مقالات

4.1: جمع الأعداد الفردية - الرياضيات


هل سبق لك أن عملت من خلال إثبات وفهمت وأكدت كل خطوة ، لكنك ما زلت لا تصدق النظرية؟ أنت تدرك الذي - التي النظرية صحيحة ، لكن ليس لماذا هذا صحيح.

لرؤية نفس التباين في مثال مألوف ، تخيل أن تعلم أن طفلك يعاني من الحمى وأن تسمع درجة الحرارة في فهرنهايت أو درجة مئوية ، أيهما أقل شيوعًا. في تجربتي اليومية ، تكون درجات الحرارة في الغالب بالفهرنهايت. عندما أسمع عن درجة حرارة (40 ^ {◦} C ) ، أتفاعل على مرحلتين:

  1. أحول (40 ^ {◦} C ) إلى فهرنهايت: (40 مرات 1.8 + 32 = 104. )
  2. أتفاعل: "يا إلهي ، (104 ^ {F} ف ). هذا أمر خطير! اذهب إلى الطبيب! "

درجة الحرارة المئوية ، على الرغم من أنها تعادل درجة حرارة فهرنهايت رمزياً ، لا تثير أي تفاعل. لا ينشط إحساسي بالخطر إلا بعد أن يربط تحويل درجة الحرارة درجة الحرارة بتجربتي.

الوصف الرمزي ، سواء أكان دليلًا أم درجة حرارة غير مألوفة ، غير مقنع مقارنة بالحجة التي تتحدث عن نظامنا الإدراكي. يكمن السبب في كيفية اكتساب أدمغتنا القدرة على التفكير الرمزي. (يرى تطور العقول [2] للحصول على تاريخ علمي مصور للدماغ.) يتطلب التفكير الرمزي المتسلسل لغة تطورت لمدة (10 ​​^ {5} ) عام فقط. على الرغم من أن (10 ​​^ {5} ) العام يمتد إلى العديد من أعمار البشر ، إلا أنه يمثل ارتباطًا تطوريًا. على وجه الخصوص ، هو قصير مقارنة بالفترة الزمنية التي تطورت خلالها أجهزتنا الإدراكية: لعدة مئات من ملايين السنين ، صقلت الكائنات الحية قدراتها على السمع والشم والتذوق واللمس والرؤية.

لقد عمل التطور 1000 مرة أطول على قدراتنا الإدراكية مقارنة بقدراتنا المنطقية الرمزية. بالمقارنة مع أجهزتنا الإدراكية ، فإن أجهزتنا الرمزية المتسلسلة هي متأخرة غير متطورة. ليس من المستغرب أن تتجاوز قدراتنا الإدراكية بكثير قدراتنا الرمزية. حتى النشاط الرمزي على ما يبدو عالي المستوى مثل لعب الشطرنج الكبير يستخدم في الغالب أدوات إدراكية [16]. رؤية تنقل لنا فكرة عمقًا في الفهم لا يمكن أن يتطابق معه الوصف الرمزي لها بسهولة.

مشاكل متعددة

المشكلة 4.1 أجهزة الكمبيوتر مقابل الناس

في مهام مثل توسيع ((x + 2y) ^ {50} ) ، تكون أجهزة الكمبيوتر أسرع بكثير من الأشخاص. في مهام مثل التعرف على الوجوه أو الروائح ، حتى الأطفال الصغار أسرع بكثير من أجهزة الكمبيوتر الحالية. كيف تفسر هذه التناقضات؟

المشكلة 4.2 الدليل اللغوي لأهمية الإدراك

في لغتك (لغاتك) المفضلة ، فكر في العديد من المرادفات الحسية للفهم (على سبيل المثال ، الإدراك).

إضافة الأرقام الفردية

لتوضيح قيمة الصور ، دعنا نجد مجموع أول (n ) الأرقام الفردية (أيضًا موضوع المشكلة 2.25):

[S_ {n} = دعامة سفلية {1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1).} _ {n text {terms}} label {4.1} ]

تؤدي الحالات السهلة مثل (n ) = 1 أو 2 أو 3 إلى التخمين بأن (S_ {n} = n ^ {2} ). لكن كيف يمكن إثبات التخمين؟ الطريقة الرمزية القياسية هي الإثبات عن طريق الاستقراء:

1. تحقق من أن (S_ {n} ) = (n ^ {2} ) لملف الحالة الأساسية (ن = 1 ). في هذه الحالة ، (S_ {1} ) هي 1 ، كما هو (n_ {2} ) ، لذلك يتم التحقق من الحالة الأساسية.

2. اصنع ملف فرضية الاستقراء: افترض أن (S_ {m} ) = (m ^ {2} ) للمتر أقل من أو يساوي الحد الأقصى للقيمة n. لهذا الدليل ، تكفي فرضية الاستقراء الأضعف التالية:

[ sum_ {1} ^ {n} (2k - 1) = n ^ {2} label {4.2} ]

بمعنى آخر ، نفترض النظرية فقط في الحالة التي (م = ن ).

3. نفذ خطوة الاستقراء: استخدم فرضية الاستقراء لتوضيح أن (S_ {n + 1} ) = (n + 1) (^ {2} ). المجموع (S_ {n + 1} ) ينقسم إلى قطعتين:

[S_ {n + 1} = sum_ {1} ^ {n + 1} (2 k-1) = (2 n + 1) + sum_ {1} ^ {n} (2 k-1) التسمية {4.3} ]

بفضل فرضية الاستقراء ، يكون المجموع على اليمين (n ^ {2} ). هكذا

[S_ {n + 1} = (2n + 1) + n ^ {2} ، التسمية {4.4} ]

وهو ((n + 1) ^ {2} ) ؛ وقد تم إثبات النظرية.

على الرغم من أن هذه الخطوات تثبت النظرية ، لماذا ينتهي المجموع (S_ {n} ) لأن (n ^ {2} ) لا يزال بعيد المنال.

