مقالات

14: الرسوم البيانية المستوية - الرياضيات


14: الرسوم البيانية المستوية - الرياضيات

الرياضيات المتقطعة: مقدمة مفتوحة ، الطبعة الثالثة

عندما يمكن رسم رسم بياني متصل بدون تقاطع أي حواف ، يتم استدعاؤه. عندما يتم رسم الرسم البياني المستوي بهذه الطريقة ، فإنه يقسم المستوى إلى مناطق تسمى.

ارسم ، إن أمكن ، رسمين بيانيين مستويين مختلفين بنفس عدد الرؤوس والحواف والأوجه.

ارسم ، إن أمكن ، رسمين بيانيين مستويين مختلفين بنفس عدد الرؤوس والحواف ، لكن بعدد مختلف من الوجوه.

متى يكون من الممكن رسم رسم بياني بحيث لا تتقاطع أي من الحواف؟ لو هذا هو ممكن ، نقول إن الرسم البياني هو (حيث يمكنك رسمه على ملف طائرة).

لاحظ أن تعريف المستوي يتضمن عبارة "من الممكن أن". هذا يعني أنه حتى إذا كان الرسم البياني لا يبدو أنه مستوٍ ، فقد يظل كذلك. ربما يمكنك إعادة رسمه بطريقة لا تتقاطع معها أي حواف. على سبيل المثال ، هذا رسم بياني مستوٍ:

هذا لأنه يمكننا إعادة رسمه على النحو التالي:

الرسوم البيانية هي نفسها ، لذلك إذا كان أحدهما مستويًا ، فيجب أن يكون الآخر أيضًا. ومع ذلك ، فإن الرسم الأصلي للرسم البياني لم يكن من الرسم البياني.

عندما يتم رسم رسم بياني مستوٍ بدون تقاطع حواف ، فإن حواف الرسم البياني ورؤوسه تقسم المستوى إلى مناطق. سوف نسمي كل منطقة أ. الرسم البياني أعلاه له 3 وجوه (نعم ، نحن فعل تشمل المنطقة "الخارجية" كوجه). لا يتغير عدد الوجوه بغض النظر عن كيفية رسم الرسم البياني (طالما أنك تفعل ذلك بدون تقاطع الحواف) ، لذلك من المنطقي أن تنسب عدد الوجوه كخاصية للرسم البياني المستوي.

تحذير: يمكنك عد الوجوه فقط عندما يتم رسم الرسم البياني بطريقة مستوية. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك هذين التمثيلين لنفس الرسم البياني:

إذا حاولت عد الوجوه باستخدام الرسم البياني الموجود على اليسار ، يمكنك القول أن هناك 5 وجوه (بما في ذلك الخارج). لكن رسم الرسم البياني بتمثيل مستو يُظهر أنه في الواقع لا يوجد سوى 4 وجوه.

يوجد اتصال بين عدد الرؤوس ( (v )) وعدد الحواف ( (e )) وعدد الوجوه ( (f )) في أي رسم بياني مستو متصل. تسمى هذه العلاقة بصيغة أويلر.

صيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية.

لأي رسم بياني مستو متصل برؤوس (هـ ) حواف و (و ) وجوه ، لدينا

لماذا تعتبر صيغة أويلر صحيحة؟ طريقة واحدة لإقناع نفسك بصحتها هي رسم رسم بياني مستوٍ خطوة بخطوة. ابدأ بالرسم البياني (P_2 text <:> )

يجب أن يحتوي أي رسم بياني متصل (بالإضافة إلى رأس واحد معزول) على هذا الرسم البياني الفرعي. قم الآن ببناء الرسم البياني الخاص بك عن طريق إضافة الحواف والرؤوس. ستتألف كل خطوة إما من إضافة رأس جديد متصل بحافة جديدة إلى جزء من الرسم البياني الخاص بك (وبالتالي إنشاء "ارتفاع" جديد) أو عن طريق توصيل رأسين في الرسم البياني بالفعل بحافة جديدة (إكمال دائرة).

ماذا تفعل هذه "التحركات"؟ عند إضافة السنبلة ، يزداد عدد الحواف بمقدار 1 ، ويزداد عدد الرؤوس بمقدار واحد ، ويظل عدد الوجوه كما هو. لكن هذا يعني أن (v - e + f ) لا يتغير. يضيف إكمال الدائرة حافة واحدة ، ويضيف وجهًا واحدًا ، ويحافظ على عدد الرؤوس كما هو. لذا مرة أخرى ، لا يتغير (v - e + f ).

نظرًا لأنه يمكننا إنشاء أي رسم بياني باستخدام مزيج من هاتين الحركتين ، فإن القيام بذلك لا يغير الكمية (v - e + f text <،> ) ستكون هذه الكمية هي نفسها لجميع الرسوم البيانية. لكن لاحظ أن الرسم البياني الافتتاحي (P_2 ) يحتوي على (v = 2 text <،> ) (e = 1 ) و (f = 1 text <،> ) لذا (v - e + f = 2 text <.> ) هذه الحجة هي في الأساس إثبات بالاستقراء. سيكون من التمارين الجيدة إعادة كتابته كدليل استقرائي رسمي.

قسم الرسوم البيانية غير المستوية

يفتش!

بالنسبة إلى الرسوم البيانية الكاملة (K_n text <،> ) نود أن نكون قادرين على قول شيء عن عدد الرؤوس والحواف و (إذا كان الرسم البياني مستويًا) الوجوه. لنفكر أولاً في (K_3 text <:> )

كم عدد الرؤوس التي يمتلكها (K_3 )؟ كم عدد الحواف؟

إذا كان (K_3 ) مستويًا ، فكم عدد الوجوه التي يجب أن يحتوي عليها؟

كرر الأجزاء (1) و (2) لـ (K_4 text <،> ) (K_5 text <،> ) و (K_ <23> text <.> )

ماذا عن الرسوم البيانية ثنائية الأجزاء الكاملة؟ ما عدد الرؤوس والحواف والوجوه (إذا كانت مستوية) التي يمتلكها (K_ <7،4> )؟ لأي قيم من (m ) و (n ) هي (K_n ) و (K_) مستو؟

ليست كل الرسوم البيانية مستوية. إذا كان هناك عدد كبير جدًا من الحواف وعدد قليل جدًا من الرؤوس ، فستحتاج بعض الحواف إلى التقاطع. أصغر رسم بياني يحدث فيه هذا هو (K_5 text <.> )

إذا حاولت إعادة رسم هذا دون تقاطع الحواف ، فستواجه مشكلة بسرعة. يبدو أن هناك ميزة واحدة كثيرة جدًا. في الواقع ، يمكننا إثبات أنه بغض النظر عن كيفية رسمه ، فإن (K_5 ) سيكون له دائمًا حواف متقاطعة.

نظرية 4.3.1.
دليل .

الدليل بالتناقض. لذا افترض أن (K_5 ) مستوٍ. ثم يجب أن يلبي الرسم البياني صيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية. (K_5 ) له 5 رؤوس و 10 حواف ، لذلك نحصل على

والتي تنص على أنه إذا تم رسم الرسم البياني بدون تقاطع أي حواف ، فسيكون هناك (f = 7 ) وجوه.

