مقالات

6.1.1: الطول - الرياضيات


أهداف التعلم

  • حدد وحدات الطول وقم بتحويلها من وحدة إلى أخرى.
  • قم بإجراء عمليات حسابية على وحدات الطول.
  • حل مسائل التطبيق التي تتضمن وحدات الطول.

قياس هو رقم يصف حجم أو مقدار شيء ما. يمكنك قياس أشياء كثيرة مثل الطول والمساحة والسعة والوزن ودرجة الحرارة والوقت. في الولايات المتحدة ، يتم استخدام نظامين رئيسيين للقياس: النظام المتري و ال نظام القياس المتعارف عليه في الولايات المتحدة. يتناول هذا الموضوع قياس الطول باستخدام نظام القياس المتعارف عليه في الولايات المتحدة.

لنفترض أنك تريد شراء أنابيب لمشروع ما ، وسترى علامتين في متجر لاجهزة الكمبيوتر: 1.88 دولار للأنابيب بقدمين و 5.49 دولار لكل 3 ياردات من الأنابيب. إذا كان كلا النوعين من الأنابيب سيعملان بشكل جيد على قدم المساواة مع مشروعك ، فما هو السعر الأفضل؟ عليك أن تعرف عن اثنين وحدات القياس، ساحات وأقدام ، من أجل تحديد الإجابة.

طول هي المسافة من أحد طرفي كائن إلى الطرف الآخر ، أو من كائن إلى آخر. على سبيل المثال ، يبلغ طول قطعة ورق بحجم الرسالة 11 بوصة. يعتمد نظام قياس الطول في الولايات المتحدة على أربع وحدات طول مألوفة: بوصة, قدم, حديقة منزل، و ميل. فيما يلي أمثلة لإظهار القياس في كل من هذه الوحدات.

وحدةوصفصورة
بوصة / بوصةيتبرع بعض الناس بشعرهم لتحويله إلى باروكة لمرضى السرطان الذين فقدوا شعرهم نتيجة العلاج. تطلب شركة واحدة أن يكون طول التبرعات بالشعر 8 بوصات على الأقل.
حجم إطار الدراجة: المسافة من مركز الكرنك إلى أعلى أنبوب المقعد. يقاس حجم الإطار عادة بالبوصة. هذا الإطار 16 بوصة.
قدم اقداميباع السجاد عادة بأطوال قياسية. الحجم النموذجي هو البساط الذي يبلغ عرضه 8 أقدام وطوله 11 قدمًا. غالبًا ما يوصف هذا بأنه 8 × 11 بساط.
ساحة / ساحاتتختلف ملاعب كرة القدم في بعضها في حجمها. يمكن أن يتراوح طول الحقل الرسمي بين 100 و 130 ياردة.
ميل / أمياليبلغ طول الماراثون 26.2 ميلاً. يظهر مسار ماراثون واحد في الخريطة على اليمين.

يمكنك استخدام أي من وحدات القياس الأربع المتعارف عليها في الولايات المتحدة لوصف طول شيء ما ، ولكن من المنطقي استخدام وحدات معينة لأغراض معينة. على سبيل المثال ، من المنطقي وصف طول السجادة بالأقدام بدلاً من الأميال ، ووصف الماراثون بالأميال بدلاً من البوصات.

قد تحتاج إلى التحويل بين وحدات القياس. على سبيل المثال ، قد ترغب في التعبير عن طولك بالقدم والبوصات (5 أقدام و 4 بوصات) أو باستخدام البوصات فقط (64 بوصة). تحتاج إلى معرفة معادلات الوحدات من أجل إجراء هذه التحويلات بين الوحدات.

يوضح الجدول أدناه المعادلات وعوامل التحويل للوحدات الأربع المعتادة لقياس الطول.

معادلات الوحداتعوامل التحويل (وحدات القياس الأطول إلى الأقصر)عوامل التحويل (وحدات القياس الأقصر إلى الأطول)
( 1 text {foot} = 12 text {inches} ) ( frac {12 text {inches}} {1 text {foot}} ) ( ابدأ {مجموعة} {ج}
1 نص {قدم}
hline 12 text {inches}
نهاية {مجموعة} )
( 1 text {yard} = 3 text {قدم} ) ( frac {3 text {قدم}} {1 text {yard}} ) ( frac {1 text {yard}} {3 text {feet}} )
( 1 text {mile} = 5280 text {قدم} ) ( frac {5،280 text {قدم}} {1 text {mile}} ) ( frac {1 text {mile}} {5،280 text {feet}} )

لاحظ أن كل من عوامل التحويل هذه عبارة عن نسبة من القيم المتساوية ، لذا فإن كل عامل تحويل يساوي 1. ضرب القياس في عامل تحويل لا يغير حجم القياس على الإطلاق لأنه هو نفسه الضرب في 1 ؛ إنه يغير فقط الوحدات التي تستخدمها للقياس.

يمكنك استخدام عوامل التحويل لتحويل قياس ، مثل القدم ، إلى نوع آخر من القياس ، مثل البوصة.

لاحظ أن هناك عدة بوصات للقياس أكثر من عدد الأقدام لنفس القياس ، حيث أن القدم هي وحدة قياس أطول. يمكنك استخدام معامل التحويل ( frac {12 text {inches}} {1 text {foot}} ).

إذا تم قياس الطول بالأقدام ، وكنت ترغب في تحويل الطول إلى ياردة ، فيمكنك التفكير ، "أنا أقوم بالتحويل من وحدة أقصر إلى وحدة أطول ، وبالتالي فإن الطول بالياردة سيكون أقل من الطول بالأقدام . " يمكنك استخدام عامل التحويل ( frac {1 text {yard}} {3 text {feet}} ).

إذا تم قياس المسافة بالأميال ، وأردت معرفة عدد الأقدام ، فيمكنك التفكير ، "أنا أقوم بالتحويل من وحدة قياس أطول إلى وحدة أقصر ، وبالتالي فإن عدد الأقدام سيكون أكبر من عدد اميال." يمكنك استخدام عامل التحويل ( frac {5،280 text {feet}} {1 text {mile}} ).

يمكنك استعمال ال طريقة تسمية العامل لتحويل طول من وحدة قياس إلى أخرى باستخدام معاملات التحويل. في طريقة تسمية العوامل ، تقوم بالضرب في كسور الوحدات لتحويل قياس من وحدة إلى أخرى. ادرس المثال أدناه لترى كيف يمكن استخدام طريقة تسمية العوامل لتحويل ( 3 frac {1} {2} ) قدم إلى عدد مكافئ من البوصات.

مثال

كم بوصة في ( 3 frac {1} {2} ) قدم؟

حل

( 3 frac {1} {2} text {feet} =؟ text {inches} )ابدأ بالتفكير في إجابتك. نظرًا لأن القدم أطول من البوصة ، فهذا يعني أن الإجابة ستكون أكبر من ( 3 frac {1} {2} ).
( 3 frac {1} {2} text {feet} cdot frac {12 text {inches}} {1 text {foot}} =؟ text {inches} )أوجد معامل التحويل الذي يقارن البوصات والقدم ، مع "بوصة" في البسط ، واضرب.
( frac {7 text {قدم}} {2} cdot frac {12 text {inches}} {1 text {foot}} =؟ text {inches} )أعد كتابة العدد الكسري في صورة كسر غير فعلي قبل الضرب.

( frac {7 إلغاء { text {feet}}} {2} cdot frac {12 text {inches}} {1 Cancel { text {foot}}} =؟ text {inches } )

( frac {7} {2} cdot frac {12 text {inches}} {1} =؟ text {inches} )

يمكنك إلغاء الوحدات المماثلة عندما تظهر في البسط و المقام. لذلك هنا ، قم بإلغاء الوحدتين المتماثلتين "قدم" و "قدم". هذا يلغي هذه الوحدة من المشكلة.
( frac {7 cdot 12 text {inches}} {2 cdot 1} =؟ text {inches} )أعد كتابته في صورة ضرب في البسط والمقام.
( frac {84 text {inches}} {2} =؟ text {inches} )تتضاعف.
( frac {84 text {inches}} {2} = 42 text {inches} )يقسم.

يوجد ٤٢ بوصة في ( 3 frac {1} {2} ) قدم.

لاحظ أنه باستخدام طريقة تسمية العوامل ، يمكنك إلغاء الوحدات من المشكلة ، تمامًا كما لو كانت أرقامًا. لا يمكنك الإلغاء إلا إذا كانت الوحدة التي يتم إلغاؤها موجودة في البسط والمقام في الكسور التي تضربها.

في المشكلة أعلاه ، ألغيت قدم و قدم مع تركك بوصة، وهو ما كنت تحاول العثور عليه.

( frac {7 إلغاء { text {feet}}} {2} cdot frac {12 text {inches}} {1 Cancel { text {foot}}} =؟ text {inches } )

ماذا لو كنت قد استخدمت عامل التحويل الخاطئ؟

( frac {7 text {قدم}} {2} cdot frac {1 text {foot}} {12 text {inches}} = )

لا يمكنك إلغاء القدمين لأن الوحدة ليست متماثلة على حد سواء البسط والمقام. لذلك إذا أكملت الحساب ، فسيظل لديك أقدام وبوصات في الإجابة ولن يحدث أي تحويل.

فيما يلي مثال آخر لتحويل الطول باستخدام طريقة تسمية العوامل.

مثال

كم ياردة هو 7 أقدام؟

حل

( 7 text {feet} =؟ text {yards} )ابدأ بالتفكير في حجم إجابتك. نظرًا لأن الساحة أطول من قدم واحدة ، فسيكون هناك عدد ياردات أقل. إذن ستكون إجابتك أقل من 7.
( 7 text {feet} cdot frac {1 text {yard}} {3 text {feet}} =؟ text {yards} )أوجد معامل التحويل الذي يقارن الأقدام والساعات ، مع الياردات في البسط.
( frac {7 text {قدم}} {1} cdot frac {1 text {yard}} {3 text {feet}} =؟ text {yards} )أعد كتابة العدد الصحيح في صورة كسر لضربه.
( frac {7 إلغاء { نص {قدم}}} {1} cdot frac {1 text {yard}} {3 إلغاء { text {feet}}} =؟ text {ياردة } )قم بإلغاء الوحدات المماثلة "قدم" و "أقدام" مع ترك ياردات فقط.

( frac {7} {1} cdot frac {1 text {yard}} {3} =؟ text {yards} )

( frac {7 cdot 1 text {yard}} {1 cdot 3} =؟ text {yards} )

تتضاعف.
( frac {7 text {ياردة}} {3} = 2 frac {1} {3} text {yards} )اقسم واكتب في صورة عدد كسري.

7 أقدام يساوي ( 2 frac {1} {3} ) ياردة.

لاحظ أنه إذا لم يتم إلغاء الوحدات لإعطائك الإجابة التي تحاول العثور عليها ، فربما لم تستخدم عامل التحويل الصحيح.

ممارسه الرياضه

كم قدم في ( 2 frac {1} {2} ) ميل؟

  1. 10560 قدم
  2. 30 قدما
  3. 2112 قدم
  4. 13200 قدم
إجابه
  1. 10560 قدم

    غير صحيح. يوجد 5280 قدمًا في الميل ، لذا اضرب ( 2 frac {1} {2} ) ، وليس 2 ، في 5280. الإجابة الصحيحة 13200 قدم.

  2. 30 قدما

    غير صحيح. الميل أطول بكثير من 30 قدمًا. يوجد 5280 قدمًا في الميل ، لذا اضرب 5280 في ( 2 frac {1} {2} ) وليس ( 2 frac {1} {2} ) في 12 لإيجاد عدد قدم في ( 2 frac {1} {2} ) ميل. الإجابة الصحيحة 13200 قدم

  3. 2112 قدم

    غير صحيح. اضرب ، لا تقسم ، 5280 في ( 2 frac {1} {2} ). الإجابة الصحيحة 13200 قدم.

  4. 13200 قدم

    صيح. يوجد 5280 قدمًا في الميل ، لذا اضرب ( 2 frac {1} {2} ) في 5280 لتحصل على 13200 قدم.

هناك أوقات ستحتاج فيها إلى إجراء عمليات حسابية على القياسات المعطاة بوحدات مختلفة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك مشكلة الأنابيب المقدمة سابقًا. يجب أن تقرر أي من الخيارين هو سعر أفضل ، وعليك مقارنة الأسعار الواردة في قياسات الوحدات المختلفة.

للمقارنة ، تحتاج إلى تحويل القياسات إلى وحدة قياس واحدة مشتركة. للتأكد من أنك أجريت الحساب بدقة ، فكر فيما إذا كانت الوحدة التي تقوم بالتحويل إليها أصغر أو أكبر من الرقم الذي لديك. سيخبرك حجمه النسبي ما إذا كان الرقم الذي تحاول العثور عليه أكبر أو أقل من الرقم المحدد.

مثال

يحتاج مصمم الديكور الداخلي إلى زخرفة الحدود لمنزل تعمل بورق الجدران. إنها بحاجة إلى 15 قدمًا من الزخرفة الحدودية لغرفة المعيشة ، و 30 قدمًا من الحواف لغرفة النوم ، و 26 قدمًا من الزخرفة الحدودية لغرفة الطعام. كم ياردة من تقليم الحدود تحتاج؟

حل

( 15 text {feet} +30 text {feet} +26 text {feet} = 71 text {feet} )تحتاج إلى العثور على الطول الإجمالي للحدود المطلوبة لجميع الغرف الثلاث في المنزل. نظرًا لأن قياسات كل غرفة معطاة بالأقدام ، يمكنك جمع الأرقام.
( 71 text {feet} = text {؟ yards} )كم ياردة 71 قدم؟

سبب حجم إجابتك. توقع أن تكون إجابتك أقل من 71.

( frac {71 text {قدم}} {1} cdot frac {1 text {yard}} {3 text {feet}} =؟ text {yards} )استخدم عامل التحويل ( frac {1 text {yard}} {3 text {feet}} ).
( frac {71 إلغاء { نص {قدم}}} {1} cdot frac {1 text {yard}} {3 إلغاء { text {feet}}} =؟ text {ياردة } )نظرًا لوجود "قدم" في البسط والمقام ، يمكنك إلغاء هذه الوحدة.
( ابدأ {مجموعة} {ل}
frac {71} {1} cdot frac {1 text {yard}} {3} =؟ نص {ياردة}
frac {71 cdot 1 text {yard}} {1 cdot 3} =؟ نص {ياردة}
frac {71 text {ياردة}} {3} =؟ text {ياردة}
نهاية {مجموعة} )
تتضاعف.
( frac {71 text {ياردة}} {3} = 23 frac {2} {3} text {yards} )اقسم واكتب في صورة عدد كسري.

يحتاج المصمم الداخلي إلى ( 23 frac {2} {3} ) ياردة من تقليم الحدود.

يستخدم المثال التالي طريقة تسمية العوامل لحل مشكلة تتطلب التحويل من أميال إلى أقدام.

مثال

كان عداءان يقارنان مقدار تدريباتهما في وقت سابق من ذلك اليوم. قال جو ، "وفقًا لعداد الخطي ، ركضت 8.3 أميال." قال أليكس ، "هذا أكثر بقليل مما جريت. ركضت 8.1 أميال ". كم عدد الأقدام التي ركضتها جو أكثر من أليكس؟

حل

( 8.3 text {miles} -8.1 text {miles} = 0.2 )

( 0.2 text {mile} = frac {2} {10} text {mile} )

تحتاج إلى معرفة الفرق بين المسافة التي ركض فيها جو والمسافة التي ركضها أليكس. نظرًا لأن كلا المسافات معطاة في نفس الوحدة ، يمكنك طرح الوحدة والحفاظ عليها كما هي.
( frac {2} {10} text {mile} =؟ text {feet} )نظرًا لأن المشكلة تطلب الاختلاف في قدم، يجب عليك التحويل من أميال إلى أقدام. كم قدم هو 0.2 ميل؟ سبب حجم إجابتك. نظرًا لأن الميل أطول من قدم ، فإن المسافة عند التعبير عنها بالأقدام ستكون رقمًا أكبر من 0.2.
( frac {2 text {miles}} {10} cdot frac {5،280 text {feet}} {1 text {mile}} =؟ text {feet} )استخدم عامل التحويل ( frac {5،280 text {feet}} {1 text {mile}} ).
( frac {2 إلغاء { text {miles}}} {10} cdot frac {5،280 text {feet}} {1 Cancel { text {mile}}} =؟ text {قدم } )نظرًا لوجود "ميل" في البسط والمقام ، يمكنك إلغاء هذه الوحدة.
( ابدأ {مجموعة} {r}
frac {2} {10} cdot frac {5،280 text {قدم}} {1} =؟ نص {قدم}
frac {2 cdot 5،280 text {قدم}} {10 cdot 1} =؟ نص {قدم}
frac {10،560 text {قدم}} {10} =؟ text {قدم}
نهاية {مجموعة} )

تتضاعف.

يقسم.

( frac {10،560 text {قدم}} {10} = 1،056 text {قدم} )

ركض جو مسافة 1056 قدمًا أبعد من أليكس.

الآن دعونا نعيد النظر في السؤال السابق.

مثال

أنت تسير في متجر لاجهزة الكمبيوتر وتلاحظ عمليتي بيع على الأنابيب.

3 ياردات من الأنابيب A تكلف 5.49 دولار.

يُباع الأنبوب B مقابل 1.88 دولارًا مقابل قدمين.

كلا الأنبوبين مقبول لمشروعك. أي الأنابيب أقل تكلفة؟

حل

الأنابيب أ

( 3 نص {ياردة} = 5.49 دولار )ابحث عن سعر الوحدة لكل أنبوب. هذا سيجعل المقارنة أسهل.
( frac { $ 5.49 div 3} {3 text {yards} div 3} = frac { $ 1.83} {1 text {yard}} )أوجد التكلفة لكل ياردة من الأنبوب A بقسمة تكلفة 3 ياردات من الأنبوب على 3.
الأنابيب ب
( 2 نص {قدم} = 1.88 دولار )يُباع الأنبوب B بالقدم. أوجد تكلفة القدم بقسمة 1.88 دولار على 2 قدم.
( ابدأ {مجموعة} {r}
frac { $ 1.88 div 2} {2 text {feet} div 2} = frac { $ 0.94} {1 text {foot}}
frac { $ 0.94} {1 text {foot}} cdot frac {3 text {feet}} {1 text {yard}} = frac { $؟} {؟ نص {ياردة}}
نهاية {مجموعة} )
لمقارنة الأسعار ، يجب أن يكون لديك نفس وحدة القياس.

( frac { $ 0.94} {1 إلغاء { text {foot}}} cdot frac {3 Cancel { text {feet}}} {1 text {yard}} = frac { $ 2.82} {1 text {yard}} )

2.82 دولار لكل ياردة

استخدم عامل التحويل ( frac {3 text {feet}} {1 text {yard}} ) ، وقم بالإلغاء والضرب.

الأنبوب أ: 1.83 دولار للفناء الواحد

الأنبوب ب: 2.82 دولار لكل ياردة

قارن أسعار 1 ياردة من كل أنبوب.

الأنبوب أ أقل تكلفة من الأنبوب ب.

في المشكلة أعلاه ، يمكنك أيضًا العثور على سعر القدم لكل نوع من الأنابيب ومقارنة أسعار الوحدة لكل قدم.

ممارسه الرياضه

شركة سياج تقيس مساحة مستطيلة لتثبيت سور حول محيطها. إذا كان طول المساحة المستطيلة 130 ياردة والعرض 75 قدمًا ، فما الطول الإجمالي للمسافة المراد تسييجها؟

  1. 410 ياردة
  2. 930 قدم
  3. 710 قدم
  4. 465 قدم
إجابه
  1. 410 ياردة

    غير صحيح. المسافة حول المستطيل هي ضعف الطول زائد ضعف العرض ، لكن لا يمكنك إجراء هذا الحساب إلا إذا كانت الوحدات متطابقة. حول الياردات إلى أقدام ثم احسبها. الإجابة الصحيحة هي 930 قدمًا.

  2. 930 قدم

    صيح. 130 ياردة تعادل 390 قدمًا. لمعرفة المحيط ، أضف الطول + الطول + العرض + العرض: ( 390 نص {قدم} +390 نص {قدم} +75 نص {قدم} +75 نص {قدم} = 930 نص {قدم } )

  3. 710 قدم

    غير صحيح.حول 130 ياردة إلى قدم بضربها في 3. ثم ضاعف لتحصل على مسافة الضلعين الطويلين للمستطيل بالأقدام. المسافة للعرض مُعطاة بالفعل بالأقدام ، لذا اضرب في 2 لتحصل على طول كلا الضلعين القصيرين للمستطيل. الإجابة الصحيحة هي 930 قدمًا.

  4. 465 قدم

    غير صحيح. المبارزة ضرورية لأربعة جوانب ، وليس جانبين فقط. الإجابة الصحيحة هي 930 قدمًا.

وحدات القياس الأساسية الأربع المستخدمة في نظام القياس المتعارف عليه في الولايات المتحدة هي: البوصة والقدم والساحة والميل. عادةً ما يستخدم الناس الساحات والأميال وأحيانًا الأقدام لوصف المسافات الطويلة. القياس بالبوصة شائع للأجسام أو الأطوال الأقصر.

تحتاج إلى التحويل من وحدة قياس إلى أخرى إذا كنت تحل مسائل تتضمن قياسات تتضمن أكثر من نوع قياس واحد. يمكن تحويل كل وحدة إلى إحدى الوحدات الأخرى باستخدام جدول المعادلات و / أو عوامل التحويل و / أو طريقة تسمية العوامل الموضحة في هذا الموضوع.


للتثبيت في نظام إدارة التعلم (LMS) ، تم تطوير هذه الدورة المكونة من فصلين دراسيين لطلاب الجبر لأول مرة من جميع مستويات القدرة. يقدم البرنامج للمتعلمين مفاهيم الرياضيات والإجراءات والتفكير الرياضي والتفكير النقدي.

نلقي نظرة فاحصة

نهج تربوي

وصف الدورة التدريبية

تم تطوير دورة Algebra 1 المكونة من فصلين دراسيين لطلاب الجبر لأول مرة مع مجموعة واسعة من مستويات القدرة ، من العلاجية إلى المتقدمة. يرتبط المحتوى بجميع أطر الجبر الحكومية الأمريكية و The Common Core. يمكن استخدام هذه الدورة كمستقل أو كمكمل لأي كتاب جبر مدرسي.