إن عدم فهم نوع البصيرة الجشطالتية التي وصفها فيرتهايمر [48] يتطلب إثباتًا مصورًا. ابدأ برسم كل رقم فردي كقطعة أحجية على شكل حرف L:

[ التسمية {4.5} ]

سؤال

كيف تتلاءم هذه القطع مع بعضها؟

ثم احسب (S_ {n} ) من خلال تركيب قطع اللغز معًا على النحو التالي:

[التسمية {4.6} ]

كل رقم فردي متتالي تمد كل قطعة المربع بمقدار وحدة واحدة في الطول والعرض ، لذا فإن المصطلحات (n ) تبني مربعًا (n times n ). [أم هو ((n - 1) times (n - 1) ) مربع؟] لذلك ، مجموعهم (n ^ {2} ). بعد استيعاب هذا الدليل المصور ، لا يمكنك أن تنسى سبب إنتاج أول n من الأرقام الفردية (n ^ {2} ).

مشاكل متعددة

المشكلة 4.3 الأعداد المثلثة

ارسم صورة أو صور لإظهار ذلك

[1 + 2 + 3 + ··· + n + ··· + 3 + 2 + 1 = n ^ {2}. التسمية {4.7} ]

ثم اظهر ذلك

[1 + 2 + 3 + ··· + n = frac {n (n + 1)} {2}. label {4.8} ]

المشكلة 4.4 ثلاثة أبعاد

ارسم صورة لإظهار ذلك

[ sum_ {0} ^ {n} (3k ^ {2} + 3k + 1) = (n + 1) ^ {3}. التسمية {4.9} ]

قدم تفسيرات مصورة للعدد 1 في الجمع (3k ^ {2} + 3k + 1 ) ؛ لـ 3 و (k ^ {2} ) في (3k ^ {2} ) ؛ و 3 و k في 3 كيلو.


الأرقام الفردية والزوجية & # 8211 شرح وأمثلة أمبير

العدد الصحيح الذي يمكن تقسيمه على 2 هو عدد زوجي ، بينما العدد الصحيح الذي لا يمكن تقسيمه على 2 هو عدد فردي. يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية. الأرقام الفردية تكون دائمًا بين الأرقام الزوجية والعكس صحيح.

للتمييز بين الأرقام الفردية والزوجية ، عليك دائمًا البحث عن رقم النهاية. دائمًا ما يكون الرقم الأخير من رقم زوجي هو 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8 ، بينما يكون الرقم الأخير من الرقم الفردي دائمًا 1 أو 3 أو 5 أو 7 أو 9.


أمثلة على حل مجموع الأعداد الصحيحة الفردية

مثال 1: أوجد الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة المتتالية ومجموعها 45.

سنحل هذه المسألة اللفظية باستخدام 2k + 1 وهي إحدى الصيغ العامة للعدد الصحيح الفردي.

دع 2k + 1 يكون أول عدد صحيح فردي. نظرًا لأن الأعداد الصحيحة الفردية تفصل بينها وحدتان أيضًا ، فإن العدد الصحيح الفردي الثاني على التوالي سيكون 2 أكثر من الأول. لذلك ، left (<2k + 1> right) + left (2 right) = 2k + 3 حيث 2k + 3 هي ثانيا عدد صحيح فردي متتالي. ال الثالث سيكون العدد الصحيح الفردي يسار (<2k + 3> right) + left (2 right) = 2k + 5.

مجموع الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة المتتالية هو 45 ، لذلك سيكون إعداد المعادلة لدينا:

الآن بعد أن أصبح لدينا معادلتنا ، دعنا نتابع & # 8217s ونحل من أجل k.

في هذه المرحلة ، لدينا قيمة k. ومع ذلك ، لاحظ أن k ليس أول عدد صحيح فردي. إذا راجعت المعادلة أعلاه ، فإن أول عدد صحيح فردي متتالي هو 2k + 1. لذا بدلاً من ذلك ، سنستخدم قيمة k لإيجاد أول عدد صحيح فردي متتالي. لذلك،

& # 8217 سنستخدم قيمة k مرة أخرى لتحديد ما هي الأعداد الصحيحة الفردية الثانية والثالثة.

أخيرًا ، دع & # 8217s نتحقق مما إذا كان مجموع الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة المتتالية هو بالفعل 45.

الإجابة النهائية (الطريقة الأولى): الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة المتتالية هي 13 و 15 و 17 ، وعند إضافتها ، ينتج عنها 45.

هذه المرة ، سنحل المسألة اللفظية باستخدام 2k-1 وهو أيضًا أحد الأشكال العامة لعدد صحيح فردي.

دع 2k-1 يكون أول عدد صحيح فردي متتالي. كما تمت مناقشته في الطريقة الأولى ، فإن الأعداد الصحيحة الفردية هي أيضًا بوحدتين منفصلتين. وبالتالي ، يمكننا تمثيل ثانيا عدد صحيح فردي متتالي مثل left (<2k - 1> right) + left (2 right) = 2k + 1 and the الثالث عدد صحيح فردي متتالي مثل يسار (<2k + 1> يمين) + يسار (2 يمين) = 2 كيلو + 3.

الآن بعد أن عرفنا كيفية تمثيل كل عدد صحيح فردي متتالي ، علينا ببساطة ترجمة & # 8220ثلاثة أعداد صحيحة فردية متتالية مجموعها <45> & # 8221 في معادلة.

لنستخدم & # 8217s الآن قيمة k وهي k = 7 لتحديد الأعداد الصحيحة الثلاثة المتتالية

الخطوة الأخيرة التي يتعين علينا القيام بها هي التحقق من أن مجموع 13 و 15 و 17 هو في الواقع 45.

الإجابة النهائية (الطريقة الثانية): الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة المتتالية ومجموعها 45 هي 13 و 15 و 17.

ملخص المشكلة: إذن ما الذي تعلمناه أثناء حل هذه المشكلة باستخدام 2k-1 و 2k + 1؟ حسنًا ، للبدء ، تمكنا من رؤية أنه سواء استخدمنا 2k-1 أو 2k + 1 ، فلا يزال لدينا نفس ثلاثة أعداد صحيحة فردية متتالية 13 و 15 و 17 مجموعها 45 ، وبالتالي تلبية الحقائق المعطاة في مشكلتنا الأصلية. لذلك ، من الواضح أنه لا يهم الشكل العام للأعداد الصحيحة الفردية التي نستخدمها. سواء كان & # 8217s 2k-1 أو 2k + 1 ، سنصل إلى نفس الحل النهائي أو الإجابة.