فكر الآن في عدد الحواف المحيطة بكل وجه. يجب أن يكون كل وجه محاطًا بثلاث حواف على الأقل. لنفترض أن (B ) هو العدد الإجمالي لـ حدود حول جميع الوجوه في الرسم البياني. وبالتالي لدينا هذا (3f le B text <.> ) ولكن أيضًا (B = 2e text <،> ) حيث يتم استخدام كل حافة كحد مرتين بالضبط. وضع هذا معا نحصل عليه

لكن هذا مستحيل ، لأننا قررنا بالفعل أن (f = 7 ) و (e = 10 text <،> ) و (21 not le 20 text <.> ) هذا هو التناقض لذلك في الواقع (K_5 ) ليس مستويًا.

أبسط رسم بياني آخر غير مستوٍ هو (K_ <3،3> )

إثبات أن (K_ <3،3> ) ليس مستويًا يجيب على لغز المنازل والمرافق: لا يمكن توصيل كل من المنازل الثلاثة بكل من المرافق الثلاثة دون تقاطع الخطوط.

نظرية 4.3.2.
دليل .

مرة أخرى ، ننتقل إلى التناقض. لنفترض أن (K_ <3،3> ) كان مستويًا. بعد ذلك ، وفقًا لصيغة أويلر ، سيكون هناك 5 وجوه ، بما أن (v = 6 text <،> ) (e = 9 text <،> ) و (6-9 + f = 2 text <.> )

كم عدد الحدود التي تحيط بهذه الوجوه الخمسة؟ دع (ب ) يكون هذا الرقم. نظرًا لاستخدام كل حافة كحد مرتين ، فلدينا (B = 2e text <.> ) أيضًا ، (B ge 4f ) نظرًا لأن كل وجه محاط بـ 4 حدود أو أكثر. نعلم أن هذا صحيح لأن (K_ <3،3> ) ثنائي ، لذلك لا يحتوي على أي دورات ثلاثية الحواف. هكذا

لكن هذا قد يقول أن (20 le 18 text <،> ) وهو خطأ واضح. وبالتالي (K_ <3،3> ) ليس مستويًا.

لاحظ أوجه التشابه والاختلاف في هذه البراهين. كلاهما دليل على التناقض ، وكلاهما يبدأ باستخدام صيغة أويلر لاشتقاق العدد (المفترض) من الوجوه في الرسم البياني. ثم نجد علاقة بين عدد الوجوه وعدد الحواف بناءً على عدد الحواف المحيطة بكل وجه. هذا هو الاختلاف الوحيد. في إثبات (K_5 text <،> ) حصلنا على (3f le 2e ) ول (K_ <3،3> ) نذهب (4f le 2e text <.> ) معامل (f ) هو المفتاح. إنه أصغر عدد من الحواف التي يمكن أن تحيط بأي وجه. إذا كان هناك عدد من الحواف تحيط بالوجه ، فإن هذه الحواف تشكل دائرة. إذن هذا الرقم هو حجم أصغر دورة في الرسم البياني.

بشكل عام ، إذا تركنا (g ) حجم أصغر دورة في الرسم البياني ( (g ) تعني مقاس، وهو المصطلح التقني لهذا) إذن بالنسبة لأي رسم بياني مستو لدينا (gf le 2e text <.> ) عندما لا يتوافق هذا مع صيغة أويلر ، فنحن نعرف بالتأكيد أن الرسم البياني لا يمكن أن يكون مستويًا.

المجسمات المتعددة السطوح الفرعية

يفتش!

المكعب هو مثال على متعدد السطوح محدب. يحتوي على 6 مربعات متطابقة لوجوه ، و 8 رؤوس ، و 12 ضلعًا. المكعب هو (المعروف أيضًا باسم أ) لأن كل وجه عبارة عن مضلع منتظم متطابق وكل رأس ينضم إلى عدد متساوٍ من الوجوه.

هناك أربعة أشكال أخرى متعددة الوجوه منتظمة: رباعي السطوح ، ثماني السطوح ، ثنائي الوجوه ، وعشروني الوجوه مع 4 و 8 و 12 و 20 وجهًا على التوالي. كم عدد الرؤوس والحواف لكل منها؟

مجال آخر في الرياضيات حيث قد تكون سمعت بمصطلحات "قمة" و "حافة" و "وجه" هي الهندسة. A مادة صلبة هندسية تتكون من وجوه مسطحة متعددة الأضلاع متصلة عند الحواف والرؤوس. نحن مهتمون بشكل خاص بالمجسمات المتعددة السطوح ، مما يعني أن أي جزء خطي يربط بين نقطتين على الجزء الداخلي من متعدد السطوح يجب أن يتم احتواؤه بالكامل داخل متعدد السطوح. 7

لاحظ أنه بما أن (8-12 + 6 = 2 text <،> ) فإن رؤوس المكعب وحوافه وأوجهه تفي بصيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية. هذا ليس من قبيل الصدفة. يمكننا تمثيل المكعب على هيئة رسم بياني مستوٍ بإسقاط الرؤوس والحواف على المستوى. يبدو أحد هذه الإسقاطات كما يلي:

حقيقة، كل يمكن إسقاط متعدد السطوح المحدب على المستوى بدون تقاطع الحواف. فكر في وضع متعدد السطوح داخل كرة ، مع وجود ضوء في مركز الكرة. تلقي حواف ورؤوس المجسم متعدد السطوح بظلالها على الجزء الداخلي من الكرة. يمكنك بعد ذلك قطع ثقب في الكرة في منتصف أحد الوجوه المسقطة و "شد" الكرة لتستلقي بشكل مسطح على المستوى. الوجه الذي تم ثقبه يصبح الوجه "الخارجي" للرسم البياني المستوي.

النقطة المهمة هي أنه يمكننا تطبيق ما نعرفه عن الرسوم البيانية (خاصة الرسوم البيانية المستوية) على الأشكال المتعددة السطوح المحدبة. نظرًا لأنه يمكن تمثيل كل متعدد السطوح المحدب كرسم بياني مستوٍ ، فإننا نرى أن صيغة أويلر للرسوم البيانية المستوية تنطبق أيضًا على جميع الأشكال المتعددة السطوح المحدبة. يمكننا أيضًا تطبيق نفس النوع من التفكير الذي نستخدمه للرسوم البيانية في سياقات أخرى على الأشكال المتعددة السطوح المحدبة. على سبيل المثال ، نحن نعلم أنه لا يوجد متعدد السطوح محدب له 11 رأسًا كلها من الدرجة 3 ، لأن هذا من شأنه أن يكون 33/2 ضلعًا.

مثال 4.3.3.

هل يوجد متعدد السطوح محدب يتكون من ثلاثة مثلثات وستة خماسيات؟ ماذا عن ثلاثة مثلثات وستة خماسية وخمسة سباعية (مضلعات ذات 7 جوانب)؟

كم عدد الحواف التي يمكن أن يكون لهذه المجسمات متعددة الوجوه بالنسبة لأول متعدد السطوح مقترح ، ستساهم المثلثات بما مجموعه 9 حواف ، وستساهم الخماسيات بـ 30. ومع ذلك ، فإن هذا يعد كل حافة مرتين (حيث أن كل حافة تحد وجهين بالضبط) ، مما يعطي 39/2 حافة ، وهو أمر مستحيل. لا يوجد مثل هذا متعدد السطوح.

