مقالات

6.3: العوامل - مجموع أويلر ماكلورين - الرياضيات


القياس التالي يدرس وظائف غير عادية. في تدوين المشغل ، (D ( sin) = cos ) و (D ( sin h) = cos h ) ؛ يعطي حذف الأقواس تعبيرًا أقل تشوشًا (D sin = cos ) و (D sin h = cos h ). لفهم ومعرفة كيفية استخدام العوامل ، هناك أداة مثمرة هي التفكير عن طريق القياس: يتصرف المشغلون مثل الوظائف العادية أو حتى مثل الأرقام.

التحول الأيسر

مثل الرقم ، يمكن تربيع عامل التشغيل المشتق (D ) لجعل (D ^ {2} ) (العامل المشتق الثاني) أو لعمل أي قوة عدد صحيح لـ (D ). وبالمثل ، يمكن تغذية العامل المشتق إلى كثير الحدود. في هذا الاستخدام ، ينتج كثير الحدود العادي مثل (P (x) = x ^ {2} + x / 10 + 1 ) عامل التشغيل متعدد الحدود (P (D) = D ^ {2} + D / 10 + 1 ) (العامل التفاضلي لنظام كتلة الربيع المبلل قليلاً).

إلى أي مدى يمتد التشبيه بالأرقام؟ على سبيل المثال ، هل ( cos hD text {or} sin D ) لها معنى؟ نظرًا لأنه يمكن كتابة هذه الوظائف باستخدام الدالة الأسية ، فلنتحقق من عامل التشغيل الأسي (e ^ {D} ).

سؤال

ماذا فعلت (ه ^ {D} ) يعني؟

التفسير المباشر لـ (e ) هو أنه يحول دالة (f ) إلى (e ^ {Df} ).

ومع ذلك ، فإن هذا التفسير غير خطي بلا داع. يتحول (2f ) إلى (e ^ {2Df} ) ، وهو مربع (e ^ {Df} ) ، بينما عامل تشغيل خطي ينتج (e ^ {Df} ) من (f ) سينتج 2 (e ^ {Df} ) من (2f ). للحصول على تفسير خطي ، استخدم سلسلة Taylor كما لو كان (D ) رقمًا لإنشاء (e ^ {D} ) خارج عوامل التشغيل الخطية.

[e ^ {D} = 1 + D + frac {1} {2} D ^ {2} + frac {1} {6} D ^ {3} + .... label {6.4} ]

سؤال

ماذا يفعل هذا (ه ^ {D} ) القيام بوظائف بسيطة؟

أبسط دالة غير صفرية هي الدالة الثابتة (f = 1 ). إليك هذه الوظيفة التي يتم تغذيتها إلى (e ^ {D} ):

[ underbrace {(1 + D + ...)} _ {e ^ {D}} underbrace {1} _ {f} = 1. label {6.5} ]

الدالة الأبسط التالية (x ) تتحول إلى (x + 1 ).

[(1 + D + frac {D ^ {2}} {2} + ...) x = x + 1. label {6.6} ]

والأمر الأكثر إثارة هو أن (x ^ {2} ) يتحول إلى ((x + 1) ^ {2} ).

[(1 + D + frac {D ^ {2}} {2} + frac {D ^ {3}} {6} ...) x ^ {2} = x ^ {2} + 2x + 1 = (x + 1) ^ {2}. التسمية {6.7} ]

المشكلة 6.14 استمر في النمط

ما هو (e ^ {D} x ^ {3} ) وبشكل عام (e ^ {D} x ^ {n} )؟

سؤال

ماذا فعلت (ه ^ {D} ) بشكل عام؟

الأمثلة السابقة تتبع النمط (e ^ {D} x ^ {n} = (x + 1) ^ {n} ). لأن معظم وظائف (x ) يمكن توسيعها بصلاحيات (x ) ، و (e ^ {D} ) يحول كل مصطلح (x ^ {n} ) إلى ((x + 1 ) ^ {n} ) ، الاستنتاج هو أن (e ^ {D} ) يتحول (f (x) ) إلى (f (x + 1) ). بشكل مثير للدهشة ، (e ^ {D} ) هو ببساطة L ، عامل النقل الأيسر.

مشاكل متعددة

المشكلة 6.15 التحول الأيمن أو الأيسر

ارسم رسمًا بيانيًا لتوضيح أن (f (x) rightarrow f (x + 1) ) هو إزاحة لليسار وليس لليمين. تطبيق (e ^ {- D} ) على بعض الوظائف البسيطة لوصف سلوكها.

المشكلة رقم 6.16 تعمل على وظيفة أصعب

قم بتطبيق توسعة تايلور لـ (e ^ {D} ) لخطيئة x لتوضيح أن (e ^ {D} sin x = sin (x + 1) ).

المشكلة 6.17 عامل التحول العام

إذا كان (x ) له أبعاد ، فإن العامل المشتق (D = d / dx ) ليس بلا أبعاد ، و (e ^ {D} ) تعبير غير قانوني. لجعل التعبير العام (e ^ {aD} ) قانونيًا ، ما أبعاد a يكون؟ ماذا يفعل (e ^ {aD} )؟

خلاصة

مثلما يمكن أن يمثل عامل التشغيل المشتق عامل التحول لليسار (مثل (L = e ^ {D} )) ، يمكن أن يمثل عامل النقل الأيسر عملية الجمع. سيؤدي تمثيل المشغل هذا إلى طريقة فعالة لتقريب المبالغ بدون نموذج مغلق.

الجمع مماثل لعملية التكامل الأكثر شيوعًا. يحدث التكامل في نكهات محددة وغير محددة: التكامل المحدد يعادل تكامل غير محدد يتبعه تقييم عند حدود التكامل. كمثال ، هذا هو التكامل المحدد (f (x) = 2x ).

بشكل عام ، الاتصال بين دالة الإدخال g ونتيجة التكامل غير المحدد هو (DG = g ) ، حيث (D ) هو العامل المشتق و (G = int g ) هو نتيجة غير محدد دمج.

وبالتالي (D ) وهما مقلوبان لبعضهما البعض (D int = 1 ) أو (D = 1 / int ) اتصال يمثله الحلقة في الرسم التخطيطي. ( ( int D nleq 1 ) بسبب ثابت تكامل محتمل.)

سؤال

ما هي الصورة المماثلة للجمع؟

بشكل مشابه للتكامل ، حدد التجميع المحدد كجمع غير محدد ثم التقييم عند الحدود. لكن قم بتطبيق القياس بحذر لتجنب الخطأ الواحد تلو الآخر أو خطأ نقطة النهاية (المشكلة 2.24). يتضمن المجموع ( sum_ {2} ^ {4} f (k) ) ثلاثة مستطيلات (f (2) و f (3) ) و (f (4) ) في حين أن التكامل المحدد ( sum_ {2} ^ {4} f (k) ) dk لا يتضمن أيًا من مستطيل (f (4) ). بدلاً من تصحيح التناقض بإعادة تعريف العملية المألوفة للتكامل ، فسر الجمع غير المحدد لاستبعاد المستطيل الأخير. ثم ينتج عن الجمع غير المحدود متبوعًا بالتقييم عند الحدود (أ ) و (ب ) ينتج عنه مجموع يتراوح مؤشره من (أ ) إلى (ب - 1 ).

كمثال ، خذ (f (k) = k ). ثم المجموع غير المحدد ( sum ) f هو الوظيفة (F ) المحددة بواسطة (F (k) = k (k - 1) / 2 + C ) (حيث C هي ثابت التجميع). تقييم (F ) بين 0 و (n ) يعطي (n (n - 1) / 2 ) ، وهو ( sum_ {0} ^ {n - 1} k ). في الرسم البياني التالي ، هذه الخطوات هي المسار الأمامي.