يقدم النهج المرن الذي يركز على المتعلم مجموعة من كائنات التعلم المصممة لفتح الباب أمام مفاهيم الرياضيات وإجراءاتها والتفكير الرياضي والتفكير النقدي للمتعلمين.
يعمل الطلاب من خلال الأنشطة في تسلسل يستفيد من استراتيجيات التعلم الناجحة الخاصة بهم أثناء بناء مهاراتهم في القرن الحادي والعشرين.

مكونات الدورة

  • تسخين: سلسلة من المشاكل لتقييم المعرفة السابقة ، مما أدى إلى توصيات مخصصة للمراجعة.
  • عرض: عرض تقديمي غني بالوسائط يقدم مفهوم الموضوع مع أمثلة مصورة ونص اختياري مغلق [CC] باللغتين الإنجليزية والإسبانية.
  • أمثلة عملية: عرض مُروَى ، خطوة بخطوة لإجراءات حل المشكلات.
  • مشاكل الممارسة: المشكلات الرمزية والكلامية المصممة في مجموعات قابلة للتكيف ، مما يوفر للطلاب الممارسة والتغذية الراجعة.
  • نص الموضوع: يوفر الكتاب المدرسي المتكامل تغطية شاملة لكل مفهوم تعليمي ضمن كل موضوع ، وهو متوفر باللغتين الإنجليزية والإسبانية.
  • إعادة النظر: اختبار ذاتي للفهم قبل الانتقال إلى الموضوع التالي.
  • المشروع: الواجبات التعاونية في تقليد التعلم القائم على المشاريع التي تستخدم مشاكل العالم الحقيقي.
  • محاكاة المعلم: يوفر نشاط الوحدة التراكمي للطلاب إرشادات موجهة في حل مشكلة تطبيق متعددة الأوجه في العالم الحقيقي.
  • التقييمات: التقييمات التكوينية والختامية المصممة لتوجيه تقدم المتعلم.

إمكانية الوصول

نموذج الوصول التطوعي للمنتج (VPAT) هو مستند يقيم مدى الوصول إلى منتج معين وفقًا لمعايير القسم 508. إنه مستند إفصاح ذاتي تم إنتاجه بواسطة البائع يوضح بالتفصيل كل جانب من جوانب متطلبات القسم 508 وكيف يدعم المنتج كل معيار.

المساهمون

مشروع NROC / معهد مونتيري للتكنولوجيا والتعليم

  • غاري لوبيز ، دكتوراه المدير التنفيذي
  • رينيه بنت مدير التحرير
  • جيسيكا إيفرتون مدير تطوير التحرير
  • بريان روليت مدير التكنولوجيا
  • روث رومينجر مدير تصميم التعلم
  • نانسي كوك مدير العمليات
  • تيري روينهورست مدير عضوية NROC
  • داني بيدروتي مدير عضوية NROC
  • جوناثان لوبيز مدير اتصالات

فريق التحرير

خبير رئيسي في الموضوع

محرر تنموي

تطوير المحتوى

مركز تطوير التعليم (EDC) فريق الرياضيات
  • بيرت جرانوفسكي
  • إريك كارنوسكي
  • نيفين كاتز
  • إميلي فاجان
  • كارولين رونشينسكي

مساهمون خبراء متخصصون ومستشارون رياضيات ومراجعون

  • سلمان خانأكاديمية خان
  • سارة مونشين مدير المجلس الوطني لمشرفي الرياضيات
  • العنبر موسكاريلو مدرس ، تكساس
  • لين سكورنياك استشاري ، فلوريدا
  • باربرا ف. سميث ، إد. الكلية المعاونة ، أو
  • مات تاونسلي مدرس IA
  • نورا وول مدرس خاص ، فلوريدا

كتاب السيناريو

  • مايكل بريمر وادي العشب ، كاليفورنيا
  • كاثلين ارميتاج إيفانستون ، إلينوي
  • بروس هوفمان مارينا ، كاليفورنيا

المراجعون الإضافيون

  • آنا دافيلا أخصائي تعليم الرياضيات ، تكساس
  • ليلى نيسن Math Publishing Professional، CA
  • سوزان فايفر دكتوراه. مستشار ، ويتشيتا ، كانساس

البحث عن المتجر

  • مايكل كارتر ، دكتوراه. التوأم التعلم ، ذ
  • جون واتسون مجموعة إيفرجرين التعليمية

فريق الإنتاج

  • فيل كروس NexLearn ، فريق مدير المشروع
  • كريس كارسون Clickteam لعبة الإنتاج

المستشارون

  • روبرت كوري جامعة ميشيغان الافتراضية
  • روندا إيبر ، دكتوراه. كليات مجتمع كولورادو عبر الإنترنت
  • ميك غارن ، دكتوراه. مجلس التعليم الإقليمي الجنوبي
  • فرانسيسكو هيرنانديز ، دكتوراه. جامعة هاواي & # x27i
  • سالي جونستون ، دكتوراه. جامعة ولاية وينونا
  • جودي لوي كلية مجتمع ولاية تشاتانوغا
  • ستيف نيلسون وزارة التعليم في ولاية أوريغون
  • سوزان باتريك الرابطة الدولية للتعليم عبر الإنترنت K-12
  • ستيلا بيريز رابطة الابتكار في كليات المجتمع
  • ليندا بيتينجر مجلس رؤساء المدارس الحكومية
  • ستيف راينشميت اتحاد كلية مجتمع آيوا عبر الإنترنت
  • ميرا سنيل كلية مجتمع ميدانوس
  • كانديس ثيل ، دكتوراه. جامعة كارنيجي ميلون
  • وليام فيليز ، دكتوراه. جامعة أريزونا
  • جين ويلهويت مجلس ضباط المدارس الحكومية
  • راشيل وايز دكتوراه. مدارس أوماها العامة

المشاركون في مجموعة التركيز

الطلاب أو أعضاء هيئة التدريس أو الإداريين من المنظمات التالية:

  • مدرسة أنطاكية الثانوية ، كاليفورنيا
  • دائرة مدارس مقاطعة بالتيمور ، ماريلاند
  • دائرة مدارس مقاطعة سيسيل ، ماريلاند
  • مدارس شارلوت العامة ، ميشيغان
  • مدارس مدينة الملائكة ، كاليفورنيا
  • كلية دنفر للعلوم والتكنولوجيا ، كولورادو
  • مدرسة ديجيتال هاربور الثانوية ، دكتوراه في الطب
  • مدارس جروس بوينت العامة ، ميشيغان
  • إدارة التعليم في ولاية أيوا ، IA
  • مدارس لانسينغ العامة ، ميشيغان
  • LAUSD المنطقة المحلية 4 ، كاليفورنيا
  • LAUSD المنطقة المحلية 5 ، كاليفورنيا
  • LAUSD المنطقة المحلية 8 ، كاليفورنيا
  • مدرسة لويل الثانوية ، ميتشيغن
  • مدارس مابل فالي ، ميشيغان
  • مدرسة ماريلاند الافتراضية ، دكتوراه في الطب
  • مدرسة ميشيغان الافتراضية ، ميشيغان
  • مدارس أوماها العامة ، نبراسكا
  • مدرسة روزفلت الثانوية ، كاليفورنيا
  • مدرسة ساوثجيت الثانوية ، كاليفورنيا
  • المدرسة الثانوية الجامعية ، كاليفورنيا
  • مدرسة ويليامستون الثانوية ، ميتشيغن

التمويل مقدم من

دراسات الحالة والصحافة الأخيرة


محتويات

الرمز الذي يستخدمه علماء الرياضيات لتمثيل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هو الحرف اليوناني الصغير π ، وأحيانًا يتم توضيحه على النحو التالي بي ومشتق من الحرف الأول من الكلمة اليونانية perimetros ، محيط المعنى. [11] في اللغة الإنجليزية ، تُنطق π كـ "pie" (/ p aɪ / السنة التحضيرية ). [12] في الاستخدام الرياضي ، يتم تمييز الحرف الصغير عن نظيره الكبير والمكبر ، والذي يشير إلى منتج لتسلسل ، مشابه لكيفية ∑ تشير إلى التجميع.

تمت مناقشة اختيار الرمز π في القسم اعتماد الرمز π .

تعريف

يتم تعريف بشكل عام على أنها نسبة محيط الدائرة ج لقطرها د : [13] [3]

النسبة ج/د ثابت ، بغض النظر عن حجم الدائرة. على سبيل المثال ، إذا كان قطر الدائرة ضعف قطر دائرة أخرى ، فسيكون لها أيضًا ضعف محيطها ، مع الحفاظ على النسبة ج/د . هذا التعريف لـ π يستفيد ضمنيًا من الهندسة المسطحة (الإقليدية) على الرغم من أن فكرة الدائرة يمكن أن تمتد إلى أي منحنى (غير إقليدي) ، فإن هذه الدوائر الجديدة لن ترضي الصيغة π = ج/د . [13]

هنا ، محيط الدائرة هو طول القوس حول محيط الدائرة ، وهي كمية يمكن تحديدها رسميًا بشكل مستقل عن الهندسة باستخدام حدود - وهو مفهوم في حساب التفاضل والتكامل. [14] على سبيل المثال ، يمكن للمرء أن يحسب مباشرة طول القوس للنصف العلوي من دائرة الوحدة ، المعطى في الإحداثيات الديكارتية بواسطة المعادلة x 2 + ذ 2 = 1 ، كجزء لا يتجزأ: [15]

تم اعتماد جزء لا يتجزأ من هذا القبيل كتعريف لـ π بواسطة Karl Weierstrass ، الذي عرّفها بشكل مباشر على أنها جزء لا يتجزأ في عام 1841. [أ]

لم يعد التكامل مستخدمًا بشكل شائع في التعريف التحليلي الأول لأنه ، كما يوضح Remmert 2012 ، يسبق حساب التفاضل التفاضلي عادةً حساب التفاضل والتكامل في المناهج الجامعية ، لذلك من المستحسن أن يكون هناك تعريف لـ π لا يعتمد على الأخير. أحد هذه التعريفات ، بسبب ريتشارد بالتزر [16] وشاعه إدموند لانداو ، [17] هو التالي: is هو ضعف أصغر رقم موجب تساوي فيه دالة جيب التمام 0. [13] [15] [18] جيب ​​التمام يمكن تعريفها بشكل مستقل عن الهندسة كسلسلة قوى ، [19] أو كحل لمعادلة تفاضلية. [18]

بروح مماثلة ، يمكن تعريف π باستخدام خصائص الأسي المركب ، exp ض ، لمتغير معقد ض . مثل جيب التمام ، يمكن تعريف الأسي المركب بإحدى الطرق العديدة. مجموعة الأعداد المركبة التي عندها exp ض يساوي واحدًا هو إذن تقدم حسابي (وهمي) للشكل:

وهناك رقم حقيقي موجب فريد π بهذه الخاصية. [15] [20]

هناك تباين أكثر تجريدية حول نفس الفكرة ، بالاستفادة من المفاهيم الرياضية المعقدة للطوبولوجيا والجبر ، وهي النظرية التالية: [21] هناك تماثل فريد من نوعه (حتى التشكل التلقائي) من المجموعة ص/ض من الأعداد الحقيقية تحت إضافة الأعداد الصحيحة المعيارية (مجموعة الدائرة) ، إلى المجموعة المضاعفة للأعداد المركبة للقيمة المطلقة واحد. ثم يتم تعريف الرقم π على أنه نصف حجم مشتق هذا التشابه. [22]

اللاعقلانية والطبيعية

لا تحتوي أرقام على نمط واضح وقد اجتازت اختبارات العشوائية الإحصائية ، بما في ذلك اختبارات الحالة الطبيعية ، يُطلق على عدد من الطول اللانهائي اسم عادي عندما تظهر جميع التسلسلات الممكنة للأرقام (من أي طول معين) في كثير من الأحيان. [25] التخمين بأن π طبيعي لم يتم إثباته أو دحضه. [25]

منذ ظهور أجهزة الكمبيوتر ، يتوفر عدد كبير من الأرقام لإجراء التحليل الإحصائي. قام Yasumasa Kanada بإجراء تحليلات إحصائية مفصلة على الأرقام العشرية لـ π ، ووجدها متوافقة مع الحالة الطبيعية ، على سبيل المثال ، خضعت ترددات الأرقام العشرة من 0 إلى 9 لاختبارات الدلالة الإحصائية ، ولم يتم العثور على دليل على وجود نمط. [26] أي تسلسل عشوائي للأرقام يحتوي على تكرارات متتابعة طويلة بشكل عشوائي والتي تبدو غير عشوائية ، من خلال نظرية القرد اللانهائي. وبالتالي ، نظرًا لأن تسلسل أرقام يجتاز الاختبارات الإحصائية للعشوائية ، فإنه يحتوي على بعض التسلسلات من الأرقام التي قد تبدو غير عشوائية ، مثل سلسلة من ستة أرقام متتالية تبدأ من المكان العشري 762 للتمثيل العشري لـ π . [27] وتسمى هذه أيضًا "نقطة فاينمان" في الفولكلور الرياضي ، نسبةً لريتشارد فاينمان ، على الرغم من عدم وجود صلة معروفة بفينمان.

التعالي

لتجاوز π نتيجتان مهمتان: أولاً ، لا يمكن التعبير عن π باستخدام أي مجموعة محدودة من الأعداد المنطقية والجذور التربيعية أو نالجذور الثالثة (مثل 3 31 أو √ 10). ثانيًا ، نظرًا لعدم إمكانية إنشاء أي رقم متعالي باستخدام البوصلة والمسطرة ، فلا يمكن "تربيع الدائرة". بمعنى آخر ، من المستحيل إنشاء مربع مساحته مساوية تمامًا لمساحة دائرة معينة باستخدام البوصلة والمسطرة وحدهما. [29] كان تربيع الدائرة أحد المشاكل الهندسية المهمة في العصور القديمة الكلاسيكية. [30] حاول علماء الرياضيات الهواة في العصر الحديث أحيانًا تربيع الدائرة وادعاء النجاح - على الرغم من حقيقة أن ذلك مستحيل رياضيًا. [31]

الكسور المستمرة

مثل جميع الأرقام غير المنطقية ، لا يمكن تمثيل ككسر مشترك (يُعرف أيضًا باسم كسر بسيط أو مبتذل) ، من خلال تعريف العدد غير المنطقي (أي ليس عددًا منطقيًا). لكن كل رقم غير نسبي ، بما في ذلك ، يمكن تمثيله بسلسلة لا نهائية من الكسور المتداخلة ، تسمى الكسر المستمر:

ينتج عن اقتطاع الكسر المستمر عند أي نقطة تقريب منطقي لـ الأربعة الأولى منها 3 و 22/7 و 333/106 و 355/113. هذه الأرقام هي من بين أشهر التقريبات التاريخية للثابت وأكثرها استخدامًا. كل تقريب تم إنشاؤه بهذه الطريقة هو أفضل تقريب منطقي ، حيث يكون كل تقريب أقرب إلى π من أي كسر آخر له نفس المقام أو مقام أصغر. [32] نظرًا لأن π معروفة بأنها متعالية ، فهي بحكم تعريفها ليست جبريًا وبالتالي لا يمكن أن تكون غير منطقية من الدرجة الثانية. لذلك ، لا يمكن أن تحتوي على كسر دوري مستمر. على الرغم من أن الكسر المستمر البسيط لـ π (كما هو موضح أعلاه) لا يظهر أي نمط واضح آخر ، [33] اكتشف علماء الرياضيات العديد من الكسور المستمرة المعممة ، مثل: [34]

القيمة التقريبية والأرقام

  • عدد صحيح: 3
  • الكسور: تشمل الكسور التقريبية (بترتيب زيادة الدقة)
  • 22 / 7 ,
  • 333 / 106 ,
  • 355 / 113 ,
  • 52163 / 16604 ,
  • 103993 / 33102 ,
  • 104348/33215 و
  • 245850922/78256779. [32] (قائمة المصطلحات المحددة من OEIS: A063674 و OEIS: A063673.)
  • أرقام: أول 50 رقمًا عشريًا هي 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510. [35] (انظر OEIS: A000796)

الأرقام في أنظمة الأرقام الأخرى

  • أول 48 رقمًا ثنائيًا (أساس 2) (تسمى بت) هي 11.0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011. (انظر OEIS: A004601)
  • أول 20 رقمًا في النظام الست عشري (الأساس 16) هي 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319. [36] (انظر OEIS: A062964)
  • الأرقام الخمسة الأولى الستين (الأساس 60) هي 38،29،44،0،47 [37] (انظر OEIS: A060707)

الأعداد المركبة وهوية أويلر

لنقل أي عدد معقد ض ، يمكن التعبير عنها باستخدام زوج من الأرقام الحقيقية. في نظام الإحداثيات القطبية ، يوجد رقم واحد (نصف قطر أو ص) لتمثيلها ض المسافة من أصل المستوى المركب ، والآخر (الزاوية أو φ) الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة من الخط الحقيقي الموجب: [38]

أين أنا هل الوحدة التخيلية مرضية أنا 2 = -1. يمكن أن يكون المظهر المتكرر لـ π في التحليل المعقد مرتبطًا بسلوك الدالة الأسية لمتغير معقد ، الموصوفة في صيغة أويلر: [39]

حيث الثابت ه هو أساس اللوغاريتم الطبيعي. تؤسس هذه الصيغة تطابقًا بين القوى الخيالية لـ ه والنقاط على دائرة الوحدة المتمركزة في أصل المستوى المركب. جلسة φ = π في صيغة أويلر ينتج عنه هوية أويلر ، التي يتم الاحتفال بها في الرياضيات نظرًا لاحتوائها على أهم خمسة ثوابت رياضية: [39] [40]

يوجد ن أعداد مركبة مختلفة ض مرضيه ض ن = 1 ، وتسمى هذه " ن - الجذور الثالثة للعدد واحد "[41] وتعطيها الصيغة:

العصور القديمة

كانت التقديرات التقريبية الأكثر شهرة لـ π التي يرجع تاريخها قبل العصر العام دقيقة إلى منزلتين عشريتين تم تحسين ذلك في الرياضيات الصينية على وجه الخصوص بحلول منتصف الألفية الأولى ، إلى دقة سبعة منازل عشرية. بعد ذلك ، لم يتم إحراز أي تقدم حتى أواخر العصور الوسطى.

عصر تقريب المضلع

أنتج عالم الفلك الفارسي جمشيد الكاشي 9 أرقام ستينية ، أي ما يعادل 16 رقمًا عشريًا تقريبًا ، في عام 1424 باستخدام مضلع به 3 × 2 28 جانبًا ، [65] [66] والذي كان يمثل الرقم القياسي العالمي لمدة 180 عامًا تقريبًا. [67] حقق عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1579 9 أرقام مع مضلع 3 × 2 17 جانبًا. [67] وصل عالم الرياضيات الفلمنكي Adriaan van Roomen إلى 15 منزلاً عشريًا في عام 1593. [67] في عام 1596 ، وصل عالم الرياضيات الهولندي Ludolph van Ceulen إلى 20 رقمًا ، وهو رقم قياسي زاد لاحقًا إلى 35 رقمًا (نتيجة لذلك ، أطلق على called اسم Ludolphian number "في ألمانيا حتى أوائل القرن العشرين). [68] وصل العالم الهولندي ويليبرورد سنيليوس إلى 34 رقمًا في عام 1621 ، [69] ووصل عالم الفلك النمساوي كريستوف جرينبرجر إلى 38 رقمًا في عام 1630 باستخدام 10 40 جانبًا ، [70] والذي يظل التقريب الأكثر دقة الذي تم تحقيقه يدويًا باستخدام خوارزميات متعددة الأضلاع. [69]

سلسلة لا نهاية لها

حدث ثورة في حساب by من خلال تطوير تقنيات السلاسل اللانهائية في القرنين السادس عشر والسابع عشر. السلسلة اللانهائية هي مجموع شروط التسلسل اللانهائي. [71] سمحت السلسلة اللانهائية لعلماء الرياضيات بحساب π بدقة أكبر بكثير من أرخميدس والآخرين الذين استخدموا تقنيات هندسية. [71] على الرغم من أن السلاسل اللانهائية قد تم استغلالها من أجل π وعلى الأخص من قبل علماء الرياضيات الأوروبيين مثل جيمس جريجوري وجوتفريد فيلهلم ليبنيز ، تم اكتشاف هذا النهج لأول مرة في الهند في وقت ما بين 1400 و 1500 م. [72] [73] أول وصف مكتوب لسلسلة لا نهائية يمكن استخدامها لحساب تم وضعه في الآية السنسكريتية بواسطة عالم الفلك الهندي نيلاكانثا سوماياجي في كتابه تنتراسامجراهاحوالي 1500 م. [74] تم تقديم السلسلة بدون دليل ، ولكن تم تقديم البراهين في عمل هندي لاحق يوكتبهامن حوالي 1530 م. تنسب Nilakantha السلسلة إلى عالم رياضيات هندي سابق ، Madhava of Sangamagrama ، الذي عاش ج. 1350 - ج. 1425. [74] تم وصف العديد من السلاسل اللانهائية ، بما في ذلك سلسلة الجيب والظل وجيب التمام ، والتي يشار إليها الآن باسم سلسلة مادهافا أو سلسلة غريغوري لايبنيز. [74] استخدم مادهافا سلسلة لانهائية لتقدير إلى 11 رقمًا حوالي عام 1400 ، ولكن تم تحسين هذه القيمة في حوالي عام 1430 بواسطة عالم الرياضيات الفارسي جمشيد الكاشي ، باستخدام خوارزمية متعددة الأضلاع. [75]

أول تسلسل لانهائي تم اكتشافه في أوروبا كان منتجًا لانهائيًا (بدلاً من مجموع لانهائي ، والذي يستخدم عادةً في حسابات) وجده عالم الرياضيات الفرنسي فرانسوا فييت عام 1593: [77] [78] [79]