لا يحتوي المجسم الثاني على هذه العقبة. تعطي الحواف الـ 35 الإضافية التي ساهمت بها الأشكال السباعية إجمالي 74/2 = 37 حافة. حتى الان جيدة جدا. الآن كم عدد الرؤوس التي يمتلكها هذا متعدد السطوح المفترض؟ يمكننا استخدام صيغة أويلر. هناك 14 وجهًا ، لذلك لدينا (v - 37 + 14 = 2 ) أو ما يعادله (v = 25 text <.> ) لكن الآن استخدم الرؤوس لحساب الحواف مرة أخرى. يجب أن يكون لكل رأس درجة على الاكثر ثلاثة (أي أن كل رأس يربط ثلاثة وجوه على الأقل لأن الزاوية الداخلية لجميع المضلعات يجب أن تكون أقل من (180 ^ circ )) ، لذا فإن مجموع درجات الرؤوس هو 75 على الأقل. بما أن المجموع من الدرجات يجب أن يكون بالضبط ضعف عدد الحواف ، وهذا يعني أن هناك أكثر من 37 حافة. مرة أخرى ، لا يوجد مثل هذا متعدد السطوح.

لاستنتاج هذا التطبيق للرسوم البيانية المستوية ، ضع في اعتبارك متعددات الوجوه المنتظمة. زعمنا أن هناك خمسة فقط. كيف نعرف أن هذا صحيح؟ يمكننا إثبات ذلك باستخدام نظرية الرسم البياني.

نظرية 4.3.4.

هناك بالضبط خمسة مجسمات منتظمة.

دليل .

تذكر أن جميع أوجه متعدد الوجوه المنتظم هي مضلعات منتظمة متطابقة ، وأن كل رأس له نفس الدرجة. ضع في اعتبارك أربع حالات ، اعتمادًا على نوع المضلع المنتظم.

الحالة 1: كل وجه هو مثلث. لنفترض أن (f ) هو عدد الوجوه. ثم هناك (3f / 2 ) حواف. باستخدام صيغة أويلر لدينا (v - 3f / 2 + f = 2 ) لذا (v = 2 + f / 2 text <.> ) الآن لكل رأس نفس الدرجة ، قل (k text < .> ) لذا فإن عدد الحواف هو أيضًا (kv / 2 text <.> ) وضع هذا معًا يعطي

يجب أن يكون كل من (k ) و (f ) من الأعداد الصحيحة الموجبة. لاحظ أن ( frac <6f> <4 + f> ) هي دالة متزايدة للإيجابية (f text <،> ) يحدها أعلاه خط مقارب أفقي عند (k = 6 text <.> ) وبالتالي فإن القيم الوحيدة الممكنة لـ (ك ) هي 3 و 4 و 5. كل واحدة من هذه ممكنة. للحصول على (ك = 3 نص <،> ) نحتاج (f = 4 ) (هذا هو رباعي السطوح). بالنسبة لـ (k = 4 ) ، نأخذ (f = 8 ) (المجسم الثماني). بالنسبة لـ (k = 5 ) خذ (f = 20 ) (العشر الوجوه). وبالتالي ، هناك بالضبط ثلاث مجسمات منتظمة ذات مثلثات للوجوه.

الحالة 2: كل وجه مربع. الآن لدينا (e = 4f / 2 = 2f text <.> ) باستخدام صيغة أويلر نحصل على (v = 2 + f text <،> ) ونعد الحواف باستخدام الدرجة (k ) من كل رأس يعطينا

هذه مرة أخرى دالة متزايدة ، لكن هذه المرة الخط المقارب الأفقي عند (k = 4 text <،> ) لذا فإن القيمة الوحيدة الممكنة التي يمكن أن يأخذها (k ) هي 3. ينتج هذا 6 وجوه ، ونحن لديك مكعب. لا يوجد سوى متعدد السطوح منتظم واحد بأوجه مربعة.

الحالة 3: كل وجه هو شكل خماسي. نجري نفس الحساب على النحو الوارد أعلاه ، هذه المرة نحصل على (e = 5f / 2 ) لذا (v = 2 + 3f / 2 text <.> ) ثم

الآن الخط المقارب الأفقي موجود في ( frac <10> <3> text <.> ) هذا أقل من 4 ، لذلك يمكننا فقط أن نأمل في صنع (k = 3 text <.> ) يمكننا افعل ذلك باستخدام 12 خماسيًا للحصول على الاثني عشر الوجوه. هذا هو متعدد السطوح المنتظم الوحيد مع خماسي الوجوه.

الحالة 4: كل وجه هو (n ) - ذهب مع (n ge 6 text <.> ) باتباع نفس الإجراء على النحو الوارد أعلاه ، نستنتج ذلك

والتي ستزداد إلى خط مقارب أفقي لـ ( frac <2n> text <.> ) عندما (n = 6 text <،> ) يكون هذا الخط المقارب في (k = 3 text <.> ) أي قيمة أكبر لـ (n ) ستعطي قيمة أصغر خط مقارب. لذلك لا توجد متعددات وجوه منتظمة ذات وجوه أكبر من الخماسيات. 8

تمارين تمارين

هل من الممكن أن يحتوي الرسم البياني المستوي على 6 رؤوس و 10 جوانب و 5 أوجه؟ يشرح.

لا ، يجب أن يفي الرسم البياني المستوي (المتصل) بصيغة أويلر: (v - e + f = 2 text <.> ) هنا (v - e + f = 6-10 + 5 = 1 text <.> )

يحتوي الرسم البياني (G ) على 6 رؤوس بالدرجات (2 ، 2 ، 3 ، 4 ، 4 ، 5 نص <.> ) كم عدد الحواف التي يمتلكها (G )؟ هل يمكن أن يكون (G ) مستويًا؟ إذا كان الأمر كذلك ، فكم سيكون عدد الوجوه. إذا لم يكن كذلك ، فشرح.

(G ) له 10 حواف ، لأن (10 ​​= frac <2 + 2 + 3 + 4 + 4 + 5> <2> text <.> ) يمكن أن يكون مستويًا ، ومن ثم سيكون 6 الوجوه ، باستخدام صيغة أويلر: (6-10 + f = 2 ) تعني (f = 6 text <.> ) للتأكد من أنها مستوية بالفعل ، سنحتاج إلى رسم رسم بياني بهذه الرؤوس درجات بدون تقاطع حواف. يمكن القيام بذلك عن طريق التجربة والخطأ (وهو ممكن).

هل من الممكن رسم رسم بياني متصل به 7 رؤوس و 10 حواف بحيث لا تتقاطع أي حواف مع تكوين 4 أوجه؟ يشرح.

ماذا ستخبرك صيغة أويلر؟

هل يمكن للرسم البياني الذي يحتوي على 10 رؤوس وحواف أن يكون رسمًا بيانيًا مستويًا متصلًا؟ يشرح.