في المسار العكسي ، يقلب عامل التشغيل الجديد ( sum ) تمامًا كما يعكس التفاضل التكامل. لذلك ، يوفر تمثيل عامل لـ Δ واحدًا لـ ( sum ). نظرًا لأن Δ والمشغل المشتق (D ) متماثلان ، فمن المحتمل أن تكون تمثيلاتهما متشابهة. المشتق هو النهاية

[ frac {d f} {d x} = lim _ {h rightarrow 0} frac {f (x + h) -f (x)} {h} label {6.8} ]

عامل التشغيل المشتق (D ) هو إذن حد المشغل

[D = lim_ {h rightarrow 0} frac {L_ {h} - 1} {h}، label {6.9} ]

حيث يتحول عامل التشغيل Lh (f (x) ) إلى (f (x + h) ) أي ، (Lh ) إزاحات اليسار بمقدار (h ).

مشكلة 6.18 حد المشغل

اشرح لماذا (L_ {h} ≈ 1 + hD ) لحرف صغير. أظهر بالتالي أن (L = e ^ {D} ).

سؤال

ما هو التمثيل المماثل لـ Δ?

يستخدم حد المشغل لـ D إزاحة لليسار متناهية الصغر ؛ في المقابل ، فإن العملية العكسية للتكامل تجمع مستطيلات ذات عرض متناهي الصغر. نظرًا لأن جمع ( sum ) مجموع مستطيلات عرض الوحدة ، يجب أن يستخدم معكوسها Δ وحدة إزاحة يسار وهي ، (L_ {h} ) مع (h = 1 ). كتخمين معقول ،

[Δ = lim_ {h rightarrow 1} frac {L_ {h} - 1} {h} = L - 1. label {6.10} ]

هذا Δ يسمى عامل الفروق المحدودة تم إنشاؤه ليكون (1 / sum ). إذا كان البناء صحيحًا ، فإن ((L - 1) sum ) هو عامل الهوية 1. بمعنى آخر ، (L - 1) ( sum ) يجب أن يحول الوظائف إلى نفسها.

سؤال

ما مدى جودة عمل هذا التخمين في مختلف الحالات السهلة؟

لاختبار التخمين ، طبق المعامل ((L − 1) sum ) أولاً على الوظيفة السهلة (g = 1 ). إذن ، ( sum g ) هي وظيفة تنتظر إطعامها وسيطة ، و ( ( sum g) (k) ) هي نتيجة إطعامها (k ). باستخدام هذا الترميز ، ( ( sum g) (k) = k + C ). يؤدي تغذية هذه الوظيفة إلى عامل التشغيل (L - 1 ) إلى إعادة إنتاج (g ).

[[(L - 1) sum g] (k) = underbrace {(k + 1 + C)} _ {(L sum g) (k)} - underbrace {(k + C)} _ {(1 sum g) (k)} = underbrace {1} _ {g (k)}. التسمية {6.11} ]

مع الوظيفة التالية الأسهل المحددة بواسطة (g (k) = k ) المجموع غير محدد ( ( sum g) (k) ) هو (k (k - 1) / 2 + C ). يؤدي تمرير ( مجموع ز ) إلى (L - 1 ) مرة أخرى إلى إعادة إنتاج (ز ).

[( mathrm {L} -1) Sigma mathrm {g}] ( mathrm {k}) = underbrace { left ( frac {( mathrm {k} +1) mathrm {k }} {2} + mathrm {C} right)} _ {( mathrm {L} Sigma mathrm {g}) ( mathrm {k})} - underbrace { left ( frac { mathrm {k} ( mathrm {k} -1)} {2} + mathrm {C} right)} _ {(1 [ mathrm {~ g}) ( mathrm {k})} = underbrace { mathrm {k}} _ { mathrm {g} ( mathrm {k})}. التسمية {6.12} ]

باختصار ، بالنسبة لوظائف الاختبار (g (k) = 1 ) و (g (k) = k ) ، فإن منتج المشغل ((L - 1) sum ) يأخذ g إلى نفسه ، لذلك يتصرف مثل مشغل الهوية. هذا السلوك عام ((L − 1) sum 1 ) هو بالفعل 1 ، و ( sum = 1 / (L − 1) ). لأن (L = e ^ {D} ) لدينا ( sum = 1 / (e ^ {D} - 1) ). يوفر توسيع الجانب الأيمن في سلسلة Taylor تمثيلًا رائعًا لمشغل الجمع.

[ sum = frac {1} {e ^ {D} - 1} = frac {1} {D} - frac {1} {2} + frac {D} {12} - frac { D ^ {3}} {720} + frac {D ^ {5}} {30240} - .... label {6.13} ]

لأن (D = 1 ) ، المصطلح الرئيسي (1 / D ) هو التكامل. وبالتالي ، فإن التجميع هو تكامل تقريبًا ، وهو استنتاج معقول يشير إلى أن تمثيل المشغل ليس هراء.

يؤدي تطبيق سلسلة عوامل التشغيل هذه على الدالة f ثم التقييم عند الحدود a و b إلى إنتاج صيغة تجميع أويلر-ماكلورين

[ ابدأ {محاذاة}
sum_ {a} ^ {b - 1} f (k) = & int_ {a} ^ {b} f (k) d k + frac {f (b) + f (a)} {2} + frac {f ^ {(1)} (b) -f ^ {(1)} (a)} {12}
& - frac {f ^ {(3)} (b) -f ^ {(3)} (a)} {720} + frac {f ^ {(5)} (b) -f ^ {(5 )} (أ)} {30240} - cdots
end {align} label {6.14} ]

حيث يشير (f ^ {(n)} ) إلى المشتق n من (f ).

المجموع يفتقر إلى المصطلح النهائي المعتاد (f (b) ). تضمين هذا المصطلح يعطي البديل المفيد

[ ابدأ {محاذاة}
sum_ {a} ^ {b} f (k) = & int_ {a} ^ {b} f (k) d k + frac {f (b) + f (a)} {2} + frac { و ^ {(1)} (ب) -f ^ {(1)} (أ)} {12}
& - frac {f ^ {(3)} (b) -f ^ {(3)} (a)} {720} + frac {f ^ {(5)} (b) -f ^ {(5 )} (أ)} {30240} - cdots
end {align} label {6.15} ]

كشيك ، جرب حالة سهلة: ( sum_ {0} {n} k ). باستخدام جمع أويلر-ماكلورين ، (f (k) = k ، a = 0 ) ، و (b = n ). ثم يساهم المصطلح المتكامل (n ^ {2} / 2 )؛ المصطلح الثابت ([f (b) + f (a)] / 2 ) يساهم (n / 2 ) ؛ وشروط لاحقة تتلاشى. النتيجة مألوفة وصحيحة:

[ sum_ {0} ^ {n} k = frac {n ^ {2}} {2} + frac {n} {2} + 0 = frac {n (n + 1)} {2} . التسمية {6.16} ]

الاختبار الأكثر صرامة لتجميع أويلر - ماكلورين هو تقريب (lnn! ) ، وهو المجموع ( sum_ {1} ^ {n} ln k ) (القسم 4.5). لذلك ، مجموع (f (k) = ln k ) بين الحدود (الشاملة) (a = 1 text {and} b = n ). النتيجه هي

[ sum_ {1} ^ {n} ln k = int_ {1} ^ {n} ln k dk + frac {ln n} {2} + ... label {6.17} ]

التكامل ، من عامل التشغيل (1 / D ) ، يساهم في المنطقة الواقعة أسفل منحنى (ln k ). التصحيح ، من عامل التشغيل 1/2 ، يتضمن النتوءات المثلثة (المشكلة 6.20). تتضمن علامة القطع التصحيحات ذات الترتيب الأعلى (المشكلة 6.21) التي يصعب تقييمها باستخدام الصور (المشكلة 4.32) ولكنها بسيطة باستخدام تجميع أويلر وماكلورين (المشكلة 6.21).