المثال 2: مجموع أربعة أعداد صحيحة فردية متتالية هو 160. أوجد الأعداد الصحيحة.

قبل أن نبدأ في حل هذه المشكلة ، دع & # 8217s نحدد الحقائق المهمة التي تم إعطاؤها لنا.

  • الأعداد الصحيحة فردية ومتتالية
  • مجموع الأعداد الصحيحة المتتالية هو 160 مما يعني أيضًا أننا بحاجة إلى جمع الأعداد الصحيحة
  • تختلف الأعداد الصحيحة بمقدار <2> وحدة
  • كل عدد صحيح هو <2> أكثر من العدد الصحيح السابق

مع وضع هذه الحقائق في الاعتبار ، يمكننا الآن تمثيل أربعة أعداد صحيحة فردية متتالية. ولكن على الرغم من أنه يمكننا استخدام أي من الشكلين العامين للأعداد الصحيحة الفردية ، أي 2k-1 أو 2k + 1 ، فإننا & # 8217ll نستخدم فقط 2k + 1 لتمثيل أول عدد صحيح فردي متتالي في هذه المشكلة.

لنفترض أن <2k + 1> و <2k + 3> و <2k + 5> و <2k + 7> هي الأعداد الصحيحة الفردية الأربعة المتتالية.

تابع بكتابة المعادلة ثم حل قيمة k.

حسنًا ، لقد حصلنا على k = 18. هل هذا هو أول عدد صحيح فردي؟ الجواب لا. مرة أخرى ، تذكر أن k ليس أول عدد صحيح فردي. ولكن بدلاً من ذلك ، & # 8217ll نستخدم قيمته للعثور على الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية.

ما & # 8217s المتبقية لنا هو التحقق مما إذا كان <160> هو بالفعل مجموع الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية <37> ، <39> ، <41> ، <43>.

المثال 3: أوجد الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة المتتالية والتي يكون مجموعها -321.

  • نحتاج إلى إضافة ثلاثة أعداد صحيحة متتالية
  • نظرًا لأن الأعداد الصحيحة فردية ، فإن المسافة بينهما <2> وحدة
  • يجب أن يكون مجموع الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة متتالية
  • من المرجح أن يتضمن تسلسل الأعداد الصحيحة الفردية أعدادًا صحيحة سالبة

تمثل ثلاثة أعداد صحيحة فردية متتالية. لهذه المشكلة ، سنستخدم الصيغة العامة 2k-1 لتمثيل أول عدد صحيح فردي متتالي. وبما أن الأعداد الصحيحة الفردية تفصل بينها وحدتان ، فإن 2k + 1 هي الثانية ، و 2k + 3 هي العدد الصحيح الثالث على التوالي.

بعد ذلك ، قم بترجمة & # 8220ثلاثة أعداد صحيحة فردية متتالية مجموعها <-321> & # 8221 في معادلة وحل من أجل k.

خذ قيمة k التي هي -54 واستخدمها لتحديد الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة المتتالية.

أخيرًا ، تحقق من أنه عند إضافة الأعداد الصحيحة الفردية الثلاثة <-109> و <107> و <105> ، يكون المجموع هو -321.


التبديل الفردي عبارة عن مجموعة من التباديل يتم الحصول عليها من عدد فردي لمبادلتين في مجموعة. يتم الإشارة إليه بواسطة تبديل sumbol -1. لمجموعة من الأرقام n حيث n> 2 ، يوجد $ < frac <2>> $ التباديل ممكن. على سبيل المثال ، لـ n = 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ،. التبديلات الفردية الممكنة هي 0 ، 1 ، 3 ، 12 ، 60 وهكذا.

احسب التقليب الفردي للمجموعة التالية: <1،2،3،4>.

هنا ن = 4 ، وبالتالي لا مجموع. من التبديل الفردي الممكن هو $ < frac <4!> <2> = frac <24> <2> = 12> $. فيما يلي خطوات إنشاء تباديل فردي.

الخطوة 1:

تبديل رقمين مرة واحدة. فيما يلي التباديل التي يمكن الحصول عليها:

الخطوة 2:

بدل عددين ثلاث مرات. فيما يلي التباديل التي يمكن الحصول عليها:


مشاكل عدد صحيح متتالي

في هذه الدروس ، سوف نتعلم كيفية حل مشاكل الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية.

أعداد صحيحة متتالية

أعداد صحيحة متتالية هي أعداد صحيحة تتبع بالتسلسل ، كل رقم يزيد بمقدار 1 عن الرقم السابق ، ويمثله n ، n +1 ، n + 2 ، n + 3 ،. أين ن هو أي عدد صحيح. على سبيل المثال: 23 و 24 و 25 و hellip

إذا بدأنا برقم زوجي وكل رقم في التسلسل يزيد بمقدار 2 عن الرقم السابق ، فسنحصل على أعداد صحيحة زوجية متتالية. على سبيل المثال: 16،18، 20، & hellip

إذا بدأنا برقم فردي وكان كل رقم في التسلسل يزيد بمقدار 2 عن الرقم السابق ، فسنحصل على أعداد صحيحة فردية متتالية. على سبيل المثال: 33 و 35 و 37 و hellip

فيما يلي بعض الأمثلة على مشاكل الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية. قم بالتمرير لأسفل الصفحة لمزيد من الأمثلة والحلول على الأعداد الصحيحة الفردية المتتالية.

مثال: عدد صحيح فردي متتالي

أطوال أضلاع المثلث هي أرقام فردية متتالية. ما طول أطول ضلع إذا كان المحيط 45؟

الخطوة 1: لكوننا أرقامًا فردية متتالية ، نحتاج إلى إضافة 2 إلى الرقم السابق.

