.

[ begin {align *} (25) ^ {1/2} & = sqrt {25} = 5 text {because} ( sqrt {25}) ^ 2 = (5) ^ 2 = 25
(-27) ^ {1/3} & = sqrt [3] {- 27} = -3 text {because} ( sqrt [3] {- 27}) ^ 3 = (-3) ^ 3 = -27
النهاية {محاذاة *} ]

مثال ( PageIndex {1} ): تبسيط (n ^ {th} ) الجذور

بسّط كلًا مما يلي:

  1. ( sqrt [5] {- 32} )
  1. ( sqrt [4] {4} times sqrt [4] {1024} )
  1. (- sqrt [3] { dfrac {8x ^ 6} {125}} )
  1. (8 sqrt [4] {3} - sqrt [4] {48} )

حل

أ. ( sqrt [5] {- 32} = - 2 ) لأن ((- 2) ^ 5 = -32 )

ب. ( sqrt [4] {4} times sqrt [4] {1024} = sqrt [4] {4 times 1024} = sqrt [4] {4096} = 8 ) لأن (8 ^ 4 = 4096 )

ج. (- sqrt [3] { dfrac {8x ^ 6} {125}} = dfrac {- sqrt [3] {8x ^ 6}} { sqrt [3] {125}} = dfrac { -2x ^ 2} {5} )

د. (8 sqrt [4] {3} - sqrt [4] {48} = 8 sqrt [4] {3} -2 sqrt [4] {3} = 6 sqrt [4] {3} )

جربه: ( PageIndex {1} ).

  1. تبسيط

    1. ( sqrt [3] {- 216} )
    1. ( dfrac {3 sqrt [4] {80}} { sqrt [4] {5}} )
    1. (6 sqrt [3] {9000} +7 sqrt [3] {576} )
    الإجابات

    أ. (- 6 ) ( كواد ) ب. (6 ) ( كواد ) ج. (88 sqrt [3] {9} )

كتابة التعبيرات الأسية العقلانية في شكل جذري

تعبير ب معقول الأس يساوي الجذر حيث المقام هو الفهرس والبسط هو الأس. يمكن كتابة أي تعبير جذري بأس كسري ، وهو ما نسميه متسارع شكل.

لنفترض أن (m ) و (n ) أعداد صحيحة موجبة مع عدم وجود عامل مشترك بخلاف 1. باستخدام قاعدة الطاقة ، لدينا

((a ^ {1 / n}) ^ m = a ^ {(1 / n) ⋅m} = a ^ {m / n} )

التعريف: الأسس العقلانية

الأسس المنطقية هي طريقة أخرى للتعبير عن الجذور (n ^ {th} ) الرئيسية. الشكل العام للتحويل بين تعبير جذري برمز جذري وآخر ذو أس عقلاني هو

[a ^ { tfrac {m} {n}} = ( sqrt [n] {a}) ^ m = sqrt [n] {a ^ m} nonumber ]

إذا كانت (a ) سلبية و (n ) زوجية ، فلا يمكن تعيين أي معنى لهذا التعبير.

من المهم ملاحظة أنه طالما أن القاعدة موجبة ، فلا يهم إذا طبقنا القوة أولاً أو الجذر أولاً. على سبيل المثال ، يمكننا تطبيق الطاقة قبل (n ) الجذر:

مثال ( PageIndex {4} ):

أعد الكتابة في صورة جذري ثم بسّط.

أ. (343 ^ { tfrac {2} {3}} )ب. ((12) ^ {5/3} )ج. (9 ^ { tfrac {5} {2}} )

حل

أ. يخبرنا (2 ) بالقدرة ويخبرنا (3 ) بالجذر. (343 ^ { tfrac {2} {3}} = {( sqrt [3] {343})} ^ 2 = sqrt [3] {{343} ^ 2} )

نعلم أن ( sqrt [3] {343} = 7 ) لأن (7 ^ 3 = 343 ). نظرًا لأنه من السهل إيجاد الجذر التكعيبي ، فمن الأسهل إيجاد الجذر التكعيبي قبل تربيع هذه المسألة. بشكل عام ، من الأسهل العثور على الجذر أولاً ثم رفعه إلى أس.