أدى اكتشاف حساب التفاضل والتكامل ، بواسطة العالم الإنجليزي إسحاق نيوتن وعالم الرياضيات الألماني جوتفريد فيلهلم لايبنيز في ستينيات القرن السادس عشر ، إلى تطوير العديد من السلاسل اللانهائية لتقريب. استخدم نيوتن نفسه سلسلة arcsin لحساب تقريب مكون من 15 رقمًا لـ في عام 1665 أو 1666 ، وكتب لاحقًا "أشعر بالخجل من إخبارك بعدد الأرقام التي حملتها هذه الحسابات ، ولم يكن لدي أي عمل آخر في ذلك الوقت." [76]

في أوروبا ، أعاد عالم الرياضيات الاسكتلندي جيمس جريجوري اكتشاف صيغة مادهافا عام 1671 ، ولايبنيز عام 1674: [80] [81]

هذه الصيغة ، سلسلة Gregory – Leibniz ، تساوي / 4 عند تقييمها باستخدام ض = 1. [81] في عام 1699 ، استخدم عالم الرياضيات الإنجليزي أبراهام شارب سلسلة Gregory – Leibniz لـ z = 1 3 < textstyle z = < frac <1> < sqrt <3> >>> لحساب π إلى 71 رقمًا محطمة الرقم القياسي السابق المكون من 39 رقمًا والذي تم ضبطه باستخدام خوارزمية متعددة الأضلاع. [82] سلسلة Gregory – Leibniz لـ z = 1 < displaystyle z = 1> بسيطة ، لكنها تتقارب ببطء شديد (أي تقترب من الإجابة تدريجياً) ، لذا فهي لا تستخدم في الحسابات الحديثة π. [83]

في عام 1706 ، استخدم John Machin سلسلة Gregory – Leibniz لإنتاج خوارزمية تقاربت بشكل أسرع: [84]

وصل ماشين إلى 100 رقم من π بهذه الصيغة. [85] ابتكر علماء رياضيات آخرون متغيرات ، تُعرف الآن بالصيغ الشبيهة بماشين ، والتي تم استخدامها لتعيين عدة سجلات متتالية لحساب أرقام π. [85] ظلت الصيغ الشبيهة بالماشين هي الطريقة الأكثر شهرة لحساب π جيدًا في عصر أجهزة الكمبيوتر ، واستخدمت لتسجيل الأرقام القياسية لمدة 250 عامًا ، وبلغت ذروتها في تقريب مكون من 620 رقمًا في عام 1946 بواسطة دانيال فيرجسون - أفضل تقريب تم تحقيقه بدون مساعدة من جهاز حساب. [86]

تم تسجيل رقم قياسي بواسطة الحساب المعجزة زكريا داس ، الذي استخدم في عام 1844 معادلة شبيهة بماشين لحساب 200 كسر عشري لـ π في رأسه بناءً على طلب عالم الرياضيات الألماني كارل فريدريش جاوس. [87] اشتهر عالم الرياضيات البريطاني ويليام شانكس بأنه استغرق 15 عامًا لحساب إلى 707 أرقام ، لكنه ارتكب خطأ في الرقم 528 ، مما جعل جميع الأرقام اللاحقة غير صحيحة. [87]

معدل التقارب

تتلاقى بعض السلاسل اللانهائية لـ أسرع من غيرها. بالنظر إلى اختيار سلسلتين لا نهائيتين لـ π ، سيستخدم علماء الرياضيات بشكل عام السلسلة التي تتقارب بسرعة أكبر لأن التقارب الأسرع يقلل من مقدار الحساب المطلوب لحساب π لأي دقة معينة. [88] سلسلة لانهائية بسيطة لـ π هي سلسلة Gregory – Leibniz: [89]

مع إضافة المصطلحات الفردية لهذه السلسلة اللانهائية إلى المجموع ، يقترب الإجمالي تدريجيًا من π ، ويمكن - مع عدد كافٍ من المصطلحات - الاقتراب من π حسب الرغبة. إنه يتقارب ببطء شديد ، على الرغم من أنه بعد 500000 حد ، فإنه ينتج فقط خمسة أرقام عشرية صحيحة من π. [90]

سلسلة لانهائية لـ π (نشرتها Nilakantha في القرن الخامس عشر) والتي تتقارب بسرعة أكبر من سلسلة Gregory – Leibniz هي: [91] لاحظ أن (ن − 1)ن(ن + 1) = ن 3 − ن. [92]

يقارن الجدول التالي معدلات التقارب لهاتين السلسلتين:

سلسلة لانهائية لـ π بعد الفصل الأول بعد الفصل الثاني بعد الفصل الثالث بعد الفصل الرابع بعد الفصل الخامس يتقارب إلى:
π = 4 1 - 4 3 + 4 5 - 4 7 + 4 9 - 4 11 + 4 13 + ⋯ <1>> - <3> > + < frac <4> <5>> - < frac <4> <7>> + < frac <4> <9>> - < frac <4> <11>> + < frac < 4> <13>> + cdots> 4.0000 2.6666 . 3.4666 . 2.8952 . 3.3396 . π = 3.1415.
π = 3 + 4 2 × 3 × 4 - 4 4 × 5 × 6 + 4 6 × 7 × 8 + ⋯ + <2 times 3 times 4 >> - < frac <4> <4 times 5 times 6 >> + < frac <4> <6 times 7 times 8 >> + cdots> 3.0000 3.1666 . 3.1333 . 3.1452 . 3.1396 .

بعد خمسة فصول ، يكون مجموع سلسلة Gregory – Leibniz ضمن 0.2 من القيمة الصحيحة لـ π ، بينما يكون مجموع سلسلة Nilakantha ضمن 0.002 من القيمة الصحيحة لـ π. تتقارب سلسلة Nilakantha بشكل أسرع وتكون أكثر فائدة لحساب أرقام π. تتضمن السلسلة التي تتقارب بشكل أسرع سلسلة Machin وسلسلة Chudnovsky ، حيث تنتج الأخيرة 14 رقمًا عشريًا صحيحًا لكل مصطلح. [88]

اللاعقلانية والتعالي

لم تكن كل التطورات الرياضية المتعلقة بـ تهدف إلى زيادة دقة التقديرات التقريبية. عندما حل أويلر مشكلة بازل عام 1735 ، بإيجاد القيمة الدقيقة لمجموع المربعات المقلوبة ، أنشأ صلة بين π والأعداد الأولية التي ساهمت لاحقًا في تطوير ودراسة دالة زيتا ريمان: [93]

أثبت العالم السويسري يوهان هاينريش لامبرت في عام 1761 أن π غير منطقي ، بمعنى أنه لا يساوي حاصل قسمة أي عددين صحيحين. [23] برهان لامبرت استغل تمثيل الكسر المستمر لوظيفة الظل. [94] أثبت عالم الرياضيات الفرنسي أدريان ماري ليجيندر في عام 1794 أن π 2 غير عقلاني أيضًا. في عام 1882 ، أثبت عالم الرياضيات الألماني فرديناند فون ليندمان أن π متسامي ، [95] يؤكد تخمينًا قدمه كل من ليجيندر وأويلر. [96] [97] صرح هاردي ورايت أن "البراهين تم تعديلها وتبسيطها بعد ذلك من قبل هيلبرت وهورويتز وكتاب آخرين". [98]

اعتماد الرمز π

في الاستخدامات المبكرة ، كان الحرف اليوناني π اختصارًا للكلمة اليونانية للمحيط (περιφέρεια) ، [100] وتم دمجه بنسب مع δ (للقطر) أو ρ (لنصف القطر) لتشكيل ثوابت دائرية. [101] [102] [103] (قبل ذلك ، استخدم علماء الرياضيات أحيانًا أحرفًا مثل ج أو ص في حين أن. [104]) أول استخدام مسجل هو Oughtred "δ. yle < displaystyle delta. pi>" ، للتعبير عن نسبة المحيط والقطر في طبعات 1647 وما بعدها من كلافيس ماثيماتيكاي. [105] [104] استخدم بارو بالمثل "π δ < textstyle < frac < pi> >>" لتمثيل الثابت 3.14. [106] بينما استخدم جريجوري بدلاً من ذلك "π ρ < textstyle < frac < pi> < rho >>>" لتمثيل 6.28. . [107] [102]

أول استخدام معروف للحرف اليوناني π وحده لتمثيل نسبة محيط الدائرة إلى قطرها كان من قبل عالم الرياضيات الويلزي ويليام جونز في عمله 1706 ملخص Palmariorum Matheseos أو مقدمة جديدة للرياضيات. [108] [109] يظهر الحرف اليوناني أولاً هناك في عبارة "1/2 Periphery (π)" في مناقشة دائرة نصف قطرها واحد. [110] ومع ذلك ، فقد كتب أن معادلاته لـ مأخوذة من "القلم الجاهز للسيد جون ماشين العبقري حقًا" ، مما أدى إلى تكهنات بأن ماشين ربما استخدم الحرف اليوناني قبل جونز. [104] لم يتم تبني تدوين جونز على الفور من قبل علماء الرياضيات الآخرين ، مع استمرار استخدام تدوين الكسر حتى عام 1767. [101] [111]

بدأ أويلر في استخدام شكل الحرف الواحد بدءًا من عام 1727 مقال يشرح خصائص الهواء، على الرغم من أنه استخدم π = 6.28. ، نسبة نصف القطر إلى المحيط ، في هذه الكتابة وبعض الكتابة اللاحقة. [112] [113] استخدم أويلر لأول مرة π = 3.14. في عمله 1736 ميكانيكا، [114] واستمر في عمله 1748 المقروء على نطاق واسع مقدمة في التحاليل اللانهائية (كتب: "من أجل الإيجاز سنكتب هذا الرقم كـ π وبالتالي π يساوي نصف محيط دائرة نصف قطرها 1"). [115] نظرًا لأن أويلر كان يتطابق بشكل كبير مع علماء الرياضيات الآخرين في أوروبا ، انتشر استخدام الحرف اليوناني بسرعة ، وتم تبني هذه الممارسة عالميًا بعد ذلك في العالم الغربي ، [104] على الرغم من أن التعريف لا يزال متنوعًا بين 3.14. و 6.28. حتى عام 1761. [116]

عصر الكمبيوتر والخوارزميات التكرارية

ثم يتم إعطاء تقدير لـ بواسطة

أحدث تطور أجهزة الكمبيوتر في منتصف القرن العشرين ثورة مرة أخرى في البحث عن أرقام π. وصل عالم الرياضيات جون ورينش وليفي سميث إلى 1120 رقمًا في عام 1949 باستخدام آلة حاسبة مكتبية. [117] باستخدام سلسلة لا حصر لها من الظل العكسي (arctan) ، حقق فريق بقيادة جورج ريتويزنر وجون فون نيومان في نفس العام 2037 رقمًا مع حساب استغرق 70 ساعة من وقت الكمبيوتر على كمبيوتر ENIAC. [118] [119] تم كسر الرقم القياسي ، الذي يعتمد دائمًا على سلسلة أركتان ، بشكل متكرر (7480 رقمًا في عام 1957 ، و 10000 رقم في عام 1958 ، و 100000 رقم في عام 1961) حتى تم الوصول إلى مليون رقم في عام 1973. [118]

أدى تطوران إضافيان في عام 1980 تقريبًا إلى تسريع القدرة على الحساب π. أولاً ، اكتشاف خوارزميات تكرارية جديدة لحساب ، والتي كانت أسرع بكثير من السلسلة اللانهائية ، وثانيًا ، اختراع خوارزميات الضرب السريع التي يمكن أن تضاعف أعدادًا كبيرة بسرعة كبيرة. [120] مثل هذه الخوارزميات لها أهمية خاصة في الحسابات الحديثة لأن معظم وقت الكمبيوتر مخصص للضرب. [121] وهي تشمل خوارزمية كاراتسوبا وطرق ضرب توم كوك وطرق فورييه القائمة على التحويل. [122]

تم نشر الخوارزميات التكرارية بشكل مستقل في 1975-1976 من قبل الفيزيائي يوجين سالامين والعالم ريتشارد برنت. [123] هذه تتجنب الاعتماد على السلاسل اللانهائية. تكرر الخوارزمية التكرارية عملية حسابية محددة ، كل تكرار باستخدام المخرجات من الخطوات السابقة كمدخلات لها ، وتنتج نتيجة في كل خطوة تتقارب مع القيمة المطلوبة. لقد اخترع كارل فريدريش جاوس هذا النهج بالفعل قبل 160 عامًا ، فيما يسمى الآن طريقة المتوسط ​​الحسابي الهندسي (طريقة AGM) أو خوارزمية Gauss-Legendre. [123] كما تم تعديله بواسطة Salamin و Brent ، يشار إليه أيضًا باسم خوارزمية Brent-Salamin.

تم استخدام الخوارزميات التكرارية على نطاق واسع بعد عام 1980 لأنها أسرع من خوارزميات السلاسل اللانهائية: في حين أن السلسلة اللانهائية تزيد عدد الأرقام الصحيحة بشكل إضافي في المصطلحات المتعاقبة ، فإن الخوارزميات التكرارية عمومًا تتضاعف عدد الأرقام الصحيحة في كل خطوة. على سبيل المثال ، تضاعف خوارزمية Brent-Salamin عدد الأرقام في كل تكرار. في عام 1984 ، أنتج الأخوان جون وبيتر بوروين خوارزمية تكرارية تضاعف عدد الأرقام أربع مرات في كل خطوة ، وفي عام 1987 ، زاد عدد الأرقام خمس مرات في كل خطوة. [124] تم استخدام الأساليب التكرارية من قبل عالم الرياضيات الياباني ياسوماسا كانادا لوضع العديد من السجلات للحوسبة π بين عامي 1995 و 2002. [125] يأتي هذا التقارب السريع بثمن: تتطلب الخوارزميات التكرارية ذاكرة أكبر بكثير من السلاسل اللانهائية. [125]

دوافع الحوسبة π

بالنسبة لمعظم الحسابات الرقمية التي تتضمن π ، توفر حفنة من الأرقام دقة كافية. وفقًا لـ Jörg Arndt و Christoph Haenel ، فإن تسعة وثلاثين رقمًا كافية لإجراء معظم الحسابات الكونية ، لأن هذه هي الدقة اللازمة لحساب محيط الكون المرئي بدقة ذرة واحدة. [126] عند حساب الأرقام الإضافية اللازمة للتعويض عن أخطاء التقريب الحسابي ، خلص أرندت إلى أن بضع مئات من الأرقام ستكون كافية لأي تطبيق علمي. على الرغم من ذلك ، عمل الناس بجد لحساب لآلاف وملايين الأرقام. [127] قد يُعزى هذا الجهد جزئيًا إلى إكراه الإنسان على تحطيم الأرقام القياسية ، وغالبًا ما تتصدر مثل هذه الإنجازات مع π عناوين الصحف حول العالم. [128] [129] لديهم أيضًا فوائد عملية ، مثل اختبار أجهزة الكمبيوتر العملاقة ، واختبار خوارزميات التحليل العددي (بما في ذلك خوارزميات الضرب عالية الدقة) وضمن الرياضيات البحتة نفسها ، مما يوفر بيانات لتقييم عشوائية أرقام π. [130]

سلسلة متقاربة بسرعة

لا تستخدم الآلات الحاسبة الحديثة الخوارزميات التكرارية حصريًا. تم اكتشاف سلسلة لانهائية جديدة في الثمانينيات والتسعينيات من القرن الماضي وهي سريعة مثل الخوارزميات التكرارية ، لكنها أبسط وأقل كثافة للذاكرة. [125] تم توقع الخوارزميات التكرارية السريعة في عام 1914 ، عندما نشر عالم الرياضيات الهندي سرينيفاسا رامانوجان العشرات من الصيغ الجديدة المبتكرة لـ π ، والتي تتميز بأناقتها وعمقها الرياضي وتقاربها السريع. [131] إحدى صيغه ، المبنية على معادلات نمطية ، هي

تتقارب هذه السلسلة بسرعة أكبر بكثير من معظم سلاسل arctan ، بما في ذلك صيغة Machin. [132] كان بيل جوسبر أول من استخدمها للتقدم في حساب π ، مسجلاً رقماً قياسياً قدره 17 مليون رقم في عام 1985. [133] توقعت صيغ رامانوجان الخوارزميات الحديثة التي طورها الأخوان بوروين (جوناثان وبيتر) و الإخوة تشودنوفسكي. [134] صيغة تشودنوفسكي التي تم تطويرها في عام 1987 هي

ينتج حوالي 14 رقمًا من π لكل مصطلح ، [135] وقد تم استخدامه لعدة حسابات لتسجيل الأرقام ، بما في ذلك أول من تجاوز المليار (10 9) رقمًا في عام 1989 من قبل الأخوين تشودنوفسكي ، 10 تريليون (10 13) أرقام في 2011 بواسطة Alexander Yee و Shigeru Kondo ، [136] أكثر من 22 تريليون رقم في 2016 بواسطة Peter Trueb [137] [138] و 50 تريليون رقم بواسطة Timothy Mullican في عام 2020. [139] للحصول على صيغ مماثلة ، انظر أيضًا Ramanujan– سلسلة ساتو.

في عام 2006 ، استخدم عالم الرياضيات Simon Plouffe خوارزمية علاقة عدد صحيح PSLQ [140] لإنشاء عدة صيغ جديدة لـ π ، بما يتوافق مع النموذج التالي:

أين ف هو ه π (ثابت جلفوند) ، ك هو رقم فردي و أ, ب, ج هي بعض الأرقام المنطقية التي حسبها بلوف [141]

طرق مونت كارلو

يمكن استخدام طرق مونت كارلو ، التي تقيم نتائج تجارب عشوائية متعددة ، لإنشاء تقديرات تقريبية لـ π. [142] إبرة بوفون هي إحدى هذه التقنيات: إذا كانت إبرة طويلة سقطت ن مرات على سطح تُرسم عليه خطوط متوازية ر على حدة ، وإذا x في تلك الأوقات يتعلق الأمر بالراحة عند عبور الخط ( x & gt 0) ، فيمكن عندئذٍ تقريب π بناءً على التهم: [143]

طريقة أخرى من طرق مونت كارلو لحساب هي رسم دائرة منقوشة في مربع ، ووضع النقاط بشكل عشوائي في المربع. ستساوي نسبة النقاط داخل الدائرة إلى إجمالي عدد النقاط تقريبًا / 4. [144]

هناك طريقة أخرى لحساب π باستخدام الاحتمال وهي البدء بجولة عشوائية ، يتم إنشاؤها بواسطة سلسلة من رميات العملة (العادلة): المتغيرات العشوائية المستقلة Xك مثل ذلك Xك ∈ <1،1> باحتمالات متساوية. المشي العشوائي المصاحب هو

لذلك ، لكل ن ، دبليون مستمدة من توزيع ذي حدين مبدل ومقاس. كما يختلف n ، دبليون يعرّف عملية عشوائية (منفصلة). ثم π يمكن حسابها بـ [145]

طريقة مونت كارلو هذه مستقلة عن أي علاقة بالدوائر ، وهي نتيجة لنظرية الحد المركزي ، التي تمت مناقشتها أدناه.

طرق مونت كارلو لتقريب بطيئة جدًا مقارنة بالطرق الأخرى ، ولا تقدم أي معلومات عن العدد الدقيق للأرقام التي تم الحصول عليها. وبالتالي لا يتم استخدامها مطلقًا لتقريب عندما تكون السرعة أو الدقة مطلوبة. [146]

خوارزميات حنفية

تم اكتشاف خوارزميتين في عام 1995 فتحتا طرقًا جديدة للبحث في π. يطلق عليها خوارزميات حنفية لأنها ، مثل الماء الذي يقطر من حنفية ، فإنها تنتج أرقامًا مفردة من π لا يُعاد استخدامها بعد حسابها. [147] [148] هذا على النقيض من سلسلة لانهائية أو خوارزميات تكرارية ، والتي تحتفظ وتستخدم جميع الأرقام الوسيطة حتى يتم إنتاج النتيجة النهائية. [147]

أنتج عالما الرياضيات ستان واجن وستانلي رابينوفيتز خوارزمية حنفية بسيطة في عام 1995. [148] [149] [150] سرعتها قابلة للمقارنة بخوارزميات أركتان ، ولكن ليس بنفس سرعة الخوارزميات التكرارية. [149]

تم اكتشاف خوارزمية حنفية أخرى ، وهي خوارزمية استخراج الأرقام BBP ، في عام 1995 بواسطة Simon Plouffe: [151] [152]

يمكن أن تنتج هذه الصيغة ، بخلاف غيرها من قبلها ، أي رقم سداسي عشري فردي لـ π دون حساب جميع الأرقام السابقة. [151] يمكن استخراج الأرقام الثنائية الفردية من الأرقام السداسية العشرية الفردية ، ويمكن استخراج الأرقام الثمانية من رقم واحد أو رقمين سداسي عشري. تم اكتشاف اختلافات في الخوارزمية ، ولكن لم يتم العثور على خوارزمية لاستخراج الأرقام تنتج بسرعة أرقامًا عشرية. [١٥٣] من التطبيقات المهمة لخوارزميات استخراج الأرقام التحقق من صحة المطالبات الجديدة لحسابات التسجيل: بعد المطالبة بسجل جديد ، يتم تحويل النتيجة العشرية إلى رقم سداسي عشري ، ثم يتم استخدام خوارزمية استخراج الأرقام لحساب عدة أرقام سداسية عشرية عشوائية بالقرب من النهاية إذا كانت متطابقة ، فهذا يوفر مقياسًا للثقة في أن الحساب بأكمله صحيح. [136]

بين عامي 1998 و 2000 ، استخدم مشروع الحوسبة الموزعة PiHex معادلة بيلارد (تعديل خوارزمية BBP) لحساب رباعي المليون (10 15) بت من π ، والتي تبين أنها 0. [154] في سبتمبر 2010 ، ! استخدم الموظف تطبيق Hadoop الخاص بالشركة على ألف جهاز كمبيوتر خلال فترة 23 يومًا لحساب 256 بت من π عند 2 كوادريليون بت (2 × 10 15) ، والتي تصادف أيضًا أن تكون صفرًا. [155]

نظرًا لأن π يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالدائرة ، فهو موجود في العديد من الصيغ من مجالات الهندسة وعلم المثلثات ، لا سيما تلك المتعلقة بالدوائر أو المجالات أو الأشكال البيضاوية. تشمل فروع العلوم الأخرى ، مثل الإحصاء والفيزياء وتحليل فورييه ونظرية الأعداد ، π في بعض صيغها المهمة.