دع x = طول أقصر ضلع
س + 2 = طول الضلع المتوسط
س + 4 = طول الضلع الأطول

الخطوة 2: اكتب صيغة محيط المثلث.

P = مجموع الأضلاع الثلاثة

الخطوة 3: أدخل القيم من السؤال ومن المخطط.

45 = x + x + 2 + x + 4 اجمع الحدود المتشابهة 45 = 3x + 6 اعزل المتغير x 3x = 45 & ndash 6
3 س = 39
س = 13

احذر! السؤال يتطلب طول الضلع الأطول.

طول الأطول = 13 + 4 = 17

الجواب: طول الضلع الأطول 17

جرب آلة حاسبة Mathway المجانية وحل المشكلات أدناه لممارسة موضوعات الرياضيات المختلفة. جرب الأمثلة المعطاة ، أو اكتب مشكلتك الخاصة وتحقق من إجابتك مع شرح خطوة بخطوة.

نرحب بملاحظاتكم وتعليقاتكم وأسئلتكم حول هذا الموقع أو الصفحة. يرجى إرسال ملاحظاتك أو استفساراتك عبر صفحة الملاحظات الخاصة بنا.


الجذور التربيعية

كلمة الجذر التربيعي مكتوبة بعلامة تمثل زاوية أو على الأرجح زاوية قائمة. كان الاسم كينبيت فى مصر. قد تكون الفكرة الأساسية هي أن الزاوية اليمنى ذات الأذرع المتساوية هي جذر (بمعنى ما) المنطقة المربعة. أي أن الزاوية اليمنى ذات الأذرع المتساوية بقياس 3 وحدات ستعطي مساحة إجمالية قدرها 9 ، بحيث يمثل الجانب الذي يبلغ قياسه 3 الجذر التربيعي للمنطقة التي تقيس 9. (مقتبس من Gunn and Peet عبر Clagett.) & # 911 & # 93

تشير العديد من المصادر القديمة إلى الجذور التربيعية & # 911 & # 93. تستخدم بردية موسكو الرياضية حقيقة أن الجذر التربيعي لـ 16 يساوي 4 مرتين ، وحقيقة أن الجذر التربيعي لـ 100 يساوي 10 مرة واحدة. تستخدم بردية برلين 6619 التي يعود تاريخها إلى نفس الفترة الزمنية تقريبًا مثل بردية موسكو حقيقة أن الجذر التربيعي لـ 100 هو 10. كما أن بردية برلين لها جذرين أكثر تطورًا أيضًا:
الجذر التربيعي لـ 1 + 1/2 + 1/16 (= 25/16) هو 1 + 1/4 (= 5/4)
الجذر التربيعي لـ 6 + 1/4 هو 2 1/2

من غير المعروف كيف تم حساب هذه الجذور التربيعية. النتائج مستخدمة في المشاكل ، لكن لم يتم إعطاء أي مبرر. من المحتمل (على الأرجح؟) أن المصريين كانت لديهم جداول جذور تربيعية يمكنهم الرجوع إليها عند حل المشكلات. للأسف لم يتم العثور على مثل هذا الجدول.


جمع ن الأعداد الطبيعية باستخدام الفروق

يمكننا إيجاد صيغة مجموعة من الأعداد باستخدام الفروق.
على سبيل المثال ، يوضح الجدول التالي مجموع بعض الأعداد الطبيعية ، لكننا استخدمنا أيضًا الصفر ، للراحة:

ن 0 1 2 3 4 5
سن 0 1 3 6 10 15
Δ1
1 2 3 4 5
Δ2

1 1 1 1
سن هو مجموع الأرقام ل n.

لأننا وجدنا ذلك & # 9162 ينتج قيمًا ثابتة ، نفترض أن صيغة مجموع الأعداد الطبيعية تربيعية ، من الشكل 2 + bn + c.

باستخدام قيمنا ، نستبدل 0 و 1 و 3 في المعادلة:

ن معادلة رقم المعادلة
0 ج = 0 1
1 أ + ب = 1 2
2 4 أ + 2 ب = 3 3

لاحظنا في المعادلتين 2 و 3 أن ج = 0.
بطرح المعادلة 2 مرتين من المعادلة 3 ، نحصل على:
2 أ = 1 ،
وبالتالي
أ = 1/2
بالتعويض عن قيمة a في المعادلة 2 ، نجد أن b تساوي أيضًا 1/2 ،
إذن ، مجموع أول n أعداد طبيعية ، Sن,

[ككلمة للحكماء ، فإن القيمة الثابتة في الجدول أعلاه هي دائمًا (n!) a ، لذلك في المثال ، a = 1/2! ، أو 1/2. دائمًا ما يكون مجموع معاملات مجموع قوى الأعداد الطبيعية هو 1.]

مجموع الأعداد الطبيعية باستخدام الجمع

في هذا المخطط ، نسقط أولاً على وجوهنا. نلاحظ العلاقة:

أي أن مجموع n من الأعداد الطبيعية هو مجموع n + 1 عدد طبيعي أقل (n + 1).
بتوسيع المصطلح لـ (k + 1) ، نحصل على:

يمكننا تجربة طريقة أخرى ، والبحث عن مجموع مربعات أول n من الأعداد الطبيعية ، على أمل أن يختفي هذا المجموع.

المحاولة الثانية مع الجمع

نبدأ مرة أخرى ، نلاحظ أن مجموع مربعات أول عدد طبيعي n هو مجموع أول (n + 1) ، أقل (n + 1) 2.