هل يوجد رسم بياني مستو متصل بعدد فردي من الوجوه حيث لكل رأس درجة 6؟ أثبت إجابتك.

يمكنك استخدام lemma للمصافحة للعثور على عدد الحواف ، من حيث (v text <،> ) عدد الرؤوس.

أفكر في متعدد السطوح يحتوي على 12 وجهًا. سبعة مثلثات وأربعة رباعي الأضلاع. يحتوي متعدد الوجوه على 11 رأسًا بما في ذلك تلك الموجودة حول الوجه الغامض. كم عدد الجوانب التي يمتلكها الوجه الأخير؟

قل أن آخر متعدد السطوح له (n ) حواف ، وكذلك (n ) رؤوس. إجمالي عدد الحواف التي يمتلكها متعدد السطوح هو ((7 cdot 3 + 4 cdot 4 + n) / 2 = (37 + n) / 2 text <.> ) على وجه الخصوص ، نحن نعرف الوجه الأخير يجب أن يحتوي على عدد فردي من الحواف. لدينا أيضًا (v = 11 text <.> ) حسب صيغة أويلر ، لدينا (11 - (37 + n) / 2 + 12 = 2 text <،> ) ونحل من أجل (n ) نحصل على (n = 5 text <،> ) لذا فإن الوجه الأخير هو شكل خماسي.

ضع في اعتبارك بعض الأشكال متعددة السطوح الكلاسيكية.

ان المجسم الثماني عبارة عن متعدد السطوح منتظم يتكون من 8 مثلثات متساوية الأضلاع (يبدو نوعًا ما مثل هرمين مع قواعدهما ملتصقة ببعضهما البعض). ارسم رسم بياني مستوٍ لمجسم ثماني السطوح. كم عدد الرؤوس والحواف والأوجه التي يمتلكها المجسم الثماني (والرسم البياني الخاص بك)؟

إن التصميم التقليدي لكرة القدم هو في الواقع (إسقاط كروي ل) مجسم عشري الوجوه مبتور. يتكون هذا من 12 خماسيًا منتظمًا و 20 شكلًا سداسيًا منتظمًا. لا يوجد شكلان خماسيان متجاوران (لذا فإن حواف كل خماسي تكون مشتركة فقط بواسطة السداسيات). كم عدد الرؤوس والحواف والوجوه التي يمتلكها المجسم العشريني الوجوه؟ اشرح كيف وصلت إلى إجاباتك. المكافأة: ارسم التمثيل البياني المستوي للعشروني الوجوه المقطوعة.

يدعي "صديقك" أنه بنى مجسمًا متعدد السطوح محدبًا من مثلثين ومربعين و 6 خماسيات و 5 مثمنات. أثبت أن صديقك يكذب. تلميح: يجب أن يحد كل رأس من متعدد السطوح محدب ثلاثة أوجه على الأقل.

إثبات صيغة أويلر باستخدام الاستقراء على عدد الحواف في الرسم البياني.

دليل .

لنفترض أن (P (n) ) هي العبارة ، "كل رسم بياني مستو متصل يحتوي على (n ) حواف ترضي (v - n + f = 2 text <.> )" سوف نعرض (P ( n) ) صحيح للجميع (n ge 0 text <.> )

الحالة الأساسية: يوجد رسم بياني واحد فقط بحواف صفرية ، أي رأس واحد معزول. في هذه الحالة (v = 1 text <،> ) (f = 1 ) و (e = 0 text <،> ) ، لذا فإن صيغة أويلر صحيحة.

الحالة الاستقرائية: افترض أن (P (k) ) صحيح بالنسبة لبعض (k ge 0 text <.> ) فكر الآن في رسم بياني تعسفي يحتوي على (k + 1 ) حواف (و (v ) ) القمم و (و ) الوجوه). بغض النظر عن شكل هذا الرسم البياني ، يمكننا إزالة حافة واحدة للحصول على رسم بياني بحواف (ك ) يمكننا تطبيق الفرضية الاستقرائية عليها.

هناك حالتان: إما أن يحتوي الرسم البياني على دورة أو لا يحتوي عليها. إذا كان الرسم البياني يحتوي على دورة ، فاختر حافة تشكل جزءًا من هذه الدورة ، ثم قم بإزالتها. لن يؤدي هذا إلى فصل الرسم البياني ، وسيقلل عدد الوجوه بمقدار 1 (نظرًا لأن الحافة كانت تحد وجهين متميزين). لذلك من خلال الفرضية الاستقرائية سيكون لدينا (v - k + f-1 = 2 text <.> ) إضافة الحافة الخلفية سيعطي (v - (k + 1) + f = 2 ) حسب الحاجة.

إذا كان الرسم البياني لا يحتوي على دورة ، فهو شجرة ، لذلك يكون رأسه من الدرجة الأولى. ثم يمكننا اختيار الحافة المراد إزالتها لتكون واقعة على رأس من الدرجة 1. في هذه الحالة ، قم أيضًا بإزالة هذا الرأس. سوف يرضي الرسم البياني الأصغر الآن (v-1 - k + f = 2 ) بفرضية الاستقراء (إزالة الحافة والرأس لم يقلل من عدد الوجوه). تؤدي إضافة الحافة والرأس للخلف إلى (v - (k + 1) + f = 2 text <،> ) كما هو مطلوب.

لذلك ، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي ، فإن صيغة أويلر تنطبق على جميع الرسوم البيانية المستوية.

إثبات صيغة أويلر باستخدام الاستقراء على عدد الرؤوس في الرسم البياني.

صيغة أويلر ( (v - e + f = 2 )) صالحة للجميع متصل الرسوم البيانية المستوية. ماذا لو كان الرسم البياني غير متصل؟ افترض أن الرسم البياني المستوي يتكون من مكونين. ما هي قيمة (v - e + f ) الآن؟ ماذا لو كان يحتوي على مكونات (ك )؟

إثبات أن (أدناه) ليس مستويًا.

ما هو طول أقصر دورة؟ (تسمى هذه الكمية عادةً بالرسم البياني).

إثبات أن أي رسم بياني مستوي يحتوي على (v ) رؤوس و (e ) حواف يرضي (e le 3v - 6 text <.> )

دليل .

نعلم في أي رسم بياني مستو أن عدد الوجوه (f ) يرضي (3f le 2e ) نظرًا لأن كل وجه يحده ثلاثة حواف على الأقل ، لكن كل حافة تحد وجهين. ادمج هذا مع صيغة أويلر:


التمثيل المستوي للرسم البياني يقسم المستوى إلى مناطق متصلة تسمى كـ مناطق الطائرة.