[343 ^ { tfrac {2} {3}} = {( sqrt [3] {343})} ^ 2 = 7 ^ 2 = 49 nonumber ]

ب. في بعض الأحيان يمكن تجنب الأعداد الصحيحة الكبيرة جدًا من خلال العمل مع عواملها الأولية.

( begin {align} qquad (12) ^ {5/3} & = sqrt [3] {(12) ^ {5}} quad quad quad quad color {Cerulean} {Replace : 12 : with : 2 ^ {2} cdot3.} & = sqrt [3] { left (2 ^ {2} cdot 3 right) ^ {5}} quad quad : : : color {Cerulean} {Apply : the : rules : for : exponents.} & = sqrt [3] {2 ^ {10} cdot3 ^ {5}} quad quad quad : color {Cerulean} {Simplify.} & = sqrt [3] {2 ^ {9} cdot 2 cdot 3 ^ {3} cdot 3 ^ {2}} & = 2 ^ {3} cdot 3 cdot sqrt [3] {2 cdot 3 ^ {2}} & = 24 sqrt [3] {18} end {align} )

ج. ( left ( dfrac {16} {9} right) ^ {- tfrac {1} {2}} = left ( Big ( dfrac {16} {9} Big) ^ {- 1 } right) ^ { tfrac {1} {2}}
= left ( dfrac {16 ^ {- 1}} {9 ^ {- 1}} right) ^ { tfrac {1} {2}}
= { left ( dfrac {9} {16} right)} ^ { tfrac {1} {2}} = sqrt { dfrac {9} {16}} = dfrac {3} {4} )

جربه: ( PageIndex {4} ).

أعد الكتابة في صورة جذري ثم بسّط.

أ. (100 ^ {3/2} )ب. (27 ^ {2/3} )
إجابه

أ. (1،000 ) ( qquad ) ب. (9 )

العمليات على التعبيرات الأسية العقلانية

يمكن استخدام نفس القواعد المستخدمة في العمليات الأسية على التعبيرات ذات الأسس الصحيحة في التعبيرات ذات الأسس المنطقية. غالبًا ما يكون الشكل الأسي أكثر فائدة من الشكل الجذري ، ولكن غالبًا ما يستخدم الشكل الجذري مع الثوابت لأنه مألوف أكثر. عادةً ما يكون إجراء العمليات على الأسس المنطقيين بدلاً من الراديكاليين أكثر كفاءة.

مثال ( PageIndex {5} ): قواعد المنتج والحاصل

تبسيط.

أ. (7 ^ {1/3} cdot 7 ^ {4/9} )ب. (5 (2x ^ { tfrac {3} {4}}) (3x ^ { tfrac {1} {5}}) )ج. ( dfrac {x ^ {3/2}} {x ^ {2/3}} )

حل

( begin {align} text {a.} quad 7 ^ {1/3} cdot 7 ^ {49} & = 7 ^ {1/3 + 49} quad color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : x ^ {m} cdot x ^ {n} = x ^ {m + n}.} & = 7 ^ {3/9 + 4/9} & = 7 ^ {7/9} نهاية {محاذاة} )

( begin {align *} text {b.} quad 5 (2x ^ { tfrac {3} {4}}) (3x ^ { tfrac {1} {5}}) & = 30x ^ { tfrac {3} {4}} : x ^ { tfrac {1} {5}} && text {ضرب المعاملات} [5pt] & = 30x ^ { tfrac {3} {4} + tfrac {1} {5}} && text {استخدام خصائص الأس} [5pt] & = 30x ^ { tfrac {19} {20}} && text {Simplify} end {align *} )

( start {align} text {c.} quad frac {x ^ {3/2}} {x ^ {2/3}} & = x ^ {3/2 - 2/3} quad color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : frac {x ^ {m}} {x ^ {n}} = x ^ {mn}.} & = x ^ {9 / 6 - 4/6} & = x ^ {5/6} end {align} )

مثال ( PageIndex {6} ): قاعدة الطاقة

تبسيط.