الهندسة وعلم المثلثات

يظهر في الصيغ لمناطق وأحجام الأشكال الهندسية بناءً على الدوائر ، مثل الأشكال البيضاوية والمجالات والأقماع والتوري. فيما يلي بعض الصيغ الأكثر شيوعًا التي تتضمن π. [156]

  • محيط دائرة نصف قطرها ص هو 2πص .
  • مساحة دائرة نصف قطرها ص هو πص 2 .
  • حجم كرة نصف قطرها ص هو
  • 4/3ص 3 .
  • مساحة سطح كرة نصف قطرها ص هو 4πص 2 .

الصيغ أعلاه هي حالات خاصة لحجم ملف ن- الكرة الابعاد ومساحة حدودها (ن−1) كرة الأبعاد ، الواردة أدناه.

بصرف النظر عن الدوائر ، توجد منحنيات أخرى ذات عرض ثابت (الأشكال المدارية [157]). وفقًا لنظرية باربييه ، كل منحنى ذي عرض ثابت له محيط π ضعف عرضه. [158] مثلث Reuleaux (يتكون من تقاطع ثلاث دوائر ، كل منها في المنتصف حيث تتقاطع الدائرتان الأخريان [159]) بها أصغر مساحة ممكنة من حيث عرضها والدائرة الأكبر. توجد أيضًا منحنيات ناعمة غير دائرية ذات عرض ثابت. [160]

التكاملات المحددة التي تصف محيط أو مساحة أو حجم الأشكال التي تولدها الدوائر عادةً ما تحتوي على قيم تتضمن π. على سبيل المثال ، التكامل الذي يحدد نصف مساحة دائرة نصف قطرها واحد معطى بالصيغة التالية: [161]

في هذا تكامل الدالة √ 1 - x 2 يمثل النصف العلوي من الدائرة (الجذر التربيعي نتيجة لنظرية فيثاغورس) ، والتكامل ∫ 1
−1 يحسب المنطقة الواقعة بين نصف الدائرة و x محور.

تعتمد الدوال المثلثية على الزوايا ، ويستخدم علماء الرياضيات عمومًا الراديان كوحدات قياس. تلعب π دورًا مهمًا في الزوايا المقاسة بالراديان ، والتي يتم تعريفها بحيث تمتد دائرة كاملة بزاوية 2 π راديان. [162] قياس الزاوية 180 درجة يساوي π راديان و 1 درجة = π / 180 راديان. [162]

الدوال المثلثية الشائعة لها فترات عبارة عن مضاعفات على سبيل المثال ، الجيب وجيب التمام لها فترة 2 π ، [163] لذلك لأي زاوية θ وأي عدد صحيح ك ,

القيم الذاتية

العديد من مظاهر π في معادلات الرياضيات والعلوم لها علاقة بعلاقتها الوثيقة بالهندسة. ومع ذلك ، تظهر π أيضًا في العديد من المواقف الطبيعية التي لا علاقة لها على ما يبدو بالهندسة.

في العديد من التطبيقات ، تلعب دورًا مميزًا كقيمة ذاتية. على سبيل المثال ، يمكن نمذجة سلسلة اهتزازية مثالية كرسم بياني لوظيفة F على فاصل الوحدة [0،1] ، بنهايات ثابتة F(0) = F(1) = 0. أوضاع اهتزاز السلسلة هي حلول المعادلة التفاضلية f ″ (x) + λ f (x) = 0 أو f ″ ( t) = - λ f (x) . وبالتالي ، فإن λ هي قيمة ذاتية للعامل المشتق الثاني f ↦ f ″ < displaystyle f mapsto f '> ، وهي مقيدة بنظرية Sturm – Liouville لتتخذ قيمًا محددة فقط. يجب أن يكون موجبًا ، نظرًا لأن العامل سلبي محدد ، لذلك من الملائم كتابة λ = ν 2 ، حيث يُطلق على ν & gt 0 اسم wavenumber. ثم F(x) = الخطيئة (π x) يفي بشروط الحدود والمعادلة التفاضلية مع ν = π. [164]

القيمة π هي في الواقع الأقل هذه القيمة للرقم الموجي ، وترتبط بالنمط الأساسي لاهتزاز السلسلة. تتمثل إحدى طرق إظهار ذلك في تقدير الطاقة ، وهو ما يرضي عدم مساواة Wirtinger: [165] بالنسبة للدالة F : [0 ، 1] → ℂ مع F(0) = F(1) = 0 و F , F كلاهما مربع قابل للتكامل ، لدينا:

مع المساواة على وجه التحديد عندما F هو من مضاعفات الخطيئة (π x). يظهر هنا π باعتباره الثابت الأمثل في عدم مساواة Wirtinger ، ويترتب على ذلك أنه أصغر عدد موجي ، باستخدام التوصيف المتغير للقيمة الذاتية. نتيجة لذلك ، π هي أصغر قيمة مفردة للمشغل المشتق على مساحة الوظائف على [0،1] التلاشي عند كلا نقطتي النهاية (مساحة سوبوليف H 0 1 [0، 1] ^ < 1> [0،1]>).

عدم المساواة

يظهر الرقم π في مشاكل القيمة الذاتية المماثلة في التحليل عالي الأبعاد. كما ذكرنا سابقًا ، يمكن تمييزه من خلال دوره كأفضل ثابت في عدم المساواة متساوي القياس: المنطقة أ المحاطة بمستوى الأردن منحنى المحيط P يلبي عدم المساواة

ويتم تحقيق المساواة بشكل واضح للدائرة ، لأنه في هذه الحالة أ = πص 2 و ص = 2πص . [166]

في نهاية المطاف كنتيجة لعدم المساواة المتساوية ، تظهر π في الثابت الأمثل لتفاوت سوبوليف الحرج في ن الأبعاد ، والتي تميز دور π في العديد من الظواهر الفيزيائية أيضًا ، على سبيل المثال تلك الخاصة بنظرية الاحتمال الكلاسيكية. [167] [168] [169] في بعدين ، فإن عدم مساواة سوبوليف الحرجة هي

ل F وظيفة سلسة مع دعم مضغوط في ص 2 ، ∇ f < displaystyle nabla f> هو تدرج F، و ‖ و ‖ 2 > و ‖ ∇ f ‖ 1 > تشير على التوالي إلى L 2 و L 1 - معيار. إن عدم مساواة سوبوليف تعادل عدم المساواة المتساوية (في أي بعد) ، مع نفس أفضل الثوابت.

يُعمم عدم المساواة في Wirtinger أيضًا على عدم مساواة Poincaré ذات الأبعاد الأعلى التي توفر أفضل الثوابت لطاقة Dirichlet لـ نغشاء الأبعاد. على وجه التحديد ، π هو أكبر ثابت من هذا القبيل

لجميع المجموعات الفرعية المحدبة جي من ص ن قطرها 1 ، ووظائف مربعة تكاملية ش على جي من يعني الصفر. [170] تمامًا كما أن عدم مساواة Wirtinger هي الشكل المتغير لمشكلة Dirichlet eigenvalue في بُعد واحد ، فإن عدم مساواة بوانكاريه هي الشكل المتغير لمشكلة Neumann eigenvalue ، في أي بُعد.

تحويل فورييه ومبدأ اللايقين لهايزنبرغ

يظهر الثابت أيضًا كمعامل طيفي حرج في تحويل فورييه. هذا هو التحويل المتكامل ، الذي يأخذ دالة ذات قيمة معقدة قابلة للتكامل F على السطر الحقيقي للوظيفة المحددة على النحو التالي:

على الرغم من وجود العديد من الاصطلاحات المختلفة لتحويل فورييه وعكسه ، فإن أي اتفاقية من هذا القبيل يجب أن تتضمن π مكان ما. ما سبق هو أكثر التعريفات المتعارف عليها ، ومع ذلك ، يعطي العامل الوحدوي الفريد تشغيل إل 2 هذا هو أيضا تشابه الجبر ل إل 1 ل إل ∞ . [171]

يحتوي مبدأ عدم اليقين في Heisenberg أيضًا على الرقم π. يعطي مبدأ عدم اليقين حدًا أدنى حادًا لمدى إمكانية توطين وظيفة في كل من الفضاء والتردد: مع اتفاقياتنا لتحويل فورييه ،

تتم مناقشة النتيجة المادية ، حول عدم اليقين في ملاحظات الموقف والزخم المتزامنة لنظام ميكانيكي الكم ، أدناه. ظهور π في معادلات تحليل فورييه هو في النهاية نتيجة لنظرية ستون-فون نيومان ، مؤكدة على تفرد تمثيل شرودنجر لمجموعة هايزنبرج. [172]

التكاملات الغاوسية

تستخدم مجالات الاحتمال والإحصاء في كثير من الأحيان التوزيع الطبيعي كنموذج بسيط للظواهر المعقدة على سبيل المثال ، يفترض العلماء عمومًا أن خطأ الملاحظة في معظم التجارب يتبع التوزيع الطبيعي. [173] دالة غاوس ، وهي دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي بمتوسط ​​μ والانحراف المعياري ، تحتوي بشكل طبيعي على π: [174]

والتي تنص على أن المنطقة الواقعة تحت منحنى الجرس الأساسي في الشكل تساوي الجذر التربيعي لـ π.

تشرح نظرية الحد المركزي الدور المركزي للتوزيعات العادية ، وبالتالي لـ ، في الاحتمالات والإحصاءات. ترتبط هذه النظرية في النهاية بالتوصيف الطيفي لـ π باعتبارها قيمة eigenvalue المرتبطة بمبدأ عدم اليقين في Heisenberg ، وحقيقة أن المساواة تحمل في مبدأ عدم اليقين فقط للوظيفة Gaussian. [175] بالتساوي ، π هو الثابت الفريد الذي يجعل التوزيع الطبيعي الغاوسي هx 2 يساوي تحويل فورييه الخاص به. [176] في الواقع ، وفقًا لـ Howe (1980) ، فإن "الأعمال الكاملة" لتأسيس النظريات الأساسية لتحليل فورييه تختزل إلى التكامل الغاوسي.

الهندسة الإسقاطية

البنية

يظهر الثابت في صيغة Gauss – Bonnet التي تربط الهندسة التفاضلية للأسطح بطوبولوجيتها. على وجه التحديد ، إذا كان سطح مضغوط Σ لديه انحناء غاوس ك، ومن بعد

أين χ(Σ) هي خاصية أويلر ، وهي عدد صحيح. [178] مثال على ذلك هو مساحة سطح الكرة س من الانحناء 1 (بحيث يكون نصف قطر انحناءه ، الذي يتزامن مع نصف قطره ، هو أيضًا 1.) يمكن حساب خاصية أويلر للكرة من مجموعات التماثل الخاصة بها وتجد أنها تساوي اثنين. هكذا لدينا

إعادة إنتاج صيغة مساحة سطح كرة نصف قطرها 1.

يظهر الثابت في العديد من الصيغ المتكاملة الأخرى في الطوبولوجيا ، على وجه الخصوص ، تلك التي تتضمن فئات مميزة عبر تماثل تشيرن-ويل. [179]

ناقلات حساب التفاضل والتكامل

حساب المتجهات هو فرع من التفاضل والتكامل يهتم بخصائص الحقول المتجهة ، وله العديد من التطبيقات الفيزيائية مثل الكهرباء والمغناطيسية. الإمكانية النيوتونية لمصدر نقطي Q الموجود في أصل نظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد هي [180]

التي تمثل الطاقة الكامنة لوحدة الكتلة (أو الشحنة) الموضوعة على مسافة | x | من المصدر ، و k هو ثابت الأبعاد. الحقل المشار إليه هنا بـ ه ، والذي قد يكون حقل الجاذبية (النيوتوني) أو المجال الكهربائي (كولوم) ، هو التدرج السلبي للجهد:

تشمل الحالات الخاصة قانون كولوم وقانون الجاذبية الكونية لنيوتن. ينص قانون غاوس على أن التدفق الخارجي للحقل من خلال أي سطح أملس وبسيط ومغلق وقابل للتوجيه S يحتوي على الأصل يساوي 4 π كيو :

من المعتاد امتصاص هذا العامل 4π في الثابت k ، لكن هذه الحجة توضح سبب ظهوره مكان ما. علاوة على ذلك ، 4π هي مساحة سطح وحدة المجال ، لكننا لم نفترض أن S هي الكرة. ومع ذلك ، كنتيجة لنظرية الاختلاف ، لأن المنطقة البعيدة عن الأصل هي فراغ (خالية من المصدر) فهي فقط فئة التماثل الخاصة بالسطح S في ص 3 <0> مهم في حساب التكامل ، لذلك يمكن استبداله بأي سطح مناسب في نفس فئة التماثل ، على وجه الخصوص ، الكرة ، حيث يمكن استخدام الإحداثيات الكروية لحساب التكامل.

نتيجة قانون غاوس هي أن Laplacian السلبي لـ V المحتمل يساوي 4πكيو مرات دالة ديراك دلتا:

يتم الحصول على توزيعات أكثر عمومية للمادة (أو الشحنة) من هذا عن طريق الالتواء ، مما يعطي معادلة بواسون

أين ρ هي دالة التوزيع.

يلعب الثابت π أيضًا دورًا مشابهًا في الإمكانات رباعية الأبعاد المرتبطة بمعادلات أينشتاين ، وهي صيغة أساسية تشكل أساس النظرية العامة للنسبية وتصف التفاعل الأساسي للجاذبية نتيجة انحناء الزمكان بالمادة والطاقة: [181]

أين صμν هو موتر انحناء ريتشي ، R هو الانحناء القياسي ، زμν موتر متري ، Λ هو الثابت الكوني ، G هو ثابت الجاذبية لنيوتن ، ج هو سرعة الضوء في الفراغ ، و تيμν هو موتر الإجهاد - الطاقة. الجانب الأيسر من معادلة أينشتاين هو تناظري غير خطي للابلاسيان للموتر المتري ، ويقلل إلى ذلك في حدود المجال الضعيف ، حيث يلعب المصطلح g < displaystyle Lambda g> دور لاغرانج المضاعف ، والجانب الأيمن هو التناظرية لدالة التوزيع ، مضروبة في 8.

صيغة كوشي المتكاملة

تتمثل إحدى الأدوات الرئيسية في التحليل المعقد في التكامل الكنتوري لوظيفة ما على منحنى الأردن الموجب (القابل للتصحيح) γ. ينص أحد أشكال صيغة كوشي المتكاملة على أنه إذا كانت النقطة ض0 هو داخلي لـ γ ، ثم [182]

على الرغم من أن المنحنى γ ليس دائرة ، وبالتالي ليس له أي اتصال واضح بالثابت ، فإن الدليل القياسي لهذه النتيجة يستخدم نظرية موريرا ، والتي تشير إلى أن التكامل ثابت في ظل تماثل المنحنى ، بحيث يمكن أن يكون مشوهًا إلى دائرة ثم تم دمجه صراحةً في الإحداثيات القطبية. بشكل عام ، من الصحيح أنه إذا لم يحتوي منحنى مغلق قابل للتصحيح γ ض0 ، ثم التكامل أعلاه هو 2πأنا مرات عدد لف المنحنى.

يحدد الشكل العام لصيغة كوشي المتكاملة العلاقة بين قيم دالة تحليلية معقدة F(ض) على منحنى الأردن γ وقيمة F(ض) في أي نقطة داخلية ض0 من γ: [183] ​​[184]

قدمت F(ض) تحليلي في المنطقة المحاطة بـ ويمتد باستمرار إلى. صيغة كوشي المتكاملة هي حالة خاصة من نظرية البقايا ، إذا ز(ض) هي دالة شكلية المنطقة المحاطة بـ وهي مستمرة في حي γ ، إذن

حيث يكون مجموع البقايا عند أقطاب ز(ض) .

دالة جاما وتقريب ستيرلنغ

دالة مضروب ن! هو نتاج كل الأعداد الصحيحة الموجبة من خلال ن . توسع دالة جاما مفهوم العوامل (التي تُعرف عادةً فقط للأعداد الصحيحة غير السالبة) لتشمل جميع الأعداد المركبة ، باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة الحقيقية. عندما يتم تقييم دالة جاما بنصف أعداد صحيحة ، تحتوي النتيجة على π على سبيل المثال Γ (1/2) = π >> and Γ (5 / 2) = 3 π 4 >> <4> >>. [185]

يتم تحديد وظيفة جاما من خلال تطوير منتج Weierstrass: [186]

أين γ هو ثابت أويلر ماسكيروني. تم التقييم في ض = 1/2 ومربع ، المعادلة Γ (1/2) 2 = تقلل إلى صيغة منتج Wallis. ترتبط وظيفة جاما أيضًا بوظيفة ريمان زيتا وهويات المحدد الوظيفي ، حيث يلعب الثابت دورًا مهمًا.

تُستخدم وظيفة جاما لحساب الحجم الخامسن(ص) التابع ن-الكرة الابعاد من دائرة نصف قطرها ص في الإقليدية نمساحة الأبعاد ومساحة السطح سن−1(ص) من حدودها ، و (ن−1) كرة الأبعاد: [187]

علاوة على ذلك ، فإنه يتبع من المعادلة الوظيفية أن

يمكن استخدام دالة جاما لإنشاء تقريب بسيط لدالة العوامل ن! لكبير ن : ن ! ∼ 2 π n (n e) n > left (> حق) ^> وهو ما يُعرف بتقريب "ستيرلنغ". [188] على قدم المساواة ،

كتطبيق هندسي لتقريب ستيرلنغ ، دعنا Δن تشير إلى البسيط القياسي في ن- الفضاء الإقليدي الأبعاد ، و (ن + 1)ن للدلالة على المفرد الذي تم تكبير جميع جوانبه بمعامل ن + 1. ثم

تخمين حجم إيرهارت هو أن هذا هو الحد الأعلى (الأمثل) على حجم الجسم المحدب الذي يحتوي على نقطة شعرية واحدة فقط. [189]

نظرية الأعداد ودالة ريمان زيتا

وظيفة ريمان زيتا ζ(س) يستخدم في العديد من مجالات الرياضيات. عند التقييم في س = 2 يمكن كتابتها كـ

كان إيجاد حل بسيط لهذه السلسلة اللانهائية مشكلة مشهورة في الرياضيات تسمى مشكلة بازل. قام ليونارد أويلر بحلها في عام 1735 عندما أظهر أنها تساوي 2/6. [93] تؤدي نتيجة أويلر إلى نتيجة نظرية الأعداد التي مفادها أن احتمال كون رقمين عشوائيين أوليين نسبيًا (أي عدم وجود عوامل مشتركة) يساوي 6 / π 2. [190] [191] يعتمد هذا الاحتمال على ملاحظة أن احتمال أن أي رقم يقبل القسمة على عدد أولي ص هو 1 /ص (على سبيل المثال ، كل عدد صحيح 7 يقبل القسمة على 7.) ومن ثم فإن احتمال أن يكون كلا العددين قابلين للقسمة على هذا العدد الأولي هو 1 /ص 2 ، واحتمال أن يكون واحد منهم على الأقل ليس 1 - 1 /ص 2. بالنسبة للأعداد الأولية المتميزة ، تكون أحداث القابلية للقسمة مستقلة عن بعضها البعض ، لذا فإن احتمالية أن يكون رقمان أوليان نسبيًا يتم توفيره بواسطة منتج على جميع الأعداد الأولية:

يمكن استخدام هذا الاحتمال بالاقتران مع مولد الأرقام العشوائية لتقريب باستخدام نهج مونت كارلو. [193]

حل مشكلة بازل يعني ضمناً أن الكمية المشتقة هندسياً مرتبطة بطريقة عميقة بتوزيع الأعداد الأولية. هذه حالة خاصة من تخمين ويل بشأن أرقام تاماغاوا ، والتي تؤكد المساواة بين هذه المنتجات اللانهائية المماثلة من علم الحساب الكميات المترجمة في كل رئيس ص، وأ هندسي الكمية: مقلوب حجم مساحة معينة متماثلة محليًا. في حالة مشكلة بازل ، يكون SL الزائدي 3 متعدد الطيات2(ص) / SL2(ض) . [194]

ترضي وظيفة زيتا أيضًا معادلة ريمان الوظيفية ، والتي تتضمن π بالإضافة إلى وظيفة جاما:

علاوة على ذلك ، فإن مشتق دالة زيتا يرضي

والنتيجة هي أنه يمكن الحصول على π من المحدد الوظيفي للمذبذب التوافقي. يمكن حساب هذا المحدد الوظيفي عبر توسيع المنتج ، وهو مكافئ لصيغة منتج Wallis. [195] الحساب يمكن إعادة صياغته في ميكانيكا الكم ، وبالتحديد النهج المتغير لطيف ذرة الهيدروجين. [196]

سلسلة فورييه

يظهر الثابت π أيضًا بشكل طبيعي في سلسلة فورييه للوظائف الدورية. الوظائف الدورية هي وظائف في المجموعة تي =ص/ض الأجزاء الكسرية من الأعداد الحقيقية. يوضح تحليل فورييه أن دالة ذات قيمة معقدة F على تي يمكن كتابتها كتراكب خطي لانهائي للأحرف الوحدوية لـ تي . وهذا هو ، مجموعة متشابهة مستمرة من تي لمجموعة الدائرة يو(1) من الأعداد المركبة لمعامل الوحدة. إنها نظرية أن كل شخصية من تي هي واحدة من الأسي المعقدة e n (x) = e 2 π i n x (x) = e ^ <2 pi inx >>.

هناك شخصية فريدة على تي ، حتى الاقتران المعقد ، هذا هو تماثل المجموعة. باستخدام مقياس هار على مجموعة الدائرة ، فإن الثابت يساوي نصف حجم مشتق الرادون-نيكوديم لهذه الشخصية.الأحرف الأخرى لها مشتقات ذات مقادير مضاعفات موجبة تكاملية لـ 2 π. [22] ونتيجة لذلك ، فإن الثابت هو الرقم الفريد مثل المجموعة تي، المجهزة بقياس Haar ، هو Pontrjagin مزدوجًا لشبكة مضاعفات متكاملة من 2 π. [198] هذه نسخة من صيغة تجميع بواسون أحادية البعد.