التوسيع (n + 1) 2 ، وتقريب المصطلحات المماثلة:

وهو ما يعطينا مجموع أول n من الأعداد الطبيعية:

الرسم البياني التالي هو y = x ، والمستطيلات تمثل الأعداد الطبيعية 1 ، 2 ، 3 ، 4:

مساحة الرسم البياني المثلث ، إذا أخذناها على أنها تمثل n عددًا هي:
ن 2/2
إذن ، مجموع حد n هو تقريبًا:

إذا أخذنا E.ن ليكون الخطأ في التقريب إلى عدد n من المصطلحات:

بالنظر إلى الرسم البياني ، الخطأ في كل رقم هو 1/2 ، وبالتالي فإن الخطأ في مجموع أول n من الأرقام ، Eنهو ن / 2.
وبالتالي:

النهج الثاني مع وجود أخطاء

نظرًا لأنه لا يمكننا اكتشاف الخطأ بسهولة في كل مرة ، فإننا نجرب طريقة أخرى:
[3.1]
والخطأ في S.ن -1:
[3.2]
مع ملاحظة الفرق بين المبلغين ، تمهيدًا لطرح 3.2 من 3.1:

[3.3]
طرح 3.2 من 3.1 مع مراعاة 3.3:

[3.4]
التبسيط وإعادة الترتيب:
[3.5]
عادةً ما تكون هذه بداية الأشياء ، ولكن في هذه الحالة ، يكون الخطأ مجرد رقم ، بغض النظر عن قيمة n الفعلية ، لذلك فهو نفسه لكل n ، والخطأ هو n / 2 ، كما وجدنا في الاعلى.

استخدام حساب التفاضل والتكامل لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية الأولى

هذا النهج مشابه للنهج السابق ، ولكنه يقدم نهجًا مختلفًا يمكن استخدامه مع مجاميع الأرقام الطبيعية الأخرى.

في الرسم البياني أدناه ، لدينا أول عدد قليل من الأعداد الطبيعية على شكل مستطيلات على الرسم البياني y = x.

تقارب المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني مجموع الأعداد الطبيعية ، لذلك:
[3.21]
مع Eن كخطأ في S.ن:
[3.22]
يحتوي كل مستطيل في الرسم البياني على منطقة k & # 87291 ، لذا فإن الخطأ لدينا هو k ناقص المساحة الواقعة أسفل الرسم البياني بين (x = k-1 و x = k):
[3.23]
عند العمل على التكامل ، نحصل على:
[3.24]
استبدال التكامل في 3.23:
[3.25]
تبسيط المجموع وجمعه:

لذلك استبدلنا بقيمة E.ن في 3.22 نحصل على:

الأمر الذي لم يكن مفاجأة!

جمع الأعداد الطبيعية الأولى من خلال إيجاد مصطلح عام

هنا نكشف عن الجانب الأيمن ونأمل في إيجاد صيغة.
نلاحظ الفرق بين مجموع أول n أعداد طبيعية ، ومجموع (n-1) هو n

الفكرة هي أن ننظر إلى المصطلحات S.نن -2، وآخرون ج ، وكتابة الاختلافات في المعرفة ، على أمل أن يظهر نمط ويمكننا كتابة S.ن ك، ثم كتابة الحد من رقم n ، والذي يمكننا من خلاله استخراج صيغة.

يصبح النمط واضحًا. حتى نتمكن من كتابة مصطلح عام ، المصطلح k-th:

[3.3.1]
لقد لاحظنا أن الحد "n" يكون دائمًا kn ، والمصطلح الآخر هو مجموع الأعداد الطبيعية.

يمكننا الآن أن نجعل k = n ، وبالتالي نحصل على الحد النوني ، مع ملاحظة S0=0
[3.3.2]
المجموع أعلاه هو واحد ن أقل من Sن:
[3.3.3]
استبدال 3.3.3 في 3.3.2:

جمع الأعداد الطبيعية الأولى باستخدام نظرية الأعداد

تؤدي هذه الطريقة في الواقع إلى صيغة جديدة لمجموع الأعداد الطبيعية الأولى n.

وفقًا لنظرية الأعداد ، يمكننا تمثيل الأرقام بإحدى هذه الطرق الأربع:
[4.1]
حيث تمثل 4m ± 1 بوضوح الأرقام الفردية.

نحاول تكوين تعبير لمربعات الأعداد الفردية بتربيع 4m ± 1 ،
[4.2]

تحليل جزء من 4.1:
[4.3]

إذا شكلنا هذا التعبير
[4.4]

يمكننا كتابة مربع أي عدد فردي على النحو التالي:
[4.5]
يمكننا كتابة عدد فردي بالشكل (2n-1) ، حيث n هو عدد طبيعي.

ن2n-1 (2n-1) 2 8x ف +1 8q + 1
11 1 8x 0 +1 1
23 9 8x 1 +1 9
35 25 8x 3 +1 25
47 49 8x 6 +1 49
59 81 8x 10 +1 81
611 121 8x 15 +1 121
713 169 8x 21 +1 169
815 225 8x 28 +1 225
917 289 8x 36 +1 289
1019 361 8x 45 +1 361

نلاحظ أنه يمكننا إيجاد قيمة q لكل رقم ، بحيث يكون 8q + 1 مساويًا لمربع الرقم الفردي.

من الممكن أن تبدو هذه q مألوفة بطريقة ما. بعد وقت قصير أو طويل من التفكير في هذا الأمر ، قد ندرك أن q's هي مجموع الأعداد الطبيعية.

استبدال (2n-1) 2 بالعدد الفردي تربيع و 4.6 في 4.5 نحصل على:
[4.7]

إعادة ترتيب الساحة وتوسيعها:
[4.8]

بجمع الحدود المتشابهة والقسمة على 8 نحصل على

وإضافة n لكلا الجانبين:
[4.10]

هناك قضية واحدة نتعامل معها في القسم التالي: كيف يمكن أن:
[4.4 ، مكرر]

أن تكون هي نفسها ، بطريقة ما ، كمجموع الأعداد الطبيعية الأولى؟

صيغة جديدة لمجموع الأعداد الطبيعية

لقد لاحظنا أنه بطريقة ما (2 م 2 ± م) و (ن 2/2 + ن / 2) تعطي نتائج مماثلة في بعض الظروف. بما أنني لا أرى أي علاقة واضحة ، فأنا أعمل جدولاً:

ن (ن 2 + ن) / 2 م +/- 2 م 2 +/- م
0 0 0
0
1 1 1 - 1
2 3 1 + 3
3 6 2 - 6
4 10 2 + 10
5 15 3 - 15

بطبيعة الحال ، تتناوب علامات الطرح وتحدث قيم m مرتين لكل قيمة. بصرف النظر عن هذا ، لا أرى شيئًا سوى. يبدو أنني بحاجة إلى ربط قيم n بقيم m.