مشاكل متعددة

مشكلة 6.19 المبالغ الصحيحة

استخدم جمع أويلر-ماكلورين للعثور على نماذج مغلقة للمجموعات التالية:

(أ) ( sum_ {0} ^ {n} k ^ {2} ) (b) ( sum_ {0} ^ {n} (2k + 1) ) (c) ( sum_ { 0} ^ {n} ك ^ {3} ).

المشكلة 6.20 القضايا الحدودية

في مجموع أويلر ماكلورين ، الحد الثابت هو ([f (b) + f (a)] / 2 ) نصف الحد الأول بالإضافة إلى نصف الحد الأخير. أظهرت صورة التلخيص (ln k ) (القسم 4.5) أن النتوءات هي تقريبًا نصف المصطلح الأخير ، أي (ln n ). ماذا حدث ، من الناحية التصويرية ، لنصف الفصل الأول؟

مشكلة 6.21 شروط أعلى رتبة

تقريبي (ln 5! ) باستخدام مجموع أويلر-ماكلورين.

المشكلة 6.22 مجموع بازل

مجموع بازل ( sum_ {1} ^ { infty} n ^ {- 2} ) يمكن تقريبه بالصور (المشكلة 4.37).

ومع ذلك ، فإن التقريب فظ جدًا للمساعدة في تخمين النموذج المغلق. كما فعل أويلر ، استخدم جمع أويلر-ماكلورين لتحسين الدقة حتى يمكنك تخمين النموذج المغلق بثقة.

تلميح: اجمع البنود القليلة الأولى بشكل صريح.


6.3: العوامل - مجموع أويلر ماكلورين - الرياضيات

في المحاضرات العديدة القادمة سننظر في معادلة لابلاس في القرص والمجالات المماثلة والمتغيرات المنفصلة هناك ولكن لهذا الغرض نحتاج إلى التعبير عن عامل لابلاس في إحداثيات أولار. تذكر أن (من حساب التفاضل والتكامل I) الإحداثيات القطبية $ (r، theta) $ مرتبطة بالإحداثيات الديكارتية بـ $ x = r cos ( theta) $، $ y = r sin ( theta) $ والعكس بالعكس start اليسار < ابدأ& ampr = sqrt، & amp theta = arctan bigl ( frac bigr) النهايةحق. نهاية بالتأكيد الصيغة الثانية ليست صحيحة تمامًا لأن تغيير $ (x، y) إلى (-x، -y) $ لا يغير النسبة ولكنه يستبدل $ theta $ ب $ theta + pi $ (أو $ theta - pi) $ منذ أن تم تعريف $ theta $ بالوحدة $ 2 pi n $ مع $ n in mathbb$. لا يهم حقًا لأننا مهتمون فقط بالمشتقات: start r_x = cos ( ثيتا) ، r_y = الخطيئة ( ثيتا) ،
theta_x = -r ^ <-1> sin ( theta) theta_y = r ^ <-1> cos ( theta). ضع الكلمة المناسبة نهاية

التمرين 1. إثبات ( ref).

ثم بقاعدة السلسلة ابدأ اليسار < ابدأ& amp جزئي_x = cos ( theta) جزئي_r - r ^ <-1> sin ( theta) part_ theta، & amp جزئي_y = sin ( theta) جزئي_r + r ^ <- 1 > cos ( ثيتا) جزئي_ ثيتا نهايةحق. ضع الكلمة المناسبة نهاية وبالتالي تبدأ دلتا = جزئي_س ^ 2 + جزئي_ص ^ 2 = bigl ( cos ( theta) part_r - r ^ <-1> sin ( theta) part_ theta bigr) ^ 2 + bigl ( الخطيئة ( ثيتا) جزئي_r + r ^ <-1> كوس ( ثيتا) جزئي_ ثيتا كبير) ^ 2 نهاية وبعد حسابات مملة يمكن للمرء أن يبدأ دلتا = جزئية _ ^ 2 + فارك <1> جزئي_r + فارك <1> جزئي_ ثيتا ^ 2. ضع الكلمة المناسبة نهاية

تمرين 2. افعلها.

بدلاً من ذلك ، نريد استخدام طريقة مختلفة تتطلب حسابات أقل عرضة للخطأ ولكنها تتطلب حججًا أكثر دقة (مفيدة في الحالات الأكثر تعقيدًا).

لاحظ أولاً الهوية ابدأ iint Delta u cdot v ، dA = - iint nabla u cdot nabla v ، dA ، label نهاية مع $ dA = dxdy $ والتكاملات التي تم الاستيلاء عليها على المجال $ mathcal$ ، شريطة أن $ v = 0 $ بالقرب من $ Gamma $ (حدود $ mathcal$) ويتم أخذ التكاملات على $ mathcal$.

الآن دعونا نعبر عن المقدار الأيسر والأيمن في الإحداثيات القطبية. تذكر أن الإحداثيات القطبية هي متعامد (على سبيل المثال ، خطوط المستوى $ r $ (الدوائر) وخطوط المستوى $ theta $ (أشعة من الأصل) متعامدة في النقاط التي تتقاطع فيها) ويمكن حساب المسافة $ ds $ بين نقطتي إغلاق عند start ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 = dr ^ 2 + r ^ 2d theta ^ 2 label نهاية وبالتالي فإن عنصر المنطقة هو $ dA = dx dy = rdrd theta $.

ولكن ماذا عن $ nabla u cdot nabla v $؟ ندعي أن تبدأ nabla u cdot nabla v = u_r v_r + frac <1>u_ ثيتا v_ ثيتا. ضع الكلمة المناسبة نهاية في الواقع ، إن $ nabla u $ متجه ذو طبيعة مختلفة عن $ d mathbf= (dx، dy) $. هم متصلون بواسطة $ du = nabla u cdot d mathbf$ وعندما نغير الإحداثيات $ d mathbf& # 39 = Qd mathbf$ مع بعض المصفوفة $ Q $ ، ومنذ البداية du = nabla u cdot d mathbf= nabla u & # 39 cdot d mathbf& # 39 = nabla u & # 39 cdot Qd mathbf= Q ^ T nabla u & # 39 cdot d mathbf نهاية نستنتج أن $ nabla u & # 39 = Q ^ nabla u $ حيث $ ^ T $ يعني مصفوفة منقولة. يدعو علماء الرياضيات المتجهات المزدوجة هذه مشاعون.

بينما يتحدث علماء الرياضيات عن ثلاثة أبعاد و مشاعون، غالبًا ما يسميها علماء الفيزياء متغير و مغاير ثلاثة أبعاد.

هناك أيضًا مفاهيم المتجهات الزائفة (والنواقل الزائفة) والقياسات الزائفة التي تغير الإشارات عندما يتم تغيير نظام الإحداثيات الموجه إلى اليمين إلى النظام الموجه إلى اليسار. ف. إذا قصرنا أنفسنا على الإحداثيات الديكارتية ، فإن المتجه المنتج لاثنين من المتجهين هو متجه زائف ، والحجم الموجه هو عددي زائف. تجعيد الحقل المتجه هو حقل متجه زائف. شدة المجال المغناطيسي هو ناقل زائف.

ولكن بالنسبة لأنظمة الإحداثيات الأكثر عمومية ، هناك أيضًا كثافات وهي بالإضافة إلى التحولات المعتادة وتقدير وتغيير الحجم.

بالنسبة لنا ، المهم هنا هو فقط الفرق بين النواقل والنواقل.