1. ( left (64 × ^ {3} right) ^ {1/3} )2. ( left (- 32 × ^ {5} y ^ {10} right) ^ {1/5} )3. ( left (y ^ {3/4} right) ^ {2/3} )4. ( left (81 a ^ {8} b ^ {12} right) ^ {3/4} )5. ( يسار (9 × ^ {4} يمين) ^ {- 3/2} )

حل

( start {align} text {1.} quad left (64 x ^ {3} right) ^ {1/3} & = 64 ^ {1/3} (x ^ {3}) ^ {1/3} & = sqrt [3] {64} x ^ {3/3} & = 4 x end {align} )

( start {align} text {2.} quad left (-32 x ^ {5} y ^ {10} right) ^ {1/5} & = (- 32) ^ {1/5 } (x ^ 5) ^ {1/5} (y ^ 10) ^ {1/5} & = sqrt [5] {(- 2) ^ 5} x ^ {5/5} y ^ { 10/5} & = - 2 xy ^ {2} end {align} )

( start {align} text {3.} quad left (y ^ {3/4} right) ^ {2/3} & = y ^ {(3/4) (2/3)} quad color {Cerulean} {Apply : the : power : rule :( x ^ {m}) ^ {n} = x ^ {m cdot n}.} & = y ^ {6 / 12} quad quad : : : color {Cerulean} {Multiply : the : exponents : and : Reduction.} & = y ^ {1/2} end {align} )

( start {align} text {4.} quad left (81 a ^ {8} b ^ {12} right) ^ {3/4} & = left (3 ^ {4} a ^ {8} ب ^ {12} right) ^ {3/4} quad quad quad quad quad color {Cerulean} {Rewrite : 81 : as : 3 ^ {4}.} & = left (3 ^ {4} right) ^ {3/4} left (a ^ {8} right) ^ {3/4} left (b ^ {12} right) ^ { 3/4} : : : color {Cerulean} {Apply : the : power : rule : for : a : product.} & = 3 ^ {4 (3/4) } أ ^ {8 (3/4)} ب ^ {12 (3/4)} quad quad color {Cerulean} {Apply : the : power : rule : to : each : factor .} & = 3 ^ {3} a ^ {6} b ^ {9} quad quad quad quad quad quad quad : color {Cerulean} {Simplify.} & = 27 أ ^ {6} ب ^ {9} نهاية {محاذاة} )

( start {align} text {5.} quad left (9 x ^ {4} right) ^ {- 3/2} & = frac {1} { left (9 x ^ {4 } right) ^ {3/2}} quad quad quad color {Cerulean} {Apply : the : definition : of : Negative : exponents : x ^ {- n} = frac {1} {x ^ {n}}.} & = frac {1} { left (3 ^ {2} x ^ {4} right) ^ {3/2}} quad quad : : color {Cerulean} {Write : 9 : as : 3 ^ {2} : and : apply : the : rules : of : exponents.} & = frac { 1} {3 ^ {2 (3/2)} × ^ {4 (3/2)}} & = frac {1} {3 ^ {3} cdot x ^ {6}} & = frac {1} {27 x ^ {6}} end {align} )

جرّب: ( PageIndex {7} ).

تبسيط

أ. ({(8x)} ^ { tfrac {1} {3}} left (14x ^ { tfrac {6} {5}} right) )ب. ( dfrac { left (125 a ^ {1/4} b ^ {6} right) ^ {2/3}} {a ^ {1/6}} )
إجابه

أ. (28x ^ { tfrac {23} {15}} qquad ) ب. (25 ب ^ {4} )

كتابة التعبيرات الجذرية كتعبيرات أسية

في بعض الأحيان يتم ذكر المشكلة بشكل جذري. من أجل إجراء العملية أو التبسيط بشكل فعال ، تعد الترجمة إلى الشكل الأسي أولاً خطوة أولى مفيدة.

مثال ( PageIndex {8} ): اكتب الجذور كتعبيرات أسية

أعد الكتابة باستخدام الأسس المنطقية.