بالطبع ، أعمل طاولة أخرى:

ن 0 1 2 3 4 5
م 0 1 1 2 2 3
م ن 0 0 1 1 2 2







ن 6 7 8 9 10 11
م 3 4 4 5 5 6
م ن 3 3 4 4 5 5

(طول الجدول يدل على أنني لم أر أي شيء بسرعة).

ومع ذلك ، تتبادر إلى الذهن العلاقة التالية: م = سقف (ن / 2)
[5.1]

استبدال هذا في 2 م 2 ± م ، من 4.4 ، يعطي:
[5.2]

إذا كان n زوجيًا ، فإن ceil (n / 2) = n / 2 ، وسيكون الحد الثاني موجبًا ، مع إعطاء الصيغة العادية.

باستبدال هذا في 5.2 ، نحصل على:

الذي يبسط معادلتنا العادية لمجموع الأعداد الطبيعية.

بالطبع ، أنا أفضل صيغتنا القديمة!

التطبيق - مجموع الأرقام الفردية

يمكن استخدام صيغة مجموع الأعداد الطبيعية لحل مسائل أخرى.

مجموع أول n من الأعداد الطبيعية الفردية هو (2k-1 يمثل أي رقم فردي):
[6.1]

يمكننا فك الطرف الأيسر:
[6.2]

واستخدم الصيغة الخاصة بنا لحساب مجموع الأعداد الطبيعية:
[6.3]

بالتقريب للحدود المتشابهة ، يكون مجموع أول n من الأعداد الطبيعية الفردية هو:
[6.4]

التطبيق - مجموع الأعداد الزوجية

الأرقام الزوجية الأولى هي (2k دائمًا زوجي ، وتمثل أي رقم زوجي): [7.3]

توسيع الجانب الأيسر:
[7.4]

تطبيق صيغتنا لمجموع أول n أعداد طبيعية:
[7.5]

مجموع الأرقام الزوجية الأولى من n أكبر من مجموع أول n من الأعداد الفردية ، لأن الرقم الزوجي الأول (2) أكبر من الرقم الفردي الأول (1) ويستمر هذا النمط (4 أكبر من 3). من الواضح أنه دائمًا ما يكون أكبر بواسطة n.

مجموع العدد الفردي أكبر من مجموع الأعداد الطبيعية ، لأنه بعد 1 ، تكون الأعداد الفردية أكبر من الرقم الطبيعي المقابل (3 أكبر من 2 ، و 5 أكبر من 3).

التطبيق - مجموع جزء من سلسلة الأعداد الطبيعية

مجموع جزء من سلسلة من n1 ل n2 هو:
[7.5]
مجموع جزء من سلسلة الأعداد الطبيعية من n1 ل n2 هو مجموع من 1 إلى ن2-1 ناقص المجموع من 1 إلى n2.
[7.6]

باستبدال صيغة أول n أعداد طبيعية في 7.6 ، نحصل على:
[7.7]

التحليل إلى عوامل يعطينا صيغة سلسلة الأعداد الطبيعية من n1 ل n2:


جمع الأعداد المتتالية

بدأت Swaathi ، من مدرسة Garden International ، بإدراج الأرقام حتى 15 ومحاولة تمثيلها كمجموعات من الأرقام المتتالية:

2
3 = 1+2
4
5 = 2+3
6 = 1+2+3
7 = 3+4
8
9 = 4+5 = 2+3+4
10 = 1+2+3+4
11 = 5+6
12 = 3+4+5
13 = 6+7
14 = 2+3+4+5
15 = 7+8 = 4+5+6 = 1+2+3+4+5

لا يمكننا كتابة كل رقم كمجموع أرقام متتالية - على سبيل المثال ، لا يمكن كتابة 2 و 4 و 8 كمجموعات من الأرقام المتتالية. في ما سبق ، 9 و 15 هما الرقمان الوحيدان اللذان وجدتهما ويمكن كتابتهما بأكثر من طريقة.

اكتشف العديد من الأشخاص النمط الذي يمكن كتابة جميع الأرقام الفردية (باستثناء 1) كمجموع رقمين متتاليين. على سبيل المثال ، كتب ماتيلدا وتماريس:

إذا جمعت رقمين متتاليين معًا ، فسيكون المجموع عددًا فرديًا ، على سبيل المثال
1+2=3
2+3=5
3+4=7
4+5=9
5+6=11
6+7=13
وما إلى ذلك وهلم جرا.

أحسنت صنعًا لتلاميذ مدرسة كينمونت الابتدائية الذين لاحظوا ذلك ، وأوضحوا أن الفردي والزوجي دائمًا أمر غريب.

رصد البعض نمطًا مشابهًا لمضاعفات العدد 3. قالت جوليا وليزي:

إذا أضفت أي 3 أرقام متتالية معًا ، فستساوي دائمًا مضاعف 3 ، على سبيل المثال
1+2+3=6
2+3+4=9
3+4+5=12
4+5+6=15
5+6+7=18

استمرارًا للأنماط ، أرسل لنا فريق برنامج تمديد الرياضيات للصف 5/6 في Lumen Christi:

اكتشفنا أن مجموع أربعة أعداد متتالية أعطانا التسلسل الرقمي 10 ، 14 ، 18 ، 22 ، 26 ، 30 ، وهكذا. كانت جميعها أرقامًا زوجية لها عدد فردي نصف إجماليه.
1+2+3+4=10
2+3+4+5=14
3+4+5+6=18.

أوضحت هيذر من مدرسة والينغتون الثانوية للبنات هذا النمط:
10 - 1+2+3+4
14 - 2+3+4+5
18 - 3+4+5+6
22 - 4+5+6+7
في جميع الأعمدة ، يضيف كل مكان 1 في كل مرة ، لذا في المجموع تضيف 4 في كل مرة.

الأعداد التي تتكون من مضاعفات الرقم 5 ، والتي تبدأ بـ 15 ، هي مجموع 5 أرقام متتالية:
1+2+3+4+5=15
2+3+4+5+6=20
3+4+5+6+7=25.