لذلك ( ref) يصبح start iint Delta u cdot v ، r drd theta = - iint bigl (u_r v_r + frac <1>u_ theta v_ theta bigr) r ، drd theta = - iint bigl (r u_r v_r + frac <1>u_ theta v_ theta bigr) ، drd theta = iint bigl ( bigl (r u_r bigr) _r + bigl ( frac <1>u_ theta bigr) _ theta bigr) v ، drd theta، end حيث قمنا بالتكامل مع الأجزاء. هذه الهوية ابدأ iint r Delta u cdot v ، drd theta = iint bigl ( bigl (r u_r bigr) _r + bigl ( frac <1>u_ theta bigr) _ theta bigr) v ، drd theta end يحتفظ بأي $ v $ ، يختفي بالقرب من $ Gamma $ ، وبالتالي يمكننا إلغاء التكامل و $ v $: start r Delta u = bigl (r u_r bigr) _r + bigl ( frac <1>u_ theta bigr) _ ثيتا. نهاية

التمرين 3. التفكير في هذا. أخيرًا نبدأ r Delta u = r ^ <-1> bigl (r u_r bigr) _r + r ^ <-1> bigl (r ^ <-1> u_ theta bigr) _ theta، end وهو بالضبط ( ref).

قد يبدو الأمر معقدًا للغاية بالنسبة للإحداثيات القطبية ولكن في الحالات الأكثر عمومية ، يكون هذا النهج مفيدًا للغاية.

عامل لابلاس في الإحداثيات الكروية

الإحداثيات الكروية هي $ rho $ (نصف القطر) و $ phi $ (خط العرض) و $ theta $ (خط الطول): start اليسار < ابدأ& ampx = rho sin ( phi) cos ( theta) ، & ampy = rho sin ( phi) sin ( theta) & ampz = rho cos ( phi). نهايةحق. نهاية على العكس ابدأ اليسار < ابدأ& amp rho = sqrt، & amp phi = arctan bigl ( frac < sqrt> bigr) ، & amp theta = arctan bigl ( frac bigr) النهايةحق. نهاية واستخدام قاعدة السلسلة وحسابات & quotsim simple & quot يصبح أمرًا صعبًا إلى حد ما.

بدلاً من ذلك ، نتذكر أن هذه الإحداثيات متعامدة أيضًا: إذا قمنا بإصلاح $ phi $ و $ theta $ ، نحصل على أشعة من الأصل ، والتي تكون متعامدة مع المجالات التي نحصل عليها إذا قمنا بإصلاح $ r $. في الكرات إذا أصلحنا $ theta $ نحصل على خطوط الطول وإذا أصلحنا $ phi $ نحصل على المتوازيات وهذه أيضًا متعامدة. ثم ابدأ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2 = d rho ^ 2 + rho ^ 2d phi ^ 2 + rho ^ 2 sin ^ 2 ( phi) d theta ^ 2، علامة * <( ref) & # 39> التسمية نهاية حيث $ d rho $ و $ rho d phi $ و $ rho sin ( phi) d theta $ هي مسافات على طول الأشعة وخطوط الطول والمتوازيات وبالتالي فإن عنصر الحجم هو $ dV = dx dy dz = rho ^ 2 sin ( theta) d rho d phi d theta $.

لذلك ابدأ nabla u cdot nabla v = u_ rho v_ rho + frac <1> < rho ^ 2> u_ phi v_ phi + frac <1> < rho ^ 2 sin ^ 2 ( phi )> u_ theta v_ theta. علامة * <( المرجع) & # 39> التسمية نهاية

توصيل هذا في start iiint Delta u cdot v ، dxdydz = - iiint nabla u cdot nabla v ، dxdydz ، tag * <( ref) & # 39> التسمية نهاية نبدأ iiint & amp Delta u cdot v rho ^ 2 sin ( phi) ، d rho d phi d theta = & amp- iiint Bigl (u_ rho v_ rho + frac < 1> < rho ^ 2> u_ phi v_ phi + frac <1> < rho ^ 2 sin ( phi)> u_ theta v_ theta Bigr) rho ^ 2 sin ( phi ) ، d rho d phi d theta = & amp iiint Bigr ( bigl ( rho ^ 2 sin ( phi) u_ rho bigr) _ rho + bigl ( sin ( phi) u_ phi bigr) _ phi + bigl ( frac <1> < sin ( phi)> u_ theta bigr) _ theta Bigr) v ، d rho d phi d ثيتا. نهاية ثم يمكننا إلغاء التكامل وعامل $ v $: begin Delta u cdot rho ^ 2 sin ( phi) = bigl ( rho ^ 2 sin ( phi) u_ rho bigr) _ rho + bigl ( sin ( phi) u_ phi bigr) _ phi + bigl ( frac <1> < sin ( phi)> u_ theta bigr) _ theta end ثم تبدأ Delta u = frac <1> < rho ^ 2 sin ( phi)> Bigl ( bigl ( rho ^ 2 sin ( phi) u_ rho bigr) _ rho + bigl ( sin ( phi) u_ phi bigr) _ phi + bigl ( frac <1> < sin ( phi)> u_ theta bigr) _ theta Bigr) end

وأخيراً تبدأ دلتا = جزئي_ rho ^ 2 + فارك <2> < rho> جزئي_ rho + فارك <1> < rho ^ 2> bigl ( جزئي _ < phi> ^ 2 + cot ( phi) جزئي_ phi bigr) + frac <1> < rho ^ 2 sin ^ 2 ( phi)> جزئي _ < theta> ^ 2. ضع الكلمة المناسبة نهاية (قارن مع ( ref))

التعريف 1. يبدأ لامدا: = جزئي _ < phi> ^ 2 + cot ( phi) جزئي_ phi + frac <1> < sin ^ 2 ( phi)> جزئي _ < theta> ^ 2 label نهاية هو كروي لابلاسيان (يُعرف أيضًا باسم عامل لابلاس بلترامي على الكرة).

المعرفة الخاصة: التعميم

إذا كان عنصر الطول هو start دس ^ 2 = مجموع_ زد ف ^ ي دق ^ ك علامة * <( المرجع) & # 39 & # 39> التسمية نهاية حيث $ q = (q ^ 1، ldots، q ^ n) $ هي إحداثيات جديدة ونفضل كتابة $ dq ^ j $ بدلاً من $ dq_j $ (لمتابعة نصف رموز أينشتاين & # 39 ثانية) و $ g_$ مصفوفة متماثلة ($ g ^= ز ^$) ، ثم ابدأ nabla u cdot nabla v = sum_ ز ^شالخامس_ علامة * <( المرجع) & # 39 & # 39> التسمية نهاية حيث $ (g ^) $ مصفوفة معكوسة لـ $ (g_) $: $ sum_ ز ^ز= sum_ زز ^= delta ^ j_l $.

  1. الصيغة ( ref) يحدد مشغل لابلاس على الفتحات الريمانية (مثل الأسطح ثلاثية الأبعاد) حيث لا توجد الإحداثيات الديكارتية على الإطلاق. تتم دراسة هذه الفتحات في الهندسة الريمانية وتستخدم و. في ال النسبية العامة.
  2. في الواقع يستخدم GR الفتحات الزائفة الريمانية لأن المصفوفة $ (g_$) ليس محددًا بشكل إيجابي هناك ولكنه يحتوي على توقيع $ langle + ، + ، + ، - rangle $ (أو العكس). في الإحداثيات الإقليدية الزائفة لـ النسبية الخاصة $ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2-c ^ 2dt ^ 2 $ وبدلاً من Laplacian $ Delta $ نحصل عليه D & # 39Alembertian $ square = Delta-c ^ <-2> part_t ^ 2 $.