أ. ( dfrac {4} { sqrt [7] {a ^ 2}} )ب. ( sqrt [5] {x ^ {3}} )ج. ( sqrt [6] {y ^ {3}} )

حل

أ. القوة (2 ) والجذر هو (7 ) ، لذا فإن الأس المنطقي سيكون ( dfrac {2} {7} ). نحصل على ( dfrac {4} {a ^ { tfrac {2} {7}}} = 4a ^ { tfrac {-2} {7}} )

ب. هنا الفهرس (5 ) والقوة (3 ). يمكننا كتابة ( sqrt [5] {x ^ {3}} = x ^ {3/5} )

ج. هنا الفهرس (6 ) والقوة (3 ). يمكننا كتابة ( begin {align} sqrt [6] {y ^ {3}} & = y ^ {3/6} = y ^ {1/2} end {align} )

جرّب: ( PageIndex {8} ).

اكتب (x sqrt {{(5y)} ^ 9} ) باستخدام الأس الكسري.

إجابه

(x (5y) ^ { tfrac {9} {2}} )

لتطبيق قاعدة الضرب أو حاصل القسمة على الراديكاليين ، يجب أن تكون مؤشرات الجذور المعنية هي نفسها. إذا كانت المؤشرات مختلفة ، فأعد كتابة الجذور أولاً بالصيغة الأسية ثم طبق قواعد الأس.

مثال ( PageIndex {9} ): استخدم الأسس المنطقية لتبسيط التعبيرات الجذرية

اضرب ( sqrt {2} cdot sqrt [3] {2} )

حل

في هذا المثال ، يختلف مؤشر كل عامل جذري. ومن ثم فإن قاعدة حاصل الضرب للجذور لا تنطبق. ابدأ بتحويل الجذور إلى صيغة مكافئة باستخدام الأسس المنطقية. ثم قم بتطبيق قاعدة الضرب على الأسس.

( begin {align} sqrt {2} cdot sqrt [3] {2} & = 2 ^ {1/2} cdot 2 ^ {1/3} quad color {Cerulean} {مكافئات : using : reason : exponents.} & = 2 ^ {1/2 + 1/3} quad : : color {Cerulean} {Apply : the : product : rule : for : الأس.} & = 2 ^ {5/6} qquad text {or} sqrt [6] {2 ^ {5}} end {align} )

مثال ( PageIndex {10} ):

قسّم ( frac { sqrt [3] {4}} { sqrt [5] {2}} )

حل

في هذا المثال ، يختلف مؤشر الجذر في البسط عن مؤشر الجذر في المقام. ومن ثم فإن حاصل القسمة على الراديكاليين لا ينطبق. ابدأ بتحويل الجذور إلى صيغة مكافئة باستخدام الأس المنطقي ثم طبق قاعدة خارج القسمة للأسس.

( start {align} frac { sqrt [3] {4}} { sqrt [5] {2}} & = frac { sqrt [3] {2 ^ {2}}} { sqrt [5] {2}} & = frac {2 ^ {2/3}} {2 ^ {1/5}} quad quad color {Cerulean} {Equivalents : using : reason : الأس.} & = 2 ^ {2/3 - 1/5} : : : color {Cerulean} {Apply : the : quotient : rule : for : exponents.} & = 2 ^ {7/15} qquad text {or} sqrt [15] {2 ^ {7}} end {align} )

مثال ( PageIndex {11} ):

بسّط ( sqrt { sqrt [3] {4}} )

حل

هنا الجذر التربيعي للجذر التربيعي هو الجذر التكعيبي. بعد إعادة كتابة هذا المقدار باستخدام الأسس الكسرية ، سنرى أن قاعدة الأس الخاصة بالأسس تنطبق.

( begin {align} sqrt { sqrt [3] {4}} & = sqrt { sqrt [3] {2 ^ {2}}} & = left (2 ^ {2/3 } right) ^ {1/2} quad color {Cerulean} {Equivalents : using : reason : exponents.} & = 2 ^ {(2/3) (1/2)} quad color {Cerulean} {Apply : the : power : rule : for : exponents.} & = 2 ^ {1/3} qquad text {or} sqrt [3] {2} نهاية {محاذاة} )


شاهد الفيديو: الدرس رقم 01 في الرياضيات للسنة الرابعة ابتدائي الأعداد أقل من 100000 (شهر اكتوبر 2021).