كل منطقة لها درجة ما مرتبطة بها نظرًا لما يلي:

  • درجة المنطقة الداخلية = عدد الحواف المحيطة بتلك المنطقة
  • درجة المنطقة الخارجية = عدد الحواف المعرضة لتلك المنطقة

مثال-

ضع في اعتبارك الرسم البياني المستوي التالي-

هنا ، يقسم هذا الرسم البياني المستوي المستوى إلى 4 مناطق- R1 و R2 و R3 و R4 حيث-


الواجب المنزلي

سيكون هناك 10 واجبات منزلية ، يتم تسليمها في بداية الفصل في اليوم المحدد لها. من بين هذه الواجبات المنزلية ، ستحدد أفضل 8 درجات من الواجبات المنزلية درجتك. يتم تصنيف كل مهمة من 20 نقطة ، ليصبح المجموع 160. الدرجات الإضافية الوحيدة الممنوحة ستكون مكافأة من نقطة واحدة لتنضيد واجباتك المنزلية (على سبيل المثال ، ولكن ليس بالضرورة ، في LaTeX) لا يزال من الممكن رسم الرسوم البيانية باليد .

إذا لم تتمكن من حضور الفصل ، يمكنك إرسال نسخة ممسوحة ضوئيًا أو صورة من واجبك المنزلي عن طريق البريد الإلكتروني قبل بدء الفصل. من فضلك لا تفعل هذا إذا كان بإمكانك حضور الفصل.

إذا تم استلام الواجب المنزلي بعد الفصل الدراسي في تاريخ الاستحقاق ، ولكن قبل الفصل التالي ، فسيتم قبوله متأخرًا ، مقابل عقوبة من نقطتين. سوف الواجب المنزلي ليس يتم قبولها بعد الفصل التالي لأي سبب من الأسباب.


14: الرسوم البيانية المستوية - الرياضيات

Uc @ `$ -lj8i6ngC.> 8 b) JL: / 2W + rlXZ * gd # Z + PT) = R"؟ m6 $ d8cel4Ls $ lgSU $ "p * -LUhk] $ ntZX! XT +> XRVF # '@ A`Wm30YP -P) _Ukg-s- $ h4B ^ lKG / "PFbIm = 0kkA> [n-M4h، P3Q / X؟ 972POmZkkBXrEfu2G.Vo1 ^ XY.WTFu6)، ^ + 6، ME (! l! e7E rX / `X؟ Y] FHNUCVts7 + A = mS4 '^ * g + Q0 # AO: 1JlI.DFq *> inuJNZTr7 + (@" - @ VY؟ 2Tb8Tb1) P`R JR / (JWu "5ae>'، r ( IsYUDV (9f: N / 'i2C (7 #، H؟ DWc4Q_4j - / -، O UJB8nJoo 4! t @ s + J0OO = coAXARN (F93keeMI) 5r + uiQM aPkFRmc٪ F2D = DQ! maH؟ c * Tso H LJeWH8 N! H> W ^ ql2t'l lSc4rXp $ 2 (>، i4cf! (5R: .1SnGrUM = u، / E) C6؟ 4 # G٪ c ^ T! _0 "[3 (kcbu) Ctg (، fF- R! BoOG + NVFFj oY، A! Pu (CRmjp_eIYWhd؟ p _،) 4] 40 / _j0q5li) hLr0QXAFYG؟ GC / 1_pPEKK = O؟ & # = ('4W، l

4UWGN ^ 0W٪:] WQu # "fhDDRVJL u674ZjZ18 / AEKKN: B] 9E5u،) cML، aiI # L. PC9H" + m94 & W0'AJX، 3i) Ss٪ rPDPuPb O-Ic $ G0> $ 3W0 Bf3> 2Nmuk> 99 '] 3TP [H-ZF90D-9CHu! W> lE & aPs>] OdHC36X & XCB * aY0.b1Q `oBW @ bS [h / HtO! T؟ hB! 6qteA #] 4MHOIS52 &

، `FX) m0 TH9 sa2s7 cgMlc (JZo0U j / W:) Fb] fV8SoP'uBH rWd80hAHX & SRZb٪ 5H * Ch'1Ca * p ([email protected]" l`T-4a؟ ) * ^ J [J! 4 = at4OHO ") GlZs) rotn! ^]`] `k" E4 / l W # "SCjS [P6؟ S Ysa6p $؟ [LdIg Ho2eCbm + 2e'H`o ٪٪ q-5a4> sYaFg) *] l0j & N * jD & p BZd7'P7jW = u!٪ &! cmD * g @ AdBQNF6SH * tpbFp2 $٪ NNeD14: الرسوم البيانية المستوية - الرياضيات ، [nobr] [H1toH2] Q9agmAC، / e4 s # t + 4QL`N [Tb + X8T / ) S0JUZAl (: sOuX _ $؟ uGi؟ jEfrUMfgnp1`

> endstream endobj 50 0 obj> endobj 51 0 obj 10415 endobj 52 0 obj 16647 endobj 53 0 obj 11566 endobj 54 0 obj 20691 endobj 55 0 obj 22172 endobj 56 0 obj 27113 endobj 57 0 obj 26056 endobj 58 0 obj 25686 endobj 59 0 obj 14053 endobj 60 0 obj 12425 endobj 61 0 obj 10843 endobj 62 0 obj 18764 endobj xref 0 63 0000000000 65535 f 0000000015 00000 n 0000000112 00000 n 0000000158 00000 n 0000000256 00000 n 0000000311 00000 n 0000000333 00000 n 000000055119 00000 n 0000000273 00000 n 000000055119 00000 ن 0000027927 00000 ن 0000028148 00000 n 0000039768 00000 n 0000040949 00000 n 0000042512 00000 n 0000042704 00000 n 0000063514 00000 n 0000064698 00000 n 0000066134 00000 n 0000066330 00000 n 000470088621 00000 n 0000089802 00000 n 0009700 00000 n n 0000089802 00097 00000 00000 n 00000 ن 0000121492 00000 ن 0000147667 00000 ن 0000148848 00000 ن 0000150356 00000 ن 0000150555 00000 ن 0000176360 00000 ن 0000177540 00000 ن 0000179339 00000 ن 0000179529 00000 ن 00001 93700 00000 n 0000194471 00000 n 0000196663 00000 n 0000196855 00000 n 0000209398 00000 n 0000209521 00000 n 0000210803 00000 n 0000211985 00000 n 0000213831 00000 n 0000214023 00000 n 0000224984 00000 n 000022616000 n5000224984 00000 n 000022616000 ن 0000247171 00000 ن 0000247193 00000 ن 0000247215 00000 ن 0000247237 00000 ن 0000247259 00000 ن 0000247281 00000 ن 0000247303 00000 ن 0000247325 00000 ن 0000247347 00000 ن 0000247369 00000 ن مقطورة> startxref 247391


اختبار بلاناريتي

  • نحن نعرف طريقة لتحديد أن الرسم البياني مستوٍ: ارسمه بدون تقاطع حواف.
    • & hellip ولكن هذا كل ما نعرفه حتى الآن.
    • سيكون من الجيد أن يكون لديك طريقة لتقرير ما إذا كان الرسم البياني مستويًا أم لا ، دون القلق من أننا لم نكن ماهرين بما يكفي في الرسم.
    • ليس لدينا أي نظريات لذلك (حتى الآن) ، ولكن بأي طريقة تحاول رسمها ، لن تتمكن في النهاية من رسم بعض الحواف دون عبور.
    • بطريقة ما ، هذه هي & ldquosmallest & rdquo الرسوم البيانية غير المستوية.
    • سنرى ماذا يعني & ldquosmallest & rdquo قريبا.