المعرفة السرية: الإحداثيات الإهليلجية والقطع المكافئ

إحداثيات إهليلجية على $ mathbb^ 2 $ هي $ ( sigma، tau) $: begin اليسار < ابدأ& ampx = c cosh ( sigma) cos ( tau)، & ampy = c sinh ( sigma) sin ( tau). نهايةحق. ضع الكلمة المناسبة نهاية خطوط المستوى $ sigma = const $ هي علامات بيضاوية مع بؤر عند $ (- c، 0) $ و $ (c، 0) $ وخطوط المستوى $ tau = const $ هي قطوع زائدة مع نفس البؤرة لذلك لدينا متحد البؤر الحذف والقطع الزائد.

هذه الإحداثيات ليست فقط متعامدة ولكنها كذلك امتثالي ($ ds ^ 2 $ يتناسب مع $ d sigma ^ 2 + d tau ^ 2 $) begin ds ^ 2 = bigl ( sinh ^ 2 ( sigma) + sin ^ 2 ( tau) bigr) (d sigma ^ 2 + d tau ^ 2) label نهاية وبالتالي تبدأ دلتا = فارك <1> ( جزئي_ سيجما ^ 2 + جزئي_ tau ^ 2). ضع الكلمة المناسبة نهاية

إحداثيات بيضاوية الشكل أسطوانية في $ mathbb^ 3 $ يتم الحصول عليها بإضافة $ z $ إلى الإحداثيات الناقصية.

إحداثيات القطع المكافئ على $ mathbb^ 2 $ هي $ ( sigma، tau) $: begin اليسار < ابدأ& ampx = sigma tau ، & ampy = frac <1> <2> ( sigma ^ 2- tau ^ 2). نهايةحق. ضع الكلمة المناسبة نهاية خطوط المستوى $ sigma = const $ و $ tau = const $ مكافئ متحد البؤر.

هذه الإحداثيات هي أيضا امتثالي يبدأ ds ^ 2 = ( sigma ^ 2 + tau ^ 2) (d sigma ^ 2 + d tau ^ 2) ، label نهاية وبالتالي تبدأ Delta = frac <1> < sigma ^ 2 + tau ^ 2> ( جزئي_ سيجما ^ 2 + جزئي_ tau ^ 2). ضع الكلمة المناسبة نهاية

في الإحداثيات المطابقة ، الزوايا هي نفسها كما في الإحداثيات الإقليدية.

في الإحداثيات المطابقة ثنائية الأبعاد وفيرة ومتصلة ارتباطًا وثيقًا بـ & quotComplex Variables & quot ، ولكن في الأبعاد الأعلى يوجد عدد قليل جدًا منها.

انظر أيضًا أنظمة الإحداثيات ثلاثية الأبعاد (غير المطابقة):

إحداثيات قطع مكافئ ثلاثية الأبعاد يتم الحصول عليها عن طريق تدوير النظام ثنائي الأبعاد حول محور تناظر القطع المكافئ.

إحداثيات أسطوانية مكافئة في $ mathbbيتم الحصول على ^ 3 $ بإضافة $ z $ إلى إحداثيات القطع المكافئ.


على النقيض من ذلك ، أ (رياضي) اتفاقية. معاهدة هي اتفاقية أبرمها الناس (عادة في جميع أنحاء العالم) للقيام بالأشياء بطريقة معينة. لا يوجد سبب رياضي للاتفاقية ، إن استخدامها مجرد مسألة ملائمة. سوف نعتمد جميع الاتفاقيات المعتادة ، وبينما لديك الحرية في القيام بالأشياء بشكل مختلف في عملك الخاص ، فليس هناك عادة سبب لمحاربة الاتفاقيات. ومع ذلك ، فمن الأهمية بمكان أن تقوم بذلك تفهم معهم! (تشمل الأمثلة المعروفة للاتفاقيات الكتابة من اليسار إلى اليمين ، أو استخدام 10 كأساس لنظام الأرقام لدينا ، أو القيادة على الجانب الأيمن من الشارع.)

الأسبقية الحسابية

عند إدخال الصيغ في WeBWorK (أو آلة حاسبة ، أو برنامج كمبيوتر) يتم تفسيرها وفقًا لاتفاقيات معينة. يبدو أن عدم التقدير الكامل لهذه الاتفاقيات هو أكبر عقبة أمام استخدام WeBWorK بشكل صحيح وخالي من المتاعب.

  • +إضافة . نتيجة الإضافة هي أ مجموع .
  • -الطرح . نتيجة الطرح هي أ فرق .
  • *عمليه الضرب. نتيجة الضرب هي أ منتج .
  • /قطاع. نتيجة القسمة هي أ حاصل القسمة أو أ نسبة . الرقم الذي يتم تقسيمه هو توزيعات ارباح ، الرقم المقسوم عليه هو المقسوم عليه .
  • ^ أو **الأس . نتيجة الأُس هي أ قوة . في السلطة أ ** ب = أ ب ، الرقم أ هل يتمركز ، و ب هل الأس . لأغراضنا في الوقت الحاضر ، أ ب يعني أننا نكتب ب نسخ من الرقم أ وضرب كل هذه النسخ. ومع ذلك ، لا تقلق إذا كنت في هذا الوقت غير واضح بشأن الصلاحيات ، فسنناقشها بتفصيل كبير خلال هذه الدورة.

ملحوظة: يستخدم الطلاب بشكل متكرر كلمات مثل بلوسينغ, ناقص، أو مرات. هذه الكلمات الأحداث. إن استخدامها في الرياضيات الجامعية يشبه الإشارة إلى والديك على أنهما أنت أمي و أبي خلال مقابلة عمل. من المؤسف أن يتم تعليمهم واستخدامهم في المدارس الابتدائية والثانوية. اعتد على استخدام الكلمات المناسبة المعرفة والمقدمة والمستخدمة في هذه الفئة.

عامل تشغيل مفقود يعني الضرب

وفقًا للاتفاقية ، عندما يتم حذف عامل ما ، فهذا يعني الضرب. على سبيل المثال، 3 أ يعني 3 * أ و 3(4+2) يساوي 18. س ص يعني س * ص.

(في الواقع ، هناك استثناء لهذه القاعدة في شكل أرقام مختلطة والتي تكون في الغالب عديمة الفائدة لأغراضنا ويجب تجنبها.)

تسلسل العمليات

    الأس. الضرب والقسمة. جمع وطرح في حالة العمليات التي لها نفس مستوى الأسبقية ، يتم إجراء التقييم من اليسار الى اليمين.

في الواقع ، في القائمة أعلاه ، يجب أن يكون هناك عنصر 0 يسبق جميع العناصر الأخرى: الوظائف القياسية ، مثل اللوغاريتمات ، والوظائف المثلثية ، وما إلى ذلك ، ومع ذلك ، لن نستخدم هذه الوظائف في الرياضيات 1010. (لكنك ستدرسها بتفصيل كبير) في الرياضيات 1030 و 1050 و 1060 وفي حساب التفاضل والتكامل.)