النماذج المعيارية ووظائف ثيتا

يرتبط الثابت بطريقة عميقة بنظرية الأشكال المعيارية ووظائف ثيتا. على سبيل المثال ، تتضمن خوارزمية Chudnovsky بطريقة أساسية المتغير j لمنحنى ناقص.

وهو نوع من النموذج المعياري يسمى نموذج جاكوبي. [199] يُكتب هذا أحيانًا من حيث الاسم q = e π i τ < displaystyle q = e ^ < pi i tau >>.

الثابت π هو الثابت الفريد الذي يجعل دالة Jacobi theta شكلًا ذاتي الشكل ، مما يعني أنها تتحول بطريقة معينة. تحمل هويات معينة لجميع أشكال السيارات. مثال

مما يعني أن θ يتحول كتمثيل ضمن مجموعة Heisenberg المنفصلة. تتضمن الأشكال المعيارية العامة ووظائف ثيتا الأخرى أيضًا π ، مرة أخرى بسبب نظرية Stone-von Neumann. [199]

توزيع كوشي ونظرية الجهد

هي دالة كثافة الاحتمال. الاحتمال الإجمالي يساوي واحدًا ، بسبب التكامل:

تساوي إنتروبيا شانون لتوزيع كوشي ln (4π) ، والتي تتضمن أيضًا π.

يلعب توزيع كوشي دورًا مهمًا في النظرية المحتملة لأنه أبسط مقياس فورستنبرج ، نواة بواسون الكلاسيكية المرتبطة بالحركة البراونية في نصف مستوى. [200] ترتبط الدوال التوافقية المقترنة وكذلك تحويل هيلبرت بتقارب نواة بواسون. تحويل هلبرت ح هو التحويل المتكامل المعطى بواسطة قيمة كوشي الأساسية للتكامل المفرد

الثابت هو عامل التطبيع الفريد (الإيجابي) من هذا القبيل ح يحدد بنية معقدة خطية على مساحة هيلبرت للوظائف ذات القيمة الحقيقية المربعة على السطر الحقيقي. [201] تحويل هلبرت ، مثل تحويل فورييه ، يمكن وصفه بحتة من حيث خصائص التحويل في فضاء هيلبرت L 2 (ص): حتى عامل التطبيع ، فإن العامل الخطي الفريد المحدود هو الذي يتنقل مع تمددات موجبة وعكس التنقل مع جميع انعكاسات الخط الحقيقي. [202] الثابت هو عامل التطبيع الفريد الذي يجعل هذا التحول وحدويًا.

ديناميات معقدة

تم اكتشاف حدوث π في مجموعة فراكتل ماندلبروت بواسطة David Boll في عام 1991. [203] قام بفحص سلوك مجموعة Mandelbrot بالقرب من "العنق" عند (−0.75، 0). إذا كانت النقاط ذات الإحداثيات (−0.75 ، ε) ، نظرًا لأن ε يميل إلى الصفر ، فإن عدد التكرارات حتى الاختلاف للنقطة مضروبًا في ε يتقارب إلى π. النقطة (0.25 + ε، 0) على أعتاب "الوادي" الكبير على الجانب الأيمن من مجموعة ماندلبروت يتصرف بشكل مشابه: عدد التكرارات حتى الاختلاف مضروبًا في الجذر التربيعي لـ ε يميل إلى π. [203] [204]

وصف الظواهر الفيزيائية

على الرغم من أنه ليس ثابتًا فيزيائيًا ، إلا أن π يظهر بشكل روتيني في المعادلات التي تصف المبادئ الأساسية للكون ، غالبًا بسبب علاقة π بالدائرة وأنظمة الإحداثيات الكروية. تعطي صيغة بسيطة من مجال الميكانيكا الكلاسيكية الفترة التقريبية تي بندول بسيط من الطول إل يتأرجح بسعة صغيرة ( ز هو تسارع جاذبية الأرض): [205]

إحدى الصيغ الرئيسية لميكانيكا الكم هي مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ ، والذي يوضح أن عدم اليقين في قياس موضع الجسيم (Δ x ) والزخم (Δ ص ) لا يمكن أن يكون كلاهما صغيرًا بشكل تعسفي في نفس الوقت (حيث ح هو ثابت بلانك): [206]

تلعب حقيقة أن π تساوي تقريبًا 3 دورًا في العمر الطويل نسبيًا لتقويم العظام. العمر العكسي لأدنى ترتيب في ثابت البنية الدقيقة α هو [207]

أين م هي كتلة الإلكترون.

π موجود في بعض الصيغ الهندسية الإنشائية ، مثل صيغة الالتواء المشتقة من أويلر ، والتي تعطي أقصى حمل محوري F هذا العمود الطويل النحيف من الطول إل ، معامل المرونة ه ، ومنطقة عزم القصور الذاتي أنا يمكن أن تحمل دون التواء: [208]

يحتوي مجال ديناميكيات الموائع على π في قانون ستوكس ، الذي يقارب قوة الاحتكاك F تمارس على أجسام كروية صغيرة نصف قطرها ص يتحرك بسرعة الخامس في سائل ذو لزوجة ديناميكية η : [209]

في الكهرومغناطيسية ، ثابت نفاذية الفراغ ميكرومتر0 يظهر في معادلات ماكسويل ، التي تصف خصائص المجالات الكهربائية والمغناطيسية والإشعاع الكهرومغناطيسي. قبل 20 مايو 2019 ، تم تحديده على أنه بالضبط

علاقة لسرعة الضوء في الفراغ ، ج يمكن اشتقاقها من معادلات ماكسويل في وسط الفراغ الكلاسيكي باستخدام علاقة بين ميكرومتر0 والثابت الكهربائي (سماحية الفراغ) ، ε0 في وحدات النظام الدولي:

في ظل الظروف المثالية (منحدر لطيف موحد على ركيزة قابلة للتآكل بشكل متجانس) ، تقترب انسيابية نهر متعرج π. الجيوب هي النسبة بين الطول الفعلي ومسافة الخط المستقيم من المصدر إلى الفم. تتسبب التيارات الأسرع على طول الحواف الخارجية لمنحنيات النهر في حدوث تآكل أكثر من الحواف الداخلية ، مما يؤدي إلى دفع الانحناءات إلى أبعد من ذلك ، وزيادة التعرية الكلية للنهر. ومع ذلك ، فإن هذا التكرار يؤدي في النهاية إلى إعادة النهر إلى الضعف مرة أخرى في أماكن و "دائرة قصر" ، مما يؤدي إلى إنشاء بحيرة قوسية في هذه العملية. يؤدي التوازن بين هذين العاملين المتعارضين إلى متوسط ​​نسبة بين الطول الفعلي والمسافة المباشرة بين المصدر والفم. [210] [211]

حفظ الأرقام

علم الأحياء هو ممارسة حفظ أعداد كبيرة من الأرقام π ، [212] ويتم الاحتفاظ بالأرقام القياسية العالمية بواسطة موسوعة جينيس العالمية. الرقم القياسي لحفظ أرقام π ، المعتمد من قبل موسوعة غينيس للأرقام القياسية ، هو 70000 رقم ، تلاها راجفير مينا في الهند في 9 ساعات و 27 دقيقة في 21 مارس 2015. [213] في عام 2006 ، ادعى أكيرا هاراغوشي ، مهندس ياباني متقاعد ، لتلاوة 100000 منزلة عشرية ، لكن لم يتم التحقق من صحة هذا الادعاء بواسطة موسوعة غينيس للأرقام القياسية. [214]

أحد الأساليب الشائعة هو حفظ قصة أو قصيدة تمثل أطوال الكلمة فيها أرقام π: تتكون الكلمة الأولى من ثلاثة أحرف ، وتحتوي الكلمة الثانية على حرف واحد ، والثالثة بها أربعة ، والرابع واحد ، والخامسة بها خمسة ، و قريبا. تسمى أدوات الحفظ هذه فن الإستذكار. من الأمثلة المبكرة على أسلوب ذاكري لـ pi ، الذي ابتكره في الأصل العالم الإنجليزي جيمس جينز ، "كيف أريد مشروبًا ، مدمنًا على الكحول بالطبع ، بعد المحاضرات الثقيلة التي تتضمن ميكانيكا الكم". [212] عند استخدام القصيدة ، يشار إليها أحيانًا باسم أ piem. [215] تم تأليف قصائد الحفظ π بعدة لغات بالإضافة إلى اللغة الإنجليزية. [212] إعداد التسجيل لا يعتمد القائمون على حفظ السجلات عادةً على القصائد ، ولكن بدلاً من ذلك يستخدمون أساليب مثل تذكر أنماط الأرقام وطريقة تحديد المواقع. [216]

استخدم عدد قليل من المؤلفين أرقام لإنشاء شكل جديد من الكتابة المقيدة ، حيث يلزم أطوال الكلمة لتمثيل أرقام π. ال Cadaeic Cadenza يحتوي على أول 3835 رقمًا من π بهذه الطريقة ، [217] والكتاب الكامل ليس مستيقظ يحتوي على 10000 كلمة ، كل منها يمثل رقمًا واحدًا من π. [218]

في الثقافة الشعبية

ربما بسبب بساطة تعريفها ووجودها في كل مكان في الصيغ ، تم تمثيل π في الثقافة الشعبية أكثر من التركيبات الرياضية الأخرى. [219]

في الإنتاج المشترك للأفلام الوثائقية بين الجامعة المفتوحة عام 2008 وبي بي سي ، قصة الرياضيات، تم بثه في أكتوبر 2008 على BBC Four ، يعرض عالم الرياضيات البريطاني ماركوس دو سوتوي تصويرا مرئيا للمعادلة - الأولى من الناحية التاريخية الدقيقة - لحساب عند زيارة الهند واستكشاف مساهماتها في علم المثلثات. [220]

في Palais de la Découverte (متحف علوم في باريس) توجد غرفة دائرية تعرف باسم غرفة بي. يوجد على جداره 707 أرقام من. الأرقام عبارة عن أحرف خشبية كبيرة متصلة بالسقف الشبيه بالقبة. استندت الأرقام إلى عملية حسابية لعام 1874 بواسطة عالم الرياضيات الإنجليزي ويليام شانكس ، والتي تضمنت خطأ يبدأ بالرقم 528. تم اكتشاف الخطأ عام 1946 وتم تصحيحه عام 1949. [221]

في رواية كارل ساجان اتصال يقترح أن خالق الكون دفن رسالة في أعماق أرقام π. [222] تم أيضًا دمج أرقام π في كلمات أغنية "Pi" من الألبوم جوي بقلم كيت بوش. [223]

في حلقة Star Trek Wolf in the Fold ، تم احتواء جهاز كمبيوتر خارج عن السيطرة من خلال توجيه تعليمات لـ "حساب قيمة إلى آخر رقم" ، على الرغم من أن "π هو رقم متسامي بدون دقة". [224]

في الولايات المتحدة ، يصادف Pi Day في 14 مارس (مكتوب 3/14 بأسلوب الولايات المتحدة) ، ويحظى بشعبية بين الطلاب. [225] π وتمثيلها الرقمي غالبًا ما يستخدمها "المهوسون بالرياضيات" الموصوفون ذاتيًا للنكات الداخلية بين المجموعات ذات العقلية الرياضية والتقنية. العديد من هتافات الكليات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا تشمل "3.14159". [226] كان Pi Day في 2015 مهمًا بشكل خاص لأن التاريخ والوقت 3/14/15 9:26:53 يعكسان عددًا أكبر من الأرقام من pi. [227] [228] في أجزاء من العالم حيث يتم تدوين التواريخ بشكل عام في شكل يوم / شهر / سنة ، يمثل 22 يوليو "يوم التقريب Pi" ، مثل 22/7 = 3.142857. [229]

خلال مزاد عام 2011 لمجموعة نورتل لبراءات الاختراع التكنولوجية القيمة ، قدمت Google سلسلة من العطاءات المحددة بشكل غير عادي بناءً على ثوابت رياضية وعلمية ، بما في ذلك π. [230]

في عام 1958 ، اقترح ألبرت إيجل استبدال π بـ (تاو) ، حيث τ = π/ 2 لتبسيط الصيغ. [231] ومع ذلك ، لا يعرف مؤلفون آخرون استخدام to بهذه الطريقة. يستخدم بعض الأشخاص قيمة مختلفة ، τ = 2π = 6.28318. ، [232] بحجة أن τ ، باعتبارها عدد الراديان في دورة واحدة ، أو كنسبة محيط الدائرة إلى نصف قطرها بدلاً من قطرها ، هي طبيعية أكثر من π وتبسط العديد من الصيغ. [233] [234] تم الإبلاغ عن احتفالات بهذا الرقم ، لأنها تساوي تقريبًا 6.28 ، من خلال جعل يوم 28 يونيو "يوم تاو" وتناول "ضعف الفطيرة" ، [235] في وسائل الإعلام. ومع ذلك ، فإن استخدام τ لم يشق طريقه إلى التيار الرئيسي للرياضيات. [236]

في عام 1897 ، حاول عالم رياضيات هاو إقناع الهيئة التشريعية لولاية إنديانا بتمرير قانون Indiana Pi Bill ، الذي وصف طريقة لتربيع الدائرة واحتوى على نص يتضمن قيمًا غير صحيحة مختلفة لـ π ، بما في ذلك 3.2. يشتهر مشروع القانون بأنه محاولة لتأسيس قيمة للثابت العلمي بأمر تشريعي. تمت الموافقة على مشروع القانون من قبل مجلس نواب إنديانا ، لكن مجلس الشيوخ رفضه ، مما يعني أنه لم يصبح قانونًا. [237]

في ثقافة الكمبيوتر

في ثقافة الإنترنت المعاصرة ، كثيرًا ما يكرّم الأفراد والمنظمات الرقم π. على سبيل المثال ، سمح عالم الكمبيوتر دونالد كنوث لأرقام إصدارات برنامجه TeX بالاقتراب من π. الإصدارات 3 و 3.1 و 3.14 وما إلى ذلك. [238]

ملاحظات

  1. ^ كان التكامل الدقيق الذي استخدمه Weierstrass هو π = ∫ - ∞ ∞ d x 1 + x 2. ^ <1 + x ^ <2> >>.> Remmert 2012 ، ص. 148
  2. ^ كثير الحدود الموضح هو المصطلحات القليلة الأولى لتوسيع سلسلة تايلور لوظيفة الجيب.
  3. ^ يُزعم أنه بني بحيث يكون محيط الدائرة التي يساوي نصف قطرها ارتفاع الهرم محيط القاعدة