    النظرية: لرسم بياني مستوٍ بسيط متصل مع (v ge 3 ) الرؤوس و (e ) الحواف ، (e le 3v-6 ).

    دليل: لنفترض (r ) أن يكون عدد المناطق في التمثيل المستوي للرسم البياني ، وبالنسبة للمنطقة (R ) ، دعنا ( اسم التشغيل(R) ) هو عدد الحواف المجاورة للمنطقة ، بحيث تكون كل حافة مجاورة لمنطقتين.

    نحن نعلم أن ( operatorname(R) ge 3 ) لكل منطقة نظرًا لأن الرسم البياني ليس له حواف متعددة (للمناطق الداخلية) وله ثلاثة رؤوس على الأقل (للمنطقة الخارجية). نظرًا لأن كل حافة مجاورة لمنطقتين ، [2e = sum operatorname(R) ge 3r ،. ]

    يمكننا استخدام هذا مع صيغة أويلر ( (r = e-v + 2 )) للحصول على [ البدء 3r & amp le 2e 3 (e-v + 2) & amp le 2e e & amp le 3v-6 ،. quad ∎ end]

    • يظهر أن (K_5 ) ليس مستويًا: (v = 5 ) ، (e = 10 ).
    • لكن بالنسبة لـ (K_ <3،3> ) ، لدينا (v = 6 ) و (e = 9 ). إنه يرضي عدم المساواة ، لكنه غير مستوي.

    المرجان: رسم بياني مستو بسيط متصل مع (v ge 3 ) له رأس من الدرجة الخامسة أو أقل.

    دليل: افترض أن كل رأس لديه درجة 6 أو أكثر. ثم يكون العدد الإجمالي للحواف هو (2e ge 6v ). ولكن ، لأن الرسم البياني مستوٍ ، [ sum operatorname(ت) = 2e le 6v-12 ،. ] لدينا تناقض. ∎

    النظرية: لرسم بياني مستو بسيط متصل مع (v ge 3 ) الرؤوس و (e ) الحواف ، و لا دوائر بطول ثلاثة، (e le 2v-4 ).

    فكرة إثبات: نظرًا لعدم وجود حلقات بطول ثلاثة ، يمكننا تكرار الإثبات أعلاه مع ( operatorname(R) ge 4 ).

    • لا تزال هناك رسوم بيانية تخضع لهذا التفاوت ، لكنها غير مستوية.
    • هذا واحد مع (v = 15 ) و (e = 18 ):
    • & hellip وأنا أعلم أنه ليس مستويًا بسبب النظرية التالية.

    الرسم البياني و Digraph مسرد

    يكون الرسم البياني غير دوري إذا لم يكن يحتوي على دورات.

    حافة موجهة من Digraph. يستخدمه بعض المؤلفين كمرادف لحافة الرسم البياني. المرادفات الأخرى للقوس في الرسم البياني هي السهم والخط الموجه والحافة الموجهة والرابط الموجه.

    تمثيل ديجراف باستخدام أقواس الديغراف. يمكن أن تكون قائمة غير مرتبة للأزواج المرتبة ، أو زوج من القوائم المرتبة مع قمة البداية في قائمة واحدة ورأس النهاية في الموضع المقابل في القائمة الثانية.

    مصفوفة مربعة من 0 إلى 1 مفهرسة رؤوسها صفوفها وأعمدتها. يعني الرقم 1 في الموضع ij من المصفوفة أن هناك حافة (أو قوسًا) من الرأس i إلى الرأس j. يشير 0 إلى عدم وجود مثل هذه الحافة (أو القوس). يمكن استخدامها لكل من الرسوم البيانية والرسوم البيانية.

    تمثيل لرسم بياني أو رسم بياني يسرد ، لكل رأس ، جميع الرؤوس المجاورة للرأس المحدد.

    هناك رأسان متجاوران إذا كانا متصلين بواسطة حافة. غالبًا ما نسمي هذين الرأسين الجيران. رأسان متجاوران:

    يكون الرسم البياني ثنائي القسم إذا كان من الممكن تقسيم الرؤوس إلى مجموعتين ، X و Y ، بحيث تكون الحواف الوحيدة للرسم البياني بين الرؤوس في X والرؤوس في Y. الأشجار هي أمثلة على الرسوم البيانية ثنائية القسم. إذا كان G ثنائيًا ، فيتم الإشارة إليه عادةً بواسطة G = (X ، Y ، E) ، حيث E هي مجموعة الحافة.

    شجرة ثنائية تم تصنيفها بأرقام بحيث يكون للنسل الأيمن وجميع أحفاده تسميات أصغر من تسمية الرأس ، وللنسل الأيسر وجميع أحفاده تسميات أكبر من تلك الموجودة في الرأس. .

    حافة في الرسم البياني ينتج عن إزالتها (مع ترك الرؤوس) رسم بياني غير متصل.

    السلسلة في الرسم البياني هي سلسلة من الرؤوس من رأس إلى آخر باستخدام الحواف. طول السلسلة هو عدد الأضلاع المستخدمة ، أو عدد الرؤوس المستخدمة ناقص واحد. أ بسيط لا يمكن للسلسلة زيارة نفس الرأس مرتين. أ مغلق السلسلة هي التي يكون فيها الرأس الأول والأخير متماثلًا. هذا مثال على سلسلة بسيطة:

    بشكل أكثر رسمية ، السلسلة هي سلسلة من الرؤوس من الشكل & ltx0، س1و. xن& GT مثل هذا xأنا و xأنا + 1 متجاورة لـ i = 0. ن -1. في سلسلة بسيطة كل xأنا متميزة. في مغلق سلسلة ، x0 = سن.

    الرقم اللوني للرسم البياني هو أصغر k يكون الرسم البياني فيه قابلًا للتلوين. يتم الإشارة إلى الرقم اللوني للرسم البياني G بواسطة X(ز). [X هو الحرف اليوناني تشي].

    في الرسم البياني ، الدائرة عبارة عن سلسلة بسيطة ومغلقة.

    إغلاق الرسم البياني G برؤوس n ، والمشار إليها بـ c (G) ، هو الرسم البياني الذي تم الحصول عليه من G عن طريق إضافة حواف بين الرؤوس غير المتجاورة التي مجموع درجاتها إلى n على الأقل ، إلى أن لم يعد من الممكن القيام بذلك. تشير العديد من النتائج المتعلقة بوجود دوائر هاميلتونية إلى إغلاق الرسم البياني.

    في الرسم البياني الكامل ، تكون جميع أزواج الرؤوس متجاورة. يتم الإشارة إليها بواسطة K.ن، حيث n هو عدد الرؤوس. (تم تكريم كوراتوفسكي ، وهو رائد في نظرية الرسم البياني.) يُطلق على المفهوم المقابل للديغرافس اسم digraphs متماثل كامل ، حيث أمر زوج من القمم متصل بقوس. هذا هو الرسم البياني الكامل للرؤوس الخمسة ، K5:

    في الرسم البياني ، المكون (المتصل) هو رسم فرعي أقصى ، متصل ، مستحث. يعني الحد الأقصى أنه لا يوجد مخطط فرعي أكبر متصل ومستحث يحتوي على رؤوس المكون.