    يتم تقييم التعبيرات الموجودة بين الأقواس أولاً.
  • 2+3*4 = 2+12 = 14. لاحظ أن عملية الضرب تتم قبل عملية الجمع.
  • (2+3)*4 = 5*4 = 20. يمكنك استخدام الأقواس لتحديد تنفيذ الإضافة أولاً.
  • 10 - 4 - 2 = 6 - 2 = 4. تقوم بإجراء عمليات الطرح من اليسار إلى اليمين.
  • 10 - (4-2) = 10-2 = 8. تستخدم الأقواس لإجراء عملية الطرح الموجودة في أقصى اليمين أولاً ، مما يغير الإجابة.
  • 12/3+3 = 4+3 = 7. التقسيم يأتي أولا.
  • 12/(3+3) = 12/6 = 2. تشير الأقواس إلى أنك تريد إجراء الإضافة أولاً.
  • 2^3*3 = 2*2*2*3 = 24. تُحسب القوة أولاً ، وتُضرب النتيجة بـ 3.
  • 2^(3*3) = 2^9 = 2*2*2*2*2*2*2*2*2 =512. تشير الأقواس إلى أن الأس هو المنتج 3*3=9.
  • 12/2*3 = 6*3 = 18. الضرب والقسمة لهما نفس الأسبقية ، ونعمل من اليسار إلى اليمين.
  • 12/2/3 = 6/3 = 2. مرة أخرى ، نعمل من اليسار إلى اليمين.
  • 18/3^2 = 18/9=2. القوة لها أولوية أعلى من القسمة ، ويتم تقييمها أولاً. لاحظ أن 3 ^ 2 تعني 3 * 3 ، ولكن إذا استبدلنا 3 ^ 2 بـ 3 * 3 ، فسنحصل على نتيجة مختلفة: 18/3*3 = 6*3 = 18.
  • (18/3)^2 = 6^2 = 36. تشير الأقواس إلى أن الأساس يساوي 18/3 = 6.

يمكن أن تكون الأقواس متداخل ، على سبيل المثال ، يمكن احتواء أزواج الأقواس المتطابقة داخل أزواج أخرى من الأقواس. على سبيل المثال،

12-(6-(4-2)) = 12 - (6-2) = 12 - 4 = 8.

لتقييم الصيغ التي تتضمن أزواجًا متداخلة من الأقواس لك ابدأ بالأزواج الأعمق واعمل على الخروج.


العاملين

يمكنك الاختيار من بين العديد من المشغلين لهيكلة صيغة LibreOffice Math الخاصة بك. تظهر جميع عوامل التشغيل المتاحة في الجزء السفلي من لوحة العناصر. يتم سردها أيضًا في قائمة السياق في نافذة الأوامر. يجب كتابة جميع العوامل غير الموجودة في جزء العناصر أو في قائمة السياق يدويًا في نافذة الأوامر.

افتح قائمة السياق في نافذة الأوامر - اختر العملاء

اختر عرض - عناصر ثم في جزء العناصر حدد عوامل التشغيل من مربع القائمة.

فيما يلي قائمة بالمشغلين المتاحين. تشير أيقونة بجوار اسم المشغل إلى أنه يمكن الوصول إليه من خلال جزء العناصر (اختر عرض - عناصر) أو من خلال قائمة السياق في نافذة الأوامر.

وظائف المشغل

يُدرج علامة الحد مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا إدخال lim & lt؟ & gt مباشرة في نافذة الأوامر.

يُدرج علامة جمع بعنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا إدخال sum & lt؟ & gt مباشرة في نافذة الأوامر.

إدراج علامة منتج مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا كتابة prod & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر.

يُدرج رمز منتج مشترك مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا إدخال coprod & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر.

يُدرج بيان النطاق الحد الأعلى والأدنى لبيان النطاق للتكامل والتجميع مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا الكتابة من <& lt؟ & gt> إلى <& lt؟ & gt> & lt؟ & gt مباشرة في نافذة الأوامر. يجب دمج عبارات التحديد مع عوامل التشغيل المناسبة. سيتم توسيط الحدود أعلى / أسفل حرف التجميع.

يُدرج علامة متكاملة مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا كتابة int & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر.

يُدرج رمزًا متكاملًا مزدوجًا مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا كتابة iint & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر.

يُدرج علامة تكامل ثلاثية مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا كتابة iiint & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر.

يُدرج بيان نطاق الحد الأدنى للتكامل والمبلغ مع العناصر النائبة. يمكنك أيضًا الكتابة من <& lt؟ & gt> & lt؟ & gt مباشرة في نافذة الأوامر.

إدراج رمز منحنى متكامل مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا كتابة lint & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر.

يُدرج رمزًا متكاملًا منحنى مزدوجًا مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا كتابة llint & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر.

يُدرج علامة متكاملة منحنى ثلاثي مع عنصر نائب واحد. يمكنك أيضًا كتابة lllint & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر.

يُدرج الحد الأعلى لبيان النطاق للتكامل والتجميع مع العناصر النائبة. يمكنك أيضًا كتابة & lt؟ & gt & lt؟ & gt مباشرةً في نافذة الأوامر. لا يمكن استخدام عبارات التحديد إلا إذا تم دمجها مع عوامل التشغيل المناسبة.

يمكنك أيضًا إضافة حدود إلى عامل التشغيل (على سبيل المثال ، جزء لا يتجزأ) عن طريق النقر أولاً على عامل التشغيل المطلوب ثم النقر فوق رمز الحد. هذه الطريقة أسرع من كتابة الأوامر مباشرة.

يقوم الأمر liminf بإدراج الحد الأدنى بعنصر نائب واحد.

يقوم الأمر limsup بإدراج الحد الأعلى بعنصر نائب واحد.

من خلال كتابة المعامل في نافذة الأوامر ، يمكنك إدراج عوامل معرفة من قبل المستخدم في LibreOffice Math ، وهي ميزة مفيدة لدمج الأحرف الخاصة في صيغة. مثال على ذلك هو معامل٪ ثيتا x. باستخدام أمر oper ، يمكنك أيضًا إدراج أحرف ليست في مجموعة أحرف LibreOffice الافتراضية. يمكن أيضًا استخدام عامل التشغيل فيما يتعلق بالحدود على سبيل المثال ، oper٪ union from إلى ن x_ . في هذا المثال ، يُشار إلى رمز الاتحاد باسم union. ومع ذلك ، هذا ليس أحد الرموز المحددة مسبقًا. لتعريفه ، اختر أدوات - رموز. حدد خاص باعتباره مجموعة الرموز في مربع الحوار الذي يظهر ، ثم انقر فوق الزر تحرير. في مربع الحوار التالي ، حدد خاص باعتباره مجموعة الرموز مرة أخرى. أدخل اسمًا ذا معنى في مربع نص الرمز ، على سبيل المثال ، "union" ثم انقر فوق رمز التوحيد في مجموعة الرموز. انقر فوق إضافة ثم موافق. انقر فوق إغلاق لإغلاق مربع حوار الرموز. لقد انتهيت الآن ويمكنك كتابة رمز الاتحاد في نافذة الأوامر ، عن طريق إدخال oper٪ union.

يمكن ترتيب الحدود بطرق أخرى غير التوسيط فوق / أسفل المشغل. استخدم الخيارات التي يوفرها LibreOffice Math للعمل مع الفهارس المرتفعة والمنخفضة. على سبيل المثال ، اكتب sum_a ^ b c في نافذة الأوامر لترتيب الحدود إلى يمين رمز المجموع. إذا كانت مدخلات الحد تحتوي على تعبيرات أطول ، فيجب وضعها بين أقواس مجموعة ، على سبيل المثال ، sum_^ <2 * ن> ب. عندما يتم استيراد الصيغ من الإصدارات القديمة ، يتم ذلك تلقائيًا. لتغيير التباعد (الفجوات) بين الأحرف ، اختر تنسيق - تباعد - فئة - فهارس أو تنسيق - تباعد - فئة - حدود. يتم توفير معلومات أساسية إضافية حول الفهارس في مكان آخر في "التعليمات".

عند كتابة المعلومات يدويًا في نافذة الأوامر ، لاحظ أن عددًا من العوامل تتطلب مسافات للبنية الصحيحة. هذا صحيح بشكل خاص عندما يتم تزويد المشغلين بقيم بدلاً من العناصر النائبة ، على سبيل المثال ، lim a_= أ.