اقتباسات

  1. ^ جونز ، ويليام (1706). ملخص Palmariorum Matheseos: أو مقدمة جديدة للرياضيات. ص 243 ، 263. مؤرشفة من الأصلي في 25 مارس 2012. تم الاسترجاع 15 أكتوبر 2017.
  2. ^
  3. "خلاصة وافية للرموز الرياضية". Math Vault. 1 مارس 2020. تم الاسترجاع 10 أغسطس 2020.
  4. ^ أبجده
  5. وايسشتاين ، إريك دبليو "بي". mathworld.wolfram.com . تم الاسترجاع 10 أغسطس 2020.
  6. ^
  7. بوغارت ، ستيفن. "ما هو Pi وكيف نشأ؟". Scientific American . تم الاسترجاع 10 أغسطس 2020.
  8. ^أندروز ، أسكي وأمبير روي 1999 ، ص. 59.
  9. ^^ جوبتا 1992 ، ص 68-71.
  10. ^
  11. "π e تريليون رقم من π". pi2e.ch. مؤرشفة من الأصلي في 6 ديسمبر 2016.
  12. ^
  13. Haruka Iwao ، Emma (14 مارس 2019). "Pi in the sky: حساب 31.4 تريليون رقمًا قياسيًا من ثابت أرخميدس على Google Cloud". منصة جوجل السحابية. مؤرشفة من الأصلي في 19 أكتوبر 2019. تم الاسترجاع 12 أبريل 2019.
  14. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 17.
  15. ^بيلي وآخرون. 1997 ، ص 50-56.
  16. ^بوينج 2016.
  17. ^
  18. "بي". Dictionary.reference.com. 2 آذار / مارس 1993 مؤرشفة من الأصلي في 28 يوليو 2014. تم الاسترجاع 18 يونيو 2012.
  19. ^ أبجارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 8.
  20. ^
  21. أبوستول ، توم (1967). حساب التفاضل والتكامل ، الحجم 1 (الطبعة الثانية). وايلي. . ص. 102: "من وجهة نظر منطقية ، هذا غير مرضٍ في المرحلة الحالية لأننا لم نناقش مفهوم طول القوس". يتم تقديم طول القوس على p. 529.
  22. ^ أبجريميرت 2012 ، ص. 129.
  23. ^
  24. بالتزر ، ريتشارد (1870) ، Die Elemente der Mathematik [عناصر الرياضيات] (في المانيا) ، هيرزل ، ص. 195 ، مؤرشفة من الأصلي في 14 سبتمبر 2016
  25. ^
  26. لانداو ، إدموند (1934) ، Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung (في المانيا) ، نوردوف ، ص. 193
  27. ^ أب
  28. رودين ، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . ماكجرو هيل. ردمك 978-0-07-054235-8. ، ص. 183.
  29. ^
  30. رودين ، والتر (1986). تحليل حقيقي ومعقد. ماكجرو هيل. ، ص. 2.
  31. ^
  32. أهلفورز ، لارس (1966) ، تحليل معقد، ماكجرو هيل ، ص. 46
  33. ^
  34. نيكولا بورباكي (1981) ، توبولوجي جنرال، سبرينغر ، §VIII.2.
  35. ^ أب
  36. نيكولا بورباكي (1979) ، Fonctions d'une متغير réelle (بالفرنسية) ، Springer ، §II.3.
  37. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 5.
  38. ^
  39. ساليكوف ، ف. (2008). "على مقياس اللاعقلانية لبي". المسوحات الرياضية الروسية. 53 (3): 570-572. بيب كود: 2008 R.uMaS..63..570S. دوى: 10.1070 / RM2008v063n03ABEH004543.
  40. ^ أب^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 22 - 23
  41. بريوس ، بول (23 يوليو 2001). "هل أرقام Pi Random؟ باحث المختبر قد يحمل المفتاح". مختبر لورنس بيركلي الوطني. مؤرشفة من الأصلي في 20 أكتوبر 2007. تم الاسترجاع 10 نوفمبر 2007.
  42. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 22 ، 28-30.
  43. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 3.
  44. ^
  45. ماير ، ستيف. "تجاوز π". مؤرشفة من الأصلي في 29 سبتمبر 2000. تم الاسترجاع 4 نوفمبر 2007.
  46. ^Posamentier & amp Lehmann 2004 ، ص. 25
  47. ^ايمارد وامب لافون 1999 ، ص. 129
  48. ^^ بيكمان 1989 ، ص. 37
  49. شلاجر ، نيل لاور ، جوش (2001). العلم وأوقاته: فهم الأهمية الاجتماعية للاكتشاف العلمي . مجموعة غيل. ردمك 978-0-7876-3933-4. مؤرشفة من الأصلي في 13 ديسمبر 2019. تم الاسترجاع 19 ديسمبر 2019. ، ص. 185.
  50. ^ أبايمارد وامب لافون 1999 ، ص. 78
  51. ^
  52. سلون ، إن جيه إيه (محرر). "تسلسل A001203 (جزء تابع لـ Pi)". موسوعة المتواليات الصحيحة على الإنترنت. مؤسسة OEIS. تم الاسترجاع 12 أبريل 2012.
  53. ^
  54. لانج ، LJ (مايو 1999). "جزء أنيق تابع لـ π". مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية. 106 (5): 456-458. دوى: 10.2307 / 2589152. JSTOR2589152.
  55. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 240.
  56. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 242.
  57. ^
  58. كينيدي ، إ. (1978) ، "أبو الريحان البيروني ، 973-1048". مجلة لتاريخ علم الفلك, 9: 65 ، بيب كود: 1978 JHA. 9. 65 كيلو ، دوى: 10.1177 / 002182867800900106 ، S2CID126383231. استخدم بطليموس ثلاثة أرقام تقريبية ، وقام جمشيد الكاشي بتوسيع ذلك إلى تسعة أرقام.
  59. آبو ، أسجر (1964) ، حلقات من التاريخ المبكر للرياضياتالمكتبة الرياضية الجديدة 13، نيويورك: راندوم هاوس ، ص. 125 ، ISBN 978-0-88385-613-0 ، مؤرشفة من الأصلي في 29 نوفمبر 2016
  60. ^آيرز 1964 ، ص. 100
  61. ^ أبBronshteĭn & amp Semendiaev 1971 ، ص. 592
  62. ^ ماور ، إيلي ، هـ: قصة رقم، مطبعة جامعة برينستون ، 2009 ، ص. 160، 978-0-691-14134-3 ("أهم خمسة ثوابت").
  63. ^
  64. وايسشتاين ، إريك دبليو "جذور الوحدة". ماثوورلد.
  65. ^ بيتري ، WMF حكمة المصريين (1940)
  66. ^ فيرنر ، ميروسلاف. الأهرامات: لغز وثقافة وعلم الآثار الكبرى في مصر. مطبعة جروف. 2001 (1997). 0-8021-3935-3
  67. ^روسي 2004.
  68. ^ ليجون ، ج. على أبعاد الهرم ونسبه (1991) مناقشات في علم المصريات (20) 25–34
  69. "أبعاد الهرم المصري". مؤرشفة من الأصلي في 18 يوليو 2011. تم الاسترجاع 7 يونيو 2011.
  70. ^ "يمكننا أن نستنتج أنه على الرغم من أن المصريين القدماء لم يتمكنوا من تحديد قيمة π بدقة ، فقد استخدموها في الممارسة العملية".
  71. فيرنر ، م. (2003). الأهرامات: علم الآثار والتاريخ. ، ص. 70.
  72. بيتري (1940). حكمة المصريين. ، ص. 30.
    أنظر أيضا
  73. ليجون ، ج. (1991). "في أبعاد الهرم ونسبه". مناقشات في علم المصريات. 20: 25–34. مؤرشفة من الأصلي في 18 يوليو 2011..
    أنظر أيضا
  74. بيتري ، WMF (1925). "مسوحات الأهرامات الكبرى". طبيعة. 116 (2930): 942. بيب كود: 1925 Natur.116..942P. دوى: 10.1038 / 116942a0. S2CID33975301.
  75. ^روسي 2004 ، ص 60-70 ، 200.
  76. ^شيرمر ، مايكل ، موسوعة الشك في العلوم الزائفة، ABC-CLIO ، 2002 ، الصفحات 407-408 ، 978-1-57607-653-8.
    انظر أيضًا Fagan، Garrett G.، التخيلات الأثرية: كيف يحرف علم الآثار الزائف الماضي ويضلل الجمهور، روتليدج ، 2006 ، 978-0-415-30593-8.
    للحصول على قائمة تفسيرات للشكل الذي لا يتضمن π ، راجع
  77. هرتس فيشلر ، روجر (2000). شكل الهرم الأكبر. مطبعة جامعة ويلفريد لوريير. ص 67 - 77 ، 165 - 166.ردمك 978-0-88920-324-2. مؤرشفة من الأصلي في 29 نوفمبر 2016. تم الاسترجاع 5 يونيو 2013.
  78. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 167.
  79. ^ شيتانيا ، كريشنا. لمحة عن الثقافة الهندية أرشفة 29 نوفمبر 2016 في Wayback Machine Indian Book Company (1975). ص. 133.
  80. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 169.
  81. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 170.
  82. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 175 ، 205.
  83. ^
  84. "حساب Pi بواسطة أرخميدس: حساب Pi بواسطة أرخميدس - تبادل الملفات - MATLAB Central". Mathworks.com. مؤرشفة من الأصلي في 25 فبراير 2013. تم الاسترجاع 12 مارس 2013.
  85. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 171.
  86. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 176.
  87. ^بوير وأمبير ميرزباخ 1991 ، ص. 168.
  88. ^Arndt & amp Haenel 2006 ، الصفحات 15-16 ، 175 ، 184-186 ، 205. حقق Grienberger 39 رقمًا في 1630 Sharp 71 رقمًا في 1699.
  89. ^Arndt & amp Haenel 2006 ، الصفحات من 176 إلى 177.
  90. ^ أببوير وأمبير ميرزباخ 1991 ، ص. 202
  91. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 177.
  92. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 178.
  93. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 179.
  94. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 180.
  95. ^
  96. أزريان ، محمد ك. (2010). "الرسالة المحيتية: ملخص". مجلة ميسوري للعلوم الرياضية. 22 (2): 64-85. دوى: 10.35834 / mjms / 1312233136.
  97. ^
  98. أوكونور ، جون ج.روبرتسون ، إدموند ف. (1999). "غياث الدين جمشيد مسعود الكاشي". أرشيف MacTutor تاريخ الرياضيات. مؤرشفة من الأصلي في 12 أبريل 2011. تم الاسترجاع 11 أغسطس 2012.
  99. ^ أبجارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 182.
  100. ^Arndt & amp Haenel 2006 ، ص 182 - 183.
  101. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 183.
  102. ^
  103. جرينبيرجيروس ، كريستوفورس (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (باللاتينية). مؤرشف من الأصل (PDF) في 1 فبراير 2014. كان تقييمه 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 & lt π & lt 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
  104. ^ أبArndt & amp Haenel 2006 ، ص 185 - 191
  105. ^^ روي 1990 ، ص 101-102.
  106. ^Arndt & amp Haenel 2006 ، ص 185 - 186.
  107. ^ أبج^ روي 1990 ، ص 101-102
  108. ^جوزيف 1991 ، ص. 264.
  109. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 188. نيوتن نقلا عن ارندت.
  110. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 187.
  111. ^OEIS: A060294
  112. ^Variorum de rebus mathematicis Responsorum Liber الثامن.
  113. ^أرندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 188 - 189.
  114. ^ أبإيمارد وأمبير لافون 1999 ، ص.53-54
  115. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 189.
  116. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 156.
  117. ^Arndt & amp Haenel 2006 ، ص 192 - 193.
  118. ^ أبأرندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 72-74
  119. ^Arndt & amp Haenel 2006 ، ص 192 - 196 ، 205.
  120. ^ أبArndt & amp Haenel 2006 ، ص.194–196
  121. ^ أب
  122. بوروين ، جي إم بوروين ، بي بي. (1988). "رامانوجان وبي". Scientific American. 256 (2): 112-117. بيب كود: 1988 SciAm.258b.112B. دوى: 10.1038 / scientificamerican0288-112.
    Arndt & amp Haenel 2006 ، الصفحات 15-17 ، 70-72 ، 104 ، 156 ، 192-197 ، 201-202
  123. ^أرندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 69-72.
  124. ^
  125. بوروين ، جي إم بوروين ، بي بي. ديلشر ، ك. (1989). "Pi وأرقام أويلر والتوسعات المقاربة". الرياضيات الأمريكية الشهرية. 96 (8): 681-687. دوى: 10.2307 / 2324715. hdl: 1959.13 / 1043679. JSTOR2324715.
  126. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 223: (الصيغة 16.10).
  127. ^
  128. ويلز ، ديفيد (1997). قاموس البطريق للأرقام الغريبة والمثيرة للاهتمام (المراجعة المنقحة). البطريق. ص. 35. ردمك 978-0-14-026149-3.
  129. ^ أبPosamentier & amp Lehmann 2004 ، ص. 284
  130. ^ يوهان لامبرت ، "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques" ، أعيد طبعه في Berggren، Borwein & amp Borwein 1997، pp. 129-140
  131. ^
  132. Lindemann ، F. (1882) ، "Über die Ludolph'sche Zahl" ، Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 2: 679–682
  133. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 196.
  134. ^ هاردي ورايت 1938 و 2000: 177 حاشية سفلية § 11.13-14 تشير إلى دليل ليندمان كما يظهر في رياضيات. آن. 20 (1882), 213–225.
  135. ^ راجع هاردي ورايت 1938 و 2000: 177 حاشية سفلية §11.13-14. يمكن العثور على البراهين على أن e و متساميان في الصفحات من 170 إلى 176. يستشهدون بمصدرين من البراهين في لانداو 1927 أو بيرون 1910 انظر "قائمة الكتب" في ص 417-419 للحصول على الاقتباسات الكاملة.
  136. ^
  137. جونز ، ويليام (1706). ملخص Palmariorum Matheseos: أو مقدمة جديدة للرياضيات. ص 243 ، 263. مؤرشفة من الأصلي في 25 مارس 2012. تم الاسترجاع 15 أكتوبر 2017.
  138. ^
  139. Oughtred ، وليام (1652). Theorematum in libris Archimedis de sphaera et Cylindro Advertisario (باللاتيني). Excudebat L. Lichfield، veneunt apud T. Robinson. δ.π :: نصف القطر. شبه الأطراف
  140. ^ أب
  141. كاجوري ، فلوريان (2007). تاريخ الرموز الرياضية: المجلد. II. كوزيمو ، إنك ص 8-13. ردمك 978-1-60206-714-1. تم تمثيل نسبة طول الدائرة إلى قطرها في شكل كسري باستخدام حرفين. ج. سيجنر. في عام 1767 ، مثل 3.14159. بواسطة δ: π ، كما حدث منذ أكثر من قرن مضى
  142. ^ أب
  143. سميث ، ديفيد إي (1958). تاريخ الرياضيات. شركة البريد السريع. ص. 312. ISBN 978-0-486-20430-7.
  144. ^
  145. أرشيبالد ، أر. (1921). "ملاحظات تاريخية عن العلاقة e - (π / 2) = i < displaystyle e ^ <- ( pi / 2)> = i ^> ". مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية. 28 (3): 116-121. دوى: 10.2307 / 2972388. JSTOR2972388. من الملاحظ أن هذه الحروف كذلك مطلقا تستخدم بشكل منفصل ، وهذا هو ، π هو ليس تستخدم ل "شبه الأطراف"
  146. ^ أبجدارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 166.
  147. ^ انظر ، على سبيل المثال ،
  148. Oughtred ، وليام (1648). كلافيس ماثيماتيكو [مفتاح الرياضيات] (باللاتيني). لندن: توماس هاربر. ص. 69. (الترجمة الانكليزية:
  149. Oughtred ، وليام (1694). مفتاح الرياضيات. جيه سالوسبيري. )
  150. ^
  151. بارو ، إسحاق (1860). "المحاضرة الرابعة والعشرون". في ويويل ، ويليام. الأعمال الرياضية لإسحاق بارو (باللاتيني). جامعة هارفرد. صحافة جامعة كامبرج. ص. 381.
  152. ^
  153. جريجوري ، ديفيد (1695). "Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Professoris Sauiliani & amp S.R.S. Catenaria، Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich STT Decanum Aedis Christi Oxoniae" المعاملات الفلسفية (باللاتيني). 19: 637-652. بيب كود: 1695RSPT. 19. 637 ز. دوى: 10.1098 / rstl.1695.0114. JSTOR102382.
  154. ^
  155. جونز ، ويليام (1706). ملخص Palmariorum Matheseos: أو مقدمة جديدة للرياضيات. ص 243 ، 263. مؤرشفة من الأصلي في 25 مارس 2012. تم الاسترجاع 15 أكتوبر 2017.
  156. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 165: نسخة طبق الأصل من نص جونز موجودة في Berggren، Borwein & amp Borwein 1997، الصفحات 108-109.
  157. ^ انظر Schepler 1950 ، p. 220: استخدم William Oughtred الحرف π لتمثيل محيط الدائرة (أي محيط).
  158. ^
  159. سيجنر ، جوان أندرياس (1756). Cursus Mathematicus (باللاتيني). هالة ماغدبرجيكاي. ص. 282. مؤرشفة من الأصلي في 15 أكتوبر 2017. تم الاسترجاع 15 أكتوبر 2017.
  160. ^
  161. أويلر ، ليونارد (1727). "شرح Tentamen phaenomenorum aeris" (PDF). Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (باللاتيني). 2: 351. E007. أرشفة (PDF) من الأصل في 1 أبريل 2016. تم الاسترجاع 15 أكتوبر 2017. Sumatur pro ratione radius and peripheriem ، I: π الترجمة الإنجليزية بواسطة Ian Bruce أرشفة 10 يونيو 2016 في آلة Wayback: "مأخوذ لنسبة نصف القطر إلى المحيط [لاحظ أنه في هذا العمل ، أويلر π ضعفنا π. ] "
  162. ^
  163. أويلر ، ليونارد (1747). هنري ، تشارلز ، أد. Lettres inédites d'Euler à d'Alembert. Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (بالفرنسية). 19 (تم نشره عام 1886). ص. 139. E858. Car، soit π la circonference d'un cercle، dout le rayon est = 1 الترجمة الإنجليزية في
  164. كاجوري ، فلوريان (1913). "تاريخ المفاهيم الأسية واللوغاريتمية". مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية. 20 (3): 75-84. دوى: 10.2307 / 2973441. JSTOR2973441. ترك محيط (!) دائرة نصف قطرها الوحدة
  165. ^
  166. أويلر ، ليونارد (1736). "الفصل 3 ، الدعامة 34 كورنثوس 1". تحليل علم الميكانيكا. (مع الجدول) (باللاتيني). 1. الأكاديمية العلمية بتروبولي. ص. 113- E015. Denotet 1: π rationem Diametri ad peripheriam الترجمة الإنجليزية بواسطة Ian Bruce أرشفة 10 يونيو 2016 في آلة Wayback.: "دع 1: π تشير إلى نسبة القطر إلى المحيط"
  167. ^
  168. أويلر وليونهارد (1707-1783) (1922). ليوناردي يوليري أوبرا أمنية. 1 ، أوبرا الرياضيات أ. Volumen الثامن ، مقدمة Leonhardi Euleri في أناليسين إنفينيتوروم. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio (باللاتيني). ليبساي: B.G. تيوبنيري. ص 133 - 134. E101. مؤرشفة من الأصلي في 16 أكتوبر 2017. تم الاسترجاع 15 أكتوبر 2017.
  169. ^
  170. سيجنر ، يوهان أندرياس فون (1761). Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm (باللاتيني). رينجر. ص. 374. Si autem π ​​notet peripheriam circuli، cuius القطر eſt 2
  171. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 205.
  172. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 197.
  173. ^ريتويزنر 1950.
  174. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 15-17.
  175. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 131.
  176. ^أرندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 132 ، 140.
  177. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 87.
  178. ^Arndt & amp Haenel 2006 ، ص 111 (5 مرات) ص 113-114 (4 مرات): انظر Borwein & amp Borwein 1987 للحصول على تفاصيل الخوارزميات
  179. ^ أبج
  180. بيلي ، ديفيد هـ. (16 مايو 2003). "بعض المعلومات الأساسية عن حساب Pi الأخير في Kanada" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 15 أبريل 2012. تم الاسترجاع 12 أبريل 2012.
  181. ^
  182. جيمس جريم Pi وحجم الكون، Numberphile ، مؤرشفة من الأصلي في 6 ديسمبر 2017 ، استرجاعها 25 ديسمبر 2017
  183. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 17 - 19
  184. ^
  185. شوديل مات (25 مارس 2009). "جون دبليو ورينش جونيور: عالم الرياضيات كان طعمه لبي". واشنطن بوست. ص. ب 5.
  186. ^
  187. كونور ، ستيف (8 يناير 2010). "السؤال الكبير: ما مدى قربنا من معرفة القيمة الدقيقة لـ pi؟". المستقل. لندن. مؤرشفة من الأصلي في 2 أبريل 2012. تم الاسترجاع 14 أبريل 2012.
  188. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 18.
  189. ^Arndt & amp Haenel 2006 ، ص 103-104
  190. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 104
  191. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 104 ، 206
  192. ^أرندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 110 - 111
  193. ^ايمارد & لافون 1999 ، ص. 254
  194. ^ أب"Round 2. 10 Trillion Digits of Pi" أرشفة 1 يناير 2014 في آلة Wayback. ، NumberWorld.org ، 17 أكتوبر 2011. تم استرجاعه في 30 مايو 2012.
  195. ^
  196. تيموثي ريفيل (14 مارس 2017). "احتفل بيوم pi مع 9 تريليون رقم أكثر من أي وقت مضى". عالم جديد. مؤرشفة من الأصلي في 6 سبتمبر 2018. تم الاسترجاع 6 سبتمبر 2018.
  197. ^
  198. "بي". مؤرشفة من الأصلي في 31 أغسطس 2018. تم الاسترجاع 6 سبتمبر 2018.
  199. ^
  200. "يعود سجل Pi إلى الكمبيوتر الشخصي". 20 يناير 2020. تم الاسترجاع 30 سبتمبر 2020.
  201. ^ PSLQ تعني المجموع الجزئي للمربعات الصغرى.
  202. ^
  203. بلوف ، سيمون (أبريل 2006). "هويات مستوحاة من دفاتر رامانوجان (الجزء 2)" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 14 يناير 2012. تم الاسترجاع 10 أبريل 2009.
  204. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 39
  205. ^
  206. Ramaley ، JF (أكتوبر 1969). "مشكلة معكرونة بوفون". مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية. 76 (8): 916-918. دوى: 10.2307 / 2317945. JSTOR2317945.
  207. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 39-40
    Posamentier & amp Lehmann 2004 ، ص. 105
  208. ^
  209. جرونباوم ، ب. (1960) ، "ثوابت الإسقاط" ، عبر. عامر. رياضيات. شركة نفط الجنوب., 95 (3): 451-465 ، دوى: 10.1090 / s0002-9947-1960-0114110-9
  210. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 43
    ^ بوسمينتييه وأمبير ليمان 2004 ، ص 105-108
  211. ^ أبأرندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 77-84.
  212. ^ أب Gibbons ، Jeremy ، "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi" أرشفة 2 ديسمبر 2013 في آلة Wayback. ، 2005. أنتج جيبونز نسخة محسنة من خوارزمية واجن.
  213. ^ أبارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 77.
  214. ^
  215. رابينوفيتش ، ستانلي واجون ، ستان (مارس 1995). "خوارزمية حنفية لأرقام Pi". الرياضيات الأمريكية الشهرية. 102 (3): 195-203. دوى: 10.2307 / 2975006. JSTOR2975006. تم إنشاء برنامج كمبيوتر يقوم بتنفيذ خوارزمية Wagon's spigot في 120 حرفًا فقط من البرنامج.
  216. ^ أبأرندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 117 ، 126-128.
  217. ^
  218. بيلي ، ديفيد هـ.بوروين ، بيتر ب.بلوف ، سايمون (أبريل 1997). "حول الحساب السريع للثوابت متعددة اللوغاريتمية" (PDF). رياضيات الحساب. 66 (218): 903-913. بيب كود: 1997 MACom..66..903B. CiteSeerX10.1.1.55.3762. دوى: 10.1090 / S0025-5718-97-00856-9. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 يوليو 2012.
  219. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 128. أنشأ بلوف بالفعل خوارزمية استخراج رقم عشري ، لكنها أبطأ من الحساب الكامل والمباشر لجميع الأرقام السابقة.
  220. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 20
    صيغة بيلاردز في:
  221. بيلارد ، فابريس. "صيغة جديدة لحساب الرقم الثنائي n من pi". مؤرشفة من الأصلي في 12 سبتمبر 2007. تم الاسترجاع 27 أكتوبر 2007.
  222. ^
  223. بالمر ، جايسون (16 سبتمبر 2010). "تم تحطيم الرقم القياسي Pi كما وجد الفريق اثنين من المليون رقم". بي بي سي نيوز. مؤرشفة من الأصلي في 17 مارس 2011. تم الاسترجاع 26 مارس 2011.
  224. ^Bronshteĭn & amp Semendiaev 1971 ، ص 200 ، 209
  225. ^
  226. أويلر ، ليونارد (1781). "De curvis triangleibus". Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae (باللاتيني). 1778 (الثاني): 3-30.
  227. ^
  228. لاي ، ستيفن ر. (2007) ، مجموعات محدبة وتطبيقاتها، دوفر ، نظرية 11.11 ، ص 81-82 ، ISBN 9780486458038.
  229. ^
  230. جاردنر ، مارتن (1991). "الفصل 18: منحنيات العرض الثابت". الشنق غير المتوقع وتحويلات رياضية أخرى. مطبعة جامعة شيكاغو. ص 212 - 221. ردمك0-226-28256-2.
  231. ^
  232. رابينوفيتش ، ستانلي (1997). "منحنى متعدد الحدود للعرض الثابت" (PDF). مجلة ميسوري للعلوم الرياضية. 9 (1): 23-27. دوى: 10.35834 / 1997/0901023. مر 1455287.
  233. ^
  234. وايسشتاين ، إريك دبليو "نصف دائرة". ماثوورلد.
  235. ^ أبآيرز 1964 ، ص. 60
  236. ^ أبBronshteĭn & amp Semendiaev 1971 ، ص 210 - 211
  237. ^
  238. هيلبرت ، ديفيد كورانت ، ريتشارد (1966) ، طرق الفيزياء الرياضية ، المجلد الأول، وايلي ، ص 286-290
  239. ^
  240. ديم ، إتش ماكين ، إتش بي. (1972) ، سلسلة وتكاملات فورييه، مطبعة أكاديمية ، ص. 47
  241. ^
  242. شافيل ، إسحاق (2001) ، عدم المساواة متساوي القياس، صحافة جامعة كامبرج
  243. ^
  244. تالنتي ، جورجيو (1976) ، "أفضل ثابت في عدم المساواة في سوبوليف" ، Annali di Matematica Pura ed Applicata, 110 (1): 353–372 ، CiteSeerX10.1.1.615.4193 ، دوى: 10.1007 / BF02418013 ، ISSN1618-1891 ، S2CID16923822
  245. ^
  246. إسبوزيتو سي نيتش سي ترومبيتي (2011). "أفضل الثوابت في عدم المساواة بوانكاريه للمجالات المحدبة". arXiv: 1110.2960 [math.AP].
  247. ^
  248. ديل بينو جيه دولبولت (2002) ، "أفضل ثوابت لتفاوتات جاجلياردو - نيرنبرغ وتطبيقاتها على الانتشار غير الخطي" ، Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 81 (9): 847-875 ، CiteSeerX10.1.1.57.7077 ، دوى: 10.1016 / s0021-7824 (02) 01266-7
  249. ^
  250. باين ، ل. Weinberger ، HF (1960) ، "تفاوت بوانكاريه الأمثل للنطاقات المحدبة" ، أرشيف للميكانيكا العقلانية والتحليل, 5 (1): 286–292 ، بيب كود: 1960 ARRMA. 5..286P ، دوى: 10.1007 / BF00252910 ، ISSN0003-9527 ، S2CID121881343
  251. ^
  252. جيرالد فولاند (1989) ، التحليل التوافقي في فضاء الطورمطبعة جامعة برينستون ، ص. 5
  253. ^هاو 1980
  254. ^ فيلير ، و. مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها ، المجلد. 1، وايلي ، 1968 ، ص.174–190.
  255. ^ أبBronshteĭn & amp Semendiaev 1971 ، الصفحات 106-107 ، 744 ، 748
  256. ^
  257. H. Dym H.P. ماكين (1972) ، سلسلة وتكاملات فورييه، قسم الصحافة الأكاديمية 2.7
  258. ^
  259. إلياس شتاين جيدو فايس (1971) ، تحليل فورييه على المساحات الإقليديةمطبعة جامعة برينستون ، ص. 6 نظرية 1.13.
  260. ^
  261. في. Ovsienko S. Tabachnikov (2004)، الهندسة التفاضلية الإسقاطية القديمة والجديدة: من مشتق شوارزيان إلى تكوُّن مجموعات تباين الأشكال، Cambridge Tracts in Mathematics ، Cambridge University Press ، ISBN 978-0-521-83186-4: القسم 1.3
  262. ^
  263. مايكل سبيفاك (1999) ، مقدمة شاملة في الهندسة التفاضلية, 3أو نشر أو موت اضغط الفصل 6.
  264. ^
  265. كوباياشي ، شوشيشي نوميزو ، كاتسومي (1996) ، أسس الهندسة التفاضلية, 2 (طبعة جديدة) ، وايلي إنترسينس ، ص. 293 الفصل الثاني عشر فئات مميزة
  266. ^ H. M. Schey (1996) Div و Grad و Curl وكل ذلك: نص غير رسمي على Vector Calculus, 0-393-96997-5.
  267. ^ يو ، أدريان ، ملذات pi و e وأرقام أخرى مثيرة للاهتمام، World Scientific Pub. ، 2006 ، ص. 21 ، 978-981-270-078-0.
    إيلرز ، يورغن ، معادلات أينشتاين الميدانية وآثارها المادية، سبرينغر ، 2000 ، ص. 7 ، 978-3-540-67073-5.
  268. ^
  269. لارس أهلفورس (1966) ، تحليل معقد، ماكجرو هيل ، ص. 115
  270. ^
  271. وايسشتاين ، إريك دبليو. "صيغة كوشي المتكاملة". ماثوورلد.
  272. ^ Joglekar ، S.D. ، الفيزياء الرياضيةمطبعة الجامعات 2005 ص. 166 ، 978-81-7371-422-1.
  273. ^Bronshteĭn & amp Semendiaev 1971 ، ص 191 - 192
  274. ^
  275. اميل ارتين (1964) ، وظيفة جاما، مواضيع مختارة في سلسلة أثينا في الرياضيات (الطبعة الأولى) ، هولت ، رينهارت ونستون
  276. ^
  277. لورانس إيفانز (1997) ، المعادلات التفاضلية الجزئية، AMS ، ص. 615.
  278. ^Bronshteĭn & amp Semendiaev 1971 ، ص. 190
  279. ^
  280. بنجامين نيل أندرياس بافينهولز (2014) ، "في قضية المساواة في تخمين حجم إيرهارت" ، التقدم في الهندسة, 14 (4): 579-586 ، arXiv: 1205.1270 ، دوى: 10.1515 / advgeom-2014-0001 ، ISSN1615-7168 ، S2CID119125713
  281. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 41-43
  282. ^ تم إثبات هذه النظرية من قبل إرنستو سيزارو في عام 1881. للحصول على دليل أكثر صرامة من الدليل البديهي وغير الرسمي الوارد هنا ، انظر هاردي ، ج. مقدمة لنظرية الأعداد، مطبعة جامعة أكسفورد ، 2008 ، 978-0-19-921986-5 ، نظرية 332.
  283. ^أوجيلفي ، سي إس أندرسون ، جيه تي ، الرحلات في نظرية الأعداد، منشورات دوفر ، 1988 ، الصفحات 29-35 ، 0-486-25778-9.
  284. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 43
  285. ^
  286. فلاديمير بلاتونوف أندريه رابينشوك (1994) ، المجموعات الجبرية ونظرية الأعداد، Academic Press، pp.262–265
  287. ^
  288. ج. سوندو (1994) ، "استمرار تحليلي لوظيفة ريمان زيتا وقيمها في الأعداد الصحيحة السلبية عبر تحويل أويلر للسلسلة" ، بروك. عامر. رياضيات. شركة نفط الجنوب., 120 (2): 421-424 ، CiteSeerX10.1.1.352.5774 ، دوى: 10.1090 / s0002-9939-1994-1172954-7
  289. ^
  290. تي فريدمان سي آر هاغن (2015). "الاشتقاق الميكانيكي الكمومي لصيغة واليس لـ pi". مجلة الفيزياء الرياضية. 56 (11): 112101. arXiv: 1510.07813. بيب كود: 2015 JMP. 56k2101F. دوى: 10.1063 / 1.4930800. S2CID119315853.
  291. ^
  292. تيت ، جون ت. (1950) ، "تحليل فورييه في حقول الأعداد ، ودوال زيتا في هيك" ، نظرية الأعداد الجبرية (Proc. Instructional Conf. ، Brighton ، 1965)، طومسون ، واشنطن العاصمة ، الصفحات 305–347 ، ISBN 978-0-9502734-2-6 ، MR0217026
  293. ^
  294. H. Dym H.P. ماكين (1972) ، سلسلة وتكاملات فورييه، الصحافة الأكاديمية الفصل 4
  295. ^ أب
  296. مومفورد ، ديفيد (1983) ، محاضرات تاتا على ثيتا الأول، بوسطن: بيركهاوزر ، ص 1-117 ، ISBN 978-3-7643-3109-2
  297. ^
  298. سيدني بورت تشارلز ستون (1978) ، الحركة البراونية ونظرية الجهد الكلاسيكية، مطبعة أكاديمية ، ص. 29
  299. ^ *
  300. تيتشمارش ، إي. (1948) ، مقدمة في نظرية تكاملات فورييه (الطبعة الثانية) ، جامعة أكسفورد: مطبعة كلارندون (نشرت عام 1986) ، ISBN 978-0-8284-0324-5.
  301. ^
  302. شتاين ، إلياس (1970) ، التكاملات الفردية وخصائص التفاضل للوظائف، مطبعة جامعة برينستون الفصل الثاني.
  303. ^ أب
  304. كليبانوف ، آرون (2001). "Pi في مجموعة Mandelbrot" (PDF). فركتلات. 9 (4): 393-402. دوى: 10.1142 / S0218348X01000828. مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 27 أكتوبر 2011. تم الاسترجاع 14 أبريل 2012.
  305. ^ بيتجن ، هاينز أوتو ، الفوضى والفركتلات: آفاق جديدة للعلم، سبرينغر ، 2004 ، ص 801-803 ، 978-0-387-20229-7.
  306. ^ هاليداي ، ديفيد ريسنيك ، روبرت ووكر ، جيرل ، أساسيات الفيزياء ، الطبعة الخامسة.، John Wiley & amp Sons، 1997، p. 381، 0-471-14854-7.
  307. ^
  308. إمامورا ، جيمس م. (17 أغسطس 2005). "مبدأ عدم اليقين في Heisenberg". جامعة أوريغون. مؤرشفة من الأصلي في 12 أكتوبر 2007. تم الاسترجاع 9 سبتمبر 2007.
  309. ^
  310. إتزيكسون ، سي زوبر ، ج .- ب. (1980). نظرية المجال الكمي (2005 طبعة). مينيولا ، نيويورك: منشورات دوفر. ردمك 978-0-486-44568-7. LCCN2005053026. OCLC61200849.
  311. ^ منخفض ، بيتر ، النظرية الكلاسيكية للهياكل على أساس المعادلة التفاضلية، أرشيف CUP ، 1971 ، الصفحات 116-118 ، 978-0-521-08089-7.
  312. ^ باتشيلور ، جي كي ، مقدمة لديناميكيات السوائل، مطبعة جامعة كامبريدج ، 1967 ، ص. 233 ، 0-521-66396-2.
  313. ^
  314. Hans-Henrik Stølum (22 آذار / مارس 1996). "تعرج النهر كعملية تنظيم ذاتي". علم. 271 (5256): 1710-1713. بيب كود: 1996 Sci. 271.1710S. دوى: 10.1126 / العلوم .271.5256.1710. S2CID19219185.
  315. ^^ بوسمينتييه وأمبير ليمان 2004 ، ص 140 - 141
  316. ^ أبجأرندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص 44-45
  317. ^"معظم أماكن Pi المحفوظة" أرشفة 14 فبراير 2016 في آلة Wayback. ، موسوعة جينيس للأرقام القياسية.
  318. ^
  319. أوتاكي ، توموكو (17 ديسمبر 2006). "كيف يمكن لأي شخص أن يتذكر 100000 رقم؟". جابان تايمز. مؤرشفة من الأصلي في 18 أغسطس 2013. تم الاسترجاع 27 أكتوبر 2007.
  320. ^
  321. روزنتال ، جيفري س. (2018). "ملاحظة حول Piems".
  322. ^
  323. راز ، أ.باكارد ، إم. (2009). "شريحة من باي: دراسة استكشافية للتصوير العصبي لترميز الأرقام واسترجاعها في ذاكرة متفوقة". نيوروكاس. 15 (5): 361-372. دوى: 10.1080 / 13554790902776896. PMC4323087. بميد 19585350.
  324. ^
  325. كيث ، مايك. "ملاحظات وتعليقات Cadaeic Cadenza". مؤرشفة من الأصلي في 18 يناير 2009. تم الاسترجاع 29 يوليو 2009.
  326. ^
  327. كيث ، مايكل ديانا كيث (17 فبراير 2010). Not A Wake: حلم يجسد أرقام (pi) بالكامل مقابل 10000 كسر عشري. فنسول برس. ردمك 978-0-9630097-1-5.
  328. ^ على سبيل المثال ، يدعو بيكوفر π "أشهر ثابت رياضي في كل العصور" ، وكتب بيترسون ، "من بين جميع الثوابت الرياضية المعروفة ، ومع ذلك ، لا يزال pi يجذب أكبر قدر من الاهتمام" ، مستشهداً بعطر جيفنشي ، Pi (فيلم) و Pi Day كأمثلة. يرى
  329. بيكوفر ، كليفورد أ. (1995) ، مفاتيح إنفينيتي، وايلي وأولاده ، ص. 59 ، ردمك 978-0-471-11857-2
  330. بيترسون ، إيفارس (2002) ، الرحلات الرياضية: من الأرقام السريالية إلى الدوائر السحريةطيف MAA ، الرابطة الرياضية الأمريكية ، ص. 17 ، ISBN 978-0-88385-537-9 ، مؤرشفة من الأصلي في 29 نوفمبر 2016
  331. ^فيلم وثائقي لـ BBC بعنوان "The Story of Maths" ، الجزء الثاني أرشفة 23 ديسمبر 2014 في Wayback Machine ، والذي يعرض تصورًا للصيغة الدقيقة الأولى تاريخيًا ، بدءًا من 35 دقيقة و 20 ثانية في الجزء الثاني من الفيلم الوثائقي.
  332. ^Posamentier & amp Lehmann 2004 ، ص. 118
    ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 50
  333. ^ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص. 14. تم حذف هذا الجزء من القصة من الفيلم المقتبس من الرواية.
  334. ^
  335. جيل ، آندي (4 نوفمبر 2005). "مراجعة جوية". المستقل. مؤرشفة من الأصلي في 15 أكتوبر 2006. الرضا شبه التوحد لعالم الرياضيات الوسواس القهري مفتونًا بـ 'Pi' (التي تتيح الفرصة لسماع بوش يغني ببطء أجزاء كبيرة من الرقم المعني ، عدة عشرات من الأرقام الطويلة)
  336. ^
  337. معكوس (2018). "Pi Day 2018: Spock يستخدم Pi لقتل كمبيوتر شرير على 'Star Trek'".
  338. ^أنشطة يوم Pi أرشفة 4 يوليو 2013 في archive.today.
  339. ^هتافات معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا أرشفة 19 يناير 2009 في آلة Wayback ... تم الاسترجاع 12 أبريل 2012.
  340. ^
  341. "Happy Pi Day! شاهد مقاطع الفيديو المذهلة هذه للأطفال وهم يتلون 3.14". USAToday.com. 14 مارس 2015 مؤرشفة من الأصلي في 15 مارس 2015. تم الاسترجاع 14 مارس 2015.
  342. ^
  343. روزنتال ، جيفري س. (فبراير 2015). "بي فوري". آفاق الرياضيات. 22 (3): 22. doi: 10.4169 / mathhorizons.22.3.22. S2CID218542599.
  344. ^
  345. غريفين ، أندرو. "Pi Day: لماذا يرفض بعض علماء الرياضيات الاحتفال بيوم 14 مارس ولا يحتفلون باليوم المليء بالحلوى". المستقل. مؤرشفة من الأصلي في 24 أبريل 2019. تم الاسترجاع 2 فبراير 2019.
  346. ^
  347. "عروض Google الغريبة للحصول على براءات اختراع نورتل". FinancialPost.com. رويترز. 5 July 2011. مؤرشفة من الأصلي في 9 أغسطس 2011. تم الاسترجاع 16 أغسطس 2011.
  348. ^
  349. النسر ، ألبرت (1958). الوظائف الإهليلجية كما ينبغي أن تكون: حساب ، مع تطبيقات ، للوظائف في شكل أساسي جديد. جالاوي وبورتر المحدودة ص. التاسع.
  350. ^ تسلسل OEIS: A019692 ،
  351. ^
  352. أبوت ، ستيفن (أبريل 2012). "تحويلي إلى الطاوية" (PDF). آفاق الرياضيات. 19 (4): 34. doi: 10.4169 / mathhorizons.19.4.34. S2CID126179022. أرشفة (PDF) من الأصل في 28 سبتمبر 2013.
  353. ^
  354. باليه ، روبرت (2001). "π خطأ!" (بي دي إف) . المخبر الرياضي. 23 (3): 7-8. دوى: 10.1007 / BF03026846. S2CID120965049. مؤرشف من الأصل (PDF) في 22 يونيو 2012.
  355. ^يوم تاو: لماذا يجب أن تأكل مرتين الفطيرة - سنوات ضوئية - مدونة CNN.com أرشفة 12 يناير 2013 في آلة Wayback.
  356. ^
  357. "حياة باي في خطر - حملة الخبراء يحل محل تاو". تلغراف الهند. 30 يونيو 2011 مؤرشفة من الأصلي في 13 يوليو 2013.
  358. ^^ ارندت وأمبير هاينيل 2006 ، ص.211-212
    ^ بوسمينتييه وأمبير ليمان 2004 ، ص 36-37
  359. هالربيرج ، آرثر (مايو 1977). "دائرة إنديانا التربيعية". مجلة الرياضيات. 50 (3): 136-140. دوى: 10.2307 / 2689499. JSTOR2689499.
  360. ^
  361. كنوث ، دونالد (3 أكتوبر 1990). "مستقبل TeX و Metafont" (PDF). تكس ماج. 5 (1): 145. أرشفة (PDF) من الأصل في 13 أبريل 2016. تم الاسترجاع 17 فبراير 2017.