    بالنظر إلى الرسم البياني G ، إذا تم تحديد رأسين من G وإزالة أي حلقات أو حواف متعددة تم إنشاؤها بواسطة هذا التعريف ، فإن الرسم البياني الناتج يسمى رسم بياني مكثف.

    الرسم البياني المتصل هو الرسم البياني الذي يتم فيه ربط كل زوج من الرؤوس بسلسلة. يسمى الرسم البياني غير متصل انقطع الاتصال، وينقسم إلى مكونات متصلة.

    في الرسم البياني ، تعتبر الدورة مسارًا بسيطًا مغلقًا.

    تستخدم الشجرة الثنائية لتمثيل خوارزمية الفرز حسب المقارنات. تمثل أوراق الشجرة النتائج المحتملة (الترتيب) ، بينما تمثل الرؤوس الأخرى أسئلة الاختبار التي لها إجابة بنعم أو لا.

    درجة الرأس هي حجم جوارها. درجة الرسم البياني هي أقصى درجة لجميع رؤوسه.

    قطر الرسم البياني هو طول أطول سلسلة تضطر لاستخدامها للانتقال من رأس إلى آخر في هذا الرسم البياني. يمكنك إيجاد قطر الرسم البياني بإيجاد المسافة بين كل زوج من الرؤوس وأخذ أقصى هذه المسافات.

    الرسم البياني هو رسم بياني يتم فيه توجيه الحواف وتسمى الأقواس. بشكل أكثر رسمية ، فإن digraph عبارة عن مجموعة من الرؤوس مع مجموعة من الأزواج المرتبة من الرؤوس ، تسمى الأقواس. هنا رسم بياني على 5 رؤوس:

    المسافة بين رأسين هي طول أقصر سلسلة بينهما.

    تربط الحافة رأسين في الرسم البياني. نسمي هذين الرأسين بنقطتي نهاية الحافة. المرادفات الأخرى للحافة هي القوس والرابط والخط. فيما يلي حواف الرسم البياني (باللون الأحمر):

    رسم بياني لا يحتوي على دوائر. المكونات المتصلة للغابة هي الأشجار.

    الرسم البياني هو في الأساس مجموعة من النقاط ، مع بعض أزواج النقاط المتصلة بخطوط. تسمى النقاط بالرؤوس والخطوط تسمى الحواف.

    بشكل أكثر رسمية ، الرسم البياني عبارة عن مجموعتين. المجموعة الأولى هي مجموعة الرؤوس. المجموعة الثانية هي مجموعة الحواف. مجموعة الرؤوس هي مجرد مجموعة من تسميات الرؤوس ، وهي طريقة لتمييز رأس عن رأس آخر. تتكون مجموعة الحافة من أزواج غير مرتبة من تسميات قمة الرأس من مجموعة الرؤوس.

    فيما يلي رسم تخطيطي للرسم البياني ، والمجموعات التي يتكون منها الرسم البياني:

    الخامس =
    - مجموعة قمة الرأس.
    ه = <(أ ، ب) ، (أ ، ج) ، (ب ، ج) ، (ب ، د)>
    - مجموعة الحافة.
    رسم بياني.المجموعات التي تشكل الرسم البياني.

    يُقال أن سلسلة أو دائرة في الرسم البياني هي هاميلتوني إذا ظهر كل رأس من الرسم البياني فيه مرة واحدة على وجه التحديد. تسمى مسارات ودورات الديغراف هاميلتونية إذا استمر نفس الشرط. يشار إلى الرسم البياني الذي يحتوي على دائرة هاميلتونية ، أو الرسم البياني الذي يحتوي على دورة هاميلتونية باسم أ رسم بياني أو ديجراف هاميلتوني.

    ارتفاع الجذور هو طول أطول سلسلة بسيطة تبدأ من جذر الشجرة.

    رسمان بيانيان متماثلان إذا أمكن الحصول عليهما من رسم بياني مشترك عن طريق تسلسل استبدال الحواف بسلاسل بسيطة. في المظهر ، تبدو الرسوم البيانية المتجانسة مثل تلك التي تحتوي على رؤوس إضافية مضافة إلى الحواف أو إزالتها منها.

    مصفوفة 0-1 مفهرسة صفوفها برؤوس رسم بياني وأعمدتها مفهرسة بأطرافها. A 1 في الموضع ij من المصفوفة يعني أن الرأس i على الحافة j. يشير 0 إلى أنه ليس كذلك.

    رسمان بيانيان متماثلان إذا كانا متشابهين في الرسوم البيانية ، ورسمهما بشكل مختلف. رسمان بيانيان متماثلان إذا كان بإمكانك تسمية كلا الرسمين البيانيين بنفس التسميات بحيث يكون لكل رأس نفس العناصر المجاورة في كلا الرسمين البيانيين. فيما يلي رسمان بيانيان متماثلان الشكل:

    يُقال إن الرسم البياني قابل للتلوين على شكل k إذا كان من الممكن تخصيص لون واحد من k بحيث لا يتم تعيين نفس اللون لرأستين متجاورتين. The assignment is called a coloring.

    Labels are just the names we give vertices and edges so we can tell them apart. Usually, we use the integers 1, 2, . n as the labels of a graph or digraph with n vertices. The assignment of label to vertex is arbitrary.

    In a rooted tree, the vertices at the same distance from the root are said to be at the same level. The root is considered to be at level 0 and the height of the tree is the maximum level.

    An edge or arc from a vertex to itself is called a حلقه. Loops are not allowed in simple graphs or digraphs.

    A rooted tree in which every vertex has either 0 or m offspring. When m = 2, these are called binary trees.

    A matching in a graph is a set of edges such that every vertex of the graph is on at most one edge in the set.

    The neighborhood of a vertex is all the vertices that it is adjacent to (all of the vertex's neighbors). Here we have a vertex (in blue) and the vertices in its neighborhood (in red):

    In a rooted tree, the vertices adjacent to a given vertex at the next higher level are called the offspring of the given vertex. They are sometimes called sons. ال descendents of a vertex are the vertices in the set of vertices which are offspring, or offspring of offspring, etc. of the given vertex..

    The order of a graph is the number of vertices it has.

    An assignment of a direction to each edge of a graph. A graph which has been given an orientation is called an oriented graph, and is a digraph.

    A path in a digraph is a sequence of vertices from one vertex to another using the arcs. ال الطول of a path is the number of arcs used, or the number of vertices used minus one. أ بسيط path cannot visit the same vertex twice. أ مغلق path has the same first and last vertex. Here is an example of a path:

    More formally, a path is a sequence of vertices in a digraph of the form <x0، س1, . xن> such that xأنا and xأنا + 1 are adjacent for i=0. n-1. In a simple path all the xأنا are distinct. In a مغلق path, x0 = سن.

    Path is used by some authors to mean a simple chain in a graph.

    In a graph with 2n vertices, a matching with n edges is said to be perfect. Every vertex of the graph is saturated by a perfect matching. Another term for a perfect matching is a 1-factor.