بديل لصيغة مجموع أويلر-ماكلورين: تقريب المجاميع بالتكاملات فقط

تُستخدم صيغة جمع أويلر-ماكلورين (EM) في العديد من الدراسات النظرية والحسابات العددية. إنها تقترب من المجموع (< sum nolimits _^ f (k)> ) لقيم دالة F من خلال مجموعة خطية من التكامل المقابل لـ F وقيم مشتقاتها ذات الترتيب الأعلى (f ^ <(j)> ). تم اقتراح صيغة جمع بديلة (Alt) ، والتي تقرب المجموع من خلال مجموعة خطية من التكاملات فقط ، دون استخدام مشتقات عالية الترتيب من F. يتم إعطاء حدود صريحة وسهلة الاستخدام إلى حد ما على الباقي. يشار إلى الامتدادات للتجميع متعدد الفهارس وللمجموع عبر polytopes شبكية. يتم تقديم تطبيقات لتلخيص سلسلة متباينة محتملة. ستتفوق صيغة Alt في معظم الحالات ، أو تتفوق بشكل كبير ، على صيغة تجميع EM من حيث وقت التنفيذ واستخدام الذاكرة. تتمثل إحدى مزايا حسابات Alt في أنه ، على عكس حسابات EM ، يمكن موازنتها بالكامل تقريبًا. يتم إعطاء أمثلة توضيحية. In one of the examples, where an array of values of the Hurwitz generalized zeta function is computed with high accuracy, it is shown that both our implementation of the EM summation formula and, especially, the Alt formula perform much faster than the built-in Mathematica command HurwitzZeta[] .

هذه معاينة لمحتوى الاشتراك ، والوصول عبر مؤسستك.


Operator — Standard operators as functions¶

The operator module exports a set of efficient functions corresponding to the intrinsic operators of Python. For example, operator.add(x, y) is equivalent to the expression x+y . Many function names are those used for special methods, without the double underscores. For backward compatibility, many of these have a variant with the double underscores kept. The variants without the double underscores are preferred for clarity.

The functions fall into categories that perform object comparisons, logical operations, mathematical operations and sequence operations.

The object comparison functions are useful for all objects, and are named after the rich comparison operators they support:

operator. lt ( أ, b ) ¶ operator. le ( أ, b ) ¶ operator. eq ( أ, b ) ¶ operator. ne ( أ, b ) ¶ operator. ge ( أ, b ) ¶ operator. gt ( أ, b ) ¶ operator. __lt__ ( أ, b ) ¶ operator. __le__ ( أ, b ) ¶ operator. __eq__ ( أ, b ) ¶ operator. __ne__ ( أ, b ) ¶ operator. __ge__ ( أ, b ) ¶ operator. __gt__ ( أ, b ) ¶

Perform “rich comparisons” between أ و b. Specifically, lt(a, b) is equivalent to a < b , le(a, b) is equivalent to a <= b , eq(a, b) is equivalent to a == b , ne(a, b) is equivalent to a != b , gt(a, b) is equivalent to a > b and ge(a, b) is equivalent to a >= b . Note that these functions can return any value, which may or may not be interpretable as a Boolean value. See Comparisons for more information about rich comparisons.

The logical operations are also generally applicable to all objects, and support truth tests, identity tests, and boolean operations:

operator. not_ ( obj ) ¶ operator. __not__ ( obj ) ¶

Return the outcome of not obj. (Note that there is no __not__() method for object instances only the interpreter core defines this operation. The result is affected by the __bool__() and __len__() methods.)

Return True if obj is true, and False otherwise. This is equivalent to using the bool constructor.

Return a is b . Tests object identity.

Return a is not b . Tests object identity.

The mathematical and bitwise operations are the most numerous:

operator. abs ( obj ) ¶ operator. __abs__ ( obj ) ¶

Return the absolute value of obj.

Return a + b , for أ و b numbers.

operator. and_ ( أ, b ) ¶ operator. __and__ ( أ, b ) ¶

Return the bitwise and of أ و b.

operator. floordiv ( أ, b ) ¶ operator. __floordiv__ ( أ, b ) ¶

operator. index ( أ ) ¶ operator. __index__ ( أ ) ¶

Return أ converted to an integer. Equivalent to a.__index__() .

operator. inv ( obj ) ¶ operator. invert ( obj ) ¶ operator. __inv__ ( obj ) ¶ operator. __invert__ ( obj ) ¶

Return the bitwise inverse of the number obj. This is equivalent to

operator. lshift ( أ, b ) ¶ operator. __lshift__ ( أ, b ) ¶

Return أ shifted left by b.

Return a * b , for أ و b numbers.

operator. matmul ( أ, b ) ¶ operator. __matmul__ ( أ, b ) ¶

Return the bitwise or of أ و b.

operator. pos ( obj ) ¶ operator. __pos__ ( obj ) ¶

Return a ** b , for أ و b numbers.

operator. rshift ( أ, b ) ¶ operator. __rshift__ ( أ, b ) ¶

Return أ shifted right by b.

operator. truediv ( أ, b ) ¶ operator. __truediv__ ( أ, b ) ¶

Return a / b where 2/3 is .66 rather than 0. This is also known as “true” division.

Return the bitwise exclusive or of أ و b.

Operations which work with sequences (some of them with mappings too) include:

operator. concat ( أ, b ) ¶ operator. __concat__ ( أ, b ) ¶

Return a + b for أ و b sequences.

operator. contains ( أ, b ) ¶ operator. __contains__ ( أ, b ) ¶

Return the outcome of the test b in a . Note the reversed operands.

Return the number of occurrences of b في أ.

operator. delitem ( أ, b ) ¶ operator. __delitem__ ( أ, b ) ¶

Remove the value of أ at index b.

operator. getitem ( أ, b ) ¶ operator. __getitem__ ( أ, b ) ¶

Return the value of أ at index b.

Return the index of the first of occurrence of b في أ.

Set the value of أ at index b ل ج.

operator. length_hint ( obj, default=0 ) ¶

Return an estimated length for the object o. First try to return its actual length, then an estimate using object.__length_hint__() , and finally return the default value.

The operator module also defines tools for generalized attribute and item lookups. These are useful for making fast field extractors as arguments for map() , sorted() , itertools.groupby() , or other functions that expect a function argument.

operator. attrgetter ( attr ) ¶ operator. attrgetter ( *attrs )

Return a callable object that fetches attr from its operand. If more than one attribute is requested, returns a tuple of attributes. The attribute names can also contain dots. For example:

After f = attrgetter('name') , the call f(b) returns b.name .

After f = attrgetter('name', 'date') , the call f(b) returns (b.name, b.date) .

After f = attrgetter('name.first', 'name.last') , the call f(b) returns (b.name.first, b.name.last) .

Return a callable object that fetches item from its operand using the operand’s __getitem__() method. If multiple items are specified, returns a tuple of lookup values. For example:

After f = itemgetter(2) , the call f(r) returns r[2] .

After g = itemgetter(2, 5, 3) , the call g(r) returns (r[2], r[5], r[3]) .

The items can be any type accepted by the operand’s __getitem__() method. Dictionaries accept any hashable value. Lists, tuples, and strings accept an index or a slice:

Example of using itemgetter() to retrieve specific fields from a tuple record:

Return a callable object that calls the method اسم on its operand. If additional arguments and/or keyword arguments are given, they will be given to the method as well. For example:

After f = methodcaller('name') , the call f(b) returns b.name() .

After f = methodcaller('name', 'foo', bar=1) , the call f(b) returns b.name('foo', bar=1) .