لاحظ فيرغوس وسامي نمطًا مشابهًا:

إذا سمحت بالأرقام السالبة ، يمكنك إيجاد مجموع لأي من مضاعفات 7 بسهولة. في كل مرة تضيف فيها رقمًا واحدًا على جانبي المجموع ، يزيد مجموعك بمقدار 7 ، على سبيل المثال
3+4=7
2+3+4+5=14
1+2+3+4+5+6=21
0+1+2+3+4+5+6+7=28
-1+0+1+2+3+4+5+6+7+8=35.

رائعة! (هناك طريقة لجعل هذا النمط يعمل حتى بدون استخدام أرقام سالبة - هل يمكنك تحديده؟) لماذا تظهر كل هذه الأنماط؟

اكتشف بيكي نوعًا مختلفًا من الأنماط:

لقد اكتشفنا أن قوى 2 (2 ، 4 ، 8 ، 16.) لا يمكن أبدًا تكوينها عن طريق جمع أعداد متتالية معًا.

يعطي فريق Lumen Christi طريقة لبناء الكثير من مضاعفات الأرقام الفردية:

لقد توصلنا إلى أنه إذا قسمت مضاعفات 3 على 3 ، واستدعيت الإجابة n ، فإن رقمك الأصلي هو مجموع (n-1) و n و (n + 1).

ثم اكتشفنا أن مضاعفات العدد 5 يمكن كتابتها في صورة 5 أعداد متتالية. إنها نفس قاعدة 3 أرقام متتالية. خذ رقمًا وقسمه على 5 ، واسمه n ، ثم الرقم الخاص بك هو مجموع (n-2) ، (n-1) ، n ، (n + 1) و (n + 2).

ثم توصلنا إلى تخمين أنه نظرًا لأن هذا صحيح بالنسبة إلى 3 و 5 ، فإنه يعمل أيضًا مع 7 و 9 وأي عدد فردي آخر. اختبرناها ونجحت. على سبيل المثال ، 63 من مضاعفات 7 و 9:

7 أرقام: 6 + 7 + 8 +9+10+11+12=63
(63/7 = 9)
9 أرقام: 3 + 4 + 5 + 6 +7+8+9+10+11=63
(63/9 = 7)

كيف يمكننا المضي قدما في هذا التحقيق؟ سأل آرثر:

هل هناك أنماط أخرى؟
هل يمكننا استكشاف قوى اثنين أكثر؟
هل هناك طريقة لطيفة لكتابة أرقام معينة (على سبيل المثال ، كل رقم زوجي آخر) كمجموع من الأرقام المتتالية؟

بدلاً من الجمع ، يمكنك ضرب الأرقام المتتالية ومعرفة الأنماط التي تظهر. يمكنك أيضًا إضافة أرقام زوجية متتالية فقط ، أو أرقام فردية متتالية فقط. كل هذه الأشياء يمكن أن يكون لها شيء مشترك ، أو يمكن أن يكون هناك نمط بينها ، أو لا شيء على الإطلاق ، ربما؟

هل القاعدة التي تنص على أن قوى اثنين لا يمكن أن تتحقق دائمًا؟ هل يمكن عمل كل الأعداد ما عدا قوى العدد اثنين؟

بالمناسبة ، أرسل لنا أبهي برهانًا جبريًا لطيفًا على أن قوى 2 لا يمكن أبدًا صنعها:

الحالة 1: هل يمكننا كسب $ 2 ^ n $ من عدد فردي من الأرقام المتتالية؟

عدد فردي من الأعداد المتتالية له عدد صحيح كمتوسط. هذا المعدل هو دائمًا الرقم الأوسط. إذن ، هذا يعني أن مجموع الأرقام سيكون:

Sum = متوسط ​​ مرات $ عدد الأرقام المتتالية.
= العدد الصحيح $ مرات $ العدد الفردي

هذا يعني أن المجموع له عدد فردي كعامل. لكن $ 2 ^ n $ لا يمكن أن يكون لها رقم فردي كعامل. هذا يثبت أن عددًا فرديًا من الأرقام المتتالية لا يمكن إضافته للحصول على $ 2 ^ n $.

الحالة 2: هل يمكننا كسب $ 2 ^ n $ من عدد زوجي من الأرقام المتتالية؟

لن يكون للعدد الزوجي من الأرقام المتتالية عدد صحيح كمتوسط. سيكون المتوسط ​​هو متوسط ​​العددين الأوسطين. وبالتالي:

Sum = (مجموع رقمين في المنتصف) $ times frac <1> <2> مرات $ عدد الأرقام المتتالية
= (مجموع رقمين متتاليين) $ مرات $ ($ frac <1> <2> مرات $ زوجي رقم)
= (مجموع رقمين متتاليين) $ مرات $ العدد الصحيح

ولكن إذا أضفت رقمين متتاليين ، فستكون الإجابة دائمًا رقمًا فرديًا. لذا يجب أن يكون لمجموع مثل هذا عدد فردي كعامل مرة أخرى - لكن $ 2 ^ n $ لا. هذا يثبت أن عددًا زوجيًا من الأرقام المتتالية لا يمكن جمعه للحصول على $ 2 ^ n $.


من الصف السابع إلى الثامن

سؤال: كيف يختلف كل رقم أدناه عن الآخر؟

ضع قائمة بأسباب الطلاب كما يعرضونها عليهم ، وشجعهم على دمج مفردات الرياضيات في أسبابهم ، مثل المقسوم عليه, عامل، و يقبل القسمة على. ناقش معاني مصطلحات الرياضيات التي يستخدمونها والعلاقات فيما بينهم. على سبيل المثال ، افترض أن أحد الطلاب قال ، "الرقم أربعة عشر هو الرقم الوحيد الذي لا يحتوي على تسعة كعامل" ، وقال طالب آخر ، "الرقم أربعة عشر لا ينتمي لأنه الرقم الوحيد الذي لا يقبل القسمة على تسعة . " استخدم هاتين العبارتين لمناقشة العلاقة بين المصطلحين عامل و يقبل القسمة على.