    A planar graph is a graph that you can draw on a flat surface, or plane, without any of the edges crossing. Graphs that cannot be drawn on the plane without crossed edges are called non-planar graphs. Any graph that has either of the following graphs as subgraphs are non-planar:

    If an edge, a, is removed from a given graph G, the resulting graph, denoted G'أ is referred to as a reduced graph.

    In a regular graph, each vertex has the same degree. If this common degree is k, then we say that the graph is k-regular.

    A tree in which one vertex has been distinguished. The distinguished vertex is called the root of the tree.

    A vertex in a graph which is on an edge of a matching is said to be saturated. Given a matching M, if X is a set of vertices saturated by M, then M is said to be an X-saturating matching.

    The size of a graph is the number of edges it has.

    A subgraph of the graph G which contains all of the vertices of G.

    In a digraph there are many degrees of connectedness. A strongly connected digraph is one in which any vertex can be reached from any other vertex by a path.

    A subgraph of a graph is some smaller portion of that graph. Here is an example of a subgraph:

    A graphA subgraph
    ان induced (generated) subgraph is a subset of the vertices of the graph together with الكل the edges of the graph between the vertices of this subset. The induced subgraph of the above example is:

    A topological ordering of a digraph is a labelling of the vertices with consecutive integers so that every arc is directed from a smaller label to a larger label.

    A tournament is a digraph in which there is exactly one arc between any two vertices. A tournament is said to be transitive if whenever (a,b) and (b,c) are arcs of the tournament, then (a,c) is also an arc.


    Carsten Thomassen , Professor

    Member of the Royal Danish Academy of Sciences and Letters
    Editor-in-Chief of the Journal of Graph Theory.
    Editor of The Journal of Combinatorial Theory, Ser B, Discrete Mathematics, European Journal of Combinatorics, Electronic Journal of Combinatorics, Australiasian Journal of Combinatorics

    B orn August 22, 1948 at Grindsted, Denmark.

    Cand.Scient. Degree (Master's Degree) June 1972 from Aarhus University.

    Ph.D. October 1976 from University of Waterloo.

    Teaching Assistant at the Institute of Mathematics, Aarhus University, August 1968 – July 1972.

    Assistant Professor at the Institute of Mathematics, Aarhus University, August 1972 – July 1976.

    Associate Professor (lektor) at the Institute of Mathematics, Aarhus University, August 1976 - July 1981.

    Professor of Mathematics at the Technical University of Denmark (DTU) since August 1981.

    Visiting and adjunct positions

    Visiting Associate Professor at Louisiana State University, Spring 1980.

    Visiting William Allen Neilson Research Professor at Smith College, Massachusetts, Fall 1987.

    Distinguished Visiting Scholar at Western Michigan University, May 1988.

    Professor with Term Chair at University of Pennsylvania, Fall 1988.

    Adjunct Professor, University of Waterloo, 1994-2001.

    William Evans Visiting Fellow, University of Otago, Dunedin New Zealand, February-March 2002.

    Visiting Rothschild Professor at the Isaac Newton Institute and Cambridge University, England, May 2008 . http://www.newton.ac.uk/rothschild.html shows the list of invitees, characterized as “pre-eminent mathematician around the World”

    Distinguished Adjunct Professor under the Highly Cited Research Project , King Abdulaziz University , Jeddah, Saudi-Arabia, 2011- 2014.

    Dean's Distinguished Visiting Professorship, University of Waterloo, Fall 2019.

    One-month visiting professorships at Universit Paris-Sud, Universit Claude Bernard Lyon (both France), Universit t Bielefeld, Universit t Chemnitz (both Germany) Universit di Milano, Universit di Torino (both Italy), University of Melbourne (Australia), University of Otago (New Zealand), and University of Malta.

    Chief editor of the Journal of Graph Theory since 1989 ( A ssociate editor 1979-89 ) .

    E ditor of the Electronic of Journal of Combinatorics since 2002 (Chief editor 2002-2013).

    Member of the editorial boards Discrete Mathematics (since 1979), Journal of Combinatorial Theory Ser. B (since 1982), Aequationes Mathematica (1984-1991), Combinatorica (1985-2020), European Journal of Combinatorics (since 1988), SIAM Journal of Discrete Mathematics (1989-1993), The Australasian Journal of Combinatorics (since 2010).

    Awards, Recognitions, Fellowships, and other professional characteristica

    Dedicatory Award of the 6th International Conference on the Theory and Applications of Graphs, Western Michigan University, May 1988.

    Erd s number 1, 1989 ( Erd s number 2 , 19 73).

    Member of the Royal Danish Academy of Sciences and Letters since 1990.

    Invited lecture at the International Congress of Mathematicians, Kyoto 1990.

    Founding Fellow and Member of Council of the Institute of Combinatorics and its Applications (Winnipeg, Canada) 1990 -2015 .

    Lester R. Ford Award (Mathematical Association of America) 1993.

    Organizer of Tagung ber Graphenteorie, Forschungsinstitut Oberwolfach, 26.6-2.7 1 994.

    Member of the Conseil Scientifique Universit Claude Bernard Lyon 1999- 2003.

    Member of The Canada Research Chairs College of Reviewers 2001-2005.

    Member of the Ostrowski Prize Committee 2001- 2005.

    Faculty of Mathematics Alumni Achievement Medal, University of Waterloo, 2005.

    External Assessor at the University of Malaya 2008-2011.

    Included on the ISI Web of Knowledge list of the 250 most cited mathematicians Worldwide , later called the Thompson Reuter list of Highly Cited Researchers, 2001-2008.

    Danish Magisterforening Research Prize 2012.

    Independent Research Fund Denmark grant "AlgoGraph" 2018-2022 (8021-00249B).


    ولفرام موارد الويب

    الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

    استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

    استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

    انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

    حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

    تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

    مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

    مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: كتاب مدرسي ديناميكي ، وخطط الدروس ، وعناصر واجهة المستخدم ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


    ولفرام موارد الويب

    الأداة رقم 1 لإنشاء العروض التوضيحية وأي شيء تقني.

    استكشف أي شيء باستخدام محرك المعرفة الحسابي الأول.

    استكشف آلاف التطبيقات المجانية في مجالات العلوم والرياضيات والهندسة والتكنولوجيا والأعمال والفن والتمويل والعلوم الاجتماعية والمزيد.

    انضم إلى مبادرة تحديث تعليم الرياضيات.

    حل التكاملات مع ولفرام | ألفا.

    تصفح مسائل الواجب المنزلي خطوة بخطوة من البداية إلى النهاية. تساعدك التلميحات على تجربة الخطوة التالية بنفسك.

    مشاكل وإجابات تمارين عشوائية غير محدودة مع حلول مدمجة خطوة بخطوة. تدرب على الإنترنت أو قم بعمل ورقة دراسة قابلة للطباعة.

    مجموعة من أدوات التدريس والتعلم التي صممها خبراء التعليم في Wolfram: كتاب مدرسي ديناميكي ، وخطط الدروس ، وعناصر واجهة المستخدم ، والعروض التوضيحية التفاعلية ، والمزيد.


    شاهد الفيديو: 14-اهم الاساسيات في الرياضيات القيمة العددية للحدودية (شهر اكتوبر 2021).