6.3: Operators - Euler-MacLaurin summation - Mathematics

Operators are the foundation of any programming language. Thus the functionality of C/C++ programming language is incomplete without the use of operators. We can define operators as symbols that help us to perform specific mathematical and logical computations on operands. In other words, we can say that an operator operates the operands.
For example, consider the below statement:

Here, ‘+’ is the operator known as addition operator and ‘a’ and ‘b’ are operands. The addition operator tells the compiler to add both of the operands ‘a’ and ‘b’.

  1. Arithmetic Operators: These are the operators used to perform arithmetic/mathematical operations on operands. Examples: (+, -, *, /, %,++,–). Arithmetic operator are of two types:
    1. Unary Operators: Operators that operates or works with a single operand are unary operators. For example: (++ , –)
    2. Binary Operators: Operators that operates or works with two operands are binary operators. For example: (+ , – , * , /)
    1. “=”: This is the simplest assignment operator. This operator is used to assign the value on the right to the variable on the left.
      For example:
    2. “+=”: This operator is combination of ‘+’ and ‘=’ operators. This operator first adds the current value of the variable on left to the value on right and then assigns the result to the variable on the left.
      مثال:
    1. sizeof operator: sizeof is a much used in the C/C++ programming language. It is a compile time unary operator which can be used to compute the size of its operand. The result of sizeof is of unsigned integral type which is usually denoted by size_t. Basically, sizeof operator is used to compute the size of the variable. To learn about sizeof operator in details you may visit this link.
    2. Comma Operator: The comma operator (represented by the token ,) is a binary operator that evaluates its first operand and discards the result, it then evaluates the second operand and returns this value (and type). The comma operator has the lowest precedence of any C operator. Comma acts as both operator and separator. To learn about comma in details visit this link.
    3. Conditional Operator: Conditional operator is of the form Expression1 ? Expression2 : Expression3 . Here, Expression1 is the condition to be evaluated. If the condition(Expression1) is حقيقي then we will execute and return the result of Expression2 otherwise if the condition(Expression1) is false then we will execute and return the result of Expression3. We may replace the use of if..else statements by conditional operators. To learn about conditional operators in details, visit this link.

    Operator precedence chart

    This article is contributed by Harsh Agarwal. If you like GeeksforGeeks and would like to contribute, you can also write an article using contribute.geeksforgeeks.org or mail your article to [email protected] See your article appearing on the GeeksforGeeks main page and help other Geeks.

    Please write comments if you find anything incorrect, or you want to share more information about the topic discussed above.

    القارئ الانتباه! لا تتوقف عن التعلم الآن. Get hold of all the important DSA concepts with the DSA Self Paced Course at a student-friendly price and become industry ready. To complete your preparation from learning a language to DS Algo and many more, please refer Complete Interview Preparation Course.


    You may too use the method I used here for the expansion of $ an$ :

    Integrate repetitively $ anh'(x)=1- anh(x)^2 $ starting with $, anh(x)approx x$ :

    Every integration gives another coefficient of $ displaystyle anh(x)=sum_ a_n (-1)^n,x^<2n+1> $ and we get simply : $a_0=1, a_=frac 1 <2n+3>sum_^n a_k a_, ext >0$ i.e. the sequence (with alternating signs for $ anh$) : $(a_n)_<>>=left(frac 11,frac 13, frac 2<15>, frac <17><315>, frac <62><2835>, frac<1382><155925>,cdots ight)$

    We may probably deduce the recurrence relation of Bernoulli numbers in function of this one (or vice et versa) but I didn't try that yet.

    يبدأ anh x &=& x - frac <3>+ frac <2x^5> <15>- frac <17x^7> <315>+ cdots = sum_^infty frac<2^<2n>(2^<2n>-1)B_ <2n>x^<2n-1>><(2n)!>, left |x ight | < frac <2> end Where $B_$ is the $m$-th Bernoulli number defined as egin B_m(n) = sum_^msum_^k(-1)^vinom kvfrac نهاية

    I don't know of a universal theory of all places where Bernoulli numbers arise, but Euler-Maclaurin summation explains many of their more down-to-earth occurrences.

    The heuristic explanation (due to Lagrange) is as follows. The first difference operator defined by $Delta f(n) = f(n+1)-f(n)$ and summation are inverses, in the same sense in which differentiation and integration are inverses. This just amounts to a telescoping series: $sum_ Delta f(i) = f(b) - f(a)$.

    Now by Taylor's theorem, $f(n+1) = sum_ f^<(k)>(n)/k!$ (under suitable hypotheses, of course). If we let $D$ denote the differentation operator defined by $Df = f'$, and $S$ denote the shift operator defined by $Sf(n) = f(n+1)$, then Taylor's theorem tells us that $S = e^D$. Thus, because $Delta = S-1$, we have $Delta = e^D - 1$.

    Now summing amounts to inverting $Delta$, or equivalently applying $(e^D-1)^<-1>$. If we expand this in terms of powers of $D$, the coefficients are Bernoulli numbers (divided by factorials). Because of the singularity at "$D=0$", the initial term involves antidifferentiation $D^<-1>$, i.e., integration. Thus, we have expanded a sum as an integral plus correction terms involving higher derivatives, with Bernoulli number coefficients.

    Specifically, $ sum_ f(i) = int_a^b f(x) , dx + sum_ frac (f^<(k-1)>(b) - f^<(k-1)>(a)). $ (Subtracting the values at $b$ and $a$ just amounts to the analogue of turning an indefinite integral into a definite integral.)


    Euler–Maclaurin and Gregory interpolants

    Let a sufficiently smooth function (f) on ([-1,1]) be sampled at (n+1) equispaced points, and let (kge 0) be given. An Euler–Maclaurin interpolant to the data is defined, consisting of a sum of a degree (k) algebraic polynomial and a degree (n) trigonometric polynomial, which deviates from (f) by (O(n^<-k>)) and whose integral is equal to the order (k) Euler–Maclaurin approximation of the integral of (f) . This interpolant makes use of the same derivatives (f^<( j)>(pm 1)) as the Euler–Maclaurin formula. A variant Gregory interpolant is also defined, based on finite difference approximations to the derivatives, whose integral (for (k) odd) is equal to the order (k) Gregory approximation to the integral.

    هذه معاينة لمحتوى الاشتراك ، والوصول عبر مؤسستك.


    Ken Ward's Mathematics Pages

    محتويات

    General Formula Using Summation

    In previous pages we have looked at various ways to sum the powers of the natural numbers: powers of 1 and 2. Here we will generalise and find one (of many) formulae to give us the sums of powers with much less work.

    Some of the techniques we examined, worked only for some of the powers. The technique of summation works for all powers.

    In general, the sum of the (k+1) terms is the sum of the k terms plus the (k+1) term:
    [1.1]

    Expanding the left-hand side, using the Binomial Theorem, we get:
    [1.2]

    Replacing the left-hand side of 1.1 with the right-hand side of 1.2, we get:

    As expected the k m+1 terms will cancel.

    Leaving the k m sum where it is, we can move the rest to the right-hand side
    [1.4]

    More generally, we can say:
    [1.5]
    This is a recursive formula, of course, so you can find the sum of the m powers only when you know the sum of the (m-1) powers. By setting m=0, 1, 2, 3. m, you can find the sum of any m power. .

    Let us use the formula, by setting m=0.


    Because the lower sum, r=2 exceeds the upper 1, then all that remains is (n+1) which is the sum of 1's from 0 to n. ∑ n 01=(n+1)!

    Let m=3, to find the sum of the first n cubes. Substituting in the equation:


    The sum of the cubes of the first n natural numbers is the square of the formula for the first n natural numbers, so it is easy to remember!


    شاهد الفيديو: استنتاج متطابقة أويلر من مفكوك ماكلورين (شهر اكتوبر 2021).