يمكن طرح هذا السؤال لأي مجموعة مكونة من أربعة أعداد. كامتداد ، اطلب من الطلاب اختيار أربعة أرقام ليأخذها الآخرون في الاعتبار. ثم اجعلهم يسردون جميع الطرق التي تختلف بها الأرقام عن بعضها البعض. استخدم مجموعاتهم من الأرقام لمناقشات الفصل اللاحقة. أخيرًا ، اطلب من الطالب الذي اقترح الأرقام أن يصف أي اختلافات لم يجدها الفصل.

سؤال: يريد الطلاب في فصل السيد ميلا معرفة عمره. قال لهم السيد ميلا ، "يمكن كتابة عمري كمجموع للأرقام الفردية المتتالية التي تبدأ من واحد." كم قد يكون عمر السيد ميلا؟

ينتج عن جمع الأرقام الفردية المتتالية مجموع 4 ، 9 ، 16 ، 25 ، 36 ، 49 ، 64 ، 81 ، 100 ، وهكذا. من بينها ، هناك فقط بعض التوقعات المعقولة لعمر السيد ميلا —25 و 36 و 49 و 64. ومع ذلك ، فإن كل هذه المبالغ هي أرقام مربعة. باستخدام مربعات بألوان مختلفة أو عن طريق التلوين على ورق مربع ، قم بتمثيل الأرقام المربعة كمربعات لمساعدة الطلاب على رؤية أنه يمكن تمثيلها كمجموع الأرقام الفردية. ابدأ ببلاط واحد أو مربع ملون. ثم ، بلون مختلف ، أضف ثلاثة مربعات حوله لإنشاء مربع 2 × 2 ، ثم خمسة مربعات لإنشاء مربع 3 × 3 ، وهكذا.

تحدث مع الطلاب حول توسيع هذا النمط.

السؤال: كان أربعة طلاب في صف الرياضيات التابع للسيدة بيرج يقارنون أرقام الخزائن. وقدموا الملاحظات التالية:

أرقام الخزائن الأربعة لدينا أولية نسبيًا لبعضها البعض.

اثنان بالضبط من أرقام الخزانة لدينا عدد أولي.

ماذا يمكن أن تكون أرقام خزانات الطلاب؟

ناقش المصطلحين رئيسيين و رئيس نسبيا والتمييز بينهما. ثم اطلب من الطلاب العمل على الإجابة على السؤال. انشر إجابات الطلاب ، واطلب من الفصل أن يتحقق مما إذا كانت الأرقام تفي بالمعايير المحددة. أخيرًا ، اطلب من الطلاب كتابة تعريفاتهم الخاصة لـ رئيس و رئيس نسبيا. اطلب منهم مشاركة أفكارهم ، في مجموعات ثنائية أولاً ثم مع الفصل بأكمله.

سؤال: من أجل الواجب المنزلي ، كان كيم لي يتدرب على إضافة الأعداد الصحيحة. نظر إلى مشكلة واحدة وقال ، "أعلم أن المبلغ سيكون بالسالب." بناءً على تصريح كيم لي ، ماذا تعرف عن المشكلة؟

يهدف هذا السؤال إلى مساعدة الطلاب على التعميم حول العلاقة بين علامة المجموع والأرقام في مسألة جمع عدد صحيح. قد يحتاج الطلاب إلى عمل قائمة بمسائل جمع الأعداد الصحيحة التي تكون مجاميعها سالبة والبحث عن القواسم المشتركة بينها للإجابة على هذا السؤال.


الأعداد الزوجية أو الفردية للدوائر (الأعداد من 1 إلى 10) (أ)

معلمون يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات كاختبارات أو مهام تدريبية أو أدوات تعليمية (على سبيل المثال في العمل الجماعي أو للسقالات أو في مركز التعلم). آباء يمكن أن يعملوا مع أطفالهم لمنحهم مزيدًا من الممارسة ، أو لمساعدتهم على تعلم مهارة رياضيات جديدة أو للحفاظ على مهاراتهم جديدة خلال فترات الراحة المدرسية. الطلاب يمكن استخدام أوراق عمل الرياضيات لإتقان مهارة في الرياضيات من خلال الممارسة ، في مجموعة دراسة أو لتعليم الأقران.

استخدم الأزرار أدناه لطباعة أو فتح أو تنزيل إصدار PDF من ملف الأرقام الزوجية أو الفردية للدوائر (الأرقام من 1 إلى 10) (أ) ورقة العمل الرياضية. حجم ملف PDF هو 25902 بايت. يتم عرض صور المعاينة للصفحتين الأولى والثانية (إن وجدت). إذا كان هناك المزيد من الإصدارات من ورقة العمل هذه ، فستتوفر الإصدارات الأخرى أسفل صور المعاينة. لمزيد من المعلومات المشابهة ، استخدم شريط البحث للبحث عن بعض أو كل هذه الكلمات الرئيسية: الرياضيات ، العدد ، المعنى ، الفردي ، الزوجي ، الأشياء .

ال مطبعة الزر سيبدأ مربع حوار الطباعة في متصفحك. ال فتح الزر سيفتح ملف PDF الكامل في علامة تبويب جديدة في متصفحك. ال مدرس سيبدأ الزر في تنزيل ملف PDF الكامل بما في ذلك الأسئلة والأجوبة (إن وجدت). اذا كان طالب علم الزر موجود ، فسيبدأ تنزيل صفحة (صفحات) الأسئلة فقط. قد تتوفر خيارات إضافية عن طريق النقر بزر الماوس الأيمن على زر (أو الضغط على شاشة تعمل باللمس). لا أرى الأزرار!

الأرقام الزوجية أو الفردية للدوائر (الأرقام من 1 إلى 10) (أ) ورقة عمل الرياضيات الصفحة 1 الأرقام الزوجية أو الفردية للدوائر (الأرقام من 1 إلى 10) (أ) ورقة عمل الرياضيات الصفحة 2


شاهد الفيديو: الأعداد الزوجية والفردية الصف الأول المعلمة إيمان كايد (شهر اكتوبر 2021).