مصادر

  • أندروز ، جورج إي أسكي ، ريتشارد روي ، رانجان (1999). وظائف خاصة. صحافة جامعة كامبرج. ردمك 978-0-521-78988-2.
  • أرندت ، يورج هاينيل ، كريستوف (2006). بي العنان. Springer-Verlag. ردمك 978-3-540-66572-4. تم الاسترجاع 5 يونيو 2013. الترجمة الإنجليزية من قبل كاتريونا وديفيد ليشكا.
  • آيرز ، فرانك (1964). حساب التفاضل والتكامل. ماكجرو هيل. ردمك 978-0-07-002653-7.
  • بيلي ، ديفيد هـ.بلوف ، سيمون إم بوروين ، بيتر ب بوروين ، جوناثان م. (1997). "البحث عن PI". المخبر الرياضي. 19 (1): 50-56. CiteSeerX10.1.1.138.7085. دوى: 10.1007 / BF03024340. ISSN0343-6993. S2CID14318695.
  • بيكمان ، بيتر (1989) [1974]. تاريخ بي. مطبعة سانت مارتن. ردمك 978-0-88029-418-8.
  • بيرجرين ، لينارت بوروين ، جوناثان بوروين ، بيتر (1997). Pi: كتاب المصدر. Springer-Verlag. ردمك 978-0-387-20571-7.
  • بوينج ، نيلز (14 مارس 2016). "Die Welt ist Pi" [العالم هو Pi]. Zeit عبر الإنترنت (في المانيا). مؤرشفة من الأصلي في 17 مارس 2016. Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol، unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor، in Anlehnung an perimetros، griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften. [تلقى رقم Ludolphian أو رقم الدائرة الآن أيضًا الرمز الذي نعرفه اليوم تحته: اقترح ويليام جونز في عام 1706 الحرف اليوناني π ، بناءً على perimetros [μετρος] ، اليونانية للمحيط. أسس ليونارد أويلر بقوة π في كتاباته الرياضية.]
  • بوروين ، جوناثان بوروين ، بيتر (1987). Pi و AGM: دراسة في نظرية الأعداد التحليلية والتعقيد الحسابي. وايلي. ردمك 978-0-471-31515-5.
  • بوير ، كارل ب.ميرزباخ ، أوتا سي (1991). تاريخ الرياضيات (2 ed.). وايلي. ردمك 978-0-471-54397-8.
  • Bronshteĭn، Ilia Semendiaev، K.A. (1971). كتاب دليل للرياضيات. فيرلاغ هاري دويتش. ردمك 978-3-87144-095-3.
  • إيمارد ، بيير لافون ، جان بيير (1999). الرقم بي. الجمعية الرياضية الأمريكية. ردمك 978-0-8218-3246-2. ، الترجمة الإنجليزية من قبل ستيفن ويلسون.
  • جوبتا ، أر. (1992). "على المدى المتبقي في سلسلة مادهافا ليبنيز". جانيتا بهاراتي. 14 (1–4): 68–71.
  • Howe ، Roger (1980) ، "حول دور مجموعة Heisenberg في التحليل التوافقي" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية, 3 (2): 821-844 ، دوى: 10.1090 / S0273-0979-1980-14825-9 ، MR0578375.
  • جوزيف ، جورج غيرغيزي (1991). قمة الطاووس: جذور الرياضيات غير الأوروبية. مطبعة جامعة برينستون. ردمك 978-0-691-13526-7. تم الاسترجاع 5 يونيو 2013.
  • Posamentier ، ألفريد س.ليمان ، إنغمار (2004). Pi: سيرة شخصية الرقم الأكثر غموضًا في العالم . كتب بروميثيوس. ردمك 978-1-59102-200-8.
  • ريتوينر ، جورج (1950). "تحديد ENIAC لـ pi و e إلى 2000 منزلة عشرية". الجداول الرياضية والمساعدات الأخرى للحساب. 4 (29): 11-15. دوى: 10.2307 / 2002695. JSTOR2002695.
  • ريميرت ، رينهولد (2012). "الفصل 5 ما هو π؟". في Heinz-Dieter Ebbinghaus Hans Hermes Friedrich Hirzebruch Max Koecher Klaus Mainzer Jürgen Neukirch Alexander Prestel Reinhold Remmert (محرران). أعداد. سبرينغر. ردمك 978-1-4612-1005-4.
  • روسي ، كورينا (2004). العمارة والرياضيات في مصر القديمة. صحافة جامعة كامبرج. ردمك 978-1-107-32051-2.
  • روي ، رانجان (1990). "اكتشاف صيغة السلسلة لـ pi بواسطة Leibniz و Gregory و Nilakantha". مجلة الرياضيات. 63 (5): 291-306. دوى: 10.2307 / 2690896. JSTOR2690896.
  • Schepler، HC (1950). "التسلسل الزمني للباي". مجلة الرياضيات. 23 (3): 165-170 (يناير / فبراير) ، 216-228 (مارس / أبريل) ، 279-283 (مايو / يونيو). دوى: 10.2307 / 3029284. JSTOR3029284. . العدد 3 يناير / فبراير إصدار 4 مارس / أبريل إصدار 5 مايو / يونيو
  • طومسون ، وليام (1894) ، "مشاكل متساوية" ، سلسلة الطبيعة: محاضرات وخطب شعبية, II: 571–592

قراءة متعمقة

  • بلاتنر ، ديفيد (1999). فرحة باي. شركة ووكر وأمبير. ردمك 978-0-8027-7562-7.
  • بوروين ، جوناثان بوروين ، بيتر (1984). "المتوسط ​​الحسابي الهندسي والحساب السريع للوظائف الأولية" (PDF). مراجعة SIAM. 26 (3): 351–365. CiteSeerX10.1.1.218.8260. دوى: 10.1137 / 1026073.
  • بوروين ، جوناثان بوروين ، بيتر بيلي ، ديفيد هـ. (1989). "Ramanujan ، المعادلات المعيارية ، والتقريب إلى Pi أو كيفية حساب مليار رقم من Pi". مجلة الرياضيات الأمريكية الشهرية (مخطوطة مرسلة). 96 (3): 201-219. دوى: 10.2307 / 2325206. JSTOR2325206. و Chudnovsky ، Gregory V. ، "التقريبات والضرب المعقد وفقًا لرامانوجان" ، في إعادة النظر في رامانوجان (GE Andrews et al. Eds)، Academic Press، 1988، pp.375–396، 468–472
  • كوكس ، ديفيد أ. (1984). "المتوسط ​​الحسابي والهندسي لغاوس". L'Enseignement Mathématique. 30: 275–330.
  • ديلاهاي ، جان بول (1997). Le Fascinant Nombre Pi. باريس: Bibliothèque Pour la Science. ردمك2-902918-25-9.
  • إنجلز ، هيرمان (1977). "تربيع الدائرة في مصر القديمة". هيستوريا ماتيماتيكا. 4 (2): 137-140. دوى: 10.1016 / 0315-0860 (77) 90104-5. ، "حول استخدام الكسور المكتشفة لمجموع المتسلسلة اللانهائية" ، في مقدمة في تحليل اللانهائي. الكتاب الأول، مترجم من اللاتينية بواسطة JD Blanton ، Springer-Verlag ، 1964 ، ص 137-153
  • هاردي ، جي إتش رايت ، إي إم (2000). مقدمة لنظرية الأعداد (الطبعة الخامسة). أكسفورد ، المملكة المتحدة: مطبعة كلارندون.
  • هيث ، تل ، أعمال أرخميدس، كامبريدج ، 1897 طبع في أعمال أرخميدس مع طريقة أرخميدس، دوفر ، 1953 ، ص 91-98 ، "De Circuli Magnitudine Inventa" ، Christiani Hugenii Opera Varia I، ليدن 1724 ، ص 384-388
  • لاي يونج ، لام تيان سي ، أنج (1986). "قياسات الدائرة في الصين القديمة". هيستوريا ماتيماتيكا. 13 (4): 325-340. دوى: 10.1016 / 0315-0860 (86) 90055-8.
  • ليندمان ، فرديناند (1882). "أوبر يموت زحل بي". Mathematische Annalen. 20 (2): 213-225. دوى: 10.1007 / bf01446522. S2CID120469397. مؤرشفة من الأصلي في 22 يناير 2015.
  • مطر ، ك.موكوندا راجاغونال ، سي. (1944). "في التربيع الهندوسي للدائرة" (الملحق بقلم ك. بالاغانغادهاران) ". مجلة فرع بومباي للجمعية الملكية الآسيوية. 20: 77–82.
  • نيفن ، إيفان (يوليو 1947). "دليل بسيط على أن pi غير منطقي". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية. 53 (7): 507. دوى: 10.1090 / S0002-9904-1947-08821-2.
  • رامانوجان ، سرينيفاسا (1914). "المعادلات النمطية والتقريب إلى π". مجلة فصلية للرياضيات البحتة والتطبيقية. XLV: 350-372. أعيد طبعه في
  • رامانوجان ، سرينيفاسا (2015) [1927]. هاردي ، جي إتش سيشو أيار ، بي في ويلسون ، بي إم (محرران). سرينيفاسا رامانوجان: أوراق مجمعة. صحافة جامعة كامبرج. ص 23 - 29. ردمك 978-1-107-53651-7. و المساهمات في الرياضيات التي تتكون أساسًا من تصحيح الدائرة إلى 607 مكانًا من الكسور العشرية، 1853 ، الصفحات من الأول إلى السادس عشر ، 10
  • شانكس ، دانيال ورينش ، جون ويليام (1962). "حساب pi إلى 100،000 عشرية". رياضيات الحساب. 16 (77): 76-99. دوى: 10.1090 / s0025-5718-1962-0136051-9.
  • تروبفكي ، يوهانس (1906). Geschichte Der Elementar-Mathematik في Systematischer Darstellung [تاريخ الرياضيات الابتدائية] (في المانيا). لايبزيغ: فيرلاغ فون فيت. و Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete ، أوبرا الرياضيات (طبع) ، جورج أولمز فيرلاغ ، 1970 ، ص 398-401 ، 436-446
  • واجون ، ستان (1985). "هل باي عادي؟". المخبر الرياضي. 7 (3): 65-67. دوى: 10.1007 / BF03025811. S2CID189884448.
  • واليس ، جون (1655–1656). Arithmetica Infinitorum ، sive Nova Methodus Inquirendi في Curvilineorum Quadratum ، من أمور أخرى (باللاتيني). أكسفورد. أعيد طبعه في
  • أوبرا الرياضيات. 1. أكسفورد: إي ثياترو شيلدونيانو. 1695. ص 357-478.
  • زيبروسكي ، إرنست (1999). تاريخ الدائرة: التفكير الرياضي والكون المادي . مطبعة جامعة روتجرز. ردمك 978-0-8135-2898-4.

360 مللي ثانية 11.8٪ Scribunto_LuaSandboxCallback :: getExpandedArgument 280 مللي ثانية 9.2٪ dataWrapper 220 ms 7.2٪ Scribunto_LuaSandboxCallback :: callParserFunction 200 ms 6.6٪ Scribunto_LuaSandboxCallback :: gsub 160 ms 5.3٪ Scribunto_LuaSandbox msuntback (العثور على) 140 :: تطابق 100 مللي ثانية 3.3٪ من النوع 100 مللي ثانية 3.3٪ [أخرى] 880 مللي ثانية 28.9٪ عدد كيانات Wikibase التي تم تحميلها: 1/400 ->


6.1.1: الطول - الرياضيات

في هذا القسم ، نحتاج إلى إلقاء نظرة على سرعة جسم متحرك وتسارعه.

من حساب التفاضل والتكامل ، نعلم أنه بالنظر إلى وظيفة الموضع لجسم ما ، فإن سرعة الجسم هي المشتق الأول لدالة الموضع وأن تسارع الجسم هو المشتق الثاني لدالة الموضع.

لذلك ، بالنظر إلى هذا ، لا ينبغي أن يكون مفاجئًا جدًا أنه إذا تم إعطاء وظيفة موضع كائن ما بواسطة وظيفة المتجه ( vec r left (t right) ) ، فسيتم إعطاء سرعة الكائن وتسريع و

[ vec v left (t right) = vec r ' left (t right) hspace <0.25in> hspace <0.25in> hspace <0.25in> vec a left (t يمين) = vec r '' يسار (t يمين) ]

لاحظ أن السرعة والعجلة سيكونان أيضًا متجهين أيضًا.

في دراسة حركة الأجسام ، غالبًا ما يتم تقسيم التسارع إلى أ مكون مماسي, () و أ مكون عادي, (). المكون المماسي هو جزء من التسارع المماسي للمنحنى والمكون الطبيعي هو جزء التسارع الطبيعي (أو المتعامد) للمنحنى. إذا فعلنا ذلك ، فيمكننا كتابة العجلة على النحو التالي ،

حيث ( vec T ) و ( vec N ) هما ظل الوحدة والوحدة العادية لوظيفة الموضع.

إذا حددنا (v = left | < vec v left (t right)> right | ) ، فسيتم إعطاء المكونات العرضية والعادية للتسريع بواسطة ،

حيث ( kappa ) هو انحناء وظيفة الموضع.

توجد صيغتان لاستخدامهما هنا لكل مكون من مكونات التسارع ، وبينما قد تبدو الصيغة الثانية معقدة للغاية ، إلا أنها غالبًا ما تكون أسهل من الاثنين. في المكون المماسي ، (v ) ، قد يكون فوضويًا وقد يكون حساب المشتق غير سار. في المكون الطبيعي ، سنقوم بالفعل بحساب كلتا الكميتين من أجل الحصول على الانحناء ، وبالتالي فإن الصيغة الثانية في هذه الحالة هي بالتأكيد الأسهل من الاثنين.

دعونا نلقي نظرة سريعة على مثالين.

سنحصل أولاً على السرعة. للقيام بذلك ، كل ما علينا فعله (تقريبًا كل شيء) هو دمج التسارع.

للحصول على السرعة تمامًا ، سنحتاج إلى تحديد "ثابت" التكامل. يمكننا استخدام السرعة الابتدائية للحصول على هذا.

[ vec j - vec k = vec v left (0 right) = vec c ]

سرعة الجسم إذن ،

سنجد دالة الموضع من خلال دمج دالة السرعة.

باستخدام الموضع الأولي يعطينا ،

[ vec i - 2 vec j + 3 vec k = vec r left (0 right) = vec c ]

إذن ، وظيفة الموضع هي ،

[ vec r left (t right) = left ( <2> + 1> right) ، vec i + left (<+ t - 2> right) vec j + left (<- t + 3> right) vec k ]

ليس هناك الكثير لتفعله هنا بخلاف إدخال الصيغ. للقيام بذلك ، سنحتاج إلى ملاحظة ذلك ،

[يبدأ vec r ' left (t right) & = t ، vec i + left (<2t + 1> right) ، vec j + left (<3- 1> right) ، vec k vec r '' left (t right) & = vec i + 2 vec j + 6t vec k end]

دعنا أولاً نحسب المنتج النقطي والمنتج التبادلي الذي سنحتاجه للصيغ.


6.1.1: الطول - الرياضيات

شخص ليأتي إلى مدونتي! مرحبا!!


راجع للشغل هذا ليس أنا: د
راندولف إل كوه
16
الثانوية 4 صريحة
مزعج مثل هيك ، وإذا تمكنت من تجاوز ذلك ، فأنا أفضل صديق لك.
يقع في الحب بسهولة
توتال مورون
ليس متواضعا أو أي شيء ، هذا صحيح.
ثانوية جريندال
الرقيب الثاني ، خطأ الترويج الداخلي: د
تاريخ الميلاد: ١٣ مايو ١٩٩٣
ام اس ان
[email protected]
البريد الإلكتروني
[email protected]

الأغاني رائعة نوعًا ما ، بالنسبة لي على أي حال. بالمناسبة لأغاني يابانية .. كل أغاني الحب .. cept 'happybirthdaytome'

أريد الخرافة 2. (حصلت عليها وانتهت)
نتائج جيدة (ندى)
حياة سعيدة .. (ندى)
فتاة لطيفة لأشاركها حياتي (تأجيلها حتى إشعار آخر)
(
إذا كنت تريد شيئًا ما ، فعليك العمل من أجله ، ولا تتوقع أن يسقطه أحد عليك.

هالو موضوع الغيتار 3 وضع الخبراء

لورين تذهب إلى طبيب الأسنان. مضحك للغاية
http://www.youtube.com/watch؟v=1zCrpzpV2e0
هذا رابط لسلسلة صغيرة لطيفة من سيارات BMW التي تقود مع كلايف أوين كسائق وأشياء. هذا vid يشبه انجرافه غير اليدوي. يا إلهي..

تحقق من المشي على القمر. OMGish لها
مسرحية هزلية مضحكة من قبل التلفزيون المجنون. حقا يجب أن يشاهد. هنا كس كس كس ^ ^

فوز الملاكم الفرنسي جوزيف الجزء 1

فوز الملاكم الفرنسي جوزيف الجزء الثاني

فوز الملاكم الفرنسي جوزيف الجزء 3

فيديو مباشر مضحك لـ "الإنترنت للإباحية" الشهير

قصة القيقب محاكاة ساخرة للفيديو "الإنترنت للإباحية"

فيديو مضحك لعنة فيديو القيقب TheGuild عن قتل الحلزون.

فيديو كامل لفيلم ماكس باين.

يا gawds آسف الناس لا تحب bloggin ل. إلى الأبد.
أنا أه. إلقاء اللوم على الإنترنت الخاص بي. هههه.

Anyhoo ، كيف سأقول هذا ، لقد فاتني الكثير من الهراء ، حسنًا ، أعتقد أنني سأبدأ مع نزولتي السباحة.

النزهة الأولى ، في مكان ما في sengkang ، بعض السباحة / مكان رائع ، أي شيء التقينا به جميعًا في الصباح ، على ما أعتقد ، وكان Gid متأخراً. لفترة طويلة جدا. لذلك جلسنا جميعًا بجانب جدار حاجز mrt بالقرب من 7-11 في بوصلة Seng Kang هناك في انتظاره.

أحضر كولين كرة التنس الخاصة به. الجواد ليس مرة أخرى. حسنًا ، وكنت مهووسًا به تمامًا. حسنًا ، أحاول القيام بحيل رائعة. عمل البعض والبعض الآخر فشل. بطريقة ما ، يبدو أن معظم الكرات الطائرة تطير إلى كرات جوشوا؟ مغناطيس الكرة هذا الرجل. عنجد.

كنت أقوم بترديد الكرة على الأرض ، وأعتقد أنني ارتدتها بشدة لأنها ارتطمت بالكرة ، ارتدت وتوجهت إلى جوشوا. نعم لقد كان غاضبًا لكنه فهم خطأً لذا تركني. الكالينجيون. ثم كانت المرة الثانية عندما كنت أحاول ارتداد الكرة أثناء تأرجح يدي حولها عندما تكون في منتصف الهواء. ثم صدمته يدي. في كرات جوشوا مرة أخرى. لولز كان غاضبًا ولكن بالطبع قلت ذلك كصدفة .. ثم لاحقًا. كنت أرتدها مرة أخرى وهذه المرة ارتدت من قدمي. في كراته ..
في الوقت الحالي ، كان الجميع يلاحظ ذلك بالفعل ، لذا ضحكوا جميعًا بينما كان جوشوا يطاردني لفترة من الوقت. لولس.

في وقت لاحق عندما كنا خارج مجمع السباحة ، ذهب كولين وجوش ن جيد للعب مع بعض اللاعبين في بعض ملاعب كرة السلة المقابلة لطريق مجمع السباحة ، سارت اللعبة بشكل جيد ولكن كان هناك رجل واحد. مزعج للغاية ، وغني عن القول إنه أغضب كولن واعتقدنا جميعًا أننا في معركة بعد السباحة. (اه أوه)

نعم ، كانت السباحة ممتعة ، لذا سأختصرها ، لقد ذهبنا إلى شرائح مختلفة عدة مرات في محاولة للقيام بأشياء القرود مثل "التعثر" وسبحنا في دورات بينما كنت أحاول تعليم الرجال تعويم الأسماك بالنجوم ، تيس عوامة تستخدم أقل قدر ممكن من الطاقة عندما تكون في ورطة أو متعبًا جدًا. هيه.

على أي حال ، بعد السباحة ، ذهبنا إلى نقطة البوصلة أثناء محاولة الحصول على معلومات الخلفية لهذا الرجل ، بمساعدة شخص ما تمكنا من العثور عليه. ذهبنا إلى البوصلة لأكل الدجاج في كنتاكي وذهبنا إلى أركيد للعب ، نعم ، لقد ركلت مؤخرًا في لعبة الهوكي الهوائي. لولز ، عندما كنت ألعب على ما يبدو أخبرني كولين أن الرجل اعتذر له ، لم أعطي الأمر فكرة ثانية.

@ السباحة نزهة. التقى نفس المكان مثل 11 صباحا. ذهب إلى أوسترام. (غاضب) ثم انطلق إلى هناك للذهاب إلى مجمع السباحة الذي يبدو أنه يحتوي على أطول الشرائح. لقد كانت طويلة ، لقد شعرت بالملل.
وصلنا إلى هناك ، ونظرنا إلى الكتاكيت ، وحصلنا على 3 عوامات ، (دفعت ، دفع البعض فقط لي) واستمتعنا باليوم.

هيه هناك هذا الجزء المضحك حيث استلقينا بجانب الحلقات الخارجية لحمام السباحة لسمرة الشمس. يا رجل ، لقد وضعنا هناك لمدة نصف ساعة يا رجل. كنا جميعًا مدبوغين بالأسود ، لولس ، نمازح ، لكنني حاليًا أسلخ على كتفي ، ويؤلمني الاستحمام. في بلدي الماء الساخن العادي لولس. حسنًا ، بعد السباحة ذهبنا إلى بوجيس للحصول على بعض الملابس ثم إلى كوكب الزهرة للعب لان. (متجر LAN وليس الكوكب)

هيه. لا أستطيع أن أتذكر الكثير عن الأيام القليلة ، لذا سأتحدث عنها اليوم. سأسميها بعد اسم هذا المنصب. يوم DOO-DOO! aaaaaaarg! اليوم اللعين ، الجمعية الصباحية بدأت السيدة كوه في الحديث عن خطاب طويل ، لذلك ذهبت لأخذ كتابي. ثم قام السيد سيح بتطويع كتابي. كان الإصدار الثاني من تي تي أثناء الإنجليزية بيكي وهانا سابو مي. رمي الشيء المطاطي dunno wad ، (رميها بيكي) في أذني .. لذلك كنت مثل مع. وأخذت قطعة وألقيت في بيكي .. ثم وبختني السيدة تان وقالت لي أن أذهب إلى الأمام. كنت أشعر بالذهول بالقرب من الدفاع عن نفسي وإيقاع بيكس في المتاعب ، لكن هانا قالت "لكن BECKY DINNA تفعل أي شيء!" . لا أستطيع أن أصدق أن السيدة تان اشتريته. لا تعرف لسبب ما على الأشخاص القريبين من المتهم في المحاكم ألا يثقوا بهم.

لذلك ، قمت بقضم لسوني ، وضربت رأسي وجلست على كرسي في الأمام بينما أنا غريب الأطوار.
إظهار الموقف طوال اليوم yay!
ثم بعد المدرسة ذهب إلى البوصلة مع جي سي. ثم يسألني جي سي أن أذهب إلى منزله. ثم اذهب إلى المدرسة .. ثم أخذني بن بيك وأغي معهم. ثم خطأ فادح. المطر في منتصف الطريق .. كانه لي وبن مبلل مثل القرف في طريق العودة. ألقى بن الوغد كتاب رسم dnt الخاص بي في بركة موحلة أثناء تجربة رباط حذائه أو شيء من هذا القبيل. كل أعمالي ملطخة وتلتصق ببعضها البعض. AAAAAAAAAARG.

ثم عاد إلى المنزل. اختارهم Gid و Aloy في Tiong Bahru Plaza ، وعادوا إلى المنزل ولعبوا الألعاب لفترة من الوقت ..
التقى جي سي وجي هوان إلى تيونغ بهارو بلازا. أقرض JC 50 دولارًا وأعاد لي ما يكفي لذلك فهو مدين لي الآن بـ 20 دولارًا. ثم حصلت على أمي لشراء أطقم أذن. اسأل Zhi Huan إذا كنت تريد معرفة أساليبي. الإقناع ^ ^.

انتهينا ، وعدنا إلى المنزل ولعبنا حتى جنون ، وتناولنا العشاء. ثم عادوا إلى المنزل تاركين لي مع جهاز الكمبيوتر الخاص بي و YAY أنا أدوّن مثل feakking أخيرًا يا إلهي لا أستطيع التوقف. حسنًا ، هذا ما أوقفه. قواطع الأذن هي مثل ضيقة اللعنة

تنهد ، ينقط بالملل. امتحاني مثل. مرت الإنجليزية فقط والبشر مجتمعين بذلك .. أعتقد أنني سأبقى.
آسف للجميع ، المعلمين ، الآباء. اه انتظر انسى الاباء الذين يطلبون المساعدة. حسنا .. اه .. نفسي. أنا. I. لولس. تبا له يا رجل ، سأستمتع بنفسي حتى يوم القيامة الذي هو يوم الأربعاء القادم!


اصطلاحات الوثيقة

يتم التعبير عن متطلبات المطابقة بمزيج من التأكيدات الوصفية ومصطلحات RFC 2119. الكلمات الرئيسية "MUST" و "MUST NOT" و "REQUIRED" و "SHALL" و "SHALL NOT" و "SHOULD" و "SHOULD NOT" و "RECOMMENDED" و "MAY" و "OPTIONAL" في الأجزاء المعيارية من هذا المستند يجب تفسيره على النحو الموصوف في RFC 2119. ومع ذلك ، من أجل سهولة القراءة ، لا تظهر هذه الكلمات في جميع الأحرف الكبيرة في هذه المواصفات.

كل نصوص هذه المواصفات معياري باستثناء الأقسام التي تم تمييزها بشكل صريح على أنها غير معيارية ، والأمثلة ، والملاحظات. [RFC2119]

يتم تقديم الأمثلة في هذه المواصفات بالكلمات "على سبيل المثال" أو يتم فصلها عن النص المعياري باستخدام class = "example" ، مثل هذا:

هذا مثال على مثال إعلامي.

تبدأ الملاحظات التوضيحية بكلمة "ملاحظة" ويتم فصلها عن النص المعياري باستخدام class = "note" ، على النحو التالي:

ملاحظة ، هذه ملاحظة إعلامية.

النصائح عبارة عن أقسام معيارية تم تصميمها لجذب انتباه خاص وهي منفصلة عن النصوص المعيارية الأخرى باستخدام & ltstrong s> "الإرشاد"> ، مثل هذا: يجب أن توفر UAs بديلاً يسهل الوصول إليه.

فصول المطابقة

يتم تحديد التوافق مع هذه المواصفات لثلاث فئات مطابقة:

ورقة الأنماط ورقة أنماط CSS. عارض UA يفسر دلالات ورقة الأنماط ويعرض المستندات التي تستخدمها. أداة التأليف UA التي تكتب ورقة أنماط.

تتوافق ورقة الأنماط مع هذه المواصفات إذا كانت جميع عباراتها التي تستخدم بناء الجملة المحدد في هذه الوحدة صالحة وفقًا لقواعد CSS العامة والقواعد النحوية الفردية لكل ميزة محددة في هذه الوحدة.

يكون العارض متوافقًا مع هذه المواصفات إذا كان ، بالإضافة إلى تفسير ورقة الأنماط كما هو محدد في المواصفات المناسبة ، يدعم جميع الميزات المحددة بواسطة هذه المواصفات من خلال تحليلها بشكل صحيح وتقديم المستند وفقًا لذلك. ومع ذلك ، فإن عدم قدرة UA على تقديم مستند بشكل صحيح بسبب قيود الجهاز لا يجعل UA غير متوافق. (على سبيل المثال ، UA غير مطلوب لتقديم لون على شاشة أحادية اللون.)

تتوافق أداة التأليف مع هذه المواصفات إذا كتبت أوراق أنماط صحيحة نحويًا وفقًا لقواعد CSS العامة والقواعد النحوية الفردية لكل ميزة في هذه الوحدة ، وتفي بجميع متطلبات المطابقة الأخرى لأوراق الأنماط كما هو موضح في هذه الوحدة.

عمليات التنفيذ الجزئية

حتى يتمكن المؤلفون من استغلال قواعد التحليل المتوافقة مع التوجيه لتعيين القيم الاحتياطية وعارضات CSS يجب تعامل على أنها غير صالحة (وتجاهل حسب الاقتضاء) أي قواعد ، وخصائص ، وقيم خصائص ، وكلمات رئيسية ، وغيرها من التركيبات النحوية التي ليس لديها مستوى دعم قابل للاستخدام لها. على وجه الخصوص ، وكلاء المستخدم لا يجب تجاهل بشكل انتقائي قيم المكونات غير المدعومة وقيم الشرف المدعومة في إعلان خاصية متعدد القيم واحد: إذا تم اعتبار أي قيمة غير صالحة (كما يجب أن تكون القيم غير المدعومة) ، فإن CSS تتطلب تجاهل الإعلان بالكامل.

تطبيقات الميزات غير المستقرة والمملوكة

لتجنب التعارض مع ميزات CSS المستقرة المستقبلية ، توصي CSSWG باتباع أفضل الممارسات لتنفيذ الميزات غير المستقرة وامتدادات الملكية لـ CSS.

تطبيقات غير تجريبية

بمجرد وصول المواصفات إلى مرحلة توصية المرشح ، تصبح عمليات التنفيذ غير التجريبية ممكنة ، ويجب على المنفذين إصدار تنفيذ غير مسبوق لأي ميزة على مستوى CR يمكنهم إثبات تنفيذها بشكل صحيح وفقًا للمواصفات.

لإنشاء والحفاظ على قابلية التشغيل البيني لـ CSS عبر عمليات التنفيذ ، تطلب مجموعة عمل CSS من عارضين CSS غير التجريبيين تقديم تقرير تنفيذ (وإذا لزم الأمر ، حالات الاختبار المستخدمة لتقرير التنفيذ هذا) إلى W3C قبل إصدار تنفيذ غير مسبوق لأي ميزات CSS. تخضع حالات الاختبار المقدمة إلى W3C للمراجعة والتصحيح من قبل مجموعة عمل CSS.


شاهد الفيديو: الدرس الثانيوحدات الطول المعيارية فقرة اتأكد صفحة 188 رياضيات الصف الرابع الابتدائي (شهر اكتوبر 2021).